2019-2020年高中数学第一章导数及其应用1.5定积分的概念1.5.3定积分的概念优化练习新人教A版选修

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2019_2020学年高中数学第一章导数及其应用1.5定积分的概念1.5.3定积分的概念课件新人教A版选修2_2

答案
课堂互动探究
探究 1 利用定义计算定积分例 1 利用定积分的定义，计算2(3x＋2)dx 的值．
1
[解] 令 f(x)＝3x＋2. (1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入 n－1 个分点，把区间[1,2]等分成 n 个小区间 n＋ni－1，n＋n i(i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为 Δx＝n＋n i－n＋ni－1＝1n.
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
答案
(2)近似代替、求和
取 ξi＝n＋ni－1(i＝1,2，…，n)，
则 Sn＝i∑＝n1f(n＋ni－1)·Δx
n
＝∑
i＝1
3n＋ni－1＋2·1n
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
答案
n
＝
i＝1
3in－2 1＋5n
＝n32[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＋5 ＝32×n2n－2 n＋5＝123－23n. (3)取极限 12(3x＋2)dx＝lni→m∞Sn＝lni→m∞ 123－23n＝123.
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
答案
拓展提升利用定义求定积分的关键仍然是“分割、近似代替、求和、取极限”这一过程．其中： (1)在近似代替时，可以选取每个小区间的左端点、右端点、区间中点、区间端点的几何平均数等相应的函数值来代替该区间的函数值； (2)将“近似代替、求和”作为一个步骤来处理，其条理性更强．
i＝1
i＝1
b－a n f(ξi)
．
当 n→∞时，上述和式无限接近某个常数，那么这个常数叫做函数 f(x)
在区间[a，b]上的定积分，记作：

人教版高中数学第一章导数及其应用1.5定积分的概念1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程1.5.3定积分的概

1．5 定积分的概念1．5．1 曲边梯形的面积 1．5．2 汽车行驶的路程 1．5．3 定积分的概念学习目标：、1.了解定积分的概念(难点).2.理解定积分的几何意义．(重点、易错点).3.通过求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程，了解“以直代曲”“以不变代变”的思想(难点).4.能用定积分的定义求简单的定积分(重点)．[自主预习·探新知]1．曲边梯形的面积和汽车行驶的路程 (1)曲边梯形的面积①曲线梯形：由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的图形称为曲边梯形(如图151①所示)．②求曲边梯形面积的方法把区间[a ，b ]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图151②所示)．图① 图②图151③求曲边梯形面积的步骤：分割，近似代替，求和，取极限． (2)求变速直线运动的(位移)路程如果物体做变速直线运动，速度函数v ＝v (t )，那么也可以采用分割，近似代替，求和，取极限的方法，求出它在a ≤t ≤b 内所作的位移s .2．定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0＜x 1＜…＜x i －1＜x i ＜…＜x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )作和式∑n i ＝1f (ξi )Δx ＝∑n i ＝1 b －a nf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a b f (x )d x ，即⎠⎛a b f (x )d x ＝lim n→∞∑n i ＝1 b －anξ.其中a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．思考：⎠⎛a b f (x )d x 是一个常数还是一个变量？⎠⎛a b f (x )d x 与积分变量有关系吗？[提示]由定义可得定积分⎠⎛a b f (x )d x 是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量没有关系，即⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a b f (t )d t ＝⎠⎛ab f (u )d u .3．定积分的几何意义与性质 (1)定积分的几何意义由直线x ＝a ，x ＝b (a ＜b )，x 轴及一条曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积设为S ，则有：① ② ③图152①在区间[a ，b ]上，若f (x )≥0，则S ＝⎠⎛a b f (x )d x ，如图152①所示，即⎠⎛a b f (x )d x＝S .②在区间[a ，b ]上，若f (x )≤0，则S ＝－⎠⎛a b f (x )d x ，如图152②所示，即⎠⎛a b f (x )d x ＝－S .③若在区间[a ，c ]上，f (x )≥0，在区间[c ，b ]上，f (x )≤0，则S ＝⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛cbf (x )d x ，如图152③所示，即⎠⎛ab＝SA －SB(S A ，S B 表示所在区域的面积)．(2)定积分的性质①⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)； ②⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x ；③⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a ＜c ＜b )． [基础自测]1．思考辨析(1)⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛ab f (t )d t .( ) (2)⎠⎛a b f (x )d x 的值一定是一个正数．( ) (3)⎠⎛012xd x <⎠⎛022xd x ( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√2．在“近似代替”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上的近似值( ) A ．只能是左端点的函数值f (x i ) B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)C ．可以是该区间内任一点的函数值f (ξi )(ξi ∈[x i ，x i ＋1])D ．以上答案均正确C [作近似计算时，Δx ＝x i ＋1－x i 很小，误差可忽略，所以f (x )可以是[x i ，x i ＋1]上任一值f (ξi )．]3．图153中阴影部分的面积用定积分表示为( )图153A.⎠⎛012xd x B.⎠⎛01(2x －1)d x C.⎠⎛01(2x ＋1)d x D.⎠⎛01(1－2x )d x B [根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为⎠⎛012xd x －⎠⎛011d x ＝⎠⎛01(2x－1)d x .]4．已知⎠⎛01x 2d x ＝13，⎠⎛12x 2d x ＝73，⎠⎛021d x ＝2，则⎠⎛02(x 2＋1)d x ＝________.【导学号：31062080】[解析] ∵⎠⎛01x 2d x ＝13，⎠⎛12x 2d x ＝73，⎠⎛021d x ＝2，∴⎠⎛02(x 2＋1)d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛021d x＝13＋73＋2 ＝83＋2＝143. [答案]143[合作探究·攻重难]图154[解] (1)分割将曲边梯形分割成n 个小曲边梯形，用分点1n ，2n ，…，n －1n 把区间[0,1]等分成n 个小区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ，2n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －1n ，n n ，简写作⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n，i n (i ＝1,2，…，n )．每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n .过各分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作：ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS i ，…，ΔS n .(2)近似代替用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积，在小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上任取一点ξi(i ＝1,2，…，n )，为了计算方便，取ξi 为小区间的左端点，用f (ξi )的相反数－f (ξi )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n －1为其一边长，以小区间长度Δx ＝1n 为另一边长的小矩形对应的面积近似代替第i 个小曲边梯形面积，可以近似地表示为ΔS i ≈－f (ξi )Δx ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n －1·1n (i ＝1,2，…，n )．(3)求和因为每一个小矩形的面积都可以作为相应小曲边梯形面积的近似值，所以n 个小矩形面积的和就是曲边梯形面积S 的近似值，即S ＝∑i ＝1nΔS i ≈－∑i ＝1nf(ξi)Δx＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n －1·1n＝－1n3[02＋12＋22＋…＋(n －1)2]＋1n2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＝－1n3·16n (n －1)(2n －1)＋1n2·－2＝－－n2＋16n2＝－16⎝ ⎛⎭⎪⎫1n2－1. (4)取极限当分割无限变细，即Δx 趋向于0时，n 趋向于∞，此时－16⎝ ⎛⎭⎪⎫1n2－1趋向于S .从而有 S ＝lim n→∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16⎝ ⎛⎭⎪⎫1n2－1＝16.所以由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x (x －1)围成的图形面积为16.[规律方法] 求曲边梯形的面积 (1)思想：以直代曲．(2)步骤：分割→近似代替→求和→取极限． (3)关键：近似代替．(4)结果：分割越细，面积越精确． (5)求和时可用到一些常见的求和公式，如1＋2＋3＋…＋n ＝＋2，12＋22＋32＋…＋n 2＝＋＋6，13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤＋22. [跟踪训练]1．求由抛物线y ＝x 2与直线y ＝4所围成的曲边梯形的面积.【导学号：31062081】[解] ∵y ＝x 2为偶函数，图象关于y 轴对称，∴所求曲边梯形的面积应为抛物线y ＝x 2(x ≥0)与直线x ＝0，y ＝4所围图形面积S阴影的2倍，下面求S 阴影．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝，y ＝4，得交点为(2,4)，如图所示，先求由直线x ＝0，x ＝2，y ＝0和曲线y ＝x 2围成的曲边梯形的面积．(1)分割将区间[0,2]n 等分，则Δx ＝2n ，取ξi ＝－n.(2)近似代替求和S n ＝∑ni ＝1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－n2·2n ＝8n3[12＋22＋32＋…＋(n －1)2] ＝83⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n .(3)取极限S ＝lim n→∞S n ＝lim n→∞ 83⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ⎝⎛⎭⎪⎫1－12n＝83.∴所求平面图形的面积为S 阴影＝2×4－83＝163.∴2S 阴影＝323，即抛物线y ＝x 2与直线y ＝4所围成的图形面积为323.(单位：km/h)，求它在1≤t ≤2这段时间行驶的路程是多少？[解] 将时间区间[1,2]等分成n 个小区间，则第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n ，在第i 个时间段的路程近似为Δs i ＝v ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n Δt ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n ·1n，i ＝1,2，…，n .所以s n ＝∑n i ＝1Δs i ＝∑n i ＝1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n ·1n＝－1n3[(n ＋1)2＋(n ＋2)2＋(n ＋3)2＋…＋(2n )2]＋2n2[(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋2n ]＝－1n3⎣⎢⎡⎦⎥⎤＋＋6－＋＋6＋2n2·＋1＋2＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1n ＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋3＋1n，s ＝lim n→∞s n ＝lim n→∞⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1n ＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋3＋1n ＝23，所以这段时间行驶的路程为23 km.[规律方法]求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解.求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限.应特别注意变速直线运动的时间区间.[跟踪训练]2．一物体自200 m 高空自由落下，求它在开始下落后的第3秒至第6秒之间的距离．(g ＝9.8 m/s 2)【导学号：31062082】[解] 自由落体的下落速度为v (t )＝gt . 将[3,6]等分成n 个小区间，每个区间的长度为3n.在第i 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋－n，3＋3i n (i ＝1,2，…，n )上，以左端点函数值作为该区间的速度．所以s n ＝∑n i ＝1v ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋－n3n＝∑n i ＝1⎣⎢⎡⎦⎥⎤3g ＋3g n －·3n ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫3ng ＋3gn [1＋2＋…＋－·3n ＝9g ＋9gn2·－2＝9g ＋92g ·⎝⎛⎭⎪⎫1－1n .所以s ＝lim n→∞s n ＝lim n→∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤9g ＋92g·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＝9g ＋92g ＝272×9.8＝132.3(m)．故该物体在下落后第3 s 至第6 s 之间的距离是132.3 m.1．在定积分的几何意义中f (x )≥0，如果f (x )＜0，⎠⎛ab f (x )d x 表示什么？提示：如果在区间[a ，b ]上，函数f (x )＜0，那么曲边梯形位于x 轴的下方(如图所示)，由于Δx i ＞0，f (ξi )＜0，故f (ξi )·Δx i ＜0，从而定积分⎠⎛a b f (x )d x ＜0，这时它等于图中所示曲边梯形面积的相反数，即⎠⎛a b f (x )d x ＝－S 或S ＝－⎠⎛a b f (x )d x . 2．⎠⎛024－x2d x 的几何意义是什么？提示：是由直线x ＝0，x ＝2，y ＝0和曲线y ＝4－x2所围成的曲边梯形面积，即以原点为圆心，2为半径的14圆的面积即⎠⎛024－x2d x ＝π.3．若f (x )为[－a ，a ]上的偶函数，则f (x )d x 与f (x )d x 存在什么关系？若f (x )为[－a ，a ]上的奇函数，则f (x )d x 等于多少？提示：若f (x )为偶函数，则f (x )d x ＝2f (x )d x ；若f (x )为奇函数，则f (x )d x＝0.说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值． (1)⎠⎛012d x ；(2)⎠⎛12x d x ； (3)1－x2d x .[解] (1)⎠⎛012d x 表示的是图①中阴影部分所示的长方形的面积，由于这个长方形的面积为2，所以⎠⎛012d x ＝2.① ② ③(2)⎠⎛12x d x 表示的是图②中阴影部分所示的梯形的面积，由于这个梯形的面积为32，所以⎠⎛12x d x ＝32. (3)1－x2d x 表示的是图③中阴影部分所示的半径为1的半圆的面积，其值为π2，所以1－x2d x ＝π2.母题探究：1.(变条件)将例3(3)改为利用定积分的几何意义求⎠⎛011－x2d x .[解]⎠⎛011－x2d x 表示的是图④中阴影部分所示半径为1的圆的14的面积，其值为π4， ∴⎠⎛011－x2d x ＝π4.2．(变条件)将例3(3)改为利用定积分的几何意义求⎠⎛011－－d x .[解] ⎠⎛011－－d x 表示的是图⑤中阴影部分所示半径为1的14圆的面积，其值为π4，∴⎠⎛011－－d x ＝π4.3．(变条件)将例3(3)改为利用定积分的几何意义求 (x ＋1－x2)d x .[解] 由定积分的性质得，(x ＋1－x2)d x ＝ x d x ＋1－x2d x .∵y ＝x 是奇函数，∴x d x ＝0.由例3(3)知1－x2d x ＝π2.∴(x ＋1－x2)d x ＝π2.[当堂达标·固双基]1．把区间[1,3]n 等分，所得n 个小区间中每个小区间的长度为( ) A.1n B.2n C.3nD.12nB [区间长度为2，n 等分后每个小区间的长度都是2n ，故选B.]2．定积分⎠⎛ab f (x )d x 的大小( )A ．与f (x )和积分区间[a ，b ]有关，与ξi 的取法无关B ．与f (x )有关，与区间[a ，b ]以及ξi 的取法无关C ．与f (x )以及ξi 的取法有关，与区间[a ，b ]无关D ．与f (x )、积分区间[a ，b ]和ξi 的取法都有关A [由定积分的定义可知A 正确．]3．由y ＝sin x ，x ＝0，x ＝π2，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是________. 【导学号：31062083】[解析] ∵0＜x ＜π2， ∴sin x ＞0.∴y ＝sin x ，x ＝0，x ＝π2，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式为sin x d x .[答案] sin x d x4．已知某物体运动的速度为v ＝t ，t ∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为__________．[解析] ∵把区间[0,10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n (n ＝1,2，…，10)，每个小区间的长度为1.∴物体运动的路程近似值s ＝1×(1＋2＋…＋10)＝55.[答案] 555．计算： (2－5sin x )d x . 【导学号：31062084】[解] 由定积分的几何意义得，2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－π2×2＝2π. 由定积分的几何意义得，sin x d x ＝0. 所以 (2－5sin x )d x＝2d x－5sin x d x＝2π.。

高中数学第一章导数及其应用1.5定积分的概念1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程

内容(nèiróng)总结
第一章 §1.5 定积分的概念(gàiniàn)。第一章 §1.5 定积分的概念(gàiniàn)。思考2 如图所示的图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别。一些小曲边梯形.对每个小曲边梯形“以直代曲”，即。(5)求和时可用一些常见的求和公式，如。将区间
No [0,1]等分为n个小区间：。解将区间[1,2]等分成n个小区间，。本例中求小曲边梯形面积时若用另一端点值作为高，试求出行驶
于是(yúshì)所求平面图形的面积近似等于
1101＋2356＋4295＋6245＋2851＝110×22555＝1.02.
12/9/2021
12345
第三十五页，共三十七页。
解析答案
求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤 (1)分割：n等分区间[a，b]；
(2)近似(jìn sì)代替：取点ξi∈[xi－1，xi]；
131＋2/9/220231 ＋33＋…＋n3＝nn2＋12.
第十五页，共三十七页。
跟踪训练1 求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的图形(túxíng)的面积.
12/9/2021
第十六页，共三十七页。
解答
类型二求变速运动(biànsùyùndòng)的路程
例2 当汽车以速度v做匀速直线运动(yùndòng)时，经过时间t所行驶的路程s＝vt.如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)＝t2＋2(单位：km/h)，那么它在1≤t≤2(单位：h)这段时间行驶的路程是多少？
答案(dá
3.一物体沿直线运动，其速度v(t)＝t，这个(zhè ge)物体在t＝0到t＝1这段时间内所走的路程为
1 A.3
√B.12
C.1

高中数学第一章导数及其应用 1.5 定积分的概念 1.5.3 定积分的概念导学案新人教A版选

湖北省松滋市高中数学第一章导数及其应用1.5 定积分的概念1.5.3 定积分的概念导学案新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（湖北省松滋市高中数学第一章导数及其应用1.5 定积分的概念1.5.3 定积分的概念导学案新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1。

5.3定积分的概念【学习目标】1．理解曲边梯形面积的求解思想,掌握其方法步骤；2．了解定积分的定义、性质及函数在上可积的充分条件；3．明确定积分的几何意义和物理意义； 4．无限细分和无穷累积的思维方法。

【学习重难点】重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义．难点：定积分的概念、定积分的几何意义．【使用说明与学法指导】1.课前用20分钟预习课本P45—47内容.并完成书本上练、习题及导学案上的问题导学。

2。

独立思考，认真限时完成，规范书写。

课上小组合作探究,答疑解惑。

【问题导学】 1.定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆(b ax n-∆=）,在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f n ξξ==-=∆=∑∑.如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。

高中数学第一章导数及其应用 1.5.3 定积分的概念1 新人教A版选修2-2

i＝1
ni 3·1n＝n14i＝n1i3＝n14n
n＋ 2
2＝141＋n2＋n12，
∴01x3dx＝nli→m∞ 141＋n2＋n12＝14.
(此处用到了求和公式 13＋23＋…＋n3＝(1＋2＋…＋n)2 ＝n(n2＋1)2) 因此01x3dx＝41.
规律总结
用定义法求积分的步骤
(1)分割：将积分区间[a，b]n 等分．
i＝1
当 n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做
函数 f(x)在区间[a，b]上的___定__积__分_____，记作f(x)dx＝___ln_i→m_∞_i＝_1_[ __n__f_(ξ_i_)]___.
a
这里，a与b分别叫做__积__分__下__限____与___积__分__上__限___，区间 [a，b]叫做__积__分__区__间____，函数f(x)叫做__被__积__函__数____，x 叫做__积__分__变__量____，f(x)dx叫做__被__积__式______． 2．定积分的几何意义如果在区间[a，b]上函数 f(x)连续且恒有_____f(_x_)_≥_0___，那么定积分bf(x)dx 表示由___直__线__x_＝__a_，__x_＝__b_(_a_≠_b_)___，
(2)近似代替：取点 ξi∈[xi－1，xi]，可取 ξi＝xi－1 或者 ξi＝xi.
n
(3)求和：
i＝1
b－n af(ξi)．(4)求极限：abf(x)dx＝nli→m∞i＝n1
b－n af(ξi)．
跟踪练习 1 (1)定积分af(x)dx 的大小( A ) b
A．与 f(x)和积分区间有关，与 ξi 的取法无关 B．与 f(x)有关，与区间及 ξi 的取法无关 C．与 f(x)及 ξi 的取法有关，与区间无关 D．与 f(x)、积分区间和 ξi 的取法都有关

2019-2020年高中数学第一章导数及其应用1.5定积分的概念教案新人教A版选修

2019-2020年高中数学第一章导数及其应用1.5定积分的概念教案新人教A 版选修教学目标：1、通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；2、借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分．3、理解掌握定积分的几何意义；教学重点：定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义．教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义．教学过程：一．创设情景复习：1．2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点．二．新课讲授1．定积分的概念一般地，设函数在区间上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间等分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上取一点，作和式：11()()n nn i i i i b aS f x f nξξ==-=∆=∑∑如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分。

记为：其中成为被积函数，叫做积分变量，为积分区间，积分上限，积分下限。

说明：（1）定积分是一个常数，即无限趋近的常数（时）称为，而不是．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：等分区间；②近似代替：取点；③求和：；④取极限：()1()lim nbi an i b af x dx f nξ→∞=-=∑⎰（3）曲边图形面积：；变速运动路程；变力做功2．定积分的几何意义说明：一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、函数的图形以及直线之间各部分面积的代数和，在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积去负号．（可以先不给学生讲）．分析：一般的，设被积函数，若在上可取负值。

考察和式()()()12()i n f x x f x x f x x f x x ∆+∆++∆++∆不妨设1(),(),,()0i i n f x f x f x +<于是和式即为()()()121(){[()][]}i i n f x x f x x f x x f x x f x x -∆+∆++∆--∆++-∆阴影的面积—阴影的面积（即轴上方面积减轴下方的面积） 2．定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1性质2 （其中k 是不为0的常数）（定积分的线性性质）性质31212[()()]()()bb baaaf x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰ （定积分的线性性质）性质4()()()()b c baacf x dx f x dx f x dxa cb =+<<⎰⎰⎰其中（定积分对积分区间的可加性）说明：①推广：1212[()()()]()()()bbbbm m aaa af x f x f x dx f x dx f x dx f x ±±±=±±±⎰⎰⎰⎰②推广:121()()()()kbc c baac c f x dx f x dx f x dx f x dx =+++⎰⎰⎰⎰③性质解释：三．典例分析例1．计算定积分分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为。

2019_2020学年高中数学第一章导数及其应用1.5定积分的概念1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程课件新人

a≤t≤b 内所作的位移 s.
“分割”的目的 “分割”的目的在于更精确地“以直代曲”．教材中的例题中以“矩形”代替“曲边梯形”，随着分割的等份数增多，这种“代替”就越精确，当 n 越大时，所有小矩形的面积和就越逼近曲边梯形的面积．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)求汽车行驶的路程时，分割的区间表示汽车行驶的路程．( × ) (2)当 n 很大时，函数 f(x)＝x2 在区间i－n 1，ni 上的值，只能用ni 2 近似代替．( × )
形称为曲边梯形(如图①)．
(2)求曲边梯形面积的方法
把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些□02 小曲边梯形对每个 □03 小曲边梯形 “以直代曲”，即用 □04 矩形的面积近似代替
□05 小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的□06 近似值，对这些近似
值 □07 求和，就得到曲边梯形面积的 □08 近似值 (如图②)．
答案
(2)近似代替
在区间n＋ni－1，n＋n i上，当 n 趋向于∞，即 Δx 趋向于 0 时，我们用小矩形面积近似地代替 ΔSi，则有 ΔSi≈n＋i－n12n＋i·1n＝n＋i－n1n＋i.
(3)求和
小曲边梯形的面积和
n
n
Sn＝∑ΔSi＝∑
i＝1
i＝1
n n＋i－1n＋i
＝n1n－n＋1 1＋n＋1 1－n＋1 2＋…＋n＋1n－1－n＋1 n＝n1n－21n＝12.
1.5.1 曲边梯形的面积 1.5.2 汽车行驶的路程
课前自主预习
1．连续函数
如果函数 y＝f(x)在某个区间 I 上的图象是一条 □01 连续不断的曲线，那
么就把它称为区间 I 上的连续函数． 2．曲边梯形的面积 (1)曲边梯形：由直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 和曲线 y＝f(x)所围成的图

高中数学第一章导数及其应用 1.5 定积分的概念 1.5.1 曲边梯形的面积 1.5.2 汽车行

1．5.1～1.5.2 曲边梯形的面积汽车行驶的路程问题1：曲边梯形与“直边图形”的主要区别是什么？提示：前者有一边是曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段．问题2：能否用求直边图形面积的方法求曲边梯形的面积？提示：不能．问题3：当曲边梯形的高很小时，是否可用“直边图形”的面积近似代替曲边梯形的面积？提示：可以．1．连续函数如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，那么就把它称为区间I上的连续函数．2．曲边梯形的面积(1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图甲)．(2)求曲边梯形面积的方法与步骤：①分割：把区间分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图乙)；②近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值；③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积．“以直代曲”的思想曲边梯形的边中有曲线，不方便直接求出其面积，把曲边梯形分割成一系列的小曲边梯形，再用小矩形近似代替之，“以直代曲”求和，无限“细分”去“逼近”面积的精确值，这种极限的思想是学习定积分的一种很重要的思想．问题：利用“以直代曲”的思想可以求物体做变速直线运动的路程吗？提示：可以．求变速直线运动的路程如果物体做变速直线运动，速度函数为v ＝v (t )，那么它在时间t 所在的区间内的路程(或位移)也可以运用①分割；②近似代替；③求和；④取极限的方法求得．变速直线运动的路程与曲边梯形的面积间的关系与求曲边梯形面积类似，我们采取“以不变代变”的方法，把求变速直线运动的路程问题化归为求匀速直线运动的路程问题．求由直线⎝ ⎛⎭⎪⎫提示：13＋23＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n n ＋2(1)分割如右图所示，用分点n ＋1n ，n ＋2n ，…，n ＋n －n，把区间等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，n ＋1n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋1n ，n ＋2n ，…，n ＋i －1n ，n ＋in，…， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋n －n ，2，每个小区间的长度为Δx ＝n ＋i n －n ＋i －1n ＝1n(i ＝1,2,3，…，n )．过各分点作x 轴的垂线，把曲边梯形ABCD 分割成n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n .(2)近似代替各小区间的左端点为ξi ，取以点ξi 的纵坐标ξ3i 为一边，以小区间长Δx ＝1n为其邻边的小矩形面积，近似代替小曲边梯形面积．第i 个小曲边梯形面积，可以近似地表示为ΔS i ≈ξ3i ·Δx ＝⎝⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n 3·1n(i ＝1,2,3，…，n )．(3)求和因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n 个小矩形面积的和就是曲边梯形ABCD 面积S 的近似值，即S ＝∑i ＝1nΔS i ≈∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n 3 ·1n .(4)取极限当分点数目越多，即Δx 越小时，和式的值就越接近曲边梯形ABCD 的面积S .因此n →∞，即Δx →0时，和式的极限就是所求的曲边梯形ABCD 的面积．因为∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n 3·1n＝1n 4∑i ＝1n(n ＋i －1)3＝1n 4∑i ＝1n[(n －1)3＋3(n －1)2i ＋3(n －1)i 2＋i 3] ＝1n4，所以S ＝li m n →∞∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n 3·1n＝1＋32＋1＋14＝154.求曲边梯形的面积应关注两点(1)根据步骤“分割、近似代替、求和、取极限”求曲边梯形的面积S ，实质是用n 个小矩形面积的和S n 来逼近，S n 的极限即为所求曲边梯形的面积S .求小矩形面积时，一般选取函数在相应小区间的左端点值．(2)分割实现了把求不规则的图形的面积化归为计算矩形面积，但这是近似值，为逼近精确值，分割得越细，近似程度就会越好，无限细分就无限逼近精确值．求由直线x ＝1，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝2x 2所围成的曲边梯形的面积．解：(1)分割在区间上等间隔地插入n －1个分点，把区间等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n (i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝1n，每个小区间内曲边梯形的面积记为ΔS i (i ＝1,2，…，n )，显然S ＝∑i ＝1nΔS i .(2)近似代替记f (x )＝2x 2，取ξi ＝n ＋i －1n (i ＝1,2，…，n )，于是ΔS i ≈ΔS i ′＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n ·Δx＝2⎝⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n 2·1n(i ＝1,2，…，n )．(3)求和S n ＝∑i ＝1nΔS i ′＝∑i ＝1n2⎝⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n 2·1n＝2n 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2n 2＋…＋1＋n －1n2＝2nn ＋2n ＋1n 2＝2n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋2n·n n －2＋1n2·n －nn －6＝2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1n . 从而得到S 的近似值S ≈S n . (4)取极限S ＝li m n →∞ S n ＝li m n →∞ 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋131－1n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1n ＝143.3t 2＋2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t ≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s (单位：km)是多少？(1)分割在时间区间上等间隔地插入n －1个分点，将它等分成n 个小区间．记第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －n，2i n (i ＝1,2，…，n )，其长度为Δt ＝2i n－i －n＝2n.每个时间段上行驶的路程记为Δs i (i ＝1,2，…，n )，则显然有s ＝∑i ＝1nΔs i .(2)近似代替取ξi ＝2i n(i ＝1,2，…，n )．于是Δs i ≈Δs i ′＝v ⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n ·Δt ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n 2＋2·2n＝24i 2n3＋4n(i ＝1,2，…，n )． (3)求和s n ＝∑i ＝1nΔs i ′＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫24i 2n 3＋4n ＝24n 3(12＋22＋…＋n 2)＋4＝24n3·nn ＋n ＋6＋4＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 1＋12n＋4.从而得到s 的近似值s n ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 1＋12n ＋4.(4)取极限s ＝li m n →∞ s n ＝li m n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＋4＝8＋4＝12，所以这段时间内行驶的路程为12 km.变速运动的路程的求法求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解．求解过程为分割、近似代替、求和、取极限．应特别注意变速直线运动的时间区间．已知自由落体的运动速度v ＝gt ，求在时间区间内物体下落的距离．解：(1)分割将时间区间分成n 等份．把时间分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n t ，it n (i ＝1,2，…，n )，每个小区间所表示的时间段Δt＝it n －i －1n t ＝tn，在各小区间物体下落的距离记作Δs i (i ＝1,2，…，n )．(2)近似代替在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n t ，it n 上任取一时刻ξi (i ＝1,2，…，n )，可取ξi 使v (ξi)＝g ·i －n t近似代替第i 个小区间上的速度，因此在每个小区间上自由落体Δt ＝t n内所经过的距离可近似表示为Δs i ＝g ·i －1n t ·tn(i ＝1,2，…，n )． (3)求和s n ＝∑i ＝1n Δs i ＝∑i ＝1ng ·i －1n t ·tn＝gt 2n2 ＝12gt 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n . (4)取极限s ＝lim n →∞ 12gt 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＝12gt 2.4.搞错区间端点致误求由抛物线y ＝2x 2与直线x ＝0，x ＝t (t ＞0)，y ＝0所围成的曲边梯形的面积时，将区间等分成n 个小区间，则第i －1个区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i nB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤i n ，i ＋1n C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤t i －n ，tin D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤t i －n ，t i －n每个小区间长度为tn，故第i －1个区间的左端点为0＋(i －2)×t n ＝t i －n，右端点为t i －n＋t n ＝t i －n.D1．解决本题易错误地认为区间左端为t i －n，从而误选C.2．在将区间等分成n 个小区间时，其第1个小区间的左端点为0，第2个小区间的左端点为1n ，…，依次类推，第i 个小区间的左端点为i －1n.在求直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边三角形的面积时，把区间等分成n 个小区间，则第i 个小区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i nB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤i n ，i ＋1n C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －n，2i nD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2i n，i ＋n解析：选C 将区间等分为n 个小区间后，每个小区间的长度为2n，第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －n，2i n.1．在“近似代替”中，函数f (x )在区间上的近似值( ) A ．只能是左端点的函数值f (x i ) B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)C ．可以是该区间内任一点的函数值f (ξi )(ξi ∈)D ．以上答案均正确解析：选C 作近似计算时，Δx ＝x i ＋1－x i 很小，误差可忽略，所以f (x )可以是上任一值f (ξi )．2．已知汽车在时间内以速度v ＝v (t )做直线运动，则下列说法不正确的是( ) A ．当v ＝a (常数)时，汽车做匀速直线运动，这时路程s ＝vt 1B ．当v ＝at ＋b (a ，b 为常数)时，汽车做匀速直线运动，这时路程s ＝bt 1＋12at 21C ．当v ＝at ＋b (a ≠0，a ，b 为常数)时，汽车做匀变速直线运动，这时路程s ＝bt 1＋12at 21D ．当v ＝at 2＋bt ＋c (a ≠0，a ，b ，c 为常数)时，汽车做变速直线运动，这时路程s ＝li m n →∞s n ＝li m n →∞∑i ＝1n v (ξi )Δt解析：选B 对于v ＝at ＋b ，当a ＝0时为匀速直线运动，当a ≠0时为匀变速直线运动，其中a ＞0时为匀加速直线运动，a ＜0时为匀减速直线运动．对于v ＝at 2＋bt ＋c (a ≠0)及v ＝v (t )是t 的三次、四次函数时，汽车做的都是变速(即变加速或变减速)直线运动，故B 是错误的．3．在计算由曲线y ＝－x 2以及直线x ＝－1，x ＝1，y ＝0所围成的图形面积时，若将区间 n 等分，则每个小区间的长度为________．解析：每个小区间长度为1－－n＝2n.答案：2n4.求由抛物线f (x )＝x 2，直线x ＝1以及x 轴所围成的平面图形的面积时，若将区间等分成5个区间，如右图所示，以小区间中点的纵坐标为高，所有小矩形的面积之和为________．解析：由题意得S ＝(0.12＋0.32＋0.52＋0.72＋0.92)×0.2＝0.33.答案：0.335．利用分割、近似代替、求和、取极限的办法求函数y ＝1＋x ，x ＝1，x ＝2的图象与x 轴围成梯形的面积，并用梯形的面积公式加以验证．解：f (x )＝1＋x 在区间上连续，将区间分成n 等份，则每个区间的长度为Δx i ＝1n，在＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n 上取ξi ＝x i －1＝1＋i －1n(i ＝1,2,3，…，n )，于是f (ξi )＝f (x i －1)＝1＋1＋i －1n ＝2＋i －1n，从而S n ＝∑i ＝1nf (ξi )Δx i ＝∑i ＝1n⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋i －1n ·1n ＝∑i ＝1n⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋i －1n 2＝2n ·n ＋1n 2＝2＋1n2·n n －2＝2＋n －2n ＝52－12n.则S ＝li m n →∞S n＝li m n →∞ ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－12n ＝52.如下进行验证：如右图所示，由梯形的面积公式得S ＝12×(2＋3)×1＝52.一、选择题1．下列函数在其定义域上不是连续函数的是( ) A ．y ＝x 2B ．y ＝|x |C ．y ＝xD ．y ＝1x解析：选D 由于函数y ＝1x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故其图象不是连续不断的曲线．2．在求由x ＝a ，x ＝b (a <b )，y ＝f (x )(f (x )≥0)及y ＝0围成的曲边梯形的面积S 时，在区间上等间隔地插入n －1个分点，分别过这些分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，下列说法中正确的是( )A ．n 个小曲边梯形的面积和等于SB ．n 个小曲边梯形的面积和小于SC ．n 个小曲边梯形的面积和大于SD ．n 个小曲边梯形的面积和与S 之间的大小关系无法确定解析：选A n 个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的，因此其面积和为S .3．和式∑i ＝15(y i ＋1)可表示为( )A ．(y 1＋1)＋(y 5＋1)B ．y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋1C ．y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋5D ．(y 1＋1)(y 2＋1)…(y 5＋1)解析：选C ∑i ＝15(y i ＋1)＝(y 1＋1)＋(y 2＋1)＋(y 3＋1)＋(y 4＋1)＋(y 5＋1)＝y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋5.4．对于由直线x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的曲边三角形，把区间3等分，则曲边三角形面积的近似值(取每个区间的左端点)是( )A.19B.125C.127 D.130解析：选A 将区间三等分为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13，⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23，⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1，各小矩形的面积和为s 1＝03·13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫133·13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233·13＝19. 5．若做变速直线运动的物体v (t )＝t 2在0≤t ≤a 内经过的路程为9，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选C 将区间 n 等分，记第i 个区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a i －n ，ain (i ＝1,2，…，n )，此区间长为a n ，用小矩形面积⎝ ⎛⎭⎪⎫ai n 2·a n 近似代替相应的小曲边梯形的面积，则S n ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫ai n 2·an ＝a 3n 3·(12＋22＋…＋n 2)＝a 33·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ，依题意得lim n →∞ a 33⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＝9，∴a 33＝9，解得a ＝3.二、填空题6．已知某物体运动的速度为v ＝t ，t ∈，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________．解析：∵把区间10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n (n ＝1,2，…，10)，每个小区间的长度为1，∴物体运动的路程近似值s ＝1×(1＋2＋…＋10)＝55. 答案：557．物体运动的速度和时间的函数关系式为v (t )＝2t (t 的单位：h ；v 的单位：km/h)，近似计算在区间内物体运动的路程时，把区间6等分，则过剩近似值(每个ξi 均取值为小区间的右端点)为________km.解析：以小区间右端点时的速度作为小区间的平均速度，可得过剩近似值为s ＝(2×3＋2×4＋2×5＋2×6＋2×7＋2×8)×1＝66 (km)．答案：668．直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2＋1围成的曲边梯形，将区间5等分，按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为________、________.解析：将区间5等分为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，25，⎣⎢⎡⎦⎥⎤25，45，⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，65，⎣⎢⎡⎦⎥⎤65，85，⎣⎢⎡⎦⎥⎤85，2，以小区间左端点对应的函数值为高，得S 1＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫252＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫652＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫852＋1×25＝3.92，同理S 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫252＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫652＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫852＋1＋22＋1×25＝5.52.答案：3.92 5.52 三、解答题9．汽车行驶的速度为v ＝t 2，求汽车在0≤t ≤1这段时间内行驶的路程s . 解：(1)分割将区间等分为n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ，2n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －1n ，1，每个小区间的长度为Δt ＝i n －i －1n ＝1n . (2)近似代替在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )上，汽车近似地看作以时刻i －1n 处的速度v ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2做匀速行驶，则在此区间上汽车行驶的路程为⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2·1n . (3)求和在所有小区间上，汽车行驶的路程和为sn ＝02×1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n 2×1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n 2×1n ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n 2×1n ＝1n 3＝1n 3×n －n n －6＝13⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n . (4)取极限汽车行驶的路程 s ＝li m n →∞s n ＝li m n →∞13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＝13.10．求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x (x －1)围成的图形的面积．解：(1)分割将曲边梯形分割成n 个小曲边梯形，在区间上等间隔地插入n －1个点，将区间等分成n 个小区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ，2n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －1n ，1，记第i 个区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )，其长度为 Δx ＝i n －i －n ＝1n. 把每个小曲边梯形的面积记为ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n .(2)近似代替把每个小曲边梯形近似地看作矩形，可得第i 个小曲边梯形的面积的近似值 ΔS i ≈⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎪⎫i －1n ·Δx ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n －1·1n＝i －1n 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i －1n (i ＝1,2，…，n )．(3)求和求出这n 个小矩形的面积的和S n ＝∑i ＝1n⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n ·Δx＝∑i ＝1ni －1n 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i －1n＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n 2，从而得到所求图形面积的近似值S ≈16⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n 2.(4)取极限S ＝lim n →∞ 16·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n 2＝16.所以由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x (x －1)围成的图形的面积为16.。

2019_2020学年高中数学第1章导数及其应用1.5定积分的概念1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程2_2

§1.5.1 曲边梯形的面积 §1.5.2 汽车行驶的路程 §1.5.3定积分的概念[限时50分钟，满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1．在求由x ＝a ，x ＝b (a ＜b )，y ＝f (x )[f (x )≥0]及y ＝0围成的曲边梯形的面积S 时，在区间[a ，b ]上等间隔地插入n －1个分点，分别过这些分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，下列说法中正确的个数是①n 个小曲边梯形的面积和等于S ； ②n 个小曲边梯形的面积和小于S ； ③n 个小曲边梯形的面积和大于S ；④n 个小曲边梯形的面积和与S 之间的大小关系无法确定． A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析根据“化整为零”、“积零为整”的思想知①是正确的，故选A. 答案 A2．一物体的运动速度v ＝2t ＋1，则其在1秒到2秒的时间内该物体通过的路程为 A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析即求⎠⎛12(2t ＋1)d t .可由其几何意义求解．s ＝（3＋5）×12＝4. 答案 A3．已知⎠⎛－11f (x )d x ＝0，则A.⎠⎛－10f (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＝0B.⎠⎛－10f (x )d x ＋⎠⎛01f (x )d x ＝0C ．2⎠⎛01f (x )d x ＝0D ．2⎠⎛－10f (x )d x ＝0解析由定积分的性质知⎠⎛－11f (x )d x ＝⎠⎛－10f (x )d x ＋⎠⎛01f (x )d x ＝0. 答案 B4．已知S 1＝⎠⎛01x d x ，S 2＝⎠⎛01x 2d x ，则S 1与S 2的大小关系是A ．S 1＝S 2B ．S 21＝S 22 C ．S 1>S 2D ．S 1<S 2解析由定积分的几何意义知S 1＝S △OAB ，S 2为图中的阴影部分，故S 1>S 2.答案 C5.⎠⎛0a a 2－x 2d x 的值为A.π4a 2B.π2a 2C ．πa 2D ．－π4a 2解析由定积分的几何意义易知⎠⎛0a a 2－x 2d x 为圆x 2＋y 2＝a 2的面积的14，故选A.答案 A6．直线x ＝1，x ＝－1，y ＝0及曲线y ＝x 3＋sin x 围成的平面图形的面积可表示为 A ．2⎠⎛－11(x 3＋sin x )d xB ．2⎠⎛01(x 3＋sin x )d xC.⎠⎛－10(x 3＋sin x )d xD.⎠⎛01(x 3＋sin x )d x解析因函数y ＝x 3＋sin x 是奇函数，则由定积分的几何意义可知，S ＝2⎠⎛01(x 3＋sinx )d x .故选B.答案 B二、填空题(每小题5分，共15分)7．若⎠⎛0a x d x ＝1，则实数a 的值为________．解析由定积分的几何意义知：⎠⎛0ax d x ＝12×a ×a ＝1(a ＞0)，则有a ＝ 2. 答案28．曲线y ＝1x与直线y ＝x ，x ＝2所围成的图形面积用定积分可表示为________．解析如图所示，阴影部分的面积可表示为⎠⎛12x d x －⎠⎛121x d x ＝⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x d x .答案 ⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x d x9．若⎰20d cos πx x ＝1，则由x ＝0，x ＝π，f (x )＝sin x 及x 轴围成的图形的面积为________．解析由正弦函数与余弦函数的图象，知f (x )＝sin x ，x ∈[0，π]的图象与x 轴围成的图形的面积等于g (x )＝cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的图象与坐标轴围成的图形的面积的2倍，所以S ＝⎠⎛0πsin x d x ＝2.答案 2三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)利用定积分的定义计算⎠⎛12(－x 2＋2x )d x 的值，并从几何意义上解释这个值表示什么．解析令f (x )＝－x 2＋2x .(1)分割在区间[1，2]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[1，2]等分为n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n (i ＝1，2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n . (2)近似代替、求和取ξi ＝1＋in(i ＝1，2，…，n )，则S n ＝∑i ＝1nf ⎝⎛⎭⎪⎫1＋i n ·Δx＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n ·1n＝－1n 3[(n ＋1)2＋(n ＋2)2＋(n ＋3)2＋…＋(2n )2]＋2n2[(n ＋1)＋(n ＋2)＋(n ＋3)＋…＋2n ]＝－1n 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n （2n ＋1）（4n ＋1）6－n （n ＋1）（2n ＋1）6＋2n 2·n （n ＋1＋2n ）2 ＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1n ＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋3＋1n .(3)取极限⎠⎛12(－x 2＋2x )d x ＝S n ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1n ＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋3＋1n ＝23， ⎠⎛12(－x 2＋2x )d x ＝23的几何意义为由直线x ＝1，x ＝2，y ＝0与曲线f (x )＝－x 2＋2x 所围成的曲边梯形的面积．11．(12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ∈[－2，2），2x ，[2，π），cos x ，[π，2π]，求⎠⎛－22πf (x )d x 的值．解析由定积分的几何意义知⎠⎛－22x 3d x ＝0，⎠⎛2π2x d x ＝（2π＋4）（π－2）2＝π2－4，⎠⎛π2πcos x d x ＝0. 由定积分的性质得⎠⎛－22πf (x )d x ＝⎠⎛－22x 3d x ＋⎠⎛2π2x d x ＋⎠⎛π2πcos x d x ＝π2－4. 12．(13分)利用定积分的几何意义计算下列定积分． (1)⎠⎛01(3x ＋2)d x ；(2)⎠⎛03（2－x ）2d x .解析 (1)如图所示，阴影部分的面积为（2＋5）×12＝72，从而⎠⎛01(3x ＋2)d x ＝72.(2)原式＝⎠⎛03|2－x |d x ＝⎠⎛02(2－x )d x ＋⎠⎛23(x －2)d x ，如图所示．由定积分的几何意义知 ⎠⎛02(2－x )d x ＝12×2×2＝2， ⎠⎛23(x －2)d x ＝12×1×1＝12. ∴⎠⎛03（2－x ）2d x ＝52.。

高中数学第1章导数及其应用 1.5 定积分 1.5.3 微积分基本定理讲义(含解析)苏教版选修2

1．微积分基本定理[对应学生用书P28]已知函数f (x )＝2x ＋1，F (x )＝x 2＋x . 问题1：f (x ) 和F (x )有何关系？提示：F ′(x )＝f (x )．问题2：利用定积分的几何意义求⎠⎛20(2x ＋1)d x 的值．提示：⎠⎛20(2x ＋1)d x ＝6.问题3：求F (2)－F (0)的值．提示：F (2)－F (0)＝4＋2＝6. 问题4：你得出什么结论？提示：⎠⎛20f (x )d x ＝F (2)－F (0)，且F ′(x )＝f (x )．问题5：已知f (x )＝x 3，F (x )＝14x 4，试探究⎠⎛10f (x )d x 与F (1)－F (0)的关系．提示：因⎠⎛10f (x )d x ＝⎠⎛10x 3d x ＝14.F (1)－F (0)＝14，有⎠⎛10f (x )＝F (1)－F (0)且F ′(x )＝f (x )．微积分基本定理对于被积函数f (x )，如果F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ba f (x )d x ＝F (b )－F (a )，即⎠⎛ba F ′(x )d x＝F (b )－F (a )．1．微积分基本定理表明，计算定积分⎠⎛a bf (x )d x 的关键是找到满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )．通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F (x )．2．微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的内在联系，最重要的是它也提供了计算定积分的一种有效方法．[对应学生用书P29]求简单函数的定积分[例1] 求下列定积分： (1)⎠⎛21(x 2＋2x ＋3)d x ；(2)⎠⎛π0(sin x －cos x )d x ；(3)⎠⎛0－π(cos x －e x)d x . [思路点拨]先求被积函数的原函数，然后利用微积分基本定理求解． [精解详析](1)取F (x )＝x 33＋x 2＋3x ，则F ′(x )＝x 2＋2x ＋3，从而⎠⎛12(x 2＋2x ＋3)d x ＝⎠⎛12F ′(x )d x ＝F (2)－F (1)＝253. (2)取F (x )＝－cos x －sin x ，则F ′(x )＝sin x －cos x ，从而⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝⎠⎛0πF ′(x )d x ＝F (π)－F (0)＝2.(3)取F (x )＝sin x －e x ，则F ′(x )＝cos x －e x，从而⎠⎛0－π(cos x －e x )d x ＝⎠⎛0－πF ′(x )d x ＝F (0)－F (－π)＝1eπ－1. [一点通]求简单的定积分关键注意两点：(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．1．(某某高考改编)若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝____________.解析：∵f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，∴⎠⎛01f (x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2x ⎠⎛01f (x )d x 10＝13＋2⎠⎛01f (x )d x .∴⎠⎛01f (x )d x ＝－13.答案：＝－132.⎠⎛0π(cos x ＋1)d x ＝________. 解析：∵(sin x ＋x )′＝cos x ＋1，∴⎠⎛π0(cos x ＋1)d x ＝(sin x ＋x )|π0 ＝(sin π＋π)－(sin 0＋0)＝π. 答案：π3．求下列定积分：(1)∫π20sin 2x 2d x ；(2)⎠⎛23(2－x 2)(3－x )d x . 解：(1)sin 2x 2＝12－cos x 2，而⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12sin x ′＝12－12cos x ，所以∫π20sin 2x 2d x ＝∫π20⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12cos x d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －12sin x |π20＝π4－12＝π－24.(2)原式＝⎠⎛32(6－2x －3x 2＋x 3)d x＝⎝⎛⎭⎪⎫6x －x 2－x 3＋14x 4|32 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6×3－32－33＋14×34－⎝ ⎛⎭⎪⎫6×2－22－23＋14×24 ＝－74.求分段函数的定积分[例2](1)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤0，cos x －1，x >0.求⎠⎛1－1f (x )d x ； (2)求⎠⎛a－a x 2d x (a >0)． [思路点拨]按照函数f (x )的分段标准，求出每一段上的积分，然后求和． [精解详析](1)⎠⎛1－1f (x )d x ＝⎠⎛0－1x 2d x ＋⎠⎛01(cos x －1)d x ＝13x 3|0－1＋(sin x －x )|10＝sin 1－23. (2)由x2＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，得⎠⎛a －a x 2d x ＝⎠⎛a 0x d x ＋⎠⎛0－a (－x )d x ＝12x 2|a0－12x 2|0－a ＝a 2.[一点通](1)分段函数在区间[a ，b ]上的积分可分成几段积分的和的形式．(2)分段的标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原函数分段的情况分即可，无需分得过细．4.⎠⎛3－4|x ＋2|d x ＝________. 解析：∵|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，(－2<x ≤3)－x －2，(－4≤x ≤－2)∴⎠⎛3－4|x ＋2|d x ＝⎠⎛3－2(x ＋2)d x ＋⎠⎛－4－2(－x －2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋2x |3－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 2－2x |－2－4＝292.答案：2925．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ， x ＞0，x ＋∫a 0 3t 2d t ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝________.解析：显然f (1)＝lg 1＝0，故f (0)＝0＋∫a 0 3t 2d t ＝t 3|a0＝1，得a ＝1. 答案：1求图形的面积[例3] 求由曲线[思路点拨]在坐标系中作出图象→求曲线与直线的交点→利用定积分求面积.[精解详析] 画出草图，如图所示．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝x 2－2x ＋3，得A (0,3)，B (3,6)．所以S ＝⎠⎛30(x ＋3)d x －⎠⎛30(x 2－2x ＋3)d x ，取F (x )＝12x 2＋3x ，则F ′(x )＝x ＋3，取H (x )＝13x 3－x 2＋3x ，则H ′(x )＝x 2－2x ＋3，从而S ＝F (3)－F (0)－[H (3)－H (0)]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×32＋3×3－0－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13×33－32＋3×3－0 ＝92. [一点通]利用定积分求曲线所围成的平面图形的面积的步骤： (1)根据题意画出图形；(2)找出X 围，定出积分上、下限； (3)确定被积函数；(4)写出相应的定积分表达式，即把曲边梯形面积表示成若干个定积分的和或差； (5)用微积分基本定理及其运算性质计算定积分，求出结果．6．曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为________．解析：所围成的图形如图阴影部分所示，点A (0，－2)，由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝x －2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2，所以B (4,2)，因此所围成的图形的面积为∫40()x －x ＋2d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 2＋2x 40＝163. 答案：1637．设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________. 解析：由已知得S ＝⎠⎛0ax d x ＝23x 32|a 0＝23a 32＝a 2，所以a 12＝23，所以a ＝49. 答案：491．求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)求被积函数是分段函数的定积分，应分段求定积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号后才能积分． 2．利用定积分求曲边梯形的面积(1)在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观地确定出被积函数以及积分的上、下限．(2)要把定积分和用定积分计算平面图形的面积这两个概念区分开，定积分是一种积分和的极限，可为正，也可为负或零；而平面图形的面积在一般意义下总为正，因此当f (x )≤0时要通过绝对值处理为正，一般情况下是借助定积分求出两个曲边梯形的面积，然后相加起来．[对应课时跟踪训练(十一)]一、填空题1.⎠⎛1e1x d x ＝________.解析：⎠⎛1e1x d x ＝ln x |e 1＝ln e －ln 1＝1.答案：12.⎠⎛0π(2sin x －3e x＋2)d x ＝________.解析：⎠⎛0π(2sin x －3e x ＋2)d x ＝(－2cos x －3e x ＋2x )|π0＝7＋2π－3e π. 答案：7＋2π－3e π3．(某某高考改编)若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e xd x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为________．解析：S 1＝13x 3⎪⎪⎪21＝83－13＝73，S 2＝ln x ⎪⎪⎪21＝ln 2<ln e ＝1，S 3＝e x⎪⎪⎪21＝e 2－e ≈2－＝，所以S 2<S 1<S 3.答案：S 2<S 1<S 34．设f (x )＝错误!则错误!f (x )d x ＝________.解析：⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x＝13x 3|10＋(2x －12x 2)|21＝56. 答案：565．(某某高考)如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．解析：因为函数y ＝e x与函数y ＝ln x 互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，又因为函数y ＝e x与直线y ＝e 的交点坐标为(1，e)，所以阴影部分的面积为2(e ×1－⎠⎛01e x d x )＝2e －2e x |10＝2e －(2e －2)＝2，由几何概型的概率计算公式，得所求的概率P ＝S 阴影S 正方形＝2e 2. 答案：2e2二、解答题6．f (x )是一次函数，且∫10f (x )d x ＝5，∫10xf (x )d x ＝176，求f (x )的解析式．解：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax 2＋bx |10＝12a ＋b ＝5. ⎠⎛01x (ax ＋b )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋12bx 2|10＝13a ＋12b ＝176，所以由⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋b ＝5，13a ＋12b ＝176，解得a ＝4，b ＝3，故f (x )＝4x ＋3.7．求由曲线y ＝x 2与直线x ＋y ＝2围成的面积．解：如图，先求出抛物线与直线的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，x ＋y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，y 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝4，即两个交点为(1,1)，(－2,4)．直线为y ＝2－x ，则所求面积S 为： S ＝⎠⎛1－2[(2－x )－x 2]d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫2x －x 22－x 33|1－2＝92.8．设f (x )是二次函数，其图象过点(0,1)，且在点(－2，f (－2))处的切线方程为2x ＋y ＋3＝0.(1)求f (x )的表达式；(2)求f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积；(3)若直线x ＝－t (0＜t ＜1)把f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值．解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ， ∵其图象过点(0,1)，∴c ＝1，又∵在点(－2，f (－2))处的切线方程为2x ＋y ＋3＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)＝1，f ′(－2)＝－2.∵f ′(x )＝2ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ·(－2)2＋b ·(－2)＋1＝1，2a ·(－2)＋b ＝－2.∴a ＝1，b ＝2，故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)依题意，f (x )的图象与两坐标轴所围成的图形如图中阴影部分所示，故所求面积S ＝∫0－1(x 2＋2x ＋1)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2＋x 0－1＝13. (3)依题意，有12S ＝∫0－t (x 2＋2x ＋1)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2＋x 0－t ＝16，即13t 3－t 2＋t ＝16， ∴2t 3－6t 2＋6t －1＝0， ∴2(t －1)3＝－1， ∴t ＝1－132.。

高中数学第一章导数及其应用 1.5 定积分的概念 1.5.3 定积分的概念学案(含解析)新人教A

1．5.3 定积分的概念定积分的概念问题1：求曲边梯形面积的步骤是什么？提示：分割、近似代替、求和、取极限．问题2：你能将区间等分吗？提示：可以．定积分的概念如果函数f (x )在区间上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 将区间等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑i ＝1nf (ξi )Δx ＝∑i ＝1nb －a nf (ξi )．当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间上的定积分，记作⎠⎛ab f(x)d x ，即⎠⎛ab f(x)d x ＝lim n→∞∑i ＝1nb －an f(ξi )．其中a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)d x 叫做被积式．对定积分概念的理解由定义可得定积分⎠⎛ab f(x)d x 是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量没有关系，即⎠⎛a b f(x)d x ＝⎠⎛a b f(t)d t ＝⎠⎛ab f(u)d u.定积分的几何意义问题1：根据定积分的定义，求⎠⎛12(x ＋1)d x 的值是多少．提示：⎠⎛12(x ＋1)d x ＝52.问题2：⎠⎛12(x ＋1)d x 的值与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0，f(x)＝x ＋1围成的梯形的面积有什么关系？提示：相等．定积分的几何意义从几何上看，如果在区间上函数f(x)连续且恒有f (x )≥0，那么定积分⎠⎛ab f(x)d x 表示由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0和曲线y ＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分⎠⎛ab f(x)d x的几何意义．评析定积分的几何意义关于定积分的几何意义，当函数f(x)在区间上恒为正时，定积分⎠⎛a b f (x )d x 的几何意义是以曲线f(x)为曲边的曲边梯形的面积．一般情况下，如图，定积分⎠⎛ab f(x)d x 的几何意义是介于x 轴、函数f(x)的图象以及直线x ＝a ，x ＝b 之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号.定积分的性质问题1：利用定积分的定义，试求⎠⎛12x 2d x ，⎠⎛122x d x ，⎠⎛12(x 2＋2x)d x.提示：计算得⎠⎛12x 2d x ＝73，⎠⎛122x d x ＝3，⎠⎛12(x 2＋2x)d x ＝163.问题2：由问题1计算得出什么结论？提示：⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛122x d x ＝⎠⎛12(x 2＋2x)d x.问题3：还有相类似的性质吗？提示：有．定积分的性质(1)⎠⎛ab kf(x)d x ＝k ⎠⎛ab f(x)d x(k 为常数)；(2)⎠⎛a bd x ＝⎠⎛abf 1(x)d x±⎠⎛abf 2x d x ； (3)⎠⎛a b f(x)d x ＝⎠⎛a c f(x)d x ＋⎠⎛cb f(x)d x(其中a<c<b)．对定积分的性质的说明定积分的性质(1)(2)被称为定积分的线性运算，定积分的性质(3)被称为区间的连续可加性，定积分的性质可以推广为：①⎠⎛a bd x ＝⎠⎛a bf 1(x)d x±⎠⎛abf 2x d x±…±⎠⎛ab f m (x)d x(m ∈N *)． ②⎠⎛a b f(x)d x ＝∫c 1a f(x)d x ＋⎠⎛c 1c 2f(x)d x ＋…＋⎠⎛bc k f xd x (a<c 1<c 2<…<c k <b ，且k ∈N *)．利用定义求定积分利用定积分的定义，计算⎠⎛12(3x ＋2)d x 的值．令f(x)＝3x ＋2. (1)分割在区间上等间隔地插入n －1个分点，把区间等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n (i ＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx ＝n ＋i n －n ＋i －1n ＝1n.(2)近似代替、作和取ξi ＝n ＋i －1n(i ＝1,2，…，n)，则S n ＝∑i ＝1nf ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋i －1n ·Δx ＝∑i ＝1n 3n ＋i －1n ＋2·1n ＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤3i －1n 2＋5n ＝3n 2＋5＝32×n 2－n n 2＋5＝132－32n.(3)取极限⎠⎛12(3x ＋2)d x ＝li m n→∞S n ＝li m n→∞ ⎝ ⎛⎭⎪⎫132－32n ＝132.利用定义求定积分的步骤利用定积分的定义，计算⎠⎛12(x ＋1)d x 的值．解：f(x)＝x ＋1在区间上连续，将区间等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n (i ＝1,2，…，n)，每个区间的长度为Δx ＝1n.在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n 上取ξi＝1＋i －1n (i ＝1,2，…，n)， ∴f(ξi )＝1＋1＋i －1n ＝2＋i －1n，∴∑i ＝1nf (ξi )·Δx ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫2＋i －1n ·1n＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫2n ＋i －1n 2＝2n ·n＋1n2 ＝2＋n －12n ＝2＋12－12n ＝52－12n，∴⎠⎛21(1＋x)d x ＝lim n→∞ ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－12n ＝52.利用定积分的几何意义求定积分(1)⎠⎛012d x ；(2)⎠⎛12x d x ；(3) ⎠⎛－111－x 2d x.(1)⎠⎛012d x 表示的是图①中阴影部分所示长方形的面积，由于这个长方形的面积为2，所以⎠⎛012d x ＝2.(2)⎠⎛12x d x 表示的是图②中阴影部分所示梯形的面积，由于这个梯形的面积为32，所以⎠⎛12x d x ＝32.(3)⎠⎛1－11－x 2d x 表示的是图③中阴影部分所示半径为1的半圆的面积，其值为π2，所以⎠⎛－111－x 2d x ＝π2.利用几何意义求定积分的方法利用定积分所表示的几何意义求⎠⎛ab f(x)d x 的值的关键是确定由曲线y ＝f(x)，直线x ＝a ，直线x ＝b 及x 轴所围成的平面图形的形状．常见形状是三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．用定积分表示下图中阴影部分的面积，并根据定积分的几何意义求出定积分的值．解：图①中，被积函数f(x)＝－1－x 在区间上连续不间断，且f(x)≤0，根据定积分的几何意义，图中阴影部分的面积为 S ＝－⎠⎛－12 (－1－x)d x ＝12×3×3＝92，所以阴影部分的面积为92.图②中，被积函数f(x)＝－1－x 2在区间上连续不断，且f(x)≤0，根据定积分的几何意义，图中阴影部分的面积为S ＝－⎠⎛－11－1－x 2d x ＝12π×12＝π2，所以阴影部分的面积为π2. 利用定积分的性质求定积分已知⎠⎛01x 3d x ＝4，⎠⎛12x 3d x ＝4，⎠⎛12x 2d x ＝3，⎠⎛24x 2d x ＝3，求下列各式的值：(1)⎠⎛02(3x 3)d x ；(2)⎠⎛14(6x 2)d x ；(3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x .(1)⎠⎛02(3x 3)d x ＝3⎠⎛02x 3d x ＝3⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x 3d x ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋154＝12.(2)⎠⎛14(6x 2)d x ＝6⎠⎛14x 2d x ＝6⎝⎛⎭⎫⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛24x 2d x ＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫73＋563＝126.(3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x ＝⎠⎛12(3x 2)d x －⎠⎛12(2x 3)d x＝3⎠⎛12x 2d x －2⎠⎛12x 3d x ＝3×73－2×154＝－12.定积分与函数的奇偶性若函数f (x )的奇偶性已经明确，且f (x )在上连续，则： (1)若函数f (x )为奇函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝0；(2)若函数f (x )为偶函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x .已知⎠⎛a b d x ＝12，⎠⎛ab g(x )d x ＝6，求⎠⎛ab 3f (x )d x .解：∵⎠⎛a b f (x )d x ＋⎠⎛a b g(x )d x ＝⎠⎛ab d x ，∴⎠⎛a b f (x )d x ＝12－6＝6，∴⎠⎛ab 3f (x )d x ＝3⎠⎛ab f (x )d x ＝3×6＝18.5.错用定积分的几何意义致误由y ＝cos x 及x 轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表示为________．由y ＝cos x 及x 轴围成的介于0与2π之间的平面图形可以分成三部分：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π，利用定积分的几何意义可得，所求面积为π⎰2cos x d x －ππ⎰322cos x d x ＋2ππ⎰32cos x d x .π⎰2cos x d x －ππ⎰322cos x d x ＋2ππ⎰32cos x d x1．若对定积分的几何意义理解不到位，则易错误地表示为∫2π0cos x d x. 2．写定积分时应注意：当f(x)≥0时，S ＝⎠⎛ab fx d x ；而f x ＜0时，S ＝－⎠⎛ab fx d x.由定积分的几何意义可得⎠⎛－13(3x ＋1)d x ＝________. 解析：由直线x ＝－1，x ＝3，y ＝0以及y ＝3x ＋1所围成的图形，如图所示．⎠⎛－13(3x ＋1)d x 表示由直线x ＝－1，x ＝3，y ＝0以及y ＝3x ＋1所围成的图形在x 轴上方的面积减去在x 轴下方的面积，∴⎠⎛－13 (3x ＋1)d x＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋13×(3×3＋1)－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋1×2＝503－23＝16. 答案：161．下列等式不成立的是( ) A. ⎠⎛a b d x ＝m ⎠⎛a b f (x )d x ＋n ⎠⎛ab g(x )d xB. ⎠⎛a b d x ＝⎠⎛ab f (x )d x ＋b －aC. ⎠⎛ab f (x )g(x )d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ·⎠⎛ab g(x )d xD.⎠⎛－2π2πsin x d x ＝⎠⎛－2ππsin x d x ＋⎠⎛02πsin x d x解析：选C 利用定积分的性质可判断A ，B ，D 成立，C 不成立．例如⎠⎛02x d x ＝2，⎠⎛022d x ＝4，⎠⎛022x d x ＝4，⎠⎛022x d x ≠⎠⎛02x d x ·⎠⎛022d x . 2．图中阴影部分的面积用定积分表示为( )A.⎠⎛012xd xB.⎠⎛01(2x－1)d xC .⎠⎛01(2x ＋1)d xD.⎠⎛01(1－2x)d x解析：选B 根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为⎠⎛012xd x －⎠⎛011d x ＝⎠⎛01(2x－1)d x .3．由y ＝sin x ，x ＝0，x ＝π2，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是________．解析：∵0<x <π2∴sin x >0.∴y ＝sin x ，x ＝0，x ＝π2，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式为π⎰2sin x d x .答案：π⎰2sin x d x4．若⎠⎛a b d x ＝3，⎠⎛a b d x ＝1，则⎠⎛ab d x ＝________.解析：⎠⎛ab d x＝⎠⎛a b d x＝⎠⎛ab d x －⎠⎛ab d x＝3－1＝2. 答案：25．用定积分的几何意义求⎠⎛－114－x 2d x .解：由y ＝4－x 2可知x 2＋y 2＝4(y ≥0)，其图象如图．⎠⎛－114－x 2d x 等于圆心角为60°的弓形CD 的面积与矩形ABCD 的面积之和． S 弓形＝12×π3×22－12×2×2sin π3＝2π3－3，S 矩形＝AB·BC ＝23， ∴⎠⎛－114－x 2d x ＝23＋2π3－3＝2π3＋ 3.一、选择题1．若⎠⎛a b f(x)d x ＝1，⎠⎛ab g(x)d x ＝－3，则⎠⎛ab d x 等于( )A ．2B ．－3C ．－1D ．4解析：选C ⎠⎛a b d x ＝2⎠⎛a b f(x)d x ＋⎠⎛ab g(x)d x ＝2×1－3＝－1.2．由定积分的几何意义可得⎠⎛02x2d x 的值等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A 定积分⎠⎛02x 2d x 等于直线y ＝x 2与x ＝0，x ＝2，y ＝0围成三角形的面积S ＝12×2×1＝1.3．已知f(x)为偶函数，且⎠⎛06f(x)d x ＝8，则⎠⎛6－6f x d x 等于( ) A ．0 B ．4 C ．8 D ．16解析：选D ∵被积函数f(x)是偶函数，∴在y 轴两侧的函数图象对称，从而对应的曲边梯形的面积相等，∴⎠⎛6－6f(x)d x ＝2⎠⎛06f(x)d x ＝2×8＝16.4．定积分⎠⎛13(－3)d x 等于( )A ．－6B ．6C ．－3D ．3解析：选A ⎠⎛133d x 表示的面积S ＝3×2＝6，⎠⎛13(－3)d x ＝－⎠⎛133d x ＝－6.5．定积分⎠⎛01x d x 与⎠⎛01x d x 的大小关系是( )A .⎠⎛01x d x ＝⎠⎛01x d xB .⎠⎛01x d x ＞⎠⎛01x d xC .⎠⎛01x d x ＜⎠⎛01x d x D ．无法确定解析：选C 由定积分的几何意义结合右图可知⎠⎛01x d x ＜⎠⎛01x d x. 二、填空题6．设f(x)是连续函数，若⎠⎛01f(x)d x ＝1，⎠⎛02f(x)d x ＝－1，则⎠⎛12f(x)d x ＝________.解析：⎠⎛02f(x)d x ＝⎠⎛01f(x)d x ＋⎠⎛12f x d x ，所以⎠⎛12f x d x ＝⎠⎛02f(x)d x －⎠⎛01f(x)d x ＝－2.答案：－27．如下图所示的阴影部分的面积用定积分表示为________．解析：由定积分的几何意义知，S ＝⎠⎛2－4x 22d x. 答案：⎠⎛2－4x 22d x 8.⎠⎛2－2(sin x ＋2x)d x ＝________. 解析：由定积分的性质可得⎠⎛2－2(sin x ＋2x)d x ＝ ⎠⎛2－2sin x d x ＋⎠⎛2－22x d x.又因为y ＝sin x 与y ＝2x 都是奇函数，故所求定积分为0. 答案：0三、解答题9．求⎠⎛1－1f(x)d x 的值，其中f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1，－1≤x<0，e －x ，0≤x≤1，且⎠⎛0－12x －1d x ＝－2，⎠⎛01e －x d x ＝1－e －1. 解：对于分段函数的定积分，通常利用积分区间可加性来计算，即⎠⎛1－1f(x)d x ＝⎠⎛0－1f(x)d x ＋⎠⎛01f x d x ＝⎠⎛0－1(2x －1)d x ＋⎠⎛01e －xd x ＝－2＋1－e －1＝－(e －1＋1)．10．利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的平面区域的面积．(1)⎠⎛1－1|x|d x ； (2)⎠⎛01d x.解：(1)如下图，因为A 1＝A 2，所以⎠⎛1－1|x|d x ＝2A 1＝2×12＝1. (A 1，A 2分别表示图中相应各处面积)(2)⎠⎛01d x ＝⎠⎛011d x －⎠⎛011－x －12d x ，即用边长为1的正方形的面积减去圆(x －1)2＋y 2＝1的面积的14，为1－π4.。