第11讲 一次函数(含答案)
第11课时 一次函数图象及性质
第三单元函数第11课时一次函数图象及性质命题点1一次函数的图象与性质（遵义2014.6，铜仁2014.6，黔东南州2014.16，毕节2017.11，安顺2015.5）1. （2014铜仁6题4分）正比例函数y=2x的大致图象是( )2. （2014黔南州7题4分）正比例函数y=kx(k≠0)的图象在第二、四象限，则一次函数y=x+k的图象大致是( )3. （2017毕节11题3分）把直线y=2x-1向左平移1个单位，平移后直线的关系式为( )A. y=2x-2B. y=2x+1C. y=2xD. y=2x+24. （2017贵阳6题3分）若直线y=-x+a与直线y=x+b的交点坐标为(2,8)，则a-b的值为( )A. 2B. 4C. 6D. 85. （2015安顺5题3分)若一元二次方程x2-2x-m=0无实数根，则一次函数y=(m+1)x+m-1的图象不经过第( )象限.A. 四B. 三C. 二D. 一6. （2016贵阳13题4分）已知点M（1，a）和点N（2，b）是一次函数y=-2x+1图象上的两点，则a与b的大小关系是____________.7. （2015六盘水17题4分）将正方形A1B1C1O和A2B2C2C1按如图所示方式放置，点A1,A2在直线y=x+1上，点C1,C2在x轴上，已知A1点的坐标是（0,1），则点B2的坐标为__________.第7题图针对拓展8. 直线y=-2x+m与直线y=2x-1的交点在第四象限，则m的取值范围是( )A. m>-1B. m<1C. -1<m<1D. -1≤m≤19. 若点A(m,n)在一次函数y=3x+b的图象上，且3m-n＞2，则b的取值范围为（）A. b＞2B. b＞-2C. b＜2D. b＜-210. 在正比例函数y＝-3mx中，函数y的值随x值的增大而增大，则P（m,5）在第______象限.命题点2一次函数解析式的确定（黔东南州2015.22（1），毕节2014.27（2），安顺3考）第11题图11. （2014贵阳10题3分）如图，A 点的坐标为（-4，0），直线y =3x +n 与坐标轴交于点B ，C ，连接AC ，如果∠ACD =90°,则n 的值为( )A. -2B. -C. D. -针对拓展12. 如图，直线AB 对应的函数表达式是( )第12题图A. y = 32-x +3 B. y = 32x +2 C. y = 23-x +3 D. y = 23x +3 命题点3一次函数与方程（组）、不等式的关系（毕节2014.14）第13题图13. （2014毕节14题3分）如图，函数y =2x 和y =ax +4的图象相交于点A (m ,3),则不等式2x ≥ax +4的解集为( )A. x≥32B. x≤3C. x≤32D. x≥3针对拓展14. 如图，直线y=kx+b交坐标轴于A(-2，0)，B(0，3)两点，则不等式kx+b>0的解集是( )A. x>3B. -2<x<3C. x<-2D. x>-2第14题图15. 已知二元一次方程组{522x yx y-=-+=-的解为{41x y=-=,则在同一平面直角坐标系中，直线l1:y=x+5与直线l2:y=12-x-1的交点坐标为___________.答案1. B2. B3. B4. B【解析】将交点坐标（2,8）分别代入直线y=-x+a与直线y=x+b 解析式中得，a=10，b=6，所以a-b=4.5. D【解析】因为方程x2-2x-m=0无实数根，所以b2-4ac<0，即(-2)2+4m<0，所以m<-1，所以在一次函数y=(m+1)x+m-1中，m+1<0,m-1<-2,所以一次函数的图象过第二、三、四象限.6. a >b 【解析】∵点M (1，a )和点N (2，b )是一次函数y =-2x +1图象上的两点，∴a =-2×1+1=-1，b =-2×2+1=-3. ∵-1>-3,故a >b .【一题多解】∵在一次函数y =-2x +1中，k =-2<0，∴y 随x 的增大而减小，∵1<2,∴a >b .7. (3，2) 【解析】∵A 1(0,1),∴OA 1=OC 1=1, 当x =1时，y =x +1=1+1=2，∴A 2(1,2), 于是OC 2=3.根据正方形性质及坐标意义，点B 2坐标为(3，2).8. C 【解析】联立{221y x m y x =-+=-，解得1412m x m y +=-=⎧⎨⎩，∵两直线交点在第四象限，∴104102m x m y +=>-=<⎧⎨⎩，解不等式①得，m >-1，解不等式②得，m <1,∴m 的取值范围是-1<m <1.9. D 【解析】∵点A （m ,n ）在一次函数y =3x +b 的图象上，∴3m +b =n ，即b =n -3m .又∵3m -n >2，∴n -3m <-2，∴b <-2.10. 二【解析】由一次函数的增减性可知：-3m >0,解得m <0，所以点P (m ,5)在第二象限.11. C 【解析】∵∠ACD =90°，∴AC ⊥BD ,又∵OC ⊥AB ,∴△AOC ∽△COB ，∴O A O C O C O B=,∵直线BC 的解析式为y =3x +n ,∴B (-n 3,0),C (0,n ),∵A (-4,0),∴OA =4,OB=-,OC =-n ,∴4n-=n n -,∴n=-12. A【解析】设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0),代入点(2，0)和(0，3)，得{203k b b+==，解得323kb-==⎧⎨⎩，所以直线AB对应的函数表达式是y=32-x+3.13. A【解析】由函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A(m,3)，求出m=32，观察图象发现，当2x≥ax+4时，即y=2x的图象在y=2x+4的图象的上方，即x≥32.14. D【解析】直线y=kx+b交x轴于点A(-2，0)，当x>-2时，直线y=kx+b的图象在x轴的上方，∴不等式kx+b>0的解集是x>-2.15. (-4，1)【解析】二元一次方程x-y=-5对应一次函数y=x+5，即直线l1；二元一次方程x+2y=-2对应一次函数y=-12x-1，即直线l2.∴原方程组的解即是直线l1与l2的交点坐标.∴交点坐标为(-4，1).。
中考数学复习讲义课件 第3单元 第11讲 一次函数
第11讲 一次函数
1 知识梳理素养形成 2 考法聚焦素养提升
知识梳理素养 形成
考法聚焦素养 提升
一次函数的图象与性质(10 年 6 考) 例 1 已知关于 x 的一次函数 y＝(2m＋1)x＋m－1. (1)若该函数的值 y 随自变量 x 的增大而增大，则 m 的取值范围为
(3)每月制作 A 类微课多少个时，该团队月利润 w 最大，最大利润是多少元？
解：由(2)知，w＝50a＋16500. ∵50＞0，∴w 随 a 的增大而增大． ∴当 a＝9 时，w 有最大值，w 最大＝50×9＋16500＝16950(元)．
答：每月制作 A 类微课 9 个时，该团队月利润 w 最大，最大利润是 16950 元．
7．(2021·衡阳)如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣 构成．小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度， 可以使背带的长度(单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽 略不计)加长或缩短，设双层部分的长度为 xcm，单层部分的长度为 ycm. 经测量，得到表中数据. 双层部分长度 x/cm 2 8 14 20 单层部分长度 y/cm 148 136 124 112
品种 A B 原来的运费 45 25 现在的运费 30 20
(1)求每次运输的农产品中 A，B 产品各有多少件； [解答] 解：设每次运输的农产品中 A 产品有 x 件，B 产品有 y 件．根据题 意，得 4350xx＋＋2250yy＝＝11220000，－300.解得yx＝＝3100.， 答：每次运输的农产品中 A 产品有 10 件，B 产品有 30 件．
10．(2021·乐山)如图，已知直线 l1：y＝－2x＋4 与坐标轴分别交于 A，B 两 点，那么过原点 O 且将△AOB 的面积平分的直线 l2 的解析式为( D )
第11章 一次函数
第十一章 一次函数(2012江苏苏州，2，3分)若式子在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）(2012江苏苏州，7，3分)若点（m ，n ）在函数y=2x+1的图象上，则2m ﹣n 的值是（ ）（2012北海,15，3分）15．函数y x 的取值范围是___________。
【解析】二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，既：2x-1≥0，解得：.x ≥21。
【答案】12x ≥【点评】本题主要考察了二次根式有意义的条件和解不等式的方法。
需要注意的是移项要变号。
难度较小。
（2012黑龙江省绥化市，2，3分）函数y =x 的取值范围是 ． 【解析】 解：由题意3x -1≥0 得x ≥13． 【答案】 x ≥13． 【点评】 本题主要考查了函数自变量的取值范围．对于此类题型主要有三种情况：①函数是自变量的整式形式，自变量取一切实数；②函数是自变量的分式形式，自变量取保证分母不为0的实数；③函数是自变量的二次根式形式，自变量取保证被开方数非负的实数．复杂点就是将三者混合在一起考．难度较小．（2012江西，6，3分）某人驾车从A地上高速公路前往B地，中途在服务区休息了一段时间．出发时油箱中存油40升，到B地后发现油箱中还剩油4升，则出发后到B地油箱中所剩油y(升)与时间t(小时)之间函数的大致图象是( ) ．A. B. C. D.解析：分析题干条件，从A地上高速公路到中途在服务区，油箱中所剩油逐渐减少，在服务区休息的这段时间，油箱中所剩油不变，从服务区到B油箱中所剩油逐渐减少到4升，结合图象的意义，即可找出答案．解答：解：选项A、B中，在服务区休息的这段时间，油箱中所剩油在减少，不符合实际意义，选项D中，从服务区到B油箱中所剩油逐渐增加，也不符合实际意义，只有C正确．故选C．点评：本题考查利用函数的图象解决实际问题．正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．（2012黑龙江省绥化市，18，3分）如图，A、B、C、D为圆O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿--的路线作匀速运动．设运动时间为t秒，∠APB的度数为y度，则下列图像中表示y（度）OC CD DO与t（秒）之间的函数关系最恰当的是（）【解析】解：当动点P在OC上运动时，∠APB逐渐减小；当P在 CD 上运动时，∠APB不变；当P在DO 上运动时，∠APB逐渐增大．故选C．．【答案】C．【点评】本题主要考查学生对圆周角、圆内的角及函数图象认识的问题．要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确的图象．（2012黑龙江省绥化市，19，3分）甲、乙两队举行了一年一度的赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s(米)与时间t(分钟)之间的函数关系如图所示，请你根据图像判断，下列说法正确的是（）A．甲队率先到达终点 B．甲队比乙队多走了200米C．乙队比甲队少用0.2分钟 D．比赛中两队从出发到2.2分钟时间段，乙队的速度比甲队的速度大【解析】解：A、由函数图象可知，甲走完全程需要4分钟，乙走完全程需要3.8分钟，乙队率先到达终点，本选项错误；B、由函数图象可知，甲、乙两队都走了1000米，路程相同，本选项错误C、因为4-3.8=02分钟，所以，乙队比甲队少用0.2分钟，本选项正确；D、根据0～2.2分钟的时间段图象可知，甲队的速度比乙队的速度快，本选项错误；故选C．【答案】C．【点评】本题主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．难度中等．（2012湖南衡阳市，4，3）函数y=中自变量x的取值范围是（）A．x＞﹣2B．x≥2C．x≠﹣2D．x≥﹣2解析：根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．答案：解：根据题意得，x+2＞0，解得x＞﹣2．故选A．点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．（2012山东莱芜， 9，3分）下列四幅图像近似刻画两个变量之间的关系，请按图象顺序将下面四种情景与之对应排序①一辆汽车在公路上匀速行驶（汽车行驶的路程与时间的关系）②向锥形瓶中匀速注水（水面的高度与注水时间的关系）t AB CtDAC B图2③将常温下的温度计插入一杯热水中（温度计的读书与时间的关系）④一杯越来越凉的水（水温与时间的关系）A．①②④③ B．③④②① C．①④②③ D．③②④①【解析】本题考查的是变量关系图象的识别.①一辆汽车在公路上匀速行驶（汽车行驶的路程与时间的关系），路程是时间的正比例函数，对应第四个图象；②向锥形瓶中匀速注水（水面的高度与注水时间的关系）,高度是注水时间的的函数，由于锥形瓶中的直径是下大上小，故先慢后快，对应第二个函数的图象；③将常温下的温度计插入一杯热水中（温度计的读数与时间的关系），温度计的读数随时间的增大而增大，由于温度计的温度在放入热水前有个温度，故对应第一个图象④一杯越来越凉的水（水温与时间的关系），水温随时间的增大而减小，由于水冷却到室温后不变化，故对应第三个图象综合以上，得到四个图象对应的情形的排序为③②④①【答案】D【点评】本题考察的是变量关系图象的识别，借助生活经验，弄明白一个量是如何随另一个量的变化而变化是解决问题的关键.( 2012年四川省巴中市,7,3)如图2，点P是等边△ABC的边上的一个作匀速运动的动点，其由点A开始沿AB边运动到B再沿BC边运动到C为止，设运动时间为t，△ACP的面积为S，S与t的大致图象是（）【解析】从动点运过程中, △ACP 逐渐增大,达到最大值后又逐渐变小,可排除B,再通过面积变化值的对称性,易知S 与t 的大致图象是C.故选C. 【答案】C【点评】本题考查函数图象的概念，通过动点问题展现数形结合解决数学问题的优势.（2012年广西玉林市，7，3）一次函数y=mx+∣m-1∣的图象过点（0，2）且y 随x 的增大而增大，则m= A ．-1 B ．3 C ．1 D ．-1或3分析：把点的坐标代入函数解析式求出m 的值，再根据y 随x 的增大而增大判断出m ＞0，从而得解． 解：∵一次函数y=mx+|m-1|的图象过点（0，2），∴|m-1|=2，∴m-1=2或m-1=-2，解得m=3或m=-1，∵y 随x 的增大而增大，∴m ＞0，∴m=3．故选B ．点评：本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，本题难点在于要根据函数的增减性对m 的值进行取舍．（2012呼和浩特，11，3分）函数12y x =-中自变量x 的取值范围是______ 【解析】要使分式有意义，分式的分母不能为0，x –2≠0，x ≠2 【答案】x ≠2【点评】本题考查了分式的性质，及分母不为0（2012陕西8，3分）在同一平面直角坐标系中，若一次函数533-=+-=x y x y 与图象交于点M ，则点M 的坐标为（） A ．（-1，4）B ．（-1，2）C ．（2，-1）D ．（2，1）【解析】把533-=+-=x y x y 与联列起来构成方程组：335y x y x =-+⎧⎨=-⎩解得21x y =⎧⎨=⎩．选D ．【答案】D【点评】本题从“数形结合”的角度考查一次函数的图形和性质，要求两个函数图像的交点就是可以把两个图形的解析式联列起来构成方程组来解决问题.难度中等.（2012呼和浩特，7，3分）下面四条直线,其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x –2y =2的解的是A B C D【解析】将二元一次方程x –2y =2，整理成一次函数形式：112y x =-，令x =0，则y = –1，此函数与y 轴的交点（0，–1），所以C 选项正确。
初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解11 一次函数 (解析版)
初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解专题11 一次函数【知识要点】考点知识一变量与函数变量：在一个变化过程中数值发生变化的量。
常量：在一个变化过程中数值始终不变的量。
【注意】1、变量是可以变化的，而常量是已知数，且它是不会发生变化的。
2、区分常量和变量就是在某个变化过程中该量的值是否发生变化。
函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。
如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。
【函数概念的解读】1、有两个变量。
2、一个变量的数值随另一个变量的数值变化而变化。
3、对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应。
函数定义域：一般的，一个函数的自变量x允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。
确定函数定义域的方法：（自变量取值范围）（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值。
函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
函数的取值范围：使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。
画函数图像的一般步骤：1、列表2、描点3、连线函数图像上点的坐标与解析式之间的关系：1、将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在。
2、两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解。
函数的三种表示法及其优缺点1、解析法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。
一次函数的图像与性质(复习课)
第11讲一次函数的图象及性质寿县瓦埠中学邵军【教材分析】本课的内容是沪科版版八年级上册第13章复习课，是对本章关于一次函数重点内容的复习。
本章中关于一次函数的知识结构如图通过本课的学习使学生巩固一次函数图象的画法和一次函数的性质，并对一次函数进行拓展，是今后继续学习其它函数的基础，本章起着承上启下的作用。
本节教学内容还是学生进一步学习“数形结合”这一数学思想方法的很好素材。
【学情分析】本节课主要是复习巩固一次函数的图象与性质，是在学完一次函数之后，并初步了解了如何研究一个具体函数的图象与性质的基础上进行的。
原有知识与经验对本节课的学习有着积极的促进作用，在复习巩固的过程中，学生进一步理解知识，促进认知结构的完善，进一步体验研究函数的基本思路，而这些目标的达成要求教学必须发挥学生的主体作用，给予学生一定的活动、探究、交流、反思的时间与空间，不以老师的讲演代替学生的探索。
【教学目标】知识技能：1、进一步理解一次函数和正比例函数的概念；2、会画一次函数的图象，并能结合图象进一步研究相关的性质，体会一次项系数和常数项对函数性质的影响；3、能够熟练地运用待定系数法求一次函数解析式4、巩固一次函数的性质，并能灵活应用。
过程与方法：1、通过先基础再提升的过程，使学生巩固一次函数图象和性质，并能进一步提升自己应用的能力；2、通过习题，使学生进一步体会“数形结合”、“方程思想”、“分类思想”以及“待定系数法”。
情感态度：1、通过画函数图象并借助图象研究函数的性质，体验数与形的内在联系，感受函数图象的简洁美；2、在复习一次函数的图象和性质的活动中，通过一系列的问题探究，培养学生的探究精神。
教学重点难点教学重点：复习巩固一次函数的图象和性质，并能简单应用。
教学难点：在理解的基础上结合数学思想分析、解决问题。
【教法学法】1、教学方法依据当前素质教育的要求：以人为本，以学生为主体，让教最大限度的服务于学。
因此我选用了以下教学方法：（1）、讲练结合法——知识梳理与试题分析相结合，理清认识，进一步解决问题。
中考数学一轮教材梳理复习课件：第11课一次函数
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课程 标准
(1)结合具体情境体会一次函数的意义，能根据 已知条件确定一次函数的表达式． (2)会利用待定系数法确定一次函数的表达式． (3)能画出一次函数的图象，根据一次函数的图
象和表达式y＝kx＋b(k≠0)探索并理解k>0和 k<0时，图象的变化情况．
(4)理解正比例函数． (5)体会一次函数和二元一次方程的关系． (6)能用一次函数解决简单实际问题．
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三、解答题
9．(2020·福清模拟)已知一次函数的图象经过 A(－ 2，－3)，B(1，3)两点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)试判断点 P(－1，1)是否在这个一次函数的图象 上； (3)求此函数与 x 轴、y 轴围成的三角形的面积．
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2.(1)(2020·天门)对于一次函数 y＝x＋2，下列说 法不正确的是( D )
A．图象经过点(1，3) B．图象与 x 轴交于点(－2，0) C．图象不经过第四象限 D．当 x＞2 时，y＜4
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(2)(2019·大庆)正比例函数 y＝kx(k≠0)的函数值 y 随着 x 增大而减小，则一次函数 y＝x＋k 的图象大致是 ( A)
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解：(1)在 y＝x＋3 中，令 y＝0，得 x＝－3， ∴B(－3，0)， 把 x＝1 代入 y＝x＋3，得 y＝4， ∴C(1，4)， 设直线 l2 的解析式为 y＝kx＋b，
∴k＋b＝4， 解得k＝－2，
3k＋b＝0，
b＝6.
∴直线 l2 的解析式为 y＝－2x＋6.
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(2)AB＝3－(－3)＝6， 设 M(a，a＋3)，由 MN∥y 轴，得 N(a，－2a＋6)， MN＝|a＋3－(－2a＋6)|＝AB＝6， 解得 a＝3 或 a＝－1. ∴M(3，6)或(－1，2).
第11讲 一次函数的图象与性质
【拓展】 一次函数图象与坐标轴围成的图形面积的计算(如图) (1)S△AOB＝12AO·BO＝12|yA|·|xB|； (2)S△AOC＝12AO·CP＝12|yA|·|xC|； (3)S△BOC＝12BO·CQ＝12|xB|·|yC|.
4．如图，已知直线 y＝kx＋b 经过点 A(5，0)，B(1，4)． (1)方程 kx＋b＝0 的解是 x＝5 ， 不等式 kx＋b<0 的解集是 x>5 ； (2)kx＋b>4 的解集是 x<1 ；
3．一次函数与一元一次不等式的关系： (1)从“数”上看：kx＋b>0 的解集⇔y＝kx＋b 中，y>0 时 x 的取 值范围； kx＋b<0 的解集⇔y＝kx＋b 中，y<0 时 x 的取值范围． (2)从“形”上看：kx＋b>0 的解集⇔函数 y＝kx＋b 的图象位于 x 轴上方部分对应的点的横坐标的取值范围； kx＋b<0 的解集⇔函数 y＝kx＋b 的图象位于 x 轴下方部分对应的 点的横坐标的取值范围．
直 线 y ＝ kx ＋ b ―向―上―平―移――m（――m― ＞―0）―个―单――位―长―度→ 直 线 y ＝ kx＋b＋m ； 直 线 y ＝ kx ＋ b ―向―下―平―移――m（――m― ＞―0）―个―单――位―长―度→ 直 线 y ＝ kx＋b－m ．
简记为“左加右减，上加下减”，左右平移只给 x 加减，上下平 移给整体加减．
1．已知函数 y＝(m－1)xm2＋3 是关于 x 的一次函数，则 m 的值 为 －1 ．
一次函数的图象与性质 1． 一次函数的图象特征：一次函数 y＝kx＋b(k≠0)的图象是经过
点(0，④ b )和(⑤ －bk ，0)的一条⑥ 直线 ．特别地，正比例函数 y ＝kx(k≠0)的图象是经过点(0，⑦ 0 )和(1，⑧ k )的一条⑨ 直线 ．
11 第11讲 函数模型及其应用
第11讲 函数模型及其应用1．几种常见的函数模型常用知识拓展“对勾”函数f (x )＝x ＋ax(a >0)的性质(1)该函数在(－∞，－a ]和[a ，＋∞)上单调递增，在[－a ，0)和(0，a ]上单调递减． (2)当x >0时，x ＝a 时取最小值2a ； 当x <0时，x ＝－a 时取最大值－2a .判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)幂函数增长比一次函数增长更快．( )(2)在(0，＋∞)内，随着x 的增大，y ＝a x (a >1)的增长速度会超过并远远大于y ＝x α(α>0)的增长速度．( )(3)指数型函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√下列函数中，随x 的增大，y 的增长速度最快的是( )A ．y ＝1100e xB ．y ＝100 ln xC ．y ＝x 100D ．y ＝100·2x答案：A生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( )A ．36万件B ．18万件C ．22万件D ．9万件 解析：选B.设利润为L (x )，则利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18 时，L (x )有最大值．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km ，票价是0.5元/km ，如果超过100 km ，超过100 km 的部分按0.4元/km 定价，则客运票价y (元)与行驶千米数x (km)之间的函数关系式是________．解析：由题意可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0<x ≤100，0.4x ＋10，x >100.答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0<x ≤100，0.4x ＋10，x >100(教材习题改编)某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x 为8万元时，奖励1万元．销售额x 为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y ＝a log 4x ＋b .某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为________万元．解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a log 48＋b ＝1a log 464＋b ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋b ＝1，3a ＋b ＝4.解得a ＝2，b ＝－2. 所以y ＝2log 4x －2，当y ＝8时，即2log 4x －2＝8. 解得x ＝1 024. 答案：1 024用函数图象刻画变化过程(师生共研)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是()A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同的路程，三辆汽车中，甲车消耗汽油量最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该城市用丙车比用乙车更省油【解析】根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对．【答案】 D判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．已知正方形ABCD 的边长为4，动点P 从B 点开始沿折线BCDA 向A 点运动．设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图象是( )解析：选D.依题意知当0≤x ≤4时，f (x )＝2x ；当4<x ≤8时，f (x )＝8；当8<x ≤12时，f (x )＝24－2x ，观察四个选项知D 项符合要求．二次函数、分段函数、“对勾”函数模型(师生共研)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为W (x )万元，在年产量不足8万件时，W (x )＝13x 2＋x (万元)．在年产量不小于8万件时，W (x )＝6x ＋100x －38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【解】 (1)因为每件商品售价为5元，则x 万件商品销售收入为5x 万元， 依题意得，当0<x <8时，L (x )＝5x －⎝⎛⎭⎫13x 2＋x －3＝－13x 2＋4x －3； 当x ≥8时，L (x )＝5x －⎝⎛⎭⎫6x ＋100x －38－3＝35－⎝⎛⎭⎫x ＋100x . 所以L (x )＝⎩⎨⎧－13x 2＋4x －3，0<x <8，35－⎝⎛⎭⎫x ＋100x ，x ≥8.(2)当0<x <8时，L (x )＝－13(x －6)2＋9.此时，当x ＝6时，L (x )取得最大值L (6)＝9万元． 当x ≥8时，L (x )＝35－⎝⎛⎭⎫x ＋100x ≤35－2 x ·100x ＝35－20＝15，当且仅当x ＝100x时等号成立，即x ＝10时，L (x )取得最大值15万元．因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．解决实际应用问题的四大步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．(3)求模：求解数学模型，得出数学结论． (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下：[提醒] (1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域．(2)利用模型f (x )＝ax ＋bx求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．1．某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R %(即每销售100元征税R 元)，若年销售量为(30－52R )万件，要使附加税不少于128万元，则R 的取值范围是( )A ．[4，8]B ．[6，10]C ．[4%，8%]D ．[6%，10%]解析：选A.根据题意，要使附加税不少于128万元， 需⎝⎛⎭⎫30－52R ×160×R %≥128， 整理得R 2－12R ＋32≤0，解得4≤R ≤8， 即R ∈[4，8]．2.据气象中心观察和预测：发生于沿海M 地的台风一直向正南方向移动，其移动速度v (km/h)与时间t (h)的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T (t ，0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为时间t (h)内台风所经过的路程s (km)．(1)当t ＝4时，求s 的值；(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650 km ，试判断这场台风是否会侵袭到N 城，如果会，在台风发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．解：(1)由图象可知，直线OA 的方程是v ＝3t ，直线BC 的方程是v ＝－2t ＋70. 当t ＝4时，v ＝12，所以s ＝12×4×12＝24.(2)当0≤t ≤10时，s ＝12×t ×3t ＝32t 2；当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋(t －10)×30＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝150＋300＋12×(t －20)×(－2t ＋70＋30)＝－t 2＋70t －550.综上可知，s 随t 变化的规律是 s ＝⎩⎪⎨⎪⎧32t 2，t ∈[0，10]，30t －150，t ∈（10，20]，－t 2＋70t －550，t ∈（20，35].(3)当t ∈[0，10]时，s max ＝32×102＝150<650，当t ∈(10，20]时，s max ＝30×20－150＝450<650，当t ∈(20，35]时，令－t 2＋70t －550＝650，解得t ＝30或t ＝40(舍去)，即在台风发生30小时后将侵袭到N 城．指数、对数函数模型(师生共研)(1)某公司为激励创新，计划逐年增加研发资金投入，若该公司2017年全年投入的研发资金为300万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长10%，则该公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是( )(参考数据：lg 1.1＝0.041，lg 2＝0.301) A ．2023年 B ．2024年 C ．2025年D ．2026年(2)里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．【解析】(1)设从2017年后，第x年该公司全年投入的研发资金为y万元，则y＝300×(1＋10%)x，依题意得，300×(1＋10%)x>600，即1.1x>2，两边取对数可得x>lg 2lg 1.1＝0.3010.041≈7.3，则x≥8，即该公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是2025年．故选C.(2)M＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6.设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A1，A2，则9＝lg A1－lg A0＝lg A1 A0，则A1A0＝109，5＝lg A2－lg A0＝lgA2A0，则A2A0＝105，所以A1A2＝104.即9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍．【答案】(1)C(2)610 000指数型、对数型函数模型(1)在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解．(2)有关对数型函数的应用题，一般都会给出函数解析式，要求根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据值回答其实际意义．候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模地迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为：v＝a＋b log3Q10(其中a，b是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a，b的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？ 解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ， 故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.(2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2，所以－1＋log 3Q10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．数学建模——函数建模在实际问题中的妙用数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程．主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题．已知某公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元．设该公司一年内共生产该款手机x 万只并全部销售完，每万只的销售收入为R (x )万美元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400－6x ，0<x ≤40，7 400x－40 000x 2，x >40.(1)写出年利润W (万美元)关于年产量x (万只)的函数解析式；(2)当年产量为多少万只时，该公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．【解】 (1)当0<x ≤40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－6x 2＋384x －40， 当x >40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－40 000x－16x ＋7 360.所以W ＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x 2＋384x －40，0<x ≤40，－40 000x －16x ＋7 360，x >40.(2)①当0<x ≤40时，W ＝－6(x －32)2＋6 104， 所以W max ＝W (32)＝6 104；②当x >40时，W ＝－40 000x －16x ＋7 360，由于40 000x＋16x ≥240 000x×16x ＝1 600， 当且仅当40 000x ＝16x ，即x ＝50∈(40，＋∞)时，取等号，所以W 取最大值为5 760.综合①②知，当x ＝32时，W 取最大值为6 104万美元．根据实际问题选择函数模型时应注意以下几点：(1)若能够根据实际问题作出满足题意的函数图象，可结合图象特征选择．(2)当研究的问题呈现先增长后减少的特点时，可以选用二次函数模型y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 均为常数，a <0)；当研究的问题呈现先减少后增长的特点时，可以选用二次函数模型y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 均为常数，a >0)．(3)对数函数(底数大于1时)增长越来越慢，而指数函数(底数大于1时)增长越来越快．某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/100 kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：Q 与上市时间t 的变化关系：Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t . 利用你选取的函数，求：(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是________；(2)最低种植成本是________元/100 kg.解析：因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t ＝60和t ＝180时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Q ＝at 2＋bt ＋c ，即Q ＝a (t －120)2＋m 描述，将表中数据代入可得⎩⎪⎨⎪⎧a （60－120）2＋m ＝116，a （100－120）2＋m ＝84，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.01，m ＝80，所以Q ＝0.01(t －120)2＋80，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100 kg. 答案：(1)120 (2)80[基础题组练]1.如图，在不规则图形ABCD 中，AB 和CD 是线段，AD 和BC 是圆弧，直线l ⊥AB 于E ，当l 从左至右移动(与线段AB 有公共点)时，把图形ABCD 分成两部分，设AE ＝x ，左侧部分面积为y ，则y 关于x 的大致图象为( )解析：选D.因为左侧部分面积为y ，随x 的变化而变化，最初面积增加得快，后来均匀增加，最后缓慢增加，只有D 选项适合．2．某市家庭煤气的使用量x (m 3)和煤气费f (x )(元)满足关系f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧C ，0<x ≤A ，C ＋B （x －A ），x >A .已知某家庭今年前四个月的煤气费如下表：月份 一月份 二月份 三月份 四月份 用气量/m 3 4 5 25 35 煤气费/元4414193A ．12.5元 B ．12元 C ．11.5元D ．11元解析：选 A.由题意得C ＝4.将(25，14)，(35，19)代入f (x )＝4＋B (x －A )，得⎩⎪⎨⎪⎧4＋B （25－A ）＝14，4＋B （35－A ）＝19，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝5，B ＝12.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，0<x ≤5，4＋12（x －5），x >5.故当x ＝22时，f (22)＝12.5.故选A.3．成都市某物流公司为了配合“北改”项目顺利进行，决定把三环内的租用仓库搬迁到北三环外重新租地建设．已知仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1，y 2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5千米处B ．4千米处C ．3千米处D ．2千米处解析：选A.设仓库应建在离车站x 千米处．因为仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，所以令反比例系数为m (m >0)，则y 1＝m x .当x ＝10时，y 1＝m10＝2，所以m ＝20.因为每月车载货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比，所以令正比例系数为n (n >0)，则y 2＝nx .当x ＝10时，y 2＝10n ＝8，所以n ＝45.所以两项费用之和为y ＝y 1＋y 2＝20x ＋4x5≥220x ·4x5＝8，当且仅当20x ＝4x5，即x ＝5时取等号．所以要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站5千米处．故选A.4．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P (单位：毫克/升)与过滤时间t (单位：时)之间的函数关系为P ＝P 0e－kt(k ，P 0均为正的常数)．如果在前5小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排放前至少还需要过滤的时间是( )A.12小时 B.59小时 C ．5小时D ．10小时解析：选C.由题意，前5小时消除了90%的污染物．因为P ＝P 0e －kt ，所以(1－90%)P 0＝P 0e －5k ，所以0.1＝e －5k .设废气中污染物含量为1%所需过滤时间为t ，由1% P 0＝P 0e －kt ，即0.01＝e －kt ，得e －kt ＝(0.1)2＝(e －5k )2＝e －10k ，所以t ＝10，所以排放前至少还需过滤t －5＝5(小时)．故选C.5．(2019·河北武邑中学月考)已知某品牌商品靠广告宣传得到的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A (a 为常数且a >0)，广告效应为D ＝a A －A .那么对于此商品，精明的商人为了取得最大的广告效应，投入的广告费应为________．(用常数a 表示)解析：由题意得D ＝a A －A ＝－⎝⎛⎭⎫A －a 22＋a 24，且A ≥0，所以当A ＝a 2，即A ＝a24时，D 最大．答案：a 246.某人准备购置一块占地1 800平方米的矩形地块，中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如阴影部分所示)，大棚占地面积为S 平方米，其中a ∶b ＝1∶2，若要使S 最大，则y ＝____________．解析：由题意可得xy ＝1 800，b ＝2a ，则y ＝a ＋b ＋3＝3a ＋3，S ＝(x －2)a ＋(x －3)×b ＝(3x －8)a ＝(3x －8)×y －33＝1 808－3x －83y ＝1 808－3x －83×1 800x ＝1 808－⎝⎛⎭⎫3x ＋4 800x ≤1 808－23x ×4 800x ＝1 808－240＝1 568，当且仅当3x ＝4 800x，即x ＝40时取等号，所以当S 取得最大值时，y ＝1 80040＝45.答案：457．声强级Y (单位：分贝)由公式Y ＝10lg ⎝⎛⎭⎫I10－12给出，其中I 为声强(单位：W/m 2)．(1)平常人交谈时的声强约为10－6W/m 2，求其声强级；(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？解：(1)当声强为10－6W/m 2时，由公式Y ＝10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫I 10－12得Y ＝10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫10－610－12＝10lg 106＝60(分贝)．(2)当Y ＝0时，由公式Y ＝10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫I 10－12得10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫I 10－12＝0.所以I 10－12＝1，即I ＝10－12W/m 2， 则最低声强为10－12W/m 2.8．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v (单位：千克/年)是养殖密度x (单位：尾/立方米)的函数．当x 不超过4尾/立方米时，v 的值为2千克/年；当4<x ≤20时，v是x 的一次函数，当x 达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v 的值为0千克/年．(1)当0<x ≤20时，求函数v 关于x 的函数解析式；(2)当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值．解：(1)由题意得当0<x ≤4时，v ＝2； 当4<x ≤20时，设v ＝ax ＋b ， 显然v ＝ax ＋b 在(4，20]内是减函数，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧20a ＋b ＝0，4a ＋b ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝－18，b ＝52，所以v ＝－18x ＋52，故函数v ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，0<x ≤4，－18x ＋52，4<x ≤20.(2)设年生长量为f (x )千克/立方米，依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0<x ≤4，－18x 2＋52x ，4<x ≤20，当0<x ≤4时，f (x )为增函数，故f (x )max ＝f (4)＝4×2＝8；当4<x ≤20时，f (x )＝－18x 2＋52x ＝－18(x 2－20x )＝－18(x －10)2＋252，f (x )max ＝f (10)＝12.5.所以当x ＝10时，f (x )的最大值为12.5.即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米．[综合题组练]1．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )A ．略有盈利B ．略有亏损C ．没有盈利也没有亏损D ．无法判断盈亏情况解析：选B.设该股民购进这支股票的价格为a 元，则经历n 次涨停后的价格为a (1＋10%)n＝a ×1.1n 元，经历n 次跌停后的价格为a ×1.1n ×(1－10%)n ＝a ×1.1n ×0.9n ＝a ×(1.1×0.9)n＝0.99n ·a <a ，故该股民这支股票略有亏损．2．(创新型)我们定义函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)为“下整函数”；定义y ＝{x }({x }表示不小于x 的最小整数)为“上整函数”；例如[4.3]＝4，[5]＝5；{4.3}＝5，{5}＝5.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时(包括1小时)收费2元，超过一小时，不超过2小时(包括2小时)收费4元，以此类推．若李刚停车时间为x 小时，则李刚应付费为(单位：元)( )A ．2[x ＋1]B ．2([x ]＋1)C ．2{x }D ．{2x }解析：选C.如x ＝1时，应付费2元，此时2[x ＋1]＝4，2([x ]＋1)＝4，排除A ，B ；当x ＝0.5时，付费为2元，此时{2x }＝1，排除D ，故选C.3．一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝a e－bt(cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．解析：当t ＝0时，y ＝a ；当t ＝8时，y ＝a e －8b ＝12a ，故e －8b ＝12.当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝a e －bt ＝18a ，e －bt ＝18＝(e －8b )3＝e －24b ，则t ＝24，所以再经过16 min 容器中的沙子只有开始时的八分之一．答案：164．(应用型)一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x (x ∈N *)件．当x ≤20时，年销售总收入为(33x －x 2)万元；当x ＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，则y (万元)与x (件)的函数关系式为____________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大(年利润＝年销售总收入－年总投资)．解析：当0<x ≤20时，y ＝(33x －x 2)－x －100＝－x 2＋32x －100；当x ＞20时，y ＝260－100－x ＝160－x .故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0<x ≤20，160－x ，x ＞20(x ∈N *)．当0<x ≤20时，y ＝－x 2＋32x －100＝－(x －16)2＋156，x ＝16时，y max ＝156.而当x ＞20时，160－x <140，故x ＝16时取得最大年利润．答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0<x ≤20，160－x ，x ＞20(x ∈N *) 165．某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x 元时，销售量可达到(15－0.1x )万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格．问：(1)每套丛书售价定为100元时，书商所获得的总利润是多少万元？(2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？解：(1)每套丛书售价定为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，所以每套丛书的供货价格为30＋105＝32(元)，故书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元)．(2)每套丛书售价定为x 元时，由⎩⎪⎨⎪⎧15－0.1x >0，x >0，得0<x <150.设单套丛书的利润为P 元，则P ＝x －(30＋1015－0.1x )＝x －100150－x －30，因为0<x <150，所以150－x >0，所以P ＝－[(150－x )＋100150－x ]＋120， 又(150－x )＋100150－x≥2（150－x ）·100150－x＝2×10＝20，当且仅当150－x ＝100150－x ，即x ＝140时等号成立，所以P max ＝－20＋120＝100.故每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，为100元．6．(综合型)某厂有一个容量300吨的水塔，每天从早六点到晚十点供应生活和生产用水，已知该厂生活用水每小时10吨，生产用水总量W (吨)与时间t (单位：小时，规定早晨六点时t ＝0)的函数关系为W ＝100t ，水塔的进水量有10级，第一级每小时进水10吨，以后每提高一级，进水量增加10吨．若某天水塔原有水100吨，在供应同时打开进水管，问该天进水量应选择几级，既能保证该厂用水(即水塔中水不空)，又不会使水溢出？解：设水塔进水量选择第n 级，在t 时刻水塔中的水容量y 等于水塔中的存水量100吨加进水量10nt 吨，减去生活用水10t 吨，再减去生产用水W ＝100t 吨，即y ＝100＋10nt －10t －100t (0<t ≤16)．若水塔中的水量既能保证该厂用水，又不会使水溢出，则一定有0<y ≤300，即0<100＋10nt －10t －100t ≤300，所以－10t ＋10t ＋1<n ≤20t ＋10t ＋1对一切t ∈(0，16]恒成立．因为－10t ＋10t ＋1＝－10⎝⎛⎭⎫1t －122＋72≤72， 20t ＋10t ＋1＝20⎝⎛⎭⎫1t ＋142－14≥194. 所以72<n ≤194，即n ＝4.即进水量应选择4级．。
(沪科版)中考数学总复习课件【第11讲】一次函数及其应用
图11－11 第11讲┃一次函数及其应用
第11讲┃一次函数及其应用
经典示例
例5 [2013·淮北五校联考一模 ] 某水产经销商从养殖
场批发购进草鱼和乌鱼(俗称黑鱼)，共75千克，且乌鱼的进货
量不低于20千克．已知草鱼的批发价为8元/千克，乌鱼的批发 价与进货量的函数关系如图11－10所示．
(1)请写出批发购进乌鱼所需的总金额y(元)与进货量x(千
第11讲┃一次函数及其应用
[解析] 根据题意得 整理得
25x （0≤x≤20）， y ＝ 25× 20＋0.8×25（x－20）（x>20）.
25x （0≤x≤20）， y＝ 20x ＋100（x>20）.
第11讲┃一次函数及其应用
13．[2013·随州] 甲、乙两地相距50千米．星期天上午8：
y＝－x＋b，把点(－1，2)的坐标代入y＝－x＋b，2＝－(－1)
＋b，b＝1，所以y＝－x＋1.
第11讲┃一次函数及其应用
核心考点三
相关知识
一次函数与一次方程、一次不等式
一次函数与一 一次函数y＝kx＋b(k≠0)的值为0时，相应的自变量的值 次方程 一次函数与一 元一次不等式 为方程kx＋b＝0的根 一次函数y＝kx＋b(k≠0)的函数值大于(或小于)0，相应 的自变量的值为不等式kx＋b>0(或kx＋b<0)的解集
集就是函数y＝kx＋b的图象在直线y＝m下方的部分对应的自变
第11讲 一次函数的图象与性质(讲练)(解析版)
2021年中考数学一轮复习讲练测专题11一次函数的图像与性质1、知道一次函数与正比例函数的意义．2、结合具体情境体会一次函数的意义,根据已知条件确定一次函数表达式.3、会画一次函数的图象,根据一次函数的图象和解析表达式y=kx+b(k≠0)探索并理解其性质(k＞0或k＜0时,图象的变化情况).1．（2020·北京中考真题）有一个装有水的容器，如图所示．容器内的水面高度是10cm，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（）A．正比例函数关系B．一次函数关系C．二次函数关系D．反比例函数关系【答案】B【分析】hcm注水时间为t分钟，根据题意写出h与t的函数关系式，从而可得答案．设水面高度为,【详解】解：设水面高度为,hcm 注水时间为t 分钟，则由题意得：0.210,h t =+所以容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是一次函数关系，故选B ．【点睛】本题考查的是列函数关系式，判断两个变量之间的函数关系，掌握以上知识是解题的关键．2．（2020·广西中考真题）直线y ＝kx +2过点（﹣1，4），则k 的值是（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．2【答案】A【分析】由直线y ＝kx +2过点（﹣1，4），利用一次函数图象上点的坐标特征可得出关于k 的一元一次方程，解之即可得出k 值．【详解】解：∵直线y ＝kx +2过点（﹣1，4），∴4＝﹣k +2，∴k ＝﹣2．故选：A ．【点睛】本题考查的是一次函数图像上点的坐标特点，以及利用待定系数法求解一次函数的解析式，掌握一次函数图像上的点满足函数解析式是解题的关键．3．（2020·安徽中考真题）已知一次函数3y kx =+的图象经过点A ，且y 随x 的增大而减小，则点A 的坐标可以是（ ）A ．()1,2-B ．()1,2-C ．()2,3D ．()3,4 【答案】B【分析】先根据一次函数的增减性判断出k 的符号，再将各项坐标代入解析式进行逐一判断即可．【详解】∵一次函数3y kx =+的函数值y 随x 的增大而减小，∴k ﹤0，A ．当x=-1，y=2时，-k+3=2，解得k=1﹥0，此选项不符合题意；B ．当x=1，y=-2时，k+3=-2,解得k=-5﹤0，此选项符合题意；C ．当x=2，y=3时，2k+3=3，解得k=0，此选项不符合题意；D ．当x=3，y=4时，3k+3=4，解得k=13﹥0，此选项不符合题意， 故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数的性质、待定系数法，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解答的关键．4．（2020·江苏泰州市·中考真题）点(),P a b 在函数32y x =+的图像上，则代数式621a b -+的值等于（ ）A ．5B ．3C ．3-D ．1-【答案】C【分析】把(),P a b 代入函数解析式得32=+b a ，化简得32-=-a b ，化简所求代数式即可得到结果；【详解】把(),P a b 代入函数解析式32y x =+得：32=+b a ，化简得到：32-=-a b ，∴()()621=231=221=-3-+-+⨯-+a b a b ．故选：C ．【点睛】本题主要考查了通过函数解析式与已知点的坐标得到式子的值，求未知式子的值，准确化简式子是解题的关键．5．（2020·浙江嘉兴市·中考真题）一次函数21y x =--的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据一次函数的图象与系数的关系选出正确选项．【详解】解：根据函数解析式21y x =--，∵k 0<，∴直线斜向下，∵0b <，∴直线经过y 轴负半轴，图象经过二、三、四象限．故选：D ．【点睛】本题考查一次函数的图象，解题的关键是能够根据解析式系数的正负判断图象的形状． 6．（2020·山东济南市·中考真题）若m <﹣2，则一次函数()11y m x m =++-的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】由m ＜﹣2得出m +1＜0，1﹣m ＞0，进而利用一次函数的性质解答即可．【详解】解：∵m ＜﹣2，∴m +1＜0，1﹣m ＞0，所以一次函数()11y m x m =++-的图象经过一，二，四象限，故选：D ．【点睛】本题考查的是一次函数的图像与性质，不等式的基本性质，掌握一次函数y kx b =+中的,k b 对函数图像的影响是解题的关键 ．7．（2020·四川凉山彝族自治州·中考真题）已知一次函数y =（2m +1）x +m -3的图像不经过第二象限，则m 的取值范围（ ）A ．m>-12B ．m<3C ．-12<m<3D ．-12<m≤3 【答案】D【分析】一次函数的图象不经过第二象限，即可能经过第一，三，四象限，或第一，三象限，所以要分两种情况.【详解】当函数图象经过第一，三，四象限时，21030m m ⎧⎨-⎩＋＞＜，解得：－12＜m ＜3. 当函数图象经过第一，三象限时，21030m m ＋＞＝⎧⎨-⎩，解得m ＝3. ∴－12＜m≤3. 故选D.【点睛】一次函数的图象所在的象限由k ，b 的符号确定：①当k ＞0，b ＞0时，函数y ＝kx ＋b 的图象经过第一，二，三象限；②当k ＞0，b ＜0时，函数y ＝kx ＋b 的图象经过第一，三，四象限；③当k ＜0，b ＞0时，函数y ＝kx ＋b 的图象经过第一，二，四象限；④当k ＜0，b ＜0时，函数y ＝kx ＋b 的图象经过第二，三，四象限.注意当b ＝0的特殊情况.8．（2020·西藏中考真题）如图，一个弹簧不挂重物时长6cm ，挂上重物后，在弹性限度内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比．弹簧总长y （单位：cm ）关于所挂物体质量x（单位：kg ）的函数图象如图所示，则图中a 的值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【分析】 根据题目中的函数解析式，可以求得y 与x 的函数关系式，然后令y ＝7.5，求出x 的值，即此时x 的值就是a 的值，本题得以解决．【详解】解：设y 与x 的函数关系式为y ＝kx+b ，6910.5b k b =⎧⎨+=⎩， 解得，k 0.5b 6=⎧⎨=⎩， 即y 与x 的函数关系式是y ＝0.5x+6，当y ＝7.5时，7.5＝0.5x+6，得x ＝3，即a 的值为3，故选：A ．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．9．（2019·浙江杭州市·中考真题）某函数满足当自变量1x =时，函数值0y =；当自变量0x =时，函数值1y =，写出一个满足条件的函数表达式_____.【答案】1y x =-+或21y x =-+或1y x =-等.【分析】由于题中没有指定是什么具体的函数，可以从一次函数，二次函数等方面考虑，只要符合题中的两个条件即可．【详解】符合题意的函数解析式可以是1y x =-+或21y x =-+或1y x =-等，(本题答案不唯一) 故答案为如1y x =-+或21y x =-+或1y x =-等.【点睛】本题考查一次函数、二次函数的解析式，解题的关键是知道一次函数、二次函数的定义. 10．（2020·贵州黔东南苗族侗族自治州·中考真题）把直线y ＝2x ﹣1向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后所得直线的解析式为_____．【答案】y ＝2x +3【分析】直接利用一次函数的平移规律进而得出答案．【详解】解：把直线y ＝2x ﹣1向左平移1个单位长度，得到y ＝2（x +1）﹣1＝2x +1，再向上平移2个单位长度，得到y ＝2x +3．故答案为：y ＝2x +3．【点睛】本题考查了一次函数的平移，熟练掌握是解题的关键．11．（2020·天津中考真题）将直线2y x =-向上平移1个单位长度，平移后直线的解析式为________．【答案】21y x =-+【分析】根据直线的平移规律是上加下减的原则进行解答即可．【详解】解：∵直线的平移规律是“上加下减”，∴将直线2y x =-向上平移1个单位长度所得到的的直线的解析式为：21y x =-+； 故答案为：21y x =-+．【点睛】本题考查的是一次函数的图像与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解决本题目的关键． 12．（2020·山东临沂市·中考真题）点1,2m ⎛⎫-⎪⎝⎭和点(2,)n 在直线2y x b =+上，则m 与n 的大小关系是_________．【答案】m ＜n【分析】先根据直线的解析式判断出函数的增减性，再根据两点的横坐标大小即可得出结论．【详解】解：∵直线2y x b =+中，k=2＞0，∴此函数y 随着x 的增大而增大， ∵12-＜2， ∴m ＜n ．故答案为：m ＜n ．【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键． 13．（2020·四川成都市·中考真题）一次函数(21)2y m x =-+的值随x 值的增大而增大，则常数m 的取值范围为_________． 【答案】12m >【分析】根据一次函数的性质得2m-1＞0，然后解不等式即可．【详解】解：因为一次函数(21)2y m x =-+的值随x 值的增大而增大，所以2m-1＞0． 解得12m >. 故答案为：12m >． 【点睛】本题考查了一次函数的性质：k ＞0，y 随x 的增大而增大，函数从左到右上升；k ＜0，y 随x 的增大而减小，函数从左到右下降.14．（2020·辽宁丹东市·中考真题）一次函数2y x b =-+，且0b >，则它的图象不经过第_________象限．【答案】三【分析】根据一次函数的性质，即可得到答案．【详解】解：在一次函数2y x b =-+中，∵20-<，0b >，∴它的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限；故答案为：三【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握0k <，0b >，经过第一、二、四象限是解题的关键．15．（2020·江苏宿迁市·中考真题）已知一次函数y ＝2x ﹣1的图象经过A （x 1，1），B （x 2，3）两点，则x 1_____x 2（填“＞”“＜”或“＝”）．【答案】＜【分析】由k ＝2＞0，可得出y 随x 的增大而增大，结合1＜3，即可得出x 1＜x 2．【详解】解：∵k ＝2＞0，∴y 随x 的增大而增大．又∵1＜3，∴x 1＜x 2．故答案为：＜．【点睛】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是牢记“当k ＞0时，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小”．16．（2020·江苏南京市·中考真题）将一次函数24y x =-+的图象绕原点O 逆时针旋转90，所得到的图像对应的函数表达式是__________．【答案】122y x =+ 【分析】 根据原一次函数与x,y 轴的交点坐标，并求出旋转后这两点对应的坐标，再由待定系数法求解一次方程的表达式即可.【详解】∵一次函数的解析式为24y x =-+，∴设与x 轴、y 轴的交点坐标为()2,0A 、()0,4B ，∵一次函数24y x =-+的图象绕原点O 逆时针旋转90，∴旋转后得到的图象与原图象垂直，旋转后的点为()10,2A 、()1-4,0B ， 令y ax b =+，代入点得12a =，2b =， ∴旋转后一次函数解析式为122y x =+． 故答案为122y x =+． 【点睛】本题主要考查了一次函数图像与几何变换，正确把握互相垂直的两直线的位置关系是解题的关键．17．（2020·湖南中考真题）已知一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象经过A （3，18）和B （﹣2，8）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）若一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象与反比例函数y ＝m x （m ≠0）的图象只有一个交点，求交点坐标．【答案】（1）一次函数的解析式为y ＝2x +12；（2）（﹣3，6）．【分析】（1）直接把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数y ＝kx +b 中可得关于k 、b 的方程组，再解方程组可得k 、b 的值，进而求出一次函数的解析式；（2）联立一次函数解析式和反比例函数解析式可得2x 2+12x ﹣m ＝0，再根据题意得到△＝0时，两函数图像只有一个交点，解方程即可得到结论．【详解】解：（1）把（3，18），（﹣2，8）代入一次函数y ＝kx +b （k ≠0），得31828k b k b +=⎧⎨-+=⎩， 解得212k b =⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式为y ＝2x +12；（2）∵一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象与反比例函数y ＝mx（m ≠0）的图象只有一个交点，∴212y x my x =+⎧⎪⎨=⎪⎩只有一组解， 即2x 2+12x ﹣m ＝0有两个相等的实数根， ∴△＝122﹣4×2×（﹣m ）＝0， ∴m ＝-18．把m ＝-18代入求得该方程的解为：x ＝-3， 把x ＝-3代入y ＝2x +12得：y ＝6， 即所求的交点坐标为（-3，6）． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法确定一次函数的解析式，运用判别式△求两个不同函数的交点坐标；特别地，小题（2）联立一次函数解析式和反比例函数解析式，运用只有一个交点时△＝0的知识点，是解答本小题关键所在．18．（2020·北京中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数(0)y kx b k =+≠的图象由函数y x =的图象平移得到，且经过点(1，2)． （1）求这个一次函数的解析式；（2）当1x >时，对于x 的每一个值，函数(0)y mx m =≠的值大于一次函数y kx b =+的值，直接写出m 的取值范围． 【答案】（1）1y x =+；（2）2m ≥ 【分析】（1）根据一次函数(0)y kx b k =+≠由y x =平移得到可得出k 值，然后将点（1，2）代入y x b =+可得b 值即可求出解析式；（2）由题意可得临界值为当1x =时，两条直线都过点（1，2），即可得出当12x m >>，时，(0)y mx m =≠都大于1y x =+，根据1x >，可得m 可取值2，可得出m 的取值范围．【详解】（1）∵一次函数(0)y kx b k =+≠由y x =平移得到， ∴1k =，将点（1，2）代入y x b =+可得1b =， ∴一次函数的解析式为1y x =+；（2）当1x >时，函数(0)y mx m =≠的函数值都大于1y x =+，即图象在1y x =+上方，由下图可知：临界值为当1x =时，两条直线都过点（1，2）， ∴当12x m >>，时，(0)y mx m =≠都大于1y x =+， 又∵1x >，∴m 可取值2，即2m =， ∴m 的取值范围为2m ≥． 【点睛】本题考查了求一次函数解析式，函数图像的平移，一次函数的图像，找出临界点是解题关键．考点一一次函数图像与系数的关系例1．（2020·明光市明湖学校八年级月考）若一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，则一次函数y＝bx+k的图象大致是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据一次函数y=kx+b图象在坐标平面内的位置关系先确定k，b的取值范围，再根据k，b 的取值范围确定一次函数y=bx+k图象在坐标平面内的位置关系，从而求解．【详解】解：∵一次函数y=kx+b过一、二、四象限，∴则函数值y随x的增大而减小，图象与y轴的正半轴相交∴k＜0，b＞0，∴一次函数y＝bx+k的图象y随x的增大而增大，与y轴负半轴相交，∴一次函数y＝bx+k的图象经过一三四象限.故选：D．【点睛】本题考查了一次函数的性质．函数值y随x的增大而减小⇔k＜0；函数值y随x的增大而增大⇔k＞0；一次函数y=kx+b图象与y轴的正半轴相交⇔b＞0，一次函数y=kx+b图象与y轴的负半轴相交⇔b＜0，一次函数y=kx+b图象过原点⇔b=0．【变式训练】=+的图象如图所示，则下列结论正确的1．（2020·湖南益阳市·中考真题）一次函数y kx b是（）A ．0k <B ．1b =-C ．y 随x 的增大而减小D ．当2x >时，0kx b +<【答案】B 【分析】根据一次函数的图象与性质判断即可． 【详解】由图象知，k ﹥0，且y 随x 的增大而增大，故A 、C 选项错误； 图象与y 轴负半轴的交点坐标为（0，-1），所以b=﹣1，B 选项正确； 当x ﹥2时，图象位于x 轴的上方，则有y ﹥0即+kx b ﹥0，D 选项错误， 故选：B ． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，利用数形结合法熟练掌握一次函数的图象与性质是解答本题的关键．2．（2020·江苏镇江市·中考真题）一次函数y ＝kx +3（k ≠0）的函数值y 随x 的增大而增大，它的图象不经过的象限是（ ） A ．第一 B ．第二C ．第三D ．第四【答案】D 【分析】根据一次函数y ＝kx +3（k ≠0）的函数值y 随x 的增大而增大，可以得到k ＞0，与y 轴的交点为（0，3），然后根据一次函数的性质，即可得到该函数图象经过哪几个象限，不经过哪个象限，从而可以解答本题． 【详解】解：∵一次函数y ＝kx +3（k ≠0）的函数值y 随x 的增大而增大， ∴k ＞0，该函数过点（0，3），∴该函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 故选：D ． 【点睛】本题考查了一次函数的性质及一次函数的图象．解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．考点二 一次函数的性质例2． （2020·湖北省直辖县级行政单位·中考真题）对于一次函数2y x =+，下列说法不正确的是（ ） A ．图象经过点()1,3 B ．图象与x 轴交于点()2,0- C ．图象不经过第四象限 D ．当2x >时，4y <【答案】D 【分析】根据一次函数的图像与性质即可求解． 【详解】A.图象经过点()1,3，正确；B.图象与x 轴交于点()2,0-，正确C.图象经过第一、二、三象限，故错误；D.当2x >时，y ＞4，故错误； 故选D ． 【点睛】此题主要考查一次函数的图像与性质，解题的关键是熟知一次函数的性质特点． 【变式训练】1.（2020·广东广州市·中考真题）一次函数31y x =-+的图象过点()11,x y ，()121,x y +，()132,x y +，则（ ）A ．123y y y <<B ．321y y y <<C ．213y y y <<D ．312y y y <<【答案】B 【分析】根据一次函数的图象分析增减性即可． 【详解】因为一次函数的一次项系数小于0,所以y 随x 增减而减小． 故选B ． 【点睛】本题考查一次函数图象的增减性,关键在于分析一次项系数与零的关系．2.（2020·辽宁丹东市·中考真题）一次函数2y x b =-+，且0b >，则它的图象不经过第_________象限． 【答案】三 【分析】根据一次函数的性质，即可得到答案． 【详解】解：在一次函数2y x b =-+中， ∵20-<，0b >，∴它的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限； 故答案为：三 【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握0k <，0b >，经过第一、二、四象限是解题的关键．考点三 求一次函数的解析式例3（2020·湖南郴州市·中考真题）小红在练习仰卧起坐，本月1日至4日的成绩与日期具有如下关系：小红的仰卧起坐成绩y 与日期x 之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为__________． 【答案】y=3x+37． 【分析】利用待定系数法即可求出该函数表达式．【详解】解：设该函数表达式为y=kx+b ，根据题意得：40243k b k b +⎧⎨+⎩＝＝， 解得337k b ⎧⎨⎩＝＝，∴该函数表达式为y=3x+37． 故答案为：y=3x+37． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，会利用待定系数法求出一次函数的解析式是解题的关键． 【变式训练】1．（2020·江西中考真题）在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线223y x x =--与y 轴交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，连接AB ，将Rt OAB 向右上方平移，得到Rt O A B '''△，且点O '，A '落在抛物线的对称轴上，点B '落在抛物线上，则直线A B ''的表达式为（ ） A ．y x = B ．1y x =+C ．12y x =+D ．2y x =+【答案】B 【分析】先求出A 、B 两点的坐标和对称轴，先确定三角形向右平移了1个单位长度，求得B′的坐标，再确定三角形向上平移5个单位，求得点A′的坐标，用待定系数法即可求解． 【详解】解：当y=0时，2230x x --=，解得x 1=-1，x 2=3， 当x=0时，y=-3， ∴A （0，-3），B （3，0）， 对称轴为直线12bx a=-=， 经过平移，A '落在抛物线的对称轴上，点B '落在抛物线上， ∴三角形Rt OAB 向右平移1个单位，即B′的横坐标为3+1=4， 当x=4时，y=42-2×4-3=5，∴B′（4，5），三角形Rt OAB 向上平移5个单位， 此时A′（0+1，-3+5），∴A′（1，2）， 设直线A B ''的表达式为y=kx+b ， 代入A′（1，2），B′（4，5），可得254k bk b =+⎧⎨=+⎩ 解得：11k b =⎧⎨=⎩，故直线A B ''的表达式为1y x =+， 故选：B ． 【点睛】本题考查二次函数的图象和与坐标轴的交点坐标、图形的平移和待定系数法求一次函数表达式等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图形和性质．2．（2020·贵州黔西南布依族苗族自治州·中考真题）如图，正比例函数的图象与一次函数y ＝－x ＋1的图象相交于点P ，点P 到x 轴的距离是2，则这个正比例函数的解析式是________．【答案】y ＝－2x 【分析】首先将点P 的纵坐标代入一次函数的解析式求得其横坐标，然后代入正比例函数的解析式即可求解． 【详解】∵点P 到x 轴的距离为2， ∴点P 的纵坐标为2，∵点P 在一次函数y ＝－x ＋1上， ∴2＝－x ＋1，解得x ＝－1， ∴点P 的坐标为（－1，2）． 设正比例函数解析式为y ＝kx ，把P （－1，2）代入得2＝－k ，解得k ＝－2， ∴正比例函数解析式为y ＝－2x ， 故答案为：y ＝－2x ． 【点睛】本题考查了用待定系数法求正比例函数解析式，及两函数交点问题的处理能力，熟练的进行点与线之间的转化计算是解题的关键．考点四 一次函数式图像的平移变换例4． （2020·山东日照市·中考真题）将函数y ＝2x 的图象向上平移3个单位，则平移后的函数解析式是（ ） A ．y ＝2x +3 B ．y ＝2x ﹣3C ．y ＝2（x +3）D ．y ＝2（x ﹣3）【答案】A 【分析】直接利用一次函数“上加下减”的平移规律即可得出答案． 【详解】解：∵将函数y ＝2x 的图象向上平移3个单位， ∴所得图象的函数表达式为：y ＝2x +3． 故选：A ． 【点睛】本题考查一次函数图象与几何变换，正确记忆“左加右减，上加下减”的平移规律是解题关键． 【变式训练】1．（2020·四川内江市·中考真题）将直线21y x =--向上平移两个单位，平移后的直线所对应的函数关系式为（ ） A ．25y x =-- B ．23y x =--C ．21y x =-+D ．23y x =-+【答案】C【分析】向上平移时，k的值不变，只有b发生变化．【详解】解：原直线的k=-2，b=-1；向上平移两个单位得到了新直线，那么新直线的k=-2，b=-1+2=1．∴新直线的解析式为y=-2x+1．故选：C．【点睛】本题主要考查了一次函数图象的变换，求直线平移后的解析式时要注意平移时k和b的值发生变化．2.（2020·四川广安市·中考真题）一次函数y=2x＋b的图象过点（0，2），将函数y=2x＋b 的图象向上平移5个单位长度，所得函数的解析式为________．【答案】y=2x＋7【分析】将点（0，2）代入一次函数解析式中,即可求出原一次函数解析式,然后根据平移方式即可求出结论．【详解】解：将点（0，2）代入y=2x＋b中，得2=b∴原一次函数解析式为y=2x＋2将函数y=2x＋2的图象向上平移5个单位长度，所得函数的解析式为y=2x＋2＋5=2x＋7 故答案为：y=2x＋7．【点睛】此题考查的是求一次函数解析式和图象的平移，掌握利用待定系数法求一次函数解析式和一次函数的平移规律是解题关键．。
第11课时 一次函数的图象及性质
图11－1
考点聚焦 京考探究
第11讲┃ 一次函数的图象及性质
解
4 (1) ∵点 C(m，4) 在直线 y＝ x 上， 3
4 ∴4＝ m，解得 m＝3. ∴C(3，4) ． 3 ∵点 A(－3，0) 与 C(3，4) 在直线 y＝kx ＋b(k≠0) 上， 2 k＝ ， 0＝－3k－7， 3 ∴ 解得 4＝3k＋b. b＝2. 2 ∴一次函数的解析式为 y＝ x＋2. 3 (2) 点 D 的坐标为(－2，5) 或(－5，3) ．
考点聚焦
京考探究
第11讲┃ 一次函数的图象及性质
求函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积，关键是将 与坐标轴的交点的坐标转化为三角形的底或高的长．
考点聚焦
京考探究
图11－2
考点聚焦
京考探究
第11讲┃ 一次函数的图象及性质
3 3 解 (1) 令 y＝0，得 x＝－ .∴A 点坐标为－2，0. 2 令 x＝0，得 y＝3. ∴B 点坐标为(0，3). (2)设 P 点坐标为(x，0)． 依题意，得 x＝± 3.∴P 点坐标分别为 P1(3，0)或 P2(－3，0). 1 3 27 ∴S△ABP1＝ × 2＋3 ×3＝ ， 2 4 3 1 9 S△ABP2＝ × 3－2 ×3＝ . 2 4 27 9 ∴△ABP 的面积为 或 . 4 4
一次函数 一次函数 y＝kx＋b(k，b 是常数，k≠0) 与 的函数值为 0 时，相应的自变量的值为 一次方程 方程 kx＋b＝0 的解 一次函数 y＝kx＋b(k，b 是常数，k≠0) 一次函数 的函数值大于(或小于)0 时，相应的自变 与一元一 量的值为不等式 kx ＋ b>0( 或 kx ＋ b<0) 次不等式 的解集 两直线的交点坐标是两个一次函数解 一次函数 析式 y＝k1x＋b1 和 y＝k2x＋b2 所组成的 与一次方 y＝k1x＋b1， 程组 关于 x、y 的方程组 的解 y＝k2x＋b2
中考复习之一次函数的图象与性质
第11讲┃ 归类示例
归类示例
► 类型之一 一次函数的图象与性质
命题角度： 1．一次函数的概念； 2．一次函数的图象与性质 ．
第11讲┃ 归类示例
[2012· 山西] 如图11－1，一次函数y＝(m－1)x－3 的图象分别与x轴、y轴的负半轴相交于点A、B，则m的取 值范围是 ( B )
图11－1 A．m>1 B．m<1 C．m<0 D．m>0 [解析] 根据函数的图象可知m－1＜0，求出m的取 值范围为m＜1.故选B.
第11讲┃ 考点聚焦
(2)正比例函数与一次函数的性质 函数 字母取值 图象 经过的象限 k>0 y＝kx (k≠0)
一、三象限 _______
函数性质 y随x增 大而增大 y随x增 大而减小
k<0
二、四象限 _______
第11讲┃ 考点聚焦
k>0 b>0 k>0 b<0 k<0 b>0 k<0 b<0
第11讲┃ 一次函数的图象与性质
第11讲┃ 考点聚焦
考点聚焦
考点1 一次函数与正比例函数的概念
一般地，如果 y＝kx＋b(k、b是常数， k≠ 0)，那么y叫做x的一次函数 特别地，当 b＝0时，一次函数 y＝kx＋b变为 正比例函数 y＝kx(k为常数， k≠0)，这时y叫做x的正比 例函数 一次函数
[2012· 衡阳] 如图11－2，一次函数y＝kx＋b的图 象与正比例函数y＝2x的图象平行且经过点A(1，－2)，则 kb＝________. －8
图11－2
第11讲┃ 归类示例
[解析] ∵y＝kx＋b的图象与正比例函数 y＝2x的图象平 行，两平行直线的关系式的 k值相等，∴k＝2， ∵y＝kx＋b的图象经过点A(1，－2)，∴2＋b＝－2， 解得b＝－4，∴kb＝2×(－4)＝－8.
中考总复习数学11- 第一部分 第11讲一次函数的图象和性质(精练册)
11.(2022·江苏泰州)一次函数y=ax+2的图象经过点(1,0).当y>0时,x的取值
范围是 x<1
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第11讲
一次函数的图象和性质
挑战高分
基础全练
中考创新练
12.(2022·辽宁盘锦)点A(x1,y1),B(x2,y2)在一次函数y=(a-2)x+1的图象上,当
x1>x2时,y1<y2,则a的取值范围是
a<2
.
13.(2022·江苏扬州)如图,函数y=kx+b(k<0)的图
象经过点P,则关于x的不等式kx+b>3的解集
为
x<-1 .
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第11讲
一次函数的图象和性质
挑战高分
基础全练
中考创新练
14.(2022·陕西)如图,是一个“函数求值机”的示意图,其中y是x的函数.下
所在象限为( B )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
9.(2022·湖南永州)已知一次函数y=x+1的图象经过点(m,2),则m=
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第11讲
第11讲：一次函数
ｕＬ Ｅ｝
中考直 通车
分析 （ ）由 正 切 蛹 效 １
，
的 概 念 可 知 Ｏ Ｃ
一
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则 求 得
ＯＢ 一 １ ． Ｂ １ ， ） ２，。 （ ２ Ｏ ； ．
（） 难求 得 Ｃ １， ２不 Ｂ 一 ５
蜃
．
Ｃ Ｂ＝Ｏ 易 证 △Ｂ Ｅ Ｂ ＝Ｃ Ａ Ａ
（） ３ 已知 两 点 Ｄ（ ， ３ 、 一 １ 一４ ， 在 直 线 １ 一 ） Ｅ（ ， ） 试
ｚ 上确定 一点 Ｑ， 点 Ｑ 到 Ｄ、 两点 的距 离之 和最 使 Ｅ
图 ８
次再跳到点 Ｎ关 于 Ｃ的对称点
小 ， 求 出 Ｑ点坐标． 并
第 １讲 １
一 次 函 数
为 常数且 七 ） ≠Ｏ 叫做
＾
４
２
、
实 验 与探 究 ：１ 由 图 观 察 易 知 Ａ（ ，） 于 直 线 （） Ｏ２关
（ ） 出△ＡＢ １求 Ｃ的 面 积 ；
＋ － － ｔ
Ｄ
，】
一
的对称点 Ａ 的坐标 为 （ ， ） 请在 图 中分别 标 明 Ｂ ２ｏ ，
（ ， ） Ｃ（ ２ ５ 关 于 直 线 Ｚ的 ５３ 、 ～ ，）
数学
Ａ． ｂ ｄ ａ ｃ Ｂ ｄ ｃ ａ ｂ Ｃ ｃ ｄ ａｂ Ｄ． ｃ ｂ ａｄ
｝
处 ， ． 此下去． … 如
二 、 高训 练 提
（） １ 在图中画出点 Ｍ 、 并写 出点 Ｍ 、 的坐标 ： Ｎ， Ｎ
ｌ． 图 ６将边 长为 １的 １如 ，
正 方 形 （ Ｐ 沿 ｏ 正 方 向 Ｍ Ｂ ２ ＂轴
２ 图象 ： ． 一女 ＋６的 图象 是 ． ； ｋ 当
第11讲 一次函数中考复习课件
2
2
2
＋b2的图象的交点坐标值
上方时自变量x的取值
范围
考点 5
建立函数模
型解决实际
问题的步骤
一次函数的应用
第一步：审题，明确变量；
第二步：根据两变量间的等量关系，确定函数解析式；
第三步：确定自变量的取值范围，利用函数性质解决问题；
待定系数法
（1）一设：设出一次函数的解析式y＝kx＋b（k≠0）；
一般
步骤
（2）二列：找出函数图象上的两个点，代入y＝kx＋b中，得到关
于k，b的二元一次方程组；
（3）三解：解这个二元一次方程组，得到k，b的值；
（4）四还原：将所求k，b的值代入所设的函数解析式
【知识拓展】若已知一次函数图象上两点（x1，y1），（x2，y2），则
5. [2021省卷5题]将直线y＝5x向下平移2个单位长度，所得直线的表达式为
（ A ）
A.y＝5x－2
B.y＝5x＋2
C.y＝5（x＋2） D.y＝5（x－2）
命题点 3
一次函数与一元一次不等式（组）（省卷2018.16）
6. [2018省卷16题]如图，一次函数y＝－x－2与y＝2x＋m的图象相交于点P
函数图象从左向右呈下降
k＜0⇔ 趋势“\”
y随x的增大而② 减小
b决定函数图 b＞0⇔交
b＜0⇔交 b＝0⇔
b＞0⇔交 b＜0⇔交 b＝0⇔
象与y轴交点 点在正半
点在负半 交点即
点在正半 点在负半 交点即原
轴上
轴上
位置
轴上
原点
轴上
点
大致图象
第11节 一次函数的图象和性质
，与 y 轴的截距为﹣ ，
由于该直线不通过第一象限，所以得到：
即
，
由①得到 a 与 b 同号；由②得到 b 与 c 同号．所以 a，b，c 同号． 故选 D
4.设 b＞a，将一次函数 y=bx+a 与 y=ax+b 的图象画在同一平面直角坐标系内，则 有一组 a，b 的取值，使得下列 4 个图中的一个为正确的是（ ）
典例分析：
例 3：（1）直线 y=kx+b 通过第一、三、四象限，则有（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
解：若直线 y=kx+b 通过第一、三、四象限， 则必有 k＞0，b＜0， 故选：B．
（2）若 ac＜0，bc＜0，则直线 ax+by+c=0 的图形只能是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：由题意知，函数的解析式即 y=﹣ x﹣ ，∵ac＜0，bc＜0，∴a•b＞0，
∴﹣ ＜0，﹣ ＞0，故直线的斜率小于 0，在 y 轴上的截距大于 0，
故选 C．
练习：
1．若 a+b=0，则直线 y=ax+b 的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
解：根据题意，得；
当 x=1 时，y=a+b=0，
(4)直线 y＝kx＋b(k≠0)与 x 轴的交点为(－kb，0)，与 y 轴的交点为(0，b)．
典例分析：
例 1：已知函数 y=（2m﹣1）x+1﹣3m，当 m 为何值时．
（1）这个函数为正比例函数； （2）这个函数为一次函数； 解：∵函数 y=（2m﹣1）x+1﹣3m， （3）函数值 y 随 x 的增大而减小（；1）当 1﹣3m=0，即 m= 时，这个函数为正比例函数； （4）这个函数图象与直线 y=x+（1 的2）交当点2m在﹣1x≠轴0，上即．m 时，这个函数为一次函数；
第11讲 一次函数的图象和性质
5．(2016·温州)如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段 AB上任意一点(不包括端点)，过P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周 长为10，则该直线的函数表达式是( C) A．y＝x＋5 B．y＝x＋10
C．y＝－x＋5
D．y＝－x＋10
D 【例1】 (1)(2016·玉林)关于直线l：y＝kx＋k(k≠0)，下列说法不正确的是( ) A．点(0，k)在l上 B．l经过定点(－1，0) C．当k＞0时，y随x的增大而增大 D．l经过第一、二、三象限 (2)(2016·贵阳)已知点M(1，a)和点N(2，b)是一次函数y＝－2x＋1图象上的两点 ，则a与b的大小关系是____． a＞b 【点评】 一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)是一条直线，当k＞0时，图象 经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过第二、四象限，y随x 的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为(0，b)．
解：①对于直线 y＝ 3x＋ 3，令 x＝0，则 y＝ 3，令 y＝0， 则 x＝－1， 故点 A 的坐标为(0， 3)， 点 B 的坐标为(－1， 0)， 则 AO＝ 3， AO BO＝1，在 Rt△ABO 中，∵tan∠ABO＝BO ＝ 3，∴∠ABO＝60°； ②在△ABC 中，∵AB＝AC，AO⊥BC，∴AO 为 BC 的中垂线， 即 BO＝CO，则 C 点的坐标为(1，0)，设直线 l 的解析式为 y＝kx＋b(k， k＝－ 3， 3＝b， b 为常数)，则 解得 即函数解析式为 y＝－ 3x＋ 3. 0＝k＋b， b＝ 3，
(2)在平面直角坐标系中，已知点 A(27 ，3)，B(4，7)，直线 y＝kx－k(k≠0) ≤k≤3 与线段 AB 有交点，则 k 的取值范围为 3 ．
中考数学专题复习第11讲 一次函数的图象和性质
(2)代:将已知点的坐标代入所设解析式得到方程(组).
(3)求:求出k,b的值.
(4)写:写出一次函数的解析式.
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第11讲 一次函数的图象和性质—— 考点梳理
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考点5
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一次函数与方程（组）、不等式的关系
1. 一次函数与一元一次方程的关系
综上,k的值为- ,2或 .
第11讲 一次函数的图象和性质—— 真题试做
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8. (2017·河北,24)如图,直角坐标系xOy中,A(0,5),直线x=-5与x轴交于点D,直
线y=- x- 与x轴及直线x=-5分别交于点C,E.点B,E关于x轴对称,连接AB.
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2
考点1
数据聚集
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考点梳理
一次函数与正比例函数的概念
一般地,把形如① y=kx+b (k,b为常数,且k≠0)的函数叫做一次函数,当b=0时,它
就化为② y=kx（k≠0）的形式,这时,y叫做x的正比例函数.
【温馨提示】正比例函数是一次函数的特殊形式,正比例函数是一次函数,反之
不一定成立,定义中k≠0是非常重要的条件,若k=0,则函数就成为y=b,是一条垂
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数据剖析
题型突破
考向 1
一次函数的图像和性质
考向 2
一次函数解析式的确定
考向 3
一次函数与方程、不等式的关系
第11讲 一次函数的图象和性质—— 题型突破
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3
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第二节 一次函数【回顾与思考】一次函数0,0,y y x k y x ⎧≠⎧⎪⎨≠⎩⎪⎪>⎧⎪⎨⎨<⎩⎪⎪⎪⎪⎩一般式y=kx+b(k 0)概念正比例函数y=kx(k 0)随的增大而增大性质随的增大而减小b图象:经过(0,b),(-,0)的直线k【例题经典】理解一次函数的概念和性质例1 若一次函数y=2x 222m m --+m-2的图象经过第一、第二、三象限，求m 的值．【分析】这是一道一次函数概念和性质的综合题．一次函数的一般式为y=kx+b （k ≠0）．首先要考虑m 2-2m-2=1．函数图象经过第一、二、三象限的条件是k>0,b>0，而k=2，只需考虑m-2>0．由222120m m m ⎧--=⎨->⎩便可求出m 的值．用待定系数法确定一次函数表达式及其应用例2 （2006年济宁市）鞋子的“鞋码”和鞋长（cm ）存在一种换算关系，•下表是几组“鞋码”与鞋长的对应数值：（1）分析上表， （2）设鞋长为x ，“鞋码”为y ，求y 与x 之间的函数关系式； （3）如果你需要的鞋长为26cm ，那么应该买多大码的鞋？【评析】本题是以生活实际为背景的考题．题目提供了一个与现实生活密切联系的问题情境，以考查学生对有关知识的理解和应用所学知识解决问题的能力，同时为学生构思留下了空间．建立函数模型解决实际问题例3 （2006年南京市）某块试验田里的农作物每天的需水量y （千克）与生长时间x （天）之间的关系如折线图所示．•这些农作物在第10•天、•第30•天的需水量分别为2000千克、3000千克，在第40天后每天的需水量比前一天增加100千克． （1）分别求出x ≤40和x ≥40时y 与x 之间的关系式；（2）如果这些农作物每天的需水量大于或等于4000千克时，需要进行人工灌溉，•那么应从第几天开始进行人工灌溉？【评析】本题提供了一个与生产实践密切联系的问题情境，要求学生能够从已知条件和函数图象中获取有价值的信息，判断函数类型．建立函数关系．为学生解决实际问题留下了思维空间．【考点精练】 基础训练1．下列各点中，在函数y=2x-7的图象上的是（ ） A ．（2，3） B ．（3，1） C ．（0，-7） D ．（-1，9）2．如图，一次函数y=kx+b 的图象经过A 、B 两点，则kx+b>0的解集是（ ）A ．x>0B ．x>2C ．x>-3D ．-3<x<2(第2题) (第4题) (第7题) 3．已知两个一次函数y 1=-2b x-4和y 2=-1a x+1a的图象重合，则一次函数y=ax+b 的图象所经过的象限为（ ）A ．第一、二、三象限B ．第二、三、四象限C ．第一、三、四象限D ．第一、二、四象限 4．如图，直线y=kx+b 与x 轴交于点（-4，0），则y>0时，x 的取值范围是（ ） A ．x>-4 B ．x>0 C ．x<-4 D ．x<0 5．（2005年杭州市）已知一次函数y=kx-k ，若y 随x 的增大而减小，则该函数的图像经过（ ）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限 6．点P 1（x 1，y 1），点P 2（x 2，y 2）是一次函数y=-4x+3图象上的两个点，且x 1<x 2，则y 1与y 2的大小关系是（ ）A ．y 1>y 2B ．y 1>y 2>0C ．y 1<y 2D ．y 1=y 2 7．（2006年绍兴市）如图，一次函数y=x+5的图象经过点P （a ，b ）和点Q （c ，d ），•则a （c-d ）-b （c-d ）的值为________． 8．（2006年贵阳市）函数y 1=x+1与y 2=ax+b 的图象如图所示，•这两个函数的交点在y 轴上，那么y 1、y 2的值都大于零的x 的取值范围是_______． 9．（2006年重庆市）如图，已知函数y=ax+b 和y=kx 的图象交于点P ， 则根据图象可得，关于y ax b y kx =+⎧⎨=⎩的二元一次方程组的解是________．(第8题) (第9题)10．（2006年安徽省）一次函数的图象过点（-1，0），且函数值随着自变量的增大而减小，写出一个符合这个条件的一次函数的解析式：___________．能力提升11．（2006年宿迁市）经过点（2，0）且与坐标轴围成的三角形面积为2•的直线解析式是_________．12．（2006年德阳市）地表以下岩层的温度t（℃）随着所处的深度h（千米）•的变化而变化．t与h之间在一定范围内近似地成一次函数关系．（1）根据下表，求t（℃）与h（千米）之间的函数关系式；（213．（2006年陕西省）甲、乙两车从A地出发，沿同一条高速公路行驶至距A•地400千米的B地．L1、L2分别表示甲、乙两车行驶路程y（千米）与时间x（时）之间的关系（•如图所示），根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）求L2的函数表达式（不要求写出x的取值范围）；（2）甲、乙两车哪一辆先到达B地？该车比另一辆车早多长时间到达B地？14．（2006年伊春市）某工厂用一种自动控制加工机制作一批工件，该机器运行过程分为加油过程和加工过程；加工过程中，当油箱中油量为10升时，•机器自动停止加工进入加油过程，将油箱加满后继续加工，如此往复．已知机器需运行185分钟才能将这批工件加工完．下图是油箱中油量y（升）与机器运行时间x（分）之间的函数图象．根据图象回答下列问题：（1）求在第一个加工过程中，油箱中油量y（升）与机器运行时间x（分）之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）；（2）机器运行多少分钟时，第一个加工过程停止？（3）加工完这批工件，机器耗油多少升？15．（2006年吉林省）小明受《乌鸦喝水》故事的启发，•利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作：请根据图中给出的信息，解答下列问题：（1）放入一个小球量筒中水面升高_______cm；（2）求放入小球后量筒中水面的高度y（cm）与小球个数x（个）•之间的一次函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）量筒中至少放入几个小球时有水溢出？应用与探究16．（2006年宁波市）宁波市土地利用现状通过国土资源部验收，我市在节约集约用地方面已走在全国前列，1996～2004年，市区建设用地总量从33万亩增加到48万亩，相应的年GDP从295亿元增加到985亿元．宁波市区年GDP为y（亿元）•与建设用地总量x （万亩）之间存在着如图所示的一次函数关系．（1）求y关于x的函数关系式．（2）据调查2005年市区建设用地比2004年增加4万亩，•如果这些土地按以上函数关系式开发使用，那么2005年市区可以新增GDP多少亿元？（3）按以上函数关系式，我市年GDP每增加1亿元，需增建设用地多少万亩？（•精确到0.001万亩）答案:例题经典例1：m=3 例2：（1）一次函数， （2）设y=kx+b ，则由题意，得2216,22819,10k b k k b b =+=⎧⎧⎨⎨=+=-⎩⎩解得 ，∴y=•2x-10，（3）x=26时，y=2×26-10=42．答：应该买42码的鞋． 例3：解：（1）当x ≤40时，设y=kx+b ．根据题意，得20001050300030,1500.k b k k b b =+=⎧⎧⎨⎨=+=⎩⎩解这个方程组,得，∴当x•≤40时，y 与x 之间的关系式是y=50x+1500，∴当x=40时，y=50×40+1500=3500，当x ≥40•时，根据题意得，y=100（x-40）+3500，即y=100x-500． ∴当x ≥40时，y 与x 之间的关系式是y=100x-500． （2）当y ≥4000时，y 与x 之间的关系式是y=100x-500， 解不等式100x-50≥4000，得x ≥45， ∴应从第45天开始进行人工灌溉． 考点精练1．C 2．C 3．D 4．A 5．B 6．A 7．25 8．1<x<2 9．42x y =-⎧⎨=-⎩ 10．答案不唯一．例如：y=-x-1 11．y=x-2或y=-x+212．（1）t 与h 的函数关系式为t=35h+20．（2）当t=1770时，有1770=35h+20，解得：h=50千米．13．解：（1）设L 2的函数表达式是y=k 2x+b ，则2230,419400.4k b k b ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩解之，得k 2=100，b=-75，∴L 2的函数表达式为y=100x-75． （2）乙车先到达B 地，∵300=100x-75，∴x=154． 设L 1的函数表达式是y=k 1x ，∵图象过点（154，300），∴k 1=80．即y=80x ．当y=400时，400=80x ，∴x=5，∴5-194=14（小时）， ∴乙车比甲车早14小时到达B 地．14．解：（1）设所求函数关系式为y=kx+b ，由图象可知过（10，100），（30，80）两点，•得1010013080,110k b k k b b +==-⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩解得:，∴y=-x+110． （2）当y=10时，-x+110=10，x=100，机器运行100分钟时，•第一个加过程停止．（3）第一加工过程停止后再加满油只需9分钟，加工完这批工件，•机器耗油166升．15．解：（1）2，（2）设y=kx+b，把（0，30），（3，36）代入得：30,2, 336.30.b kk b b==⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩解得:，即y=2x+30．（3）•由2x+30>49，得x>9．5，即至少放入10个小球时有水溢出．16．解：（1）设函数关系式为y=kx+b，由题意得33295, 48985.k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得k=46，b=-1223，∴该函数关系式为y=46x-1223．（2）由（1）知2005年的年GDP为46×（48+4）-1223=1169（•亿元）•，• ∵1169-985=184（亿元），∴2005年市区相应可以新增加GDP184亿元．（3）•设连续两个建设用地总量分别为x1万亩和x2万亩，相应年GDP分别为y1亿元和y2亿元，满足y2-y1=1，•则y1=46x1-1223 ③y2=46x2-1223 ④，④-③得y2-y1=46（x2-x1），即46（x2-x1）=1，∴x2-x1=146≈0.022（万亩），即年GDP每增加1亿元，需增加建设用地约0.022万亩．。