§7.1不等关系与一元二次不等式

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不等式不等关系一元二次不等式

不等式不等关系一元二次不等式

第一节、不等关系与不等式1.实数大小顺序与运算性质之间的关系a -b >0⇔a >b ;a -b =0⇔a =b ;a -b <0⇔a <b . 2.不等式的基本性质1. 比较两个数(式)的大小[例1] ①已知等比数列{a n }中,a 1>0,q >0,前n 项和为S n ,试比较S 3a 3与S 5a 5的大小②已知b a 、为正数且b a ≠,比较33b a +与22ab b a +的大小关系由题悟法比较大小的常用方法 (1)作差法:一般步骤是:①作差;②变形;③定号;④结论.其中关键是变形,常采用通分、配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时,有时也可以先平方再作差. (2)作商法:一般步骤是:①作商;②变形;③判断商与1的大小;④结论. (3)特值法:若是选择题、填空题可以用特值法比较大小;若是解答题,可先用特值探究思路,再用作差或作商法判断. [注意] 用作商法时要注意商式中分母的正负,否则极易得出相反的结论.典题导入[例2] ①已知函数f (x )=ax 2+bx ,且1≤f (-1)≤2,2≤f (1)≤4.求f (-2)的取值范围. ②已知b a >,n m >,0>p ,求证bp m ap n -<-。

③若810-<<<b a ,则b a +的取值范围是_________。

由题悟法利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围,但应注意两点:一是必须严格运用不等式的性质;二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.以题试法3.若α,β满足⎩⎪⎨⎪⎧-1≤α+β ≤1,1≤α+2β ≤3,试求α+3β的取值范围.[小题能否全取]1.(教材习题改编)下列命题正确的是( )A .若ac >bc ⇒a >bB .若a 2>b 2⇒a >bC .若1a >1b⇒a <bD .若a <b ⇒a <b2.若x +y >0,a <0,ay >0,则x -y 的值( )A .大于0B .等于0C .小于0D .不确定3.12-1________3+1(填“>”或“<”). 4.已知a ,b ,c ∈R ,有以下命题:①若a >b ,则ac 2>bc 2;②若ac 2>bc 2,则a >b ;③若a >b ,则a ·2c >b ·2c . 其中正确的是____________(请把正确命题的序号都填上).5.若x >y, a >b ,则在①a -x >b -y ,②a +x >b +y ,③ax >by ,④x -b >y -a ,⑤a y >bx 这五个式子中,恒成立的所有不等式的序号是________.第二节、一元二次不等式及其解法一元二次不等式的解集二次函数y =ax 2+bx +c 的图象、一元二次方程ax 2+bx +c =0的根与一元二次不等式ax 2+bx +c >0与ax 2+bx +c <0的解集的关系,可归纳为:若a <0时,可以先将二次项系数化为正数,对照上表求解.解一元二次不等式应注意的问题:(1)在解一元二次不等式时,要先把二次项系数化为正数.(2)二次项系数中含有参数时,参数的符号会影响不等式的解集,讨论时不要忘记二次项系数为零的情况. (3)解决一元二次不等式恒成立问题要注意二次项系数的符号.(4)一元二次不等式的解集的端点与相应的一元二次方程的根及相应的二次函数图象与x 轴交点的横坐标相同典题导入[例1] 解下列不等式:(1) 0<x 2-x -2≤4; (5)-3x 2-2x +8≥0;(2) x 2-4ax -5a 2>0(a ≠0). (6)ax 2-(a +1)x +1<0(a >0). (3)042>++ax x (4)0132>-+-a x ax[例2] ① 已知关于x 的不等式02<+-b ax x 的解集为{}32<<x x ,求求不等式012>--ax bx 的解集.②已知不等式)0(02≠>++a c bx ax 的解集是}41|{<<x x ,求二次不等式02<++a bx cx 的解集。

不等式-不等关系

不等式-不等关系

不等式—不等关系,一元二次不等式一、目标要求:1、掌握不等式关系、不等式及一元二次不等式的概念;2、理解不等式的性质及不等式的分类;3、掌握实数比较大小的方法;4、能运用不等式的性质证明简单的不等式;5、理解一元二次不等式、二次函数、一元二次方程的关系;6、会解一元二次不等式、含参数的不等式、分式不等式、简单的高次不等式;二、例题讲解:例题1、已知,a b的大小;例题2、在ABC 中,,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,S是其面积,求证:222a b c S ++≥;例题3、设函数()122,1,1log ,1,x x f x x x -⎧≤=⎨-〉⎩,求满足()2f x ≤的x 的取值范围;例题4、解关于x 的不等式: (1)()2110;ax a x +--〉 (2)220;x kx k +-≤例题5、解关于x 的不等式: ()22210,1;x x x a a a a a +-+〈+〉≠且例题6、解不等式()()22120;x x x +--〉例题7、解不等式2225560;11x x x x +-〈++例题8、已知不等式22412ax x a x ++〉-对一切实数x 恒成立,求实数a 的取值范围;三、巩固练习:1、解下列不等式: (1)2220;3x x -+-〉 (2)2414;x x -≥-2、已知某种商品的定价上涨x 成,其销售量便相应的减少2x 成,按规定,税金是从销售额中按一定的比例缴纳,如果这种商品的定价无论如何变化,从销售额中扣除税金后的金额总比涨价前的销售额少,是列出此时税率p 满足的不等关系。

3、某蔬菜收购点租用车辆,将100t 新鲜辣椒运往某市销售,可租用的大卡车和农用车分别为10辆和20辆,若每辆大卡车载重8t ,运费960元,每辆农用车载重2.5t ,运费360元,运输成本之和不能超过10000元,据此安排两种车型,应当满足那些不等关系?请列出来。

4、解不等式:22;x x -≥5、解不等式:(1)()()1130;2x x x ⎛⎫--+〈 ⎪⎝⎭(2)()()()231120x x x x -++≥。

高三理数一轮讲义:7.1-不等式的性质与一元二次不等式(练习版)

高三理数一轮讲义:7.1-不等式的性质与一元二次不等式(练习版)

第1节不等式的性质与一元二次不等式最新考纲 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,了解不等式(组)的实际背景;2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型;3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系;4.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图.知识梳理1.实数的大小顺序与运算性质的关系(1)a>b⇔a-b>0;(2)a=b⇔a-b=0;(3)a<b⇔a-b<0.2.不等式的性质(1)对称性:a>b⇔b<a;(2)传递性:a>b,b>c⇒a>c;(3)可加性:a>b⇔a+c>b+c ;a >b,c>d⇒a+c>b+d;(4)可乘性:a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c<0⇒ac<bc;a>b>0,c>d>0⇒ac>bd;(5)可乘方:a>b>0⇒a n>b n(n∈N,n≥1);(6)可开方:a>b>0⇒na>nb(n∈N,n≥2).3.三个“二次”间的关系判别式Δ=b2-4ac Δ>0Δ=0Δ<0 二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有两相异实根x1,x2(x1<x2)有两相等实根x1=x2=-b2a没有实数根ax2+bx+c>0 (a>0)的解集{x|x>x2或x<x1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x≠-b2aRax2+bx+c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅[微点提醒] 1.有关分数的性质(1)若a >b >0,m >0,则b a <b +m a +m ;b a >b -ma -m (b -m >0).(2)若ab >0,且a >b ⇔1a <1b .2.对于不等式ax 2+bx +c >0,求解时不要忘记a =0时的情形.3.当Δ<0时,不等式ax 2+bx +c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅,要注意区别.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)a >b ⇔ac 2>bc2.( )(2)若不等式ax 2+bx +c <0的解集为(x 1,x 2),则必有a >0.( )(3)若方程ax 2+bx +c =0(a <0)没有实数根,则不等式ax 2+bx +c >0(a <0)的解集为R .( ) (4)不等式ax 2+bx +c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ=b 2-4ac ≤0.( )2.(必修5P74例1改编)若a >b >0,c <d <0,则一定有( ) A.a d >b c B.a d <b c C.a c >b dD.a c <b d3.(必修5P103A2改编)已知集合A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12x -1≤0,B ={x |x 2-x -6<0},则A ∩B =( )A.(-2,3)B.(-2,2)C.(-2,2]D.[-2,2]4.(2018·衡阳联考)若a ,b ,c 为实数,且a <b <0,则下列命题正确的是( ) A.ac 2<bc 2 B.1a <1b C.b a >abD.a 2>ab >b 25.(2019·河北重点八所中学模拟)不等式2x 2-x -3>0的解集为________.6.(2018·汉中调研)已知函数f (x )=ax 2+ax -1,若对任意实数x ,恒有f (x )≤0,则实数a 的取值范围是______.考点一不等式的性质多维探究角度1比较大小及不等式性质的简单应用【例1-1】(1)已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则a,b,c 的大小关系是()A.c≥b>aB.a>c≥bC.c>b>aD.a>c>b(2)(一题多解)若1a<1b<0,给出下列不等式:①1a+b<1ab;②|a|+b>0;③a-1a>b-1b;④lna2>ln b2.其中正确的不等式是()A.①④B.②③C.①③D.②④角度2利用不等式变形求范围【例1-2】(一题多解)设f(x)=ax2+bx,若1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,则f(-2)的取值范围是________.规律方法 1.比较两个数(式)大小的两种方法2.与充要条件相结合问题,用不等式的性质分别判断p⇒q和q⇒p是否正确,要注意特殊值法的应用.3.与命题真假判断相结合问题.解决此类问题除根据不等式的性质求解外,还经常采用特殊值验证的方法.4.在求式子的范围时,如果多次使用不等式的可加性,式子中的等号不能同时取到,会导致范围扩大.【训练1】(1)(2019·东北三省四市模拟)设a,b均为实数,则“a>|b|”是“a3>b3”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)(2018·天一测试)已知实数a ∈(1,3),b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫18,14,则a b 的取值范围是________.考点二 一元二次不等式的解法【例2-1】 (1)(2019·河南中原名校联考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数.当x >0时,f (x )=x 2-2x ,则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________.(2)已知不等式ax 2-bx -1>0的解集是{x |-12<x <-13},则不等式x 2-bx -a ≥0的解集是________.【例2-2】 解关于x 的不等式ax 2-2≥2x -ax (a ∈R ).规律方法 1.解一元二次不等式的一般方法和步骤 (1)化:把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.(2)判:计算对应方程的判别式,根据判别式判断方程有没有实根(无实根时,不等式解集为R 或∅).(3)求:求出对应的一元二次方程的根.(4)写:利用“大于取两边,小于取中间”写出不等式的解集.2.含有参数的不等式的求解,首先需要对二次项系数讨论,再比较(相应方程)根的大小,注意分类讨论思想的应用.【训练2】 (1)不等式x +5(x -1)2≥2的解集是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-3,12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12,3 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12,1∪(1,3] D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫-12,1∪(1,3] (2)(2019·清远一模)关于x 的不等式ax -b <0的解集是(1,+∞),则关于x 的不等式(ax +b )(x -3)>0的解集是( ) A.(-∞,-1)∪(3,+∞) B.(1,3)C.(-1,3)D.(-∞,1)∪(3,+∞)考点三 一元二次不等式恒成立问题多维探究角度1 在实数R 上恒成立【例3-1】 (2018·大庆实验中学期中)对于任意实数x ,不等式(a -2)x 2-2(a -2)x -4<0恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A.(-∞,2) B.(-∞,2] C.(-2,2)D.(-2,2]角度2 在给定区间上恒成立【例3-2】 (一题多解)设函数f (x )=mx 2-mx -1(m ≠0),若对于x ∈[1,3],f (x )<-m +5恒成立,则m 的取值范围是________.角度3 给定参数范围的恒成立问题【例3-3】 已知a ∈[-1,1]时不等式x 2+(a -4)x +4-2a >0恒成立,则x 的取值范围为( )A.(-∞,2)∪(3,+∞)B.(-∞,1)∪(2,+∞)C.(-∞,1)∪(3,+∞)D.(1,3)规律方法 1.对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数.【训练3】 (1)(2019·河南豫西南五校联考)已知关于x 的不等式kx 2-6kx +k +8≥0对任意x ∈R 恒成立,则k 的取值范围是( ) A.[0,1]B.(0,1]C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.(-∞,0]∪[1,+∞)(2)(2019·安庆模拟)若不等式x 2+ax +1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0,12恒成立,则a 的最小值是( ) A.0 B.-2 C.-52 D.-3[思维升华]1.比较法是不等式性质证明的理论依据,是不等式证明的主要方法之一,比较法之一作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负.2.判断不等式是否成立,主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法,特别是对于有一定条件限制的选择题,用特殊值验证的方法更简单. [易错防范]1.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础;一般可把a <0的情况转化为a >0时的情形.2.含参数的不等式要注意选好分类标准,避免盲目讨论.基础巩固题组 (建议用时:40分钟)一、选择题1.若f (x )=3x 2-x +1,g (x )=2x 2+x -1,则f (x ),g (x )的大小关系是( ) A.f (x )=g (x ) B.f (x )>g (x )C.f (x )<g (x )D.随x 的值变化而变化2.已知x ,y ∈R ,那么“x >y ”的充要条件是( ) A.2x >2y B.lg x >lg y C.1x >1yD.x 2>y 23.不等式|x |(1-2x )>0的解集为( ) A.(-∞,0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12,+∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12 4.若实数m ,n 满足m >n >0,则( ) A.-1m <-1n B.m -n <m -n C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12m>⎝ ⎛⎭⎪⎫12nD.m 2<mn5.已知函数f (x )=⎩⎨⎧x ,x ≤0,ln (x +1),x >0,若f (2-x 2)>f (x ),则实数x 的取值范围是( )A.(-∞,-1)∪(2,+∞)B.(-∞,-2)∪(1,+∞)C.(-1,2)D.(-2,1)二、填空题6.若0<a <1,则不等式(a -x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1a >0的解集是________.7.规定记号“⊙”表示一种运算,定义a ⊙b =ab +a +b (a ,b 为正实数),若1⊙k 2<3,则k 的取值范围是________.8.(2019·阳春质检)设a <0,若不等式-cos 2x +(a -1)cos x +a 2≥0对于任意的x ∈R 恒成立,则a 的取值范围是________.三、解答题9.已知f (x )=-3x 2+a (6-a )x +6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0;(2)若不等式f (x )>b 的解集为(-1,3),求实数a ,b 的值.10.某商品每件成本价为80元,售价为100元,每天售出100件.若售价降低x 成(1成=10%),售出商品数量就增加85x 成.要求售价不能低于成本价.(1)设该商店一天的营业额为y ,试求y 与x 之间的函数关系式y =f (x ),并写出定义域; (2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元,求x 的取值范围.能力提升题组 (建议用时:20分钟)11.已知0<a <b ,且a +b =1,则下列不等式中正确的是( ) A.log 2a >0B.2a -b <12 C.log 2a +log 2b <-2 D.2a b +b a <1212.(2019·保定调研)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足:当x ≥0时,f (x )=x 3,若不等式f (-4t )>f (2m +mt 2)对任意实数t 恒成立,则实数m 的取值范围是( ) A.(-∞,-2) B.(-2,0)C.(-∞,0)∪(2,+∞)D.(-∞,-2)∪(2,+∞)13.已知-1<x +y <4,2<x -y <3,则3x +2y 的取值范围是________.14.(2019·济南质检)已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且当x ≥0时,f (x )=e x .若对任意x ∈[a ,a +1],恒有f (x +a )≥f (2x )成立,求实数a 的取值范围.。

不等式

不等式
例子中,利润函数z=2x+3y是关于x,y的目标函 数,其中x,y满足的平面区域的条件常称为约束条件, 由于都是由二元一次不等式组构成的,所以又称为线 性约束条件;如:
x 2 y 8 4 x 16 4 y 12 x 0, y 0
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小 值的问题,统称为线性规划问题.
{x | x x1或x x 2 }
不等式ax2+bx+c0(a>0)的解集为
{x | x x1或x x 2}
不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解集为
{x | x1 x x 2}
不等式ax2+bx+c0(a>0)的解集为
{x | x1 x x 2}
不等式ax2+bx+c>0(a>0)与不等式ax2+bx+c<0(a>0)
O
y
4
2x+y-4=0
2
x
二元一次不等式组表示的平面区域
二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等 式表示的平面区域的交集,即各个不等式表示的平 面区域的公共部分. y 例2 画出不等式组 x-y+5=0 x+y=0 5
x y 5 0 x y 0 x 3
O
3
x
表示的平面区域. x=3
ax2+bx+c>0
其中a,b,c是常数. 一元二次不等式的解集如何求呢?
一元二次不等式的解法
一般地, 如果对于一元二次方程
ax2+bx+c=0(a>0)
有两个不等的根 x1 =

高考北师大版数学总复习课件:7.1不等关系与不等式

高考北师大版数学总复习课件:7.1不等关系与不等式

π π 5.(教材改编题)已知- <α <β < ,则 α-β 的取值范围是 2 2 ________.
[答案] (-π,0) π π π π [解析] ∵- <α<β < ,∴- <α< ,α-β<0, 2 2 2 2
π π - <-β< ,∴-π<α-β<0 2 2
6. (2012· 盐城模拟 )已知 a<0,- 1<b<0,那么 a, ab, ab2 的大小关系是________.
[答案] A
)
B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] ∵“a+c>b+d”⇒ / “a>b 且 c> d”, ∴充分性不成立; 又“a> b 且 c> d”⇒“a+c>b+d”, ∴必要性成立,故选 A.
2.(2012· 泉州模拟)若 a、b、c 为实数,则下列命题正确的 是( ) A.若 a> b,则 ac2> bc2 B.若 a< b<0,则 a2> ab> b2 1 1 C.若 a< b<0,则 < a b b a D.若 a< b<0,则 > a b
知识梳理 1.比较两个实数大小的法则 设 a, b∈ R,则 (1)a>b⇔ a-b>0 ; (2)a= b⇔a-b=0; (3)a<b⇔ a-b<0 .
2.不等式的基本性质 (1)a>b⇔ b<a ; (2)a>b, b>c⇒ a>c ; (3)a>b⇔a+c>b+c ; (4)a>b, c>0⇒ ac>bc; a>b, c<0⇒ ac<bc;

不等关系与一元二次不等式

不等关系与一元二次不等式

不等关系与一元二次不等式一、不等式的定义用不等号()<>≠,,≤,≥,表示不等关系的式子叫做不等式. 二、关于”a b ≤““a b ≥“的含义不等式a b ≤应读作”a 小于或者等于b “,即理解为:a b <或a b =之中有一个正确,则a b ≤正确.如:34<正确,则34≤没有逻辑错误,因为3、4是具体的整值,“34<”比“34≤”更确切. 三、不等式的性质性质1(对称性)如果a b >,那么b a <;如果b a <,那么a b >. 性质2(传递性)如果a b >,且b c >,则a c >. 性质3如果a b >,则a c b c +>+.推论1(移项法则)不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后,从不等式的一边移到另一边.推论2如果a b c d >>,,则a c b d +>+. 说明:同向不等式的两边可以分别相加,所得的不等式与原不等式同向. 推广:几个同向不等式的两边分别相加,所得到的不等式与原不等式同向.性质4如果a b >,0c >,则ac bc >;如果a b >,0c <,则ac bc <. 实数大小的作商比较法:当0b ≠时,若1a b >,且0b >,则a b >;若1ab>,且0b <,则a b <.推论1如果00a b c d >>>>,,则ac bd >. 推广:几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘,所得到的不等式与原不等式同向.推论2如果0a b >>,则(1)n n a b n n +>∈>N ,.推论3如果0a b >>1)n n +∈>N ,四、一元二次不等式的定义形如20(0)ax bx c ++>≥或20(0)ax bx c ++<≤其中(0a ≠)的不等式叫做一元二次不等式.用文字语言表述为:一般地,含有一个未知数,且未知数的最高次数为2的整式不等式,叫做一元二次不等式.五、一元二次不等式的解集,一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系.如下表(以0a >为例):六、不等式的解法(1)基本的不等式1)一元“一次”不等式(解法:000a axb a b >>⇒=<分情况解之)2)一元“二次”不等式(解法:20ax bx c ++>分000a a a =><情况而解.要注意24b ac ∆=-的三种情况即000∆>∆=∆<,,,最好还要联系二次函数的图象) (2)同解不等式1)()()f x g x >与()()()()f x F x g x F x +>+同解; 2)0()()m f x g x >>与()()mf x mg x >同解; 0()()m f x g x <>与()()mf x mg x <同解.(3)分式不等式1)()0()()0()f x f xg x g x >⇔⋅> 2)()0()()0()f x f xg x g x ≥⇔⋅≥且()0g x ≠ 3)()()()(00()[()()]0)()()f x f x ag x a a g x f x ag x g x g x ->≠⇔>⇔-= (4)无理不等式12()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ⎧≥⎪⇔≥⎨⎪>⎩或()0()f xg x ≥⎧⎨⎩ 22()0()()0()[()]f xg x g x f x g x ⎧≥⎪⇔≥⎨⎪<⎩(5)绝对值不等式1)绝对值的几何意义:①||x 是指数轴上点x 到原点的距离;②12||x x -是指数轴上12x x ,两点间的距离2)当0c >时,||ax b c ax b c +>⇔+>或ax b c +<-,||ax b c c ax b c +<⇔-<+<;当0c <时,||ax b c x R +>⇔∈,||ax b c x φ+<⇔∈.3)绝对值不等式的解法①公式法|()|()()()f x g x f x g x >⇔>或()()f x g x <-|()|()()()()f x g x g x f x g x <⇔-<<②平方法 ③分情况讨论法) (6)指数不等式:(a a f x g x ()()>(0a >且1)a ≠ 1)当1a >时,()()f x g x > 2)当01a <<时,()()f x g x <)(7)对数不等式log ()log ()a a f x g x >1)当1a >时,()0()0()()f x g x f x g x >⎧⎪>⎨⎪>⎩2)当01a <<时,()0()0()()f x g x f x g x >⎧⎪>⎨⎪<⎩(8)高次不等式(穿线法:)一般高次不等式()0f x >用数轴穿根法(或称穿线法)求解,其步骤是: 1) 将()f x 最高次项的系数化为正数;2) 将()f x 分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积;3) 将每个因式的标在数周上,从右上方依次通过每一点画曲线(注意重根,偶次方穿而不过,奇次方根穿又过,即所谓的奇穿偶不穿);4) 根据曲线显现出来的()f x 值的符号变化规律,写出不等式的解集题型一、比较大小【例1】 设实数a 、b 满足0a b <<,且1a b +=,则下列四数中最大的是( )A .12B .22a b +C .2abD .a【例2】 已知102a -<<,试将下列各数按大小顺序排列:21A a =+,21B a =-,11C a =+,11D a=-. 【例3】 设x R ∈,比较11x +与1x -的大小.【例4】 已知324log 0.3log 3.4log 3.61555a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,,则( )A .a b c >>B .b a c >>C .a c b >>D .c a b >>【例5】 已知A =a 5+b 5,B =a 2b 3+a 3b 2(其中a>0,b>0,a≠b )则( )A .A ≥B B .A ≤BC .A >BD .A <B【例6】 已知x R ∉,试比较2233x x -+与222x x-+的大小【例7】 若121200a a b b <<<<,,且12121a a b b +=+=,则下列代数式中值最大的是( )A .1122a b a b +B .1212a a b b +C .1221a b a b +D .12【例8】 a 、b 、c 、d 均为正实数,且a b >,将b a 、a b 、bc a c ++与ad b d++按从小到大的顺序进行排列.【例9】 已知a 、b 、c 、d 均为实数,且0ab >,c da b-<-,则下列各式恒成立的是( )A .bc ad <B .bc ad >C .a bc d> D .a bc d< 【例10】 设a b ∈R ,,且()10b a b ++<,()10b a b +-<,则( ) A .1a > B .1a <- C .11a -<<D .1a >【例11】 解关于x 的不等式2(21)20x m x m -++<。

不等关系与一元二次不等式 (优质课件,精校版)

不等关系与一元二次不等式 (优质课件,精校版)

由 16< x < 32 得 即 1/8 < y/x < 1/2
1/32 < 1/x < 1/16
又4 < y < 8 所以有 4/32 < y/x < 8/16
π π 练习1 . x y , 求y x, y - x的取值范围. 4 2
练习2.已知-1<x+y<4,且2<x-y<3,求z=2x-3y的 取值范围.
不 等 式 的 性 质
可乘性— a>b, c>0 ac>bc c<0 ac<bc 同向正可乘—a>b>0,c>d>0 ac>bd 推 论 可乘方— a>b>0 an>bn (nR+)
可开方— a>b>0
n
a n b (nN)
课堂练习
若a、b、c R,b, 则下列不等式成立的是( ) 1 1 a b 2 2 A. B.a b C. 2 2 D.a c b c a b c 1 c 1
比较f ( x)与g ( x)的大小关系.
小结: 作差——变形——定号——下结论
题型一:比较两个实数大小
(1)作差比较法:
a b a b 0 a b a b 0 a b a b 0
a、b R + : a (2)作商比较法: a b 1 b 作商——变形——与1比较大小. a a b 1 大多用于比较幂指式的大小. b a a b 1 b
(2)解不等式- x2+2x-3<0 原不等式的解集为R
再 见
2. 不等式的性质: ①不等式的两边都加上(或减去)同一个 数或同一个整式,不等号的方向不变。 ②不等式的两边都乘以(或除以)同一 个正数,不等号的方向不变。

高中数学课件:不等关系与一元二次不等式

高中数学课件:不等关系与一元二次不等式
解析:∵关于x的不等式(x+1)(x-3)<m的解集为(0,n), ∴x=0是方程(x+1)(x-3)=m的解,∴m=-3,∴原不等 式为(x+1)(x-3)<-3,即x2-2x<0,解得0<x<2,故不等 式的解集为(0,2),∴n=2.
答案:2
3.关于x的不等式x2-a+1ax+1<0(a>1)的解集为 ________.
__x_x_≠__-__2_ba
一元二次不等式ax2 +bx+c<0(a>0)的 {_x_|x_1_<__x_<__x_2}
__∅___
解集
Δ<0 R
___∅____
二、“基本技能”运用好 1.通过对理解不等式的性质及表示意义的复习,提高学生的
抽象概括能力. 2.通过应用不等式的性质及解一元二次不等式的复习,提高
y=ax2+bx+
c(a>0)的图象
一元二次方程ax2+ bx+c=0(a>0)的根
有两个相异 实根x1, x2(x1<x2)
有两个相等实 根x1=x2= -2ba
没有实数根
判别式Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
一元二次不等式ax2 +bx+c>0(a>0)的 解集
__{_x_|x_<_x_1_或_ __x_>_x_2_}___
式x2-bx-a≥0的解集是
()
A.{x|2<x<3}
B.{x|x≤2或x≥3}
1 1 C.x3<x<2
D.xx<13或x>12
解析:∵不等式ax2-bx-1>0的解集是
x-12<x<-13 , ∴ax2-bx-1=0的解是x1=-12和x2=-13,且a<0,

不等关系及一元二次不等式

不等关系及一元二次不等式

不等关系及一元二次不等式导学目标: 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.3.会解一元二次不等式并能应用一元二次不等式解决某些实际问题.自主梳理1.一元二次不等式的定义只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是____的不等式叫做一元二次不等式.2自我检测1.已知p :关于x 的不等式x 2+2ax -a>0的解集是R ,q :-1<a <0,则p 是q 成立的________条件.2.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-4x +6,x ≥0,x +6, x <0, 则不等式f (x )>f (1)的解集是________.3.若a ,b ∈R ,且ab >0,则下列不等式中,恒成立的是________.(填序号) ①a 2+b 2>2ab ;②a +b ≥2ab ;③1a +1b >2ab ;④b a +a b≥2.4.已知f (x )=ax 2-x -c >0的解集为(-3,2),则a =________,c =________.5.当x ∈(1,2)时,不等式x 2+mx +4<0恒成立,则m 的取值范围为________________.探究点一 一元二次不等式的解法例1 解下列不等式:(1)-x 2+2x -23>0; (2)9x 2-6x +1≥0. (3)2x 2+4x +3<0;(4)-3x 2-2x +8≤0; (5)8x -1≥16x 2.探究点二 含参数的一元二次不等式的解法例2 (1)已知常数a ∈R ,解关于x 的不等式ax 2-2x +a <0.(2) 解关于x 的不等式ax 2-(a +1)x +1<0.探究点三 一元二次不等式恒成立问题例3 (1)已知f (x )=x 2-2ax +2 (a ∈R ),当x ∈[-1,+∞)时,f (x )≥a 恒成立,求a 的取值范围.(2)关于x 的不等式4x +m x 2-2x +3<2对任意实数x 恒成立,求实数m 的取值范围.(3)若不等式x 2+px >4x +p -3对一切0≤p ≤4均成立,试求实数x 的取值范围.。

不等关系及一元二次不等式

不等关系及一元二次不等式

不等关系及一元二次不等式自主梳理1.不等式的定义在客观世界中,量与量之间的不等关系是普遍存有的,我们用数学符号>、<、≥、≤、≠连结两个数或代数式以表示它们之间的不等关系,含有这些不等号的式子,叫做不等式. (1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a -b >0⇔a > b a -b =0⇔a =b a -b <0⇔a <b (a ,b ∈R );(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a > b ab =1⇔a =b a b<1⇔a < b (a ∈R ,b >0).3.不等式的性质 (1)对称性:a >b ⇔b <a ; (2)传递性:a >b ,b >c ⇒a >c ; (3)可加性:a >b ⇔a +c >b +c , a >b ,c >d ⇒a +c >b +d ; (4)可乘性:a >b ,c >0⇒ac >bc , a >b >0,c >d >0⇒ac >bd ; (5)可乘方:a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ,n ≥1);(6)可开方:a >b >0⇒n a >nb (n ∈N ,n ≥2).2.二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系 判别式 Δ=b 2-4ac Δ>0Δ=0Δ<0二次函数 y =ax 2+bx +c(a>0)的图象一元二次方程 ax 2+bx +c =0 (a>0)的根有两相异实根x 1,2=-b±b 2-4ac 2a(x 1<x 2)有两相等实根 x 1=x 2=________没有实根一元二 次不等 式ax 2 +bx + c>0 的解集a>0(-∞,x 1)∪(x 2,+∞)(-∞,-b2a)∪(-b2a,+∞)a<0 (x 1,x 2)例题讲解例1 比较(a +3)(a -5)与(a +2)(a -4)的大小.例2 已知x ≠0,比较(x 2+1)2与x 4+x 2+1的大小.归纳:作差比较法的步骤是:1、作差;2、变形:配方、因式分解、通分、分母(分子)有理化等;3、判断符号;4、作出结论. 练一练1.设a >b >1,c <0,给出以下三个结论:①c a >c b;②a c <b c;③log b (a -c )>log a (b -c ).其中所有准确结论的序号是________.2. 已知-1<a +b <3且2<a -b <4,求2a +3b 的取值范围.3.若1<a <3,-4<b <2,则a -|b | 的取值范围是________________.(一) 一元二次不等式的解法例3 解以下不等式:.022)4(;012)3(;032)2(;0127)1(2222>+-<+-≥+-->+-x x x x x x x x归纳:可利用求根公式得到方程a x 2+b x +c =0的解,再求不等式的解集 练一练1.解以下不等式:(1)-x 2+2x -23>0; (2)9x 2-6x +1≥0.2. 解以下不等式:(1)2x 2+4x +3<0; (2)-3x 2-2x +8≤0; (3)8x -1≥16x 2.(二)解绝对值不等式例4 (1)235x -<. (2)415x -≥.(3)2325x ≤-<练一练1.解以下不等式: (1)11x xx x>++. (2)234x x ->.(3)2560x x -+>. (4)2312x x ->+.(5)|4x -3|>2x +1. (6)125x x ++->(三)解分式不等式 例5 解关于x 的不等式3)1(--x x a >1(a >0)练一练1.解以下不等式: (1)2335x≥-. (2) (3)(2)(1)(4)0x x x x ++--< (3) 12315222>+---x x x x (4)(1)(2)0(2)(1)x x x x x +-≥+-()()()()1000000x a.x a x b x bx a x b x a x b x b ->⇔-->---≥⎧-⎪≥⇔⎨--≠⎪⎩<≤基本原理或时类似可解2.不等号右边是非零常数时,移项通分转化成右边是零,一般不能乘以分母(四)解指数不等式:(五)解对数不等式)1,0)(33(log )32(log .4;)33(log )32(log .3)33(log )32(log .2;1)12(log .122122122222≠>-<---<---<--<-+a a x x x x x x x x x x x a a()()()()22322313123481251231112222230144528052222x x (x )(x )x x x x x x x xx x x .;..a a a a ..a a ---------+-⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>>≠-⋅+≥-<-且为大于零的常数01f (x )g (x )f (x )g (x )a a a a a a ≥≤>≠一般地,指数不等式先变形为或(其中,)然后利用指数函数的单调性转化为代数不等式(六)解无理不等式的解法(1)⎪⎩⎪⎨⎧>⇒⎭⎬⎫≥≥⇔>)()(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 定义域型(2)⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或型 (3)⎪⎩⎪⎨⎧<>≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 型 (4)例6 :解不等式⑴0231≤---x x ⑵125->-x x()12211824321201a a a .log x .log (x x )log (x )log ,(a ,a )+<+--->>≠解下列不等式:01001010a a log f (x )log g(x )(a a )f (x )f (x )a g(x )a g(x )f (x )g(x f (x )g(x >>≠>>⎧⎧⎪⎪>><>⎨⎨⎪⎪><⎩⎩对数不等式且当时,同解于 当0<时,同解于))解对数不等式,实质是利用对数函数的单调性将其转化为同解的代数不等式,但要注意底数和真数的制约因素.例7 :解不等式 125->-x x练习:解不等式x x x 211322+>+-例8 :解不等式x x x 211322+<+-练习:1. 不等式35x x ->-的解集为_________2.231x x -<+(七) 含参数的一元二次不等式的解法例9 已知常数a ∈R ,解关于x 的不等式ax 2-2x +a <0.归纳:解含参数的一元二次不等式的步骤:解含参数的一元二次不等式可按如下步 骤实行:1°二次项若含有参数应讨论参数是等于0、小于0、还是大于0.然后将不等式转化为二次项系数为正的形式.2°判断方程的根的个数,讨论判别式Δ与0的关系.3°确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集的形式.练一练(1)ax2-(a+1)x+1<0. (2) 解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.(3)不等式x-12x+1≤0的解集为________.(八)一元二次不等式恒成立问题例10已知f(x)=x2-2ax+2 (a∈R),当x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a恒成立,求a的取值范围.例11设函数f(x)=mx2-mx-1.(1)若对于一切实数x,f(x)<0恒成立,求m的取值范围;(2)若对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范围.练一练(1).当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,则m的取值范围是__________.(2)关于x的不等式4x+mx2-2x+3<2对任意实数x恒成立,求实数m的取值范围.例12 (1)已知不等式ax2+bx+c>0的解集为(α,β),且0<α<β,求不等式cx 2+bx +a <0的解集.(2)已知a ∈[-1,1],不等式x 2+(a -4)x +4-2a >0恒成立,则x 的取值范围________.练一练(1)若不等式ax 2+bx +2>0的解为-12<x <13,则不等式2x 2+bx +a <0的解集是________.(2)若不等式x 2+px >4x +p -3对一切0≤p ≤4均成立,试求实数x 的取值范围.归纳:不等式恒成立问题:不等式恒成立,即不等式的解集为R ,一元二次不等式ax 2+bx +c >0 (a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0,Δ=b 2-4ac <0;ax 2+bx +c <0 (a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0,Δ=b 2-4ac <0.。

高中数学第七章不等式第一节不等式的性质及一元二次不等式

高中数学第七章不等式第一节不等式的性质及一元二次不等式

第一节 不等式的性质及一元二次不等式[考纲要求]1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系. 2.了解不等式(组)的实际背景. 3.掌握不等式的性质及应用.4.会从实际问题情境中抽象出一元二次不等式模型.5.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. 6.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图.突破点一 不等式的性质[基本知识]1.比较两个实数大小的方法(1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a -b >0⇔a >b (a ,b ∈R ),a -b =0⇔a =b (a ,b ∈R ),a -b <0⇔a <b (a ,b ∈R ).(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a >b (a ∈R ,b >0),ab =1⇔a =b (a ∈R ,b >0),a b<1⇔a <b (a ∈R ,b >0).2.不等式的基本性质(1)倒数的性质①a >b ,ab >0⇒1a <1b .②a <0<b ⇒1a <1b .③a >b >0,0<c <d ⇒a c >bd .④0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a .(2)有关分数的性质若a >b >0,m >0,则:①b a <b +m a +m ;b a >b -m a -m (b -m >0).②a b >a +m b +m ;a b <a -mb -m(b -m >0).[基本能力]一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)(1) 若1a <1b <0,则1a+b <1ab . ( )(2)若a c >bc ,则a >b .( )(3)若a >b ,c >d ,则ac >bd .( ) 答案:(1)√ (2)× (3)× 二、填空题 1.若a <b <0,则1a -b 与1a大小关系是__________. 答案:1a -b <1a2.已知存在实数a 满足ab 2>a >ab ,则实数b 的取值范围是________. 答案:(-∞,-1)[典例感悟]1.设M =2a (a -2),N =(a +1)(a -3),则有( ) A .M >N B .M ≥N C .M <ND .M ≤N解析:选A 因为M -N =2a (a -2)-(a +1)(a -3)=a 2-2a +3=(a -1)2+2>0,所以M >N ,故选A.2.(2018·吉安一中二模)已知下列四个关系式:①a >b ⇒ac >bc ;②a >b ⇒1a <1b ;③a >b >0,c >d >0⇒a d >bc ;④a >b >1,c <0⇒a c <b c .其中正确的有( )A .1个B .2个C .3个D .4个解析:选B 当c =0时,①不正确. 当a >0>b 时,②不正确. 由于c >d >0,所以1d >1c >0,又a >b >0,所以a d >bc >0,③正确.由于a >b >1,当x <0时,a x <b x , 故a c <b c ,④正确.故选B. 3.若a =ln 22,b =ln 33,则a ____b (填“>”或“<”). 解析:易知a ,b 都是正数,b a =2ln 33ln 2=log 89>1,所以b >a .答案:<4.已知-12≤2x +y ≤12,-12≤3x +y ≤12,则9x +y 的取值范围是________.解析:设9x +y =a (2x +y )+b (3x +y ),则9x +y =(2a +3b )x +(a +b )y ,于是比较两边系数得⎩⎨⎧2a +3b =9,a +b =1,得a =-6,b =7.由已知不等式得-3≤-6(2x +y )≤3,-72≤7(3x +y )≤72,所以-132≤9x +y ≤132.答案:[]-132,132[方法技巧]1.比较两个数(式)大小的两种方法2.不等式性质应用问题的常见类型及解题策略(1)利用不等式性质比较大小.熟记不等式性质的条件和结论是基础,灵活运用是关键,要注意不等式性质成立的前提条件.(2)与充要条件相结合的问题.用不等式的性质分别判断p ⇒q 和q ⇒p 是否正确,要注意特殊值法的应用. (3)与命题真假判断相结合的问题.解决此类问题除根据不等式的性质求解外,还经常采用特殊值验证的方法.突破点二 一元二次不等式[基本知识]1.三个“二次”之间的关系有两个相等实根x =x =-(1)不等式ax 2+bx +c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎨⎧ a =b =0,c >0或⎩⎨⎧ a >0,Δ<0.(2)不等式ax 2+bx +c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎨⎧ a =b =0,c <0或⎩⎨⎧a <0,Δ<0.[基本能力]一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)(1)若不等式ax 2+bx +c <0的解集为(x 1,x 2),则必有a >0.( )(2)若方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)没有实数根,则不等式ax 2+bx +c >0的解集为空集.( ) (3)若不等式ax 2+bx +c ≥0对x ∈R 恒成立,则其判别式Δ≤0.( ) 答案:(1)√ (2)× (3)× 二、填空题 1.不等式1x -1≥-1的解集是________________. 解析:原不等式可化为xx -1≥0,即x (x -1)≥0,且x -1≠0,解得x >1或x ≤0. 答案:(-∞,0]∪(1,+∞)2.设a <-1,则关于x 的不等式a (x -a )()x -1a <0的解集是________________.答案:(-∞,a )∪()1a ,+∞3.不等式ax 2+bx +2>0的解集是()-12,13,则a +b 的值是________. 答案:-144.若不等式ax 2-ax +1<0的解集为∅,则实数a 的取值范围为________. 答案:[0,4][全析考法]考法一 一元二次不等式的解法解一元二次不等式的方法和步骤[例1] (1)(2019·衡阳月考)不等式2x +3-x 2>0的解集是( ) A .{x |-1<x <3} B .{x |x >3或x <-1} C .{x |-3<x <1}D .{x |x >1或x <-3}(2)(2019·深圳月考)已知函数f (x )=⎩⎨⎧x 2+2x ,x ≥0,2x -x 2,x <0.若f (2-a 2)>f (a ),则实数a 的取值范围是( )A .(-∞,-2)∪(1,+∞)B .(-1,1)C .(-2,1)D .(-1,2)[解析] (1)原不等式变形为x 2-2x -3<0, 即(x -3)(x +1)<0,解得-1<x <3.故选A.(2)∵f (x )=⎩⎨⎧x 2+2x ,x ≥0,2x -x 2,x <0,∴函数f (x )是奇函数,且在R 上单调递增, ∴f (2-a 2)>f (a )等价于2-a 2>a ,即a 2+a -2<0, 解得-2<a <1,∴实数a 的取值范围是(-2,1),故选C. [答案] (1)A (2)C[例2] (2019·六安阶段性考试)已知常数a ∈R ,解关于x 的不等式12x 2-ax >a 2. [解] ∵12x 2-ax >a 2,∴12x 2-ax -a 2>0,即(4x +a )(3x -a )>0. 令(4x +a )(3x -a )=0,解得x 1=-a 4,x 2=a3.①当a >0时,-a 4<a3,解集为{ x |x <-a 4,或x >a3}; ②当a =0时,x 2>0,解集为{x |x ∈R ,且x ≠0};③当a <0时,-a 4>a3,解集为{ x |x <a 3,或x >-a4}. 综上所述:当a >0时,不等式的解集为{ x |x <-a 4,或x >a3}; 当a =0时,不等式的解集为{x |x ∈R ,且x ≠0}; 当a <0时,不等式的解集为{}x |x <a 3,或x >-a4. [方法技巧]解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式.(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时,讨论判别式Δ与0的关系.(3)确定无实根时可直接写出解集,确定方程有两个实根时,要讨论两实根的大小关系,从而确定解集形式. 考法二 由一元二次不等式恒成立求参数范围考向一 在实数集R 上恒成立[例3] (2019·大庆期中)对于任意实数x ,不等式(a -2)x 2-2(a -2)x -4<0恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A .(-∞,2) B .(-∞,2] C .(-2,2]D .(-2,2) [解析] 当a -2=0,即a =2时,-4<0恒成立;当a -2≠0时,则有⎩⎨⎧a -2<0,4(a -2)2+16(a -2)<0,解得-2<a <2,∴-2<a ≤2,故选C. [答案] C考向二 在某区间上恒成立[例4] (2019·忻州第一中学模拟)已知关于x 的不等式x 2-4x ≥m 对任意的x ∈(0,1]恒成立,则有( ) A .m ≤-3 B .m ≥-3 C .-3≤m <0D .m ≥-4[解析] 令f (x )=x 2-4x ,x ∈(0,1],∵f (x )图象的对称轴为直线x =2,∴f (x )在(0,1]上单调递减,∴当x =1时f (x )取得最小值,为-3,∴m ≤-3,故选A.[答案] A [方法技巧]解决一元二次不等式在某区间恒成立问题常转化为求二次函数的最值问题或用分离参数法求最值问题.[集训冲关]1.[考法一]如果关于x 的不等式x 2<ax +b 的解集是{x |1<x <3},那么b a 等于( ) A .-81 B .81 C .-64D .64解析:选B 不等式x 2<ax +b 可化为x 2-ax -b <0,其解集是{x |1<x <3},那么,由根与系数的关系得⎩⎨⎧1+3=a ,1×3=-b ,得⎩⎨⎧a =4,b =-3,所以b a =(-3)4=81.故选B. 2.[考法二·考向一]已知关于x 的不等式x 2-(k -1)x -k +1≥0对任意实数x 都成立,则实数k 的取值范围是( ) A .(-∞,-3]∪[1,+∞) B .(-∞,1]∪[3,+∞) C .[-1,3]D .[-3,1]解析:选D 关于x 的不等式x 2-(k -1)x -k +1≥0对任意实数x 都成立,则Δ=(k -1)2+4(k -1)≤0,解得-3≤k ≤1,故选D.3.[考法二·考向二]若不等式x 2+mx -1<0对于任意x ∈[m ,m +1]都成立,则实数m 的取值范围是________. 解析:由题意,得函数f (x )=x 2+mx -1在[m ,m +1]上的最大值小于0,又抛物线f (x )=x 2+mx -1开口向上,所以只需⎩⎨⎧f (m )=m 2+m 2-1<0,f (m +1)=(m +1)2+m (m +1)-1<0,即⎩⎨⎧2m 2-1<0,2m 2+3m <0,解得-22<m <0.答案:()-22,0 [课时跟踪检测][A 级 基础题——基稳才能楼高]1.下列结论正确的是( ) A .若a >b ,则ac 2>bc 2 B .若a 2>b 2,则a >bC .若a >b ,c <0,则a +c <b +cD .若a <b ,则a <b解析:选D 选项A 中,当c =0时不满足ac 2>bc 2,所以A 错;选项B 中,当a =-2,b =-1时,满足a 2>b 2,不满足a >b ,所以B 错;选项C 中,a +c >b +c ,所以C 错;选项D 中,因为0≤a <b ,所以a <b ,所以D 正确.故选D.2.(2019·郑州模拟)“x >1”是“x 2+2x >0”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选A 由x 2+2x >0,得x >0或x <-2,所以“x >1”是“x 2+2x >0”的充分不必要条件,故选A.3.(2019·武汉武昌区调研)已知函数f (x )=2ax -a +3,若∃x 0∈(-1,1),使得f (x 0)=0,则实数a 的取值范围是( ) A .(-∞,-3)∪(1,+∞) B .(-∞,-3) C .(-3,1)D .(1,+∞)解析:选A 依题意可得f (-1)·f (1)<0,即(-2a -a +3)(2a -a +3)<0,解得a <-3或a >1,故选A. 4.(2019·江淮十校联考)|x |·(1-2x )>0的解集为( ) A .(-∞,0)∪()0,12 B .()-∞,12C.()12,+∞D .()0,12解析:选A 原不等式等价于⎩⎨⎧1-2x >0,x ≠0,解不等式组可得实数x 的取值范围是(-∞,0)∪()0,12.5.(2019·遂宁诊断)若a >b >0,则下列不等式中一定成立的是( ) A .a +1b >b +1aB .b a >b +1a +1C .a -1b >b -1aD .2a +b a +2b >ab解析:选A 不妨取a =2,b =1,排除B 和D ;另外,函数f (x )=x -1x 是(0,+∞)上的增函数,但函数g (x )=x +1x在(0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,所以当a >b >0时,f (a )>f (b )必定成立,但g (a )>g (b )不一定成立,因此a -1a >b -1b ⇔a +1b >b +1a,故选A. [B 级 保分题——准做快做达标]1.(2019·郑州模拟)已知p :1a >14,q :∀x ∈R ,ax 2+ax +1>0,则p 是q 的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选A 由1a >14得0<a <4.∀x ∈R ,ax 2+ax +1>0,必有⎩⎨⎧ a =0,1>0或⎩⎨⎧a >0,a 2-4a <0,则0≤a <4,所以p 是q 的充分不必要条件,故选A.2.(2019·青岛三地名校联考)已知不等式ax 2-bx -1≥0的解集是[]-12,-13,则不等式x 2-bx -a <0的解集是( )A .(2,3)B .(-∞,2)∪(3,+∞) C.()13,12D .()-∞,13∪()12,+∞解析:选A ∵不等式ax 2-bx -1≥0的解集是[]-12,-13,∴a <0,方程ax 2-bx -1=0的两个根为-12,-13,∴--b a =-12-13,-1a =16,∴a =-6,b =5,又x 2-bx -a <0,∴x 2-5x +6<0,∴(x -2)(x -3)<0,∴不等式的解集为(2,3).3.(2019·深圳中学模拟)已知a >b >0,c <0,下列不等关系中正确的是( ) A .ac >bcB .a c >b cC .log a (a -c )>log b (b -c )D .a a -c >bb -c解析:选D 因为c <0,a >b ,所以ac <bc ,故A 错;当c <0时,幂函数y =x c 在(0, +∞)上是减函数,所以a c <b c ,故B 错;若a =4,b =2,c =-4,则log a (a -c )=log 48<2< log b (b -c )=log 26,故C 错;a a -c -bb -c=ab -ac -ab +bc (a -c )(b -c )=(b -a )c (a -c )(b -c )>0,所以a a -c >bb -c成立,故D 正确.选D.4.若不等式x 2-(a +1)x +a ≤0的解集是[-4,3]的子集,则a 的取值范围是( ) A .[-4,1] B .[-4,3] C .[1,3]D .[-1,3]解析:选B 原不等式为(x -a )(x -1)≤0,当a <1时,不等式的解集为[a,1],此时只要a ≥-4即可,即-4≤a <1;当a =1时,不等式的解为x =1,此时符合要求;当a >1时,不等式的解集为[1,a ],此时只要a ≤3即可,即1<a ≤3.综上可得-4≤a ≤3.5.(2019·包头模拟)若不等式f (x )=ax 2-x -c >0的解集为{x |-2<x <1},则函数y =f (-x )的大致图象为( )解析:选C 由题意得⎩⎨⎧a <0,-2+1=1a ,-2×1=-c a,解得a =-1,c =-2.则函数y =f (-x )=-x 2+x +2,由二次函数的图象可知选C.6.(2019·绵阳诊断)国庆节期间,绵阳市某大型商场举行“购物送券”活动.一名顾客计划到该商场购物,他有三张商场的优惠券,商场规定每购买一件商品只能使用一张优惠券.根据购买商品的标价,三张优惠券的优惠方式不同,具体如下:优惠券A :若商品的标价超过100元,则付款时减免标价的10%; 优惠券B :若商品的标价超过200元,则付款时减免30元;优惠券C :若商品的标价超过200元,则付款时减免超过200元部分的20%.若顾客想使用优惠券C ,并希望比使用优惠券A 或B 减免的钱款都多,则他购买的商品的标价应高于( ) A .300元 B .400元 C .500元D .600元解析:选B 设购买的商品的标价为x 元,则(x -200)×20%>x ·10%,且(x -200)×20%>30,解得x >400,选B. 7.(2019·南昌重点校联考)如果方程x 2+(m -1)x +m 2-2=0的两个实根一个小于-1,另一个大于1,那么实数m 的取值范围是( )A .(0,1)B .(-2,1)C .(-2,0)D .(-2,2)解析:选A 记f (x )=x 2+(m -1)x +m 2-2,依题意有⎩⎨⎧f (-1)<0,f (1)<0,即⎩⎨⎧1-(m -1)+m 2-2<0,1+(m -1)+m 2-2<0,解得0<m <1.选A.8.规定符号“⊙”表示一种运算,定义a ⊙b =ab +a +b (a ,b 为非负实数),若1⊙k 2<3,则k 的取值范围是( ) A .(-1,1) B .(0,1) C .(-1,0)D .(0,2)解析:选A 因为定义a ⊙b =ab +a +b (a ,b 为非负实数),1⊙k 2<3,所以k 2+1+k 2<3,化为(|k |+2)(|k |-1)<0,所以|k |<1,所以-1<k <1.9.(2019·西北工业大学附属中学模拟)已知a >b >1,c <0,在不等式①c a >cb ;②ln(a +c )>ln(b +c );③(a -c )c <(b -c )c ;④b e a >a e b 中,所有正确命题的序号是( )A .①②③B .①③④C .②③④D .①②④解析:选B ∵a >b >1,∴0<1a <1b ,又c <0,∴c a >cb ,∴①正确;∵a >b >1,c <0,∴不妨取a =3,b =2,c =-4,此时ln(a +c )>ln(b +c )不成立,∴②错误;易知函数y =x α(α<0)在(0,+∞)上单调递减,∵a -c >b -c >0,c <0,∴(a -c )c <(b -c )c,∴③正确;令y =e x x (x ≠0),则y ′=(x -1)e x x 2,令y ′=0,得x =1,令y ′>0,得x >1,故函数y =e xx在(1,+∞)上单调递增,∵a >b >1,∴e a a >e bb,即b e a >a e b ,∴④正确,故选B.10.(2019·启东中学调研)已知△ABC 的三边分别为a ,b ,c ,且满足b +c ≤3a ,则ca 的取值范围为________.解析:由已知及三角形的三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧a <b +c ≤3a ,a +b >c ,a +c >b ,∴⎩⎪⎨⎪⎧1<b a +ca≤3,1+b a >ca ,1+c a >b a,∴⎩⎪⎨⎪⎧1<b a +c a ≤3,-1<c a -b a <1,两式相加得,0<2×c a <4,∴ca的取值范围为(0,2).答案:(0,2)11.(2019·青岛模拟)设a ,b 为正实数,现有下列命题:①若a 2-b 2=1,则a -b <1; ②若1b -1a =1,则a -b <1;③若|a -b |=1,则|a -b |<1;④若|a 3-b 3|=1,则|a -b |<1.其中的真命题有____________.(写出所有真命题的序号)解析:对于①,由条件可得a >1,b >0,则a +b >1,又a 2-b 2=(a +b )(a -b )=1,所以a -b <1,故①正确.对于②,令a =2,b =23,则1b -1a =1,但a -b =43>1,故②错.对于③,令a =4,b =1,则|a -b |=1,但|a -b |=3>1,故③错.对于④,|a 3-b 3|=|(a -b )(a 2+ab +b 2)|=1,由条件可得,a ,b 中至少有一个大于等于1,则a 2+ab +b 2>1,则|a -b |<1,故④正确.综上,真命题有①④.答案:①④12.(2019·江苏海安高级中学月考)已知对于任意的x ∈(-∞,1)∪(5,+∞),都有x 2-2(a -2)x +a >0,则实数a 的取值范围是________.解析:设f (x )=x 2-2(a -2)x +a .因为对于任意的x ∈(-∞,1)∪(5,+∞),都有f (x )=x 2-2(a -2)x +a >0,所以令f (x )=0,有Δ<0或⎩⎨⎧Δ≥0,1≤a -2≤5,f (1)≥0,f (5)≥0,解得1<a <4或4≤a ≤5,即1<a ≤5.答案:(1,5]13.(2019·重庆凤鸣山中学月考)若不存在整数x 满足不等式(kx -k 2-4)(x -4)<0,则实数k 的取值范围是________. 解析:容易判断k =0或k <0时,均不符合题意,所以k >0.所以原不等式即为k ()x -k 2+4k (x -4)<0,等价于()x -k 2+4k (x -4)<0,依题意应有3≤k 2+4k ≤5且k >0,所以1≤k ≤4.答案:[1,4]14.(2019·南昌模拟)定义域为R 的函数f (x )满足f (x +3)=2f (x ),当x ∈[-1,2)时,f (x )=⎩⎨⎧x 2+x ,x ∈[-1,0),-()12|x -1|,x ∈[0,2),若存在x ∈[-4,-1),使得不等式t 2-3t ≥4f (x )成立,则实数t 的取值范围是___________.解析:由题意知f (x )=12f (x +3).当x ∈[-1,0)时,f (x )=x 2+x =()x +122-14∈[]-14,0;当x ∈[0,2)时,f (x )=-()12|x -1|∈[]-1,-12.所以当x ∈[-1,2)时,f (x )min =-1.故当x ∈[-4,-1)时,x +3∈[-1,2),所以f (x +3)min =-1,此时f (x )min =12×(-1)=-12.由存在x ∈[-4,-1),使得不等式t 2-3t ≥4f (x )成立,可得t 2-3t ≥4×()-12,解得t ≤1或t ≥2.答案:(-∞,1]∪[2,+∞)15.(2019·南昌摸底)已知函数f (x )=ax 2+bx -a +2.(1)若关于x 的不等式f (x )>0的解集是(-1,3),求实数a ,b 的值; (2)若b =2,a >0,解关于x 的不等式f (x )>0.解:(1)由题意知a <0,且-1,3是方程ax 2+bx -a +2=0的两个根,则⎩⎨⎧ b =2,8a +3b +2=0,∴⎩⎨⎧a =-1,b =2.(2)当b =2时,f (x )=ax 2+2x -a +2=(ax -a +2)(x +1),∵a >0,∴f (x )>0可化为()x -a -2a(x +1)>0, ①当a -2a ≥-1,即a ≥1时,不等式的解集为{}x |x <-1或x >a -2a; ②当a -2a <-1,即0<a <1时,不等式的解集为{}x |x <a -2a或x >-1.16.(2018·正定中学二模)已知f (x )=ax 2+x -a ,a ∈R.(1)若不等式f (x )>(a -1)x 2+(2a +1)x -3a -1对任意的实数x ∈[-1,1]恒成立,求实数a 的取值范围; (2)若a <0,解不等式f (x )>1.解:(1)原不等式等价于x 2-2ax +2a +1>0对任意的实数x ∈[-1,1]恒成立, 设g (x )=x 2-2ax +2a +1=(x -a )2-a 2+2a +1(x ∈[-1,1]),①当a <-1时,g (x )min =g (-1)=1+2a +2a +1>0,得a >-12,所以a ∈∅;②当-1≤a ≤1时,g (x )min =g (a )=-a 2+2a +1>0,得1-2<a ≤1; ③当a >1时,g (x )min =g (1)=1-2a +2a +1>0,得a >1. 综上,a 的取值范围为(1-2,+∞). (2)ax 2+x -a -1>0,即(x -1)(ax +a +1)>0, 因为a <0,所以(x -1)()x +a +1a<0, 因为1-()-a +1a =2a +1a ,所以当-12<a <0时,1<-a +1a ,解集为{}x |1<x <-a +1a; 当a =-12时,(x -1)2<0,解集为∅;当a <-12时,1>-a +1a,解集为{}x |-a +1a<x <1.。

2024年高考数学总复习第七章《不等式》不等关系与不等式

2024年高考数学总复习第七章《不等式》不等关系与不等式

2024年高考数学总复习第七章《不等式》§7.1不等关系与不等式最新考纲1.通过具体情境,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系.2.了解不等式(组)的实际背景.1.两个实数比较大小的方法(1)-b >0⇔a >b-b =0⇔a =b-b <0⇔a <b (a ,b ∈R )(2)⇔a >b 1⇔a =b⇔a <b (a ∈R ,b >0)2.不等式的基本性质概念方法微思考1.若a >b ,且a 与b 都不为0,则1a 与1b 的大小关系确定吗?提示不确定.若a >b ,ab >0,则1a <1b,即若a 与b 同号,则分子相同,分母大的反而小;若a >0>b ,则1a >1b,即正数大于负数.2.两个同向不等式可以相加和相乘吗?提示可以相加但不一定能相乘,例如2>-1,-1>-3.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a ,b 之间,有且只有a >b ,a =b ,a <b 三种关系中的一种.(√)(2)若ab>1,则a >b .(×)(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数,不等号方向不变.(×)(4)a >b >0,c >d >0⇒a d >bc .(√)(5)ab >0,a >b ⇔1a <1b .(√)题组二教材改编2.若a ,b 都是实数,则“a -b >0”是“a 2-b 2>0”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件答案A解析a -b >0⇒a >b ⇒a >b ⇒a 2>b 2,但由a 2-b 2>0⇏a -b >0.3.设b <a ,d <c ,则下列不等式中一定成立的是()A .a -c <b -dB .ac <bdC .a +c >b +dD .a +d >b +c答案C解析由同向不等式具有可加性可知C 正确.题组三易错自纠4.若a >b >0,c <d <0,则一定有()A.a c -b d >0 B.a c -b d <0C.a d >b c D.a d <b c答案D解析∵c <d <0,∴0<-d <-c ,又0<b <a ,∴-bd <-ac ,即bd >ac ,又∵cd >0,∴bd cd >ac cd ,即b c >ad.5.设a ,b ∈R ,则“a >2且b >1”是“a +b >3且ab >2”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件答案A解析若a >2且b >1,则由不等式的同向可加性可得a +b >2+1=3,由不等式的同向同正可乘性可得ab >2×1=2.即“a >2且b >1”是“a +b >3且ab >2”的充分条件;反之,若“a +b >3且ab >2”,则“a >2且b >1”不一定成立,如a =6,b =12.所以“a >2且b >1”是“a+b >3且ab >2”的充分不必要条件.故选A.6.若-π2<α<β<π2,则α-β的取值范围是__________.答案(-π,0)解析由-π2<α<π2,-π2<-β<π2,α<β,得-π<α-β<0.题型一比较两个数(式)的大小例1(1)若a <0,b <0,则p =b 2a +a 2b 与q =a +b 的大小关系为()A .p <qB .p ≤qC .p >qD .p ≥q答案B解析(作差法)p -q =b 2a +a 2b-a -b=b 2-a 2a +a 2-b 2b =(b 2-a 2=(b 2-a 2)(b -a )ab =(b -a )2(b +a )ab ,因为a <0,b <0,所以a +b <0,ab >0.若a =b ,则p -q =0,故p =q ;若a ≠b ,则p -q <0,故p <q .综上,p ≤q .故选B.(2)已知a >b >0,比较a a b b 与a b b a 的大小.解∵a a b b a b b a =a a -bb a -b=-b,又a >b >0,故ab >1,a -b >0,-b>1,即a a b ba b ba >1,又a b b a >0,∴a a b b >a b b a ,∴a a b b 与a b b a 的大小关系为:a a b b >a b b a .思维升华比较大小的常用方法(1)作差法:①作差;②变形;③定号;④结论.(2)作商法:①作商;②变形;③判断商与1的大小关系;④结论.(3)函数的单调性法.跟踪训练1(1)已知p ∈R ,M =(2p +1)(p -3),N =(p -6)(p +3)+10,则M ,N 的大小关系为________.答案M >N解析因为M -N =(2p +1)(p -3)-[(p -6)(p +3)+10]=p 2-2p +5=(p -1)2+4>0,所以M >N .(2)若a >0,且a ≠7,则()A .77a a <7a a 7B .77a a =7a a 7C .77a a >7a a 7D .77a a 与7a a 7的大小不确定答案C解析77a a 7a a7=77-a a a -7-a,则当a >7时,0<7a <1,7-a <0,则-a>1,∴77a a >7a a 7;当0<a <7时,7a >1,7-a >0,则-a>1,∴77a a >7a a 7.综上,77a a >7a a 7.题型二不等式的性质例2(1)对于任意实数a ,b ,c ,d ,下列命题中正确的是()A .若a >b ,c ≠0,则ac >bcB .若a >b ,则ac 2>bc 2C .若ac 2>bc 2,则a >bD .若a >b ,则1a <1b 答案C解析对于选项A ,当c <0时,不正确;对于选项B ,当c =0时,不正确;对于选项C ,∵ac 2>bc 2,∴c ≠0,∴c 2>0,∴一定有a >b .故选项C 正确;对于选项D ,当a >0,b <0时,不正确.(2)已知四个条件:①b >0>a ;②0>a >b ;③a >0>b ;④a >b >0,能推出1a <1b 的是________.(填序号)答案①②④解析运用倒数法则,a >b ,ab >0⇒1a <1b,②④正确.又正数大于负数,所以①正确.思维升华常用方法:一是用性质逐个验证;二是用特殊值法排除.利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件.跟踪训练2(1)已知a ,b ,c 满足c <b <a ,且ac <0,那么下列选项中一定成立的是()A.ab>ac B.c(b-a)<0 C.cb2<ab2D.ac(a-c)>0答案A解析由c<b<a且ac<0,知c<0且a>0.由b>c,得ab>ac一定成立.(2)若1a <1b<0,则下列不等式:①a+b<ab;②|a|>|b|;③a<b;④ab<b2中,正确的不等式有________.(填序号)答案①④解析因为1a<1b<0,所以b<a<0,a+b<0,ab>0,所以a+b<ab,|a|<|b|,在b<a两边同时乘以b,因为b<0,所以ab<b2.因此正确的是①④.题型三不等式性质的应用命题点1应用性质判断不等式是否成立例3已知a>b>0,给出下列四个不等式:①a2>b2;②2a>2b-1;③a-b>a-b;④a3+b3>2a2b.其中一定成立的不等式为()A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④答案A解析方法一由a>b>0可得a2>b2,①成立;由a>b>0可得a>b-1,而函数f(x)=2x在R上是增函数,∴f(a)>f(b-1),即2a>2b-1,②成立;∵a>b>0,∴a>b,∴(a-b)2-(a-b)2=2ab-2b=2b(a-b)>0,∴a-b>a-b,③成立;若a=3,b=2,则a3+b3=35,2a2b=36,a3+b3<2a2b,④不成立.故选A.方法二令a=3,b=2,可以得到①a2>b2,②2a>2b-1,③a-b>a-b均成立,而④a3+b3>2a2b不成立,故选A.命题点2求代数式的取值范围例4已知-1<x<4,2<y<3,则x-y的取值范围是________,3x+2y的取值范围是________.答案(-4,2)(1,18)解析∵-1<x<4,2<y<3,∴-3<-y<-2,∴-4<x-y<2.由-1<x<4,2<y<3,得-3<3x<12,4<2y<6,∴1<3x+2y<18.引申探究若将本例条件改为-1<x+y<4,2<x-y<3,求3x+2y的取值范围.解设3x+2y=m(x+y)+n(x-y),+n=3,-n=2,=52,=12.即3x+2y=52(x+y)+12(x-y),又∵-1<x+y<4,2<x-y<3,∴-52<52(x+y)<10,1<12(x-y)<32,∴-32<52(x+y)+12(x-y)<232,即-32<3x+2y<232,∴3x+2y-32,思维升华(1)判断不等式是否成立的方法①逐一给出推理判断或反例说明.②结合不等式的性质,对数函数、指数函数的性质进行判断.(2)求代数式的取值范围一般是利用整体思想,通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围.跟踪训练3(1)若a<b<0,则下列不等式一定成立的是()A.1a-b>1bB.a2<abC.|b ||a |<|b |+1|a |+1D .a n >b n答案C解析(特值法)取a =-2,b =-1,逐个检验,可知A ,B ,D 项均不正确;C 项,|b ||a |<|b |+1|a |+1⇔|b |(|a |+1)<|a |(|b |+1)⇔|a ||b |+|b |<|a ||b |+|a |⇔|b |<|a |,∵a <b <0,∴|b |<|a |成立,故选C.(2)已知-1<x <y <3,则x -y 的取值范围是________.答案(-4,0)解析∵-1<x <3,-1<y <3,∴-3<-y <1,∴-4<x -y <4.又∵x <y ,∴x -y <0,∴-4<x -y <0,故x -y 的取值范围为(-4,0).一、选择题1.下列命题中,正确的是()A .若a >b ,c >d ,则ac >bdB .若ac >bc ,则a >bC .若a c 2<bc2a <bD .若a >b ,c >d ,则a -c >b -d 答案C解析A 项,取a =2,b =1,c =-1,d =-2,可知A 错误;B 项,当c <0时,ac >bc ⇒a <b ,所以B 错误;C 项,因为a c 2<bc 2,所以c ≠0,又c 2>0,所以a <b ,C 正确;D 项,取a =c =2,b =d =1,可知D 错误,故选C.2.若1a <1b <0,则下列结论正确的是()A .a 2>b 2B .C.b a +a b <2D .a e b >b e a答案D解析由题意知,b <a <0,则a 2<b 2>1,b a +ab >2,∵b <a <0,∴e a >e b >0,-b >-a >0∴-b e a >-a e b ,∴a e b >b e a ,故选D.3.若a >b >0,则下列不等式中一定成立的是()A .a +1b >b +1a B.b a >b +1a +1C .a -1b >b -1a D.2a +b a +2b >ab答案A解析取a =2,b =1,排除B 与D ;另外,函数f (x )=x -1x是(0,+∞)上的增函数,但函数g (x )=x +1x 在(0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,所以,当a >b >0时,f (a )>f (b )必定成立,即a -1a >b -1b ⇔a +1b >b +1a ,但g (a )>g (b )未必成立,故选A.4.已知x >y >z ,x +y +z =0,则下列不等式成立的是()A .xy >yzB .xz >yzC .xy >xzD .x |y |>z |y |答案C解析∵x >y >z 且x +y +z =0,∴3x >x +y +z =0,3z <x +y +z =0,∴x >0,z <0,又y >z ,∴xy >xz .5.设x >0,P =2x +2-x ,Q =(sin x +cos x )2,则()A .P >QB .P <QC .P ≤QD .P ≥Q答案A解析因为2x +2-x ≥22x ·2-x =2(当且仅当x =0时等号成立),而x >0,所以P >2;又(sin x +cos x )2=1+sin 2x ,而sin 2x ≤1,所以Q ≤2.于是P >Q .故选A.6.若α,β满足-π2<α<β<π2,则2α-β的取值范围是()A .-π<2α-β<0B .-π<2α-β<πC .-3π2<2α-β<π2D .0<2α-β<π答案C解析∵-π2<α<π2,∴-π<2α<π.∵-π2<β<π2,∴-π2<-β<π2,∴-3π2<2α-β<3π2.又α-β<0,α<π2,∴2α-β<π2.故-3π2<2α-β<π2.7.已知a +b >0,则a b 2+b a 2与1a +1b 的大小关系是________.答案a b 2+b a 2≥1a +1b解析a b 2+ba 2-=a -b b 2+b -a a2=(a -b =(a +b )(a -b )2a 2b 2.∵a +b >0,(a -b )2≥0,∴(a +b )(a -b )2a 2b2≥0.∴a b 2+b a 2≥1a +1b 8.已知有三个条件:①ac 2>bc 2;②a c >b c ;③a 2>b 2,其中能成为a >b 的充分条件的是________.答案①解析由ac 2>bc 2可知c 2>0,即a >b ,故“ac 2>bc 2”是“a >b ”的充分条件;②当c <0时,a <b ;③当a <0,b <0时,a <b ,故②③不是a >b 的充分条件.9.已知a ,b ,c ,d 均为实数,有下列命题:①若ab >0,bc -ad >0,则c a -d b>0;②若ab >0,c a -d b>0,则bc -ad >0;③若bc -ad >0,c a -d b>0,则ab >0.其中正确的命题是________.(填序号)答案①②③解析∵ab >0,bc -ad >0,∴c a -d b =bc -ad ab>0,∴①正确;∵ab >0,又c a -d b >0,即bc -ad ab>0,∴bc -ad >0,∴②正确;∵bc -ad >0,又c a -d b >0,即bc -ad ab>0,∴ab >0,∴③正确.故①②③都正确.10.设αT 1=cos(1+α),T 2=cos(1-α),则T 1与T 2的大小关系为________.答案T 1<T 2解析T 1-T 2=(cos 1cos α-sin 1sin α)-(cos 1cos α+sin 1sin α)=-2sin 1sin α<0.故T 1<T 2.11.(1)若bc -ad ≥0,bd >0,求证:a +b b ≤c +d d ;(2)已知c >a >b >0,求证:a c -a >bc -b .证明(1)∵bc ≥ad ,bd >0,∴c d ≥a b ,∴c d +1≥a b +1,∴a +b b ≤c +d d.(2)∵c >a >b >0,∴c -a >0,c -b >0.由a >b >0⇒1a <1b ,c >0⇒c a <c b ⇒c -a a <c -b b ,c -a >0,c -b >0⇒a c -a >b c -b.12.已知1<a <4,2<b <8,试求a -b 与a b 的取值范围.解因为1<a <4,2<b <8,所以-8<-b <-2.所以1-8<a -b <4-2,即-7<a -b <2.又因为18<1b <12,所以18<a b <42=2,即18<a b <2.13.设0<b <a <1,则下列不等式成立的是()A .ab <b 2<1B .12log b <12log a <0C .2b <2a <2D .a 2<ab <1答案C 解析方法一(特殊值法):取b =14,a =12.方法二(单调性法):0<b <a ⇒b 2<ab ,A 不对;y =12log x 在(0,+∞)上为减函数,∴12log b >12log a ,B 不对;a >b >0⇒a 2>ab ,D 不对,故选C.14.若a =ln 33,b =ln 44,c =ln 55,则()A .a <b <cB .c <b <aC .c <a <bD .b <a <c答案B 解析方法一对于函数y =f (x )=ln x x (x >e),y ′=1-ln x x 2,易知当x >e 时,函数f (x )单调递减.因为e<3<4<5,所以f (3)>f (4)>f (5),即c <b <a .方法二易知a ,b ,c 都是正数,b a =3ln 44ln 3=log 8164<1,所以a >b ;b c =5ln 44ln 5=log 6251024>1,所以b >c .即c <b <a .15.已知实数x ,y 满足a x >a y (0<a <1),则下列关系式恒成立的是()A .ln(x 2+1)>ln(y 2+1)B .sin x >sin yC .x 3<y 3D.1x 2+1>1y 2+1答案C 解析方法一因为实数x ,y 满足a x >a y (0<a <1),所以x <y .对于A ,取x =0,y =3,不成立;对于B ,取x =-π,y =π,不成立;对于C ,由于f (x )=x 3在R 上单调递增,故x 3<y 3成立;对于D ,取x =-2,y =1,不成立.故选C.方法二根据指数函数的性质得x <y ,此时x 2,y 2的大小不确定,故选项A ,D 中的不等式不恒成立;根据三角函数的性质,选项B 中的不等式也不恒成立;根据不等式的性质知,选项C 中的不等式成立.16.设0<b <a <1,则下列不等式成立的是()A .a ln b >b ln aB .a ln b <b ln aC .a e b <b e aD .a e b =b e a 答案B解析观察A ,B 两项,实际上是在比较ln b b 和ln a a 的大小,引入函数y =ln x x ,0<x <1.则y ′=1-ln x x 2,可见函数y =ln x x 在(0,1)上单调递增.所以ln b b <ln a a ,B 正确.对于C ,D 两项,引入函数f (x )=e x x ,0<x <1,则f ′(x )=x e x -e x x 2=(x -1)e x x 2<0,所以函数f (x )=e x x 在(0,1)上单调递减,又因为0<b <a <1,所以f (a )<f (b ),即e a a <e b b,所以a e b >b e a ,故选B.。

专题7.1不等关系与不等式的性质及一元二次不等式(2021年高考数学一轮复习专题)

专题7.1不等关系与不等式的性质及一元二次不等式(2021年高考数学一轮复习专题)

专题 不等关系与不等式的性质及一元二次不等式一、题型全归纳题型一 不等式性质的应用命题角度一 判断不等式是否成立【题型要点】判断不等式是否成立的方法(1)判断不等式是否成立,需要逐一给出推理判断或反例说明.(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时,可结合不等式的性质,对数函数、指数函数的性质进行判断. 【例1】(2020·石家庄质量检测)已知a >0>b ,则下列不等式一定成立的是( ) A .a 2<-ab B .|a |<|b | C.1a >1bD .(12)a >(12)b【解析】:通解:当a =1,b =-1时,满足a >0>b ,此时a 2=-ab ,|a |=|b |,⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b,所以A ,B ,D 不一定成立,因为a >0>b ,所以b -a <0,ab <0,所以1a -1b =b -a ab >0,所以1a >1b 一定成立,故选C.优解:因为a >0>b ,所以1a >0>1b ,所以1a >1b一定成立.故选C.【例2】若1a <1b <0,给出下列不等式:①1a +b <1ab ;①|a |+b >0;①a -1a >b -1b ;①ln a 2>ln b 2.其中正确的不等式是( )A .①①B .①①C .①①D .①①【解析】因为1a <1b <0,所以b <a <0,|b |>|a |,所以|a |+b <0,ln a 2<ln b 2,由a >b ,-1a >-1b 可推出a -1a >b -1b ,显然有1a +b<0<1ab ,综上知,①①正确,①①错误.命题角度二 比较两个数(式)大小的两种方法【题型要点】比较两个数(式)大小的3种方法【例1】若a =ln 33,b =ln 44,c =ln 55,则( )A .a <b <cB .c <b <aC .c <a <bD .b <a <c【解析】:法一:易知a ,b ,c 都是正数,b a =3ln 44ln 3=log 8164<1.所以a >b ;b c =5ln 44ln 5=log 6251 024>1.所以b >c .即c <b <a .法二:对于函数y =f (x )=ln xx ,y ′=1-ln x x 2,易知当x >e 时,函数f (x )单调递减.因为e<3<4<5,所以f (3)>f (4)>f (5),即c <b <a .【例2】已知a ,b 是实数,且e<a <b ,其中e 是自然对数的底数,则a b 与b a 的大小关系是 .【解析】:令f (x )=ln xx ,x >0,则f ′(x )=1-ln x x 2,当x >e 时,f ′(x )<0,即函数f (x )在x >e 时是减函数. 因为e<a <b ,所以ln a a >ln bb,即b ln a >a ln b ,所以ln a b >ln b a ,则a b >b a .命题角度三 求代数式的取值范围【题型要点】求代数式取值范围的方法利用不等式性质求某些代数式的取值范围时,多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围.解决此类问题,一般是利用整体思想,通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围,是避免错误的有效途径. 【例1】(2020·长春市质量检测(一))已知角α,β满足-π2<α-β<π2,0<α+β<π,则3α-β的取值范围是 .【解析】:设3α-β=m (α-β)+n (α+β)=(m +n )α+(n -m )β,则⎩⎪⎨⎪⎧m +n =3,n -m =-1,解得⎩⎪⎨⎪⎧m =2,n =1.因为-π2<α-β<π2,0<α+β<π,所以-π<2(α-β)<π,故-π<3α-β<2π.【例2】已知-1<x<4,2<y<3,则x-y的取值范围是________,3x+2y的取值范围是________.【解析】因为-1<x<4,2<y<3,所以-3<-y<-2,所以-4<x-y<2.由-1<x<4,2<y<3,得-3<3x<12,4<2y<6,所以1<3x+2y<18.题型二一元二次不等式的解法【题型要点】一元二次不等式的解法(1)对于常系数一元二次不等式,可以用分解因式法或判别式法求解,题目简单,情况单一.(2)含有参数的不等式的求解,往往需要对参数进行分类讨论.①若二次项系数为常数,需先将二次项系数化为正数,再考虑分解因式,对参数进行分类讨论,若不易分解因式,则可依据判别式符号进行分类讨论;①若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数是否能为零,以确定不等式是一次不等式还是二次不等式,再讨论二次项系数不为零的情形,以便确定解集的形式;①对方程的根进行讨论,比较大小,以便写出解集.(3)若一元二次不等式的解集为区间的形式,则区间的端点值恰对应相应的一元二次方程的根,要注意解集的形式与二次项系数的联系.【易错提醒】当不等式中二次项的系数含有参数时,不要忘记讨论其等于0的情况.命题角度一不含参数的一元二次不等式解一元二次不等式的四个步骤【例1】不等式0<x2-x-2≤4的解集为.【答案】:[-2,-1)①(2,3]【解析】:原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2-x -2>0,x 2-x -2≤4,即⎩⎪⎨⎪⎧x 2-x -2>0,x 2-x -6≤0,即⎩⎪⎨⎪⎧(x -2)(x +1)>0,(x -3)(x +2)≤0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x >2或x <-1,-2≤x ≤3. 借助于数轴,如图所示,原不等式的解集为{x |-2≤x <-1或2<x ≤3}.命题角度二 含参数的一元二次不等式解含参数的一元二次不等式的一般步骤【例2】解关于x 的不等式ax 2-(a +1)x +1<0.【解析】 若a =0,原不等式等价于-x +1<0,解得x >1.若a <0,原不等式等价于⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 1(x -1)>0,解得x <1a 或x >1.若a >0,原不等式等价于⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 1(x -1)<0. ①当a =1时,1a =1,⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 1(x -1)<0无解;①当a >1时,1a <1,解⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 1(x -1)<0,得1a <x <1;①当0<a <1时,1a >1,解⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 1(x -1)<0,得1<x <1a .综上所述,当a <0时,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><11x a x x 或; 当a =0时,解集为{x |x >1};当0<a <1时,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x x 11; 当a =1时,解集为①;当a >1时,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<11x a x.命题角度三 已知一元二次不等式的解集求参数【例3】已知不等式ax 2-bx -1>0的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<31-21-x x ,则不等式x 2-bx -a ≥0的解集是________.【解析】 由题意,知-12,-13是方程ax 2-bx -1=0的两个根,且a <0,所以⎩⎨⎧-12+⎝⎛⎭⎫-13=ba ,-12×⎝⎛⎭⎫-13=-1a ,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-6,b =5.即不等式x 2-bx -a ≥0为x 2-5x +6≥0,解得x ≥3或x ≤2.【例4】(2020·黄冈模拟)关于x 的不等式ax +b >0的解集是(1,+∞),则关于x 的不等式(ax +b )(x -2)<0的解集是( )A .(-∞,1)①(2,+∞)B .(-1,2)C .(1,2)D .(-∞,-1)①(2,+∞)【解析】因为关于x 的不等式ax +b >0的解集是(1,+∞),所以a >0,且-ba=1,所以关于x 的不等式(ax +b )(x -2)<0可化为⎪⎭⎫⎝⎛+a b x (x -2)<0,即(x -1)(x -2)<0,所以不等式的解集为{x |1<x <2}. 命题角度四 分式不等式的解法求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形,转化为整式不等式(组)求解.(1)f (x )g (x )>0(<0)①f (x )·g (x )>0(<0);(2)f (x )g (x )≥0(≤0)①⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x )≥0(≤0),g (x )≠0.【例5】不等式1-x 2+x≥1的解集为( )A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21,2 B.⎥⎦⎤ ⎝⎛21-2-,C .(-∞,-2)①⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+,21- D .(-∞,-2]①⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+,21- 【解析】:1-x 2+x ≥1①1-x 2+x -1≥0①1-x -2-x 2+x ≥0①-2x -12+x ≥0①2x +1x +2≤0①⎩⎪⎨⎪⎧(2x +1)(x +2)≤0x +2≠0①-2<x ≤-12.故选B.【例6】不等式2x +1x -5≥-1的解集为________.【解析】:将原不等式移项通分得3x -4x -5≥0,等价于⎩⎪⎨⎪⎧(3x -4)(x -5)≥0,x -5≠0,解得x >5或x ≤43.所以原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><534x x x 或. 题型三 一元二次不等式恒成立问题类型一 形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R )确定参数的范围【题型要点】一元二次不等式在R 上恒成立的条件【例1】若不等式(a -2)x 2+2(a -2)x -4<0对一切x ①R 恒成立,则实数a 的取值范围是 . 【解析】 当a -2=0,即a =2时,不等式为-4<0,对一切x ①R 恒成立.当a ≠2时,则⎩⎪⎨⎪⎧a -2<0,Δ=4(a -2)2+16(a -2)<0,即⎩⎪⎨⎪⎧a <2-2<a <2,解得-2<a <2,a 的取值范围是(-2,2].类型二 形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈[a ,b ])确定参数的范围【题型要点】形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ①R )恒成立问题的求解思路(1)根据函数的单调性,求其最值,让最值大于等于或小于等于0,从而求出参数的范围; (2)数形结合,利用二次函数在端点a ,b 处的取值特点确定不等式求参数的取值范围.【例2】(2020·江苏海安高级中学调研)已知对于任意的x ①(-∞,1)①(5,+∞),都有x 2-2(a -2)x +a >0,则实数a 的取值范围是 .【解析】 设f (x )=x 2-2(a -2)x +a .因为对于任意的x ①(-∞,1)①(5,+∞),都有f (x )=x 2-2(a -2)x +a >0, 所以Δ<0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0,1≤a -2≤5,f (1)≥0,f (5)≥0,解得1<a <4或4≤a ≤5,即1<a ≤5.类型三 形如f (x )≥0(f (x )≤0)(参数m ∈[a ,b ])确定x 的范围【题型要点】形如f (x )>0或f (x )<0(参数m ①[a ,b ])的不等式确定x 的范围时,要注意变换主元,一般地,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数.【例3】求使不等式x 2+(a -6)x +9-3a >0,|a |≤1恒成立的x 的取值范围. 【解析】 将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x -3)a +x 2-6x +9>0. 令f (a )=(x -3)a +x 2-6x +9,则-1≤a ≤1.因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立,所以 (1)若x =3,则f (a )=0,不符合题意,应舍去.(2)若x ≠3,则由一次函数的单调性,可得⎩⎪⎨⎪⎧f (-1)>0,f (1)>0,即⎩⎪⎨⎪⎧x 2-7x +12>0,x 2-5x +6>0,解得x <2或x >4. 则实数x 的取值范围为(-∞,2)①(4,+∞).题型四 转化与化归思想在不等式中的应用【题型要点】(1)一元二次不等式ax 2+bx +c >0(a ≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax 2+bx +c =0的根,也是函数y =ax 2+bx +c 与x 轴交点的横坐标.(2)二次函数y =ax 2+bx +c 的图象在x 轴上方的部分,是由不等式ax 2+bx +c >0的x 的值构成的;图象在 x 轴下方的部分,是由不等式ax 2+bx +c <0的x 的值构成的,三者之间相互依存、相互转化.【例1】(2020·内蒙古包头)不等式f (x )=ax 2-x -c >0的解集为{x |-2<x <1},则函数y =f (-x )的图象为( )【解析】由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a <0,-2+1=1a ,-2×1=-c a,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-1,c =-2,则函数y =f (-x )=-x 2+x +2,结合选项可知选C.【例2】a ,b 是关于x 的一元二次方程x 2-2mx +m +6=0的两个实根,则(a -1)2+(b -1)2的最小值是( ) A .-494B .18C .8D .-6【解析】:因为关于x 的一元二次方程x 2-2mx +m +6=0的两个根为a ,b ,所以⎩⎪⎨⎪⎧a +b =2m ,ab =m +6,且Δ=4(m 2-m -6)≥0,解得m ≥3或m ≤-2.所以y =(a -1)2+(b -1)2=(a +b )2-2ab -2(a +b )+2=4m 2-6m -10=4⎝⎛⎭⎫m -342-494. 由二次函数的性质知,当m =3时,函数y =4m 2-6m -10取得最小值,最小值为8.故选C.二、高效训练突破 一、选择题1.(2020·潍坊模拟)已知集合A ={x |x 2-2x -3≥0},B ={x |-2≤x ≤2},则A ∩B =( ) A .[-2,-1] B .[-1,2] C .[-1,1]D .[1,2]【解析】A ={x |x 2-2x -3≥0}={x |(x -3)(x +1)≥0}={x |x ≤-1或x ≥3},又B ={x |-2≤x ≤2},所以A ∩B ={x |-2≤x ≤-1}.2.若正实数a ,b 满足a >b ,且ln a ·ln b >0,则( )A.1a >1bB .a 2<b 2C .ab +1>a +bD .lg a +lg b >0【解析】由已知得a >b >1或0<b <a <1,因此必有1a <1b,a 2>b 2,所以A ,B 错误;又ab >1或0<ab <1,因此lg a +lg b =lg (ab )>0或lg (ab )<0,所以D 错误;而ab +1-(a +b )=(a -1)(b -1)>0,即ab +1>a +b ,所以C 正确.3.已知a >0>b ,则下列不等式一定成立的是( ) A .a 2<-ab B .|a |<|b | C.1a >1bD .ba ⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛2121【解析】:法一:当a =1,b =-1时,满足a >0>b ,此时a 2=-ab ,|a |=|b |,ba⎪⎭⎫⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛2121,所以A ,B ,D 不一定成立.因为a >0>b ,所以b -a <0,ab <0,所以1a -1b =b -a ab >0,所以1a >1b 一定成立,故选C.法二:因为a >0>b ,所以1a >0>1b ,所以1a >1b一定成立,故选C.4.(2020·安徽淮北一中(文)模拟)若(x -1)(x -2)<2,则(x +1)(x -3)的取值范围是( ) A .(0,3) B .[-4,-3) C .[-4,0) D .(-3,4]【解析】:由(x -1)(x -2)<2解得0<x <3,函数y =(x +1)(x -3)的图象的对称轴是直线x =1,故函数在(0,1)上单调递减,在(1,3)上单调递增,在x =1处取得最小值,最小值为-4,在x =3处取值为0,在x =0处取值为-3,故(x +1)(x -3)的取值范围为[-4,0).5.若不等式x 2-2x +5≥a 2-3a 对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围为( )A .[-1,4]B .(-∞,-2]①[5,+∞)C .(-∞,-1]①[4,+∞)D .[-2,5] 【解析】:.x 2-2x +5=(x -1)2+4的最小值为4,所以x 2-2x +5≥a 2-3a 对任意实数x 恒成立, 只需a 2-3a ≤4即可,解得-1≤a ≤4.6.(2020·湖南益阳4月模拟)已知函数f (x )=ax 2+(a +2)x +a 2为偶函数,则不等式(x -2)f (x )<0的解集为( ) A .(-2,2)①(2,+∞) B .(-2,+∞) C .(2,+∞)D .(-2,2)【解析】:因为函数f (x )=ax 2+(a +2)x +a 2为偶函数,所以a +2=0,得a =-2,所以f (x )=-2x 2+4,所以不等式(x -2)f (x )<0可转化为⎩⎪⎨⎪⎧x -2<0,f (x )>0或⎩⎪⎨⎪⎧x -2>0,f (x )<0,即⎩⎪⎨⎪⎧x <2,-2x 2+4>0或⎩⎪⎨⎪⎧x >2,-2x 2+4<0,解得-2<x <2或x >2.故原不等式的解集为(-2,2)①(2,+∞).故选A. 7.(2020·广东清远一中月考)关于x 的不等式ax -b <0的解集是(1,+∞),则关于x 的不等式 (ax +b )(x -3)>0的解集是( )A .(-∞,-1)①(3,+∞)B .(1,3)C .(-1,3)D .(-∞,1)①(3,+∞)【解析】关于x 的不等式ax -b <0的解集是(1,+∞),即不等式ax <b 的解集是(1,+∞),①a =b <0,①不等式(ax +b )(x -3)>0可化为(x +1)(x -3)<0,解得-1<x <3,①所求解集是(-1,3).故选C. 8.设实数x ,y 满足0<xy <4,且0<2x +2y <4+xy ,则x ,y 的取值范围是( ) A .x >2且y >2 B .x <2且y <2 C .0<x <2且0<y <2D .x >2且0<y <2【解析】:由题意得⎩⎪⎨⎪⎧xy >0,x +y >0,则⎩⎪⎨⎪⎧x >0,y >0,由2x +2y -4-xy =(x -2)·(2-y )<0,得⎩⎪⎨⎪⎧x >2,y >2或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <2,0<y <2,又xy <4,可得⎩⎪⎨⎪⎧0<x <2,0<y <2.9.(2020·天津市新华中学模拟)已知命题p :1a >14,命题q :①x ①R ,ax 2+ax +1>0,则p 成立是q 成立的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【解析】求解不等式1a >14可得0<a <4,对于命题q ,当a =0时,命题明显成立;当a ≠0时,有⎩⎪⎨⎪⎧a >0,Δ=a 2-4a <0,10.设a ,b ①R ,定义运算“①”和“①”如下:a ①b =⎩⎪⎨⎪⎧a ,a ≤b ,b ,a >b ,a ①b =⎩⎪⎨⎪⎧b ,a ≤b ,a ,a >b .若m ①n ≥2,p ①q ≤2,则( )A .mn ≥4且p +q ≤4B .m +n ≥4且pq ≤4C .mn ≤4且p +q ≥4D .m +n ≤4且pq ≤4【解析】:.结合定义及m ①n ≥2可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2,m ≤n 或⎩⎪⎨⎪⎧n ≥2,m >n ,即n ≥m ≥2或m >n ≥2,所以mn ≥4; 结合定义及p ①q ≤2,可得⎩⎪⎨⎪⎧p ≤2,p >q 或⎩⎪⎨⎪⎧q ≤2,p ≤q ,即q <p ≤2或p ≤q ≤2,所以p +q ≤4. 11.(2020·安徽蒙城五校联考)在关于x 的不等式x 2-(a +1)x +a <0的解集中至多包含2个整数,则实数a 的取值范围是( ) A .(-3,5) B .(-2,4) C .[-3,5]D .[-2,4]【解析】:因为关于x 的不等式x 2-(a +1)x +a <0可化为(x -1)(x -a )<0, 当a >1时,不等式的解集为{x |1<x <a };当a <1时,不等式的解集为{x |a <x <1},要使不等式的解集中至多包含2个整数,则a ≤4且a ≥-2,所以实数a 的取值范围是a ①[-2,4],故选D. 12.已知函数f (x )=-x 2+ax +b 2-b +1(a ①R ,b ①R ),对任意实数x 都有f (1-x )=f (1+x )成立,若当x ①[-1,1]时,f (x )>0恒成立,则b 的取值范围是( ) A .(-1,0)B .(2,+∞)C .(-∞,-1)①(2,+∞)D .不能确定【解析】:由f (1-x )=f (1+x )知f (x )的图象关于直线x =1对称,即a2=1,解得a =2.又因为f (x )开口向下,所以当x ①[-1,1]时,f (x )为增函数, 所以f (x )min =f (-1)=-1-2+b 2-b +1=b 2-b -2, f (x )>0恒成立,即b 2-b -2>0恒成立解得b <-1或b >2.二、填空题1.设a >b ,有下列不等式①a c 2>b c 2;①1a <1b ;①|a |>|b |;①a |c |≥b |c |,则一定成立的有________.(填正确的序号)【解析】:对于①,1c 2>0,故①成立;对于①,a >0,b <0时不成立;对于①,取a =1,b =-2时不成立;对于①,|c |≥0,故①成立.2.已知实数a ①(1,3),b ①⎪⎭⎫⎝⎛4181,,则a b的取值范围是________.【解析】:依题意可得4<1b <8,又1<a <3,所以4<ab <24,故答案为(4,24).3.不等式|x (x -2)|>x (x -2)的解集是________.【解析】:不等式|x (x -2)|>x (x -2)的解集即x (x -2)<0的解集,解得0<x <2.4.(2020·扬州模拟)若a 1<a 2,b 1<b 2,则a 1b 1+a 2b 2与a 1b 2+a 2b 1的大小关系是 . 【解析】:作差可得(a 1b 1+a 2b 2)-(a 1b 2+a 2b 1)=(a 1-a 2)·(b 1-b 2), 因为a 1<a 2,b 1<b 2,所以(a 1-a 2)(b 1-b 2)>0,即a 1b 1+a 2b 2>a 1b 2+a 2b 1.6.已知①ABC 的三边长分别为a ,b ,c 且满足b +c ≤3a ,则ca的取值范围为________.【解析】:由已知及三角形的三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧a <b +c ≤3a ,a +b >c ,a +c >b ,所以⎩⎪⎨⎪⎧1<b a +ca≤3,1+b a >ca ,1+c a >ba ,所以⎩⎨⎧1<b a +ca ≤3,-1<c a -b a <1,两式相加得,0<2×c a <4,所以ca的取值范围为(0,2).7.若x >y ,a >b ,则在①a -x >b -y ;①a +x >b +y ;①ax >by ;①x -b >y -a ;①a y >bx 这五个式子中,恒成立的不等式的序号是________.【解析】:令x =-2,y =-3,a =3,b =2.符合题设条件x >y ,a >b .因为a -x =3-(-2)=5,b -y =2-(-3)=5.所以a -x =b -y ,因此①不成立.因为ax =-6,by =-6,所以ax =by ,因此①不成立.因为a y =3-3=-1,b x =2-2=-1,所以a y =bx,因此①不成立.由不等式的性质可推出①①成立.8.已知函数f (x )=x 2+2x +ax,若对任意x ①[1,+∞),f (x )>0恒成立,则实数a 的取值范围是________.【解析】对任意x ①[1,+∞),f (x )>0恒成立.等价于x 2+2x +a >0,即a >-(x +1)2+1在[1,+∞)上恒成立,令g (x )=-(x +1)2+1,则g (x )在[1,+∞)上单调递减,所以g (x )max =g (1)=-3,所以a >-3.9.(2020·江西临川一中高考模拟)已知函数f (x )=x ln (3-x ),则不等式f (lg x )>0的解集为________.【解析】因为f (x )=x ln (3-x ),则⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0,3-x >0,解得0≤x <3,所以定义域为[0,3),因为f (x )=x ln (3-x )>0等价于⎩⎨⎧x >0,ln (3-x )>0,解得0<x <2,因为f (lg x )>0,所以⎩⎪⎨⎪⎧0≤lg x <3,0<lg x <2,x >0,解得1<x <100,所以解集为(1,100).10.已知函数f (x )=x 2+ax +b (a ,b ①R )的值域为[0,+∞),若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ,m +6),则实数c 的值为________.【解析】:由题意知f (x )=x 2+ax +b =22⎪⎭⎫ ⎝⎛+a x +b -a 24,f (x )的值域为[0,+∞),所以b -a 24=0,即b =a 24.所以f (x )=(x +a 2)2.又f (x )<c ,所以(x +a 2)2<c ,即-a 2-c <x <-a2+c .所以⎩⎨⎧-a2-c =m ①,-a2+c =m +6 ①.①-①,得2c =6,所以c =9.三 解答题1.求使不等式x 2+(a -6)x +9-3a >0,|a |≤1恒成立的x 的取值范围. 【解析】:将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x -3)a +x 2-6x +9>0. 令f (a )=(x -3)a +x 2-6x +9,因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立,所以 (1)若x =3,则f (a )=0,不符合题意,应舍去.(2)若x ≠3,则由一次函数的单调性,可得⎩⎪⎨⎪⎧f (-1)>0,f (1)>0,即⎩⎪⎨⎪⎧x 2-7x +12>0,x 2-5x +6>0,解得x <2或x >4则实数x 的取值范围为(-∞,2)①(4,+∞). 2.已知函数f (x )=ax 2+2ax +1的定义域为R .(1)求a 的取值范围;(2)若函数f (x )的最小值为22,解关于x 的不等式x 2-x -a 2-a <0. 【解析】:(1)因为函数f (x )=ax 2+2ax +1的定义域为R ,所以ax 2+2ax +1≥0恒成立,当a =0时,1≥0恒成立.当a ≠0时,则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0,Δ=(2a )2-4a ≤0,解得0<a ≤1, 综上可知,a 的取值范围是[0,1].(2)因为f (x )=ax 2+2ax +1=a (x +1)2+1-a ,因为a >0,所以当x =-1时,f (x )min =1-a ,由题意得,1-a =22,所以a =12,所以不等式x 2-x -a 2-a <0可化为x 2-x -34<0. 解得-12<x <32,所以不等式的解集为⎪⎭⎫⎝⎛2321-,.3已知函数f (x )=ax 2+(b -8)x -a -ab ,当x ①(-∞,-3)①(2,+∞)时,f (x )<0,当x ①(-3,2)时,f (x )>0. (1)求f (x )在[0,1]内的值域;(2)若ax 2+bx +c ≤0的解集为R ,求实数c 的取值范围.【解析】:(1)因为当x ①(-∞,-3)①(2,+∞)时,f (x )<0,当x ①(-3,2)时,f (x )>0. 所以-3,2是方程ax 2+(b -8)x -a -ab =0的两个根,所以⎩⎨⎧-3+2=8-ba,-3×2=-a -aba ,所以a =-3,b =5.所以f (x )=-3x 2-3x +18=-3221⎪⎭⎫ ⎝⎛+x +754.因为函数图象关于x =-12对称且抛物线开口向下,所以f (x )在[0,1]上为减函数,所以f (x )max =f (0)=18, f (x )min =f (1)=12,故f (x )在[0,1]内的值域为[12,18].(2)由(1)知不等式ax 2+bx +c ≤0可化为-3x 2+5x +c ≤0,要使-3x 2+5x +c ≤0的解集为R ,只需Δ=b 2-4ac ≤0,即25+12c ≤0,所以c ≤-2512,所以实数c 的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞1225--, 4.(2020·湖北孝感3月模拟)设关于x 的一元二次方程ax 2+x +1=0(a >0)有两个实根x 1,x 2.(1)求(1+x 1)(1+x 2)的值;(2)求证:x 1<-1且x 2<-1;(3)如果x 1x 2①⎥⎦⎤⎢⎣⎡10101,,试求a 的取值范围. 【解析】:(1)因为关于x 的一元二次方程ax 2+x +1=0(a >0)有两个实根x 1,x 2. 所以x 1+x 2=-1a ,x 1x 2=1a ,则(1+x 1)(1+x 2)=1+x 1+x 2+x 1·x 2=1-1a +1a =1.(2)证明:由Δ≥0,得0<a ≤14.设f (x )=ax 2+x +1,则f (x )的对称轴与x 轴交点横坐标x =-12a ≤-2,又由于f (-1)=a >0,所以f (x )的图象与x 轴的交点均位于点(-1,0)的左侧,故x 1<-1且x 2<-1. (3)由⎩⎨⎧x 1+x 2=-1a ,x 1·x 2=1a①(x 1+x 2)2x 1·x 2=x 1x 2+x 2x 1+2=1a .因为x 1x 2①⎣⎡⎦⎤110,10,所以1a =x 1x 2+x 2x 1+2①⎣⎡⎦⎤4,12110①a ①⎣⎡⎦⎤10121,14.又⎩⎪⎨⎪⎧a >0,Δ=1-4a ≥0①0<a ≤14, 所以a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤10121,14.。

7.1不等式

7.1不等式

• [答案] C
[解析]
令a=-2,b=1,符合a<b,但a2>b2,故A
2 2
b a 不正确;令a=1,b=2,符合a<b,但ab >ba , a > b ,故 B、D不正确,故选C.
• 3.二元一次不等式组与简单线性规划问 题 • (1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式 组. • (2)了解二元一次不等式的几何意义,能用 平面区域表示二元一次不等式组. • (3)会以实际情境中抽象出一些简单的二元 线性规划问题,并能加以解决.
4.基本不等式 a+b 2 ≥ ab(a,b>0) (1)了解不等式的证明过程 (2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
• 1.本部分内容在高考中所占分数约占 7%~12%. • 2.本部分考查的主要内容是:不等式的 性质,不等式的求解,不等式的证明,利 用均值不等式比较大小、求最值或取值范 围,简单的线性规划问题等.
• 3.命题规律:不等式的性质和解不等式 的问题多以一个选择题的形式出现,且多 与集合、简易逻辑、函数等知识相结合, 难度低.均值不等式是历年高考的重点考 查内容,考查方式多样,在客观题中出现, 一般只有一个选择或是填空,难度较低; 在解答题中出现,其应用范围几乎涉及高 中数学的所有章节,且常考常新,难度较 高.不等式的证明在近几年高考中考查较 少,且多以解答题的一个分支出现,但题 目往往非常灵活,难度高.线性规划问题 是近几年高考的一个新热点,几乎所有高
• 1.不等关系
• 了解现实世界和日常生活中存在大量的不 等关系,了解不等式(组)的实际背景. • 2.一元二次不等式 • (1)会从实际情景中抽象出一元二次不等式 模型. • (2)通过函数图像了解一元二次不等式与相 应二次函数、一元二次方程的联系. • (3)会解一元二次不等式,对给定的一元二 次不等式,会设计求解的程序框图.

不等关系与不等式一元二次不等式及其解法

不等关系与不等式一元二次不等式及其解法

一、知识概述本周学习不等关系与不等式、一元二次不等式及其解法.首先学习不等关系与不等式的性质,通过具体情境,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值;掌握求解一元二次不等式的基本方法,并能解决一些实际问题;体会不等式、方程及函数之间的联系。

利用一元二次函数的图象及一元二次方程求解一元二次不等式;二、重难点知识归纳1、用不等号连接起来的式子表示不等关系,这样的式子叫不等式.不等式的常用的基本性质(1)a>b,b>c a>c(2)a>b a+c>b+c(3)a>b,c>0ac>bcc<0判别式解一元二次不等式的步骤:(1)将原不等式化成一般形式(或),把二次项的系数变为正数(如果是负,那么在不等式两边都乘以-1,把系数变为正).(2)求出对应的一元二次方程的根.(先看能否因式分解,若不能,再看△,然后求根)(3)根据一元二次函数的图象、二次方程的根确定一元二次不等式的解集.(根据一元二次方程的根及不等式的方向)三、典型例题剖析例1、解不等式.分析:令f(x)= ,△>0,即方程=0有两个不相等的实根,又图象开口向上,画出图象的示意图,由二次函数的零点和一元二次方程的根的关系知不等式的解集.解:因为△>0,方程=0的根是.所以不等式的解集是{x|x<-,或x>2}.例2、已知不等式ax2+5x+b>0的解为,求 a,b.分析:不等式ax2+5x+b>0的解为,则知二次函数y=ax2+5x+b的两个零点是x1=,x2=,由二次函数的零点与一元二次方程的关系知x1=,x2=是方程ax2+5x+b=0的两个实数根,由根与系数的关系得到关于a,b的方程组.解:因为不等式ax2+5x+b>0的解为,所以x1=,x2=是方程ax2+5x+b=0的两个实数根,所以解得例3、已知不等式x2-ax-b<0的解集是{x|2<x<3},求不等式bx2-ax-1>0的解集.分析:一元二次不等式的解集是由一元二次方程的根及首项系数的正、负,不等式是大于还是小于零确定的,不等式x2-ax-b<0的解集是{x|2<x<3},则x=2,x=3是方程x2-ax-b=0的两根,求出a,b再解不等式.解:因为不等式x2-ax-b<0的解集是{x|2<x<3},从而 a=2+3=5,b=-(2×3)=-6,于是-6x2-5x-1>0,即6x2+5x+1<0.因△>0,方程 6x2+5x+1=0 的两根为:故所求不等式的解集为.小结:解一元二次不等式时,首先一定要使二次项系数为正数,其次要知道解集是由方程的根来给出,从而知道解集时,可求不等式系数.例4、假设国家收购某种农副产品的价格是120元/担,其中征税标准是每100元征税8元(叫做税率是8个百分点,即8%),计划可收购m万担,为了减轻农民负担,决定税率降低x个百分点,预计收购量可增加2x个百分点,要使此项税收在税率降低后不低于原计划的78%,试确定x的取值范围.分析:此为应用题,关键是审好题,从中建立出数学模型进行求解.解答:税率降低后是(8-x)%,收购量为m(1+2x%)万担,税收为120m(1+2x%)(8-x)%万元,原来的税收为120m·8%万元,根据题意可得120m(1+2x%)(8-x)%≥120m·8%·78%,即x2+42x-88≤0,解之-44≤x≤2,又 x>0,∴ 0<x≤2,∴x 的取值范围是{x|0<x≤2}.例5、若不等式组的整数解只有-2,k应取怎样的值.分析:针对第二个不等式的解集展开讨论.解:由,解得x<-1或x>2,再由,得①当时,,①的解为,这时原不等式组的解为,显然不包括-2,不合题意,舍去;当时,,①的解为,这里原不等式组的解为(Ⅰ),或(Ⅱ)欲保证不等式组的解中只有整数解-2,由(Ⅰ)可得k<2,由(Ⅱ)可得k≥-3,即有-3≤k<2.当,即时,①无解,此时,不等式组也无解.综上所述,只有当时,原不等式组的整数解只有-2.。

新课标高考数学一轮复习第七章不等式7.1不等关系与不等式课件理

新课标高考数学一轮复习第七章不等式7.1不等关系与不等式课件理

A.-2<a-b<0
B.-2<a-b<-1
C.-1<a-b<0
D.-1<a-b<1
解:-1<a<1,-1<-b<1⇒-2<a-b <2.又 a<b,则-2<a-b<0.故选 A.
第五页,共26页。
(2016·四川成都模拟)若 a<b<0,则下
列不等式中一定成立的是( A.1a<1b
)
B.12a<12b
第三页,共26页。
自查自纠
1.>0 =0 <0
2 . (1)b<a (2)a>c (3)>
ac<bc (5)a+c>b+d (7)ac>bd (10)an>bn(n∈N 且 n≥2)
n (11)
n a>
Hale Waihona Puke b(n∈N且n≥2)
(4)ac>bc
第四页,共26页。
(教材题改编)若-1<a<b<1,则( )
解:a,b,c 是实数,若 a>b>c>0,不等式 a+b>c 成立;a,b,c 是实数,若 a>0>b>c, 不等式 a+b>c 成立;a,b,c 是实数,若 0>a>b >c,a+b=c,不等式 a+b>c 不成立,一组整 数 a,b,c 的值为负数,依次为-1,-2,-3. 故填-1,-2,-3.
第二十一页,共26页。
(2)(2016·云南模拟)若-1≤lgxy≤2,1≤lg(xy)≤4, 则 lgxy2的取值范围是________.
解:由 1≤lg(xy)≤4,-1≤lgxy≤2, 得 1≤lgx+lgy≤4,-1≤lgx-lgy≤2, 则 lgxy2=2lgx-lgy=12(lgx+lgy)+32(lgx-lgy), 所以-1≤lgxy2≤5.故填[-1,5].

数学培优之不等关系与一元二次不等式

数学培优之不等关系与一元二次不等式

1.不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景. 2.一元二次不等式(1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.(2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. (3)会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图.一、不等关系 1.不等式的概念(1)现实世界与日常生活中,与等量关系一样,不等量关系也是自然界中存在着的基本数量关系. (2)用数学符号“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系,含有这些不等号的式子,叫做不等式. 2.两个实数大小的比较(1)作差法:设a ,b ∈R ,则0a b a b >⇔->,a <b ⇔a −b <0. (2)作商法:设a >0,b >0,则a >b ⇔1a b >,a <b ⇔1ab<. 3.不等式的性质(1)实数的大小顺序与运算性质的关系 ①a >b ⇔0a b ->; ②0a b a b =⇔-=; ③a <b ⇔0a b -<. (2)不等式的性质①对称性:a b b a >⇔<;(双向性)②传递性:a >b ,b >c ⇒a c >;(单向性) ③可加性:a >b ⇔a +c >b +c ;(双向性) ④a >b ,c >d ⇒a c b d +>+;(单向性)⑤可乘性:,0a b c ac bc >>⇒>;(单向性) a >b ,c <0⇒ac <bc ;(单向性) ⑥a >b >0,c >d >0⇒ac bd >;(单向性)⑦乘方法则:()0,1n n a b a b n n >>⇒>∈≥N ;(单向性)⑧开方法则:a >b >0>n ∈N ,n ≥2).(单向性)注意:(1)应用传递性时,若两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号,则等号无法传递. (2)可乘性中,要特别注意“乘数c ”的符号. 4.必记结论 (1)a >b ,ab >0⇒11a b<. (2)a <0<b ⇒11a b<. (3)a >b >0,0<c <d ⇒a b c d>. (4)0<a <x <b 或a <x <b <0⇒111b x a<<. (5)若a >b >0,m >0,则b b m a a m +<+;b b m a a m->-(b −m >0); a a m b b m +>+;a a m b b m-<-(b −m >0). 二、一元二次不等式及其解法 1.一元二次不等式的概念我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式称为一元二次不等式,有下列三种形式:(1)一般式:2(0)y ax bx c a =++≠;(2)顶点式:224()(0)24b ac b y a x a a a-=++≠; (3)两根式:12()()(0)y a x x x x a =--≠.2.三个“二次”之间的关系2(,)x +∞3.一元二次不等式的解法由一元二次不等式与相应的方程、函数之间的关系可知,求一元二次不等式的解集的步骤如下: (1)变形:将不等式的右边化为零,左边化为二次项系数大于零的不等式,即20(0)ax bx c a ++>>或20(0)ax bx c a ++<>;(2)计算:求出相应的一元二次方程(20(0)ax bx c a ++=>)的根,有三种情况:0,0∆,∆∆=0<>; (3)画图:画出对应二次函数的图象的草图;(4)求解:利用二次函数的图象与x 轴的交点确定一元二次不等式的解集. 可用程序框图表示一元二次不等式的求解过程,如图.4.一元二次不等式恒成立问题(1)20(0)ax bx c a ++>≠恒成立的充要条件是:0a >且240()b ac x -<∈R . (2)20(0)ax bx c a ++≥≠恒成立的充要条件是:0a >且240()b ac x -≤∈R .(3)20(0)ax bx c a ++<≠恒成立的充要条件是:0a <且240()b ac x -<∈R . (4)20(0)ax bx c a ++≤≠恒成立的充要条件是:0a <且240()b ac x -≤∈R .(5)20ax bx c ++>恒成立的充要条件是:0a b ==且0c >或0a >且240()b ac x -<∈R . (6)20ax bx c ++<恒成立的充要条件是:0a b ==且0c <或0a <且240()b ac x -<∈R .考向一 比较大小比较大小的常用方法:(1)作差法的一般步骤是:作差,变形,定号,得出结论.注意:只需要判断差的符号,至于差的值究竟是什么无关紧要,通常将差化为完全平方式的形式或者多个因式的积的形式.(2)作商法的一般步骤是:作商,变形,判断商与1的大小,得出结论. 注意:作商时各式的符号为正,若都为负,则结果相反. (3)介值比较法:①介值比较法的理论根据是:若a >b ,b >c ,则a >c ,其中b 是a 与c 的中介值. ②介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩,找出一个比较合适的中介值. (4)利用单调性比较大小.(5)函数法,即把要比较的数值通过构造函数转化为该函数的函数值,然后利用函数的单调性将其进一步转化为自变量的大小问题来解决.典例1 若,,,试比较,,的大小.典例2 已知0<a <b <1,则ba ,logb a ,1log ab 的大小关系是A .1log ab <b a <log b a B .1log ab <log b a <baC .log b a <1log ab <ba D .ba <1log ab <log b a【答案】A【解析】因为0<a <b <1,所以001b a a <<=,log log 1b b a b >=,又1a >1,所以1log ab <1log 1a=0. 综上,得1log ab <ba <logb a .故选A.【名师点睛】在用介值法比较时,中介值一般是通过放缩变形,得到一个中间的参照式(或数),其放缩的手段可能是基本不等式、三角函数的有界性等.1.设a >b >0,求证:2222a b a ba b a b-->++. 考向二 求范围的问题求范围的问题需用到不等式的性质,熟记不等式性质中的条件与结论是基础,灵活运用是关键.在使用不等式的性质时,一定要注意不等式成立的前提条件,特别是不等式两端同时乘以或同时除以一个数、两个不等式相乘、一个不等式两端同时求n 次方时,一定要注意其成立的前提条件,如果忽视前提条件就可能出现错误. 学科¥网 求范围的一般思路是:(1)借助性质,转化为同向不等式相加进行解答; (2)借助所给条件整体使用,切不可随意拆分所给条件; (3)结合不等式的传递性进行求解;(4)要注意不等式同向可乘性的适用条件及整体思想的运用.典例3 设实数x ,y 满足212xy ≤≤,223x y ≤≤,则47x y的取值范围是______.【答案】[]2,27【解析】因为()324272x y x y xy⎛⎫⎪⎝⎭=,()322282714x xy y ⎛⎫≤≤≤≤ ⎪⎝⎭,, 所以47827[,][2,27]41x y ∈=.典例4 若二次函数y =f (x )的图象过原点,且)12(1f -≤≤,()314f ≤≤,求f (-2)的取值范围. 【解析】方法一:∵二次函数y =f (x )的图象过原点,∴可设2(0())f x ax bx a =+≠.易知()()11f a bf a b=+⎧⎪⎨-=-⎪⎩,∴()()()()11121112a f fb f f⎧=+-⎡⎤⎣⎦⎪⎪⎨⎪=--⎡⎤⎣⎦⎪⎩.【名师点睛】同向不等式只能相加,不能相减.2.已知正数满足20350x yx y-≤⎧⎨-+≥⎩,则142yxz-⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭的最小值为A.1 BC.116D.132考向三一元二次不等式的解法1.解不含参数的一元二次不等式的方法:(1)若不等式对应的一元二次方程能够因式分解,即能够转化为几个代数式的乘积形式,则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集.(2)若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式,不论取何值,完全平方式始终大于或等于零,不等式的解集易得.(3)若上述两种方法均不能解决,则应采用求一元二次不等式的解集的通法,即判别式法.2.在解答含有参数的一元二次不等式时,往往要对参数进行分类讨论,为了做到分类“不重不漏”,一般从如下三个方面进行考虑:(1)关于不等式类型的讨论:若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数是否为零,以确定不等式是一次不等式还是二次不等式,然后再讨论二次项系数不为零的情形,以便确定解集的形式; (2)关于不等式对应的方程的根的讨论:两根(∆>0),一根(∆=0),无根(∆<0); (3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论:121212,,x x x x x x >=<. 学#科网典例5 解下列不等式: (1)2230x x --+≥. (2)24410x x +≤+.典例6 已知函数. (1)当时,解关于的不等式;(2)若,解关于的不等式.【解析】(1)当时,,可得,,的解集为.当时,不等式的解集为;当时,不等式的解集为1{|2}x x a≤≤.3.不等式的解集为A .B .C .D .4.已知是偶函数,是奇函数,且=. (1)求和的解析式;(2)设(其中),解不等式.考向四 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间关系的应用一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系.在解决具体的数学问题时,要注意三者之间的相互联系,并在一定条件下相互转换.(1)若一元二次不等式的解集为区间的形式,则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根,要注意解集的形式与二次项系数的联系.(2)若一元二次不等式的解集为R 或∅,则问题可转化为恒成立问题,此时可以根据二次函数图象与x 轴的交点情况确定对应一元二次方程的判别式的符号,进而求出参数的取值范围. 学#科网典例7 已知函数. (1)当时,解关于a 的不等式;(2)若关于x 的不等式的解集是(-1,4),求实数a ,c 的值.典例8 已知关于的不等式2230kx x k -+<.(1)若不等式的解集为,求的值;(2)若不等式的解集为∅,求实数的取值范围.5.若不等式的解集是11,23⎛⎫-⎪⎝⎭,则的值是 A .B .C .14D .10考向五 一元二次不等式的应用对于分式不等式和高次不等式,它们都可以转化为一元二次不等式或利用一元二次不等式的思想求解. 1.分式不等式的解法若()f x 与()g x 是关于x 的多项式,则不等式()0()f xg x >(或<0,或≥0,或≤0)称为分式不等式.解分式不等式的原则是利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式(组)求解.即()0()0()0()()0()0()0()f x f x f x f x g x g x g x g x ><⎧⎧>⇒⇒⋅>⎨⎨><⎩⎩或; ()0()0()0()()0()0()0()f x f x f x f x g x g x g x g x ><⎧⎧<⇒⇒⋅<⎨⎨<>⎩⎩或;()()0()0()()0()0()0()f x g x f x f x g x f x g x g x ⋅≥⎧≥⇒⇒⋅>=⎨≠⎩或; ()()0()0()()0()0()0()f x g x f x f x g x f x g x g x ⋅≤⎧≤⇒⇒⋅<=⎨≠⎩或.对于形如()()f xg x >a (或<a )的分式不等式,其中a ≠0,求解的方法是先把不等式的右边化为0,再通过商的符号法则,把它转化为整式不等式求解. 2.高次不等式的解法不等式的最高次项的次数高于2的不等式称为高次不等式.解高次不等式常用的方法有两种:(1)将高次不等式()0(0)f x ><中的多项式()f x 分解成若干个不可约因式的乘积,根据实数运算的符号法则,把它等价转化为两个或多个不等式(组).于是原不等式的解集就是各不等式(组)解集的并集. (2)穿针引线法:①将不等式化为标准形式,一端为0,另一端为一次因式(因式中x 的系数为正)或二次不可约因式的乘积; ②求出各因式的实数根,并在数轴上标出;③自最右端上方起,用曲线自右向左依次由各根穿过数轴,遇奇次重根穿过,遇偶次重根穿而不过(奇过偶不过);④记数轴上方为正,下方为负,根据不等式的符号写出解集.典例9 不等式()()23310x x x --+>的解集为_________. 【答案】()1,0,33⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】不等式()()23310x x x --+>可转化为,且方程()()3310x x x -+=的根为12310,3,3x x x ===-, 则由穿针引线法可得原不等式的解集为()1,0,33⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.典例10 解关于x 的不等式:2x ax a -- <0(a ∈R ). 【解析】原不等式等价于:(x -a )(x -a 2)<0,其对应方程的两根为x 1=a ,x 2=a 2.6.不等式102xx-≥+的解集为 A .[]2,1- B .(]2,1- C .()(),21,-∞-+∞ D .(](),21,-∞-+∞7.求下列不等式的解集: (1)25123x x x -≥--; (2)()()()3212110x x x --+<.考向六 含参不等式恒成立问题的求解策略解决含参不等式恒成立问题的关键是转化与化归思想的运用,从解题策略的角度看,一般而言,针对不等式的表现形式,有如下四种策略:(1)变换主元,转化为一次函数问题. 解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数.参数和未知数是相互牵制、相互依赖的关系,有时候变换主元,可以起到事半功倍的效果. 学科@网 (2)联系不等式、函数、方程,转化为方程根的分布问题.(3)对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方.常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.即①若()f x 在定义域内存在最大值m ,则()f x a <(或()f x a ≤)恒成立⇔a m >(或a m ≥); ②若()f x 在定义域内存在最小值m ,则()f x a >(或()f x a ≥)恒成立⇔a m <(或a m ≤);③若()f x 在其定义域内不存在最值,只需找到()f x 在定义域内的最大上界(或最小下界)m ,即()f x 在定义域内增大(或减小)时无限接近但永远取不到的那个值,来代替上述两种情况下的m ,只是等号均可以取到. (4)转化为两个函数图象之间的关系,数形结合求参数. 在不等式恒成立问题的处理中,若能画出不等式两边相应的函数图象,恒成立的代数问题立即变得直观化,等价的数量关系式随之获得,数形结合可使求解过程简单、快捷.典例11 已知二次函数,且不等式的解集为,对任意的都有恒成立. (1)求的解析式;(2)若不等式在上有解,求实数的取值范围.∵,∴2212223x x x k -≤-⋅+,设,则22tk t ≤+,又∵2122t t t t=≤++即时取得最大值,∴,即实数的取值范围为⎛-∞⎝⎦. 典例12 已知函数()21f x mx mx =--.(1)若对于x ∈R ,f (x )<0恒成立,求实数m 的取值范围; (2)若对于x ∈[1,3],f (x )<5-m 恒成立,求实数m 的取值范围.8.若不等式对任意恒成立,则实数的取值范围是A .B .C .D .9.若函数的定义域为,则实数的取值范围为A .B .C .D .1.设,则下列结论中正确的是A .c c a b< B .11ac bc> C .a c b c <D .22ac bc >2.设 4.20.60.60.6,7,log 7a b c ===,则,,a b c 的大小关系是 A .c b a << B .c a b << C .b c a << D .a b c <<3.不等式()2521x x +≥-的解集是A .13,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B .1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C .(]1[,1)1,32D .(]1,11,32⎡⎫-⎪⎢⎣⎭4.实数,,满足且,则下列关系式成立的是 A . B . C .D .5.已知的大小关系为A .B .C .D .的大小关系不确定,与的取值有关6.设集合,则A .B .C .D .7.已知15,13a b a b ≤+≤-≤-≤,则32a b -的取值范围是 A .[]6,14- B .[]2,14- C .[]2,10-D .[]6,10-8.若不等式222424ax ax x x +-<+对任意实数x 均成立,则实数a 的取值范围是 A .(2,2)- B .(,2)(2,)-∞-+∞C .(2,2]-D .(,2]-∞- 9.已知下列四个条件:①;②;③;④,能推出11a b<成立的有 A .1个 B .2个 C .3个D .4个10.若关于的不等式23x ax a --≤-的解集不是空集,则实数的取值范围是A .[2,+∞)B .(-∞,-6]C .[-6,2]D .(-∞,-6]∪[2,+∞) 11.已知不等式的解集是,则不等式的解集是A .B .C .D .12.已知函数=的定义域是一切实数,则m 的取值范围是A .0<m ≤4B .0≤m ≤1C .m ≥1D .0≤m ≤413.设,a b 是不相等的正数,x y ==,则,x y 的大小关系是___________.(用“<”连接) 14.不等式的解集是___________.15.已知实数,则的取值范围是___________.16.函数()()2log 23(0,1)f x x x a a =-->≠的定义域为___________.17.已知关于的不等式的解集为,则__________. 18.已知实数满足:,,则的最小值是___________.19.若关于x 的不等式()()221121k x k x x x -+-+++>0的解集为R ,则k 的取值范围为___________.20.已知0a b >>,0c d <<,0e <,试比较e a c -与eb d-的大小.21.已知11222x y +≤-≤,12-≤3x+y ≤12,求9x+y 的取值范围.22.解下列不等式:(1);(2).23.已知不等式的解集为.(1)求实数的值;(2)若不等式的解集为,不等式的解集为,且,求实数的取值范围.24.已知不等式的解集是.(1)求,的值; (2)解不等式0c xax b->+(为常数) .25.(1)解关于的不等式a ;(2)已知不等式对一切实数恒成立,求实数的取值范围.26.已知函数.(1)若,且函数有零点,求实数的取值范围;(2)当时,解关于的不等式;(3)若正数满足,且对于任意的,恒成立,求实数的值.1.(2017新课标全国Ⅰ理科)设x 、y 、z 为正数,且235x y z ==,则A .2x <3y <5zB .5z <2x <3yC .3y <5z <2xD .3y <2x <5z2.(2017天津理科)已知奇函数()f x 在R 上是增函数,()()g x xf x =.若2(l o g 5.1)a g =-,0.8(2)b g =,(3)c g =,则a ,b ,c 的大小关系为 A .a b c << B .c b a << C .b a c <<D .b c a <<3.(2018新课标全国Ⅰ理科)已知集合{}220A x x x =-->,则A =R ð A .{}12x x -<< B .{}12x x -≤≤ C .}{}{|1|2x x x x <-> D .}{}{|1|2x x x x ≤-≥4.(2018新课标全国Ⅲ理科)设0.2log 0.3a =,2log 0.3b =,则A .0a b ab +<<B .0ab a b <+<C .0a b ab +<<D .0ab a b <<+5.(2016江苏)函数y的定义域是.1.【解析】方法一:∵左边-右边=()()()()()()()()2222222[]2a b a b a b ab a b aba b aba b -+-+-=++++>0,∴原不等式得证.方法二:∵a >b >0,∴2222a b a b-+>0,a b a b -+>0, ∴22222()211a b aba b a b+==+>++左边右边, 学.科网 ∴原不等式得证. 2.【答案】C3.【答案】B【解析】由题意易得:,即,∴,∴不等式的解集为.故选B.4.【解析】(1)由题意得()()f x g x -+-=22x x --,即()()f x g x -=22x x --, 联立得()f x =22x -,()g x =x . (2)由题意得,即()23130mx m x +--<,当0m =时,30x --<,解得3x >-; 当0m ≠时,()()130mx x -+<, 对应方程的两个根为1x =1m,2x =3-, 故当0m >时,易知13m >-, 不等式的解为13x m-<<;5.【答案】A 【解析】因为不等式的解集是11,23⎛⎫-⎪⎝⎭,所以一元二次方程的解是11,23-,所以11112,2323b a a-+=--⨯=,解得,则6.【答案】B【解析】102x x -≥+等价于()()()()120120,212020x x x x x x x ⎧-+≥-+≤⎪⇒∴-<≤⎨+≠+≠⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩,即解集为(]2,1-.故选B.7.【解析】(1)则()()()()()()11230310x x x x x x +--⎧-≤-+≠⎪⎨⎪⎩, 由穿针引线法可知原不等式的解集为][()1,12,3-.(2)()()()3212110x x x --+<即()()()3221110x x x --+>,利用穿针引线法可知不等式()()()3212110x x x --+<)()11,1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.8.【答案】C【解析】因为不等式对任意恒成立,所以,解得,即实数的取值范围是,故选C .9.【答案】A 【解析】对任意的,有恒成立, 所以或,得,故选A .1.【答案】D【解析】当0a b >>时,110a b <<,因为0c <,所以11,c c a b ac bc>>,排除A,B; 当0a b >>时,0a b <<,所以a c b c >,排除C .选D . 2.【答案】B 【解析】∵0< 4.20.6<1,0.67>1,0.6log 7<0,∴b >a >c ,选B . 学科#网5.【答案】【解析】由题可得,111111bb ba ab b a bm a a an b b b b-----+--⎛⎫===⋅ ⎪⎝⎭.因为,所以111,1ba bab b--⎛⎫>>⎪⎝⎭,所以111ba bab b--⎛⎫⋅>⎪⎝⎭,所以,即.故选C.当02≠-a 时,要使不等式恒成立,需20a ∆-<⎧⎨<⎩,解得22<<-a .所以a 的取值范围为]2,2(-. 9.【答案】C【解析】①中,因为0b a >>,所以110b a >>,因此①能推出11a b<成立; ②中,因为0a b >>,所以0ab >,所以a b ab ab >,所以11b a>,因此②正确; ③中,因为0a b >>,所以110a b >>,所以③不正确;④中,因为0a b >>,所以a b ab ab>,所以④正确; 故选C . 10.【答案】D【解析】因为关于的不等式的解集不是空集,所以()2430a a ∆=--≥,解得或,所以实数的取值范围是(][,6,)2-∞-+∞.故选D.12.【答案】C【解析】由题意可知:恒成立,当时,不等式不一定成立;当时,应有,且,解得.综上可得,m的取值范围是m≥1.选C.13.【答案】x y<【解析】由于,a b为不相等的正数,222a bx y+==,则22y x-=24=>,所以x y<.14.【答案】【解析】由题意得,不等式可化为,所以不等式的解集为. 15.【答案】【解析】由题意可得,当时,;当时,.综上可知,.19.【答案】[1,9)【解析】∵关于x 的不等式()()221121k x k x x x -+-+++>0的解集为R ,而x 2+x +1=+>0,∴(k ﹣1)x 2+(k ﹣1)x +2>0的解集为R .当k =1时,2>0恒成立,因此k =1满足条件.当k ≠0时,可得()210(1)810k k k ∆->⎧⎨=---<⎩,解得1<k <9. 综上,可得k 的范围为[1,9).20.【解析】e a c --e b d -=()()()()()()()b acde e b d a c a c b d a c b d ⎡⎤-+---+⎣⎦=----,0a b >>,0c d <<,∴0,0,0,0b a b d a c c d -<->->-<.又0e <,∴0e e a c b d ->--,∴e ea cb d>--. 21.【解析】方法一:设a (2x+y )+b (3x+y )=9x+y ,则2a+3b =9,a+b =1,22.【解析】(1),即,学……科网所以,即解集为.(2)分式不等式移项得2203xx+->-,即()23233xxx x-+->--,即343xx->-,即343xx-<-,根据穿针引线法,得,所以解集为.23.【解析】(1)依题意,得1,3是方程的两根,且,所以11313aaca⎧⎪<⎪⎪+=-⎨⎪⎪⨯=⎪⎩,解得1434ac⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.(2)由(1)得1434ac⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,所以,即为212304x x-+->,解得,所以.又,即为,解得,所以. 因为,所以,即.所以实数的取值范围是[)2,-+∞.25.【解析】(1)∵,∴方程的两根为或.当时,,此时不等式的解集为.当时,,此时不等式的解集为.(2)当时,或.当时,符合题意;当时不符合题意,所以.当时,需满足()()22223034230m m m m m --<-+--<⎧⎪⎨⎪⎩,解得.综上可得,的取值范围是. 学#科网1.【答案】D【解析】令235(1)xyzk k ===>, 则2log x k =,3log y k =,5log z k = ∴22lg lg3lg913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>,则23x y >, 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<,则25x z <, 故选D.【名师点睛】对于连等问题,常规的方法是令该连等为同一个常数,再用这个常数表示出对应的,,x y z ,通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则,尤其是换底公式以及0与1的对数表示.2.【答案】C【名师点睛】比较大小是高考的常见题型,指数式、对数式的大小比较要结合指数函数、对数函数,借助指数函数和对数函数的图象,利用函数的单调性、奇偶性等进行大小比较,要特别关注灵活利用函数的奇偶性和单调性,数形结合进行大小比较或解不等式.3.【答案】B 【解析】解不等式得,所以,所以可以求得{}|12A x x =-≤≤R ð,故选B .4.【答案】B【解析】∵0.2log 0.3a =,2log 0.3b =,.0.3030.211log ,lo 2g a b ∴==,0.311lo 0.g 4a b ∴+=,,即, 又,,即,故选B. 5.【答案】[3,1]- 【解析】要使函数式有意义,必有2320x x --≥,即2230x x +-≤,解得31x -≤≤.故答案为[3,1]-.。

7.1不等式的性质与一元二次不等式的解法

7.1不等式的性质与一元二次不等式的解法

3
3
1 1 B.a<b D.lg(b-a)<0
总结:特殊值法是判断命题真假时
常用到的一个方法,说明一个命题 为假命题时,可以用特殊值法,但
不能用特殊值法肯定一个命题,只
能用所学的知识严密证明.
巩固练习
(2012 年广东汕头一模)如果 a∈R,且 a2+a<0, 那么a,a2,-a,-a2 的大小关系式为( D ) B.a2>-a>a>-a2 A.a2>a>-a2>-a C.-a>a2>a>-a2 D.-a>a2>-a2>a
1.a,b∈R,若 a-|b|>0,则下列不等式中正确的是( D ) A.b-a>0 C.a2-b2<0 B.a3+b3<0 D.b+a>0
解析:用特殊值法:取 a=1,b=0,可排除 A, B,C.
2.(2013 年广东深圳二模)设 0<a<b<1,则下列不等式 成立的是( D )
A.a >b C.ab>1
解析:(特殊值法)∵a∈R,且 a2+a<0,可得-1<a<0,不 1 1 1 1 2 2 妨令 a=-2,可得-a=2,a =4,-a =-4,故有-a>a2> -a2>a.故选 D.
题型1 一元二次不等式的解法
例 1 求不等式-x +8x-3>0 的解集. 解一元二次不等式的一般步骤是:
①化为标准形式;②确定判别式Δ的符号;③若Δ≥0,
x2+2x+a 即 >4,x∈[1,+∞)恒成立. x
∴x2-2x+a>0对a∈[-1,1]恒成立.
把g(a)=a+(x2-2x)看成a的一次函数,
则使g(a)>0对a∈[-1,1]恒成立的条件是

第七章§7.1不等式及其解法

第七章§7.1不等式及其解法

<0 时ꎬ解集为 R.
2.三个“ 二次” 间的关系
判别式
Δ = b2 -4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数 y = ax2 +bx+c ( a> 0) 的图象
一元二次方程 ax2 +bx+c = 0 ( a> 0) 的根
有两相异实根 x1 ꎬx2( x1 <x2 )
ax2 +bx+c>0 ( a> 0) 的解集
数) ꎬ则
( )
A.x1 +x2 >1 C. 1 + 1 < 1
x1 x2 e 1-2 答案 A
B.x1 +x2 <1 D. 1 + 1 > 1
x1 x2 e
解析

x1 +x2 <ex1 x2

x2
>
0ꎬ得
x1 x2
<ex1 -1ꎬ

x1 >0ꎬx2 >0ꎬ∴
ex1 -1>
x1 x2
>0ꎬ
4.分式不等式的解法
{ (1)
f( x) g( x)
≥0⇔
f( x) ������g( x) ≥0ꎻ g( x) ≠0.
(2)
f( x) g( x)
>
0⇔f(
x)
������g(
x)
>
0.
对应学生用书起始页码 P117
一、不等式性质的应用
1.比较两个数或代数式的大小ꎬ一般用以下三种方法: (1) 当两个数( 或式子) 正负未知且为多项式时ꎬ用作差法. 步骤:①作差ꎻ②变形ꎻ③判断差的符号ꎻ④下结论. 变形技巧:①分解因式ꎻ②平方后再作差ꎻ③配方ꎻ④分子分
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2
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型二 一元二次不等式的解集
思维启迪 解析 思维升华
(2)若二次项系数为参数,则应先
【例2】 解集:
求下列不等式的
考虑二次项系数是否为零,确定 不等式是否是二次不等式,然后 再讨论二次项系数不为零的情 形,以便确定解集的形式;
(1)-x +8x-3>0; (2)ax2-(a+1)x+1<0.
解析 1 1 (1)由题意,知-2和3是一元二次方程 ax2+bx+2=0 的
数学
川(理)
§7.1 不等关系与一元 二次不等式
第七章 不等式
基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材
1.不等式的定义 在客观世界中,量与量之间的不等关系是普遍存在 的,我们用数学符号
>、<、≥、≤、≠
连接两个
数或代数式以表示它们之间的不等关系,含有这些不 等号的式子,叫做不等式.
基础知识
题型分类
或 x>1};
当 a=0 时, 解集为{x|x>1}; 当 0<a<1 时, 1 解集为{x|1<x< };当 a=1 时,解集 a 1 为∅;当 a>1 时,解集为{x| <x<1}. a
思想方法 练出高分
(1)-x2+8x-3>0; (2)ax2-(a+1)x+1<0.
基础知识
题型分类
题型分类·深度剖析
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型一
【例1】
c c (1)设a>b>1,c<0,给出下列三个结论:① > ; a b
不等式的性质及应用
②ac<bc;③logb(a-c)>loga(b-c).其中所有正确结论的序号 是 ( D )
思维启迪 利用不等式的性质进行变形,比较大小时要注意题设条件. A.① B.①② 1 1 C.②③ D.①②③ 解析 (1)∵a>b>1,∴ < . a b c c 又 c<0,∴ > ,故结论①正确; a b
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
题型分类·深度剖析
题型一 不等式的性质及应用
思维升华
判断多个不等式是否成立,需要逐一给出推理判断或反
例说明.常用的推理判断需要利用不等式的性质,常见的反例构成 方式可从以下几个方面思考:①不等式两边都乘以一个代数式 时,考察所乘的代数式是正数、负数或0;②不等式左边是正数, 右边是负数,当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变; ③不等式左边是正数,右边是负数,当两边同时取倒数后不等号 方向不变等.
A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c 1 1 1 1 1 (2)若 < <0,则下列不等式:① < ;②|a |+ b>0;③a- a b a a+b ab 1 >b- ;④ln a2>ln b2中,正确的不等式是 ( C ) b A.①④ B.②③ C.①③ D.②④
④中,因为b<a<0,根据y=x2在(-∞,0)上为减函数,可得 b2>a2>0,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
A.①④
B.②③
C.①③
题型分类·深度剖析
ln 2 ln 3 ln 5 跟踪训练1 (1)若 a= ,b= ,c= ,则 2 3 5 ( C )
A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c 1 1 1 1 1 (2)若 < <0,则下列不等式:① < ;②|a |+ b>0;③a- a b a a+b ab 1 >b- ;④ln a2>ln b2中,正确的不等式是 ( ) b A.①④ B.②③ C.①③ 1 1 故有 < ,即①正确; a+b ab D.②④
(2)①中,a2-b2=(a+b)(a-b)=1,a,b为正实数,若a-b≥1,
则必有a+b>1,不合题意,故①正确. 1 1 a-b ②中, - = =1,只需a-b=ab即可. b a ab
2 4 如取a=2,b= 满足上式,但a-b= >1,故②错. 3 3
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
题型二 一元二次不等式的解集
思维启迪 解析 思维升华
含有参数的不等式的求解,往
【例2】 解集:
求下列不等式的
往需要对参数进行分类讨论 .
(1)若二次项系数为常数,首先确 定二次项系数是否为正数,再考 虑分解因式,对参数进行分类讨 论,若不易分解因式,则可依据 判别式符号进行分类讨论;
(1)-x2+8x-3>0; (2)ax -(a+1)x+1<0.
(1)-x2+8x-3>0; (2)ax2-(a+1)x+1<0.
1<0,解得 x>1. 1 若 a<0,原不等式等价于(x- )(x- a 1 1)>0,解得 x< 或 x>1. a 1 若 a>0, 原不等式等价于(x- )(x-1)<0. a 1 1 ①当 a=1 时, =1,(x- )(x-1)<0 a a
而 y=ln x 在定义域(0,+∞)上为增函数, 所以 ln b2>ln a2,故④错误.
由以上分析,知①③正确.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
题型分类·深度剖析
题型二 一元二次不等式的解集
思维启迪 解析 思维升华
【例2】 解集:
求下列不等式的
(1)-x2+8x-3>0; (2)ax2-(a+1)x+1<0.
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型二 一元二次不等式的解集
思维启迪 解析 思维升华
【例2】 解集:
求下列不等式的
(1)可利用求根公式得到方程- x2+ 8x-3=0的解,再求不等 式的解集;
(2)含参数a,要进行分类讨论.
(1)-x2+8x-3>0; (2)ax2-(a+1)x+1<0.
1 1 ②当 a>1 时, <1, 解(x- )(x-1)<0 a a 1 得 <x<1; a
无解;
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型二 一元二次不等式的解集
思维启迪 解析 思维升华
【例2】 解集:
求下列不等式的
1 1 ③当 0<a<1 时, >1,解(x- )(x- a a 1 1)<0 得 1<x< . a 1 综上所述:当 a<0 时,解集为{x|x< a
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深Байду номын сангаас剖析
ln 2 ln 3 ln 5 跟踪训练1 (1)若 a= ,b= ,c= ,则 2 3 5 ( C )
A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c 1 1 1 1 1 (2)若 < <0,则下列不等式:① < ;②|a |+ b>0;③a- a b a a+b ab 1 >b- ;④ln a2>ln b2中,正确的不等式是 ( ) b D.②④ b 2ln 3 解析 (1)易知 a,b,c 都是正数, =3ln 2=log89>1, a a 5ln 2 所以 b>a; =2ln 5=log2532>1,所以 a>c. 即 c<a<b.故选 C. c 1 1 (2)由 < <0,可知 b<a<0. a b 1 1 ①中,因为 a+b<0,ab>0,所以 <0, >0. ab a+b
(1)-x2+8x-3>0; (2)ax -(a+1)x+1<0.
2
所以原不等式的解集为 {x|4 - 13 <x<4+ 13}.
题型分类 思想方法 练出高分
基础知识
题型分类·深度剖析
题型二 一元二次不等式的解集
思维启迪 解析 思维升华
(2)若 a=0,原不等式等价于-x+
【例2】 解集:
求下列不等式的
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
基础知识·自主学习
要点梳理
4.“ 三个二次 ”的关系 判别式 Δ=b2- 4ac 二次函数 y=ax2+ bx + c(a>0)的图象 一元二次方程 ax2+ bx 有两相异实根 + c= 0(a>0)的根 x1,x2(x1<x2) ax2+ bx+ c>0 (a>0)的 解集 ax2+ bx+ c<0(a>0)的 解集
③中,a,b为正实数,所以 a+ b>| a- b|=1,
且|a-b|=|( a+ b)( a- b)|=| a+ b|>1,故③错.
④中,|a3-b3 |=|(a-b)(a2+ab+b2)|=|a-b|(a2+ab+b2)=1.
若|a-b|≥1,不妨取a>b>1,则必有a2+ab+b2>1,不合题意,故 ④正确.
题型分类·深度剖析
题型一 不等式的性质及应用
(2)(2012· 四川)设a,b为正实数.现有下列命题: 1 1 2 2 ①若a -b =1,则a-b<1;②若 - =1,则a-b<1;③若| a - b a b |=1,则|a-b|<1;④若|a3-b3|=1,则|a-b|<1. ①④ 其中的真命题有________.( 写出所有真命题的编号 )
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