函数的定义域和值域的求法
求函数的定义域与值域的常用方法
求函数的定义域与值域的常用方法在数学中，函数的定义域和值域是非常重要的概念。
定义域是指函数可以接受的输入值的集合，而值域则是函数能够取得的输出值的集合。
正确确定函数的定义域和值域是解决函数相关问题的关键，下面我们将详细介绍求函数定义域和值域的常用方法。
一、函数的定义域的常用方法：1. 显式定义法：对于一些常见的函数，我们可以直接根据其表达式来确定其定义域。
例如，对于一元多项式函数f(x)=ax^n+bx^m+...+c，其定义域可以是实数集或者区间。
2.隐式定义法：对于一些函数可能没有明确的表达式，或者函数的定义域和表达式没有直接的关系，我们可以根据函数的特性和性质来确定其定义域。
例如，对于分式函数f(x)=1/(x-1)，我们可以得知分母不能为0，所以其定义域是实数集减去1的那部分实数。
3.已知条件法：有时候我们可以根据函数在一些点的取值情况来确定其定义域。
例如，对于一个连续函数f(x)，如果我们知道在一些区间上f(x)恒大于0，那么可以确定该区间为函数的定义域。
4.集合运算法：当函数的定义域可以表示为多个区间或集合的并、交、差等运算时，我们可以利用这些运算来求解函数的定义域。
例如，对于函数f(x)=√(x+1)-√(x-1)，我们可以先求出√(x+1)和√(x-1)的定义域，然后求出它们的交集。
二、函数的值域的常用方法：1.考察函数表达式法：对于一些常见的函数，我们可以观察其表达式，根据其中的字母、常数等特性来确定其值域的范围。
例如，对于平方函数f(x)=x^2，我们可以观察到平方函数的输出恒为非负数，所以其值域是[0,+∞)。
2.定义域与函数性质法：当我们已经确定了函数的定义域后，可以根据函数的性质来确定其值域。
例如，对于连续函数f(x)在一些区间上单调增加或者单调减少，我们可以确定函数在该区间上取值范围。
3.极限与极大极小值法：利用函数的极限性质、导数等衍生性质来确定函数的值域。
例如，对于函数f(x)=x^3-3x+2，我们可以求出其导数为f'(x)=3x^2-3，然后根据导数的符号确定函数的单调性和极值点，从而确定其值域。
函数定义域值域求法(全十一种)
创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者： 凤呜大王*高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。
例1 求函数8|3x |15x 2x y 2-+--=的定义域。
解：要使函数有意义，则必须满足⎩⎨⎧≠-+≥--②①8|3x |015x 2x 2 由①解得 3x -≤或5x ≥。
③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。
故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。
例2 求函数2x161x sin y -+=的定义域。
解：要使函数有意义，则必须满足⎩⎨⎧>-≥②①0x 160x sin 2由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π， ③由②解得4x 4<<-④由③和④求公共部分，得 π≤<π-≤<-x 0x 4或 故函数的定义域为]0(]4(ππ--，， 评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。
（1）已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。
（2）其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。
例3 已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x (f 2-的定义域。
解：令21x 22≤-≤-，得3x 12≤≤-，即3x 02≤≤，因此3|x |0≤≤，从而3x 3≤≤-，故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-。
（2）已知)]x (g [f 的定义域，求f(x)的定义域。
其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是［a ，b ］，求f(x)定义域的方法是：由b x a ≤≤，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。
值域和定义域的求法
值域和定义域的求法在数学中，函数是一个非常重要的概念。
函数的值域和定义域是函数中的两个重要概念。
值域指的是函数的所有可能输出值的集合，而定义域则指的是函数的所有可能输入值的集合。
在解决函数的问题时，我们需要了解如何求出函数的值域和定义域。
一、定义域的求法定义域是函数的输入值的集合。
定义域的求法主要有以下几种： 1. 显式定义法如果函数的定义是显式的，那么其定义域也是显式的。
例如，函数f(x) = x + 2的定义域为所有实数。
2. 分段定义法如果函数在不同的区间内有不同的定义，那么其定义域就是所有区间的交集。
例如，函数f(x) = {x，x<0；x+1，x>=0}的定义域为(-∞,0)∪[0,∞)。
3. 根式定义法如果函数中存在根式，那么其定义域要满足根式中的表达式大于等于0。
例如，函数f(x) = √(x-1)的定义域为[x,∞)。
4. 分式定义法如果函数中存在分式，那么其定义域要满足分母不为0。
例如，函数f(x) = 1/(x-1)的定义域为(-∞,1)∪(1,∞)。
5. 对数定义法如果函数中存在对数，那么其定义域要满足对数中的表达式大于0。
例如，函数f(x) = log(x-1)的定义域为(1,∞)。
二、值域的求法值域是函数的输出值的集合。
值域的求法主要有以下几种：1. 图像法通过作出函数的图像，可以直观地看出函数的值域。
例如，函数f(x) = x^2的图像为开口向上的抛物线，其值域为[0,∞)。
2. 导数法如果函数在某一区间内单调递增或单调递减，那么其值域就是该区间的端点对应的函数值的集合。
例如，函数f(x) = x^2在区间[0,1]内单调递增，其值域为[0,1]。
3. 最值法如果函数在某一区间内存在最大值或最小值，那么其值域就是最大值或最小值对应的函数值的集合。
例如，函数f(x) = -x^2+2x在区间[0,1]内的最大值为f(1)=1，其值域为(-∞,1]。
4. 解析法有些函数可以通过解析的方法求出其值域。
函数定义域值域求法(全十一种)
文档大全
实用标准
因为CD=AB=2x，所以CDx，所以
2
L2xxx
y2x
故
22
LABCDL2xx
AD，
22
(2
)
2
2
x
Lx
根据实际问题的意义知
2x
L
0
2x
2
x
0
0x
L
2
2
故函数的解析式为y(2)xLx
2
五、参数型
，定义域（0，
即为所求的定义域。
2
例3已知f(x)的定义域为［－2，2］，求f(x1)
的定义域。
2
解：令2x12
2
，得1x3
2
，即0x3
，因此0|x|3，从而
3x3，故函数的定义域是{x|3x3}。
（2）已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域。
其解法是：已知f[g(x)]的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由axb，求
恒成立，解得
3
0k；
4
②当k=0时，方程左边=3≠0恒成立。
综上k的取值范围是
四、实际问题型
3
0k。
4
这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要
加倍注意，并形成意识。
例7将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函
数的定义域。
1
解：设矩形一边为x，则另一边长为(a2x)
含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之
一，在求函数的值域中同样发挥作用。
高中数学必修一专题：求函数的定义域与值域的常用方法
函数的定义域与值域的常用方法(一)求函数的解析式1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是y = f (x),不能把它写成f (x, y) = 0;2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形；3、求函数解析式的一般方法有：( 1)直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。
( 2)待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；(3)换元法：若给出了复合函数 f [g (x)的表达式，求f (x)的表达式时可以令t = g (x),以换元法解之；(4)构造方程组法：若给出f (x)和f (—x)，或f (x)和f (1/x)的一个方程，则可以x代换一x (或1/x),构造出另一个方程，解此方程组，消去 f (—x)(或f (1/x))即可求出f (x)的表达式；(5)根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y 的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。
(二)求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负4、对复合函数y = f [ g (x)]的定义域的求解，应先由y = f (u)求出u的范围，即g ( x)的范围，再从中解出x的范围1仁再由g (x)求出y= g (x)的定义域a, l i和I2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论,若参数在不同的范围内定义域不一样,则在叙述结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论,但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集,作为该函数的定义域；(三)求函数的值域1、函数的值域即为函数值的集合,一般由定义域和对应法则确定,常用集合或区间来表示；2、在函数f: A^B中，集合B未必就是该函数的值域，若记该函数的值域为C,则C是B的子集；若C =B,那么该函数作为映射我们称为"满射”；3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集；4、对含参数的函数的值域,求解时须对参数进行分类讨论；叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述；5、若对自变量进行分类讨论求值域,应对分类后所求的值域求并集；6、求函数值域的方法十分丰富，应注意总结;(四) 求函数的最值1设函数y = f (x )定义域为 A ，则当x € A 时总有f ( x ) Wf( x o )=M ,则称当x = x 。
第二讲 函数的定义域和值域的求解方法
第二讲 函数的定义域和值域的求解方法一、定义域的求解方法：(1)若()x f 为整式，则定义域为R ；(2)若()x f 是分式，则其定义域是分母不为0的实数集合；(3)若()x f 是偶次根式，则其定义域是使根号下式子不小于0的实数的集合；(4)指数函数的定义域（也就是指数部分）为R ；（5）对数函数的定义域（真数部分）为R +；（6）幂函数的定义域要视指数的情况而定，如：2()f x x =与12()f x x =；(7)若()x f 是由几部分组成的，其定义域是使各部分都有意义的实数的集合；（*）实际问题中，确定定义域要考虑实际问题例：1、求下列函数的定义域： （1）2322---=x x x y ； （2）x x y -⋅-=11； （3）x y --=113；（4）2253x x y -+-=； （5）()⎪⎩⎪⎨⎧--=x x x x f 23412、已知函数()x f 的定义域是[-3,0],求函数()1+x f 的定义域。
3、若函数()3123++-=mx mx x x f 的定义域是R ，求m 的取值范围。
练习：1.求下列函数的定义域：（1）()142--=x x f ； （2）()21432-+--=x x x x f（3）()x x f 11111++=； （4）()()x x x x f -+=01已知()x f 的定义域为[]1,0，求函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛++=342x f xf y 的定义域。
二、值域的求解方法：1、直接法：直接根据函数表达式来求值域。
例：4y x =， (2,3)x ∈2、单调性法：利用函数的单调性来求值域。
例：2y x =3、图象法：利用函数图象来求值域。
例：2y x =，2(2,5)y x x =∈-4、配方法：把函数化简成二次函数的形式，利用二次函数的性质来求。
例：221x x y x x -=-+5、判别式法：把式子化成一元二次方程的形式，利用判别式法来求。
函数定义域值域求法总结
函数定义域值域求法总结函数的定义域（Domain）和值域（Range）是函数的基本性质之一，它们是通过对函数的规则、图像以及问题的具体要求进行分析和计算得出的。
在数学中，定义域和值域的求法可能会因函数类型的不同而有所不同。
本文将总结一些常见的函数定义域和值域求法方法，并提供一些示例。
一、函数定义域的求法方法1. 使用函数规则：根据函数的定义和规则，确定函数所能接受的变量范围。
例如，对于一个有理函数（Rational Function） f(x) = 1/(x-2)，由于分母不能为零，所以定义域为除去 x=2 的所有实数。
2. 图像法：绘制函数的图像，观察函数在整个定义域上是否有意义。
一般来说，如果函数在一些点处没有定义或出现断点，则这个点不属于定义域。
例如，对于一个分段函数（Piecewise Function）f(x) = ，x，其图像是一条 V 型曲线，因此定义域为所有实数。
3.非负实数法：有些函数定义域存在特定的限制，负数、零或者正数。
例如，对于一个以平方根为主的函数f(x)=√(x-3)，它的定义域要求x-3≥0，即x≥34. 根式定义域法：对于一些函数，如开方函数、对数函数，可以通过求解不等式来确定函数的定义域。
例如，对于对数函数 f(x) = log(x)，由于 log 函数的定义域要求 x > 0，所以它的定义域为所有正实数。
5.分式的定义域法：对于一个分式函数，要求分母不为零。
因此，可以根据分式的分母求解不等式来确定函数的定义域。
例如，对于一个分式函数f(x)=2/(x+1)，由于分母要求不等于零，所以定义域为除去x=-1的所有实数。
二、函数值域的求法方法1. 观察法：通过观察函数的定义和规则，或者通过观察函数的图像，推测函数的值域。
例如，对于一个二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，如果 a > 0，那么函数的值域是 (−∞, f(v)]，其中 f(v) 是顶点的纵坐标。
定义域和值域的求法(经典)
函数定义域求法总结一、定义域就是函数y=f（ｘ)中得自变量ｘ得范围。
（1)分母不为零(2）偶次根式得被开方数非负。
（3)对数中得真数部分大于０。
(４）指数、对数得底数大于0,且不等于1（5）y=ｔanｘ中x≠ｋπ＋π/2;ｙ＝ｃｏｔx中x≠ｋπ等等。
（ 6 )中x二、抽象函数得定义域1、已知得定义域，求复合函数得定义域由复合函数得定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数得值域必须包含于外层函数得定义域之中,因此可得其方法为：若得定义域为，求出中得解得范围,即为得定义域。
２、已知复合函数得定义域，求得定义域方法就是:若得定义域为，则由确定得范围即为得定义域.3、已知复合函数得定义域,求得定义域结合以上一、二两类定义域得求法,我们可以得到此类解法为：可先由定义域求得得定义域,再由得定义域求得得定义域。
4、已知得定义域,求四则运算型函数得定义域若函数就是由一些基本函数通过四则运算结合而成得,其定义域为各基本函数定义域得交集，即先求出各个函数得定义域，再求交集。
函数值域求法四种在函数得三要素中,定义域与值域起决定作用,而值域就是由定义域与对应法则共同确定。
研究函数得值域,不但要重视对应法则得作用,而且还要特别重视定义域对值域得制约作用。
确定函数得值域就是研究函数不可缺少得重要一环。
对于如何求函数得值域，就是学生感到头痛得问题,它所涉及到得知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定得地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程,避繁就简,事半功倍得作用。
本次课就函数值域求法归纳如下，供参考.1、直接观察法对于一些比较简单得函数，其值域可通过观察得到。
例1、求函数得值域。
∴显然函数得值域就是:例2、求函数得值域。
解：∵故函数得值域就是：２、配方法配方法就是求二次函数值域最基本得方法之一。
例３、求函数得值域。
解：将函数配方得：∵由二次函数得性质可知：当x=１时，，当时，故函数得值域就是：[４，８］３、判别式法例4、求函数得值域。
函数定义域及值域的求法
对应练习2
1 y 2 x 5, x 1,3 2 y 3 x 1, x [2,5)
1 3 y , x (0,4) x 1 4 y , x ,1 1, x
小结：其他函数在给定区间求值域，都可以通过数形结 合的方式解决。
叫做这个函数的值域（用区间或集合表示）
区间表示：
开区间：（a,b） 闭区间:[ a,b ] 半开半闭区间：(a,b] 实数集R用区间表示:
,
一、求函数定义域：
例1.根据解析式求定义域
① 解：要使函数有意义， 则必须满足
x 2 0 x 4 0 解得：x 2且x 4
总结：
(1)求函数定义域： 对于具体函数求定义域，要保证式子有意义
（2）求函数值域：
求基本函数在R上或某一区间上的值域，通常数形结合
对应练习1：
1 f ( x) x 5 x 6, x R 2 2 f x 2 x 4 x 5, x 2,5 2 3 f x 2 x 3x 1, x 1,2 2 4 f x x 3x 4, x (0,3]
x 2 x 4且x 4
x2 1y x 4
x x 2且x 4 定义域为
小结：对于二次根号下的式子必须保证大于等于零 对于分式要保证分母不等于零
对应练习：
1y
x 1
1 x2
x2 2y x 3 8
3 f ) x 1 x 2
二、求函数值域：
例2.
函数f x x 3 x 4,
2
1x R, 求函数值域 2x 1,5, 求函数值域 3x 3,5, 求函数值域
小结：对于二次函数 在R上求值域，需要考虑顶点的纵坐标和开口方向； 对于在某一区间求值域，要考虑对称轴在区间内还 是在区间外，数形结合。
函数定义域值域求法(全十一种)
实用标准高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式 或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。
2x2x 15例 1 求函数 y的定义域。
| x 3| 8解：要使函数有意义，则必须满足2x 2x 15 0① | x 3 | 8 0②由①解得 x 3或 x 5。
③由②解得x5或 x 11 ④ ③和④求交集得 x 3且 x 11或 x>5。
故所求函数的定义域为 {x | x 3且x 11} {x | x 5} 。
例 2 求函数1ysin x的定义域。
216 x解：要使函数有意义，则必须满足sin x0 ① 216 x② 由①解得 2kx2k ，kZ③ 由②解得 4 x 4 ④由③和④求公共部分，得4 x 或0 x 故函数的定义域为 ( 4， ] (0， ]评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函 数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。
（1）已知 f (x) 的定义域，求 f[g(x )] 的定义域。
（2）其解法是：已知 f (x) 的定义域是［a ，b ］求 f [g(x)] 的定义域是解 a g(x) b ，即为所求的定义域。
2 例3 已知 f (x) 的定义域为［－2，2］，求 f ( x 1)的定义域。
2 解：令 2 x 1 2 2 ，得 1 x 32，即 0x3，因此 0 | x |3 ，从而3 x 3 ，故函数的定义域是 { x | 3 x 3} 。
（2）已知 f [g( x)] 的定义域，求 f(x) 的定义域。
其解法是：已知 f [g(x )] 的定义域是［a ， b ］，求 f(x) 定义域的方法是：由 a x b ，求g(x)的值域，即所求 f(x) 的定义域。
例 4 已知 f (2x 1) 的定义域为［1，2］，求 f(x) 的定义域。
函数定义域值域求法(全十一种)
实用标准高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。
例 1求函数 y x 22x15| x 3 |8的定义域。
解：要使函数有意义，则必须满足x 22x150①| x 3 |8 0②由①解得x3或 x 5 。
③由②解得x5或 x11④③和④求交集得x3且 x11或x>5。
故所求函数的定义域为{ x | x 3且x11}{ x | x5} 。
例 2求函数 y sin x1的定义域。
16x 2解：要使函数有意义，则必须满足sin x0①16x 20②由①解得2k x2k，k Z③由②解得 4 x4④由③和④求公共部分，得4x或 0x故函数的定义域为(4， ](0， ]评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。
（ 1）已知f (x )的定义域，求f [ g(x )]的定义域。
（ 2）其解法是：已知 f (x) 的定义域是［a，b］求 f [g(x)] 的定义域是解a g(x) b ，即为所求的定义域。
例 3已知 f (x) 的定义域为［－2， 2］，求f ( x 21) 的定义域。
解：令 2 x21 2 ，得 1 x2 3 ，即0 x 23，因此0| x | 3 ，从而3 x 3 ，故函数的定义域是{ x | 3 x3} 。
（ 2）已知f [g( x)]的定义域，求f(x) 的定义域。
其解法是：已知 f [g(x )] 的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由a x b，求g(x) 的值域，即所求f(x) 的定义域。
例 4已知 f (2x1) 的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。
解：因为 1 x2，22x4，32x 1 5 。
即函数 f(x) 的定义域是{ x | 3x5} 。
函数定义域、值域的求法
函数定义域的求法
1、求函数定义域的一般原则
（1）如果f x为整式，其定义域为实数集R.
（2）若f x是分式，则其定义域是使分母不等于0的实数的集合. （3）若f x是偶次根式，则其定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合.
（4）f x=x0的定义域是{x∈R∣x≠0}.
（5）若f x是由几部分的数学式子构成，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，即交集.
2、抽象函数的定义域
（1）函数f x的定义域是指x的取值范围所组成的集合.
（2）函数f［ψx］的定义域还是指x的取值范围而不是ψx 的取值范围.
函数值域的求法
（1）直接法：从自变量x的范围入手，逐步推出y=f x的取值范围.
（2）换元法：运用代数或三角代换，将所给的函数转化为值域容易求出的另外一个函数，从而得到原函数的值域.
（3）反解法：通过反解，用y表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围.。
函数定义域值域求法(全十一种)
函数定义域值域求法(全十一种)高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型常规型是指已知函数的解析式，求函数的定义域和值域。
解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。
例如，对于函数 $y=\frac{x^2-2x-15}{|x+3|-8}$，要使函数有意义，则必须满足 $x^2-2x-15\geq 0$ 且 $|x+3|\neq 8$。
解得$x\leq -3$ 或 $x\geq 5$，且 $x\neq -11$ 或 $x\neq 5$。
将两个条件求交集得 $x\leq -3$ 且 $x\neq -11$ 或 $x>5$，即函数的定义域为 $\{x|x\leq -3\text{ 且 }x\neq -11\}\cup\{x|x>5\}$。
二、抽象函数型抽象函数型是指没有给出解析式的函数，需要根据已知条件求解。
一般有两种情况：1）已知 $f(x)$ 的定义域，求 $f[g(x)]$ 的定义域。
解法是：已知 $f(x)$ 的定义域为 $[a,b]$，则 $f[g(x)]$ 的定义域为解$a\leq g(x)\leq b$。
例如，已知 $f(x)$ 的定义域为 $[-2,2]$，求 $f(x^2-1)$ 的定义域。
令 $-2\leq x^2-1\leq 2$，得 $-1\leq x^2\leq 3$，即 $-|x|\leq x\leq |x|$。
因此，$-3\leq x\leq 3$，即函数的定义域为$\{x|-3\leq x\leq 3\}$。
2）已知 $f[g(x)]$ 的定义域，求 $f(x)$ 的定义域。
解法是：已知 $f[g(x)]$ 的定义域为 $[a,b]$，则 $f(x)$ 的定义域为$g(x)$ 的值域。
例如，已知 $f(2x+1)$ 的定义域为 $[1,2]$，求 $f(x)$ 的定义域。
因为 $1\leq x\leq 2$，所以 $2\leq 2x\leq 4$，$3\leq2x+1\leq 5$。
定义域与值域的求法
1、 定义域R 上函数y=f(x)值域为[a,b],则y=f(2x+5)值域为（ ） 解：由于y=f(x)的定义域为R ，所以y=f(2x+5)的定义域也为R ，且2x+5能取到任意值，即y=f(2x+5)值域也为[a,b]。
2、 函数y=f(x),定义域为R,值域为【-2,2】,则y=f(x+1)-1的值域 （ ） 解：因为y=f(x)，定义域为R ，值域为[-2,2]，所以不论x 取何值，函数的值域都是[-2,2]，所以将x 换成(x+1)后，(x+1)的取值范围依然是R ，所以函数f(x+1)的值域依然时[-2,2]， 即，-2≤f(x+1)≤2，所以，-2-1≤f(x+1)-1≤2-1，即，-3≤f(x+1)-1≤1，综上所述，y=f(x+1)-1的值域是：[-3,1]. 3、 已知函数y=1/2(x-1)^2+1的定义域和值域都是区间[1,b]（b ＞1）求b 的值已知函数y=1/2(x-1)^2+1为开口向上得抛物线，对称轴x=1 区间[1,b]在对称轴右边，单增所以f(x)最小=f(1)=1f(x)最大=f(b)=(1/2)(b-1)²+1由题意f(b)=b于是(1/2)(b-1)²+1=b即b ²-4b+3=0 (b-1)(b-3)=0因b>1所以b=3函数解析式，复合函数的定义域，值域定 义 域：例1、 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围 例2、设f(x)的定义域为[0，2]，求函数f(x+a)+f(x-a)(a ＞0)的定义域．练习：若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域 1、函数x x x f -=13)(2的定义域是（ ）A.),1(+∞B. )1,0(C. )1,(-∞D. ]1,(--∞2、函数x x x x f -+=0)1()(的定义域是（ ）A.{}0|<x xB. {}0|>x xC. {}10|-≠<x x x 且D. {}10|-≠≠x x x 且3、xx x f -++=211)(的定义域是（ ）A.),1[+∞-B. ),2[+∞C. )2,1(-D. {}21|≠-≥x x x 且4、2384)(3-+=x x x f 的定义域是（ ） A.),32[+∞ B. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠32|x x C. ),2[+∞ D. ]1,(--∞ 5、若函数()f x 的定义域[0，2]，则函数1)2()(-=x x f x g 的定义域是（ ） A [0，1] B [)1,0 C [)(]4,11,0⋃ D ()1,0 6、已知函数)(x f 的定义域为[a ，b]，其中b a b a ><<,0，则函数()()x f x f x g -+=)(的定义域是（ ）A ],(b b -B ],(b a -C ],[b b -D ],[a a -7、已知函数)1(+=x f y 的定义域为[-2，3]，则()12-=x f y 的定义域是_________8.已知(1)f x +的定义域为[2,3]-,则(21)f x -定义域是: A.5[0,]2 B.[1,4]- C.[5,5]- D.[3,7]-9.已知函数()f x 的定义域为[0,1],函数2()f x 的定义域为:___________函数的值域1. 直接观察法:对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
(完整版)高中数学-函数定义域、值域求法总结
函数定义域、值域求法总结一.求函数的定义域需要从这几个方面入手：（1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。
（3）对数中的真数部分大于0。
（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1（5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。
( 6 )0x 中x 0≠二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。
常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元）（6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。
定义域的求法1、直接定义域问题例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)(解：①∵x-2=0，即x=2时，分式21-x 无意义， 而2≠x 时，分式21-x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-32时，根式23+x 无意义，而023≥+x ，即32-≥x 时，根式23+x 才有意义，∴这个函数的定义域是{x |32-≥x }.③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x-21同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≥+0201x x ⇒ ⎩⎨⎧≠-≥21x x例2 求下列函数的定义域：①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f③=)(x f x11111++④xx x x f -+=0)1()(⑤373132+++-=x x y解：①要使函数有意义，必须：142≥-x 即： 33≤≤-x∴函数14)(2--=x x f 的定义域为： [3,3-]②要使函数有意义，必须：⎩⎨⎧≠-≠-≤≥⇒⎩⎨⎧≠-+≥--13140210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--<⇒x x x 或或∴定义域为：{ x|4133≥-≤<--<x x x 或或}③要使函数有意义，必须： 011110110≠++≠+≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧xx x ⇒ 2110-≠-≠≠⎪⎩⎪⎨⎧x x x∴函数的定义域为：}21,1,0|{--≠∈x R x x 且④要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≠+001x x x ⎩⎨⎧<-≠⇒01x x∴定义域为：{}011|<<--<x x x 或⑤要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠+≥+-073032x x ⎪⎩⎪⎨⎧-≠∈⇒37x R x 即 x<37-或 x>37- ∴定义域为：}37|{-≠x x 2 定义域的逆向问题例3 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围 (定义域的逆向问题) 解：∵定义域是R,∴恒成立，012≥+-a ax ax∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<⇒≤⋅-=∆>2001402a a a a a 等价于练习：322log+-=mx x y 定义域是一切实数，则m 的取值范围；3 复合函数定义域的求法例4 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域 解：要使函数有意义，必须：43434543434514111411≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≤+≤-x x x x x∴函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-4343|x x例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。
函数的定义域和值域的求法
3x x2+4 的值域 2x2+4x-7 x2+2x+3 的值域
方法五、换元法
例5.求下列函数的值域 y5x3x1
解：令 t 3 x 1 , 则 x 1（ t 2 1) 3
且 t 0,
y 5 1 ( t 2 1) t 1 ( t 3 ) 2 6533 2 123
65
2 0 , y max 12
（2）已知函数y=-2x+1,x∈（3,6），求该函 数的值域
变 式 练 习 ： 求 下 列 函 数 的 值 域 ： (观 察 法 )
(1)y = x 1;
(2)y = 1 , y 1 , y 1 3,
x
x 1
x 1
方法二、分离常数法
例2:求函数y 2x1 的值域 x3
求函数y 2x1 的值域
已 知 f ( 2 x 1 ) 的 定 义 域 1 , 5 , 求 f ( 2 5 x ) 的 定 义 域
解： 由题意知:
1x5
32x19
325x9
7 x 1 5
f25x的定义[域 7,1是 )
5
总结： 已知f(x)的定义域为A，求f[g(x)]的定 义域：实质是由g(x)∈A求x的范围。
0x2 2
2x 2
故 :fx2的定[ 义 2 , 2 域 ] 是
(题):已 型 fg x 知 二 的定 ,求 f(x ) 的 义定 域
例 2 .已 f2 x 知 1 的定 ( 1 ,5 ]求 ,f 义 (x ) 的 域 定
解： 由题意知:
1x5
32x 19
f(x)的定义 3,域 9 为
变式练习
已知f[g(x)] 的定义域为A，求f(x)的定 义域：实质是由x的范围求g(x)的范围。
函数定义域值域求法
x 2 - 2x - 15 3 mx 2 - 6mx + m + 8 ⎩一、常规型函数定义域和值域的求法总结即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。
例 1 求函数y =的定义域。
| x + 3 | -8解：要使函数有意义，则必须满足⎧x 2 - 2x - 15 ≥ 0 ① ⎨⎩| x + 3 | -8 ≠ 0② 由①解得 x ≤ -3 或x ≥ 5 。
③ 由②解得 x ≠ 5 或x ≠ -11④ ③和④求交集得x ≤ -3 且x ≠ -11 或 x>5。
故所求函数的定义域为{x | x ≤ -3且x ≠ -11} {x | x > 5} 。
例 2 这题超纲了彦彦，我删去了不做 二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。
（1） 已知f (x) 的定义域，求f[g(x)] 的定义域。
（2） 其解法是：已知f (x) 的定义域是［a ，b ］求f[g(x)] 的定义域是解a ≤ g(x) ≤ b ，即为所求的定义域。
例 3 已知f (x) 的定义域为［－2，2］，求 f (x 2 - 1) 的定义域。
解： 令 - 2 ≤ x 2 - 1 ≤ 2 ， 得 - 1 ≤ x 2 ≤ 3 ， 即 0 ≤ x 2 ≤ 3 ， 因此 0 ≤| x |≤ ， 从而- ≤ x ≤ ，故函数的定义域是{x | - ≤ x ≤ 3}。
（2） 已知f[g(x)] 的定义域，求 f(x)的定义域。
其解法是：已知f[g(x)] 的定义域是［a ，b ］，求 f(x)定义域的方法是：由a ≤ x ≤ b ，求g(x)的值域，即所求 f(x)的定义域。
例 4 已知f (2x + 1) 的定义域为［1，2］，求 f(x)的定义域。
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2、求函数的值域通常有： （１）直接法； （２）分离常数法； （3）图像法；（4）判别式法；（5）换元法
方法一、直接法（观察法）
例1，（1）已知函数f(x)=2x－3, x∈{0,1,2,3,5},求f(x)的值域
（2）已知函数y=-2x+1,x∈（3,6），求该函 数的值域
(1)y = x 1;
7 x 1 5
f 2 5 x 的定义域是 [
7 ,1) 5
总结： 已知f(x)的定义域为A，求f[g(x)]的定 义域：实质是由g(x)∈A求x的范围。 已知f[g(x)] 的定义域为A，求f(x)的定
义域：实质是由x的范围求g(x)的范围。
1、函数值的集合我们叫函数的值域。
变式练习: 若f ( x)的定义域是0, 2, 求f ( x2 )的定义域
解： 由题意知:
0 x2 2
2 x 2
故 : f x 2 的定义域是 [ 2 ,
2]
(题型二) :已知f g x 的定义域, 求f ( x)的定义域
例2. 已知f 2 x 1的定义域(1,5],求f ( x)的定义域
例题讲解
例1、求下列函数的定义域 (用区间表示)
1 (1) y 4x 7 2 (3) y x 1 x 1
(5) y 1 1 1 x (3x 2)0
(2) y 1 x x 3 1
(4) y x 2 x 2
1 x (6) y 2 2 x 3x 2
2x2+4x-7 2 求函数y= x2+2x+3
方法五、换元法
例5.求下列函数的值域
y 5 x 3x 1
1 解：令 t 3 x 1 , 则x （t 2 1) 3 且t 0, 1 1 3 65 y 5 ( t 2 1) t ( t ) 2 3 3 2 12 3 65 0, ymax 2 12 65 值 域 为 ( ， ] 12
函数的定义域指自变量的取值集 合。中学数学中涉及的求定义域问题 一般有两大类：一类是求初等函数的 定义域问题；一类是求抽象函数的定 义域问题。
使函数有意义的x的取值范围
1、整式： R 2、分式： 使分母不为0的x的集合 3、偶次根式： 被开方式≥0 4、零次幂式： 底式不等于0 列方程组（不等 5、几个因式的和（差、积）的形式： 式组）求交集
(a≠0)函数
x 2 变式练习 y x2 1 5x 1 求函数 y 的值域 2x 3
2
方法三、图像法
（2）y=x 2 x 3, x [0,3)
2
例3（1）y=x, x 1
1 ,0 x 1 (3) y x x, x 1
变式练习: 分别求y x x 6(1 x 1)、
2
(2 x 4)、 (1 x 0)的值域。
方法四、判别式法
例4.求函数y=
x2-x+3 的值域 x2-x+1
a1x2+b1x+c1 方法归纳：形如y= a x2+b x+c（a1≠0或a2 ≠0) 2 2 2
的值域的求法。一般可用判别式△≥0求得。
练习：1 求函数y= 3x 的值域 2 x +4 的值域
变式练习：求下列函数的值域：(观察法) 1 1 1 (2)y = , y ,y 3, x x 1 x 1
方法二、分离常数法
2x 1 例2 : 求函数 y 的值域 x3 2x 1 求函数 y 的值域 3x 6
cx+d 方法归纳：形如y= ax+b
c 的值域： y y , 且y R a
归纳总结：形如y=ax+b± cx+d (a≠0,c ≠0)均可用代数换元法。 练习：求函数y=2x+ 1-2x 的值域。
变式训练：求下列函数的值域：(换元法)
(1)y =2x +4 1+x ;
(2)y =2x +4 1-x ; 变式x -,-3
解： 由题意知:
1 x 5
3 2 x 1 9
3, 9 f ( x)的定义域为
变式练习
已知f (2 x 1)的定义域 1,5 , 求f (2 5 x)的定义域
解： 由题意知:
1 x 5
3 2 x 1 9
3 2 5 x 9
题型(一) :已知f ( x)的定义域 , 求f [ g ( x)] 的定义域 例 1.若f ( x)的定义域是 [0,2],求f (2 xx 1 2
1 3 x 2 2
1 3 故 : f ( 2 x 1)的定义域是 {x x } 2 2