2。4等比数列学案(2)人教A版必修五

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人教版高中数学必修五学案 §2.4 等比数列(一)

§2.4 等比数列(一)学习目标 1.通过实例，理解等比数列的概念并会简单应用(重点)；2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式，了解其推导过程(重、难点).知识点1等比数列的定义及通项公式【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)等比数列的公比可以为任意实数.()(2)若一个数列从第2项开始每一项与前一项的比是常数，则这个数列是等比数列.()(3)常数列既是等差数列又是等比数列.()提示(1)公比不可以为0.(2)应为同一个常数.(3)0数列除外.答案(1)×(2)×(3)×知识点2等比中项的概念如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，且G＝±ab.【预习评价】1.已知等比数列{a n}中，a1＝1，a3＝9，则a2＝________.解析∵a3＝a1·q2.∴9＝q 2，∴q ＝±3，∴a 2＝a 1q ＝±3.答案 ±32.3与27的等比中项是________.解析由于G 2＝3×27＝81，故G ＝±9.答案 ±9题型一等比数列通项公式的应用【例1】在等比数列{a n }中，(1)已知a 3＝9，a 6＝243，求a 5；(2)已知a 1＝98，a n ＝13，q ＝23，求n .解 (1)法一由a 3＝9，a 6＝243，得a 1q 2＝9，a 1q 5＝243.∴q 3＝2439＝27，∴q ＝3.∴a 1＝1.∴a 5＝a 1q 4＝1×34＝81.法二 ∵a 6＝a 3q 3，∴q 3＝a 6a 3＝2439＝27，∴q ＝3. ∴a 5＝a 3q 2＝9×32＝81.(2)∵a 1＝98，q ＝23，a n ＝13，∴13＝98×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＝827＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233. ∴n －1＝3，∴n ＝4.规律方法等比数列的通项公式及变形的应用1.在已知等比数列的首项和公比的前提下，利用通项公式a n＝a1q n－1(a1q≠0)可求出等比数列中的任意一项.2.在已知等比数列中任意两项的前提下，利用a n＝a m q n－m(q≠0)也可求出等比数列中的任意一项.【训练1】在等比数列{a n}中.(1)已知a n＝128，a1＝4，q＝2，求n；(2)已知a n＝625，n＝4，q＝5，求a1；(3)已知a1＝2，a3＝8，求公比q和通项公式.解(1)∵a n＝a1·q n－1，∴4·2n－1＝128，∴2n－1＝32，∴n－1＝5，n＝6.(2)a1＝a nq n－1＝62554－1＝5，故a1＝5.(3)a3＝a1·q2，即8＝2q2，∴q2＝4，∴q＝±2.当q＝2时，a n＝a1q n－1＝2·2n－1＝2n，当q＝－2时，a n＝a1q n－1＝2(－2)n－1＝(－1)n－12n，∴数列{a n}的公比为2或－2，对应的通项公式分别为a n＝2n或a n＝(－1)n－12n.题型二等比中项及其应用【例2】已知等比数列的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项. 解设该等比数列的公比为q，首项为a1，∵⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝168，a 1q －a 1q 4＝42，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1＋q ＋q 2）＝168，a 1q （1－q 3）＝42.∵1－q 3＝(1－q )(1＋q ＋q 2).上述两式相除，得q (1－q )＝14⇒q ＝12.∴a 1＝42q －q 4＝4212－⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝96. 若G 是a 5，a 7的等比中项，则应有G 2＝a 5·a 7＝a 1q 4·a 1q 6＝a 21q 10＝962·⎝ ⎛⎭⎪⎫1210＝9. ∴a 5，a 7的等比中项是±3.规律方法 (1)首项a 1和q 是构成等差数列的基本量，从基本量入手解决相关问题是研究等比数列的基本方法.(2)解题时应注意同号的两个数的等比中项有两个，它们互为相反数，而异号的两个数没有等比中项.【训练2】已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，求a 2－a 1b 2的值. 解 ∵－1，a 1，a 2，－4成等差数列，设公差为d ，则a 2－a 1＝d ＝13[(－4)－(－1)]＝－1，∵－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，∴b 22＝(－1)×(－4)＝4，∴b 2＝±2.若设公比为q ，则b 2＝(－1)q 2，∴b 2＜0.∴b 2＝－2，∴a 2－a 1b 2＝－1－2＝12.【例3】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1)(n ∈N *).(1)求a 1，a 2；(2)求证：数列{a n }是等比数列.(1)解由S 1＝13(a 1－1)，得a 1＝13(a 1－1)， ∴a 1＝－12.又S 2＝13(a 2－1)，即a 1＋a 2＝13(a 2－1)，得a 2＝14.(2)证明当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13(a n －1)－13(a n －1－1)，得a n a n －1＝－12.又a 1＝－12，所以{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列.【迁移1】已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，b n ＝a n ＋1(n ∈N *).(1)求证：{b n }是等比数列；(2)求{a n }的通项公式.(1)证明令a n ＋1＋k ＝2(a n ＋k )，即a n ＋1＝2a n ＋k ，与a n ＋1＝2a n ＋1比较得k ＝1.又a 1＋1＝2，b n ＝a n ＋1，故数列{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列.(2)解法一由(1)知，a n ＋1＝2·2n －1，∴a n ＝2n －1.法二 ∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＝2a n －1＋1(n ≥2).∴a n ＋1－a n ＝2(a n －a n －1).∴{a n ＋1－a n }为等比数列，其中首项为a 2－a 1＝2a 1＋1－a 1＝a 1＋1＝2，公比q ＝2.则a n ＋1－a n ＝2·2n －1＝2n .∴2a n ＋1－a n ＝2n ，∴a n ＝2n －1.【迁移2】已知数列{a n }中，a 1＝56，a n ＋1＝13a n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，求a n . 解令a n ＋1－A ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n －A ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，则a n ＋1＝13a n ＋A 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1. 由已知条件知A 3＝1，得A ＝3，所以a n ＋1－3·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n －3·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . 又a 1－3·⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝－23≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n －3·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 是首项为－23，公比为13的等比数列. 于是a n －3·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝－23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1，故a n ＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n . 规律方法判断一个数列是否是等比数列的常用方法(1)定义法：若数列{a n }满足a n ＋1a n ＝q (q 为常数且不为零)或a n a n －1＝q (n ≥2，q 为常数且不为零)，则数列{a n }是等比数列.(2)通项公式法：若数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1(a 1≠0，q ≠0)，则数列{a n }是等比数列.(3)等比中项法：若a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *且a n ≠0)，则数列{a n }为等比数列.(4)构造法：在条件中出现a n ＋1＝ka n ＋b 关系时，往往构造数列，方法是把a n ＋1＋x ＝k (a n ＋x )与a n ＋1＝ka n ＋b 对照，求出x 即可.课堂达标1.在等比数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝64，则a 3等于( )A.16B.16或－16C.32D.32或－32 解析由a 4＝a 1q 3，得q 3＝8，即q ＝2，所以a 3＝a 4q ＝32.答案 C2.已知a 是1，2的等差中项，b 是－1，－16的等比中项，则ab 等于( )A.6B.－6C.±6D.±12解析 ∵a ＝1＋22＝32，b 2＝(－1)(－16)＝16，b ＝±4，∴ab ＝±6.答案 C3.45和80的等比中项为________.解析设45和80的等比中项为G ，则G 2＝45×80，∴G ＝±60.答案－60或604.已知数列{a n }是等比数列，且a 1＝18，a 4＝－1，则数列{a n }的公比q 为________.解析 q 3＝a 4a 1＝－8，所以q ＝－2. 答案－25.已知a n ＝2n ＋3n ，判断数列{a n }是不是等比数列？解不是等比数列.∵a 1＝21＋31＝5，a 2＝22＋32＝13，a 3＝23＋33＝35，∴a 1a 3≠a 22，∴数列{a n }不是等比数列.课堂小结1.等比数列的判断或证明(1)利用定义：a n ＋1a n＝q (与n 无关的常数). (2)利用等比中项：a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *).2.两个同号的实数a 、b 才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±ab )，而不是一个(ab )，这是容易忽视的地方.3.等比数列的通项公式a n ＝a 1q n －1共涉及a 1，q ，n ，a n 四个量，已知其中三个量可求得第四个量.。

高中数学第二章数列 24 等比数列学案(无答案)新人教A版必修5 学案

2.4等比数列【学习目标】理解等比数列、等比中项的概念，能推导并掌握通项公式，能熟练运用通项公式和一些常用性质解决有关问题．【重点难点】重点：等比数列的定义和通项公式及其应用．难点：等比数列的通项公式的应用．【学法指导】学习本节一定要认真阅读教材，运用从特殊到一般和类比等差数列的定义、通项公式的方法归纳等比数列的定义、通项公式．一.课前预习阅读课本4852P P 页，弄清下列问题：1．等比数列的概念：．2．用数学式子表示等比数列的定义： {}n a 是等比数列，则*1()n na q n N a +=∈．强调：（1）“从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数”，要防止在求公比时，把相邻两项比的次序颠倒．（3）当公比q ＝时，等比数列是常数列，该数列也是等差数列．（4）等比数列的每一项都不为．3．等比数列的通项公式：． 4．等比中项的定义：． 5．快乐体验：(1)若等比数列155,45a a ==，求公比q ； (2)若等比数列12,33a q ==，求4a ．(3)若等比数列3312,2a q ==，求1a ； (4)若等比数列的12,54,3,n a a q ===求n ．(5)若4,9a b ==，求,a b 的等比中项．二．课堂学习与研讨例1．某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留量是原来的84%．这种物质的半衰期为多长？（精确到1年）（参考数据：lg 20.3010,lg0.840.0757,0.30100.0757 3.98==-÷≈）练习1．（教材53P 练习5）某人买了一辆价值13．5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度折旧．（1）用一个式子表示*()n n N ∈年后这辆车的价值；（2）如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？例2．等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项．练习2. 在等比数列{}n a 中，473,81,n a a a ==求.小结：3．等比中项：若,,a G b 成等比数列，则2G ab =．三.课堂检测1．若a ,22a +,33a +成等比数列，则实数a 的为．2．在等比数列中，（1）若已知2514,2a a ==-求n a ．（2）若253618,9,1n a a a a a +=+==，求n .四．作业 1． P53A1 2. 在83和272之间插入3个数，使这五个数成等比数列，求这三数？3. 在等比数列{}n a 中，已知1910185,100,a a a a =⋅=求.2.5等比数列的前n 项和公式【学习目标】1.掌握等比数列的前n 项和公式11,1(1),11n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨⎪≠-⎩2.在等比数列{}n a 中，n n s n d a a 、、、、1五个量中“知三求二”.3.通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想和等价转化的思想. 【重点难点】重点：等比数列前n 项和公式的推导和运用.难点：等比数列前n 项和公式的推导. 【学法指导】学习本节时好好体会错位相减法求和的思路，分析等比数列的通项公式和前n 项和公式的特点，体会知三求二的方程思想．一.课前预习预习课本5557P P 页，回答下列问题：1．传说，很早以前，印度的一位宰相发明了国际象棋，当时的国王非常高兴，决定奖赏他，国王允许宰相提出任何要求，于是这位聪明的宰相便请国王在国际象棋棋盘的第一个格子里放入一颗麦粒，第二个格子里放入两颗麦粒，第三个……，就这样，依此类推，要求从第二个格子起，每个格子里的麦粒数是前一个格子里麦粒数的两倍，他请求国王给予他这些麦粒的总和。

《等差数列》学案2(新人教A版必修5)

等差数列与等比数列性质的综合应用一、学习目标：等差数列与等比数列性质的综合应用二、自主学习：【课前检测】1.x=ab 是a 、x 、b 成等比数列的( D )条件A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分又非必要 2．等比数列}{n a 中，233,9a a ==，若243=k a ，则k 等于（ C ）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）42直面考点：1）等比数列的定义；2）等比数列的通项公式。

略解：6k 22433q a a 3a a q 51-k 2-k 2k 23=⇒====⇒==3．若数列{}n a （N n ∈*）是等差数列，则有数列12nn a a a b n+++=（N n ∈*）也为等差数列，类比上述性质，相应地：若数列n {c }是等比数列，且n c >0（N n ∈*），则有n d=N n ∈*）也是等比数列．4．设n S 和n T 分别为两个等差数列的前n 项和，若对任意*n N ∈，都有71427n n S n T n +=+ ，则第一个数列的第11项与第二个数列的第11项的比是43．说明：2121n n n n a S b T --=．【考点梳理】1.基本量的思想：常设首项、（公差）比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等。

转化为“基本量”是解决问题的基本方法。

解读：“知三求二”。

2.等差数列与等比数列的联系1）若数列{}n a 是等差数列，则数列}{n aa 是等比数列，公比为da ，其中a 是常数，d 是{}n a 的公差。

（a>0且a ≠1）；2）若数列{}n a 是等比数列，且0n a >，则数列{}log a n a 是等差数列，公差为log a q ，其中a 是常数且0,1a a >≠，q 是{}n a 的公比。

3）若{}n a 既是等差数列又是等比数列,则{}n a 是非零常数数列。

三、合作探究：例1 （2010陕西文16）已知{a n}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列.（Ⅰ）求数列{a n}的通项;（Ⅱ）求数列{2an}的前n项和S n.解：（Ⅰ）由题设知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得121d+＝1812dd++，解得d＝1，d＝0（舍去），故{a n}的通项a n＝1+（n－1）×1＝n. (Ⅱ)由（Ⅰ）知2m a=2n，由等比数列前n项和公式得S m =2+22+23+ (2)=2(12)12n --=2n+1-2.变式训练1 （2010北京文16）已知{a n }为等差数列，且36a =-，60a =。

高中数学人教A版必修五优化练习：第二章 2.4 第1课时等比数列的概念和通项公式 Word版含解析

[课时作业][A 组基础巩固]1．已知等比数列{a n }中，a 1＝32，公比q ＝－12，则a 6等于( )A ．1B ．－1C ．2 D.12解析：由题知a 6＝a 1q 5＝32×⎝⎛⎭⎫－125＝－1，故选B.答案：B2．已知数列a ，a (1－a )，a (1－a )2，…是等比数列，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≠1B ．a ≠0且a ≠1C ．a ≠0D ．a ≠0或a ≠1解析：由a 1≠0，q ≠0，得a ≠0,1－a ≠0，所以a ≠0且a ≠1.答案：B3．在等比数列{a n }中，a 2 016＝8a 2 013，则公比q 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．8解析：q 3＝a 2 016a 2 013＝8，∴q ＝2.答案：A4．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于( )A ．64B ．81C ．128D ．243解析：∵{a n }为等比数列，∴a 2＋a 3a 1＋a 2＝q ＝2. 又a 1＋a 2＝3，∴a 1＝1.故a 7＝1×26＝64.答案：A5．等比数列{a n }各项均为正数，且a 1，12a 3，a 2成等差数列，则a 3＋a 4a 4＋a 5＝( ) A ．－5＋12 B.1－52 C.5－12 D ．－5＋12或5－12解析：a 1，12a 3，a 2成等差数列，所以a 3＝a 1＋a 2，从而q 2＝1＋q ，∵q >0，∴q ＝5＋12，∴a 3＋a 4a 4＋a 5＝1q ＝5－12. 答案：C6．首项为3的等比数列的第n 项是48，第2n －3项是192，则n ＝________. 解析：设公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3q n －1＝483q 2n －4＝192⇒⎩⎪⎨⎪⎧q n －1＝16q 2n －4＝64⇒q 2＝4，得q ＝±2.由(±2)n －1＝16，得n ＝5.答案：57．数列{a n }为等比数列，a n >0，若a 1·a 5＝16，a 4＝8，则a n ＝________.解析：由a 1·a 5＝16，a 4＝8，得a 21q 4＝16，a 1q 3＝8，所以q 2＝4，又a n >0，故q ＝2，a 1＝1，a n ＝2n －1.答案：2n －18．若k,2k ＋2,3k ＋3是等比数列的前3项，则第四项为________．解析：由题意，(2k ＋2)2＝k (3k ＋3)，解得k ＝－4或k ＝－1，又k ＝－1时，2k ＋2＝3k ＋3＝0，不符合等比数列的定义，所以k ＝－4，前3项为－4，－6，－9，第四项为－272. 答案：－2729．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n ＋1，求证：{a n }是等比数列，并求出通项公式．证明：∵S n ＝2a n ＋1，∴S n ＋1＝2a n ＋1＋1.∴S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝(2a n ＋1＋1)－(2a n ＋1)＝2a n ＋1－2a n .∴a n ＋1＝2a n .①又∵S 1＝a 1＝2a 1＋1，∴a 1＝－1≠0.由①式可知，a n ≠0，∴由a n ＋1a n＝2知{a n }是等比数列，a n ＝－2n －1. 10．在各项均为负的等比数列{a n }中，2a n ＝3a n ＋1，且a 2·a 5＝827. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)－1681是否为该数列的项？若是，为第几项？解析：(1)∵2a n ＝3a n ＋1，∴a n ＋1a n ＝23，数列{a n }是公比为23的等比数列，又a 2·a 5＝827，所以a 21⎝⎛⎭⎫235＝⎝⎛⎭⎫233，由于各项均为负，故a 1＝－32，a n ＝－⎝⎛⎭⎫23n －2. (2)设a n ＝－1681，则－1681＝－⎝⎛⎭⎫23n －2， ⎝⎛⎭⎫23n －2＝⎝⎛⎭⎫234，n ＝6，所以－1681是该数列的项，为第6项． [B 组能力提升]1．设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，那么a 3·a 6·a 9·…·a 30等于( )A ．210B ．220C ．216D ．215解析：由等比数列的定义，a 1·a 2·a 3＝⎝⎛⎭⎫a 3q 3，故a 1·a 2·a 3·…·a 30＝⎝⎛⎭⎫a 3·a 6·a 9·…·a 30q 103.又q ＝2，故a 3·a 6·a 9·…·a 30＝220.答案：B2．已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( )A ．21B ．42C ．63D ．84解析：设等比数列公比为q ，则a 1＋a 1q 2＋a 1q 4＝21，又因为a 1＝3，所以q 4＋q 2－6＝0，解得q 2＝2，所以a 3＋a 5＋a 7＝(a 1＋a 3＋a 5)q 2＝42.答案：B3．设{a n }为公比q >1的等比数列，若a 2 014和a 2 015是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 2 016＋a 2 017＝________.解析：4x 2－8x ＋3＝0的两根分别为12和32，q >1，从而a 2 014＝12，a 2 015＝32，∴q ＝a 2 015a 2 014＝3.a 2 016＋a 2 017＝(a 2 014＋a 2 015)·q 2＝2×32＝18.答案：184．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝________.解析：设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12可得q 9＝3，又a n －1a n a n ＋1＝a 31q 3n －3＝324，因此q 3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14. 答案：145．有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积为－8；后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求这四个数．解析：由题意，设这四个数为b q，b ，bq ，a ，则⎩⎪⎨⎪⎧ b 3＝－8.2bq ＝a ＋b ，b 2aq ＝－80解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝10，b ＝－2，q ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－8，b ＝－2，q ＝52.∴这四个数依次为1，－2,4,10或－45，－2，－5，－8.6．已知a 1＝2，点(a n ，a n ＋1)在函数f (x )＝x 2＋2x 的图象上，其中n ＝1,2,3，….(1)证明数列{lg(1＋a n )}是等比数列；(2)求{a n }的通项公式．解析：(1)证明：由已知得a n ＋1＝a 2n ＋2a n ， ∴a n ＋1＋1＝a 2n ＋2a n ＋1＝(a n ＋1)2. ∵a 1＝2，∴a n ＋1＋1＝(a n ＋1)2>0. ∴lg(1＋a n ＋1)＝2lg(1＋a n )，即lg (1＋a n ＋1)lg (1＋a n )＝2，且lg(1＋a 1)＝lg 3.∴{lg(1＋a n )}是首项为lg 3，公比为2的等比数列．(2)由(1)知，lg(1＋a n )＝2n －1·lg 3＝lg 312n －， ∴1＋a n ＝312n －，∴a n ＝312n －－1.。

2.4等比数列的概念及通项公式(高中数学人教A版必修五)

an a1 (n 1)d
(1)an am (n m)d
a1 0, q 0
通项公式
an a1q
n 1
(1)an amqnm
则 am· n=as· r . a a
(3) an2=an-1· n+1 . a （等比中项）
主要性质
(2)若m+n=s+r (m,n,s,r∈N*) (2)若m+n=s+r (m,n,s,r∈N*)
其中，a1与q均不为0。由于当n=1时上面等式两边均为a1，即等式也成立，说明上面公式当n∈N*时都成立，因此它就是等比数列｛an｝的通项公式。
(1)等比数列的通项公式
通项公式一:
an a1 q
n1
(a1 , q 0)
an a1q n 1、不要错误地写成
2、每一项都可以用a1和q表示，等比数列由首项和公比确定
1 变式训练已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，Sn＝ 3 (an－1)(n∈N*)． (1)求 a1，a2； (2)求证：数列{an}是等比数列． 1 解：(1)由 S1＝ (a1－1)， 3 1 1 得 a1＝ (a1－1)，∴a1＝－ . 3 2 1 又 S2＝ (a2－1)， 3 1 1 即 a1＋a2＝ (a2－1)，得 a2＝ . 3 4
an am qn m
(1)等比数列的通项公式如果数列 an }是等比数列，首项为 1 , 公比为q， { a
①.不完全归纳法 a2=a1q a3=a2q=a1q2 a4=a3q=a1q3 … an=a1qn1
②.叠乘法（累乘法） a2/a1=q a3/a2=q a4/a3=q … an/an-1=q 这n-1个式子相乘得an/a1=qn-1 所以 an=a1qn-1

人教a版必修5学案：2.5等比数列的前n项和(1)(含答案)

2.5 等比数列的前n 项和(一)自主学习知识梳理1．等比数列前n 项和公式：(1)公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧＝ (q ≠1)(q ＝1).(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q ＝1的情况． 2．等比数列前n 项和的一个常用性质：在等比数列中，若等比数列{a n }的公比为q ，当q ＝－1，且m 为偶数时，S m ＝S 2m ＝S 3m＝0，此时S m 、S 2m －S m 、S 3m －S 2m 不成等比数列；当q ≠－1或m 为奇数时，S m 、S 2m －S m 、S 3m －S 2m 成等比数列．3．推导等比数列前n 项和的方法叫__________法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n 项和．自主探究阅读教材后，完成下面等比数列前n 项和公式的推导过程．方法一：设等比数列a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，它的前n 项和是S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n .由等比数列的通项公式可将S n 写成S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1.① ①式两边同乘以q 得qS n ＝________________________________.②①－②，得(1－q )S n ＝____________，由此得q ≠1时，S n ＝__________，因为a n ＝________，所以上式可化为S n ＝________.当q ＝1时，S n ＝__________.方法二：由等比数列的定义知a 2a 1＝a 3a 2＝…＝a na n －1＝q .当q ≠1时， a 2＋a 3＋…＋a n a 1＋a 2＋…＋a n －1＝q ，即S n －a 1S n －a n ＝q .故S n ＝____________.当q ＝1时，S n ＝____________.方法三：S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＝a 1＋q (a 1＋a 1q ＋…＋a 1q n －2) ＝a 1＋qS n －1＝a 1＋q (S n －a n )当q ≠1时，S n ＝____________＝____________. 当q ＝1时，S n ＝________.对点讲练知识点一有关等比数列前n 项和的计算例1 在等比数列{a n }中，S 3＝72，S 6＝632，求a n .总结涉及等比数列前n项和时，要先判断q＝1是否成立，防止因漏掉q＝1而出错．变式训练1在等比数列{a n}中，a1＋a n＝66，a3a n－2＝128，S n＝126，求n和q.知识点二利用等比数列前n项和的性质解题例2在等比数列{a n}中，已知S n＝48，S2n＝60，求S3n.总结通过两种解法比较，可看出，利用等比数列前n项和的性质解题，思路清晰，过程较为简捷．变式训练2等比数列的前n项和为S n，若S10＝10，S20＝30，S60＝630，求S70的值．知识点三错位相减法的应用例3 求和：S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n (x ≠0，n ∈N *)．总结一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n b n }的前n 项和时，可采用这一思路和方法．变式训练3 求数列1,3a,5a 2,7a 3，…，(2n －1)a n －1的前n 项和．1．在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”．2．前n 项和公式的应用中，注意前n 项和公式要分类讨论，即q ≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q ＝1的情况．3．教材中的推导方法叫做错位相减法，这种方法是我们应该掌握的重要方法之一．它适合数列{a n b n }的求和，其中{a n }代表等差数列，{b n }代表等比数列，即一个等差数列与一个等比数列对应项的乘积构成的新数列的求和可用此法.课时作业一、选择题1．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( ) A ．63 B ．64 C ．127 D ．1282．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( )A ．－3B ．5C ．－31D ．333．已知公比为q (q ≠1)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为( )A.q n S nB.S n q nC.1S n q n －1D.S n a 21qn －1 4．在等比数列{a n }中，公比q 是整数，a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则此数列的前8项和为( )A ．514B ．513C ．512D ．510 5．在等比数列中，S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140，则S 20等于( ) A ．90 B ．70 C ．40 D ．30题号 1 2 3 4 5 答案二、填空题6．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2＝________.7．若等比数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝－512，前n 项和为S n ＝－341，则n 的值是________． 8．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则此数列的通项公式a n ＝________. 三、解答题 9．设等比数列{a n }的公比q <1，前n 项和为S n .已知a 3＝2，S 4＝5S 2，求{a n }的通项公式．10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1) (n ∈N *)．(1)求a 1，a 2；(2)求证：数列{a n }是等比数列．§2.5 等比数列的前n 项和(一)知识梳理1．(1)a 1(1－q n )1－q a 1－a n q 1－qna 13．错位相减自主探究a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＋…＋a 1qn －1＋a 1q na 1－a 1q na 1(1－q n )1－q a 1q n －1 a 1－a n q 1－qna 1a 1－a n q1－qna 1 a 1－a n q 1－q a 1(1－q n )1－q na 1 对点讲练例1 解由已知S 6≠2S 3，则q ≠1，又S 3＝72，S 6＝632，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 3)1－q＝72， ①a 1(1－q 6)1－q ＝632. ②②÷①得1＋q 3＝9，∴q ＝2.可求得a 1＝12，因此a n ＝a 1q n －1＝2n －2.变式训练1 解 ∵a 3·a n －2＝a 1·a n ， ∴a 1a n ＝128，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1a n ＝128，a 1＋a n＝66，得①⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝64，a n ＝2，或②⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n＝64.将①代入S n ＝a 1－a n q 1－q＝126，可得q ＝12，由a n ＝a 1q n －1可解得n ＝6.将②代入S n ＝a 1－a n q1－q ，可得q ＝2，由a n ＝a 1q n －1可解得n ＝6.故n ＝6，q ＝12或2.例2 解方法一因为S 2n ≠2S n ，所以q ≠1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n )1－q＝48a 1(1－q2n)1－q＝60①②②÷①得1＋q n ＝54，即q n ＝14.③将③代入①得a 11－q ＝64，所以S 3n ＝a 1(1－q 3n )1－q＝64×⎝⎛⎭⎫1－143＝63. 方法二因为{a n }为等比数列，且q ≠1，所以S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列，所以(S 2n －S n )2＝S n (S 3n －S 2n )，所以S 3n ＝(S 2n －S n )2S n ＋S 2n ＝(60－48)248＋60＝63.变式训练2 解设b 1＝S 10，b 2＝S 20－S 10，…，则b 7＝S 70－S 60.因为q ≠1，所以S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 70－S 60成等比数列，所以b 1，b 2，…，b 7成等比数列，首项为b 1＝10，公比为q ＝b 2b 1＝2010＝2.求得b 7＝10·26＝640.由S 70－S 60＝640，得S 70＝1 270.例3 解 (1)当x ＝1时，S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.(2)当x ≠1时，S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n ，①xS n ＝x 2＋2x 3＋3x 4＋…＋(n －1)x n ＋nx n ＋1，②①－②得，(1－x )S n ＝x ＋x 2＋x 3＋…＋x n －nx n ＋1 ＝x (1－x n )1－x－nx n ＋1.∴S n ＝x (1－x n )(1－x )2－nx n ＋11－x.综上可得S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2 (x ＝1)x (1－x n)(1－x )2－nxn ＋11－x (x ≠1且x ≠0).变式训练3 解 (1)当a ＝0时，S n ＝1.(2)当a ＝1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n －1)，则S n ＝n [1＋(2n －1)]2＝n 2.(3)当a ≠1且a ≠0时，有S n ＝1＋3a ＋5a 2＋7a 3＋…＋(2n －1)a n －1，① aS n ＝a ＋3a 2＋5a 3＋7a 4＋…＋(2n －1)a n ，② ①－②得S n －aS n ＝1＋2a ＋2a 2＋2a 3＋…＋2a n －1－(2n －1)a n ， (1－a )S n ＝1－(2n －1)a n＋2(a ＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n －1)＝1－(2n －1)a n＋2·a (1－a n －1)1－a＝1－(2n －1)a n＋2(a －a n )1－a，又1－a ≠0，∴S n ＝1－(2n －1)a n 1－a ＋2(a －a n )(1－a )2.综上，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (a ＝0)n 2(a ＝1)1－(2n －1)a n1－a ＋2(a －a n )(1－a )2(a ≠0且a ≠1).课时作业1．C [设公比为q ，则由a 1＝1，a 5＝16得a 5＝a 1q 4，即16＝q 4，由q >0，得q ＝2.则S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝1－271－2＝127.]2．D [由题意知公比q ≠1，S 6S 3＝a 1(1－q 6)1－q a 1(1－q 3)1－q＝1＋q 3＝9， ∴q ＝2，S 10S 5＝a 1(1－q 10)1－q a 1(1－q 5)1－q ＝1＋q 5＝1＋25＝33.] 3．D [数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 也是等比数列，且首项为1a 1，公比为1q ，其前n 项和为：1a 1⎝⎛⎭⎫1－1q n 1－1q＝1a 21q n －1·a 1(q n －1)q －1＝S na 21qn －1.] 4．D [由a 1＋a 4＝18和a 2＋a 3＝12，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1q 3＝18a 1q ＋a 1q 2＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝16q ＝12.∵q 为整数，∴q ＝2，a 1＝2，S 8＝2(28－1)2－1＝29－2＝510.]5．C [q ≠1 (否则S 30＝3S 10)，∵⎩⎪⎨⎪⎧S 30＝13S 10S 10＋S 30＝140，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 10＝10S 30＝130，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 10)1－q ＝10a 1(1－q 30)1－q＝130，∴q 20＋q 10－12＝0.∴q 10＝3或q 10＝－4(舍去)，∴S 20＝a 1(1－q 20)1－q＝S 10(1＋q 10)＝10×(1＋3)＝40.] 6.152解析由等比数列的定义，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 2q＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2，得S 4a 2＝1q ＋1＋q ＋q 2＝152. 7．10解析 ∵S n ＝a 1－a n q1－q ，∴－341＝1＋512q1－q ，∴q ＝－2，又∵a n ＝a 1q n －1，∴－512＝(－2)n －1， ∴n ＝10.8．2n －1解析当n ＝1时，S 1＝2a 1－1， ∴a 1＝2a 1－1， ∴a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1) ∴a n ＝2a n －1，∴{a n }是等比数列，∴a n ＝2n －1，n ∈N *.9．解方法一由已知a 1≠0，S n ＝a 1(1－q n )1－q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝2， ①a 1(1－q 4)1－q＝5×a 1(1－q 2)1－q ， ② 由②得1－q 4＝5(1－q 2)．∴(q 2－4)(q 2－1)＝0.又q <1.∴q ＝－1或q ＝－2.当q ＝－1时，a 1＝2，a n ＝2×(－1)n －1.当q ＝－2时，a 1＝12，a n ＝12×(－2)n －1.方法二 ∵S 4＝5S 2，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝5(a 1＋a 2)．∴a 3＋a 4＝4(a 1＋a 2)．(1)当a 1＋a 2＝0，即a 2＝－a 1，即q ＝－1时，a 3＋a 4＝0适合；∵a 3＝2，∴a 1＝2(－1)2＝2，∴a n ＝2×(－1)n －1.(2)当a 1＋a 2≠0时，a 3＋a 4a 1＋a 2＝4.即q 2＝4.又q <1，∴q ＝－2，a 1＝2(－2)2＝12，此时，a n ＝12×(－2)n －1. 10．(1)解由S 1＝13(a 1－1)，得a 1＝13(a 1－1)，∴a 1＝－12.又S 2＝13(a 2－1)，即a 1＋a 2＝13(a 2－1)，得a 2＝14.(2)证明当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝13(a n －1)－13(a n －1－1)，得a n a n －1＝－12，又a 2a 1＝－12，所以{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列．。

人教A版高中数学必修五2.4《等比数列(二)》

解析：∵数列{an}成等比数列， ∴a6·a15＝a9·a12， ∴a6·a15＝15， ∴a1·a2·a3·a4·…·a20＝(a1·a20)10＝(a6·a15)10 ＝1510.
答案：1510
要点阐释
1．等比数列的性质 (1)在等比数列中，我们随意取出连续的三项以上的数，把它们重新依次看成一个数列，则仍是等比数列． (2)在等比数列中，我们任取“间隔相同”的三项以上的数，把它们重新依次看成一个数列，则仍是等比数列，如：等比数列a1，a2，a3，… ，an，….那么a2，a5，a8，a11，a14，…； a3，a5，a7，a9，a11…各自仍构成等比数列．
已知等比数列an
满足
an＞0，n＝1,2，…，
且 a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当 n≥1 时，log2a1＋log2a3＋…
＋log2a2n－1＝
()
A．(n－1)2
B．n2
C．(n＋1)2
D．n(2n－1)
错解：易得 an＝2n，且 log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1 ＝log2(a1a3…a2n－1)＝log221＋3＋…＋(2n－1) ＝1＋3＋ …＋(2n－1)＝1＋22n－1(2n－1) ＝n(2n－1)．从而错选 D 错因分析：对等差数列1,3，…，2n－1的项数没数清．
即aa1122－＋22aa11aa55＋＋aa5522＝＝330422，，两式相减得 a1a5＝64，即 a32＝64，又 a5＞a1，故 a3＝8. 答案：A
2．在等
比数列an
中，
a8
是
a4
与________的等比中项
A．a9
B．a10
C．a11
() D．a12

等比数列教学案

等比数列教学案篇一：等比数列第一课时教案等比数列的定义教案内容：等比数列教学目标:1.理解和掌握等比数列的定义；2.理解和掌握等比数列的通项公式及其推导过程和方法；3.运用等比数列的通项公式解决一些简单的问题。

授课类型：课时安排：1教学重点：等比数列定义、通项公式的探求及运用。

教学难点：等比数列通项公式的探求。

教具准备：多媒体课件教学过程：（一）复习导入1．等差数列的定义2．等差数列的通项公式及其推导方法3.公差的确定方法.4.问题：给出一张书写纸，你能将它对折10次吗？为什么？（二）探索新知1．引入：观察下面几个数列，看其有何共同特点？（１）－2，1，4，7，10，13，16，19，（２）8，16，32，64，128，256，（３）1，1，1，1，1，1，1，（４）1，2，4，8，16，263请学生说出数列上述数列的特性，教师指出实际生活中也有许多类似的例子，如细胞分裂问题.假设每经过一个单位时间每个细胞都分裂为两个细胞，再假设开始有一个细胞，经过一个单位时间它分裂为两个细胞，经过两个单位时间就有了四个细胞，，一直进行下去，记录下每个单位时间的细胞个数得到了一列数这个数列也具有前面的几个数列的共同特性，这就是我们将要研究的另一类数列——等比数列.2．等比数列定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一．．．．项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列．．的公比；公比通常用字母q表示(q0)，3.递推公式：an1∶anq(q0)对定义再引导学生讨论并强调以下问题（1）等比数列的首项不为0；（2）等比数列的每一项都不为0；（3）公比不为0.（4）非零常数列既是等比数列也是等差数列；问题：一个数列各项均不为0是这个数列为等比数列的什么条件？3．等比数列的通项公式：【傻儿子的故事】古时候,有一个人不识字,他不希望儿子也像他这样,他就请了个教书先生来教他儿子认字，他儿子见老师第一天写“一”就是一划，第二天“二”就是二划，第三天“三”就是三划,他就跑去跟他父亲说:“爸爸,我会写字了,请你叫老师走吧!”这人听了很高兴,就给老师结算了工钱叫他走了。

2014年人教A版必修五课件 2.4 等比数列

问题1. 刚才写出的数列是等差数列吗? 如果不是, 那么它们有什么共同的特征? 根据它们的共同特征你想把它们叫做什么数列?
(1) 2, 4, 8, 16, … 每一项等于前一项乘以 2. 5 5 5 1 , , , (2) 5, 每一项等于前一项乘以 . 2 4 8 2 (3) 100001.0198, 100001.01982, 100001.01983, 100001.01984, 100001.01985. 特征: 每一项等于前一项乘以 1.0198. 各数列中, 每一项与它前一项的比值是一个相等的数. (1) 中的比值是 2, (2) 中的比值是 1 , 2 (3) 中的比值是1.0198.
∴ {a n · bn}是等比数列.
问题3. 如果{an}是等比数列, c 为常数, 且c≠0,那么{c· an}是否是等比数列, 能证明你的结论吗?
c an1 an1 q (常数). c an an
结论: 一个等比数列的各项都乘以同一个不为 0 的常数, 所得的数列仍是等比数列.
本章内容
2.1 2.2 2.3 2.4 数列的概念与简单表示法等差数列等差数列的前 n 项和等比数列
2.5 等比数列的前 n 项和
第二章小结
(第一课时)
第一课时第二课时
1. 什么叫等比数列? 它的特征是什么?
2. 怎样判定一个数列是否是等比数列? 3. 什么是等比中项? 怎样表示两个数的等比中项?
问题4. 三个数 2, 6 , 3 是否成等比数列? 如果 a, G, b 这三个数成等比数列, G 是多少?
6 2 3 6 6, 2 6, 2
两比值相等, 三个数成等比数列. 若 a, G, b 成等比数列, 则 G b , G2ab, G ab. a G

人教A版高中数学必修五 2.4 第2课时等比数列的性质(教案)

2.4等比数列（2）教学重点1.探究等比数列更多的性质;2.解决生活实际中的等比数列的问题.教学难点渗透重要的数学思想.教具准备多媒体课件、投影胶片、投影仪等三维目标一、知识与技能1.了解等比数列更多的性质;2.能将学过的知识和思想方法运用于对等比数列性质的进一步思考和有关等比数列的实际问题的解决中;3.能在生活实际的问题情境中，抽象出等比数列关系，并能用有关的知识解决相应的实际问题.二、过程与方法1.继续采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学;2.对生活实际中的问题采用合作交流的方法，发挥学生的主体作用，引导学生探究问题的解决方法，经历解决问题的全过程;3.当好学生学习的合作者的角色.三、情感态度与价值观1.通过对等比数列更多性质的探究，培养学生的良好的思维品质和思维习惯，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力;2.通过生活实际中有关问题的分析和解决，培养学生认识社会、了解社会的意识，更多地知道数学的社会价值和应用价值.教学过程导入新课师教材中第59页练习第3题、第4题，请学生课外进行活动探究，现在请同学们把你们的探究结果展示一下.生由学习小组汇报探究结果.师对各组的汇报给予评价.师出示多媒体幻灯片一：第3题、第4题详细解答：第3题解答：(1)将数列{a n }的前k 项去掉，剩余的数列为a k+1，a k+2,….令b i =a k+i ,i=1,2,…, 则数列a k+1,a k+2,…,可视为b 1,b 2，…. 因为q a a b b ik i k i i ==++++11 (i≥1),所以，{b n }是等比数列，即a k+1，a k+2,…是等比数列. (2){a n }中每隔10项取出一项组成的数列是a 1,a 11,a 21，…,则109101101121111......q a a a a a a k k =====-+ (k≥1). 所以数列a 1,a 11,a 21,…是以a 1为首项，q 10为公比的等比数列.猜想：在数列{a n }中每隔m(m 是一个正整数)取出一项，组成一个新数列，这个数列是以a 1为首项、q m 为公比的等比数列.◇本题可以让学生认识到，等比数列中下标为等差数列的子数列也构成等比数列，可以让学生再探究几种由原等比数列构成的新等比数列的方法. 第4题解答：(1)设{a n }的公比是q ，则 a 52=(a 1q 4)2=a 12q 8, 而a 3·a 7=a 1q 2·a 1q 6=a 12q 8, 所以a 52=a 3·a 7. 同理,a 52=a 1·a 9.(2)用上面的方法不难证明a n 2=a n -1·a n +1(n ＞1).由此得出，a n 是a n -1和a n +1的等比中项，同理可证a n 2=a n -k ·a n +k (n ＞k ＞0).a n 是a n -k 和a n +k 的等比中项(n ＞k ＞0).师和等差数列一样，等比数列中蕴涵着许多的性质，如果我们想知道的更多，就要对它作进一步的探究.推进新课［合作探究］师出示投影胶片1例题1 (教材P 61B 组第3题)就任一等差数列{a n }，计算a 7+a 10，a 8+a 9和a 10+a 40，a 20+a 30，你发现了什么一般规律，能把你发现的规律用一般化的推广吗？从等差数列和函数之间的联系的角度来分析这个问题.在等比数列中会有怎样的类似结论？师注意题目中“就任一等差数列{a n }”，你打算用一个什么样的等差数列来计算？生用等差数列1，2，3，…师很好，这个数列最便于计算，那么发现了什么样的一般规律呢？生在等差数列{a n }中，若k+s=p+q(k,s,p,q ∈N *)，则a k +a s =a p +a q .师题目要我们“从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题”，如何做？生思考、讨论、交流.师出示多媒体课件一：等差数列与函数之间的联系. ［教师精讲］师从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题：由等差数列{a n }的图象，可以看出qs a a p k a a q s p k ==,, 根据等式的性质，有1=++=++qp sk a a a a q p s k .所以a k +a s =a p +a q .师在等比数列中会有怎样的类似结论？生猜想对于等比数列{a n }，类似的性质为：k+s=p+t(k,s,p,t ∈N *)，则 a k ·a s =a p ·a t .师让学生给出上述猜想的证明. 证明：设等比数列{a n }公比为q ，则有a k ·a s =a 1q k-1·a 1q s-1=a 12·q k+s-2,a p ·a t =a 1q p-1·a 1q t-1=a 12·q p+t-2.因为k+s=p+t, 所以有a k ·a s =a p ·a t .师指出：经过上述猜想和证明的过程，已经得到了等比数列的一个新的性质. 即等比数列{a n }中，若k+s=p+t(k,s,p,t ∈N *)，则有a k ·a s =a p ·a t . 师下面有两个结论：(1)与首末两项等距离的两项之积等于首末两项的积；(2)与某一项距离相等的两项之积等于这一项的平方. 你能将这两个结论与上述性质联系起来吗？生思考、列式、合作交流，得到：结论(1)就是上述性质中1+n =(1+t)+(n -t)时的情形；结论(2)就是上述性质中k+k=(k+t)+(k-t)时的情形. 师引导学生思考，得出上述联系，并给予肯定的评价. 师上述性质有着广泛的应用. 师出示投影胶片2：例题2例题2（1）在等比数列{a n }中，已知a 1=5,a 9a 10=100,求a 18; （2）在等比数列{b n }中，b 4=3,求该数列前七项之积；（3）在等比数列{a n }中，a 2=-2,a 5=54,求a 8.例题2 三个小题由师生合作交流完成，充分让学生思考，展示将问题与所学的性质联系到一起的思维过程. 解答：(1)在等比数列{a n }中，已知a 1=5，a 9a 10=100，求a 18.解：∵a 1a 18=a 9a 10，∴a 18=51001109=a a a =20. (2)在等比数列{b n }中，b 4=3，求该数列前七项之积. 解：b 1b 2b 3b 4b 5b 6b 7=(b 1b 7)(b 2b 6)(b 3b 5)b 4.∵b 42=b 1b 7=b 2b 6=b 3b 5，∴前七项之积(32)3×3=37=2 187. (3)在等比数列{a n }中，a 2=-2，a 5=54，求a 8. 解：.∵a 5是a 2与a 8的等比中项，∴542=a 8×(-2). ∴a 8=-1 458. 另解：a 8=a 5q 3=a 5·2545425-⨯=a a =-1 458. ［合作探究］师判断一个数列是否成等比数列的方法：1、定义法；2、中项法；3、通项公式法. 例题3：已知{a n }{b n }是两个项数相同的等比数列，仿照下表中的例子填写表格.从中你能得出什么结论？证明你的结论.a nb n a n ·b n 判断{a n ·b n }是否是等比数列例 n )32(3⨯-5×2n -1 1)34(10-⨯-n是自选1 自选2师请同学们自己完成上面的表.师根据这个表格，我们可以得到什么样的结论？如何证明？生得到：如果{a n }、{b n }是两个项数相同的等比数列，那么{a n ·b n }也是等比数列. 证明如下：设数列{a n }的公比是p ，{b n }公比是q ，那么数列{a n ·b n }的第n 项与第n ＋1项分别为a 1p n -1b 1q n -1与a 1p n b 1q n ，因为pq qb p a q b p a b a b a n n nn n n n n ==•--++11111111, 它是一个与n 无关的常数，所以{a n ·b n }是一个以pq 为公比的等比数列. ［教师精讲］除了上面的证法外，我们还可以考虑如下证明思路：证法二：设数列{a n }的公比是p ，{b n }公比是q ，那么数列{a n ·b n }的第n 项、第n -1项与第n ＋1项(n ＞1,n ∈N *)分别为a 1p n -1b 1q n -1、a 1p n -2b 1q n -2与a 1p n b 1q n ，因为 (a n b n )2=(a 1p n -1b 1q n -1)2=(a 1b 1)2(pq) 2(n -1),(a n -1·b n -1)(a n +1·b n +1)=(a 1p n -2b 1q n -2)(a 1p n b 1q n )=(a 1b 1)2(pq)2(n -1), 即有(a n b n )2=(a n -1·b n -1)(a n +1·b n +1)(n ＞1,n ∈N *),所以{a n ·b n }是一个等比数列.师根据对等比数列的认识，我们还可以直接对数列的通项公式考察：证法三：设数列{a n }的公比是p ，{b n }公比是q ，那么数列{a n ·b n }的通项公式为 a n b n =a 1p n -1b 1q n -1=(a 1b 1)(pq) n -1,设c n =a n b n ,则c n =(a 1b 1)(pq) n -1, 所以{a n ·b n }是一个等比数列. 课堂小结本节学习了如下内容：1.等比数列的性质的探究.2.证明等比数列的常用方法.布置作业课本第60页习题2.4 A组第3题、B组第1题.板书设计等比数列的基本性质及其应用例1例2例3。

高中数学人教A版必修五教学课件：第二章《数列》 2.4 第2课时等比数列的性质

－6 解析：a4a7＝a1· a10＝＝－2. 3
答案：B
3．等比数列{an}中，若 a9＝－2，则此数列前 17 项之积为____________．
解析：由题意得 a1a2a3…a15a16a17 ＝(a1a17)· (a2a16)· (a3a15)· …· a9
17 17 ＝a17 9 ＝(－2) ＝－2 .
2 ∴a6 ＝a2· a10，
1 ∴a10＝162 × ＝13 122. 2
2
法三：由公式 ap· aq＝ap＋k· aq－k 得
2 a2· a10＝a2＋4· a10－4＝a6 .
1 ∴a10＝1622× ＝13 122. 2
答案：13 122
探究二
an＋1＝can＋d(c≠1，cd≠0)的递推关系
利用等比数列的性质解题 (1)基本思路：充分发挥项的 “下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题． (2)优缺点：简便快捷，但是适用面窄，有一定的思维含量．
1．在等比数列中，若 a2＝2，a6＝162，则 a10＝________.
解析：法一：∵a6＝a2q4，其中 a2＝2，a6＝162， ∴q4＝81， ∴a10＝a6q4＝162×81＝13 122. 法二：∵2,6,10 三数成等差数列， ∴a2，a6，a10 成等比数列．
－
1n－1 4n－1 n－1 第 n 个图形的周长 3 ×(3×4 )＝3×3 .
[感悟提高]
(1)解决此类问题，需要抓住变中的不变量，即数据在改
变，但其变化规律不改变，事实上，给出的图形只是问题的载体，我们只需从“形”中抽象出“数”，即可将问题归结为等比数列．
a1＝1， 1 ∴ 或 1 q ＝ . q＝2，

人教a版必修五课件：等比数列(53页)

(1)a4＝2，a7＝8，求an； (2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. [分析] 解答本题可将条件转化为关于基本元素a1与q
的方程组，求出a1和q，再表示其他量．
[解]
3 a1q ＝2， 6 a1q ＝8.
(1)方法一：因为 ① ②
3 a4＝a1q ， 6 a ＝ a q 7 1 ，
3．等比中项 (1)如果三个数x，G，y组成等比数列，则G叫做x和y的等比中项．
2 G (2)如果G是x和y的等比中项，那么＝xy，即G＝± xy .
思考感悟
1．如何理解等比数列的定义？
提示：(1)一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比是同一个常数，定义中“同一个”常数非常重要，切不可丢掉． (2)常数列是等差数列，但不一定是等比数列，如 0,0,0„就不是等比数列．
新知初探
1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．
2．等比数列的通项公式如果一个等比数列{an}的首项为a1，公比为q，那么它的
n－1 a q 通项公式是an＝ 1 .
所以
② 3 3 由得q ＝4，从而q＝ 4，而a1q3＝2， ① 2n－5 2 1 n－1 于是a1＝ 3＝，所以an＝a1q ＝2 . q 2 3
方法二：因为a7＝a4q3，所以q3＝4. 所以an＝a4q
n－4
3 n－4 2n－5 ＝2· ( 4) ＝2 3 .
4 a2＋a5＝a1q＋a1q ＝18， ③ (2)方法一：因为 2 5 a3＋a6＝a1q ＋a1q ＝9. ④

【创新设计】2022-2021学年高二数学人教A必修5学案：2.4 等比数列(一) Word版含答案

2．4 等比数列(一)[学习目标] 1.通过实例，理解等比数列的概念并会简洁应用.2.把握等比中项的概念并会应用.3.把握等比数列的通项公式了解其推导过程．[学问链接]下列推断正确的是________．(1)从第2项起，每一项与它前一项的差等同一个常数的数列是等差数列； (2)从第2项起，每一项与它前一项的比等同一个常数的数列是等差数列； (3)等差数列的公差d 可正可负，且可以为零； (4)在等差数列中，a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．答案 (1)(3)(4) [预习导引]1．等比数列的概念：假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0)．2．等比中项的概念：假如a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，且G ＝±ab .3．等比数列的通项公式：已知等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，该等比数列的通项公式为a n ＝a 1q n －1.要点一等比数列通项公式的基本量的求解例1 在等比数列{a n }中， (1)a 4＝2，a 7＝8，求a n ；(2)a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，求n . (3)a 3＝2，a 2＋a 4＝203，求a n .解 (1)由于⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 3＝2，a 1q 6＝8，①②由②①得q 3＝4，从而q ＝34，而a 1q 3＝2，于是a 1＝2q 3＝12，所以a n ＝a 1q n －1＝2532n -.(2)法一由于⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18，a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝9，③④由④③得q ＝12，从而a 1＝32，又a n ＝1所以32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝1，即26－n ＝20，所以n ＝6. 法二由于a 3＋a 6＝q (a 2＋a 5)，所以q ＝12.由a 1q ＋a 1q 4＝18，知a 1＝32. 由a n ＝a 1q n －1＝1，知n ＝6.(3)设等比数列{a n }的公比为q ，则q ≠0. a 2＝a 3q ＝2q ，a 4＝a 3q ＝2q ，∴2q ＋2q ＝203. 解得q 1＝13，q 2＝3.当q ＝13时，a 1＝18，∴a n ＝18×⎝⎛⎭⎫13n －1＝2×33－n .当q ＝3时，a 1＝29，∴a n ＝29×3n －1＝2×3n －3.综上，当q ＝13时，a n ＝2×33－n ；当q ＝3时，a n ＝2×3n －3.规律方法 a 1和q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可迎刃而解．此类问题求解的通法是依据条件，建立关于a 1和q 的方程组，求出a 1和q .跟踪演练1 (1)若等比数列{a n }的首项a 1＝98，末项a n ＝13，公比q ＝23，求项数n .(2)在等比数列{a n }中，已知a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，求a n . 解 (1)由a n ＝a 1·q n －1，得13＝98⎝⎛⎭⎫23n －1，即⎝⎛⎭⎫23n －1＝⎝⎛⎭⎫233，得n ＝4.(2)由于⎩⎪⎨⎪⎧ a 5－a 1＝a 1q 4－a 1＝15，a 4－a 2＝a 1q 3－a 1q ＝6，①②由①②得q ＝12或q ＝2.当q ＝12时，a 1＝－16；当q ＝2时，a 1＝1.∴a n ＝－25－n 或a n ＝2n －1. 要点二等比中项的应用例2 等差数列{a n }中，公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10等于多少？解由题意知a 3是a 1和a 9的等比中项，∴a 23＝a 1a 9，∴(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )，得a 1＝d ，∴a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝13d 16d ＝1316.规律方法由等比中项的定义可知：G a ＝bG ⇒G 2＝ab ⇒G ＝±ab .这表明只有同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它们互为相反数．反之，若G 2＝ab ，则G a ＝bG ，即a ，G ，b 成等比数列．所以a ，G ，b成等比数列⇔G 2＝ab (ab ≠0)．跟踪演练2 已知a ，－32，b ，－24332，c 这五个数成等比数列，求a ，b ，c 的值．解由题意知b 2＝⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫－24332＝⎝⎛⎭⎫326， ∴b ＝±278.当b ＝278时，ab ＝⎝⎛⎭⎫－322，解得a ＝23； bc ＝⎝⎛⎭⎫－243322＝⎝⎛⎭⎫－3210，解得c ＝⎝⎛⎭⎫327. 同理，当b ＝－278时，a ＝－23，c ＝－⎝⎛⎭⎫327. 综上所述，a ，b ，c 的值分别为23，278，⎝⎛⎭⎫327或－23，－278，－⎝⎛⎭⎫327. 要点三等比数列的判定例3 数列{a n }满足a 1＝－1，且a n ＝3a n －1－2n ＋3(n ＝2,3，…)． (1)求a 2，a 3，并证明数列{a n －n }是等比数列；(2)求a n .解 (1)a 2＝3a 1－2×2＋3＝－4， a 3＝3a 2－2×3＋3＝－15. 下面证明{a n －n }是等比数列：证明a n ＋1－(n ＋1)a n －n ＝3a n －2(n ＋1)＋3－(n ＋1)a n －n＝3a n －3na n －n＝3(n ＝1,2,3，…)．又a 1－1＝－2，∴{a n －n }是以－2为首项，以3为公比的等比数列． (2)由(1)知a n －n ＝－2·3n －1， ∴a n ＝n －2·3n －1.规律方法推断一个数列是否是等比数列的常用方法有 (1)定义法：a n ＋1a n＝q (q 为常数且不为零)⇔{a n }为等比数列．(2)等比中项法：a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *且a n ≠0)⇔{a n }为等比数列．(3)通项公式法：a n ＝a 1q n －1(a 1≠0且q ≠0)⇔{a n }为等比数列．跟踪演练3 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n ＋1，求证{a n }是等比数列，并求出通项公式．解 ∵S n ＝2a n ＋1， ∴S n ＋1＝2a n ＋1＋1.∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(2a n ＋1＋1)－(2a n ＋1)＝2a n ＋1－2a n . ∴a n ＋1＝2a n ，又∵S 1＝2a 1＋1＝a 1，∴a 1＝－1≠0. 又由a n ＋1＝2a n 知a n ≠0， ∴a n ＋1a n ＝2，∴{a n }是等比数列．∴a n ＝－1×2n －1＝－2n －1.要点四由递推公式构造等比数列求通项例4 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，且a n ＋S n ＝n .(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式． (1)证明 ∵a n ＋S n ＝n ，① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.② ②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1， ∴a n ＋1－1a n －1＝12，∴{a n －1}是等比数列．∵首项c 1＝a 1－1，又a 1＋a 1＝1. ∴a 1＝12，∴c 1＝－12，公比q ＝12.又c n ＝a n －1，所以q ＝12.∴{c n }是以－12为首项，公比为12的等比数列．(2)解由(1)可知c n ＝⎝⎛⎭⎫－12·⎝⎛⎭⎫12n －1＝－⎝⎛⎭⎫12n ， ∴a n ＝c n ＋1＝1－⎝⎛⎭⎫12n.∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝1－⎝⎛⎭⎫12n －⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －1 ＝⎝⎛⎭⎫12n －1－⎝⎛⎭⎫12n ＝⎝⎛⎭⎫12n .又b 1＝a 1＝12代入上式也符合，∴b n ＝⎝⎛⎭⎫12n . 规律方法 (1)已知数列的前n 项和，或前n 项和与通项的关系求通项，常用a n 与S n 的关系求解．(2)由递推关系a n ＋1＝Aa n ＋B (A ，B 为常数，且A ≠0，A ≠1)求a n 时，由待定系数法设a n ＋1＋λ＝A (a n ＋λ)可得λ＝B A －1，这样就构造了等比数列{a n ＋λ}．跟踪演练4 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝52－1a n ，b n ＝1a n －2，求数列{b n }的通项公式．解 a n ＋1－2＝52－1a n －2＝a n －22a n ，1a n ＋1－2＝2a n a n －2＝4a n －2＋2，即b n ＋1＝4b n ＋2，b n ＋1＋23＝4⎝⎛⎭⎫b n ＋23.又a 1＝1，故b 1＝1a 1－2＝－1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n ＋23是首项为－13，公比为4的等比数列，所以b n ＋23＝－13×4n －1，b n ＝－4n －13－23.1．在等比数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝64，则a 2等于( ) A ．16 B. 16或－16 C. 32 D. 32或－32答案 A解析由a 4＝a 1q 3，得q 3＝8，即q ＝2，所以a 2＝a 1q ＝16.2．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为 ( ) A ．4 B ．8 C ．6 D ．32 答案 C解析由等比数列的通项公式，得128＝4×2n －1,2n －1＝32，所以n ＝6. 3．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于( ) A ．64 B ．81 C ．128 D ．243 答案 A解析 ∵{a n }为等比数列，∴a 2＋a 3a 1＋a 2＝q ＝2.又a 1＋a 2＝3，∴a 1＝1. 故a 7＝1·26＝64.4．若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝________.答案 (－2)n －1解析当n ＝1时，a 1＝1；当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝23a n －23a n －1，故a na n －1＝－2，故a n ＝(－2)n －1.1.等比数列定义的理解(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q 也不行能为零． (2)a n ＋1a n均为同一常数，由此体现了公比的意义，同时应留意分子、分母次序不能颠倒．(3)假如一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它的前一项之比是同一个常数，那么这个数列不是等比数列． 2.等比中项的理解(1)当a ，b 同号时，a ，b 的等比中项有两个；当a ，b 异号时，没有等比中项．(2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项． (3)“a ，G ，b 成等比数列”等价于“G 2＝ab ”(a ，b 均不为0)，可以用它来推断或证明三数是否成等比数列． 3．等比数列的通项公式(1)已知首项a 1和公比q ，可以确定一个等比数列．(2)在公式a n ＝a 1q n －1中有a n ，a 1，q ，n 四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量．一、基础达标1．在等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6等于( ) A ．4 B. 8 C. 16 D. 32 答案 C解析由于a 24＝a 2·a 6，所以a 2·a 6＝16.2．在等比数列{a n }中，a n ＞0，且a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，则a 4＋a 5的值为( ) A ．16 B ．27 C ．36 D ．81 答案 B解析由已知a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，∴q 2＝9. ∴q ＝3(q ＝－3舍)，∴a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝27. 3．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．24答案 A解析由(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－1或x ＝－3.当x ＝－1时，前三项为－1,0,0不成立，舍掉．当x ＝－3时，前三项为－3，－6，－12，公比为2，所以第四项为－24，选A.4．假如－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( ) A ．b ＝3，ac ＝9 B ．b ＝－3，ac ＝9 C ．b ＝3，ac ＝－9 D ．b ＝－3，ac ＝－9答案 B解析 ∵b 2＝(－1)×(－9)＝9，且b 与首项－1同号， ∴b ＝－3，且a ，c 必同号． ∴ac ＝b 2＝9.5．在等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则公比q ＝________. 答案 2解析 a 3＝a 1q 2＝3，a 10＝a 1q 9＝384，两式相除得，q 7＝128，所以q ＝2.6．在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为________．答案 80,40,20,10解析设这6个数所成等比数列的公比为q ，则5＝160q 5，∴q 5＝132，∴q ＝12.∴这4个数依次为80,40,20,10.7．已知等比数列{a n }，若a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1a 2a 3＝8，求a n .解 ∵a 1a 3＝a 22，∴a 1a 2a 3＝a 32＝8，∴a 2＝2.从而⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝5a 1a 3＝4，解得a 1＝1，a 3＝4或a 1＝4，a 3＝1.当a 1＝1时，q ＝2；当a 1＝4时，q ＝12.故a n ＝2n －1或a n ＝23－n .8．在四个正数中，前三个成等差数列，和为48，后三个成等比数列，积为8 000，求这四个数．解设前三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ，则有 (a －d )＋a ＋(a ＋d )＝48，即a ＝16. 设后三个数分别为bq，b ，bq ，则有bq·b ·bq ＝b 3＝8 000，即b ＝20， ∴这四个数分别为m,16,20，n ， ∴m ＝2×16－20＝12，n ＝20216＝25.即所求的四个数分别为12,16,20,25. 二、力量提升9．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 答案 C解析在等比数列{a n }中，∵a 1＝1，∴a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 51q 10＝q 10.∵a m ＝a 1q m －1＝q m －1， ∴m －1＝10，∴m ＝11.10．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝x 2－2x ＋3的顶点是(b ，c )，则ad 等于( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．－2 答案 B 解析∵y ＝(x －1)2＋2，∴b ＝1，c ＝2.又∵a ，b ，c ，d 成等比数列，∴ad ＝bc ＝2.11．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则a 2－a 1b 2的值是________．答案 12解析 ∵－1，a 1，a 2，－4成等差数列，设公差为d ，则a 2－a 1＝d ＝13[(－4)－(－1)]＝－1，∵－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列， ∴b 22＝(－1)×(－4)＝4，∴b 2＝±2. 若设公比为q ，则b 2＝(－1)q 2，∴b 2<0. ∴b 2＝－2，∴a 2－a 1b 2＝－1－2＝12.12．设{a n }是各项均为正数的等比数列，b n ＝log 2a n ，若b 1＋b 2＋b 3＝3，b 1b 2b 3＝－3，求数列{a n }的通项公式．解设等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，则a n ＝2b n ， ∵b n －b n －1＝log 2a n －log 2a n －1＝log 2a na n －1＝log 2q ， ∴{b n }为等差数列，且d ＝log 2q ，而⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋b 2＋b 3＝3b 2＝3(b 1＋d )＝3，b 1·b 2·b 3＝b 1(b 1＋d )(b 1＋2d )＝－3， ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＝－1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝3，d ＝－2.∴b n ＝2n －3或5－2n .∴a n ＝22n －3或a n ＝25－2n . 三、探究与创新13．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，(1)求证：数列{a n ＋1}是等比数列； (2)求{a n }的表达式．(1)证明法一 ∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)， ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝2，且a 1＋1＝2. ∴{a n ＋1}是等比数列，公比为2，首项为2. 法二 ∵a n ＋1＋1a n ＋1＝2a n ＋1＋1a n ＋1＝2(a n ＋1)a n ＋1＝2(n ∈N *)，∴数列{a n ＋1}是等比数列．(2)解由(1)知{a n ＋1}是等比数列．公比为2，首项a 1＋1＝2. ∴a n ＋1＝(a 1＋1)·2n －1＝2n .∴a n ＝2n －1.。

2.4(2)等比数列(学生学案)

SCH 南极数学同步教学设计人教A 版必修5第二单元《数列》班级姓名座号2.4(2)等比数列（学生学案）例1：（P51例4）设项数相同的等比数列{n a }与{n b }，求证{}n n b a ⋅也是一个等比数列变式训练1：将公比为q 的等比数列{a n }依次取相邻两项的乘积组成新的数列a 1a 2，a 2a 3，a 3a 4，….此数列是( )A ．公比为q 的等比数列B ．公比为q 2的等比数列C ．公比为q 3的等比数列 D ．不一定是等比数列例2：(tb0316237)在等比数列{a n }中，a n >0，且a 2a 3a 10a 11=256，则a 6a 7等于（）。

（A ）13 （B ）14 （C ）15 （D ）16变式训练2: 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 3a 5＝4，则a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7＝________.例3：已知等比数列{a n }中，a 1·a 9＝64，a 3＋a 7＝20，则a 11＝．变式训练3：在正项等比数列{}n a 中，991,a a 是方程016102=+-x x 的两个根，则605040a a a 的值为（）A. 32B. 256C. 64±D. 64例4：有四个数，前三个数成等比数列，它们的和为19，后三个数成等差数列，它们的和为12.求这四个数. 变式训练4：在3和9之间插入两个正数，使前3个数成等比数列，后3个数成等差数列，则这两个正数之和为（）A.227 B. 445 C. 225 D. 447 等比数列的性质归纳：在等比数列{}n a 中（1）等比数列的通项公式: )0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n ，)0(≠⋅⋅=-q a q a a m m n m n*（2）若m+n=p+q ，q p n m a a a a ⋅=⋅（3）等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ,G ，b 成等比数列，那么称这个数G 为a 与b 的等比中项. 即G =±ab （a ,b 同号）（4）设项数相同的等比数列{n a }与{n b }，则数列{}n n b a ⋅也是一个等比数列（5）当{a n }是有穷数列时，与首末两项等距离的两项的积都相等，且等于首末两项的积。

高中数学第二章数列2.4.1等比数列的概念及通项公式人教A版必修5

2.等比中项如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项,这三个数满足关系式 ab=G2.
思考 1 若 G2=ab,则 a,G,b 一定成等比数列吗?
提示:不一定.因为若 G=0,则 a,b 中至少有一个为 0,使 G2=ab,根据等比数列的定义,a,G,b 不成等比数列.当 a,G,b 全不为零时,若 G2=ab,则 a,G,b 成
探究四
探究二等比中项的应用
若 a,G,b 成等比数列,则 G 叫做 a 与 b 的等比中项,此时 G=± ��. 注意:(1)在 a,b 同号时,a,b 的等比中项有两个,异号时,没有等比中项. (2)在一个等比数列中,从第 2 项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项. (3)“a,G,b 成等比数列”等价于“G2=ab”(a,b 均不为 0),可以用它来判断或证明三个数成等比数列. 同时还要注意到“a,G,b 成等比数列”与“G= ��”不是等价的.
探究一
探究二
探究三
探究四
解:(1)∵a1=-1,an=3an-1-2n+3,∴a2=3a1-2×2+3=-4,a3=3a2-2×3+3=-15.
下面证明{an-n}是等比数列:
��+1-(n + ��-n
1)
=
3��-2(n
+ 1) + ��-n
是等比数列. (3)通项公式法:若数列{an}的通项公式为 an=a1qn-1(a1≠0,q≠0),则数列

高中数学第二章数列2.4等比数列第2课时等比数列的性质aa高二数学

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『规律总结』等比数列中的设项方法与技巧 (1)若三个数成等比数列，可设三个数为 a，aq，aq2 或aq，a，aq. (2)若四个数成等比数列，可设为 a，aq，aq2，aq3；若四个数均为正(负)数，可设qa3，aq，aq，aq3.
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• 〔跟踪练习2〕
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命题(mìng tí)方向1 ⇨等比数列的性质
•
例题(lìtíபைடு நூலகம் 1在等比数列(děnɡ bǐ shù liè){an}中，已知a4a7＝－512，a3＋
a8＝124，且公比为整数，则a10＝___51_2___.
[解析] 由等比数列的性质，得 a3a8＝a4a7＝－512，由aa33＋ a8＝a8＝－152142，得
－4,2,8
• [分析] (1)四个数成等比数列，可用第一个数与公比q表示各数，然后按所给条件列方程组
求解．
• (2)三个数适当排列，不同的排列方法有6种，但这里不必分成6种，因为若以三个数中哪一
个数为等比中项分类，则只有三种情况，因此对于分类讨论问题，恰当的分类是解决问题的关键．
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25，那么a3＋a5＝
()
A
• A．5 B．10
• C．15 D．20
[解析] 由等比数列的性质，得 a4a6＝a25，a2a4＝a23， ∴(a3＋a5)2＝a23＋2a3a5＋a25，＝a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25， ∴a3＋a5＝±5. ∵an>0，∴a3＋a5＝5.
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• (1)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13，则成等差数列(děnɡ chā shù liè)，则这四个数为__3_,_6_,1_2_,2_4________.

人教A版高中数学必修五2.4《等比数列的性质》教学课件PPT(32张)

6. 3 2 与 3 2 的等比中项是______1_____.
3 2 3 2
7.已知正数等比数列{an }中，a n a n 1 a n 2
5 1
对所有的自然数 n 都成立，则公比 q =_____2______.
8.(2014·广东高考)等比数列{an}的各项均为正数,且
a1a5=4,则 log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=
等比数列,则{can}(c为不等于0的常数)是公比为
qq{a的n2等}是比公数比列为,{qa2n的• 等bn比}是数公列比,数为列qq′abn的n 是等公比比数为列,
q' 的等比数列,数列 an 是公比为 q 的等比数列.
(7)数列
1 an
是公比为
1 q
的等比数列.
(8)在{an}中,每隔k(k∈N*)项取出一项,按原来顺序
或a4 2, a7 4, a4 4, a7 2 a1 8, a10 1 a1 a10 7, a4 2, a7 4 a10 8, a1 1 a1 a10 7.
2.如果-1，a，b，c，-9成等比数列，那么( B )
A.b=3，ac=9
B.b=-3，ac=9
C.b=3，ac=-9
等比数列
an1 q(q为常数， an q 0)
a2 n 1
an
a n2
(n N *，an 0)
3.等比数列的性质: (1)an=amqn-m（n,m∈N*） (2)若m+n=p+q，则aman= apaq（m,n,p,q∈N*） (3)等比数列中，每隔k项取一项,按原来顺序排列,所得的新数列仍为等比数列. (4)a1a2, a3a4, a5a6, …仍为等比数列. (5)在等比数列中,从第二项起,每一项都是它等距离的前后两项的等比中项.

高中数学人教A版必修五全册电子教案(含课程纲要))

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高中数学课程纲要
人民教育出版社（高中课程标准实验教科书）（必修 5）
课程类型：必修授课教师：一、课程目标（一）解三角形 1、在已知三角形边角关系的基础上，经历探索正弦定理和余弦定理的过程，发现新的三角形边长与角度之间的数量关系。 2、掌握正弦定理和余弦定理。 3、运用正弦定理、余弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。 4、培养分析、解决实际问题的能力与推理运算能力。（二）数列 1、通过观察、分析，感受数列是反映自然规律的基本数学模型，是一种特殊的函数，并感受等差、等比数列模型的广泛应用。 2、通过对日常生活中大量实际问题的分析，归纳，抽象出等差数列与等比数列的基本特征，经历探索等差、等比数列的通项公式与求和公式的过程，感受倒序求和、错项相减等思想方法。 3、掌握等差数列和等比数列，会用它们解决一些实际问题。 4、体会归纳、演绎方法，进一步培养推理运算能力。（三）不等式 1、通过具体情况，感受不等关系的广泛性，理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义与价值。
引导学生认识正、余弦定理是解决测量问题的一种方法，不必在恒等变形上进行过于繁琐的训练。 2、等差数列和等比数列教学中，要重视通过具体实例抽象出这两种数列的特征，使学生理解这两种数列类型的作用，感受其广泛应用，培养学生从实际问题中抽象出数列模型的能力。 3、在数列中，应保证基本的训练，引导学生必要的练习，掌握数列中各量之间的基本联系，体会化归与方程的思想方法。训练要控制难度和复杂程度。 4、不等式教学中，应注意使学生了解一元二次不等式与二元一次不等式的实际背景；通过举反例或推理论证，初步理解不等式的基本性质，了解不等式与等式的区别与联系，通过几何意义、推理论证及简单应用理解基本不等式。 5、应通过探索一元二次不等式、相应的方程和函数的关系，体会函数、方程、不等式的关系，掌握一元二次不等式的图象解法，了解代数解法，尝试设计求解一元二次不等式上午程序框图。 6、应通过直观描述，理解画二元一次不等式所表示的平面区域的基本原理和方法，体会线形规划的基本思想，并能借助几何直观解决一些简单的线形规划问题。 7、本学段教学中，要坚持由具体到抽象，由特殊到一般的原则，重视引导学生对公式、性质、原理的理解，通过适当的有针对性训练，培养学生的推理运算能力。

人教a版必修5学案：2.4等比数列(含答案)

2.4 等比数列自主学习知识梳理1．如果一个数列从第________项起，每一项与它的前一项的________都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的________，通常用字母q 表示(q ≠0)．2．等比数列的通项公式：____________.3．等比中项的定义如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的________，且G ＝________.4．对于正整数m ，n ，p ，q ，若m ＋n ＝p ＋q ，则等比数列中a m ，a n ，a p ，a q 的关系是____________．5．证明一个数列是等比数列最基本的方法是定义，即________________(用数学式子表示)．自主探究首项为a 1，公比为q 的等比数列在各条件下的单调性如下表：a 1 a 1>0 a 1<0q 范围 0<q <1 q ＝1 q >1 0<q <1 q ＝1q >1 {a n }的单调性对点讲练知识点一等比数列通项公式的应用例1 已知{a n }为等比数列，a 3＝2，a 2＋a 4＝203，求{a n }的通项公式．总结等比数列的通项公式a n ＝a 1q n －1中有四个量a 1，q ，n ，a n .已知其中三个量可求得第四个，简称“知三求一”．变式训练1 已知等比数列{a n }，若a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1a 2a 3＝8，求a n .知识点二等比数列性质的应用例2 已知{a n }为等比数列．(1)若a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，求a 3＋a 5；(2)若a n >0，a 5a 6＝9，求log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10的值．变式训练2 设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝215，求a 2·a 5·a 8·…·a 29的值．知识点三等比数列的判断与证明例3 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1) (n ∈N *)． (1)求a 1，a 2；(2)求证：数列{a n }是等比数列．总结利用等比数列的定义a n ＋1a n＝q (q ≠0)是判定一个数列是否是等比数列的基本方法．变式训练3 设S n 为数列{a n }前n 项和，S n ＝kn 2＋n ，n ∈N *，其中k 是常数．(1)求a 1及a n ；(2)若对于任意的m ∈N *，a m ，a 2m ，a 4m 成等比数列，求k 的值．1．等比数列的判断或证明(1)利用定义：a n ＋1a n ＝q (与n 无关的常数)． (2)利用等比中项：a 2n ＋1＝a n a n ＋2 (n ∈N *)．2．如果证明数列不是等比数列，可以通过具有三个连续项不成等比数列来证明，即存在an 0，an 0＋1，an 0＋2，使a 2n 0＋1≠an 0·an 0＋2，也可以用反证法．3．等比数列{a n }的通项公式a n ＝a 1q n －1共涉及a n ，a 1，q ，n 四个量，已知其中三个量可求得第四个.课时作业一、选择题1．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( )A ．b ＝3，ac ＝9B ．b ＝－3，ac ＝9C ．b ＝3，ac ＝－9D ．b ＝－3，ac ＝－92．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5的值为( )A ．16B ．27C ．36D ．813．在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 4a 5a 6＝3，log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9的值为( )A.43B.34C ．2D ．4334．一个数分别加上20,50,100后得到的三数成等比数列，其公比为( )A.53B.43C.32D.125．已知数列{a n }是公差为2的等差数列，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则a 2为( ) A ．－2 B ．－3 C ．2 D ．3题号1 2 3 4 5 答案二、填空题6．在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝16，则a 3＝________.7．首项为3的等比数列的第n 项是48，第2n －3项是192，则n ＝________.8．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________．三、解答题9．等比数列的前三项和为168，a 2－a 5＝42，求a 5，a 7的等比中项．10．已知{a n }为等比数列，a 3＝2，a 2＋a 4＝203，求{a n }的通项公式．§2.4 等比数列知识梳理1．2 比公比2．a n ＝a 1q n －13．等比中项 ±ab4．a m ·a n ＝a p ·a q5.a n ＋1a n＝q, (n ∈N *) 自主探究递减常数列递增递增常数列递减对点讲练例1 解设等比数列{a n }的公比为q ，则q ≠0.a 2＝a 3q ＝2q，a 4＝a 3q ＝2q ， ∴2q ＋2q ＝203.解得q 1＝13，q 2＝3. 当q ＝13时，a 1＝18，∴a n ＝18×⎝⎛⎭⎫13n －1＝2×33－n . 当q ＝3时，a 1＝29，∴a n ＝29×3n －1＝2×3n －3. 综上，当q ＝13时，a n ＝2×33－n ；当q ＝3时，a n ＝2×3n －3.变式训练1 解由等比数列的定义知a 2＝a 1q ，a 3＝a 1q 2代入已知得，⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝7，a 1·a 1q ·a 1q 2＝8，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q ＋q 2)＝7，a 31q 3＝8， ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q ＋q 2)＝7， ①a 1q ＝2， ② 将a 1＝2q代入①得2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或q ＝12. 由②得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，q ＝2；或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝4，q ＝12.当a 1＝1，q ＝2时，a n ＝2n －1；当a 1＝4，q ＝12时，a n ＝23－n . 例2 解 (1)a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝25，∵a n >0，∴a 3＋a 5>0，∴a 3＋a 5＝5.(2)根据等比数列的性质a 5a 6＝a 1a 10＝a 2a 9＝a 3a 8＝a 4a 7＝9.∴a 1a 2…a 9a 10＝(a 5a 6)5＝95.∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2…a 9a 10)＝log 395＝5log 39＝10.变式训练2 解 ∵a 1·a 2·a 3·…·a 30＝(a 1a 30)·(a 2a 29)·…·(a 15·a 16)＝(a 1a 30)15＝215， ∴a 1a 30＝2.∴a 2·a 5·a 8·…·a 29＝(a 2a 29)·(a 5a 26)·(a 8a 23)·(a 11a 20)·(a 14a 17)＝(a 2a 29)5＝(a 1a 30)5＝25＝32.例3 (1)解由S 1＝13(a 1－1)，得a 1＝13(a 1－1)， ∴a 1＝－12.又S 2＝13(a 2－1)，即a 1＋a 2＝13(a 2－1)，得a 2＝14. (2)证明当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13(a n －1)－13(a n －1－1)，得a n a n －1＝－12，又a 2a 1＝－12，所以{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列．变式训练3 解 (1)由S n ＝kn 2＋n ，得a 1＝S 1＝k ＋1，a n ＝S n －S n －1＝2kn －k ＋1(n ≥2)．a 1＝k ＋1也满足上式，所以a n ＝2kn －k ＋1，n ∈N *.(2)由a m ，a 2m ，a 4m 成等比数列，得(4mk －k ＋1)2＝(2km －k ＋1)(8km －k ＋1)，将上式化简，得2km (k －1)＝0，因为m ∈N *，所以m ≠0，故k ＝0或k ＝1.课时作业1．B [∵b 2＝(－1)×(－9)＝9且b 与首项－1同号，∴b ＝－3，且a ，c 必同号．]2．B [由已知a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，∴q 2＝9.∴q ＝3(q ＝－3舍)，∴a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝27.]3．A [∵a 4a 6＝a 25，∴a 4a 5a 6＝a 35＝3，得a 5＝313. ∵a 1a 9＝a 2a 8＝a 25，∴log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9＝log 3(a 1a 2a 8a 9)＝log 3a 45＝log 3343＝43.] 4．A [设这个数为x ，则(50＋x )2＝(20＋x )·(100＋x )，解得x ＝25，∴这三个数为45,75,125，公比q 为7545＝53.] 5．D [因为a 1，a 2，a 5成等比数列，所以a 22＝a 1·a 5，即a 22＝(a 2－2)·(a 2＋6)．解得a 2＝3.]6．4解析 q 4＝a 5a 1＝16，∴q 2＝4，a 3＝a 1q 2＝4. 7．5解析设公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3q n －1＝483q 2n －4＝192⇒⎩⎪⎨⎪⎧ q n －1＝16q 2n －4＝64⇒q 2＝4，得q ＝±2.由(±2)n －1＝16，得n ＝5. 8.5－12解析设三边为a ，aq ，aq 2 (q >1)，则(aq 2)2＝(aq )2＋a 2，∴q 2＝5＋12. 较小锐角记为θ，则sin θ＝1q 2＝5－12. 9．解由题意可列关系式：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝168 ①a 1q (1－q )(1＋q ＋q 2)＝42 ② ②÷①得：q (1－q )＝42168＝14，∴q ＝12， ∴a 1＝1681＋12＋⎝⎛⎭⎫122＝168×47＝96. 又∵a 6＝a 1q 5＝96×125＝3， ∴a 5，a 7的等比中项为3.10．解设等比数列{a n }的公比为q ，则q ≠0.a 2＝a 3q ＝2q ，a 4＝a 3q ＝2q ， ∴2q ＋2q ＝203. 解得q 1＝13，q 2＝3. 当q ＝13时，a 1＝18， ∴a n ＝18×⎝⎛⎭⎫13n －1＝2×33－n . 当q ＝3时，a 1＝29， ∴a n ＝29×3n －1＝2×3n －3. 综上，当q ＝13时，a n ＝2×33－n ；当q＝3时，a n＝2×3n－3.。

高中数学第二章数列 2.4 等比数列第二课时等比数列的性质学案(含解析)新人教A版必修5-新

第二课时等比数列的性质等比数列性质的应用[例1] (1)在等比数列{a n }中，若a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝8，a 8a 9＝－8，则1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝________.(2)已知数列{a n }是等比数列，a 3＋a 7＝20，a 1a 9＝64，求a 11的值．[解] (1)因为1a 7＋1a 10＝a 7＋a 10a 7a 10，1a 8＋1a 9＝a 8＋a 9a 8a 9，由等比数列的性质知a 7a 10＝a 8a 9，所以1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝a 7＋a 8＋a 9＋a 10a 8a 9＝158÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－98＝－53. (2)∵{a n }为等比数列， ∴a 1·a 9＝a 3·a 7＝64. 又∵a 3＋a 7＝20，∴a 3，a 7是方程t 2－20t ＋64＝0的两个根． ∵t 1＝4，t 2＝16，∴a 3＝4，a 7＝16或a 3＝16，a 7＝4. ①当a 3＝4，a 7＝16时，a 7a 3＝q 4＝4，此时a 11＝a 3q 8＝4×42＝64. ②当a 3＝16，a 7＝4时，a 7a 3＝q 4＝14，此时a 11＝a 3q 8＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝1. [答案] (1) －53[类题通法] 等比数列常用性质(1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q .特例：若m ＋n ＝2p (m ，n ，p ∈N *)，则a m ·a n ＝a 2p . (2)a n a m＝qn －m(m ，n ∈N *)．(3)在等比数列{a n }中，每隔k 项取出一项，取出的项，按原来顺序组成新数列，该数列仍然是等比数列．(4)数列{a n }为等比数列，则数列{λa n }(λ为不等于0的常数)和⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 仍然成等比数列．[活学活用]1．在等比数列{a n }中，若a 2＝2，a 6＝12，则a 10＝________. 解析：法一：设{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝2，a 1q 5＝12，解得q 4＝6，∴a 10＝a 1q 9＝a 1q ·(q 4)2＝2×36＝72. 法二：∵{a n }是等比数列， ∴a 26＝a 2·a 10，于是a 10＝a 26a 2＝1222＝1442＝72.答案：722．在等比数列{a n }中，若a 7＝－2，则此数列的前13项之积等于________．解析：由于{a n }是等比数列，∴a 1a 13＝a 2a 12＝a 3a 11＝a 4a 10＝a 5a 9＝a 6a 8＝a 27， ∴a 1a 2a 3…a 13＝()a 276·a 7＝a 137，而a 7＝－2，∴a 1a 2a 3…a 13＝(－2)13＝－213. 答案：－213灵活设元求解等比数列[例2] 已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数． [解] 法一：设三个数依次为a ，aq ，aq 2，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ·aq ·aq 2＝27，a 2＋a 2q 2＋a 2q 4＝91，∴⎩⎪⎨⎪⎧aq 3＝27，a 21＋q 2＋q 4＝91，即⎩⎪⎨⎪⎧aq ＝3，a 21＋q 2＋q 4＝91，解得q 21＋q 2＋q 4＝991，得9q 4－82q 2＋9＝0，即得q 2＝9或q 2＝19，∴q ＝±3或q ＝±13.若q ＝3，则a 1＝1；若q ＝－3，则a 1＝－1；若q ＝13，则a 1＝9；若q ＝－13，则a 1＝－9.故这三个数为1,3,9，或－1,3，－9，或9,3,1，或－9,3，－1. 法二：设这三个数分别为a q，a ，aq .⎩⎪⎨⎪⎧aq·a ·aq ＝27，a 2q 2＋a 2＋a 2q 2＝91⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1q2＋1＋q 2＝91，得9q 4－82q 2＋9＝0，即得q 2＝19或q 2＝9，∴q ＝±13或q ＝±3.故这三个数为1,3,9，或－1,3，－9，或9,3,1，或－9,3，－1. [类题通法]三个数或四个数成等比数列的设元技巧(1)若三个数成等比数列，可设三个数为a ，aq ，aq 2或a q，a ，aq .(2)若四个数成等比数列，可设为a ，aq ，aq 2，aq 3；若四个数均为正(负)数，可设为a q3，a q，aq ，aq 3. [活学活用]在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为( )A ．－4或1712B ．4或1712C ．4D ．1712解析：选B 设插入的第一个数为a ，则插入的另一个数为a 22.由a ，a 22，20成等差数列得2×a 22＝a ＋20.∴a 2－a －20＝0，解得a ＝－4或a ＝5. 当a ＝－4时，插入的两个数的和为a ＋a 22＝4.当a ＝5时，插入的两个数的和为a ＋a 22＝1712.等比数列的实际应用[例3] 年2月起，每月生产总值比上一个月增长m %，那么到2017年8月底该厂的生产总值为多少万元？[解] 设从2015年1月开始，第n 个月该厂的生产总值是a n 万元，则a n ＋1＝a n ＋a n m %， ∴a n ＋1a n＝1＋m %. ∴数列{a n }是首项a 1＝a ，公比q ＝1＋m %的等比数列． ∴a n ＝a (1＋m %)n －1.∴2016年8月底该厂的生产总值为a 20＝a (1＋m %)20－1＝a (1＋m %)19(万元)．[类题通法]数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：①构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式解；②通过归纳得到结论，再用数列知识求解．[活学活用](安徽高考)如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝2 2.过点 A 作BC 的垂线，垂足为A 1 ；过点 A 1作 AC 的垂线，垂足为 A 2；过点A 2 作A 1C 的垂线，垂足为A 3 ；…，依此类推．设BA ＝a 1 ，AA 1＝a 2 , A 1A 2＝a 3 ，…， A 5A 6＝a 7 ，则 a 7＝________.解析：法一：直接递推归纳：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，A 1A 2＝a 3＝1，…，A 5A 6＝a 7＝a 1×⎝⎛⎭⎪⎫226＝14. 法二：求通项：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，…，A n －1A n ＝a n ＋1＝sin π4·a n ＝22a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫22n，故a 7＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14. 答案：143.等差数列和等比数列的性质对比等差数列和等比数列从文字看，只是一字之差，但定义和性质相差甚远，下面对两类数列的性质作一比对，若等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .【性质1】等差数列{a n }，当d ＝0时，数列为常数列，当d ＞0时，数列为递增数列；当d ＜0时，数列为递减数列．等比数列{b n }，当q ＞1，b 1＞0或0＜q ＜1，b 1＜0时，数列{b n }是递增数列；当q ＞1，b 1＜0或0＜q ＜1，b 1＞0时，数列{b n }是递减数列；当q ＝1时，数列{b n }是常数列．[例1] 设{a n }是首项大于零的等比数列，且a 1＜a 2＜a 3，则数列{a n }是________数列．(填“递增”“递减”或“摆动”)[解析] 设数列{a n }的公比为q (q ≠0)，因为a 1＜a 2＜a 3，所以a 1＜a 1q ＜a 1q 2，解得q ＞1，且a 1＞0，所以数列{a n }是递增数列．[答案] 递增【性质2】等差数列{a n }满足a n ＝a m ＋(n －m )·d (m ，n ∈N *)，等比数列{b n }满足b n ＝b m ·q n －m (m ，n ∈N *)．(当m ＝1时，上述式子为通项公式)[例2] 已知{a n }为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0，则{a n }的通项公式为________． [解析] ∵a 6＝a 3＋3d ，则0＝－6＋3d ，得d ＝2， ∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝－6＋(n －3)×2＝2n －12. [答案] a n ＝2n －12【性质3】若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，等差数列{a n }满足a m ＋a n ＝a p ＋a q ，特别地，若数列{a n }是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝…＝a i ＋1＋a n －i ＝…(n ∈N *)．等比数列{b n }满足b m b n ＝b p b q ，特别地，数列{b n }是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项之积，即b 1·b n ＝b 2·b n －1＝b 3·b n －2＝…＝b m ·b n －m ＋1.[例3] (1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 17＝10，则S 19的值是( ) A ．55 B ．95 C ．100D ．105(2)在等比数列{a n }中，若a 2·a 8＝36，a 3＋a 7＝15，则公比q 值的个数可能为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] (1)S 19＝19a 1＋a 192＝19a 3＋a 172＝19×102＝95.(2)∵a 2·a 8＝a 3·a 7，∴由⎩⎪⎨⎪⎧a 3·a 7＝36，a 3＋a 7＝15，解得a 3＝3，a 7＝12，或a 3＝12，a 7＝3. 若a 3＝3，a 7＝12，则有12＝3×q 4， ∴q 4＝4，∴q 2＝2，q ＝± 2.若a 3＝12，a 7＝3，则有3＝12×q 4， ∴q 4＝14，q 2＝12，q ＝±22.∴q 的值可能有4个．答案：(1)B (2)D【性质4】在等差(比)数列中，每隔k 项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等差(比)数列，公差为(k ＋1)d (公比为q k ＋1)，若两个数列分别成等差(比)数列，则两数列对应项和(积)构成等差(比)数列．[例4] 在1和16之间插入三个正数a ，b ，c 使1，a ，b ，c,16成等比数列，求a ＋b ＋c 的值．[解] ∵1，a ，b ，c,16成等比数列， ∴1，b,16为等比数列．∴b ＝4.∴1，a ，b 也成等比数列，b ，c,16也成等比数列． ∴a ＝2，c ＝8.∴a ＋b ＋c ＝2＋4＋8＝14.[随堂即时演练]1．将公比为q 的等比数列{a n }依次取相邻两项的乘积组成新的数列a 1a 2，a 2a 3，a 3a 4，….此数列( )A ．是公比为q 的等比数列B ．是公比为q 2的等比数列 C ．是公比为q 3的等比数列 D ．不一定是等比数列解析：选B 由于a n a n ＋1a n －1a n ＝a n a n －1·a n ＋1a n＝q ·q ＝q 2，n ≥2且n ∈N *， ∴{a n a n ＋1}是以q 2为公比的等比数列，故选B.2．若1，a 1，a 2,4成等差数列；1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1－a 2b 2的值为( ) A ．－12B.12 C ．±12D.14解析：选A ∵1，a 1，a 2,4成等差数列，∴3(a 2－a 1)＝4－1， ∴a 2－a 1＝1.又∵1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，设其公比为q ，则b 22＝1×4＝4，且b 2＝1×q 2＞0， ∴b 2＝2，∴a 1－a 2b 2＝－a 2－a 1b 2＝－12. 3．在等比数列{a n }中，a 888＝3，a 891＝81，则公比q ＝________. 解析：∵a 891＝a 888q 891－888＝a 888q 3，∴q 3＝a 891a 888＝813＝27. ∴q ＝3. 答案：34．在等比数列{a n }中，各项都是正数，a 6a 10＋a 3a 5＝41，a 4a 8＝4，则a 4＋a 8＝________. 解析：∵a 6a 10＝a 28，a 3a 5＝a 24， ∴a 24＋a 28＝41，又a 4a 8＝4，∴(a 4＋a 8)2＝a 24＋a 28＋2a 4a 8＝41＋8＝49. ∵数列各项都是正数， ∴a 4＋a 8＝7. 答案：75．已知数列{a n }为等比数列．(1)若a 1＋a 2＋a 3＝21，a 1a 2a 3＝216，求a n ； (2)若a 3a 5＝18，a 4a 8＝72，求公比q . 解：(1)∵a 1a 2a 3＝a 32＝216，∴a 2＝6， ∴a 1a 3＝36.又∵a 1＋a 3＝21－a 2＝15，∴a 1，a 3是方程x 2－15x ＋36＝0的两根3和12. 当a 1＝3时，q ＝a 2a 1＝2，a n ＝3·2n －1；当a 1＝12时，q ＝12，a n ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.(2)∵a 4a 8＝a 3q ·a 5q 3＝a 3a 5q 4＝18q 4＝72，∴q 4＝4，∴q ＝± 2.[课时达标检测]一、选择题1．(重庆高考)对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列 D ．a 3，a 6，a 9成等比数列解析：选D 由等比数列的性质得，a 3·a 9＝a 26≠0，因此a 3，a 6，a 9一定成等比数列，选D.2．已知等比数列{a n }中，a 4＝7，a 6＝21，则a 8的值为( ) A ．35 B ．63 C ．21 3D ．±21 3解析：选B ∵{a n }是等比数列， ∴a 4，a 6，a 8成等比数列， ∴a 26＝a 4·a 8，即a 8＝2127＝63.3．在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 10＝3，则a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9等于( ) A ．81 B ．27327 C ．3D ．243解析：选A 因为数列{a n }是等比数列，且a 1＝1，a 10＝3，所以a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9＝(a 2a 9)·(a 3a 8)·(a 4a 7)·(a 5a 6)＝(a 1a 10)4＝34＝81.故选A. 4．设数列{a n }为等比数列，则下面四个数列： ①{a 3n }；②{pa n }(p 为非零常数)；③{a n ·a n ＋1}； ④{a n ＋a n ＋1}．其中是等比数列的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选D ①∵a 3n ＋1a 3n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n 3＝q 3，∴{a 3n}是等比数列；②∵pa n ＋1pa n ＝a n ＋1a n＝q ，∴{pa n }是等比数列；③∵a n ·a n ＋1a n －1·a n ＝a n ＋1a n －1＝q 2，∴{a n ·a n ＋1}是等比数列；④∵a n ＋a n ＋1a n －1＋a n ＝q a n －1＋a na n －1＋a n＝q ，∴{a n ＋a n ＋1}是等比数列．5．已知等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9等于( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．16解析：选C 等比数列{a n }中，a 3a 11＝a 27＝4a 7，解得a 7＝4，等差数列{b n }中，b 5＋b 9＝2b 7＝2a 7＝8.二、填空题6．公差不为零的等差数列{a n }中，2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝________.解析：∵2a 3－a 27＋2a 11＝2(a 3＋a 11)－a 27＝4a 7－a 27＝0， ∵b 7＝a 7≠0， ∴b 7＝a 7＝4. ∴b 6b 8＝b 27＝16. 答案：167．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米．解析：这10个正方形的边长构成以2为首项，2为公比的等比数列{a n }(1≤n ≤10，n ∈N *)，则第10个正方形的面积S ＝a 210＝22·29＝211＝2 048(平方厘米)．答案：2 0488．在等比数列{a n }中，a 7·a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 20a 10＝________. 解析：∵{a n }是等比数列， ∴a 7·a 11＝a 4·a 14＝6，又a 4＋a 14＝5， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝2，a 14＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝3，a 14＝2.∵a 14a 4＝q 10，∴q 10＝23或q 10＝32. 而a 20a 10＝q 10，∴a 20a 10＝23或a 20a 10＝32. 答案：23或32三、解答题9．在83和272之间插入三个数，使这五个数成等比数列，求插入的这三个数的乘积．解：法一：设这个等比数列为{a n }，公比为q ，则a 1＝83，a 5＝272＝a 1q 4＝83q 4， ∴q 4＝8116，q 2＝94. ∴a 2·a 3·a 4＝a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝a 31·q 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫833×⎝ ⎛⎭⎪⎫943＝63＝216. 法二：设这个等比数列为{a n }，公比为q ，则a 1＝83， a 5＝272，由题意知a 1，a 3，a 5也成等比数列且a 3>0，∴a 23＝83×272＝36，∴a 3＝6， ∴a 2·a 3·a 4＝a 23·a 3＝a 33＝216.10．始于2007年初的美国次贷危机，至2008年中期，已经演变为全球金融危机．受此影响，国际原油价格从2008年7月每桶最高的147美元开始大幅下跌，9月跌至每桶97美元．你能求出国际原油价格7月到9月之间平均每月下降的百分比吗？若按此计算，到什么时间跌至谷底(即每桶34美元)?解：设每月平均下降的百分比为x ，则每月的价格构成了等比数列{a n }，记a 1＝147(7月份价格)，则8月份价格a 2＝a 1(1－x )＝147(1－x )，9月份价格a 3＝a 2(1－x )＝147(1－x )2.∴147(1－x )2＝97，解得x ≈18.8%.设a n ＝34，则34＝147·(1－18.8%)n －1，解得n ＝8.即从2008年7月算起第8个月，也就是2009年2月国际原油价格将跌至34美元每桶．11．从盛满a (a >1)升纯酒精的容器里倒出1升，然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又用水添满摇匀，如此继续下去，问：第n 次操作后溶液的浓度是多少？当a ＝2时，至少应倒几次后才能使酒精的浓度低于10%?解：设开始时溶液的浓度为1，操作一次后溶液浓度a 1＝1－1a .设操作n 次后溶液的浓度为a n ，则操作(n ＋1)次后溶液的浓度为a n ＋1＝a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a . ∴{a n }是以a 1＝1－1a 为首项，q ＝1－1a为公比的等比数列， ∴a n ＝a 1q n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a n ，即第n 次操作后酒精的浓度是⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a n . 当a ＝2时，由a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n <110(n ∈N *)，解得n ≥4. 故至少应操作4次后才能使酒精的浓度小于10%.12．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且前后两数的和是16，中间两数的和是12.求这四个数．解：法一：设这四个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，a ＋d 2a，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ a －d ＋a ＋d 2a ＝16，a ＋a ＋d ＝12.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，d ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝9，d ＝－6.所以当a ＝4，d ＝4时，所求四个数为0,4,8,16；当a ＝9，d ＝－6时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.法二：设这四个数依次为2a q －a ，a q，a ，aq (a ≠0)，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a q －a ＋aq ＝16，a q ＋a ＝12.解得⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝2，a ＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝13，a ＝3.所以当q ＝2，a ＝8时，所求四个数为0,4,8,16；当q ＝13，a ＝3时，所求四个数为15,9,3,1. 故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.法三：设这四个数依次为x ，y,12－y,16－x ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 2y ＝x ＋12－y ，12－y 2＝y 16－x . 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝15，y ＝9.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.。