2014年南平市初中毕业、升学考试数学试题

2014年福建省南平市初中毕业、升学考试
数 学 试 题
（满分：150分；考试时间：120分钟）
★友情提示：① 所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效；
② 可以携带使用科学计算器，并注意运用计算器进行估算和探究； ③ 未注明精确度、保留有效数字等的计算问题不得采取近似计算．
★参考公式：
抛物线c bx ax y ++=2
（a ≠0）的对称轴是，a b x 2-=顶点坐标是⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--a b ac a b 4422， 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确的
选项，请在答题卡．．．
的相应位置填涂） 1．－4的相反数．．．是
A ． 4
B ．－4
C ．
41 D ． 4
1
- 2．如图所示，几何体的主视图是
3．一个袋中只装有3个红球，从中随机摸出一个是红球
A ．可能性为
3
1
B ．属于不可能事件
C ．属于随机事件
D ．属于必然事件 4．下列计算正确．．
的是 A ．6428)2(a a = B ．43a a a =+ C ．a a a =÷2 D ．222)(b a b a -=- 5．将直尺和三角板按如图所示的样子叠放在一起，则∠1＋∠2的度数是
A. 45°
B. 60°
C. 90°
D. 180°
6．下列说法正确．．
的是 A ．了解某班同学的身高情况适合用全面调查.
B ．数据2，3，4，2，3的众数是2
C ．数据4，5，5，6，0的平均数是5
D ．甲、乙两组数据的平均数相同,方差分别是2.3甲2=S ,9.22=乙S ，则甲组数据更稳定 7．下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是 （第5题图）
（第2题图）
D
C B
A
A ．1，2，1
B ．1，2，2
C ． 1，2，3
D ．1，2，4 8．一名老师带领x 名学生到动物园参观，已知成人票每张30元，学生票每张10元，设门 票的总费用为y 元，则y 与x 的函数关系为
A ．3010+=x y
B ．x y 40=
C ．x y 3010+=
D ．x y 20=
9．如图，在△ABC 中，AD 、BE 是两条中线，则EDC S ∆∶ABC S ∆= A ．1∶2 B ．2∶3
C ．1∶3
D ．1∶4 10．将1，2，3三个数按图中方式排列，
若规定（a ，b ）表示第a 排第b 列的数， 则（8，2）与（2014，2014）表示的两个 数的积．
是 A ．6 B ．3 C ．2 D ． 1
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请将答案填入答题卡．．．
的相应位置）
11．请写出一个无理数．．．
． 12．已知点P 在线段AB 的垂直平分线上，若PA =6，则PB = ．
13．五名男生的数学成绩如下：78，79，80，82，82，则这组数据的中位数是 ． 14．点P （5，-3）关于原点．．对称的点的坐标是（ ， ）． 15．同时掷两枚硬币，两枚硬币全部正面朝上的概率是
．16、分解因式：a a a +-232= ．
17．将矩形ABCD 沿AE 折叠，得到如图所示的图形．
已知∠CEB ′=50°，则∠AEB ′=_________ °．
18．如图，等圆⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，⊙O 1经过⊙O 22半轴上，两圆分别与x 轴交于C 、D 两点，y 轴与⊙O 2相切于点O 1，点O 1在y 轴的负
半轴上．
① 四边形A O 1B O 2为菱形； ② 点D 的横坐标是点O 2的横坐标的两倍； ③ ∠ADB =60°；
④ △BCD 的外接圆的圆心是线段 O 1 O 2的中点．
以上结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） （第18题图）
E
D C
B A （第9题图）
1
3
3
2
1
2
1
3
21 第1排
第2排
第3排
第4排
第4列
第3列
第2列
第1列
（第10题图）
三、解答题（本大题共8小题，共86分．请在答题卡．．．
19．（1）（7分）计算：
12)2
1
()3(810
3
-++---π．
（2）（7分）化简:x x x x x 21
24222+⋅⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--- ．
20．（8分）解不等式组：
21．（8分）如图，已知△ABC 中，点D 在AC 上，
且∠ABD=∠C ，求证：AC AD AB ⋅=2.
22．（10分）在2014年巴西世界杯足球赛开幕之前，某校团支部为了解本校学生对世界杯足
球赛的关注情况，随机调查了部分学生对足球运动的喜欢程度，绘制成如下的两幅不完
请你根据以上统计图提供的信息，回答下列问题： （1）随机抽查了 名学生； （2）补全图中的条形图；
（3）若全校共有500名学生，请你估计全校大约有多少名学生喜欢（含“较喜欢”和“很
喜欢”）足球运动．
23．（10分）如图，已知直线AB 经过⊙O 上的点C ，
且OA=OB ，CA=CB .
（1）求证：直线AB 是⊙O 的切线； （2）若∠A =34°，AC =6，求⊙O 的周长．
（结果精确到0.01）
等级
C
A
O D
C
B
A （第21题图）
① ②
⎪⎩
⎪⎨⎧≥+-<-021102x x
（第24题图）
24．（10分）．如图，已知反比例函数x
m
y =
与一次函数b kx y += 的图象相交于A （4，1）、B （a ，2）两点，一次函数的图象 与y 轴的交点为C ．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若点D 的坐标为（1，0），求△ACD 的面积.
25．（12分）如图，已知抛物线c bx x y ++-=2
2
1图象经过A （-1，0），B （4，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若C （m ，m -1）是抛物线上位于第一象限内
的点，D 是线段AB 上的一个动点（不与A 、B 重合），过点D 分别作DE ∥BC 交AC 于E ， DF ∥AC 交BC 于F .
① 求证：四边形DECF 是矩形； ② 连接EF ，线段EF 的长是否存在 最小值，若存在，求出EF 的最小 值；若不存在，请说明理由．
26．（14分）在图1、图2、图3、图4中，点P 在线段BC 上移动（不与B 、C 重合），
M 在BC 的延长线上．
（1）如图1，△ABC 和△APE 均为正三角形．．．．，连接CE ． ①求证：△ABP ≌△ACE .
②∠ECM 的度数为______________°．
（2）①如图2，若四边形ABCD 和四边形APEF 均为正方形．．．
，连接CE ． 则∠ECM 的度数为______________°．
②如图3，若五边形ABCDF 和五边形APEGH 均为正．五边形．．．，连接CE ． 则∠ECM 的度数为______________°． （3）如图4，n 边形ABC …和n 边形APE …均为正．n ．边形．．
，连接CE ，请你探索并猜想 ∠ECM 的度数与正多边形边数n 的数量关系（用含n 的式子表示∠ECM 的度数），
并利用图4（放大后的局部图形，见答题卡）证明你的结论．
P
图3
图2
图1
M
M
M
A
B C E
P P E
D
C
B
A
A
B
P C
E
F
2014年福建省南平市初中毕业、升学考试
数学试题参考答案及评分说明
说明：
（1） 解答右端所注分数，表示考生正确作完该步应得的累计分数，全卷满分150分． （2） 对于解答题，评卷时要坚持每题评阅到底，勿因考生解答中出现错误而中断本
题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的考试要求，可酌情给分，但原则上不超过后面应得分数的一半，如果有较严重的错误，就不给分．
（3） 如果考生的解法与本参考答案不同，可参照本参考答案的评分标准相应评分． （4） 评分只给整数分．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．A ； 2．B ； 3．D ； 4．C ； 5．C ； 6．A ； 7．B ； 8．A ； 9．D ； 10．B ． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．如：π,2等； 12．6； 13．80； 14．-5，3； 15．
4
1
(或0.25或25%)； 16．2)1(-a a ； 17．65； 18．① ③．
三、解答题（本大题共8小题，共86分）
19．（1）解：原式＝)12(212-++- …………………………………………………4分 ＝123-+ …………………………………………………6分 =22+ …………………………………………………7分
（2）解：原式=()21
.242+--x x x x …………………………………………………4分 =)2.(1
.2)2).(2(+--+x x x x x ………………………………………………6分
=x
1
…………………………………………………7分 20．解：由①得 2<x …………………………………………………2分
由②得 0)1(2≥+-x …………………………………………………3分
012≥--x …………………………………………………4分
01≥-x …………………………………………………5分 1≤x …………………………………………………6分
∴不等式组的解集为1≤x …………………………………………………8分
（第22题图）
21．证明：∵∠ABD =∠C ∠A 是公共角 ……2分
∴△ABD ∽△ACB ………………………5分 ∴
AB
AD
AC AB =
…………………………7分 ∴AC AD AB ⋅=2………………………8分
22．解：（1）50 …………………………………3分
（2）补全统计图 ………………………6分 （3）设全校有x 名学生喜欢足球运动，则
500
501520x
=
+………………………………8分 解得 350=x
答：全校约有350名学生喜欢足球运动 ……10分
23．（1）证明：连接OC .
∵OA=OB ，CA=CB ∴OC ⊥AB ………………… 3分 ∴AB 是⊙O 的切线.………………………………… 4分 （2）解：由（1）得 OC ⊥AB ∴∠ACO =90°………5分
∴OC = AC▪ tan34°=6×tan34° ≈ 4.047 ………………8分 ∴⊙O 的周长 = 2π▪OC =2×3.142×4.047 ≈ 25.43……10分
（ 或⊙O 的周长=12πtan34° ≈ 25.43） 24．解：（1）∵点A (4，1)在反比例函数x k y =
上， ∴4
1k
= ∴k=4×1=4，∴x
y 4
=
………………………………………………………………2分 把B （a ，2）代入x y 4
= 得2=a
4， ∴a =2，
∴B （2，2）…………………………………………………………………………3分 ∵把A （4，1），B （2，2）代入b kx y +=
∴⎩⎨⎧+=+=b k b k 2241 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-
=3
21b k ……………………………………………………4分 ∴一次函数的解析式为32
1
+-=x y ………………………………………………6分
D （第21题图）
C
（第23题图）
A
B
（2）方法一：∵当0=x 时，3=y ， ∴C （0，3）………7分
过A 作AE ⊥x 轴于E
∴DEA COD AEOC ACD S S S S ∆∆∆--=梯形
=
312
1
312124)31(⨯⨯-⨯⨯-⨯+=5 …………10分 方法二：∵当0=x 时，3=y ， ∴C （0，3）………………………………………………7分
过A 作AE ⊥x 轴于E
∵DO =AE =1 CO =DE =3 ∠COD =∠DEA =90 ° ∴△COD ≌△DEA ∴∠DCO =∠ADE ，CD =AD ∵∠DCO +∠ODC = 90°， ∴∠ADE +∠ODC = 90°
∴∠CDA = 180°-（∠ADE +∠ODC ）=90°…………………………………………8分 ∴103122=+==CD AD
∴510102
1
21=⨯⨯=⋅⋅=∆AD CD S ACD ……………………………………………10分
25.（1）解法一：根据题意，得⎪⎩⎪⎨⎧
++-=+--=c b c
b 4802
10 ……………………………………………1分 解得 ⎪⎩
⎪⎨⎧
==
2
23c b ，∴223212++-=x x y …………………………………………3分
解法二：根据题意，得)4()1(2
1
-⋅+-=x x y ……………………………………………2分
∴22
3
212++-=x x y ………………………………………………………3分
解法三：根据题意，得抛物线的对称轴为直线2
3
=x ……………………………………1分
∴23)
21(2=
-⨯-
b
解得，2
3
=b ∴ c x x y ++-=2
3
212……………………………………………………………2分
把A （-1，0）代入上式，得
c +-⨯+-⨯-=)1(23
)1(2102，解得，2=c
∴22
3
212++-=x x y ……………………………………………………………3分
（第24题图）
（第25题图）
（2）证明：∵把C （m ，m -1）代入22
3
212++-=x x y 得
∴22
3
2112++-=-m m m ，
解得：m =3或m =-2……………………………4分 ∵C （m ，m -1）位于第一象限， ∴⎩
⎨
⎧>->010
m m ，∴m>1，∴m =-2舍去，
∴m =3 ∴点C 坐标为（3，2） ………………………………………………5分 由A （-1，0）、B （3，0）、C （3，2） 得 AH =4，CH =2，BH =1，AB =5 过C 点作CH ⊥AB ，垂足为H ，则∠AHC =∠BHC = 90°， （以下解答提供两种不同方法供参考） 方法一：∴
2==BH
CH
CH AH ∵∠AHC =∠BHC = 90°
∴△AHC ∽△CHB ， ∴∠ACH=∠CBH ， ∵∠CBH +∠BCH = 90° ∴∠ACH +∠BCH = 90°
∴∠ACB = 90°………………………………………………………………………6分 ∵DE ∥BC ，DF ∥AC ， ∴四边形DECF 是平行四边形………………………7分 ∴□DECF 是矩形 …………………………………………………………………8分
方法二：∵204222222=+=+=AH CH AC ，51222222=+=+=BH CH BC ，
∴2552022=+=+BC AC ∵25522==AB ∴222AB BC AC =+
∴∠ACB = 90° ……………………………………………………………………6分 ∵DE ∥BC ，DF ∥AC ， ∴四边形DECF 是平行四边形………………………7分 ∴□DECF 是矩形 …………………………………………………………………8分
（3）存在…………………………………………………………………………………………9分 方法一：连接CD ，∵四边形DECF 是矩形，∴EF =CD ………………………………10分
当CD ⊥AB 时，CD 的值最小 ∵C （3，2），
∴DC 的最小值是2， ∴EF 的最小值是2.…………………………………12分 方法二：连接CD ， ∵四边形DECF 是矩形， ∴EF =CD . …………………………10分
设点D （d ，0），在Rt △CDH 中，4)3(2222+-=+=d DH CH DC 当d =3时
2DC 的最小值是4 ∵DC ＞0，∴DC 最小值是2，∴EF 的最小值是2 ……12分
（第26题图4）
26. 解：（1）① 证明：∵ABC ∆与APE ∆均为正三角形，
∴AB =AC ，AP =AE ，∠BAC =∠P AE =60°， ∴∠BAC -∠P AC =∠P AE -∠P AC 即∠BAP =∠CAE ………3分
∴△ABP ≌△ACE (SAS ) …………………………………5分 ② 在图1中，∠ECM 的度数为 60° ．……………………6分 （2）在图2中，∠ECM 的度数为 45° ．……………………7分
在图3中，∠ECM 的度数为 36° ．……………………8分 （3）在图4中，∠ECM 的度数为n
180．（用含n 的式子表示）…………10分
证明：方法一：过E 作EK ∥CD
∵ n 边形ABC …和n 边形APE …为正n 边形，
∴ AB =BC AP =PE
∠ABC =∠BCD =∠APE =n
n
180).2(-
∵∠APK =∠ABC +∠BAP ∠APK =∠APE +∠EPK ∴∠BAP =∠KPE
∵EK ∥CD ， ∴∠BCD =∠PKE ∴∠ABP =∠PKE ， ∴△ABP ≌△PKE
∴BP =EK ，AB =PK ………………………………………………………………………12分 ∴BC =PK ， ∴BC -PC =PK -PC ∴BP =CK ∴CK =KE ，
∴∠KCE =∠KEC ，∵∠CKE =∠BCD =n
n
180).2(-
∴∠ECM =n n n
180180).2(18021=
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-- ………………………………………………14分 方法二：在射线CM 上截取CK =BP
∵n 边形ABC …和n 边形APE …均为正n 边形
∴AB =BC AP =PE ∠ABC =∠BCD =∠APE =n
n
180).2(-
∵∠APK =∠ABC +∠BAP ∠APK =∠APE +∠EPK ， ∴∠BAP =∠KPE
（第26题图4）
∵CK=BP ∴CK +PC =BP +PC ，∴BC =PK ，∴AB =PK
∴△ABP ≌△PKE ………………………………………………………………………12分 ∴BP =EK ∠ABP =∠PKE
∴CK =EK ∠ BCD =∠PKE ∴∠ KCE =∠KEC ，EK ∥CD ∴∠ KEC =∠ECD ∴∠ KCE =∠ECD ∴∠ECM =DCM ∠2
1
∵n DCM
360=∠，∴∠ECM =n
180. ………………………14分
方法三：在线段AB 上截取AH =PC
∵n 边形ABC …和n 边形APE …为正n 边形
∴AP =PE ，∠ABC =∠APE =n
n
180).2(-
∵∠APC =∠ABC +∠HAP ，∠APC =∠APE +∠EPC ， ∴∠HAP =∠CPE ，
∴△AHP ≌△PCE ， ……………………………………………………………………12分 ∴∠AHP =∠PCE ，∵∠ AHP +∠PHB =180°，∠PCE +∠ECM =180°， ∴∠PHB =∠ECK ，
∵AB =BC ，AH =PC ，∴AB - AH =BC -PC ， ∴BH =BP ，∴∠BHP =∠BPH ，
∴∠ECM =∠BHP =n n n 180180).2(18021=
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--. …………………………………14分。