最新精选北京市顺义区精选高二上期末数学检测试卷(理)(含答案)(已纠错)
2022-2023学年北京市顺义区高二(上)期末数学试卷(含答案解析)
2022-2023学年北京市顺义区高二（上）期末数学试卷1. 下列直线中，斜率为1的是( )A. x+y−2=0B. x−1=0C. x−y+1=0D. x−√2y−1=02. 已知甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶概率为0.8，乙中靶概率为0.7，且两人是否中靶相互独立．若甲、乙各射击一次，则两人都中靶的概率为( )A. 0.56B. 0.14C. 0.24D. 0.943. 若直线x−ay=0与直线2x+y−1=0的交点为(1,y0)，则实数a的值为( )A. −1B. −12C. 1D. 24. 已知圆C：x2+y2−4y+3=0，则圆C的圆心和半径为( )A. 圆心(0,2)，半径r=1B. 圆心(2,0)，半径r=1C. 圆心(0,2)，半径r=2D. 圆心(2,0)，半径r=25. 农科院的专家为了了解新培育的甲、乙两种麦苗的长势情况，从种植有甲、乙两种麦苗的两块试验田中各抽取6株麦苗测量株高，得到的数据如下(单位：cm)：甲：9，10，10，11，12，20；乙：8，10，12，13，14，21.根据上述数据，下面四个结论中，正确的结论是( )A. 甲种麦苗样本株高的极差大于乙种麦苗样本株高的极差B. 甲种麦苗样本株高的平均值大于乙种麦苗样本株高的平均值C. 甲种麦苗样本株高的中位数大于乙种麦苗样本株高的中位数D. 甲种麦苗样本株高的方差小于乙种麦苗样本株高的方差6. 抛掷两颗质地均匀的正方体骰子，记下骰子朝上面的点数．设A=“两个点数之和等于8”，B=“至少有一颗骰子的点数为5”，则事件A∪B的概率是( )A. 118B. 29C. 718D. 497. 若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=√3x，则双曲线的离心率为( )A. √62B. 2√33C. √3D. 28. 在空间直角坐标系Oxyz中，点A(1,2,3)关于yOz平面对称的点的坐标为( )A. (−1,2,3)B. (1,−2,3)C. (1,2,−3)D. (−1,−2,−3)9. 已知椭圆C的焦点为F1(0,−2)，F2(0,2).过点F2的直线与C交于A，B两点．若△ABF1的周长为12，则椭圆C的标准方程为( )A. x29+y25=1 B. y29+x25=1 C. x236+y232=1 D. y236+x232=110. 如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别为B 1C 1，C 1D 1的中点，P 是底面A 1B 1C 1D 1上一点．若AP//平面BEF ，下列说法正确的是( )A. 线段AP 长度最大值为√5，无最小值B. 线段AP 长度最小值为3√22，无最大值 C. 线段AP 长度最大值为√5，最小值为3√22 D. 线段AP 长度无最大值，无最小值11. 某校高中三个年级共有学生2400人，其中高一年级有学生800人，高二年级有学生700人．为了了解学生参加整本书阅读活动的情况，现采用分层抽样的方法从中抽取容量为240的样本进行调查，那么在高三年级的学生中应抽取的人数为______.12. 已知圆x 2+y 2=1与圆(x −3)2+(y −4)2=r 2(r >0)相外切，则r =______.13. 如图，在四面体O −ABC 中，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，若OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x a ⃗ +y b ⃗ +z c ⃗ ，其中x ，y ，z ∈R ，则x =______，y =______，z =______.14. 已知点M 在抛物线x 2=4y 上，F 是抛物线的焦点，直线FM 交x 轴于点N ，若M 为线段FN 的中点，则焦点F 坐标是______，|FN|=______.15. 现代几何学用曲率概念描述几何体的弯曲程度．约定：多面体在每个顶点处的曲率等于2π减去该点处所有面角之和(多面体每个侧面的内角叫做多面体的面角)，一个多面体的总曲率等于该多面体各顶点处的曲率之和．例如：正方体在每个顶点处有3个面角，每个面角的大小是π2，所以正方体在各顶点处的曲率为2π−π2×3=π2.按照以上约定，四棱锥的总曲率为______；若正十二面体(图1)和正二十面体(图2)的总曲率分别为θ1和θ2，则θ1−θ2______0(填“>”，“<”或者“=”).16. 从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图． 组号分组 频数 1[0,2) c 2[2,4) 8 3[4,6) 17 4[6,8) 22 5[8,10) 25 6[10,12) 12 7[12,14) 6 8[14,16) 2 9[16,18) 2合计 100a ，b 的值；(Ⅰ)从一周阅读时间不低于14小时的学生中抽出2人做访谈，求2人恰好在同一个数据分组的概率．17. 如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=CC1=CB=2，且AC⊥CB，AA1⊥㡳面ABC，E为AB中点．(Ⅰ)求证：BC⊥A1C；(Ⅰ)求证：BC1//平面A1CE.18. 已知直线l：2x−y+4=0与x轴的交点为A，圆O：x2+y2=r2(r>0)经过点A. (Ⅰ)求r的值；(Ⅰ)若点B为圆O上一点，且直线AB垂直于直线l，求弦长|AB|.19. 如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1，AB=3，AD=AA1=2，点E在AB上，且AE=1. (Ⅰ)求直线A1E与直线BC1所成角的余弦值；(Ⅰ)求直线BC1与平面A1EC所成角的正弦值；(Ⅰ)求点A到平面A1EC的距离．20. 已知椭圆C：x2a2+y24=1(a>0)的焦点在x轴上，且经过点E(2,√2)，左顶点为D，右焦点为F.(Ⅰ)求椭圆C的离心率和△DEF的面积；(Ⅰ)已知直线y=kx+1与椭圆C交于A，B两点．过点B作直线y=4的垂线，垂足为G.判断直线AG是否于y轴交于定点？请说明理由．21. 对于正整数集合A={a1,a2,⋯,a n}(n∈N∗,n≥3)，如果去掉其中任意一个元素a i(i= 1,2,⋯,n)之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为平衡集．(Ⅰ)判断集合B={1,3,5,7,9}是否为平衡集，并说明理由；(Ⅰ)若集合A是平衡集，并且a1为奇数，求证：集合A中元素个数n为奇数；(Ⅰ)若集合A是平衡集，并且a1为奇数，求证：集合A中元素个数n≥7.答案和解析1.【答案】C【解析】解：直线x +y −2=0即y =−x +2，其斜率为−1；直线x −1=0即x =1，其斜率不存在；直线x −y +1=0即y =x +1，其斜率为1；直线x −√2y −1=0即y =√22x +√22，其斜率为√22.∴斜率为1的是x −y +1=0.故选：C.把直线方程变形，求得直线的斜率得答案．本题考查直线的方程，考查直线斜率的求法，是基础题．2.【答案】A【解析】解：因为甲中靶概率为0.8，乙中靶概率为0.7，且两人是否中靶相互独立，所以甲、乙各射击一次，则两人都中靶的概率为0.8×0.7=0.56.故选：A.根据相互独立事件的乘法公式求解即可．本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：∵直线x −ay =0与直线2x +y −1=0的交点为(1,y 0)，∴{1−ay 0=02+y 0−1=0，解得：a =−1. 故选：A.把两直线的交点坐标分别代入两直线方程，求解得答案．本题考查两直线交点的求法，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】A【解析】解：根据题意，圆C ：x 2+y 2−4y +3=0，即x 2+(y −2)2=1，即圆心为(0,2)，半径r =1；故选：A.根据题意，将圆的方程变为标准方程，分析可得答案．本题考查圆的一般方程，注意一般方程的形式，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：对于A ，甲种麦苗样本株高的极差为11，乙种麦苗样本株高的极差为13， 则甲种麦苗样本株高的极差小于乙种麦苗样本株高的极差，故A 错误；对于B ，x −甲=16×(9+10+10+11+12+20)=12，x −乙=16×(8+10+12+13+14+21)=13，故甲种麦苗样本株高的平均值小于乙种麦苗样本株高的平均值，故B 错误；对于C ，甲种麦苗样本株高的中位数为10+112=10.5，乙种麦苗样本株高的中位数为13+142=13.5， 则甲种麦苗样本株高的中位数小于乙种麦苗样本株高的中位数，故C 错误； 对于D ，甲种麦苗株高的方差S 12=16[(9−12)2+(10−12)2+(10−12)2+(11−12)2+(12−12)2+(20−12)2]=413， 乙种麦苗株高的方差S 22=16[(8−13)2+(10−13)2+(12−13)2+(13−13)2+(14−13)2+(21−13)2]=503， 所以甲种麦苗样本株高的方差小于乙种麦苗样本株高的方差，故D 正确．故选：D.根据已知条件，结合平均数，中位数，极差，方差公式，即可求解．本题主要考查中位数，平均数，极差和方差的求解，考查运算求解能力，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：根据题意，事件A ∪B 表示“两个点数之和等于8或至少有一颗骰子的点数为5”， 又抛掷两颗质地均匀的正方体骰子，记下骰子朝上面的点数，则基本事件总数为36种，事件A ∪B 包含的基本事件为：(2,6)，(6,2)，(3,5)，(5,3)，(4,4)，(5,1)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，(1,5)，(2,5)，(4,5)，(6,5)(5,5)共14种，则事件A ∪B 的概率为1436=718， 故选：C.根据和事件的概率的求法可解．本题考查和事件的概率的求法，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：∵双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线为y =√3x ，∴ba =√3， ∴e =√c 2a 2=√a 2+b 2a 2=√1+b 2a2=2. 故选：D.根据双曲线的几何性质，化归转化思想，即可求解．本题考查双曲线的几何性质，化归转化思想，属基础题．8.【答案】A【解析】解：在空间直角坐标系Oxyz 中，点A(1,2,3)关于yOz 平面对称的点的坐标为(−1,2,3).故选：A.根据关于yOz 平面对称，x 值变为相反数，其它不变这一结论直接写结论即可．本题考查空间向量的坐标的概念，考查空间点的对称点的坐标的求法，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：因为椭圆C 的焦点为F 1(0,−2)，F 2(0,2)，设椭圆的标准方程为y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)，依题意{c =24a =12a 2=b 2+c2，解得a =3,b =√5，所以椭圆C 的标准方程为y 29+x 25=1，故选：B.根据已知条件求得a ，b ，由此求得椭圆C 的标准方程．本题考查了椭圆的方程，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：分别取A 1D 1，A 1B 1的中点M ，N ，∵MN//B 1D 1//EF ，MN ⊄平面BEF ，EF ⊂平面BEF ，∴AMN//平面BEF ，同理可得AM//平面BEF ，∵MN ∩AM =M ，MN ，AM ⊂平面BEF ，∴点P 的轨迹为线段MN ，∵正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，∴MN =√12+12=√2，AN =AM =√22+12=√5， 当P 与点M 或N 重合时，AP max =√5，当P 为线段NM 的中点时，AP min =(√5)−(√22)=3√22，∴线段AP 长度最大值为√5，最小值为3√22. 故选：C.分别取A 1D 1，A 1B 1的中点M ，N ，根据面面平的判定定理可得平面AMN//平面BEF ，故点P 的轨迹为线段MN ，当P 与点M 或N 重合时，线段AP 最长，当P 为线段NM 的中点时，线段AP 长度最小，求解即可．本题考查线段长的最值问题，属中档题．11.【答案】90【解析】解：某校高中三个年级共有学生2400人，其中高一年级有学生800人，高二年级有学生700人，则高三年级有2400−800−700=900，采用分层抽样的方法从中抽取容量为240的样本进行调查，则240×9002400=90.故答案为：90.根据已知条件，先求出高三年级的人数，再结合分层抽样的定义，即可求解．本题主要考查分层抽样方法，属于基础题．12.【答案】4【解析】解：圆x 2+y 2=1的圆心O(0,0)，半径R =1；圆(x −3)2+(y −4)2=r 2(r >0)的圆心C(3,4)，半径r.|OC|=√32+42=5，∵圆x 2+y 2=1与圆(x −3)2+(y −4)2=r 2(r >0)相外切，∴|OC|=R +r ，∴r =5−1=4，故答案为：4.根据两圆外切的性质：圆心距与半径的和的关系即可得出结论．本题考查了两圆外切的性质、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13.【答案】12 14 14【解析】解：∵D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，∴OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a ⃗ +14b ⃗ +14c ⃗ ， ∵OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x a ⃗ +y b ⃗ +z c ⃗ ，∴x =12，y =14，z =14，故答案为：12，14，14.利用空间向量的线性运算求解即可．本题考查空间向量的线性运算，属于基础题．14.【答案】(0,1)3【解析】解：∵抛物线方程为x 2=4y ，∴抛物线的焦点F(0,1)，焦点到准线的距离p =2，又直线FM 交x 轴于点N ，且M 为线段FN 的中点，∴y M =12y F =12，∴|MF|=p 2+y M =1+12=32，又M 为线段FN 的中点，∴|FN|=2|MF|=3.故答案为：(0,1)；3.根据抛物线的几何性质，抛物线的焦半径公式，即可分别求解．本题考抛物线的几何性质，抛物线的焦半径公式的应用，属基础题．15.【答案】4π=【解析】解：四棱锥有4个三角形、一个四边形，5个顶点，四棱锥的总曲率为：2π×5−(π×4+2π)=4π；正十二面体有12个正5边形，20个顶点，每个面的内角和为(5−2)π=3π，所以θ1=(2π−3π5×3)×20=4π，正二十面体有20个正三角形，12个顶点，每个面的内角和为π，所以θ2=(2π−π3×5)×12=4π.所以θ1−θ2=0，故答案为：4π；=.根据曲率、总曲率的知识求得正确答案．本题主要考查几何体的体积，属于中档题．16.【答案】解：(Ⅰ)由题意可得c =100−8−17−22−25−12−6−2−2=6，a =17100×2=0.085，b =25100×2=0.125；(Ⅰ)由题意可得：从一周阅读时间不低于14小时的学生中抽出2人做访谈，2人恰好在同一个数据分组的概率为1−12C 21CC 42=1−23=13. 【解析】(Ⅰ)由频率分布直方图，结合频数分布表求解即可；(Ⅰ)由频数分布表，结合古典概型及概率计算公式求解即可．本题考查了频率分布直方图，重点考查了古典概型及概率计算公式，属基础题．17.【答案】证明：(Ⅰ)由AC ⊥CB ，AA 1⊥底面ABC ，建立如图所示空间直角坐标系：则A 1(2,0,2)，B(0,2,0)，C(0,0,0)，E(1,1,0)，C 1(0,0,2)，所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,0)，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,−2)，所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0+0+0=0，所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即BC ⊥A 1C ；(Ⅰ)BC 1→=(0,−2,2)，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,−2)，CE⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0)，设平面A 1CE 的一个法向量n ⃗ =(x,y,z)，则{n →⋅A 1C →=0n →⋅CE →=0,即{−2x −2z =0x +y =0， 令x =1，则n ⃗ =(1,−1,−1)，因为n ⃗ ⋅BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0+2−2=0，所以n ⃗ ⊥BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，又BC 1⊄平面A 1CE ，所以BC 1//平面A 1CE.【解析】(Ⅰ)由题意建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，计算数量积即可；(Ⅰ)求出平面A 1CE 的一个法向量，利用法向量与BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直，即可证明BC 1//平面A 1CE.本题主要考查了线线、线面平行的证明问题，也考查了空间向量及其应用问题，是中等题．18.【答案】解：(I)直线l ：2x −y +4=0与x 轴的交点为A(−2,0)，∵圆O ：x 2+y 2=r 2(r >0)经过点A ，∴r =√(−2)2+0=2. (Ⅰ)∵点B 为圆O 上一点，且直线AB 垂直于直线l ，∴k l =−12，直线l 的方程为：y =−12(x +2)，即x +2y +2=0，圆心O 到直线l 的距离d =2√5， ∴弦长|AB|=2√r 2−d 2=2√22−(2√5)2=8√55. 【解析】(I)直线l ：2x −y +4=0与x 轴的交点为A(−2,0)，代入圆O ：x 2+y 2=r 2(r >0)，即可得出r.(Ⅰ)由点B 为圆O 上一点，且直线AB 垂直于直线l ，可得k l =−12，可得直线l 的方程，利用点到直线的距离公式可得圆心O 到直线l 的距离d ，即可得出弦长|AB|=2√r 2−d 2.本题考查了直线与圆相交的性质、点到直线的距离公式、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(2,0,2)，C(0,3,0)，B(2,3,0)，C 1(0,3,2)，E(2,1,0)，所以A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−2)，BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,2)，所以cos <A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5×2√2=−√105， 故直线A 1E 与直线BC 1所成角的余弦值为√105.(Ⅰ)因为EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0)，A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−2)，设平面A 1EC 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =y −2z =0m ⃗⃗⃗ ⋅EC⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +2y =0， 令y =2，则x =2，z =1，于是m ⃗⃗⃗ =(2,2,1)，设BC 1与平面A 1EC 所成角为θ，则sinθ=|cos <BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，m ⃗⃗⃗ >|=|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ |BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ ||=2√2×3=√26， 所以BC 1与平面A 1EC 所成角的正弦值为√26. (Ⅰ)又A(2,0,0)，∴EA⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,0)， ∴点A 到平面A 1EC 的距离d =|EA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=√4+4+1=23. 【解析】(Ⅰ)以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用空间向量的数量积求解直线A 1E 与BC 1所成角的余弦值即可；(Ⅰ)求出平面A 1EC 的法向量，利用平面法向量与直线方向向量的夹角即可求解线面角．(Ⅰ)利用向量法可求点A 到平面A 1EC 的距离．本题主要考查直线与直线所成的角，考查直线与平面所成的角，考查点到面和距离的求法，属中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)因为x 2a 2+y 24=1(a >0)经过点E(2,√2)， 所以4a 2+24=1(a >0)，解得a =2√2.所以椭圆C:x 28+y 24=1,c =√8−4=2， 所以e =c a =2√2=√22； 因为左顶点为D ，右焦点为F ，所以D(−2√2,0),F(2,0)，所以S △DEF =12(2√2+2)×√2=2+√2.(Ⅰ)已知直线y =kx +1与椭圆C 交于A ，B 两点．过点B 作直线y =4的垂线，垂足为G ， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则G(x 2,4)，则AG 的方程为y y −4=4−y 1x 2−x 1(x −x 2)， 令x =0，则y =−x 2[4−(kx 1+1)]x 2−x 1+4x 2−4x 1x 2−x 1=kx 1x 2+x 2−4x 1x 2−x 1，① 联立{x 28+y 24=1y =kx +1，可得(1+2k 2)x 2+4kx −6=0， 因为y =kx +1过定点(0,1)，(0,1)在椭圆内，所以y =kx +1与椭圆恒有两个交点，故Δ>0,{x 1+x 2=−4k 1+2k 2x 1x 2=−61+2k2， 所以kx 1x 2=−6k1+2k 2=32(x 1+x 2). 代入①，可得y =32(x 1+x 2)+x 2−4x 1x 2−x 1=−52x 1+52x 2x 2−x 1=52， 故直线AG 与y 轴交于定点(0,52).【解析】(Ⅰ)根据椭圆经过点E(2,√2)可求出a =2√2，从而可求离心率，求出D ，F 的坐标，从而可求△DEF 的面积；(Ⅰ)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则G(x 2,4)，联立{x 28+y 24=1y =kx +1，可得kx 1x 2=32(x 1+x 2),AG 的方程为y −4=4−y 1x 2−x 1(x −x 2)，令x =0，得y =kx 1x 2+x 2−4x 1x 2−x 1，代入kx 1x 2=32(x 1+x 2)化简即可求解． 本题考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系，属于中档题．21.【答案】(Ⅰ)解：对于正整数集合A ={a 1,a 2,⋯,a n }(n ∈N ∗,n ≥3)，如果去掉其中任意一个元素a i (i =1,2,⋯,n)之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A 为平衡集．根据“平衡集”的定义知，当集合为{1,3,5,7,9}时：去掉元素3，则不可拆分成符合题意的平衡集，所以集合B={1,3,5,7,9}不是平衡集．(Ⅰ)证明：设集合A={a1,a2,…，a n}(n∈N∗,n≥3)，所有元素之和为M.由题意可知，M−a i(i=1,2,3...,n)均为偶数，因此a i(i=1,2,3...,n)同为奇数或同为偶数．(1)当M为奇数时，则a i(i=1,2,3...,n)也均为奇数，由于M=a1+a2+...+a n，所以n为奇数．(2)当M为偶数时，则a i(i=1,2,3...,n)也均为偶数，此时可设a1=2b1，因为{a1,a2,...,a n}(n∈N∗,n≥3)为“平衡集”，所以{b1,b2,...,b n}(n∈N∗,n≥3)也为“平衡集”．重复上述有限次操作后，便可得到一个各元素均为奇数的“平衡集”，且对应新集合之和也为奇数，由(Ⅰ)可知此时n也为奇数．综上所述，集合A中元素个数为奇数．(Ⅰ)证明：由(Ⅰ)知集合A={a1,a2,…，a n}(n∈N∗,n≥3)中元素个数为奇数，不妨假设：当n=3时，显然任意集合{a1,a2,a3}都不是“平衡集”；当n=5时，设集合{a1,a2,a3,a4,a5}，其中a1<a2<a3<a4<a5}，将集合{a1,a2,a3,a4,a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a1+a5=a3+a4①或a5=a1+a3+a4②；将集合{a2,a3,a4,a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a2+a5=a3+a4③或a5=a2+a3+a4④，由①，③可得a1=a2，矛盾；由①，④可得a1=a2，矛盾；由②，③可得a1=a2，矛盾；由②，④可得a1=a2，矛盾．因此当n=5时，不存在“平衡集”；当n=7时，设集合A={1,3,5,7,9,11,13}，去掉元素1，3+5+7+9=11+13；去掉元素3，1+9+13=5+7+11，去掉元素5，9+13=1+3+7+11；去掉元素7，1+9+11=3+5+13，去掉元素9，1+3+5+11=7+13；去掉元素11，3+7+9=1+5+13，去掉元素13，1+3+5+9=7+11，所以集合A={1,3,5,7,9,11,13}是“平衡集”．因此集合A中元素个数n的最小值是7.故集合A中元素个数n≥7.【解析】(Ⅰ)利用平衡集的定义直接判断求解．(Ⅰ)设集合A={a1,a2,…，a n}(n∈N∗,n≥3)，所有元素之和为M，推导出a i(i=1,2,3...,n)同为奇数或同为偶数．当M为奇数时，则a i(i=1,2,3...,n)也均为奇数，从而n为奇数；当M为偶数时，则a i(i=1,2,3...,n)也均为偶数，设a1=2b1，推导出{b1,b2,...,b n}(n∈N∗,n≥3)为“平衡集”，由此能证明集合A中元素个数为奇数．(Ⅰ)集合A={a1,a2,…，a n}(n∈N∗,n≥3)中元素个数为奇数，当n=3时，任意集合{a1,a2,a3}都不是“平衡集”；当n=5时，推导出不存在“平衡集”；当n=7时，推导出集合A={1,3,5,7,9,11,13}是“平衡集”，由此能证明集合A中元素个数n≥7.本题考查平衡集的定义、元素与集合的关系、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是难题．。
北京市高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．在等比数列中，，，则等于（ ） {}n a 11a =84a =234567a a a a a a A ．32 B ．64 C ．128 D ．256【答案】B【分析】根据等比数列下标和性质计算可得. 【详解】解：在等比数列中，，， {}n a 11a =84a =则，273645184a a a a a a a a ====所以.7323456464a a a a a a ==故选：B2．双曲线上的点到左焦点的距离为9，则点到右焦点的距离为（ ）22:1916x y C -=P P A ．3 B ．15 C ．15或3 D ．10【答案】C【分析】由双曲线的定义求解即可.【详解】设双曲线的左焦点为，右焦点为，1F 2F因为双曲线方程为，所以，，，22:1916x y C -=3a =4b =5c ==由双曲线的定义得，则， 122PF PF a -=126PF PF -=126PF PF -=±又因为，所以或，19PF =215PF =3由双曲线的性质可知，到焦点距离的最小值为， P 5323c a -=-=<故选：C3．设函数在点处的切线方程为，则（ ）()f x (1,(1))f 43y x =-()()11lim x f x f x∆→+∆-=∆A ． B ．C ．D ．4213-【答案】A【分析】根据导数的几何意义可知，再根据导数值的定义即可选出答案. (1)f '【详解】由导数值的定义，，根据导数的几何意义，，即()()11lim(1)x f x f f x∆→+∆-'=∆(1)4f '=.()()11lim4x f x f x∆→+∆-=∆故选：A4．数列满足，，则（ ） {}n a 111n na a +=-13a =2023a =A ．3B ．C ．D ．12-5223【答案】A【分析】根据递推公式求得数列中的前几项，从而得到数列的周期，由此即可求得的值. 2023a 【详解】因为，， 111n na a +=-13a =所以，1132111111111111111111111n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a +++++++------=======---------所以数列是以3为周期的周期数列， {}n a 故. 20231367413a a a +⨯===故选：A.5．已知抛物线，直线l 过定点P （0，1），与C 仅有一个公共点的直线l 有（ ）条 2:4C y x =-A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【分析】过抛物线外一定点的直线恰好与该抛物线只有一个交点，则分两种情况分别讨论，(0,1)P 一是直线与抛物线的对称轴平行，二是直线与抛物线相切，根据这两种情况进而求解.【详解】过点的直线与抛物线仅有一个公共点，则该直线可能与抛物线的对称(0,1)P l 2:4C y x =-l 轴平行，也可能与抛物线相切，下面分两种情况讨论：当直线与抛物线的对称轴平行时，则直线的方程为：，满足条件；l l 1y =当直线与抛物线相切时，由于点在轴上方，且在抛物线外，则存在两条直线与抛物线相l (0,1)P x 切，易知：是其中一条，0x =不妨设另一条直线的方程为，联立直线与抛物线方程可得：，则l 1y kx =+l 22(24)10k x k x +++=有，解得：，22(24)40k k ∆=+-=1k =-所以过点的直线的方程为：或或， (0,1)P l 1y =0x =1y x =-+故选：.C 6．已知，，则数列的通项公式是（ ）12a =()1+=-n n n a n a a {}n a n a =A ．n B ． C ．2nD ．1n +1nn n +⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据题意可得，再利用累乘法计算可得； 11n n a n a n++=【详解】解：由，得， ()1+=-n n n a n a a ()11n n n a na ++=即， 11n n a n a n++=则，，，…，，11n n a n a n -=-1212n n a n a n ---=-2323n n a n a n ---=-2121a a =由累乘法可得，因为，所以，1na n a =12a =2n a n =故选：C ．7．我国古代数学典籍《四元玉鉴》中有如下一段话：“河有汛，预差夫一千八百八十人筑堤，只云初日差六十五人，次日转多七人，今有三日连差三百人，问已差人几天，差人几何？”其大意为“官府陆续派遣1880人前往修筑堤坝，第一天派出65人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人.已知最后三天一共派出了300人，则目前一共派出了多少天，派出了多少人？”（ ） A ．6天 495人 B ．7天 602人 C ．8天 716人 D ．9天 795人【答案】B【分析】根据题意，设每天派出的人数组成数列，可得数列是首项，公差数7的等差数{}n a 165a =列，解方程可得所求值．【详解】解：设第天派出的人数为，则是以65为首项、7为公差的等差数列，且n n a {}n a ，，123216a a a =++21300n n n a a a --++=∴，， 13002161723n a a ++==107n a =∴天 1177n a a n -=+=则目前派出的人数为人，()17776022a a S +==故选：B ．8．已知圆和两点，若圆上存在点，使得()()22:5121C x y -+-=(0,),(0,)(0)A m B m m ->C P ，则的最小值为（ ）90APB ∠= m A ．14 B ．13 C ．12 D ．11【答案】C【分析】将问题转化为以为直径的圆与圆有公共点的问题来列不等式，解不等式求得的AB O C m 取值范围，由此求得的最小值.m【详解】解：以为直径的圆的方程为，圆心为原点，半径为.圆AB O 222x y m +=1r m =的圆心为，半径为.()()22:5121C x y -+-=()5,12C 21r =要使圆上存在点，使得，则圆与圆有公共点， C P 90APB ∠=︒O C所以，即，1212r r OC r r -≤≤+1m +所以， 11313113113113113m m m m m ⎧-≤-≤-≤⎧⎪⇒⎨⎨+≥+≤-+≥⎪⎩⎩或⇒12141212m m m -≤≤⎧⎨≤-≥⎩或又，所以，所以的最小值为. 0m >1214m ≤≤m 12故选：C二、多选题9．已知等差数列则（ ） 10,7,4,, A ．该数列的通项公式为 313n a n =-+B ．是该数列的第13项 25-C ．该数列的前5项和最大D ．设该数列为，则 {}n a 1238||||||||48a a a a ++++= 【答案】AD【分析】根据首项和公差求出和，利用和计算可得答案.n a n S n a n S 【详解】依题意，所以，故A 正确； 110,3a d ==-1(1)103(1)313n a a n d n n =+-=--=-+由，得，故B 不正确； 31325n a n =-+=-38133n =≠由，得，由，得，所以该数列的前4项和最大，故C 不3130n a n =-+≥4n ≤3130n a n =-+<5n ≥正确；，(1)10(3)2n n n S n -=+⨯-23232n n-+= 123812345678||||||||()a a a a a a a a a a a a ++++=+++-+++ 482S S =-，故D 正确. 223423438238222-⨯+⨯-⨯+⨯=⨯-48=故选：AD10．已知圆，则下列说法正确的是（ ）22230M x y x +--=：A ．点（2，0）在圆M 内B ．圆M 关于对称10x y +-=CD ．直线与圆M 的相交所得弦长为10x +=【答案】ABD【分析】根据点的坐标与圆的方程的关系判断A ，判断点与直线的位置关系，判断M 10x y +-=B ；配方后得到圆的半径，判断C ；利用弦长公式求弦长判断D. 【详解】整理得：，22230x y x +--=()2214x y -+=因为，时，∴点在圆M 内，A 正确； 2x =0y =222330x y x +--=-<()2,0因为圆心在直线上，所以圆M 关于对称，B 正确； ()1,0M 10x y +-=10x y +-=因为圆M 半径为2，故C 错误；∵圆心到直线的距离为，()1,0M 10x +=1d ==所以直线与圆M 的相交所得弦长为，D 正确. 10x +==故选：ABD.11．已知数列满足，其中，Sn 为数列{}的前n 项{}n a ()12321n a a n a n +++-= ()21nn a b n =+n b和，则下列四个结论中，正确的是（ ） A ．B ．数列{}的通项公式为： 11a =n a 121n a n =+C ．数列{}为递减数列 D ．若对于任意的都有，则 n a *N n ∈n S λ<12λ≥【答案】ACD【分析】令可求；利用已知求的方法求数列通项公式；根据递减数列的定义判断1n =1a n S n a {}n a 数列的单调性，利用裂项相消法求数列的前n 项和，由条件求的范围. {}n b λ【详解】因为，()12321n a a n a n +++-= 所以当时，， 2n ≥()1213231n a a n a n -+++-=- 两式相减得，所以， ()211n n a -=121n a n =-又因为当时，满足上式，1n =11a =所以数列的通项公式为：，故A 正确，B 错误， {}n a 121n a n =-因为，，所以， 121n a n =-N n *∈()()1112021212121n n a a n n n n +-=-=-<+-+-所以，所以数列为递减数列，故C 正确；1n n a a +<{}n a ，()()()111121212122121n n a b n n n n n ⎛⎫===- ⎪+-+-+⎝⎭所以 12n n S b b b =+++ ， 11111111111232352212124221n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 因为对于任意的都有，所以，其中，*N n ∈n S λ<max 21n n λ⎛⎫< ⎪+⎝⎭*N n ∈又，所以，故D 正确. 1121221n n n =<++12λ≥故选：ACD.12．已知、分别为双曲线的左、右焦点，点在直线l 上，过点1F 2F 222:1(0)4x yC b b-=>(4,0)M -2F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，下列说法正确的是（ ）A ．若直线l 与双曲线左右两支各一个交点，则直线l 的斜率范围为）(,)22b b-B ．点2F C ．若直线AB垂直于x 轴，且△ABM 为锐角三角形，则双曲线的离心率取值范围为 D ．记的内切圆的半径为r 1，的内切圆的半径为，若，则12AF F △1I 12BF F △2I 2r 124r r =b =【答案】ACD【分析】设出直线的方程，与双曲线方程联立，根据题意，两交点的横坐标异号，利用韦达定理l 即可求解，判断选项；求出右焦点到渐近线的距离为，进而判断选项；要使为锐角三A bB ABM :角形，则，所以，进行等量代换求出离心率的取值即可判断选项；根据三245AMF ∠<︒24b c a +>C 角形内切圆的特点先求出两圆的内心在上，然后利用三角形相似求出的值，进而求出，即x a =c b 可判断选项.D 【详解】对于，由题意知：直线的斜率存在，设直线的方程为：， A l l (4)y k x =+设直线与双曲线左右两支的交点分别为，，l 11(,)P x y 22(,)Q x y 联立方程组，整理可得：，22214(4)x y b y k x ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩222222(4)326440b k x k x k b ----=则，也即，解得：，故选项正确； 22122264404k b x x b k --⋅=<-2240b k ->22b b k -<<A 对于，设右焦点为，双曲线的渐近线方程为：，由点到直线的距离公式可得：B 2(,0)F c 0bx ay ±=点到双曲线渐近线的距离错误；2F d b ==≠B 对于，若直线AB 垂直于x 轴，则直线的方程为：，设点，，要使C AB x c =2(,)bA c a2(,b B c a-为锐角三角形，由双曲线的对称性可知：，ABM :245AMF ∠<︒则，即，所以，22F M AF >24b c a+>24b ac a <+又因为，则，也即，整理可得：，则2a =2242b ac a ac a <+=+2222c a ac a -<+2230c ac a --<， 230e e --<e <1e >所以，故选项正确； e ∈C 对于，过分别作的垂线，垂足为，D 1I 1212,,AF AF F F ,,DE F则，因为，1122,,AD AE F D F F F F F E ===122AF AF a -=则，又因，1212()()2AD DF AE EF F F F F a +-+=-=12122F F F F F F c =+=则，所以，即在直线上，同理也在直线上，所以11FF OF OF a c =+=+OF a =1I x a =2I x a =轴，12I I x ⊥因为，1212122221,I F A I F F I F B I F F ∠=∠∠=∠则，所以， 1221212121222I F I F I F F I F F F I A B I ∠∠∠∠∠++==22190I F I ∠=︒由可知：，则，也即，1222I FF F FI :::1222I F F F F FI F=2212IF I F FF ⋅=212()r r c a ⋅=-因为，，所以，，故选项正确，2a =124r r =4c =b ==D故选：.ACD三、填空题13．已知直线l 1，若，则实数a =______. ()210130x ay l a x y +-=+++=：，：12l l ⊥【答案】##12-0.5-【分析】根据若，则，运算求解. 12l l ⊥12120A A B B +=【详解】若，则，解得.12l l ⊥()1110a a ⨯++⨯=12a =-故答案为：.12-14．已知函数，则=______. 2()ln 31f x x x x =+-1f '（）【答案】7【分析】求出的导数，再将代入，即可得答案. ()f x ()f x '1x =【详解】解：因为， 2()ln 31f x x x x =+-所以，1()ln 6ln 61f x x x x x x x'=+⋅+=++所以. (1)ln16117f '=+⋅+=故答案为：715．设椭圆的左、右焦点分别为、，点M 、N 在C 上（M 位于第一象2222:1(0)x y C a b a b+=>>1F 2F 限），且点M 、N 关于原点O 对称，若，则C 的离心率为______.12290,2||||MF N MF NF ︒∠==【分析】根据几何分析确定四边形为矩形，根据勾股定理构造齐次式即可求出离心率. 12MF NF 【详解】依题意，作图如下，因为点关于原点对称，所以为的中点，,M N O O MN且为的中点，，所以四边形为矩形，O 12F F 190N MF ︒∠=12MF NF 由，设 222MF NF =21,2,MF x MF x ==由椭圆的定义知，解得： 212,MF MF a +=2124,,33a a MF MF ==所以()22224233a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理得：，因为， 259e =01e <<所以 e =四、双空题16．已知数列满足，，则______；高斯是德国著名的数学家，近代数学{}n a 11a =12n n a a n ++=3a =奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设，用表示不超过的最大整数，称为x ∈R []x x ()[]f x x =高斯函数.设，且数列的前项和为，则______. []1g n n b a ={}n b n n T 2022T =【答案】34956【分析】根据递推公式一一计算即可求出，再归纳出的通项，最后结合高斯函数的定义并项3a {}n a 求和计算可得.【详解】解：因为，， 11a =12n n a a n ++=当时，则， 1n =122a a +=21a =当时，则， 2n =324a a +=33a =当时，则， 3n =346a a +=43a =当时，则，4n =548a a +=55a =，由此可归纳得，当为奇数时，当为偶数时，n n a n =n 1n a n =-显然当时成立，假设当（为奇数）时成立，即，则，即1n =11a =n k =k k a k =12k k a a k ++=也成立，1k a k +=假设当（为偶数）时成立，即，则，即也成立，故归纳成n k =k 1k a k =-12k k a a k ++=11k a k +=+立；因为，[]1g n n b a =当时，则， 110n ≤≤19n a ≤≤[]1g 0n n b a ==当时，则， 11100n ≤≤1199n a ≤≤[]1g 1n n b a ==当时，则， 1011000n ≤≤101999n a ≤≤[]1g 2n n b a ==当时，则，10012022n ≤≤10012021n a ≤≤[]1g 3n n b a ==()232320220101(1010)2(1010)3202210T ∴=⨯+⨯-+⨯-+⨯- 190290031022=⨯+⨯+⨯．4956=故答案为：，．34956五、解答题17．在数列{}中，n a ()*11534N n n a a a n +==-∈，(1)求证：是等比数列： {}2n a -(2)求数列{}的前n 项和. n a n S 【答案】(1)证明过程见详解(2)3(31)22n n S n -=+【分析】(1)根据递推公式和等比数列的定义即可使问题得证； (2)利用等比数列的求和公式，分组求和即可求解.【详解】（1）由题意知：，所以， 134n n a a +=-12362(2)n n n a a a +-=-=-即，又， 1222n n a a +-=-1230a -=≠所以数列是以3为首项，以3为公比的等比数列.{}2n a -（2）由（1）可知：，所以，23n n a -=23nn a =+所以1221n n n S a a a a a -=+++++1231(2+2+2++2+2)(33333)n n -=++++++ 3(13)213n n -=+-. 3(31)22n n -=+18．如图，正方体ABCD —的棱长为2，P 、Q 分别为BD 、的中点.1111D C B A 1CD(1)证明：PQ 平面；:11BCC B (2)求直线与平面所成角的大小. 1CD 11ABC D 【答案】(1)证明见详解 (2) π6【分析】（1）建系，利用空间向量证明线面平行；（2）先求平面的法向量，再利用空间向量求线面夹角. 11ABC D 【详解】（1）如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则，()()()()()()12,0,0,2,2,0,0,2,0,,1,1,0,0,1,10,0,2A B C D P Q 可得，平面的法向量，()1,0,1PQ =-u u u r11BCC B ()0,1,0n = ∵，且平面，1001100PQ n ⋅=-⨯+⨯+⨯=u u u r rPQ ⊄11BCC B ∴PQ 平面.:11BCC B （2）由（1）可得：， ()()()110,2,0,2,0,2,0,2,2AB AD CD ==-=-设平面的法向量为，则， 11ABC D (),,m x y z = 120220m AB y m AD x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令，则，故，1x =0,1y z ==()1,0,1m =∵，1111cos ,2m CD m CD m CD ⋅===u r u u u ru r u u u ru r u u u r 故直线与平面所成角的正弦值为，则其大小为. 1CD 11ABC D 12π619．已知抛物线上一点到抛物线焦点的距离为，()2202C y px p =<<：1P p ⎛ ⎝32(1)求抛物线的方程：C (2)若直线（为参数）与抛物线C 交于两点，且，求直线的方程 :l y x m =+m ,A B OA OB ⊥l 【答案】(1) 22y x =(2) 2y x =-【分析】（1）利用抛物线的定义，列方程求出即可；p （2）联立直线和抛物线方程，设出，，然后用韦达定1122(,),(,)A x y B x y 12120OA OB x x y y ⊥⇔+=理求解.【详解】（1）根据抛物线的定义，到焦点的距离等于到准线的距离，即，结合题干条P 3122pp =+件，解得，故抛物线方程为：02p <<1p =22y x =（2）设，依题意：1122(,),(,)A x y B x y ()()112212120,,00OA OB OA OB x y x y x x y y ⊥⇔⋅=⇔⋅=⇔+=，联立直线和抛物线：，得到，，解得，由韦达定22y x y x m⎧=⎨=+⎩2220y y m -+=480m ∆=->12m <理：，在抛物线上，故，于是，于是122y y m =1122(,),(,)A x y B x y 21122222y x y x ⎧=⎨=⎩22212124y y x x m ==，解得或，但时，其中一点和重合，不符题意，时，220m m +=0m =2m =-0m =,A B O 2m =-符合判别式条件.综上可知，，此时直线方程为：2m =-2y x =-20．已知数列的前n 项和为，且，______.请在①：②{}n a n S 11n n n S S a +=++*()N n ∈3914a a +=，，成等比数列：③，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问2a 5a 11a 844S =题.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. (1)求数列的通项公式； {}n a (2)若，设数列{}的前n 项和，求证： 2nn n a b =n b n T 13n T ≤<*()N n ∈【答案】(1) 1n a n =+(2)证明见解析【分析】（1）先根据推出数列为等差数列，公差.若选①，根据等差中项11n n n S S a +=++{}n a 1d =求出，再求出，根据和可得通项公式；若选②，根据等比中项列式求出，可得；若6a 1a 1a d 1a n a 选③，根据等差数列求和公式列式求出，可得. 1a n a （2）利用错位相减法求出，根据为正数，得，根据为递增数列，可得. n T 32n n +3nT <n T 11n T T =≥【详解】（1）由，得，得， 11n n n S S a +=++11n n n S S a +-=+11n n a a +-=所以数列为等差数列，公差.{}n a 1d =若选①，因为，所以，， 3914a a +=6214a =67a =所以，， 6157a a d =+=12a =所以，1(1)211n a a n d n n =+-=+-=+若选②，因为，，成等比数列，所以，2a 5a 11a 25211a a a =所以，所以，2111(4)()(10)a d a d a d +=++2111(4)(1)(10)a a a +=++所以，所以. 12a =1(1)211n a a n d n n =+-=+-=+若选③，因为，所以， 81878442S a ⨯=+=12a =所以， 1(1)211n a a n d n n =+-=+-=+（2）由（1）知，，则， 1n a n =+12n nn b +=则， 12323412222n nn T +=++++ ， 23411234122222n n n T ++=++++ 所以，23411111111222222n n n n n T T ++-=+++++- 所以， 1111(1)1142112212n n n n T -+-+=+--所以，因为为正数，所以， 332n n n T +=-32nn +3n T <因为， 11433322n n n nn n T T ++++-=--+112642022n n n n n +++--+==>所以，所以数列为递增数列， 1n n T T +>{}n T 所以， 14312n T T ≥=-=综上所述：.13n T ≤<*()N n ∈21．在平面五边形中（如图1），是梯形，，，ABCDE ABCD //AD BC 22AD BC ==AB =，是等边三角形.现将沿折起，连接，得四棱锥90ABC ∠=ADE V ADE V ADEB EC E ABCD-（如图2）且EC =(1)求证：平面平面； EAD ⊥ABCD (2)在棱上有点，满足，求二面角的余弦值. EB F 13EF EB=E AD F --【答案】(1)证明见解析【详解】（1）在图1中，取的中点，连，依题意得，，如图：AD O ,OC OE OC OA ⊥OE OA ⊥则 OC AB ==2OE ==折叠后，在图2中，，如图：OE AD ⊥在中，，所以， COE :OC =OE =EC 222EC OC OE =+OE OC ⊥由，，，平面，平面， OE AD ⊥OE OC ⊥OC AD O = OC ⊂ABCD AD ⊂ABCD 得平面，又平面， OE ⊥ABCD OE ⊂EAD 所以平面平面。
顺义区2024届高三二模数学试题及答案
顺义区2024年高三第二次质量监测数学试卷本试卷共9页，150分。
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第一部分（选择题 共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项。
1. 设集合{}24U x x =∈≤Z ，{}1,2A =，则U C A = A.[2,0]−B.{}0C.{}2,1−−D.{}2,1,0−−2. 已知复数z 的共轭复数z 满足(1i)2i z +⋅=，则z z ⋅=B.1C.2D.43. 在5(21)x −的展开式中，4x 的系数为 A.80− B.40− C.40 D.804. 已知4log 2a =，e1()2b =，12πc =，则A.a b c >>B.b a c >>C.c b a >>D.c a b >>5. 已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，1lg lg lg 2n n n a a ++=，*n ∈N ， 则9S = A.511 B.61 C.41 D.96. 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为C 上一点，直线PF 与l 相交于点Q ，与y 轴交于点M . 若F 为PQ 的中点，则||PM =A.4B.6C. D.87. 若函数1,0()0, 01,0x x f x x x x −<⎧⎪==⎨⎪+>⎩，则“120x x +>”是“12()()0f x f x +>”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8. 如图，正方体1111ABCD A B C D −中，P 是线段1BC 上的动点，有下列四个说法： ①存在点P ，使得1//D P 平面1A DB ；②对于任意点P ，四棱锥11P A ADD −体积为定值； ③存在点P ，使得1A P ⊥平面1C DB ； ④对于任意点P ，1A DP △都是锐角三角形， 其中，不正确．．．的是 A.①B.②C.③D.④9. 已知在平面内，圆22:1O x y +=，点P 为圆外一点，满足||2PO =，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为,A B . 若圆O 上存在异于,A B 的点M ，使得2(1)PM PA PB λλ=+−，则λ的值是A.23B.12C.14 D.12−10. 设1237,,,a a a a 是1,2,3,,7的一个排列. 且满足122367||||||a a a a a a −≥−≥≥−，则122367||||||a a a a a a −+−++−的最大值是A.23B.21C.20D.18第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
北京高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．已知，，则 （ ） (2,1,3)a =- (1,2,1)b =- a b ⋅=A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】D【分析】向量数量积的坐标运算，就可以得到结果.112212a b x y x y z z ⋅=++【详解】因为，，(2,1,3)a =- (1,2,1)b =- (2)(1)12317a b ∴⋅=-⨯-+⨯+⨯=故选：D2．已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（ ） 2213x y m +=(10)-，m A ． B ． C ． D ．2456【答案】B【分析】根据题意得到得到答案. 314m =+=【详解】椭圆焦点在轴上，且，故. x 1c =314m =+=故选：B.3．等差数列的前项和为，若则等于 {}n a n n S 242,10,S S ==6S A ．12 B ．18 C ．24 D ．42【答案】C【分析】数列每2项构成的等差数列的公差为6，计算得到答案.【详解】第一个2项和为2，第二个2项和为8，则每2项构成的等差数列的公差为6， 第三个2项和为14，则， 6281424S =++=故选：C.【点睛】本题考查了等差数列和的性质，意在考查学生的计算能力和应用能力.4．在正方体中O 为面的中心，为面的中心.若E 为中点，1111ABCD A B C D -11AA B B 1O 1111D C B A CD 则异面直线与所成角的余弦值为（ ） AE 1OOA B C D 【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线与所成角的余弦值. AE 1OO 【详解】设正方体的边长为，建立如图所示空间直角坐标系，2，()()()()12,0,0,0,1,0,2,1,1,1,1,2A E O O， ()()12,1,0,1,0,1AE OO =-=-设异面直线与所成角为，AE 1OO θ则. cos θ=故选：B5．数列中，，对所有的，，都有，则等于（ ）{}n a 11a =2n ≥*n ∈N 2123····n a a a a n ⋯=35a a +A ． B ．2592516C ．D ．61163115【答案】C【分析】分别令，代入递推关系式，即可求出，进而求出结果.2,3,4,5n =35,a a 【详解】当时，；当时，；2n =2122a a =3n =21233a a a =当时，；当时，；4n =212344a a a a =5n =2123455a a a a a =则，； 212331229=243a a a a a a ==21231245524325=4165a a a a a a a a a a ==所以. 356116a a +=故选：C.6．若直线与直线平行，则实数的值为()()222341m m x m m y m +-+-=-2350x y --=m （ ）A ．B ．1C ．1或D ．98-98-1-【答案】A【分析】根据两直线平行得到，解得，再代入检验.()()223232m m m m -=+--m【详解】解：因为直线与直线平行，()()222341m m x m m y m +-+-=-2350x y --=所以，解得或，()()223232m m m m -=+--1m =98m =-当时直线为，显然不成立，故舍去；1m =()()222341m m x m m y m +-+-=-03=当时直线为，符合题意； 98m =-()()222341m m x m m y m +-+-=-1021531164642x y -+=-故选：A7．设实数，满足 ） x y 4x y +=A B ．4C ．D ．8【答案】C【分析】上的点与点的距离，从而利用4x y +=()1,1-点到直线的距离公式即可求得最小距离.，==上的点与点的距离， 4x y +=()1,1-所以最小值为.d 故选：C.8．我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”根据这一数学思想，所有被3除余2的正整数从小到大排列组成数列，所有被5除余3的正整数从小到大排列组成数列，把与的公共项从小{}n a {}n b {}n a {}n b 到大排列得到数列，则下列说法正确的是（ ） {}n c A ． B ．C ．D ．122a b c +=824b a c -=238b c =629a b c =【答案】C【分析】由等差数列的通项公式依次写出，再依次判断四个选项即可.,,n n n a b c 【详解】根据题意可知，数列是首项为2，公差为3的等差数列，所以{}n a ()23131n a n n =+-=-，数列是首项为3，公差为5的等差数列，所以，数列与的公共{}n b ()35152n b n n =+-=-{}n a {}n b 项从小到大排列得到数列，{}n c故数列是首项为8，公差为15的等差数列，． {}n c ()8151157n c n n =+-=-对于A ，，，，故错误； 12225210a b +=+⨯-=2152723c =⨯-=122a b c +≠对于B ，，，，故错误； 8258232133b a -=⨯--⨯+=4154753c =⨯-=824b a c -≠对于C ，，，，故正确；235232113b =⨯-=81587113c =⨯-=238b c =对于D ，，，，故错误． ()()62361522136a b =⨯-⨯⨯-=91597128c =⨯-=629a b c ≠故选：C ．二、多选题9．给出下列命题，其中正确的命题是（ ）A ．若 ，则 或a b = a b = a b =- B ．若向量 是向量 的相反向量，则a ba b = C ．在正方体 中，1111ABCD A B C D -11AC AC =D ．若空间向量 ， ， 满足 ， ，则mn p m n = n p = m p = 【答案】BCD【分析】根据向量模长，相等向量，相反向量概念逐项判断真假.【详解】对于选项A ：若，即向量与的模相等，但方向不确定，故A 错误； a b = a b 对于选项B ：相反向量是指大小相等方向相反的两个向量，故B 正确；对于选项C ：在正方体中，与大小相等，方向相同，故，所以1111ABCD A B C D -AC 11A C11AC AC = C 正确；对于选项D ：若 ，，则方向相同大小相等，故，若中有零向量结论m n = n p = m p ，m p = ,m n p ，也正确，所以D 正确. 故选：BCD.10．已知曲线.（ ） 22:1C mx ny +=A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m =n >0，则CC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为 y =D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线 【答案】ACD【分析】结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示0m n >>0m n =>0mn <双曲线，时表示两条直线.0,0m n =>【详解】对于A ，若，则可化为， 0m n >>221mx ny +=22111x y m n +=因为，所以， 0m n >>11m n<即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A 正确；C y 对于B ，若，则可化为， 0m n =>221mx ny +=221x y n+=此时曲线的圆，故B 不正确； C 对于C ，若，则可化为， 0mn <221mx ny +=22111x y m n +=此时曲线表示双曲线， C 由可得，故C 正确； 220mx ny +=y =对于D ，若，则可化为， 0,0m n =>221mx ny +=21y n=表示平行于轴的两条直线，故D 正确； y =C x 故选：ACD.【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.11．设首项为1的数列的前项和为，若，则下列结论正确的是{}n a n n s 121n n s s n +=+-*N n ∈（）（ ）A ．数列为等比数列{}n s n +B ．数列的通项公式为{}n a 121n n a -=-C ．数列为等比数列{}1n a +D ．数列的前n 项和为 {}2n s 2224n n n +---【答案】AD【分析】由条件找到可判断A 正确，由A 可求得的通项公式，利用分组1(1)2(),n n s n s n +++=+{}n s求和可得D 正确，由的通项公式可求得的通项公式，进而可确定CD 错误. {}n s {}n a 【详解】 121,n n s s n +=+- 1(1)2(),n n s n s n +∴++=+又1120,s +=≠数列是首项公比都为的等比数列，故选项A 正确.∴{}n s n +2又2nn s n +=1222,n n s n +∴=-所以数列的前和为，故选项D 正确.{}2n s n 2222(12)(1)224122n n n n n n +-+-⨯=----又因为，2nn s n +=2n n s n =-当，2n ≥1121,n n n n a s s --=-=-当，，1n =11a =故选项B 错误.11,121,2n n n a n -=⎧∴=⎨-≥⎩ 12,112,2n n n a n -=⎧+=⎨≥⎩32121111a a a a ++∴≠++所以数列不是等比数列.故选项C 错误.{}1n a +综上，故选：A D12的椭圆为“黄金椭圆”，如图，已知椭圆C ：，22221(0)x y a b a b +=>>，分别为左、右顶点，，分别为上、 下顶点，，分别为左、右焦点，为椭圆上1A 2A 1B 2B 1F 2F P 一点，满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（ ）CA ．B ．2112212A F A F F F ⋅=11290F B A ∠=︒C ．轴，且D ．四边形的内切圆过焦点1PF x ⊥21//PO A B 1221A B A B 12,F F【答案】BD【分析】确定正确答案.【详解】由椭圆，2222:1(0)x y C a b a b+=>>可得，，12(,0),(,0)A a A a -12(0,),(0,)B b B b -12(,0),(,0),F c F c -对于A ，，即，化简得，即， 2112212A F F A F F ⋅=22()(2)a c c -=2a c c -=13c e a ==不符合题意，故A 错误；对于B ，，则，即，11290F B A ︒∠=222211112||||||A F B F B A =+2222()()a c a ab +=++化简得，即有，220c ac a +-=210e e +-=解得（，符合题意，故B 正确；e =e =对于C ，轴，且，1PF x ⊥21//PO A B 由，解得， ()22221Pc y a b-+=2Pb y a =±不妨设，由，可得，2,b P c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭21PO A B k k=2b b a a c=--解得，又，所以，不符合题意，故C 错误； b c =222a b c =+c e a===对于D ，四边形的内切圆过焦点，，即四边形的内切圆的半径为c ， 1221A B A B 1F 2F 1221A B A B 则，即，ab =222b a c =-42310e e-+=解得即，符合题意，故D 正确； 2e =2e =e =故选：BD【点睛】本题的难点是在各种情况下求椭圆的离心率，主要的思路是求得的关系式，然后转化,a c 为.也即是找到的一个等量关系式（齐次式），通过转为后解方程来求得离心率. ca,a c e三、填空题13．设等差数列的前n 项和为，若，，则________. {}n a n S 23a =-510S =-5a =【答案】【分析】根据，求出，，再计算即可. 23a =-510S =-14a =-1d =5a 【详解】由题知：，解得：，. 113545102a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩14a =-1d =. 5440a =-+=故答案为：0【点睛】本题主要考查等差数列的性质和等差数列的前项和，同时考查了学生的计算能力，属于n 简单题.14．已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为1F 2F C 22194x y +=M C 12MF MF ⋅________． 【答案】9【分析】根据椭圆的定义可得，结合基本不等式即可求得的最大值. 126MF MF +=12MF MF ⋅【详解】∵在椭圆上 M C ∴12236MF MF +=⨯=∴根据基本不等式可得，即，当且仅当126MF MF +=≥129MF MF ⋅≤时取等号.123MF MF ==故答案为：9.15．已知双曲线(a ＞0，b 0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为__________．22221x y a b-=>【答案】 y =【分析】根据离心率求得，即可求得渐近线方程. ba【详解】因为双曲线的离心率为2，则，解得22221xy a b -=2=b a =故双曲线的渐近线方程为. y =故答案为：.y =四、双空题16．点P 是直线上的动点，直线与圆分别相切于A ，B2100x y ++=,PA PB 22230C x y x +--=；两点，则当点 P 的坐标为___________时， 切线段 的长度最短；四边形面积的最小值PA PACB 为___________.【答案】1912,55⎛⎫- ⎝-⎪⎭【分析】，当最短时的长度最短，求出直线的方程与PC PA PA 联立可得解得坐标；P 由四边形，当最短时最小，可得的最小值.2A PACB PAC S S ==PC PACB S PACB S 【详解】由得圆心，半径圆， ()2214x y -+=()10，C 2R =所以当最短时的长度最短，PC PA 由圆心做直线的垂线，垂足为，此时最短， C 2100x y ++=P PC 所以直线的斜率为，方程为， PA 12()112y x =-由解得，即.()2012101y y x x ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩+195125x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪⎪⎩=-1912,55P -⎛⎫- ⎪⎝⎭四边形22A PACB PAC S S AC PA PA ==⨯==所以当最短时最小，由圆心到直线的距离为PC PACB S C 2100x y ++=，所以的最小值为. PACBS ==故答案为：. 1912,55⎛⎫- ⎝-⎪⎭五、解答题17．等比数列中，已知． {}n a 142,16a a ==（1）求数列的通项公式；{}n a （2）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和． 35,a a {}n b {}n b n n S 【答案】(1) .2n n a =(2) .2622n S n n =-【详解】试题分析：（1）本题考察的是求等比数列的通项公式，由已知所给的条件建立等量关系可以分别求出首项和公比，代入等比数列的通项公式，即可得到所求答案．（2）由（1）可得等差数列的第3项和第5项，然后根据等差数列的性质可以求出等差数列{}n b 的通项，然后根据等差数列的求和公式，即可得到其前项和．{}n b n 试题解析：（Ⅰ）设的公比为由已知得，解得，所以{}n a q 3162q =2q =（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，则，38a =532a =38b =532b =设的公差为，则有解得 {}n b d 1128{432b d b d +=+=116{12b d =-=从而 1612(1)1228n b n n =-+-=-所以数列的前项和{}n b n 2(161228)6222n n n S n n -+-==-【解析】等差、等比数列的性质18．如图，若是双曲线的两个焦点. 12,F F221916x y -=（1）若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； （2）若P 是双曲线左支上的点，且，试求的面积.12|||3|2F PF P =⋅12F PF △【答案】（1）10或22；（2）.1216F PF S =△【分析】（1）利用双曲线的定义，根据动点到一个焦点的距离求动点到另一个焦点的距离即可； （2）先根据定义得到，两边平方求得，即证21||||6PF PF -=2212||||PF PF +，，再计算直角三角形面积即可.2221212||||||100PF PF F F +==1290F PF ∠=︒【详解】解：（1）是双曲线的两个焦点，则， 12,F F 221916x y -=3,4,5a b c ===点M 到它的一个焦点的距离等于16，设点到另一个焦点的距离为，M m 则由双曲线定义可知，，解得或，|16|26m a -==10m =22m =即点到另一个焦点的距离为或；M 1022（2）P 是双曲线左支上的点，则，21||||26PF PF a -==则，而，221221||2||||||36PF PF PF PF -⋅+=12|||3|2F PF P =⋅所以，2212||||36232100PF PF +=+⨯=即，2221212||||||100PF PF F F +==所以为直角三角形，，12F PF △1290F PF ∠=︒所以. 121211||||321622F PF S PF PF =⋅=⨯=A 19．如图，在四棱锥S ABCD 中，ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，BC ⊥CD ，平面SCD ⊥平面-ABCD ，△SCD 是以CD 为斜边的等腰直角三角形，BC ＝2AD ＝2CD ＝4，E 为BS 上一点，且BE ＝2ES ．(1)证明直线SD ∥平面ACE ；(2)求点E 到平面ACS 的距离．【答案】(1)答案见解析【分析】（1）连接交于点F ，由可得，再结合可得BD AC AD BC ∥2BF BC FD AD==2BE BF ES FD ==，再由线面平行的判定定理可证得结论； EF SD ∥（2）由题意可证得平面，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用BC ⊥SCD C xyz -ACS 点到平面的距离公式求解．【详解】（1）连接交于点F ，连接， BD AC EF 因为，所以与相似，所以， AD BC ∥AFD △CFB A 2BF BC FD AD ==又，所以， 2BE BF ES FD==EF SD ∥因为平面平面，EF ⊂,ACE SD ⊄ACE 所以直线平面SD A ACE （2）因为平面平面，平面平面平面，，所SCD ⊥ABCD SCD ,ABCD CD BC =⊂ABCD BC CD ⊥以平面，BC ⊥SCD 以C 为坐标原点，所在的方向分别为y 轴､z 轴的正方向，与均垂直的方向作为x 轴,CD CB,CD CB 的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，C xyz -因为， 224,2BC AD CD BE ES ====则， 224(0,0,0),(1,1,0),(0,2,2),,,333C S A E ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以， 224(0,2,2),(1,1,0),,,333CA CS CE ⎛⎫=== ⎪⎝⎭设平面的一个法向量为，则，即， ACS (,,)m x y z = 00m CA m CS ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩00y z x y +=⎧⎨+=⎩令，得，于是，1z =1,1x y ==-(1,1,1)m =- 则点E 到平面ACS 的距离为CE m m⋅== 20．已知数列的各项均为正数，其前项和满足． {}n a n n S 212n n a S +⎛⎫= ⎪⎝⎭(1)求的通项公式；{}n a (2)设，求数列的前项和．()()1111n n n b a a +=++{}n b n n T 【答案】(1)；21n a n =-(2). 44n n T n =+【分析】（1）根据与之间的关系进行求解即可；n S n a （2）运用裂项相消法进行求解即可, 【详解】（1）在中，令，得， 212n n a S +⎛⎫= ⎪⎝⎭1n =11211112a a S a +⎛⇒⎫= ⎪⎝⎭==当时，由， ,2n n *∈≥N 22111122n n n n a a S S --++⎛⎫⎛⎫== ⎪⇒ ⎪⎝⎭⎝⎭于是有， ()()221111201122n n n n n n n n n a a a a S a a a S ----++⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭-⎝-⇒+-=⎭因为数列的各项均为正数，{}n a 所以由，()()111120202n n n n n n n n a a a a a a a a ----+--=⇒--=⇒-=所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，{}n a 所以有，显然适合，1(1)221n a n n =+-⋅=-11a =因此；21n a n =-（2）由（1）可知：， 21n a n =-所以， ()()()()1111111122241n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭. 11111114223144n n T n n n ⎛⎫=-+-++-= ⎪++⎝⎭ 21．已知圆过点，且圆心在直线上.C (6,0),(1,5)A B :2780l x y -+=(1)求圆的标准方程；C (2)过点且斜率为的直线与圆有两个不同的交点，若，其中为坐()0,5D k l C ,M N 30OM ON ⋅= O 标原点，求直线的方程.l 【答案】(1)22(3)(2)13x y -+-=(2)5y =【分析】（1）设出圆的标准方程，将两点坐标代入圆的方程，圆心坐标代入直线方程，解出三,A B 个参数，即可求出圆的方程；,,a b r （2）根据条件设出直线的方程，消去得到关于的一元二次方程，将韦达定理的表达式代入l y x ，解出的值，分别判断是否满足，从而得出直线方程.30OM ON ⋅= k 0∆>【详解】（1）设所求圆的方程为，222()()x a y b r -+-=则由题可得：，解得： 222222(6)(0)(1)(5)2780a b r a b r a b ⎧-+-=⎪-+-=⎨⎪-+=⎩{a =3b =2r 2=13故所求圆C 的方程为.22(3)(2)13x y -+-=（2）由题设，可知直线的方程为.l 5y kx =+代入方程，整理得，22(3)(2)13x y -+-=22(1)6(1)50k x k x +--+=设，1122(,),(,)M x y N x y 则，， 1226(1)1k x x k -+=+12251x x k =+12121212(5)(5)OM ON x x y y x x kx kx ⋅=+=+++ 21212230(1)(1)5()25301k k k x x k x x k -=++++=++由题设可得，解得或， 230(1)30=301k k k -++=1k =0k 经检验 不满足=1k 22[6(1)]4(1)50k k ∆=---⋅+⋅> 满足=0k 22[6(1)]4(1)50k k ∆=---⋅+⋅>所以的方程为.l 5y =22．已知正方形的边长为4，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，以EF 为棱将正方形ABCD 折成如图所示的60°的二面角，点M 在线段AB 上．(1)若M 为AB 的中点，且直线MF 与由A ，D ，E 三点所确定平面的交点为O ，试确定点O 的位置，并证明直线平面EMC ；//OD (2)是否存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为；若存在，求此时二面角60 M EC F --的余弦值，若不存在，说明理由．【答案】(1)点O 在EA 的延长线上，且，证明见解析；2AO =(2)存在，. 14【分析】（1）延长FM 与EA 的延长线交于点O ，判断点O 在平面ADE 内，连接DF 交CE 于N ，结合线面平行的判定推理作答；（2）以AE 的中点H 为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量确定点M 的位置，再计算两个平面夹角余弦作答.【详解】（1）依题意，四边形是矩形，点M 为AB 的中点，如图1，延长FM 与EA 的延长ABFE 线交于点O ，又平面ADE ，即有平面ADE ，因，且， EA ⊂O ∈//AM EF 1122AM AB EF ==因此点A 为线段EO 中点，即AO =2，M 为线段FO 的中点，连接DF 交CE 于N ，连接MN ，矩形CDEF 中，N 是线段DF 中点，于是得，而平面，平面，//MN OD MN ⊂EMC OD ⊄EMC 所以平面.//OD EMC （2）依题意，，，，平面，平面，则EF AE ⊥EF DE ⊥AE DE E = AE ⊂ADE DE ⊂ADE 平面，且为二面角的平面角，即. EF ⊥ADE AED ∠A EF D --60AED ∠=o连接，而，AD 2AE DE ==即有为正三角形，取的中点H ，连接DH ，则，ADE V AE DH AE ⊥由平面，平面，得平面平面，EF ⊥ADE EF ⊂ABFE ADE ⊥ABFE 又平面，平面平面，于是得平面，DH ⊂ADE ADE ABFE AE =DH ⊥ABFE 取BF 中点G ，连接HG ，由矩形得，即有两两垂直，ABFE HG AE ⊥,,HA HG HD 以点H 为原点，射线分别为轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图2，,,HA HG HD ,,x yz则点，，.()1,0,0E-(D (0,C 假设存在点M 满足条件，因点M 在线段AB 上，设，， ()1,,0M t ()04t ≤≤，，. (ED =(1,EC = ()2,,0EM t = 设平面的一个法向量，则， EMC ()111,,x n y z =111114020n EC x y n EM x ty ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩令， 1y=(),8n t =- 因直线DE 与平面EMC 所成的角为60°，则，解得或， ||sin 60|cos ,|||||n DE n DE n DE ⋅=〈〉===1t =3t =即存在点满足直线DE 与平面EMC 所成的角为60°，点为线段AB 的靠近点A 或B 的四等分M M 点.设平面的一个法向量，则， ECF ()222,,m x y z=22222040m ED x m EC x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩令，得， 21z =-)1m =-则.)()1,8m n t -⋅=⋅-u r r 3848t t t =--+=-+令平面MEC 与平面ECF 的夹角为，θ则||cos |cos ,|||||m n m n m n θ⋅=〈〉= ==显然或时，. 1t =3t =1cos 4θ=由图可知，二面角为锐角， M EC F --所以二面角的余弦值为. M EC F --14。
北京市高二上学期期末考试数学试题(解析版)
一、单选题1．直线经过两点，那么其斜率为（ ）l ()()1,3,2,5A B -k A ．B ．C ．D ． 2231232-【答案】B【解析】由两点的斜率公式可得答案.【详解】直线经过两点，则 l ()()1,3,2,5A B -()532213k -==--故选：B2．已知圆的方程，那么圆心和半径分别为（ ）()()22324x y ++-=A ．B ． ()32,2-,()3,2,2-C ．D ． ()32,4-,()3,2,4-【答案】A【解析】根据圆的标准方程，直接求解.【详解】由圆的标准方程可知，圆心是，半径.()3,2-2r =故选：A3．抛物线的焦点到其准线的距离是（ ）24y x =A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】由抛物线焦点到准线的距离为求解即可.22y px =p 【详解】因为抛物线焦点到准线的距离为,故抛物线的焦点到其准线的距离是2. 22y px =p 24y x =故选：C 【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程中的几何意义,属于基础题型.p 4．双曲线的离心率，那么的值是（ ） ()222107x y a a -=>43e =a A ．B ．C ．D ． 9432【答案】C【解析】由，结合可得解. 43c e a==22227c a b a =+=+【详解】双曲线中，， ()222107x y a a -=>22227c a b a =+=+又，所以，解得. 43c e a==221679a a =+3a =故选：C.5．如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建1111ABCD A B C D -D D 立空间直角坐标系，如果的坐标为，那么的坐标是（ ）1DB ()5,4,31AC u u u rA ．B ． ()5,4,3-()5,4,3--C ．D ．()4,5,3-()5,4,3--【答案】A 【解析】推导出,从而得到，即可求出 1=5=4,=3DA DC DD ，1(50,0)(0,4,3)A C ,，1AC u u u r 【详解】由题意得：∵的坐标为，1DB ()5,4,3∴,1=5=4,=3DA DC DD ，∴1(50,0)(0,4,3)A C ,，∴．()13=5,4,AC -u u u r 故选：A【点睛】求直线的方向向量的关键：(1)建立合适的坐标系；(2)直线的方向向量等于终点坐标减起点坐标．6．已知数列满足，，则的值为（ ） {}n a 11a =11n n na a a +=+6a A ． B ． C ．3 D ．6 1614【答案】A 【解析】由题中条件，根据递推公式，逐步计算，即可得出结果.【详解】因为，，所以，， 11a =11n n n a a a +=+121112a a a ==+23211211312a a a ===++，，. 34311311413a a a ===++45411411514a a a ===++56511511615a a a ===++故选：A.7．已知A ，B ，C ，D ，E 是空间中的五个点，其中点A ，B ，C 不共线，则“存在实数x ，y ，使得是“平面ABC ”的（ ）DE x AB y AC =+ //DE A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【分析】利用存在实数x ，y ，使得平面ABC 或平面ABC ，结合充DE xAB y AC =+⇔u u u r u u u r u u u r//DE DE ⊂分必要条件的定义即可求解. 【详解】若平面ABC ，则共面，故存在实数x ，y ，使得，所以//DE ,,DE AB AC u u u r u u u r u u u r DE x AB y AC =+ 必要性成立；若存在实数x ，y ，使得，则共面，则平面ABC 或平面DE x AB y AC =+ ,,DE AB AC u u u r u u u r u u u r //DE DE ⊂ABC ，所以充分性不成立；所以 “存在实数x ，y ，使得是“平面ABC ”的必要不充分条件，DE x AB y AC =+//DE 故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查空间向量共面的问题，理清存在实数x ，y ，使得平面ABC 或平面ABC 是解题的关键，属于基础题. DE xAB y AC =+⇔u u u r u u u r u u u r //DE DE ⊂8．已知圆的方程为，圆的方程为，其中．那么1O 22()()4x a y b -+-=2O 22(1)1x y b +-+=,a b ∈R 这两个圆的位置关系不可能为（ ）A ．外离B ．外切C ．内含D ．内切【答案】C【解析】求出圆心距的取值范围，然后利用圆心距与半径的和差关系判断.12O O 【详解】由两圆的标准方程可得，，，；()1,O a b 12r =()20,1O b -21r =则，所以两圆不可能内含.1121O O r r ≥=-故选：C.9．世界上最早在理论上计算出“十二平均律”的是我国明代杰出的律学家朱载堉，他当时称这种律制为“新法密率”十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都相等，且最后一个单音是第一个单音频率的2倍.已知第十个单音的频率，则与第四个单音的频率最接近的是（ ）10440Hz f =4f A ．880B ．622C ．311D ．220 Hz Hz Hz Hz 【答案】C【分析】依题意，每一个单音的频率构成一个等比数列，由，算出公比，结合1312f f =q ，即可求出.10440Hz f =4f 【详解】设第一个单音的频率为，则最后一个单音的频率为，1f 13f 由题意知，且每一个单音的频率构成一个等比数列，设公比为，1312f f =q则，解得： 121312f q f ==q =又， 10440Hz f =1046220 1.414311.08f f q ∴====≈⨯=则与第四个单音的频率最接近的是311,4f Hz 故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列通项公式的运算，解题的关键是分析题意将其转化为等比数列的知识，考查学生的计算能力，属于基础题.10．若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是2()x f x x e a =-a A ． B ． C ． D ．24(,)e +∞24(0,e 2(0,4)e (0,)+∞【答案】B【分析】求导函数，求出函数的极值，利用函数恰有三个零点，即可求实数的取2()x f x x e a =-a 值范围.【详解】函数的导数为，2x y x e =2'2(2)x x x y xe x e xe x =+=+令，则或，'0y =0x =2-上单调递减，上单调递增，20x -<<(,2),(0,)-∞-+∞所以0或是函数y 的极值点，2-函数的极值为：， 224(0)0,(2)4f f e e -=-==函数恰有三个零点，则实数的取值范围是：. 2()x f x x e a =-24(0,e故选B. 【点睛】该题考查的是有关结合函数零点个数，来确定参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意应用导数研究函数图象的走向，利用数形结合思想，转化为函数图象间交点个数的问题，难度不大.二、填空题11．已知数列的前n 项和，则___________.{}n a 221n S n n =-+3a =【答案】.3【分析】利用，代入即可求得的值.332a S S =-3a 【详解】由题意，数列的前n 项和，{}n a 221n S n n =-+可得.22332(3231)(2221)3a S S =-=-⨯+--⨯+=故答案为：.312．过抛物线焦点作直线，交抛物线于两点.若线段中点的横坐标为，则26y x =l ,A B AB M 2等于__________.||AB 【答案】7【解析】根据抛物线的方程即可求出，再根据中点坐标公式即可求出，最后根据抛物线3p =12x x +的焦点弦公式即可求出.||AB 【详解】解：，26y x = 则，3p =设，()()1122,,,A x y B x y 线段中点的横坐标为，AB M 2，12224x x ∴+=⨯=.12437AB x x p ∴=++=+=故答案为：.713．如果数列满足(为常数)，那么数列叫做等比差数列，叫做公比差.给{}n a 211n n n n a a k a a +++-=k {}n a k 出下列四个结论：①若数列满足，则该数列是等比差数列；{}n a 12n n a n a +=②数列是等比差数列；{2}n n ⋅③所有的等比数列都是等比差数列；④存在等差数列是等比差数列. 其中所有正确结论的序号是___________.【答案】①③④【解析】根据比等差数列的定义(为常数)，逐一判断①②③④中的四个数列是否211n n n n a a k a a +++-=k 是等比差数列，即可得到答案.【详解】①数列满足，则，满足等比差数列的定义，故①{}n a 12n n a n a +=2112(1)22n n n n a a n n a a +++-=+-=正确；②数列，{2}n n ⋅，不满足等比差数列的定+2122111(2)2(1)2(2)2(1)22(1)22(1)(1)n n n n n n n n a a a a n n n n n n n n n n n +++++-=+⋅+⋅⋅+⋅-+⋅-==-+⋅⋅⋅+⋅+义，故②错误；③等比数列，满足等比差数列，故③正确；2110n n n n a a a a +++-=④设等差数列的公差为，则， d 22112()n n n n n n n n n n a a a a a d a d d a d a a a d +++-++-=-=++故当时，满足，故存在等差数列是等比差数列，即④正确；0d =2110n n n n a a a a +++-=故答案为：①③④三、双空题14．若函数，则______；曲线在点处的切线的方程是______．()21e x f x +=()f x '=()y f x =()0,e P 【答案】 ##212e x +2e e y x =+2e 0x y e -+=【分析】直接由求导公式和法则即可求，计算为切线的斜率，再由点斜式可得解.()f x '()0f '【详解】由，得；()21e x f x +=()212e x f x +'=则切线的斜率为，()02e f '=所以切线方程为：，即()e 2e 0y x -=-2e e y x =+故答案为：；.212e x +2e e y x =+15．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的方程可以为___________(写出一个正确答2y x =案即可)；此时，你所写的方程对应的双曲线的离心率为___________.【答案】 2214y x -=【分析】由双曲线的渐近线方程，可写出双曲线的方程，进而求得离心率.【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，2y x =所以双曲线的方程为，故可取， 22(0)4y x k k -=≠2214y x -=此时，224,1a b ==2225c a b =+=∴所以离心率c e a ===故答案为： 2214y x -=16．已知直线与直线，，若，则______；若直线与1:220l x y -+=2:20l x ay --=a ∈R 12//l l =a 2l 圆心为的圆相交于，两点，且为直角三角形，则______．C ()()2214x a y -+-=A B ABC =a 【答案】 ； 121±【分析】利用两直线平行的条件建立方程，解方程求得的值；a.【详解】，，，12//l l 1:220l x y -+=2:20l x ay --=，解得； 21212a -∴=≠--12a =圆，圆心，半径， ()()2214x a y -+-=(),1a 2r =因为倍， ABC21a =±故答案为：；121±四、解答题17．已知等差数列满足. {}n a 234417a a a ==+,（1）求数列的通项公式；{}n a （2）若数列满足，再从①；②；③这三个条件中任选一个作{}n b 12b =12n n b b +=12n n b b +=1n n b b +=-为已知，求数列的前项和.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.{}n n a b +n n T 【答案】（1）；（2）答案见解析.32n a n =-【解析】（1）利用等差数列的通项公式直接求解； （2）分别求得数列的通项公式，利用分组求和的方法求解.{}n b 【详解】解：（1）设等差数列的公差为. {}n a d 由，可得， 234417a a a =⎧⎨+=⎩1142517a d a d +=⎧⎨+=⎩解得.113a d ==，所以1(1)32n a a n d n =+-=-（2）选①：由，可得，， 12b =12n n b b +=0n b ≠12n nb b +=所以是等比数列，公比.{}n b 2q =所以.112n n n b b q -==所以1212()()n n n T a a a b b b =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ (132)2(12)212n n n +--=+- 213222n n n +-=+-选②：由，可得，， 12b =12n n b b +=0n b ≠112n n b b +=所以是等比数列，公比. {}n b 12q =所以.1121112(()22n n n n b b q ---==⋅=所以 1212()()n n n T a a a b b b =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+12(1())(132)21212n n n -+-=+-. 2231()422n n n --=-+选③：由，可得，， 12b =1n n b b +=-0n b ≠11n nb b +=-所以是等比数列，公比，{}n b 1q =-所以.1112(1)n n n b b q --==⋅-所以1212()()n n n T a a a b b b =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ (132)2(1(1))21(1)n n n +---=+--. 232(1)2n n n -+=--18．四棱锥的底面是矩形，侧棱底面，是的中点， P ABCD -PA ⊥ABCD E PD .212PA ,AB ,AD ===（1）求证：平面；//PB ACE （2）求直线与平面所成角的正弦值； CP ACE （3）求点到平面的距离.P ACE 【答案】（1）证明见解析；（23【解析】（1）连结交于，连结，利用中位线定理以及线面平行的判定定理BD AC O OE （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角即可；（3）利用向量法求点到平面的距离即可.【详解】（1）证明：连结交于，连结 BD AC O OE 因为四边形是矩形，所以为中点ABCD O BD 又因为是的中点，所以E PD //PB OE 因为平面，平面PB ⊄ACE OE ⊂ACE 所以平面//PB ACE（2）四棱锥的底面是矩形，侧棱底面，因此以为原点，以为轴，以P ABCD -PA ⊥ABCD A AB x 为轴，建立空间直角坐标系.ADy所以(0,0,2),(1,2,0),(0,2,0),(0,1,1),(1,0,0)P C D E B 设平面的一个法向量为ACE (,,)n a b c = ，即： 00n AE n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ()220{{12,1,101a ab b n bc c =-+=⇒=⇒=--+==- 设直线与平面所成角为 CP ACE θ由，平面的一个法向量为(1,2,2)PC =- ACE (2,1,1)n =-- 所以sin cos ,PC n PC n PC nθ⋅====⋅ 即直线与平面CP ACE （3）设点到平面的距离，则P ACE d d =所以点到平面 P BDE 【点睛】关键点睛：在求线面角以及点到平面的距离时，关键是建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角以及点到平面的距离.19．已知函数在点处的切线方程为．()321f x x ax =+-()()1,1f --320x y ++=(1)求函数的解析式；()f x (2)求函数在区间上的最大值与最小值；()f x []1,2-(3)方程有三个不同的实根，求实数的取值范围．()f x m =m 【答案】(1)()3231f x x x =+-(2)最大值19，最小值是1-(3)()1,3-【分析】（1）求出函数的导数，计算f '（﹣1），得到关于a 的方程，求出a 的值，从而求出函数的解析式即可；（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可．（3）先作出函数的图像，再观察它和直线的关系得到实数的取值范围.()y f x =y m =m 【详解】（1）()232f x x ax '=+函数在点处的切线的斜率()321f x x ax =+-()()1,1f --()132k f a '=-=-由题意可知，得323a -=-3a =∴函数的解析式为()f x ()3231f x x x =+-（2）由（1）知，()236f x x x '=+[]1,2x ∈-令，解得()0f x '=0x =令，解得()0f x ¢>02x <<令，解得()0f x '<10x -<<列表：x 1-()1,0-0 ()0,2 2()f x '0 -0 +0()f x 1 1- 19从上表可知，，在区间上，()()12f f -<[]1,2-当时，取得最大值19，2x =()f x 当时，取得最小值是.0x =()f x 1-（3）方程有三个不同的实数根，即的图像与直线有三个交点.()f x m =()y f x =y m =由（2）分析可得，函数在单调递增，在单调递减，在单调()f x (),2x ∞∈--()2,0x ∈-()0,x ∈+∞递增，而，，所以.()23f -=()01f =-()1,3m ∈-20．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，焦距是2222:1(0)x y C a b a b+=>>(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：与椭圆C 交于两个不同点D ，E ，以线段为直径的圆经过原点，求实40x my --=DE 数的值；m (3)设A ，B 为椭圆C 的左､右顶点，为椭圆C 上除A ，B 外任意一点，线段的垂直平分线分H BH 别交直线和直线于点P 和点Q ，分别过点P 和Q 作轴的垂线，垂足分别为M 和N ，求BH AH x 证：线段MN 的长为定值.【答案】(1) 2214x y +=(2)m =(3)证明见详解【分析】（1）根据题意，列出关于的方程组，求得的值，即可得到椭圆方程； ,,a b c ,a b （2）联立方程组，求得，结合，列出方程求得的值，即121222812,44m y y y y m m +=-=++OD OE ⊥m 可求解； （3）设，由此得到，利用分别表示出直线和的方程，联立两()00,H x y 002,22x y P +⎛⎫ ⎪⎝⎭00,x y PQ AH直线方程，求出点横坐标，进而可求出线段的长，得出结论成立.Q MN 【详解】（1）解：由题意，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，焦距是2222:1x y C a b+=可得，解得222224c a b a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩2,1,a b c ===因此椭圆的方程为. C 2214x y +=（2）解：设，，()11,D x y ()22,E x y 联立方程组 ，整理得， 224014x my x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩()2248120m y my +++=由，解得，()22644840∆=-+>m m 212m >则， 121222812,44m y y y y m m +=-=++因为以线段为直径的圆经过原点，所以，则，DE OD OE ⊥12120OD OE x x y y ⋅=+= 可得，即， ()()1212440my my y y +++=()()2121214160m y y m y y ++++=代入得，整理得满足， ()22221213216044m m m m +-+=++219m =212m >所以m =（3）解：因为，为椭圆的左､右顶点，可得，，A B C ()2,0A -()2,0B 设，则，所以，则， ()()000,2H x y x ≠±220014x y +=220044x y -=-0000242x y y x --=+因为线段的垂直平分线分别交直线和直线于点和点，BH BH AH P Q 则为中点，所以， P BH 002,22x y P +⎛⎫ ⎪⎝⎭又因为直线的斜率为，所以其垂直平分线的斜率为， BH 002BH y k x =-PQ 002PQ x k y -=-则的方程为， PQ 0000000000002244242222222y x x y y x y y x x x y y x x x -++⎛⎫-=--=-⋅=- ⎪+++⎝⎭即； 0004322y y y x x =-+又由直线的斜率为，所以直线的方程为， AH 002AH y k x =+AH ()0022y y x x =++由，可得，则， ()00000432222y y y x x y y x x ⎧=-⎪+⎪⎨⎪=+⎪+⎩()00000432222y y y x x x x -=+++00432222x x x x +-=++解得，即， 0523x x =+0523Q x x =+又因为、分别为、在轴的垂足， M N PM QN x 则，， 002122M P x x x x +===+0523N Q x x x ==+所以为定值. 23M N MN x x =-=21．设等差数列的各项均为整数，且满足对任意正整数，总存在正整数，使得{}n a n m ，则称这样的数列具有性质．12n m a a a a +++= {}n a P (1)若数列的通项公式为，数列是否具有性质？并说明理由；{}n a 2n a n ={}n a P (2)若，求出具有性质的数列公差的所有可能值；13a =P {}n a (3)对于给定的，具有性质的数列是有限个，还是可以无穷多个？(直接写出结论)1a P {}n a 【答案】(1)数列具有性质，理由见解析；{}n a P (2)，；13(3)有限个.【分析】（1）由题意，由性质的定义，即可知是否具有()122123n a a a n +++=⨯++++ P {}n a 性质.P （2）由题设，存在，结合已知得且，则()*12N k a a a k +=∈2k ≠32d k =-，由性质的定义只需保证为整数即可确定公差的()()()1211122n n n a a a a n k d ⎡⎤-+++=+--+⎢⎥⎣⎦P d 所有可能值；（3）根据（2）的思路，可得且，由为整数，在为定值只需2k ≠1Z 2a d k =∈-12n a a a +++ 1a d 为整数，即可判断数列的个数是否有限.{}n a 【详解】（1）由，对任意正整数，， 2n a n =n ()122123n a a a n +++=⨯++++ 说明仍为数列中的项，12n a a a +++ {}n a∴数列具有性质.{}n a P （2）设的公差为．由条件知：，则，即{}n a d ()*12N k a a a k +=∈()1121a d a k d +=+-，()12k d a -=∴必有且，则， 2k ≠1322a d k k ==--()111111=3322n n n a a n d a a k k --=+-=++⨯--而此时对任意正整数，， n ()()()121111222n n n n a a a na d a n k d -⎡⎤+++=+=+--+⎢⎥⎣⎦ 又必一奇一偶，即为非负整数 ,1n n -()()122n n k ⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦因此，只要为正整数且， 32d k =-210k -+≥那么为中的一项． ()()()11122n n a n k d -⎡⎤+--+⎢⎥⎣⎦{}n a 易知：可取，对应得到个满足条件的等差数列. 2k -13，3（3）同（2）知：，则，*12(N )k a a a k +=∈1(2)a k d =-∴必有且，则， 2k ≠1Z 2a d k =∈-()()121122n n a a a a n k d ⎡⎤+++=+--+⎢⎥⎣⎦ 故任意给定，公差均为有限个，1a d ∴具有性质的数列是有限个.P {}n a 【点睛】关键点点睛：根据性质的定义，在第2、3问中判断满足等差数列通P 12n a a a +++ {}n a 项公式，结合各项均为整数，判断公差的个数是否有限即可.。
顺义区高二期末数学试卷
考试时间：120分钟满分：100分一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列各数中，无理数是（）A. √2B. -πC. 3.14D. 0.1010010001…2. 函数f(x) = |x - 1| + 2的值域是（）A. [1, +∞)B. [2, +∞)C. [1, 3]D. [2, 3]3. 已知向量a = (2, -3)，向量b = (-1, 2)，则向量a与向量b的夹角余弦值为（）A. 1/5B. -1/5C. 1/√5D. -1/√54. 在三角形ABC中，已知角A、角B、角C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则角A的余弦值为（）A. 3/5B. 4/5C. 5/4D. 4/35. 下列函数中，在定义域内是增函数的是（）A. f(x) = x²B. f(x) = -x³C. f(x) = x² - 2x + 1D. f(x) = 2x + 3二、填空题（每题5分，共25分）6. 若复数z满足|z - 1| = 2，则复数z的实部为______。
7. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 2，d = 3，则S10 = ______。
8. 在△ABC中，若a² + b² = 5，c² = 4，则cosA = ______。
9. 函数f(x) = log₂(x + 1)的图象过点（______，______）。
10. 设函数f(x) = ax² + bx + c在x = 1时取得极值，则a = ______，b =______。
三、解答题（每题15分，共60分）11. （15分）已知函数f(x) = x³ - 3x² + 4x - 6，求：（1）函数f(x)的单调递增区间；（2）函数f(x)的极值。
12. （15分）已知数列{an}满足an = 2an-1 + 1，且a1 = 1，求：（1）数列{an}的通项公式；（2）数列{an}的前n项和。
北京高二上学期期末数学试题与答案
北京高二上学期期末数学试题一、选择题（每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的—项，请将答案填在答题纸上）1.已知命题：:p n ∀∈N ，2n n >，则¬p 是（ ） A. n ∀∈N ，2n n B. n ∀∈N ，2n n < C. n ∃∈N ，2nn D. n ∃∈N ，2n n >2.关于直线a ，b 以及平面M ，N 下列命题中正确的是（ ） A.若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b B.若a ∥M ，b ⊥a ，则b ⊥M C.若b M ⊂，且a ⊥b ，则a ⊥M D.若a ⊥M ，a ∥N ，则M ⊥N3.如果命题“p 或q ”是真命题，“非p ”是假命题，那么（ ） A.命题p 一定是假命题 B.命题q 一定是假命题 C.命题q 一定是真命题 D.命题q 是真命题或者是假命题4.已知直线l 1:ax+(a+1)y+1=0，l 2:x+ay+2=0，则“a=-2”是“l 1⊥l 2”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.设函数f(x)=xsinx 的导函数为f'(x)，则f'(x)等于（ ） A.sinx+xcosx B.xsinx+xcosx C.xcosx-xsinx D.sinx-xcosx6.已知双曲线2222:1x y C a b -=(a>0,b>0)的一条渐近线方程为5y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为（ ）A. 221810x y -=B. 22145x y -=C. 22154x y -=D. 22143x y -=7.已知点A(6,0)，抛物线C:y 2=4x 的焦点为F ，点P 在抛物线C 上，若点F 恰好在PA 的垂直平分线上，则PA 的长度为（ ）A. 23B. 25C.5D.68.已知点A(-1,1).若曲线G 上存在两点B ，C ，使△ABC 为正三角形，则称G 为Γ型曲线.给定下列四条曲线：①y=-x+3(0≤x ≤3)； ②)2220y x x =--；③()01y x x=-； ④()299024y x x=-；其中，Γ型曲线的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3二、填空题（每小题5分，共30分，请将答案填在答题纸上） 9.函数f(x)=e x -x-1的零点个数是________.10.若点P(2,2)为抛物线y 2=2px 上一点，则抛物线焦点坐标为________；点P 到抛物线的准线的距离为________.11.若函数f(x)=alnx-x 在区间(0,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是________.12.已知点F ，B 分别为双曲线2222:1x y C a b-=(a>0,b>0)的焦点和虚轴端点，若线段FB 的中点在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率是________.13.如图，在三棱锥A-BCD 中，2BC DC AB AD ====，BD=2，平面ABD ⊥平面BCD ，O 为BD 中点，点P ，Q 分别为线段AO ，BC 上的动点（不含端点），且AP=CQ ，则三棱锥P-QCO 体积的最大值为________.14.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x>0时，f(x)=x 2-ax+a ，其中a ∈R . ①f(-1)=________；②若f(x)的值域是R ，则a 的取值范围是________.三、解答题（共80分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步驟） 15.（本小题13分）已知函数31()443f x x x =-+.（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；（Ⅱ）求函数在区间[-3,4]上的最大值和最小值.16.（本小题13分）已知抛物线y 2=2px(p>0)的准线方程是12x =-，O 为坐标原点.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）若过点A(2,0)的直线l 与抛物线相交于B ，C 两点，求证：∠BOC=90°.17.（本小题14分）在Rt △ABF 中，AB=2BF=4，C ，E 分别是AB ，AF 的中点（如图1）.将此三角形沿CE 对折，使平面AEC ⊥平面BCEF （如图2），已知D 是AB 的中点.（Ⅰ）求证：CD ∥平面AEF ； （Ⅱ）求：三棱锥C-EBD 的体积.18.（本小题13分）已知函数()ln 1af x x x=+-，a ∈R . （Ⅰ）若曲线y=f(x)在点P(1,y 0)处的切线平行于直线y=-x+1，求函数y=f(x)的单调区间； （Ⅱ）若a>0，且对x ∈(0,2e]时，f(x)>0恒成立，求实数a 的取值范围.19.（本小题14分）已知椭圆2222:1x y C a b +=(a>b>0)的右顶点为A(2,0)，离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若经过点(1,0)直线l 与椭圆C 交于点E 、F ，且165EF =，求直线l 的方程； （Ⅲ）过定点M(0,2)的直线l 1与椭圆C 交于G ，H 两点（点G 在点M ，H 之间）.设直线l 1的斜率k>0，在x 轴上是否存在点P(m,0)，使得以P G ，PH 为邻边的平行四边形是菱形.如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，请说明理由；20.（本小题13分）已知函数f(x)=(x 2-x)lnx. （Ⅰ）求证：1是函数f(x)的极值点：（Ⅱ）设g(x)是函数f(x)的导函数，求证：g(x)>-1.北京高二上学期期末数学试题答案―、选择题（每小题4分，共40分。
2023-2024学年北京市顺义区高二(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市顺义区高二（上）期末数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1．直线x ﹣y ﹣1＝0的倾斜角是（ ） A ．π6B ．π4C ．π2D ．3π42．在空间直角坐标系O ﹣xyz 中，已知点A （2，﹣3，0），若向量AB →=(1，2，−3)，则点B 的坐标是（ ） A ．（﹣3，1，3）B ．（1，﹣5，3）C ．（3，﹣1，﹣3）D ．（﹣1，5，3）3．圆O 1：x 2+y 2=1与圆O 2：(x −3)2+(y −4)2=9的位置关系是（ ） A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切4．在数列{a n }中，a n +1＝2a n ，且a 1＝1，则a 4等于（ ） A ．4B ．6C ．8D ．165．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，BC ＝2，AA 1＝1，则点D 到平面BCD 1的距离为（ ） A ．1B ．3C ．√102D ．3√10106．已知双曲线C 经过点P(√2，3)，其渐近线方程为y ＝±3x ，则双曲线C 的方程为（ ） A ．x 26−y 24=1 B ．x 29−y 2=1C ．x 2−y 29=1D ．y 26−x 24=17．已知直线l 1：ax ﹣y ﹣1＝0，l 2：ax +（a +2）y ﹣1＝0．若l 1∥l 2，则实数a ＝（ ） A ．0或﹣3B ．0C ．﹣3D ．﹣1与08．已知等比数列{a n }的首项a 1＞1，公比为q ，记T n ＝a 1a 2…a n ．（n ∈N *），则“0＜q ＜1”是“数列{T n }为递减数列”的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件9．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水、惊垫、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种．这十二个节气，立竿测影，得其最短日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，春分日影长为7.5尺，则这十二个节气中后六个（春分至若种）日影长之和为（ ） A ．8.5尺B ．30尺C ．66尺D ．96尺10．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是棱CD 上的动点，则下列结论正确的是（ ）A ．直线AE 与B 1D 1所成角的范围是(π6，π2)B ．直线D 1E 与平面A 1D 1DA 所成角的最大值为π3C ．二面角E ﹣A 1B 1﹣A 的大小不确定D ．直线AE 与平面BB 1E 不垂直二、填空题（本题共5道小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡上.） 11．已知等差数列{a n }的首项为a 1＝﹣3，且a 3+a 8＝21，则a 10＝ ．12．已知平面α的法向量为n →=（﹣1，2，1），AB →=(3，x ，1)，若直线AB 与平面α平行，则x ＝ ． 13．已知圆C ：x 2+y 2﹣4x +3＝0，若直线y ＝kx ﹣1与圆C 有两个不同的交点，写出符合题意的一个实数k 的值 ．14．探照灯、汽车灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是抛物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．根据光路可逆图，在平面直角坐标系中，抛物线C ：y 2＝8x ，一条光线经过点M （10，y 0），与x 轴平行射到抛物线C 上，经过两次反射后经过点N(10，83)射出，则光线从点M 到点N 经过的总路程为 ．15．在数列{a n }中，若a n 2−a n−12=p ，（n ≥2，n ∈N *，p 为常数），则称{a n }为“等方差数列”，给出以下四个结论：①{√n }不是等方差数列；②若{a n }是等方差数列，则{(ka n )2}(k ∈N ∗，k 为常数）是等差数列； ③若{a n }是等方差数列，则(a kn+l }(k ，l ∈N ∗，k 、l 为常数）也是等方差数列； ④若{a n }既是等方差数列，又是等差数列，则该数列也一定是等比数列． 其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题共6道题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（13分）已知数列{a n}是等比数列，a1＝2，a4=16(n∈N∗)．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若{b n}为等差数列，且满足b2＝a1，b7＝a5，求数列{b n}的前n项和S n．17．（13分）已知ABCD﹣A1B1C1B1是正方体，点E为A1B1的中点，点F为B1C1的中点．（Ⅰ）求证：BD1⊥EF；（Ⅱ）求二面角E﹣FC﹣B的余弦值．18．（14分）如图，已知M是抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，F是抛物线C的焦点，以Fx为始边，FM为终边的∠xFM＝60°，且|FM|＝4，l为抛物线C的准线，O为原点．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若直线FM与抛物线C交于另一个点N，过N作x轴的平行线与l相交于点E．求证：M，O，E 三点共线．19．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BCD=π3，△P AD是等边三角形，平面P AD⊥平面ABCD，M为PC的中点．（Ⅰ）求证：P A∥平面MBD；（Ⅱ）求MD与平面ABCD所成角的正弦值；（Ⅲ）设点N在线段PB上，且PNPB=13，P A的中点为Q，判断点Q与平面MND的位置关系，并说明理由．20．（15分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)与y 轴的一个交点为A （0，1），离心率为√32． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆E 交于点B ，过点A 与l 垂直的直线与直线x ＝1交于点C ．若△ABC 为等腰直角三角形，求直线l 的方程．21．（15分）设数列{a n }的前n 项和为S n ．若对任意n ∈N *，总存在k ∈N *，使得S n ＝a k ，则称{a n }是“M 数列”．（Ⅰ）判断数列{3n }（n ∈N *）是不是“M 数列”，并说明理由；（Ⅱ）设{b n }是等差数列，其首项b 1＝1，公差d ∈N *，且{b n }是“M 数列”． ①求d 的值和数列{b n }的通项公式；②设c n =4b n 2+8b n +29b n +1，直接写出数列{c n }中最小的项．2023-2024学年北京市顺义区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1．直线x ﹣y ﹣1＝0的倾斜角是（ ） A ．π6B ．π4C ．π2D ．3π4解：直线x ﹣y ﹣1＝0的斜率为k ＝1，设直线的倾斜角为α，∴tan α＝1∵α∈[0，π]∴α=π4．故选：B ．2．在空间直角坐标系O ﹣xyz 中，已知点A （2，﹣3，0），若向量AB →=(1，2，−3)，则点B 的坐标是（ ） A ．（﹣3，1，3）B ．（1，﹣5，3）C ．（3，﹣1，﹣3）D ．（﹣1，5，3）解：∵点A （2，﹣3，0），向量AB →=(1，2，−3)，∴点B 的坐标是（3，﹣1，﹣3）．故选：C ．3．圆O 1：x 2+y 2=1与圆O 2：(x −3)2+(y −4)2=9的位置关系是（ ） A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切解：圆O 1：x 2+y 2=1的圆心O 1（0，0），半径r ＝1，圆O 2：(x −3)2+(y −4)2=9的圆心O 2（3，4），半径R ＝3，两圆心之间的距离|O 1O 2|＝5＞1+3＝4＝R +r ，两圆相外离． 故选：A ．4．在数列{a n }中，a n +1＝2a n ，且a 1＝1，则a 4等于（ ） A ．4B ．6C ．8D ．16解：在数列{a n }中，a n +1＝2a n ，则数列{a n }为等比数列，公比q ＝2，a 4=a 1q 3=1×8=8． 故选：C ．5．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，BC ＝2，AA 1＝1，则点D 到平面BCD 1的距离为（ ） A ．1B ．3C ．√102D ．3√1010解：如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，BC ＝2，AA 1＝1，则D （0，0，0），B （2，3，0），C （0，3，0），D 1（0，0，1）， 所以BC →=(−2，0，0)，BD 1→=(−2，−3，1)，DB →=(2，3，0)， 设平面BCD 1的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅BC →=0n →⋅BD 1→=0，即{−2x =0−2x −3y +z =0，令y ＝1，则x ＝0，z ＝3，即n →=(0，1，3)，所以点D 到平面BCD 1的距离d =|DB →⋅n →||n →|=3√10=3√1010． 故选：D ．6．已知双曲线C 经过点P(√2，3)，其渐近线方程为y ＝±3x ，则双曲线C 的方程为（ ） A ．x 26−y 24=1 B ．x 29−y 2=1C ．x 2−y 29=1D ．y 26−x 24=1解：根据题意，双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，则可以设其方程为y 29−x 2＝λ（λ≠0），又双曲线C 经过点P(√2，3)，则有329−（√2）2＝λ，解可得：λ＝﹣1，则双曲线的标准方程为：x 2−y 29=1． 故选：C ．7．已知直线l 1：ax ﹣y ﹣1＝0，l 2：ax +（a +2）y ﹣1＝0．若l 1∥l 2，则实数a ＝（ ） A ．0或﹣3B ．0C ．﹣3D ．﹣1与0解：由题意两条直线平行，可得：a （a +2）＝﹣a 且﹣1×（﹣1）≠﹣1×（a +2），解得a ＝0． 故选：B ．8．已知等比数列{a n }的首项a 1＞1，公比为q ，记T n ＝a 1a 2…a n ．（n ∈N *），则“0＜q ＜1”是“数列{T n }为递减数列”的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解：根据题意，当a 1＝4，q =12时，T 1＝a 1＝4，T 2＝a 1a 2＝8，数列{T n }不是递减数列，故“0＜q ＜1”不是“数列{T n }为递减数列”的充分条件； 反之，若数列{T n }为递减数列，由于T n T n−1=a n ＜1， 当q ＜0时，{a n }各项正负相间，不能保证T n T n−1＜1恒成立，故q ＞0，又由a 1＞1，必有0＜q ＜1，故“0＜q ＜1”是“数列{T n }为递减数列”的必要条件；综合可得：“0＜q ＜1”是“数列{T n }为递减数列”的必要不充分条件． 故选：C ．9．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水、惊垫、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种．这十二个节气，立竿测影，得其最短日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，春分日影长为7.5尺，则这十二个节气中后六个（春分至若种）日影长之和为（ ） A ．8.5尺B ．30尺C ．66尺D ．96尺解：这十二个节气，立竿测影，得其最短日影长依次成等差数列，设等差数列为{a n }，则由题意得{a 1+a 4+a 7=31.5a 7=7.5，解得a 1＝13.5，d ＝﹣1，∴这十二个节气中后六个（春分至若种）日影长之和为：S 12﹣S 6＝（12a 1+12×112d ）﹣（6a 1+6×52d ）＝6a 1+51d ＝6×13.5﹣51＝30（尺）． 故选：B ．10．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是棱CD 上的动点，则下列结论正确的是（ ）A ．直线AE 与B 1D 1所成角的范围是(π6，π2)B ．直线D 1E 与平面A 1D 1DA 所成角的最大值为π3C ．二面角E ﹣A 1B 1﹣A 的大小不确定D ．直线AE 与平面BB 1E 不垂直解：如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A （1，0，0），B （1，1，0），B 1（1，1，1），D 1（0，0，1），E （0，m ，0）（0≤m ≤1）， 对于选项A ：AE →=(−1，m ，0)，B 1D 1→=(−1，−1，0)， 设直线AE 与B 1D 1所成角为θ，则cosθ=|cos ＜AE →，B 1D 1→＞|=|1−m|√1+m 2×√2，当m ＝0时，最大值等于√22，此时θ最小为π4， 当m ＝1时，cos θ取最小值等于0，此时θ最大为π2，所以θ∈[π4，π2]，即直线AE 与B 1D 1所成角的范围为[π4，π2]，故A 错误；对于选项B ：当点E 运动到C 点时，显然直线D 1E 与平面A 1D 1DA 所成的角最大， 在正方体中，CD ⊥平面A 1D 1DA ，故∠CD 1D 即为直线D 1E 与平面A 1D 1DA 所成的最大角，在正方形CDD 1C 1中，∠CD 1D =π4，故直线D 1E 与平面A 1D 1DA 所成角的最大值为π4，故B 错误；对于选项C ：二面角E ﹣A 1B 1﹣A 即二面角D ﹣A 1B 1﹣A ，因为DA 1⊥A 1B 1，AA 1⊥A 1B 1，DA ⊂平面EAB 1，AA 1⊂平面AA 1B 1， 所以∠DA 1A 即为二面角E ﹣A 1B 1﹣A 的平面角，在正方形ADD 1A 中，∠DA 1A =π4，所以二面角E ﹣A 1B 1﹣A 的大小为π4，故C 错误；对于选项D ：因为AE →=(−1，m ，0)，BE →=(−1，m −1，0)， 则AE →⋅BE →=m 2−m +1=(m −12)2+34≠0，即AE 与BE 不可能垂直，故线AE 与平面BB 1E 不可能垂直，故D 正确． 故选：D ．二、填空题（本题共5道小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡上.） 11．已知等差数列{a n }的首项为a 1＝﹣3，且a 3+a 8＝21，则a 10＝ 24 ． 解：等差数列{a n }的首项为a 1＝﹣3，且a 3+a 8＝21， ∴﹣3+2d ﹣3+7d ＝21，解得d ＝3，则a 10＝﹣3+9×3＝24． 故答案为：24．12．已知平面α的法向量为n →=（﹣1，2，1），AB →=(3，x ，1)，若直线AB 与平面α平行，则x ＝ 1 ． 解：平面α的法向量为n →=（﹣1，2，1），AB →=(3，x ，1)， ∵直线AB 与平面α平行，∴n →⋅AB →=−3+2x +1＝0，解得x ＝1． 故答案为：1．13．已知圆C ：x 2+y 2﹣4x +3＝0，若直线y ＝kx ﹣1与圆C 有两个不同的交点，写出符合题意的一个实数k 的值 1（答案不唯一） ．解：圆C ：x 2+y 2﹣4x +3＝0，即（x ﹣2）2+y 2＝1，故圆心C 的坐标为（2，0），半径r ＝1， 直线y ＝kx ﹣1与圆C 有两个不同的交点，则√k 2+1＜1，解得0＜k ＜43，不妨取k ＝1．故答案为：1（答案不唯一）．14．探照灯、汽车灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是抛物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．根据光路可逆图，在平面直角坐标系中，抛物线C ：y 2＝8x ，一条光线经过点M （10，y 0），与x 轴平行射到抛物线C 上，经过两次反射后经过点N(10，83)射出，则光线从点M 到点N 经过的总路程为 24 ．解：设入射光线与抛物线交于点P ，反射光线与抛物线交于点Q ，如图，则{y 2=8x y =83，可得Q （89，83），因为F （2，0）， 所以直线QF 的方程为12x +5y ﹣24＝0，联立{y 2=8x 12x +5y −24=0，消去x 整理得3y 2+10y ﹣48＝0，可设P （x 0，y 0），显然83和y 0是该方程的两个根，则83y 0＝﹣16，所以y 0＝﹣6，故x 0=92．故光线从点M 到N 经过的总路程|MP |+|PQ |+|QN |＝（x M ﹣x P ）+（x P +x Q +4）+（x N ﹣x Q ）＝x M +x N +4＝24．故答案为：24．15．在数列{a n }中，若a n 2−a n−12=p ，（n ≥2，n ∈N *，p 为常数），则称{a n }为“等方差数列”，给出以下四个结论：①{√n }不是等方差数列；②若{a n }是等方差数列，则{(ka n )2}(k ∈N ∗，k 为常数）是等差数列； ③若{a n }是等方差数列，则(a kn+l }(k ，l ∈N ∗，k 、l 为常数）也是等方差数列； ④若{a n }既是等方差数列，又是等差数列，则该数列也一定是等比数列． 其中所有正确结论的序号是 ②③ ．解：由n ≥2时，（√n ）2﹣（√n −1）2＝n ﹣（n ﹣1）＝1为常数，可得{√n }为等方差数列，故①错误；若{a n }是等方差数列，则a n 2−a n−12=p ，（n ≥2，n ∈N *，p 为常数），（ka n ）2﹣（ka n ﹣1）2＝k 2（a n 2−a n−12）＝k 2p 为常数，即{(ka n )2}(k ∈N ∗，k 为常数）是等差数列，故②正确；若{a n }是等方差数列，则a n 2−a n−12=p ，（n ≥2，n ∈N *，p 为常数），即有a n 2=a 12+（n ﹣1）p ，则a kn+l 2−a k （n ﹣1）+l 2=a 12+（kn +l ﹣1）p −a 12−[k （n ﹣1）+l ﹣1]p ＝kp 为常数，则(a kn+l }(k ，l ∈N ∗，k 、l 为常数）也是等方差数列，故③正确；若{a n }既是等方差数列，又是等差数列，可得n ≥2时，a n 2−a n−12=p 为常数，且a n ﹣a n ﹣1＝d 为常数，若d ＝0，则p ＝0，{a n }为常数列，不一定为等比数列；则a n +a n ﹣1=p d （d ≠0），可得a n =12（d +p d），则该数列一定是常数列，故④错误．故答案为：②③．三、解答题共6道题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（13分）已知数列{a n }是等比数列，a 1＝2，a 4=16(n ∈N ∗)． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若{b n }为等差数列，且满足b 2＝a 1，b 7＝a 5，求数列{b n }的前n 项和S n ． 解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由a 1＝2，a 4＝16，得q 3=a 4a 1=8，所以q ＝2， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2•2n ﹣1＝2n ．（Ⅱ）设数列{b n }的公差为d ，因为b 2＝a 1＝2，b 7＝a 5＝32，所以d =b 7−b 25=32−25=6， 所以b n ＝b 2+（n ﹣2）d ＝2+（n ﹣2）×6＝6n ﹣10， 所以S n =(b 1+b n )n 2=(−4+6n−10)n2=n （3n ﹣7）． 17．（13分）已知ABCD ﹣A 1B 1C 1B 1是正方体，点E 为A 1B 1的中点，点F 为B 1C 1的中点． （Ⅰ）求证：BD 1⊥EF ；（Ⅱ）求二面角E ﹣FC ﹣B 的余弦值．解：（1）证明：依题意以D 为原点，DA ，DC ，DD 1，所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，如图，设正方体棱长为2，则B （2，2，0），D 1（0，0，2），C （0，2，0）， 因为E ，F 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点， 所以E （2，1，2），F （1，2，2），所以BD →1=(−2，−2，2)，EF →=(−1，1，0)， BD 1→⋅EF →=(−2)×(−1)+(−2)×1+0=0， 所以BD →1⊥EF →，所以BD 1⊥EF ．（2）因为DC 上平面BCF ，所以平面BCF 的一个法向量为m →=(0，1，0)， 设平面EF 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)， 因为EF →=(−1，1，0)，FC →=(−1，0，−2)， 所以{n →⋅EF →=−x +y =0n →⋅Fc →=−x −2z =0，令z ＝1，则x ＝﹣2，y ＝﹣2，所以n →=(−2，−2，1)，cos〈m →，n →〉=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=1×9=−23，因为二面角E ﹣FC ﹣B 是锐二面角，所以二面角E ﹣FC ﹣B 的条弦值为23．18．（14分）如图，已知M 是抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上一点，F 是抛物线C 的焦点，以Fx 为始边，FM 为终边的∠xFM ＝60°，且|FM |＝4，l 为抛物线C 的准线，O 为原点． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）若直线FM 与抛物线C 交于另一个点N ，过N 作x 轴的平行线与l 相交于点E ．求证：M ，O ，E 三点共线．（Ⅰ）解：由题意可得F(p 2，0)，l ：x =−p 2，又以Fx为始边，FM为终边的∠xFM＝60°，且|FM|＝4，则M(p2+4cos60°，4sin60°)，即M(p2+2，2√3)，又M是抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，则(2√3)2=2p(p2+2)，即p2+4p﹣12＝0，又p＞0，则p＝2，即抛物线C的方程为y2＝4x；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得直线FM的方程为y=√3(x−1)，联立{y=√3(x−1)y2=4x，消y可得3x2﹣10x+3＝0，则x＝3或x=13，即x N=13，则y N=√3×(13−1)=−2√33，即E(−1，−2√33)，则k OM=2√33，k OE=−2√33−1=2√33，即k OM＝k OE，即M，O，E三点共线．19．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BCD=π3，△P AD是等边三角形，平面P AD⊥平面ABCD，M为PC的中点．（Ⅰ）求证：P A∥平面MBD；（Ⅱ）求MD与平面ABCD所成角的正弦值；（Ⅲ）设点N在线段PB上，且PNPB=13，P A的中点为Q，判断点Q与平面MND的位置关系，并说明理由．证明：（Ⅰ）如图，连接AC 交BD 于E ，连接ME ， 因为底面ABCD 是边长为2的菱形， 所以E 是BD 的中点，又M 为PC 的中点， 所以P A ∥ME ，又ME ⊂平面MBD ，P A ⊄平面MBD ， 所以P A ∥平面MBD ；解：（Ⅱ）设AD 的中点为O ，连接BO ，PO 因为底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BCD =π3，所以BO ⊥AD ，又△P AD 是等边三角形，则PO ⊥AD ，又平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ， BO ⊂平面ABCD ，PO ⊂平面P AD ，则以O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则D （0，1，0），P （0，0，√3），C （√3，2，0），M （√32，1，√32）， 所以MD →=(−√32，0，−√32)，又平面ABCD 的一个法向量为PO →=(0，0，−√3)，设MD 与平面ABCD 所成的角为α，则sin α＝|cos ＜MD →，PO →＞|=|PO →⋅MD →||MD →|⋅|PO →|=32√62×√3=√22；（Ⅲ）Q ∈平面MND ，理由如下： 因为PNPB =13，B （√3，0，0），P （0，0，√3）， 所以N （√33，0，2√33），又P A 的中点为Q ，A （0，﹣1，0），所以Q （0，−12，√32），QN →=(√33，12，√36)，QM →=(√32，32，0)，QD →=(0，32，−√32)，所以QD →=2QM →−3QN →， 所以Q ∈平面MND ．20．（15分）已知椭圆E：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)与y轴的一个交点为A（0，1），离心率为√32．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与椭圆E交于点B，过点A与l垂直的直线与直线x＝1交于点C．若△ABC 为等腰直角三角形，求直线l的方程．解：（Ⅰ）因为椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)与y轴的一个交点为A（0，1），离心率为√32，所以b＝1，e=ca=√1−b2a2=√32，所以a＝2，所以椭圆C的标准方程为x24+y2=1．（Ⅱ）由题意知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为：y＝kx+1，B（x1，y1），C（1，y2），k AC=−1k，由{y−kx+1x24+y2=1，得（1+4k2）x2+8kx＝0，解得x1=−8k1+4k2，|AB|=√1+k2|x1﹣x2|=√1+k2|8k1+4k2|，|AC|=√1+(−1k)2，因为△ABC为等腰直角三角形，所以√1+k2|8k1+4k2|=√1+(−1k)2，化简得4k2＝1，解得k=±12，所以直线l的方程为y=±12x+1．21．（15分）设数列{a n}的前n项和为S n．若对任意n∈N*，总存在k∈N*，使得S n＝a k，则称{a n}是“M数列”．（Ⅰ）判断数列{3n}（n∈N*）是不是“M数列”，并说明理由；（Ⅱ）设{b n}是等差数列，其首项b1＝1，公差d∈N*，且{b n}是“M数列”．①求d的值和数列{b n}的通项公式；②设c n=4b n2+8b n+29b n+1，直接写出数列{c n}中最小的项．解：（Ⅰ）数列{3n}不是“M数列”，理由如下：a n=3n，当n＝2时，S2＝3+9＝12，此时找不到k∈N*，使得a k＝12．所以数列{3n}不是“M数列”．（Ⅱ）①{b n}是等差数列，且首项b1＝1，公差d∈N*，则b n＝1+（n﹣1）d，S n=n+n(n−1)2d，故对任意n∈N*，总存在k∈N*，使得n+n(n−1)2d=1+(k−1)d成立，则k=n−1d+n(n−1)2+1，其中n(n−1)2+1为非负整数，要使k∈N*，需要n−1d恒为整数，即d为所有非负整数的公约数，又d∈N*，所以d＝1，所以b n＝n．②c n=4b n2+8b n+29b n+1，所以c n=4n2+8n+29n+1=4(n+1)2+25n+1=4(n+1)+25n+1，由y=4t+25t的单调性知，函数在t∈(0，52)为减函数，在t∈(52，+∞)为增函数，当n+1＝2时，c n=412；当n+1＝3时，c n=613，所以，当n＝2时，∁n有最小值61 3．即数列{c n}中最小的项为61 3．。
北京市顺义区高二数学上学期期末试卷 理(含解析)
2015-2016学年北京市顺义区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题供8小题，每小题5分，供40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线的倾斜角是（）A．B．C． D．2．直线l过点P（2，﹣2），且与直线x+2y﹣3=0垂直，则直线l的方程为（）A．2x+y﹣2=0 B．2x﹣y﹣6=0 C．x﹣2y﹣6=0 D．x﹣2y+5=03．一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的侧面面积为12π，则该几何体的体积是（）A．4πB．12π C．16π D．48π4．在空间中，下列命题正确的是（）A．如果直线m∥平面α，直线n⊂α内，那么m∥nB．如果平面α内的两条直线都平行于平面β，那么平面α∥平面βC．如果平面α外的一条直线m垂直于平面α内的两条相交直线，那么m⊥αD．如果平面α⊥平面β，任取直线m⊂α，那么必有m⊥β5．如果直线3ax+y﹣1=0与直线（1﹣2a）x+ay+1=0平行．那么a等于（）A．﹣1 B．C．3 D．﹣1或6．方程x2+2ax+y2=0（a≠0）表示的圆（）A．关于x轴对称 B．关于y轴对称C．关于直线y=x轴对称D．关于直线y=﹣x轴对称7．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，AD的中点，则CD1与EF所成角为（）A．0°B．45° C．60° D．90°8．如果过点M（﹣2，0）的直线l与椭圆有公共点，那么直线l的斜率k的取值范围是（）A．B． C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．已知双曲线的标准方程为，则该双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为．10．已知向量，且，则y= ．11．已知点A（m，﹣2，n），点B（﹣5，6，24）和向量且∥．则点A的坐标为．12．直线2x+3y+6=0与坐标轴所围成的三角形的面积为．13．抛物线y2=﹣8x上到焦点距离等于6的点的坐标是．14．已知点A（2，0），点B（0，3），点C在圆x2+y2=1上，当△ABC的面积最小时，点C的坐标为．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，E，F，G分别是AC，AD，BC的中点．求证：（I）AB∥平面EFG；（II）平面EFG⊥平面ABC．16．已知斜率为2的直线l被圆x2+y2+14y+24=0所截得的弦长为，求直线l的方程．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，E为PA 的中点，M在PD上．（I）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）若，则当λ为何值时，平面BEM⊥平面PAB？（Ⅲ）在（II）的条件下，求证：PC∥平面BEM．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，平面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，PD=CD，E为PC的中点．（I）求证：AC⊥PB；（Ⅱ）求二面角P﹣BD﹣E的余弦值．19．已知斜率为1的直线l经过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且与抛物线相交于A，B 两点，|AB|=4．（I）求p的值；（Ⅱ）设经过点B和抛物线对称轴平行的直线交抛物线y2=2px的准线于点D，求证：A，O，D三点共线（O为坐标原点）．20．已知椭圆的左焦点为F，离心率为，过点M（0，1）且与x轴平行的直线被椭圆G截得的线段长为．（I）求椭圆G的方程；（II）设动点P在椭圆G上（P不是顶点），若直线FP的斜率大于，求直线OP（O是坐标原点）的斜率的取值范围．2015-2016学年北京市顺义区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题供8小题，每小题5分，供40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线的倾斜角是（）A．B．C． D．【考点】直线的倾斜角．【分析】先求出直线的斜率，再根据斜率是倾斜角的正切值，计算倾斜角即可．【解答】解：设倾斜角为α，∵直线的斜率为，∴tanα=，∵0°＜α＜180°，∴α=30°故选A．2．直线l过点P（2，﹣2），且与直线x+2y﹣3=0垂直，则直线l的方程为（）A．2x+y﹣2=0 B．2x﹣y﹣6=0 C．x﹣2y﹣6=0 D．x﹣2y+5=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】由直线的垂直关系可得直线的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可．【解答】解：∵直线x+2y﹣3=0的斜率为﹣，∴与直线x+2y﹣3=0垂直的直线斜率为2，故直线l的方程为y﹣（﹣2）=2（x﹣2），化为一般式可得2x﹣y﹣6=0故选：B3．一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的侧面面积为12π，则该几何体的体积是（）A．4πB．12π C．16π D．48π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为圆柱，底面半径为2，根据侧面积求出圆柱的高h，代入体积公式计算即可．【解答】解：由三视图可知几何体是底面半径为2的圆柱，∴几何体的侧面积为2π×2×h=12π，解得h=3，∴几何体的体积V=π×22×3=12π．故选B．4．在空间中，下列命题正确的是（）A．如果直线m∥平面α，直线n⊂α内，那么m∥nB．如果平面α内的两条直线都平行于平面β，那么平面α∥平面βC．如果平面α外的一条直线m垂直于平面α内的两条相交直线，那么m⊥αD．如果平面α⊥平面β，任取直线m⊂α，那么必有m⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用线面平行、平面与平面平行的判定与性质，线面垂直、平面与平面垂直的判定与性质，即可得出结论．【解答】解：对于A，直线m∥平面α，直线n⊂α内，则m与n可能平行，可能异面，故不正确；对于B，如果平面α内的两条相交直线都平行于平面β，那么平面α∥平面β，故不正确；对于C，根据线面垂直的判定定理可得正确；对于D，如果平面α⊥平面β，任取直线m⊂α，那么可能m⊥β，也可能m和β斜交，；故选：C．5．如果直线3ax+y﹣1=0与直线（1﹣2a）x+ay+1=0平行．那么a等于（）A．﹣1 B．C．3 D．﹣1或【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由直线的平行关系可得a的方程，解方程排除直线重合即可．【解答】解：∵直线3ax+y﹣1=0与直线（1﹣2a）x+ay+1=0平行，∴3a•a=1•（1﹣2a），解得a=﹣1或a=，经检验当a=﹣1时，两直线重合，应舍去，故选：B．6．方程x2+2ax+y2=0（a≠0）表示的圆（）A．关于x轴对称 B．关于y轴对称C．关于直线y=x轴对称D．关于直线y=﹣x轴对称【考点】圆的一般方程．【分析】方程x2+2ax+y2=0（a≠0）可化为（x+a）2+y2=a2，圆心为（﹣a，0），即可得出结论．【解答】解：方程x2+2ax+y2=0（a≠0）可化为（x+a）2+y2=a2，圆心为（﹣a，0），∴方程x2+2ax+y2=0（a≠0）表示的圆关于x轴对称，故选：A．7．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，AD的中点，则CD1与EF所成角为（）A．0°B．45° C．60° D．90°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】由EF∥A1D，A1B∥D1C，得∠DA1B是CD1与EF所成角，由此能求出CD1与EF所成角．【解答】解：连结A1D、BD、A1B，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，AD的中点，∴EF∥A1D，∵A1B∥D1C，∴∠DA1B是CD1与EF所成角，∵A1D=A1B=BD，∴∠DA1B=60°．∴CD1与EF所成角为60°．故选：C．8．如果过点M（﹣2，0）的直线l与椭圆有公共点，那么直线l的斜率k的取值范围是（）A．B． C．D．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．【分析】设过点M（﹣2，0）的直线l的方程为y=k（x+2），与椭圆方程联立，得（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣2=0，由此利用根的判别式能求出直线l的斜率k的取值范围．【解答】解：设过点M（﹣2，0）的直线l的方程为y=k（x+2），联立，得（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣2=0，∵过点M（﹣2，0）的直线l与椭圆有公共点，∴△=64k4﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）≥0，整理，得k2，解得﹣≤k≤．∴直线l的斜率k的取值范围是[﹣，]．故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．已知双曲线的标准方程为，则该双曲线的焦点坐标为，（±，0）渐近线方程为y=±2x ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的a，b，c，即可得到焦点坐标；由渐近线方程为y=±x，可得所求渐近线方程．【解答】解：双曲线的a=2，b=4，c==2，可得焦点的坐标为（±，0），渐近线方程为y=±x，即为y=±2x．故答案为：（±，0），y=±2x．10．已知向量，且，则y= ﹣4 ．【考点】空间向量的数量积运算．【分析】代入数量积公式列方程解出．【解答】解：∵， =0，即﹣10﹣3y﹣2=0，解得y=﹣4．故答案为﹣4．11．已知点A（m，﹣2，n），点B（﹣5，6，24）和向量且∥．则点A的坐标为（1，﹣2，0）．【考点】共线向量与共面向量．【分析】根据空间向量的坐标表示与运算，求出，再根据共线定理列出方程组求出m、n 的值，即可得出点A的坐标．【解答】解：∵点A（m，﹣2，n），点B（﹣5，6，24），∴=（﹣5﹣m，8，24﹣n）；又向量，且∥，∴=λ，即，解得λ=2，m=1，n=0；∴点A的坐标为（1，﹣2，0）．故答案为：（1，﹣2，0）．12．直线2x+3y+6=0与坐标轴所围成的三角形的面积为 3 ．【考点】直线的一般式方程．【分析】由直线方程可得直线与坐标轴的交点，由三角形的面积公式可得．【解答】解：把x=0代入2x+3y+6=0可得y=﹣2，把y=0代入2x+3y+6=0可得x=﹣3，∴直线与坐标轴的交点为（0，﹣2）和（﹣3，0），故三角形的面积S=×2×3=3，故答案为：3．13．抛物线y2=﹣8x上到焦点距离等于6的点的坐标是（﹣4，）．【考点】抛物线的简单性质．【分析】算出抛物线的焦点为F（﹣2，0），准线为x=2．设抛物线上点P（m，n）到焦点F 的距离等于6，利用抛物线的定义可得﹣m+2=6，解得m=﹣4，进而利用抛物线方程解出n=±4，可得所求点的坐标．【解答】解：∵抛物线方程为y2=﹣8x，可得2p=8， =2．∴抛物线的焦点为F（﹣2，0），准线为x=2．设抛物线上点P（m，n）到焦点F的距离等于6，根据抛物线的定义，得点P到F的距离等于P到准线的距离，即|PF|=﹣m+2=6，解得m=﹣4，∴n2=8m=32，可得n=±4，因此，点P的坐标为（﹣4，）．故答案为：（﹣4，）．14．已知点A（2，0），点B（0，3），点C在圆x2+y2=1上，当△ABC的面积最小时，点C的坐标为（，）．【考点】圆的标准方程．【分析】设C（a，b）．根据点A、B的坐标利用待定系数法求得直线AB方程，然后根据点到直线的距离和不等式的性质得到a、b的数量关系，将其代入圆的方程即可求得a、b的值，即点C的坐标．【解答】解：设C（a，b）．则a2+b2=1，①∵点A（2，0），点B（0，3），∴直线AB的解析式为：3x+2y﹣6=0．如图，过点C作CF⊥AB于点F，欲使△ABC的面积最小，只需线段CF最短．则CF=≥，当且仅当2a=3b时，取“=”，∴a=，②联立①②求得：a=，b=，故点C的坐标为（，）．故答案是：（，）．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，E，F，G分别是AC，AD，BC的中点．求证：（I）AB∥平面EFG；（II）平面EFG⊥平面ABC．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（I）利用线线平行证明线面平行，利用三角形中位线的性质证明AB∥EG即可；（II）证明CD⊥平面ABC，可得EF⊥平面ABC，从而可证平面平面EFG⊥平面ABC．【解答】证明：（I）在三棱锥A﹣BCD中，E，G分别是AC，BC的中点．所以AB∥EG…因为EG⊂平面EFG，AB⊄平面EFG所以AB∥平面EFG…（II）因为AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD所以AB⊥CD…又BC⊥CD且AB∩BC=B所以CD⊥平面ABC…又E，F分别是AC，AD，的中点所以CD∥EF所以EF⊥平面ABC…又EF⊂平面EFG，所以平面平面EFG⊥平面ABC．…16．已知斜率为2的直线l被圆x2+y2+14y+24=0所截得的弦长为，求直线l的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】先设直线的方程，再求出圆心到直线的距离，再由半径的平方等于圆心到直线的距离平方与弦长一半的平方的和建立方程求解．【解答】解：将圆的方程写成标准形式，得x2+（y+7）2=25，所以，圆心坐标是（0，﹣7），半径长r=5．…因为直线l被圆所截得的弦长是，所以，弦心距为，即圆心到所求直线l的距离为．…因为直线l的斜率为2，所以可设所求直线l的方程为y=2x+b，即2x﹣y+b=0．所以圆心到直线l的距离为，…因此，解得b=﹣2，或b=﹣12．…所以，所求直线l的方程为y=2x﹣2，或y=2x﹣12．即2x﹣y﹣2=0，或2x﹣y﹣12=0．…17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，E为PA 的中点，M在PD上．（I）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）若，则当λ为何值时，平面BEM⊥平面PAB？（Ⅲ）在（II）的条件下，求证：PC∥平面BEM．【考点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面垂直的判定．【分析】（I）由平面PAB⊥平面ABCD可得AD⊥平面PAB，进而得出AD⊥PB；（II）由AD⊥平面PAB可知当EM∥AD时，平面BEM⊥平面PAB，故EM为△PAD的中位线，所以λ=；（III）设CD的中点为F，连接BF，FM，则可证BF∥AD∥EM，故FM⊂平面BEM，由中位线定理得PC∥FM，从而PC∥平面BEM．【解答】（I）证明：∵平面PAB⊥平面ABCD，AB⊥AD，平面PAB∩平面ABCD=AB，∴AD⊥平面PAB．又PB⊂平面PAB，∴AD⊥PB．（II）解：由（I）可知，AD⊥平面PAB，又E为PA的中点，当M为PD的中点时，EM∥AD，∴EM⊥平面PAB，∵EM⊂平面BEM，∴平面BEM⊥平面PAB．此时，．（III）设CD的中点为F，连接BF，FM由（II）可知，M为PD的中点．∴FM∥PC．∵AB∥FD，FD=AB，∴ABFD为平行四边形．∴AD∥BF，又∵EM∥AD，∴EM∥BF．∴B，E，M，F四点共面．∴FM⊂平面BEM，又PC⊄平面BEM，∴PC∥平面BEM．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，平面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，PD=CD，E为PC的中点．（I）求证：AC⊥PB；（Ⅱ）求二面角P﹣BD﹣E的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I）推导出PD⊥底面ABCD，从而PD⊥AC，由正方形性质得AC⊥BD，从而AC⊥平面PBD，由此能证明AC⊥PB．（II）推导出PD⊥AD，PD⊥CD，AD⊥CD，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P ﹣BD﹣E的余弦值．【解答】证明：（I）因为平面PCD⊥底面ABCD，PD垂直于这两个平面的交线CD，所以PD⊥底面ABCD…又AC⊂底面ABCD，所以PD⊥AC…因为底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又PD∩BD=D，所以AC⊥平面PBD，…因为PB⊂平面PBD，所以，AC⊥PB．…（II）解：由（I）可知PD⊥AD，由题可知PD⊥CD，AD⊥CD．如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1，依题意得A（1，0，0），C（0，1，0），P（0，0，1）因为底面ABCD是正方形，所以点B的坐标为（1，1，0）…因为，E为PC的中点，所以，点E的坐标为.．设平面BDE的法向量为，则，即，令z=1，得x=1，y=﹣1．所以，…又平面PBD的一个法向量为…所以，．由题知二面角P﹣BD﹣E为锐角，所以二面角P﹣BD﹣E的余弦值为．…19．已知斜率为1的直线l经过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且与抛物线相交于A，B 两点，|AB|=4．（I）求p的值；（Ⅱ）设经过点B和抛物线对称轴平行的直线交抛物线y2=2px的准线于点D，求证：A，O，D三点共线（O为坐标原点）．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（I）由消y并整理，利用|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=4，求p的值；（Ⅱ）写出点A、B、D的坐标，可利用斜率相等，证明三点共线．【解答】解：（I）由题意可知，抛物线y2=2px（p＞0）的焦点坐标为，准线方程为．所以，直线l的方程为…由消y并整理，得…设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=3p，又|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=4，所以，3p+p=4，p=1…（II）由（I）可知，抛物线的方程为y2=2x．设点B的坐标为，又焦点，当时，直线AB的斜率为．所以，直线AB的方程为，即…由消x并整理，得所以，y1y2=﹣1又y2=y0，所以，，即．…由题意可知，点D的坐标为，所以，OA的斜率为，OD的斜率为，即k OA=k OD所以，A，O，D三点共线．…当时，|AB|=2不合题意，舍去．…20．已知椭圆的左焦点为F，离心率为，过点M（0，1）且与x轴平行的直线被椭圆G截得的线段长为．（I）求椭圆G的方程；（II）设动点P在椭圆G上（P不是顶点），若直线FP的斜率大于，求直线OP（O是坐标原点）的斜率的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）由已知点在椭圆G上，离心率为，列出方程组求出a，b，能求出椭圆G的方程．（II）点F的坐标为（﹣1，0），设点P的坐标为（x0，y0），直线FP的方程为y=k（x+1），从而得．设直线OP的方程为y=mx．得．由此能求出直线OP（O是坐标原点）的斜率的取值范围．【解答】解：（I）∵椭圆的左焦点为F，离心率为，过点M（0，1）且与x轴平行的直线被椭圆G截得的线段长为．∴点在椭圆G上，又离心率为，∴，解得∴椭圆G的方程为．（II）由（I）可知，椭圆G的方程为．∴点F的坐标为（﹣1，0）．设点P的坐标为（x0，y0）（x0≠﹣1，x0≠0），直线FP的斜率为k，则直线FP的方程为y=k（x+1），由方程组消去y0，并整理得．又由已知，得，解得或﹣1＜x0＜0．设直线OP的斜率为m，则直线OP的方程为y=mx．由方程组消去y0，并整理得．由﹣1＜x0＜0，得m2＞，∵x0＜0，y0＞0，∴m＜0，∴m∈（﹣∞，﹣），由﹣＜x0＜﹣1，得，∵x0＜0，y0＞0，得m＜0，∴﹣＜m＜﹣．∴直线OP（O是坐标原点）的斜率的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（﹣，﹣）．。
北京市顺义区2023-2024学年高二上学期10月考试数学试题含解析
顺义2023-2024学年度第一学期高二年级10月考试数学试卷（答案在最后）本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.一.单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知向量()1,2,1a = ，()1,0,4b =- ，则2a b +=（）A.()1,2,9- B.()1,4,5- C.()1,2,7- D.()1,4,9【答案】A 【解析】【分析】根据空间向量线性运算的坐标表示求解.【详解】∵()1,2,1a =，()1,0,4b =- ∴()21,2,9a b +=-故选：A.2.空间四边形ABCD 中，AB a = ，BC b =，AD c =uuu r r，则CD等于（）A.a b c +-B.c a b--C.a b c-- D.b a c-+【答案】B 【解析】【分析】根据向量的三角形法则，即可求解.【详解】如图所示，根据向量的运算，可得()CD BD BC AD AB BC a b c =-=--=--+.故选：B.3.已知空间向量(,1,2),(,1,1)a b λλ=-= ，则“1λ=”是“a b ⊥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】当1λ=时，(1,1,2),(1,1,1)a b =-= ，所以0a b ⋅= ，即a b ⊥，故充分；当a b ⊥时，0a b ⋅= ，即2120λ+-=解得1λ=±，故不必要；故选：A【点睛】本题主要考查逻辑条件的判断以及空间向量的数量积运算，属于基础题.4.已知向量(1,2,1),(3,,)a b x y =-=，且//a b，那么||b =（）A. B.6C.9D.18【答案】A 【解析】【分析】根据题意，设b ka =，即(3，x ，)(1y k =-，2，1)，分析可得x 、y 的值，进而由向量模的计算公式计算可得答案．【详解】根据题意，向量(1a =- ，2，1)，(3b = ，x ，)y ，且//a b ，则设b ka =，即(3，x ，)(1y k =-，2，1)，则有3k =-，则6x =-，3y =-，则(3b = ，6-，3)-，故||b =故选：A ．5.已知{},,a b c 是空间的一个基底，在下列向量中，与向量a b + ，a b -一定可以构成空间的另一个基底的是（）A.aB.bC.cD.23a b- 【答案】C 【解析】【分析】根据空间向量基底的定义依次判断各选项即可.【详解】解：对于A 选项，()()1122a ab a b =++-，故不能构成空间的另一个基底；对于B 选项，()()1122b a b a b =+--，故不能构成空间的另一个基底；对于C 选项，不存在,R x y ∈使得()()c x a b y a b =++-成立，故能构成空间的另一个基底；对于D 选项，假设存在,R x y ∈使得()()23a b x a b y a b -=++- ，则23x y x y +=⎧⎨-=-⎩，解得1252x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故()()152322a b a b a b -=-++-，故不能构成空间的另一个基底；故选：C6.在空间直角坐标系中，点(2,1,3)A -关于平面xOz 的对称点为B ，则OA OB ⋅=A.10-B.10C.12- D.12【答案】D 【解析】【分析】由题意，根据点 (2,1,3)A -关于平面xOz 的对称点(2,1,3)B ，求得,OA OB的坐标，利用向量的数量积的坐标运算，即求解.【详解】由题意，空间直角坐标系中，点(2,1,3)A -关于平面xOz 的对称点(2,1,3)B ，所以 =(2,1,3),(2,1,3)OA OB -= ,则22(1)13312OA OB ⋅=⨯+-⨯+⨯=，故选D.【点睛】本题主要考查了空间直角坐标系的应用，以及空间向量的数量积的坐标运算，其中解答中熟记空间向量数量积的坐标运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.已知两点()A 3,4-，()B 3,2，过点()P 1,0的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是()A.()1,1- B.()(),11,∞∞--⋃+C.[]1,1- D.][(),11,∞∞--⋃+【答案】D 【解析】【详解】分析：根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围．详解：∵点A （﹣3，4），B （3，2），过点P （1，0）的直线L 与线段AB 有公共点，∴直线l 的斜率k≥k PB 或k≤k PA ，∵PA 的斜率为4031---=﹣1，PB 的斜率为2031--=1，∴直线l 的斜率k≥1或k≤﹣1，故选D ．点睛：本题主要考查直线的斜率的求法，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础．直线的倾斜角和斜率的变化是紧密相联的，tana=k,一般在分析角的变化引起斜率变化的过程时，是要画出正切的函数图像，再分析.8.正方体不在同一表面上的两顶点()1,2,1A --，()3,2,3B -，则正方体的体积是（）A.4B.C.64D.【答案】C 【解析】【分析】先根据题意可知AB 是正方体的体对角线，利用空间两点的距离公式求出AB ，再根据正方体的棱长求出体积．【详解】解：∵正方体中不在同一表面上两顶点()1,2,1A --，()3,2,3B -，∴AB 是正方体的体对角线，AB ==，∴正方体的棱长为4，正方体的体积为64．故选：C ．9.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，已知PA a = ，PB b = ，PC c = ，12PE PD =，则BE = （）A.131222a b c -+ B.111222a b c ++C.131222a b c--+ D.113222a b c--+ 【答案】A 【解析】【分析】利用空间向量的线性运算即可求解.【详解】因为在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA a = ，PB b = ，PC c = ，12PE PD =，所以()()111222BE BP BD PB BA BC =+=-++()()111111222222PB BA BC PB PA PB PC PB=-++=-+-+-131131222222PA PB PC a b c =-+=-+．故选：A ．10.在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为线段AC 的中点，点E 在线段11A C 上，则直线OE 与平面11A BC 所成角的正弦值的范围是（）A.33,43⎣⎦B.23,33⎣⎦C.11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.11,32⎡⎤⎢⎣⎦【答案】B【解析】【分析】设正方体边长为2，如图，以D 为原点建立空间直角坐标系，后由空间向量知识可得OE 与平面11A BC 所成角的正弦值的表达式，即可得答案.【详解】设正方体边长为2，如图，以D 为原点建立空间直角坐标系.则()()()()()110,0,0,2,0,2,0,2,2,2,2,0,1,1,0D A C B O .因点E 在线段11A C 上，设111A E A C λ=，[]0,1λ∈.则()()()()11112,0,2,2,2,0,0,2,2,1,1,0DA A C A B DO ==-=-=，()1111122,2,2DE DA A E DA A C λλλ=+=+=- ，()12,21,2OE λλ=--.设平面11A BC 法向量为(),,n x y z =，则111220220n A C x y n A B y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取()1,1,1n = .设OE 与平面11A BC 所成角为θ，则sin cos ,OE n θ===.注意到()221443422f λλλλ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，则()()(){}1max 0,12f f f f λ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭()[]2,3sin ,33f λθ⇒∈⇒∈⎣⎦.故选：B二.填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.与向量()1,2,2a =-方向相同的单位向量是______．【答案】122,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】由与a方向相同的单位向量是a a可计算求得结果.【详解】3a ==，122,,333a a ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，即与向量()1,2,2a =-方向相同的单位向量是122,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：122,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭.12.如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为(4,3,2)，则1AC的坐标为________【答案】(4,3,2)-【解析】【详解】如图所示，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，因为1DB的坐标为(4,3,2)，所以()()14,0,0,0,3,2A C ,所以1(4,3,2)AC =-.13.若过点P (1－a,1＋a )与点Q (3,2a )的直线的倾斜角是钝角，则实数a 的取值范围是________．【答案】(－2,1)【解析】【详解】试题分析：由直线的倾斜角α为钝角，能得出直线的斜率小于0，解不等式求出实数a 的取值范围．解：∵过点P （1-a ，1+a ）和Q （3，2a ）的直线的倾斜角α为钝角，∴直线的斜率小于0，210(1)(2)02131a a a a a a--∴<⇔-+<⇔-<<-+，故答案为21a -<<考点：直线的斜率公式点评：本题考查直线的斜率公式及直线的倾斜角与斜率的关系．14.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则点B 到直线1AC 的距离为_________．【答案】3【解析】【分析】连接1AC ，过B 作1BH AC ⊥，则BH 即为所求，由三角形等面积计算求解.【详解】解：如图，连接1AC ，过B 作1BH AC ⊥，则BH 即为点B 到直线1AC 的距离，在正方体1111ABCD A B C D -中，AB ⊥平面1BC ，1AB BC ∴⊥，在直角1ABC 中，11⨯=⨯AB BC AC BH ，且11=1,AB BC AC ，所以=3BH ，点B 到直线1AC 的距离为3.故答案为：63.15.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 和N 分别是正方形ABCD 和11BB C C 的中心，点P 为正方体表面上及内部的点，若点P 满足DP mDA nDM k DN =++，其中m 、n 、k ∈R ，且1m n k ++=，则满足条件的所有点P 构成的图形的面积是______．【答案】2【解析】【分析】因为点P 满足DP mDA nDM k DN =++，其中m 、n 、k ∈R ，且1m n k ++=，所以点A ，M ，N 三点共面，只需要找到平面AMN 与正方体表面的交线即可．【详解】因为点P 满足DP mDA nDM k DN =++，其中m 、n 、k ∈R ，且1m n k ++=，所以点A ，M ，N 三点共面，又因为M 和N 分别是矩形ABCD 和11BB C C 的中心，所以1CN B N =，AM MC =，连接MN ，1AB ，则1//MN AB ，所以1AB C V 即为经过A ，M ，N 三点的平面与正方体的截面，故P 点可以是正方体表面上线段1AB ，1B C ，AC 上的点．所以所有点P 构成的图形的面积为1sin 6022︒=．故答案为：2．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.已知直线l 1过点A (1，1)，B (3，a )，直线l 2过点M (2，2)，N (3+a ，4).（1）若l 1//l 2，求a 的值；（2）若l 1⊥l 2，求a 的值.【答案】（1）（2）0a =.【解析】【分析】（1）由直线平行知斜率相等，建立等量关系得解.（2）由直线垂直知斜率积为-1，建立等量关系得解.【详解】解：设直线l 1的斜率为k 1，直线l 2的斜率为k 2.（1）因为111312a a k --==-，所以2k 存在且2422321k a a -==+-+.因为12l l //，所以12k k =，即1221a a -=+，解得5a =±.当5a =±时，AM BM k k =，所以A，B ，M 不共线，则5a =±符合题意.（2）112a k -=，①当1a =时，12120,1,0k k k k ===，不符合题意；②当1a ≠时，10k ≠，因为12l l ⊥，所以2k 存在且()2211k a a =≠-+，则121k k =-，即12121a a -⋅=-+，解得0a =.17.如图，在平行六面体.1111,ABCD A B C D -中11,AB AD AA ===1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=︒，设向量1,,.AB a AD b AA c === （1）用a b c、、表示向量1,;DB A C （2）求1.A C 【答案】（1）DB a b =- ，1AC a b c =+-（2）12A C =【解析】【分析】（1）利用空间向量的基本定理与空间向量的线性运算可得出1AC 关于a b c、、的表达式；（2）由（1）知1AC a b c =+- ，利用空间向量数量积的运算可求得.【小问1详解】DB AB AD a b =-=- ，111A C AC AA AB AD AA a b c =-=+-=+- ；【小问2详解】由（1）知1AC a b c =+- ，由已知可得1a b c === ，211cos 602a b b c c a ︒⋅=⋅=⋅=⨯=所以1A C == 18.已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，1PD AB ==，E 是PB 的中点.（1）求直线BD 与直线PC 所成角的余弦值；（2）求证：PC ⊥平面ADE（3）求点B 到平面ADE 的距离.【答案】（1）12（2）证明见解析（3）2【解析】【分析】（1）建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量法计算异面直线所成角的余弦值；（2）利用数量积坐标运算得线线垂直，利用线线垂直证明线面垂直；（3）利用点到平面距离向量公式直接计算即可.【小问1详解】以点D 为原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图空间直角坐标系.由题意()0,0,0D ，()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()0,0,1P ，111,,222E ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线BD 与直线PC 所成的角为θ，因为(1,1,0)BD =-- ，(0,1,1)PC =- ，所以1cos 222BD PC BD PCθ⋅==⨯⋅ ，所以直线BD 与直线PC 所成角的余弦值为12；【小问2详解】因为(1,0,0)DA = ，(0,1,1)PC =- ，111(,,)222DE = ，所以10010(1)0DA PC ⋅=⨯+⨯+⨯-= ，11101(1)0222DE PC ⋅=⨯+⨯+-⨯= ，所以,PC DA PC DE ⊥⊥，又,,DA DE D DA DE ⋂=⊂平面ADE ，所以PC ⊥平面ADE ；【小问3详解】由（2）知，(0,1,1)PC =- 为平面ADE 的一个法向量，设点B 到平面ADE 的距离为d ，则d 为向量DB 在向量(0,1,1)PC =- 上的投影的绝对值，由(1,1,0)DB = ，得1222DB PC d PC⋅=== ，所以点B 到平面ADE 的距离为22.19.在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BCC B 为矩形，AC ⊥平面11BCC B ，D ，E 分别是棱11,AA BB 的中点.（1）求证：//AE 平面11B C D ；（2）若12AC BC AA ===，求直线AB 与平面11B C D 所成角的正弦值.【答案】（1）答案见详解（2）1010【解析】【分析】（1）由棱柱的性质证得四边形1AEB D 是平行四边形，从而利用线面平行的判定定理可证；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求直线AB 与平面11B C D 所成角的正弦值.【小问1详解】在三棱柱111ABC A B C -中，11//AA BB ，且11AA BB =，因为D ，E 分别是棱11,AA BB 的中点，所以1//AD B E ，且1AD B E =,所以四边形1AEB D 是平行四边形，所以1//AE DB ,又AE ⊄平面11B C D ，1DB ⊂平面11B C D ，所以//AE 平面11B C D .【小问2详解】分别以1,,CA CB CC 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，由题意得()()()12,0,0,0,2,0,0,2,2A B B ，()()10,0,2,2,0,1C D ，所以()2,2,0AB =- ，()110,2,0C B = ，()12,0,1C D =- ，设平面11B C D 的法向量为(,,)n x y z =，则11100n C B n C D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即2020y x z =⎧⎨-=⎩，令1x =，则0y =，2z =，于是(1,0,2)n =，所以()cos ,10n AB n AB n AB ⋅==- ，所以直线AB 与平面11B C D所成角的正弦值10.20.如图1，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E 分别是AC，AB 上的点，且DE∥BC，DE＝2．将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C⊥CD，如图2．(1)求证：A 1C⊥平面BCDE；(2)若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；(3)线段BC 上是否存在点P，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由．【答案】（1）略（2）4π(3)见解析【考点定位】此题第二问是对基本功的考查，对于知识掌握不牢靠的学生可能不能顺利解答．第三问的创新式问法，难度非常大【解析】【详解】试题分析：（1）证明A 1C ⊥平面BCDE ，因为A 1C ⊥CD ，只需证明A 1C ⊥DE ，即证明DE ⊥平面A 1CD ；（2）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面A1BE法向量，=（﹣1，0，），利用向量的夹角公式，即可求得CM与平面A1BE所成角的大小；（3）设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a，0），则a∈[0，3]，求出平面A1DP法向量为假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则，可求得0≤a≤3，从而可得结论．（1）证明：∵CD⊥DE，A1D⊥DE，CD∩A1D=D，∴DE⊥平面A1CD，又∵A1C⊂平面A1CD，∴A1C⊥DE又A1C⊥CD，CD∩DE=D∴A1C⊥平面BCDE（2）解：如图建系，则C（0，0，0），D（﹣2，0，0），A1（0，0，2），B（0，3，0），E（﹣2，2，0）∴，设平面A1BE法向量为则∴∴∴又∵M（﹣1，0，），∴=（﹣1，0，）∴∴CM与平面A1BE所成角的大小45°（3）解：设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a，0），则a∈[0，3]∴，设平面A1DP法向量为则∴∴假设平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直，则，∴3a+12+3a=0，6a=﹣12，a=﹣2∵0≤a≤3∴不存在线段BC 上存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直考点：向量语言表述面面的垂直、平行关系；直线与平面垂直的判定；用空间向量求直线与平面的夹角．21.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，,,60AC AD AB BC BCA ∠⊥⊥=︒，2AP AD AC ===，E 为CD 的中点，M 在AB 上，且2AM MB = ，（1）求证：//EM 平面PAD ；（2）求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值；（3）点F 是线段PD 上异于两端点的任意一点，若满足异面直线EF 与AC 所成角为45︒，求AF 的长．【答案】（1）证明见解析（2）7（3【解析】【分析】（1）由已知可得,,AD AC AP 两两垂直，所以以A 为坐标原点，以,,AD AC AP 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，通过向量证明线线平行，再证明线面平行即可；（2）分别求出相关平面的法向量后，再运用夹角公式计算即可；（3）根据已知条件求出点F 的坐标，再计算长度即可．【小问1详解】证明：因为PA ⊥平面ABCD ，,AD AC ⊂平面ABCD ，所以,PA AD PA AC ⊥⊥，因为AC AD ⊥，所以,,AD AC AP 两两垂直，所以以A 为坐标原点，以,,AD AC AP 所在的直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为,,60AC AD AB BC BCA ∠⊥⊥=︒，2AP AD AC ===，E 为CD 的中点，M 在AB 上，且2AM MB = ，所以3(0,0,0),(0,2,0),(,0),(,1,0),223A CB M --(0,0,2),(1,1,0),(2,0,0)P E D ．所以(1,0,0),(0,2,0),EM AC == 所以0EM AC ⋅= ，所以AC EM ⊥，又AC AD ⊥，所以//EM AD ，又EM ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以//EM 平面PAD ．【小问2详解】3(0,2,2),(,2)2PC PB =-=-- ．设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则有2200320022y z PC n x y z PB n -=⎧⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨-+-=⋅=⎪⎪⎩⎩，可取(n = ，由题意，平面PAD 的一个法向量可取(0,1,0)m = ，设平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角为θ，则cos |cos ,|7m n θ=〈〉= ，所以平面PAD 与平面PBC所成锐二面角的余弦值为7．【小问3详解】设000(,,)F x y z ，PF PD λ= (01)λ<<，即000(,,2)(2,0,2)x y z λ-=-，可得(2,0,22)F λλ-，所以(21,1,22)EF λλ=--- ，又(0,2,0)AC = ，由题意有2cos ,2EF AC == ，化简得22310λλ-+=，解得12λ=或1λ=（舍），所以(1,0,1)F ，所以||AF =.。
北京市顺义区2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷含答案
顺义2024-2025学年第一学期月考高二年级数学试卷（答案在最后）一、选择题（每小题5分，共40分，四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填涂在答题卡相应的位置上）1.空间任意四个点,,,A B C D ，则DA CD CB +-=（）A.DBB.ACC.ABD.BA【答案】D 【解析】【分析】根据空间向量加减运算法则得到答案.【详解】C D C A A D B CA B CB +-=-=.故选：D2.直线20x --=的倾斜角是（）A.30︒B.45︒C.60︒D.75︒【答案】A 【解析】【分析】先得到直线斜率，从而求出倾斜角.【详解】3232033x y x --=⇒=-，故斜率为33，故倾斜角为30︒.故选：A3.若直线经过()(1,0,A B 两点，则直线AB 的倾斜角为（）A.30︒B.45︒C.60︒D.135︒【答案】C 【解析】【分析】根据两点坐标求出直线的斜率，进而求出倾斜角.【详解】由直线经过()(1,0,A B 两点，可得直线的斜率为3021-=-，设直线的倾斜角为θ，有tan θ=，又0180θ≤< ，所以60θ= .故选：C.4.已知直线l 的一个方向向量为()3,2a =-，则直线l 的斜率为（）A.32-B.23-C.23 D.32【答案】B 【解析】【分析】根据直线斜率公式结合已知直线的方向向量可以直接求出直线的斜率.【详解】因为直线l 的一个方向向量为()3,2a =-，所以直线l 的斜率为23-.故选：B5.过点(1,3)P -且垂直于直线230x y -+=的直线方程为（）A.210x y +-=B.250x y +-= C.250x y +-= D.270x y -+=【答案】A 【解析】【分析】由题意可得直线230x y -+=的斜率为12，由垂直得垂直直线的斜率，然后由点斜式写出直线方程，化为一般式可得结果．【详解】解：由题意可得直线230x y -+=的斜率为12，则过点(1,3)P -且垂直于直线230x y -+=的直线斜率为2-，直线方程为32(1)y x -=-+，化为一般式为210x y +-=．故选：A ．6.若直线l 的方向向量为()2,1,m ，平面α的法向量为11,,22⎛⎫⎪⎝⎭，且l α⊥，则m =（）A.1B.2C.3D.4【答案】D 【解析】【分析】由l α⊥可知，直线l 的方向向量与平面α的法向量平行，列方程组求解即可.【详解】∵直线l 的方向向量为()2,1,m ，平面α的法向量为11,,22⎛⎫⎪⎝⎭，且l α⊥，∴直线l 的方向向量与平面α的法向量平行，则存在实数λ使()12,1,1,,22m λ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴21122m λλλ=⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，解得2,4m λ==，故选：D.7.如图，空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 在OA 上，且23OM OA = ，点N 为BC 中点，则MN等于（）A.111222a b c +-B.211322a b c-++C.221332a b c +- D.221332a b c-+- 【答案】B 【解析】【分析】根据给定的几何体，利用已知的空间基底表示向量MN.【详解】在空间四边形OABC 中，11111((323))2)2(MN MA AN OA AB AC OA OB OA OC OA =+=++=+-+- 211211322322OA OB OC a b c =-++=-++.故选：B8.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段11A C 的中点，Q 为线段1BC 上的动点，则下列结论正确的是（）A.存在点Q ，使得//PQ BDB.存在点Q ，使得PQ ⊥平面11AB C DC.三棱锥Q APD -的体积是定值D.存在点Q ，使得PQ 与AD 所成的角为π6【答案】B 【解析】【分析】A 由11//BD B D 、11B D PQ P = 即可判断；B 若Q 为1BC 中点，根据正方体、线面的性质及判定即可判断；C 只需求证1BC 与面APD 是否平行；D 利用空间向量求直线夹角的范围即可判断.【详解】A ：正方体中11//BD B D ，而P 为线段11A C 的中点，即为11B D 的中点，所以11B D PQ P = ，故,BD PQ 不可能平行，错；B ：若Q 为1BC 中点，则1//PQ A B ，而11A B AB ⊥，故1PQ AB ⊥，又AD ⊥面11ABB A ，1A B ⊂面11ABB A ，则1A B AD ⊥，故PQ AD ⊥，1AB AD A ⋂=，1,AB AD ⊂面11AB C D ，则PQ ⊥面11AB C D ，所以存在Q 使得PQ ⊥平面11AB C D ，对；C ：由正方体性质知：11//BC AD ，而1AD 面APD A =，故1BC 与面APD不平行，所以Q 在线段1BC 上运动时，到面APD 的距离不一定相等，故三棱锥Q APD -的体积不是定值，错；D ：构建如下图示空间直角坐标系D xyz -，则(2,0,0)A ，(1,1,2)P ，(2,2,)Q a a -且02a ≤≤，所以(2,0,0)DA = ，(1,1,2)PQ a a =--，若它们夹角为θ，则222cos ||2(1)1(2)233a a a a θ==⨯-++-⋅-+令1[1,1]t a =-∈-，则22cos 112121t t t tθ==⋅++⋅++，当(0,1]t ∈，则[)11,t ∈+∞，6cos (0,]6θ∈；当0t =则cos 0θ=；当[1,0)t ∈-，则(]1,1t∞∈--，2cos (0,2θ∈；所以π3cos62=不在上述范围内，错.故选：B二、填空题（每小题5分，共20分，将答案填写在答题卡相应的位置上）9.已知()2,1,3a =- ，()1,2,1b =- ，则a b ⋅= ______；a 与b夹角的余弦值为______．【答案】①.7②.2161216【解析】【分析】利用空间向量数量积公式和夹角余弦公式进行求解【详解】()()2,1,31,2,12237a b ⋅=-⋅-=++=，a 与b夹角的余弦值为216419141a b a b⋅==++⨯++⋅ .故答案为：7，21610.设()3,5,4a =- ，()2,1,2b =-- ，则2a b =-r r ______；2a b -= ______．【答案】①.()1,7,0-②.52【解析】【分析】根据空间向量线性运算法则得到()1,72,0a b =--rr ，并利用模长公式求出答案.【详解】()()()()()23,5,422,1,23,5,440,2,41,7,a b =-=------=---rr；214902a b -=++故答案为：()1,7,0,52-11.若直线1:10+-=l mx y 与2:(43)10l m x my -+-=平行，则实数m =______.【答案】3【解析】【分析】根据两直线平行，列出有关m 的等式，即可求出实数m 的值，再验证直线的关系.【详解】由于1l 与2l 平行，则()2430m m --=，则1m =或3m =，当1m =时，1:10l x y +-=，2:10l x y +-=，两直线重合，当3m =时，1:310l x y +-=，2:9310l x y +-=，两直线平行.故答案为：3.12.如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，①直线DD 1的一个方向向量为()0,0,1；②直线BC 1的一个方向向量为()0,1,1；③平面ABB 1A 1的一个法向量为()0,1,0；④平面B 1CD 的一个法向量为 恈 恈 ；则上述结论正确的是___________（填序号）【答案】①②③【解析】【分析】根据向量的平行、方向向量、法向量及坐标运算求解即可.【详解】设正方体的棱长为1.因为11//AA DD ，且()10,0,1AA =，所以①正确；因为11//AD BC ，()10,1,1AD =，所以②正确；因为AD ⊥平面11ABB A ，()0,1,0AD =，所以③正确；因为正方体中CD ⊥平面11B BCC ，1BC ⊂平面11B BCC ，所以1CD BC ⊥，又11BC B C ⊥，1B C CD C ⋂=，1,B C CD ⊂平面1B CD ，所以1⊥BC 平面1B CD ，而1BC 与1AC 相交，不平行，1AC 与平面1B CD 不垂直，故()11,1,1AC =不是平面1B CD 的法向量，所以④错误.故答案为：①②③.三、解答题（共4小题，共60分，在答题卡相应位置上写出详细的解答过程）13.已知ABC V 的三个顶点为()4,0A ，()0,2B ，()2,6C ．（1）求AC 边所在的直线方程．（2）求AC 边上的高BD 所在直线的方程；（3）求BC 边上的中线AE 所在直线的方程．【答案】（1）3120x y +-=（2）360x y -+=（3）43160x y +-=【解析】【分析】（1）两点式求出直线AC 的方程，化为一般式即可；（2）根据垂直关系，设出BD 所在直线方程为30x y t -+=，将()0,2B 代入，求出6t =，得到答案；（3）求出()1,4E ，两点式求出直线方程，化为一般式即可.【小问1详解】AC 边所在的直线方程为046024y x --=--，即3120x y +-=；【小问2详解】设AC 边上的高BD 所在直线方程为30x y t -+=，将()0,2B 代入得060t -+=，解得6t =，故AC 边上的高BD 所在直线方程为360x y -+=；【小问3详解】线段BC 的中点坐标为0226,22E ++⎛⎫⎪⎝⎭，即()1,4E ，故BC 边上的中线AE 所在直线方程为410441y x --=--，即43160x y +-=.14.已知1111ABCD A B C D -是正方体，点E 为11A B 的中点，点F 为11B C 的中点．（1）求证：1⊥BD EF ；（2）求平面EFC 与平面BFC 夹角的余弦值．（3）求点1C 到直线1BD 的距离．【答案】（1）证明过程见解析（2）23（3）3【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到10BD EF ⋅=，求出垂直关系；（2）求出两平面的法向量，利用面面角的余弦夹角公式得到答案；（3）利用点到直线距离向量公式求出答案.【小问1详解】以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则()()()()()12,2,0,0,0,2,2,1,2,1,2,2,0,2,0B D E F C ，故()()12,2,21,1,0220BD EF ⋅=--⋅-=-= ，故1BD EF ⊥uuu r uu u r ，所以1⊥BD EF ；【小问2详解】由图可知，平面BFC 的法向量为()0,1,0m =，设平面EFC 的法向量为(),,n x y z =，则()()()(),,1,1,00,,1,0,220n EF x y z x y n CF x y z x z ⎧⋅=⋅-=-+=⎪⎨⋅=⋅=+=⎪⎩ ，令1z =得2,2x y =-=-，故()2,2,1n =--，平面EFC 与平面BFC 夹角的余弦值为()()0,1,02,2,123441m nm n ⋅--⋅==⋅++；【小问3详解】()10,2,2C ，()12,2,2BD =-- ，()()()12,2,00,2,22,0,2C B =-=-，点1C 到直线1BD 的距离为()()22211112,0,22,2,264043444C B BD d C B BD ⎛⎫⎛⎫-⋅--⋅ ⎪=-=++- ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭.15.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==．（1）求证：//AD 平面PBC ；（2）求直线BD 平面PCD 夹角的正弦值；（3）求点B 到平面PCD 的距离．【答案】（1）证明见解析（2）12（3【解析】【分析】（1）由线线平行得到线面平行即可证明；（2）由线面垂直得到线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，由线面角的夹角向量公式求出直线BD 平面PCD 夹角的正弦值；（3）在（2）基础上，由点到平面距离向量公式求出答案.【小问1详解】因为底面ABCD 为正方形，所以//AD BC ，因为AD ⊄平面PBC ，⊂BC 平面PBC ，所以//AD 平面PBC ；【小问2详解】因为PA ⊥平面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD ，所以,PA AB PA AD ⊥⊥，以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，()()()()2,0,0,0,2,0,0,0,2,2,2,0B D P C ，设平面PCD 的法向量为 恈 恈 ，则()()()(),,2,2,22220,,0,2,2220m PC x y z x y z m PD x y z y z ⎧⋅=⋅-=+-=⎪⎨⋅=⋅-=-=⎪⎩ ，令1y =，则1,0z x ==，则()0,1,1m =，直线BD 平面PCD 夹角的正弦值为1cos ,2BD m BD m BD m⋅===⋅ ；【小问3详解】由（2）知，平面PCD 的法向量为()0,1,1m =，点B 到平面PCD 的距离为BC m m ⋅=== 16.如图，在四面体ABCD 中，AD⊥平面ABC ，点M 为棱AB 的中点，2,2AB AC BC AD ====.（1）证明：AC BD ⊥；（2）求平面BCD 和平面DCM 夹角的余弦值；（3）在线段BD 上是否存在一点P ，使得直线PC 与平面DCM 所成角的正弦值为6？若存在，求BP BD 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）223（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）由勾股定理得AB AC ⊥，由AD ⊥平面ABC 得AD AC ⊥，从而AC ⊥平面ABD ，进而得出结论；（2）以A 为坐标原点，以,,AB AC AD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面BCD 与平面DCM 的法向量，利用向量夹角公式求解；（3）设()01BP BD λλ=≤≤，则BP BD λ= ，求得22,0(,2)P λλ-，设直线PC 与平面DCM 所成角为θ，由题意sin cos ,PC n PC n PC n θ⋅== ，列式求解即可.【小问1详解】∵2,AB AC BC ===，∴222AB AC BC +=，∴AB AC ⊥，∵AD ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴AD AC ⊥，∵AB AD A ⋂=，,AB AD ⊂平面ABD ，∴AC ⊥平面ABD ，∵BD ⊂平面ABD ，∴AC BD ⊥.【小问2详解】以A 为坐标原点，以,,AB AC AD 所在直线分别为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,0,0)A B C D M ，(2,2,0),(0,2,2),(1,2,0)BC CD CM =-=-=- ,设平面BCD 的法向量为111(,,)m x y z = ，由1111220220m BC x y m CD y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令11x =，则111,1==y z ，(1,1,1)m = ，设平面DCM 的法向量为222(,,)n x y z = ，由222222020n CD y z n CM x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令21y =，则222,1x z ==，(2,1,1)n = ，∴cos ,3m n m n m n ⋅=== ，∴平面BCD 和平面DCM夹角的余弦值为3.【小问3详解】设()01BP BDλλ=≤≤，则BP BD λ= ，设(,,)P x y z ，则()()2,,2,0,2x y z λ-=-，得22,0,2x y z λλ-=-==，∴22,0(,2)P λλ-，()22,2,2PC λλ=-- ，平面DCM 的法向量为(2,1,1)n = ，设直线PC 与平面DCM 所成角为θ，由题意，6sin cos ,6PC n PC n PC n θ⋅==== ，∴210λ+=，此方程无解，∴在线段BD 上是不存在一点P ，使得直线PC 与平面DCM 所成角的正弦值为66.。
北京市顺义2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(含答案)
2024—2025学年北京顺义高二年级十月考试数学试题本试卷共4页，满分150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合，，那么集合等于（ ）A. B. C. D. 2. 某校为了解学生关于校本课程的选课意向，计划从高一、高二这两个年级共名学生中，采用分层抽样的方法抽取人进行调查．已知高一年级共有名学生，那么应抽取高一年级学生的人数为（ ）A. B. C. D. 3. 不等式x （x －1）＜0的解集为（ ）A B.C. 或D. 或4. 在△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则b ＝（ ）A. B. C. D. 5. （ ）A. B. C. D. 6. 向量，在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长为1，则（ ）A. 2B.C.D. 37. 如图，在长方体中，，，，点P 是中点，则点P的坐标为（ ）.的{}0,1,2A ={}2,3B =A B ⋂{}2{}1,2{}2,3{}0,1,25005030010203040{01}x x <<∣{10}x x -<<∣{0x x <∣1}x >{1x x <-∣0}x >sin15cos15︒︒=1412a b a b -=r r 1111OABC O A B C -4OA =6OC =12OO =11B CA. B. C. D. 8. 已知的夹角为，则（ ）A. B.C. D. 9. 如图，空间四边形中，，，，点M 在上，且，点N 为中点，则等于（ ）A. B. C. D. 10. 在棱长为的正方体中，，，分别为棱，，的中点，动点在平面内，且.则下列说法正确的是（ ）A. 存在点，使得直线与直线相交B. 存在点，使得直线平面C. 直线与平面所成角的大小为D. 平面(2,6,2)(3,4,2)(4,6,2)(6,2,1)()()1,2,0,2,0,1a b a b ==- ，与θa b ⊥ //a b a b= 1cos 2θ=OABC OA a = OB b = OC c = OA 23OM OA = BC MN111222a b c +- 211322a b c -++ 221332a b c +- 221332a b c -+- 11111ABCD A B C D -E F G 1AA BC 1CC H EFG 1DH =H DH FG H DH ⊥EFG1B H EFG π3EFG第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分11. 已知向量，.若，则实数______.12. ______.13. 已知中，，那么BC 等于______.14. 如图，在正三棱柱中，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________．15. 如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，，分别是线段，的中点，是线段上的一个动点（含端点，），则下列说法正确的是______（1）存在点，使得；（2）存在点，使得异面直线与所成的角为；（3）三棱锥体积的最大值是；（4）当点自向处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大.三、解答题：本大题共6个小题，共85分.应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. 已知函数，.（1）求；()1,,3a m = ()2,4,6b = a b ∥m =sin13cos32cos13sin32︒︒+︒︒=ABC V 45,3A AB AC ∠=︒==111ABC A B C -1AB =12AA =D 1B B 1A B 1C D ABCDES SA ⊥ABCD ABCD ∥DE SA 22SA AB DE ===M N BC SB Q DC D C Q NQ SB ⊥Q NQ SA 60o Q AMN -23Q D C DC QMN ()πsin 6f x A x ⎛⎫=+⎪⎝⎭()01f =A（2）函数的最小正周期；（3）求函数的最小值及相应的的值.17. 在中，角，，所对边分别为，，，已知，，.（1）求的值；（2）求的值；（3）求的面积.18. 如图，在直三棱柱中，，，，N 为的中点.（1）求；（2）求直线与所成角的余弦值.19. 如图，在长方体中，，，E 为AB 的中点.（1）证明：；（2）求点E 到平面距离；（3）求平面与平面夹角的余弦值.20. 如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且.的的()f x ()f x x ABC V A B C a b c 2a =3c =1cos 4B =b sin C ABC V 111ABC A B C -1CA CB ==90BCA ∠=︒12AA =1A A 1BN B C ⋅ 1A B 1B C 1111ABCD A B C D -11AD AA ==2AB =11D E A D ⊥1ACD 1AD E 1ACD P ABCD -PA ⊥ABCD AD CD ⊥//AD BC 2PA AD CD ===3BC =E PD F PC 13PF PC =（1）求证：平面；（2）求直线与面所成角的正弦值；（3）在线段上是否存在点，使得、、、四点共面，如果存在求出的值；如果不存在说明理由.21. 已知的正四面体，设的四个顶点到平面的距离所构成的集合为，若中元素的个数为，则称为的阶等距平面，为的阶等距集.（1）若为1阶等距平面且1阶等距集为，求的所有可能值以及相应的的个数；（2）已知为的4阶等距平面，且点与点分别位于的两侧.若的4阶等距集为，其中点到的距离为，求平面与夹角的余弦值.的CD ⊥PAD PC AEF PB G A E F G PG PB ΩABCD ΩαM M k αΩk M Ωk αΩ{}a a αβΩA ,,B C D βΩ{},2,3,4b b b b A βb BCD β2024—2025学年北京顺义高二年级十月考试数学试题本试卷共4页，满分150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】A【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】C【9题答案】【答案】B【10题答案】【答案】C第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分【11题答案】【答案】【12题答案】【13题答案】【14题答案】【15题答案】【答案】三、解答题：本大题共6个小题，共85分.应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【16题答案】【答案】（1）（2）（3）―2，【17题答案】【答案】（1） （2（3【18题答案】【答案】（1）（2【19题答案】【答案】（1）见解析；（2）；（3.【20题答案】2()()()13422π2π2π,Z 3x k k =-+∈b=1-13【答案】（1）证明见解析（2）1 （3）存在，.【21题答案】【答案】（1）答案见解析（2.23PGPB。
北京市顺义区2019-2020学年高二上学期期末考试数学理试卷Word版含答案
北京市顺义区2019-2020学年上学期期末考试高二数学理试卷一、选择题：本大题供8小题，每小题5分，供40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线023=+-y x 的倾斜角是A.6π B.3π C.23π D.56π 2. 直线l 过点(2,2)P -，且与直线032=-+y x 垂直，则直线l 的方程为 A. 220x y +-= B. 260x y --=C. 260x y --=D. 250x y -+=3. 一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的侧面面积为π12, 则该几何体的体积是A. π4B. 12πC. 16πD. 48π 4. 在空间中，下列命题正确的是A. 如果直线m ∥平面α,直线α⊂n 内,那么m ∥n ;B. 如果平面α内的两条直线都平行于平面β，那么平面α∥平面βC. 如果平面α外的一条直线m 垂直于平面α内的两条相交直线，那么m α⊥D. 如果平面α⊥平面β，任取直线m α⊂，那么必有m β⊥5. 如果直线013=-+y ax 与直线01)21(=++-ay x a 平行.那么a 等于A. -1B.31 C. 3 D. -1或316. 方程)0(0222≠=++a y ax x 表示的圆A. 关于x 轴对称B. 关于y 轴对称C. 关于直线x y =轴对称D. 关于直线x y -=轴对称7. 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是1AA ，AD 的中点，则1CD 与EF 所成角为A. 0︒B. 45︒C. 60︒D. 90︒8. 如果过点M (-2,0)的直线l 与椭圆1222=+y x 有公共点,那么直线l 的斜率k 的取值范围是A.]22,(--∞ B.),22[+∞ C.]21,21[-D. ]22,22[-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 已知双曲线的标准方程为116422=-y x ，则该双曲线的焦点坐标为，_________________渐近线方程为_________________.10. 已知向量)1,3,2(-=a，)2,,5(--=y b 且a b ⊥，则y =________.11. 已知点),2,(n m A -，点)24,6,5(-B 和向量(3,4,12)a =-且AB ∥a .则点A 的坐标为________. 12. 直线0632=++y x 与坐标轴所围成的三角形的面积为________. 13. 抛物线x y 82-=上到焦点距离等于6的点的坐标是_________________.14. 已知点)0,2(A ，点)3,0(B ，点C 在圆122=+y x 上，当ABC ∆的面积最小时，点C 的坐标为________.三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. （本小题共13分）如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，E ，F ,G 分别是AC ，AD ,BC 的中点. 求证：（I ）AB ∥平面EFG ;（II ）平面⊥EFG 平面ABC .16. （本小题共13分）已知斜率为2的直线l 被圆0241422=+++y y x 所截得的弦长为求直线l 的方程.17. （本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面⊥PAB 平面ABCD ，AB ∥CD ，AB AD ⊥，2CD AB =，E 为PA 的中点,M 在PD 上(点M 与D P ,两点不重合). （I ） 求证：PB AD ⊥；（II ）若λ=PDPM,则当λ为何值时, 平面⊥BEM 平面PAB ?（III ）在（II ）的条件下,求证：PC ∥平面BEM .18. （本小题共13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，平面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，PD CD =,E 为PC 的中点. （I ） 求证：AC ⊥PB ； （II ） 求二面角P --BD --E 的余弦值.19. （本小题共14分）已知斜率为1的直线l 经过抛物线22y px =(0)p >的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，4=AB .（I ） 求p 的值；（II ） 设经过点B 和抛物线对称轴平行的直线交抛物线22y px =的准线于点D ，求证：D O A ,,三点共线(O 为坐标原点).20. （本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>的左焦点为F ,离心率为33，过点)1,0(M 且与x 轴平行的直线被椭圆G 截得的线段长为6. （I ） 求椭圆G 的方程；（II ）设动点P 在椭圆G 上（P 不是顶点），若直线FP 的斜率大于2,求直线OP (O 是坐标原点)的斜率的取值范围.北京市顺义区2019-2020学年上学期期末考试高二数学理试卷参考答案一、ABB C BA CD二、9.（±52,0），2y x =±10. -411. (1,-2,0)12. 313. (-4,24±)14. （13133，13132） 说明：1.第9题，答对一个空给3分。
北京市2022年高二上期末数学试卷(理科)含答案解析
高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每题5分共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知双曲线=1的一条渐近线方程为y=，则双曲线的焦距为（）A． B．2C．2 D．102．（5分）太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种互相转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被y=3sin x的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．3．（5分）将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a和b，则方程ax2+bx+1=0有实数解的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）如表是某单位1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：月份x1234用水量y45a7由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其回归方程是，则a等于（）A．6 B．6.05 C．6.2 D．5.955．（5分）下列四个命题：①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”②“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的必要不充分条件③若p∧q为假命题，则p，q均为假命题④对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则¬p：∀x∈R，使得x2+x+1≥0．其中，错误的命题个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（5分）抛物线y=ax2的准线方程是y=﹣2，则a的值为（）A．4 B．8 C．D．7．（5分）某单位有若干名员工，现采用分层抽样的方式抽取n人去体检，若老、中、青人数之比为4：1：5，已知抽到10位中年人，则样本的容量为（）A．40 B．100 C．80 D．508．（5分）下列程序框图中，输出的A的值是（）A．B．C．D．9．（5分）若双曲线C1以椭圆C2：+=1的焦点为顶点，以椭圆C2长轴的端点为焦点，则双曲线C1的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=110．（5分）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列对立的两个事件是（）A．“至少1名男生”与“至少有1名是女生”B．“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”C．“至少1名男生”与“全是男生”D．“至少1名男生”与“全是女生”11．（5分）为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第1小组的频数为6，则报考飞行员的学生人数是（）A．32 B．40 C．48 D．5612．（5分）设双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=2c，过F2作x轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A，已知，|F2Q|＞|F2A|，点P是双曲线C右支上的动点，且|PF1|+|PQ|＞|恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B． C．D．二、填空题（每小题5分，共20分，.将答案填入答卷指定位置）.13．（5分）已知向量=（k，12，1），=（4，5，1），=（﹣k，10，1），且A、B、C三点共线，则k=．14．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的过焦点的弦为AB，且|AB|=9，x A+x B=6，则p=．15．（5分）某校开展“爱我漳州、爱我华安”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91．复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清．若记分员计算无误，则数字x应该是．16．（5分）设圆（x+1）2+y2=25的圆心为C，A（1，0）是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为．三．解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤）17．（10分）已知集合Z={（x，y）|x∈[0，2]，y∈[﹣1，1]}．（1）若x，y∈Z，求x+y≥0的概率；（2）若x，y∈R，求x+y≥0的概率．18．（12分）命题p：；命题q：方程表示焦点在y轴上的椭圆．若“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求实数m的取值范围．19．（12分）某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题．（1）求全班人数及分数在[80，90）之间的频数，并估计该班的平均分数；（2）若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90，100]之间的概率．20．（12分）已知O为坐标原点，M是椭圆=1上的点，设动点P满足．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若直线l：y=x+m（m≠0）与曲线C相交于A，B两个不同点，求△OAB 面积的最大值．21．（12分）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．22．（12分）已知椭圆=1（a＞b＞0）过点，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过椭圆的上顶点作直线l交抛物线x2=2y于A、B两点，O为原点．①求证：OA⊥OB；②设OA、OB分别与椭圆相交于C、D两点，过原点O作直线CD的垂线OH，垂足为H，证明：|OH|为定值．高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知双曲线=1的一条渐近线方程为y=，则双曲线的焦距为（）A． B．2C．2 D．10【解答】解：曲线=1的一条渐近线方程为y=，可得：=，解得m=4，则b=2，a=3，∴c=．双曲线的焦距为2．故选：B．2．（5分）太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种互相转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被y=3sin x的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，大圆的直径为y=3sin x的周期，且T==12，面积为S=π•=36π，一个小圆的面积为S′=π•12=π，在大圆内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为：P===．故选：B．3．（5分）将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a和b，则方程ax2+bx+1=0有实数解的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a和b，基本事件总数n=6×6=36，∵方程ax2+bx+1=0有实数解，∴△=b2﹣4a≥0，∴方程ax2+bx+1=0有实数解包含的基本事件（a，b）有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，4），（4，5），（4，6），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共19个，∴方程ax2+bx+1=0有实数解的概率p=．故选：C．4．（5分）如表是某单位1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：月份x1234用水量y45a7由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其回归方程是，则a等于（）A．6 B．6.05 C．6.2 D．5.95【解答】解：∵=（1+2+3+4）=2.5，=（4+5+a+7）=4+∴4+=2.5+3.05，解得：a=6.2，故选：C．5．（5分）下列四个命题：①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”②“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的必要不充分条件③若p∧q为假命题，则p，q均为假命题④对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则¬p：∀x∈R，使得x2+x+1≥0．其中，错误的命题个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，正确，②由x2﹣3x+2＞0得x＞2或x＜1，即“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件，故②错误，③若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故③错误，④对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则¬p：∀x∈R，使得x2+x+1≥0．正确，故错误的个数为2个，故选：B6．（5分）抛物线y=ax2的准线方程是y=﹣2，则a的值为（）A．4 B．8 C．D．【解答】解：由抛物线y=ax2，得，由其准线方程为y=﹣2，可知抛物线开口向上，则a＞0．∴2p=，则．∴，得a=．故选：C．7．（5分）某单位有若干名员工，现采用分层抽样的方式抽取n人去体检，若老、中、青人数之比为4：1：5，已知抽到10位中年人，则样本的容量为（）A．40 B．100 C．80 D．50【解答】解：某单位有若干名员工，现采用分层抽样的方式抽取n人去体检，若老、中、青人数之比为4：1：5，已知抽到10位中年人，则10则，解得样本的容量n=100．故答案为：100．8．（5分）下列程序框图中，输出的A的值是（）A．B．C．D．【解答】解：由程序框图可得：A i第一次循环后2第二次循环后3第三次循环后4…观察规律可知A的值为，可得：第九次循环后10不满足条件i＜10，跳出循环．则输出的A为．故选：A．9．（5分）若双曲线C1以椭圆C2：+=1的焦点为顶点，以椭圆C2长轴的端点为焦点，则双曲线C1的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：根据题意，椭圆C2：+=1的焦点坐标为（0，±3），长轴的端点坐标为（0，±5），若双曲线C1以椭圆C2的焦点为顶点，以椭圆C2长轴的端点为焦点，则双曲线C1的焦点为（0，±5），顶点为（0，±3），则双曲线中c=5，a=3，则b2=c2﹣a2=16，则双曲线的方程为：﹣=1，故选：B．10．（5分）某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列对立的两个事件是（）A．“至少1名男生”与“至少有1名是女生”B．“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”C．“至少1名男生”与“全是男生”D．“至少1名男生”与“全是女生”【解答】解：某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，在A中，“至少1名男生”与“至少有1名是女生”能同时发生，不是互斥事件，故A错误；在B中，“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”是互斥不对立事件，故B错误；在C中，“至少1名男生”与“全是男生”能同时发生，不是互斥事件，故C错误；在D中，“至少1名男生”与“全是女生”是对立事件，故D正确．故选：D．11．（5分）为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第1小组的频数为6，则报考飞行员的学生人数是（）A．32 B．40 C．48 D．56【解答】解：设第一小组的频率为a，由频率分布直方图，得：a+2a+3a+0.0375×5+0.0125×5=1，a=0.125．∵第1小组的频数为6，∴报考飞行员的学生人数为：=48．故选：C．12．（5分）设双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=2c，过F2作x轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A，已知，|F2Q|＞|F2A|，点P是双曲线C右支上的动点，且|PF1|+|PQ|＞|恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B． C．D．【解答】解：令x=c代入双曲线的方程可得y=±b=±，由|F2Q|＞|F2A|，可得＞，即为3a2＞2b2=2（c2﹣a2），即有e=＜①又|PF1|+|PQ|＞|F1F2|恒成立，由双曲线的定义，可得2a+|PF2|+|PQ|＞3c恒成立，由F2，P，Q共线时，|PF2|+|PQ|取得最小值|F2Q|=，可得3c＜2a+，即有e=＜②由e＞1，结合①②可得，e的范围是（1，）．故选：B．二、填空题（每小题5分，共20分，.将答案填入答卷指定位置）.13．（5分）已知向量=（k，12，1），=（4，5，1），=（﹣k，10，1），且A、B、C三点共线，则k=．【解答】解：∵向量=（k，12，1），=（4，5，1），=（﹣k，10，1），∴=（4﹣k，﹣7，0），=（﹣2k，﹣2，0）．又A、B、C三点共线，∴存在实数λ使得，∴，解得．故答案为：﹣．14．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的过焦点的弦为AB，且|AB|=9，x A+x B=6，则p=3．【解答】解：如图，∵AB过焦点F，且|AB|=9，x A+x B=6，∴|AB|=x A+x B+p=6+p=9，即p=3．故答案为：3．15．（5分）某校开展“爱我漳州、爱我华安”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91．复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清．若记分员计算无误，则数字x应该是1．【解答】解：由题意知去掉一个最高分94和一个最低分88后，余下的7个数字的平均数是91，即×（89+89+92+93+90+x+92+91）=91，∴636+x=91×7=637，解得x=1．故答案为：1．16．（5分）设圆（x+1）2+y2=25的圆心为C，A（1，0）是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为+=1．【解答】解：由圆的方程可知，圆心C（﹣1，0），半径等于5，设点M的坐标为（x，y ），∵AQ的垂直平分线交CQ于M，∴|MA|=|MQ|．又|MQ|+|MC|=半径5，∴|MC|+|MA|=5＞|AC|．依据椭圆的定义可得，点M的轨迹是以A、C 为焦点的椭圆，且2a=5，c=1，∴b=，故椭圆方程为+=1，即+=1．故答案为：三．解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤）17．（10分）已知集合Z={（x，y）|x∈[0，2]，y∈[﹣1，1]}．（1）若x，y∈Z，求x+y≥0的概率；（2）若x，y∈R，求x+y≥0的概率．【解答】解：（1）设“x+y≥0，x，y∈Z”为事件A，x，y∈Z，x∈[0，2]，即x=0，1，2；y∈[﹣1，1]，即y=﹣1，0，1．则基本事件有：（0，﹣1），（0，0），（0，1），（1，﹣1），（1，0），（1，1），（2，﹣1），（2，0），（2，1）共9个．其中满足“x+y≥0”的基本事件有8个，∴P（A）=．故x，y∈Z，x+y≥0的概率为．（2）设“x+y≥0，x，y∈R”为事件B，∵x∈[0，2]，y∈[﹣1，1]，则基本事件为如图四边形ABCD区域，事件B包括的区域为其中的阴影部分．基本事件如图四边形ABCD区域S=4，事件B包括的区域如阴影部分S′=S﹣=∴P（B）==．18．（12分）命题p：；命题q：方程表示焦点在y轴上的椭圆．若“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求实数m的取值范围．【解答】解：命题p：∀x∈R，x2+mx+1≥0为真，∴△=m2﹣4≤0⇒﹣2≤m≤2…（2分）命题q为真，即方程是焦点在y轴上的椭圆，∴0＜m＜2…（4分）又∵“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，∴p是真命题且q是假命题，或p是假命题且q是真命题…（6分）∴或…（10分），∴m的取值范围是[﹣2，0]∪{2}…（12分）19．（12分）某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题．（1）求全班人数及分数在[80，90）之间的频数，并估计该班的平均分数；（2）若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90，100]之间的概率．【解答】解：（1）由茎叶图知，分数在[50，60）之间的频数为2，频率为0.008×10=0.08，全班人数为；所以分数在[80，90）之间的频数为25﹣2﹣7﹣10﹣2=4，分数在[50，60）之间的总分为56+58=114；分数在[60，70）之间的总分为60×7+2+3+3+5+6+8+9=456；分数在[70，80）之间的总分数为70×10+1+2+3+3+4+5+6+7+8+9=747；分数在[80，90）之间的总分约为85×4=340；分数在[90，100]之间的总分数为95+98=193；所以，该班的平均分数为；（2）将[80，90）之间的4个分数编号为1，2，3，4，[90，100]之间的2个分数编号为5，6，在[80，100]之间的试卷中任取两份的基本事件为：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15个，其中，至少有一个在[90，100]之间的基本事件有9个，∴至少有一份分数在[90，100]之间的概率是．20．（12分）已知O为坐标原点，M是椭圆=1上的点，设动点P满足．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若直线l：y=x+m（m≠0）与曲线C相交于A，B两个不同点，求△OAB 面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设点P（x，y），M（x1，y1），由．，得x=2x1，y=2y1，因为点M在椭圆圆=1上，所以，故，即动点P的轨迹C的方程为．（Ⅱ）由曲线C与直线l联立得，消y得3x2+4mx+2m2﹣8=0，因为直线l与曲线C交于A，B两点，所以△=16m2﹣4×3×（2m2﹣8）＞0，又m≠0，所以0＜m2＜12．设设A（x3，y3），B（x4，y4），则，，因为点O到直线A：x﹣y+m=0的距离d=，|AB|===，所以S×=，×=2，当且仅当m2=12﹣m2，即m2=6时取等号，所以△OAB面积的最大值为221．（12分）如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．【解答】证明：（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE．…（4分）解：（Ⅱ）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．因为BE与平面ABCD所成角为600，即∠DBE=60°，所以．由AD=3，可知，．则A（3，0，0），，，B（3，3，0），C（0，3，0），所以，．设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则，即．令，则=．因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，．所以cos．因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．…（8分）（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．则．因为AM∥平面BEF，所以=0，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2．此时，点M坐标为（2，2，0），即当时，AM∥平面BEF．…（12分）22．（12分）已知椭圆=1（a＞b＞0）过点，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过椭圆的上顶点作直线l交抛物线x2=2y于A、B两点，O为原点．①求证：OA⊥OB；②设OA、OB分别与椭圆相交于C、D两点，过原点O作直线CD的垂线OH，垂足为H，证明：|OH|为定值．【解答】解：（Ⅰ）∵e=，∴，则，又∵在椭圆上，∴，解得a=2，，∴椭圆的方程为；（Ⅱ）①证明：设A（x1，y1）、B（x2，y2），依题意，直线l一定有斜率k，l的方程为y=kx+2，联立方程，消去y得：x2﹣2kx﹣4=0，∴x1x2=﹣4，则，∴=x1x2+y1y2=﹣4+4=0，∴OA⊥OB；②证明：设C（x3，y3）、D（x4，y4），直线CD的方程为y=mx+n，∵OA⊥OB，∴OC⊥OD，则x3x4+y3y4=0．联立，消去y得：（3m2+4）x2+6mnx+3n2﹣12=0，∴，，∴．由，得7n2=12（1+m2），即|n|=，∵OH⊥CD，∴．∴|OH|为定值．。
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2019-2019学年北京市顺义区高二（上）期末检测数学试卷（理科）一、选择题：本大题供8小题，每小题5分，供40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线的倾斜角是（）A．B．C． D．2．直线l过点P（2，﹣2），且与直线x+2y﹣3=0垂直，则直线l的方程为（）A．2x+y﹣2=0 B．2x﹣y﹣6=0 C．x﹣2y﹣6=0 D．x﹣2y+5=03．一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的侧面面积为12π，则该几何体的体积是（）A．4πB．12πC．16πD．48π4．在空间中，下列命题正确的是（）A．如果直线m∥平面α，直线n⊂α内，那么m∥nB．如果平面α内的两条直线都平行于平面β，那么平面α∥平面βC．如果平面α外的一条直线m垂直于平面α内的两条相交直线，那么m⊥αD．如果平面α⊥平面β，任取直线m⊂α，那么必有m⊥β5．如果直线3ax+y﹣1=0与直线（1﹣2a）x+ay+1=0平行．那么a等于（）A．﹣1 B．C．3 D．﹣1或6．方程x2+2ax+y2=0（a≠0）表示的圆（）A．关于x轴对称 B．关于y轴对称C．关于直线y=x轴对称D．关于直线y=﹣x轴对称7．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，AD的中点，则CD1与EF所成角为（）A．0°B．45°C．60°D．90°8．如果过点M（﹣2，0）的直线l与椭圆有公共点，那么直线l的斜率k的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．已知双曲线的标准方程为，则该双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为．10．已知向量，且，则y=．11．已知点A（m，﹣2，n），点B（﹣5，6，24）和向量且∥．则点A的坐标为．12．直线2x+3y+6=0与坐标轴所围成的三角形的面积为．13．抛物线y2=﹣8x上到焦点距离等于6的点的坐标是．14．已知点A（2，0），点B（0，3），点C在圆x2+y2=1上，当△ABC的面积最小时，点C的坐标为．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，E，F，G分别是AC，AD，BC的中点．求证：（I）AB∥平面EFG；（II）平面EFG⊥平面ABC．16．已知斜率为2的直线l被圆x2+y2+14y+24=0所截得的弦长为，求直线l的方程．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，E为PA的中点，M在PD上．（I）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）若，则当λ为何值时，平面BEM⊥平面PAB？（Ⅲ）在（II）的条件下，求证：PC∥平面BEM．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，平面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，PD=CD，E 为PC的中点．（I）求证：AC⊥PB；（Ⅱ）求二面角P﹣BD﹣E的余弦值．19．已知斜率为1的直线l经过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，|AB|=4．（I）求p的值；（Ⅱ）设经过点B和抛物线对称轴平行的直线交抛物线y2=2px的准线于点D，求证：A，O，D三点共线（O为坐标原点）．20．已知椭圆的左焦点为F，离心率为，过点M（0，1）且与x轴平行的直线被椭圆G截得的线段长为．（I）求椭圆G的方程；（II）设动点P在椭圆G上（P不是顶点），若直线FP的斜率大于，求直线OP（O是坐标原点）的斜率的取值范围．2019-2019学年北京市顺义区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题供8小题，每小题5分，供40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线的倾斜角是（）A．B．C． D．【考点】直线的倾斜角．【分析】先求出直线的斜率，再根据斜率是倾斜角的正切值，计算倾斜角即可．【解答】解：设倾斜角为α，∵直线的斜率为，∴tanα=，∵0°＜α＜180°，∴α=30°故选A．2．直线l过点P（2，﹣2），且与直线x+2y﹣3=0垂直，则直线l的方程为（）A．2x+y﹣2=0 B．2x﹣y﹣6=0 C．x﹣2y﹣6=0 D．x﹣2y+5=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】由直线的垂直关系可得直线的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可．【解答】解：∵直线x+2y﹣3=0的斜率为﹣，∴与直线x+2y﹣3=0垂直的直线斜率为2，故直线l的方程为y﹣（﹣2）=2（x﹣2），化为一般式可得2x﹣y﹣6=0故选：B3．一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的侧面面积为12π，则该几何体的体积是（）A．4πB．12πC．16πD．48π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为圆柱，底面半径为2，根据侧面积求出圆柱的高h，代入体积公式计算即可．【解答】解：由三视图可知几何体是底面半径为2的圆柱，∴几何体的侧面积为2π×2×h=12π，解得h=3，∴几何体的体积V=π×22×3=12π．故选B．4．在空间中，下列命题正确的是（）A．如果直线m∥平面α，直线n⊂α内，那么m∥nB．如果平面α内的两条直线都平行于平面β，那么平面α∥平面βC．如果平面α外的一条直线m垂直于平面α内的两条相交直线，那么m⊥αD．如果平面α⊥平面β，任取直线m⊂α，那么必有m⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用线面平行、平面与平面平行的判定与性质，线面垂直、平面与平面垂直的判定与性质，即可得出结论．【解答】解：对于A，直线m∥平面α，直线n⊂α内，则m与n可能平行，可能异面，故不正确；对于B，如果平面α内的两条相交直线都平行于平面β，那么平面α∥平面β，故不正确；对于C，根据线面垂直的判定定理可得正确；对于D，如果平面α⊥平面β，任取直线m⊂α，那么可能m⊥β，也可能m和β斜交，；故选：C．5．如果直线3ax+y﹣1=0与直线（1﹣2a）x+ay+1=0平行．那么a等于（）A．﹣1 B．C．3 D．﹣1或【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由直线的平行关系可得a的方程，解方程排除直线重合即可．【解答】解：∵直线3ax+y﹣1=0与直线（1﹣2a）x+ay+1=0平行，∴3a•a=1•（1﹣2a），解得a=﹣1或a=，经检验当a=﹣1时，两直线重合，应舍去，故选：B．6．方程x2+2ax+y2=0（a≠0）表示的圆（）A．关于x轴对称 B．关于y轴对称C．关于直线y=x轴对称D．关于直线y=﹣x轴对称【考点】圆的一般方程．【分析】方程x2+2ax+y2=0（a≠0）可化为（x+a）2+y2=a2，圆心为（﹣a，0），即可得出结论．【解答】解：方程x2+2ax+y2=0（a≠0）可化为（x+a）2+y2=a2，圆心为（﹣a，0），∴方程x2+2ax+y2=0（a≠0）表示的圆关于x轴对称，故选：A．7．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，AD的中点，则CD1与EF所成角为（）A．0°B．45°C．60°D．90°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】由EF∥A1D，A1B∥D1C，得∠DA1B是CD1与EF所成角，由此能求出CD1与EF所成角．【解答】解：连结A1D、BD、A1B，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，AD的中点，∴EF∥A1D，∵A1B∥D1C，∴∠DA1B是CD1与EF所成角，∵A1D=A1B=BD，∴∠DA1B=60°．∴CD1与EF所成角为60°．故选：C．8．如果过点M（﹣2，0）的直线l与椭圆有公共点，那么直线l的斜率k的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．【分析】设过点M（﹣2，0）的直线l的方程为y=k（x+2），与椭圆方程联立，得（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣2=0，由此利用根的判别式能求出直线l的斜率k的取值范围．【解答】解：设过点M（﹣2，0）的直线l的方程为y=k（x+2），联立，得（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣2=0，∵过点M（﹣2，0）的直线l与椭圆有公共点，∴△=64k4﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）≥0，整理，得k2，解得﹣≤k≤．∴直线l的斜率k的取值范围是[﹣，]．故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．已知双曲线的标准方程为，则该双曲线的焦点坐标为，（±，0）渐近线方程为y=±2x．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的a，b，c，即可得到焦点坐标；由渐近线方程为y=±x，可得所求渐近线方程．【解答】解：双曲线的a=2，b=4，c==2，可得焦点的坐标为（±，0），渐近线方程为y=±x，即为y=±2x．故答案为：（±，0），y=±2x．10．已知向量，且，则y=﹣4．【考点】空间向量的数量积运算．【分析】代入数量积公式列方程解出．【解答】解：∵，=0，即﹣10﹣3y﹣2=0，解得y=﹣4．故答案为﹣4．11．已知点A（m，﹣2，n），点B（﹣5，6，24）和向量且∥．则点A的坐标为（1，﹣2，0）．【考点】共线向量与共面向量．【分析】根据空间向量的坐标表示与运算，求出，再根据共线定理列出方程组求出m、n的值，即可得出点A的坐标．【解答】解：∵点A（m，﹣2，n），点B（﹣5，6，24），∴=（﹣5﹣m，8，24﹣n）；又向量，且∥，∴=λ，即，解得λ=2，m=1，n=0；∴点A的坐标为（1，﹣2，0）．故答案为：（1，﹣2，0）．12．直线2x+3y+6=0与坐标轴所围成的三角形的面积为3．【考点】直线的一般式方程．【分析】由直线方程可得直线与坐标轴的交点，由三角形的面积公式可得．【解答】解：把x=0代入2x+3y+6=0可得y=﹣2，把y=0代入2x+3y+6=0可得x=﹣3，∴直线与坐标轴的交点为（0，﹣2）和（﹣3，0），故三角形的面积S=×2×3=3，故答案为：3．13．抛物线y2=﹣8x上到焦点距离等于6的点的坐标是（﹣4，）．【考点】抛物线的简单性质．【分析】算出抛物线的焦点为F（﹣2，0），准线为x=2．设抛物线上点P（m，n）到焦点F的距离等于6，利用抛物线的定义可得﹣m+2=6，解得m=﹣4，进而利用抛物线方程解出n=±4，可得所求点的坐标．【解答】解：∵抛物线方程为y2=﹣8x，可得2p=8，=2．∴抛物线的焦点为F（﹣2，0），准线为x=2．设抛物线上点P（m，n）到焦点F的距离等于6，根据抛物线的定义，得点P到F的距离等于P到准线的距离，即|PF|=﹣m+2=6，解得m=﹣4，∴n2=8m=32，可得n=±4，因此，点P的坐标为（﹣4，）．故答案为：（﹣4，）．14．已知点A（2，0），点B（0，3），点C在圆x2+y2=1上，当△ABC的面积最小时，点C的坐标为（，）．【考点】圆的标准方程．【分析】设C（a，b）．根据点A、B的坐标利用待定系数法求得直线AB方程，然后根据点到直线的距离和不等式的性质得到a、b的数量关系，将其代入圆的方程即可求得a、b的值，即点C的坐标．【解答】解：设C（a，b）．则a2+b2=1，①∵点A（2，0），点B（0，3），∴直线AB的解析式为：3x+2y﹣6=0．如图，过点C作CF⊥AB于点F，欲使△ABC的面积最小，只需线段CF最短．则CF=≥，当且仅当2a=3b时，取“=”，∴a=，②联立①②求得：a=，b=，故点C的坐标为（，）．故答案是：（，）．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，E，F，G分别是AC，AD，BC的中点．求证：（I）AB∥平面EFG；（II）平面EFG⊥平面ABC．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（I）利用线线平行证明线面平行，利用三角形中位线的性质证明AB∥EG即可；（II）证明CD⊥平面ABC，可得EF⊥平面ABC，从而可证平面平面EFG⊥平面ABC．【解答】证明：（I）在三棱锥A﹣BCD中，E，G分别是AC，BC的中点．所以AB∥EG…因为EG⊂平面EFG，AB⊄平面EFG所以AB∥平面EFG…（II）因为AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD所以AB⊥CD…又BC⊥CD且AB∩BC=B所以CD⊥平面ABC…又E，F分别是AC，AD，的中点所以CD∥EF所以EF⊥平面ABC…又EF⊂平面EFG，所以平面平面EFG⊥平面ABC．…16．已知斜率为2的直线l被圆x2+y2+14y+24=0所截得的弦长为，求直线l的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】先设直线的方程，再求出圆心到直线的距离，再由半径的平方等于圆心到直线的距离平方与弦长一半的平方的和建立方程求解．【解答】解：将圆的方程写成标准形式，得x2+（y+7）2=25，所以，圆心坐标是（0，﹣7），半径长r=5．…因为直线l被圆所截得的弦长是，所以，弦心距为，即圆心到所求直线l的距离为．…因为直线l的斜率为2，所以可设所求直线l的方程为y=2x+b，即2x﹣y+b=0．所以圆心到直线l的距离为，…因此，解得b=﹣2，或b=﹣12．…所以，所求直线l的方程为y=2x﹣2，或y=2x﹣12．即2x﹣y﹣2=0，或2x﹣y﹣12=0．…17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，E为PA的中点，M在PD上．（I）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）若，则当λ为何值时，平面BEM⊥平面PAB？（Ⅲ）在（II）的条件下，求证：PC∥平面BEM．【考点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面垂直的判定．【分析】（I）由平面PAB⊥平面ABCD可得AD⊥平面PAB，进而得出AD⊥PB；（II）由AD⊥平面PAB可知当EM∥AD时，平面BEM⊥平面PAB，故EM为△PAD的中位线，所以λ=；（III）设CD的中点为F，连接BF，FM，则可证BF∥AD∥EM，故FM⊂平面BEM，由中位线定理得PC ∥FM，从而PC∥平面BEM．【解答】（I）证明：∵平面PAB⊥平面ABCD，AB⊥AD，平面PAB∩平面ABCD=AB，∴AD⊥平面PAB．又PB⊂平面PAB，∴AD⊥PB．（II）解：由（I）可知，AD⊥平面PAB，又E为PA的中点，当M为PD的中点时，EM∥AD，∴EM⊥平面PAB，∵EM⊂平面BEM，∴平面BEM⊥平面PAB．此时，．（III）设CD的中点为F，连接BF，FM由（II）可知，M为PD的中点．∴FM∥PC．∵AB∥FD，FD=AB，∴ABFD为平行四边形．∴AD∥BF，又∵EM∥AD，∴EM∥BF．∴B，E，M，F四点共面．∴FM⊂平面BEM，又PC⊄平面BEM，∴PC∥平面BEM．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，平面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，PD=CD，E 为PC的中点．（I）求证：AC⊥PB；（Ⅱ）求二面角P﹣BD﹣E的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I）推导出PD⊥底面ABCD，从而PD⊥AC，由正方形性质得AC⊥BD，从而AC⊥平面PBD，由此能证明AC⊥PB．（II）推导出PD⊥AD，PD⊥CD，AD⊥CD，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P﹣BD﹣E 的余弦值．【解答】证明：（I）因为平面PCD⊥底面ABCD，PD垂直于这两个平面的交线CD，所以PD⊥底面ABCD…又AC⊂底面ABCD，所以PD⊥AC…因为底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又PD∩BD=D，所以AC⊥平面PBD，…因为PB⊂平面PBD，所以，AC⊥PB．…（II）解：由（I）可知PD⊥AD，由题可知PD⊥CD，AD⊥CD．如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1，依题意得A（1，0，0），C（0，1，0），P（0，0，1）因为底面ABCD是正方形，所以点B的坐标为（1，1，0）…因为，E为PC的中点，所以，点E的坐标为.．设平面BDE的法向量为，则，即，令z=1，得x=1，y=﹣1．所以，…又平面PBD的一个法向量为…所以，．由题知二面角P﹣BD﹣E为锐角，所以二面角P﹣BD﹣E的余弦值为．…19．已知斜率为1的直线l经过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，|AB|=4．（I）求p的值；（Ⅱ）设经过点B和抛物线对称轴平行的直线交抛物线y2=2px的准线于点D，求证：A，O，D三点共线（O为坐标原点）．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（I）由消y并整理，利用|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=4，求p的值；（Ⅱ）写出点A、B、D的坐标，可利用斜率相等，证明三点共线．【解答】解：（I）由题意可知，抛物线y2=2px（p＞0）的焦点坐标为，准线方程为．所以，直线l的方程为…由消y并整理，得…设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=3p，又|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=4，所以，3p+p=4，p=1…（II）由（I）可知，抛物线的方程为y2=2x．设点B的坐标为，又焦点，当时，直线AB的斜率为．所以，直线AB的方程为，即…由消x并整理，得所以，y1y2=﹣1又y2=y0，所以，，即．…由题意可知，点D的坐标为，所以，OA的斜率为，OD的斜率为，即k OA=k OD所以，A，O，D三点共线．…当时，|AB|=2不合题意，舍去．…20．已知椭圆的左焦点为F，离心率为，过点M（0，1）且与x轴平行的直线被椭圆G截得的线段长为．（I）求椭圆G的方程；（II）设动点P在椭圆G上（P不是顶点），若直线FP的斜率大于，求直线OP（O是坐标原点）的斜率的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）由已知点在椭圆G上，离心率为，列出方程组求出a，b，能求出椭圆G的方程．（II）点F的坐标为（﹣1，0），设点P的坐标为（x0，y0），直线FP的方程为y=k（x+1），从而得．设直线OP的方程为y=mx．得．由此能求出直线OP（O是坐标原点）的斜率的取值范围．【解答】解：（I）∵椭圆的左焦点为F，离心率为，过点M（0，1）且与x轴平行的直线被椭圆G截得的线段长为．∴点在椭圆G上，又离心率为，∴，解得∴椭圆G的方程为．（II）由（I）可知，椭圆G的方程为．∴点F的坐标为（﹣1，0）．设点P的坐标为（x0，y0）（x0≠﹣1，x0≠0），直线FP的斜率为k，则直线FP的方程为y=k（x+1），由方程组消去y0，并整理得．又由已知，得，解得或﹣1＜x0＜0．设直线OP的斜率为m，则直线OP的方程为y=mx．由方程组消去y0，并整理得．由﹣1＜x0＜0，得m2＞，∵x0＜0，y0＞0，∴m＜0，∴m∈（﹣∞，﹣），由﹣＜x0＜﹣1，得，∵x0＜0，y0＞0，得m＜0，∴﹣＜m＜﹣．∴直线OP（O是坐标原点）的斜率的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（﹣，﹣）．。