第9章 期权二叉树模型
期权定价二叉树模型精讲共41页文档
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
期权定价ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ叉树模型精讲
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
第九章 期权估价-二叉树期权定价模型
2015年注册会计师资格考试内部资料财务成本管理第九章 期权估价知识点：二叉树期权定价模型● 详细描述：一、单期二叉树模型 关于单期二叉树模型，其计算结果与前面介绍的复制组合原理和风险中性原理是一样的。
以风险中性原理为例： 根据前面推导的结果： 代入（1）式有:二、两期二叉树模型 如果把单期二叉树模型的到期时间分割成两部分，就形成了两期二叉树模型。
由单期模型向两期模型的扩展，不过是单期模型的两次应用。
三、多期二叉树模型原理从原理上看，与两期模型一样，从后向前逐级推进乘数确定期数增加以后带来的主要问题是股价上升与下降的百分比如何确定问题。
期数增加以后，要调整价格变化的升降幅度，以保证年收益率的标准差不变。
把年收益率标准差和升降百分比联系起来的公式是：u＝1＋上升百分比＝ d＝1－下降百分比＝ 其中：e＝自然常数，约等于2.7183 σ＝标的资产连续复利收益率的标准差t＝以年表示的时间长度（每期时间长度用年表示）做题程序： （1）根据标准差和每期时间间隔确定每期股价变动乘数（应用上述的两个公式） （2）建立股票价格二叉树模型 （3）根据股票价格二叉树和执行价格，构建期权价值的二叉树。
构建顺序由后向前，逐级推进。
——复制组合定价或者风险中性定价。
（4）确定期权的现值例题：1.如果股票目前市价为50元，半年后的股价为51元，假设没有股利分红，则连续复利年股票投资收益率等于（）。
A.4%B.3.96%C.7.92%D.4.12%正确答案：B解析：r=ln(51/50)/0.5=3.96%。
金融工程学 第9章
= [ pc + (1 − p )c ]e
d
− rτ
e S0 − S e rτ − d here， p = u = d S −S u−d
d
rτ
9
例子
假设有一个股票买权合约，到期日为 年 假设有一个股票买权合约，到期日为1年，执行 价格为112美元，股票当前的价格为 美元， 美元， 价格为 美元 股票当前的价格为100美元，无 美元 风险利率为8％（连续复利折算为单利）。 ％（连续复利折算为单利）。在到 风险利率为 ％（连续复利折算为单利）。在到 期日股票的价格有两种可能： 美元或者60美 期日股票的价格有两种可能：180美元或者 美 美元或者 求期权的价值？ 元，求期权的价值？ S1=Su=uS0＝180 c1=cu=max(0, Su-112) ＝68 S1=Sd=dS0=60 c1=cd=max(0, Sd-112) ＝0
V = [(c − c ) /( S − S )]S − c = Be
u d u d u u
rτ
若S1＝Sd
V = [(c − c ) /( S − S )]S − c = Be
u d u d d d
rτ
15
这说明，上述风险性资产投资的组合相当 这说明， 于一个无风险的套期保值组合 所以， 所以，投资的风险态度对于这样的组合是 无关紧要。 无关紧要。 基于上述的理由， 基于上述的理由，只要以上述方式构建投 资组合来对期权定价， 资组合来对期权定价，就等价于假设投资 者是风险中性的， 者是风险中性的，由此就大大简化对期权 的推导过程。 的推导过程。
14
风险中性的另一种解释
若在期初构造如下组合： 的价格买入N 若在期初构造如下组合：以S0的价格买入 股股票，同时以c 的价格卖出一个期权， 股股票，同时以 0的价格卖出一个期权，则 该组合的投资成本为NS 该组合的投资成本为 0－c0，若无套利它 必然等于B。 必然等于 。 证明： 证明：若S1＝Su
期权定价二叉树模型
9 e
0.10.25
8.78
• 这也应该是期初用于投资组合的资金，由 此得：
1 30 C 8.78, C 10 8.78 1.22 3 • 买入期权的价格应该定为1.22元
三、期权定价的二项式公式
符号: S 0 股票在期初的价格, S X 期权确定的执行价格, u 股票价格在单个时间阶段内的上升因子 d 股票价格在单个时间阶段内的下降因子(-) Ru 期权在股票价格上升状态下的收益 Rd 期权在股票价格下降状态下的收益 r 年无风险收益率 T 期权的期限
7.14 qu max{ S 0 (1 u ) 3 (1 d ) S X ,0} q d max{ S 0 (1 u ) 2 (1 d ) 2 S X ,0}
0.33 qu max{ S 0 (1 u ) 2 (1 d ) 2 S X ,0} q d max{ S 0 (1 u )(1 d ) 3 S X ,0}
n n i i n i i C i qu q d max{ S 0 (1 u ) (1 d ) S X ,0} i 0
n
n n! n (n 1) (n i 1) , n 0,1, i (i 1) 1 i (n i )!i !
0 qu max{ S 0 (1 u ) 3 (1 d ) S X ,0} qd max{ S 0 (1 d ) 4 S X ,0}
对于第2阶段各状态期权价值有
2 13.7 qu 18.03 q d 7.14 qu max{ S 0 (1 u ) 4 S X ,0}
计算相关数据
u (e rT 1) ud 0.1 (e 0.05 1) 0.1 0.05 0.324859
期权二叉树定价模型
期权二叉树定价模型期权二叉树定价模型是一种常用的金融衍生品定价模型，用于计算期权合约的公平价格。
该模型基于二叉树的数据结构，将时间分为离散的步长，在每个步长上模拟期权的价格变化。
在期权二叉树定价模型中，二叉树的每个节点表示期权的一个可能价格，树的每一层表示时间的一个步长。
从根节点开始，根据期权的流动性和到期前可执行的次数，构建二叉树模型。
在每个节点上，计算期权的价值，以确定其合理价格。
在构建二叉树模型时，需要考虑期权的标的价格、波动率、到期时间和无风险利率等因素。
这些因素将被用来计算每个节点上的期权价格。
在每个步长上，通过向上或向下移动树的节点，模拟标的价格的波动，从而更新节点上的期权价格。
在二叉树的叶子节点上，期权的价值是已知的，可以直接计算。
在其他节点上，通过对未来价格的概率分布进行加权，计算期权的合理价格。
树的最后一层即为到期时间，即期权到期时的状态。
根据到期状态计算出期权的现值，并通过向根节点回溯，确定期权的公平价格。
期权二叉树定价模型的优点在于能够在离散时间步长上快速确定期权的价格，并且可以灵活地应用于不同类型的期权合约。
此外，该模型对于包含多个期权合约的复杂结构，如欧洲期权、美式期权和亚洲期权等，也具有较高的适用性。
然而，期权二叉树定价模型也存在一些局限性。
首先，该模型假设标的价格的波动服从几何布朗运动，这在实际市场中并不成立，因此模型的有效性有一定的限制。
其次，通过选择适当的步长数和树的深度来平衡精确度和计算效率是一个挑战。
总的来说，期权二叉树定价模型是一个常用且有效的金融工具，可以用于估计期权合约的公平价格。
该模型基于二叉树的数据结构，通过离散时间步长模拟期权的价格变化，并通过回溯计算确定期权的公平价格。
虽然该模型存在一定的局限性，但在实际应用中仍被广泛应用。
期权二叉树定价模型是一种基于离散时间步长和二叉树结构的金融衍生品定价模型。
它是Black-Scholes模型的一种改进方法，通过模拟期权价格的变化来计算期权的公平价格。
期权定价的二叉树模型
期权定价的二叉树模型Cox、Ross和Rubinstein提出了期权定价的另一种常用方法二叉树（binomial tree）模型，它假设标的资产在下一个时间点的价格只有上升和下降两种可能结果，然后通过分叉的树枝来形象描述标的资产和期权价格的演进历程。
本章只讨论股票期权定价的二叉树模型，基于其它标的资产如债券、货币、股票指数和期货的期权定价的二叉树方法，请参考有关的书籍和资料。
8.1 一步二叉树模型我们首先通过一个简单的例子介绍二叉树模型。
例8.1 假设一只股票的当前价格是$20，三个月后该股票价格有可能上升到$22，也有可能下降到$18. 股票价格的这种变动过程可通过图8.1直观表示出来。
在上述二叉树中，从左至右的节点（实圆点）表示离散的时间点，由节点产生的分枝（路径）表示可能出现的不同股价。
由于从开始至期权到期日只考虑了一个时间步长，图8.1表示的二叉树称为一步（one-step）二叉树。
这是最简单的二叉树模型。
一般地，假设一只股票的当前价格是，基于该股票的欧式期权价格为。
经过一个时间步（至到期日T）后该股票价格有可能上升到相应的期权价格为；也有可能下降到相应的期权价格为. 这种过程可通过一步（one-step）二叉树表示出来，如图8.2所示。
我们的问题是根据这个二叉树对该欧式股票期权定价。
为了对该欧式股票期权定价，我们采用无套利（no arbitrage）假设，即市场上无套利机会存在。
构造一个该股票和期权的组合（portfolio），组合中有股的多头股票和1股空头期权。
如果该股票价格上升到，则该组合在期权到期日的价值为；如果该股票价格下降到，则该组合在期权到期日的价值为。
根据无套利假设，该组合在股票上升和下降两种状态下的价值应该相等，即有由此可得(8.1)上式意味着是两个节点之间的期权价格增量与股价增量之比率。
在这种情况下，该组合是无风险的。
以表示无风险利率，则该组合的现值（the present value）为,又注意到该组合的当前价值是，故有即将(8.1)代入上式，可得基于一步二叉树模型的期权定价公式为(8.2)(8.3)需要指出的是，由于我们是在无套利（no arbitrage）假设下讨论欧式股票期权的定价，因此无风险利率应该满足： .现在回到前面的例子中，假设相应的期权是一个敲定价为$21，到期日为三个月的欧式看涨权，无风险的年利率为12%，求该期权的当前价值。
期权定价的二叉树模型
03
二叉树模型在期权定价中 的应用
二叉树模型在欧式期权定价中的应用
欧式期权定义
二叉树模型原理
欧式期权是一种只能在到期日行权的期权。
二叉树模型是一种离散时间模型，通过构造 一个二叉树来模拟股票价格的演变过程。
模型参数
定价过程
包括无风险利率、股票波动率、期权行权价 等。
从到期日逆推至起始时间，考虑各种可能的 价格路径，计算期权的预期收益，并使用无 风险利率折现至起始时间。
与其他理论的结合
二叉树模型与其它金融理论的结合也是理论研究的一个重要方向，如将二叉 树模型与随机过程理论、博弈论等相结合，以提供更深入、更全面的分析框 架。
二叉树模型的应用研究进展
扩展到其他金融衍生品
二叉树模型在期权定价方面的应用已经非常成熟，研究者们正在将其应用于其他金融衍生品的定价，如期货、 掉期等。
案例一：某公司股票期权定价
背景介绍
某上市公司股票期权激励计划需要为期权定价，以确定向员工发 放的期权数量和行权价格。
模型应用
根据二叉树模型，预测股票价格的上涨和下跌幅度，并计算期权 的内在价值和时间价值。
结论分析
根据计算结果，确定期权的行权价格和数量，实现了员工激励与公 司发展的双赢。
案例二：某交易所债券期权定价
调整利率和波动率
根据市场数据和实际情况，调整利率和波动率的参数，可以提 高模型的拟合度。
模型的选择与比较
1 2
基于误差
比较不同模型的预测误差，选择误差最小的模 型。
基于风险
比较不同模型的风险指标，选择风险最小的模 型。
3
基于解释性
选择更具有解释性的模型，以便更好地理解市 场行为和风险。
05
期权定价的二叉树模型介绍
计算期权的价值
计算期权的现值
根据预期收益和折现率，我们可以计算出期权的现值。 看涨期权的现值是每个节点的股票价格与执行价格的差 值与风险中性概率的乘积之和；看跌期权的现值是每个 节点的执行价格与股票价格的差值与风险中性概率的乘 积之和。
校准二叉树模型参数
为了使模型的预测结果与实际期权价格一致，我们需要 校准模型参数。通常，我们使用历史数据来估计参数， 例如股票价格的波动率和无风险利率。
建立二叉树
以时间步长为单位，从最后一个时间步长开始，依 次向前建立二叉树，每个节点代表一个时间步长。
确定初始股票价格
确定股票的当前价格
通常以市场价格为基础确定初始股票价格 。
考虑股息
如果股票在期权有效期内发放股息，需要 在每个时间步长上调整股票价格。
确定无风险利率与时间步长
要点一
确定无风险利率
无风险利率是投资者在相同风险水平下可以获得的最低 回报率。
05
二叉树模型的结果分析
模拟结果展示
假设一个股票价格变动模型，通过二叉树模型模拟股 票价格的涨跌情况，并计算期权的价值。
根据不同的利率和波动率等参数设置，模拟不同的股 票价格路径，从而得到期权价格的模拟结果。
结果分析与比较
将模拟结果与实际期权价格进行比较，分析二叉树模型 定价的准确性。
对比不同参数设置下的模拟结果，分析利率和波动率等 因素对期权价格的影响。
期权定价的二叉树模型介绍
2023-11-06
目 录
• 引言 • 二叉树模型基本原理 • 构建二叉树模型 • 计算期权价值 • 二叉树模型的结果分析 • 二叉树模型在金融实践中的应用 • 结论与展望
01
引言
研究背景与意义
期权二叉树定价模型
84 美式期权估值8.4.1 方法 二叉树模型可以用于为美式期权估值。方法是：从树图的最后末端向开始的起点倒推计算。在每个节点检验提前执行是否最佳。在最后节点的期权价值与欧式期权在最后节点的期权价值相同。在较早的一些节点，期杈的价值是取如下两者之中较大者： 1）由式（9.2）求出的值。 2）提前执行所得的收益。
8.2 风险中性估值8.2.1 风险中性估值原理 式（9.2）中的变量p可以解释为股票价格上升的概率，于是变量1—p就是股票价格下降的概率。这样， pfu+(1-p)fd 就是衍生证券的预期收益。于是，式（9.2）可以表述为：衍生证券的价值是其未来预期值按无风险利率贴现的值 。
当两个价值相等时 即 （9.1） 该组合是无风险的，收益必得无风险利率。在T时刻的两个节点之间运动时，Δ是衍生证券价格变化与股票价格变化之比。
最后股票的可能价格为$72、$48和$32。在这种情况下，fuu=0,fud=4,fdd=20,Δt=1，利用公式（9.8），得到看跌期权的价格 f=e-2×0.05×1(0.62822×0+ 2×0.6282×0.3718×4+0.37182×20)=4.1923 利用每个单步二步二叉树向回倒推算，也可以得到这个结果。 实际上，如果股票价格的变化是二值的，那么任何基于该股票的衍生证券都可以运用二叉树模型进行估值。
u=1.1,d=0.9,r=0.12,T=0.25,p=0.6523. 在节点B的期权价格为： e-0.12×0.25(0.6523×3.2十0.3477×0)=2.0257 在节点C，期权价格为0。 在节点A的期权价格为：e-0.12×0.25(0.6523×2.0257十0.3477×0)=1.2823 在构造这个例子时，u和d(股票价格上升和下降的比率)在树图的每个节点上是相同的，每个单步二叉树的时间长度是相等的。由式（9.3）可得风险中性的概率p，它在每个节点都是相同的。
期权定价的二叉树模型
期权定价的二叉树模型期权定价是金融领域中的重要问题之一，而二叉树模型是一种经典的期权定价工具。
二叉树模型的主要思想是将期权到期日之间的时间划分为多个等长的时间段，并根据每个时间段内的股价变动情况来计算期权的价值。
下面将介绍二叉树模型的构建过程以及期权定价的基本原理。
首先，我们需要确定二叉树模型的参数。
主要包括股票价格的初始值、期权到期日、无风险利率、每个时间段的长度等。
其中，股票价格的初始值可以通过市场价格获取，期权到期日通常由合约确定，无风险利率可以参考国债收益率，而每个时间段的长度可以根据需要自行设置。
接下来，根据二叉树模型的思想，我们构建一个二叉树。
树的每个节点表示一个时间段，而每个节点下方的两个子节点分别表示股票价格在该时间段内上涨和下跌的情况。
具体构建二叉树的方式有很多种，常见的有Cox-Ross-Rubinstein模型和Jarrow-Rudd模型。
其中，Cox-Ross-Rubinstein模型是一种离散时间模型，每个时间段内股价上涨或下跌的幅度是固定的；而Jarrow-Rudd模型是一种连续时间模型，股价的变动是连续的。
在构建好二叉树之后，我们需要从期权到期日开始反向计算每个节点的期权价值。
通过回溯法，我们可以计算出每个节点的期权价值。
具体计算的方式是，对于期权到期日的节点，其价值等于股价与行权价格的差值（对于欧式期权而言）或者最大值（对于美式期权而言）。
而对于其他节点，其价值等于期权在上涨和下跌情况下的期望值，即其左右子节点的价值经过贴现后得到的值。
通过不断回溯，最终我们可以得到二叉树的根节点即为期权的实际价值。
需要注意的是，期权定价的准确性与二叉树模型的参数设定和树的构建方法有关。
参数的选择需基于市场数据和合理的假设，而构建二叉树的方法应能很好地反映实际股价的变动规律。
此外，二叉树模型也有一定的局限性，特别是在处理股价波动较为剧烈的情况下，可能无法准确地定价。
总之，二叉树模型是一种常用的期权定价工具，可以通过构建二叉树和回溯计算的方式来估计期权的价值。
二叉树模型
Cd = Max(0,100(.80) - 100) = Max(0,80 - 100) = 0 h = (25 - 0)/(125 - 80) = .556 p = (1.07 - 0.80)/(1.25 - 0.80) = .6
二叉树模型
Binomial Trees
注意： d < exp(r*T) < u 以避免套利 构筑一个无风险的组合，价值为：
V = hS - C
到期时价值为：
Vu = hSu - Cu Vd = hSd – Cd 令 Vu = Vd，可以解得 h （对冲比率, hedge ratio）。
对冲比率
看跌期权的对冲比率公式和看涨期权的一样， 负号表示我们需要同时买入股票和看跌期权：
h 0 13.46 0.299 125 80
因而，我们需要买入299股股票和1000个期权。 成本为 $29,900 (299 x $100) + $5,030 (1,000 x $5.03) ＝ $34,930
Cu
pC u 2
(1 p)Cud 1 r
Cd
pCdu
(1 p)Cd2 1 r
则现在的期权价值为
C pCu (1 p)Cd 1 r
或者：
C
p2Cu2
2p(1
p)Cud
(1
p)
C 2 d2
(1 r)2
•不同状态下的对冲比率是不一样的：
h
Байду номын сангаас
Cu Su
Cd Sd
,
hu
Cu2 Su 2
Cud Sud
期权定价的二叉树模型介绍PPT课件( 24页)
但不能虚伪;可以平凡，但不能平庸;可以浪漫，但不能浪荡;可以生气，但不能生事。
•
17、人生没有笔直路，当你感到迷茫、失落时，找几部这种充满正能量的电影，坐下来静静欣赏，去发现生命中真正重要的东西。
•
18、在人生的舞台上，当有人愿意在台下陪你度过无数个没有未来的夜时，你就更想展现精彩绝伦的自己。但愿每个被努力支撑的灵魂能吸引更多的人同行。
在计算Pu和Pd时，应使用各自持有价值或执行价值中较大的一个。
Pu=4.96
对应执行价格为： Pu=0
Pd=23.4
Pd=24
P=12.94
21
6.5 股价指数期权、外币期权
【例6-8】 有一项美式的英镑看跌期权，期限为6个月，即期 汇率为$1.51/₤，期权的执行价格为$1.50/ ₤，英镑兑美元 的波动性或易变性为12%。美国的无风险利率为10%，英 国的无风险利率为11%。建立一个以2个月为1期的外币二 叉树期权模型。
17
6.3 期权定价N期模型的通用公式
n
c e rT[
n ! q j( 1 q )n jmsa ju d n x j ( k ,0 )]
j o j! (n j)!
n
p e rT[
n ! qj(1 q )n jmka sx ju dn (j,0 )]
无言。缘来尽量要惜，缘尽就放。人生本来就空，对人家笑笑，对自己笑笑，笑着看天下，看日出日落，花谢花开，岂不自在，哪里来的尘埃!
•
5、心情就像衣服，脏了就拿去洗洗，晒晒，阳光自然就会蔓延开来。阳光那么好，何必自寻烦恼，过好每一个当下，一万个美丽的未来抵不过一个温暖的现在。
•
6、无论你正遭遇着什么，你都要从落魄中站起来重振旗鼓，要继续保持热忱，要继续保持微笑，就像从未受伤过一样。
期权定价-二叉树模型
期权定价-二叉树模型期权定价是金融市场中的重要内容，它是根据期权的特点和市场条件来确定期权价格的过程。
二叉树模型是一种常用的期权定价方法之一，其基本思想是将时间离散化，并通过构建一个二叉树来模拟标的资产价格的变动。
在二叉树模型中，每个节点代表了一个特定的时刻，而每个节点之间的关系是通过上涨和下跌两种情况进行连接的。
通过调整上涨和下跌的幅度，可以模拟出不同标的资产的价格变动情况。
期权的定价在二叉树模型中可以通过回溯法进行计算。
首先，在最后一个节点上，根据期权的特点以及市场条件来确定期权的价值。
然后，逐步向前回溯，通过考虑不同的路径来计算每个节点上的期权价值。
在回溯过程中，需要考虑每个节点的两个子节点的权重，即上涨和下跌的概率。
这可以根据市场条件来确定，通常是基于历史数据进行估计。
然后，在回溯过程中，可以根据节点上的期权价值和子节点的权重来计算每个节点的期权价格。
通过不断回溯，最终可以得到期权的初始价值，即在当前市场条件下，期权价格应该是多少。
这个初始价值可以用作参考，帮助投资者做出合理的投资决策。
需要注意的是，二叉树模型是一个简化的模型，它有一些假设和限制。
首先，它假设标的资产的价格只有上涨和下跌两种情况，而忽略了其他可能的情况。
其次，它假设市场条件在整个期权有效期内保持不变，而实际情况可能是变化的。
因此，在使用二叉树模型进行期权定价时，需要注意这些假设和限制。
总而言之，期权定价是金融市场中的重要内容，二叉树模型是一种常用的定价方法。
通过构建二叉树模型，并根据回溯法计算每个节点上的期权价值，可以得到期权的初始价格。
然而，需要注意二叉树模型的假设和限制，并结合实际情况进行综合分析和判断。
期权定价是金融市场中的重要内容，其旨在确定期权的合理价格。
期权是一种金融工具，赋予购买者在期权到期时以约定价格购买或出售标的资产的权利。
很多投资者都希望能够在市场上买入或者卖出期权，以便于在未来某个时刻获得利润。
因此，了解期权的合理价格对投资者来说至关重要。
二叉树期权定价模型
支付已知红利率资产的期权定价
可通过调整在各个结点上的证券价格，算出期权价格；
如果时刻 it 在除权日之前，则结点处证券价格仍为：
Su j d i j , j 0,1,, i
如果时刻 it 在除权日之后，则结点处证券价格相应调整为：
S (1 )u j d i j
j 0,1, ,i
若在期权有效期内有多个已知红利率，则 it 时刻结点的相应的证券价格为：
2、保持不变，仍为 S ；
3、下降到原先的 d 倍，即 Sd
Su3
Su2
Su2
Su
Su
Su
S
S
S
S
Sd
Sd
Sd
Sd2 Sd2
Sd3
一些相关参数：
u e 3t
d1 u
pm
2 3
pd
t 12 2
r
q
2 2
1 6
t
2 1
pu
12 2
r q
2
6
控制方差技术 基本原理：期权A和期权B的性质相似，我们可以得到期权B的解析定价公
的波动率，mˆ i 为 i 在风险中性世界中的期望增长率， ik为 i 和 k 之间的瞬间相关系数）
常数利率和随机利率的蒙特卡罗模拟 利率为常数时：期权价值为（初始时刻设为0）：
.
f erT Eˆ fT
其中， Eˆ 表示风险中性世界中的期望。
利率为变量时：期权价值为（初始时刻设为0）： f Eˆ erT fT
j 0,1, ,i
注意：由于
u 1 d
，使得许多结点是重合的，从而大大简化了树图。
得到每个结点的资产价格之后，就可以在二叉树模型中采用倒推定价 法，从树型结构图的末端T时刻开始往回倒推，为期权定价。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、关于期权的一些符号规定
• St 表示t时刻标的资产的市场价格；T表示期 权的到期日（Maturity） ，t<T；X表示期 权到期日的执行价格（strike price）；Ct 表示以股票为标的资产、执行价格为X、执 行时间（strike date）为T、在t时刻看涨期 权（ call option，买权）或看跌期权（ put option，卖权）的价格。 • 假设执行该期权时所交割的股票为1股。 • long position，short position，delivery price， delivery date
π 为风险调整概率
• 看涨期权价格为C，执行价格X
Cu C Cd
• 此期权如何定价？先构造一个无风险套期保值 的证券组合：购买一份股票，卖空m份期权，证 券组合价值：
uS-mCu S-mC dS-mCd
• 构造的证券组合是无风险证券组合，故在 期末时它在各个状态的损益是一样的，则 • uS-mCu= dS-mCd • 则
• 市场是竞争的和无摩擦的（无交易费用和 税收）； • 不存在无风险套利机会； • 股票和期权是无限可分的。
• 股票在下一期的价格只有两种状态：
uS S 1
1+r
1+r
dS
• 其中0<q<1,0<d<1+r<u, r为无风险利率。
1 r d ˆ1 u d u r 1 2 ˆ u d
• （一）看涨期权到期日损益分析 • （1）看涨多头（long position，做多方） 的损益： 看涨多头损益=max（ST－X，0）－Ct • （2）看涨空头（short position，做空方） 的损益： 看涨空头损益= Ct －max（ST－X，0）
• （二）看跌期权到期日损益分析 • （1）看跌多头（long position，做多方） 的损益： 看跌多头损益=max（X－ST，0）－Ct • （2）看跌空头（short position，做空方） 的损益： 看跌空头损益= Ct －max（ X－ST ，0） • 以上均未考虑期权的时间价值。
C
• 若投资者是风险中性的，则： (1+r)S=quS+(1-q)dS 在风险中性概率下，证券价格的期望值 贴现就是其现值。 • 由此得
q 1 r d u d
• 因此
ˆ q 1
例子
• 股票价格S=21元，1+r=1.15，u=1.4，d=1.1，X=22元时
• uS=21×1.4=29.4，dS=21×1.1=23.1
ST X1； C 2 C1， 证券组合的损益 ST－X1－C1 C 2 , X1 ST X 2 ; X C －X －C ， ST X 2 2 1 1 2
• (二)熊市价差买卖组合（bearish vertical spread） • 是由卖出一份执行价格为X1的看涨期权、买入一份 执行价格为X2的看涨期权组成，其中X2＞X1。 • 该证券组合的损益数学表达式：
证券组合的损益 max (ST X1 ,0) max (X 2 ST ,0) C1 C 2
• （七）顶部梯形组合（top vertical combination）
• 是由买出一份看涨期权和一份看跌期权组成 的证券组合，期权执行价格分别为X1和X2， 其中X2＞X1 。
• 该证券组合的损益数学表达式：
• (三)蝶式买卖组合（butterfly spread） • 是牛市价差买卖组合和熊市价差买卖组合的组合 而成，即购入一份执行价格为X1和一份执行价格 为X2的看涨期权，再卖出两份执行价格为X3的看 涨期权。其中X2＞X3＞X1。 • 该证券组合的损益数学表达式：
证券组合的损益 max (ST X1 ,0) max (ST X 2 ,0) 2max (ST X 3 ,0) 2C3 C1 C 2
二、期权定价的二期模型
u2S uS udS S dS d2S
u2S=41.16 uS=29.4 udS=32.23
21
dS=23.1
d2S=25.41
Cuu=max(u2S-X,0) Cu Cud=max(udS-X,0) C Cd Cdd=max (d2S-X,0)
q
1 r d u d
三、欧式期权各种头寸的收益图
收益
max( S T X , 0)
收益
min( X S T , 0)
X
ST
X
ST
（1）看涨期权多头 收益 收益
（2）看涨期权空头
max( X S T , 0)
min( S T X , 0)
X
ST
X
ST
（3）看跌期权多头
（ 4） 看跌期权空头
四、其他期权组合的收益
• （九）逆叠做期权（strips） • 由购进两个看跌期权和一个看涨期权组成 的证券组合。它们的执行价格相同。
• 该证券组合的损益数学表达式：
证券组合的损益 max (ST X,0) 2max (X ST ,0) C1 2C 2
• （十）三明治买卖组合（sandwich） • 由购买两份执行价格为中间值Xm的看涨期权、 卖一份执行价格为较低值Xd的看涨期权、卖 一份执行价格为较高值Xu的看涨期权（即Xu ＞Xm＞Xd ）组成的证券组合。
• C=E(Ct)/(1+r)，即期权价值等于在风险中性概率 下二期损益的期望值贴现。
第三节 n期欧式期权的定价模型
• 一、二项式及二项式试验： • n次独立贝努利试验，n次试验中有k次出现正面 的概率：
P( n k ) C q (1 q)
k n k n k
n! k!(n k )!
• Cu=max（uS-X，0）=29.4-22=7.4 • Cd=max（dS-X，0）=23.1-22=1.1
C C u q Cd (1 q) 1 r 1.869565
• 说明1，证券组合：买一份股票和卖一份看涨期权 • 说明2，套期保值证券组合的成本：211×1.87=19.13元 • 说明3，投资的回报率22/19.13=1.15=1+r
m S( u d ) Cu Cd
• m称为套期保值率（hedge ratio）。
期权的价格
• 期权的价格C： • 构造的证券组合是无风险证券组合，则 (1＋r)(S－mC)＝ uS－mCu
C S((1 r) - u) mC u m(1 r )
• 将m代入上式得
Cu ( (1 r) - d u -d ) Cd ( 1 r u - (1 r) u -d ) ˆ ˆ C u 1 C d 2 1 r
,
1 q
u - (1 r) u d
Cu
qC uu (1 q)C ud 1 r C
,
Cd
qCdu (1 q)Cdd 1 r
qC u (1 q )C d 1 r
• 状态1概率q2，状态2概率C21q(1-q)，状态3概率 (1-q)2
Cuu C Cud Cdd
• 该证券组合的损益数学表达式：
证券组合的损益 2max (ST X m ,0) max (X d ST ,0) max (X u ST ,0) 2C m Cd C u
• （十一）W型证券组合 • 由卖出一份执行价格为中间值Xm的顶部马鞍组合 （卖一份看涨期权和一份看跌期权，期权执行价格 相同 ）、买进两份执行价格为较低值Xd的看跌期 权、买进两份执行价格为较高值Xu的看涨期权（即 Xu＞Xm＞Xd ）组成的证券组合。 • 该证券组合的损益数学表达式：
证券组合的损益 max (ST X1 ,0) max (X 2 ST ,0) C1 C 2
• （八）叠做期权（straps） • 由购进两个看涨期权和一个看跌期权组成 的证券组合。它们的执行价格相同。
• 该证券组合的损益数学表达式：
证券组合的损益 2max (ST X,0) max (X ST ,0) 2C1 C 2
例子
• 股票价格S=21，且以q=0.5的概率向上和向下波 动，无风险利率为0.15，u=1.4，d=1.1
uS=29.4 S=21 dS=23.1
• 看涨期权价格为C，执行价格为22。
Cu=max(uS-X,0）=7.4 C Cd= max(uS-X,0) =1.1
二、欧式期权各种头寸的损益分析
q (1 q)
k
n k
• E（ξ n）=nq • D（ξ n）= var（ξ n）=nq Nhomakorabea1-q)
• • • • •
说明期权价格与下列因素有关： 1、股票价格、执行价格； 2、无风险利率r，主要降低执行价格的贴现值； 3、增加到期期限，提高看涨期权的价格； 4、二项分布的方差ϭ2=nq(1-q)增加，看涨期权价 格增加。
• (一)牛市价差买卖组合（bullish vertical spread） • 是由购买一份执行价格为X1的看涨期权、卖出一份 执行价格为X2的看涨期权组成，其中X2＞X1。
• 该证券组合的损益数学表达式：
ST X 2； C 2， 出售期权C 2的损益 X 2－ST C 2，ST X 2 ST X1； - C1， 购买期权C1的损益 ST－X1－C1，ST X1
证券组合的损益 max (ST X 2 ,0) max (ST X1 ,0) C1 C 2 ST X1； C1 C 2， －ST X1 C1－C 2 , X1 ST X 2 ; －X X C －C ， ST X 2 2 1 1 2
证券组合的损益 max (ST X,0) max (X ST ,0) C1 C 2