2017-2018年辽宁省实验中学、东北育才学校高二上学期期末数学试卷(理科)与解析

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辽宁省沈阳市东北育才学校2017-2018学年高二上学期第二次段考数学试卷(理科) Word版含解析

2017-2018学年辽宁省沈阳市东北育才学校高二（上）第二次段考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．命题“存在实数x，使x＞1”的否定是（）A．对任意实数x，都有x＞1 B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1 D．存在实数x，使x≤12．设直线l的方向向量是，平面α的法向量是，则“”是“l∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．设f（x）=e x，0＜a＜b，若p=f（），q=f（），，则下列关系式中正确的是（）A．q=r＞p B．q=r＜p C．p=r＞q D．p=r＜q4．在等比数列{a n}中，若a4，a8是方程x2﹣4x+3=0的两根，则a6的值是（）A．B．C．D．±35．已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=16．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，AC1与BD1相交于点O，则有（）A．B．C．D．7．若{a n}是等差数列，首项a1＞0，a2014+a2015＞0，a2014•a2015＜0，则使前n项和S n＜0成立的最小正整数n是（）A．2015 B．2014 C．4029 D．40288．x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（）A．或﹣1 B．2或C．2或1 D．2或﹣19．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若，则=（）A．45°B．60°C．90°D．120°10．若正数x，y满足x2+6xy﹣1=0，则x+2y的最小值是（）A．B．C．D．11．已知F1、F2是两个定点，点P是以F1和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF1⊥PF2，e1和e2分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有（）A．e12+e22=2 B．e12+e22=4C．D．12．如图，过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F作直线交C于A、B两点，过A、B分别向C的准线l作垂线，垂足为A1、B1，已知△AA1F与△BB1F的面积分别为9和1，则△A1B1F的面积为（）A．4 B．6 C．10 D．12二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量，，满足，则x=．14．已知数列{a n}满足a1=1，（n∈N*），则a n=．15．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为．16．已知x，y为正实数，则+的最大值为．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．解关于x的不等式ax2﹣2≥2x﹣ax（a∈R）．18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC．（Ⅰ）求证：AC⊥PB；（Ⅱ）若AB=AC=AP=2，设D，E分别为棱AC，AP的中点，F为△ABD内一点，且满足，求直线BD与EF所成角的大小．19．已知{a n}是等差数列，{b n}是各项均为正数的等比数列，且a1=b1=1，a2+a3=2b3，b5﹣3a2=7．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n•b n，n∈N*，求数列{c n}的前n项和S n．20．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，AD=CD=，且点M和N分别为B1C和D1D的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD（Ⅱ）求二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值；（Ⅲ）设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A1E 的长．21．如图，椭圆E： +=1（a＞b＞0）经过点A（0，﹣1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ斜率之和为2．22．已知双曲线C：x2﹣=1的左、右两个顶点分别为A、B．曲线M是以A、B两点为短轴端点，离心率为的椭圆．设点P在第一象限且在曲线C上，直线AP与椭圆M相交于另一点T．（Ⅰ）设点P、T的横坐标分别为x1、x2，证明：x1x2=1；（Ⅱ）设△TAB与△POB（其中O为坐标原点）的面积分别为S1与S2，且•≤9，求S1•S2的最大值．2015-2016学年辽宁省沈阳市东北育才学校高二（上）第二次段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．命题“存在实数x，使x＞1”的否定是（）A．对任意实数x，都有x＞1 B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1 D．存在实数x，使x≤1【考点】命题的否定．【分析】根据存在命题（特称命题）否定的方法，可得结果是一个全称命题，结合已知易得答案．【解答】解：∵命题“存在实数x，使x＞1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”故选C2．设直线l的方向向量是，平面α的法向量是，则“”是“l∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据线面平行的定义结合充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：由l∥α，得：，是必要条件，而“”不一定有l∥α，也可能l⊂α，故不是充分条件，故选：B．3．设f（x）=e x，0＜a＜b，若p=f（），q=f（），，则下列关系式中正确的是（）A．q=r＞p B．q=r＜p C．p=r＞q D．p=r＜q【考点】指数函数的图象与性质．【分析】利用指数运算性质、基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵f（x）=e x，0＜a＜b，∴p=f（）=，q=f（）=＞，==，∴q=r＞p．故选：A．4．在等比数列{a n}中，若a4，a8是方程x2﹣4x+3=0的两根，则a6的值是（）A．B．C．D．±3【考点】等比数列的性质．【分析】解方程可得a4和a8，可得a62=a4•a8，解之由a4，a6同号可得．【解答】解：解方程x2﹣4x+3=0可得x=1，或x=3故a4=1，a8=3，或a4=3，a8=1故a62=a4•a8=3，故a6=，又a52=a4•a6，＞0，即a4，a6同号，又a4＞0，故a6=故选C5．已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的标准方程．【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程．【解答】解：由题意，=，∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，∴c=，∴a2+b2=c2=7，∴a=2，b=，∴双曲线的方程为．故选：D．6．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，AC1与BD1相交于点O，则有（）A．B．C．D．【考点】空间向量的数量积运算．【分析】如图所示，建立空间直角坐标系．利用向量坐标运算、数量积运算性质即可判断出结论．【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系．D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），A1（a，0，a），C1（0，a，a），C（0，a，0），O．A.=（0，a，0），=（﹣a，a，0），=a2，正确．B.=（﹣a，a，a），∴•=a2，因此不正确．C.=，∴=，因此不正确．D.=（﹣a，a，0），=（a，0，a），∴•=﹣a2，因此不正确．故选：A．7．若{a n}是等差数列，首项a1＞0，a2014+a2015＞0，a2014•a2015＜0，则使前n项和S n＜0成立的最小正整数n是（）A．2015 B．2014 C．4029 D．4028【考点】等差数列的前n项和．【分析】由已知可得：a2014＞0，a2015＜0，可得S4029=4029×a2015＜0，即可得出．【解答】解：∵首项a1＞0，a2014+a2015＞0，a2014•a2015＜0，∴a2014＞0，a2015＜0，∴S4029==4029×a2015＜0，则使前n项和S n＜0成立的最小正整数n是4029．故选：C．8．x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（）A．或﹣1 B．2或C．2或1 D．2或﹣1【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线2x﹣y+2=0平行，此时a=2，若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线x+y﹣2=0，平行，此时a=﹣1，综上a=﹣1或a=2，故选：D9．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若，则=（）A．45°B．60°C．90°D．120°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】：以A为原点，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出．【解答】解：以A为原点，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设=，则A（0，0，0），B（，，0），B1（，，1），C1（0，，1），=（，1），=（﹣，，1），∴cos＜，＞==0，∴=90°．故选：C．10．若正数x，y满足x2+6xy﹣1=0，则x+2y的最小值是（）A．B．C．D．【考点】基本不等式．【分析】先对已知等式整理表示出y，带入x+2y，利用基本不等式求得最小值．【解答】解：∵x2+6xy﹣1=0，∴y=，∴x+2y=x+=x+≥，当且仅当=，即x=时，取等号．故选A．11．已知F1、F2是两个定点，点P是以F1和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF1⊥PF2，e1和e2分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有（）A．e12+e22=2 B．e12+e22=4C．D．【考点】圆锥曲线的共同特征．【分析】由题设中的条件，设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，根据椭圆和双曲线的性质以及勾弦定理建立方程，联立可得m，a，c的等式，整理即可得到结论【解答】解：由题意设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，不妨令P在双曲线的右支上由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2m ①由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a ②又∠F1PF2=900，故|PF1|2+|PF2|2=4c2③①2+②2得|PF1|2+|PF2|2=2a2+2m2④将④代入③得a2+m2=2c2，即，即故选C12．如图，过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F作直线交C于A、B两点，过A、B分别向C的准线l作垂线，垂足为A1、B1，已知△AA1F与△BB1F的面积分别为9和1，则△A1B1F的面积为（）A．4 B．6 C．10 D．12【考点】抛物线的简单性质．【分析】设△A′B′F的面积为S，直线AB：x=my+代入抛物线方程，利用韦达定理，计算，，求出面积的积，即可求出△A1B1F的面积．【解答】解：设△A′B′F的面积为S，直线AB：x=my+，代入抛物线方程，消元可得y2﹣2pmy﹣p2=0，设A（x1，y1）B（x2，y2），则y1y2=﹣p2，y1+y2=2pm，=|AA1|×|y1|=|x1+||y1|=（+）|y1|，=|BB2|×|y2|=|x2+||y2|=（+）|y2|，∴=（m2+1）=9，∴=|y1﹣y2|==6，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量，，满足，则x=6．【考点】空间向量的数量积运算．【分析】利用选向量数量积运算性质即可得出．【解答】解：=（0，1，3﹣x），∵，则2+3﹣x=﹣1，解得x=6．故答案为：6．14．已知数列{a n}满足a1=1，（n∈N*），则a n=．【考点】数列递推式．【分析】把已知数列递推式裂项变形，然后利用累加法求得数列{a n}的通项公式．【解答】解：由，得，∵a1=1，∴=2[（）+（）+…+（1﹣）]+1=2（1﹣）+1=，∴．故答案为：．15．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先设P点坐标，进而根据双曲线的定义可知丨PF1丨=ex+a，丨PF2丨=ex﹣a，根据|PF1|=4|PF2|求得e和a，x的关系式，进而根据x的范围确定e的范围，求得e的最大值．【解答】解：设P（x，y），由焦半径得丨PF1丨=ex+a，丨PF2丨=ex﹣a，∴ex+a=4（ex﹣a），化简得e=，∵p在双曲线的右支上，∴x≥a，所以e≤，即e的最大值是故答案为：16．已知x，y为正实数，则+的最大值为．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】化简+=+，再令=t＞0，从而化简得+，令f（t）=+=1+=1+，利用基本不等式求最值．【解答】解：∵x，y为正实数，∴+=+，令=t＞0，则+=+，令f（t）=+=1+=1+≤1+=，（当且仅当t=，即t=2时，等号成立）；故答案为：．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．解关于x的不等式ax2﹣2≥2x﹣ax（a∈R）．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】对a分类：a=0，a＞0，﹣2＜a＜0，a=﹣2，a＜﹣2，分别解不等式，求解取交集即可．【解答】解：原不等式变形为ax2+（a﹣2）x﹣2≥0．①a=0时，x≤﹣1；②a≠0时，不等式即为（ax﹣2）（x+1）≥0，当a＞0时，x≥或x≤﹣1；由于﹣（﹣1）=，于是当﹣2＜a＜0时，≤x≤﹣1；当a=﹣2时，x=﹣1；当a＜﹣2时，﹣1≤x≤．综上，当a=0时，x≤﹣1；当a＞0时，x≥或x≤﹣1；当﹣2＜a＜0时，≤x≤﹣1；当a=﹣2时，x=﹣1；当a＜﹣2时，﹣1≤x≤．18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC．（Ⅰ）求证：AC⊥PB；（Ⅱ）若AB=AC=AP=2，设D，E分别为棱AC，AP的中点，F为△ABD内一点，且满足，求直线BD与EF所成角的大小．【考点】异面直线及其所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I）由PA⊥平面ABC，可得PA⊥AC．利用线面垂直的判定与性质定理即可证明．（II）建立如图所示的空间直角坐标系．利用向量夹角公式即可得出．【解答】（I）证明：∵PA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴PA⊥AC．又AB⊥AC，AB∩PA=A．∴AC⊥平面PAB，AB⊂平面ABC，∴AC⊥AB．（II）解：建立如图所示的空间直角坐标系．则A（0，0，0），C（2，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），D（1，0，0），E（0，0，1），=（﹣1，0，0），=（﹣1，2，0），∴=．=+=．∴=．∴cos===﹣．∴异面直线BD与EF所成角为．19．已知{a n}是等差数列，{b n}是各项均为正数的等比数列，且a1=b1=1，a2+a3=2b3，b5﹣3a2=7．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n•b n，n∈N*，求数列{c n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，由题意q＞0，利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．（II）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，由题意q＞0，由已知可得：，消去d得q4﹣2q2﹣8=0，解得q=2，d=2，∴，（Ⅱ）由（I）有，设{c n}的前n项和为S n，则，，两式相减得，∴．20．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，AD=CD=，且点M和N分别为B1C和D1D的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD（Ⅱ）求二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值；（Ⅲ）设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A1E的长．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）以A为坐标原点，以AC、AB、AA1所在直线分别为x、y、z轴建系，通过平面ABCD的一个法向量与的数量积为0，即得结论；（Ⅱ）通过计算平面ACD1的法向量与平面ACB1的法向量的夹角的余弦值及平方关系即得结论；（Ⅲ）通过设=λ，利用平面ABCD的一个法向量与的夹角的余弦值为，计算即可．【解答】（Ⅰ）证明：如图，以A为坐标原点，以AC、AB、AA1所在直线分别为x、y、z 轴建系，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，0，0），D（1，﹣2，0），A1（0，0，2），B1（0，1，2），C1（2，0，2），D1（1，﹣2，2），又∵M、N分别为B1C、D1D的中点，∴M（1，，1），N（1，﹣2，1）．由题可知：=（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量，=（0，﹣，0），∵•=0，MN⊄平面ABCD，∴MN∥平面ABCD；（Ⅱ）解：由（I）可知：=（1，﹣2，2），=（2，0，0），=（0，1，2），设=（x，y，z）是平面ACD1的法向量，由，得，取z=1，得=（0，1，1），设=（x，y，z）是平面ACB1的法向量，由，得，取z=1，得=（0，﹣2，1），∵cos＜，＞==﹣，∴sin＜，＞==，∴二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值为；（Ⅲ）解：由题意可设=λ，其中λ∈[0，1]，∴E=（0，λ，2），=（﹣1，λ+2，1），又∵=（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量，∴cos＜，＞===，整理，得λ2+4λ﹣3=0，解得λ=﹣2或﹣2﹣（舍），∴线段A1E的长为﹣2．21．如图，椭圆E： +=1（a＞b＞0）经过点A（0，﹣1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ斜率之和为2．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）由题意设直线PQ的方程为y=k（x﹣1）+1（k≠0），代入椭圆方程+y2=1，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简计算即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）由题设知， =，b=1，结合a 2=b 2+c 2，解得a=，所以+y 2=1；（Ⅱ）证明：由题意设直线PQ 的方程为y=k （x ﹣1）+1（k ≠0），代入椭圆方程+y 2=1，可得（1+2k 2）x 2﹣4k （k ﹣1）x +2k （k ﹣2）=0，由已知得（1，1）在椭圆外，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），x 1x 2≠0，则x 1+x 2=，x 1x 2=，且△=16k 2（k ﹣1）2﹣8k （k ﹣2）（1+2k 2）＞0，解得k ＞0或k ＜﹣2．则有直线AP ，AQ 的斜率之和为k AP +k AQ =+=+=2k +（2﹣k ）（+）=2k +（2﹣k ）•=2k +（2﹣k ）•=2k ﹣2（k ﹣1）=2．即有直线AP 与AQ 斜率之和为2．22．已知双曲线C ：x 2﹣=1的左、右两个顶点分别为A 、B ．曲线M 是以A 、B 两点为短轴端点，离心率为的椭圆．设点P 在第一象限且在曲线C 上，直线AP 与椭圆M 相交于另一点T ．（Ⅰ）设点P 、T 的横坐标分别为x 1、x 2，证明：x 1x 2=1；（Ⅱ）设△TAB 与△POB （其中O 为坐标原点）的面积分别为S 1与S 2，且•≤9，求S 1•S 2的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）依题意得A （﹣1，0），B （1，0），设椭圆M 的方程为，由椭圆M 的离心率e=，得椭圆M 的方程为，设P （x 1，y 1），T （x 2，y 2），由k AP =k A T ，和点P 和点T 分别在双曲线和椭圆上，能证明x 1x 2=1．（Ⅱ）由，得，由点P是双曲线在第一象限的点，得1＜x1≤2，由已知得===（1﹣x22）（），由此推导出当x1=2时，（S1•S2）max=．【解答】（Ⅰ）证明：依题意得A（﹣1，0），B（1，0），设椭圆M的方程为，由椭圆M的离心率e==，解得b2=2，∴椭圆M的方程为，设P（x1，y1），T（x2，y2），（x i＞0，y i＞0，i=1，2）则k AP=，k A T=，∵k AP=k A T，∴，即，∵点P和点T分别在双曲线和椭圆上，∴，，即，，∴，∴，∴．∴x1x2=1．（Ⅱ）解：设P（x1，y1），T（x2，y2），（x i＞0，y i＞0，i=1，2）则=（﹣1﹣x1，﹣y1），，∵，∴（﹣1﹣x1）（1﹣x1）+≤9，∴，∵P在双曲线上，∴，∴，∴，∵点P是双曲线在第一象限的点，∴1＜x1≤2，∵S1=，，∴===（1﹣x22）（）由（Ⅰ）知，x≤﹣2．设﹣1≤x≤1，则f（x）=2＜4，．∵f（t）=t+在区间（1，4]上单调递增，f（t）max=f（4），∴=t+﹣2，即当x1=2时，（S1•S2）max=．2016年12月5日。

2017-2018学年辽宁省大连市高二上学期期末数学理试题(解析版)

大连市20172018学年度第一学期期末考试试卷高二数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 抛物线y2=12x的准线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】结合抛物线的标准方程可得：抛物线y2=12x的准线方程为.本题选择A选项.2. 命题：“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】全称命题的否定是特称命题，改量词，否结论，所以命题：“”的否定是��?/m:t>>0,x2−x<0.本题选择C选项.3. 若a b>0，则ba +ab的最小值是（）A. 1B. 2C. 2D. 22【答案】C【解析】，等号当且仅当ba =ab,即a=b时等号成立.则ba+ab的最小值是2.本题选择C选项.4. 已知a n是等差数列，a1+a2=4,a7+a8=28，则该数列前10项和S10等于（）A. 64B. 100C. 110D. 120【答案】B【解析】解：设公差为d，则由已知得2a1+d="4" 2a1+13d=28 ⇒ a1="1" d=2 ⇒S10=10×1+10×9 =100，故选B．5. 命题，命题，则p是q的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】对于命题q，求解有显然命题p对应的集合为命题q对应集合的真子集，所以p是q的充分不必要条件.本题选择A选项.6. 已知实数x,y满足，则的最小值是（）A. 5B.C. 5D.2【答案】B【解析】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的三角形及其内部，其中，由，将直线l：y=2x进行平移，观察y轴上的截距变化，可得：当l经过点A��?/m:t>,3时，目标函数达到最小值，∴z最小值为本题选择B选项.7. 已知ΔA B C的顶点B,C在椭圆x2+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在B C边上，3则ΔA B C的周长是（）A. 23B. 6C. 43D. 12【答案】C∴|A B|+|B C|+|C A|=4a+y2=1∵椭圆方程为x23∴a=3∴ΔA B C的周长为4故选C8. 平行六面体中，向量两两的夹角均为600，且，,则等于（）A. 5B. 6C. 4D. 8【答案】A【解析】如图所示，∵平行六面体中，向量两两的夹角均为60°，且，本题选择A选项.9. 已知直线y=x+1与曲线y=ln x+a相切，则的值为（）A. 1B. 2C.D. 【答案】B【解析】由直线y=x+1与曲线y=l n x+a相切，设切点坐标是(x0,y0)，则有y0=x0+1y0=ln x0+a，由曲线y=ln x+a可得y��?//=1x+a ，所以切线的斜率是1x0+a，据此有：y0=x0+1y0=ln x0+ax0+a=1，求解方程组有：.本题选择B选项.点睛：(1)导数f′(x0)的几何意义就是函数y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率．(2)在求切线方程时，应先判断已知点Q(a，b)是否为切点，若已知点Q(a，b)不是切点，则应求出切点的坐标，利用切点坐标求出切线斜率，进而用切点坐标表示出切线方程．10. 关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（）A. B. 1,2 C. D.【答案】D【解析】,由于解决为,故a<0,且,故的开口向下,两个根为1,2,所以解集为x<1,x>2.故选D.11. 已知双曲线的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：抛物线焦点为(1,0)，所以双曲线中c=1，，双曲线方程为考点：双曲线抛物线方程及性质12. 若f x的定义域为R，f��?//x<2恒成立，f��?/m:t>=2，则f x>2x+4的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设，则，因为f��?/m:t><2恒成立,所以即函数F(x)在R上单调递减.因为f��?/m:t>=2,所以，则不等式即，据此可得：.所以，即不等式f x>2x+4解集为.本题选择B选项.点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中。

辽宁省沈阳市东北育才学校2017届高三上学期第二次模拟考试数学(理)试题.doc

) D． i
3. 指数函数 f ( x) a x (a 0, 且 a 1) 在 R 上是减函数，则函数 g ( x) (a 2) x3 在 R 上的单调性为（） A.单调递增 C.在 (0,) 上递增，在 (,0) 上递减 B.单调递减 D .在 (0,) 上递减，在 (,0) 上递增
21. （本小题满分 12 分）已知直线 y x 1 与椭圆
x2 y2 1 a b 0 相交于 A 、 B 两点． a2 b2
（1）若椭圆的离心率为 3 ，焦距为 2 ，求椭圆的方程； 3
1 （2）若向量 OA 与向量 OB 互相垂直（其中 O 为坐标原点），当椭圆的离心率 e [ ,
（3）求证： e
2 e

3 2
2016-2017 学年度上学期高中学段高三联合考试数学理科答案使用时间：2016.10.20 命题人：刘新风校对人：来洪臣本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分 150 分，考试时间 120 分钟．第Ⅰ卷(选择题共 60 分）三、选择题：本大题 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合 A y y x 2 x 1, x R ， B y y x
对称，则函数 y a sin x cos x 的图像的 3
A． x 8．函数 y
5 6
x
B． x
2 3
C． x

3
D． x

6
1 的部分图象大致为（ D ） ln | e e x |
9．函数 f ( x ) ( ) A． 2
1 2

辽宁省五校2017_2018学年高二数学上学期期末考试试题理

2017-2018学年高二上学期期末考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设命题:0,ln 0p x x x ∀>->，则p ⌝为（）A ．0,ln 0x x x ∀>-≤B ．0,ln 0x x x ∀>-<C ．0000,ln 0x x x ∃≤-≤D ．0000,ln 0x x x ∃>-≤2.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11329a a +=-，则9S =（） A ．27- B ．27 C ．54- D ．543.若,a b R ∈，则“11a b <”是“330aba b >-”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y -=，则该双曲线的离心率是（） ABD5.直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=︒,M N 分别是1111,A B AC 的中点，1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成角的余弦值为（）AB ．25C ．110D6.已知等比数列{}n a 中，22a =，则其前三项的和3S 的取值范围是（）A ．(],2-∞-B ．()(),01,-∞⋃+∞C ．[)6,+∞D ．(][),26,-∞-⋃+∞ 7.已知变量,x y 满足约束条件04x y x y y m -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若目标函数2z x y =+的最小值为2，则m =（）A ．2B ．1C ．23D ．2- 8.60︒的二面角的棱上有,A B 两点，直线,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ，已知468AB AC BD ===，，，则CD 的长为（）A ．．9.已知不等式222xy ax y ≤+对任意[][]1,2,4,5x y ∈∈恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．[)1,-+∞B ．[)6,-+∞C ．[)28,-+∞D ．[)45,-+∞10.设椭圆22:142x y C +=与函数3y x =的图象相交于,A B 两点，点P 为椭圆C 上异于,A B 的动点，若直线PA 的斜率取值范围是[]3,1--，则直线PB 的斜率取值范围是（） A ．[]6,2-- B ．[]2,6 C ．11,26⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ D ．11,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦11.设数列{}n a 的前n 项和n S ，若2222312222244123n a a a a n n++++=- ，且0n a ≥，则100S 等于（）A ．5048B ．5050C ．10098D ．1010012.已知双曲线()2222:10,0y x a b a b Γ-=>>的上焦点为()()0,0F c c >，M 是双曲线下支上的一点，线段MF 与圆2222039c a x y y +-+=相切于点D ，且3MF DF =，则双曲线Γ的渐近线方程为（）A ．20x y ±=B ．20x y ±=C ．40x y ±=D ．40x y ±=第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知命题2:230p x x +->，命题:q x a >，若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是．14.已知正项等比数列{}n a 的公比为2，若224m n a a a =，则212m n+的最小值等于． 15.已知M 是抛物线24x y =上一点，F 为其焦点，点A 在圆()()22:161C x y ++-=上，则MA MF +的最小值是．16.如图，在直三棱柱111A B C ABC -中，1,12BAC AB AC A A π∠====，已知G 与E 分别是棱11A B 和1CC 的中点，D 与F 分别是线段AC 与AB 上的动点（不包括端点）.若GD EF ⊥，则线段DF 的长度的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列{}n a 是等比数列，首项11a =，公比0q >，其前n 项和为n S ，且113322,,S a S a S a +++成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18.在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2AB BC AA ===，E 为1BB 中点.（1）证明：1AC D E ⊥；（2）求DE 与平面1AD E 所成角的正弦值. 19.已知数列{{}n a 满足111,2nn n a a a a +==+，()()*1111,n n b n n N b a λλ+⎛⎫=-+∈=- ⎪⎝⎭.（1）求证：数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）若数列{}n b 是单调递增数列，求实数λ的取值范围.20.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧面PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ,E 为PD 中点，2AD =.（1）求证：平面AEC ⊥平面PCD ；（2）若二面角A PC E --的平面角大小θ满足cos θ=P ABCD -的体积.21.已知过抛物线()2:20E y px p =>的焦点F ()()()112212,,,A x y B x y x x < 两点，且6AB =.（1）求该抛物线E 的方程；（2）过点F 任意作互相垂直的两条直线12,l l ，分别交曲线E 于点,C D 和,M N .设线段,CD MN 的中点分别为,P Q ，求证：直线PQ 恒过一个定点.22.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()22:116C x y ++=，点()1,0A ，点()(),03B a a >，以B 为圆心，BA 为半径作圆，交圆C 于点P ，且PBA ∠的平分线交线段CP 于点Q .（1）当a 变化时，点Q 始终在某圆锥曲线τ上运动，求曲线τ的方程；（2）已知直线l 过点C ，且与曲线τ交于,M N 两点，记OCM ∆面积为1S ，OCN ∆面积为2S ，求12S S 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: DACAA 6-10: DCBBD 11、12：CB 二、填空题13.[)1,+∞ 14. 3415. 6 16.⎫⎪⎪⎣⎭三、解答题17.解：（1）因为113322,,S a S a S a +++成等差数列，所以()()()3311222S a S a S a +=+++，所以()()31323122S S S S a a a -+-+=+，所以314a a =，因为数列{}n a 是等比数列，所以23114a q a ==，又0q >，所以12q =，所以数列{}n a 的通项公式112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭.（2）由（1）知12n n b n -=⋅， 01211222322n n T n -=⋅+⋅+⋅++⋅ ，()12121222122n n n T n n -=⋅+⋅++-⋅+⋅ ，所以()()()012112212322122n nn T n n n --=⋅+-⋅+-⋅++--⋅-⋅⎡⎤⎣⎦012122222n n n -=++++-⋅()()112212112n n n n n -=-⋅=-⋅--.故()121n n T n =-⋅+. 18. （1）证明：连接BD∵1111ABCD A B C D -是长方体，∴1D D ⊥平面ABCD 又AC ⊂平面ABCD ，∴1D D AC ⊥ 在长方形ABCD 中，AB BC =,∴BD AC ⊥ 又1BD D D D ⋂=,∴AC ⊥平面11BB D D而1D E ⊂平面11BB D D ,∴1AC D E ⊥（2）如图，以D 为坐标原点，以1,,DA DC DD 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则 ()()()()11,0,0,0021,1,1,1,1,0A D E B ，，,，()()()10,1,1,1,0,2,1,1,1AE AD DE ==-=设平面1AD E 的法向量为(),,n x y z =，则 200x z y z -+=⎧⎨+=⎩令1z =，则()2,1,1n =-∴cos ,n DE == 所以DE 与平面1AD E.19.解（1）因为数列{}n a 满足()*12n n n a a n N a +=∈+，所以1121n na a +=+，即112121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，又11a =，所以111201a +=≠+ ，所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以2为首项，公比为2的等比数列.（2）由（1）可得11121n a +=+，所以()()()11111122n n n b n n n a λλ--⎛⎫=--+=--⋅≥ ⎪⎝⎭，因为1b λ=-符合，所以()()1*12n n b n n N λ-=--⋅∈.因为数列{}n b 是单调递增数列，所以1n n b b +>，即()()1212n n n n λλ--⋅>--⋅，化为1n λ<+，所以2λ<.20.证明：（1）取AD 中点为O ,BC 中点为F ,由侧面PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，得PO ⊥平面ABCD ,故FO PO ⊥, 又FO AD ⊥,则FO ⊥平面PAD ,∴FO AE ⊥, 又//CD FO ,则CD AE ⊥, 又E 是PD 中点，则AE PD ⊥,由线面垂直的判定定理知AE ⊥平面PCD . 又AE ⊂平面AEC , 故平面AEC ⊥平面PCD .（2）如图，以O 为坐标原点，以,,OA OF OP 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则令AB a =，则(()(),1,0,0,1,,0P A C a - 由（1）知3,0,2EA ⎛= ⎝⎭ 为平面PCE 的法向量，令(),,n x y z =为平面PAC的法向量，由于(()1,0,,2,,0PA CA a ==- ，故00n PA n CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即10,20,ay ⎧=⎪⎨-=⎪⎩解得2,y az ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故21,n a ⎛= ⎝⎭ ，由cos EA nEA nθ⋅===⋅，解得a 故四棱锥P ABCD -的体积11233ABCD V S PO =⋅=⋅.21.解：（1）抛物线的焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴直线AB的方程为：2p y x ⎫=-⎪⎭联立方程组222y pxp y x ⎧=⎪⎨⎫=-⎪⎪⎭⎩，消元得：22204p x px -+=， ∴212122,4p x x p x x +==∴6AB ===，解得2p =±.∵0p >，∴抛物线E 的方程为：24y x =.（2）设,C D 两点坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则点P 的坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭.. 由题意可设直线1l 的方程为()()10y k x k =-≠.由()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得()2222240k x k x k -++=. ()24224416160k k k ∆=+-=+>因为直线1l 与曲线E 于,C D 两点，所以()1212122442,2x x y y k x x k k+=++=+-=. 所以点P 的坐标为2221,k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.由题知，直线2l 的斜率为1k-，同理可得点Q 的坐标为()212,2k k +-.当1k ≠±时，有222112k k+≠+，此时直线PQ 的斜率222221112PQ kk k k k k k+==-+--. 所以，直线PQ 的方程为()222121k y k x k k +=---，整理得()230yk x k y +--=. 于是，直线PQ 恒过定点()3,0；当1k =±时，直线PQ 的方程为3x =，也过点()3,0. 综上所述，直线PQ 恒过定点()3,0.22.解：（1）∵,,BA BP BQ BQ PBQ ABQ ==∠=∠, ∴QAB QPB ∆≅∆,∴QA QP =,∵CP CQ QP QC QA =+=+,∴4QC QA +=,由椭圆的定义可知，Q 点的轨迹是以,C A 为焦点,24a =的椭圆，故点Q 的轨迹方程为22143x y +=.(2)由题可知，设直线:1l x my =-，不妨设()()1122,,,M x y N x y∵1112OMC S S OC y ∆==⨯⨯，2212ONC S S OC y ∆==⨯⨯，111222y S yS y y ==-， ∵221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，∴()2234690m y my +--=，21441440m ∆=+>，∴122122634934m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，∵()221221244,0343y y m y y m +-⎛⎤=∈- ⎥+⎝⎦，即122142,03y y y y ⎛⎤++∈- ⎥⎝⎦， ∴1213,3y y ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭ ， ∴11221,33S y S y ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.。

2017-2018学年辽宁省实验中学高三(上)期末数学试卷(理科)(含答案)

2017-2018学年辽宁省实验中学高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知i）A. -1B. 1C. -iD. i2.设集合M={x|0≤x≤1}，N={x|x2≥1}，则M∪（∁R N）=（）A. [0，1]B. （-1，1）C. （-1，1]D. （0，1）3.α为第二象限角，则tanα=（）A.4.已知向量120°（）B. 2C.D. 45.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球半径为（）A. 16.已知数列{a n}的前n a＜0，则（）A. na n≤na1≤S nB. S n≤na1≤na nC. na1≤S n≤na nD. na n≤S n≤na17.若x，y z=x-y的最大值是（）A. -2B. 0C. 2D. 48.把四个不同的小球放入三个分别标有1～3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有（）A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种9.y=f（x图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，则g（x）A. [-1，2]B. [0，1]C. [0，2]D. [-1，0]10.F1、F2，过F1的直线l1与过F2的直线l2交于点P，设P点的坐标（x0，y0），若l1⊥l2，则下列结论中不正确的是（）11.某班有三个小组，甲、乙、丙三人分属不同的小组．某次数学考试成绩公布情况如下：甲和三人中的第3小组那位不一样，丙比三人中第1小组的那位的成绩低，三人中第3小组的那位比乙分数高．若甲、乙、丙三人按数学成绩由高到低排列，正确的是（）A. 甲、乙、丙B. 甲、丙、乙C. 乙、甲、丙D. 丙、甲、乙12.x=1处取得极大值，则实数a的取值范围是（）B. （-∞，1） D. （1，+∞）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知实数x满足5x-1103x=8x，则x=______．14.如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是______．15.则双曲线的标准方程为______．16.n．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c（1）求A的值；（2BC b+c的值．18.甲、乙两名同学准备参加考试，在正式考试之前进行了十次模拟测试，测试成绩如下：甲：137，121，131，120，129，119，132，123，125，133乙：110，130，147，127，146，114，126，110，144，146（1）画出甲、乙两人成绩的茎叶图，求出甲同学成绩的平均数和方差，并根据茎叶图，写出甲、乙两位同学平均成绩以及两位同学成绩的中位数的大小关系的结论；（2）规定成绩超过127为“良好”，现在老师分别从甲、乙两人成绩中各随机选出一个，求选出成绩“良好”的个数X的分布列和数学期望．x1，x2，x3，…x n的平均数）19.如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，PA=AB=2，点E，F分别为BC，PD的中点，设直线PC与平面AEF交于点Q．（1）已知平面PAB∩平面PCD=l，求证：AB∥l．（2）求直线AQ与平面PCD所成角的正弦值．20.已知直线y=2x+m（m≠0）与抛物线y2=4x交于A，B两点，（1）若OA⊥OB，求m的值；（2）以AB为边作矩形ABCD，若矩形ABCDABCD的面积．21.已知函数f（x）=x2-2（a+1）x+2ax lnx+2a+1（a∈R）．（1）a=-2时，求f（x）在（0，2）上的单调区间；（2）∀x＞0且x≠1a的取值范围．22.已知平面直角坐标系xOy中，直线l（t为参数，0≤α＜πO为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为l与曲线C交于A、B（1）求α的大小；（2）过A、B分别作l的垂线与x轴交于M，N两点，求|MN|．23.已知函数f（x）=|x-3a|（a∈R）．（1）当a=1时，解不等式f（x）＞5-|x-1|；（2）若存在x0∈R，使f（x0）＞5+|x0-1|成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】1．故选：B．利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：N={x|x2≥1}={x|x≥1或x≤-1}，则∁R N={x|-1＜x＜1}，则M∪（∁R N）={x|-1＜x≤1}=（-1，1]，故选：C．求出结合N的等价条件，结合集合的补集并集运算进行计算即可．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．3.【答案】B【解析】解：α为第二象限角，∴，则tanα=．故选：B．由cosα的值及α为第二象限角，利用同角三角函数间基本关系求出sinα的值，即可确定出tanα的值．本题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，是基础题．4.【答案】B【解析】（1，0，120°，1×（=-1，则有（2=4=4，；故选：B．可得（2，变形即可得答案．本题考查向量数量积的计算，关键是掌握向量数量积的计算公式．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．由三视图还原原几何体，可知原几何体为四棱锥，底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=1，把该四棱锥补形为正方体，其外接球直径为正方体的体对角线长，则该四棱锥的外接球半径可求．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为四棱锥，底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=1．故选B．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查数列的求和与通项的关系，数列的递推式的应用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．由数列的递推式：n=1时，a1=S1，n≥2，n∈N时，a n=S n-S n-1，可得a n=2an+b-a，运用作差法，化简整理即可得到所求结论．【解析】解：数列{a n}的前n项和S n=an2+bn，若a＜0，则n=1时，a1=S1=a+b；n≥2，n∈N时，a n=S n-S n-1=an2+bn-a（n-1）2-b（n-1）=2an+b-a，对n=1也成立，na n-S n=2an2+bn-an-an2-bn=an2-an=an（n-1）≤0，可得na n≤S n，排除B，C，由S n-na1=an2+bn-n（a+b）=an2-an=an（n-1）≤0，可得S n≤na1，排除A，可得na n≤S n≤na1，D正确．故选D．7.【答案】C【解析】解：x，y由z=x-y得y=x-z，平移直线y=x-z，由平移可知当直线y=x-z，经过点A时，直线y=x-z的截距最小，此时z取得最大值，A（2，0）代入z=x-y得z=2，即z=x-y的最大值是2，故选：C．作出不等式组对应的平面区域，画出不等式组表示的平面区域，由z=x-y得y=x-z，利用平移即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．8.【答案】C【解析】解：根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有1〜3号的盒子中，且没有空盒，三个盒子中有1个中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个，则分2步进行分析：①、先将四个不同的小球分成3组，有C42=6种分组方法；②、将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有A33=6种放法；则不允许有空盒子的放法6×6=36种；故选：C．根据题意，分2步进行分析：①、先将四个不同的小球分成3组，②、将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，注意要先分组，再进行排列．9.【答案】A【解析】可得y=2sin（2x）=2sin（2x+）的图象，得到函数y=g（x）=2sin（4x4x，故当4x+时，g（x）取得最小值为-1；当4x g（x）取得最大值为2，故函数g（x）的值域为[-1，2]，故选：A．利用y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得g（x本题主要考查y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．10.【答案】A【解析】解：由椭圆别为F1（-1，0），F2（1，0），过F1的直线l1与过F2的直线l2交于点P，且l1⊥l2，∴P在线段F1F2为直径的圆上，故x02+y02=1，1，故A错误，B正确．3x02+2y02＞2x02+2y02=2（x02+y02）=2＞1，故C正确；由圆x2+y2=1在P（x0，y0）的切线方程为：x0x+y0y=1，d，+-1＞1-，则1，故D正确，故选：A．由题意P在线段F1F2为直径的圆上，故x02+y02=11，3x02+2y02＞2x02+2y02＞1，利用点到直线的距离公式及圆的切线方程，即可求得+1．本题考查椭圆的性质，点到直线的距离公式及圆的切线方程的应用，考查转化思想，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：甲和三人中的第3小组那位不一样，说明甲不在第三组，三人中第3小组的那位比乙分数高，说明乙不在第三组，则丙在第三组，第三组比第1小组的那位的成绩低，大于乙，这时可得乙为第二组，甲为第一组，甲、乙、丙三人按数学成绩由高到低排列，甲、丙、乙，故选B．由题意可知甲为第一组，乙为第二组，丙在第三组，甲、乙、丙三人按数学成绩由高到低排列，甲、丙、乙．本题考查简单的合情推理，考查转化思想，属于基础题．12.【答案】D【解析】解：f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=ln x+1-ax+a-1=ln x-ax+a，若f（x）在x=1处取极大值，则f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，则ln x-ax+a＜0在（1，+∞）恒成立，故a1，+∞）恒成立，令h（x）x＞1），则h′（x）=0，故h（x）在（1，+∞）递减，，故a＞1，故选：D．问题转化为a1，+∞）恒成立，令h（x）x＞1），根据函数的单调性求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．13.【解析】解：根据题意，5x-1103x=8x，即5x-1×（2×5）3x=23x，则有54x-1=1，则有4x-1=0，解可得x根据题意，对5x-1103x=8x变形可得54x-1=1，由指数的运算性质可得4x-1=0，解可得x的值，即可得答案．本题考查指数、对数的计算，关键是5x-1103x=8x的化简，变形．14.【答案】7【解析】解：当a=2，b=10时，不满足a＞b，故a=3，b=9，不满足a＞b，故a=4，b=8不满足a＞b，故a=5，b=7不满足a＞b，故a=6，b=6不满足a＞b，故a=7，b=5满足a＞b，输出的a值为7，故答案为：7．根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答，属于基础题．15.【解析】可得c=a2+b2=10，2b=a，解得b，a=2．利用已知条件求出a，b，即可得到双曲线方程．本题考查双曲线方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．16.【解析】【分析】考查等比数列前n项求和的性质公式．本题考查等比数列前n项和性质，和运算能力，属于中档题目．利用S n，S2n-S n，S3n-S2n成等比数列解答此题.【解答】解：由等比数列的前n项求和公式可知：S n，S2n-S n，S3n-S2n时，有S2n=3S n①因为S n•（S3n-S2n）=（S2n-S n）•（S2n-S n），所以S n•（S3n-3S n）=（3S n-S n）•（3S n-S n），即得S3n=7S n②．17.【答案】解：（1），∵0＜A＜π，∴．（2又=（b+c）2-3bc=（b+c）2-4，b+c）2=7，【解析】（1）利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用同角三角函数基本关系式求解即可．（2）利用三角形的面积以及余弦定理，转化求解即可．本题考查余弦定理的应用以及三角形的面积的求法，两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力．18.【答案】解：（1）由甲、乙两名同学十次模拟测试成绩，作出茎叶图如下：甲同学成绩的平均数：119+120+121+123+125+137+131+132+133）=127，甲同学成绩的方差为：S2127-119）2+（120-119）2+（121-119）2+（123-119）2+（125-119）2+（137-119）2+（131-119）2+（132-119）2+（133-119）2]=35．由茎叶图知：甲的中位数大于乙的中位数，甲的平均成绩小于乙的平均成绩．（2）由已知，X的可能取值为0，1，2，P（X=0）P（X=1）P（X=2）=的分布列为：E（X）．【解析】（1）由甲、乙两名同学十次模拟测试成绩，能作出茎叶图，并求出甲同学成绩的平均数、方差，由茎叶图知：甲的中位数大于乙的中位数，甲的平均成绩小于乙的平均成绩．（2）由已知，X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，能求出X的分布列和数学期望．本题考查茎叶图、平均数、方差的离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查离散型随机变量等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19.【答案】（1）证明：∵AB∥CD，AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD．∴AB∥平面PCD，∵AB⊂平面PAB，平面PAB∩平面PCD=l∴AB∥l．（2）解：∵底面是菱形，E为BC的中点AE⊥AD∵PA⊥平面ABCD，则以点A为原点，直线AE、AD、AP分别为轴建立如图所示空间直角坐标系则∴F（0，1，1），，设平面PCD设直线AQ与平面PCD所成角为α，∴直线AQ与平面PCD所成角的正弦值为【解析】（1）证明AB∥平面PCD，然后利用直线与平面平行的性质定理证明AB∥l．（2）以点A为原点，直线AE、AD、AP分别为轴建立如图所示空间直角坐标系求出平面PCD的法向量直线AQ的方向向量，然后利用空间向量的数量积求解直线AQ与平面PCD所成角的正弦值．本题考查直线与平面平行的判定定理以及性质定理的应用，直线与平面所成角的求法考查科技信息能力以及计算能力．20.【答案】解：（1）y=2x+m与y2=4x联立，得y2-2y+2m=0，由△＞0A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=2，y1•y2=2m，∵OA⊥OB，∴y1y2=-16∴2m=-16m=-8，满足题意．（2）设弦AB的中点为M∵TM⊥AB，∴m=-4，∴|BC，面积为|AB|•|BC|=30．【解析】（1）y=2x+m与y2=4x联立，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理y1+y2=2，y1•y2=2m（2）设弦AB的中点为M求出M坐标，通过TM⊥AB求出m，然后利用距离公式求解即可．本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，向量的数量积的应用，考查矩形ABCD面积的求法，转化思想以及计算能力．21.【答案】解：（1）a=-2时，f'（x）=2（x-1-2ln x），设h（x）=f'（x），当x∈（0，2h（x）在（0，2）上是单调递减函数，即则f'（x）在（0，2）上是单调递减函数，∵f'（1）=0，∴1＜x＜2时，f'（x）＜0；0＜x＜1时，f'（x）＞0∴在（0，2）上f（x）的单调增区间是（0，1），单调减区间是（1，2）；（2）x＞1时，2ax lnx＞（2a+1-x）（x-10＜x＜1时，2ax lnx＜（2a+1-x）（x-1a=-1时，-（2a+1）=1，，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增∴x＞1时，g（x）＞g（1）=0；0＜x＜1时，g（x）＜g（1）=0，∴a=-1符合题意；a＜-1时，-（2a+1）＞1，1＜x＜-（2a+1）时，g'（x）＜0，∴g（x）在（1，-2a-1）上单调递减，∴当1＜x＜-（2a+1）时，g（x）＜g（1）=0，与x＞1时，g（x）＞0矛盾；舍去，a＞-1时，设M为-（2a+1）和0中的最大值，当M＜x＜1时，g'（x）＜0，∴g（x）在（M，1）上单调递减，∴当M＜x＜1时，g（x）＞g（1）=0，与0＜x＜1时，g（x）＜0矛盾；舍去综上，a∈{-1}．【解析】（1）a=-2时，求出导函数f'（x）=2（x-1-2ln x），设h（x）=f'（x），利用导函数的符号，判断函数的单调性，转化求解即可．（2）通过x＞1时，化简不等式，0＜x＜1时，化简不等式，设调性，推出a=-1时，g（x）在（0，+∞）上单调递增，a=-1符合题意；a＜-1时，a＞-1时，都出现矛盾结果；得到a的集合．本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查方利用率思想以及转化思想的应用，构造法的应用，难度比较大．22.【答案】（1）由已知直线l的参数方程为：（t为参数，0≤α＜π，∵曲线C的极坐标方程为且直线l与曲线C交于A、B两点∴O到直线l的距离为∵0＜α＜π（2）直接利用三角形关系式，解得：【解析】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，点到直线的距离公式的应用．（1）直接利用参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化，再利用点到直线的距离公式求出结果;（2）直接利用三角形关系式求出结果．23.【答案】解：（1）由已知|x-3|+|x-1|＞5，当x＜1当1≤x≤3时，解得x∈∅，则x∈∅，当x＞3（2）∵||x-3a|-|x-1||≤|（x-3a）-（x-1）|=|3a-1|∴|x-3a|-|x-1|≤|3a-1|当且仅当（x-3a）（x-1）≥0且|x-3a|≥|x-1|时等号成立．∴|3a-1|＞5，解之得a＞2∴a【解析】（1）当a=1时，原不等式可化为|x-3|+|x-1|＞5，通过对x取值范围的讨论，去掉式中的绝对值符号，解相应的不等式，最后取并即可；（2））由||x-3a|-|x-1||≤|（x-3a）-（x-1）|=|3a-1|则可得|3a-1|＞5，求出a的取值范围．本题考查绝对值不等式的解法，通过对x取值范围的讨论，去掉式中的绝对值符号是关键，运算求解能力，属于中档题．。

2017-2018学年辽宁省沈阳市高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)

2017-2018学年辽宁省沈阳市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题各出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。

）1．（5分）命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的逆命题是（）A．若a＞b，则a+c≤b+c B．若a+c≤b+c，则a≤bC．若a+c＞b+c，则a＞b D．若a≤b，则a+c≤b+c2．（5分）椭圆的焦距为（）A．B．2C．2D．43．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b2+c2﹣a2＝，则A的大小为（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°4．（5分）a，b，c∈R，且a＞b＞0，则下列命题正确的是（）A．ac＞bc B．C．a2＞ab D．c﹣a＞c﹣b 5．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有一个关于数列的运算问题，其大意为“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走分路程为（）A．3里B．6里C．12里D．24里6．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是DD1的中点，O是下底面的中心，N 是按C1D1上任意一点，则异面直线ON与A1M所成角的大小是（）A．45°B．60°C．90°D．与点N的位置有关7．（5分）关于x的不等式ax﹣b＜0的解集是（2，+∞），则关于x的不等式（2ax+b）（x ﹣3）＞0的解集是（）A．（﹣∞，1）∪（3，+∞）B．（1，3）C．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）D．（﹣1，3）8．（5分）双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）上任一点P到两渐近线的距离分别为d1，d2，则d1d2的乘积为（）A．B．C．D．9．（5分）已知等差数列{a n}满足a2＝2，前5项和S5＝25，若S n＝39，则n的值为（）A．5B．6C．7D．810．（5分）已知正四面体ABCD的棱长是a，若E是AB的中点，则＝（）A．B．C．a2D．﹣a211．（5分）下列命题中，说法正确的是（）A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”B．“0＜x＜”是“x（1﹣2x）＞0”的必要不充分条件C．命题“∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＞0”D．命题“在△ABC中，若A＞B，则sin A＞sin B”的逆否命题为真命题12．（5分）过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（）A．B．2C．2D．3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

辽宁省2017—2018学年高二第一学期期末模拟考试卷(一)

辽宁省2017—2018学年高二第一学期期末模拟考试卷（一）（理科）一、单项选择题：本大题共16小题，每小题5分，共80分。

1．若＜＜0，则下列不等式①a+b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④+＞2中，正确的不等式有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个2．设平面α的一个法向量为，平面β的一个法向量为，若α∥β，则k=（）A．2 B．﹣4 C．﹣2 D．43．对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么不等式4[x]2﹣36[x]+45＜0成立的x的范围是（）A．（）B．[2，8]C．[2，8） D．[2，7]4．下列命题正确的是（）A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题B．“x=5”是“x2﹣4x﹣5=0”的充分不必要条件C．命题“若x＜﹣1，则x2﹣2x﹣3＞0”的否定为：“若x≥﹣1，则x2﹣2x﹣3≤0”D．已知命题p：∃x∈R，x2+x﹣1＜0，则¬p：∃x∈R，x2+x﹣1≥05．设f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．6．已知直线y=ax是曲线y=lnx的切线，则实数a=（）A．B．C．D．7．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，左顶点到一条渐近线的距离为，则该双曲线的标准方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=18．若f（x）=x3﹣ax2+1在（1，3）内单调递减，则实数a的范围是（）A．[，+∞）B．（﹣∞，3]C．（3，）D．（0，3）9．已知变量x，y满足，则z=x﹣y的取值范围是（）A．[﹣2，﹣1]B．[﹣2，0]C．[0，]D．[﹣2，]10．如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=，AF=1，M在EF上，且AM∥平面BDE，则M点的坐标为（）A ．（1，1，1）B ．（，，1）C ．（，，1）D ．（，，1）11．已知命题p ：“∀x ∈[1，2]，x 2﹣a ≥0”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2+2ax +2﹣a=0”．若命题“p 且q”是真命题，则实数a 的取值范围为（） A ．﹣2≤a ≤1 B ．a ≤﹣2或1≤a ≤2 C ．a ≥1D ．a ≤﹣2或 a=112．点P 是抛物线y 2=4x 上一动点，则点P 到点A （0，﹣1）的距离与到直线x=﹣1的距离和的最小值是（）A ．B ．C ．2D ．13．若f （x ）=x 3+ax 2+bx ﹣a 2﹣7a 在x=1处取得极大值10，则的值为（）A ．或B ．或 C ．D ．14．设a ＞1，b ＞2，且ab=2a +b ，则a +b 的最小值为（）A ．2B ．2+1 C ．2+2 D ．2+315．已知椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，若椭圆上存在点P使得∠F 1PF 2是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．16．已知f （x ）的定义域是（0，+∞），f'（x ）为f （x ）的导函数，且满足f （x ）＜f'（x ），则不等式f （2）的解集是（）A ．（﹣∞，2）∪（1，+∞）B ．（﹣2，1）C ．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）D ．（﹣1，2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．17．阿基米德在《论球与圆柱》一书中推导球的体积公式时，得到一个等价的三角恒等式sin，若在两边同乘以，并令n→+∞，则左边=．因此阿基米德实际上获得定积分的等价结果．则= ．18．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，则AD与平面AA1C1C所成的角的正弦值为．19．已知|AB|=3，A、B分别在x轴和y轴上滑动，O为坐标原点，，则动点P的轨迹方程是．20．已知a∈R，若在区间（0，1）上只有一个极值点，则a的取值范围为．三、解答题：共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．21．如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，将△ADM 沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM（Ⅰ）求证：AD⊥BM（Ⅱ）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E﹣AM﹣D的余弦值为．22．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．23．已知函数f（x）=x﹣﹣2alnx（a∈R）（Ⅰ）若函数f（x）在x=2时取极值，求实数a的值；（Ⅱ）若f（x）≥0对任意x∈[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．24．已知函数f（x）=（x2﹣ax﹣a）e x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若a∈（0，2），对于任意x1，x2∈[﹣4，0]，都有恒成立，求m的取值范围．参考答案一、单项选择题1．解：∵＜＜0，∴b＜a＜0，∴a+b＜0＜ab，故①正确．∴﹣b＞﹣a＞0，则|b|＞|a|，故②错误．③显然错误．由于，，∴+＞2=2，故④正确．综上，①④正确，②③错误，故选C．2．解：平面α的一个法向量为，平面β的一个法向量为，∵α∥β，由题意可得，∴k=4．故选：D．3．解：由4[x]2﹣36[x]+45＜0，得，又[x]表示不大于x的最大整数，所以2≤x＜8．故选C4．解：选项A，若p∨q为真命题，则p与q有一个为真，但p∧q为不一定为真命题，故不正确；选项B，“x=5”能得到“x2﹣4x﹣5=0”，“x2﹣4x﹣5=0”不能推出“x=5”，则“x=5”是“x2﹣4x﹣5=0”的充分不必要条件，故正确；选项C，命题“若x＜﹣1，则x2﹣2x﹣3＞0”的否定为：“若x＜﹣1，则x2﹣2x﹣3≤0”，故不正确；选项D，已知命题p：∃x∈R，x2+x﹣1＜0，则¬p：∀x∈R，x2+x﹣1≥0，故不正确．故选B．5．解：由y=f'（x）的图象易得当x＜0或x＞2时，f'（x）＞0，故函数y=f（x）在区间（﹣∞，0）和（2，+∞）上单调递增；当0＜x＜2时，f'（x）＜0，故函数y=f（x）在区间（0，2）上单调递减；故选C．6．解：∵y=lnx，∴y'=设切点为（m，lnm），得切线的斜率为，所以曲线在点（m，lnm）处的切线方程为：y﹣lnm=×（x﹣m）．它过原点，∴﹣lnm=﹣1，∴m=e，∴a=．故选C．7．解：由题意，，解的b=2，a=2，∴双曲线的标准方程为．故选：D．8．解：∵函数f（x）=x3﹣ax2+1在（0，3）内单调递减，∴f'（x）=3x2﹣2ax≤0在（0，3）内恒成立．即a≥x在（0，3）内恒成立．∵g（x）=x在（0，3]上的最大值为×3=，故a≥∴故选：A．9．解：作出不等式组，对应的平面区域如图：由z=x﹣y得y=x﹣z，平移直线y=x﹣z由图象可知当直线y=x﹣z经过点A时，直线y=x﹣z的截距最大，由，解得A（1，3）此时z最小为z=1﹣3=﹣2，当直线y=x﹣z，z经过点B时，z取得最大值，由，可得A（，），直线y=x﹣z的截距最小，此时z最大为：=，z的范围为：[﹣2，]．故选：D．10．解：设AC、BD交于点O，连结OE，∵正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=，AF=1，M在EF上，且AM∥平面BDE，∴AM∥OE，又AO∥EM，∴OAME是平行四边形，∴M是EF的中点，∵E（0，0，1），F（），∴M（）．故选：C．11．解：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0；即∀x∈[1，2]，a≤x2；x2在[1，2]上的最小值为1；∴a≤1；即命题p：a≤1；∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0；∴方程x2+2ax+2﹣a=0有解；∴△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得：a≤﹣2，或a≥1；即命题q：a≤﹣2，或a≥1；若“p且q”是真命题，则p，q都为真命题；∴；∴a≤﹣2，或a=1．故选D．12．解：设A（0，﹣1），由y2=4x得p=2，=1，所以焦点为F（1，0），准线x=﹣1，过P作PN 垂直直线x=﹣1，根据抛物线的定义，抛物线上一点到定直线的距离等于到焦点的距离，所以有|PN|=|PF|，连接F、A，有|FA|≤|PA|+|PF|，所以P为AF与抛物线的交点，点P到点A（0，﹣1）的距离与点P到直线x=﹣1的距离之和的最小值为|FA|=，故选：D．13．解：∵f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a，∴f′（x）=3x2+2ax+b，又f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a在x=1处取得极大值10，∴f′（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b﹣a2﹣7a=10，∴a2+8a+12=0，∴a=﹣2，b=1或a=﹣6，b=9．当a=﹣2，b=1时，f′（x）=3x2﹣4x+1=（3x﹣1）（x﹣1），当＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，∴f（x）在x=1处取得极小值，与题意不符；当a=﹣6，b=9时，f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3）当x＜1时，f′（x）＞0，当＜x＜3时，f′（x）＜0，∴f（x）在x=1处取得极大值，符合题意；则=﹣=﹣，故选：C．14．解：∵a＞1，b＞2，且ab=2a+b，∴ab﹣b=2a，∴b（a﹣1）=2a，解得b=，∴a+b=a+====a﹣1++3≥3+2=3+2当且仅当a﹣1=即a=1+时取等号故选：D15．解：如图，当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角∠F1PF2渐渐增大，当且仅当P点位于短轴端点P0处时，张角∠F1PF2达到最大值．由此可得：∵椭圆上存在点P使得∠F1PF2是钝角，∴△P0F1F2中，∠F1P0F2＞90°，∴Rt△P0OF2中，∠OP0F2＞45°，所以P0O＜OF2，即b＜c，∴a2﹣c2＜c2，可得a2＜2c2，∴e＞，∵0＜e＜1，∴＜e＜1．故选：B．16．解：设g（x）=，（x＞0），∵f（x）＜f'（x），∴g′（x）=＞0，∴g（x）在（0，+∞）单调递增，由f（2），得，即g（x2+x）＞g（2），∴x2+x＞2，解得：x＜﹣2或x＞1．∴不等式f（2）的解集是（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）．故选：A．二、填空题17．解：=（﹣cosx）=2．故答案为：2．18．解：取AC的中点E，BE为x轴，BE的垂线为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，则E（，0，0），A（，，0），D（0，0，1），平面AA1C1C的法向量可以为：=（，0，0），=（，，1），则AD与平面AA1C1C所成的角的正弦值为：==．故答案为：．19．解：设A（a，0），B（O，b），P（x，y）．∵|AB|=3，∴=3，化为a2+b2=9．∵，∴（x，y）=（a，0）+（0，b）=（a，b）．∴x=，y=．可得a=，b=3y，代入a2+b2=9，∴，∴动点P的轨迹方程是，故答案为：．20．解：∵f（x）=（x+）e x，∴f′（x）=（）e x，设h（x）=x3+x2+ax﹣a，∴h′（x）=3x2+2x+a，a＞0，h′（x）＞0在（0，1）上恒成立，即函数h（x）在（0，1）上为增函数，∵h（0）=﹣a＜0，h（1）=2＞0，∴h（x）在（0，1）上有且只有一个零点x0，使得f′（x0）=0，且在（0，x0）上，f′（x）＜0，在（x0，1）上，f′（x）＞0，∴x0为函数f（x）在（0，1）上唯一的极小值点；a=0时，x∈（0，1），h′（x）=3x2+2x＞0成立，函数h（x）在（0，1）上为增函数，此时h（0）=0，∴h（x）＞0在（0，1）上恒成立，即f′（x）＞0，函数f（x）在（0，1）上为单调增函数，函数f（x）在（0，1）上无极值；a＜0时，h（x）=x3+x2+a（x﹣1），∵x∈（0，1），∴h（x）＞0在（0，1）上恒成立，即f′（x）＞0，函数f（x）在（0，1）上为单调增函数，函数f（x）在（0，1）上无极值．综上所述，a＞0，故答案为：a＞0．三、解答题21．（1）证明：∵长方形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，∴AM=BM=2，∴BM⊥AM．∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ABCM∴BM⊥平面ADM∵AD⊂平面ADM∴AD⊥BM；（2）建立如图所示的直角坐标系，设，则平面AMD的一个法向量=（0，1，0），=+=（1﹣λ，2λ，1﹣λ），=（﹣2，0，0），设平面AME的一个法向量为=（x，y，z），则，取y=1，得x=0，z=，则=（0，1，），∵cos＜，＞==，∴求得，故E为BD的中点．22．解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意∴b=1，∴所求椭圆方程为．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）当AB⊥x轴时，．（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．由已知，得．把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，∴，．∴|AB|2=（1+k2）（x2﹣x1）2=====．当且仅当，即时等号成立．当k=0时，，综上所述|AB|max=2．∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值．23．解：（Ⅰ）∵，依题意有：f'（2）=0，即，解得：检验：当时，此时：函数f（x）在（1，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，满足在x=2时取得极值综上：．（Ⅱ）依题意有：f min（x，）≥0，令f′（x）=0，得：x1=2a﹣1，x2=1，①当2a﹣1≤1即a≤1时，函数f'（x）≥0在[1，+∞）恒成立，则f（x）在[1，+∞）单调递增，于是f min（x）=f（1）=2﹣2a≥0，解得：a≤1；②当2a﹣1＞1即a＞1时，函数f（x）在[1，2a﹣1]单调递减，在[2a﹣1，+∞）单调递增，于是f min（x）=f（2a﹣1）＜f（1）=2﹣2a＜0，不合题意，此时：a∈Φ；综上所述：实数a的取值范围是a≤1．24．解：（1）f′（x）=（x+2）（x﹣a）e x，①若a＜﹣2，则f（x）在（﹣∞，a），（﹣2，+∞）上单调递增，在（a，﹣2）单调递减；②若a=﹣2，则f（x）在R上单调递增；③若a＞﹣2，则f（x）在（﹣∞，﹣2），（a，+∞）上单调递增，在（﹣2，a）单调递减；（2）由（1）知，当a∈（0，2）时，f（x）在（﹣4，﹣2）上单调递增，在（﹣2，0）单调递减，所以f（x）max=f（﹣2）=（a+4）e﹣2，f（﹣4）=（3a+16）e﹣4＞﹣a=f（0），故|f（x1）﹣f（x2）|max=|f（﹣2）﹣f（0）|=a（e﹣2+1）+4e﹣2，|f（x1）﹣f（x2）|＜4e﹣2+me a恒成立，即a（e﹣2+1）+4e﹣2＜4e﹣2+me a恒成立，即m＞（e﹣2+1）恒成立，令g（x）=，x∈（0，2），易知g（x）在其定义域上有最大值g（1）=，所以m＞．。

2017-2018学年辽宁省大连市高二上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案

大连市2017 2018学年度第一学期期末考试试卷高二数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线x y 212=的准线方程为（） A ．81-=x B ．41-=x C ．21-=x D ．1-=x 2.命题：“0,02≥->∀x x x ”的否定是（）A ．0,02>-≤∀x x xB ．0,02≤->∀x x xC ．0,02<->∃x x xD ．0,02>-≤∃x x x3.若0>ab ，则ba ab +的最小值是（） A ．1 B ．2 C ．2 D ．224.已知{}n a 是等差数列，28,48721=+=+a a a a ，则该数列前10项和10S 等于（）A ．64B ．100 C.110 D ．1205.命题1:≥x p ，命题11:≤xq ，则p 是q 的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件6.已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≥+3022y y x y x ，则y x z -=2的最小值是（）A ．5B ．5- C. 25 D ．25- 7.已知ABC ∆的顶点C B ,在椭圆1322=+y x 上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是（）A ．32B ．6 C.34 D ．128.平行六面体1111D C B A ABCD -中，向量1,,AA AD AB 两两的夹角均为060，且1=AB ，3,21==AA AD ,则1AC 等于（）A ．5B ．6 C. 4 D ．89.已知直线1+=x y 与曲线()a x y +=ln 相切，则a 的值为（）A ． 1B ． 2 C. 1- D ．2-10.关于x 的不等式0>-b ax 的解集为()1,-∞-，则关于x 的不等式()()02<+-b ax x 的解集为（）A ．()2,1-B ．()2,1 C.()()+∞-∞-,21, D ．()()+∞∞-,21,11.已知双曲线12222=-by a x 的一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为（）A ．145522=-y x B ．14522=-y x C. 14522=-x y D ．154522=-y x 12.若()x f 的定义域为R ，()2<'x f 恒成立，()21=-f ，则()42+>x x f 的解集为（）A ．()1,1-B ．()1,-∞- C.()+∞-,1 D ．()+∞∞-,第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.{}n a 是公比为正数的等比数列，若16,453==a a 则数列{}n a 的前5项和为．14.直线1-=x y 与椭圆12422=+y x 相交于B A ,两点，则=AB ． 15.21,F F 为椭圆1:2222=+by a x C 左右焦点，A 为椭圆上一点，2AF 垂直于x 轴，且三角形21F AF 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为．16.点P 是圆()42:22=++y x C 上的动点，定点()0,2F ，线段PF 的垂直平分线与直线CP 的交点为Q ，则点Q 的轨迹方程是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 过抛物线px y E 2:2=的焦点F 的一条直线与抛物线E 交于()()2211,,,y x Q y x P 两点.求证：.221p y y -=18.已知等差数列{}n a ()*∈N n 的前项和为n S ，且.9,533==S a（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）等比数列{}()*∈N n b n ，若5322,a b a b ==，求数列{}n n b a +的前n 项和.n T 19.如图，四边形ABCD 是直角梯形，⊥=∠=∠SA BAD ABC ,900平面ABCD ,.1,2====AD BC AB SA（1）求直线SC 与平面ASD 所成角的余弦；（2）求平面SAB 和平面SCD 所成角的余弦.20.已知函数()c bx ax x x f +++=23在32-=x 与1=x 时都取得极值. （1）求b a ,的值与函数()x f 的单调区间；（2）若对[]2,1-∈x ，不等式()2c x f <恒成立，求c 的取值范围.21.如图，四棱柱1111D C B A ABCD -中，侧棱A A 1⊥底面2,1,,//,1====⊥AB AA CD AD AD AB DC AB ABCD ,E 为棱1AA 的中点.（1）证明：CE C B ⊥11；（2）求二面角11C CE B --的正弦值.22.已知椭圆C 的中心是坐标原点O ，它的短轴长22，焦点()0,c F ，点⎪⎭⎫⎝⎛-0,10c c A ，且.2FA OF = （1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在过点A 的直线与椭圆C 相交于Q P ,两点，且以线段PQ 为直径的圆过坐标原点O ，若存在，求出直线PQ 的方程；不存在，说明理由.试卷答案一、选择题1-5: ACCBA 6-10: BCABD 11、12：AB二、填空题13. 31 14. 534 15.12- 16.1322=-y x 三、解答题17.解：当过焦点F 的直线垂直于x 轴时，则221p y y -=成立，当直线不与x 轴垂直时，设⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2p x k y ⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=px y p x k y 222 得0222=--p py ky 所以221p y y -= .18.解：（1）由93=S ，得932=a ，所以.32=a又因为53=a ，所以公差.2=d从而().1222-=-+=n d n a a n（2）由上可得9,35322====a b a b ，所以公比.3=q从而n n n q b b 322=⋅=-，所以，()13212-+=n n n T . 19.解：（1）如图建系，()()()()2,2,2,0,0,1,0,2,2,2,0,0-=SC D C S⊥AB 平面SAD ，故平面ASD 的一个法向量为()0,2,0=AB设SC 与平面ASD 所成的角为θ则故36cos =θ，即SC 与平面ASD 所成的角余弦为36 （2）平面SAB 的一个法向量为()0,0,1=m()()2,0,1,2,2,2-=-=SD SC ,设平面SCD 的一个法向量为()z y x n ,,=，由⎩⎨⎧=-=-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅02000z x z y x n SD n SC 令1=z 可得平面SCD 的一个法向量为 ()1,1,2-=n显然，平面SAB 和平面SCD 所成角为锐角，不妨设为α则36cos =⋅⋅=n m nm α 即平面SAB 和平面SCD 所成角的余弦36. 20．解：（1） ()()b ax x x f c bx ax x x f ++='+++=23,223 由()0231,03491232=++='=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a f b a f 得2,21-=-=b a ()()()123232-+=--='x x x x x f ，x 变化时()()x f x f '变化如下表所以函数()x f 的递增区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-32,与()+∞,1，递减区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,32；（2）()[]2,1,22123-∈+--=x c x x x x f ，当32-=x 时，c f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-272232 为极大值，而()c f +=22，则()c f +=22为最大值，要使()[]2,1,2-∈<x c x f 恒成立，则只需要()c f c +=>222，得.21>-<c c 或21.解：如图所示，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得()()()1,0,1,2,0,0,0,0,0C B A ()()()0,1,0,1,2,1,2,2,011E C B（1）证明：易得()()1,1,1,1,0,111--=-=CE C B ,于是011=⋅CE C B ,所以.11CE C B ⊥（2）()1,2,1:1--C B ,设平面CE B 1的一个法向量()z y x m ,,=，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001CE m C B m ,即⎩⎨⎧=-+-=--002z y x z y x 消去x ，得02=+z y ，不妨令1=z ，所以平面CE B 1的一个法向量为 ()1,2,3--=m由（1）知，,11CE C B ⊥又⊂=⊥11111,,,CC CE C CC CE C B CC 平面1CEC ，所以⊥11C B 平面1CEC ，故()1,0,111-=C B 为平面1CEC 的一个法向量，于是7722144cos 111111-=⨯-=⋅⋅=⋅C B m C B m C B m , 从而.721sin 11=⋅C B m所以二面角11C CE B --的正弦值为.721 22.解：（1）由题意知，()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0,10,0,,2c c A c F b ()⎪⎭⎫ ⎝⎛-==0,210,0,c c FA c OF 由FA OF 2=，得c c c 420-=，解得：.2=c ∴=+=∴,6222c b a 椭圆的方程为12622=+y x 离心率为3662= （2）()0,3A ，设直线PQ 的方程为()3-=x k y联立()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=126322y x x k y ，得()062718312222=-+-+k x k x k 设()()2211,,,y x Q y x P ，则2221222131627,3118kk x x k k x x +-=+=+ ()[]22222222121221313931543162793k k k k k k k x x x x k y y +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+-=++-= 由已知得OQ OP ⊥，得02121=+y y x x ，即03163031331627222222=+-=+++-kk k k k k 解得：55±=k ，符合∴>∆,0直线PQ 的方程为()355-±=x y .。

【真题】2017-2018年辽宁省实验中学、东北育才学校高二第一学期期末数学试卷(理科)含解析

2017-2018学年辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高二第一学期期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设命题p：∀x＞0，x﹣lnx＞0，则￢p为（）A．∀x＞0，x﹣lnx≤0B．∀x＞0，x﹣lnx＜0C．∃x0＞0，x0﹣lnx0＞0D．∃x0＞0，x0﹣lnx0≤02．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知2a1+a13=﹣9，则S9=（）A．﹣27B．27C．﹣54D．543．（5分）若a，b∈R，则“＜”是“＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为x﹣2y=0，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．5．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．（5分）已知等比数列{a n}中，a2=2，则其前三项和S3的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．[6，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）7．（5分）已知变量x，y满足约束条件，若目标函数z=x+2y的最小值为2，则m=（）A．2B．1C．D．﹣28．（5分）60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长为（）A．B．C．D．9．（5分）已知不等式xy≤ax2+2y2对任意x∈[1，2]，y∈[4，5]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，+∞）B．[﹣6，+∞）C．[﹣28，+∞）D．[﹣45，+∞）10．（5分）设椭圆与函数y=x3的图象相交于A，B两点，点P为椭圆C上异于A，B 的动点，若直线PA的斜率取值范围是[﹣3，﹣1]，则直线PB的斜率取值范围是（）A．[﹣6，﹣2]B．[2，6]C．D．11．（5分）设数列{a n}的前n项和S n，若+++…+=4n﹣4，且a n≥0，则S100等于（）A．5048B．5050C．10098D．1010012．（5分）已知双曲线Γ：﹣=1（a＞0，b＞0）的上焦点F（0，c）（c＞0），M是双曲线下支上的一点，线段MF与圆x2+y2﹣y+=0相切于点D，且|MF|=3|DF|，则双曲线Γ的渐近线方程为（）A．4x±y=0B．x±4y=0C．2x±y=0D．x±2y=0二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知命题p：x2+2x﹣3＞0，命题q：x＞a，若￢p是￢q的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是．14．（5分）已知正项等比数列{a n}的公比为2，若，则的最小值等于．15．（5分）已知M是抛物线x2=4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：（x+1）2+（y﹣6）2=1上，则|MA|+|MF|的最小值是．16．（5分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，，已知G与E分别是棱A1B1和CC1的中点，D与F分别是线段AC与AB上的动点（不包括端点）．若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知数列{a n}是等比数列，首项a1=1，公比q＞0，其前n项和为S n，且S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E为BB1中点．（1）证明：AC⊥D1E；（2）求DE与平面AD1E所成角的正弦值．19．（12分）已知数列{{a n}满足，．（1）求证：数列是等比数列；（2）若数列{b n}是单调递增数列，求实数λ的取值范围．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E为PD中点，AD=2．（Ⅰ）求证：平面AEC⊥平面PCD．（Ⅱ）若二面角A﹣PC﹣E的平面角大小θ满足cosθ=，求四棱锥P﹣ABCD的体积．21．（12分）已知过抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点F，斜率为的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点，且|AB|=6．（1）求该抛物线E的方程；（2）过点F任意作互相垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线E于点C，D和M，N．设线段CD，MN 的中点分别为P，Q，求证：直线PQ恒过一个定点．22．（12分）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知圆C：（x+1）2+y2=16，点A（1，0），点B（a，0）（|a|＞3），以B为圆心，|BA|的半径作圆，交圆C于点P，且的∠PBA的平分线次线段CP 于点Q．（I）当a变化时，点Q始终在某圆锥曲线τ是运动，求曲线τ的方程；（II）已知直线l过点C，且与曲线τ交于M、N两点，记△OCM面积为S1，△OCN面积为S2，求的取值范围．2017-2018学年辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高二第一学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设命题p：∀x＞0，x﹣lnx＞0，则￢p为（）A．∀x＞0，x﹣lnx≤0B．∀x＞0，x﹣lnx＜0C．∃x0＞0，x0﹣lnx0＞0D．∃x0＞0，x0﹣lnx0≤0【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x＞0，x﹣lnx＞0”的否定是∃x＞0，x﹣lnx≤0．故选：D．2．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知2a1+a13=﹣9，则S9=（）A．﹣27B．27C．﹣54D．54【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，2a1+a13=﹣9，∴3a1+12d=﹣9，∴a1+4d=﹣3，∴S9==9（a1+4d）=﹣27．故选：A．3．（5分）若a，b∈R，则“＜”是“＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∀a，b∈R，a2+ab+b2=+b2≥0，当且仅当a=b=0时取等号．∴＞0⇔（a﹣b）ab＞0，⇔“＜”．∴“＜”是“＞0”的充要条件．故选：C．4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为x﹣2y=0，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为x﹣2y=0，∴a=2b，∴c=b，∴双曲线的离心率是e==．故选：D．5．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，如图：BC 的中点为O，连结ON，，则MN0B是平行四边形，BM与AN所成角就是∠ANO，∵BC=CA=CC1，设BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO=，AN=，MB===，在△ANO中，由余弦定理可得：cos∠ANO===．故选：C．6．（5分）已知等比数列{a n}中，a2=2，则其前三项和S3的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）C．[6，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）【解答】解：∵等比数列{a n}中，a2=2，∴其前三项和S3=，当q＞0时，S3=≥2+2=6；当q＜0时，S3=≤2﹣2=2﹣4=﹣2．∴其前三项和S3的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）．故选：D．7．（5分）已知变量x，y满足约束条件，若目标函数z=x+2y的最小值为2，则m=（）A．2B．1C．D．﹣2【解答】解：由变量x，y满足约束条件，作出可行域如图，化目标函数z=x+2y为y=﹣+，由图可知，当直线y=﹣+过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2．由，解得A（m，m），A代入z=x+2y，可得m+2m=2，解得m=．故选：C．8．（5分）60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长为（）A．B．C．D．【解答】解：∵60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，∴=，∵AB=4，AC=6，BD=8，∴2=（）2=+2=36+16+64+2×6×8×cos120°=68．∴CD的长为||=2．故选：B．9．（5分）已知不等式xy≤ax2+2y2对任意x∈[1，2]，y∈[4，5]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，+∞）B．[﹣6，+∞）C．[﹣28，+∞）D．[﹣45，+∞）【解答】解：由题意可知：不等式xy≤ax2+2y2对于x∈[1，2]，y∈[4，5]恒成立，即：a≥﹣2（）2，对于x∈[1，2]，y∈[4，5]恒成立，令t=，则2≤t≤5，∴a≥t﹣2t2在[2，5]上恒成立，∵y=﹣2t2+t的对称轴为t=，且开口向下，∴y=﹣2t2+t在[2，5]单调递减，∴y max=﹣2×22+2=﹣6，∴a≥﹣6，故选B．10．（5分）设椭圆与函数y=x3的图象相交于A，B两点，点P为椭圆C上异于A，B 的动点，若直线PA的斜率取值范围是[﹣3，﹣1]，则直线PB的斜率取值范围是（）A．[﹣6，﹣2]B．[2，6]C．D．【解答】解：∵椭圆C：与函数y=x3的图象相交于A，B两点，∴A，B两点关于原点对称，设A（x1，y1），（﹣x1，﹣y1），则，即．设P（x0，y0），则，可得：．∴．∵直线PA的斜率k1的取值范围[﹣3，﹣1]，∴﹣3≤≤﹣1，得，∴直线PB的斜率取值范围是[]．故选：D．11．（5分）设数列{a n}的前n项和S n，若+++…+=4n﹣4，且a n≥0，则S100等于（）A．5048B．5050C．10098D．10100【解答】解：当n=1时，=0，则a1=0．当n≥2时，+++…++=4n﹣4，①+++…+=4n﹣8，②+++…++=4n，③由①﹣②得到：=4，∵a n≥0，∴a n=2n，由③﹣①得到：=4，∴a n=2n+2，+1﹣a n=2，∴a n+1∴数列{a n}是等差数列，公差是2，综上所述，a n=，∴S100=S1+S2+S3++…+S100=0+×（100﹣1）=10098．故选：C．12．（5分）已知双曲线Γ：﹣=1（a＞0，b＞0）的上焦点F（0，c）（c＞0），M是双曲线下支上的一点，线段MF与圆x2+y2﹣y+=0相切于点D，且|MF|=3|DF|，则双曲线Γ的渐近线方程为（）A．4x±y=0B．x±4y=0C．2x±y=0D．x±2y=0【解答】解：由x2+y2﹣y+=0，得x2+（y﹣）2=，则该圆的圆心坐标为（0，），半径为．设切点D（x0，y0）（y0＞0），则由x2+y2﹣y+=0与（x0，y0﹣c）•（x0，y0﹣）=0，解得：x0=，y0=．∴D（，），由|MF|=3|DF|，得=3，得M（，﹣），代入双曲线Γ：﹣=1（a＞0，b＞0）整理得b=2a，∴双曲线Г的渐近线方程为y=±x．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知命题p：x2+2x﹣3＞0，命题q：x＞a，若￢p是￢q的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是[1，+∞）．【解答】解：由x2+2x﹣3＞0得x＞1或x＜﹣3，若￢p是￢q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，∵q：x＞a，∴a≥1，即实数a的取值范围是[1，+∞），故答案为：[1，+∞）．14．（5分）已知正项等比数列{a n}的公比为2，若，则的最小值等于．【解答】解：正项等比数列{a n}的公比为2，若，可得（a1•2m﹣1）（a1•2n﹣1）=4（2a1）2，即有m﹣1+n﹣1=4，则m+n=6，可得=（m+n）（）=（2+++）≥（+2）=×=．当且仅当m=2n=4，都不是取得等号，则的最小值为．故答案为：．15．（5分）已知M是抛物线x2=4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：（x+1）2+（y﹣6）2=1上，则|MA|+|MF|的最小值是6．【解答】解：抛物线x2=4y的焦点F（0，1），准线方程为y=﹣1，如图所示：利用抛物线的定义知：|MP|=|MF|，当A，M，P三点共线时，|MA|+|MF|的值最小．即CM⊥x轴，此时|MA|+|MF|=|AP|=|CP|﹣1=7﹣1=6，故答案为：6．16．（5分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，，已知G与E分别是棱A1B1和CC1的中点，D与F分别是线段AC与AB上的动点（不包括端点）．若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围是．【解答】解：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），E（0，1，），G（，0，1），F（x，0，0），D（0，y，0），=（﹣，y，﹣1），=（x，﹣1，﹣），∵GD⊥EF，∴=﹣=0，即x+2y﹣1=0∴DF===，∵0＜x＜1，0＜y＜1，∴0＜y＜，当y=时，线段DF长度的最小值=，当y=0时，线段DF长度的最大值是1，而不包括端点，故y=0不能取1．∴线段DF的长度的取值范围是[，1）．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知数列{a n}是等比数列，首项a1=1，公比q＞0，其前n项和为S n，且S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）因为S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列，所以2（S3+a3）=（S1+a1）+（S2+a2），所以（S3﹣S1）+（S3﹣S2）+2a3=a1+a2，所以4a3=a1，因为数列{a n}是等比数列，所以，又q＞0，所以，所以数列{a n}的通项公式．（2）由（1）知，，，所以，=20+21+22+…+2n﹣1﹣n•2n，=．故．18．（12分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E为BB1中点．（1）证明：AC⊥D1E；（2）求DE与平面AD1E所成角的正弦值．【解答】（1）证明：连接BD，∵ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，∴D1D⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，∴D1D⊥AC，在长方形ABCD中，AB=BC，∴BD⊥AC，又BD∩D1D=D，∴AC⊥平面BB1D1D，而D1E⊂平面BB1D1D，∴AC⊥D1E；（2）如图，以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），D1（0，0，2），E（1，1，1），B（1，1，0），，设平面AD1E的法向量为，则，令z=1，则，∴，所以DE与平面AD1E所成角的正弦值为．19．（12分）已知数列{{a n}满足，．（1）求证：数列是等比数列；（2）若数列{b n}是单调递增数列，求实数λ的取值范围．【解答】解：（1）因为数列{a n}满足，所以，即，又a1=1，所以，所以数列是以2为首项，公比为2的等比数列．（2）由（1）可得，所以，因为b1=﹣λ符合，所以．因为数列{b n}是单调递增数列，所以b n+1＞b n，即（n﹣λ）•2n＞（n﹣1﹣λ）•2n﹣1，化为λ＜n+1，所以λ＜2．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E为PD中点，AD=2．（Ⅰ）求证：平面AEC⊥平面PCD．（Ⅱ）若二面角A﹣PC﹣E的平面角大小θ满足cosθ=，求四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：取AD中点为O，BC中点为F，由侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，得PO⊥平面ABCD，故FO⊥PO，又FO⊥AD，则FO⊥平面PAD，∴FO⊥AE，又CD∥FO，则CD⊥AE，又E是PD中点，则AE⊥PD，由线面垂直的判定定理知AE⊥平面PCD，又AE⊂平面AEC，故平面AEC⊥平面PCD；（Ⅱ）解：如图所示，建立空间直角坐标系O﹣xyz，令AB=a，则P（0，0，），A（1，0，0），C（﹣1，a，0）．由（Ⅰ）知=（）为平面PCE的法向量，令=（1，y，z）为平面PAC的法向量，由于=（1，0，﹣），=（2，﹣a，0）均与垂直，∴，解得，则，由cos θ=||=，解得a=．故四棱锥P﹣ABCD的体积V=S ABCD•PO=•2••=2．21．（12分）已知过抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点F，斜率为的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点，且|AB|=6．（1）求该抛物线E的方程；（2）过点F任意作互相垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线E于点C，D和M，N．设线段CD，MN 的中点分别为P，Q，求证：直线PQ恒过一个定点．【解答】解：（1）抛物线的焦点，∴直线AB的方程为：联立方程组，消元得：，∴∴，解得p=±2．∵p＞0，∴抛物线E的方程为：y2=4x．（2）证明：设C，D两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则点P的坐标为．由题意可设直线l1的方程为y=k（x﹣1）（k≠0）．由，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．△=（2k2+4）﹣4k4=16k2+16＞0因为直线l1与曲线E于C，D两点，所以．所以点P的坐标为．由题知，直线l2的斜率为，同理可得点Q的坐标为（1+2k2，﹣2k）．当k≠±1时，有，此时直线PQ的斜率．所以，直线PQ的方程为，整理得yk2+（x﹣3）k﹣y=0．于是，直线PQ恒过定点（3，0）；当k=±1时，直线PQ的方程为x=3，也过点（3，0）．综上所述，直线PQ恒过定点（3，0）．22．（12分）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知圆C：（x+1）2+y2=16，点A（1，0），点B（a，0）（|a|＞3），以B为圆心，|BA|的半径作圆，交圆C于点P，且的∠PBA的平分线次线段CP 于点Q．（I）当a变化时，点Q始终在某圆锥曲线τ是运动，求曲线τ的方程；（II）已知直线l过点C，且与曲线τ交于M、N两点，记△OCM面积为S1，△OCN面积为S2，求的取值范围．【解答】解：（I）如图，∵BA=BP，BQ=BQ，∠PBQ=∠ABQ，∴△QAB≌△QPB，∴QA=QP，∵CP=CQ+QP=QC+QA，QC+QA=4，由椭圆的定义可知，Q点的轨迹是以C，A为焦点，2a=4的椭圆，故点Q的轨迹方程为（II）由题可知，设直线l：x=my﹣1，不妨设M（x1，y1），N（x2，y2）∵，，∵，∴（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0，△=144m2+144＞0，∴，∵，即∈（﹣，0]，∈（﹣3，﹣），∴=﹣∈（，3）．。

2017-2018学年辽宁省师范大学附属中学高二数学上期末考试(理)试题

2017-2018学年度上学期期末考试高二试题数学（理）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.双曲线2233x y -=的渐近线方程是（）A ．y =B ．13y x =± C ．3y x =± D ．y x = 2.命题P ：“平面内与两个定点的距离的和等于常数的点的集合叫做椭圆”；命题Q ：“平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数的点的集合叫做双曲线”.下列命题中正确的是（）A ．命题PB ．命题Q ⌝C ．命题P Q ∨D ．命题P Q ⌝∨ 3.若0a b <<，1a b +=，则a ，12，2ab 中最大的数为（） A ．a B ．2ab C ．12D ．无法确定 4.对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx y +=的曲线是椭圆”的（）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C.充分必要 D ．既不充分也不必要条件5.下列选项错误的是（）A ．命题“若1x ≠，则2320x x -+≠”的逆否命题是“若2320x x -+=，则1x =”B ．“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件；C.若命题p ：x R ∀∈，210x x ++≠，则p ⌝：0x R ∃∈，20010x x ++=；D ．在命题的四种形式中，若原命题为真命题，则否命题为假命题6.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，21a =，5642a a a =+，则6a 的值是（）A ．1B ．2 C. D ．47.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B a = ，11A D b = ，1A A c = ，则下列向量中与1B M相等的向量是（）A ．1122a b c -++B ．1122a b c -+ C. 1122a b c --+ D ．1122a b c ++8.已知抛物线214y x =，P 是抛物线上一点，F 为焦点，一个定点(35)A ，，则PA PF +的最小值为（）A ．5B ．6 C.7 D ．89.已知1v ，2v 分别为直线1l ，2l 的方向向量（1l ，2l 不重合），1n ，2n 分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），则下列说法中：①1212v v l l ⇔ ∥∥；②1212v v l l ⊥⇔⊥ ；③12n n αβ⇔ ∥∥；④12n n αβ⊥⇔⊥，其中正确的有（）个 A ．1 B ．2 C.3 D ．410.已知椭圆中心在原点，且一个焦点为(0F ，，直线43130x y +-=与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为1，则此椭圆的方程是（）A ．221325y x +=B ．221325x y += C.221369y x += D ．221369x y +=11.设x ，y 满足约束条件1x y a x y +⎧⎨--⎩≥≤，且z x ay =+的最小值为7，则a =（）A ．5-B ．3 C.5-或3 D ．5或3- 12.函数1y x=的图象也是双曲线，请根据上述信息解决以下问题：若圆222(1)x y r +-=与曲线(1)1x y -=没有公共点，则半径r 的取值范围是（）A ．0r <B ．0r <<C.0r << D ．0r <<第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若椭圆的短轴的一个端点与两个焦点是同一个正三角形的顶点，则这个椭圆的离心率为．14.已知四面体P ABC -，60PAB BAC PAC ∠=∠=∠=︒，1AB = ，2AC = ，3AP =，则AB AP AC ++=．15.已知0x >，0y >，2280x xy y ++-=，则2x y +的最小值是．16.已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11S =，221132n n n n S a S a ++-=，则数列{}n a 的通项公式为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在等差数列{}n a 中，26a =，420S = （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2(12)n n b n a =-（*n N ∈），12n n T b b b =+++ （*n N ∈），求n T18. 如图，已知正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，E ，F ，G ，H 分别是棱AB ，CC '，AA '，C D ''的中点.（1）求证：EF ∥平面GHD ；（2）求直线EF 与BD '所成的角.19. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线24y x =相交于A 、B 两点. （1）求证：“如果直线l 过点(30)T ，，那么3OA OB ⋅=-”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由.20. 如图，在直角梯形11AA B B 中，190A AB ∠=︒，11A B AB ∥，11122AB AA A B ===.直角梯形11AA C C 通过直角梯形11AA B B 以直线1AA 为轴旋转得到，且使平面11AA C C ⊥平面11AA B B .M 为线段BC 的中点，P 为线段1BB 上的动点.（1）求证：AC AB ⊥；（2）当点P 是线段1BB 中点时，求二面角P AM B --的余弦值；（3）是否存在点P ，使得直线1AC ∥平面AMP ？请说明理由. 21. 在学习过程中，我们通常遇到相似的问题.（1）已知动点P 为圆O ：222x y r +=外一点，过P 引圆O 的两条切线PA 、PB .A 、B 为切点，若0PA PB ⋅=，求动点P 的轨迹方程；（2）若动点Q 为椭圆M ：22143x y +=外一点，过Q 引椭圆M 的两条切线QC 、QD .C 、D为切点，若0QC QD ⋅=，猜想动点Q 的轨迹是什么，请给出证明并求出动点Q 的轨迹方程.22.已知抛物线2C ：22x py =（0p >）的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）长为4，椭圆1C ：22221x y a b+=（0a b >>，且过抛物线2C 的焦点.（1）求抛物线2C 和椭圆1C 的方程；（2）过定点3(1)2M -，引直线l 交抛物线2C 于A 、B 两点（A 在B 的左侧），分别过A 、B作抛物线2C 的切线1l ，2l ，且1l 与椭圆1C 相交于P 、Q 两点，记此时两切线1l ，2l 的交点为D .①求点D 的轨迹方程；②设点1(0)4E ，，求EPQ △的面积的最大值，并求出此时D 点的坐标.2017-2018学年度上学期期末考试高二试题数学（理）参考答案及评分标准一、选择题1-5:ABCBD 6-10:DABDC 11、12：BC 二、填空题 13.12 14.5 15.4 16.21122n n n a n -=⎧=⎨⎩，，≥ 三、解答题17.解：设{}n a 的公差为d ，由题意得1164620a d a d +=⎧⎨+=⎩解得182a d =⎧⎨=-⎩得82(1)102n a n n =--=- （2）∵2111(12)(1)1n n b n a n n n n ===--++123n n T b b b b =++++ =11111(1)()()22311nn n n -+-++-=++ 18.（1）证明：以D 为原点O ，建立空间直角坐标系[;]O DA DC DD '，，由已知条件可得(000)D ，，，1(10)2G ，，，1(01)2H ，，，1(10)2E ，，，1(01)2F ，，11(1)22EF =- ，，，1(10)2DG = ，，，1(01)2DH = ，，EF DH DG =-，又有EF ⊄平面GHD 所以EF ∥平面GHD（其它证法酌情给分，但要注意“EF ⊄平面GHD ”）（2）如（1）问建系，(110)B ，，，(001)D '，， (111)BD '=-- ，，，11(1)22EF =- ，，cos EF BD EF BD EF BD '⋅'=='，11(1)(1)(1)1-⨯-+⨯-+⨯=所以EF BD '= ，即求直线EF 与BD '所成的角19.证明：（1）设过点(30)T ，的直线l 交抛物线24y x =于点11()A x y ，，22()B x y ，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为3x =，此时，直线l 与抛物线相交于点(3A ，、(3B -，，∴3OA OB ⋅=-当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(3)y k x =-，其中0k ≠ 由24(3)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得24120ky y k --=，则1212y y =- 又∵21114x y =，22214x y =，∴2121212121()316OA OB x x y y y y y y ⋅=+=+=-综上所述，命题“如果直线l 过点(30)T ，，那么3OA OB ⋅=-”是真命题. （2）逆命题是：设直线l 交抛物线24y x =于A 、B 两点，如果3OA OB ⋅=-，那么直线l 过点(30)T ，，该命题是假命题.例如：取抛物线上的点(12)A ，，(12)B -，.此时3OA OB ⋅=-直线AB 的方程为1x =，而(30)T ，不在直线AB 上.20.解：（1）由已知190A AC ∠=︒，平面11AA C C ⊥平面11AA B B AC ⊂平面11ACC A ，平面11ACC A 平面111ABB A AA =所以AC ⊥平面11ABB A 又AB ⊂平面11ACC A 所以AC AB ⊥（2）由（1）可知AC ，AB ，1AA 两两垂直.分别以AC ，AB ，1AA 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图所示.由已知1112AB AC AA A B ===1122AC ==所以(000)A ，，，(020)B ，，，(200)C ，，，1(012)B ，，，1(002)A ，，因为M 为线段BC 的中点，P 为线段1BB 的中点.所以(110)M ，，，3(01)2P ，，易知平面ABM 的一个法向量(001)m =，，设平面APM 的一个法向量为()n x y z =，，由00n AM n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得0302x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 取2y =，得(223)n =--，，由图可知，二面角P AM B --的大小为锐角，所以cos m n m n m n ⋅===⋅ ，所以二面角P AM B --（3）存在点P ，使得直线1AC ∥平面AMP设111()P x y z ，，，且1BP BB λ=，[01]λ∈，，则111(2)(012)x y z λ-=-，，，，所以10x =，12y λ=-，12z λ=.所以(022)AP λλ=-，，设平面AMP 的一个法向量为0000()n x y z =，，，由0000n AM n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得00000(2)20x y y z λλ+=⎧⎨-+=⎩取01y =，得02(11)2n λλ-=- ，，（0λ=不符合题意）又1(202)AC =- ，，若1AC ∥平面AMP ，则10AC n ⊥ 所以10220AC n λλ-⋅=--= ，所以23λ= 所以存在点P ，使得直线1AC ∥平面AMP21.解：（1）由切线的性质及0PA PB ⋅=可知，四边形OAPB 为正方形所以点P 在以O 为圆心，OP长为半径的圆上，且OP OA = 进而动点P 的轨迹方程为2222x y r += （2）动点Q 的轨迹是一个圆设两切线1l ，2l①当1l 与x 轴不垂直且不平行时，设点Q 的坐标为00()Q x y ，，则02x ≠±设1l 的斜率为k ，则0k ≠，2l 的斜率为1k-，1l 的方程为00()y y k x x -=-，联立22143x y +=得2220000(34)8()4()120k x k y kx x y kx ++-+--= 因为直线与椭圆相切，所以0=△，得 2222200008()4(34)4[()3]0k y kx k y kx --+⋅--=化简，2222200004()(34)()(34)30k y kx k y kx k --+-++= 进而2200()(34)0y kx k --+=所以2220000(4)230x k x y k y --+-=所以k 是方程222000(4)230x k x y k y --+-=的一个根. 同理1k-是方程2220000(4)230x k x y k y --+-=的另一个根. 所以202031()4y k k x -⋅-=-，得22007x y +=，其中02x ≠±②当1l x ⊥轴或1l x ∥轴时，对应2l x ∥轴或2l x ⊥轴，可知(2P ±，，满足上式，综上知：点P 的轨迹方程为227x y += 22.解：（1）∵抛物线2C 的通径长为4 ∴24p =，得2p =∴抛物线2C 的方程为24x y = ∵抛物线2C 的焦点(01)，在椭圆1C 上 ∴211b=，得21b = ∵椭圆1C的离心率为c e a ==∴24a =∴椭圆1C 的方程为2214x y +=（2）设211()4x A x ，，200()4x B x ，其中A B x x ≠，0A x <，0B x > ∵点A 、M 、B 三点共线∴2233424211A B A B x x x x --=++∴60A B A B x x x x +++=（*）设切线1l 的方程为2()4AA x y k x x =-+，与抛物线方程24x y =联立消去y ，得22440A A x kx kx x -+-=，由0=△，可得2Ax k =即224A Ax x y x =- 同理可得，切线2l 的方程为224B Bx x y x =- 联立两方程解得，点D 坐标为()24A B A Bx x x x +， ①设点()D x y ，，则2A B x x x +=，4A B x x y = 代入（*）式得，点D 的轨迹方程为：230x y ++= ②由切线1l 和椭圆1C 方程，消去y 得：22344(1)4160A A A x x x x x +-+-=∴321AP Q A x x x x +=+，42164(1)A P Q A x x x x -=+∴PQ ==∵点E 到切线1l的距离为2d ==∴EPQ △的面积为212S == ∴当28A x =，A x =-S此时，由（*）可得B x = ∴点D坐标为。

分校高二数学上学期期末考试试题理.doc

辽宁省实验中学分校高二数学上学期期末考试试题理一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知f(x) hn x ,则f (e)前值为( )1A. 1 B・-1 C・ e D _e2.已知{ }S为其前n项和•若& += 18,a4 = :7 9则S =( )an为等差数列，n10A. 55 B・81 C. 90 D. 100+ 一3,椭圆笃v2曽公共碱且离心率『双鹹方程为13 12 /2 2 2 2 ~2 "2 2 2A. X y B . x y C・X y D . x y2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 :4 3 135 > 3 + + > > 113 1>4.设b, 9 : 都是实数.已知命题p:若 a b, Ma A c^ b c ；命题屮若v a -ib 0 ,贝（Jac I DC・则下列命题中为真命题的举, =) =A. ( p) q B・P q c• ( p)( q) D . ( p) ( q)5.已知数列｛a ｝n 中，3i 2, a 1 2an n0, b logn 2a ,n则数列｛b ｝的前10项和等于n•I > ( )A. 130 \B.楼0C. 55+D・50+ — <6.已知变量疋y满足尸X 112x y, 则有(= X yy 3 0目标函数是zA・ |Zmax + 5, Zmin = 3 B・Zmax 5 , z无最小值C・z一3,zmin 无最大值D・z既无最大值，也无最小值1 2 7.若o(X mx)dx 0 ' 则实数m的值为( )1 2D. 2A. B. C. 13 3高二数学（理科）8.过抛物线 2 4 =y = x焦点的直线交抛物线于A, B两点，若AB 10,则AB的中点到y轴的距离等于A. 1 B・2 C. 3( 1 彳一计v v卄 D. 4+匚+ >2 bx20的解集为—9.若不等式ax lx I X J ,2 3则a b的值是A.-10B. —专4C. 10D.142 b210. <<a>b>0M是u ab< a n的2A.充分而不必要条件 B •必要而不充分条件C.充要条件p = ・既不充分也不必要条件2"・己知△ ABC的顶点B、C在椭圆X 23 y外一个焦点在BC边上，则厶ABC的周长是1 上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另( )12.设函数2 2f X X f X xf X满足= — +—A.有极大值，无极小值C.既有极大值又有极小值一、填空题：圭大题甚一f小齊再小题5分13-函数f(x) X3 3X22在区间[1,1] x 2e e ,2 0,f x f x贝U 吋，()x 8B.有极小值，无极大值D.既无极大值也无极小值上的最大值是___________ ・A. 2 3 '(・廿(C)= —.( 4)书一D > 12 ()2 214.双曲线x{ y 1 mn o离心率为2,直一全焦点与抛物线m n则mn的值为・15-已知数列a n是公比为q的等比数列，且a! a3 4,色8 ,则◎ q的值为16.以下四个关于圆锥曲线的命题中:|PA| | PB| k ,则动点P的轨迹为椭圆;42 4y x的焦点重合，①设A B为两个更点〒k为正常数,2 2②双曲线x y25 921与椭圆X 235 y1有相同的焦点;高二数学(理科) 第2页共4页④和定点A(5,0)及定直线其中真命题的序号为_ 25I : x 的距离之比为 ---------(1)数列{a }, {bn}的通项公式;n(2 )数列(8n b ｝的前n 项和Sn on三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.(本小题满分已知x 0, y10,且Xy 的最小值o已知数列{ }a 为等差数列，且 n{bn}为等比数列，数列{an b }的前三项依次为3, n7, 13o 求5-的点的轨迹方程为416 9(本小题满分12分)如图，以原点 O 为顶点，以y 轴为对称轴的抛物线E 的焦点为I : y m(m 0)上任意一点，过点M 引抛物线E 的两条切线分别交 x 轴于点s, T,分别为B, Ao(I)求抛物线E 的方程；(II )求证：点S, T 在以FM 为直径的圆上;F (0, 1)，点M 是切点20.(本小题瀰12分)2已知函数= +aj_ +f (x) In x (a 1)x, a2(I)若f (2) 1,求a的值;(II)当a 0时，求函数f(x) 的最大值;椭圆C的中心为坐标原Q焦点在y轴上, 2、离心率为轴交于点P(0, m ),与椭圆C交于相异两点A、B 且AP 3PBo21.(本小题溺12分)(I )求椭圆方程(II )求m的取值范围22.(本小题瀰12分)= —+ + e3 2 x己知函数f (x) (x 6x 3x t)e (t R,e为自然对数的奴)(I) 若函数y f(x) 有三个极值点，求t的取值范围€ € <(II) 若存在实数t [0,2],使对任意的x 不等式f(x) x恒成立，求正整数m的最大值1 2n J+412(1 2 21 2= >2 n 1n 2 2 ..........................................22(0)19、(i )设抛物线E 的方程憑 py p ,P依题危2解得，数学（理）学科参考答案一、DDADC ABDAA CD二、13 2,14— ,153或-3■ ■16*、17、(x + y)=16min18、①设公超，公比询辽宁省实验中学分脚14—— 2015学年度上学期期末测 16②③a a =1 申 = b :3，二1 + 1 =b2,d 2,q 271a +b _22ab 133 _ 3=na fc1 ,b #* n42 ■ | ■ ■ ■ ■ ■ ・丁 .9 *一 a ) (b b------------------- n12(6分)(1 2 分)- P式21 «r2 4.所以抛物线E的方程为y ..................... 4分Hl )设点A(xi,yi), B(xT, y2).X1X2 0,_否则切线理JVI1 19y 一X X,4 2A■'•切线AM的斜率k=-1—X , AM 121方程的y x （x X),1 1 12........................... 7分2X1其y中1令y 0,得x x ,廉12 的坐（标纵122 , 直线的斜率FT kFTX• k k =_x AM FT 1 210分「.AM 丄FT,即点T 在以同理可证点S 在以FM 为直径的圆上, 所以S, T 在以FM 为直径的禺上/―FM 为直径的圆上; 20、（I ）函数的定义域（0,）,f= ——+1f (x) ax (a 1) x3 由f （2）解彳毛a(II)由 f(x)In x x ，得 f (x) 由 f (x)Q ,解得0 x 1；由 f (x)所以函数因为X故当X21、（I ）设f （x ）在区（心1）递增，（1,）递减是f （x ）在（0, + ?）上唯一一个极值点,—+—= > > > =时，函数 f （x ）取得最大值，最大值为厂『X 1（厂a2=—b b°),叮1. a 2b 2由条件知2b2,c 2+ a — =2a 1,b+ = 故C 的方程为: △= 2hX1.（II+）搠C 交点为£ （一禺y 一亠一亠 1 x 2, y 2)y kx m 由T M 厶y 2 2x km* 得（一 k 2) 得(k 2+2)xPkmx+ (m — 1)=0 m 22 (2km) 4( 2)( 1) 4( 2 2) 0 (*)2km m 1X X ,x Xk1 2 122 2k 2 2X 2x•・• AP 3PB .•・ Xi 3x x 22 1 22 3x2X X1 222 、消去 x ,得 3( Xi2 亠2m2 整理得4 k一 2km + ) 22m 一 4 = +k 212H丘「亠时，上式不成4时,4U -22m24m 12 nV 由一(*)式得k 2221 Wt (I) f(x) = (3f-12兀+3)€*+(7年).* = (x 3-3x?+3”, 2 2m 1 m 或 m 1 因k 0・=穴0有孑个极值忠-血*"畀甬?个根卩k ,令 g(x)二 H —女2 _ 如 + / + 3, g *(x) = 3H _ 6x _ 9 二 3(x + l)(x _ 耳卩 4m1g(x)在(8,・1),(3/H O )上卑増,(-!(,3)上递威 m 的取值范(1 z 1 0( ,1) Qg(x)有3个琴点总―即所求(II)不等式e[](xf xf 即(】3一一 + 一转化为存在gcpt* 0,2厂使牡任意㈱不等式 t 即不等也xe xe 0_ 3) 6 x XX 3 2X X 26= 心03) v 0€[6x]3x t)e x,即+xe即不等式o e 班 X ) (X ) 3 x 恒成立. &在x 1,m 上恒成立. _3 > =_ <3 在x 1 ,m 上恒成立 X 6x 3,航)e 2x 6•设 XX2x 6,则(x) e 2,因为 1 x m,有r (x)故r(x)在区尙,仃1上是减函数又r⑴ 4 e 0,r(2) 2 2 3e 0,r(3) e 0。