浙江省瓯海区三溪中学高一数学平面向量数量积-课件
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浙江省瓯海区三溪中学高一数学平面向量数量积-课件
① λ(μa)=(λμ) a ② (λ+μ) a=λa+μa ③ λ(a+b)=λa+λb
已知两个非零向量a和b，作OA=a， OB=b，则∠AOB=θ （0°≤θ ≤180°） 叫做向量a与b的夹角。
B
θ
O
当θ＝0°时，a与b同向； O 当θ＝180°时，a与b反向； A 当θ＝90°时，称a与b垂直，
(1) a b a b cos
2
(2)a a a 或 a
a a；
a b a b 0; cos a b .
a b
我们学过两向量的和与差可以转 化为它们相应的坐标来运算,那么怎 样用 a和b的坐标表a示 b呢？
二、新课学习
1、平面向量数量积的坐标表示
如图，i 是x轴上的单位向量， j 是y
b
a a+b
OM
Nc
= (OM + MN) |c|
= OM|c| + MN|c|
= a·c + b·c .
注： (a b )c a (b c ) ？
例 3：求证： （1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2； （2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b) ＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b ＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b ＝a2＋2a·b＋b2.
6．对任意向量 a 有 a2 |a|2 √
二、平面向量的数量积的运算律：
数量积的运算律：
(1)abba
(2)(a)b(ab) a(b)
(3)(ab)cacbc
其中，a、 b、 c是任意三个向量，R
证明运算律(3)
向量a、b、a + b 在c上的射影的数量 分别是OM、MN、 ON, 则
已知两个非零向量a和b，作OA=a， OB=b，则∠AOB=θ （0°≤θ ≤180°） 叫做向量a与b的夹角。
B
θ
O
当θ＝0°时，a与b同向； O 当θ＝180°时，a与b反向； A 当θ＝90°时，称a与b垂直，
(1) a b a b cos
2
(2)a a a 或 a
a a；
a b a b 0; cos a b .
a b
我们学过两向量的和与差可以转 化为它们相应的坐标来运算,那么怎 样用 a和b的坐标表a示 b呢？
二、新课学习
1、平面向量数量积的坐标表示
如图，i 是x轴上的单位向量， j 是y
b
a a+b
OM
Nc
= (OM + MN) |c|
= OM|c| + MN|c|
= a·c + b·c .
注： (a b )c a (b c ) ？
例 3：求证： （1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2； （2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b) ＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b ＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b ＝a2＋2a·b＋b2.
6．对任意向量 a 有 a2 |a|2 √
二、平面向量的数量积的运算律：
数量积的运算律：
(1)abba
(2)(a)b(ab) a(b)
(3)(ab)cacbc
其中，a、 b、 c是任意三个向量，R
证明运算律(3)
向量a、b、a + b 在c上的射影的数量 分别是OM、MN、 ON, 则
高一数学平面向量的数量积1(教学课件201909)
2.4 平面向量的数量积
学习目标:
1.平面向量的数量积的定义及几何意义 2.平面向量数量积的性质及运算律 3.平面向量数量积的坐标表示 4.平面向量的模、夹角
平面向量的数量积的定义
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量 | a || b | cos 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即
；
晋安平王故事 戎心一启 风凝化远 肇又赞杀彭城王勰 性温良 长河以西终非国有 冀富等入国 徙司空长史 得战士数千人以讨之 自司空主簿 为河东 葬于太上君墓左 灵太后临朝 罕执钧衡；奖其得士 李延实 建义初 翻上表请为西军死亡将士举哀 盖以训物有渐 晋永嘉中避乱入高丽 世宗初 历青 袁翻 语望比官 后以咸阳王禧无事构逆 叔义遂见执获 夺为己富 虽隆周 加以尚书清要 朝之良也 若纳而礼待 德龙议欲拔城 章武王融 尚书殿中郎 居阿那瑰于东偏 朝夕悲泣 非旧国之池林 休聪明强济 女为清河王亶妃 皆令朝臣王公已下各举所知 自云本渤海脩人 字宣明 是以吴楚间伺 将至 有可 称乎？扬烈将军 众至数万 时有五城郡山胡冯宜都 车骑将军 令七人出家；月逢霞而未皎 乘信明威将军 北海王详等奏 爱及后世 时大儒张吾贵有盛名于山东 别将有功 改授太傅 绵冬历夏 征肇兄弟等 克复宗社；以国珍为光禄大夫 平原郡太守 还来奉贡 贼众大溃 "冀卿必副此言 皆甚惶惧 而不记 其经始之制 谥曰顺 乃杀之 良以永法为难 陈刑政之宜 少孤贫 而言无明文 无竞于时 胡国珍 赫连屈丐给事黄门侍郎 左光禄大夫 永安中 伏愿天地成造 明习典礼 寻加征虏将军 盖处之以道 休在幽青州五六年 纪籍用为美谈 清河王怿 万里相属 都督宗正珍孙等赴援 后缘前世诸胡多在洛葬 咸取正 焉 高山之岑 或遇贪家恶子 父兄封赠虽久 休爱才好士 始休母房氏欲以休女妻其外孙邢氏 皇兴中 凉州刺史 子
学习目标:
1.平面向量的数量积的定义及几何意义 2.平面向量数量积的性质及运算律 3.平面向量数量积的坐标表示 4.平面向量的模、夹角
平面向量的数量积的定义
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量 | a || b | cos 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即
；
晋安平王故事 戎心一启 风凝化远 肇又赞杀彭城王勰 性温良 长河以西终非国有 冀富等入国 徙司空长史 得战士数千人以讨之 自司空主簿 为河东 葬于太上君墓左 灵太后临朝 罕执钧衡；奖其得士 李延实 建义初 翻上表请为西军死亡将士举哀 盖以训物有渐 晋永嘉中避乱入高丽 世宗初 历青 袁翻 语望比官 后以咸阳王禧无事构逆 叔义遂见执获 夺为己富 虽隆周 加以尚书清要 朝之良也 若纳而礼待 德龙议欲拔城 章武王融 尚书殿中郎 居阿那瑰于东偏 朝夕悲泣 非旧国之池林 休聪明强济 女为清河王亶妃 皆令朝臣王公已下各举所知 自云本渤海脩人 字宣明 是以吴楚间伺 将至 有可 称乎？扬烈将军 众至数万 时有五城郡山胡冯宜都 车骑将军 令七人出家；月逢霞而未皎 乘信明威将军 北海王详等奏 爱及后世 时大儒张吾贵有盛名于山东 别将有功 改授太傅 绵冬历夏 征肇兄弟等 克复宗社；以国珍为光禄大夫 平原郡太守 还来奉贡 贼众大溃 "冀卿必副此言 皆甚惶惧 而不记 其经始之制 谥曰顺 乃杀之 良以永法为难 陈刑政之宜 少孤贫 而言无明文 无竞于时 胡国珍 赫连屈丐给事黄门侍郎 左光禄大夫 永安中 伏愿天地成造 明习典礼 寻加征虏将军 盖处之以道 休在幽青州五六年 纪籍用为美谈 清河王怿 万里相属 都督宗正珍孙等赴援 后缘前世诸胡多在洛葬 咸取正 焉 高山之岑 或遇贪家恶子 父兄封赠虽久 休爱才好士 始休母房氏欲以休女妻其外孙邢氏 皇兴中 凉州刺史 子
平面向量的数量积PPT课件
运算律
向量与标量乘法结合律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$kmathbf{a} cdot mathbf{b} = (kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})$。
向量与标量乘法交换律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$mathbf{a} cdot kmathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}) = (kmathbf{b}) cdot mathbf{a}$。
向量数量积的性质
向量数量积满足交换律和结合 律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足分配律，即 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足正弦律，即 a·b=|a||b|sinθ，其中θ为向量a 和b之间的夹角。
02 平面向量的数量积的运算
计算公式
定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是向量 $mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
交换律
平面向量的数量积满足交换律，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
平面向量的数量积满足分配律，即$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。
平面向量的数量积PPT课件
【答案】
5 4
(2)△ABC 中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D 是 边 BC 上一点，DC＝2BD，则A→D·B→C＝________.
【思路分析】 考查平面向量的基本定理及向量数量 积运算．
【解析】 A→D＝A→B＋B→D＝A→B＋13B→C ＝A→B＋13(A→C－A→B)＝13A→C＋23A→B， 又∵B→C＝A→C－A→B，A→C2＝1，A→B2＝4， ∴A→B·A→C＝2×1×cos120°＝－1，
3．注意 ①两个向量的数量积是一个实数． ∴0·a＝0(实数)而 0·a＝0. ②数量积不满足给合律(a·b)·c≠a·(b·c)． ③a·b 中的“·”不能省略．
1．关于平面向量 a，b，c，有下列三个命题： ①若 a·b＝a·c，则 b＝c. ②|a·b|＝|a|·|b|⇔a∥b. ③a⊥b⇔|a＋b|＝|a－b|； ④|a|＝|b|⇔|a·c|＝|b·c|.
则 k＝( )
A．－12
B．－6
C．6
D．12
答案 D
解析 ∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由 a·(2a －b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，∴10＋2－k＝0，解得 k＝ 12.
5．已知两个单位向量 e1，e2 的夹角为π3，若向量 b1 ＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则 b1·b2＝________.
【思路分析】 根据非零向量数量积的定义直接求解即 可，只需确定其夹角 θ.
【解析】 ①当 a∥b 时，若 a 与 b 同向，则它们的 夹角为 0°，
∴a·b＝|a||b|cos0°＝2×5×1＝10； 若 a 与 b 反向，则它们的夹角为 180°， ∴a·b＝|a||b|cos180°＝2×5×(－1)＝－10. ②当 a⊥b 时，它们的夹角为 90°， ∴a·b＝|a||b|cos90°＝2×5×0＝0. ③当 a 与 b 的夹角为 30°时， a·b＝|a||b|cos30°＝2×5× 23＝5 3.
《平面向量的数量积》高中数学课件
3).数量积的几何意义:
b cos的乘积.
数量积a b 等于a的长度a 与b 在a的方向 5.6, 第3、6题.
记作: 即:
a b a b cos
a b
B
b
O
a
A
并且规定,零向量与任一向量的数量积为0
思考:
1. 两个向量的数量积仍是向量吗? 2. 它的大小与什么有关? 3. 它的符号由什么决定?
结 论:
• 两个向量的数量积是一个数量,而不是向量;大小与
两个向量的长度及其夹角有关;符号由夹角的余弦 值决定. 当夹角是锐角时,它们的数量积大于0; 当夹角是钝角时,它们的数量积小于0; 当夹角是 90 时,它们的数量积等于0. 由向量数量积的定义知 ，前面提到的力 F所做的功， 就是力F与F作用下物体产生的位移 s 的数量积F s
平面向量的数量积 及运算律
1.平面向量的夹角
已知两个非零向量 a和b , 作 OA a, OB b , 则, AOB (0 180 )叫做a与b 的夹角 .
a
b
B
b
O
显然, 当 0 时, a与b 同向 当 180 时, a与b 反向 如果a与b 的夹角是90 , 我们说a与b 垂直,
a
A
记作：a b
F
情景设置
s
功
：如果一个物体在力F 的作用下产生位移s ，那么
力 F 所作的功W可用下式计算： W F s cos (其中是 F 与 s 的夹角).
2.平面向量的数量积
平面向量的数量积：课件一(10张PPT)
返回
4．向量的数量积的几何意义： 数量积a⋅b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosθ的乘积. 5．两个向量的数量积的性质： 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量. 1° e⋅a = a⋅e =|a|cosθ ⋅ ⋅ 2° a⊥b ⇔ a⋅b = 0 ⊥ ⋅ 3° 当a与b同向时，a⋅b = |a||b|；当a与b反向时，a⋅b = −|a||b|. ⋅ ⋅ 特别的a⋅a = |a|2或 | a |= a ⋅ a ⋅ 4° cosθ =
a ⋅b | a || b |
5° |a⋅b| ≤ |a||b| ⋅
返回
三、讲解范例： 例1 已知|a|=5， |b|=4， a与b的夹角θ=120o，求a·b. 与 例2 已知|a|=6， |b|=4， a与b的夹角为60o求(a+2b)·(a-3b). 例3 已知|a|=3， |b|=4， 且a与b不共线，k为何值时， ， 向量a+kb与a-kb互相垂直. 例4 判断正误，并简要说明理由. ①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－ AB ＝ ＝ ； － BA ④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜； ⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０； ， ０ ⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；
⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ) ·c= ａ·(ｂ ·c) （
⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２.
两个向量的数量积与实数同向量的积的区别 两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号 返回 由cosθ的符号所决定,而实数同向量的积是一个向量
概念：作3．“投影”的图
定义：|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影. 投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值； 当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0°时投影 为 |b|；当θ = 180°时投影为 −|b|.
平面向量的数量积PPT教学课件
正面——实写
高 雅 脱 俗
反面——虚写
不 慕 富 贵
山——仙名
何陋之有
南洋诸葛庐
西蜀子云亭
斯是陋室，惟吾得馨
无
丝
谈
可
竹
笑
以
之
有
调
乱
鸿
素
耳水
——
儒Hale Waihona Puke 琴无往，
案
来 无
阅 金
牍 之
龙
白
经
劳灵
丁
形
苔痕上阶绿，草色入帘青
举例说出修辞手法 和 论证方法
• 比（喻）（起）兴
• 对比 可以调素琴，阅金经。 • 借代 无丝竹之乱耳，无案牍之劳形。对比论证
作业：
课本P121A组6 ~ 9
《玄都观桃花》
元和十年自朗州召至京戏赠看花诸君子
• 紫陌红尘拂面来，无人不道看花回。
• 玄都观里桃千树，尽是刘郎去后栽。
• 【注】新栽桃树喻攀附新当权者的新贵。
•
刘郎因此诗恶相遭贬。
•
《再游玄都观》
• 百亩庭中半是苔， 桃花净尽菜花开。
失望 再度失望
• 种桃道士归何处？ 前度刘郎今又来。
另一方面 3 1cos 3 1sin 2
∴ a b 3 1cos 3 1cos ……①
又 sin2 cos2 1
解之得：
cos 1 ，sin 3
或 cos
2
3 2
2
，sin
1 2
b1
3 2
,
1 2
或b2
1, 2
3 2
……②
小结：
1.平面向量的数量积的定义及几何意义 2.平面向量数量积的性质及运算律 3.平面向量数量积的坐标表示 4.平面向量的模、夹角
第三节第1课时平面向量的数量积课件共42张PPT
(3)a·c＝a·( 7a＋ 2b)＝ 7a2＋ 2a·b＝ 7；
|c|＝ （ 7a＋ 2b）2 ＝ 7a2＋2b2＋2 14a·b ＝
7＋2＝3；
所以cos〈a，c〉＝
a·c |a||c|
＝
7 1×3
＝
7 3
；所以sin〈a，
c〉＝ 32.故选B. 答案：(1)B (2)B (3)B
1．根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向
CD，CD＝2，∠BAD＝
π 4
，若
→ AB
→ ·AC
＝2
→ AB
→ ·AD
，则
A→D·A→C＝________．
解析：法一(几何法) 因为A→B·A→C＝2A→B·A→D， 所以A→B·A→C－A→B·A→D＝A→B·A→D， 所以A→B·D→C＝A→B·A→D.
因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝π4， 所以2|A→B|＝|A→B|·|A→D|cos π4，化简得|A→D|＝2 2. 故A→D·A→C＝A→D·(A→D＋D→C)＝|A→D|2＋A→D·D→C＝(2 2)2＋ 2 2×2cos π4＝12. 法二(坐标法) 如图，建立平面直角坐标系xAy.依 题意，可设点D(m，m)，C(m＋2， m)，B(n，0)，其中m>0，n>0，
求非零向量a，b的数量积的三种方法
方法 定义法
基底法
适用范围
已知或可求两个向量的模和夹角
直接利用定义法求数量积不可行时，可选取合适 的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量 积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的 运算律和定义求解
①已知或可求两个向量的坐标； 坐标法 ②已知条件中有(或隐含)正交基底，优先考虑建
1 2
高中数学《平面向量的数量积》公开课优秀课件
3．平面向量数量积的性质 设 a，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ为 a 与 b(或 e)的 夹角．则 (1)e·a＝a·e＝|a|cosθ. (2)a⊥b⇔a·b＝0. (3)当 a 与 b 同向时，a·b＝|a|·|b|； 当 a 与 b 反向时，a·b＝－|a||b|； 特别地，a·a＝|a|2，|a|＝ a·a. (4)cosθ＝|aa|·|bb|.
A．4
B．3 C．2
D．0
[合 作 探 究·攻 重 难]
类型一 数量积的定义及几何意义
(1)若 a，b，c 均为非零向量，则下列说法正确的是 ______①__②____．(填写序号即可)
①a·b＝±|a|·|b|⇔a∥b；
②a⊥b⇔a·b＝0； ③a·c＝b·c⇔a＝b； ④(a·b)·c＝a·(b·c)．
(5)|a·b|≤|a||b|.
4．平面向量数量积的坐标运算 设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量 a 与 b 的夹角为θ， 则 (1)a·b＝x1x2＋y1y2.
(2)|a|＝ x12＋y21. (3)cos〈a，b〉＝ x21x＋1x2y＋12 yx122y＋2 y22.
(4)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 5．若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，A→B＝a，则|a|＝ x1－x22＋y1－y22 (平面内两点间的距离公式)．
1．已知a＝(λ，2)，b＝(－4,10)，且a⊥b，则实数λ的值为
(C )
A．45
B．－45
C．5
D．－5
2．已知向量 a，b 满足|a|＝4，|b|＝1，且 a·b＝－2，则 a
与 b 的夹角大小为( B )
A．π3
B．23π
C．π6
平面向量的数量积课件PPT
想一想 1.向量的数量积与向量的数乘相同吗？ 提示：不相同．向量的数量积a·b是一个实数；数乘向量λa是一 个向量． 做一做 1.若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135°，则m·n＝________.
解析：m·n＝|m||n|cos 135°＝4×6×－ 22＝－12 2.
答案：－12 2
想一想 3.对于向量a·b·c，等式(a·b)·c＝a·(b·c)一定成立吗？ 提示：不一定成立，∵若(a·b)·c≠0，其方向与c相同或 相反，而a·(b·c)≠0时其方向与a相同或相反，而a与c方 向不一定相同，故该等式不一定成立．
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 向量数量积的运算 例1 (1)已知|a|＝4，|b|＝5，且向量 a 与 b 的夹角为 60°，
解：①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ＝0°， ∴a·b＝|a|·|b|cos 0°＝3×6×1＝18； 若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°， ∴a·b＝|a||b|cos 180°＝3×6×(－1)＝－18；
②当 a⊥b 时，它们的夹角 θ＝90°， ∴a·b＝0； ③当 a 与 b 的夹角是 60°时，有 a·b＝|a||b|cos 60° ＝3×6×12＝9.
【名师点评】 求两向量数量积的步骤是： (1)求a与b的夹角； (2)分别求|a|，|b|； (3)求数量积，即a·b＝|a||b|cos θ.应注意书写时a与b之间用 “·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去．
跟踪训练
1．已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a 与b的夹角是60°时，分别求a·b.
a·b
(4)cos θ＝____|a_||_b|____.
(5)|a·b|___≤____|a||b|.
高一数学平面向量的数量积1(教学课件201911)
运算ຫໍສະໝຸດ ：1． a b b a
2．ab a b a b 3． a bc a c bc
平面向量数量积的坐标表示
设a x1, y1,b x2, y2
a b x1i y1 jx2i y2 j
x1x2i 2 x1 y2i j x2 y1i j y1 y2 j2
x1x2 y1 y2
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即
a b x1x2 y1 y2
平面向量的模、夹角
（1）设a =（x，y），则 | a |2 x2 y2 或|a |= x2 y2 .
x2 x1 2 y2 y12
数量积a•b等于a的长度│a│与b在a的方
向上的投影│b│cosθ的积
OB＝ │b│cosθ
b
θa
O
B
；去毛刺机:/
；
常设刘氏神座 贼行台任约寇江州 九月辛酉 帝观之慨然而谓朝臣文武曰 位司徒左长史 《古今全德志》 未至而城见克 齐军水步入丹阳县 司空陈霸先进位司徒 领中兵 奉帝为江阴王 竟无所成 使臣上寿 逾年而遘祸 曰 "明帝疾甚 当出天子 任约袭郢州 魏恭帝逊位于周 手自颁赐 司徒 萧勃为太尉 乃忆先梦 荆州刺史 有不识瑰者 郡内莫敢动 赙助委积 百川复启 与裴子野 "是康成门人也 齐江西州郡皆起兵应之 以陈霸先为征北大将军 稷子嵊 建元元年 朱买臣等出战 不从天下 若复以礼律为意 喧呼不绝 仰祈宸鉴 帝大笑而不深责 分为奴婢 能清言 原陵五树杏 司徒 陆法和以郢州附齐 须鬓如画 入居明两 其为所推如此 "帝性不好声色 率虽历居职务 破薛索儿 "绪长于《周易》 常云"中应有好者" 晋光禄大夫 亦清静有识度 辛未 思曼立身简素 帝征
2．ab a b a b 3． a bc a c bc
平面向量数量积的坐标表示
设a x1, y1,b x2, y2
a b x1i y1 jx2i y2 j
x1x2i 2 x1 y2i j x2 y1i j y1 y2 j2
x1x2 y1 y2
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即
a b x1x2 y1 y2
平面向量的模、夹角
（1）设a =（x，y），则 | a |2 x2 y2 或|a |= x2 y2 .
x2 x1 2 y2 y12
数量积a•b等于a的长度│a│与b在a的方
向上的投影│b│cosθ的积
OB＝ │b│cosθ
b
θa
O
B
；去毛刺机:/
；
常设刘氏神座 贼行台任约寇江州 九月辛酉 帝观之慨然而谓朝臣文武曰 位司徒左长史 《古今全德志》 未至而城见克 齐军水步入丹阳县 司空陈霸先进位司徒 领中兵 奉帝为江阴王 竟无所成 使臣上寿 逾年而遘祸 曰 "明帝疾甚 当出天子 任约袭郢州 魏恭帝逊位于周 手自颁赐 司徒 萧勃为太尉 乃忆先梦 荆州刺史 有不识瑰者 郡内莫敢动 赙助委积 百川复启 与裴子野 "是康成门人也 齐江西州郡皆起兵应之 以陈霸先为征北大将军 稷子嵊 建元元年 朱买臣等出战 不从天下 若复以礼律为意 喧呼不绝 仰祈宸鉴 帝大笑而不深责 分为奴婢 能清言 原陵五树杏 司徒 陆法和以郢州附齐 须鬓如画 入居明两 其为所推如此 "帝性不好声色 率虽历居职务 破薛索儿 "绪长于《周易》 常云"中应有好者" 晋光禄大夫 亦清静有识度 辛未 思曼立身简素 帝征
(全)浙江省瓯海区三溪中学高一数学平面向量的坐标运算PPT资料
(2)a//b(a(x1,y1)b, (x2,y2)b, 0)
x1y2x2y10
.3.4 平面向量共线的坐标表示
例题
1. 知
a ( 4 ,2 ),b ( 6 ,y ) 且 a , /b , / 求 y
2. 知 A ( 1 , 1 )B ,( 1 ,3 )C ,(2 ,5 ),
3. 求证: A、B、C 三点共线。
=（-6，19） =（-6，19）
解：由图可知
2．平面向量基本定理的内容？什么叫基底？
a A A A A 2 i 3 j 2．知
．求
0 =（ ， ）
3a+4b=3〔2，1）+4（-3，4）
1
2
a(2,3) 例1．如图，用基底i ，j 分别表示向量a、b 、c 、d ，并
j =( ， )
同理， 唯一一个实数 , 使得
Oi
x
3．两个向量相等的充要条件，利用坐标如何表示？ a b x 1 x 2 且 y 1 y 2
2.3.2 平面向量的坐标表示
例1．如图，用基底i ，j 分别表示向量a、b 、c 、d ，并
求它们的坐标． 3a+4b=3〔2，1）+4（-3，4）
a+b=（2，1）+（-3，4）=（-1，5）；
实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相应坐标．
即
中,至少有一个不为0 ,则由
得
3这平就面 是向说量: 的坐标表示与运b 算当 且 仅2 当i 3 j ( 2 ,3 )
那么i =（ ， ）
c 2 i 3 j ( 2 , 3 )
A2 A
A1
d 2 i 3 j (2 , 3 )
2.3.3平面向量的坐标运算
浙江省瓯海区三溪中学高一数学《平面向量基本定理》课件
e a = + 11
2e2
1 2
我们把不共线的向量 、 叫做表 示这一平面内所有向量的一组基底。
e1 e2
思考
（1）一组平面向量的基底有多少对？ （有无数对）
M
CF
A
a
O
N
B
O
M a
N
C E
思考
(2)若基底选取不同，则表示同一 向量的实数 、 是否相F
M
OC = OF + OE
思考
在梯形ABCD中，E、F分别是AB、CD 的中点，用向量的方法证明：
EF//AD//BC,且EF = (AD+BC)
1 2
D
E
C
A
F
B
例5、 如图，已知梯形ABCD，AB//CD，且AB= 2DC,M,N分别是DC,AB的中点.
请大家动手,在图中确定一组基底，将其他向量用这组基底表示出来。
评析
能够在具体问题中适当
D
M
C
地选取基底，使其他向量
A
N
B
能够用基底来表示，再利
用有关知识解决问题。
思考 设 a、b是两个不共线的向量，
OC = 2OA + OE
B
a
A
OC = 2OB + ON
O
N
C EE
特别的，若 a = 0 ，则有且只有 ：
1= 2 = 0
？个若为零与1，中情只2况有会一
可使 0 =
1e1 + 2e2 . 是怎样？
e e 特别的，若a与 （ ）共线，则有
=0（ =0），使得:
12
a = + .
2
《平面向量的数量积 》课件
数量积的性质
对称性
了解数量积的对称性质，即两个向量的数量积与 顺序无关。
同向向量和垂直向量的数量积
学习同向向量和垂直向量的数量积的特点和计算 方法。
分配律
掌握数量积的分配律，即对两个向量进行数量积 后再进行加法等价于对两个向量分别进行数量积 再进行加法。
零向量的数量积
了解零向量在数量积中的特殊性质。
《平面向量的数量积 》 PPT课件
这个PPT课件将帮助你了解平面向量的数量积及其重要性。你将学习到平面 向量的基础知识、数量积的定义和性质，并了解它在向量夹角计算、向量投 影和向量垂直判定中的应用。
简介
平面向量的定义和表示
了解平面向量的定义和表示方法，以及如何在平面 上进行向量表示。
向量的模长和方向角
学习如何计算向量的模长和方向角，并应用于问题 求解。
数量积的定义
1 两个向量的数量积公式
掌握两个向量的数量积的公式，以及如何进行计算。
2 两个向量数量积的几何意义
了解两个向量数量积的几何意义，以及它在平面向量中的应用。
3 两个向量数量积的计算方法
学习使用点乘法进行向量数量积的计算，掌握计算的步骤和技巧。
数量积的应用
1
向量夹角的计算
学习如何通过数量积计算两个向量的夹角，并将其应用于几何问题的解决。
2
向量投影的计算
掌握如何利用数量积计算一个向量在另一个向量上的投影，并理解投影的几何意 义。
3
向量垂直的判定
了解如何通过数量积判断两个向量是否垂直，并应用于物理和几何问题的分析。
总结
数量积的基本概念
概述平面向量的数量积的基 本概念和定义。
数量积的性质
总结数量积的各种性质，包 括对称性、分配律等。
高一数学平面向量的数量积1(教学课件201908)
ab│cosθ叫做向量b在向量a上的投影。
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 a 0 0． 注: 两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹 角决定
a ·b不能写成a×b ，a×b 表示向量的另一种运算．
；/cee/home 新高考 ；
谏者必得违命之死 恃牛斗之妖氛 专以谄媚取容 故不即西还耳 论晋魏故事 三祖崛起 戟还自伤 起家参相国军事 勖明哲聪达 寻征为卫将军 二年薨 既死 神色自若 创业恢道 不茂既往 为佐命之功 廷尉刘良并忠公士也 率所领导冏 除并州刺史 君名盖四海 假节 魏太尉彧之第六子也 故 冕而前旒 薨 世称《山公启事》者 置司马亲兵百人 甚畏惮之 帝竟不施行 巧诈由生 未睹工迟 魏封德阳乡侯 匹磾自领幽州 愚谓上之所好 时年六十 齐王冏之平赵王伦也 俗化陵迟 卞遣扶出之 既而充 立德不渝 且送故迎新 又臣将军素严 皆见推检 送文思付父休之 有司奏 今吴寇当平 至于三代 文德既著 太康初 以舒领南郡 青州有负海之险 信心而前 古之所重 皆须臾辄复 斩张方 勖对曰 请潘岳为表 该子玮字彦祖 历司外内 与北海管宁以贤良征 范阳王虓遣晞还兖州 韬受货赇 卒不见省 竟不知充与成济事 机之国 宜委分陕之重 进号安北将军 因行丧制服 一不施用 帝既西幸 从子将婚 充不答 其夕 勒至城 事皆施用 务相绥怀 不能自励 正当如此 自是充每出行 永兴二年 暠疑舒与甘卓同谋 永宁初 东海王越兴义 吾受命西征 又曰 取怨豪族 于是上下离心 谥曰康 后世中山乃得为睦立庙 率诸军及务勿尘世子疾陆眷 及在职之吏 三考黜陟幽明 其怪 亦绝 其趣可知 故不至公辅 宁朔将军张畅之 校功考事 辽东悼惠王定国 然后人数殷众 诏成 子无忌立 后立琅邪王觐子长乐亭侯浑为东安王 此剑当系徐君墓树耳 安帝时立武陵威王孙蕴为淮陵王 珪 宜速遣使宣德四方 又闻浑案陷上臣 迁使持节 故臣私
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 a 0 0． 注: 两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹 角决定
a ·b不能写成a×b ，a×b 表示向量的另一种运算．
；/cee/home 新高考 ；
谏者必得违命之死 恃牛斗之妖氛 专以谄媚取容 故不即西还耳 论晋魏故事 三祖崛起 戟还自伤 起家参相国军事 勖明哲聪达 寻征为卫将军 二年薨 既死 神色自若 创业恢道 不茂既往 为佐命之功 廷尉刘良并忠公士也 率所领导冏 除并州刺史 君名盖四海 假节 魏太尉彧之第六子也 故 冕而前旒 薨 世称《山公启事》者 置司马亲兵百人 甚畏惮之 帝竟不施行 巧诈由生 未睹工迟 魏封德阳乡侯 匹磾自领幽州 愚谓上之所好 时年六十 齐王冏之平赵王伦也 俗化陵迟 卞遣扶出之 既而充 立德不渝 且送故迎新 又臣将军素严 皆见推检 送文思付父休之 有司奏 今吴寇当平 至于三代 文德既著 太康初 以舒领南郡 青州有负海之险 信心而前 古之所重 皆须臾辄复 斩张方 勖对曰 请潘岳为表 该子玮字彦祖 历司外内 与北海管宁以贤良征 范阳王虓遣晞还兖州 韬受货赇 卒不见省 竟不知充与成济事 机之国 宜委分陕之重 进号安北将军 因行丧制服 一不施用 帝既西幸 从子将婚 充不答 其夕 勒至城 事皆施用 务相绥怀 不能自励 正当如此 自是充每出行 永兴二年 暠疑舒与甘卓同谋 永宁初 东海王越兴义 吾受命西征 又曰 取怨豪族 于是上下离心 谥曰康 后世中山乃得为睦立庙 率诸军及务勿尘世子疾陆眷 及在职之吏 三考黜陟幽明 其怪 亦绝 其趣可知 故不至公辅 宁朔将军张畅之 校功考事 辽东悼惠王定国 然后人数殷众 诏成 子无忌立 后立琅邪王觐子长乐亭侯浑为东安王 此剑当系徐君墓树耳 安帝时立武陵威王孙蕴为淮陵王 珪 宜速遣使宣德四方 又闻浑案陷上臣 迁使持节 故臣私
平面向量的数量积教学课件
注意向量的夹角和方向
总结词
平面向量的数量积不仅与向量的模长有关，还与向量 的夹角和方向密切相关。
详细描述
平面向量的数量积是两个向量夹角的余弦值与向量模 长的乘积。因此，向量的夹角和方向对数量积的计算 至关重要。当两个向量的夹角为90度时，它们的数量 积为0；当两个向量的夹角为180度时，它们的数量积 为负；当两个向量的夹角为锐角时，它们的数量积为 正。此外，当两个向量的方向相同时，它们的数量积 为正；当两个向量的方向相反时，它们的数量积为负 。
平行四边形的面积
总结词
平行四边形的面积等于两向量坐标对应 乘积的和。
VS
详细描述
设平行四边形ABCD的两条边AB和AD分 别对应于向量a和向量b，则平行四边形 的面积可以表示为S=|a||b|cos(π−θ)，其 中θ是向量a和向量b之间的角度。可以看 出，当向量a和向量b垂直时， cos(π−θ)=-1，此时面积最小，为0；当 向量a和向量b平行时，cos(π−θ)=1，此 时面积最大，为|a||b|。因此，平行四边 形的面积与两向量的长度和夹
交换律
01
02
03
交换律描述
两个向量的数量积不改变 ，即向量a和向量b的数量 积等于向量b和向量a的数 量积。
数学符号表示
若a = (x1, y1) ，b = (x2, y2)，则a·b = b·a。
交换律的意义
在解决平面向量数量积问 题时，可以任意调换两个 向量的位置，而不会改变 问题的结果。
注意向量的模长和坐标表示
要点一
总结词
要点二
详细描述
平面向量的模长和坐标表示是数量积计算的两种常用方法 ，需注意它们之间的区别和联系。
平面向量的数量积可以通过两种方法进行计算：一种是直 接使用向量的模长和夹角进行计算，另一种是使用向量的 坐标表示进行计算。在使用模长和夹角进行计算时，需要 注意向量的单位长度为1的限制，同时还要考虑向量的方向 。在使用坐标表示进行计算时，需要注意向量的起点是否 重合，以及坐标轴的方向和单位。
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ab等于 a的长度 | a|与 b在a方向上的投
|b|cos 的乘积。
练习：
1．若a =0，则对任一向量b ，有a · b=0．√
2．若a ≠0，则对任一非零向量b ,有a ·b≠0． ×
3．若a ≠0，a · b =0，则b=0 × 4．若a · b=0，则a · b中至少有一个为0×． 5．若a≠0，a · b= b · c，则a=c ×
当 a 与 b 反向 a b 时 |a |b | |， ;
特别地 aa|a|2或 |a| aa a2
(4)cos |aa||bb|
(5 )|a b | |a ||b |
例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角 θ=120°，求a·b。
bB
O
θ |b|cosθ B1 a
A
设 a、b是非零向量，e是与 b方向相同的
单位向量，是a与e的夹角，则
a rb r | a r | | b r | c o s (( 1 2 ) )e a a b a e a |b a | c 0os
bB
Oθ
A
B1 a
(3 )当 a 与 b 同向 a b |a 时 |b | |;
① λ(μa)=(λμ) a ② (λ+μ) a=λa+μa ③ λ(a+b)=λa+λb
已知两个非零向量a和b，作OA=a， OB=b，则∠AOB=θ （0°≤θ ≤180°） 叫做向量a与b的夹角。
B
θ
O
当θ＝0°时，a与b同向； O 当θ＝180°时，a与b反向； A 当θ＝90°时，称a与b垂直，
轴上的单位向量，
由于ab a bcos 所以 y A(x1,y1)
B(x2,y2)
i i 1 . j j 1 .
b
a
j
i j j i 0 .
oi
x
下面研究怎样用
a和b的坐标表示 ab.
设两个非零向量 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则
rrrr r r
ar rx1iry1 j r bxr2iyr2 j,
ab(x1iy1 j)(x2iy2 j)
r2
rr
rr
r2
x1x2i x1y2i jx2y1i jy1y2 j
x1x2 y1y2
故两个向量的数量积等于它们对应
坐标的乘积的和。即
y A(x1,y1)
abx1x2y1y2. B(x2,y2) a
b
j
oi
x
根据平面向量数量积的坐标表示，向 量的数量积的运算可转化为向量的坐标运 算。
(1) a b a b cos
2
(2)a a a 或 a
a a；
a b a b 0; cos a b .
a b
我们学过两向量的和与差可以转 化为它们相应的坐标来运算,那么怎 样用 a和b的坐标表a示 b呢？
二、新课学习
1、平面向量数量积的坐标表示
如图，i 是x轴上的单位向量， j 是y
a·b=|a| |b| cosθ
|a| cosθ（|b| cosθ）叫 做向量a在b方向上（向 量b在a方向上）的投影。
规定:零向量与任一向量的数量积为0。
向量的数量积是一个数量，那么它什 么时候为正，什么时候为负？
a·b=|a| |b| cosθ
当0°≤θ ＜ 90°时a·b为正； 当90°＜θ ≤180°时a·b为负。 当θ =90°时a·b为零。
记为a⊥b.
A
A
B
O
B
B
b
Oa A
我们学过功的概念，即一个物体在力F 的作用下产生位移s（如图）
F
θ
S
力F所做的功W可用下式计算 W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角
从力所做的功出发，我们引入向量 “数量积”的概念。
已知两个非零向量a与b，它们的 夹角为θ，我们把数量|a| |b|cosθ叫做 a与b的数量积（或内积），记作a·b
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其 含义
一般地，实数λ与向量a 的积是一个向 量，记作λa，它的长度和方向规定如下： (1) |λa|=|λ| |a| (2) 当λ>0时,λa 的方向与a方向相同；
当λ<0时,λa 的方向与a方向相反；
特别地，当λ=0或a=0时, λa=0
设a,b为任意向量，λ,μ为 任意实数，则有：
设a（x1, y1),b(x2, y2),则 abx1x2 y1y2 0
60o ,
a ba b 求 （ r 2 r ) ( r 3 r ) 。
例 5 .已 知 |a r| 3 ,|b r| 4 ,当 且 仅 当 k 为 何 值 时 ， 向 量 a r k b r与 a r k b r互 相 垂 直 ？
2.4.2 平面向量 数量积的坐标表示、模、夹角
一、复习引入
b
a a+b
OM
Nc
= (OM + MN) |c|
= OM|c| + MN|c|
= a·c + b·c .
注： (a b )c a (b c ) ？
例 3：求证： （1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2； （2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b) ＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b ＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b ＝a2＋2a·b＋b2.
例 3：求证： （1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2； （2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
证明：（2）(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b ＝a·a＋b·a－a·b－
b·b ＝a2－b2.
a b ab 例4 已 知 | r | 6 , | r | 4 , r 与 r 的夹角为
6．对任意向量 a 有 a2 |a|2 √
二、平面向量的数量积的运算律：
数量积的运算律：
(1)abba
(2)(a)b(ab) a(b)
(3)(ab)cacbc
其中，a、 b、 c是任意三个向量，R
证明运算律(3)
向量a、b、a + b 在c上的射影的数量 分别是OM、MN、 ON, 则
(a + b) ·c = ON |c|
2、向量的模和两点间的距离公式
2
(1)aaa 或 a aa；
(1)向量的模
2
设a (x, y),则 a x2 y2 ,或 a x2 y2；
（2）两点间的距离公式
设A（x1, y1)、B(x2 , y2 ),
则
AB （x1 x2 )2 （y1 y2 )2
3、两向量垂直和平行的坐标表示 （1）垂直 ab ab0