C1LP线性规划问题与模型及几何意义

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§1.1.3 线性规划问题的标准形式
LP模型的标准形式为 LP模型的一般形式为
(M 1 ) max Z c1 x1 c2 x2
cn xn
max(min) Z c1 x1 c2 x2
cn xn
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a x a x a x b mn n m m1 1 m 2 2 x1 , x2 , , xn 0
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【例5】投资问题。某投资公司在第一年有100万元资 金，每年都有如下的投资方案可供考虑采纳：“假使 第一年投入一笔资金，第二年又继续投入此资金的 50%，那么到第三年就可回收第一年投入资金的一倍 金额。”投资公司要设法决定最优的投资策略使第六 年所掌握的资金最多。
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§1.1.1 问题的提出
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【例4】配料问题。某一合金公司同一科研单位签订 一项包含有四种金属的合金订购单，要求的成分规格 是：金属A不少于23%，金属B不多于15%，金属C不 多于4%，金属D要界于35%~65%之间，不允许有其他 成分。合金公司拟从六种不同级别的矿石中进行冶炼， 每种矿物的成分含量和价格如表1-3所示。矿石杂质在 治炼过程中废弃，现要求也每吨合金成本最低的矿物 数量。假设矿石在冶炼过程中，金属含量没有发生变 化。
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§1.1.2 图解法
图解法是用画图的方式求解线性规划的
一种方法。它虽然只能用于解二维（两
个变量）或三维的问题，但其主要作用
并不在于求解，而是在于能够直观地说
明线性规划解的一些重要性质。
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§1.1.2 图解法
做图方法: 如9 x1 4 x2 360， 先做直线9 x1 4 x2 360, 用两点连线方法（令 x1 0, 则x2 90, 再令x2 0, 则x1 40, 于是该直线过 点（0， 90）、（40， 0））； 再确定不等式9 x1 4 x2 360表示上述直线的哪 半平面，可用代入点的方法（如把原点（0， 0）代入 不等式，满足，说明原点所在的半平面即该不等式 所表示的区域）。 因此，它表示以9 x1 4 x2 360为边界的一个半平面。
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§1.1.1 问题的提出
设x1、x2分别表示在计划期内产品I和II的产量，则有 问题的利润函数：z 2 x1 3 x （求最大还是求最小？） 2 台时数约束： 2 x1 3 x2 8 原材料A与B的约束？ 整个完整的模型为？
目标函数： max z 2 x1 3x2 x1 2 x2 8 4 x 16 1 4x2 12 x1 , x2 0
xij 0
i 1,2,3; j 1,2,3,4
【例3】下料问题，某一机床需要用甲、乙、丙三种规 格的轴各一根，这些轴的规格分别是2.9，2.1,1.5（m）， 这些轴需要用同一种圆钢来做，圆钢长度为7.4m。现在 要制造100台机床，最少要用多少圆钢来生产这些轴？
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§1.1.2 图解法
x2
例1： max z 2 x1 3x2 (1) x1 2 x2 8 4 x 16 1 4x2 12 x1 , x2 0 (2) (3) (4)
6
⑶
4
5
⑷
3
1
பைடு நூலகம்
2
(4 2)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
x1
⑵
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或 (M 1) max Z c j x j
j 1 n
a11 x1 a12 x2 a1n xn (, )b1 a x a x a x (, )b 21 1 22 2 2n n 2 a x a x a x ( )b mn n m m1 1 m 2 2 x1 , x2 , , xn 0
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满足约束条件
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线性规划的数学模型由
决策变量 Decision variables 目标函数Objective function 及约束条件Constraints 构成。称为三个要素。
1.决策变量：需要决定的未知量； 2.目标函数：需优化（最大或最小）的量，即欲 达的目标，它决策变量的函数；
第一章、线性规划与单纯形法
本章内容提要
1. 2. 3. 4. 5. 6. 线性规划问题及其数学模型 线性规划问题的几何意义 单纯形法 单纯形法的计算步骤 单纯形法的进一步讨论 线性规划模型的应用
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一． 二． 三． 四．
1.
线性规划(Leaner Programming, LP)为运筹学的重要分支。是 现代科学管理的重要手段之一。 为了完成一项任务或达到一定的目的，怎样用最少的人力、物力 去完成，或者用最少的资源去完成较多的任务或达到一定的目的， 这个过程就是规划。 对满足由一组线性方程或者线性不等式构成约束条件的系统进行 规划，使由系统诸因素构成的线性方程表示的目标函数达到极值， 从而求得诸因素最佳参数的数学方法，称为线性规划。 线性规划的发展

图解法直观、简便，适合变量数为三个 以下的情形。变量数超过三个时怎么求 解？
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练习:用图解法求解下列线性规划问题
m ax Z 10 x1 18 x 2 5 x1 2 x 2 170 2 x 3 x 100 1 2 x1 5 x 2 150 x1 , x 2 0
3.约束条件：为实现优化目标需受到的限制， 用决策变量的等式或不等式表示。
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怎样辨别一个模型是线性规划模型？ 其特征是： 1．解决问题的目标函数是多个决策变量的 线性函数，通常是求最大值或 最小值； 2．解决问题的约束条件是一组多个决策变量 的线性不等式或等式。
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【例2】
产地 A1 A2 A3
销地
B1 4 9 3
B2 8 5 11
B3 8 6 4
B4 4 3 2
产量 6 4 12
销量
6
2
7
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如何组织调运可使总运费最少？
设Ai(i=1,2,3)到Bj(j=1,2,3,4)的调运量为xij。
销地 产地 A1 A2 A3 销量
x
j 1
3
B1 x11 x21 x31 6
1939年，前苏联数学家康托洛维奇用线性模型研究提高组织和生产 效率问题（与Koopmans同获诺贝尔经济学奖）。 1947年，Dantzig提出求解线性规划的单纯形法。 1960年，Dantzig和Wolfe研究成功分解算法，奠定了大规模线性规 划问题理论和算法的基础。 1984年，Karmarka研究成功线性规划的多项式算法。
x
j 1 4 2j
B2 x12 x22 x32 2
x
j 1 4 3j
B3 x13 x23 x33 7
B4 x14 x24 x34 7
产量 6 4 12
4
1j
6
6
4
12
x
i 1
i1
x
i 1
3
i2
2
x
i 1
3
i3
7
x
i 1
3
i4
7
4 8 8 4 x min z 9 5 6 3 ij 3 11 4 2
2. 3.
4.
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本节内容提要
1. 线性规划问题及其数学模型
① ② ③ ④ 问题的提出 图解法 线性规划问题的标准形式 线性规划问题解的概念 基本概念 几个定理
2.
线性规划问题的几何意义
① ②
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§1.1.1 问题的提出
一． 某工厂在计划期内要 安排生产Ⅰ、Ⅱ两种 产品，已知生产单位 产品所需的设备台时 及A、B两种原料的消 耗，单位产品的获利 如表所示。问应如何 安排计划使该工厂获 利最多？（回想解决 问题的一般步骤？模 型的一般数学形式？） Ⅰ Ⅱ
m a x Z 2 x1 3 x 2 x1 2 x 2 2 2x x 3 1 2 x2 4 x1 , x 2 0
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§1.1.3 线性规划问题的标准形式
模型的一般数学形式
线性规划模型的一般形式为
cn xn 评价准则 U f ( xi, yi,i ) 目标 max (min) Z c1 x1 c2 x2 约束条件 g( xi, yi,i ) 0 a1n xn (, ) b1 a11 x1 a12 x2 a x a x 其中： xi为可控变量 a2 n xn (, ) b2 21 1 22 2 yi为已知参数 约束 a x a x i为随机因素 amn xn ( ) bm m1 1 m 2 2 x1 , x2 , , xn 0 评价准则要求达到 最佳,适中,满意等.
设备 原材料A 原材料B
1 4 0
2 0 4
8台时 16Kg 12Kg
单位产品 2元 获利
3元
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§1.1.1 问题的提出
一． 提出和形成问题：弄清问题的目标、可能的约束、可 控变量及其参数，收集有关资料等。 二． 建立模型：将变量、参数、目标及约束关系用模型表 示出来。