高考数学复习专题07 极坐标系与参数方程(原卷版)

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高考数学复习专题07 极坐标系与参数方程(原卷版)

专题七极坐标系与参数方程【考生存在问题报告】（一）对直线参数方程中参数的几何意义认识不到位【例1】（2020·江苏高三）已知P 1，P 2是直线1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)上的两点，它们所对应的参数分别为t 1，t 2，则线段P 1P 2的中点到点P (1，-2)的距离是________.【评析】本题考查直线的参数方程中参数的几何意义，属基础题，此类结论要非常熟悉. 【例2】在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为2,()2x tt y =--⎧⎪⎨=⎪⎩为参数.直线与曲线22:(2)1C y x --=交于,A B 两点.求||AB 的长；【评析】本题易错的主要原因是对直线参数方程中参数的几何意义的认识不清，由点,A B 对应的参数分别为12,t t错误得到12||||AB t t =-=当直线的参数方程非标准式时，其参数并不具有距离的几何意义，只有把直线的参数方程化为标准的参数方程时，||t 才表示距离.一般地，直线⎩⎨⎧+=+=bty y atx x 00（t 表示参数），当122=+b a 时，||t 表示点),(y x p 到点00()P x ,y 的距离.【例3】（2020·江苏金陵中学高三）在平面直角坐标系xOy 中，直线315:45x t l y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），与曲线24:4x k C y k⎧=⎨=⎩（k 为参数）交于A 、B 两点，求线段AB 的长．【评析】解法一：将直线l 与曲线C 的方程均化为普通方程，联立直线l 与曲线C 的普通方程求出交点A 、B 的坐标，利用两点间的距离公式可求出线段AB 的长；解法二：将曲线C 的方程化为普通方程，将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，解出t 的二次方程，结合t 的几何意义可得出12AB t t =-，进而求解. （二）忽略参数的取值范围导致“互化”不等价【例4】（2020·山西大同一中高三）在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为11212x t y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C ：（y ﹣1）2﹣x 2＝1交于A ，B 两点．（1）求|AB |的长；（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点P 的极坐标为34π⎫⎪⎭，，求点P 到线段AB 中点M 的距离．【评析】本题考查了直线的参数方程及其应用、极坐标化为直角坐标等.在第（1）问中将直线l 的参数方程的标准形式，代入曲线C 的方程得．设点A ，B 对应的参数分别为μ1，μ2，可得μ1+μ2，μ1μ2的值，可得|AB |的长；在第（2）问中将点P 的极坐标化为直角坐标，可得中点M 对应参数，由参数μ的几何意义，可得点P 到线段AB 中点M 的距离|PM |.【例5】【广东省深圳市高考模拟】若直线b x y +=与曲线⎩⎨⎧==θθsin cos y x θ(为参数，且)22πθπ≤≤-有两个不同的交点，则实数b 的取值范围是__________．【评析】本题易错点主要在于忽视θ所给的范围，以为⎩⎨⎧==θθsin cos y x θ(为参数，且)22πθπ≤≤-表示的图形是圆.其实本题中参数方程表示的是以原点为圆心1为半径的非左半部分的圆的一部分，有了这个认识之后，便不容易出错.（三）对极径的意义理解不到位，不能灵活使用极径解决问题【例6】（2020·湖南长沙一中高三）已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为4x ty t=-⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线1C 的方程为()2211x y +-=.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线l 和曲线1C 的极坐标方程；（2）曲线2:0,02C πθαρα⎛⎫=><< ⎪⎝⎭分别交直线l 和曲线1C 于点A ，B ，求OB OA 的最大值及相应α的值.【评析】本题考查了曲线的极坐标方程与普通方程间的互化，以及极坐标系中极径的几何意义与三角函数的综合运用.(1)参数方程化为普通方程，只要消去参数方程中的参数即可；极坐标方程化为普通方程，只要利用极坐标与直角坐标的函数关系转换即可；(2)设出点,A B 的极坐标，结合极坐标的几何意义与三角函数求最值的知识，即可求解.【例7】（2019·广西大学附属中学高三）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为2,3π⎛⎫⎪⎝⎭，点B 在曲线2C 上，求ABO ∆面积的最大值．【评析】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.在求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是将其化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程. （四）思维不严谨性，完备性欠缺【例8】（2020·广东高三期末）在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为2x ty kt =-⎧⎨=⎩（t 为参数），直线2l 的参数方程为2x mmy k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（m 为参数），设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线1C .以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=. （1）写出1C 的普通方程；（2）求曲线1C 和曲线2C 交点的极坐标.【评析】本题考查参数方程与普通方程的转化,考查轨迹方程,考查直角坐标方程与极坐标方程的转化,考查极坐标系下的交点（1）分别求得直线1l 与直线2l 的普通方程,联立两直线方程消去k 即可；（2）由（1）可得曲线1C 的极坐标方程,联立曲线1C 与曲线2C 的极坐标方程,求解即可【例9】【2018全国卷II 22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,4sin ,x θy θ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos ,2sin ,x t αy t α=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）．（Ⅰ）求C 和l 的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．【评析】(Ⅰ)根据同角三角函数关系将曲线C 的参数方程化为直角坐标方程，根据代入消元法将直线的参数方程化为直角坐标方程，此时要注意分0cos ≠α 与0cos =α两种情况——这也是考生容易忽略之处.( Ⅱ)将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，根据参数几何意义得ααcos ,sin 之间关系，求得αtan ，即得的斜率．这里，直线的参数方程的标准形式的应用显得特别重要——也是能否顺利求解的关键.（五）作图分析不到位【例10】（2020·内蒙古高三期末）平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为132312x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=. （1）求直线l 的极坐标方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）若()1,A ρα是直线l 上一点，2,3B πρα⎛⎫-⎪⎝⎭是曲线C 上一点，求||||OB OA 的最大值. 【评析】本题考查了参数方程化普通方程,考查了极坐标与直角坐标互化公式,考查了极坐标的几何意义,考查了三角函数的最值.在第(1)中消去参数可得普通方程,极坐标与直角坐标互化公式可得答案;在第(2)中根据极坐标的几何意义以及三角函数的最值可得到答案.【命题专家现场支招】一、解决问题的思考与对策（一）关注两个“互化”的技能训练参数方程和普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化是高考每年必考的内容之一，考查形式多样，有直接要求互化的，也有通过转化化为直角坐标方程或普通方程，然后利用解析几何的相关知识解决问题的，因此，应通过专项训练使之熟练化、自动化.【例11】（2020·江苏高三）在极坐标系中，曲线C 的极方程为2sin (0)a a ρθ=≠．以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴的平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1(x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）．已知直线l与曲线C 有公共点，求实数a 的取值范围．【例12】【湖北省2020届高三】已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆C 的直角坐标方程为22220x y x y ++-=，直线l 的参数方程为1x t y t =-+⎧⎨=⎩(t 为参数)，射线OM 的极坐标方程为3π4θ=. （1）求圆C 和直线l 的极坐标方程；（2）已知射线OM 与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.【评析】本题考查直角坐标方程、参数方程与极坐标方程间的转化，利用极坐标求两点间的距离是解决本题的关键.（1）结合直角坐标方程、参数方程及极坐标方程间的关系，求出圆C 和直线l 的极坐标方程即可；（2）将3π4θ=与圆C 和直线l 的极坐标方程联立，可求得,P Q 的极坐标，进而可求得线段PQ 的长. （二）强化对直线参数方程中参数t 的几何意义的认识利用直线参数方程中参数t 的几何意义，可以快速求解与线段长度、距离等相关的问题. 使用时应注意t 表示距离时方程的特征和t 所具有的“方向”性.【例13】（2020·广东高三）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l 与曲线C 交于不同的两点A ，B . （1）求曲线C 的参数方程；（2）若点P 为直线与x 轴的交点，求211||+2|PA|PB 的取值范围. 【评析】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．（三）关注圆、椭圆参数方程最值问题向三角函数问题的转化涉及有关最值或参数范围问题的求解，常可利用圆与椭圆的参数方程，化为三角函数的最值问题处理. 【例14】（2020·福建高三）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:sin 2cos (0)C a a ρθθ=>，过点()2,4P --的直线l的参数方程为2242x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于,A B 两点.（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）当1a =时，求11||||PA PB +的值. 【评析】(1)根据极坐标与参数方程和直角坐标的互化求解即可.(2)联立直线的参数方程与曲线C 的直角坐标方程,设,A B 两点对应的参数分别为12t t 、,再利用参数的几何意义求解即可.（四）理解极径、极角几何意义，强化应用意识【例15】（2020·云南昆明一中高三）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为32x ty t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为54π⎛⎫ ⎪⎝⎭，曲线C 的极坐标方程为24sin 0ρρθ+=.（1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若点Q 为曲线C 上的动点，求PQ 中点M 到直线l 的距离的最小值【评析】本题考查了参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的转化，以及将距离的最值转化为三角函数问题，意在考查转化与化归的思想，以及计算求解的能力，属于基础题型. （五）注重算法的选择，关注运用本领域知识进行的问题解决将陌生的问题化为已知的问题加以解决，是问题解决的常见思维模式，对极坐标、参数方程的有关问题解决，最简洁的思路就是将极坐标方程转化为直角坐标方程、参数方程转化为普通方程，再利用解析几何的知识解决问题，然而在有些情况下这种转化却会加大运算过程，有时还会出现无法计算结果的情形，近年来高考全国卷就经常出现这种情况，因此除了掌握化为普通直角坐标方程求解的算法外，还应关注运用本领域知识解决问题的算法.【例16】【2018江苏卷】在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．【评析】本题的解法多样，比如转化为平面直角坐标系中进行研究，如果通过本领域知识——极坐标系进行研究也是一个不错的选择，但对极坐标系中常见方程的类型要很熟悉. （六）注重作图能力的培养与解析几何相同，本部分核心内容也是利用代数的手段研究几何问题，因此正确的作图对于成功解题有着决定性作用，应养成边读边画，以图助理解，以图找思路的良好习惯，图形引领数形结合，战无不胜.【例17】（2020·重庆西南大学附中高三）已知平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为1(82x t t y t =+⎧⎨=-⎩为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为223695sin ρθ=-.（1）求直线l 的普通方程以及曲线C 的参数方程；（2）过曲线C 上任意一点E 作与直线l 的夹角为75o 的直线，交l 于点F ，求EF 的最小值.二、典型问题剖析（一）两种“互化”及其应用【例18】（2020·河南高三）以直角坐标系xOy 的原点为极坐标系的极点，x 轴的正半轴为极轴.已知曲线1C 的极坐标方程为4cos 8sin ρθθ=+，P 是1C 上一动点，2OP OQ =u u u r u u u r，Q 的轨迹为2C . （1）求曲线2C 的极坐标方程，并化为直角坐标方程，（2）若点(0,1)M ，直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数），直线l 与曲线2C 的交点为A ，B ，当||||MA MB +取最小值时，求直线l 的普通方程.【评析】本题考查极坐标方程、普通方程、参数方程的互化、直线参数方程的几何意义，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力. （1）设点P ，Q 的极坐标分别为()0,ρθ，(,)ρθ)，利用012ρρ=这一关系，可得Q 的极坐标方程，再化成普通方程，即可得答案；（2）设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，则12||,||MA t MB t ==，将直线l 的参数方程cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩，（t 为参数），代入2C 的直角坐标方程，利用韦达定理，从而将问题转化为三角函数的最值问题，求出此时的α值，即可得答案. （二）利用参数方程解决问题【例19】【2019年上海市浦东新区高考一模】已知点，，P 为曲线上任意一点，则的取值范围为（） A ．B ．C ．D ．（三）利用,ρθ的几何意义解决问题【例20】（2020·全国高三）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程32sin x y ββ⎧=⎪⎨=⎪⎩（β为参数）.直线l的参数方程3cos 1sin x t y t αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）.（Ⅰ）求曲线C 在直角坐标系中的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线C 截直线l 所得线段的中点极坐标为2,6π⎛⎫⎪⎝⎭时，求直线l 的倾斜角. （四）极坐标与参数方程的综合应用【例21】【2017课标3，理22】在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C. （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3:cos sin 20l ρθθ+=，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.【例22】（2020·四川高三）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为5()x y ϕϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=．（1）求曲线1C 与曲线2C 两交点所在直线的极坐标方程；（2）若直线l的极坐标方程为sin()4ρθπ+=，直线l 与y 轴的交点为M ，与曲线1C 相交于,A B 两点，求MA MB +的值．【评析】(1)先将1C 和2C 化为普通方程，可知是两个圆，由圆心的距离判断出两者相交，进而得相交直线的普通方程，再化成极坐标方程即可；(2)先求出l 的普通方程有4x y +=，点(0,4)M ，写出直线l的参数方程42x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，代入曲线1C ：22(5)10x y -+=，设交点,A B 两点的参数为1t ，2t ，根据韦达定理可得12t t +和12t t ，进而求得MA MB+的值．【新题好题针对训练】一、单选题1．（2020·北京101中学高三）已知曲线C：2{2x y a t ==+（t 为参数），(1,0)A -，(1,0)B ，若曲线C 上存在点P 满足0AP BP ⋅=u u u r u u u r，则实数a 的取值范围为（）A．⎡⎢⎣⎦B ．[]1,1-C．⎡⎣D ．[]2,2-2．（2020·吉林高三）在正方形ABCD 中，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，若AP x AB y AD =+u u u v u u u v u u u v，则x y +的最大值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题3．（2020·北京市十一学校高三）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为222x y +=，曲线2C 的参数方程为2x ty t=-⎧⎨=⎩（t 为参数）．以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线1C 与2C 的交点的极坐标为___．4．（2020·浙江高三期末）已知正三角形ABC 的边长为4，P 是平面ABC 内一点，且满足3APB π∠=，则PB AC ⋅u u u v u u u v的最大值是______，最小值是______.5．（2020·江苏高三）在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ<2π）中，曲线ρ=2sin θ与cos 1ρθ=-的交点的极坐标为______. 三、解答题6．（2020·江苏高三）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos (0sin x a a b y b ϕϕ=⎧>>⎨=⎩，ϕ为参数），且曲线C上的点M 对应的参数3πϕ=，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 的普通方程；（2）若曲线C 上的A ，B 两点的极坐标分别为1(A ρ，)θ，2(B ρ，)2πθ+，求221211ρρ+的值． 7．（2020·湖北高三期末）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为：1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为：()4R πθρ=∈．（Ⅰ）求直线l 与曲线1C 公共点的极坐标；（Ⅱ）设过点()0,1P -的直线m 交曲线1C 于A ，B 两点，求PA PB ⋅的值．8．（2019·福建上杭一中高三）在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线2cos :sin x t l y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）与曲线2cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）相交于不同的两点,A B .（1）若3πα=，求线段AB 中点M 的坐标；（2）若2PA PB OP ⋅=，其中(2P ，求直线l 的斜率.9．（2020·鄂尔多斯市第一中学高三）在直角坐标系xOy 中，圆O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），经过变换2x xy y=''⎧⎨=⎩，得曲线C .以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程.（Ⅱ）若A ，B 为曲线C 上的动点，且2AOB π∠=，证明：2211OAOB+为定值.10．（2020·黑龙江哈九中高三）在极坐标系中，直线:sin()43l πρθ+=，圆:4sin C ρθ=.以极点O 为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy . （1）求直线l 的直角坐标方程和圆C 的参数方程；（2）已知点P 在圆C 上，P 到l 和x 轴的距离分别为1d ，2d ，求12d d +的最大值.11．（2020·河南南阳中学高三）在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为1(x cos y sin ααα=+⎧⎨=⎩为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点A 为曲线1C 上的动点，点B 在线段OA 的延长线上，且满足||||8OA OB ⋅=，点B 的轨迹为2C . （1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）设点M 的极坐标为2,2π⎛⎫⎪⎝⎭，求ABM ∆面积的最小值。

全国卷高考选做题坐标系与参数方程专题

全国卷高考选做题坐标系与参数方程专题标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]坐标系与参数方程选做专题（2015-10-14）命题：靳建芳1．在直角坐标系x y O 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线1C :452x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线2C :26cos 10sin 90ρρθρθ--+=．（Ⅰ）将曲线1C 化成普通方程，将曲线2C 化成参数方程；（Ⅱ）判断曲线1C 和曲线2C 的位置关系．2．曲线1C 的参数方程为)(sin 22cos 2为参数ααα⎩⎨⎧+==y x ，M 是曲线1C 上的动点，且M 是线段OP 的中点，P 点的轨迹为曲线2C ，直线l 的极坐标方程为sin()24πρθ+=，直线l与曲线2C 交于A ，B 两点。

（Ⅰ）求曲线2C 的普通方程；（Ⅱ）求线段AB 的长。

3．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos 2(1cos 2x y ααα=+⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），在极坐标系中,曲线2C 的极坐标方程为sin()24πρθ-=．（1）求曲线2C 的普通方程；（2）设1C 与2C 相交于,A B 两点，求AB 的长．4．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

已知曲线C 1的极坐标方程为θρ22sin 12+=，直线l 的极坐标方程为θθρcos sin 24+=。

（Ⅰ）写出曲线C 1与直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设Q 为曲线C 1上一动点，求Q 点到直线l 距离的最小值。

5．在直角坐标版权法xOy 吕，直线l 的参数方程为132(32x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为23sin ρθ=. （Ⅰ）写出的直角坐标方程；（Ⅱ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求点P 的坐标.6．在直角坐标系xOy 中，直线1C :x =-2，圆2C ：()()22121x y -+-=,以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN∆的面积.7．已知直线l：512x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的坐标方程为2cos ρθ=．（1）将曲线C 的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA||MB|的值．8.在极坐标系中曲线C 的极坐标方程为2sin cos 0ρθθ-=，点(1,)2M π．以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系．斜率为1-的直线l 过点M ，且与曲线C 交于,A B 两点．（Ⅰ）求出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；（Ⅱ）求点M 到两点,A B 的距离之积．9．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为()2sin cos 0a a ρθθ=>，过点()2,4P --的直线l的参数方程为2242x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩ （t 为参数），直线l 与曲线C 相交于,A B 两点．（Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（Ⅱ）若2PA PB AB ⋅=，求a 的值．10．．(本小题满分12分)极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同．已知曲线C 的极坐标方程为()θθρsin cos 2+=，斜率为3的直线l 交y 轴与点()1,0E ．（1）求C 的直角坐标方程，l 的参数方程；（2）直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求EB EA +的值．11．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数）.以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）设直线l极坐标方程是2sin()3πρθ+=射线:3OM πθ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.12．选修４－４：坐标系与参数方程）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x 轴的正半轴重合.若直线l的极坐标方程为sin()4πρθ-=(1)把直线l 的极坐标方程化为直角坐标系方程;(2)已知P 为椭圆22:139x y C +=上一点,求P 到直线l 的距离的最小值.坐标系与参数方程选做专题（2015-10-14）（参考答案）1．（Ⅰ） 1:C 23y x =-，2:C 35cos ,55sin .x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）；（Ⅱ）相交.解析：（Ⅰ）∵4,52.x t y t =+⎧⎨=+⎩，∴4t x =-，代入52y t =+得，52(4)y x =+-，即23y x =-．∴曲线1C 的普通方程是23y x =-．将ρ=cos x ρθ=，sin y ρθ=代入曲线2C 的方程26cos 10sin 90ρρθρθ--+=，得2261090x y x y +--+=，即 22(3)(5)25x y -+-=．设35cos x α-=，55sin y α-=得曲线2C 的参数方程：35cos ,55sin .x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲线1C 是经过点(4,5)P 的直线，曲线2C 是以(3,5)O '为圆心半径为5r =的圆．∵1PO r '=<，∴点(4,5)P 在曲线2C 内，∴曲线1C 和曲线2C 相交．2．（Ⅰ）16)4(22=-+y x（Ⅱ）解：（Ⅰ）设),(y x P ，则由条件知)2,2(y x M 。

全国卷历年高考极坐标与参数方程真题归类分析(含答案)

（1）写出的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，为与的交点，求的极径．
6．解析⑴将参数方程转化为一般方程 ①
②
，消可得，即点的轨迹方程为 .
⑵将极坐标方程转化为一般方程，联立，解得 .
由，解得，即的极半径是．
【解析】(1)由得 +y2=1.因为ρsin = ρsinθ+ ρcosθ=2 ,
所以x+y=4.所以C1的普通方程为 +y2=1,C2的直角坐标方程为x+y=4.
(2)由题意,可设点P的直角坐标为 ,因为C2是直线,所以的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值,d(α)= .
当且仅当α=2kπ+ (k∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为 ,此时P的直角坐标为
∴x2+y2=4x.即(x-2)2+y2=4.②
C3:化为普通方程为y=2x,由题意:C1和C2的公共方程所在直线即为C3.
①-②得:4x-2y+1-a2=0,即为C3,所以1-a2=0,所以a=1.
（2016年2卷）在直线坐标系xOy中，圆C的方程为．
（I）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
∴ 的极坐标方程为，的极坐标方程为 .……5分
（Ⅱ）将代入，得，解得 = ， = ，|MN|= － = ，
因为的半径为1，则的面积 = .
1.（2015年2卷）在直角坐标系xOy中,曲线 (t为参数,且t≠0),其中0≤α<π,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sin θ,C3:ρ=2 cos θ.
因此A的极坐标为(2sin α,α),B的极坐标为(2 cos α,α).

高考文科数学复习专题-极坐标与参数方程

1．曲线的极坐标方程．(1)极坐标系：一般地，在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O 称为极点，射线Ox称为极轴．(2)极坐标(ρ，θ)的含义：设M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角．那么，有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．明显，每一个有序实数对(ρ，θ)，确定一个点的位置．其中ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．极坐标系和直角坐标系的最大区分在于：在直角坐标系中，平面上的点与有序数对之间的对应关系是一一对应的，而在极坐标系中，对于给定的有序数对(ρ，θ)，可以确定平面上的一点，但是平面内的一点的极坐标却不是唯一的．(3)曲线的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，假如平面曲线C上的随意一点的极坐标满意方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．2．直线的极坐标方程．(1)过极点且与极轴成φ0角的直线方程是θ＝φ0和θ＝π－φ0，如下图所示．(2)与极轴垂直且与极轴交于点(a，0)的直线的极坐标方程是ρcos θ＝a，如下图所示．(3)与极轴平行且在x轴的上方，与x轴的距离为a的直线的极坐标方程为ρsin θ＝a，如下图所示．3．圆的极坐标方程．(1)以极点为圆心，半径为r的圆的方程为ρ＝r，如图1所示．(2)圆心在极轴上且过极点，半径为r的圆的方程为ρ＝2rcos_θ，如图2所示．(3)圆心在过极点且与极轴成π2的射线上，过极点且半径为r的圆的方程为ρ2rsin_θ，如图3所示．4．极坐标与直角坐标的互化．若极点在原点且极轴为x 轴的正半轴，则平面内随意一点M 的极坐标M(ρ，θ)化为平面直角坐标M(x ，y)的公式如下：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或者ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝y x ，其中要结合点所在的象限确定角θ的值．1．曲线的参数方程的定义．在平面直角坐标系中，假如曲线上随意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ），并且对于t 的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x ，y)都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x ，y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数．2．常见曲线的参数方程．(1)过定点P(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋tcos α，y ＝y 0＋tsin α(t 为参数)，其中参数t 是以定点P(x 0，y 0)为起点，点M(x ，y)为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．依据t 的几何意义，有以下结论：①设A ，B 是直线上随意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则|AB|＝|t B －t A |＝（t B ＋t A ）2－4t A ·t B ；②线段AB 的中点所对应的参数值等于t A ＋t B2.(2)中心在P(x 0，y 0)，半径等于r 的圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋rcos θ，y ＝y 0＋rsin θ(θ为参数) (3)中心在原点，焦点在x 轴(或y 轴)上的椭圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos θ，y ＝bsin θ(θ为参数)⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝bcos θ，y ＝asin θ. 中心在点P(x 0，y 0)，焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋acos α，y ＝y 0＋bsin α(α为参数)．(4)中心在原点，焦点在x 轴(或y 轴)上的双曲线：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝asec θ，y ＝btan θ(θ为参数)⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝btan θ，y ＝asec θ. (5)顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上的抛物线：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p ，y ＝2p(t 为参数，p>0)．注：sec θ＝1cos θ.3．参数方程化为一般方程．由参数方程化为一般方程就是要消去参数，消参数时经常采纳代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角代换法，消参数时要留意参数的取值范围对x ，y 的限制．1．已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，5π3，则点A 的直角坐标是(2，－23)．2．把点P 的直角坐标(6，－2)化为极坐标，结果为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－π6．3．曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4．4．以极坐标系中的点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π6为圆心、1为半径的圆的极坐标方程是ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6．5．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的右顶点，则常数a 的值为3．解析：由直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a ，得y ＝x －a.由椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ，得x 29＝y24＝1.所以椭圆C 的右顶点为(3，0)．因为直线l 过椭圆的右顶点，所以0＝3－a ，即a ＝3.一、选择题1．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1，－3)．若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是(C )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3D.⎝⎛⎭⎪⎫2，－4π3 2．若圆的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，直线的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －1(t 为参数)，则直线与圆的位置关系是(B )A ．相离B ．相交C ．相切D ．不能确定3．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cosθ，则直线l 被圆C 截得的弦长为(D )A.14 B ．214 C. 2 D ．2 2解析：由题意可得直线和圆的方程分别为x －y －4＝0，x 2＋y 2＝4x ，所以圆心C(2，0)，半径r ＝2，圆心(2，0)到直线l 的距离d ＝2，由半径，圆心距，半弦长构成直角三角形，解得弦长为2 2.4．已知动直线l 平分圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1，则直线l 与圆O ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的位置关系是(A )A ．相交B ．相切C ．相离D ．过圆心解析：动直线l 平分圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1，即圆心(2，1)在直线l 上，又圆O ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ的一般方程为x 2＋y 2＝9且22＋12<9，故点(2，1)在圆O 内，则直线l 与圆O 的位置关系是相交．二、填空题5．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧y ＝sin θ－2，x ＝cos θ(θ是参数)，若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，则曲线C 的极坐标方程可写为ρ2＋4ρsin_θ＋3＝0．解析：在平面直角坐标系xOy 中，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝sin θ－2，x ＝cos θ(θ是参数)，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2＝sin θ，x ＝cos θ.依据sin 2θ＋cos 2θ＝1，可得x 2＋(y ＋2)2＝1，即x 2＋y 2＋4y ＋3＝0.∴曲线C 的极坐标方程为ρ2＋4ρsin θ＋3＝0.6．在平面直角坐标系中圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的圆心的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π2．三、解答题7．求极点到直线2ρ＝1sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4(ρ∈R)的距离．解析：由2ρ＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4⇒ρsin θ＋ρcos θ＝1⇒x ＋y ＝1，故d ＝|0＋0－1|12＋12＝22. 8．极坐标系中，A 为曲线ρ2＋2ρcos θ－3＝0上的动点，B 为直线ρcos θ＋ρsin θ－7＝0上的动点，求|AB|的最小值．9．(2015·大连模拟)曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，将曲线C 1上全部点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的3倍，得到曲线C 2.以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：ρ(cos θ－2sin θ)＝6.(1)求曲线C 2和直线l 的一般方程；(2)P 为曲线C 2上随意一点，求点P 到直线l 的距离的最值．解析：(1)由题意可得C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，即C 2：x 24＋y23＝1，直线l ：ρ(cos θ－2sin θ)＝6化为直角坐标方程为x －2y －6＝0.(2)设点P(2cos θ，3sin θ)，由点到直线的距离公式得点P 到直线l 的距离为 d ＝|2cos θ－23sin θ－6|5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12cos θ5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6＋4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π65＝55⎣⎢⎡⎦⎥⎤6＋4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6. 所以255≤d ≤25，故点P 到直线l 的距离的最大值为25，最小值为255.10．已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l经过定点P(3，5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程．(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|PA|·|PB|的值．解析：(1)由曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，得一般方程为(x －1)2＋(y －2)2＝16，即x 2＋y 2－2x －4y ＝11＝0.直线l 经过定点P(3，5)，倾斜角为π3，直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝5＋32t (t 是参数)．(2)将直线的参数方程代入x 2＋y 2－2x －4y －11＝0，整理，得t 2＋(2＋33)t －3＝0，设方程的两根分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝－3，因为直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，所以|PA|·|PB|＝|t 1t 2|＝3.。

专题07 含有参数的代数式、方程与函数【2022中考数学专题复习高频考点拓展讲练】(原卷版)

专题07含有参数的代数式、方程与函数（原卷版）专题诠释：含有参数的代数式、方程与函数类问题一直是中考的热点，解决这类问题时常需要借助数形结合思想构造它们练习的桥梁。

这类问题设计巧妙，灵活地考查了学生对代数式、方程、函数的理解。

第一部分典例剖析+针对训练类型一含参数代数式典例1 （2021秋•路北区期末）已知多项式A＝x2+2x+n2，多项式B＝2x2+4x+3n2+3．（1）若多项式x2+2x+n2是完全平方式，则n＝；（2）已知x＝m时，多项式x2+2x+n2的值为﹣1，则x＝﹣m时，该多项式的值为多少？（3）判断多项式A与B的大小关系并说明理由．针对训练11．已知x＝2m+n+2和x＝m+2n时，多项式x2+4x+6的值相等，且m﹣n+2≠0，则当x＝3（m+n+1）时，多项式x2+4x+5值等于．类型二含参数方程典例2（2020•武威模拟）关于x的一元二次方程mx2+（m﹣2）x+14m﹣2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．针对训练22．已知方程（k﹣3）x2+2x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）A．k＜4B．k≤4C．k＜4且k≠3D．k≤4且k≠3类型三含参数函数典例3（2021•海安市模拟）一次函数y＝（2a﹣3）x+a+2（a为常数）的图象，在﹣1≤x≤1的一段都在x轴上方，则a的取值范围是．针对训练33．（2021春•海安市期末）已知一次函数y1＝kx+3（k为常数，k≠0）和y2＝x﹣4．当x＜1时，y1＞y2，则k的取值范围为．典例4（2021•崇川区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝﹣mx2+4mx﹣8（m ≠0）．（1）若m＞0，当﹣1≤x≤4时，函数图象的最低点M的纵坐标为﹣18，求m的值；（2）若该函数的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），设n≤x1≤n+2，当x2≥6时，总有y1≤y2，求n的取值范围；（3）已知A（﹣4，0）和B（6，0），若抛物线与线段AB只有一个共同点，求m的取值范围．针对训练44．（2021•南通一模）已知抛物线y＝x2+bx+a﹣1过点（2+a，m），（2﹣a，m），（a，n）．（1）求b的值；（2）当0＜a＜2时，请确定m，n的大小关系；（3）若当0＜a≤x≤2+a时，y有最小值3，求a的值．5．（2019•南通）已知：二次函数y＝x2﹣4x+3a+2（a为常数）．（1）请写出该二次函数的三条性质；（2）在同一平面直角坐标系中，若该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x ﹣1的图象有两个交点，求a的取值范围．6．已知二次函数y＝2x2+bx﹣1（b为常数）．（1）若抛物线经过点（1，2b），求b的值；（2）求证：无论b取何值，二次函数y＝2x2+bx﹣1图象与x轴必有两个交点；（3）若平行于x轴的直线与该二次函数的图象交于点A，B，且点A，B的横坐标之和大于1，求b的取值范围．第二部分专题提优训练1．（2020春•房山区期末）关于x的方程x﹣2m＝1的解为正数，则m的取值范围是（）A．m＜−12B．m＜12C．m＞−12D．m＞122．（2020秋•九龙坡区期末）若点A（m﹣1，y1），B（m，y2）都在二次函数y＝ax2+4ax+3（a＜0）的图象上，且y1＞y2，则m的取值范围是（）A．m≤﹣1B．m≥﹣1C．m＜−32D．m＞−323．（2020•崇川区校级一模）已知x＝a时，多项式x2+4x+4b2的值为﹣4，则x＝﹣a时，该多项式的值为（）A．0B．6C．12D．184．（如皋市一模）若关于x的方程|x2﹣x﹣2|＝k有四个不相等的实数根，则整数k的值为．5．（2019•通州区一模）平面直角坐标系xOy中，若P（m，m2+4m+3），Q（2n，4n﹣8）是两个动点（m，n为实数），则PQ长度的最小值为．6．（南通中考）平面直角坐标系xOy中，已知点（a，b）在直线y＝2mx+m2+2（m＞0）上，且满足a2+b2﹣2（1+2bm）+4m2+b＝0，则m＝．7．（海安县一模）已知当2≤x≤3时，关于x的多项式x2﹣2kx+k2−12k﹣1（k为大于2的常数）有最小值﹣2，则常数k的值为．8．（2020秋•大兴区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+a+1（a＜0）的对称轴为直线x＝1．（1）用含有a的代数式表示b；（2）求抛物线顶点M的坐标；（3）横、纵坐标都是整数的点叫整点．过点P（0，a）作x轴的平行线交抛物线于A，B两点．记抛物线在点A，B之间的部分与线段AB围成的区域（不含边界）为W．①当a＝﹣1时，直接写出区域W内整点的个数；②若区域W内恰有3个整点，结合函数图象，求a的取值范围．9．（2021•石狮市模拟）已知二次函数y＝﹣2x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（2，﹣1），其对称轴为直线x＝1．（1）求该二次函数的表达式；（2）点P（0，n）在y轴上，若n＜1，过点P作x轴的平行线与该二次函数的图象交于E，F两点，当n取某一范围内的任意实数时，|FP﹣EP|的值始终是一个定值d，求此时n的范围及定值d．（3）是否存在两个不等实数s，t（s＜t），当s≤x≤t时，恰好有11﹣6t≤y≤11﹣6s．若存在，求出这样的实数s，t；若不存在，请说明理由．10．（2020•丰台区模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣6mx+9m+1（m≠0）．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若抛物线与x轴的两个交点分别为A和B点（点A在点B的左侧），且AB＝4，求m的值．（3）已知四个点C（2，2）、D（2，0）、E（5，﹣2）、F（5，6），若抛物线与线段CD 和线段EF都没有公共点，请直接写出m的取值范围．11．（2020•长沙模拟）已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2＝0．（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；（2）当抛物线y＝kx2+（2k+1）x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数时，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象确定实数a的取值范围；（3）将（2）中的抛物线向右平移m（3≤m≤6）个单位，与x轴的两个交点分别为A（x1，0），B（x2，0），若1M =1x1+1x2，求M的取值范围．12．（2021秋•西城区校级期中）已知抛物线l1与l2形状相同，开口方向不同，其中抛物线l1：y＝ax2﹣8ax−72交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），且AB＝6；抛物线l2与l1交于点A和点C（5，n）．（1）求抛物线l1，l2的表达式；（2）当抛物线l1与l2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大时，求x的取值范围；（3）直线MN∥y轴，交x轴，l1，l2分别相交于点P（m，0），M，N，当1≤m≤7时，求线段MN的最大值．。

高考数学十年真题专题解析—极坐标系与参数方程

极坐标系与参数方程考点116平面直角坐标系中的伸缩变换考点117极坐标和直角坐标的互化1．(2020全国Ⅱ文理21)已知曲线12,C C 的参数方程分别为2124cos ,:4sin x C y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)，21,:1x t tC y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)．(1)将12,C C 的参数方程化为普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设12,C C 的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程．【解析】(1)由22cos sin 1θθ+=得1C 的普通方程为：4x y +=，由11x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得：2222221212x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，两式作差可得2C 的普通方程为：224x y -=．(2)由2244x y x y +=⎧⎨-=⎩得：5232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即53,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．设所求圆圆心的直角坐标为(),0a ，其中0a >，则22253022a a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：1710a =，∴所求圆的半径1710r =，∴所求圆的直角坐标方程为：22217171010x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22175x y x +=，∴所求圆的极坐标方程为17cos 5ρθ=．2．(2020全国Ⅲ文理22)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为222,23x t t y t t⎧=--⎪⎨=-+⎪⎩(t 为参数且1t ≠)，C 与坐标轴交于,A B 两点．(1)求AB ；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程．【解析】(1)令0x =，则220t t +-=，解得2t =-或1t =(舍)，则26412y =++=，即(0,12)A ．令0y =，则2320t t -+=，解得2t =或1t =(舍)，则2244x =--=-，即(4,0)B -．AB ∴==．(2)由(1)可知12030(4)AB k -==--，则直线AB 的方程为3(4)y x =+，即3120x y -+=．由cos ,sin x y ρθρθ==可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120ρθρθ-+=．3．(2020江苏22)在极坐标系中，已知点1π(,)3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上，点2π(,6B ρ在圆:4sinC ρθ=上(其中0ρ≥，02θπ≤<)．(1)求1ρ，2ρ的值(2)求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．【解析】(1)1122cos24;4sin 236ππρρρρ=∴==∴=Q Q ．(2)5cos 2,4sin 4sin cos 2,sin 21[0,2),44ππρθρθθθθθπθ==∴=∴=∈∴=Q Q ，当4πθ=时ρ=；当54πθ=时0ρ=-<(舍)；即所求交点坐标为当)4π．4．(2019全国II 文理22)在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ．(1)当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程；(2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．【解析】(1)因为()00,M ρθ在C 上，当03θπ=时，04sin 3ρπ==由已知得||||cos23OP OA π==．设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点．在Rt OPQ △中cos ||23OP ρθπ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，经检验，点(2,)3P π在曲线cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭上．所以，l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．(2)设(,)P ρθ，在Rt OAP △中，||||cos 4cos ,OP OA θθ==即 4cos ρθ=．．因为P 在线段OM 上，且AP OM ⊥，故θ的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以，P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π．5．(2019全国III 文理22)如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，4C 3π，(2,)D π，弧 AB ， BC ， CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧 AB ，曲线2M 是弧 BC ，曲线3M 是弧 CD．(1)分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；(2)曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标．【解析】(1)由题设可得，弧 ,,AB BCCD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=，2sin ρθ=，2cos ρθ=-，所以1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．(2)设(,)P ρθ，由题设及(1)知若π04θ，则2cos θ=，解得π6θ=；若π3π44θ ，则2sin θ=π3θ=或2π3θ=；若3ππ4θ ，则2cos θ-=，解得5π6θ=．综上，P 的极坐标为π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭．考点118参数方程与普通方程的互化6．(2020上海14)已知直线方程3410x y ++=的一个参数方程可以是()A ．1314x ty t=+⎧⎨=-+⎩B ．1413x t y t=-⎧⎨=--⎩C ．1314x t y t=-⎧⎨=-+⎩D ．1413x t y t=+⎧⎨=--⎩【答案】D【解析】A ．参数方程可化简为4370x y --=，故A 不正确；B ．参数方程可化简为3470x y --=，故B 不正确；C ．参数方程可化简为4310x y +-=，故C 不正确；D ．参数方程可化简为3410x y ++=，故D 正确．故选D ．7．(2018全国Ⅲ)[选修4—4：坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy 中，O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数)，过点(0,且倾斜角为α的直线l 与O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．【解析】(1)O 的直角坐标方程为221x y +=．当2απ=时，l 与O 交于两点．当2απ≠时，记tan k α=，则l 的方程为y kx =-．l 与O 交于两点当且仅当1<，解得1k <-或1k >，即(,)42αππ∈或(,)24απ3π∈．综上，α的取值范围是(,44π3π．(2)l的参数方程为cos ,(sin x t t y t αα=⎧⎪⎨=+⎪⎩为参数，44απ3π<<)．设A ，B ，P 对应的参数分别为A t ，B t ，P t ，则2A BP t t t +=，且A t ，B t满足2sin 10t α-+=．于是A B t t α+=，P t α=．又点P 的坐标(,)x y满足cos ,sin .P P x t y t αα=⎧⎪⎨=+⎪⎩所以点P的轨迹的参数方程是22,2cos 222x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(α为参数，44απ3π<<)．考点119极坐标方程与参数方程的综合应用8．(2018北京文理)在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆=2cos ρθ相切，则a =___．【答案】1【解析】利用cos x ρθ=，sin y ρθ=，可得直线的方程为0x y a +-=，圆的方程为22(1)1x y -+=，所以圆心(1,0)，半径1r =，由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即1=，∴1a =或1，又0a >，∴1a =+．9．(2017北京文理)在极坐标系中，点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=上，点P 的坐标为(1,0))，则||AP 的最小值为___________．【答案】1【解析】圆的普通方程为222440x y x y +--+=，即22(1)(2)1x y -+-=．设圆心为(1,2)C ，所以min ||||211AP PC r =-=-=．10．(2017天津文理)在极坐标系中，直线4cos(106ρθπ-+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为_____．【答案】2【解析】直线的普通方程为210y ++=，圆的普通方程为22(1)1x y +-=，因为圆心到直线的距离314d =<，所以有两个交点．11．(2016北京文理)在极坐标系中，直线cos sin 10ρθθ-=与圆2cos ρθ=交于,A B 两点，则||AB =．【答案】2【解析】将cos sin 10ρθθ-=化为直角坐标方程为10x --=，将ρ=2cos θ化为直角坐标方程为22(1)1x y -+=，圆心坐标为(1，0)，半径r=1，又(1，0)在直线10x -=上，所以|AB|=2r=2．12．(2015广东文理)已知直线l 的极坐标方程为2sin()24πρθ-=，点Α的极坐标为722,)4πA (，则点Α到直线l 的距离为．【答案】522【解析】由2sin()24πρθ-=得22(sin cos )22ρθθ´-=，所以1y x -=，故直线l 的直角坐标方程为10x y -+=，而点7(22,)4A π对应的直角坐标为(2,2)A -，所以点(2,2)A -到直线l ：10x y -+=的距离为|221|5222++=．13．(2015安徽文理)在极坐标系中，圆8sin ρθ=上的点到直线()3R πθρ=∈距离的最大值是．【答案】6【解析】圆8sin ρθ=即28sin ρρθ=，化为直角坐标方程为22(4)16x y +-=，直线3πθ=，则tan 3θ=，化为直角坐标方程为30x y -=，圆心(0,4)到直线的距离为|4|24-=，所以圆上的点到直线距离的最大值为6．14．(2020全国Ⅰ文理21)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k kx t y t⎧=⎨=⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=．(1)当1k =时，1C 是什么曲线？(2)当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标．【解析】(1)当1k =时，曲线1C 的参数方程为cos ,sin x t y t=⎧⎨=⎩(t 为参数)，两式平方相加得221x y +=，∴曲线1C 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆．(2)当4k =时，曲线1C 的参数方程为44cos ,sin x t y t⎧=⎨=⎩(t 为参数)，∴0,0x y ≥≥，曲线1C 的参数方程化为22cos (sin x tt y t==为参数)，两式相加得曲线1C 方程为1x y +=，得1y x =-，平方得1,01,01y x x y=-+≤≤≤≤，曲线2C的极坐标方程为4cos16sin30ρθρθ-+=，曲线2C直角坐标方程为41630x y-+=，联立12,C C方程1,41630y xx y⎧=-+⎪⎨-+=⎪⎩，整理得12130x-=12=136=(舍去)，11,44x y∴==，12,C C∴公共点的直角坐标为11(,)44．15．(2019全国1文理22)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2221141txttyt⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos sin110ρθθ+=．(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值．【解析】(1)因为221111tt--<≤+，且()22222222141211y t txt t⎛⎫-⎛⎫+=+=⎪⎪+⎝⎭⎝⎭+，所以C的直角坐标方程为221(1)4yx x+=≠-．l的直角坐标方程为2110x++=．(2)由(1)可设C的参数方程为cos,2sinxyαα=⎧⎨=⎩(α为参数，ππα-<<)．C上的点到lπ4cos113α⎛⎫-+⎪=．当2π3α=-时，π4cos113α⎛⎫-+⎪⎝⎭取得最小值7，故C上的点到l．16．(2018全国Ⅰ文理)在直角坐标系xOy中，曲线1C的方程为||2y k x=+．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为22cos30ρρθ+-=．(1)求2C的直角坐标方程；(2)若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程．【解析】(1)由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=．(2)由(1)知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为22=，故43k =-或0k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点．当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为22=，故0k =或43k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点．综上，所求1C 的方程为4||23y x =-+．17．(2018全国Ⅱ文理)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,4sin ,=⎧⎨=⎩x θy θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为1cos 2sin =+⎧⎨=+⎩x t αy t α(t 为参数)．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．【解析】(1)曲线C 的直角坐标方程为221416+=x y ．当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan αα=⋅+-y x ；当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1=x ．(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程22(13cos )4(2cos sin )80ααα+++-=t t ．①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120+=t t ．又由①得1224(2cos sin )13cos ααα++=-+t t ，故2cos sin 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2α==-k ．18．(2018江苏)在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．【解析】因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ，所以曲线C 的圆心为(2,0)，直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=，则直线l 过(4,0)A ，倾斜角为π6，所以A 为直线l 与圆C 的一个交点．设另一个交点为B ，则∠OAB=π6，连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA=π2，所以π4cos 6AB ==．因此，直线l 被曲线C截得的弦长为．19．(2017全国Ⅰ文理)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数)，直线l 的参数方程为41x a ty t=+⎧⎨=-⎩(t 为参数)．(1)若1a =-，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l，求a ．【解析】(1)曲线C 的普通方程为2219x y +=．当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=．由2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，2124(,2525-．(2)直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l的距离为d =．当4a -≥时，d=，所以8a =；当4a <-时，d=16a =-．综上，8a =或16a =-．20．(2017全国Ⅱ文理)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．(1)M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为(2,3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．【解析】(1)设P 的极坐标为(,)ρθ(0)ρ>，M 的极坐标为1(,)ρθ1(0)ρ>．由椭圆知||OP ρ=，14||cos OM ρθ==．由||||16OM OP ⋅=得2C 的极坐标方程4cos ρθ=(0)ρ>，因此2C 的直角坐标方程为22(2)4(0)x y x -+=≠．(2)设点B 的极坐标为(,)B ρα(0)B ρ>．由题设知||2OA =，4cos B ρα=，于是OAB ∆面积1||sin 2B S OA AOB ρ=⋅⋅∠4cos |sin()|3παα=-32|sin(2|32πα=--2+≤当12πα=-时，S取得最大值2+OAB ∆面积的最大值为2+．21．(2017全国Ⅲ文理)在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为2x ty kt =+⎧⎨=⎩(t 为参数)，直线2l 的参数方程为2x mm y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(m 为参数)．设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设3l ：(cos sin )ρθθ+-0=，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径．【解析】(1)消去参数t 得1l 的普通方程():l y k x =-12，消去参数m 得2l 的普通方程():l y x k=+212．设(,)P x y ，由题设得()()y k x y x k ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩212，消去k 得()x y y -=≠2240，所以C 的普通方程为()x y y -=≠2240．(2)C 的极坐标方程为()cos sin ρθθ-=2224(),θπθπ≠0＜＜2，联立()()cos sin cos sin ρθθρθθ⎧-=⎪⎨⎪⎩2224+得()cos sin cos sin θθθθ-=2+，故tan θ=-13，从而cos sin θθ2291=，=1010，代入()cos sin ρθθ222-=4得ρ2=5，所以交点M22．(2017江苏)在平面坐标系中xOy 中，已知直线l 的参考方程为82x tty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，曲线C 的参数方程为22x s y ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．【解析】直线l 的普通方程为280x y -+=．因为点P 在曲线C上，设2(2,)P s ，从而点P 到直线l的的距离22d ==s =min 455d =．因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上点P 到直线l的距离取到最小值5．23．(2016全国I 文理)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x a ty a t =⎧⎨=+⎩(t 为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：4cos ρθ=．(I)说明1C 是哪种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；(II)直线3C 的极坐标方程为0=a θ，其中0a 满足0tan =2a ，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a ．【解析】(1)cos 1sin x a t y a t=⎧⎨=+⎩(t 均为参数)，∴()2221x y a +-=①∴1C 为以()01，为圆心，a 为半径的圆．方程为222210x y y a +-+-=．∵222sin x y y ρρθ+==，，∴222sin 10a ρρθ-+-=，即为1C 的极坐标方程．(2)24cos C ρθ=：，两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθρρθ==+= ，，224x y x ∴+=，即()2224x y -+=②3C ：化为普通方程为2y x =，由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C ，①—②得：24210x y a -+-=，即为3C ，∴210a -=，∴1a =．24．(2016全国II 文理)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为()22625x y ++=．(I)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(II)直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩(t 为参数)，l 与C 交于A 、B 两点，10AB =，求l 的斜率．【解析】(Ⅰ)整理圆的方程得2212110x y +++=，由222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩可知圆C 的极坐标方程为212cos 110ρρθ++=．(Ⅱ)记直线的斜率为k ，则直线的方程为0kx y -=，由垂径定理及点到直线距离公式知：226102521kk ⎛⎫-=- ⎪ ⎪+⎝⎭，即22369014k k =+，整理得253k =，则153k =±．25．(2016全国III 文理)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()224ρθπ+=．(Ⅰ)写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；(Ⅱ)设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标．【解析】(Ⅰ)1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=．(Ⅱ)由题意，可设点P 的直角坐标为3,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值，即为P 到2C的距离()d α的最小值，|3cos sin 4|()2|sin()2|32d ααπαα+-==+-．当且仅当2()6k k Z παπ=+∈时，()d α2，此时P 的直角坐标为31(,)22．26．(2016江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为()11,23,2x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，椭圆C 的参数方程为()cos ,2sin ,x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数，设直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，求线段AB 的长．【解析】椭圆C 的普通方程为2214y x +=，将直线l 的参数方程11232x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入2214y x +=，得223()12(1)124t ++=，即27160t t +=，解得10t =，2167t =-，所以1216||7AB t t =-=．27．(2015全国Ⅰ文理)在直角坐标系xOy 中，直线1C ：2x =-，圆2C ：22(1)(2)1x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求1C ，2C 的极坐标方程；(Ⅱ)若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求2C MN ∆的面积．【解析】(Ⅰ)因为cos ,sin x y ρθρθ==，∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=．(Ⅱ)将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得23240ρρ-+=，解得1ρ=222ρ2，|MN|=1ρ－2ρ2，因为2C 的半径为1，则2C MN 的面积o121sin 452⨯=12．28．(2015全国Ⅱ文理)在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：cos ,sin ,x t y t αα=⎧⎨=⎩(t 为参数，t ≠0)其中0απ<≤，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：2sin ρθ=，3C ：23ρθ=．(Ⅰ)求2C 与3C 交点的直角坐标；(Ⅱ)若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，求||AB 的最大值．【解析】(Ⅰ)曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，曲线3C的直角坐标方程为220x y +-=．联立222220,0,x y y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩解得0,0,x y =⎧⎨=⎩或3,23,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2C 与1C 交点的直角坐标为(0,0)和33,22．(Ⅱ)曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<．因此A 得到极坐标为(2sin ,)αα，B的极坐标为,)αα．所以2sin AB αα=-4in(3s πα=-，当56πα=时，AB 取得最大值，最大值为4．29．(2015江苏)已知圆C的极坐标方程为2sin(404πρθ+--=，求圆C 的半径．【解析】以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xoy ．圆C的极坐标方程为2sin cos 4022ρθθ⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭，化简，得22sin 2cos 40ρρθρθ+--=．则圆C 的直角坐标方程为222240x y x y +-+-=，即()()22116x y -++=，所以圆C．30．(2015陕西文理)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为13232x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρθ=．(Ⅰ)写出⊙C 的直角坐标方程；(Ⅱ)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．【解析】(Ⅰ)由2,sin ρθρθ==得，从而有(2222+,+3x y x y =-=所以．(Ⅱ)设13(3t,t),22P +又，则|PC |==，故当t =0时，|PC |取最小值，此时P 点的直角坐标为(3,0)．31．(2014全国Ⅰ文理)已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t=+⎧⎨=-⎩(t 为参数)．(Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(Ⅱ)过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值．【解析】2cos .().3sin .x y θθθ=⎧⎨=⎩（I）曲线C的参数方程为为参数60.l x y +-=直线的普通方程为2……5分(Ⅱ)cos sin l θθ曲线C上任意一点P(2.3)到的距离为3sin 6.d θθ=+-4)6,tan .sin 303d PA θααα==+-=︒则其中为锐角，且sin 5PA θα当(+)=-1时，取得最大值，最大值为25sin()1.5PA θα+=当时，取得最小值，最小值为32．(2014全国Ⅱ文理)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．(Ⅰ)求C 的参数方程；(Ⅱ)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据(Ⅰ)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．【解析】(I)C 的普通方程为22(1)1(01)x y y -+=≤≤，可得C 的参数方程为1cos ,sin ,x t y t =+⎧⎨=⎩(t 为参数，0t x ≤≤)．(Ⅱ)设D (1cos ,sin )t t +．由(I)知C 是以G(1，0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与t 垂直，所以直线GD 与t 的斜率相同，tan 3t t π==．故D 的直角坐标为(1cos,sin 33ππ+，即33(,22．33．(2013全国Ⅰ文理)已知曲线1C 的参数方程为45cos 55sin x ty t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=．(Ⅰ)把1C 的参数方程化为极坐标方程；(Ⅱ)求1C 与2C 交点的极坐标(0ρ≥，02θπ≤≤)．【解析】将45cos 55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程22(4)(5)25x y -+-=，即1C ：22810160x y x y +--+=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入22810160x y x y +--+=得，28cos 10sin 160ρρθρθ--+=，∴1C 的极坐标方程为28cos 10sin 160ρρθρθ--+=．(Ⅱ)2C 的普通方程为2220x y y +-=，由222281016020x y x y x y y ⎧+--+=⎪⎨+-=⎪⎩解得11x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩，∴1C 与2C 的交点的极坐标分别为4π)，(2,2π．34．(2013全国Ⅱ文理)已知动点P ，Q 都在曲线C ：()2cos 2sin x y βββ=⎧⎨=⎩为参数上，对应参数分别为βα=与2βα=(02απ<<)M 为PQ 的中点．(Ⅰ)求M 的轨迹的参数方程(Ⅱ)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．【解析】(Ⅰ)由题意有()()2cos ,2sin ,2cos 2,2sin 2,P Q αααα因此()cos cos 2,sin sin 2M αααα++，M 的轨迹的参数方程为cos cos 2,sin sin 2,x y αααα=+⎧⎨=+⎩(02απ<<)．(Ⅱ)M 点到坐标原点的距离d ==(02απ<<)，当απ=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点．35．(2012全国文理)已知曲线1C 的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 2y x (ϕ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ．正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且A 、B 、C 、D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为)3,2(π．(Ⅰ)求点A 、B 、C 、D 的直角坐标；(Ⅱ)设P 为1C 上任意一点，求2222||||||||PD PC PB P A +++的取值范围．【解析】(1)点,,,A B C D 的极坐标为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636ππππ，点,,,A B C D 的直角坐标为(1,3),(3,1),(1,3),(3,1)----．(2)设00(,)P x y ；则002cos ()3sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，222222004416t PA PB PC PD x y =+++=++23220sin [32,52]ϕ=+∈．36．(2011全国文理)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数)，M 是1C 上的动点，P 点满足2OP OM =uuu v uuuv，P 点的轨迹为曲线2C (Ⅰ)求2C 的方程(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求AB ．【解析】(I)设(,)P x y ，则由条件知M(,22x y)．由于M 点在1C 上，所以2cos 222sin 2xy αα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩，从而2C 的参数方程为4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数)，(Ⅱ)曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=．射线3πθ=与1C 的交点A 的极径为14sin 3πρ=，射线3πθ=与2C 的交点B 的极径为28sin 3πρ=．所以21||||23AB ρρ-==。

高三数学：专题七选考系列第1讲坐标系与参数方程

(t 为参数 ).
y＝1－t
(1)若 a＝－ 1，求 C 与 l 的交点坐标；
(2)若 C 上的点到 l 距离的最大值为 17，求 a.
解 (1)a＝－ 1 时，直线 l 的普通方程为 x＋4y－ 3＝ 0.
曲线 C 的标准方程是 x92＋ y2＝1，
联立方程
x＋4y－ 3＝ 0， x92＋y2＝1，解得
|－k＋2|
4
所以 k2＋1 ＝ 2，故 k＝－ 3或 k＝ 0.
经检验，当 k＝0 时， l 1 与 C2 没有公共点； 4
当 k＝－ 3时， l 1 与 C2 只有一个公共点， l2 与 C2 有两个公共点 . 当 l2 与 C2 只有一个公共点时， A 到 l2 所在直线的距离为 2，
所以
|k＋2|
解因为曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝4cos θ，
所以曲线 C 是圆心为 (2， 0)，直径为 4 的圆 . 因为直线 l 的极坐标方程为 ρsinπ6－ θ＝2，
π 则直线 l 过 A(4，0)，倾斜角为 6，所以 A 为直线 l 与圆 C 的一个交点 . 设另一个交点为 B，则∠ OAB＝π6. 连接 OB.因为 OA 为直径，从而∠ OBA＝π2，
17
17
其中
tan
φ＝
3 4.
又点 C 到直线 l 距离的最大值为 17.
∴ |5sin(θ＋φ)－4－a|的最大值为 17. 若 a≥0，则－ 5－4－a＝－ 17，∴ a＝ 8. 若 a<0，则 5－4－a＝17，∴ a＝－ 16. 综上，实数 a 的值为 a＝－ 16 或 a＝8. 探究提高 1.将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，

高考数学《坐标系与参数方程》

坐标系与参数方程主标题：坐标系与参数方程副标题：为学生详细的分析坐标系与参数方程的高考考点、命题方向以及规律总结。

关键词：极坐标，参数方程难度：3重要程度：5考点剖析：1．理解坐标系的作用．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．2．会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．3．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程.4．了解参数方程，了解参数的意义．5．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．6．掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题.命题方向：高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用．以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识．规律总结：1．主要题型有极坐标方程、参数方程和普通方程的互化，在极坐标方程或参数方程背景下的直线与圆的相关问题．2．规律方法方程解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题，将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是化归与转化思想的应用．在涉及圆、椭圆的有关最值问题时，若能将动点的坐标用参数表示出来，借助相应的参数方程，可以有效地简化运算，从而提高解题的速度．3．极坐标方程与普通方程互化核心公式⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝y x (x ≠0).4．过点A (ρ0，θ0) 倾斜角为α的直线方程为ρ＝ρ0sin (θ0－α)sin (θ－α).特别地，①过点A (a,0)，垂直于极轴的直线l 的极坐标方程为ρcos θ＝a .②平行于极轴且过点A (b ，π2)的直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝b .5．圆心在点A (ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程为r 2＝ρ2＋ρ20－2ρρ0cos(θ－θ0)．6．重点掌握直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos θy ＝y 0＋t sin θ(t 为参数)，理解参数t 的几何意义.知识梳理1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝y x (x ≠0). 2．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；(3)直线过点M (b ，π2)且平行于极轴：ρsin θ＝b . 3．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (r,0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ；(3)当圆心位于M (r ，π2)，半径为r ：ρ＝2r sin θ. 4．直线的参数方程过定点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．5．圆的参数方程圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)． 6．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)． (2)抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)．。

2020年高考数学二轮复习70分解答题专项特训-专题7坐标系与参数方程(含答案解析)

2020年高考数学二轮复习70分解答题专项特训-专题7坐标系与参数方程1.已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22t ，y ＝22t ＋42(t 为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. (1)判断直线l 与曲线C 的位置关系；(2)设M 为曲线C 上任意一点，求x ＋y 的取值范围.解(1)由⎩⎨⎧x ＝22t ，y ＝22t ＋42，消去t ，得直线l 的普通方程为y ＝x ＋4 2. 由ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，得ρ＝2cos θcos π4－2sin θsin π4＝2cos θ－2sin θ.∴ρ2＝2ρcos θ－2ρsin θ，即x 2－2x ＋y 2＋2y ＝0. 化为标准方程得⎝⎛⎭⎫x －222＋⎝⎛⎭⎫y ＋222＝1. ∴圆心坐标为⎝⎛⎭⎫22，－22，半径为1. ∵圆心到直线l ：x －y ＋42＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪22＋22＋422＝5>1，∴直线l 与曲线C 相离.(2)由M (x ，y )为曲线C 上任意一点，可设⎩⎨⎧x ＝22＋cos α，y ＝－22＋sin α(α为参数，0≤α<2π)，则x ＋y ＝sin α＋cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4， ∵0≤α<2π， ∴π4≤α＋π4<9π4， ∴－2≤2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4≤2， ∴x ＋y 的取值范围是[－2，2].2.(2019·辽南协作体模拟)在平面直角坐标系中，直线l 过原点且倾斜角为π4；曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝33cos α，y ＝sin α(α为参数)；曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋13cos α，y ＝2＋13sin α(α为参数).(1)求直线l 的极坐标方程，曲线C 1和曲线C 2的普通方程；(2)若直线l 与曲线C 1和曲线C 2在第一象限的交点分别为M ，N ，求M ，N 之间的距离. 解 (1)直线l 的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )；曲线C 1 的普通方程为x 213＋y 2＝1；曲线C 2的普通方程为(x －3)2＋(y －2)2＝13. (2)曲线C 1的极坐标方程为ρ2＝11＋2cos 2θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋4sin θ， ∴|ON |＝6cos π4＋4sin π4＝52，|OM |＝11＋2×⎝⎛⎭⎫222＝22，可得|MN |＝|ON |－|OM |＝52－22＝922. 3.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P (m,2)，其参数方程为⎩⎨⎧x ＝m ＋t ，y ＝2－t(t 为参数，m∈R )，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋8cos θ－ρ＝0.(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若已知曲线C 1和曲线C 2交于A ，B 两点，且|P A |＝2|PB |，求实数m 的值.解 (1)C 1的参数方程⎩⎨⎧x ＝m ＋t ，y ＝2－t(t 为参数，m ∈R )，消参得普通方程为x ＋y －m －2＝0.C 2的极坐标方程化为ρ(2cos 2θ－1)＋8cos θ－ρ＝0，两边同乘ρ得2ρ2cos 2θ＋8ρcos θ－2ρ2＝0，即y 2＝4x .即C 2的直角坐标方程为y 2＝4x .(2)将曲线C 1的参数方程标准化为⎩⎨⎧x ＝m －22t ，y ＝2＋22t (t 为参数，m ∈R )，代入曲线C 2：y 2＝4x ，得12t 2＋42t ＋4－4m ＝0，由Δ＝(42)2－4×12×(4－4m )>0，得m >－3，设A ，B 对应的参数为t 1，t 2，由题意得|t 1|＝2|t 2|，即t 1＝2t 2或t 1＝－2t 2，当t 1＝2t 2时，⎩⎨⎧t 1＝2t 2，t 1＋t 2＝－82，t 1·t 2＝2(4－4m )，解得m ＝－239，满足m >－3；当t 1＝－2t 2时，⎩⎨⎧t 1＝－2t 2，t 1＋t 2＝－82，t 1·t 2＝2(4－4m )解得m ＝33，满足m >－3. 综上，m ＝－239或33.4.(2019·昆明质检)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋3cos α，y ＝3sin α(α为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos β，y ＝t sin β(t 为参数，0≤β<π)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C 的极坐标方程；(2)已知直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|OA |－|OB |＝2，求β. 解 (1)由曲线C 的参数方程可得普通方程为(x －2)2＋y 2＝3，即x 2＋y 2－4x ＋1＝0，所以曲线C 的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＋1＝0.(2)由直线l 的参数方程可得直线的极坐标方程为θ＝β(ρ∈R,0≤β<π)，因为直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，所以设A (ρ1，β)，B (ρ2，β)，联立⎩⎨⎧ρ2－4ρcos θ＋1＝0，θ＝β，可得ρ2－4ρcos β＋1＝0，因为Δ＝16cos 2β－4>0，即cos 2β>14，所以|OA |－|OB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2 ＝16cos 2β－4＝2，解得cos β＝±22，又0≤β<π，所以β＝π4或3π4.5.(2019·保山模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.⊙O 的极坐标方程为ρ＝2，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α(t 为参数)，直线l 与⊙O 交于A ，B 两个不同的点. (1)求倾斜角α的取值范围；(2)求线段AB 中点P 的轨迹的参数方程. 解 (1)直线l 的倾斜角为α，当α＝π2时，直线l (即y 轴)与⊙O 交于A ，B 两个不同的点，符合题目要求；当α≠π2时，记k ＝tan α，直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α化为普通方程为kx －y －2＝0，圆心O 到直线l 的距离d ＝21＋k 2. 因为直线l 与⊙O 交于不同的两点，所以21＋k 2<2，解得k >1或k <－1.当k <－1时，直线l 的倾斜角α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π2，3π4；当k >1时，α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，π2，综上，直线l 的倾斜角α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，3π4.(2)⊙O 的极坐标方程为ρ＝2，其直角坐标方程为x 2＋y 2＝2，因直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α(t 为参数)，代入x 2＋y 2＝2中得，t 2－4t sin α＋2＝0，故可设A (t 1cos α，－2＋t 1sin α)， B (t 2cos α，－2＋t 2sin α)，注意到t 1 ，t 2为方程的根，故t 1＋t 2＝4sin α，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫t 1＋t 22cos α，－2＋t 1＋t 22sin α，即(sin 2α，－1－cos 2α)，所以点P 的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝sin 2α，y ＝－1－cos 2α(α为参数).。

高考数学复习专题07 极坐标系与参数方程(原卷版)