高中数学 1.1.1变化率问题教案 新人教版选修2-2

§1.1.1 变化率问题 课题：
1． 理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义； 3．会求函数在某点处附近的平均变化率 平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； ：平均变化率的概念． 教学过程与设计： 详细过程一．创设情景 为了描述现实世界中运动、 过程等变化着的现象， 在数学中引入了函数， 随着对函数的研究， 产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关： 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、 最有效的工具。

导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题 1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的 半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?  气球的体积 V(单位:L)与半径 r(单位:dm)之间的函数关系是 V ( r )   如果将半径 r 表示为体积 V 的函数,那么 r (V )  3
教学目标：
教学重点： 教学难点：
4 3 r 3
3V 4
分析: r (V )  3
3V ， 4
h
⑴ 当 V 从 0 增加到 1 时,气球半径增加了 r (1)  r (0)  0.62(dm) 气球的平均膨胀率为
r (1)  r (0)  0.62(dm / L) 1 0
⑵ 当 V 从 1 增加到 2 时,气球半径增加了 r (2)  r (1)  0.16(dm) 气球的平均膨胀率为
r (2)  r (1)  0.16(dm / L) 2 1
o t
1
可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．


思考：当空气容量从 V1 增加到 V2 时,气球的平均膨胀率是多少?
r (V2 )  r (V1 ) V2  V1
问题 2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位：m)与起跳后的时间 t（单位：s） 存在函数关系 h(t)= -4.9t +6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速 v 度粗略地描
2
述其运动状态? 思考计算： 0  t  0.5 和 1  t  2 的平均速度 v
h(0.5)  h(0)  4.05(m / s ) ； 0. 5  0 h(2)  h(1)  8.2(m / s ) 在 1  t  2 这段时间里， v  2 1 65 探究：计算运动员在 0  t  这段时间里的平均速度，并思考以下问题： 49
在 0  t  0.5 这段时间里， v  ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？ ⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 探究过程：如图是函数 h(t)= -4.9t +6.5t+10 的图像，结合图形可知， h(
2
65 )  h(0) ， 49
65 )  h(0) 所以 v  49  0( s / m) ， 65 0 49 65 虽然运动员在 0  t  这段时间里的平均速度为 0(s / m) ，但实际情况是运动员仍然运 49 h(
动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （二）平均变化率概念: 1． 上述问题中的变化率可用式子 化率 2．若设 x  x2  x1 , f  f ( x2 )  f ( x1 ) (这里 x 看作是对于 x1 的一个“增量”可用
f ( x2 )  f ( x1 ) 表示, 称为函数 f(x)从 x1 到 x2 的平均变 x2  x1
x1+ x 代替 x2,同样 f  y  f ( x2 )  f ( x1 ) )
3． 则平均变化率为
f ( x2 )  f ( x1 ) f ( x1  x)  f ( x1 ) y f    x x x2  x1 x
思考：观察函数 f(x)的图象 平均变化率
f f ( x2 )  f ( x1 )  表示什么? x x2  x1
y y=f(x) f(x2)
2


△ y =f(x2)-f(x1)
直线 AB 的斜率 f(x1) O △ x= x2-x1 x1 x2 x
三．典例分析 例 1 ． 已 知 函 数 f(x)=  x  x 的 图 象 上 的 一 点 A(1,  2) 及 临 近 一 点
2
B(1  x ,  2  y) ,则
y  x
．
解：  2  y  (1  x) 2  (1  x) ，
y  (1  x) 2  (1  x)  2   3  x ∴ x x
例2． 求 y  x 2 在 x  x0 附近的平均变化率。

解： y  ( x0  x)2  x0 ，所以
2
y ( x0  x) 2  x0  x x
2
2

x0  2 x0 x  x 2  x0  2 x0  x x
2
所以 y  x 2 在 x  x0 附近的平均变化率为 2 x0  x 四．课堂练习 1．质点运动规律为 s  t  3 ，则在时间 (3 , 3  t ) 中相应的平均速度为
2
2
．
25 2.物体按照 s(t)=3t +t+4 的规律作直线运动,求在 4s 附近的平均变化率 .  3t 3 3.过曲线 y=f(x)=x 上两点 P（1，1）和 Q (1+Δ x,1+Δ y)作曲线的割线，求出当Δ x=0.1 时 割线的斜率. 五．回顾总结 1．平均变化率的概念 2．函数在某点处附近的平均变化率 六．布置作业
3















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