C1LP线性规划问题与模型及几何意义
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第三章线性规讲义划模型
用线性规划制订使总利润最大的生产计划。
每件产品占用的 产品 产品 产品 产品 设备能力
机时数（小时/件） 甲 乙 丙 丁 （小时）
设备 A
1.5 1.0 2.4 1.0
2000
设备 B
1.0 5.0 1.0 3.5
8000
设备 C
1.5 3.0 3.5 1.0
5000
利润（元/件） 5.24 7.30 8.34 4.18
目标函数： min W = 8Y1+16Y2+12Y3
s.t
Y1+4Y2≥2
2Y1+4Y3≥3
Y1,Y2,Y3≥0
第三章 线性规划模型
线性规划模型：
目标函数：
MAX Z = 2X1+3X2
ห้องสมุดไป่ตู้
s.t. X1+2X2≤ 8
4X1
≤16
4X2≤12
X1, X2≥0
最优解：X1=4, X2=2, Z=14
原问题
第三章 线性规划模型
▪ 将非标准形式转化为标准形式
• 目标函数为最小化： 令 Z’ = - Z , Z’ 为最大化问题。
• 若约束条件是小于等于型： 在不等式左边加上一个新变量（松弛变量）， 不等式改为等式，目标函数中新变量系数为零。
• 若约束条件是大于等于型： 在不等式左边减去一个新变量（剩余变量）， 不等式改为等式，目标函数中新变量系数为零。
每件产品占用的 产品 产品 产品 产品 设备能力
机时数（小时/件） 甲 乙 丙 丁 （小时）
设备 A
1.5 1.0 2.4 1.0
2000
设备 B
1.0 5.0 1.0 3.5
8000
设备 C
1.5 3.0 3.5 1.0
5000
利润（元/件） 5.24 7.30 8.34 4.18
目标函数： min W = 8Y1+16Y2+12Y3
s.t
Y1+4Y2≥2
2Y1+4Y3≥3
Y1,Y2,Y3≥0
第三章 线性规划模型
线性规划模型：
目标函数：
MAX Z = 2X1+3X2
ห้องสมุดไป่ตู้
s.t. X1+2X2≤ 8
4X1
≤16
4X2≤12
X1, X2≥0
最优解：X1=4, X2=2, Z=14
原问题
第三章 线性规划模型
▪ 将非标准形式转化为标准形式
• 目标函数为最小化： 令 Z’ = - Z , Z’ 为最大化问题。
• 若约束条件是小于等于型： 在不等式左边加上一个新变量（松弛变量）， 不等式改为等式，目标函数中新变量系数为零。
• 若约束条件是大于等于型： 在不等式左边减去一个新变量（剩余变量）， 不等式改为等式，目标函数中新变量系数为零。
ch1第一节LP模型-2016
xj 0
二、 线性规划问题的标准模型
MaxZ=C1X1+ C2X2+…+CnXn a11X1+ a12X2+…+ a1nXn =b1
n
a21X1+ a22X2+…+ a2nXn =b2
… … … … am1X1+ am2X2+…+ amnXn =bm Xj 0(j=1,2,…,n) 其中 bi 0 (i=1,2,…,m)
约束条件（ Constraints ）：线性等式或不等式 目标函数（ Objective function ）： z=ƒ(x1 … xn) 线性式，求z极大或极小
一、问题提出及一般模型
建模条件
(1) 优化条件：问题所要达到的目标能用线型函数描述，且 能够用极值 （max 或 min）来表示；
1960 “最佳资源利用的经济计算” 康托洛维奇和库伯曼斯(Koopmans)因对资 源最优分配理论的贡献而获1975年诺贝尔经 济学奖 60-70年代 计算机 50约束 100变量 3000000变量
30000约束 70年 新发展
冯•诺伊曼(Von Neuman)和摩根斯坦 (Morgenstern)1944年发表的 《对策论与 经济行为》涉及与线性规划等价的对策 问题及线性规划对偶理论
令 z z ， 则 2.变量的符号
运筹学第1章-线性规划
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1. 2图解法
图解法就是利用几何图形求解两个变量线性规划 问题的方法，具有简单、直观的特点，但只适用 于两个变量的线性规划((LP)问题，这是图解法的 局限性。图解法虽然不能解决三个以上变量的线 性规划问题，但通过学习图解法，可以帮助我们 掌握求解线性规划问题的思路以及线性规划问题 解的类型(可能性)。
1.3 普通单纯形法
对于约束条件AX=(B,N) (XB，XN)T =BXB+NXN=b，在等式两端左 乘B-1，有XB+B-1NXN=B-1b，即XB=B-1b-B-1NXN。若令XN=0, XB=B1b。
对于目标函数Z=CX=(CB，CN)(XB，XN)T=CBXB+CNXN，将“B-1bB-1NXN”代人后，有Z=CB (B-1b-B-1NXN)+CNXN=CBB-1b+(CN一 CBB-1N)XN，令XN = 0 , Z=CBB-1b。其中“CN-CBB-1N”为非基变 量检验数，通常用“σN=CN-CBB-1N”表示。对于某一非基变量的 检验数，也可表示为“σj=cj-Zj。同理，基变量检验数为“σB=CBCBB-1B”，因此基变量的检验数为零。所有检验数可表示为 “σ=C-CBB-1 A”。上述推导过程可用表1一11和表1一12表示(其 中，E为单位矩阵，即B-1B=E)，称为单纯形表。
(2)单纯形法原理。 对于公式(1-7)，可令A=(P1，P2，…，Pm，Pm+1，…，Pn)，其中
11 线性规划问题及其数学模型
表1.2 营业员需要量统计表
需要人数 星期
需要人数
300
五
480
300
六
600
350
日
550
400
商场人力资源部应如何安排每天的上班人数，使商场总的营 业员最少。
第19页
线性规划问题举例
【例1.4】合理用料问题。某汽车需要用甲、乙、丙三种规 格的轴各一根，这些轴的规格分别是1.5，1，0.7（m）， 这些轴需要用同一种圆钢来做，圆钢长度为4 m。现在要制 造1000辆汽车，最少要用多少圆钢来生产这些轴？
第4页
线性规划问题提出
上述这些问题有如下共同特点： 问题解决要满足一定条件，称为约束条件； 问题有多个满足条件的解决方案； 问题解决有明确的目标要求，对应不同方
案有不同目标值，可表示成目标函数。
第5页
线性规划问题及其数学模型
问题提出与建模
生产计划问题 运输问题
线性规划模型
一般形式 规范形式 标准形式 形式转换
.axij1
x1
0;
a j
i2 x2 a 1,2,..., q
in
x
n
bi ;i
p 1,..., m
x
无
j
限
制;
j
1,2,...,
1-1线性规划问题及其数学模型
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• “” 约束： 减去非负剩余变量； • xk 可正可负（即无约束）；
k 令 xk xk x ' "
Max
k 0 xk , x ' "
x6
例 ： min z x1 2 x2 3 x3
x1 x1
x2 x3 7 x 7 x2 x3 2
如何安排生产 使利润最大
？
产品 2
产品 I
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•基本概念
决策变量（Decision variables） 目标函数（Objective function ） 它是决策变量的函数 约束条件（Constraint conditions） 指决策变量取值时受到 可行域（Feasible region) 的各种资源条件的限制 最优解（Optimal solution) ，通常表达为含决策变
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线性规划模型的条件
• （1）要求解问题的目标函数能用数 值指标来反映，且为线性函数； • （2）存在着多种方案； • （3）要求达到的目标是在一定约束 条件下实现的，这些约束条件可用 线性等式或不等式来描述。
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(一) 运输问题
设某种物资有m个产地，A1，A2，…，A m； 联合供应n个销地：B1，B2，…，Bn。 各产地产量（单位：吨），各销地销量（单位： 吨），各产地至各销地单位运价（单位：元／ 吨）如下表所示。
• “” 约束： 减去非负剩余变量； • xk 可正可负（即无约束）；
k 令 xk xk x ' "
Max
k 0 xk , x ' "
x6
例 ： min z x1 2 x2 3 x3
x1 x1
x2 x3 7 x 7 x2 x3 2
如何安排生产 使利润最大
？
产品 2
产品 I
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•基本概念
决策变量（Decision variables） 目标函数（Objective function ） 它是决策变量的函数 约束条件（Constraint conditions） 指决策变量取值时受到 可行域（Feasible region) 的各种资源条件的限制 最优解（Optimal solution) ，通常表达为含决策变
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线性规划模型的条件
• （1）要求解问题的目标函数能用数 值指标来反映，且为线性函数； • （2）存在着多种方案； • （3）要求达到的目标是在一定约束 条件下实现的，这些约束条件可用 线性等式或不等式来描述。
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(一) 运输问题
设某种物资有m个产地，A1，A2，…，A m； 联合供应n个销地：B1，B2，…，Bn。 各产地产量（单位：吨），各销地销量（单位： 吨），各产地至各销地单位运价（单位：元／ 吨）如下表所示。
运筹与优化--线性规划
例题1(生产计划问题 某厂生产两种产品， 例题1(生产计划问题) : 某厂生产两种产品， 生产计划问题) 需要三种资源，已知各产品的利润、 需要三种资源，已知各产品的利润、各资源 的限量和各产品的资源消耗系数如下表： 的限量和各产品的资源消耗系数如下表：
产品A 产品A 劳动力 设 备 原材料 利润元/kg 9 4 3 70 产品B 产品B 4 5 10 120 资源限量 360 200 300
例题1 例题1建模
问题：如何安排生产计划，使得获利最多？ 问题：如何安排生产计划，使得获利最多？ 步骤： 步骤： 1、确定决策变量：设生产A产品X1kg， 确定决策变量：设生产A产品X kg， B产品 X2kg 2、确定目标函数：maxZ=70X1+120X2 确定目标函数： 3、确定约束条件：人力约束 9X1+4X2≤360 确定约束条件： 设备约束 4X1+5X2 ≤200 原料约束 3X1+10X2≤300 非负约束 X1≥0 X2≥0
运筹与优化
第一章 线性规划与单纯形法
福州大学体育馆
第一章 线性规划与单纯形法
线性规划模型 线性规划的图解 可行域的性质 线性规划的基本概念 线性规划的几何意义 单纯形法 人工变量法 单纯形法的矩阵表示
第一节线性规划及其 第一节线性规划及其数学模型 线性规划及其数学模型
1.1
LP的数学模型 LP的数学模型
产品A 产品A 劳动力 设 备 原材料 利润元/kg 9 4 3 70 产品B 产品B 4 5 10 120 资源限量 360 200 300
例题1 例题1建模
问题：如何安排生产计划，使得获利最多？ 问题：如何安排生产计划，使得获利最多？ 步骤： 步骤： 1、确定决策变量：设生产A产品X1kg， 确定决策变量：设生产A产品X kg， B产品 X2kg 2、确定目标函数：maxZ=70X1+120X2 确定目标函数： 3、确定约束条件：人力约束 9X1+4X2≤360 确定约束条件： 设备约束 4X1+5X2 ≤200 原料约束 3X1+10X2≤300 非负约束 X1≥0 X2≥0
运筹与优化
第一章 线性规划与单纯形法
福州大学体育馆
第一章 线性规划与单纯形法
线性规划模型 线性规划的图解 可行域的性质 线性规划的基本概念 线性规划的几何意义 单纯形法 人工变量法 单纯形法的矩阵表示
第一节线性规划及其 第一节线性规划及其数学模型 线性规划及其数学模型
1.1
LP的数学模型 LP的数学模型
运筹学第1章
理工作中帮助管理者做出科学决策的重要手段。
China University of Mining and Technology
§1
线性规划问题及其数学模型
China University of Mining and Technology
1.1 问题的提出 在生产管理和经营活动中经常需要解决：如何合理地 利用有限的资源，以得到最大的效益。 我们先通过一个实际问题来认识什么是线性规划.
3 x1 2 x2 18 x 4 1 2 x2 12 x1 , x2 0
China University of Mining and Technology
解：先引入三个松弛变量x3、x4、x5 在每个约束不等式 中分别加上松弛变量使不等式化为等式， 3x1+2x2 ≤18
China University of Mining and Technology
练习1 某企业要在计划期内安排生产甲、乙两种产品，这 个企业现有的生产资料是：设备18台时，原材料A 4吨，原 材料 B 12吨；已知单位产品所需消耗生产资料及利润如表 1。问应如何确定生产计划使企业获利最多。
产品
资源 设备/机时
s.t.
这类决策问题的应用领域非常广泛.
China University of Mining and Technology
• 从前面对实际问题建立数学模型的过程，可以得
China University of Mining and Technology
§1
线性规划问题及其数学模型
China University of Mining and Technology
1.1 问题的提出 在生产管理和经营活动中经常需要解决：如何合理地 利用有限的资源，以得到最大的效益。 我们先通过一个实际问题来认识什么是线性规划.
3 x1 2 x2 18 x 4 1 2 x2 12 x1 , x2 0
China University of Mining and Technology
解：先引入三个松弛变量x3、x4、x5 在每个约束不等式 中分别加上松弛变量使不等式化为等式， 3x1+2x2 ≤18
China University of Mining and Technology
练习1 某企业要在计划期内安排生产甲、乙两种产品，这 个企业现有的生产资料是：设备18台时，原材料A 4吨，原 材料 B 12吨；已知单位产品所需消耗生产资料及利润如表 1。问应如何确定生产计划使企业获利最多。
产品
资源 设备/机时
s.t.
这类决策问题的应用领域非常广泛.
China University of Mining and Technology
• 从前面对实际问题建立数学模型的过程，可以得
第一章单纯形法
x11 x21 1700 x x 1100 12 22 x13 x23 200 s.t. x11 x12 x13 2000 x21 x22 x23 1000 xij 0 i 1,2; j 1,2,3
x2 8
Q1(0,6)
图1-1
Q2(2,6)
图解法解题过程 x1=4 2 x2 = 12
max z 3x1 5x2
6
3 x1 2 x2 18 x 4 1 2 x2 12 x1 , x2 0
4
可行解
可行域Q
Q3(4,3)
3x1+5x2= z =36
可行域
分别等于A、B、C三销地的销量，所 以xij 还应该满足：
显然：
xij 0
பைடு நூலகம்
i 1,2; j 1,2,3
调运方案的总运费为：
z 21x11 25x12 7 x13 51x21 51x22 37x23
建立产销平衡下运费最省的调运问题的数学模型：
min z 21 x11 25 x12 7 x13 51 x21 51 x22 37 x23
目标方程
s.t.
约束条件 非负约束条件
例2 （物资运输问题）
某公司要运销一种物资。该物资有甲、乙两个产地，产 量分别是2000吨、1000吨；另有A、B、C三个销地，销 量分别是1700吨、1100吨、200吨。已知该物资的单位运 价如下表。问应如何确定调运方案，才能使在产销平衡 的条件下，总运费最低？
x2 8
Q1(0,6)
图1-1
Q2(2,6)
图解法解题过程 x1=4 2 x2 = 12
max z 3x1 5x2
6
3 x1 2 x2 18 x 4 1 2 x2 12 x1 , x2 0
4
可行解
可行域Q
Q3(4,3)
3x1+5x2= z =36
可行域
分别等于A、B、C三销地的销量，所 以xij 还应该满足：
显然：
xij 0
பைடு நூலகம்
i 1,2; j 1,2,3
调运方案的总运费为：
z 21x11 25x12 7 x13 51x21 51x22 37x23
建立产销平衡下运费最省的调运问题的数学模型：
min z 21 x11 25 x12 7 x13 51 x21 51 x22 37 x23
目标方程
s.t.
约束条件 非负约束条件
例2 （物资运输问题）
某公司要运销一种物资。该物资有甲、乙两个产地，产 量分别是2000吨、1000吨；另有A、B、C三个销地，销 量分别是1700吨、1100吨、200吨。已知该物资的单位运 价如下表。问应如何确定调运方案，才能使在产销平衡 的条件下，总运费最低？
运筹学第一章
19
线性规划的标准型
矩阵式： maxZ=CX
AX=b 其中： b=(b1,b2,…,bm)T
X ≥0
a11 a12 ….a1n A= a21 a22 … a2n
… … …
am1 am2 …amn
OR1
20
标准型的特征
目标函数极大化（也有的版本选择极小化） 约束条件为等式 决策变量非负
OR1
14
总
结
从以上 5 个例子可以看出，它们都属于优化问题，它们 的共同特征： 1 、每个问题都用一组决策变量表示某一方案；这组决 策变量的值就代表一个具体方案，一般这些变量取值是 非负的。 2 、存在一定的约束条件，这些约束条件可以用一组线 性等式或线性不等式来表示。 3 、都有一个要求达到的目标，它可用决策变量的线性 函数（称为目标函数）来表示。按问题的不同，要求目 标函数实现最大化或最小化。 满足以上三个条件的数学模型称为线性规划的数学模型。
OR1
21
非标准型转化为标准型
目标函数极小化转为极大化： minZ=－max(－Z) ，一个数的极小化等价于其 相反数的极大化。 不等式约束的转化： ∑aijxj≤bi 加入松弛变量
∑aijxj≥bi 减去剩余变量 非正变量：即xk ≤0 则令x’k =－ xk 自由变量：即xk无约束，令xk= x’k－x”k
1-1LP模型的结构及建模步骤及标准型
Step.2
Step2 --定义目标函数
问题—>目标： 光华食品厂每天生产这两种饼干的量应为多少， 可使其利润最大？
目标函数：max Z=5x1＋4x2
单位时耗(小时/吨） 资源设备 搅拌机 3 4 15 Ⅰ Ⅱ 每天现有工时
成型机
烘箱 利润（百元/吨）
2
2 5
1
2 4
5
11
x1
x2
2012年9月8日9时15分
s.t.
x 1 j x 2 j b j ; j 1, 2 , 3 , 4
x ij 0 ; i 1, 2 , j 1, 2 , 3 , 4
2012年9月8日9时15分
例3 生产计划
产品甲 产品乙 生产能力(小 时)
设：产品甲生产x1，产品乙生产x2 目标：Max z=70x1+65x2 约束条件： 设备A生产能力限制：7x1+3x2≤210 设备B生产能力限制：4x1+5x2≤200 设备C生产能力限制：2x1+4x2≤180 产量非负限制： x1，x2≥0
求解
解的检验 解的控制 解的实施
2012年9月8日9时15分
线性规划建模课堂练习------产品配比问题
例：用浓度45%和92%的硫酸配置100吨浓度80%的硫酸。
决策变量：取45%和92%的硫酸分别为 x1 和 x2 吨 约束条件：
《管理运筹学》线性规划的数学模型及相关概念
=4
x1 , x2′, x2〞, x3′, x4 , x5 ≥ 0
17
第1节 线性规划的数学模型及相关概念
二、线性规划的标准形式
练习：将下述LP问题化成标准形
min z = x1 ＋ 2 x2 － 3 x3 x1 ＋ 2 x2 － x3 ≤ 5
s.t. 2x1 ＋ 3 x2 － x3 ≥ 6
－ x1 － x2 ＋ x3 ≥ － 2 x1 ≥0, x3 ≤ 0
x1
x2 x3 x4
决策变量
max z = 5.24x1 +7.30x2 +8.34x3 +4.18x4
0 目标函数
1.5x1 + 1.0x2 + 2.4x3 + 1.0x4 ≤ 2000 ①
1.0x1 + 5.0x2 + 1.0x3 + 3.5x4 ≤ 8000 ② 函数约束 s.t. 1.5x1 + 3.0x2 + 3.5x3 + 1.0x4 ≤ 8000 ③
解:
max z′= － x1 － 2x2 ＋ 3x3
x1 ＋ 2x2 － x3 + x4
=5
s.t. 2x1 ＋ 3x2 － x3
x1 ＋ x2 － x3
- x5
=6
+x6 = 2
x1 , x4 , x5 , x6 ≥ 0 , x3 ≤ 0
线性规划图解法几何意义
凸组合:设 X (1) , X (2) ,..., X (k) 是n维欧氏空间中的k个点
X 1 X (1) 2 X (2) ... k X (k ) 1 i 0, i 1
则称X是 X (1) , X (2) ,..., X (k) 的凸组合
凸集的概念：
凸集
顶点
最优基：基最优解对应的可行基B称为最优基.
一. 线性规划问题解的概念（4）
8.退化解： 若基本可行解X的所有基变量的值均大于0， 则称X是非退化的，否则称X为退化的。
若(LP)的所有基本可行解都是非退化的, 则称线性规划问题是非退化的.
二. 例题
考虑线性规划问题：
(LP)
max Z 2x1 3x2
1 2 1 0 0
A 4 0 0 1 0
0 4 0 0 1
很显然A中的后3列是线性无关的，它们构成一个基
B (P3, P4 , P5 ) E
基B对应的变量x3,x4,x5是基变量，则
二. 单纯形法引例（2）
即：
x3 8 x1 2x2
x4
16
6.当变量xi≤0时
则令 xi xi 0, 再代入线性规划模型中
例3 将例1的数学模型化为标准形
该线性规划问题加入三个松驰变量x3,x4,x5≥0后：
max z 2x1 3x2 max z 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5
X 1 X (1) 2 X (2) ... k X (k ) 1 i 0, i 1
则称X是 X (1) , X (2) ,..., X (k) 的凸组合
凸集的概念：
凸集
顶点
最优基：基最优解对应的可行基B称为最优基.
一. 线性规划问题解的概念（4）
8.退化解： 若基本可行解X的所有基变量的值均大于0， 则称X是非退化的，否则称X为退化的。
若(LP)的所有基本可行解都是非退化的, 则称线性规划问题是非退化的.
二. 例题
考虑线性规划问题：
(LP)
max Z 2x1 3x2
1 2 1 0 0
A 4 0 0 1 0
0 4 0 0 1
很显然A中的后3列是线性无关的，它们构成一个基
B (P3, P4 , P5 ) E
基B对应的变量x3,x4,x5是基变量，则
二. 单纯形法引例（2）
即：
x3 8 x1 2x2
x4
16
6.当变量xi≤0时
则令 xi xi 0, 再代入线性规划模型中
例3 将例1的数学模型化为标准形
该线性规划问题加入三个松驰变量x3,x4,x5≥0后：
max z 2x1 3x2 max z 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5
运筹学Ch1线性规划
0 C1 67 C2 146 C3 170 C4 97 C5 120 C6 17 C7
Z＝617（人）
404 >= 301 >= 350 >= 400 >= 480 >= 600 >= 550 >=
300 104
300
1
350
0
400
0
480
0
600
0
550
0
注：表中是取整数后的结果！整数规划将在第3章讲解。
Mathematical Model of LP
2020年2月14日星期五
设xj(j=1,2…,10)为第j种下料方案所用圆钢的根数。则用料最少 数学模型为:
10
min Z x j j 1
2x1 2x2 x3 x4 x5 1000
x1
2 x3 x4 4x6 3x7 2x8 x9 1000
wenku.baidu.com
j 1, 2,L
,7
星 需要 星 需要 期 人数 期 人数
一 300 五 480 二 300 六 600 三 350 日 550 四 400
最优解：
1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP
2020年2月14日星期五
1 X1 2 X2 3 X3 4 X4 5 X5 6 X6 7 X7
线性规划的概念与方法
线性规划
Linear Programming
2021/7/5
Page 15
解: 设xj（j=1,2，…，5）是第j 种矿石数量，得到下列线性规划模
型
min Z 340x1 260x2 180x3 230x4 190x5
0.25x1 0.4x2 0.2x4 0.08x5 0.28 0.1x1 0.15x3 0.2x4 0.05x5 0.15
00..12x51x1 0.00.53xx32
0.15x5 0.1 0.2x3 0.4x4
0.17 x5
0.55
0.25x1 0.3x 2 0.2x3 0.4x4 0.17x5 0.35
0.7x1 0.7x2 0.4x3 0.8x4 0.45x5 1
x
j
0,
j
1, 2,
线性规划通常研究资源的最优利用、设备最佳运行等问
题。例如，当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安 排，用最少的资源 （如资金、设备、原标材料、人工、时 间等）去完成确定的任务或目标；企业在一定的资源条件 限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（如产品 量最多 、利润最大）。
制作与教学
1.1 线性规划的数学模型 Mathematical Model of LP
表1．3 下料方案
方案 1 2 3 4
规格
5 6 7 8 9 10 需求量
第二讲 线性规划图解法几何意义
'
=7 x1 + x2 + ( x4 x5 ) + x6 x x + (x x ) x7 = 2 1 2 4 5 =5 3 x1 + x2 + 2( x4 x5 ) x1 , x2 , x4 , x5 , x6 , x7 ≥ 0
2.线性规划图解法 对于只有两个变量的线性规划问题,可用几何作图法 对于只有两个变量的线性规划问题 , 求解,称之为图解法 求解,称之为图解法 一种最简单、 最直观的方法， 一种最简单 、 最直观的方法 ， 而且能反映一般 线性规划问题解的一些共同性质 注：图解法只适用于两个变量的线性规划问题。 图解法只适用于两个变量的线性规划问题。 图解法的步骤可概括为： 图解法的步骤可概括为： （1）在平面上建立直角坐标系 图示约束条件，找出可行域， （2）图示约束条件，找出可行域， 图示目标函数和寻找最优解。 （3）图示目标函数和寻找最优解。 预备知识 二元线性方程ax+by ax+by＋ 1、二元线性方程ax+by＋c＝0将平面分为两个半平面 2、二元线性不等式ax+by＋c＞（＜）0表示某半平面 二元线性不等式ax+by＋ ＞（＜）0 ax+by
单纯形法
单纯形法引例
Max Z = 2x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 考虑线性规划问题： 考虑线性规划问题： =8 x1 + 2x2 + x3 4x (LP) + x4 =16 1 S.T. 4x2 + x5 =12 x1, x2 , x3, x4 , x5 ≥ 0
=7 x1 + x2 + ( x4 x5 ) + x6 x x + (x x ) x7 = 2 1 2 4 5 =5 3 x1 + x2 + 2( x4 x5 ) x1 , x2 , x4 , x5 , x6 , x7 ≥ 0
2.线性规划图解法 对于只有两个变量的线性规划问题,可用几何作图法 对于只有两个变量的线性规划问题 , 求解,称之为图解法 求解,称之为图解法 一种最简单、 最直观的方法， 一种最简单 、 最直观的方法 ， 而且能反映一般 线性规划问题解的一些共同性质 注：图解法只适用于两个变量的线性规划问题。 图解法只适用于两个变量的线性规划问题。 图解法的步骤可概括为： 图解法的步骤可概括为： （1）在平面上建立直角坐标系 图示约束条件，找出可行域， （2）图示约束条件，找出可行域， 图示目标函数和寻找最优解。 （3）图示目标函数和寻找最优解。 预备知识 二元线性方程ax+by ax+by＋ 1、二元线性方程ax+by＋c＝0将平面分为两个半平面 2、二元线性不等式ax+by＋c＞（＜）0表示某半平面 二元线性不等式ax+by＋ ＞（＜）0 ax+by
单纯形法
单纯形法引例
Max Z = 2x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 考虑线性规划问题： 考虑线性规划问题： =8 x1 + 2x2 + x3 4x (LP) + x4 =16 1 S.T. 4x2 + x5 =12 x1, x2 , x3, x4 , x5 ≥ 0
1线性规划问题及其数学模型
运筹学中应用最广泛的方法之一
运筹学的最基本的方法之一，网络规划， 运筹学的最基本的方法之一，网络规划， 整数规划， 整数规划，目标规划和多目标规划都是 以线性规划为基础的
解决稀缺资源最优分配的有效方法， 解决稀缺资源最优分配的有效方法，使 付出的费用最小或获得的收益最大
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二、LP的数学模型 的数学模型
B-1 b 定义5 基可行解——基 定义5：基可行解——基B，对应基解X= —— 0 0(满足非负约束条件 满足非负约束条件) 若B-1 b≥0(满足非负约束条件)，则该基解为基 可行解。 可行解。 对应于基可行解的基B称为可行基。 对应于基可行解的基B称为可行基。 可行基
可行解
基 可 行 解
基解
例
3X1+2X2 ≤ 8 X1 -4X2≤ 14 X1≤0， X2≥0 令X1' = -X1 -3X1' +2X2 ≤ 8 -X1' - 4X2 ≤ 14 X1' , X2 ≥0
例
3X1+2X2 ≤ 8 X1 -4X2≤ 14 X1无约束， 2≥0 X 令X1= X1'- X1 " X1'≥0， X1 "≥0
例：将 min Z = -x1+2x2 -3x3
x1+x2 +x3≤ 7 x1 -x2 +x3 ≥2 x1，x2≥0，x3无约束
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图解法直观、简便，适合变量数为三个 以下的情形。变量数超过三个时怎么求 解？
23
2014-10-15
练习:用图解法求解下列线性规划问题
m ax Z 10 x1 18 x 2 5 x1 2 x 2 170 2 x 3 x 100 1 2 x1 5 x 2 150 x1 , x 2 0
第一章、线性规划与单纯形法
本章内容提要
1. 2. 3. 4. 5. 6. 线性规划问题及其数学模型 线性规划问题的几何意义 单纯形法 单纯形法的计算步骤 单纯形法的进一步讨论 线性规划模型的应用
2014-10-15
2
一． 二． 三． 四．
1.
线性规划(Leaner Programming, LP)为运筹学的重要分支。是 现代科学管理的重要手段之一。 为了完成一项任务或达到一定的目的，怎样用最少的人力、物力 去完成，或者用最少的资源去完成较多的任务或达到一定的目的， 这个过程就是规划。 对满足由一组线性方程或者线性不等式构成约束条件的系统进行 规划，使由系统诸因素构成的线性方程表示的目标函数达到极值， 从而求得诸因素最佳参数的数学方法，称为线性规划。 线性规划的发展
x
j 1 4 2j
B2 x12 x22 x32 2
x
j 1 4 3j
B3 x13 x23 x33 7
B4 x14 x24 x34 7
产量 6 4 12
4
1j
6
6
4
12
x
i 1
i1
x
i 1
3
i2
2
x
i 1
3
i3
7
x
i 1
3
i4
7
4 8 8 4 x min z 9 5 6 3 ij 3 11 4 2
7
满足约束条件
2014-10-15
线性规划的数学模型由
决策变量 Decision variables 目标函数Objective function 及约束条件Constraints 构成。称为三个要素。
1.决策变量：需要决定的未知量； 2.目标函数：需优化（最大或最小）的量，即欲 达的目标，它决策变量的函数；
12
【例4】配料问题。某一合金公司同一科研单位签订 一项包含有四种金属的合金订购单，要求的成分规格 是：金属A不少于23%，金属B不多于15%，金属C不 多于4%，金属D要界于35%~65%之间，不允许有其他 成分。合金公司拟从六种不同级别的矿石中进行冶炼， 每种矿物的成分含量和价格如表1-3所示。矿石杂质在 治炼过程中废弃，现要求也每吨合金成本最低的矿物 数量。假设矿石在冶炼过程中，金属含量没有发生变 化。
m a x Z 2 x1 3 x 2 x1 2 x 2 2 2x x 3 1 2 x2 4 x1 , x 2 0
2014-10-15
24
§1.1.3 线性规划问题的标准形式
模型的一般数学形式
线性规划模型的一般形式为
cn xn 评价准则 U f ( xi, yi,i ) 目标 max (min) Z c1 x1 c2 x2 约束条件 g( xi, yi,i ) 0 a1n xn (, ) b1 a11 x1 a12 x2 a x a x 其中： xi为可控变量 a2 n xn (, ) b2 21 1 22 2 yi为已知参数 约束 a x a x i为随机因素 amn xn ( ) bm m1 1 m 2 2 x1 , x2 , , xn 0 评价准则要求达到 最佳,适中,满意等.
2014-10-15
25
§1.1.3 线性规划问题的标准形式
LP模型的标准形式为 LP模型的一般形式为
(M 1 ) max Z c1 x1 c2 x2
cn xn
max(min) Z c1 x1 c2 x2
cn xn
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a x a x a x b mn n m m1 1 m 2 2 x1 , x2 , , xn 0
2014-10-15
⑵
无界解
(1) (2)
⑴
x1 21
例4： min Z 3 x1 2 x x1 x2 1 2 x1 3 x2 6 x1 , x2 0 (1) ( 2)
x2
无可行解
⑵ ⑴
x1
§1.1.2 图解法
LP解的情况
唯 一 解（例1） 有最优解 无 穷 解（例2） 无 界 解（例3） 无最优解 无可行解（例4）
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13
表1－3 金属
A% 25 40 20 0
B% 10 0 10 15
C% D% 10 0 0 5 25 30 30 20
杂质 ％ 30 30 40 60
矿石
1 2 3 4
费用 （元/t ） 23 20 18 10
5
6
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20
8
20
5
0
15
40
17
20
55
27
12
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§1.1.2 图解法
图解法是用画图的方式求解线性规划的
一种方法。它虽然只能用于解二维（两
个变量）或三维的问题，但其主要作用
并不在于求解，而是在于能够直观地说
明线性规划解的一些重要性质。
2014-10-15
18
§1.1.2 图解法
做图方法: 如9 x1 4 x2 360， 先做直线9 x1 4 x2 360, 用两点连线方法（令 x1 0, 则x2 90, 再令x2 0, 则x1 40, 于是该直线过 点（0， 90）、（40， 0））； 再确定不等式9 x1 4 x2 360表示上述直线的哪 半平面，可用代入点的方法（如把原点（0， 0）代入 不等式，满足，说明原点所在的半平面即该不等式 所表示的区域）。 因此，它表示以9 x1 4 x2 360为边界的一个半平面。
14
【例5】投资问题。某投资公司在第一年有100万元资 金，每年都有如下的投资方案可供考虑采纳：“假使 第一年投入一笔资金，第二年又继续投入此资金的 50%，那么到第三年就可回收第一年投入资金的一倍 金额。”投资公司要设法决定最优的投资策略使第六 年所掌握的资金最多。
2014-10-15
15
§1.1.1 问题的提出
9
【例2】
产地 A1 A2 A3
销地
B1 4 9 3
B2 8 5 11
B3 8 6 4
B4 4 3 2
产量 6 4 12
销量
6
2
7
7
如何组织调运可使总运费最少？
设Ai(i=1,2,3)到Bj(j=1,2,3,4)的调运量为xij。
销地 产地 A1 A2 A3 销量
x
j 1
3
B1 x11 x2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ x31 6
3.约束条件：为实现优化目标需受到的限制， 用决策变量的等式或不等式表示。
2014-10-15 8
怎样辨别一个模型是线性规划模型？ 其特征是： 1．解决问题的目标函数是多个决策变量的 线性函数，通常是求最大值或 最小值； 2．解决问题的约束条件是一组多个决策变量 的线性不等式或等式。
2014-10-15
20
例2： max Z x1 2 x2 (1) x1 2 x2 6 3 x 2 x 12 ( 2) 1 2 (3) x2 2 x1 0, x2 0
x2
无穷多最优解
⑵ ⑶
⑴
x2
x1
例3： max Z x1 x2 x1 2 x2 2 x1 x2 1 x ,x 0 1 2
或 (M 1) max Z c j x j
j 1 n
a11 x1 a12 x2 a1n xn (, )b1 a x a x a x (, )b 21 1 22 2 2n n 2 a x a x a x ( )b mn n m m1 1 m 2 2 x1 , x2 , , xn 0
xij 0
i 1,2,3; j 1,2,3,4
【例3】下料问题，某一机床需要用甲、乙、丙三种规 格的轴各一根，这些轴的规格分别是2.9，2.1,1.5（m）， 这些轴需要用同一种圆钢来做，圆钢长度为7.4m。现在 要制造100台机床，最少要用多少圆钢来生产这些轴？
2014-10-15
设备 原材料A 原材料B
1 4 0
2 0 4
8台时 16Kg 12Kg
单位产品 2元 获利
3元
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5
§1.1.1 问题的提出
一． 提出和形成问题：弄清问题的目标、可能的约束、可 控变量及其参数，收集有关资料等。 二． 建立模型：将变量、参数、目标及约束关系用模型表 示出来。
问题的目标：获利最多。 可能的约束：设备台时、原材料A、B。 可控变量:产品生产量。 建立模型：将变量、参数、目标及约束关系表示出来。
1939年，前苏联数学家康托洛维奇用线性模型研究提高组织和生产 效率问题（与Koopmans同获诺贝尔经济学奖）。 1947年，Dantzig提出求解线性规划的单纯形法。 1960年，Dantzig和Wolfe研究成功分解算法，奠定了大规模线性规 划问题理论和算法的基础。 1984年，Karmarka研究成功线性规划的多项式算法。
2014-10-15
6
§1.1.1 问题的提出
设x1、x2分别表示在计划期内产品I和II的产量，则有 问题的利润函数：z 2 x1 3 x （求最大还是求最小？） 2 台时数约束： 2 x1 3 x2 8 原材料A与B的约束？ 整个完整的模型为？
目标函数： max z 2 x1 3x2 x1 2 x2 8 4 x 16 1 4x2 12 x1 , x2 0
2. 3.
4.
2014-10-15
3
本节内容提要
1. 线性规划问题及其数学模型
① ② ③ ④ 问题的提出 图解法 线性规划问题的标准形式 线性规划问题解的概念 基本概念 几个定理
2.
线性规划问题的几何意义
① ②
2014-10-15
4
§1.1.1 问题的提出
一． 某工厂在计划期内要 安排生产Ⅰ、Ⅱ两种 产品，已知生产单位 产品所需的设备台时 及A、B两种原料的消 耗，单位产品的获利 如表所示。问应如何 安排计划使该工厂获 利最多？（回想解决 问题的一般步骤？模 型的一般数学形式？） Ⅰ Ⅱ
16
2014-10-15
§1.1.1 问题的提出
• 线性规划模型的一般形式为
max (min) Z c1 x1 c2 x2 cn xn (1-1) 目标函数
a1n xn (, ) b1 a11 x1 a12 x2 a x a x a2 n xn (, ) b2 (1-2) 21 1 22 2 满足约束条件 a x a x amn xn ( ) bm m1 1 m2 2 (1-3) x1 , x2 , , xn 0 式（1-1）称为目标函数，c j为价值系数；式（1-2）、式（1-3） 称为约束条件；aij称为技术系数，bi 称为限额系数，式（1-3）也 称为变量的非负约束条件。
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§1.1.2 图解法
x2
例1： max z 2 x1 3x2 (1) x1 2 x2 8 4 x 16 1 4x2 12 x1 , x2 0 (2) (3) (4)
6
⑶
4
5
⑷
3
1
2
(4 2)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
x1
⑵
2014-10-15
• •
• • •
练习1：建立例2的数学模型 模型特点
都用一组决策变量表示某一方案，且决策变量取值 非负； 都有一个要达到的目标，并且目标要求可以表示成 决策变量的线性函数； 都有一组约束条件，这些约束条件可以用决策变量 的线性等式或线性不等式来表示。
•
满足以上三个条件的数学模型称为线性规划的 数学模型。