必修5-解三角形-综合复习卷(含答案)
完整版高中数学必修5解三角形测试题及答案
高中数学必修5解三角形测试题及答案一、选择题：〔每题 5分，共60分〕1．在VABC 中，AB 3,A 45,C 75，那么BC=A ．33 B ． 2C ．2D ．3 32．以下关于正弦定理的表达或变形中错误的选项是．．A ．在VABC 中,a:b:c=sinA:sinB:sinCB ．VABC 中,a=bsin2A=sin2Ba =b+cC ．VABC 中,sin AsinB+sinCD ．VABC 中,正弦值较大的角所对的边也较大sinAcosB B 的值为3．VABC 中,假设 a,那么bA ．30B ．45C ．60D ．90ab c，那么VABC 是4．在VABC 中，假设 =cosCcosAcosBA ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形5．以下命题正确的选项是A ．当a=4,b=5,A=30时，三角形有一解。
B ．当a=5,b=4,A=60时，三角形有两解。
A 〕B 〕B 〕〔B 〕．等腰直角三角形D 〕C ．当a= 3,b=2,B=120时，三角形有一解。
D ．当a=3 6,A=60时，三角形有一解。
2,b=26．ABC 中,a=1,b=3,∠A=30°,那么∠B 等于〔 B 〕A ．60°B ．60°或120°C ．30°或150°D ．120°7． 符 合 下 列 条 件 的 三 角 形 有 且 只 有 一 个 的 是〔 D〕A ．a=1,b=2,c=3B ．a=1,b=2,∠A=30°C ．a=1,b=2,∠A=100°D ．b=c=1,∠B=45°8． 假设 (a+b+c)(b+c － a)=3abc, 且sinA=2sinBcosC, 那 么 ABC 是〔 B〕A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形9．在 ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A=,a= 3,b=1，3c=那么(B)(A)1(B)2(C)3－1(D)3uur10．〔2021 重庆理〕设ABC 的三个内角A,B,C ，向量m ( 3sinA,sinB)，ruurr1cos(AB)，那么C =〔n(cosB,3cosA)，假设mgnC 〕A ．B ．25C ．D ．66 3 311．等腰△ABC 的腰为底的2倍，那么顶角A 的正切值是〔 D 〕Ａ． 3Ｂ．3Ｃ． 15Ｄ．1528712．如图：D,C,B 三点在地面同一直线上 ,DC=a,从C,D 两点测得A 点仰角分别是β,α(α<β),那么A 点离地面的高度 AB 等于〔A 〕Aasin sinasin sin A ．)B ．)sin(cos(asin cosacos sin C ．)D ．)sin(cos(αβBD C题号 1234567891011 12答案二、填空题：〔每题 5分，共 20分〕13．a 2，那么 abc _______2_______sinAsinBsinA sinC14．在ABC 1 (a 2+b 2－c 2),那么角∠C=______.中，假设S ABC =4415．〔广东2021理〕点A,B,C 是圆O 上的点， 且AB4, ACB450 ，那么圆O 的面积等于8．rrr rrr16．a2,b4,a 与b 的夹角为3，以a,b 为邻边作平行四边形，那么此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为____2 3________三、解答题：〔 17题10分，其余小题均为 12分〕17．在ABC 中，c 2,b2 3 ,B450，解三角形ABC 。
人教版高中数学必修5第一章解三角形测试题及答案
必修五 第一章解三角形测试(总分150)一、选择题(每题5分，共50分)1、在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于（）A ． 30°B ．45°C ．60°D ．120°2、在△ABC 中，a ＝10，B=60°,C=45°,则c 等于 （ ）A ．310+B ．()1310-C ．13+D ．3103、在△ABC 中，a ＝32，b ＝22，B ＝45°，则A 等于（）A ．30°B ．60°C ．30°或120°D ． 30°或150°4、在△ABC 中，3=AB ,1=AC ,∠A ＝30°，则△ABC 面积为 （ ）A ．23 B ．43 C ．23或3 D ．43 或23 5、在△ABC 中，已知bc c b a ++=222，则角A 为（ ）A ．3πB ．6πC ．32πD ． 3π或32π6、在△ABC 中,面积22()Sa b c =--,则sin A 等于（）A ．1517B ．817C ．1315D ．13177、已知△ABC 中三个内角为A 、B 、C 所对的三边分别为a 、b 、c ，设向量(,)p a c b =+ ，(,)q b a c a =-- .若//p q，则角C 的大小为（）A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π8、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的范围是（ ）A ．()10,8B ．()10,8C ．()10,8D ．()8,109、在△ABC 中，已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 ( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形 10、在△ABC 中,3,4ABBC AC ===,则AC 上的高为（ ）A ．BC ．32D ．二、填空题（每小题5分，共20分）11、在△ABC 中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则=c b a :: 12、已知三角形两边长为11，则第三边长为13、若三角形两边长为1和3，第三边上的中线长为1，则三角形的外接圆半径为 14、在△ABC 中BC=1，3Bπ=，当△ABC tan C =三、解答题（本大题共小题6小题，共80分）15、（本小题14分）在△ABC 中，已知210=AB ，A ＝45°，在BC 边的长分别为20，3320，5的情况下，求相应角C 。
(典型题)高中数学必修五第二章《解三角形》测试卷(含答案解析)
一、选择题1．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()sin sin sin c C a A b a B =+-，角C 的角平分线交AB 于点D ，且3CD =，3a b =，则c 的值为（ ）A ．72B ．473C ．3D ．232．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ，且24cos cos tan Sb C bc B C=+，2a b +=，3c =，则S =（ ） A ．3 B ．36C ．16D ．3 3．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知()()sin sin 3sin 2B A B A A -++=，且7c =，3C π=，则a =（ ）A ．1B ．221C ．1或221D ．21 4．ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若13,3,60a b A ===︒，则边c =（ ） A ．1 B ．2C ．4D ．65．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）A ．2,4,120a b A ===︒B ．3,2,45a b A ===︒C ． 6,43,60b c C ===︒D ．4,3,30b c C ===︒6．如图，某船在A 处看见灯塔P 在南偏东15方向，后来船沿南偏东45的方向航行30km 后，到达B 处，看见灯塔P 在船的西偏北15方向，则这时船与灯塔的距离是：A ．10kmB ．20kmC ．D ．7．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边是a ，b ，c ，若sin sin CA=22b a -=，则cos C 等于（ ）A ．12B ．13C ．14D ．158．在△ABC 中,已知点D 在BC 边上,且0AD AC ⋅=,sin 3BAC ∠=,AB =BD =, 则cos C ( )A ．63B ．3C ．3D ．139．在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若sin cos 0b A B -=，且三边a b c ，，成等比数列，则2a cb +的值为（ ）A ．4B ．2C ．1D ．210．已知锐角ABC ，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若22sin sin sin sin B A A C -=⋅，3c =，则a 的取值范围是（ ）A ．2,23⎛⎫⎪⎝⎭B ．()1,2C ．()1,3D ．3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭11．已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin sin sin B A C =，1a cc a+=+，则B = （ ） A ．56π B ．6π C ．3π D ．2π 12．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos a C ，cos b B ，cos c A 成等差数列，且8a c +=，则AC 边上中线长的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．D ．二、填空题13．如图，点A 是半径为1的半圆O 的直径延长线上的一点，OA =B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边ABC ，则四边形OACB 的面积的最大值为___________.14．已知ABC 中，内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，且222sin 2a b c c B a a+--=，则B =___________.15．在△ABC 中，∠ABC 为直角，点M 在线段BA 上，满足BM ＝2MA ＝2，记∠ACM ＝θ，若对于给定的θ，这样的△ABC 是唯一确定的，则BC ＝_____．16．锐角ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()12cos c a B =+，则ba的取值范围是______． 17．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若222a b =，sin 3sin C B =，则cos A =________.18．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4A π=，22212b c a -=，则tan B =________.19．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则ABC 的最大角的大小是________.20．某环保监督组织为了监控和保护洞庭湖候鸟繁殖区域，需测量繁殖区域内某湿地A 、B 两地间的距离（如图），环保监督组织测绘员在（同一平面内）同一直线上的三个测量点D 、C 、E ，从D 点测得67.5ADC ∠=，从点C 测得45ACD ∠=，75BCE ∠=，从点E 测得60BEC ∠=，并测得23DC =，2CE =（单位：千米），测得A 、B 两点的距离为___________千米.三、解答题21．已知在△ABC 3sin （A +B ）＝1+2sin 22C ． （1）求角C 的大小；（2）若∠BAC 与∠ABC 的内角平分线交于点Ⅰ，△ABC 的外接圆半径为2，求△ABI 周长的最大值．22．在①π2=+A C ，②5415cos -=c a A ，③ABC 的面积3S =这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3b =，且______，______，求c ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．23．ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知)cos cos A c a C =.（1）求c b；（2）若cos 2c A b =，且ABC 的面积为4，求a . 24．在ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++.（1）求A 的大小；（2）若sin sin 1B C +=，试判ABC 断的形状.25．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.()cos cos sin A c B b C a A +=; ②2cos 2b cC a-=③tan tan tan tan A B C B C ++=.已知ABC 的内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ， . （1）求A ;（2）若2,a b c =+=ABC 的面积.26．已知a ，b ，c 分别为锐角ABC 内角A ，B ，C 2sin 0b A -=. （1）求角B ；（2）若b =，5a c +=，求ABC 的面积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】利用正弦定理边角互化以及余弦定理求出角C 的值，由ABC ACD BCD S S S =+△△△可得出ab a b =+，结合3a b =可求得a 、b 的值，再利用余弦定理可求得c 的值.【详解】()sin sin sin c C a A b a B =+-，由正弦定理可得()22c a b a b =+-，可得222a b c ab +-=，由余弦定理可得：2221cos 22a b c C ab +-==，0C π<<，所以3C π=，由ABC ACD BCD S S S =+△△△，有111sin sin sin 232626ab a CD b CD πππ=⋅+⋅，得ab a b =+，所以234b b =，0b >，43b ∴=，34a b ==， 由余弦定理可得221616471692cos 33c a b ab C =+--==+. 故选：B. 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.2．D解析：D 【分析】由24cos cos tan Sb C bc B C=+，利用面积公式和和差角公式求出角C ，用余弦定理求出ab ，求出面积. 【详解】因为24cos cos cos sin S Cb C bc B C⋅=+，所以22cos cos cos ab C b C bc B =+，所以2sin cos sin cos sin cos A C B C C B =+，所以13cos ,sin 2C C ==.由22221()32cos 222a b c a b abC ab ab+-+--===，得13ab =，所以1sin 212S ab C ==故选：D 【点睛】在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考： (1)从题目给出的条件，边角关系来选择； (2)从式子结构来选择．3．C解析：C 【分析】由题意得3sinBcosA sinAcosA =，分0cosA =和0cosA ≠两种情况求解，可得结果． 【详解】∵()()32sin B A sin B A sin A -++=， ∴3sinBcosA sinAcosA =．①当0cosA =时，ABC 为直角三角形，且2A π=．∵c =3C π=，∴sin3a ==②当0cosA ≠时，则有3sinB sinA =， 由正弦定理得3b a =．由余弦定理得2222c a b abcosC =+-， 即()()22173232a a a a =+-⋅⋅， 解得1a =． 综上可得，a =1故选：C ． 【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查三角恒等变换，考查学生分类讨论思想，属于中档题．4．C解析：C 【解析】试题分析：2222cos a c b cb A =+-213923cos60c c ⇒=+-⨯⨯︒，即2340c c --=，解得4c =或1c =-（舍去）． 考点：余弦定理，正弦定理．5．D解析：D 【分析】运用正弦定理公式，可以求出另一边的对角正弦值，最后还要根据三角形的特点：“大角对大边”进行合理排除. 【详解】A. 2,4,120a b A ===︒,由,a b <A B ⇒<所以不存在这样的三角形.B. 3,2,45a b A ===︒,由sin sin sin a b B A B =⇒=,a b >所以只有一个角BC. 6,60b c C ===︒中，同理也只有一个三角形.D. 4,3,30b c C ===︒中2sin sin sin 3c b B C B =⇒=此时b c >，所以出现两个角符合题意，即存在两个三角形. 所以选择D 【点睛】在直接用正弦定理求另外一角中，求出 sin θ后，记得一定要去判断是否会出现两个角.6．C解析：C 【分析】在ABP ∆中，利用正弦定理求出BP 得长，即为这时船与灯塔的距离，即可得到答案． 【详解】由题意，可得30PAB PBA ∠=∠=，即30,120AB APB =∠=，在ABP ∆中，利用正弦定理得30sin 30sin120PB ==即这时船与灯塔的距离是km ，故选C ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，等腰三角形的判定与性质，以及特殊角的三角函数值的应用，其中熟练掌握正弦定理是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．7．A解析：A 【分析】由已知利用正弦定理可得c =，结合已知22b a -=，可求得2b a =，进而根据余弦定理可求cos C 的值． 【详解】sinsin CA=∴由正弦定理可得：ca=c =，又22b a -=，2223b a a ∴-=，可得2b a =，222222431cos 2222a b c a a a C ab a a +-+-∴===⨯，故选：A ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．8．A解析：A 【分析】求出90BAC BAD ∠=∠+︒，代入利用诱导公式化简sin BAC ∠，求出cos BAD ∠的值，根据余弦定理求出AD 的长度，再由正弦定理求出BC 的长度，求得sin C ，再利用同角三角函数基本关系式即可计算求得结果 【详解】0AD AC ⋅=，可得AD AC ⊥90DAC ∴∠=︒，90BAC BAD DAC BAD ∠=∠+∠=∠+︒()sin sin 90cos 3BAC BAD BAD ∴∠=∠+︒=∠=在ABC 中，AB =BD =根据余弦定理可得22222cos 1883BD AB AD AB AD BAD AD AD =+-∠=+-=解得3AD =或5AD =当5AD =时，AD AB >，不成立，故设去 当3AD =时，在ABD 中，由正弦定理可得:sin sin BD ABBAD ADB=∠∠又cos BAD ∠=，可得1sin 3BAD ∠=，则sin ABsin BAD ADB BD ∠∠==ADB DAC C ∠=∠+∠，90DAC ∠=︒cosC =故选A 【点睛】本题是一道关于三角函数的题目，熟练运用余弦定理，正弦定理以及诱导公式是解题的关键，注意解题过程中的计算，不要计算出错，本题有一定综合性9．C解析：C 【分析】先利用正弦定理边角互化思想得出3B π=，再利余弦定理1cos 2B =以及条件2b ac =得出a c =可得出ABC ∆是等边三角形，于此可得出2a cb+的值． 【详解】sin cos 0b A B =，由正弦定理边角互化的思想得sin sin cos 0A B A B =，sin 0A >，sin 0B B ∴=，tan B ∴=，则3B π=.a 、b 、c 成等比数列，则2b ac =，由余弦定理得222221cos 222a cb ac ac B ac ac +-+-===，化简得2220a ac c -+=，a c ∴=，则ABC ∆是等边三角形，12a cb+∴=，故选C ． 【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，考查余弦定理的应用，解题时应根据等式结构以及已知元素类型合理选择正弦定理与余弦定理求解，考查计算能力，属于中等题．10．D解析：D 【分析】由正弦定理可得三边的关系，再由余弦定理可得312cos a B=+，结合三角形为锐角三角形可得a 的取值范围. 【详解】∵22sin sin sin sin B A A C -=⋅， ∴由正弦定理可得22b a ac -=，∵由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得2222cos a c ac B a ac +-=+， 又3c =，∴可得312cos a B=+，∵锐角ABC 中，若B 是最大角，则B 必须大于 3π，所以,3B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以1cos 02B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以3,32a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 故选：D.【点睛】本题主要考查三角形的正余弦定理的应用，及锐角三角形的性质，属于中档题.11．B解析：B 【分析】根据正弦定理，边角互化可得2b ac =，再根据2221a c a c b c a ac+-+-=，利用余弦定理求角.【详解】∵2sin sin sin B A C =，∴21b ac=，∴2221a c a c b c a ac+-+-==∴cos B =，又()0,πB ∈∴6B π=．故选:B ． 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理解不等式，重点考查转化的思想，计算能力，属于基础题型.12．C解析：C 【分析】根据等差中项的性质，结合正弦定理化简可得3B π=，设AC 中点为D ，再利用平面向量的线性运算可得1||||2BD BA BC =+，再平方利用基本不等式求解即可. 【详解】cos a C ，cos b B ，cos c A 成等差数列，2cos cos cos b B a C c A ∴=+，根据正弦定理有2sin cos sin cos sin cos sin()B B A C C A A C =+=+，2sin cos sin B B B ∴=，又sin 0B ≠，1cos 2B ∴=，可得3B π=，设AC 中点为D ，则AC 边上中线长为1||||2BD BA BC =+， 平方可得()()2222221112()444BD BA BC BA BC c a ac a c ac ⎡⎤=++⋅=++=+-⎣⎦ 2221()3()()124416a c a c a c ⎡⎤+≥+-=+=⎢⎥⎣⎦，当且仅当4a c ==时取等号，故2BD 的最小值为12，即AC 边上中线长的最小值为 故选：C. 【点睛】本题主要考查了正弦定理边角互化的运用，同时也考查了利用基本不等式求最值的问题，同时在处理三角形中线的时候可以用平面向量表示从而简化计算，属于中档题.二、填空题13．【分析】设表示出的面积及的面积进而表示出四边形的面积并化简所得面积的解析式为正弦函数形式再根据三角函数的有界性进行求解【详解】四边形的面积的面积的面积设则的面积的面积四边形的面积故当即时四边形的面积解析：【分析】设AOB θ∠=，表示出ABC 的面积及OAB 的面积，进而表示出四边形OACB 的面积，并化简所得面积的解析式为正弦函数形式，再根据三角函数的有界性进行求解． 【详解】四边形OACB 的面积OAB =△的面积ABC +△的面积，设AOB θ∠=，2222cos 31214AB OA OB OA OB θθθ∴=+-⋅⋅=+-⨯=-则ABC 的面积213sin 60cos 22AB AC θ=⋅⋅︒=OAB 的面积11sin 122OA OB θθθ=⋅⋅=⨯=，四边形OACB 的面积3cos 2θθ=13(sin )60)2θθθ=-=-︒，故当6090θ-︒=︒，即150θ=︒时，四边形OACB =故答案为： 【点睛】方法点睛：应用余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60︒︒︒等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.14．(或)【分析】利用余弦定理和正弦定理边角互化整理已知条件最后变形为求角的值【详解】根据余弦定理可知所以原式变形为根据正弦定理边角互化可知又因为则原式变形整理为即因为所以（或）故答案为（或）【点睛】方解析：135︒(或34π) 【分析】利用余弦定理和正弦定理边角互化，整理已知条件，最后变形为tan 1B =-，求角B 的值. 【详解】根据余弦定理可知2222cos a b c ab C +-=，所以原式222sin 2a b c c B a a+--=，变形为cos sin b C c B a -=，根据正弦定理边角互化，可知sin cos sin sin sin B C C B A -=， 又因为()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+， 则原式变形整理为sin cos B B -=, 即tan 1B =-，因为()0,180B ∈，所以135B =（或34π） 故答案为135（或34π） 【点睛】方法点睛：(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到；(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．15．【分析】由题意利用直角三角形中的边角关系求出的值再利用两角差的正切公式求得从而求出的值【详解】解：设则为锐角∴∴依题意若对于给定的是唯一的确定的可得解得即的值为故答案为：【点睛】本题主要考查直角三角【分析】由题意利用直角三角形中的边角关系求出tan ACB ∠、tan NCB ∠的值，再利用两角差的正切公式求得tan tan()ACB MCB θ=∠-∠，从而求出BC 的值． 【详解】解：设BC x =，ACM θ∠=，则θ为锐角，∴3tan ACB x ∠=，2tan MCB x∠=， ∴tan tan()ACB MCB θ=∠-∠232132661x x x x x x x x -===+++， 依题意，若对于给定的ACM ∠，ABC ∆是唯一的确定的， 可得6x x=， 解得6x =BC 6，6． 【点睛】本题主要考查直角三角形中的边角关系，两角差的正切公式，属于中档题．16．【分析】利用正弦定理和两角和的正弦公式得出角的关系由为锐角三角形得到角的范围进而利用二倍角公式得出的取值范围【详解】由已知得即为锐角三角形故答案为：【点睛】本题考查正弦定理的应用考查两角和与差的正弦 解析：23)，【分析】利用正弦定理和两角和的正弦公式得出角A ，B 的关系，由ABC 为锐角三角形得到角A 的范围，进而利用二倍角公式得出ba的取值范围． 【详解】由已知sin sin()sin (12cos )C A B A B =+=+sin cos cos sin sin 2sin cos A B A B A A B ∴+=+得sin()sin B A A -=B A A ∴-=，即2B A =ABC 为锐角三角形 2,322B AC A B A ππππ∴=<=--=-<23,cos ()64A A ππ∴<<∴∈ sin 2sin cos 2cos (2,3)sin sin b B A A A a A A∴===∈故答案为： 【点睛】本题考查正弦定理的应用，考查两角和与差的正弦公式，考查二倍角公式，属于中档题．17．【分析】由根据正弦定理边化角可得根据余弦定理结合已知联立方程组即可求得角【详解】根据正弦定理：根据余弦定理：又故可联立方程：解得：故答案为：【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角解题关键是掌握由正【分析】由sin C B =，根据正弦定理“边化角”，可得=c ，根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-，结合已知联立方程组，即可求得角cos A .【详解】sin C B =，根据正弦定理：sin sin b cB C=，∴=c ， 根据余弦定理：2222cos a b c bc A =+-，又222a b =，故可联立方程：222222cos 2c a b c bc A a b ⎧=⎪=+-⎨⎪=⎩，解得：cos A =.故答案为：3. 【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角，解题关键是掌握由正弦定理“边化角”的方法和余弦定理公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.18．3【分析】由题意结合余弦定理得进而可得再由余弦定理即可求得利用平方关系求得进而求得【详解】由余弦定理可得即又所以所以所以所以所以所以故答案为：3【点睛】本题考查了余弦定理的综合应用考查了同角三角函数解析：3 【分析】由题意结合余弦定理得c =，进而可得a =，再由余弦定理即可求得cos B =，利用平方关系求得sin B =，进而求得sin tan 3cos B B B ==. 【详解】4A π=，∴由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-即222b a c -=-，又22212b a c -=，所以2212c c =-，所以3c =， 222222145299a b c b b b =-=-=，所以a =，所以22222258cos 233b b ba cb B ac +-+-===，所以sin B ==， 所以sin tan 3cos BB B==， 故答案为：3. 【点睛】本题考查了余弦定理的综合应用，考查了同角三角函数关系式，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.19．【分析】根据设根据大角对大边确定角C 是最大角再利用余弦定理求解【详解】因为所以设所以角C 是最大角因为所以则的最大角是故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理的应用还考查了运算求解的能力属于中档题 解析：23π 【分析】根据sin :sin :sin 3:5:7A B C =，设()3,5,7,0a t b t c t t ===>，根据大角对大边，确定角C 是最大角，再利用余弦定理求解. 【详解】因为sin :sin :sin 3:5:7A B C =， 所以设()3,5,7,0a t b t c t t ===>，所以角C 是最大角2221cos 22a b c C ab +-==-，因为()0,C π∈，所以23C π=， 则ABC 的最大角是23π. 故答案为：23π 【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20．【分析】在中分析边角关系可得在中由正弦定理可求得的值然后在中利用余弦定理可求得的长【详解】在中则在中则由正弦定理得可得在中由余弦定理得因此（千米）故答案为：【点睛】本题考查距离的测量问题考查了利用正 解析：3【分析】在ACD △中，分析边角关系可得AC CD ==BCE 中，由正弦定理可求得BC 的值，然后在ABC 中，利用余弦定理可求得AB 的长. 【详解】在ACD △中，45ACD ∠=，67.5ADC ∠=，CD =67.5CAD ∴∠=，则AC CD ==在BCE 中，60BEC ∠=，75BCE ∠=，CE 45CBE ∠=，由正弦定理得sin 45sin 60CE BC=，可得2sin 60sin 45CE BC ===在ABC 中，AC =BC =，18060ACB ACD BCE ∠=-∠-∠=， 由余弦定理得2222cos609AB AC BC AC BC =+-⋅=，因此，3AB =（千米）. 故答案为：3. 【点睛】本题考查距离的测量问题，考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.三、解答题21．（1）3π；（2） 【分析】（1）利用降幂公式、两角和的正弦公式变形可得sin （C +6π）＝1，再根据角的范围可得解；（2）利用正弦定理求出AB ，求出AIB ∠，设出ABI ∠，将,AI BI 用ABI ∠表示，根据三角函数知识求出AI BI +的最大值可得解. 【详解】 （1）∵（A +B ）＝1+2sin 22C，且A +B +C ＝π， ∴C ＝1+1﹣cos C ＝2﹣cos C C +cos C ＝2，∴sin （C +6π）＝1．∵C ∈（0，π），∴C +6π∈（6π，76π），∴C +6π＝2π，即C ＝3π．（2）∵△ABC 的外接圆半径为2，∴由正弦定理知，sin ABACB∠＝sin 3AB π＝2×2＝4，∴AB ＝23， ∵∠ACB ＝3π，∴∠ABC +∠BAC ＝23π，∵∠BAC 与∠ABC 的内角平分线交于点Ⅰ， ∴∠ABI +∠BAI ＝3π，∴∠AIB ＝23π，设∠ABI ＝θ，则∠BAI ＝3π﹣θ，且0＜θ＜3π， 在△ABI 中，由正弦定理得，sin()3BIπθ-＝sin AI θ＝sin ABAIB ∠＝232sin3π＝4， ∴BI ＝4sin （3π﹣θ），AI ＝4sin θ， ∴△ABI 的周长为3+4sin （3π﹣θ）+4sin θ＝33θ﹣12sin θ）+4sin θ ＝33θ+2sin θ＝4sin （θ+3π）3 ∵0＜θ＜3π，∴3π＜θ+3π＜23π，∴当θ+3π＝2π，即6πθ=时，△ABI 的周长取得最大值，最大值为3，故△ABI 的周长的最大值为3． 【点睛】关键点点睛：将,AI BI 用ABI ∠表示，根据三角函数知识求出AI BI +的最大值是解题关键.22．答案见解析. 【分析】选条件①②．结合3b =，得545cos c a b A -=，进而根据边角互化整理得：cos 45B =，3sin 5B =，再结合π2=+A C ，得π22B C =-，故3cos25C =，进而得sin C =最后利用正弦定理求解．选条件①③．结合已知由面积公式得sin 2a C =，结合π2=+A C ，得π22B C =-，故由正弦定理得sin 3cos sin cos2b A Ca B C==，所以3sin24cos2C C =，再根据π0π2A C <=+<02πC <<，进一步结合同角三角函数关系得3cos25C =，利用二倍角公式得sin C =最后由正弦定理得sin sin b Cc B=选条件②③．结合3b =，得545cos c a b A -=，进而根据边角互化整理得：cos 45B =，再根据面积公式得10ac =，由余弦定理得2225a c +=，联立方程解得c =c =．【详解】解：方案一：选条件①②．因为5415cos -=c a A ，3b =，所以545cos c a b A -=， 由正弦定理得5sin 4sin 5sin cos C A B A -=． 因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+， 所以5cos sin 4sin B A A =． 因为sin 0A >， 所以cos 45B =，3sin 5B ==． 因为π2=+A C ，πABC ++=，所以π22B C =-， 所以π3cos 2cos sin 25C B B ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，所以21cos21sin 25C C -==． 因为()0,πC ∈，所以sin C =， 在ABC中，由正弦定理得3sin 53sin 5b Cc B===方案二：选条件①③．因为1sin 32S ab C ==，3b =，所以sin 2a C =． 因为π2=+A C ，πABC ++=，所以π22B C =-． 在ABC 中，由正弦定理得π3sin sin 3cos 2πsin cos 2sin 22C b A C a B CC ⎛⎫+ ⎪⎝⎭===⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以3sin cos 2cos2C CC=，即3sin24cos2C C =．因为π0π,20π,A C C ⎧<=+<⎪⎨⎪<<⎩所以π02C <<，02πC <<， 所以sin20C >，所以cos20C >． 又22sin 2cos 21C C +=，所以3cos25C =， 所以21cos21sin 25C C -==，所以sin C = 在ABC中，由正弦定理得3sin sin sin 53πsin cos 2sin 252b Cb C b Cc BC C ====⎛⎫- ⎪⎝⎭．方案三：选条件②③．因为5415cos -=c a A ，3b =，所以545cos c a b A -=， 由正弦定理得5sin 4sin 5sin cos C A B A -=， 因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+， 所以5cos sin 4sin B A A =． 因为sin 0A >， 所以cos 45B =，3sin 5B ==． 因为1sin 32S ac B ==，所以10ac =．（ⅰ） 在ABC 中，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 所以2225a c +=．（ⅱ） 由（ⅰ）（ⅱ）解得c =c =．【点睛】试题把设定的方程与三角形内含的方程（三角形的正、余弦定理，三角形内角和定理等）建立联系，从而求得三角形的部分定量关系，体现了理性思维、数学探索等学科素养，考查逻辑思维能力、运算求解能力，是中档题.本题如果选取②5415cos -=c a A ，则需根据3b =将问题转化为545cos c a b A -=，再结合边角互化求解.23．（1）3；（2） 【分析】（1）根据正弦定理边角互化以及两角和的正弦公式可求得结果； （2）根据三角形的面积公式以及余弦定理可求得结果. 【详解】（1）因为)cos cos A c a C =，cos sin sin cos C A C A C -=，()sin cos sin cos sin C C A A C A C =+=+，而()sin sin A C B +=b =，故3c b =.（2）由（1）知cos 6A =，则sin 6A =，又ABC 的面积为21sin 244bc A c ==，则3c =，b =由余弦定理得2222cos 2792327a b c bc A =+-=+-⨯=，解得a =. 【点睛】关键点点睛：利用正余弦定理以及三角形的面积公式求解是解题关键. 24．（1）120︒；（2）等腰钝角三角形. 【分析】（1）根据2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++，利用正弦定理转化为222b c a bc +-=-，再利用余弦定理求解.（2）根据（1）利用两角差的正弦公式和辅助角公式转化为sin sin B C +=()sin 601B +=求解.【详解】（1）因为2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++， 所以22(2)(2)a b c b c b c =+++， 即222b c a bc +-=-，所以2221cos 22b c a A bc +-==-， 因为()0,A π∈，所以120A =.（2）由（1）知()sin sin sin sin 60B C B B +=+-，()1cos sin sin 60122B B B =+=+=， 因为()0,60B ∈，所以6090B +=，解得30,30B C ==，所以ABC 是等腰三角形.【点睛】方法点睛：有关三角形形状的判断方法：灵活运用正、余弦定理实现边角转化，合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式辅助角公式等，通过边或角进行判断．25．（1）3A π=；（2 【分析】第（1）小问：方案①中是利用正弦定理将边转化为角的关系，化简后求得3A π=； 方案②首先利用正弦定理将边长之比转化为角的正弦之比，再化简求得3A π=；方案③利用两角和的正切公式将tan tan tan A B C ++化成tan tan()(1tan tan )A B C B C ++⋅-，再利用tan()tan B C A +=-对式子进行化简得到3A π=；第（2）小问：由余弦定理2222cos ,2,3a b c bc A a A π=+-==可以得到关于,b c的关系式，再结合b c +=2bc =，最后求得三角形的面积即可.【详解】()1方案①()2sin cos sin cos sin A C B B C A +=()2sin sin A C B A +=，2sin sin A A A =又()0,A π∈，所以sin 0A ≠，所以tan A = 所以3A π=方案②：由已知正弦定理得()2cos sin 2sin sin 2sin sin 2sin cos 2cos sin sin C A B C A C C A C A C C=-=+-=+-所以2cos sin sin 0,A C C -=即2cos sin sin ,A C C =又()0,C π∈，所以sin 0,C ≠ 所以1cos 2A =所以3A π=方案③：因为tan tan tan tan A B C B C ++=所以tan tan tan tan tan tan()(1tan tan )A B C B C A B C B C ++==++⋅- ()tan tan 1tan tan tan tan tan A A B C A B C =--=tan tan tan tan B C A B C =又()0A B C π∈,,,，所以tan 0,tan 0B C ≠≠，所以1tan ,2A A ==所以3A π=()2由余弦定理2222cos ,2,3a b c bc A a A π=+-==，得224b c bc =+- 即()243b c bc +=+，又因为b c +=所以2bc =所以1sin 22ABC S bc A == 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.26．（1）3B π=；（2）2. 【分析】（12sin 0b A -=2sin sin 0A B A -=求解.（2）根据b =5a c +=，由余弦定理得到6ac =，代入三角形的面积公式求解. 【详解】（1）∵2sin 0b A -=， ∴2sin sin 0A B A -=，∵sin 0A ≠，∴sin 2B =， ∵B 为锐角， ∴3B π=.（2）由余弦定理得2222cos3=+-b a c ac π，整理得2()37a c ac +-=，∵5a c +=，∴6ac =，∴ABC 的面积1sin 2S ac B ==. 【点睛】 方法点睛：三角形面积问题的求解方法：（1）灵活运用正、余弦定理实现边角转化；（2）合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式等．。
高中数学必修五解三角形综合测试题一(基础含答案)
高中数学必修五解三角形综合测试题一（考试时间120分钟，总分150分）一．选择题 (本大题共12小题 ，每小题5分，共60分，请把正确答案填在答题卡上) . 1.在ABC ∆中，45A =,60B =,10a =,则b =（ ）A.2.在ABC ∆中，若222sin sin sin A B C =+，则ABC ∆的形状是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定3.在ABC ∆中，若2a =，2A B =，则cos B =（ ）A.34C.5D.64．在ABC ∆中，如果bc a c b c b a 3))((=-+++，那么角A 等于（ ） A ． 30 B ． 60 C ． 120 D ． 1505.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则新的三角形的形状为 （ ） A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、由增加的长度决定6.不解三角形，下列判断正确的是（ ）A.7a =,14b =,30A =,有两解B.30a =,25b =,150A =,有一解C.6a =,9b =,45A =,有两解D.9b =,10c =,60B =,无解7．在ABC ∆中，6=a ，30=B ，120=C ，则ABC ∆的面积是（ ） A ．9 B ．18 C ．39 D ．318 8.在ABC ∆中，若2sin sin cos 2AB C =，则ABC ∆是（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 9.在ABC ∆中，45B =，60C =，1c =，则最短边的边长等于（ ）1210.如果满足 60=∠ABC ，12=AC ，k BC =的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围（ ） A ．38=k B ．120≤<k C ．12≥k D ．120≤<k 或38=k 11.在ABC ∆中，3A π=，3BC =，则ABC ∆的周长为（ ）A.)33B π++B.)36B π++C.6sin()33B π++D.6sin()36B π++12.如图，为测一树的高度，在地面上选取A 、B 两点，从A 、B 两点分别测得望树尖的仰角为30°，45°，且A 、B 两点之间的距离为60 m ，则树的高度为 ( )A ．(30＋303) mB ．(30＋153) mC ．(15＋303) mD ．(15＋33) m二．填空题（共4小题，每题5分，共20分，请把正确答案填在答题卡上） 13.在ABC ∆中，若2sin()sin()sin A B A B C +-=，则此三角形形状是 14.在ABC ∆中，已知60A =，1b =，ABC S ∆=，则sin sin sin a b cA B C++=++ .15.在ABC ∆中，如果::21)a b c =，则这个三角形的最小角是 . 16.在△ABC 中，若a 2－c 2＝b ，且b ＝3c cos A ，则b ＝____．三．解答题（本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 17.（10分）已知a ＝33，c ＝2，B ＝150°，求边b 的长及S △．18．（12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b 2＋c 2＝a 2＋bc .(1)求角A 的大小；(2)若sin B ·sin C ＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状．19.（12分）在ABC ∆中,,,a b c 分别是角A ,B ,C 所对边的长，S 是ABC ∆的面积.已知22()S a b c =--，求tan A 的值.20.（12分）在ABC ∆中，已知22()a a b c -=+，223a b c +=-. (1)若sin :sin 4C A =,,a b c ；(2)求ABC ∆的最大角的弧度数.21. （12分）在ABC ∆中，已知角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且222a b c +-=. (1)求角C 的大小；(2)如果203A π<≤，22cos sin 12Am B =--，求实数m 的取值范围.22.（12分）半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上一点，且2OA =.B 为半圆上任意一点，以AB 为边向外作等边ABC ∆，则B 点在什么位置时四边形OACB 的面积最大？求出这个最大面 积.O A CBxθ12高中数学必修五解三角形综合测试题答题卡 总分一、选择题 得分二、填空题 得分13、 14、 15、 16、三．解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 17. (10分)18．(12分)19．(12分)20．(12分)就读班级 考试试室 姓名 考试座位号………密…………封…………线…………密…………封…………线…………密…………封…………线…………密…………封…………线…………20. (12分)22．(12分)高中数学必修五解三角形综合测试题参考答案一．选择题 (本大题共12小题 ，每小题5分，共60分，请把正确答案填在答题卡上) . 1.在ABC ∆中，45A =,60B =,10a =,则b =（ D ）A.2.在ABC ∆中，若222sin sin sin A B C =+，则ABC ∆的形状是（ B ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 3.在ABC ∆中，若2a =，2A B =，则cos B =（ B ）4．在ABC ∆中，如果bc a c b c b a 3))((=-+++，那么角A 等于（ B ） A ． 30 B ． 60 C ． 120 D ． 1505.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则新的三角形的形状为 （ A ） A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、由增加的长度决定6.不解三角形，下列判断正确的是（B ）A.7a =,14b =,30A =,有两解B.30a =,25b =,150A =,有一解C.6a =,9b =,45A =,有两解D.9b =,10c =,60B =,无解7．在ABC ∆中，6=a ， 30=B ，120=C ，则ABC ∆的面积是（C ） A ．9 B ．18 C ．39 D ．3188.在ABC ∆中，若2sin sin cos 2A B C =，则ABC ∆是（ A ）A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形 9.在ABC ∆中，45B =，60C =，1c =，则最短边的边长等于（ A ）A.3212D.210.如果满足 60=∠ABC ，12=AC ，k BC =的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围（D ） A ．38=k B ．120≤<k C ．12≥k D ．120≤<k 或38=k 11.在ABC ∆中，3A π=，3BC =，则ABC ∆的周长为（D ）A.)33B π++B.)36B π++C.6sin()33B π++D.6sin()36B π++ 12.如图，为测一树的高度，在地面上选取A 、B 两点，从A 、B 两点分别测得望树尖的仰角为30°，45°，且A 、B 两点之间的距离为60 m ，则树的高度为( A )A ．(30＋303) mB ．(30＋153) mC ．(15＋303) mD ．(15＋33) m 二、填空题13.在ABC ∆中，若2sin()sin()sin A B A B C +-=，则此三角形形状是_直角三角形 14.在ABC ∆中，已知60A =，1b =，ABC S ∆=，则sin sin sin a b cA B C++=++. 15.在ABC ∆中，如果::21)a b c =，则这个三角形的最小角是_4A π=.16.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2－c 2＝b ，且b ＝3c cos A ，则b ＝． 【解析】 由余弦定理知b ＝3c cos A ＝3c ×b 2＋c 2－a 22bc，∴b 2＝3(a 2－c 2)，又a 2－c 2＝b ，∴b 2＝3b ，∴b ＝3. 三、解答题17.已知a ＝33，c ＝2，B ＝150°，求边b 的长及S △． 解：b 2＝a 2＋c 2-2ac cos B ＝(33)2＋22-2·33·2·(-23)＝49． ∴ b ＝7，S △＝21ac sin B ＝21×33×2×21＝23318．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b 2＋c 2＝a 2＋bc .(1)求角A 的大小；(2)若sin B ·sin C ＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状．【解】 (1)由已知得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，又∠A 是△ABC 的内角，∴A ＝π3.(2)由正弦定理，得bc ＝a 2，又b 2＋c 2＝a 2＋bc ，∴b 2＋c 2＝2bc .∴(b －c )2＝0，即b ＝c .又A ＝π3，∴△ABC 是等边三角形．19.在ABC ∆中,,,a b c 分别是角A ,B ,C 所对边的长，S 是ABC ∆的面积.已知22()S a b c =--，求tan A 的值.解：∵22()S a b c =--，1sin ,2S bc A =∴22()a b c --1sin 2bc A =.即22212(1)sin ,4b c a bc A +-=-∴22211sin 24b c a A bc +-=-. 即1cos 1sin 4A A =-，则2211cos 1sin sin 216A A A =-+，化简得2171sin sin 0162A A -=，解得8sin 17A =(sin 0A =舍去). 代入115cos 1sin 417A A =-=，故sin 8tan cos 15A A A ==.20.在ABC ∆中，已知22()a a b c -=+，223a b c +=-.(1)若sin :sin 4C A =,,a b c ；(2)求ABC ∆的最大角的弧度数.解：（1）由正弦定理，有sin :sin :4C A c a ==，∴可设4c k =，a =.由已知条件得222a a c b --=，232c a b --=，故2223a a c c a --=--.∴213883k k k -=-，即2131630k k -+=，∴313k =或1k =.∵当313k =时，0b <，故舍去，∴1k =，∴a =b =4c =.（2）由已知二式消去2b ，得234a c +=，代入2220a a b c ---=中， 得211(23)(3)(1)44b a a a a =--=-+， ∵,,0a bc >，∴3a >.又1(3)02b c a -=--<，231(3)(1)044a c a a a a +-=-=-->， ∴,b c a c <<，故c 为最大边，所以角C 最大.∵22222(3)()4cos 122(3)(1)4a a a a abc C ab a a a ---++-==-+ 2224(3)(1)4(23)12(3)(1)2(23)2a a a a a a a a a a a a -+--+-===--+-+，而0C π<<，∴23C π=.21. 在ABC ∆中，已知角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且222a b c +-=. (1)求角C 的大小； (2)如果203A π<≤，22cos sin 12Am B =--，求实数m 的取值范围. 解：（1）由222a b c +-=，得2222a b c ab +-=.由余弦定理知cos C =，∴6C π=. （2）∵21cos 2cos sin 12sin[()]122A A mB AC π+=--=--+-cos sin()cos sin()6A A C A A π=-+=-+1cos sin coscossincos cos 662A A A A A A ππ=--=-- 1cos cos cos sin sin cos()22333A A A A A πππ=-=-=+ ∵203A π<≤∴33A πππ<+≤. ∴11cos()32A π-≤+<，即m 的取值范围是1[1,)2-.22.半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上一点，且2OA =.B 为半圆上任意一点，以AB 为边向外作等边ABC ∆，则B 点在什么位置时四边形OACB 的面积最大？求出这个最大面 积.22.解：设AB x =，AOB θ∠=，在ABC ∆中运用余弦定理， 得x 与θ存在关系：22212212cos 54cos x θθ=+-⨯⨯=-. ①又设四边形OACB 的面积是S ，则2sin AOB ABC S S S x θ∆∆=+=+. ②将①式代入②得sin 2sin()3S πθθθ=+=-+. ∵(0,)θπ∈，∴2333πππθ-<-<. ∴当且仅当32ππθ-=，即56πθ=时，max S =.即以OA 为始边，OB 逆时针方向旋转56π时，四边形OACB面积最大，最大值为84+.OA CBxθ 1 2。
(典型题)高中数学必修五第二章《解三角形》测试题(含答案解析)
一、选择题1．在△ABC 中，若b ＝2，A ＝120°，三角形的面积S =AB ．C ．2D ．42．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2cos 2b C a c ⋅=+，若3b =，则ABC ∆的外接圆面积为（ ）A ．48π B ．12πC ．12πD ．3π3．在ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，若2224ABCa b c S +-=（其中ABCS表示ABC 的面积），且角A 的平分线交BC 于E ，满足0AE BC ⋅=，则ABC 的形状是（ ）A ．有一个角是30°的等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形4．在ABC 中，,,a b c 分别为三个内角,,A B C 的对边，若cos cos a A b B =，则ABC 一定是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形5．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知3a =，(b ∈，且223cos cos a b B b A =+，则cos A 的取值范围为（ ）．A ．133,244⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．133,244⎛⎫⎪⎝⎭ C ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭6．在ABC 中，角A 、B 、C 对边分别为a 、b 、c ，若b =cos 20B B +-=，且sin 2sin C A =，则ABC 的周长是（ ）A ．12+B ．C ．D ．6+7．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，现要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得80CD =，135ADB ∠=︒，15BDC DCA ∠=∠=︒，120ACB ∠=︒，则A 、B 两点间的距离为（ ）A ．80B ．803C ．160D ．8058．已知△ABC 中，2cos =c b A ，则△ABC 一定是A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形9．ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ，c 成等差数列，且2C A =，若AC 边上的中线792BD =，则△ABC 的周长为（ ） A ．15B ．14C ．16D ．1210．在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若sin 3cos 0b A a B -=，且三边a b c ，，成等比数列，则2a cb+的值为（ ） A ．24B ．22C ．1D ．211．如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .现测得15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒，302CD m =，并在点C 测得塔顶A 的仰角为30，则塔高AB 为( )A ．302mB ．203mC ．60mD ．20m12．如图，在离地面高400m 的热气球上，观测到山顶C 处的仰角为15，山脚A 处的俯角为45，已知60BAC ∠=，则山的高度BC 为（ ）A ．700mB ．640mC ．600mD ．560m二、填空题13．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，()226b a c =+-，23B π=，则ABC 的面积是______________. 14．如图，点A 是半径为1的半圆O 的直径延长线上的一点，3OA =，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边ABC ，则四边形OACB 的面积的最大值为___________.15．锐角ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()12cos c a B =+，则ba的取值范围是______． 16．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若8cos 3ABC bc A S =△，则22cos sin 122sin cos B CA A A++-=-________. 17．已知ABC 中，2,2BC AB AC ==，则ABC 面积的最大值为_____ 18．在锐角ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且满足cos 2b aC a-=，则tan A 的取值范围是__． 19．如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个观测点,C D ，测得15BCD ︒∠=，30CBD ︒∠=，152m CD =，并在C 处测得塔顶A 的仰角为45︒，则塔高AB =______m ．20．对于ABC ，有如下命题：①若sin2A ＝sin2B ，则ABC 为等腰三角形； ②若sin A ＝cos B ，则ABC 为直角三角形； ③若sin 2A +sin 2B +cos 2C ＜1，则ABC 为钝角三角形； ④若满足C ＝6π，c ＝4，a ＝x 的三角形有两个，则实数x 的取值范围为(4,8)． 其中正确说法的序号是_____．三、解答题21．在①tan 2tan B C =，②22312b a -=，③cos 2cos b C c B =三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解决该问题.问题：已知ABC ∆的内角,,A B C 及其对边,,a b c ，若2c =，且满足___________.求ABC ∆的面积的最大值(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)22．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知222sin sin sin sin sin B A C A C --=．（1）求B ；（2）若3b =，当ABC 的周长最大时，求它的面积． 23．已知ABC 中，51tan 43A π⎫⎛-=⎪⎝⎭． （1）求2sin cos2A A +的值；（2）若ABC 的面积为4，4AB =，求BC 的值． 24．在①π2=+A C ，②5415cos -=c a A ，③ABC 的面积3S =这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3b =，且______，______，求c ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．25．已知ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且cos cos 2cos b C c B a A +=．（1）求角A ；（2）若3a =ABC 的面积为23b c +的值．26．在①()cos cos 3cos 0C A A B +-=，②()cos23cos 1B A C -+=，③cos sin 3b C B a +=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中. 问题：在ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，若1a c +=，___________，求角B 的值和b 的最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】12sin1202S c ==⨯︒ ，解得c =2.∴a 2=22+22−2×2×2×cos 120°=12，解得a =，∴24sin 2a R A === ， 解得R =2.本题选择C 选项. 2．D解析：D 【分析】 先化简得23B π=，再利用正弦定理求出外接圆的半径，即得ABC ∆的外接圆面积. 【详解】由题得222222a b c b a c ab+-⋅=+，所以22222a b c a ac +-=+， 所以222a b c ac -+=-， 所以12cos ,cosB 2ac B ac =-∴=-, 所以23B π=.,R R∴=所以ABC∆的外接圆面积为=3ππ.故选D【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3．D解析：D【分析】根据角A的平分线交BC于E，满足0AE BC⋅=，得到ABC是等腰三角形，再由2221sin24+-==ABCa b cS ab C，结合余弦定理求解.【详解】因为0AE BC⋅=，所以AE BC⊥，又因为AE是角A的平分线，所以ABC是等腰三角形，又2221sin24+-==ABCa b cS ab C，所以2221sin cos22a b cab C Cab+-==，因为()0,Cπ∈，所以4Cπ,所以ABC是等腰直角三角形，故选：D【点睛】本题主要考查余弦定理，面积公式以及平面向量的数量积，属于中档题.4．D解析：D【分析】根据cos cosa Ab B=，利用正弦定理将边转化为角得到sin cos sin cosA AB B=，然后再利用二倍角的正弦公式化简求解.【详解】因为cos cosa Ab B=，由正弦定理得：sin cos sin cos A A B B =， 所以sin 2sin 2A B =， 所以22A B =或22A B π=-， 即A B =或2A B π+=所以ABC 一定是等腰三角形或直角三角形， 故选：D 【点睛】本题主要正弦定理，二倍角公式的应用，属于中档题.5．B解析：B 【分析】由正弦定理进行边角互化可得9c b=，由余弦定理可得22819cos 18b b A +-=，进而可求出cos A 的范围【详解】因为3a =，223cos cos a b B b A =+，所以22cos cos a ab B b A =+， 所以()22sin sin sin cos sin cos sin sin sin sin A A B B B A B A B B C =+=+=，即29a bc ==，所以9c b=，则22222819cos 218b bc a b A bc +-+-==．因为(b ∈，所以()212,18b ∈，81y x x=+在()12,18上递增, 所以22817545,42b b ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则133cos ,244A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 故选:B 【点睛】本题考查了正弦定理，考查了余弦定理.解答本题的关键是用b 表示cos A .6．D解析：D 【分析】由已知条件求出角B 的值，利用余弦定理求出a 、c 的值，由此可计算出ABC 的周长. 【详解】cos 2sin 26B B B π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，sin 16B π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，0B π<<，7666B πππ∴<+<，则62B ππ+=，3B π∴=，sin 2sin C A =，2c a ∴=，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即2312a =， 2a ∴=，24c a ==，因此，ABC 的周长是623a b c ++=+.故选：D. 【点睛】本题考查三角形周长的计算，涉及余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.7．D解析：D 【分析】如图，BCD △中可得30CBD ∠=︒，再利用正弦定理得802BD =，在ABD △中，由余弦定理，即可得答案； 【详解】如图，BCD △中，80CD =，15BDC ∠=︒，12015135BCD ACB DCA ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∴30CBD ∠=︒，由正弦定理得80sin135sin 30BD =︒︒，解得802BD =，ACD △中，80CD =，15DCA ∠=︒，13515150ADC ADB BDC ∠=∠+∠=︒+︒=︒， ∴15CAD ∠=︒，∴==80AD CD ， ABD △中，由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠2280(802)280802cos135=+-⨯⨯⨯︒2805=⨯，∴805AB =，即A ，B 两点间的距离为805．故选：D. 【点睛】本题考查正余弦定理的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.8．B解析：B 【解析】试题分析：由2cos =c b A 和正弦定理得sin 2sin cos =C B A ，即sin()2sin cos ,sin cos sin cos A B B A A B B A +==．因sin 0,sin 0A B >>，故,A B 不可能为直角，故tan tan A B =．再由,(0,)A B π∈，故A B =．选B ． 考点：本题考查正弦定理、内角和定理、两角和的三角函数公式．点评：综合考查正弦定理、两角和与差的三角公式．三角形中的问题，要特别注意角的范围．9．A解析：A 【分析】由已知结合等差数列的性质及二倍角公式，正弦定理及余弦定理进行化简，即可求得结果. 【详解】由a ，b ，c 成等差数列可知，2b a c =+， 因为2C A =，所以sin sin 22sin cos C A A A ==，由正弦定理及余弦定理可得，22222b c a c a bc+-=⋅，所以2223bc ab ac a =+-， 所以32c a =，54b a =，若AC 边上的中线BD =所以2225379242a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，解可得4a =，5b =，6c =， 故△ABC 的周长为15. 故选：A. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理，正弦定理，等差数列的条件，以及边角关系，属于简单题目.10．C解析：C 【分析】先利用正弦定理边角互化思想得出3B π=，再利余弦定理1cos 2B =以及条件2b ac =得出a c =可得出ABC ∆是等边三角形，于此可得出2a cb+的值． 【详解】sin cos 0b A B =，由正弦定理边角互化的思想得sin sin cos 0A B A B =，sin 0A >，sin 0B B ∴=，tan B ∴=，则3B π=.a 、b 、c 成等比数列，则2b ac =，由余弦定理得222221cos 222a cb ac ac B ac ac +-+-===，化简得2220a ac c -+=，a c ∴=，则ABC ∆是等边三角形，12a cb+∴=，故选C ． 【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，考查余弦定理的应用，解题时应根据等式结构以及已知元素类型合理选择正弦定理与余弦定理求解，考查计算能力，属于中等题．11．D解析：D 【分析】由正弦定理确定BC 的长，再tan30AB BC 求出AB ．【详解】15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒120CBD由正弦定理得：sin120sin 45BC302sin 45203sin120BC3tan 3020320ABBC故选D【点睛】本题是正弦定理的实际应用，关键是利用正弦定理求出BC ，属于基础题．12．C解析：C 【分析】可知ADM ∆为等腰直角三角形，可计算出AM 的长度，在ACM ∆中，利用正弦定理求出AC 的长度，然后在ABC ∆中，利用锐角三角函数求出BC ，即可得出答案. 【详解】根据题意，可得在Rt ADM ∆中，45MAD ∠=，400DM =，所以，sin 45DMAM ==因为在ACM ∆中，451560AMC ∠=+=，180456075,AMC ∠=--=180756045ACM ∠=--=，由正弦定理，得sin sin AM AMCAC ACM∠===∠在Rt ABC ∆中，()sin 600BC AC BAC m =∠==，故选C. 【点睛】本题考查解三角形的实际应用问题，着重考查三角函数的定义、利用正弦定理解三角形等知识，在解题时，要结合三角形已知元素类型合理选择正弦定理和余弦定理解三角形，考查运算求解能力，属于中等题.二、填空题13．【分析】利用余弦定理求出的值再利用三角形的面积公式可求得的面积【详解】由余弦定理可得可得则解得因此的面积是故答案为：【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中若已知条件同时含有边和角但不能直接使用正弦定理【分析】利用余弦定理求出ac 的值，再利用三角形的面积公式可求得ABC 的面积. 【详解】由余弦定理可得222222cos b a c ac B a c ac =+-=++，222a c b ac ∴+-=-，()2222626b a c a c ac =+-=++-，可得222260a c b ac +-+-=，则260ac ac --=，解得6ac =，因此，ABC的面积是11sin 62222ABC S ac B ==⨯⨯=△.故答案为：2. 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.14．【分析】设表示出的面积及的面积进而表示出四边形的面积并化简所得面积的解析式为正弦函数形式再根据三角函数的有界性进行求解【详解】四边形的面积的面积的面积设则的面积的面积四边形的面积故当即时四边形的面积解析：【分析】设AOB θ∠=，表示出ABC 的面积及OAB 的面积，进而表示出四边形OACB 的面积，并化简所得面积的解析式为正弦函数形式，再根据三角函数的有界性进行求解． 【详解】四边形OACB 的面积OAB =△的面积ABC +△的面积，设AOB θ∠=，2222cos 31214AB OA OB OA OB θθθ∴=+-⋅⋅=+-⨯=-则ABC 的面积213sin 60cos 22AB AC θ=⋅⋅︒=OAB 的面积11sin 1222OA OB θθθ=⋅⋅=⨯=，四边形OACB 的面积3cos 2θθ=13(sin )60)2θθθ=-=-︒，故当6090θ-︒=︒，即150θ=︒时，四边形OACB =故答案为： 【点睛】方法点睛：应用余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60︒︒︒等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.15．【分析】利用正弦定理和两角和的正弦公式得出角的关系由为锐角三角形得到角的范围进而利用二倍角公式得出的取值范围【详解】由已知得即为锐角三角形故答案为：【点睛】本题考查正弦定理的应用考查两角和与差的正弦解析：【分析】利用正弦定理和两角和的正弦公式得出角A ，B 的关系，由ABC 为锐角三角形得到角A 的范围，进而利用二倍角公式得出ba的取值范围．【详解】由已知sin sin()sin (12cos )C A B A B =+=+sin cos cos sin sin 2sin cos A B A B A A B ∴+=+得sin()sin B A A -=B A A ∴-=，即2B A =ABC 为锐角三角形 2,322B AC A B A ππππ∴=<=--=-<,cos 64A A ππ∴<<∴∈sin 2sin cos 2cos sin sin b B A A A a A A∴===∈故答案为： 【点睛】本题考查正弦定理的应用，考查两角和与差的正弦公式，考查二倍角公式，属于中档题．16．【分析】由三角形的面积公式结合等式可求得然后利用二倍角余弦公式结合弦化切可求得所求代数式的值【详解】因为所以则故故答案为：【点睛】本题考查利用三角形的面积公式二倍角余弦公式诱导公式以及弦化切求值考查解析：12-【分析】由三角形的面积公式结合等式8cos 3ABC bc A S =△，可求得3tan 4A =，然后利用二倍角余弦公式、结合弦化切可求得所求代数式的值. 【详解】因为881cos sin 332ABC bc A S bc A ==⨯△，所以4cos sin 3A A =，则3tan 4A =，故()()22cos sin 1cos sin sin cos sin cos 22sin cos 2sin cos 2sin cos 2sin cos B CA B C A A A A A A A A A A A A A π++-+++--===---- tan 112tan 12A A -==--. 故答案为：12-.【点睛】 本题考查利用三角形的面积公式、二倍角余弦公式、诱导公式以及弦化切求值，考查计算能力，属于中等题.17．【分析】设则根据面积公式得由余弦定理求得代入化简由三角形三边关系求得由二次函数的性质求得取得最大值【详解】解：设则根据面积公式得由余弦定理可得可得：由三角形三边关系有：且解得：故当时取得最大值故答案解析：43【分析】设AC x =，则2AB x =，根据面积公式得ABC S ∆=，由余弦定理求得cos C 代入化简ABC S ∆=223x <<，由二次函数的性质求得ABC S ∆取得最大值． 【详解】解：设AC x =，则2AB x =，根据面积公式得 1sin sin 12ABC S AC BC C x C x ∆=== 由余弦定理可得2224443cos 44x x x C x x+--==，可得：ABCS ∆==由三角形三边关系有：22x x +>，且22x x +>，解得：223x <<，故当x =时，ABC S ∆取得最大值43， 故答案为：43． 【点睛】本题主要考查余弦定理和面积公式在解三角形中的应用．当涉及最值问题时，可考虑用函数的单调性和定义域等问题，属于中档题．18．【分析】先由余弦定理可将条件整理得到利用正弦定理得到；结合二倍角公式；再由和差化积公式得：代入①整理得；求出和的关系求出角的范围即可求解【详解】解：由余弦定理可知则整理得即由正弦定理可得即①由和差化解析：，1) 【分析】先由余弦定理可将条件整理得到22c a ab -=，利用正弦定理得到22sin sin sin sin C A A B -=；结合二倍角公式1cos21cos2cos2cos2sin sin 222C A A CA B ----==；再由和差化积公式得：cos2cos22sin()sin()A C A C A C -=-+-代入①整理得sin sin()sin()A A C C A =--=-；求出A 和C 的关系，求出角的范围即可求解． 【详解】解：由余弦定理可知222cos 2a b c C ab+-=，则22222a b c b aab a +--=， 整理得2222a b c b ab +-=-，即22c a ab -=， 由正弦定理可得，22sin sin sin sin C A A B -=， 即1cos21cos2cos2cos2sin sin 222C A A CA B ----==①， 由和差化积公式得：cos2cos22sin()sin()A C A C A C -=-+-代入①得 sin()sin()sin sin A C A C A B -+-=；因为sin()sin 0A C B +=≠； sin sin()sin()A A C C A ∴=--=-；在锐角ABC ∆中，C A A -=即2C A =， 则3B A C A ππ=--=-，因为02022032A A A ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，∴64A ππ<<，tan A ∴的取值范围是，1)；故答案为：，1)． 【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理以及和差化积公式的应用，特殊角的三角函数值，属于中档题．19．30【分析】结合图形利用正弦定理与直角三角形的边角关系即可求出塔高AB 的长【详解】在△BCD 中∠BCD ＝15°∠CBD ＝30°∴＝∴＝CB ＝30×＝30；中∠ACB ＝45°∴塔高AB ＝BC ＝30m 故解析：30 【分析】结合图形，利用正弦定理与直角三角形的边角关系，即可求出塔高AB 的长． 【详解】在△BCD 中，∠BCD ＝15°，∠CBD ＝30°，CD =，∴sin CD CBD ∠＝sin CB CDB ∠，∴sin 30︒＝()sin 1801530CB ︒︒︒--， CB ＝30； Rt ABC △中，∠ACB ＝45°， ∴塔高AB ＝BC ＝30m ． 故答案为：30. 【点睛】本题考查了正弦定理和直角三角形的边角关系应用问题，是基础题．20．③④【分析】举出反例可判断①②；由同角三角函数的平方关系正弦定理可得再由余弦定理可判断③；由正弦定理可得再由三角形有两个可得且即可判断④；即可得解【详解】对于①当时满足此时△ABC 不是等腰三角形故①解析：③④ 【分析】举出反例可判断①、②；由同角三角函数的平方关系、正弦定理可得222a b c +<，再由余弦定理可判断③；由正弦定理可得8sin x A =，再由三角形有两个可得566A ππ<<且2A π≠，即可判断④；即可得解.【详解】 对于①，当3A π=，6B π=时，满足sin 2sin 2A B =，此时△ABC 不是等腰三角形，故①错误； 对于②，当23A π=，6B π=时，满足sin cos A B =，此时△ABC 不是直角三角形，故②错误；对于③，∵222sin sin cos 1A B C ++<，∴22222sin sin cos sin cos A B C C C ++<+， ∴222sin sin sin A B C +<，∴根据正弦定理得222a b c +<，∵222cos 02a b c C ab+-=<，()0,C π∈，∴C 为钝角，∴△ABC 为钝角三角形，故③正确；对于④，∵,4,6C c a x π===，∴根据正弦定理得481sin sin 2a c A C ===，∴8sin x A =， 由题意566A ππ<<，且2A π≠，∴1sin 12A <<，∴48x ，即x 的取值范围为(4,8)，故④正确．故答案为：③④． 【点睛】本题考查了三角函数及解三角形的综合应用，考查了运算求解能力，合理转化条件是解题关键，属于中档题.三、解答题21．条件选择见解析；最大值为3. 【分析】分别选择条件①②③，利用正弦定理和余弦定理，化简得到22312b a -=，再由余弦定理得28cos 2b A b -=，进而求得sin A ，利用面积公式求得ABCS ∆=，即可求解. 【详解】选择条件①：因为tan 2tan B C =，所以sin cos 2sin cos B C C B =， 根据正弦定理可得cos 2cos b C c B =，由余弦定理得：222222222a b c a c b b c ab ac+-+-⨯=⨯， 又由2c =，可得22312b a -=，根据余弦定理得22228cos 22b c a b A bc b+--==，则sin A ===，所以1sin 22ABCSbc A b b ∆==⨯=， 所以当且仅当210b =时，ABC ∆面积取得最大值，最大值为3. 选择条件②：因为22312b a -=，由余弦定理得22228cos 22b c a b A hc h+--==，所以sin A ===，1sin 22ABC S bc A b b∆==⨯=，所以当且仅当210b =时，ABC ∆面积取得最大值，最大值为3.选择条件③：因为cos 2cos b C c B =，由余弦定理得：222222222a b c a c b b c ab ac+-+-⨯=⨯， 因为2c =，可得22312b a -=，又由余弦定理得：22228cos 22b c a b A bc b+--==，所以sin 2A b===，1sin 2ABCS bc A b ∆===， 所以当且仅当210b =时，ABC ∆面积取得最大值，最大值为3. 【点睛】对于解三角形问题的常见解题策略：对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用.22．（1）23B π=；（2）ABC S =△. 【分析】（1）利用正弦定理角化边，整理求得cos B ，由B 的范围可得结果；（2）利用余弦定理和基本不等式可求得当3a c ==时周长最大，由三角形面积公式可求得结果. 【详解】（1）由正弦定理得：222b ac ac --=，2221cos 22a cb B ac +-∴==-，()0,B π∈，23B π∴=； （2）由余弦定理得：()()222222cos 29b a c ac B a c ac ac a c ac =+-=+-+=+-=，()2292a c ac a c +⎛⎫∴=+-≤ ⎪⎝⎭（当且仅当a c =时取等号），6a c ∴+≤，∴当3a c ==时，ABC 取得最大值，此时19sin 2224ABCSac B ==⨯=. 【点睛】方法点睛：求解与边长相关的最值或取值范围类问题通常有两种方法：①利用正弦定理边化角，将所求式子转化为与三角函数值域有关的问题的求解，利用三角恒等变换和三角函数的知识来进行求解；②利用余弦定理构造方程，结合基本不等式求得基本范围；应用此方法时，需注意基本不等式等号成立的条件. 23．（1）45；（2）2. 【分析】（1）首先利用两角差的正切公式求出tan A ，再根据同角三角函数的基本关系及二倍角公式计算可得；（2）由（1）可知，1tan 2A =，即可求出sin A ，cos A ，再利用余弦定理及面积公式计算可得； 【详解】 解：（1）5tan tan 44A A ππ⎫⎫⎛⎛-=-⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭1tan 11tan 3A A -==+，解得1tan 2A =，故2222cos sin cos2sin cos AA A A A+=+214tan 15A ==+． （2）由（1）可知，sin 1tan cos 2A A A ==①，且22sin cos 1A A +=②；联立①②，解得sin A =，cos A =．又1sin 42S bc A ==，4c =，可得b = 2222cos 4a b c bc A =+-=，则2a =．即2BC =．24．答案见解析. 【分析】选条件①②．结合3b =，得545cos c a b A -=，进而根据边角互化整理得：cos 45B =，3sin 5B =，再结合π2=+A C ，得π22B C =-，故3cos25C =，进而得sin C =最后利用正弦定理求解．选条件①③．结合已知由面积公式得sin 2a C =，结合π2=+A C ，得π22B C =-，故由正弦定理得sin 3cos sin cos2b A Ca B C==，所以3sin24cos2C C =，再根据π0π2A C <=+<02πC <<，进一步结合同角三角函数关系得3cos25C =，利用二倍角公式得sin C =最后由正弦定理得sin sin b Cc B=选条件②③．结合3b =，得545cos c a b A -=，进而根据边角互化整理得：cos 45B =，再根据面积公式得10ac =，由余弦定理得2225a c +=，联立方程解得c =c =．【详解】解：方案一：选条件①②．因为5415cos -=c a A ，3b =，所以545cos c a b A -=， 由正弦定理得5sin 4sin 5sin cos C A B A -=． 因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+， 所以5cos sin 4sin B A A =． 因为sin 0A >， 所以cos 45B =，3sin 5B ==． 因为π2=+A C ，πABC ++=，所以π22B C =-， 所以π3cos 2cos sin 25C B B ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，所以21cos21sin 25C C -==． 因为()0,πC ∈，所以sin C =， 在ABC中，由正弦定理得3sin 53sin 5b Cc B===方案二：选条件①③． 因为1sin 32S ab C ==，3b =，所以sin 2a C =． 因为π2=+A C ，πABC ++=，所以π22B C =-． 在ABC 中，由正弦定理得π3sin sin 3cos 2πsin cos 2sin 22C b A C a B CC ⎛⎫+ ⎪⎝⎭===⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以3sin cos 2cos2C CC=，即3sin24cos2C C =．因为π0π,20π,A C C ⎧<=+<⎪⎨⎪<<⎩所以π02C <<，02πC <<， 所以sin20C >，所以cos20C >．又22sin 2cos 21C C +=，所以3cos25C =， 所以21cos21sin 25C C -==，所以sin C = 在ABC中，由正弦定理得3sin sin sin 53πsin cos 2sin 252b C b C b C c B C C ====⎛⎫- ⎪⎝⎭． 方案三：选条件②③．因为5415cos -=c a A ，3b =，所以545cos c a b A -=，由正弦定理得5sin 4sin 5sin cos C A B A -=，因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以5cos sin 4sin B A A =．因为sin 0A >， 所以cos 45B =，3sin 5B ==． 因为1sin 32S ac B ==，所以10ac =．（ⅰ） 在ABC 中，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2225a c +=．（ⅱ）由（ⅰ）（ⅱ）解得c =c =． 【点睛】试题把设定的方程与三角形内含的方程（三角形的正、余弦定理，三角形内角和定理等）建立联系，从而求得三角形的部分定量关系，体现了理性思维、数学探索等学科素养，考查逻辑思维能力、运算求解能力，是中档题.本题如果选取②5415cos -=c a A ，则需根据3b =将问题转化为545cos c a b A -=，再结合边角互化求解.25．（1）π3A =；（2）6. 【分析】（1）由正弦定理把条件cos cos 2cos b C c B a A +=转化为角的关系，再由两角和的正弦公式及诱导公式得A 的关系式，从而可得结论；（2）首先可根据解三角形面积公式得出8bc =，然后根据余弦定理计算出6b c +=.【详解】（1）因为cos cos 2cos b C c B a A +=由正弦定理得，sin cos sin cos 2sin cos B C C B A A +=所以()sin sin 2sin cos B C A A A +==因为0πA <<所以，sin 0A ≠ 所以1cos 2A =，所以π3A =（2）因为ABC 的面积为所以1sin 2bc A =因为π3A =，所以1πsin 23bc =， 所以8bc =．由余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-，因为a =，π3A =， 所以()()2222π122cos 3243b c bc b c bc b c =+-=+-=+-， 所以6b c +=．【点睛】关键点点睛：解题时要注意边角关系的转化.求“角”时，常常把已知转化为角的关系，求“边”时，常常把条件转化为边的关系式，然后再进行转化变形.26．条件选择见解析；3B π=，b 最小值为12. 【分析】选①，利用三角形的内角和定理、诱导公式以及两角和的余弦公式化简得出tan B =结合()0,B π∈可求得B ，再利用余弦定理结合二次函数的基本性质可求得b 的最小值； 选②，利用三角形的内角和定理、诱导公式以及二倍角的余弦公式求出cos B 的值，结合()0,B π∈可求得B ，再利用余弦定理结合二次函数的基本性质可求得b 的最小值； 选③，利用正弦定理边角互化、三角形的内角和定理以及两角和的正弦公式化简可求得tan B =()0,B π∈可求得B ，再利用余弦定理结合二次函数的基本性质可求得b 的最小值.【详解】解：若选择①：在ABC 中，有A B C π++=，则由题可得：()()cos cos cos 0A B A A B π-++-=⎡⎤⎣⎦， ()cos cos cos cos 0A B A B A B -++=，sin sin cos cos cos cos cos 0A B A B A B A B -+-=，sin sin cos A B A B =，又sin 0A ≠，所以sin B B =，则tan B =又()0,B π∈，所以3B π=，因为1a c +=，所以1c a =-，()0,1a ∈.由余弦定理可得：2222cos b a c ac B =+-22a c ac =+-()()2211a a a a =+---2331a a =-+， ()0,1a ∈，又2211324b a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 所以，当12a =时，()2min 14b =，即b 的最小值为12； 若选择②：在ABC 中，有A B C π++=， 则由题可得()222cos 13cos 2cos 3cos 11B B B B π---=+-=， 解得1cos 2B =或cos 2B =-（舍去）， 又()0,πB ∈，所以3B π=.（剩下同①）若选择③：由正弦定理可将已知条件转化为sin cos sin sin 3B C C B A +=， ()()sin cos s s in cos in sin sin B C C B A B C B C π=+=-+=+⎡⎤⎣⎦，代入上式得sin sin cos 3C B C B =，又sin 0C ≠，所以sin B B =，tan B =又()0,B π∈，所以3B π=.（剩下同①） 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.。
高一数学必修五第一章试题——解三角形(带答案)
高一数学必修五第一章试题——解三角形一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设a ，b ，c 分别是△ABC 中∠A ，∠B ，∠C 所对边的边长，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直2．在△ABC 中，已知a －2b ＋c ＝0，3a ＋b －2c ＝0，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．2∶3∶4B ．3∶4∶5C ．4∶5∶8D ．3∶5∶73．△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则△ABC 的外接圆的直径为( )A ．4 3B ．5C ．5 2D ．624．已知关于x 的方程x 2－x cos A ·cos B ＋2sin 2C2＝0的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形5．△ABC 中，已知下列条件：①b ＝3，c ＝4，B ＝30°；②a ＝5，b ＝8，A ＝30°；③c ＝6，b ＝33，B ＝60°；④c ＝9，b ＝12，C ＝60°．其中满足上述条件的三角形有两解的是( )A ．①②B ．①④C ．①②③D ．③④6．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，sin B ＝32，C ＝π6，则b 的值为( )A ．1B ．32C ．3或32 D ．±17．等腰△ABC 底角B 的正弦与余弦的和为62，则它的顶角是( ) A ．30°或150° B ．15°或75°C ．30°D ．15°8．若G 是△ABC 的重心，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且aGA →＋bGB →＋33cGC →＝0，则角A ＝( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°9．在△ABC 中，B ＝60°，C ＝45°，BC ＝8，D 为BC 上一点，且BD →＝3－12BC→，则AD 的长为( ) A ．4(3－1) B ．4(3＋1) C ．4(3－3)D ．4(3＋3)10．在△ABC 中，B A →·B C →＝3，S △ABC ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，332，则B 的取值范围是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π211．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若(b －c )sin B ＝2c sin C 且a ＝10，cos A ＝58，则△ABC 面积等于( )A ．392 B ．39 C ．313 D ．312．锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2sin A (a cos C ＋c cos A )＝3b ，则cb 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，233 C ．(1，2) D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知在△ABC 中，a ＋b ＝3，A ＝π3，B ＝π4，则a 的值为________．14．在△ABC 中，AB ＝2，点D 在边BC 上，BD ＝2DC ，cos ∠DAC ＝31010，cos C ＝255，则AC ＋BC ＝________．15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a ＝23，C ＝45°，1＋tan A tan B ＝2cb ，则边c 的值为________．16．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且a ，b ，c 满足2b ＝a ＋c ，B ＝π4，则cos A －cos C ＝________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于E ，AB ＝2． (1)求cos ∠CBE 的值； (2)求AE ．18．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin C c ．(1)证明：sin A sin B ＝sin C ； (2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B ．19．(本小题满分12分)为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1 km内不能收到手机信号．检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约 3 km有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以12 km/h的速度沿公路行驶，最长需要多少时间，检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？20．(本小题满分12分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2＋b2＝λab．(1)若λ＝6，B＝5π6，求sin A；(2)若λ＝4，AB边上的高为3c6，求C．21．(本小题满分12分)已知锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tan A＝3cbc2＋b2－a2．(1)求角A的大小；(2)当a＝3时，求c2＋b2的最大值，并判断此时△ABC的形状．22．(本小题满分12分)在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处(3－1) n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2 n mile的C处的缉私船奉命以10 3 n mile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h 的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？一、选择题1． 答案 C解析 ∵k 1＝－sin A a ，k 2＝bsin B ，∴k 1k 2＝－1，∴两直线垂直．故选C ． 2． 答案 D解析 因为a －2b ＋c ＝0，3a ＋b －2c ＝0， 所以c ＝73a ，b ＝53a ．a ∶b ∶c ＝3∶5∶7． 所以sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7．故选D ． 3． 答案 C解析 ∵S △ABC ＝12ac sin B ＝2，∴c ＝42． 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝25， ∴b ＝5．由正弦定理2R ＝bsin B ＝52(R 为△ABC 外接圆的半径)．故选C ． 4． 答案 C解析 由题意知：cos A ·cos B ＝sin 2C2，∴cos A ·cos B ＝1－cos C 2＝12－12cos [180°－(A ＋B )]＝12＋12cos(A ＋B )， ∴12(cos A ·cos B ＋sin A ·sin B )＝12， ∴cos(A －B )＝1．∴A －B ＝0，∴A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形．故选C ． 5． 答案 A解析 ①c sin B <b <c ，故有两解； ②b sin A <a <b ，故有两解； ③b ＝c sin B ，有一解； ④c <b sin C ，无解．所以有两解的是①②．故选A ． 6． 答案 C解析 在△ABC 中，sin B ＝32，0＜B ＜π， ∴B ＝π3或2π3，当B ＝π3时，△ABC 为直角三角形， ∴b ＝a ·sin B ＝32； 当B ＝2π3时，A ＝C ＝π6，a ＝c ＝1．由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 2π3＝3， ∴b ＝3．故选C ． 7． 答案 A解析 由题意：sin B ＋cos B ＝62．两边平方得sin2B ＝12，设顶角为A ，则A ＝180°－2B ．∴sin A ＝sin(180°－2B )＝sin2B ＝12，∴A ＝30°或150°． 故选A ． 8． 答案 D解析 由重心性质可知GA →＋GB →＋GC →＝0，故GA →＝－GB →－GC →，代入aGA →＋bGB→＋33cGC →＝0中，即 (b －a )GB →＋33c －aGC →＝0，因为GB →，GC →不共线，则⎩⎨⎧b －a ＝0，33c －a ＝0，即⎩⎨⎧b ＝a ，c ＝3a ，故由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32．因为0<A <180°，所以A ＝30°．故选D ．9． 答案 C解析 由题意知∠BAC ＝75°，根据正弦定理，得AB ＝BC sin45°sin75°＝8(3－1)， 因为BD →＝3－12BC →，所以BD ＝3－12BC ． 又BC ＝8，所以BD ＝4(3－1)．在△ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos60°＝4(3－3)．故选C ． 10． 答案 C解析 由题意知ac ·cos B ＝3，所以ac ＝3cos B ， S △ABC ＝12ac ·sin B ＝12×3cos B ×sin B ＝32tan B ． 因为S △ABC ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，332，所以tan B ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，3， 所以B ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3．故选C ．11． 答案 A解析 由正弦定理，得(b －c )·b ＝2c 2，得b 2－bc －2c 2＝0，得b ＝2c 或b ＝－c (舍)．由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得c ＝2，则b ＝4． 由cos A ＝58知，sin A ＝398．S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×2×398＝392．故选A ． 12． 答案 A解析 2sin A (a cos C ＋c cos A )＝3b ⇔2sin A ·(sin A cos C ＋sin C cos A )＝3sin B ⇔2sin A sin(A ＋C )＝3sin B ⇔2sin A sin B ＝3sin B ⇔sin A ＝32， 因为△ABC 为锐角三角形， 所以A ＝π3，a 2＝b 2＋c 2－bc ， ① a 2＋c 2＞b 2， ② a 2＋b 2＞c 2， ③由①②③可得2b 2＞bc ，2c 2＞bc ，所以12＜cb ＜2．故选A ． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．答案 33－32解析 由正弦定理，得b ＝a sin B sin A ＝63a ．由a ＋b ＝a ＋63a ＝3，解得a ＝33－32．14． 答案 3＋5解析 ∵cos ∠DAC ＝31010，cos C ＝255， ∴sin ∠DAC ＝1010，sin C ＝55， ∴sin ∠ADC ＝sin(∠DAC ＋∠C ) ＝1010×255＋31010×55＝22． 由正弦定理，得AC sin ∠ADC ＝DCsin ∠DAC，得AC ＝5DC ．又∵BD ＝2DC ，∴BC ＝3DC ． 在△ABC 中，由余弦定理，得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C＝5DC 2＋9DC 2－25DC ·3DC ·255＝2DC 2． 由AB ＝2，得DC ＝1，从而BC ＝3，AC ＝5．即AC ＋BC ＝3＋5． 15． 答案 22解析 在△ABC 中，∵1＋tan A tan B ＝1＋sin A cos Bcos A sin B ＝ cos A sin B ＋sin A cos B cos A sin B ＝sin (A ＋B )cos A sin B ＝sin C cos A sin B ＝2cb ． 由正弦定理得c b cos A ＝2c b ，∴cos A ＝12，∴A ＝60°． 又∵a ＝23，C ＝45°．由a sin A ＝c sin C 得2332＝c 22，∴c ＝22．16． 答案 ±42 解析 ∵2b ＝a ＋c ，由正弦定理得2sin B ＝sin A ＋sin C ，又∵B ＝π4，∴sin A ＋sin C ＝2，A ＋C ＝3π4． 设cos A －cos C ＝x ，可得(sin A ＋sin C )2＋(cos A －cos C )2＝2＋x 2，即sin 2A ＋2sin A sin C ＋sin 2C ＋cos 2A －2cos A cos C ＋cos 2C ＝2－2cos(A ＋C )＝2－2cos 3π4＝2＋x 2．则(cos A －cos C )2＝x 2＝－2cos 3π4＝2， ∴cos A －cos C ＝±42． 三、解答题 17．解 (1)∵∠BCD ＝90°＋60°＝150°，CB ＝AC ＝CD ， ∴∠CBE ＝15°．∴cos ∠CBE ＝cos15°＝cos(45°－30°)＝6＋24． (2)在△ABE 中，AB ＝2， 由正弦定理，得AE sin (45°－15°)＝2sin (90°＋15°)，故AE ＝2sin30°sin75°＝2×126＋24＝6－2．18．解 (1)证明：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，可知原式可以化为cos A sin A ＋cos Bsin B ＝sin Csin C ＝1，因为A 和B 为三角形内角，所以sin A sin B ≠0，则两边同时乘以sin A sin B ，可得sin B cos A ＋sin A cos B ＝sin A sin B ，由和角公式可知，sin B cos A ＋sin A cos B ＝sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，原式得证．(2)因为b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理可知，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35．因为A 为三角形内角，A ∈(0，π)，sin A >0，则sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45，即cos A sin A ＝34，由(1)可知cos A sin A ＋cos B sin B ＝sin C sin C ＝1，所以cos B sin B ＝1tan B ＝14，所以tan B ＝4．19．解 如右图所示，考点为A ，检查开始处为B ，设公路上C ，D 两点到考点的距离为1 km ．在△ABC 中，AB ＝3≈1．732，AC ＝1，∠ABC ＝30°， 由正弦定理，得sin ∠ACB ＝AB sin30°AC ＝32，∴∠ACB ＝120°(∠ACB ＝60°不符合题意)， ∴∠BAC ＝30°，∴BC ＝AC ＝1． 在△ACD 中，AC ＝AD ，∠ACD ＝60°， ∴△ACD 为等边三角形，∴CD ＝1．∵BC 12×60＝5，∴在BC 上需要5 min ，CD 上需要5 min ．∴最长需要5 min 检查员开始收不到信号，并至少持续5 min 该考点才算合格．20．解 (1)由已知B ＝5π6，a 2＋b 2＝6ab ，综合正弦定理得4sin 2A －26sin A ＋1＝0．于是sin A ＝6±24，∵0＜A ＜π6，∴sin A ＜12，∴sin A ＝6－24．(2)由题意可知S △ABC ＝12ab sin C ＝312c 2，得12ab sin C ＝312(a 2＋b 2－2ab cos C )＝312(4ab －2ab cos C )，从而有3sin C ＋cos C ＝2即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝1． 又π6＜C ＋π6＜7π6，∴C ＝π3．21．解 (1)由已知及余弦定理，得sin A cos A ＝3cb 2cb cos A ，sin A ＝32，因为A 为锐角，所以A ＝60°． (2)解法一：由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝332＝2， 所以b ＝2sin B ，c ＝2sin C ＝2sin(120°－B )．c 2＋b 2＝4[sin 2B ＋sin 2(120°－B )] ＝41－cos2B 2＋1－cos (240°－2B )2＝4－cos2B ＋3sin2B＝4＋2sin(2B －30°)．由⎩⎨⎧0°<B <90°，0°<120°－B <90°，得30°<B <90°，所以30°<2B －30°<150°． 当sin(2B －30°)＝1，即B ＝60°时，(c 2＋b 2)max ＝6，此时C ＝60°，△ABC 为等边三角形．解法二：由余弦定理得(3)2＝b 2＋c 2－2bc cos60°＝b 2＋c 2－bc ＝3．∵bc ≤b 2＋c 22(当且仅当b ＝c 时取等号)，∴b 2＋c 2－b 2＋c 22≤3，即b 2＋c 2≤6(当且仅当b ＝c 时等号)． 故c 2＋b 2的最大值为6，此时△ABC 为等边三角形．22．解 设缉私船用t 小时在D 处追上走私船．在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠CAB ＝(3－1)2＋22－2×(3－1)×2×cos120°＝6，∴BC ＝6．在△BCD 中，由正弦定理，得sin ∠ABC ＝AC BC sin ∠BAC ＝22，∴∠ABC ＝45°，∴BC 与正北方向垂直．∴∠CBD ＝120°．在△BCD 中，由正弦定理，得CD sin ∠CBD ＝BD sin ∠BCD， ∴103t sin120°＝10t sin ∠BCD ， ∴sin ∠BCD ＝12，∴∠BCD ＝30°．故缉私船沿北偏东60°的方向能最快追上走私船．。
必修5第一单元《解三角形》单元复习(参考答案)
必修5第一单元《解三角形》单元复习例习题（参考答案）例1：解：在△ABC 中，由正弦定理，得sin B ＝b a sin A ＝623×12＝32.又A ＝30°，且a ＜b ， ∴B ＝60°或B ＝120°.①当B ＝60°时，C ＝90°，△ABC 为直角三角形，故S △ABC ＝12ab ＝6 3. ②当B ＝120°时，C ＝30°，△ABC 为等腰三角形，故S △ABC ＝12ab sin C ＝12×23×6sin 30°＝3 3. 例2：解：(1)由cos C ＝255得sin C ＝55.sin A ＝sin(180°－45°－C )＝22(cos C ＋sin C )＝31010. 由正弦定理知BC ＝AC sin B ·sin A ＝1022·31010＝3 2. (2)AB ＝AC sin B ·sin C ＝1022·55＝2，BD ＝12AB ＝1.由余弦定理知CD ＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC cos B ＝ 1＋18－2×1×32×22＝13. 例3：解：(1)法一：在△ABC 中，由cos A －2cos C cos B＝2c －a b 及正弦定理可得 cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B， 即cos A sin B －2cos C sin B ＝2sin C cos B －sin A cos B .则cos A sin B ＋sin A cos B ＝2sin C cos B ＋2cos C sin B ，即sin(A ＋B )＝2sin(C ＋B )，而A ＋B ＋C ＝π，则sin C ＝2sin A ，即sin C sin A＝2. 法二：在△ABC 中，由cos A －2cos C cos B ＝2c －a b 可得 b cos A －2b cos C ＝2c cos B －a cos B由余弦定理可得b 2＋c 2－a 22c －a 2＋b 2－c 2a ＝a 2＋c 2－b 2a －a 2＋c 2－b 22c， 整理可得c ＝2a ，由正弦定理可得sin C sin A ＝c a＝2. 法三：利用教材习题结论解题，在△ABC 中有结论a ＝b cos C ＋c cos B ，b ＝c cos A ＋a cos C ，c ＝a cos B ＋b cos A .由cos A －2cos C cos B＝2c －a b 可得b cos A －2b cos C ＝2c cos B －a cos B ， 即b cos A ＋a cos B ＝2c cos B ＋2b cos C ，则c ＝2a ，由正弦定理可得sin C sin A ＝c a＝2. (2)由c ＝2a 及cos B ＝14，b ＝2可得4＝c 2＋a 2－2ac cos B ＝4a 2＋a 2－a 2＝4a 2， 则a ＝1，c ＝2. ∴S ＝12ac sin B ＝12×1×2×1－cos 2B ＝154. 例4：[解] 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝45°，若设AB ＝h ，则BC ＝h ；在Rt △ABD 中，∠ADB ＝30°，则BD ＝ 3 h .在△BCD 中，由余弦定理可得CD 2＝BC 2＋BD 2－2·BC ·BD ·cos ∠CBD ，即2002＝h 2＋(3h )2－2·h ·3h ·32，所以h 2＝2002，解得h ＝200(h ＝－200舍去)即塔高AB ＝200米． 巩固作业： 1、解析：选C ∵a 2＝b 2＋c 2＋bc ，∴由余弦定理的推论得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－b 2－c 2－bc 2bc ＝－bc 2bc ＝－12，∴A ＝2π3. 2．解析：选A ∵A ＝180°－45°－60°＝75°∴A ＞C ＞B ∴边b 最短．3．解析：选C b sin A ＝4×sin 60°＝4×32＝2 3.又a ＝6，且6＜23，故△ABC 无解． 4．解析：选D 在△ABC 中，由余弦定理得cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝49＋25－362×7×5＝1935 ∴AB ·BC ＝－AB BC cos B ＝－7×5×1935＝－19. 5．解析：选B 设1,3，a 所对的角分别为∠C 、∠B 、∠A ，由余弦定理知a 2＝12＋32－2×3cos A ＜12＋32＝10，32＝1＋a 2－2×a cos B ＜1＋a 2，∴22＜a ＜10.6．解析：选D 设炮台顶部为A ，两条船分别为B 、C ，炮台底部为D ，可知∠BAD ＝45°，∠CAD ＝60°，∠BDC ＝30°，AD ＝30.分别在Rt △ADB ，Rt △ADC 中，求得DB ＝30，DC ＝30 3.在△DBC 中，由余弦定理得 BC 2＝DB 2＋DC 2－2DB ·DC cos 30°，解得BC ＝30. 故选D.7．解析：S △ABC ＝12·|AB |·|AC |·sin A ，即3＝12·|AB |·|AC |·32，所以|AB |·|AC |＝4， 于是AB ·AC ＝AB ·AC ·cos A ＝4×12＝2. 答案：2 8．解析：由已知得sin 2 A －sin 2 B ＝sin 2 C ，根据正弦定理知sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R， 所以⎝⎛⎭⎫a 2R 2－⎝⎛⎭⎫b 2R 2＝⎝⎛⎭⎫c 2R 2，即a 2－b 2＝c 2，故b 2＋c 2＝a 2.所以△ABC 是直角三角形．答案：直角 9、[解] A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(60°＋75°)＝45°.由b sin B ＝a sin A 得，b ＝a sin B sin A ＝8×sin 60°sin 45°＝46，由a sin A ＝c sin C得， c ＝a sin C sin A ＝8×sin 75°sin 45°＝8×2＋6422＝4(3＋1)． ∴A ＝45°，b ＝46，c ＝4(3＋1)．10、解：在△ABC 中，根据余弦定理，有AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 120°，可得(103t )2＝102＋(10t )2－2×10×10t cos 120°，整理得2t 2－t －1＝0，解得t ＝1或t ＝－12(舍去)． 舰艇需1小时靠近货船．此时AB ＝103，BC ＝10，又AC ＝10，所以∠CAB ＝30°，所以护航舰航行的方位角为75°.11、解：(1)根据正弦定理2b ·cos A ＝c ·cos A ＋a ·cos C ⇒2cos A sin B ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin (A ＋C )＝sin B ，∵sin B ≠0，∴cos A ＝12，∵0°＜A ＜180°，∴A ＝60°. (2)由余弦定理得：7＝a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos 60°＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ，把 b ＋c ＝4代入得bc ＝3，故bc ＝3.。
(必修5)解三角形 综合提高训练题(含详细答案)Microsoft Word 文档 (3)
（数学5必修）第一章：解三角形综合提高训练题一、选择题1．A 为△ABC 的内角，则A A cos sin +的取值范围是（ ）A ．)2,2(B ．)2,2(-C ．]2,1(-D ．]2,2[-2．在△ABC 中，若,900=C 则三边的比c b a +等于（ ） A ．2cos 2B A + B ．2cos 2B A - C ．2sin 2B A + D ．2sin 2B A - 3．在△ABC 中，若8,3,7===c b a ，则其面积等于（ ）A ．12B ．221 C ．28 D ．364．在△ABC 中，090C ∠=，00450<<A ，则下列各式中正确的是（ ） A ．sin cos A A > B ．sin cos B A >C ．sin cos A B >D ．sin cos B B >5．在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则A ∠=（ ）A ．090B ．060C ．0120D ．0150 6．在△ABC 中，若22tan tan ba B A =，则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰或直角三角形C ．不能确定D ．等腰三角形二、填空题1．在△ABC 中，若,sin sin B A >则A 一定大于B ，对吗？填_________（对或错）2．在△ABC 中，若,1cos cos cos 222=++C B A 则△ABC 的形状是______________。
3．在△ABC 中，∠C 是钝角，设,cos cos ,sin sin ,sin B A z B A y C x +=+== 则z y x ,,的大小关系是___________________________。
4．在△ABC 中，若b c a 2=+，则=+-+C A C A C A sin sin 31cos cos cos cos ______。
高中必修五——解三角形(含答案)
解三角形一．解答题（共5小题）1．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，O为△ABC三边中垂线的交点．（1）若b﹣c=a，2sinB=3sinC，求cosA的值；（2）若b2﹣2b+c2=0，求•的取值范围．2．已知函数f（x）=sin2x+2cos2x．（Ⅰ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）设a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，f（c）=3，c=1，ab=2，求a，b的值．（Ⅰ）若a=2，b=3，求△ABC的外接圆的面积；（Ⅱ）若c=2，sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．4．在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos2A=sin2B+cos2C+sinAsinB．（I）求角C的大小；（Ⅱ）若c=，求△ABC周长的取值范围．（Ⅰ）若△ABC的面积等于，求a和b；（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求A；（Ⅲ）若ab=，求△ABC的周长．解三角形参考答案与试题解析一．解答题（共5小题）1．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，O为△ABC三边中垂线的交点．（1）若b﹣c=a，2sinB=3sinC，求cosA的值；（2）若b2﹣2b+c2=0，求•的取值范围．【分析】（1）利用正弦定理可求2b=3c，结合已知可得a=2c，b=，用余弦定理即可求值得解．（2）如图所示，延长AO交外接圆于D．由于AD是⊙O的直径，可得∠ACD=∠ABD=90°，于是cos，cos∠BAD=．可得=•（﹣）=2﹣2，．再利用c2=2b﹣b2，化为=（b﹣）2﹣．由于c2=2b﹣b2＞0，解得0＜b＜2．令f（b）=（b﹣）2﹣．利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）∵2sinB=3sinC，∴2b=3c．又∵b﹣c=a，∴a=2c，b=，∴cosA==﹣．（2）∵O为△ABC三边中垂线的交点，∴O为三角形外接圆的圆心．如图所示，延长AO交外接圆于D，连接BD、CD，∵AD是圆O的直径，∴∠ACD=∠ABD=90°，cos，cos∠BAD=．∵c2=2b﹣b2，∴=•（﹣AB）=•﹣•=2﹣2=b2﹣c2=b2﹣（2b﹣b2）=b2﹣b=（b﹣）2﹣．∵c2=2b﹣b2＞0，∴0＜b＜2，设f（b）=（b﹣）2﹣，又f（0）=0，f（2）=2，∴的取值范围是：[﹣，2]．【点评】本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的外接圆的性质、向量的运算法则、数量积运算、二次函数的单调性等基础知识与基本方法，属于难题．2．已知函数f（x）=sin2x+2cos2x．（Ⅰ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）设a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，f（c）=3，c=1，ab=2，求a，b的值．【分析】（Ⅰ）利用三角函数间的关系将f（x）化简为f（x）=2sin（2x+）+1，由x∈[0，]；可求得2x+∈[，]，从而可求得函数f（x）的值域．（Ⅱ）由f（C）=3可求得C，利用余弦定理可求得a2+b2=7，通过解方程可求得a、b的值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1（2分）=2sin（2x+）+1（4分）∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[﹣，1]，（6分）∴函数f（x）的值域为[0，3]．（7分）（Ⅱ）∵f（C）=3，∴2sin（2C+）+1=3，即sin（2C+）=1．∵0＜C＜π，∴2C+∈[，]，∴2C+=，∴C=．（10分）又c2=a2+b2﹣2abcosC，c=1，ab=2，cosC=，∴a2+b2=7．（12分）由，得或．（14分）【点评】本题考查三角函数间的关系，考查正弦函数的性质，考查余弦定理与解方程得能力，属于难题．3．在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知．（Ⅰ）若a=2，b=3，求△ABC的外接圆的面积；（Ⅱ）若c=2，sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）a=2，b=3，C=，由余弦定理可求得c，再利用正弦定理可求得△ABC的外接圆的半径，从而可求△ABC的外接圆的面积；（Ⅱ）利用三角函数间的关系将条件转化为：sinBcosA=2sinAcosA，对cosA分cosA=0与cosA≠0讨论，再分别借助正弦定理，通过解方程组与再由三角形的面积公式即可求得△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵a=2，b=3，C=，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=4+9﹣2×2×3×=7，∴c=，设其外接圆半径为R，则2R=，故R=，∴△ABC的外接圆的面积S=πR2=；（Ⅱ）∵sinC+sin（B﹣A）=sin（B+A）+sin（B﹣A）=2sinBcosA=2sin2A=4sinAcosA，∴sinBcosA=2sinAcosA当cosA=0时，∠A=，∠B=，a=，b=，可得S=；当cosA≠0时，得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a…①，∵c=2，∠C=60°，c2=a2+b2﹣2abcosC∴a2+b2﹣ab=4…②，联立①①解得a=，b=，∴△ABC的面积S=absinC=absin60°=．综上可知△ABC的面积为．【点评】本题考查余弦定理与正弦定理，考查转化与方程思想的综合运用，考查综合分析与运算能力，属于难题．4．在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos2A=sin2B+cos2C+sinAsinB．（I）求角C的大小；（Ⅱ）若c=，求△ABC周长的取值范围．【分析】（I）由三角函数的平方关系、余弦定理即可得出；（II）利用正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性即可得出．【解答】解：（I）∵cos2A=sin2B+cos2C+sinAsinB，∴1﹣sin2A=sin2B+1﹣sin2C+sinAsinB，∴sin2A+sin2B﹣sin2C=﹣sinAsinB，∴a2+b2﹣c2=﹣ab，∴=，又0＜C＜π，∴．（2）∵，∴a=2sinA，b=2sinB，则△ABC的周长L=a+b+c=2（sinA+sinB）+=2（sinA+）+=，∵，，∴，即，∴△ABC周长的取值范围是．【点评】熟练掌握三角函数的平方关系、正、余弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性等是解题的关键．5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知c=2，C=60°．（Ⅰ）若△ABC的面积等于，求a和b；（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求A；（Ⅲ）若ab=，求△ABC的周长．【分析】（I）由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，化为a2+b2﹣ab=4．由于△ABC 的面积等于，可得=，即ab=4，联立即可解得．（II）由sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，可得sin（A+B）+sin（B﹣A）=2sin2A，化为cosA=0或cosB=2sinA．当cosA=0，A=90°，当cosB=2sinA，由正弦定理可得：b=2a，代入a2+b2﹣ab=4，解得a，再利用正弦定理可得sinA==，解得A，由a ＜c，A只能是锐角．（III）由a2+b2﹣ab=4．与ab=，解得a+b=3，即可得出．【解答】解：（I）由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，∴4=a2+b2﹣2abcos60°，化为a2+b2﹣ab=4．∵△ABC的面积等于，∴=，化为ab=4，联立，解得a=b=2．（II）∵sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，∴sin（A+B）+sin（B﹣A）=2sin2A，∴2sinBcosA=4sinAcosA，∴cosA=0或sinB=2sinA．当cosA=0，A=90°，当sinB=2sinA，由正弦定理可得：b=2a，代入a2+b2﹣ab=4，解得，则sinA==，解得A=30°，或A=150°，∵a＜c，∴A＜C，∴A=30°．综上可得：A=90°或A=30°．（III）由a2+b2﹣ab=4．可得：（a+b）2﹣3ab=4，由ab=，解得a+b=3，∴△ABC的周长=a+b+c=3+2=5．【点评】本题综合考查了正弦定理、余弦定理、三角形的面积计算公式、诱导公式、等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．。
必修5《解三角形》综合测试题及解析【教师版】
专题复习 正弦定理和余弦定理1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形为：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.3．S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (R 是三角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B .两类问题在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角． 两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．高考模拟1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝45°，S △ABC ＝2，则b 等于___5___．解析 ∵S ＝12ac sin B ＝2，∴12×1×c ×sin 45°＝2. ∴c ＝4 2.∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝1＋32－2×1×42×cos 45°. ∴b 2＝25，b ＝5.2．在△ABC 中，A ，B ，C 为内角，且sin A cos A ＝sin B cos B ，则△ABC 是____等腰或直角____三角形．解析 由sin A cos A ＝sin B cos B 得sin 2A ＝sin 2B ＝sin(π－2B )，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 为等腰或直角三角形．3．已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α等于____－34____． 解析 ∵sin α＋2cos α＝102，∴sin 2α＋4sin α·cos α＋4cos 2α＝52. 化简，得4sin 2α＝－3cos 2α，∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C 等于___725_____．解析 先用正弦定理求出角B 的余弦值，再求解．由b sin B ＝c sin C，且8b ＝5c ，C ＝2B ， 所以5c sin 2B ＝8c sin B ，所以cos B ＝45. 所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2 B －1＝725.5．已知tan β＝43，sin(α＋β)＝513，其中α，β∈(0，π)，则sin α的值为___6365___．解析 依题意得sin β＝45，cos β＝35；注意到sin(α＋β)＝513<sin β，因此有α＋β>π2(否则，若α＋β≤π2，则有0<β<α＋β≤π2，0<sin β<sin(α＋β)，这与“sin(α＋β)<sin β”矛盾)，则cos(α＋β)＝－1213，sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)· cos β－cos(α＋β)sin β＝6365.6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知a 2－c 2＝2b ，且sin A cos C ＝3cos A sin A ，求b ＝___4___.解析 在△ABC 中，sin A cos C ＝3cos A sin C ，则由正弦定理及余弦定理有a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝3·b 2＋c 2－a 22bc ·c ，化简并整理得2(a 2－c 2)＝b 2.又由已知a 2－c 2＝2b ，则4b ＝b 2，解得b ＝4或b ＝0(舍)．7．若α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝32，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝－12，则cos (α＋β)＝___－12__. 解析 ∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴－π4<α－β2<π2，－π2<α2－β<π4，由cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝32和sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝－12得α－β2＝±π6，α2－β＝－π6，当α－β2＝－π6，α2－β＝－π6时，α＋β＝0，与α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2矛盾；当α－β2＝π6，α2－β＝－π6时，α＝β＝π3，此时cos (α＋β)＝－12.8．在△ABC 中，AD 为BC 边上的高线，AD ＝BC ，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，则b c ＋cb 的取值范围是__[2，5]___．解析 因为AD ＝BC ＝a ，由12a 2＝12bc sin A ，解得sin A ＝a 2bc ，再由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12⎝⎛⎭⎫b c ＋c b －a 2bc ＝12⎝⎛⎭⎫b c ＋c b －sin A ， 得b c ＋cb＝2cos A ＋sin A ，又A ∈(0，π)， 所以由基本不等式和辅助角公式得b c ＋cb 的取值范围是[2，5]．9．(2010·江苏卷)某兴趣小组要测量电视塔AE 的高度H (单位：m)．如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度h ＝4 m ，仰角∠ABE ＝α，∠ADE ＝β. (1)该小组已测得一组α，β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H 的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d (单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精度．若电视塔的实际高度为125 m ，试问d 为多少时，α－β最大？ 解 (1)由AB ＝H tan α，BD ＝h tan β，AD ＝H tan β及AB ＋BD ＝AD ，得H tan α＋h tan β＝Htan β，解得H ＝h tan αtan α－tan β＝4×1.241.24－1.20＝124.因此，算出的电视塔的高度H 是124 m. (2)由题设知d ＝AB ，得tan α＝Hd .由AB ＝AD －BD ＝H tan β－htan β，得tan β＝H －h d ，所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan α tan β＝hd ＋H(H －h )d≤h2H (H －h )，当且仅当d ＝H (H －h )d ，即d ＝H (H －h )＝125×(125－4)＝555时，上式取等号，所以当d ＝555时，tan(α－β)最大．因为0＜β＜α＜π2，则0＜α－β＜π2，所以当d ＝555时，α－β最大．故所求的d 是555m.10．(2012·江苏卷)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝3BA →·BC →.(1)求证：tan B ＝3tan A ；(2)若cos C ＝55，求A 的值． (1)证明 因为AB →·AC →＝3BA →·BC →，所以AB ·AC ·cos A ＝3BA ·BC ·cos B ， 即AC ·cos A ＝3BC ·cos B ，由正弦定理知AC sin B ＝BC sin A ，从而sin B cos A ＝3sin A cos B ，又因为0＜A ＋B ＜π，所以cos A ＞0，cos B ＞0， 所以tan B ＝3tan A . (2)解 因为cos C ＝55，0＜C ＜π，所以sin C ＝1－cos 2C ＝255， 从而tan C ＝2，于是tan[π－(A ＋B )]＝2，即tan(A ＋B )＝－2，亦即tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－2，由(1)得4tan A 1－3tan 2A ＝－2，解得tan A ＝1或－13， 因为cos A ＞0，故tan A ＝1，所以A ＝π4.11．△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B .(1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值． 解 (1)由已知及正弦定理，得 sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，①又A ＝π－(B ＋C )， 故sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ．② 由①，②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B . 又B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(2)△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝24ac . 由已知及余弦定理，得4＝a 2＋c 2－2ac cos π4.又a 2＋c 2≥2ac ，故ac ≤42－2，当且仅当a ＝c 时，等号成立．因此△ABC 面积的最大值为2＋1.《解三角形》综合测试题（A ）Ⅰ卷（选择题）一、选择题（每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.某三角形的两个内角为o45和o60，若o45角所对的边长是6，则o60角所对的边长是 【 A 】A ．B ．C ．D ． 答案：A .解析：设o60角所对的边长是x ，由正弦定理得o o6sin 45sin 60x=，解得x =.故选A .2.在ABC ∆中，已知a =10c =，o30A =，则B 等于 【 D 】 A ．o 105 B ．o60 C ．o15 D ．o105或o15 答案：D .解析：在ABC ∆中，由sin sin a c A C =，得sin sin c A C a ==，则o 45C =或o135C =.故 当o45C =时，o105B =；当o135C =时，o15B =.故选D .3.在ABC ∆中，三边长7AB =，5BC =，6AC =，则AB BC ⋅的值等于 【 D 】A ．19B ．14-C ．18-D ．19- 答案：D .解析：由余弦定理得49253619cos 27535B +-==⨯⨯，故AB BC ⋅= ||AB ⋅ ||cos(BC π )B -=1975()1935⨯⨯-=-.故选D .4.在ABC ∆中，sin <sin A B ，则 【 A 】 A ．<a b B ．>a b C ．a b ≥ D ．a 、b 的大小关系不确定 答案：A .解析：在ABC ∆中，由正弦定理2sin sin a b R A B ==，得sin 2a A R =，sin 2bB R=，由sin A <sin B ，得<22a bR R，故<a b .故选A .5.ABC ∆满足下列条件：①3b =，4c =，o 30B =；②12b =，9c =，o60C =；③b =， 6c =，o 60B =；④5a =，8b =，o30A =.其中有两个解的是 【 B 】A ．①②B ．①④C ．①②③D ．②③ 答案：B .解析：① sin <<c B b c ，三角形有两解；②o<sin60c b ，三角形无解；③b =sin c B ，三角形只有一解；④sin <<b A a b ，三角形有两解.故选B .6.在ABC ∆中，已知2220b bc c --=，且a =7cos 8A =，则ABC ∆的面积是 【 A 】A ．2B C ．2 D ．3 答案：A .解析：由2220b bc c --=，得(2)()0b c b c -+=，故2b c =或b c =-(舍去)，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-及已知条件，得23120c -=，故2c =，4b =，又由7cos 8A =及A 是ABC ∆的内角可得sin 8A =，故1242S =⨯⨯82=.故选A . 7.设a 、1a +、2a +是钝角三角形的三边长，则a 的取值范围为 【 B 】 A ．0<<3a B ．1<<3a C ．3<<4a D ．4<<6a 答案：B .解析：设钝角为C ，由三角形中大角对大边可知C 的对边为2a +，且cos C =222(1)(2)2(1)a a a a a ++-+⋅⋅+(3)(1)<02(1)a a a a -+=+，因为>0a ，故1>0a +，故0<<3a ，又(1)>+2a a a ++，故>1a ，故1<<3a .故选B .8.ABC ∆中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，且4a =，5b c +=，tan tan A B ++t a n t a nA B =⋅，则ABC ∆的面积为 【 C 】A ．32 B ． C D ．52 答案：C .解析：由已知，得tan tan tan tan )A B A B +=-⋅，即t a n ()A B +=又A 、B 是ABC ∆的内角，故o 120A B +=，则o 60C =，由2224(5)24(5)c c c =+--⨯⨯-ocos60，解得72c =，故32b =，故113sin 4222ABC S ab C ∆==⨯⨯=.故选C . 第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（每小题5分，共30分）9.在ABC ∆中，1sin 3A =，cos 3B =，1a =，则b =_________.解析：由cos B =，得sin 3B ===，由sin sin a b A B =，得b =1sin 31sin 3a BA==10.ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c =b =o 120B =，则a =______.解析：由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即2o62cos120a =+-，即24a +-0=，解得a =(舍去负值).11.如果ABC ∆的面积是222S =C =____________.答案：o30.解析：由题意得2221sin 2ab C =cos C C =，故tan C =，故o30C =.12.ABC ∆的三内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若o60A =，1b =，三角形的面积S =sin sin sin a b cA B C++++的值为____________.. 解析：由o 11sin sin 6022S bc A c ===4c =.由余弦定理得22a b =+22cos c bc A - 13=，故a =故sin sin sin a b c A B C ====，由等比性质，得sin sin sin sin a b c a A B C A ++==++14.ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，向量1)m =- ，(cos ,sin )n A A =，若m n ⊥，且cos cos sin a B b A c C +=，则B =____________.答案：6π或o30.解析：由m n ⊥ 得0m n ⋅=sin 0A A -=，即sin 0A A -=，故2sin()3A π-0=，故3A π=.由cos cos sin aB b A cC +=，得sin cos sin cos A B B A +=2sin C ，即2sin()sin A B C +=，故2sin sin C C =，故sin 1C =，又C 为ABC ∆的内角，故2C π=，故()()326B AC πππππ=-+=-+=.三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本题满分12分）在ABC ∆中，已知2a =，c =o 45A =，解此三角形.解：由正弦定理，得sin sin 222c A C a ==⨯=o 60C ∠=或o120. 当o60C ∠=时，o o 180()75B A C ∠=-∠+∠=，由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-o46224=+-⨯=+1b =.当o120C ∠=时，o o 180()15B A C ∠=-∠+∠=，由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-o46224=+-⨯=-1b =.故1b =，o60C ∠=，o75B ∠=或1b =，o120C ∠=，o15B ∠=.17.（本题满分14分）a 、b 、c 是ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边，S 是ABC ∆的面积，若4a =，5b =，S =c .解：由11sin 45sin 22S ab C C ==⋅⋅⋅=sin C =，则1cos 2C =或1cos 2C =-.（1）当1cos 2C =时，由余弦定理，得211625245212c =+-⋅⋅⋅=，故c =；（2）当1cos 2C =-时，由余弦定理，得211625245612c =++⋅⋅⋅=，故c =综上可知c .20.（本题满分14分）在锐角ABC ∆中，边a 、b 是方程220x -+=的两根，A 、B 满足2sin()A B +0=，解答下列问题：（1）求C 的度数；（2）求边c 的长度； （3）求ABC ∆的面积.解：（1）由题意，得sin()A B +=，因ABC ∆是锐角三角形，故o 120A B +=，o60C =；（2）由a 、b 是方程220x -+=的两根，得a b +=2a b ⋅=，由余弦定理，得22222cos ()31266c a b ab C a b ab =+-=+-=-=，故c =（3）故1sin 2ABC S ab C ∆==12222⨯⨯=.《解三角形》综合测试题（B ）第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1.在ABC ∆中，已知sin 1B =，3b =，则此三角形 【 D 】A .无解B .只有一解C .有两解D . 解的个数不确定答案：D .解析：由sin 1B =得o90B =，只知一边3b =，故三角形解的个数不确定.故选D .2.在ABC ∆中，已知o60A =，19b =，ABC ∆的面积S =，则a 等于 【 C 】 A .84 B .48 CD答案：C . 解析：由o 11sin 19sin 6022S bc A c ==⋅⋅=84c =，故222a b c =+o 2cos60bc - 5821=，故a =故选C .3.在ABC ∆中，o60A =，a =b =B 等于 【 A 】 A . o45 B .o 135 C .o 45或o135 D . 以上答案都不对 答案：A .解析：由正弦定理可求得sin B =<b a ，故o <60B A =，故o45B =.故选A . 4.在ABC ∆中，sin sin sin cos cos B CA B C+=+，则ABC ∆一定是 【 B 】A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 以上都有可能 答案：B .解析：由已知根据正、余弦定理得22222222b c a a c b a b cac ab+=+-+-+，整理得2222()()b a b c a c -+- ()bc b c =+，即233()()()()b c a b c bc b c bc b c +=+++=+，故22222a b bc c bc b c =-++=+，故ABC ∆为直角三角形. 故选B .5.在ABC ∆中，lg lg lg(sin )a b B -==-B 为锐角，则A 为 【 D 】 A . o90 B . o45 C . o60 D . o30 答案：D . 解析：由已知得sin a B b ==，又B 为锐角，故o45B =；又sin sin a A b B ==，故1sin 2A =，故o 30A =.故选D .6.在锐角三角形ABC 中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，设2B A =，则ba的取值 范围是 【 D 】 A . (2,2)- B . (0,2) C .D. 答案：D .解一：因2B A =，故o o 1801803C A B A =--=-，故o o o o o o o 0<<900<2<900<1803<90A A A ⎧⎪⎨⎪-⎩，解得o30<o <45A，故sin 2cos sin b BA a A==∈，故选D . 解二：由正弦定理得sin sin 22cos sin sin b B A A a A A ===，因02<<B π，故022<<A π，即0< 4<A π，又A B C π++=，故3C A π=-，由题意得032<<A ππ-，故63<<A ππ，又04<<A π，故64<<A ππ<cos <A<2cos <A ，即2cos A ∈，即ba∈.故选D . 7.在ABC ∆中，若3sin 4B =，10b =，则边长c 的取值范围是 【C 】A . 15(,)2+∞B . (10,)+∞C . 40(0,]3D . (0,10)答案：C .解析：由正弦定理可得40sin 3c C =，因0<sin 1C ≤，故400<3c ≤.故选C . 8.在ABC ∆中，若223coscos 222C A a c b +=，则a 、b 、c 的关系是 【 A 】 A .2a c b += B . a b c += C . 2b c a +=D . a b c ==答案：A . 解析：由已知得1cos 1cos 3222C A a c b ++⋅+⋅=，即(1cos )(1cos )3a C c A b +++=，由正弦定 理，得sin (1cos )sin (1cos )3sin A C C A B +++=，故sin sin cos sin A A C C +++sin cos C A3sin B =，即sin sin sin()3sin A C A CB +++=，又sin()sin AC B +=，故sin sin A C += 2sin B ，由正弦定理，得2a c b +=.故选A .第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在横线上）9.三角形一边长为14，它的对角为60，另两边之比为8:5，则此三角形的面积为____________.答案：解析：设另两边的长为8x 和5x ，由余弦定理，得222o2(8)(5)14cos6080x x x +-=，解得2x =，则另两边的长为16和10，故此三角形的面积为o11610sin 602S =⨯⨯⨯=10.在ABC ∆中，50a =，o 30B =，o120C =，则BC 边上的高的长度是__________.答案：.解析：由已知得o30A =，由正弦定理得o o 50sin 30sin120AB=，解得AB =BC 边上的高12AD AB == 11.三角形的两边分别为5和3，它们的夹角的余弦值是方程25760x x --=的根，则此三角形的 面积S 为___________. 答案：6.解析：由方程解得3cos 5α=-，则4sin 5α=，故1453625S =⨯⨯⨯=.12.在ABC ∆中，已知2220b bc c --=，且a =7cos 8A =，则ABC ∆的面积是_________.解析：由2220b bc c --=，得2b c =；由余弦定理2222cos b c a bc A +-=，得2246c c +-7228c c =⨯⨯⨯，解得2c =，故4b =，故1242S =⨯⨯= 三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．（本题满分10分）在ABC ∆中，已知3sin 5A =，sin cos <0A A +，a =5b =.求c .解：因为sin cos <0A A +，且3sin 5A =，故4cos 5A ==-；又a =5b =，故由2222cos a b c bc A =+-，得2224525()5c c =+-⨯⨯⨯-，即28200c c +-=，解得2c =或10(c =-舍去).故2c =. 点评：解此题的关键是由3sin 5A =求出cos A ，应注意根据sin cos <0A A +先判断cos A 的正负，以防产生漏解.18．（本题满分14分）设锐角三角形的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2sin a b A =. （1）求B 的大小；（2）求cos sin A C +的取值范围.解：（1）由2sin a b A =根据正弦定理，得sin 2sin sin A B A =，故1sin 2B =.因ABC ∆为锐角三 角形，故6B π=.（2）1cos sin cos sin()cos sin()cos cos 662A C A A A A A A πππ+=+--=++=++2A)3A π=+.由ABC ∆为锐角三角形，知<<22B A ππ-，而226B πππ-=-3π=，故<<32A ππ，故25<<336A πππ+，故1<sin()<232A π+，<)23A π+3<2.故cos sin A C +的取值范围是3()22.。
高一必修五解三角形复习题及答案
高一必修五解三角形复习题及答案解三角形一、选择题.本大题共10小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c2，b6，B120等于【】A．6B．2C．3D．2，则a2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A【】A．1B．2C．313，a3，b1，则c2，b3，B60，那么角A等于【】B．90C．45D．304.在三角形ABC中，AB5，AC3，BC7，则BAC的大小为【】A．23B．56C．34D．35．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c2a，则coB【】1322A．4B．4C．4D．311，tanB，则角C等于【】32B．120C．45D．307.在ABC中，AB=3，AC=2，BC=10，则ABAC【】A．32B．23C．23D．328.若△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且acoAbcoB，则【】A．△ABC为等腰三角形B．△ABC为直角三角形D．△ABC为等腰三角形或直角三角形C．△ABC为等腰直角三角形9.若tanAtanB>1，则△ABC【】A.一定是锐角三角形C.一定是等腰三角形B.可能是钝角三角形D.可能是直角三角形10.△ABC的面积为Sa2(bc)2，则tanA．12B．13A＝【】21C．4D．16二、填空题：本大题共4小题．11.在△ABC中，三个角A,B,C的对边边长分别为a3,b4,c6,则bccoAcacoBabcoC的值为.12．在△ABC中，若tanA1，C150，BC1，则AB3．13.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若则coA_________________。
3bccoAacoC，14．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，根据下列条件判断三角形形状：(1).(abc)(bca)3bc，且inA2inBcoC，则△ABC是_______；(2).(ab)in(AB)(ab)in(AB)，则△ABC是_______.三、解答题：本大题共6小题．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15.已知△ABC的周长为21，且inAinB2inC．⑴．求边AB的长；⑵．若△ABC的面积为22221inC，求角C的度数．615.【解】⑴．由题意，及正弦定理，得ABBCAC21，BCAC2AB，两式相减，得AB1．⑵．由△ABC的面积111BCACinCinC，得BCAC，263AC2BC2AB2由余弦定理，得coC2ACBC(ACBC)22ACBCAB21，2ACBC2所以C60．3，binA4．16．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acoB⑴．求边长a；⑵．若△ABC的面积S10，求△ABC的周长l．，C是三角形ABC三内角，向量m1，3，ncoA，inA17.已知A，B，且mn1⑴．求角A；⑵．若18.在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c2，C⑴．若△ABC的面积等于3，求a，b；⑵．若inCin(BA)2in2A，证明：△ABC是直角三角形．19．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2binA．⑴．求B的大小；⑵．求coAinC的取值范围．1in2B3，求tanBco2Bin2B．320.如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，20海里，当当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1处，此时两船相距甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？参考答案题号答案11.【答案：1D2B3C4A5B6A7D8D9A10C61】212.【答案：10】213.【答案：3】314.【答案：⑴等边三角形；⑵等腰三角形或直角三角形】15.【解】⑴．由题意，及正弦定理，得ABBCAC21，BCAC2AB，两式相减，得AB1．⑵．由△ABC的面积111BCACinCinC，得BCAC，263AC2BC2AB2由余弦定理，得coC2ACBC(ACBC)22ACBCAB21，2ACBC2所以C60．16．【解】⑴．acoB3，binA4两式相除，有：3acoBacoBbcoB14binAinAbinBbtanB又acoB3，故coB0，则coB34，inB，55则a5．⑵．由S1acinB，得到c5．2a2c2b2由coB，解得b25，2ac故l1025．，3coA，inA1，3inAcoA1，17.【解】⑴.∵mn1∴131，1，2inAcoA1inA2262∵0A，6612inBcoB3，整理得in2BinBcoB2co2B0,⑵.由题知22coBinBcoB0，∴tan2BtanB20，∴tanB2或tanB1，而tanB1使coBinB0，舍去，∴tanB2.18.【解】⑴．由余弦定理及已知条件得，abab4，又因为△ABC的面积等于3，所以2222A5，∴A，A.36661abinC3，得ab4．2a2b2ab4，联立方程组解得a2，b2．ab4，⑵．由题意得in(BA)in(BA)4inAcoA，即inBcoA2inAcoA，当coA0时，A，△ABC是直角三角形；2当coA0时，得inB2inA2in(BC)2inBcoC2coBinC，C代入上式得inBinB3coB，故coB0，B，32△ABC是直角三角形.19．【解】⑴．由a2binA，根据正弦定理得inA2inBinA，所以inB由△ABC为锐角三角形得B1，2π．6⑵．coAinCcoAinAcoAinA 613coAcoAinA223inA．3由△ABC为锐角三角形知，0A2，0CAB2，解得A322A，336所以1333，inA3inA3，23223233故coAinC的取值范围为2，．220.【解】如图，连结A1B1，由已知A2B2102，A1A230220222，60A1A2A2B1，又∠A△A1A2B2是等边三角形，1A2B218012060，A1B2A1A2102，由已知，A，，B20∠BAB105604511112在△A1B2B1中，由余弦定理，222B1B2AB11AB122AB12AB12co45202(102)2220222200．22B1B2102．故乙船的速度的大小为10260302（海里/小时）．2022.【选做题】【解法一】如图，在等腰△ABC中，BAC36，ABCACB72，ABC的角平分线交AC于D，设BC＝1，AB＝某，利用此图来求co36.易知△ABC与△BCD相似，故ABBC某151，即，解得某.BCCD1某12某2某21251△ABC中，由余弦定理，co36；22某4【解法二（用二倍角公式构造方程，解方程）】co1442co272122co23611，即co3622co23611，22设co36某，则某22某11，可化为8某8某某10，2242某18某38某210，因某10，故8某38某210，2某14某22某10，因某某12，故4某2某10，25151510舍去）（某，故co36.444。
必修5《解三角形》综合测试题及解析
必修 5 第一章?解三角形?综合测试题〔A 〕及解析第一卷〔选择题〕一、选择题 〔每题5 分，共 40 分 . 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1. 某三角形的两个内角为 45o 和 60o ，假设 45o 角所对的边长是 6 ，那么 60o 角所对的边长是【 A 】A ． 3 6B． 3 2C． 3 3D． 2 6答案： A.解析： 设 60o 角所对的边长是 x ，由正弦定理得6 o x o ，解得 x 3 6 . 应选 A.sin 45 sin602. 在ABC 中， a5 2 ， c 10 ， A30o ，那么 B 等于【 D 】A ． 105o B． 60oC． 15oD． 105o 或 15o答案： D.解析： 在ABC 中，由 ac ，得 sin C csin A2 ，那么 C 45o 或 C 135o . 故sin A sin Ca 2当 C 45o 时， B105o ；当 C 135o 时， B15o . 应选 D.ABC 中，三边长 AB7 ， BC 5 ， AC uuur uuur3. 在6 ，那么 AB BC 的值等于【 D 】A ． 19B． 14C． 18D． 19答案： D.uuur uuur uuur uuur解析： 由余弦定理得 cosB49 25 36B)19，故 ABBC | AB | | BC |cos(19)2 7 5 357 5 ( 19 . 应选 D.354. 在 ABC 中， sin A < sin B ，那么【 A 】A ． a < b B． a > bC． a ≥ bD ． a 、 b 的大小关系不确定答案： A.解析： 在ABC 中，由正弦定理ab2R ，得 sin Aa b ，由 sin Asin A sin B2R， sin B2R< sin B ，得a<b，故 a < b . 应选 A.2R 2R5.ABC 满足以下条件：① b 3 ， c 4 ， B 30o ；② b 12 ， c 9 ， C 60o ；③ b 3 3 ，c 6 ， B 60o ；④ a5 ， b 8 ， A 30o . 其中有两个解的是【 B 】A ．①②B．①④C．①②③D．②③答案： B.解析： ① c sin B < b < c ，三角形有两解；② c < b sin 60o，三角形无解；③ b c sin B ，三角形只有一解；④bsin A < a < b ，三角形有两解 . 应选 B.6. 在ABC 中，b2 bc 2c2 0 ，且 a 6 ， cosA 7，那么ABC 的面积是【 A 】8A ．15B ． 15C ． 2D ． 3 2答案： A.解析：由 b2 bc 2c2 0 ，得 ( b 2c)( b c) 0 ，故b 2c或b c (舍去)，由余弦定理a2 b2 c2 2bc cos A 及条件，得 3c2 12 0 ，故c 2 ，b 4 ，又由 cos A 7 及 A 是ABC815，故 S 1415 15的内角可得 sin A 28 . 应选 A.8 2 27. 设a、a 1、 a 2 是钝角三角形的三边长，那么 a 的取值范围为【 B 】A ．0 < a < 3B ． 1 < a < 3C ． 3 < a < 4D ． 4 < a < 6 答案： B.解析：设钝角为 C ，由三角形中大角对大边可知 C 的对边为 a 2 ，且 cosC a2 (a 1)2 ( a 2) 22 a (a 1)(a 3)( a 1)<0 ，因为a > 0，故a 1 > 0 ，故 0 < a < 3 ，又a (a 1) > a+2 ，故 a >1 ，故2a(a 1)1< a < 3.应选B.8. ABC中，a、b、c分别是三内角 A 、 B 、 C 的对边，且 a 4 ， b c 5 ，tan A tan B 33 tan A tan B ，那么ABC 的面积为【 C 】A ．3B ． 3 3C ． 3 3D ．5 2 2 2答案： C.解析：由，得 tan A tan B 3(1 tan A tan B) ，即 tan( A B) 3 ，又A、B是ABC的内角，故 A B 120o，那么C 60o，由 c2 42 (5 c)2 2 4 (5 c) cos60o，解得 c 7 ，2故 b 3 ，故 S ABC 1absin C 1 4 3 3 3 3 . 应选 C.2 2 2 2 2 2第二卷〔非选择题〕二、填空题〔每题 5 分，共 30 分〕9. 在ABC中，sin A 1， cosB3， a 1，那么b _________.3 3答案： 6 .解析：由 cosB 3 ，得 sin B 1 cos2 B 1 ( 3 )2 6 ，由 a b ，得 b3 3 3 sin A sin Ba sin B 1636 .sin A 1310. ABC 的内角 A 、 B 、C 的对边分别为a、b 、c，假设c 2 ， b 6 ，B120o，那么a ______.答案： 2 .解析：由余弦定理得 b2 a2 c2 2ac cos B ，即 6 a2 2 2 2a cos120o，即 a2 2a 4 0 ，解得a 2 (舍去负值).11. 如果ABC 的面积是S a2 b2 c2，那么 C ____________.4 3答案：o30 .a2 b2 c2解析：由题意得1ab sin C ，即3sin C cosC ，故 tan C 3 ，故 C 30o.2 43 312.ABC 的三内角 A 、 B 、 C 的对边分别为a、 b 、c，假设A 60o，b 1 ，三角形的面积S3 ，那么 a b c 的值为 ____________.sin B sin Csin A答案：239 . 3解析：由 S 1bc sin A1csin60 o 3 ，得c 4.由余弦定理得 a2 b2 c2 2bc cos A 2 2，故 a 13 .故 a b c 13 2 3913sin A sin B sin C sin 60o ，由等比性质，得3sin A a b csin Ca 2 39 . sin B sin A 313. 一蜘蛛沿正北方向爬行x cm捉到一只小虫，然后向右转o，爬行 10 cm捉到另一只小虫，这105时它向右转135o爬行回它的出发点，那么x ____________.o105B Cx o135A答案：106 .3解析： 由题意作出示意图如下图，那么ABC 180o 105o 75o ，BCA 180o 135o 45o ， BC 10 ，故 A 180o 75o45o60o ，由正弦定理得x o10 o ，解得 x 10 6 (cm).sin 45sin 60 3 ur r( 3,(cos A,sin A) ，14. ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，向量 m 1) ， n urrb cosAc sin C ，那么B ____________. 假设mn ，且 acosB答案：或 30o .6r ur rur 0 ，故 3 cos Asin A0 ，即 sin A 3 cos A0 ，故 2sin( A) 解析： 由 m n 得 m n30 ，故 A. 由 a cosB b cosA c sinC ，得 sin AcosB sin B cos Asin 2 C ，即3sin( AB) sin 2 C ，故 sin C sin 2 C ，故 sin C 1，又 C 为 ABC 的内角，故 C，故2B( A C )( 2 ).3 6三、解答题 〔本大题共 6 小题，总分值 80 分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤〕 15. 〔此题总分值12 分〕在ABC 中， a2 ， c6 ， A 45o ，解此三角形 .解：由正弦定理，得 sin C c sin A6 2 3 ，故 C 60o 或 120o .a222当 C 60o 时， B 180o( A C ) 75o ，由余弦定理，得 b 2 a 2 c 22ac cos B4 6 2 26 cos75o4 2 3 ，那么b 3 1.当 C 120o时，B 180o( AC ) 15o ，由余弦定理，得 b 2 a 2 c 2 2ac cosB4 6 2 26 cos15o4 2 3 ，那么 b 3 1.故 b3 1， C 60o ， B 75o 或 b3 1， C120o ， B 15o .16. 〔此题总分值 12 分〕如图，在四边形ABCD 中， BA AD ， AB10， ADBC 5 6 ， BAC60o ， ADC135o ，求 CD 的长 .解：在 ABC 中，由正弦定理，得 sinAB sin BAC BCA BCBC10sin60o2，因 BC > AB ，故CAB > BCA ，故 BCA 45 oo5 62 ，故 B75 ，由正弦定理，得 AC10sin 75o5( 3 1) ，在 ACD 中，因CAD90oBAC30o ，由正弦sin 45o定理，得AC sin 30o5(62)CD.sin135 o2答： CD 的长为5( 62).217. 〔此题总分值14 分〕 a 、 b 、 c 是 ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边， S 是 ABC 的面积，假设a 4 ，b 5 ， S 5 3 ，求c .解：由 S1ab sin C 1 4 5 sin C 53 ，得 sin C3 ，那么cosC1 或 cosC1 .2 222 2〔 1〕当 cosC1 时，由余弦定理，得 c 216 252 4 5121，故 c21 ；22〔 2〕当 cosC1 时，由余弦定理，得 c216 25 2 4 5161 ，故 c61 .22综上可知 c 为 21 或 61 .18. 〔此题总分值 14 分〕在 ABC 中， sin Bsin AcosC ，其中 A 、 B 、 C 是 ABC 的三个内角，且 ABC 最大边是 ，最小角的正弦值是1 .123（ 1〕判断 ABC 的形状；（ 2〕求 ABC 的面积 .解：〔 1〕由 sin Bsin AcosC 根据正弦定理和余弦定理，得 b aa 2b 2c 2 ，得 b 2 c 2a 2 ，2ab故 ABC 是直角三角形 .〔 2〕由〔 1〕知 a 12 ，设最小角为sin12 2〔舍去负值〕，故 S ABC，那么 ，故 cos331bc1a sina cos112 1 12 2 2 16 2 .2 22 3 319. 〔此题总分值 14 分〕海上某货轮在 A 处看灯塔 B 在货轮的北偏东75o ，距离为 12 6 海里；在 A处看灯塔 C 在货轮的北偏西 30o，距离为 83 海里；货轮向正北北由 A 处行驶到 D 处时看灯塔 B 在货轮的北偏东 120o . 求oD 120〔 1〕 A 处与 D 处之间的距离； C〔 2〕灯塔 C 与 D 处之间的距离 .oB解：由题意画出示意图，如下图.30o75〔 1〕ABD 中，由题意得ADB60o， B45o，由正弦定理得 ADA ABo sin45o 24sin 60( 海里 ).〔 2〕在ABD 中，由余弦定理，得 CD 2 AD 2 AC 2 2 AD AC cos30o 24 2 (8 3) 22 24 83 38 3 (海里).，故 CD2答： A 处与 D 处之间的距离为24 海里，灯塔 C 与 D 处之间的距离为8 3 海里.● 以下两题任选一题作答20. 〔此题总分值14 分〕在锐角ABC 中，边a、 b 是方程x2 2 3x 2 0 的两根，A、B满足2sin( A B) 3 0，解答以下问题：（1〕求C的度数；（2〕求边c的长度；（3〕求ABC的面积 .解：〔 1〕由题意，得sin( A B) 3 ，因 ABC 是锐角三角形，故 A B 120o， C 60o；2〔 2〕由a、b是方程x2 2 3x 2 0 的两根，得 a b 2 3 ，a b 2 ，由余弦定理，得c2 a2 b2 2ab cosC (a b)2 3ab 12 6 6 ，故 c 6 .〔 3〕故S ABC 1absin C 1 2 3 3 .2 2 2 2 uuur uuur uuur uuur20. 〔此题总分值14 分〕ABC中，a、b、c分别是三内角A 、 B 、 C 的对边，假设ABAC BA BC1 .解答以下问题：（1〕求证：A B；（2〕求c的值；uuur uuur6 ，求ABC的面积.〔 3〕假设| AB AC |uuur uuur uuur uuur bc cos A ac cosB b cosA a cosB .1AC BA BC ，故，即由正弦定理，得证：〔〕因 ABsin B cosA sin AcosB ，故sin( A B) 0 ，因为< A B < ，故 A B 0 ，故A B .uuur uuur 2 2 21，故bc cosA 1 ，由余弦定理得 bc b c a 1 ，即 b2 c2 a2 解：〔 2〕因AB AC22bc 2，故 c 2 .2 ；又由〔1〕得 a b ，故cuuuruuur uuur uuur uuur uuur6 ，即 c2 b2 2 6 ，故 c2 b2 解：〔 3〕由| AB AC | 6 得 | AB |2 | AC |2 2 | AB AC |22 ，故 b 2 ，故ABC 是正三角形，故面积S ABC 3( 2)2 3.4 ，因c 4 2。
必修五解三角形综合测试卷(可编辑修改word版)
5 5 5 3 2 3＋6 2 1－sin θ 第一章《解三角形》综合测试卷一、选择题：（每题 5 分，共 60 分）1. 已知△ABC ，a ＝ 5，b ＝ 15，∠A ＝30°，则 c ＝( )A ．2 B. C ．2 5或 D ．均不正确2. 在△ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别是 a ，b ，c .已知 8b ＝5c ，C ＝2B ，则 cos C ＝() 7 A.25 7 B ．－25 7 C ．±2524 D.25 3. 在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则 A 的取值范围是()π π π πA ．(0，6]B ．[6，π)C ．(0，3]D ．[3，π) π π4. 函数 y ＝2sin(3－x )＋cos(6＋x )(x ∈R)的最小值等于( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．－ 5. 在△ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，若 a cos A ＝b sin B ，则 sin A cos A ＋cos 2B ＝( )1 A ．－21 B.2C ．－1D ．1 6. 在△ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边长分别为 a ，b ，c .若∠C ＝120°，c ＝ A ．a ＞b B ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 与 b 的大小关系不能确定 7. 在△ABC 中，面积 S ＝a 2－(b －c )2，则 cos A ＝( ) 2a ，则() 8A.1715 B.17 13 C.15 13 D.17 8. 在△ABC 中，AC ＝ 3 3 7，BC ＝2，B ＝60°，则 BC 边上的高等于( ) A.B. 2C.D.θ 1 9. 已知 θ 为第二象限角，且 cos ＝－ ，那么 的值是( ) 2 2 θ cos θ －sin1 A ．－1 B.2 B 2 2C ．1D ．2 a ＋c 10. 在△ABC 中，cos 22＝ 2c，(a ，b ，c 分别为角 A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A. 正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形或直角三角形 D ．等腰直角三角形＊11．若△ABC 的周长等于 20，面积是 10 3，A ＝60°，则 BC 边的长是()A ．5B ．6C ．7D ．8 π ＊＊12．已知函数 f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中 ω>0，－π<φ≤π.若 f (x )的最小正周期为 6π，且当 x ＝2时，f (x )取得 5 3＋ 39 4AB AC = 3BA BC .最大值，则( )A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数二、填空题：（每题 5 分，共 20 分） 4 13. 在△ABC 中，三内角 A 、B 、C 分别对三边 a 、b 、c ，tan C ＝ ，c ＝8，则△ABC 外接圆半径 R 为 ． 3 14. 如图，在玉树地震灾区的搜救现场，一条搜救狗从 A 处沿正北方向行进 x m 到达 B 处发现一个生命迹象，然后向右转 105°，行进 10 m 到达 C 处发现另一生命迹象，这时它向右转 135°后继续前行回到出发点，那么 x ＝ . 15. 如图所示，在△ABC 中，D 是边 AC 上的点，且 AB ＝AD,2AB ＝ 3BD ，BC ＝2BD ，则 sin C 的值为 ． ＊＊16．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝ 3，则 AB ＋2BC 的最大值为 ．三、解答题（每题 10 分，共 40 分）17. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别表示三个内角 A 、B 、C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断该三角形的形状．18. 设△ABC 的内角 A ，B ，C 所对边的长分别为 a ，b ，c ，且有 2sin B cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C .(1)求角 A 的大小；(2)若 b ＝2，c ＝1，D 为 BC 的中点，求 AD 的长19. 在△ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c .已知cos A －2cos C 2c －acos B ＝ b .sin C（1） 求sin A 的值；1＊(2)若 cos B ＝ ，b ＝2，求△ABC 的面积 S .4 20．在∆ABC 中, 已知 (1) 求证: tan B = 3 t an A ;＊＊(2)若cos C = 5 ，求 A 的值.515 5 θ θ 《解三角形》综合测试卷a b b sin A 3 1．答案 B 解析 ∵ ＝ ，∴sin B ＝ ＝ ·sin30°＝ .∵b >a ，∴B ＝60°或 120°. sin A sin B a 2 若 B ＝60°，C ＝90°，∴c ＝ a 2＋b 2＝2 5.若 B ＝120°，C ＝30°，∴a ＝c ＝ 5.sin C c 4 2. 答案 A 解析 因为 8b ＝5c ，则由 C ＝2B ，得 sin C ＝sin2B ＝2sin B cos B ，由正弦定理，得 cos B ＝ ＝ ＝ ，所 2sin B 2b 54 7 以 cos C ＝cos2B ＝2cos 2B －1＝2×( )2－1＝ ，故选 A.5 253. 答案 C 解析 由正弦定理角化边，得 a 2≤b 2＋c 2－bc .b 2＋c 2－a 2 1 π ∴b 2＋c 2－a 2≥bc .∴cos A ＝ 2bc ≥ .∴0<A ≤ .23π π π π π π π π4．答案 A 解析 y ＝2sin(3－x )＋cos(6＋x )＝2cos[2－(3－x )]＋cos(6＋x )＝2cos(6＋x )＋cos(6＋x )＝3cos(6＋x )． 5 当 x ＝ π＋2k π，k ∈Z 时，y min ＝－3. 65. 答案 D 解析 ∵a cos A ＝b sin B ，∴sin A cos A ＝sin 2B . ∴sin A cos A ＋cos 2B ＝sin 2B ＋cos 2B ＝1.6. 答案 A 解析 据题意由余弦定理可得 a 2＋b 2－2ab cos120°＝c 2＝( ＋b )(a －b )＝ab >0，故有 a －b >0，即 a >b .2a )2，化简整理得 a 2＝b 2＋ab ，变形得 a 2－b 2＝(a 1 7. 答案：B 解析：S ＝a 2－(b －c )2＝a 2－b 2－c 2＋2bc ＝2bc －2bc cos A ＝ bc sin A ，∴sin A ＝4(1－cos A )，16(1－cos A )2＋cos 2A 215 ＝1，∴cos A ＝ . 17 8. 答案 B 解析 由余弦定理，得( 3 3是 AB sin60°＝ 2.7)2＝22＋AB 2－2×2AB cos60°，即 AB 2－2AB －3＝0，得 AB ＝3，故 BC 边上的高θ θ 1 θ θ θ9. 答案 C 解析 由 θ 为第二象限角知 在第一、三象限，又由 cos ＝－ <0 知 是第三象限角，且 cos >sin . 2 θ θ cos －sin 2 2 2 2 21－sin θ 2 2 故 ＝ ＝ θ θ θ θ＝1. cos －sin cos －sin cos －sin 2 2 2 2 2 2B a ＋c cos B ＋1 a ＋c a10．答案：B 解析：∵cos 22＝ 2c ，∴ 2 ＝ 2c ，∴cos B ＝c， a 2＋c 2－b 2 a ∴ 2ac ＝c ，∴a 2＋c 2－b 2＝2a 2，即 a 2＋b 2＝c 2， ∴△ABC 为直角三角形．1 11. 答案：C 解析：依题意及面积公式 S ＝ bc sin A ， 2得 10 1 3＝ bc sin60°，得 bc ＝40. 2又周长为 20，故 a ＋b ＋c ＝20，b ＋c ＝20－a ，10 6 3 3 6 6 3 2 2 6 7 3 7 3 7由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－2bc cos60°＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ，故 a 2＝(20－a )2－120，解得 a ＝7.2π 2π 1 12. 答案 A 解析 ∵T ＝6π，∴ω＝ T ＝ ＝ .π 1 π 6π 3π 又∵f (2)＝2sin( × ＋φ)＝2sin( ＋φ)＝2， 3 2 6π π π∴6＋φ＝2＋2k π，k ∈Z ，即 φ＝3＋2k π，k ∈Z. π x π 又∵－π<φ≤π，∴φ＝3.∴f (x )＝2sin( ＋ )． 3 35 π π 7 ∴f (x )的单调递增区间为[－ π＋6k π， ＋6k π]，单调递减区间为[ ＋6k π， π＋6k π]，k ∈Z.2 2 2 2观察各选项，故选 A.13. 答案 5 解析 本题考查解三角形．由题可知应用正弦定理，4 4 由 tan C ＝ ，得 sin C ＝ .3 5c 8 则 2R ＝ ＝ ＝10，故外接圆半径为 5.sin C 4514．解析：由题知，∠CBA ＝75°，∠BCA ＝45°，∴∠BAC ＝180°－75°－45°＝60°，∴ x sin45°10 sin60°，∴x ＝ . 答案： 31 3 ∴S △ABC ＝ bc sin A ＝ 或 .2 2 415. 答案 解析 设BD ＝1，则AB ＝AB BC AD ＝ B ，C ＝2.在△ABD 中解，得 sin A ＝ ， 在△ABC 中，由正弦定理 ＝ ，得 sin C ＝ ， 2 3 AB BC sin C sin A 616. 答案 2 解析 由正弦定理可得 ＝ ＝ ＝2，∴AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A ，AB ＋2BC ＝2(sin C ＋ sin C sin A sin60°2 2sin A )＝2[sin C ＋2sin(120°－C )]＝2( 3cos C ＋2sin C )＝2 7sin(C ＋φ)(其中 cos φ＝ ，sin φ＝ )．∴当 C ＋φ＝90°， 即 C ＝90°－φ 时，AB ＋2BC ＝2 7sin(C ＋φ)取得最大值 2 7.17.．【解析】 方法一 已知得 a 2[sin(A －B )－sin(A ＋B )]＝b 2[－sin(A ＋B )－sin(A －B )]．∴2a 2cos A sin B ＝2b 2cos B sin A .由正弦定理，得sin 2A cos A sin B ＝sin 2B cos B sin A .∴sin A sin B (sin A cos A －sin B cos B )＝0.∴sin2A ＝sin2B ，由 0<2A,2B <2π，得 2A ＝2B 或 2A ＝π－2B .即△ABC 是等腰三角形或直角三角形．方法二 同方法一可得 2a 2cos A sin B ＝2b 2cos B sin A .10 6 ＝7 2 7 2 7 2 3 2 3 1＋ 4 7 1 - 5 ⎪ ⎛ 5 ⎫2 ⎝ ⎭20．解:(1)∵( ) ( ) b 2＋c 2－a 2 a 2＋c 2－b 2 由正、余弦定理，得 a 2b 2bc ＝b 2a 2ac . ∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)．即(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)＝0.∴a ＝b 或 c 2＝a 2＋b 2.∴三角形为等腰三角形或直角三角形．π 18.答案 (1)3(2) 解析 (1)方法一：由题设知，2sin B cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ， 1 因为 sin B ≠0，所以 cos A ＝ . 2π 由于 0<A <π，故 A ＝3.b 2＋c 2－a 2 a 2＋b 2－c 2 b 2＋c 2－a 2 b 2＋c 2－a 2 方法二：由题设可知，2b · 1 . 2π由于 0<A <π，故 A ＝3. 2bc ＝a · 2ab ＋c · 2bc ，于是 b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以 cos A ＝ ＝ 2bc → →→ AB ＋AC 1 → → → → 1 π 7 (2)方法一：因为 AD 2＝( 2 )2＝ (AB 2＋AC 2＋2AB ·AC )＝ (1＋4＋2×1×2×cos )＝ ， 4 4 3 4→ 所以|AD |＝ ，从而 AD ＝ . 1 方法二：因为 a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋1－2×2×1× ＝3， 2π所以 a 2＋c 2＝b 2，B ＝2.因为 BD ＝ ，AB ＝1，所以 AD ＝ ＝ 2. sin C15 19．解：(1)sin A =2 (2)S= 4AB AC = 3BA BC ,∴ AB AC cos A =3BA BC cos B ,即 AC cos A =3BC cos B . 由正弦定理,得 AC sin B = BC sin A ,∴ sin B cos A =3sin A cos B . 又∵ 0 < A + B <,∴ cos A> 0，cos B > 0 .∴ sin B =3 sin A 即tan B = 3 tan A .cos B cos A 5 2 5 (2) ∵ cos C = ，0 <C <,∴ sin C = 5 = .∴ tan C = 2 . 5 tan A + tan B ∴ tan ⎡⎣- A + B ⎤⎦ = 2 ,即tan A + B = -2 .∴ 1 - tan A tan B= -2 . 由 (1) ,得 4 tan A 1 - 3 t an 2 A= -2 ,解得tan A =1，tan A = - 1 . ∵cos A> 0 ,∴ tan A =1 .∴ A = 3 4。
高一必修5解三角形练习题及答案
第一章 解三角形一、选择题1．在A B C ∆中，a =03,30;c C ==(4)则可求得角045A =的是（ ） A ．（1）、（2）、（4） B ．（1）、（3）、（4） C ．（2）、（3） D ．（2）、（4） 2．在ABC ∆中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ） A ．10=b ， 45=A ， 70=C B ．60=a ，48=c ， 60=B C ．14=a ，16=b ， 45=A D ． 7=a ，5=b ， 80=A 3．在ABC ∆中，若， 45=C ， 30=B ，则（ ）A ； BC D4．在△ABC ，则cos C 的值为（ ）A. D. 5．如果满足 60=∠ABC ，12=AC ，k BC =的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是（ ）A B ．120≤<k C ．12≥k D ．120≤<k 或二、填空题6．在ABC ∆中，5=a ，60A =， 15=C ，则此三角形的最大边的长为 ． 7．在ABC ∆中，已知3=b ，， 30=B ，则=a _ _． 8．若钝角三角形三边长为1a +、2a +、3a +，则a 的取值范围是 ．9．在△ABC 中，AB=3，AC=4，则边AC 上的高为10. 在ABC △中，（1）若A A B C 2sin )sin(sin =-+，则ABC △的形状是 .（2）若ABC △的形状是 .三、解答题11. 已知在ABC ∆中,cos A =,,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边.(Ⅰ)求tan 2A ； (Ⅱ)若sin()2B π+=,c =求ABC ∆的面积. 解:12. 在△ABC 中，c b a ,,分别为角A 、B 、C 的对边，58222bcb c a -=-，a =3, △ABC 的面积为6， D 为△ABC 内任一点，点D 到三边距离之和为d 。
⑴求角A 的正弦值； ⑵求边b 、c ； ⑶求d 的取值范围 解：13．在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,,a b c 且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列. （I ）求B 的值； （II ）求22sin cos()A A C +-的范围。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2018年高中数学必修5 解三角形综合复习卷
一、选择题：
1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=7，b=5，c=8，则△ABC的面积S等于（）
2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且,则是（）
A.钝角三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.等边三角形
3.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B=asin A，则△ABC的形状为( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不确定
4.已知△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则B=（）
A. B. C. D.
5.在△ABC中，已知a=2，则等于( )
B.
6.△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为S，且2S=（a+b）2﹣c2，则
等于( ).
A. B. C. D.
7.在△ABC中，若lg sin A－lg cos B－lg sin C=lg 2，则△ABC是( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
8.在△ABC中，内角A,B,C所对边分别是a,b,c，若3a=2b，则值为（）
A. B. D.
9.已知锐角△ABC内角A，B，C对边分别为a，b，c，23cos2A＋cos 2A=0，a=7，c=6，则b=( )
10.在△ABC中，若，，则△ABC的面积等于（）
C.
11.若△ABC内角A，B，C对边分别为a，b，c，且，则等于（）
A. B. C. D.
12.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若，则b+c最大值为（）
A. C.
二、填空题：
13.在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sin Bsin C，则A的取值范围是__ _____.
14.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2=bc，sinC=2sinB，则A角大小为 .
15.在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，
且，△ABC面积的最大值为.
16.已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且a=3，则△ABC面积的最大值为.
17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则的最大值是__________.
18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若△ABC的面积为，则ab的最小值为.
19.在锐角△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c，若a2=b2+bc，则取值范围是.
20.在△ABC中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知，
则△ABC面积的最大值等于.
三、解答题：
21.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为。
（1）求sinBsinC;
（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长.
22.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足.（1）求角B的大小；
（2）若，求△ABC的面积S.
23.已知△ABC的周长为，且.
（1）求边长a的值；
（2）若，求的值.
24.已知a，b，c分别是△ABC的角A，B，C所对的边，且.（1）求角C；
（2）若，求△ABC的面积.
25.△ABC中，A，B，C都不是直角，且
（Ⅰ）若，求b,c的值；
（Ⅱ）若，求△ABC面积的最大值.
26.已知△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m， n，且m∥n.
（1）求锐角B的大小；
（2）在（1）的条件下，如果b=2，求的最大值.
参考答案
1.答案为：B ；
2.答案为：A ；
3.答案为：B ；
4.答案为：C ；
5.答案为：C ；
6.答案为：B
7.答案为：A
8.答案为：D ；
9.答案为：D ； 10.答案为：D ；
11.答案为：B ； 12.答案为：A ； 13.答案为：(0，
3
]；
14.答案为：6
； 15.答案为：
16.答案为：
17.答案为：1; 18.答案为：12;
19.答案为：（
，2） .
20.答案为：;
21.解：
22.解：
23.解:
24.解：
25.解：
26.解：。