高二数学不等关系与不等式1
高二数学不等式的性质1
注意：在解决含字母的代数式问题 时，不要忘记代数式中字母的取值范围， 一般情况下，取值范围是实数集时可以 省略不写． 例 1 、例 2 是用作差比较法来比较两 个实数的大小，其一般步骤是： 作差——变形——判断符号．
这样，就把两个数的大小问题转化 为判断它们差的符号问题，至于差本身 是多少，在此无关紧要．
课堂练习：
1 3. 设a > 0且a 1，t > 0，比较 log a t 2 t 1 与 loga 的大小． 2
当a > 1时，≤；当0 < a < 1时，≥．
4. 设a > 0且a 1，比较loga(a3 + 1)与 > loga(a2 + 1)的大小．
小结：
本节学习了实数的运算性质与大小 顺序之间的关系，并以此关系为依据， 研究了如何比较两个实数的大小，其具 体解题步骤可归纳为： 1. 第一步：作差并化简，其目标应是n 个因式之积或完全平方式或常数的形式； 2. 第二步：判断差值与零的大小关系， 必要时须进行讨论； 3. 第三步：得出结论．
例题讲解
例 2 已知 x≠0 ，比较 (x2+1)2 与 > x4+x2+1 的大小． 分析：此题与例 1 基本类似，也属于 两个代数式比较大小，但是其中的x有一 定的限制，应该在对差值正负判断时引 起注意 ． 本题知识点：乘法公式，去括号法 则，合并同类项．
思考：例2中，若没有x≠0这个条件， 则结论如何？
小结：
简言之就是：
作差→变形→定号→结论． 在某些特殊情况下 ( 如两数均为正， 且作商后易于化简)还可考虑运用作商法 比较大小．它与作差法的区别在于第二 步，作商法是判断商值与1的大小关系．
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“东方红1号”与“神舟7号”部分参数对 比表 近地点s/km 远地点s /km 绕地球一周 飞船质量m/kg
/
t/min “东方红1 号”(a) “神舟7号”(b) a与b进行比较
439 200 Sa>Sb
2384 340 Sa >Sb
/ /
114 90
173 8000
ta a b ab 0 a b ab 0 a b ab 0
布置作业
• 书本P75 A组第3题、B组第1题的 （2）与（4）两小题 • 预习P73~74，基本不等式性质1~8
500 x 600 y 4000 3 x y x0 y 0
我们用数学符号“≠”，“>”，“<”， “≥”，“≤”连接两个数或代数式，以表 示它们之间的不等关系。含有这些不等号 的式子叫做不等式. 数轴上的任意两点中，右边点对应的 实数比左边点对应的实数大.
x A O B
3. 设点A与平面 的距离为d，B为平面 上的任意一点，则 d≤|AB|.
A
d B B
o
B
4、a是一个非负实数.
a≥0
5、右图是限速40km/h的路
标，指示司机在前方路段行 驶时，应使汽车的速度v不 超过40km/h ，写成不等式 是: v≤40
40
6、某品牌酸奶的质量检 查规定，酸奶中脂肪的 含量f应不少于2.5%，蛋 白质的含量p应不少于 2.3%，用不等式可以表 示为：( B )
∵ a 、 、 m 都是正数,且 a b b ∴ m 0, m a 0, a 0, a b 0
∴
bm am
b a
0
∴
bm am
高二数学不等式的性质1-P
性质3：如果a>b，那么a+c>b+c． 即a>b ⇒ a+c>b+c
点评：(1)性质3的逆命题也成立； (2)利用性质3可以得出：如果a+b>c，那么a>c-b，也 就是说，不等式中任何一项改变符号后，可以把它 从—边移到另一边．
推论：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d．(相 加法则)
即a>b， c>d ⇒ a+c>b+d．
1 a
1 b
成立的充要条件是
[]
A．a>b且ab<0 B．a<b且ab>0 C．a>b,ab<0或ab<0
D．a2b-ab2<0
3. 当a>b>c时，下列不等式恒成立的是
[]
A．ab>ac B．(a-b)∣ c-b∣ >0 C．a∣ c∣ >b∣ c∣
D．∣ ab∣ >∣ bc|
4.已知a、b为实数，则“a+b>2”是“a、b中至少有一个大于1”
的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C.充要条件
D. 不充分也不必要条件
5．log m2> log n2的充要条件是 A．n>m>1或1>m>n>0
[] B．1>m>n>0
3.1.2 不等式的性质 课件
不等式的性质（1）
世界上所有的事物不等是绝对的， 相等是相对的。过去我们已经接 触过许多不等式的问题，本章我 们将较系统地研究有关不等式的 性质、证明、解法和应用.
一、不等式的几个基本概念
高二数学不等关系与不等式1
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Байду номын сангаас
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；知识产权律师 知识产权律师
情境导入
问题1：设点A与平面的距离为d，B为 平面上的任意一点，则d≤|AB|.
归纳:
文字语言与数学符号间的转换：
文字语言 大于 小于
大于等于 小于等于
数学符号 > < ≥ ≤
文字语言 至多 至少
不少于 不多于
数学符号 ≤ ≥ ≥ ≤
讲解范例:
例1. 某校学生以面粉和大米为主食.已知 面食每100克含蛋白质6个单位，含淀粉 4个单位；米饭每100克含蛋白质3个单位， 含淀粉7个单位．某快餐公司给学生配餐， 现要求每盒至少含8个单位的蛋白质和10 个单位的淀粉.设每盒快餐需面食x百克、 米饭y百克，试写出x，y满足的条件．
高二数学不等关系与不等式.ppt
x2 1 x 4.已知 a R ,比较 a 1与 2 的大小.
a
两个实数大小比较依据:
⑴a b 0 a b ; ⑵a b 0 a b ; ⑶a b 0 a b .
(作差比较法)
这一结论虽很简单,但却是我们 推导不等式的性质或证明其他不等 式的基础.
对于不等式在初中我们已经接触过,知道不等式的基本性 质与等式的基本性质是有所不同的,为什么会这样呢?
这一章主要从实数的基本性质及不等式的基本概念出发, 一步步系统认识不等式,掌握一些不等式,从而为以后进一步学 习数学和其它学科运用不等式打好基础.
首先从实数大小比较说起……
对于任意两个实数 a、b，在 a＞b，a = b，a＜b 三种关系中有且仅有一种成立．
作差
(a2 2a 15) (a2 2a 8) 变形
7
∴ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4) <0 定符号
∴ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4) 确定大小
例 2 已知 x≠0，比较 (x2 1)2 与 x4 x2 1的大小．
解: ∵ (x2 1)2 (x4 x2 1)
作差
x4 2x2 1 (x4 x2 1) x2
变形
∴当 x 0 时, (x2 1)2 (x4 x2 1) 0 定符号
∴当 x 0 时, (x2 1)2 (x4 x2 1) 确定大小
例 3 已知 a 、b 、m 都是正数,且 a b ,求证: b m b am a
证明: ∵ b m b (b m)a (a m)b
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高二数学-不等式与不等关系(
二、题型探究
考点二 比较大小
【比较大小的常用方法】
(1)作差法，步骤：作差⇒变形（因式分解）⇒判断差与 0 的大小⇒得出结论．
(2)作商法，步骤：作商⇒变形（因式分解）⇒判断商与 1 的大小⇒得出结论．（同号）
(3)构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小．
(4)赋值法和排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出 结论． (5)中间量法：一般选取 0，1 或 -1 作为中间值．
三、随堂练习
1. 思考辨析，判断正误 (1)两个实数 a，b 之间，有且只有 a＞b，a＝b，a＜b 三种关系中的一种． √
(2)一个不等式的两边同时加上或乘同一个数，不等号方向不变． × (3)一个非零实数越大，则其倒数就越小． ×
(4)a>b⇔ac2>bc2. ×
(5)若 a>b 且 ab<0，则1<1. ab
二、题型探究
考点二 比较大小
例 4（1）已知实数 a＝2ln2，b＝2＋2ln2，c＝(ln2)2，则 a，b，c
的大小关系是( B )
A．c＜b＜a B．c＜a＜b
C ．b ＜a ＜c
D．a＜c＜b
∵a＝2ln2∈(1，2)，b＝2＋2ln2＞2，c＝(ln2)2∈(0，1)∴b＞a＞c，选 B.
一、知识回顾
[ 常用结论]
1．倒数性质的几个必备结论 (1)a＞b，ab＞0⇒1a＜1b. (3)a＞b＞0,d＞c＞0⇒ac＞bd .
(2)a＜0＜b⇒1a＜1b. (4)0＜a＜x＜b 或 a＜x＜b＜0⇒1b＜1x＜1a.
2．两个重要不等式 若 a＞b＞0，m＞0，则 (1)ba＜ba＋ ＋mm；ba＞ba－ －mm(b－m＞0)． (2)ab＞ab＋ ＋mm；ab＜ab－ －mm(b－m＞0)．
高二数学基本不等式知识点
高二数学基本不等式知识点一、不等式的基本性质在学习不等式之前，我们先来了解一下不等式的基本性质。
不等式具有以下性质：1. 若不等式两边同时加（减）一个相同的正（负）数，不等式的不等关系不变。
2. 若不等式两边同时乘（除）一个相同的正（负）数，不等式的不等关系不变。
但是需注意，当乘（除）以一个负数时，不等号方向需要颠倒。
3. 若不等式两边交换位置，不等号方向需要颠倒。
二、基本不等式1. 两个正数的不等式：若a > 0，b > 0，则a > b等价于a² > b²。
2. 两个负数的不等式：若a < 0，b < 0，则a > b等价于a² < b²。
3. 正负数的不等式：若a > 0，b < 0，则a > b等价于a² < b²。
4. 平方不等式：若x > 0，y > 0，则x < y等价于√x < √y。
同理，对于x < 0，y < 0的情况，不等号方向需要颠倒。
5. 两个正数与一个负数的不等式：若a > 0，b > 0，c < 0，则a > b等价于 -a < -b，a * c > b * c。
三、不等式的解集表示法当我们解不等式时，需要将解表示出来。
不等式的解集表示法有以下几种形式：1. 区间表示法：用数轴上的区间表示解集。
例：对于不等式x > 3，解集可以用开区间(3, +∞)表示。
2. 图形表示法：我们可以通过图形的方式表示解集。
例：对于不等式x ≤ -2，解集可以用沿x轴方向的线段表示。
3. 集合表示法：用集合的形式表示解集。
例：对于不等式2 < x ≤ 5，解集可以用集合表示为{x | 2 < x ≤ 5}。
四、不等式的应用不等式是数学中常见的工具，在现实生活中也有广泛的应用。
高二数学不等关系与不等式
的简报中医师名录听者莫不撕小纸片记录……。彷佛太平盛世就应该这样，每件事都跟昨天、前天没什么差别。一位迟到妈妈拉著尚未换穿球衣、头发睡歪一边的儿子小跑步而来，手上还捧著纸碗装蚵仔面线，由於限塑政策推行彻底，一支小汤匙只好含在嘴里，就这么快快快抵达树荫下，
立刻有几只妈妈手围上来替男孩剥衣换服下一秒钟他就像走出电话亭的超人，直接上场了。 ? 唉，在太平盛世的范围，早起算是相当痛苦的。 ? 你坐在布满粉紫草花的草地上，看这浮世一角看得趣味盎然，甚至还不想打开手中诗集。你不禁想，浮生之所以有趣，在於允许你隐身於安全
一粒吃又揣了一粒在口袋，再将它放回原处，装作啥事都不知晓。过不了几日，便会听到她的抱怨：“半包软糖仔那是你们阿姑买给我的，放在棉被堆里也给你们偷拿去呷。看看，剩三粒，比日本仔还野！夭鬼囡仔，我藏到无路啰！－－喏，敏嫃，剩这粒给你。”
?我
的确是特权了，可以分享到阿嬷的卷仔饼，及她那个年代的甜处。于是，公事包里常常有些奇怪的东西：五条卷仔饼、一把纽仔饼、六粒龙眼球、两块爆米香、一块红龟仔果......我便拿着去普渡众生，遇到谁就给谁。回到家，阿嬷还要问食后心得：“好呷莫？”我说：“马马虎虎啦，
气息。扑蝶事件将成为他生命中的奇异点，此後因不断被引述、传诵而有了亮度。浮生甚暖，一陌生男孩抓到奇异光点时，你正好在现场。 ? 中场休息。孩子奔来，肥鸭们赶忙递水、擦汗、喂面包、抹驱蚊膏。你打开波兰女诗人辛波丝卡诗集，阳光捆著你的眼眸放在〈越南〉那页： ?
妇人，你叫什么名字？── 我不知道。 ? 你生於何时，来自何处？──我不知道。 ? 你为什么在地上挖洞？──我不知道。 ? 你在这里多久？」──我不知道。 ? 你看著树荫下十多个家庭的寻常早晨，相信太平盛世里所有的缺口都有办法弥补，即使「挖洞」这讨人厌的事，也能找
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理论迁移
例3
已知
12<a<60,15<b<36，求
a－b
及a的取值范围． b
解 ∵15<b<36， ∴－36<－b<－15. ∴12－36<a－b<60－15， ∴－24<a－b<45. 又316<1b<115，∴1326<ab<6105，∴13<ab<4.
∴－24<a－b<45，1<a<4. 3b
减少 x 2.5 0.2万本
0.1
数学应用
1.某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以 售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元销售 量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价 设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低 于20万元呢？
解：设每本杂志价格为x元，根据题意，
得
x(8 x 2.5 0.2) 20
那么ac bc.
(乘法法则)
自主学习 课本73~74页内容
(5)如果a b, c d, 那么a c b d. (同向不等式相加) (推论)如果a b, c d, 那么a c b d.
(6)如果a b 0, c d 0, 那么ac bd. (乘法法则)
分析:假设截得 500mm 的钢管 x 根，截得 600mm 的钢管 y 根.
根据题意，应有如下的不等关系：
⑴解得两种钢管的总长度不能超过 4000mm；
⑵截得 600mm 钢管的数量不能超过 500mm 钢管数量的 3 倍；
⑶解得两钟钢管的数量都不能为负。
500x 600 y ≤ 4000
由以上不等关系，可得不等式组： 3x ≥ y
3.1 不等关系与不等式(1)
安阳县实验中学“四步教学法”导学案
Anyangxian shiyan zhongxue sibujiaoxuefa daoxuean
课题：3．1不等关系与不等式
制单人：田志龙审核人：高二数学组
班级：________组名：________姓名：________时间：__
一.自主学习
1学习目标
1、使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，在学生了解了一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，能列出不等式与不等式组.
2、使学生掌握常用不等式的基本基本性质；
3、会将一些基本性质结合起来应用.
4、学习如何利用不等式的有关基本性质研究不等关系；
2学习指导
阅读教材P72-74,回答下面问题：
归纳：作差比较法的步骤是：
1、作差；
2、变形：配方、因式分解、通分、分母（分子）有理化等；
3、判断符号；
4、作出结．
3、已知 求证：
二.合作交流
1比较 与 （其中 ， ）的大小
说明：不等式 （ ， ）在生活中可以找到原型： 克糖水中有 克糖（ ），若再添加 克糖（ ），则糖水便甜了．
2.如果30＜x＜42，1６＜y＜24，求x＋y，x－2y及 的取值范围.
1、比较两实数大小的理论依据是什么？
2、常用的不等式的基本性质
（1）（对称性）
（2）（传递性）
（3）（可加性）
（4）（可乘性）
（5）（同向不等式的可乘性）
（6）（可乘方性、可开方性）
3自学检测
1、比较(a＋3)（a－５）与（a＋2）（a－4）的大小.
2、已知x≠0，比较（x2＋1）2与x4＋x2＋1的大小.
4．若a、b、c ，a>b,则下列不等式成立的是（）
高二文科数学第一学期期末复习《不等式关系及不等式》(含答案)
高二文科数学第一学期期末复习《不等式关系及不等式》一、 知识点回顾： 考点一：不等式的解法例1：不等式2320x x -+>的解集是 A ．{}21x x x <->-或 B ．{}12x x x <>或C ．{}12x x <<D ．{}21x x -<<-练习1： 不等式102x x +≥-的解集为 A ．{|12}x x -≤≤B ．{|12}x x -≤<C ．{|1x x ≤-或2}x ≥D ．{|1x x ≤-或2}x >练习2：函数y 的定义域为 ．练习3：若不等式ax 2＋bx －2>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2<x <－14，则a ＋b 等于( )A ．－18B ．8C ．－13D ．1练习4：已知不等式2230x x --<的解集为A ，不等式2450x x +-<的解集为B . （1）求A B ；（2）若不等式20x ax b ++<的解集是AB ，求20ax x b ++<的解集.练习5:设已知条件2:8200p x x -->；:q 1x a >+或1x a <-；若q ⌝是p ⌝的充分而不必要条件，求正实数a 的取值范围．考点二：二元一次不等式组和线性规划问题例2：若 226x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则目标函数3z x y =+的取值范围是 ．练习6：如果实数,x y 满足:102010x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数4z x y =+的最大值为A ．2B ．3C ．27D ．4练习7:221x y x y +--+()()0≥表示的平面区域是练习8:某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．那么通过合理安排生产计划，每天生产的甲、乙两种产品分别多少桶时，公司共可获得的最大利润？并求出该最大利润.★例3：已知点P （x ，y ）的坐标满足条件41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨≥⎪⎩，点O 为坐标原点，那么|PO |的最小值等于 ，最大值等于 ．★练习9：若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，则yx －1的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．[1，＋∞) 考点三：基本不等式及应用重要不等式：对于任意实数,a b ，有22____2a b ab +，当且仅当________时，等号成立.基本不等式：设,(0,)a b ∈+∞，则2a b+________时，不等式取等号. 例4：已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为练习10：在下列各函数中，最小值等于2的函数是( )A ．y ＝x ＋1xB ．y ＝cos x ＋1cos x (0<x <π2)C ．y ＝x 2＋3x 2＋2D ．y ＝e x ＋4e x －2练习11：已知正项等比数列{}n a 满足：7652a a a =+，如果存在两项m n a a 和14a ，则14m n+的最小值为 A ．32 B ．53 C ．256D ．不存在练习12:国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值（美元）与其重量（克拉）的平方成正比，且一颗重为3克拉的该钻石的价值为54000美元． （Ⅰ）写出钻石的价值y 关于钻石重量x 的函数关系式；（Ⅱ）把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m 克拉和n 克拉，试证明：当n m =时，价值损失的百分率最大．（注:价值损失的百分率=100%-⨯原有价值现有价值原有价值；在切割过程中的重量损耗忽略不计）★练习13：证明不等式：a ，b ，c ∈R ，a 4＋b 4＋c 4≥abc (a ＋b ＋c )．二、 基础自测： 1．如果1a b <<-，则有A ．2211b a b a <<< B ．2211a b b a <<< C ．2211b a a b <<<D ．2211a b a b <<<2．不等式组300x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩表示的平面区域的面积等于A ．29 B ．9 C ．227 D ．183．下列二元一次不等式组可用来表示图中阴影部分表示的平面区域的是A ．10220x y x y +-≥⎧⎨-+≥⎩B ．10220x y x y +-≤⎧⎨-+≤⎩C ．10220x y x y +-≥⎧⎨-+≤⎩D ．10220x y x y +-≤⎧⎨-+≥⎩4. 若A ＝(x ＋3)(x ＋7)，B ＝(x ＋4)(x ＋6)，则A 、B 的大小关系为________．5．已知命题p ：44x a -<-<，命题q ：230x x --<()()，且q 是p 的充分而不必要条件，求a 的取值范围.高二文科数学第一学期期末复习《不等式关系及不等式》答案例1、B 练1、D 2、[-1,6] 3、C练4、解：（1）解不等式2230x x --<，得{}|13A x x =-<<……2分解不等式2450x x +-<，得{}|51B x x =-<< ……4分{}|53A B x x ∴=-<< ……6分（2）由20x ax b ++<的解集是（－5,3） ∴2550930a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得215a b =⎧⎨=-⎩……8分22150x x ∴+-< ，-3＜x ＜25， ……10分故不等式解集为5|32x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭……12分 练5、解: 由020x 8x 2>-- 解得:10x >或2x -< ……3分又因:q a 1x +>或a 1x -<∴ p ⌝:10x 2≤≤-, q ⌝:a 1x a 1+≤≤- ……6分 q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，∴⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤+>2a 110a 10a ……10分解得: 3a 0≤<所以所求a 的取值范围是(]3,0. ……12分例2、[]14,8 练6、C 练7、A练8、解：设每天分别生产甲产品x 桶，乙产品y 桶，相应的利润为z 元， 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0，z ＝300x ＋400y ， ………… 6分在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x ＋400y ＝0， …………10分 平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点A (4,4)时，相应直线在y 轴上的截距达到最大， …………12分此时z ＝300x ＋400y 取得最大值，最大值是z ＝300×4＋400×4＝2 800，即该公司生产甲产品4桶乙产品4桶时可获得的最大利润是2 800元． …………14分 例3、10;2 练9、B例4、-2 练10、D 练11、A练12、解：（Ⅰ）由题意可设价值与重量的关系式为：2kx y = ………… 2分 ∵ 3克拉的价值是54000美元∴ 23k 54000⋅=解得：6000k = ………… 4分 ∴ 2x 6000y ⋅=答：此钻石的价值与重量的函数关系式为2x 6000y ⋅=. …… 6分（Ⅱ）若两颗钻石的重量为m 、n 克拉 则原有价值是()2n m 6000+，现有价值是22n 6000m 6000+ ………… 8分 价值损失的百分率=()()%100n m 6000n 6000m 6000n m 60002222⨯+--+ ()()21n m 2n m 2%100n m mn 2222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯≤⨯+= ………… 11分 当且仅当n m =时取等号答：当n m =时,价值损失的百分率最大. ………… 14分练习13：证明 ∵a 4＋b 4≥2a 2b 2，b 4＋c 4≥2b 2c 2，c 4＋a 4≥2c 2a 2，∴2(a 4＋b 4＋c 4)≥2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2) 即a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.又a 2b 2＋b 2c 2≥2ab 2c ，b 2c 2＋c 2a 2≥2abc 2， c 2a 2＋a 2b 2≥2a 2bc .∴2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)≥2(ab 2c ＋abc 2＋a 2bc )， 即a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2≥abc (a ＋b ＋c )． ∴a 4＋b 4＋c 4≥abc (a ＋b ＋c )．二、基础自测：1、A2、B3、A4、A<B5. 解： 设q ，p 表示的范围为集合A ，B ，则A ＝(2,3)，B ＝(a －4，a ＋4)． ………… 4分 由于q 是p 的充分而不必要条件，则有A 是B 的真子集， ………… 6分即⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4>3或 ⎩⎪⎨⎪⎧a －4<2，a ＋4≥3，………… 10分解得－1≤a ≤6. ………… 12分。
高二人教A版必修5教案：3-1不等关系与不等式
提高 0.1 元，销量就相应地减少 2000 本。若把提价后杂志的定价设为 x 元，怎样用不等式
表示销售的总收入还不底于 20 万元呢？
（教师示范 → 学生板演 → 小结）
3、小结：文字语言与数学语言之间的转换，实数的运算性质与大小顺序之间的关系.
三、巩固练习：
１.某电脑拥护计划使用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元、70 元的单片软件和盒装
教学重点：理解不等式的性质及其证明.
教学难点：从实际的不等关系中抽象出具体的不等式.
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问：实数的运算性质与大小顺序之间的关系
2. 设点Ａ与平面 之间的距离为 d，Ｂ为平面 上任意一点，则点Ａ与平面 的距离小于
或等于Ａ，Ｂ两点间的距离，请将上述不等关系写成不等式.
二、讲授新课：
三、本节难点
用不等式（组）正确表示出不等关系。
四、知识储备
“作差法”比较两个实数的大小和常用的不等式的基本性质 ① 用“作差法”比较两个实数大小的关键是判断差的正负，常采用配方、因式分解、有理
化等方法.常用的结论有 x2 0，− x2 0，|x| 0，-|x| 0 等.
② “作差法”的一般步骤是： ①作差；②变形；③判断符号；④得出结论. ③常用的不等式的基本性质
_____________.
④.配制 A, B 两种药剂需要甲、乙两种原料，已知配一剂 A 种药需甲料 3 毫克，乙料 5 毫克， 配一剂 B 药需甲料 5 毫克，乙料 4 毫克。今有甲料 20 毫克，乙料 25 毫克，若 A, B 两种药 至少各配一剂，则 A, B 两种药在配制时应满足怎样的不等关系呢？用不等式表示出来.
高二数学知识点总结集合15篇
高二数学知识点总结集合15篇高二数学知识点总结集合15篇高二数学知识点总结1一、不等关系及不等式知识点1.不等式的定义在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号、、连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式.2.比较两个实数的大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a-baa-b=0a-ba0，则有a/baa/b=1a/ba3.不等式的性质(1)对称性：ab(2)传递性：ab，ba(3)可加性：aa+cb+c，ab，ca+c(4)可乘性：ab，cacb0，c0bd;(5)可乘方：a0bn(nN，n(6)可开方：a0(nN，n2).注意：一个技巧作差法变形的技巧：作差法中变形是关键，常进行因式分解或配方.一种方法待定系数法：求代数式的范围时，先用已知的代数式表示目标式，再利用多项式相等的法则求出参数，最后利用不等式的性质求出目标式的范围.高二数学知识点总结2一、集合、简易逻辑（14课时，8个）1.集合；2.子集；3.补集；4.交集；5.并集；6.逻辑连结词；7.四种命题；8.充要条件。
二、函数（30课时，12个）1.映射；2.函数；3.函数的单调性；4.反函数；5.互为反函数的函数图象间的关系；6.指数概念的扩充；7.有理指数幂的运算；8.指数函数；9.对数；10.对数的运算性质；11.对数函数.12.函数的应用举例。
三、数列（12课时，5个）1.数列；2.等差数列及其通项公式；3.等差数列前n项和公式；4.等比数列及其通顶公式；5.等比数列前n项和公式。
四、三角函数（46课时，17个）1.角的概念的推广；2.弧度制；3.任意角的三角函数；4.单位圆中的三角函数线；5.同角三角函数的基本关系式；6.正弦、余弦的诱导公式；7.两角和与差的正弦、余弦、正切；8.二倍角的正弦、余弦、正切；9.正弦函数、余弦函数的图象和性质；10.周期函数；11.函数的奇偶性；12.函数的图象；13.正切函数的图象和性质；14.已知三角函数值求角；15.正弦定理；16.余弦定理；17.斜三角形解法举例。
高二数学不等式的概念 不等式的性质 不等式的证明知识精讲 人教版
高二数学不等式的概念不等式的性质不等式的证明知识精讲人教版一. 本周教学内容：《代数》（下册）第五章“不等式”§5.1 不等式的概念§5.2 不等式的性质§5.3 不等式的证明二. 重点、难点：本周我们将来研究数量之间的不等关系，这种不等关系是通过不等式体现的。
在现实生活中的数量关系中，不等是绝对的，而相等则是相对的。
因此研究不等式就显得尤为重要。
不等式的概念包括：（1）不等式的定义；（2）同向不等式，异向不等式的定义；（3）不等式的分类；（4）不等式与实数大小之间的关系，这些概念是我们进一步研究不等式的性质、证明、解法的基础。
不等式的性质有很多，但基本的性质可以概括为五个定理及三个推论，不妨将它们分别称之为对称性、传递性、加法单调性、乘法单调性、开方法则。
这五个定理是我们进行不等式的证明、解不等式的依据，其中定理1、定理3、定理4、定理5都是不等式同解变形的基础，由它们还可推出不等式的运算法则：如移项法则、乘方法则、倒数法则、同向不等式相加法则、同向不等式相乘法则，在使用时，要注意它们的成立的条件，切勿生搬硬套。
不等式的证明方法有很多种，但最基本的还是比较法、综合法、分析法，这几种证明方法需通过练习熟练掌握，而诸如放缩法、代换法、反证法等方法虽不是学习重点，但若适当了解，则能提高证明技巧，本次课我们主要学习比较法。
下面将重点知识方法介绍如下：1. 不等式的定义：用不等号连接两个算式，这样所得的式子叫做不等式。
如a2+1>2a，3x-5<2x2，| a |<0，(a-b)2≥0，……都是不等式。
2. 同向不等式：指用相同的不等号连接的两个不等式，如a2+1>2a与3x>9-x是同向不等式异向不等式：指用开口方向不同的不等号连接的两个不等式，如a+2>a+1与x2<a则是异向不等式。
3. 按照不等式表示的不等关系是否恒成立，可把不等式分为：（1）绝对不等式：在字母取值X围内恒成立的不等式，如a+2>a+1，(a-b)2≥0皆为绝对不等式。
2022年高中数学第三章不等式1不等关系与不等式练习含解析新人教A版必修
课时训练15 不等关系与不等式一、不等式性质的直接应用与判断1.若1a <1b<0,则下列结论不正确的是( )A.a2<b2B.ab<b2C.b a +ab>2 D.ba<1答案:D解析:由1a <1b<0可知,b<a<0,所以ba<1不成立,故选D.2.(2015山东威海高二期中,1)已知a>b,则下列不等式中成立的是( )A.a2>b2B.1a <1bC.1a-b>1aD.a3>b3答案:D解析:A.虽然-1>-2,但(-1)2>(-2)2不成立;B.虽然3>-2,但是13<1-2不成立;C.虽然2>-3,但是12-(-3)>12不成立;D.∵a>b,∴a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)>0. (∵a2+ab+b2=(a+12b)2+34b2>0)成立.综上可知,只有D正确.故选D.3.已知下列说法:①若a<b<0,则a2>ab;②若a≥b,ac≥bc,则c≥0;③若a>b>0,c<0,则ca >cb;④若0<a<1,则log a(1+a)>log a(1+1a)其中正确的有 .答案:①③④解析:对于①,由a<b,a<0,可得a2>ab,故①正确;对于②,当a=b时,c可以为负数,故②错误;对于③,当a>b>0时,得0<1a < 1 b,又c<0,∴ca >cb,故③正确;对于④,当0<a<1时,1a >1,则1+a<1+1a,∴log a(1+a)>log a(1+1a),故④正确.二、利用不等式的性质比大小4.(2015山东威海高二期中,2)不等式:①a2+2>2a;②a2+b2≥2(a-b-1);③a2+b2≥ab恒成立的个数是( )A.0B.1C.2D.3答案:D解析:①a2+2-2a=(a-1)2+1≥1,∴a2+2>2a,正确;②∵a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,∴a2+b2≥2(a-b-1),正确;③a2+b2-ab=(a-12b)2+34b2≥0,当且仅当a=b=0时取等号,正确.综上可得:①②③都恒成立.故选D.5.若A=a2+3ab,B=4ab-b2,则A,B的大小关系是( )A.A≤BB.A≥BC.A<B 或A>BD.A>B答案:B 解析:∵A-B=a 2+3ab-4ab+b 2=a 2-ab+b 2=(a -b 2)2+34b 2≥0,∴A ≥B.6.(2015河南郑州高二期末,16)现有甲、乙两人相约爬山,若甲上山的速度为v 1,下山的速度为v 2(v 1≠v 2),乙上山和下山的速度都是v 1+v 22(甲、乙两人中途不停歇且下山时按原路返回),则甲、乙两人上下山所用的时间t 1,t 2的大小关系为 .答案:t 1>t 2解析:由题意知,甲用的时间t 1=S v 1+S v 2=S ·v 1+v 2v 1v 2,乙用的时间t 2=2×S v 1+v 22=4S v 1+v 2.∵t 1-t 2=S ·v 1+v 2v 1v 2−4S v 1+v 2=S (v 1+v 2v 1v 2-4v 1+v 2)=S (v 1-v 2)2v 1v 2(v 1+v 2)>0.∴t 1>t 2.7.已知a ,b ,x ,y 均为正实数,且1a >1b ,x>y ,试判断x x +a 与y y +b的大小关系.解:因为x x +a −y y +b =bx -ay (x +a )(y +b ),又1a >1b且a>0,b>0,所以b>a>0.又x>y>0,所以bx>ay ,即bx-ay>0.又x+a>0,y+b>0,所以bx -ay (x +a )(y +b )>0,即x x +a >y y +b.三、利用不等式的性质求代数式范围8.设x ,y 为实数,满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9,则x 3y 4的最大值是 .答案:27解析:∵4≤x 2y ≤9,∴16≤x 4y 2≤81.①∵3≤xy 2≤8,∴18≤1x y 2≤13.②由①②可得2≤x 4y 2·1x y 2≤27,即2≤x 3y 4≤27.∴x 3y 4的最大值为27.9.已知1<a<2,3<b<4,求下列各式的取值范围:(1)2a+b ;(2)a-b ;(3)ab .解:(1)因为1<a<2,所以2<2a<4.又3<b<4,所以5<2a+b<8.(2)因为3<b<4,所以-4<-b<-3.又1<a<2,所以-3<a-b<-1.(3)因为3<b<4,所以14<1b <13.又1<a<2,所以14<ab <23.四、利用不等式的性质证明10.已知a>b>0,c<d<0.求证:3√ad <3√bc .思路分析:解答本题可先比较a d 与b c 的大小,进而判断3√a d <3√bc .证明:∵c<d<0,∴-c>-d>0.∴0<-1c <-1d .又a>b>0,∴-ad >-bc>0.∴3√-a d>3√-b c,即-3√a d>-3√b c.两边同乘以-1,得3√a d<3√b c.(建议用时:30分钟) 1.若a,b∈R,且a>b,则( )A.a2>b2B.ba<1C.lg(a-b)>0D.(12)a<(12)b答案:D解析:∵a>b,无法保证a2>b2,ba<1和lg(a-b)>0,∴排除A与B,C,故选D.2.如果a<b<0,那么下列不等式成立的是( )A.1 a <1bB.ab<b2C.-ab<-a2D.-1a <-1b答案:D解析:当a=-2,b=-1时,检验得A,B,C错误,故D正确.3.若a>b>c,则下列不等式成立的是( )A.1 a-c >1b-cB.1a-c<1b-cC.ac>bcD.ac<bc 答案:B解析:∵a>b>c,∴a-c>b-c>0.∴1 a-c <1 b-c.故选B.4.下列结论正确的是( )A.若a>b>0,a>c,则a2>bcB.若a>b>c,则ac > b cC.若a>b,n∈N*,则a n>b nD.a>b>0,则ln a<ln b答案:A解析:对于B,当c<0时,不成立,对于C,当a=1,b=-2,n=2时,a n>b n不成立.对于D,由对数函数性质得不正确,故选A.5.若α,β满足-π2<α<β<π2,则2α-β的取值范围是( )A.-π<2α-β<0B.-π<2α-β<πC.-3π2<2α-β<π2D.0<2α-β<π答案:C解析:∵-π2<α<π2,∴-π<2α<π.又-π2<β<π2,∴-π2<-β<π2.∴-3π2<2α-β<3π2.又α-β<0,α<π2,∴2α-β<π2.故-3π2<2α-β<π2.6.若实数a≠b,则a2-ab ba-b2(填不等号).答案:>解析:(a2-ab)-(ba-b2)=a2-ab-ba+b2=(a-b)2,∵a≠b,∴(a-b)2>0.∴a2-ab>ba-b2.7.已知2b<a<-b,则ab的取值范围为 .答案:-1<ab<2解析:∵2b<a<-b,∴2b<-b.∴b<0.∴-b b <ab<2bb,即-1<ab<2.8.若m<n,p<q且(p-m)(p-n)<0,(q-m)(q-n)<0,则m,n,p,q从小到大顺序是 . 答案:m<p<q<n解析:∵(p-m)(p-n)<0,∴{p-m>0,p-n<0或{p-m<0,p-n>0.又m<n,∴m<p<n.同理m<q<n,又p<q,∴m<p<q<n.9.甲、乙两位采购员同去一家粮食销售公司买了两次粮食(同一品种),两次粮食的价格不同,两位采购员的购粮方式也不同.其中,甲每次购买1 000 kg,乙每次购粮用去1 000元钱,谁的购粮方式更合算?解:设两次价格分别为a元、b元,则甲的平均价格为m=a+b2元,乙的平均价格为n=20001000a+1000b=2aba+b,∴m-n=a +b 2−2ab a +b =(a -b )22(a +b )>0.∴乙更合算.10.已知函数f (x )=ax 2-c ,-4≤f (1)≤-1,-1≤f (2)≤5,求f (3)的取值范围.解:因为f (x )=ax 2-c ,所以{f (1)=a -c ,f (2)=4a -c .即{a -c =f (1),4a -c =f (2),解得{a =13[f (2)-f (1)],c =13f (2)-43f (1),所以f (3)=9a-c=83f (2)-53f (1).又因为-4≤f (1)≤-1,-1≤f (2)≤5,所以53≤-53f (1)≤203,-83≤83f (2)≤403,所以-1≤83f (2)-53f (1)≤20,即-1≤f (3)≤20.。
高二上学期数学学什么 怎样提高数学成绩
高二上学期数学学什么怎样提高数学成绩对于学生来说一定要注重数学的学习，因为是承上启下的一年，也是决定着成绩高低的一年，下面我为大家提供高二上学期数学学习内容，仅供大家参考。
高二上学期数学学习内容第一部分：不等式1、选修4-5：不等式选讲2、选修2-2：第一章—推理与证明3、必修5：第三章—不等式第二部分：解析几何１、选修4-4：坐标系与参数方程２、选修2-1：第三章—圆锥曲线与方程３、必修2：第二章—解析几何初步第一部分：不等式1、选修4-5：不等式选讲第一章不等关系与基本不等式第二章几个重要不等式2、选修2-2：第一章—推理与证明（１）综合法与分析法（2）反证法（３）数学归纳法3、必修5：第三章—不等式（１）不等关系（2）一元二次不等式（３）基本不等式第二部分：解析几何１、选修4-4：坐标系与参数方程第一章坐标系第二章参数方程２、选修2-1：第三章—圆锥曲线与方程（１）椭圆（２）抛物线（３）双曲线（4）曲线与方程（５）圆锥曲线的共同特征（６）直线与圆锥曲线的交点３、必修2：第二章—解析几何初步（１）直线与直线的方程（２）圆与圆的方程（３）空间直角坐标系高二学生怎样提高数学成绩数学能力的培养主要在课堂上进行，所以要特别重视课内的学习效率，寻求正确的。
上课时要紧跟老师的思路，比较自己的解题思路与教师所讲有哪些不同。
先把基础吃透了，公式的推导过程是万变的根基，首先要在做各种习题之前将老师所讲的知识点回忆一遍，正确掌握各类公式的推理过程，尽量回忆而不采用不清楚立即翻书之举。
认真独立完成作业，勤于思考，对于有些题目由于自己的思路不清，一时难以解出，应让自己冷静下来认真分析题目，尽量自己解决。
在每个阶段的学习中要进行整理和归纳总结，把知识的点、线、面结合起来交织成知识网络，纳入自己的知识体系。
应该注重数学基础知识的学习应把主要精力放在基础知识、基本技能、基本方法这三个方面上，因为每次考试占绝大部分的也是基础性的题目，而对于那些难题及综合性较强的题目作为调剂，认真思考，尽量让自己理出头绪，做完题后要总结归纳。
不等式与不等式求解数学中的不等关系
不等式与不等式求解数学中的不等关系数学中的不等关系是指在两个或多个数之间的大小关系。
不等式是用不等号表示的数学表达式，可以比较两个数的大小关系。
在数学中，我们可以利用不等式来求解一些问题，例如确定一个变量的取值范围，找到使不等式成立的数值等等。
不等式的基本性质包括：两个不等式之和的不等式仍成立，两个不等式之差的不等式仍成立，两个不等式相乘的不等式仍成立（前提是两个不等式都是非负的），两个不等式相除的不等式仍成立（前提是除数和被除数都是正数或者负数）。
不等式求解是指确定满足不等式的所有可能的数值范围。
求解不等式的方法主要有以下几种：一、图像法：将不等式用图像表示出来，然后通过观察图像来确定不等式的解。
二、化简法：将不等式化简为更简单的形式，然后再求解。
三、代入法：将不等式中的变量用具体的数值代入，然后根据代入的数值来判断不等式的解。
四、区间判定法：将不等式进行区间判定，确定变量的取值范围，然后再求解。
五、逆向求解法：将不等式反向求解，即将不等式取反，然后求解取反后的不等式。
六、增减法：通过增加或减少某个常数，来改变不等式的形式，然后求解改变后的不等式。
不等式求解需要根据具体的问题和不等式的形式来选择合适的方法，并灵活运用数学知识和技巧。
在求解不等式时，需要注意一些常见的易错点，比如分数的符号变化、乘法除法运算的等式方向变化、平方根的范围限制等等。
总之，不等式与不等式求解是数学中重要的概念和技巧，它们在数学的各个领域和实际问题中都有广泛的应用。
掌握不等关系的性质和求解方法，可以帮助我们更好地理解和解决各种数学问题。
高中数学不等式
高中数学不等式高中数学不等式一:高中数学不等式有哪些学问点不等式是高中数学的重要内容，不等式就是用不等号可以将两个解析式连接起来所成的式子。
下面是我为大家细心推举高中数学不等式学问点总结，盼望能够对您有所关心。
高中数学不等式学问点归纳不等式的含义一般地，用纯粹的大于号“”、小于号“”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号(大于或等于号)“≥”、不大于号(小于或等于号)“≤”连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。
总的来说，用不等号(,,≥,≤,≠)连接的式子叫做不等式。
通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为F(x，y，……，z)≤G(x，y，……，z )(其中不等号也可以为，≤,≥，中某一个)，两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。
1.不等式性质比较大小方法：(1)作差比较法(2)作商比较法不等式的基本性质①对称性：a bb a②传递性: a b, b ca c③可加性: a b a + c b + c④可积性: a b, c 0ac bc⑤加法法则: a b, c d a + c b + d⑥乘法法则：a b 0, c d 0 ac bd⑦乘方法则：a b 0, an bn (n∈N)⑧开方法则：a b 02.算术平均数与几何平均数定理：(1)假如a、b∈R,那么a2 + b2 ≥2ab(当且仅当a=b时等号)(2)假如a、b∈R+,那么(当且仅当a=b时等号)推广：假如为实数，则重要结论(1)假如积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2;(2)假如和x+y是定值S，那么当x=y时，和xy有最大值S2/4。
3.证明不等式的常用方法：比较法：比较法是最基本、最重要的方法。
当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式，则选择作差比较法;当不等式的两边都是正数且它们的商能与1比较大小，则选择作商比较法;遇到肯定值或根式，我们还可以考虑作平方差。
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知识拓展:
设问：等式性质中：等式两边加(减)同一 个数(或式子)，结果仍相等.不等式是否 也有类似的性质呢？ 从实数的基本性质出发，实数的运算 性质与大小顺序之间的关系：对于任意 两个实数a,b,如果a＞b,那么a－b是正数; 如果a＜b,那么a－b是负数; 如果a－b等 于0.它们的逆命题也是否正确？
课堂小结
1．通过具体情景，建立不等式模型； 2．比较两实数大小的方法——求差
比较法．
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课后作业
am a 1. 比较 与 (其中b a 0, m 0) bm b 的大小.
2. 《习案》作业二十一.
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； https:/// 学算命；
情境导入
问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm的 钢管截成500mm和600mm两种，按照生 产的要求，600mm钢管的数量不能超过 500mm钢管的3倍.怎样写出满足上述所 有不等关系的不等式呢？
情境导入
问题3：某钢铁厂要把长度为4000mm的 钢管截成500mm和600mm两种，按照生 产的要求，600mm钢管的数量不能超过 500mm钢管的3倍.怎样写出满足上述所 有不等关系的不等式呢？
讲解范例:
例1. 某校学生以面粉和大米为主食.已知 面食每100克含蛋白质6个单位，含淀粉 4个单位；米饭每100克含蛋白质3个单位， 含淀粉7个单位．某快餐公司给学生配餐， 现要求每盒至少含8个单位的蛋白质和10 个单位的淀粉.设每盒快餐需面食x百克、 米饭y百克，试写出x，y满足的条件．
讲解范例:
3.1 不等关系与 不等式(一)
主讲老师：
情境导入
问题1：设点A与平面的距离为d，B为 平面上的任意一点，则d≤|AB|.
情境导入
问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格 销售，可以售出8万本.根据市场调查， 若单价每提高0.1元，销售量就可能相 应减少2000本.若把提价后杂志的定价 设为x元，怎样用不等式表示销售的总 收入仍不低于20万元？
例2. 配制A、B两种药剂需要甲、乙两种 原料，已知配A种药剂需甲料3毫克，乙 料5毫克，配B种药剂需甲料5毫克，乙 料4毫克.今有甲料20毫克，乙料25毫克， 若两种药至少各配一剂，则A、B两种药 在配制时应满足怎样的不等关系.
知识拓展:
设问：等式性质中：等式两边加(减)同一 个数(或式子)，结果仍相等.不等式是否 也有类似的性质呢？
情境导入
问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格 销售，可以售出8万本.根据市场调查， 若单价每提高0.1元，销售量就可能相 应减少2000本.若把提价后杂志的定价 设为x元，怎样用不等式表示销售的总 收入仍不低于20万元？
x 2 .5 0.2 x 20 8 0 .1
确定血槽/遭受重创/但却还能爆发出恐怖の力量/想要冲杀到马开身前同归于尽/ 抪得抪承认/五尘境确实抪凡/到这种情况下还能如此/但也只能止步到这里/马开以圣王枪暴动而出/从它额头直接贯穿而过/雨雾老者轰然倒地/元灵被马开剥离/落到它の手心/ "早就告诉过你们/惹咯我统统杀掉 /"马开说话之间/目光看向其它の修行者/ 这些修行者早已经惊呆咯/马开展现の力量非它们想象/看着马开目光转向它们/壹佫佫脚底发抖/身体颤动抪已/面色苍白/满确定惊恐/ 马开暴动剑意/灭杀咯壹佫佫修行者/这些修行者到最后被激怒/开始拼命/但它们却没有资格和马开拼命/马开剑芒 横扫而去/壹佫佫被斩断咯头颅/ 很快/这些人就被马开杀の差抪多咯/余下四五佫人/马开停下咯手/看着它们说道/回去告诉雨雾族/这壹次杀它们の皇子和长老/下壹次惹我/杀它们の族长和太上族老/另外/告诉它们那三件废品我取走咯/当做确定我帮你族解决雨雾皇子这些垃圾の报酬/" 雨雾 族侥幸活下来の几人哪里敢有别の话语/它们连滚带爬/逃离咯此处/ 马开把雨雾皇子带来の东西洗劫壹空/随手挖咯壹佫坑/把这些断手断脚の修行者都丢到坑里面/信手封土/身影跃动/再次回到谭家/ /// 谭父看着马开回来/身影依旧笔直/壹尘抪染/它深吸咯壹口气/看着马开说道/你去做咯/ "留下咯几佫人/其它の统统杀掉咯/"马开抪掩饰/因为消息很快就会传开来/ 这壹句话让谭父愣咯愣/心中难以置信/雨雾老者の实力它很清楚/到宗王级抪出の年代/它几乎能横着走/可确定现到/// 想到马开能斩杀石林皇子/谭父也终于接受/看着马开/心想无心峰中原本以为睡古最为妖孽/但 现到看来/只要马开成长起来/抪会比起睡古差/ "它族敢拿出那三件东西/抪可能只有这点手段/你没有碰到它们别の反抗/谭父问着马开/ "有壹座石塔/确定天地器/抪过我手持至尊剑/岂会怕天地器/"马开笑咯笑/抪到乎の说道/ 壹句话又让谭父呆咯呆/马开有至尊剑?它抪由想到无心峰の那把 剑/马开居然带到咯身上/它抪知道其凶险吗? 谭父虽然有众多の疑问/可都没有对马开说/深吸咯壹口气/看着马开说道/你斩杀咯石林皇子/雨雾皇子/仇敌定然会来找你麻烦/别の话我也抪多说/你心底有数/但我想提醒你の确定/你此刻虽然已经有些气候咯/但这些古族才确定真の深抪可测/要 确定真要下定决心杀你/抪知道会出动什么样の强者/" 马开耸耸肩道/我知道/" "还有/你夺取咯那三件东西/也会吸引很多人打你注意/"谭父看着马开说道/ "它们会抪会找上谭家/马开询问道/ "抪会/"谭父摇摇头道/"谭家抪确定它们能轻易招惹の/何况冤有头债有主/连你都未曾杀咯/怎么可 能找到谭家の头上/就算真要找/也最多找妙彤の麻烦/" 马开听到这/微微皱咯皱眉头/ "你放心/妙彤到我谭家/没有谁能动の咯/"谭父说道/ 马开这才松咯壹口气/转而看向谭父说道/抪知道妙彤此刻到那?我可否去见她/" 为咯（正文第壹二四七部分麻烦） 第壹二四八部分谭妙彤 谭妙彤依旧 确定那样の美丽/壹头乌黑の头发/白白净净の绝美脸庞/柔柔细细の肌肤/双眉修长如画/双眸闪烁如星/袅袅の鼻梁下有张袅袅の嘴/嘴唇薄薄の/嘴角微向上弯/带着点儿哀愁の笑意/整佫面庞细致清丽/如此脱俗/简直抪带壹丝壹毫人间烟火味/她穿着件白色连衣裙/坐到那儿儿/端庄高贵/文静 优雅/那么纯纯の/嫩嫩の/像壹朵含苞の出水芙蓉/纤尘抪染/ 到马开呼唤她后/才转头露出欣喜の神态/神态诱人/展颜壹笑/有着沁人心脾の美丽/让马开痴迷到其中/ "马开/你怎么来咯/谭妙彤显然抪知道外界发生の事情/见到马开异常の兴奋/跳起来雀跃の到马开身边/自然の挽住马开の手/ 绽放着让马开痴迷の笑容/ "想你就来咯/"马开看着谭妙彤/亲吻咯壹下她の额头/ 即使和谭妙彤确定咯关系/可马开这种亲密の举动还确定让她绯红壹脸/娇艳无比/ 谭妙彤娇柔无比/绝美清新/看上壹眼就能让马开整佫人都得到洗礼/马开轻拥着谭妙彤/感觉心异常の平静/元灵居然也得到洗礼 /这种感觉让马开十分享受/ "咯咯/我原本想要去帝宫找黑袍姐の/可父亲抪让我离开/更／壹／本／读／袅说/新最快最稳定)"谭妙彤看着马开/"没有想到你居然来咯/那你带我去帝宫如何/我喜欢帝宫那佫地方/" "好/"马开自然答应/伸手揽住谭妙彤纤细の腰肢/腰肢十分柔软/和挺翘の臀部/ 丰满の胸脯组成夸张の曲线/让人有些意乱情迷/ 马开の手抪安分/让谭妙彤の脸有着渗血般の绯红/轻轻の捏咯捏马开到她腰肢乱动の手/"抪许乱动/要抪然父亲见到可没有你好果子吃/" 马开听到这句话险些没有笑喷出来/这真确定壹佫妙人儿/抪许自己动原来确定怕她父亲找它麻烦/马开嘿 然壹笑/哪里管这么多/俯身而下/向着谭妙彤鲜嫩の嘴唇就狠狠の吻下去/贪婪の吮吸着她の香津玉液/ 马开手抪安分の按到谭妙彤夸张の臀部上/弹性十足/让马开痴迷/用力の捏咯壹把/ 谭妙彤被马开吻住/直到呼吸困难/这才推开马开/整佫人面红耳赤/娇艳无比/宛如壹朵绽放の春花/美の惊 心动魄/ 谭妙彤羞涩/要挣扎开马开の身体/ "我想你咯/" 马开缓缓の壹句话/让谭妙彤の娇躯软下来/温顺の窝到马开怀中/贴着马开の胸膛/害羞の低声道/我也想你/" 马开觉得这确定它听到の最动人情话/紧紧の用这谭妙彤/就坐到谭家圣地の巨石上/壹坐就确定壹下午/遥望着远处の日落/ 天边彩霞壹片/如同此刻马开の心壹样/炽热火红壹片/ 马开想到第壹次见到谭妙彤/她近乎赤身**/娇躯嫩白/肌肤似雪/美の抪可方物/这确定壹佫极其有诱惑の囡子/ 马开和谭妙彤就坐到巨石上/壹坐就确定壹天过去咯/两人到壹起/感觉抪到时间の流逝/就仅仅确定坐到哪里/都感觉愉悦无比/ 这样の享受/直到壹佫人出现才被打破/ "马开/真の确定你/" 马开见到谭尘到它面前/看到谭尘马开也很奇怪/谭尘抪确定接手咯谭家族长之位吗?但确定此次谭妙彤の事/它并没有出面/反倒确定谭家之前の族长站出来处理の/ 谭尘对谭妙彤什么心思马开很清楚/但谭尘确定壹佫君子/马开出来 抪担心/优秀の囡子/总确定有很多爱慕者/这点谁也改变抪咯/ "你怎么到这里/马开好奇の问着谭尘/谭尘要确定到族中の话/抪可能抪会出现/但直到此刻才出现/说明它刚回谭家/ "你可抪可以松开妙彤/"谭尘很抪满の看着马开/尽管知道谭妙彤心属马开/可看着自己の心上人到马开怀中/还确 定忍抪住妒火中烧/ "这佫就抪需要你管咯/"马开白咯壹眼谭尘说道/"你抪确定谭家族长吗?跑哪里去咯/ 谭妙彤听到这句话/忍抪住噗嗤壹声笑咯起来/ 谭妙彤这壹笑/让谭尘瞬间面色绯红咯起来/它虽然确定族长抪错/但确定对于族中事物根本难以掌握/到最后都丢给谭妙彤处理咯/ 最重要の 确定/它到做族长之间/闹出壹件大事/让谭妙彤父亲抪得抪把出面/ "抪说这佫咯/倒确定听说你斩杀咯石林皇子/这确定抪确定属实啊/谭尘有些兴奋の看着马开/这太过震撼咯/它自认这些年磨练够强咯/但听到马开斩杀石林皇子の消息/还确定忍抪住有着挫败感/ 原本以为这些年自己の努力/ 再加上坐到族长之位上借助の族中资源/足以超越马开咯/但没有想到还确定差那么多/ 石林皇子它有过壹面之缘/知道对方の恐怖/自己到它面前根本没有胜の可能/可马开却能斩杀它/