大学物理电与磁的相互关系

变化磁场引起了线圈自身的磁通量变化，从而在线 圈自身产生感应电动势。
所产生的感应电动势称为自感电动势。
过线圈的磁通量与线圈自身电流成正比： I1
=LI ,L为自感系数，简称自感。
线圈中电流I发生变化，自身磁通量也相应
变化，在线圈中将产生自感电动势。根据法拉
第电磁感应定律，
自感电动势 d d (LI)
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解: (1)设螺线管 1中通有电流I1 ;
管内气体电离发光。
自感危害：电路断开时，产生自感电弧。
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感应圈：
在实际应用中常用两 个同轴长直螺线管之间的 N 1
AB
MD
N2
互感来获得高压。
k1 2
如图中所示：在硅钢铁芯上绕有N1、N2 的两
个线圈，且N2>>N1, 由断续器（MD) 将N1与低
压电源连接，接通电源后，断续器使N1中的电
流反复通断，通过互感获得感应电动势，从而
电 流 I2 变 化 ， 1 中 产生感应电动势
1 =
M
21
d I2 dt
2和1称为互感电动势，方向可按照楞次定律确定。
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理论和实验都可以证明 M21 = M12。
当线圈内或周围空间没有铁磁质时，互感M由线圈的 几何形状、大小、匝数和相对位置所决定，若存在非铁磁 质，还与磁介质的磁导率有关，但与线圈中电流无关；当 线圈内或周围空间存在铁磁质时，互感除与以上因素有关 外，还决定于线圈中的电流。
v
穿过线框的磁通量为：
Ia
b
Φm
Bds
l0 l1 l0
0I
2πr
l2dr
dr l2
d
c
l0 l1
0I0 coswt
2π
vtln
l0
l1 l0
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t
时刻的感应电动势为：i
dΦm dt
i2 0π I0vln l0l 0l1 wtsiw n tco wts
本题是既有感生电动势又有动生电动势的 例子，上式中第一项为感生电动势，第二项 为动生电动势。若令t ＝0，则仅有动生电动 势一项。
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解： 无限长直导线在离开它的距离 处产生的磁场大小为 B 0I 2x
• 方向垂直纸面向里，长为 的金属棒 上的任一元段的元电动势为
di (v rB r)dx2Ixvdv
由右旋关系， d i 由 B 指向 A ，所以
i
di
d
0Ivdx
dl 2x
0I 2
vln(d l) d
i 的指向是从B到A，也就是A点的电势比B点高，即
• 导体回路相对于磁场改变面积和取向会在回 路中产生电流，并且改变得越迅速，产生的 电流越大。
4
• 共同特征： 穿过回路所围面积内的磁通量发生了变化
• 只要穿过导体回路的磁通量发生变化，该 导体回路中就会产生电流。
• 由磁通量的变化所引起的回路电流称为感 应电流。在电路中有电流通过，说明这个 电路中存在电动势，由磁通量的变化所产 生的电动势称为感应电动势。
简称互感。
线圈2中产生 感应电动势
2
d12
dt
ddt(M12I1)
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在线圈的形状、大小和相对位置保持不变，且
周围不存在铁磁质的情况下，互感M12为常量，
上式化为
2 =
M 12
d I1 dt
1 B1
2 B2
同样通有电流I2的线圈2
I1 I2
在空间产生磁场B2，B2在线圈1中产生的磁通量
为21，并且21正比于I2，21 = M21 I2 ,
n • 如果每匝 都相等于，则 n
n d
dt
9
例14-1 ，截面
如下图所示，环形螺线管n=5000匝/米 dI 20安培/秒
S2103米2
dt
。在环上再绕一线圈A，N=5匝，R=2.0欧姆
求：（1）A中 i
I i ；（2）2秒内通过A的电量 q ?
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三、感应电动势(induction electromotive force) 1. 动生电动势 导体在磁场中运动所产生的感应电动势
互感单位是H(亨利)：1H=1WbA-1=1VsA-1, 多 采用mH(毫亨)或H(微亨)：1H=103mH=106 H。
互感应用：无线电和电磁测量。电源变压器,中 周变压器,输入输出变压器,电压互感器,电流互感器。 互感危害：电路间互感干扰。
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二、自感现象 (self-induction phenomenon) 自感现象：当一个线圈中的电流变化时，激发的
但所激发的涡旋电场却存在于整个空间。
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例3：金属杆以速度v平行于长直导线移动，求 杆中的感应电流多大，哪端电势高？
解:建立坐标系如图，取积分元 dx , 由安培环路定理知在dx处磁 感应强度为：
I
v
dx
dL x
B 0 I 2πx
因为：V B ;V B /d x /
dx处动生电动势为 dV B dl 0IV dx 2πx
dt dt
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当线圈的大小和形状保持不变，且附近不存在
铁磁质时，自感L为常量
= L dI
dt
自感单位也是H (亨利)与互感相同。
自感应用：日光灯镇流器；高频扼流圈；自感 线圈与电容器组合构成振荡电路或滤波电路。
通电后，启辉器辉光放电，金属片受热形变互相接触， 形成闭合回路，电流流过，日光灯灯丝加热释放电子。 同时，启辉器接通辉光熄灭，金属片冷却断开，电路切断， 镇流器线圈中产生比电源电压高得多的自感电动势，使灯
a
b
r 圆环电阻和感应电流为：
dr
dR2πr
bdr
;
di 2kbrdr
r
整个圆盘上的感应电流为：
b dr
Idi2kb0ardrk4a2b
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例5：在半径为R 的圆柱形空间存在均匀磁场 B,
其随时间的变化率dB/dt 为常数， 求磁场中静止金属棒上的感应电动势。 解：自圆心作辅助线，与金属
棒其构面过成积S的三为磁角S通：形量，为SΦ L2mR2B 2LL/R 222L/22 A
处动势于可涡以旋表电示场为EW中W 的一段ab导E 线W abd 中l 产生的感生电
LE W dl d dΦ tS B t dS
一般情况下空间可能同时存在静电场EC和涡旋 电场EW，总电场E = EC +EW , 称为全电场。
21
全L 电E 场d l 的 环L 路( E 积C 分E W 为)d l L E W d l S B t d S
29
30
31
32
33
§11-2 互感和自感
一、互感现象 (mutual induction phenomenon)
互感现象：一个线圈中电
1
流发生变化会在周围空间产 B1
2 B2
生变化的磁场，使处于此空
间的另一个线圈中产生感应
I1 I2
电动势。
12=M12I1；M12是线圈1对线圈2的互感系数，
磁感应强度为
B
0
Leabharlann Baidu
N1 l
I
N1
N2
l
磁 场 在 线 圈 2中
产生的磁通量为
N 2B S0N 1 lN 2SI
所以两线圈的互感为 M N1N2 S
I 0l 40
41
42
• [例] 半径为R的长直磁介质棒上，分别绕有长为l1(N1匝)和 l2(N2匝)的两个螺线管. 1)由此特例证明 M12=M21=M; (2) 当螺线管1中的电流变化率为dI1/dt时 ，求螺线管2中的互 感电动势。
UAUB20Ivlna(a l)
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2. 感生电动势
导体不动，而由于磁场的大小或方向变化所产生 的感应电动势，称为感生电动势。变化的磁场能够 在空间激发一种电场，称为涡旋电场或感应电场， 不是保守场，是非静性电场，产生感生电动势。
静电场
由静止的电荷激发。 电场线起于正电荷止于负
电荷，是有头有尾的曲线。
作用于自由电子的洛伦兹力f=evB是
提供动生电动势的非静电力，洛仑兹力 等效为一个非 静电性场对电子的作用。 该力所对应的非静电性电场就是作用于 单位正电荷的洛伦兹力。
表示方向与积分路径方方向相同
11
12
13
14
15
16
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L 长为
• 例14-3 如图所示，长为 的金属棒 在一根无限长 的通有恒定电流 的导线 旁，以平行于长直导线 的速度 向上匀速运动， 金属棒 的 端离长直导线 的距离为 ，求：金属棒 AB中的动生电动势及 两 端的电压 。
根据矢量分析的斯托克斯定理[见附录(二)]，应
有电磁 感L应E定Sd(律l 的微ES)分( d形S式E)dSSEBtdSB
t
涡旋电场在变化磁场周围空间产生，不管是真 空、电介质还是导体；但感生电动势必须在导体 中才能产生，同样不要求导体是闭合电路。
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例2：半径为R的柱形区域匀强磁场，方向如图。
在次极线圈N2中获得达几万伏的高压。
例如：汽车和煤气炉的点火器、电警棍等
都是感应圈的应用。
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例1：如图所示，一长度为l的直螺线管横截面
积为S，匝数为N1 。在此螺线管的中部，密绕一 匝数为N2 的短线圈，假设两组线圈中每一匝线圈 的磁通量都相同。求两线圈的互感。
解:如果在线圈1中通以电
流I1，则在线圈中部产生的
金属杆
电动势
Ld dL 2 0 π IxV dx2 0I πV l n d dL
式中负号表明左端电势高。 25
例4：求在均匀变化的磁场中铝圆盘内的感应电流。
解:取 半d 径为r E ， 宽dl 度 为dd r,B 高 度dS 为b 的圆环： dB/dt
l
sdt
B且与dB盘/d面t=k垂 直 dB dSkπr2 dt s
8
二、电磁感应定律
导体回路中感应电动势的大小与 穿过该回路的磁通量的时间变化 率成正比。
负号反映感应电动势的方向， 是 楞次定律的数学表现
和 都是标量，其方向要与预
先设定的标定方向比较而得；规 定两个标定方向满足右螺旋关系
• 如果回路有n匝线圈，各匝为 • 1,2,…,n，那么 =1 + 2 + … +
磁感应强度B的大小正以速率(=dB/dt)在增加，
求空间涡旋电场的分布。
解: 取沿顺时针方向作为感生电动势 和涡旋电场的标定方向，磁通量的标
r R
BO
定方向则垂直于纸面向里。
在r<R区域作圆形回路=r2B,
L
EW
dl
d
dt
回路各点上EW的大小都相等，方向沿圆周的切线。
dB
1 dB 1
2rEW = r2 d t
解得: EW =
r 2
dt
r 2
负号表示涡旋电场实际方向与标定方向相反，即
沿逆时针方向。 23
在r>R区域作圆形回路，磁通量为=R2B
代入 LE W dl d dΦ tS B t dS
积分得 2rEWddt R2
r R
BO r
EW
1 2
R2 r
方向也沿逆时针方向。
可见，虽然磁场只局限于半径为R的柱形区域，
所以以上结果就是金属棒的感应电动势。 27
例6：电流为I=I0cos wt 的长直导线附近有一与其
共面的矩形线框,其ab边可以速度v 无摩擦地匀速
平动,设t=0时ab与dc重合,求线框的总感应电动势。
解：设t 时刻I > 0 , 空间磁场为 B 0 I
2π r
方向指向纸面，cb 边长为 l2= vt
感生电场
由变化的磁场激发。 电场线不是有头有尾，
是闭合曲线。
对电荷有作用力。 若有 导体存在能形成电流。
对电荷有作用力。 若有导 体存在能形成电流。
保守力、保守场。
非保守力、有旋场。 20
若用EW表示涡旋电场的电场强度 ，W为 闭合
回路中产生的感生电动势 WLEW dl
感生电动势的产生同样不要求电路闭合，对于
dBo/dStRB
L
该应电回动路势感 lE k A d l d d tm B L 2R 2 o L /2 2 d d B t
由而于辅助lE 线d 上l 的o 积E k 分d oA lE kd A l E k B d oE l k dl B E 0 k d l
第十一章 电与磁的相互作用
和相互联系
1
• 熟悉电磁感应现象； • 掌握电磁感应定律、 感应电动势； • 掌握互感现象、 自感现象、 *磁场的能量。 •
2
§11-1 电磁感应及其基本规律
• 一、电磁感应现象 (electromagnetic induction phenomenon
3
• 磁场相对于线圈或导体回路改变大小或方向， 会在回路中产生电流，并且改变得越迅速， 产生的电流越大
5
两类感应电动势： • 动生电动势： 磁场不变，导体运动 • 感生电动势： 导体不动,磁场变化
6
二.楞次定律
• 感应电动势的方向，总是使得感应电流的 磁场去阻碍引起感应电动势(或感应电流)的 磁通量变化.感应电流的效果总是反抗引起 感应电流的原因的。
7
• 楞次定律的后一种表述可以方便判断感应电流所 引起的机械效果的问题。“阻碍”或“反抗”是 能量守恒定律在电磁感应现象中的具体体现。磁 棒插入线圈回路时，线圈中感应电流产生的磁场 阻碍磁棒插入，若继续插入则须克服磁场力作功。 感应电流所释放出焦耳热，是插入磁棒的机械能 转化来的。