1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(1)
高中数学 第一章 计数原理 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第2课时 分类加法计(1)
类型 1 组数问题(自主研析) [典例 1] 用 0，1，2，3，4 五个数字， (1)可以排出多少个三位数字的密码？ (2)可以排成多少个三位数？ (3)可以排成多少个能被 2 整除的无重复数字的三位数？ 解：(1)三位数字的密码，首位可以是 0，数字也可以重 复，每个位置都有 5 种排法，共有 5×5×5＝53＝125(种)． (2)三位数的首位不能为 0，但可以有重复数字，首先考
19
共有 60＋96＝156(个)． 其中比 2 000 小的有：千位是 1 的共有 3×4×3＝ 36(个)， 所以符合条件的四位偶数共有 156－36＝120(个)．
20
类型 2 分配问题
[典例 2] (1)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四
个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去
6
2．应用分类加法计数原理的注意事项 分类要做到不重不漏，分类后再分别对每一类进行 计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数． 3．应用分步乘法计数原理的注意事项 分步要做到步骤完整，步与步之间要相互独立，根 据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘得到 总数．
7
1．从 3 名女同学和 2 名男同学中选出一人主持本班
答案：C
11
5．如图所示，从点 A 沿圆或三角形的边运动到点 C， 若经过点 B，有________种不同的走法．若可经过点 B， 也可不经过点 B，有________种不同的走法．
解析：经过点 B，不同的走法有 2×2＝4(种)．若可 经过点 B，也可不经过点 B，不同的走法有 2×2＋2＝ 6(种)．
一次班会，则不同的选法种数为( )
A．6
B．5
C．3Leabharlann D．2解析：由分类加法计数原理，共有 3＋2＝5 种不同选
分类加法计数原理与分步乘法计数原理(1)
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分类加法计数原理与分步乘法计数原理
作者：廖军
来源：《数学金刊·高考版》2014年第02期
分类加法计数原理与分步乘法计数原理是学习概率统计的基础，在高考中占有特殊的地位，大多以选择题和填空题的形式出现，有时与概率统计知识综合出现在解答题中，主要考查基础知识、基本运算与思维能力，难度不大，多为送分题.
重点难点
重点：理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的问题.
难点：分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别.
方法突破
（1）正确使用两个原理，注意两者的区别：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成了.
（2）使用两个原理时，要注意以下问题：①分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每
一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数；②分步要做到“步骤完整”，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数.
点评两个计数原理的混合应用是学习的难点，注意分类讨论思想的不重不漏原则.。
1.1 分类计数原理和分步计数原理
（3）有不同颜色的5件上衣与3件不同颜色的长裤,如果一条长裤与一件上衣配 成一套,则不同的配法有多少种？ 分步问题 （4）从一个装有4个不同白球的盒子里或装有3个不同黑球的盒子里取1个球， 共有多少种不同的取法？ 分类问题 （5）从一个装有4个不同白球的盒子里和装有3个不同黑球的盒子里各取1个 球，共有多少种不同的取法？ 分步问题 （6）某商场有6个门，某人从其中的任意一个门进入商场，再从其他的门出去， 共有多少种不同的进出商场的方式？ 分步问题
问题剖析
小明要完成的一件事是什么
北京→重庆
完成这件事情要分几步
2步
每步中的任一方法能否独立完成这 件事
不能
每步方案中分别有几种不同的方法 4种 3种
完成这件事共有多少种不同的方法 4✕3=12种
想一想：
(1)用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以 A1，A2，···，B1，B2，···的方式给教室里的座 位编号，总共能够编出多少种不同的号码？ (2)从班上30名男生、25名女生中选男生、女生各1名 担任数学课代表，一共有多少种不同的选法？
现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画
事件1：从中任选一幅画布置房间 事件2：从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间 事件3：从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间
问题2：以上三个事件各有多少种不同的选法
1.解决计数问题的基本方法：
列举法、两个计数原理
2.选择两个原理解题的关键是： 根据题目，弄清完成一件事的要求至关重要， 只有这样才能正确区分“分类”和“分步”．
数,只需将各类方法数相加,因此分类计数原理又称加法原理
2）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，分类 要做到类类独立，不重不漏。
1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(课后习题详解)
人教A 版，高中数学，选修2-31.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理课本第6页，练习1．填空：（1）一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是 。
（2）从A 村去B 村的道路有3条，从B 村去C 村的道路有2条，从A 村经B 村去C 村，不同路线的条数是 。
【解析】（1）分类加法计数原理要完成的“一件事情”是“选出1人完成工作”，不同的选法种数是5＋4＝9；（2）分步乘法计数原理要完成的“一件事情”是“从A 村经B 村到C 村去”，不同路线条数是3×2＝6。
2．现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名，问：（1）从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？（2）从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？【解析】（1）分类加法计数原理要完成的“一件事情”是“选出1人参加活动”，不同的选法种数是3＋5＋4＝12；（2）分步乘法计数原理要完成的“一件事情”是“从3个年级的学生中各选1人参加活动”，不同选法种数是3×5×4＝60。
3．在例1中，如果数学也是A 大学的强项专业，则A 大学共有6个专业可以选择，B 大学共有4个专业可以选择，那么用分类加法计数原理，得到这名同学可能的专业选择种数为6410+=。
这种算法有什么问题？【解析】因为要确定的是这名同学的专业选择，并不要考虑学校的差异，所以应当是6＋4－1=9（种）可能的专业选择。
课本第10页，练习1．乘积12312312345()()()a a a b b b c c c c c ++++++++展开后共有多少项？【解析】分步乘法计数原理要完成的“一件事情”是“得到展开式的一项”。
由于每一项都是i j k a b c 的形式，所以可以分三步完成：第一步，取i a ，有3种方法；第二步，取j b ，有3种方法；第三步，取k c ，有5种方法。
分类加法计数原理与分布乘法计数原理
1 1 2 , , 2 3 3
3
时，也有4个．
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考向大突破二：分步乘法计数原理
例2：已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示 平面上的点(a，b∈M)，问： (1)P可表示平面上多少个不同的点？ (2)P可表示平面上多少个第二象限的点？ (3)P可表示多少个不在直线y＝x上的点？
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应用两个计数原理的注意点 (1)注意在应用两个原理解决问题时，一般是先 分类再分步．在分步时可能又用到分类加法计数原 理． (2)注意对于较复杂的两个原理综合应用的问题， 可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、直 观化．
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变式训练3：上海某区政府召集5家企业的负责人开年终 总结经验交流会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业 各有1人到会，会上推选3人发言，则这3人来自3家不同 企业的可能情况的种数为________．
因此y＝ax2＋bx＋c可以表示5×6×6＝180(个)不同的二次函 数．
(2)y＝ax2＋bx＋c的开口向上时，a的取值有2种情况，b、c的 取值均有6种情况， 因此y＝ax2＋bx＋c可以表示2×6×6＝72(个)图象开口向上的 二次函数．
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考向大突破三：两个计数原理的综合应用
解析：若3人中有一人来自甲企业，则共有C21C42种情况， 若3人中没有甲企业的，则共有C43种情况， 由分类加法计数原理可得， 这3人来自3家不同企业的可能情况共有C21C42＋C43＝ 16(种)． 答案： 16
1.1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1-2课时课件
N＝4 ×3×2＝24
练习 一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5, 6,7,8,9十个数字组成,可以设置多少种三位数的 密码(各位上的数字允许重复)?首位数字不为0的 密码数是多少?首位数字是0的密码数又是多少?
分析: 按密码位数,从左到右 依次设置第一位、第二位、第三 位, 需分为三步完成; 第一步, m1 = 10; 第二步, m2 = 10; 第三步, m3 = 10. 根据乘法原理, 共可以设置 N = 10×10×10 = 103 种三位数的密码。
伯数字,以A1,A2,,B1,B2的方式给教室的 座位编号，有多少种不同的号码？
分析：解决这个问题可以分为几步？
1 2 3 4 5 6 7 8 9 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 1 2 3 4 5 6 7 8 9
A
9种
B
9种
6 × 9 =54
思考：这两个问题有什么共同特征？
(2)分步计数原理 （乘法原理） 做一件事情，完成它需要分成两个 步骤，做第一步有m种不同的方法， 做第二步有n种不同的方法，那么完 成这件事有N=m×n种不同的方法。
分步计数原理推广 做一件事情，完成它需要分成n个 步骤，做第一步有m1种不同的方法， 做第二步有m2种不同的方法，……， 做第n步有mn种不同的方法，那么完 成这件事有N=m1×m2×…×mn种不 同的方法。
二、探究新知 （1）分类计数原理（加法原理）
做一件事情，完成它可以有两类 不同方案,在第一类方案中有m种不 同的方法,在第二类方案中有n种不 同的方法，那么完成这件事共有 N=m+n种不同的方法。Leabharlann 2、概念辨析（课后练习第3题）
1.1分类计数原理和分步计数原理(1)
练习 如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别 涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使 用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂 色方案有多少种?
问: 若用2色、4色、5色等,结果又怎样呢?
答:它们的涂色方案种 数分别是 0, 4×3×2×2 = 48, 5×4×3×3 = 180 种。
4种
3种
12种挂法可以表示如下： 左边 得到的挂法 右边
甲 乙 丙 丁 甲 丙 丁 甲 乙 丁 左甲右乙 左甲右丙 左甲右丁 左乙右甲 左乙右丙 左乙右丁 左丙右甲 左丙右乙
乙
丙
左丙右丁
左丁右甲 左丁右乙 左丁右丙
丁
甲 乙 丙
例4 要从甲、乙、丙、丁4幅不同的画中选出2 幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问 共有多少种不同的挂法？
问题3 后来听说丙地也是旅游胜地，于是改变 行程，先从甲地到乙地，再于次日从乙地到丙 地，一天中从乙地到丙地，有飞机2班，轮船有 2班，那么两天中，从甲地到丙地共有多少种不 同的走法？ 飞机2
火车3
甲
汽车2
乙
轮船2
丙
4+4+4+4+4+4=4×5=20
思考
用前6个大写英文字母和1～9九个阿 拉伯数字，以A1，A2，· · · ，B1， B2，· · · 的方 式给教室里的座位编号，总共能编出多少 个不同的号码？
字母
数字
1 2 3 4
得到的号码
A1 A2
A3
A4
A
5
6
A5
A6
7
树形图 8
A7
A8
9
A9
分析:由于前6个英文字母中的任意一个都能与9 个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们 各个不同，因此共有6×9＝54个不同的号码。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
自然数2520有多少个约数？ 有多少个约数？ 例3.自然数 自然数 有多少个约数 解：2520＝23×32×5×7 ＝ × 分四步完成： 分四步完成： 第一步： 第一步：取20，21，22，23，24有4种; 种 第二步： 第二步：取30，31，32有3种； 种 第三步：取50，51有2种； 第三步： 种 第四步： 第四步：取70，71有2种。 种 由分步计数原理，共有4× × × ＝ 种 由分步计数原理，共有 ×3×2×2＝48种 练习： 张 元币 元币， 张 角币 角币， 张 分币 分币， 张 分币 分币， 练习：5张1元币，4张1角币，1张5分币，2张2分币，可组成 多少种不同的币值？（ 张不取， ？（1张不取 角不计在内） 多少种不同的币值？（ 张不取，即0元0分0角不计在内） 元 分 角不计在内 元：0，1，2，3，4，5 ， ， ， ， ， 角：0，1，2，3，4 ， ， ， ， 分：0，2，4，5，7，9 ， ， ， ， ， 6×5×6－1＝179 × × － ＝
பைடு நூலகம்
（染色问题） 染色问题）
1.如图 要给地图 、B、C、D四个区域分别涂上 种 如图,要给地图 四个区域分别涂上3种 如图 要给地图A、 、 、 四个区域分别涂上 不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次 允许同一种颜色使用多次,但相 不同颜色中的某一种 允许同一种颜色使用多次 但相 邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种 不同的涂色方案有多少种？ 邻区域必须涂不同的颜色 不同的涂色方案有多少种？
深化理解 4. 何时用分类计数原理、分步计数原理呢 何时用分类计数原理、分步计数原理呢? 完成一件事情有n类方法 答:完成一件事情有 类方法 若每一类方法中的任 完成一件事情有 类方法,若每一类方法中的任 何一种方法均能将这件事情从头至尾完成,则计算完 何一种方法均能将这件事情从头至尾完成 则计算完 成这件事情的方法总数用分类计数原理. 成这件事情的方法总数用分类计数原理 完成一件事情有n个步骤 若每一步的任何一种 完成一件事情有 个步骤,若每一步的任何一种 个步骤 方法只能完成这件事的一部分,并且必须且只需完成 方法只能完成这件事的一部分 并且必须且只需完成 互相独立的这n步后 才能完成这件事,则计算完成这 步后,才能完成这件事 互相独立的这 步后 才能完成这件事 则计算完成这 件事的方法总数用分步计数原理. 件事的方法总数用分步计数原理
分类加法计数原理与分步乘法计数原理教学设计
类比分类问 从实例和具体经验出发，
概 追问：你能不能把这种解决问题的规律用数学语 题的共同特征， 通过比较、归纳、概括等
括 言来表述呢？
学生归纳叙述分 思维过程获得分步乘法计
揭
分步乘法计数原理
步 乘 法 计 数 原 数原理的内容，培养学生
示 完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同 理。
分析问题、模仿和语言表
（二）分类加法计数原理的形成
教学过程设计
生 问题 1： 活 （1）小明要从北京到重庆，一天中，飞机有 4 感 班，火车有 3 班，一天中乘坐这些交通工具从北 知 京到重庆共有多少种不同的走法？
初 识 原 理 生：7 种。
（追问：你是怎么想的） 师：这个问题中，小明要完成一件什么事？ 生：从北京到重庆。 师：怎么完成的呢？ 生：坐飞机或坐火车 师：你的意思是按交通工具不同分成了两类不同 的解决方案？你是怎么计算的呢？ 生：因为每一个班次的飞机或火车都能到达重 庆，所以 4+3=7.(以图表形式板书)
生物学 数学
管理学
化学 会计学 建筑学
医学 法学
类
物理学
比 如果小明要从这三所大学里选一个专业，他一共 迁 有多少种不同的选法呢？ 移
完成一件事有三类不同方案，第 1 类方案里有 m1
同 种不同的方法，第 2 类方案里有 m2 种不同的方
学生独立探
化 原 理
法，第 3 类方案里有 m3 种不同的方法，那么完成
1
1
1
A 2 B 2C 2 D 2
3
3
3
3
②4 3=12(请做的同学自己分析解释)
师：乘法运算是特定条件下加法运算的简化，由
于加数相同，所以乘法优化了加法，使得计数更
分类加法与分步乘法计数原理-
35
思考
集合A＝{a1，a2，…，an}共有多少个 子集？
36
课堂练习
1. 一种号码锁有4个拨号盘， 每个拨号盘上有从0到9共10个数字， 这4个拨号盘可以组成多少个四位 数字号码？
N＝10×10×10×10＝10000（种）
37
2. 要从甲、乙、丙3名工人中选 出2名分别上日班和晚班，有多少种 不同的选法？ 第一步: 选1人上日班； 有3种方法 第二步: 选1人上晚班. 有2种方法
33
开始
子模块1 18条执行路径
子模块2 45条执行路径
A
子模块3 28条执行路径
子模块4 38条执行路径ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
子模块5 43条执行路径
7371条
结束
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例5 随着人们生活水平的提高，某 城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌 照号码需要扩容.交通管理部门出台了一 种汽车牌照组成方法，每一个汽车牌照 都必须有3个不重复的英文字母和3个不 重复的阿拉伯数字，并且3个字母必须合 成一组出现，3个数字也必须合成一组出 现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌 照？
4×8＝32
13
问题探究
3.从师大声乐系某6名男生和8名女生中 各选一人表演男女二重唱，共有多少种 不同的选派方法？
6×8＝48
上述原理称为分步乘法计数原理.
14
问题探究
4.上述计数问题的算法有何共同特点？ 完成一件事需要两个步骤, 做第1步有m 种不同的方法, 做第2步有n 种不同的 方法, 那么完成这件事共有N＝m×n种 不同的方法.
30×29×20＋20×19×30 ＝17400＋11400＝28800（种）
分类加法计数原理与分步乘法计数原理第一课时精品教案(平行班)
1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理【课题】：1.1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理【教学目标】：（1）知识与技能理解分类加法原理和分步乘法计数原理，能根据具体问题的特征选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单问题.（2）过程与方法通过实例，总结出分类加法计数原理和分步乘法计数原理，提高学生综合、归纳的能力.（3）情感、态度与价值观培养学生数学来源于实践并指导实践的思想意识，通过实例分析培养学生学习数学的兴趣【教学重点】归纳地得出分类加法计数原理和分步乘法计数原理。
【教学难点】正确理解“完成一件事情”的含义；根据实际问题的特征，正确地区分“分类”或“分步”【教法、学法设计】启发引导式【课前准备】Powerpoint【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、引入1师提出问题1：从广州到海口,可以乘火车,也可以乘汽车.假设一天中,火车有3班,汽车有4班,那么一天中乘坐这些交通工具从广州到海口共有多少种不同的走法?师：（启发学生回答后，作补充说明）因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有4种走法，每种走法都可以完成由广州到海口这件事情．所以，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有3+4=7师：在上述的分析过程中，就体现了分类计数原理.（板书原理内容）分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有m n种不同的方法.那么完成这件事共有N=m1+m2+…+m n种不同的方法.师：对于分类计数原理，我们应注意以下几点.（1）从分类计数原理中可以看出，各类之间相互独立，都能完成这件事，且各类方法数相加，所以分类计数原理又称加法原理；（2）分类时，首先要根据问题的特点确定一个分类的标准，然后在确定的分类标准下进行分类；（3）完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法都是不同的方法.设置问题情境，引出分类计数问题，激发学生的求知欲。
原创1：1.1分类加法计数原理与分类乘法计数原理
根据分步计数原理，无重复数字的四位数有：N=5 × 4 × 3× 2=120（种）
巩固练习
4.羊村内的小羊们正热火朝天地举行运动会。绵羊族有8名运动员，盘羊族 有7名运动员，羚羊族有6名运动员。问：
第一章 计数原理
§1.1分类加法计数原理与分布乘法计数原理
高中数学选修2-3·精品课件
问题探究一：
喜羊羊与灰太狼故事
狼堡
羊村
灰太狼从狼堡 去羊村抓羊，他开飞机去有 2 条航线，骑 摩托车去有 3 条道路．请问灰太狼去羊村一共有几种不 同方法？
问题剖析
灰太狼做什么事情？
从狼堡到羊村抓羊
完成这个事情有几类方法？
区别3
各类办法是互相独立的。
各步之间是互相关联的。
即：类类独立，步步关联。
巩固练习
1.灰太狼开着飞机发现羊村正在开运动会，有12只羊在跳远、11只羊在跳 高、9只羊在标枪比赛、13只羊在铁饼比赛。灰太狼要从中抓一只羊，有多 少种不同的选择？ 根据分类计数原理，不同的选法共有:N=12+11+9+13=45（种） 2.由数字1，2，3，4，5可以组成多少种可以有重复数字的四位数？
例4.核糖核酸（RNA）分子是在生物细胞中发现的化学成分，一个RNA分子 是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种 称为碱基的化学成分所占据，总共有４个不同的碱基，分别用A，C，G，U 表示，在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现,所以在任意一个 位置上的碱基与其他位置上的碱基无关。假设有一类RNA分子由100个碱基 组成，那么能有多少种不同的RNA分子？
分类加法和分步乘法
N=m+n 种不同的方法.
实用文档
完成一件事有两,在类第不1类同方案中有m种不同的 方法,在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这 件事共有
N=m+n 种不同的方法.
问题1 我们班级有34位男生,15位女生,现要选一位同学 参加演讲比赛,则有多少种不同的选法？
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A
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例8 随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量 迅速增长，汽车牌照号码需要扩容.交通管理部门出台了 一种汽车牌照组成方法，每一个汽车牌照都必须有3个不 重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并且3个字母 必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现.那么这 种办法共能给多少辆汽车上牌照？
实用文档
例3.要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅， 分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共 有多少种不同的挂法？
解：第1步：从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种 选法 第2步：从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2 种选法
根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数是
N＝3×2＝6
实用文档
练习：
1、在由电键组A、B组成的串联电路中， 如图，要接通电源，使电灯发光的方法 有几种？
3、从数字1、2、3、4、5中任选三个数字可以组成多少个无重复 数字的三位数？
1、 要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚 4、班由，数有字多0少，种1，不2同，的3，选4法，？5可以组成多少个有重复数字的三位数？
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法
有 ( )
AB．315种
D．153种
3．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日
参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星 期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有 ( A．40种 B．60种 )
C．100种
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方
法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝ m×n 种不同的方法．
[思考探究] 在解决具体问题时，如何选择分类加法计数原理和分步乘法 计数原理？ 提示：如果已知的每类办法中的每一种方法都能完成这件 事，应该用分类加法计数原理；如果每类办法中的每一种 方法只能完成事件的一部分，就用分步乘法计数原理．
解析：由题意可列式为
D．120种
＝60(种)．
答案：B
4．若x、y∈N*，且x＋y≤6，则有序自然数对(x，y)共有 ________个． 解析：当x＝1,2,3,4,5时，y值依次有5,4,3,2,1个，由 分类计数原理，不同的数对(x，y)共有5＋4＋3＋2＋ 1＝15(个)． 答案：15
5．如图用6种不同的颜色把图中A、 B、C、D四块区域分开，若相
[特别警示]
在解题时，应首先分清楚怎样才算完成这件事，
有些题目在解决时需要进行分类讨论，分类时要适当地确
定分类的标准，按照分类的标准进行，做到不重不漏．
在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两 位数共有多少个？
[思路点拨]
[课堂笔记] 法一：根据题意，将十位数上的数字分别是
1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的 两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1 个． 由分类计数原理知：符合题意的两位数的个数共有：
高中数学 第一章 计数原理 1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第1课时 分类加法计数原理与
第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理[A 基础达标]1．从甲地到乙地一天有汽车8班，火车2班，轮船3班，某人从甲地到乙地，共有不同的走法种数为( )A．13 B．16C．24 D．48解析：选A．由分类加法计数原理可知，不同的走法种数为8＋2＋3＝13(种)．2．(2019·某某高二检测)如图，一条电路从A处到B处接通时，可构成线路的条数为( )A．8 B．6C．5 D．3解析：选B．从A处到B处的电路接通可分两步：第一步，前一个并联电路接通有2条线路；第二步，后一个并联电路接通有3条线路．由分步乘法计数原理知电路从A处到B处接通时，可构成线路的条数为2×3＝6(条)，故选B．3．(2019·某某高二检测)已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为( )A．40 B．16C．13 D．10解析：选C．分两类情况讨论：第1类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面．根据分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13(个)不同的平面．4．现有4名同学去听同时进行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( )A．81 B．64C．48 D．24解析：选A．每个同学都有3种选择，所以不同选法共有34＝81(种)，故选A．5．如果x，y∈N，且1≤x≤3，x＋y＜7，那么满足条件的不同的有序自然数对(x，y)的个数是( )A．15 B．12C．5 D．4解析：选A．分三类情况讨论：①当x＝1时，y＝0，1，2，3，4，5，有6种情况；②当x＝2时，y＝0，1，2，3，4，有5种情况；③当x＝3时，y＝0，1，2，3，有4种情况．由分类加法计数原理可得，满足条件的有序自然数对(x，y)的个数是6＋5＋4＝15(个)．6．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则不同的行车路线有________种．解析：完成该任务可分为四类，从每一个方向的入口进入都可作为一类，如图，从第1个入口进入时，有3种行车路线；同理，从第2个，第3个，第4个入口进入时，都分别有3种行车路线，由分类加法计数原理可得共有3＋3＋3＋3＝12(种)不同的行车路线．答案：127．已知集合A＝{0，3，4}，B＝{1，2，7，8}，集合C＝{x|x∈A或x∈B}，则当集合C 中有且只有一个元素时，C的情况有________种．解析：分两种情况：当集合C中的元素属于集合A时，有3种；当集合C中的元素属于集合B时，有4种．因为集合A与集合B无公共元素，所以集合C的情况共有3＋4＝7(种)．答案：78．(2019·某某高二检测)已知函数y＝ax2＋bx＋c为二次函数，其中a，b，c∈{0，1，2，3，4}，则不同的二次函数个数为________．解析：若y＝ax2＋bx＋c为二次函数，则a≠0，要完成该事件，需分步进行：第一步，对系数a有4种选法；第二步，对系数b有5种选法；第三步，对系数c有5种选法．所以共有4×5×5＝100(个)不同的二次函数．答案：1009．现有高二四个班学生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？(3)推选两人作中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？解：(1)分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法．所以，共有不同的选法N＝7＋8＋9＋10＝34(种)．(2)分四步，第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长，所以共有不同的选法N＝7×8×9×10＝5 040(种)．(3)分六类，每类又分两步，从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法．所以共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)．10．(2019·某某高二检测)已知集合A＝{a，b，c}，集合B＝{－1，0，1}．(1)从集合A到B能构造多少个不同的函数？(2)满足f(a)＋f(b)＋f(c)＝0的函数有多少个？解：(1)每个元素a，b，c都可以有3个数和它对应，故从A到B能构造3×3×3＝27(个)不同的函数．(2)列表如下：[B 能力提升]11．从集合{1，2，3，…，10}中任意选出3个不同的数，使这3个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )A．3 B．4C．6 D．8解析：选D．以1为首项的等比数列为1，2，4；1，3，9.以2为首项的等比数列为2，4，8.以4为首项的等比数列为4，6，9.把这4个数列的顺序颠倒，又得到4个数列，所以所求的数列共有2×(2＋1＋1)＝8(个)．12．满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为( )A．14 B．13C．12 D．10解析：选B．对a进行讨论，为0与不为0，当a不为0时还需考虑判别式与0的大小关系．若a＝0，则b＝－1，0，1，2，此时(a，b)的取值有4个；若a≠0，则方程ax2＋2x＋b＝0有实根，需Δ＝4－4ab≥0，所以ab≤1，此时(a，b)的取值为(－1，0)，(－1，1)，(－1，－1)，(－1，2)，(1，1)，(1，0)，(1，－1)，(2，－1)，(2，0)，共9个．所以(a，b)的个数为4＋9＝13(个)．故选B．13．某节目中准备了两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？解：抽奖过程分三步完成，考虑到幸运之星可分别出现在两个信箱中，故可分两种情形考虑，分两大类：(1)幸运之星在甲箱中抽，先定幸运之星，再在两箱中各定一名幸运伙伴有30×29×20＝17 400(种)结果．(2)幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30＝11 400(种)结果．因此共有不同结果17 400＋11 400＝28 800(种)．14．(选做题)从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有多少种？解：法一：(直接法)若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2×1＝6种不同的种植方法．同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上均有3×2×1＝6种不同的种植方法．故不同的种植方法共有6×3＝18(种)．法二：(间接法)从4种蔬菜中选出3种种在三块土地上，有4×3×2＝24种方法，其中不种黄瓜有3×2×1＝6种方法，故共有不同的种植方法24－6＝18(种)．。
1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(高中数学人教A选修2-3)
故任选一名学生任学生会主席的选法共有50+60+55=165 种不同的方法.
(2)选一名学生任学生会体育部长有三类不同的选法. 第一类：从高二（1）班男生中选有30种不同的方法； 第二类：从高二（2）班男生中选有30种不同的方法； 第三类：从高二（3）班女生中选有20种不同的方法.
2.分步计数原理针对的是“分步”问题， 各个步骤中的方法相互依存，只有各 个步骤都完成才算做完这件事．
两个计数原理
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
相同点 用来计算“完成一件事”的方法种数
分类完成类类相加 分步完成 步步相乘
每类方案中的每一 每步_依__次__完__成__才
不同点 种完方成法这都 件能 事_独__立___
两类
能
26种 10种
26+10=36种
假如你从南宁到北海，
可以坐直达客车或直达火车，
客车每天有3个班次，火车每天有2个班次，
请问你共有多少种不同的走法客？车1
北海
南宁
客车2
客车3
火车1 火车2 分析：完成从南宁到北海这件事有2类方案， 所以，从从南宁到北海共有3+ 2= 5种方法.
问题1:你能否发现这两个问题有什么共同特征？ 1、都是要完成一件事 2、用任何一类方法都能直接完成这件事 3、都是采用加法运算
物理学
法学
汉语言文学
工程学
பைடு நூலகம்
韩语
如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种 选择呢? N=5+4+5=14(种)
2014年全国高中数学青年教师展评课：分类加法计数原理与分步乘法计数原理教学设计(重庆涪陵实验中学罗艳)
原 不同方法，做第 2 步有 n 种不同方法，那么
模仿和语言表达能力。
理 完成这件事一共有 N=m n 种不同方法。
如果完成一件事需要三个步骤，做第 1 步有
类
m1 种不同的方法，做第 2 步有 m2 种不同的
再 （引导学生从完成一件什么事，怎么完成这
让学生在发现问题、解
识 件事，怎么计算的去分析这个问题）
决问题的过程中主动建
原 （3）从班上 30 名男生、25 名女生中选男生、
构，理解数学知识的本
理 女生各 1 人担任数学课代表，一共有多少种
质。
不同的选法？
追问：你能举出生活中类似的例子吗？
抽 问题 4：这一类问题的共同特征是什么？
么完成的，怎 么计算的。 成“共同性印象”，为下
一步归纳概括原理打下
理 但是发现问题、提出问题比解决问题更重
坚实的基础。
要，我们不妨思考一下，
追问：能否举出一些生活中类似的例子呢？
抽 问题 2：这一类问题有什么共同特征呢？
在经历了感知与想象内
象
（分类、加法、计数）
化后，结合具体感知的
概 追问：你能不能把这种解决问题的规律用数
设计意图
及时给时间让学生检验 自己的研究成果，进一 步体会加法原理，不但 起巩固的效果，还能增 加学生的兴趣和信心。
如果小明要从这两所大学选一个专业，他一
共有多少种不同的选法呢？
变式：如果 C 大学里还有两个感兴趣的强项
专业，A 大学 B 大学 C 大学
生物学 数学
管理学
类
化学 会计学 建筑学
比
医学 法学
通过生活中的简单的实 例，源自学生的邻近发 展区，使学生初步感知
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1）（导学案）
1.通过实例，总结出分类计数原理、分步计数原理；
2.
了解分类、分步的特征，合理分类、分步； .
一、课前准备
（预习教材P 2~ P 5，找出疑惑之处）
复习1 从高二（1）班的50名学生中挑选1名同学担任学校元旦晚会主持人，有多少种不同挑选结果？
复习2：一次会议共3人参加，结束时，大家两两握手，互相道别，请你统计一下，大家握手次数共有多少？
二、新课导学
※ 学习探究：探究任务一：分类计数原理
问题1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
分析：给座位编号的方法可分____类方法?
第一类方法用 ，有___ 种方法; 第二类方法用 ，有___ 种方法; ∴ 能编出不同的号码有__________ 种方法.
新知：分类计数原理－加法原理：
如果完成一件工作有两类不同的方案，由第1类方案中有m 种方法，在第2类方案中有n 种不同的方法，那么，完成这件工作共有n m +种不同的方法.
试试：一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是 .
反思：使用分类计数原理的条件是什么？分类加法原理可以推广到两类以上的方法吗？
探究任务二：分步计数原理
问题2：用前六个大写的英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以,,,,,2121B B A A ⋅⋅⋅…的方式给教室的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
分析：每一个编号都是由 个部分组成，
第一部分是 ，有____种编法， 第二部分是 ，有 种编法；
要完成一个编号，必须完成上面两部分，每一部分就是一个步骤，所以，
不同的号码一共有 个.
新知：分步计数原理－乘法原理：
完成一件工作需要两个步骤，完成第1步有m 种不同的方法，完成第2步有n 种不同的方法，那么，完成这件工作共有n m ⨯种不同方法。
试试：从A 村去B 村的道路有3条，从B 村去C 村的道路有2条，从A 村经B 村去C 村，不同的路线有 条.
反思：使用乘法原理的条件是什么？分步乘法原理可以推广到两部以上的问题吗？
※ 典型例题
例1 在填报高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A ,B 两大学都有一些自己感兴趣的专业，具体如下： A 大学 B 大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 物理学 法学 工程学
那么，这名同学可能的专业选择共有多少种?
变式：在上题中，如果数学也是A 大学的强项专业，则A 大学共有6个专业可以选择，B 大学共有4个专业可以选择，那么用分类加法原理，得到这名同学可能的专业选择共有1046=+种.这种算法对吗？
小结：加法原理针对的是分类问题，其中的各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事.
例2 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，
（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？
（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？
变式：要从甲，乙，丙3副不同的画中选出2副，分别挂在左，右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的选法？
小结：在解决实际问题中，要分清题意，正确选择加法原理和乘法原理，乘法原理针对的是分步问题，其中的各步骤相互依存，只有各个步骤都完成才算完成这件事.
※ 动手试试
练1. 现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名. ⑴ 从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？
⑵ 从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法?
三、总结提升
※ 学习小结
1. 什么是分类加法原理？加法原理使用的条件是什么？
2. 什么是分步乘法原理？乘法原理使用的条件是什么？
※ 知识拓展
集合A 中有n 个元素，则集合A 的子集的个数有n 2个.
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 一个商店销售某种型号的电视机，其中本地产品有4种，外地产品有7种，要买1台这种型号的电视机，有 种不同的选法.
2. 某班有男生30人，女生20人，现要从中选出男，女各1人代表班级参加比赛，共有 种不同选法.
3.乘积()()n n b b b a a a +⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++2121展开后，共有 项.
4. 要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有 种不同的选法.
5. 一种号码拨号锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成 个四位数号码.
课后作业
1. 如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地
有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路.从甲地到丁地共有多少条不同的路线？
2. 如图，一条电路从A 处到B 处接通时，可有多少条不同的线路？。