2018-2019学年人教A版必修二2.3.3-2.3.4直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质作业

合集下载

2018-2019高一数学人教版必修二2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.3

[解析] ∵EB⊥β，a⊂β，∴EB⊥a．又∵a⊥AB，AB∩EB＝B ∴a⊥平面ABE． ∵α∩β＝l，∴l⊂α，l⊂β． ∵EA⊥α，EB⊥β ∴EA⊥l，EB⊥l．又∵EA∩EB＝E ∴l⊥平面ABE． ∴a∥l.
命题方向2 ⇨利用线面垂直的性质证明垂直问题
典例 2 已知 α∩β＝AB，PQ⊥α 于 Q，PO⊥β 于 O，OR⊥α 于 R.
互动探究学案
命题方向1 ⇨利用线面垂直的性质证明平行问题
典例 1 如图，正方体 A1B1C1D1－ABCD 中，EF 与异
面直线 AC、A1D 都垂直相交．求证：EF∥BD1.
• [思路分析] 要证明EF∥BD1，转化为证明EF⊥平面AB1C， BD1⊥平面AB1C．
• [解析] 如图所示，连接AB1，B1C，BD．因为DD1⊥平面 ABCD，AC⊂平面ABCD，所以DD1⊥AC． • 又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，所以AC⊥平面BDD1． • 又BD1⊂平面BDD1，所以AC⊥BD1． • 同理可证BD1⊥B1C． • 又AC∩B1C＝C，所以BD1⊥平面AB1C． • 因为EF⊥AC，EF⊥A1D，又A1D∥B1C，所以EF⊥B1C． • 又AC∩B1C＝C，所以EF⊥平面AB1C． • 所以EF∥BD1．
新课标导学
数学
必修② ·人教A版
第二章
点、直线、平面之间的位置关系 2．3 直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.3 直线与平面垂直的性质
1 2
自主预习学案
互动探究学案
3
课时作业学案
自主预习学案
直线与平面垂直的性质定理文字语言符号语言
平行垂直于同一个平面的两条直线________
a⊥α a__ ∥__ b __ ⇒____ b⊥α

高中数学人教A版必修二 2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质课件(39张)

2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质
要点 1 直线与平面垂直的性质定理 (1)文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行．
(2)图形语言： (3)符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.
要点 2 直线 l 与平面 α 垂直，则 l 垂直于 α 内的任意一条直线
要点 3 平面与平面垂直的性质定理 (1)文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．
探究 2 证明面面平行的方法： ①定义，②判定定理，③判定定理的推论，④平行公理的传递性，⑤本题结论．
思考题 2 已知正方体 ABCD－A1B1C1D1，棱长为 a，
(1)截面 AB1D1 和截面 C1BD 的位置关系如何？并证明； (2)求 C 点到截面 BDC1 的距离； (3)截面 AB1D1 和截面 C1BD 之间的距离是多少？【答案】 (1)平行，(可证明两截面都与直线 A1C 垂直) (2) 33a(可用等积法)
又 PD∩CD＝D，∴AE⊥平面 PCD. ② 由①，②可知 AE∥MN.
题型二证明面面平行
例 2 和同一条直线垂直的两个平面互相平行．已知：直线 l⊥平面 α，直线 l⊥平面 β. 求证：α∥β.
【证明】假设 α 与 β 不平行，则 α 与 β 相交，设 α∩β＝m.
设 l∩α＝A，l∩β＝B，如图．在 m 上取一点 D，则 l 和 D 确定一个平面 γ. 连接 BD、AD，则 AD⊂γ，AD⊂α，BD⊂γ，BD⊂β. ∵l⊥α，l⊥β，∴l⊥AD，l⊥BD. 这与在平面内过直线外一点只能作一条已知直线的垂线相矛盾， ∴α∥β.
【证明】 (1)连接 BD.∵四边形 ABCD 为菱形，且∠DAB ＝60°，
∴BG⊥AD. ∵平面 PAD⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD，平面 PAD∩ 平面 ABCD＝AD. ∴BG⊥平面 PAD.

2.3.3直线与平面2.3.4平面与平面垂直的性质(1)学案(含解析)新人教A版必修2

2．3.3 & 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质第一课时直线与平面、平面与平面垂直的性质[提出问题]世界上的高楼大厦太多了：中国上海中心大厦632米，天津高银117大厦621米，位于深圳的平安国际金融大厦600米(如右图)．问题1：上海中心大厦外墙的每列玻璃形成的直线与地面有何位置关系？提示：垂直．问题2：每列玻璃形成的直线是什么位置关系？提示：平行． [导入新知]直线与平面垂直的性质定理(1)文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行． (2)图形语言：(3)符号语言：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b .(4)作用：①线面垂直⇒线线平行； ②作平行线． [化解疑难]对于线面垂直的性质定理的理解(1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法．(2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据．[提出问题]教室内的黑板所在的平面与地面所在的平面垂直．问题1：在黑板上任意画一条线与地面垂直吗？提示：不一定，也可能平行、相交(不垂直)．问题2：怎样画才能保证所画直线与地面垂直？提示：只要保证所画的线与两面的交线垂直即可． [导入新知]平面与平面垂直的性质定理 (1)文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． (2)图形语言：(3)符号语言：⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝l a ⊂αa ⊥l⇒a ⊥β.(4)作用：①面面垂直⇒线面垂直； ②作面的垂线． [化解疑难]对面面垂直的性质定理的理解 (1)定理成立的条件有三个： ①两个平面互相垂直； ②直线在其中一个平面内； ③直线与两平面的交线垂直．(2)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直． (3)已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直.[例1] 如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．求证：平面BCE ⊥平面CDE .[解] 证明：取CE 的中点G ，连接FG ，BG ，AF .∵F 为CD 的中点，∴GF ∥DE ，且GF ＝12DE .∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， ∴AB ∥DE .则GF ∥AB . 又∵AB ＝12DE ，∴GF ＝AB .则四边形GFAB 为平行四边形．于是AF ∥BG . ∵△ACD 为等边三角形，F 为CD 的中点， ∴AF ⊥CD .∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE ⊥AF .又∵CD ∩DE ＝D ，CD ，DE ⊂平面CDE ，∴AF ⊥平面CDE . ∵BG ∥AF ，∴BG ⊥平面CDE .∵BG ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE . [类题通法]1．此类问题是证明两个平面垂直比较难的问题，证明时要综合题目中的条件，利用条件和已知定理来证，或从结论出发逆推分析．2．若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质．[活学活用]如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PB ⊥平面ABCD .(1)若AC ＝6，BD ＝8，PB ＝3，求三棱锥A PBC 的体积； (2)若点E 是DP 的中点，证明：BD ⊥平面ACE . 解：(1)∵四边形ABCD 为菱形， ∴BD 与AC 相互垂直平分，∴底面ABCD 的面积S 菱形ABCD ＝12×6×8＝24，∴S △ABC ＝12S 菱形ABCD ＝12.又PB ⊥平面ABCD ，且PB ＝3，∴三棱锥A PBC 的体积V A PBC ＝V P ABC ＝13×PB ×S △ABC ＝12.(2)证明：如图，设BD 与AC 相交于点O ，连接OE ，∵O 为BD 的中点，E 是DP 的中点，∴OE ∥PB . 又PB ⊥平面ABCD ，∴OE ⊥平面ABCD . ∵BD ⊂平面ABCD ，∴OE ⊥BD ，由(1)知AC ⊥BD ，又AC ∩OE ＝O ， ∴BD ⊥平面ACE .[例2] 如图所示，P 是四边形ABCD 所在平面外的一点，四边形ABCD 是∠DAB ＝60°，且边长为a 的菱形．侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD .(1)若G 为AD 边的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； (2)求证：AD ⊥PB .[解] 证明：(1)连接PG ，由题知△PAD 为正三角形，G 是AD 的中点，则PG ⊥AD . 又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，PG ⊂平面PAD ，∴PG ⊥平面ABCD . ∵BG ⊂平面ABCD ， ∴PG ⊥BG .又∵四边形ABCD 是菱形，且∠DAB ＝60°， ∴△ABD 是正三角形．则BG ⊥AD .又∵AD ∩PG ＝G ，且AD ，PG ⊂平面PAD ， ∴BG ⊥平面PAD .(2)由(1)可知BG ⊥AD ，PG ⊥AD .又∵BG ，PG 为平面PBG 内两条相交直线， ∴AD ⊥平面PBG .∵PB⊂平面PBG，∴AD⊥PB.[类题通法]证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．[活学活用]如图，菱形ABEF所在平面与直角梯形ABCD所在平面互相垂直，AB＝2AD＝2CD＝4，∠ABE＝60°，∠BAD＝∠CDA＝90°，点H是线段EF 的中点．(1)求证：平面AHC⊥平面BCE；(2)求此几何体的体积．解：(1)证明：连接AE，在菱形ABEF中，因为∠ABE＝60°，所以△AEF是等边三角形．又因为H是线段EF的中点，所以AH⊥EF，所以AH⊥AB.因为平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF∩平面ABCD＝AB，所以AH⊥平面ABCD，所以AH⊥BC.在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2CD＝4，∠BAD＝∠CDA＝90°，得到AC＝BC＝22，从而AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC.又AH∩AC＝A，所以BC⊥平面AHC.又BC⊂平面BCE，所以平面AHC⊥平面BCE.(2)连接FC，因为V＝V EACB＋V FADC＋V CAEF，又易得S△ACB＝4，S△ADC＝2，S△AEF＝43，所以V＝V EACB＋V FADC＋V CAEF＝13(23×4＋23×2＋2×43)＝2033.[例3] 已知：如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．(1)求证：PA⊥平面ABC；(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．[解] 证明：(1)在平面ABC内任取一点D，作DF⊥AC于点F，作DG⊥AB于点G.∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面PAC.∵PA⊂平面PAC，∴DF⊥PA.同理可证，DG⊥PA.∵DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC.(2)连接BE并延长交PC于点H.∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BH.又∵AE是平面PBC的垂线，∴PC⊥AE.∵BH∩AE＝E，∴PC⊥平面ABE，∴PC⊥AB.又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB.∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC.∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．[类题通法]线线、线面、面面垂直关系的综合应用主要体现了转化思想．证明线面垂直常转化为线线垂直，证明面面垂直常转化为线面垂直．[活学活用]如图，在三棱锥PABC中，E，F分别为AC，BC的中点．(1)求证：EF∥平面PAB；(2)若平面PAC⊥平面ABC，且PA＝PC，∠ABC＝90°，求证：平面PEF⊥平面PBC.证明：(1)∵E，F分别为AC，BC的中点，∴EF∥AB.又EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB.(2)∵PA＝PC，E为AC的中点，∴PE⊥AC.又∵平面PAC⊥平面ABC，∴PE⊥平面ABC，∴PE⊥BC.又∵F为BC的中点，∴EF∥AB.∵∠ABC＝90°，∴BC⊥EF.∵EF∩PE＝E，∴BC⊥平面PEF.又∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PEF.5.垂直性质定理应用的误区[典例] 已知两个平面垂直，有下列命题：①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确命题的个数是( )A．3 B．2C．1 D．0[解析] 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，对于①AD1⊂平面AA1D1D，BD⊂平面ABCD，AD1与BD是异面直线，所成角为60°，①错误；②正确．对于③，AD1⊂平面AA1D1D，AD1不垂直于平面ABCD；对于④，过平面AA1D1D内点D1作D1C.∵AD⊥平面D1DCC1，D1C⊂平面D1DCC1，∴AD⊥D1C.但D1C不垂直于平面ABCD，④错误．[答案] C[易错防范]对于④，很容易认为是正确的，其实与面面垂直的性质定理是不同的，“一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直”与“过一个平面内任意一点作交线的垂线，此垂线与另一个平面垂直”是不同的，关键是过点作的直线不一定在已知平面内．[成功破障]如果直线l，m与平面α，β，γ之间满足：l＝β∩γ，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么( )A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ答案：A[随堂即时演练]1．下列命题中错误的是( )A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β答案：D2．设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是( )A．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥βB．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥αC．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥βD．若α⊥β，n⊥β，m⊥n，则m⊥α答案：B3．若a，b表示直线(不重合)，α表示平面，有下列说法：①a⊥α，b∥α⇒a⊥b；②a ⊥α，a⊥b⇒b∥α；③a∥α，a⊥b⇒b⊥α；④a⊥α，b⊥α⇒a∥b.其中正确的是________(填序号)．答案：①④4．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n⊂β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是________．答案：平行5.如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝2，CE＝EF＝1，求证：CF⊥平面BDE.证明：如图，设AC∩BD＝G，连接EG，FG.由AB＝2易知CG＝1，则EF＝CG＝CE.又EF∥CG，所以四边形CEFG为菱形，所以CF⊥EG.因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.又平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，所以BD⊥平面ACEF，所以BD⊥CF.又BD∩EG＝G，所以CF⊥平面BDE.[课时达标检测]一、选择题1．若l，m，n表示不重合的直线，α表示平面，则下列说法中正确的个数为( )①l∥m，m∥n，l⊥α⇒n⊥α；②l∥m，m⊥α，n⊥α⇒l∥n；③m⊥α，n⊂α⇒m⊥n.A．1 B．2C．3 D．0答案：C2．如果直线a与平面α不垂直，那么平面α内与直线a垂直的直线有( )A．0条B．1条C．无数条D．任意条答案：C3．(浙江高考)设l是直线，α，β是两个不同的平面( )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β答案：B4．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β答案：D5.如图，线段AB的两端在直二面角αlβ的两个面内，并与这两个面都成30°角，则异面直线AB与l所成的角是( )A．30° B．45°C．60° D．75°答案：B二、填空题6.如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB，则直线a与直线l的位置关系是________．答案：平行7.如图，四面体PABC中，PA＝PB＝13，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，则PC＝________.答案：78.如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°.其中正确的有______(把所有正确的序号都填上)．答案：①④三、解答题9.如图，三棱锥PABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC.证明：∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，∴PA⊥平面ABC.又BC ⊂平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB⊂平面PAB，PA⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB.又BC⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC.10.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.证明：(1)在四棱锥PABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.- 11 -。

2.3.3-4 直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质学案(人教A版必修2)

2．3.3 直线与平面垂直的性质 2．3.4 平面与平面垂直的性质【课标要求】1．掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理． 2．能运用性质定理解决一些简单问题. 【核心扫描】1．线面垂直、面面垂直性质定理的应用．(重点) 2．线线、线面、面面垂直关系的相互转化．(难点)新知导学1．温馨提示：线与直线平行的结论．(2)该定理可用来判定两直线平行，揭示了“平行”与“垂直”这两种特殊位置关系之间的转化．温馨提示其他性质(1)如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．即α⊥β，A ∈α，A ∈b ，b ⊥β⇒b ⊂α.(2)如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内．即α⊥β，b ⊥β⇒b ∥α或b ⊂α.互动探究探究点1 垂直于同一直线的两个平面有什么关系？提示平行(可用此结论判定面面平行)．探究点2 两个平面均垂直于一个平面，这两个平面有什么关系？提示关系不能确定，平行、相交(垂直)都有可能．类型一利用线面垂直性质定理证平行问题【例1】如图所示，在正方体A1B1C1D1-ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1.[思路探索]分别证明EF、BD都垂直平面ACB1即可．1证明如图所示：连接AB1，B1D1，B1C1，BD.∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1B1.又BD1⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C.又B1C∩AC＝C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥AC，EF⊥A1D，又A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.[规律方法]线面垂直的性质是证明线线平行的方法之一，还可进而证明线面、面面平行．【活学活用1】如图所示，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE ＝AB＝2a，CD＝a，F为BE的中点．求证：DF∥平面ABC.证明取AB的中点G，连接FG、GC，则FG为△BEA中位线，∴FG∥AE.∵AE⊥平面ABC，FG∥AE，∴FG⊥平面ABC.∵FG⊥平面ABC，CD⊥平面ABC，∴FG ∥CD .又FG ＝12AE ＝CD ＝a .∴四边形CDFG 为平行四边形，FD ∥CG .∵FD ∥CG .CG ⊂平面ABC ，∴DF ∥平面ABC . 类型二利用面面垂直的性质定理证垂直问题【例2】如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．已知α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l . 求证：l ⊥γ.[思路探索] 根据直线和平面垂直的判定定理，可在γ内构造两相交直线分别与平面α，β垂直；或者由面面垂直的性质易在α，β内作出平面γ的垂线，再设法证明l 与其平行即可．证明法一在γ内取一点P ，作P A 垂直α与γ的交线于A ，PB 垂直β与γ的交线于B ，则P A ⊥α，PB ⊥β.∵l ＝α∩β，∴l ⊥P A ，l ⊥PB .又P A ∩PB ＝P ，且P A ⊂γ，PB ⊂γ， ∴l ⊥γ.法二在α内作直线m 垂直于α与γ的交线，在β内作直线n 垂直于β与γ的交线， ∵α⊥γ，β⊥γ，∴m ⊥γ，n ⊥γ.∴m ∥n .又n ⊂β，∴m ∥β.又m ⊂α，α∩β＝l ， ∴m ∥l .∴l ⊥γ.[规律方法] 面面垂直的性质是作平面的垂线的重要方法，因此，在有面面垂直的条件下，若需要平面的垂线，要首先考虑面面垂直的性质．【活学活用2】如图，在三棱锥P ABC 中，P A ⊥平面ABC ，平面P AB ⊥平面PBC .求证：BC ⊥AB .证明在平面P AB 内，作AD ⊥PB 于D . ∵平面P AB ⊥平面PBC ，且平面P AB ∩平面PBC ＝PB .∴AD ⊥平面PBC .又BC ⊂平面PBC ，∴AD ⊥BC .又∵P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴P A ⊥BC ，∴BC ⊥平面P AB . 又AB ⊂平面P AB ，∴BC ⊥AB .类型三利用面面垂直的性质定理求二面角【例3】在平面四边形ABCD 中，已知AB ＝BC ＝CD ＝a ，∠ABC ＝90°，∠BCD ＝135°，沿AC 将四边形折成直二面角B -AC -D .(1)求证：平面ABC ⊥平面BCD ；(2)求平面ABD 与平面ACD 所成的角的度数． [思路探索] 关于折叠问题，关键明确在折叠前后哪些量发生变化，如线与线的位置关系，角的大小等，要抓住不变量来解题．(1)证明如图所示，其中图(1)是平面四边形，图(2)是折后的立体图．在四边形ABCD 中， ∵AB ＝BC ，AB ⊥BC ， ∴∠ACB ＝45°，而∠BCD ＝∠ACB ＋∠ACD ＝135°， ∴∠ACD ＝90°，即CD ⊥AC .又平面ABC 与平面ACD 的二面角的平面为直角，且平面ABC ∩平面ACD ＝AC ，∴CD ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面BCD ，∴平面ABC ⊥平面BCD . (2)解过点B 作BE ⊥AC ，E 为垂足，则BE ⊥平面ACD . 又过点E 在平面ACD 内作EF ⊥AD ，F 为垂足，连接BF . 由已知可得BF ⊥AD ， ∴∠BFE 是二面角B -AD -C 的平面角．∵E 为AC 的中点，∴AE ＝12AC ＝22a .又sin ∠DAC ＝CD AD ＝33，EF ＝33AE ，∴EF ＝22a ·33＝66a ，tan ∠BFE ＝BEEF＝ 3.∴∠BFE ＝60°，即平面ABD 与平面ACD 所成的角的度数为60°.[规律方法] 当一个平面与二面角的一个面垂直时，常利用面面垂直的性质作出二面角面的垂线，而作出平面角．【活学活用3】如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，且P A ＝AD ＝2，E 、F 分别为AD 、PC 中点．(1)求异面直线EF 和PB 所成角的大小； (2)求证：平面PCE ⊥平面PBC ； (3)求二面角E -PC -D 的大小．(1)解如图，取PB 的中点G ，连接FG 、AG ， ∵E 、F 分别为AD 、PC 中点，∴FG 綉12BC ，AE 綉12BC ，∴FG 綉AE ，∴四边形AEFG 是平行四边形，∴AG ∥FE ，∵P A ＝AD ＝AB ，∴AG ⊥PB ，即EF ⊥PB ， ∴EF 与PB 所成的角为90°.(2)证明由(1)知AG ⊥PB ，AG ∥EF ， ∵P A ⊥平面ABCD ，∴BC ⊥P A ， ∵BC ⊥AB ，AB ∩BC ＝B ， ∴BC ⊥平面P AB ，∴BC ⊥AG ，又∵PB ∩BC ＝B ， ∴AG ⊥平面PBC ， ∴EF ⊥平面PBC ， ∵EF ⊂平面PCE ，∴平面PCE ⊥平面PBC .(3)解作EM ⊥PD 于点M ，连接FM ， ∵CD ⊥平面P AD ，∴CD ⊥EM ， ∴EM ⊥平面PCD ，EM ⊥PC ，由(2)知EF ⊥平面PBC ，∴EF ⊥PC ，又EM ∩EF ＝E ， ∴PC ⊥平面EFM ， ∴FM ⊥PC ，∴∠MFE 是二面角E -PC -D 的平面角或其补角．∵P A ＝AD ＝2，∴EF ＝AG ＝2，EM ＝22，∴sin ∠MFE ＝EM EF ＝12，∴∠MEF ＝30°，即二面角E -PC -D 的大小为30°. 方法技巧转化思想在垂直关系转换中的应用线线垂直、线面垂直和面面垂直的转换关系如下：当证明垂直关系时，要灵活地应用垂直之间的转换关系．当运用平面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直．【示例】如图所示，在四棱锥V -ABCD 中，底面四边形ABCD 是正方形，侧面三角形VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD .(1)证明AB ⊥平面VAD ；(2)求面VAD 与面VDB 所成的二面角的平面角的正切值． [思路分析] (1)用面面垂直的性质 (2)由(1)利用垂线法作平面角．(1)证明 ∵底面四边形ABCD 是正方形， ∴AB ⊥AD .又∵平面VAD ⊥底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，且平面VAD ∩平面ABCD ＝AD ， ∴AB ⊥平面VAD .(2)解如图所示，取VD 的中点E ，连接AE ，BE . ∵△VAD 是正三角形，∴AE ⊥VD ，AE ＝32AD .∵AB ⊥平面VAD ， ∴AB ⊥VD .又∵AE ∩AB ＝A ， ∴VD ⊥平面ABE .∴BE ⊥VD .因此∠AEB 就是所求二面角的平面角，于是tan ∠AEB ＝233.[题后反思] 证明垂直问题，要结合条件充分利用已知或证出的垂直关系的性质灵活地进行垂直间的转化．课堂达标1．平面α⊥平面β，a⊥α，则有()．A．a∥βB．a∥β或a⊂βC．a与β相交D．a⊂β解析由已知易得：a∥β或a⊂β.答案 B2．(2012·济宁高一检测)已知平面α⊥平面β，则以下说法正确的个数是()．①平面α内的直线必垂直平面β内的无数条直线；②在平面β内垂直于平面α与平面β的交线的直线必垂直于α内的任意一条直线；③α内的任意一条直线必垂直于β；④过β内的任意一点作平面α与平面β的交线的垂线，此直线必垂直于α.A．4 B．3C．2 D．1解析①②正确，③④不正确．答案 C3．已知a、b为直线，α、β为平面．在下列四个命题中，正确的命题是________．①若a⊥α，b⊥α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a⊥α，a⊥β，则α∥β；④若α∥b，β∥b，则α∥β.解析由“垂直于同一平面的两直线平行”知①真；由“平行于同一平面的两直线平行或异面或相交”知②假；由“垂直于同一直线的两平面平行”知③真；易知④假．答案①③4．已知α、β、γ是三个互不重合的平面，l是一条直线，给出下列四个命题：①若α⊥β，l⊥β，则l∥α；②若l⊥α，l∥β，则α⊥β；③若l上有两个点到α的距离相等，则l∥α；④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β.其中正确命题的序号是________．解析①也可能是直线l⊂α；②正确；③中的两个点可以在平面的两侧；④正确．答案②④5．如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，P A⊥平面ABCD，且P A ＝AB，点E是PD的中点．(1)求证：AC⊥PB；(2)求证：PB∥平面AEC；(3)求二面角E-AC-B的大小．(1)证明(1)由P A⊥平面ABCD可得P A⊥AC.又AB⊥AC，所以AC⊥平面P AB，所以AC⊥PB.(2)证明如图，连接BD交AC于点O，连接EO，则EO是△PDB的中位线，∴EO∥PB.又EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，∴PB∥平面AEC.(3)解如图，取AD的中点F，连接EF，FO，则EF是△P AD的中位线，∴EF∥P A.又P A⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.同理，FO 是△ADC 的中位线， ∴FO ∥AB ，∴FO ⊥AC . 因此，∠EOF 是二面角E -AC -D 的平面角．又FO ＝12AB ＝12P A ＝EF ，∴∠EOF ＝45°.而二面角E -AC -B 与二面角E -AC -D 互补，故所求二面角E -AC -B 的大小为135°.课堂小结1．直线与平面垂直的性质定理是平行关系与垂直关系的完美结合，利用垂直关系可判断平行，反过来由平行关系也可判定垂直，即两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面．2．面面垂直的性质定理是判断线面垂直的又一重要定理．3．灵活进行线线、线面、面面垂直关系之间的转换，是判定和运用垂直关系的关键．。

2019高中数学必修二人教A课件：2-3-3-2-3-4 直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质

3.(线面、面面垂直的综合应用)已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,且 m∥α,n⊂β,则下列叙述正确的是( ) D (A)若α∥β,则m∥n (B)若m∥n,则α∥β (C)若n⊥α,则m⊥β (D)若m⊥β,则α⊥β
4.(面面垂直的性质定理)下列命题中错误的是( ) D (A)如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β (B)如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β (C)如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γ (D)如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β
即时训练1-1:如图,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD为等边三角形, AD=DE=2AB,F为CD的中点. 求证:平面BCE⊥平面CDE.
证明:取 CE 的中点 G,连接 FG,BG,AF.
1 因为 F 为 CD 的中点,所以 GF∥DE,且 GF= D⊥平面 ACD, 所以 AB∥DE.则 GF∥AB.
(2)证明:①因为ABCD-A1B1C1D1为正方体, 所以AD1⊥A1D. 又因为CD⊥平面ADD1A1,AD1⊂平面ADD1A1, 所以CD⊥AD1.因为A1D∩CD=D, 所以AD1⊥平面A1DC. 又因为MN⊥平面A1DC,所以MN∥AD1.
②M是AB的中点.
(2)证明:②设 AD1∩A1D=O,连接 ON,在△A1DC 中,A1O=OD,A1N=NC. 所以 ON
(1)解析:由线面垂直的性质定理可知①正确;对于②,当α ∥β,m⊂α ,n ⊂β时,m与n可能平行也可能异面,故②不正确;对于③,当m∥n,m∥α 时, n∥α 或n⊂α ,故③不正确;对于④,由m∥n,m⊥α ,得n⊥α ,又α ∥β,所以n⊥β,故④正确. 故选C.

《2.3.3 直线与平面垂直的性质》和《2.3.4 平面与平面垂直的性质》教学设计

《空间中直线、平面的垂直关系》教学设计一、教材内容解析本节课的内容是探究空间直线与平面、平面与平面垂直的性质，选自人教A 版教材《2.3.3 直线与平面垂直的性质》和《2.3.4 平面与平面垂直的性质》。

空间中直线、平面的垂直关系是一种非常重要的的位置关系，它不仅应用广泛，而且是空间问题平面化的典范。

这类问题求解的关键是根据线面、面面之间的互化关系，借助创设辅助线和面，找出符号语言和图形语言之间的关系。

通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象力和逻辑推理能力。

本节内容是学习了线面垂直和面面垂直判定之后的进一步探究，进一步巩固“观察模型——直观感知——操作确认——推理证明——拓展应用”定理学习模式，培养学生空间概念，空间想象能力以及逻辑推理能力。

二、教学目标设置根据本课教材的特点，新大纲对本节课的教学要求，结合学生身心发展的合理需要，确定以下教学目标：（1）知识与技能目标：①让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理的正确认识；②会证明性质定理，并能运用性质定理解决一些简单问题。

（2）过程与方法目标：①通过“直观感知、操作确认，推理证明”，培养学生逻辑推理能力；②了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系，掌握转化思想在解决问题中的运用；③通过类比空间中直线与平面的平行关系、平面与平面的平行关系的学习方法来探究本节课中的垂直关系。

（3）情感态度与价值观目标：①让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣；②提高学生的合情推理能力和空间想象力，培养学生的质疑思辨、创新精神；③进一步体会几何中的公理化体系，提升学生的科学素养。

教学重点：学生经历“观察模型——直观感知——操作确认——推理证明——拓展应用”定理学习过程，培养空间想象能力和逻辑推理能力，感悟数学中的“转化”的思想，并能类比此方法用于其它数学命题的学习，解决更多的生活中的实际问题，所以性质定理的发现及证明是本节课的重点。

高中数学必修二课件：2.3.3--2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质(共33张)

C1 B1
D1 A1
C
D
B
A
思考2
如果直线a，b都垂直于同一条直线l，那么直线a，b的位置关系如何？llbl Nhomakorabeaab
相交
ab
平行
a
异面
思考3
动手做一做
如果直线a，b都垂直于平面α，那么a与b 一定平行吗？
a
b
已知：a⊥平面，b⊥平面，
求证：a∥b．
ab
O
已知：a⊥平面，b⊥平面，
求证：a∥b．
β
思考3:如图，长方体ABCD—A1B1C1D1 中，平面A1ADD1与平面ABCD垂直，其交线为AD，直线A1A，D1D都在平面 A1ADD1内，且都与交线AD垂直，这两条直线与平面ABCD垂直吗？
C1
D1
B1
A1
C
D
B
A
思考4:一般地， , CD , CD,AB ,AB CD, AB , AB CD ,垂足为B，那么直线AB与平面 β 的位置关系如何？为什么？
β
m
,l , m,l m
l .
知识探究（二）平面与平面垂直的性质探究
思考1:若α⊥β，过平面α内一点A 作平面β的垂线，垂足为B，那么点 B在什么位置？说明你的理由.
α
A
B β
思考2:上述分析表明：如果两个平面互相垂直，那么经过一个平面内一点且垂直于另一个平面的直线，必在这个平面内.该性质在实际应用中有何理论作用？
(1)判断BC与平面PAC的位置关系，并证明。
(2)判断平面PBC与平面PAC的位置关系。
(1)证明：∵ AB是⊙O的直径 P ，C是圆周上不同于A，B的
任意一点

2018年人教A版数学必修2 第2章 2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质

[ 基础· 初探] 教材整理 1 直线与平面垂直的性质定理阅读教材 P70 的内容，完成下列问题．文字语言符号语言
平行垂直于同一个平面的两条直线_____
a⊥α ⇒_____ a∥b b⊥α
图形语言
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行．( (2)垂直于同一平面的两条直线互相平行．( ) )
D
) B．EF⊂平面 A1B1C1D1 D．相交且垂直
[ 在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，平面 A 1ABB1⊥平面
A 1B1C1D1 且平面 A 1ABB1∩平面 A 1B1C1D1＝A 1B1，又 EF⊂面 A 1ABB1，EF⊥A 1B1，∴EF⊥平面 A 1B1C1D1，答案 D 正确．]
面PAD⊥底面ABCD ―→ BG⊥AD ―――――――→ BG⊥平面PAD (2)要证 AD⊥PB，只需证 AD⊥平面 PBG 即可．
【自主解答】
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(1)如图，在菱形 ABCD 中，连接 BD，
由已知∠DAB＝60° ， ∴△ABD 为正三角形， ∵G 是 AD 的中点， ∴BG⊥AD. ∵平面 PAD⊥平面 ABCD，且平面 PAD∩平面 ABCD＝AD， ∴BG⊥平面 PAD.
(2)如图，连接 PG. ∵△PAD 是正三角形，G 是 AD 的中点， ∴PG⊥AD，由(1)知 BG⊥AD.又∵PG∩BG＝G. ∴AD⊥平面 PBG. 而 PB⊂平面 PBG.∴AD⊥PB.
1．证明或判定线面垂直的常用方法 (1)线面垂直的判定定理； (2)面面垂直的性质定理； (3)若 a∥b，a⊥α，则 b⊥α(a、b 为直线，α 为平面)； (4)若 a⊥α，α∥β，则 a⊥β(a 为直线，α，β 为平面)． 2．两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线．

2018-2019学年人教A版必修2 2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质课件(39张)

面 PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面 ABCD．
(1)若 G 为 AD 边的中点，求证：BG⊥平面 PAD； (2)求证：AD⊥PB．
栏目导引
第二章点、直线、平面之间的位置关系
【证明】 (1)如图所示，连接 BD．因为四边形 ABCD 是菱形，且∠DAB＝60°，所以△ABD 是正三角形， ……………………(2 分) 因为 G 是 AD 的中点，
栏目导引
第二章点、直线、平面之间的位置关系
证明：(1)因为平面 PAD⊥底面 ABCD，且 PA 垂直于这两个平面的交线 AD，所以 PA⊥底面 ABCD． (2)因为 AB∥CD，CD＝2AB，E 为 CD 的中点，所以 AB∥DE，且 AB＝DE．所以四边形 ABED 为平行四边形．所以 BE∥AD．又因为 BE⊄平面 PAD，AD⊂平面 PAD，所以 BE∥平面 PAD．
【证明】 (1)因为四边形 ADD1A1 为正方形，所以 AD1⊥A1D．又因为 CD⊥平面 ADD1A1，所以 CD⊥AD1．因为 A1D∩CD＝D，所以 AD1⊥平面 A1DC．又因为 MN⊥平面 A1DC，所以 MN∥AD1．
栏目导引
第二章点、直线、平面之间的位置关系
(2)如图，连接 ON，在△A1DC 中，A1O＝OD， A1N＝NC．所以 ON∥═12CD．因为 CD∥═AB，所以 ON∥AM．又因为 MN∥OA，
垂直关系的转化在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：
栏目导引
第二章点、直线、平面之间的位置关系
3．如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面 PAD⊥底面 ABCD，PA⊥AD，E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点．求证： (1)PA⊥底面 ABCD； (2)BE∥平面 PAD； (3)平面 BEF⊥平面 PCD．

2018-2019学年人教A版必修2 2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质课件(44张)

当堂达标 • 固双基
合作探究 • 攻重难
因为 MN⊥AB，AB∥CD，所以 MN⊥CD. 又因为 MN⊥PC，PC∩CD＝C，所以 MN⊥平面 PCD，所以 AE∥MN.
课时分层作业
返首页
自主预习 • 探新知
[规律方法]
证明线线平行的常用方法
1利用线线平行定义：证共面且无公共点. 2利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线. 3利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行. 4利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直. 5利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.
当堂达标 • 固双基
合作探究 • 攻重难
[提示] (1)正确．若设 α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，b⊥l，则 a⊥b，故 β 内与 b 平行的无数条直线均垂直于 α 内的任意直线． (2)错误．垂直于交线的直线必须在平面 β 内才与平面 α 垂直，否则不垂直．
返首页
课时分层作业
当堂达标 • 固双基
合作探究• 攻重难
课时分层作业
返首页
[跟踪训练]
自主预习 • 探新知
1．如图 2338，已知平面 α∩平面 β＝l，EA⊥α，垂足为 A，EB⊥β，垂足为 B，直线 a⊂β，a⊥AB.求证： a∥l.
[证明]
因为 EA⊥α，α∩β＝l，即 l⊂α，所以 l⊥EA.
合作探究 • 攻重难
平行
[
课时分层作业
返首页
[合作探究· 攻重难]
自主预习 • 探新知

2019-2020人教A版数学必修2第2章 2.3 2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质

栏目导航
1．如图，已知平面 α∩平面 β＝l，EA⊥α，垂足为 A，EB⊥β，直线 a⊂β，a⊥AB.求证：a∥l.
栏目导航
[证明] 因为 EA⊥α，α∩β＝l，即 l⊂α，所以 l⊥EA. 同理 l⊥EB.又 EA∩EB＝E，所以 l⊥平面 EAB. 因为 EB⊥β，a⊂β，所以 EB⊥a，又 a⊥AB，EB∩AB＝B，所以 a⊥平面 EAB. 由线面垂直的性质定理，得 a∥l.
(2)平面 BDM⊥平面 ECA； (3)平面 DEA⊥平面 ECA.
栏目导航
线线、线面、面面垂直的综合应用 [探究问题] 试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系． [提示] 垂直问题转化关系如下所示：
栏目导航
【例 3】如图所示，△ABC 为正三角形，EC⊥平面 ABC， BD∥CE，且 CE＝CA＝2BD，M 是 EA 的中点，求证：(1)DE＝DA；
第二章点、直线、平面之间的位置关系
2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质
栏目导航
学习目标
核心素养
1. 理解直线和平面垂直、平面与平面 1.通过学习直线与平面
垂直的性质，提升直观想
垂直的性质定理，并能用文字、符号
象、逻辑推理的数学素
栏目导航
证明线线平行常用如下方法： 1利用线线平行定义：证共面且无公共点； 2利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线； 3利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行； 4利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直； 5利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.
栏目导航
1．证明或判定线面垂直的常用方法： (1)线面垂直的判定定理； (2)面面垂直的性质定理； (3)若 a∥b，a⊥α，则 b⊥α(a、b 为直线，α 为平面)； (4)若 a⊥α，α∥β，则 a⊥β(a 为直线，α，β 为平面)；

2019年数学人教A必修二：2.3 2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质

A．α∥γ
B．α⊥γ
C．α 与 γ 相交但不垂直
D．以上都有可能
解析：选 D．由题意知，α 与 γ 可能平行，也可能相交．如图，α 与 δ 平行，α 与 γ 相交．
栏目导引
第二章点、直线、平面之间的位置关系
已知平面 α⊥平面 β，直线 a∥α，以下三个结论：①a⊥β； ②a∥β；③a 与 β 相交．其中可能正确的序号为______．解析：因为 a∥α，平面 α⊥平面 β，所以直线 a 与 β 垂直、相交、平行都有可能．答案：①②③
证：BC⊥AC．
栏目导引
第二章点、直线、平面之间的位置关系
【证明】如图，在平面 PAC 内作 AD⊥PC 于点 D，
因为平面 PAC⊥平面 PBC，平面 PAC∩平面 PBC＝PC，AD ⊂平面 PAC，且 AD⊥PC，所以 AD⊥平面 PBC，
栏目导引
第二章点、直线、平面之间的位置关系
栏目导引
第二章点、直线、平面之间的位置关系
由(1)知 A1C⊥B1D1. 同理可得 A1C⊥AB1. 又因为 AB1∩B1D1＝B1，所以 A1C⊥平面 AB1D1. 所以 A1C∥MN.
栏目导引
第二章点、直线、平面之间的位置关系
(1)若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质．
若两直线 a 与 b 异面，则过 a 且与 b 垂直的平面( ) A．有且只有一个 B．可能存在也可能不存在 C．有无数多个 D．一定不存在解析：选 B．当 a⊥b 时，这样的平面存在，当 a 和 b 不垂直时，这样的平面不存在．

高一数学人教版A版必修二：2.3.3~2.3.4 直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质

第二章 § 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质
学习目标
1.掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理； 2.能运用性质定理解决一些简单问题； 3.了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系.
问题导学
题型探究
解析答案
1.垂直关系之间的相互转化
规律与方法
2.平行关系与垂直关系之间的相互转化
3.判定线面垂直的方法主要有以下五种 ①线面垂直的定义；②线面垂直的判定定理；③面面垂直的性质定理； ④如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面， aa∥ ⊥bα⇒b⊥α； ⑤如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面， αa⊥∥αβ⇒a⊥β.
►1Our destiny offers not the cup of despair, but the chalice of opportunity. ►So let us seize it, not in fear, but in gladness. · 命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。因此，让我们毫无畏惧，满心愉悦地把握命运
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB. 证明如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于D. ∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB. ∴AD⊥平面PBC. 又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC. 又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB. 又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB.
达标检测

2019年高中数学必修二人教A版练习：2.3.3-2.3.4 直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质含解析

2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质【选题明细表】1.已知两个平面垂直,下列说法:①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面.其中正确说法个数是( C )(A)3 (B)2 (C)1 (D)0解析:如图在正方体ABCD A1B1C1D1中,对于①AD1⊂平面AA1D1D,BD⊂平面ABCD,AD1与BD是异面直线,成角60°,①错误;②正确.对于③,AD1⊂平面AA1D1D,AD1不垂直于平面ABCD;对于④,如果这点为交线上的点,可得到与交线垂直的直线与两平面都不垂直,④错误.故选C.2.(2018·陕西西安一中月考)在空间四边形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,且DA⊥平面ABC,则△ABC是( A )(A)直角三角形(B)等腰三角形(C)等边三角形(D)等腰直角三角形解析:过点A作AH⊥BD于点H,由平面ABD⊥平面BCD,得AH⊥平面BCD,则AH⊥BC.又DA⊥平面ABC,所以BC⊥AD,所以BC⊥平面ABD,所以BC ⊥AB,即△ABC为直角三角形.故选A.3.如果直线l,m与平面α,β,γ之间满足:l=β∩γ,l∥α,m⊂α和m⊥γ,那么( A )(A)α⊥γ且l⊥m (B)α⊥γ且m∥β(C)m∥β且l⊥m (D)α∥β且α⊥γ解析:由m⊂α,m⊥γ得α⊥γ,由l=β∩γ,得l⊂γ,所以m⊥l.故选A.4.已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是( D )(A)若α,β垂直于同一平面,则α与β平行(B)若m,n平行于同一平面,则m与n平行(C)若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线(D)若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面解析:若α,β垂直于同一个平面γ,则α,β可以都过γ的同一条垂线,即α,β可以相交,故A错;若m,n平行于同一个平面,则m与n可能平行,也可能相交,还可能异面,故B错;若α,β不平行,则α,β相交,设α∩β=l,在α内存在直线a,使a∥l,则a∥β,故C错;从原命题的逆否命题进行判断,若m与n垂直于同一个平面,由线面垂直的性质定理知m∥n,故D正确.5.(2018·沈阳检测)如图,平行四边形ABCD中,AB⊥BD.沿BD将△ABD 折起,使平面ABD⊥平面BCD,连接AC,则在四面体ABCD的四个面所在平面中,互相垂直的平面的对数为( C )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:因为平面ABD⊥平面BCD,又AB⊥BD,所以AB⊥平面BCD,AB⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面BCD.同理,平面ACD⊥平面ABD.故四面体ABCD中互相垂直的平面有3对.故选C.6.(2018·河北邢台调研)设α,β是两个不同的平面,l是一条直线,给出四个命题:①若l⊥α,α⊥β,则l⊂β;②若l∥α,α∥β,则l⊂β;③若l⊥α,α∥β,则l⊥β;④若l∥α,α⊥β,则l⊥β.则正确命题的个数为.解析:①错,可能有l∥β;②错,可能有l∥β;③正确;④错,也可能有l∥β,或l⊂β或l与β相交.答案:17.如图所示,三棱锥P ABC的底面在平面α上,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,P,A,B是定点,则动点C运动形成的图形是.解析:因为平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,AC⊂平面PAC,平面PAC∩平面PBC=PC.所以AC⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC,所以AC⊥BC,所以∠ACB=90°.所以动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆(除去A,B两点).答案:以AB为直径的圆(除去A,B两点)8.(2018·江苏启东中学月考)如图,在四棱柱ABCD A1B1C1D1中,已知平面AA1C1C⊥平面ABCD,且AB=BC=CA=,AD=CD=1.(1)求证:BD⊥AA1;(2)若E为棱BC的中点,求证:AE∥平面DCC1D1.证明:(1)在四边形ABCD中,因为AB=BC,AD=DC,所以BD⊥AC,又平面AA1C1C⊥平面ABCD,且平面AA1C1C∩平面ABCD=AC,BD⊂平面ABCD,所以BD⊥平面AA1C1C,又因为AA1⊂平面AA1C1C,所以BD⊥AA1.(2)在三角形ABC中,因为AB=AC,且E为棱BC的中点,所以AE⊥BC, 又因为在四边形ABCD中,AB=BC=CA=,AD=CD=1.所以∠ACB=60°,∠ACD=30°,所以DC⊥BC,所以AE∥CD.因为CD⊂平面DCC1D1,AE⊄平面DCC1D1,故得AE∥平面DCC1D1.9.(2018·甘肃嘉峪关期末)如图,以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:①BD⊥AC;②△BAC是等边三角形;③三棱锥D ABC 是正三棱锥;④平面ADC⊥平面ABC.其中正确的是( B )(A)①②④(B)①②③(C)②③④(D)①③④解析:设等腰直角△ABC的腰长为a,则斜边BC=a,①因为D为BC的中点,所以AD⊥BC,又平面ABD⊥平面ACD,平面ABD∩平面ACD=AD,BD⊥AD,BD⊂平面ABD, 所以BD⊥平面ADC,又AC⊂平面ADC,所以BD⊥AC,故①正确;②由A知,BD⊥平面ADC,CD⊂平面ADC,所以BD⊥CD,又BD=CD=a,所以由勾股定理得BC=·a=a,又AB=AC=a,所以△ABC是等边三角形,故②正确;③因为△ABC是等边三角形,DA=DB=DC,所以三棱锥D ABC是正三棱锥,故③正确.④因为△ADC为等腰直角三角形,取斜边AC的中点F,则DF⊥AC,又△ABC为等边三角形,连接BF,则BF⊥AC,所以∠BFD为平面ADC与平面ABC的二面角的平面角,由BD⊥平面ADC可知,∠BDF为直角,∠BFD不是直角,故平面ADC与平面ABC不垂直,故④错误.综上所述,正确的结论是①②③.故选B.10.(2018·宿州市高二期中)设m,n为空间的两条直线,α,β为空间的两个平面,给出下列命题:①若m∥α,m∥β,则α∥β;②若m⊥α,m⊥β,则α∥β;③若m∥α,n∥α,则m∥n;④若m⊥α,n⊥α,则m∥n.上述命题中,其中假命题的序号是.解析:①若m∥α,m∥β,则α与β相交或平行都可能,故①不正确;②若m⊥α,m⊥β,则α∥β,故②正确;③若m∥α,n∥α,则m与n相交、平行或异面,故③不正确;④若m⊥α,n⊥α,由线面垂直的性质定理知m∥n,故④正确.答案:①③11.如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC, ∠BAD=,AB=BC=AD=a,E是AD的中点,O是AC与BE的交点.将△ABE沿BE折起到图2中△A1BE 的位置,得到四棱锥A1BCDE.(1)证明:CD⊥平面A1OC;(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时,四棱锥A1BCDE的体积为36,求a 的值.(1)证明:在题图1中,因为AB=BC=AD=a,E是AD的中点,∠BAD=,AD∥BC,所以BE⊥AC,BE∥CD,即在题图2中,BE⊥A1O,BE⊥OC,且OA1∩OC=O,从而BE⊥平面A1OC,又CD∥BE,所以CD⊥平面A1OC.(2)解:由已知,平面A1BE⊥平面BCDE,且平面A1BE∩平面BCDE=BE,又由(1)知A1O⊥BE,所以A1O⊥平面BCDE,即A1O是四棱锥A1BCDE的高.由题图1知,A1O=AB=a,平行四边形BCDE的面积S=BC·AB=a2.从而四棱锥A1BCDE的体积为V=×S×A1O=×a2×a=a3,由a3=36得a=6.12.如图,在四棱锥P ABCD中,底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形,侧面PAD为等边三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求证:AD⊥PB;(2)若E为BC的中点,能否在棱PC上找到一点F,使平面DEF⊥平面ABCD?并证明你的结论.(1)证明:设G为AD的中点,连接PG,BG.因为△PAD为等边三角形,所以PG⊥AD.在菱形ABCD中,∠DAB=60°,G为AD的中点,所以BG⊥AD.又BG∩PG=G,所以AD⊥平面PGB.因为PB⊂平面PGB,所以AD⊥PB.(2)解:当F为PC的中点时,满足平面DEF⊥平面ABCD. 证明:取PC的中点F,连接DE,EF,DF.则EF∥PB,所以可得EF∥平面PGB.在菱形ABCD中,GB∥DE,所以可得DE∥平面PGB.而EF⊂平面DEF,DE⊂平面DEF,EF∩DE=E,所以平面DEF∥平面PGB.由(1)得PG⊥平面ABCD,而PG⊂平面PGB,所以平面PGB⊥平面ABCD,所以平面DEF⊥平面ABCD.。

2019年数学人教A必修二2.3 2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质

α⊥ β α∩β＝l ⇒________ a⊥β a⊂α a⊥l
符号语言
图形语言 ①面面垂直⇒线面垂直 ②作面的垂线
作用
■名师点拨对面面垂直的性质定理的理解 (1)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直． (2)已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直．
(3)因为 AB⊥AD，而且四边形 ABED 为平行四边形，所以 BE⊥CD，AD⊥CD．由(1)知 PA⊥底面 ABCD，所以 PA⊥CD．又 PA∩AD＝A，所以 CD⊥平面 PAD．所以 CD⊥PD．因为 E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点，所以 PD∥EF.所以 CD⊥EF.
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
2．3.3 2．3.4
直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
考点直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质
学习目标理解直线和平面垂直的性质定理，并
核心素养
能用文字、符号和图形语言描述定理，直观想象、能应用线面垂直的性质定理解决有关的垂直问题理解平面和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理，直观想象、能应用面面垂直的性质定理解决有关的垂直问题逻辑推理逻辑推理
面面垂直的性质定理的应用已知 P 是△ABC 所在平面外的一点，且 PA⊥平面 ABC，平面 PAC⊥平面 PBC，求证：BC⊥AC．
【证明】
如图，在平面 PAC 内作 AD⊥PC 于点 D，
因为平面 PAC⊥平面 PBC，平面 PAC∩平面 PBC＝PC，AD ⊂平面 PAC，且 AD⊥PC，所以 AD⊥平面 PBC，