自功率谱和互功率谱
信号的幅值相关功率谱分析
总结
第6章 信号的幅值、相关功率谱分析 6.1 随机信号的基本概念
1、样本函数、样本记录、随机过程 样本函数：对随机信号进行多次长时间的观察记录， 其中每次长时间观察记录所获得的时间历程
p( x)
lim
x
p( x x ( t ) xx ) x
p( x)
lim
x 0
1 x
[
T
lim
Tx T
]
p(x)的计算方法
概率密度函数恒为正实数。
正弦信号
6.2 幅值域分析
正弦信号加随机噪声
不同信号的 概率密度函数是不同的
窄带随机噪声
宽带随机噪声
6.2 幅值域分析
三、概率密度函数的工程应用
6.4 功率谱密度分析
4）谱估计方法 用有限长度T的样本记录计算样本功率谱，作为信号 功率谱的初步估计值。 模拟信号
数字信号
6.4 功率谱密度分析
经典谱估计（周期图法）
离散化
x(t)
x(k) DFT
幅值谱 X ( f )
Sx( f )
1 N
X( f )2
改进算法：
把原样本记录长度T总分段
T
T总 q
6.3 相关分析 三、自相关函数
定义自相关系数
Rx
(
)
lim
T
1 T
T
x(t)x(t )dt
0
6.3 相关分析 四、相关函数的性质
相关函数描述了两个信号间或信号自身不同时刻的相似 程度，通过相关分析可以发现信号中许多有规律的东西。 1、自相关函数的性质
各种谱计算,频响函数,传递率
各种谱计算，频响函数，传递率阅读：22802006-05-25 22:01A．信号与谱的分类由于时域信号有不同的分类, 变换后对应的频域也有不同的谱信号可分为模拟(连续)信号和数字(离散)信号, 连续信号变换后称为谱密度, 离散信号变换后称为谱.连续信号又可分为绝对可积,平方可积(能量有限),均方可积(功率有限)绝对可积信号有傅里叶谱(线性谱)和傅里叶谱密度(线性谱密度),如时域信号单位为电压V,则前者单位为V,后者单位为V/Hz.均方可积信号有功率谱PS(单位为V2)和功率谱密度PSD(单位为V2/ Hz.).平方可积信号有能量谱密度ESD(单位为V2 s / Hz.).注1 平方量称为功率,平方量乘秒称为能量,谱分量除以频率称为谱密度.注2 功率谱密度另一定义(离散信号的功率谱密度)见下述, 连续信号的功率谱密度.为连续(光滑)曲线, 离散信号的功率谱密度为不连续的阶梯形..注3 随机信号求功率谱密度时为减少方差,可采用平均,重叠和加窗处理(Welch法).数字信号又可分为绝对可和,平方可和,均方可和.B.各种谱计算1. 线性谱Linear Spectrum: 对时域离散信号作DFT(离散傅里叶变换)得到,采用方法为FFT(快速傅里叶变换)法.X(f)=FFT(x(t))2. 自功率谱APS=Auto Power Spectrum: 离散信号的线性谱乘其共轭线性谱APS(f)=X(f)*conj(X(f)), conj=conjugate共轭(实部不变,虚部变符号).3. 互功率谱CPS=Cross Power Spectrum::x(t)的线性谱乘y(t)的共轭线性谱互功率谱是复数,可表示为幅值和相位或实部和虚部等.CPS(f)=X(f) *conj(Y(f)) Y(f)=FFT(y(t))4. (自)功率谱密度PSD(=Power Spectrum Density):PSD(f)=APS(f)/Δf Δf—频率分辨率(Hz),自功率谱密度与自相关函数成傅立叶对应关系故功率谱密度也称为规一化的功率谱.5. 互功率谱密度CSD=CPS(f)/ΔfA.频响函数FRF, 传递率A1.频响函数.FRF为响应的傅里叶变换与力的傅里叶变换之比或力和响应的互谱与力的自谱之比后者可通过平均减少噪声,故较常用.H(f)=X(f ) / F(f)=X(f)*conj(F(f)) / F(f)*conj(F(f))=CPS / APS.A2. 频响函数有三种表达形式频响函数表达成分子多项式与分母多项式(特征多项式)之比,也称有理分式.(两多项式求根后) 频响函数表达成极点,零点和增益ZPK形式.频响函数表达成部分分式,也称极点留数形式,( 部分分式的分子项称为留数.),例如:最常见的单自由度(位移)频响函数H(ω)=X(ω)/F(ω)H = 1 / (k+(jω) 2*m+jωC) 有理分式(多项式之比)= (1 /m )* 1/(jω-p1)(jω-p2) 极点,零点和增益ZPK形式= R1/(jω-p1) + R2/(jω-p2). 部分分式(极点和留数形式)本例特殊, 分子非多项式,无根(无零点),留数为共轭虚数(一般为共轭复数)a.共轭极点( 分母多项式的根) p: p1=σ+jωd, p2=σ-jωd, J=√-1ωd--有阻尼固有频率, ωd=ωn *√1-ζ2b.共轭留数R: R1=1/2j*ωd R2= -1/2j*ωdc.增益K: K = 1/m计算留数可用待定系数法或(复变函数中的)留数定理.多自由度系统中留数包含振型信息.A3. 频响矩阵: 当N点测力,N点测响应时, 频响函数为N x N矩阵,但独立元素只有N个, 测试时既可只测一行(如H11,H12,H13,…H1N, 即激多点,测一点);也可只测一列(如H11,H21,H31,…HN1,即激一点,测多点)B. 传递率(Transmissibility)传递率为同量纲物理量傅里叶变换之比,如电压传递率,力传递率,位移传递率等,以位移传递率为例: Tij=Xi(f)/Xj(f)= Xj(f)*conj(Xj(f)) / Xj(f)*conj(Xj(f))=CPSij / APSjj式中: Xi(f)-- 位移xi的傅里叶变换, Xj(f)-- 位移xj的傅里叶变换,(不测力法无频响函数,只能用传递率求振型,此时xj位置保持不变,称为参考(基准)位移.。
功率谱分析及其应用
S x Rx e j d
Rx S x e j d
随机信号的功率谱密度
自功率谱密度函数(Auto-power spectral density function)的性质
自功率谱密度函数是实偶函数。 自功率谱密度函数是双边谱。
Cxy 2 R cos d 单边互谱密度函数 (One-sided cross-power spectrum) xy Qxy 2 Rxy sin d 其中 j
实部 Gxy Gxy e 虚部
单边功率谱(one-sided power spectrum)（非负频率 上的谱） G 2S
x x
2 Rx e j d
0
随机信号的功率谱密度
1 T 2 Rxx 0 lim x t x t 0 dt x T T 0
输入x(t)与输出y(t)的互相关函数(crosscorrelation function )为：
Rxy Rx ' x Rx 'n1 Rx 'n2 Rx 'n3
Rxy Rx ' x
S xy f
由于噪音与输入无关，所以后3项为零，于是有
可利用互谱求系统的
X(t)
系统1 系统2 可在强噪声背景下分析系统的传输特性
n1 t
n2 t
y(t)
n3 t
随机信号的功率谱密度 正弦加随机
随机信号
yt x ' t n1 ' t n2 ' t n3 ' t
自功率谱密度函数互功率谱密度函数
• 根据欧拉公式
e jt cost j sint
cos n1t
1 2
e e jn1t
jn1t
j sin
n1t
1 2
e e jn1t
jn1t
分量的幅度变为无穷小，而频率分量有无穷多个，离散频谱
变成了连续频谱。这时，f(t)已不是nω1的离散函数，而是ω
的连续函数。
• 以上过程可以用计算式说明。由于相邻频率分量间隔为
周期T 可写为
Δω=(n+1)ω1-nω1=ω1
于是，有
2 2
T
1
f
(t )
n
1
2
T /2 T / 2
f
(t )e jn1t dt e jn1t
有绝对的差别，当周期信号fT(t)的周期 T 无限增大时，则此信号就转化为非 周期信号f(t)。即
lim
T
fT (t)
f (t)
确定信号的时间特性
表示信号的时间函数，包含了信号的全部 信息量，信号的特性首先表现为它的时间 特性。
时间特性主要指信号随时间变化快慢、幅 度变化的特性。
– 同一形状的波形重复出现的周期长短 – 信号波形本身变化的速率（如脉冲信号的脉
– 频带：复杂信号频谱中各分量的频率理论上可扩展至无限， 但因原始信号的能量一般集中在频率较低范围内，在工程 应用上一般忽略高于某一频率的分量。频谱中该有效频率 范围称为该信号的频带。
以频谱描述信号的图象称为频域图，在频域上分析信号称为 频域分析。
时域和频域
傅里叶变换 互功率谱
傅里叶变换互功率谱
傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的数学工具，它可以将一个信号分解成不同频率的正弦和余弦函数的叠加。
互功率谱是用来描述两个信号之间相互作用的频域表示，它可以用于分析信号之间的相似性、相关性以及互相影响程度。
在信号处理中，互功率谱通常用于衡量两个信号在不同频率上的功率分布情况。
它可以通过对两个信号进行傅里叶变换，然后将它们的频域表示相乘得到。
互功率谱的幅度表示了两个信号之间在不同频率下的相关程度，而相位表示了它们之间的相对相位差。
互功率谱在很多领域都有广泛的应用，比如通信系统中的频率选择性信道估计、声音信号的相干性分析、图像处理中的纹理分析等。
它可以帮助我们理解信号之间的关系，并提供有关信号特征和相互作用的信息。
功率谱
A．信号与谱的分类注：功率谱计算的方法之一是由FFT后的谱线平方来得到。
由于时域信号有不同的分类, 变换后对应的频域也有不同的谱信号可分为模拟(连续)信号和数字(离散)信号, 连续信号变换后称为谱密度, 离散信号变换后称为谱.连续信号又可分为绝对可积,平方可积(能量有限),均方可积(功率有限)绝对可积信号有傅里叶谱(线性谱)和傅里叶谱密度(线性谱密度),如时域信号单位为电压V,则前者单位为V,后者单位为V/Hz.均方可积信号有功率谱PS(单位为V2)和功率谱密度PSD(单位为V2/ Hz.).平方可积信号有能量谱密度ESD(单位为V2 s / Hz.).注1平方量称为功率,平方量乘秒称为能量,谱分量除以频率称为谱密度.注2功率谱密度另一定义(离散信号的功率谱密度)见下述, 连续信号的功率谱密度.为连续(光滑)曲线, 离散信号的功率谱密度为不连续的阶梯形..注3随机信号求功率谱密度时为减少方差,可采用平均,重叠和加窗处理(Welch法). 数字信号又可分为绝对可和,平方可和,均方可和.B.各种谱计算1. 线性谱Linear Spectrum:对时域离散信号作DFT(离散傅里叶变换)得到, 采用方法为FFT(快速傅里叶变换)法.X(f)=FFT(x(t))2. 自功率谱APS=Auto Power Spectrum:离散信号的线性谱乘其共轭线性谱APS(f)=X(f)*conj(X(f)), conj=conjugate共轭(实部不变,虚部变符号).3. 互功率谱CPS=Cross Power Spectrum::x(t)的线性谱乘y(t)的共轭线性谱互功率谱是复数,可表示为幅值和相位或实部和虚部等.CPS(f)=X(f) *conj(Y(f)) Y(f)=FFT(y(t))4. (自)功率谱密度PSD(=Power Spectrum Density):PSD(f)=APS(f)/ΔfΔf—频率分辨率(Hz),自功率谱密度与自相关函数成傅立叶对应关系故功率谱密度也称为规一化的功率谱.5. 互功率谱密度CSD=CPS(f)/ΔfA.频响函数FRF,传递率A1.频响函数.FRF为响应的傅里叶变换与力的傅里叶变换之比或力和响应的互谱与力的自谱之比后者可通过平均减少噪声,故较常用.H(f)=X(f ) / F(f)=X(f)*conj(F(f)) / F(f)*conj(F(f))=CPS / APS.A2. 频响函数有三种表达形式频响函数表达成分子多项式与分母多项式(特征多项式)之比,也称有理分式.(两多项式求根后) 频响函数表达成极点,零点和增益ZPK形式.频响函数表达成部分分式,也称极点留数形式,( 部分分式的分子项称为留数.),例如:最常见的单自由度(位移)频响函数H(ω)=X(ω)/F(ω)H = 1 / (k+(jω) 2*m+jωC)有理分式(多项式之比)= (1 /m )* 1/(jω-p1)(jω-p2) 极点,零点和增益ZPK形式= R1/(jω-p1) + R2/(jω-p2). 部分分式(极点和留数形式)本例特殊, 分子非多项式,无根(无零点),留数为共轭虚数(一般为共轭复数)a.共轭极点( 分母多项式的根) p: p1=σ+jωd, p2=σ-jωd, J=√-1ωd--有阻尼固有频率,ωd=ωn *√1-ζ2b.共轭留数R: R1=1/2j*ωd R2= -1/2j*ωdc.增益K: K = 1/m计算留数可用待定系数法或(复变函数中的)留数定理.多自由度系统中留数包含振型信息.A3. 频响矩阵: 当N点测力,N点测响应时, 频响函数为N x N矩阵,但独立元素只有N 个,测试时既可只测一行(如H11,H12,H13,…H1N, 即激多点,测一点);也可只测一列(如H11,H21,H31,…HN1,即激一点,测多点)B. 传递率(Transmissibility)传递率为同量纲物理量傅里叶变换之比,如电压传递率,力传递率,位移传递率等,以位移传递率为例: Tij=Xi(f)/Xj(f)= Xj(f)*conj(Xj(f)) / Xj(f)*conj(Xj(f))=CPSij / APSjj 式中: Xi(f)-- 位移xi的傅里叶变换, Xj(f)-- 位移xj的傅里叶变换,(不测力法无频响函数,只能用传递率求振型,此时xj位置保持不变,称为参考(基准)位移.。
matlab自功率谱和互功率谱
标题：探讨MATLAB中自功率谱和互功率谱的应用在MATLAB中，自功率谱和互功率谱是信号处理和频谱分析中常用的重要工具。
它们可以帮助我们对信号进行深入的分析与理解，从而更好地掌握信号的特性和特征。
本文将从浅入深地探讨MATLAB中自功率谱和互功率谱的概念、原理和应用，并结合个人观点进行分析。
1. 自功率谱的概念及原理在MATLAB中，自功率谱是一个信号在频率域上的能量分布情况。
它可以帮助我们了解信号的频谱特性以及信号的能量分布情况。
自功率谱的计算可以通过MATLAB中的fft函数实现，通过对信号进行傅里叶变换得到信号的频谱信息，进而计算信号的功率谱密度。
通过MATLAB的plot函数可以将功率谱以图表的形式直观地呈现出来，从而更好地展示信号在频域上的特性。
2. 自功率谱的应用自功率谱广泛应用于信号处理、通信系统、音频处理等领域。
在MATLAB中，我们可以通过对信号的自功率谱进行分析，来了解信号的频谱特性，从而设计滤波器、分析信道特性或者进行频谱相关的应用。
自功率谱还可以帮助我们对信号的频率成分进行分析，辨识信号中的周期性分量，从而更好地理解信号的特征。
3. 互功率谱的概念及原理与自功率谱相似，互功率谱是用来描述两个信号之间的相关性和相互影响的频谱特性。
在MATLAB中，我们可以通过对两个信号进行傅里叶变换，并进行相关运算，从而得到两个信号之间的互功率谱。
互功率谱可以帮助我们分析两个信号之间的相关性，了解它们之间的频域特性以及相互影响情况。
4. 互功率谱的应用互功率谱在信号处理、系统辨识和通信领域有着重要的应用。
在MATLAB中，我们可以通过对两个信号的互功率谱进行分析，来了解它们之间的相关性和相互影响情况，从而设计系统辨识算法、分析通信信道特性或者进行相关的频域应用。
互功率谱还可以帮助我们进行信道估计、频谱分析以及系统辨识，从而更好地理解信号之间的互相关性。
总结与展望：通过MATLAB中自功率谱和互功率谱的学习与应用，我们可以更好地理解信号在频域上的特性及其相关性，从而为信号处理、通信系统设计以及频谱分析提供重要的参考依据。
第九讲互功率谱、性质,相干函数白噪声图文
1
四、联合平稳的随机信号的互功率谱
1、样本函数的互功率谱
互功率谱：
GXYLeabharlann (, )lim T
1 2T
XT
(,)YT*(, )
GYX
(,
)
lim T
1 2T
YT
(,
) XT*
(,
)
若 X (及t) 为Y (实t) 函数
XT () XT () YT() YT ()
x(n)
3
2
1
0
-1
-2
-3
0
100
200
300
400
500
12
B. 数学上有很好的运算性质 把信号与白噪声一起分析，运算非常方便 C. 可以作为重要噪声的模型 自然界许多重要的噪声过程，具有近似均匀的谱密度， 如通信系统的热噪声 D. 可以代替实际应用中的宽带噪声 只要噪声在比有用信号的频带宽的多的范围内 具有近似平坦的功率谱，都可看作白噪声
5
五、功率谱的应用
1、自谱应用 •周期性检测 •语音频谱分析
国际音标a：的时域波形与功率谱
6
五、功率谱的应用
•脑电图分析
左右脑电信号的相干函数
•衡量滤波器的特性 衡量系统的噪声系数
Si F Ni
So No
7
2、互谱的应用 若两个信号分别是一个线性系统的输入和输出信号： •估计线性系统频响函数（系统辨识）
H () GXY () H () e j(w) GX ()
•滞后时间的测量：
(w) 代表了系统对频率 的相位延迟，本
质上是系统的滞后时间
(w) /
大连理工大学测试技术第五章
一、两随机变量的相关系数
通常,两个变量之间若存在着一一对应的确定关系,则称两者 存在着函数关系。当两个随机变量之间具有某种关系时,随 着某一个变量数值的确定,另一变量却可能取许多不同值,但 取值有一定的概率统计规律,这时称两个随机变量存在着相 关关系。 图514表示由两个随机变量x和y组成的数据点的分布情况。 图514a中各点分布很散,可以说变量x和变量y之间是无关的。 图5,14b中x和y虽无确定关系,但从统计结果、从总体看,大 体上具有某种程度的线性关系,因此说它们之间有着相关关 系。
§5－1 随机信号的幅值域分析 －
一、随机信号的基本概念 随机信号是不能用确定的数学关系式来描述的，不能预 测其未来任何瞬时值，任何一次观测值只代表在其变动 范围中可能产生的结果之一，但其值的变动服从统计规 律。
样本函数： 样本函数 ： 对随机信号按时间历程所作的各次长时 间观测记录，记作x (t)。 间观测记录，记作xi(t)。 样本记录： 样本记录：样本函数在有限时间上的部分 随机过程： 相同试验条件下 ， 全部样本函数的集合 随机过程 ： 相同试验条件下， 总体） 记作{x(t)} （总体），记作{x(t)} (t),… (t),… 即{x(t)}={x1(t), x2(t),… xi(t),…}
σ x2
对各态历经随机信号及功率信 号可定义自相关函数Rx(τ)
1 Rx (τ ) = lim T →∞ T
则
∫
T
0
x(t ) x(t + τ )dt
ρ x (τ ) =
无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可能是该图像已损坏。请重新启动计算机，然后重 新打开该文件。如果仍然显示红色 “x”，则可能需要删除该图像，然后重新将其插入。 无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可能是该图像已损坏。请重新启动计算机，然 后重新打开该文件。如果仍然显示红色“x” ，则可能需要删除该图像，然后重新将其插入。
(完整word版)功率谱分析
三、功率谱分析字体[大] [中] [小]周期信号的功率谱为其双边幅值频谱的平方|c n|2;非周期信号的功率谱为其幅值谱密度的平方|X(ω)|2＝X(ω)X*(ω)。
随机信号属于时域无限信号，其频率、幅值和相位为随机变量。
因而，采用具有统计特性的功率谱估计进行谱分析(一)自功率谱密度及其估计各态历经随机信号的功率谱密度S x(ω)与自相关函数R x(τ)为傅里叶变换偶对，即为了方便，也可用在非负频率范围内(ω>0)定义的单边功率谱密度G x(ω)代替双边功率谱密度S x(ω)，两者之间的关系为自功率谱估计可分为线性估计法与非线性估计法。
前者以快速变换为基础，应用较早，也称为经典谱分析法; 后者是与时序模型结合的一种新方法，又称为现代谱分析方法。
1. 周期图各态历经随机信号的均方值ψx2为信号能量的时域描述。
巴什瓦定理表明，信号能量的时域计算与频域计算相等，即由此定义自功率谱密度及其估计为：式中表12-45 典型信号的自相关、频谱、概率密度(续)X(ω)为测试数据x(t)的傅里叶变换，X(k)为N个数据x(n)的离散傅里叶变换，由FFT直接求出。
由于X(k)具有周期函数的性质，所以称由此获得的自功率谱估计为周期图。
自相关估计x′(r)的快速傅里叶变换可作为自功率谱估计的另一计算公式以上两种估计都是自功率谱S x(ω)的有偏估计，只是偏差大小不同。
两种估计在时域对数据或对自相关估计进行截断，相当于加窗处理，致使谱估计成为真实功率谱(或称为真功率谱)与窗谱W(ω)的卷积，即Ŝx(ω)=S x(ω)*W(ω)窗谱旁瓣的泄漏效应和卷积的作用使真功率谱的尖峰数值变化，邻近点的数值变大，造成谱估计的模糊与失真以上两种估计的方差较大; 相距2π/N的各点估计值互不相关，故数据点数N越大，这些点的估计值的随机起伏越严重。
为改善谱估计的估计质量，在增大数据点数的同时，采用平均化处理和窗处理方法减小谱估计的方差。
第五章 功率谱密度函数
SX(ω)
0
ω
RX
0
E X 2
t
1
2
SX
d
计算汽车四个输入的振动传递时，需要计算四个车轮输入的自谱和四个
车轮彼此之间的互谱，共16个谱量，其中四个自谱，12个互谱；其中互
谱的计算公式：
Gik
(n)
lim
T
1 T
Fi* (n) Fk
(n)
Gik
(n)
lim
T
1 T
Fi* (n) Fk
(n)
G11(n)
lim
T
1 T
F1* (n) F1 (n)
q2 (l) x(l L) q4 (l) y(l L)
1、2为同侧车轮 3、4为同侧车轮
F[q1(l)] F[x(l)] X (n)
F[q2 (l)] F[x(l L)] X (n)e j2nL
F[q3(l)] F[ y(l)] Y (n)
F[q4 (l)] F[ y(l L)] Y (n)e j2nL
G13(n) G31*(n) Gxy (n) G42 (n) G24*(n) Gyx (n)
作业：
推导：
G14 (n) G41*(n) Gxy (n)e j2nL G32 (n) G23*(n) Gyx (n)e j2nL
G13(n) G31*(n) Gxy (n) G42 (n) G24*(n) Gyx (n)
信号的幅值相关功率谱分析
T T
0
周期函数： 2 1 T x2 (t )dt
x T0
（连续量）
工程测量中仪器的表头示值就是信号的有效值。
6.2 幅值域分析
3、方差
信号x(t)的方差定义为：
2 x
E[(x(t)
E[ x(t)])2 ]
lim
1
T T
T 0
(
x(t
)
x
)2
dt
大方差
小方差
方差：反映了信号绕均值的波动程度。
随机过程是平稳的, 在t时刻从样本计算的互相关函数
应和t-τ时刻从样本采样计算的互相关函数是一致的,
即:
Rxy
(
)
lim
T
1 T
T
x(t) y(t )dt
0
lim 1
T
x(t ) y(t)dt
T T 0
lim 1
T
y(t)x(t )dt
T T 0
Ryx( )
（2）当τ=0，互相关函数不一定取得最大值
定义概率密度函数为p(x)
以幅值大小为横坐标，以每个幅值间隔内出现的概
率为纵坐标进行统计分析的方法。它反映了信号落在不
同幅值强度区域内的概率情况。
p(x)图
概率密度函数恒为正实数。
总 概 率
p(x)dt 1
正弦信号 正弦信号加随机噪声
窄带随机噪声 宽带随机噪声
不同信号的 概率密度函数是不同的
噪声信号(平稳)
平稳随机过程
噪声信号(非平稳)
统计特性变异
非平稳随机过程
（2）各态历经随机过程和非各态历经随机过程
在平稳随机过程中，若某随机过程 用集合平均得到的统计参数与任一单个 样本用时间平均得到的统计参数相同，
随机振动--第7章-功率谱密度
根据Parseval 定理
xT t dt
2
T 2 T 2
1 xT t dt 2
2
X T d
2
2 1 T 1 1 2 2 X T d T xT t dt 2 T T 2
19
T , xT t x t
1 lim T T
T 2 T 2
f x
22
tt dt S x f df
一方面，此式表示平均功率 的时间结构，即各个瞬时的功 率x 2 t 对于平均功率的贡献。 另一方面，又表示了平均功率的频率结构，即各种频率的功 率成分Sx(f)df对于平均功率的贡献，因此称为功率谱。
S x Rx e
j
d
j
1 Rx 2
S x e
d
维纳—辛钦关系式
10
7.2 自功率谱密度函数
定义：用符号Sx(ω)记作Rx(τ)的傅立叶变换 S x Rx e j d
16
（5） 导数过程的自谱
Sx S x
2
17
从Parseval 定理角度来定义功率谱密度
——信号在时域的总能量等与它在频域的总能量
x t dt X f
2
2
2 1 df X d 2
18
设 x t 是平稳随机过程的一个样本函数，一般情 况下它不一定能满足绝对可积的条件，为此引入 辅助函数： T T x t , - t 2 2 xT t T 0 , t 2
功率谱密度与互功率谱密度
2 1 X T d Tlim 2T
确定信号的功率谱是确定信号频谱的一个转 换，也是一个确定的不随时间变化函数。
确定信号的相关函数的定义： 确定信号X(t)的相关函数:R(x(t1),x(t2))=1。 所以确定信号的功率P=x(t)*x(t)是一确定的随时间变 化的函数。 相关函数与功率谱的关系： 确定信号的功率谱S=E[P]=R(P)=R(0),是一个确定的常 量。
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例3.10 讨论（加性）单频干扰 。若实平稳随机 信号 X(t) 受到加性的独立随机正弦分量 Z(t) 的干扰，已知 A，ω0 为常数，Θ是在 [0,2π) 上 均匀分布的随机变量。试求：
(1) 受扰后的信号 Y(t) 的相关函数 RY(t +τ, t) ; (2) 信号 X(t)，Y(t) 是否联合平稳？ 如果是，求 SY(ω)，SXY(ω)
随机信号的相关函数的定义： 自相关函数： Rx(t1,t2)=E[X(t1),X(t2)] 随机信号与相关函数的关系：
PX ARX t , t
相关函数与功率谱的关系：
S(w)=E[P x]=E[ A[Rx( t, t)]]
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确定信号与随机信号的功率谱密度的区别：
2 1 S X , lim X T , T 2T
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随机信号的频谱与功率谱的区别与联系：
区别： 随机信号X(t)的频谱是随机过程样本的傅里叶变换。 对于随机信号而言，频谱也是一个“随机过程” （随机的频域序列）。 随机信号X(t)的功率谱是随机过程统计平均的概念。 联系： 随机信号X(t)的频谱与功率谱都是随机过程样本关 于w,ξ 的函数，且二者之间存在着相应的变换关 系。
各种谱计算,频响函数,传递率.
各种谱计算,频响函数,传递率阅读:22802006-05-25 22:01A.信号与谱的分类由于时域信号有不同的分类, 变换后对应的频域也有不同的谱信号可分为模拟(连续信号和数字(离散信号, 连续信号变换后称为谱密度, 离散信号变换后称为谱.连续信号又可分为绝对可积,平方可积(能量有限,均方可积(功率有限绝对可积信号有傅里叶谱(线性谱和傅里叶谱密度(线性谱密度,如时域信号单位为电压V,则前者单位为V,后者单位为V/Hz.均方可积信号有功率谱PS(单位为V2和功率谱密度PSD(单位为V2/ Hz..平方可积信号有能量谱密度ESD(单位为V2 s / Hz..注1 平方量称为功率,平方量乘秒称为能量,谱分量除以频率称为谱密度.注2 功率谱密度另一定义(离散信号的功率谱密度见下述, 连续信号的功率谱密度.为连续(光滑曲线, 离散信号的功率谱密度为不连续的阶梯形..注3 随机信号求功率谱密度时为减少方差,可采用平均,重叠和加窗处理(Welch 法.数字信号又可分为绝对可和,平方可和,均方可和.B.各种谱计算1. 线性谱Linear Spectrum: 对时域离散信号作DFT(离散傅里叶变换得到,采用方法为FFT(快速傅里叶变换法.X(f=FFT(x(t2. 自功率谱APS=Auto Power Spectrum: 离散信号的线性谱乘其共轭线性谱APS(f=X(f*conj(X(f, conj=conjugate共轭(实部不变,虚部变符号.3. 互功率谱CPS=Cross Power Spectrum::x(t的线性谱乘y(t的共轭线性谱互功率谱是复数,可表示为幅值和相位或实部和虚部等.CPS(f=X(f *conj(Y(f Y(f=FFT(y(t4. (自功率谱密度PSD(=Power Spectrum Density:PSD(f=APS(f/Δf Δf—频率分辨率(Hz,自功率谱密度与自相关函数成傅立叶对应关系故功率谱密度也称为规一化的功率谱.5. 互功率谱密度CSD=CPS(f/ΔfA.频响函数FRF, 传递率A1.频响函数.FRF为响应的傅里叶变换与力的傅里叶变换之比或力和响应的互谱与力的自谱之比后者可通过平均减少噪声,故较常用.H(f=X(f / F(f=X(f*conj(F(f / F(f*conj(F(f=CPS / APS.A2. 频响函数有三种表达形式频响函数表达成分子多项式与分母多项式(特征多项式之比,也称有理分式.(两多项式求根后频响函数表达成极点,零点和增益ZPK形式.频响函数表达成部分分式,也称极点留数形式,( 部分分式的分子项称为留数.,例如:最常见的单自由度(位移频响函数H(ω=X(ω/F(ωH = 1 / (k+(jω 2*m+jωC 有理分式(多项式之比= (1 /m * 1/(jω-p1(jω-p2 极点,零点和增益ZPK形式= R1/(jω-p1 + R2/(jω-p2. 部分分式(极点和留数形式本例特殊, 分子非多项式,无根(无零点,留数为共轭虚数(一般为共轭复数a.共轭极点( 分母多项式的根p: p1=σ+jωd, p2=σ-jωd, J=√-1ωd--有阻尼固有频率, ωd=ωn *√1-ζ2b.共轭留数R: R1=1/2j*ωd R2= -1/2j*ωdc.增益K: K = 1/m计算留数可用待定系数法或(复变函数中的留数定理.多自由度系统中留数包含振型信息.A3. 频响矩阵: 当N点测力,N点测响应时, 频响函数为N x N矩阵,但独立元素只有N个, 测试时既可只测一行(如H11,H12,H13,…H1N, 即激多点,测一点;也可只测一列(如H11,H21,H31,…HN1,即激一点,测多点B. 传递率(Transmissibility传递率为同量纲物理量傅里叶变换之比,如电压传递率,力传递率,位移传递率等,以位移传递率为例: Tij=Xi(f/Xj(f= Xj(f*conj(Xj(f / Xj(f*conj(Xj(f=CPSij / APSjj式中: Xi(f-- 位移xi的傅里叶变换, Xj(f-- 位移xj的傅里叶变换,(不测力法无频响函数,只能用传递率求振型,此时xj位置保持不变,称为参考(基准位移.。
功率谱分析
三、功率谱分析字体[大][中][小]周期信号的功率谱为其双边幅值频谱的平方|c n|2;非周期信号的功率谱为其幅值谱密度的平方|X(ω)|2＝X(ω)X*(ω)。
随机信号属于时域无限信号，其频率、幅值和相位为随机变量。
因而，采用具有统计特性的功率谱估计进行谱分析(一)自功率谱密度及其估计各态历经随机信号的功率谱密度S x(ω)与自相关函数R x(τ)为傅里叶变换偶对，即为了方便，也可用在非负频率范围内(ω>0)定义的单边功率谱密度G x(ω)代替双边功率谱密度S x(ω)，两者之间的关系为自功率谱估计可分为线性估计法与非线性估计法。
前者以快速变换为基础，应用较早，也称为经典谱分析法; 后者是与时序模型结合的一种新方法，又称为现代谱分析方法。
1. 周期图各态历经随机信号的均方值ψx2为信号能量的时域描述。
巴什瓦定理表明，信号能量的时域计算与频域计算相等，即由此定义自功率谱密度及其估计为：式中表12-45 典型信号的自相关、频谱、概率密度(续)X(ω)为测试数据x(t)的傅里叶变换，X(k)为N个数据x(n)的离散傅里叶变换，由FFT 直接求出。
由于X(k)具有周期函数的性质，所以称由此获得的自功率谱估计为周期图。
自相关估计x′(r)的快速傅里叶变换可作为自功率谱估计的另一计算公式以上两种估计都是自功率谱S x(ω)的有偏估计，只是偏差大小不同。
两种估计在时域对数据或对自相关估计进行截断，相当于加窗处理，致使谱估计成为真实功率谱(或称为真功率谱)与窗谱W(ω)的卷积，即Ŝx(ω)=S x(ω)*W(ω)窗谱旁瓣的泄漏效应和卷积的作用使真功率谱的尖峰数值变化，邻近点的数值变大，造成谱估计的模糊与失真以上两种估计的方差较大; 相距2π/N的各点估计值互不相关，故数据点数N越大，这些点的估计值的随机起伏越严重。
为改善谱估计的估计质量，在增大数据点数的同时，采用平均化处理和窗处理方法减小谱估计的方差。
互功率谱矩阵
互功率谱矩阵是一种描述信号之间相关性的数学工具，常用于信号处理、通信系统和阵列信号处理等领域。
以下是关于互功率谱矩阵的详细介绍：
定义：对于两个随机信号x(t)和y(t)，它们的互功率谱密度函数定义为它们自相关函数的傅里叶变换。
互功率谱矩阵则是由多个信号的互功率谱密度函数组成的矩阵。
性质：互功率谱矩阵具有一些重要性质，如其为复数矩阵，满足共轭对称性等。
应用：
信号处理：通过计算信号的互功率谱矩阵，可以分析信号之间的相关性，从而提取出有用的信息。
通信系统：在通信系统中，互功率谱矩阵可以用于分析信道对信号的影响，从而优化系统性能。
阵列信号处理：在阵列信号处理中，互功率谱矩阵常用于波束形成、信号源定位等任务。
计算方法：计算互功率谱矩阵的方法通常包括自相关函数法和周期图法。
自相关函数法需要先计算信号的自相关函数，然后对其进行傅里叶变换得到互功率谱矩阵。
周期图法则是直接计算信号的周期图，然后通过一些估计方法得到互功率谱矩阵。
注意事项：在计算互功率谱矩阵时，需要注意选择合适的窗函数和重叠因子，以减小估计误差和提高分辨率。
此外，
当信号为非平稳信号时，可能需要采用一些特殊的方法来计算互功率谱矩阵。
优缺点：互功率谱矩阵的优点是可以描述信号之间的相关性，并提供关于信号频率特性的信息。
然而，它也有一些缺点，如计算复杂度较高，对噪声敏感等。
因此，在使用互功率谱矩阵时需要根据实际情况进行权衡和选择。
总之，互功率谱矩阵是一种重要的数学工具，可以用于描述信号之间的相关性并提供关于信号频率特性的信息。
它在信号处理、通信系统和阵列信号处理等领域有着广泛的应用。