八年级数学勾股定理的应用-P

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2024八年级数学下册第十七章勾股定理17.1勾股定理第3课时应用勾股定理解数学问题课件新版新人教版

网格(每个小正方形的边长均为1)画出相应的△ABC，并求
出它的面积；

【解】△ABC如图①，S△ABC＝ .

探索创新：
(3)若△ABC三边的长分别为 a，2 a， a(a＞0)，请利
用图③中的正方形网格(每个小正方形的边长均为a)画出相
应的△ABC，并求出它的面积；
【解】△ABC如图②，可得
∵∠ABC＝120°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝30°， ∵∠AOB＝90°，

∴OB＝ a，

∴OF＝OB＋BF＝，OA＝OC＝ .

∴AC＝CE＝ a.
易得∠PFO＝∠OEM＝90°.
∵点P的坐标为(－2 ，3)，

∴ ＝3，即a＝2.

∴OE＝OC＋CE＝
＝3
（ − ） + 的最小值.
【解】如图，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作
ED⊥BD，使AB＝2，ED＝3，连接AE交BD于点C.则AE的长
即为代数式 + ＋（ − ） + 的最小值.
过点A作AF⊥DE交ED的延长线于点F，得到长方形ABDF，
则AB＝DF＝2，AF＝BD＝12，∴EF＝ED＋DF＝3＋2＝5.
∴AE＝＋＝13，即 +
＋（ − ） + 的最小值为13.
利用勾股定理探求格点三角形面积
11.[新考法构图求面积法]问题背景：
在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为，，
，求这个三角形的面积.
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个
∴∠CAD＝45°＝∠ACD.
∴AD＝CD＝2 cm.

北师大版八年级数学上册《1-3 勾股定理的应用》课堂教学课件PPT初中公开课

NEPQR12北师大版数学八年级上册在同一平面内，两点之间,线段最短从行政楼A 点走到教学楼B 点怎样走最近？教学楼行政楼BA你能说出这样走的理由吗？导入新知素养目标3.培养学生的空间想象力，并增强数学知识的应用意识.2. 运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题.1. 灵活会用勾股定理求解立体图形上两点之间的最短距离问题.以小组为单位,研究蚂蚁在圆柱体的A 点沿侧面爬行到B 点的问题.讨论 1.蚂蚁怎样沿圆柱体侧面从A 点爬行到B 点？2.有最短路径吗？若有，哪条最短？你是怎样找到的？BA我要从A 点沿侧面爬行到B 点，怎么爬呢？大家快帮我想想呀！知识点 1BAdABA'ABBAO想一想蚂蚁走哪一条路线最近？A'蚂蚁A→B的路线若已知圆柱体高为12 cm ，底面周长为18 cm ，则:BArO12侧面展开图1218÷2AB小结：立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线.A'A'AB 2=122+(18÷2)2 所以AB =15.例1 有一个圆柱形油罐，要以A 点环绕油罐建梯子，正好建在A 点的正上方点B 处，问梯子最短需多少米?(已知油罐的底面半径是2m ，高AB 是5m ，π取3）ABABA'B'解：油罐的展开图如图，则AB '为梯子的最短距离. 因为AA '=2×3×2=12, A 'B '=5m ,所以AB '=13m . 即梯子最短需13米.素养考点 1利用勾股定理解决圆柱体的最短路线问题数学思想：立体图形平面图形转化展开如图所示,一个圆柱体高20cm ,底面半径为5cm ,在圆柱体下底面的A 点处有一只蜘蛛,它想吃到上底面与A 点相对的B 点处的一只已被粘住的苍蝇,这只蜘蛛从A 点出发,沿着圆柱体的侧面爬到B 点,最短路程是多少?(π取3)变式训练解:如图所示,将圆柱侧面沿AC 剪开并展平,连接AB ,则AB 的长即为蜘蛛爬行的最短路程.根据题意得AC =20 cm ,BC =12×2×π×5=15(cm ).在△ABC 中,∠ACB =90°,由勾股定理得AB 2=BC 2+AC 2=152+202=252,所以AB =25 cm ,最短路程是25cm .B牛奶盒A例2 学习了最短问题，小明灵机一动，拿出了牛奶盒，把小蚂蚁放在了点A 处，并在点B 处放上了点儿火腿肠粒，你能帮小蚂蚁找到完成任务的最短路程吗？6cm8cm 10cm素养考点 2利用勾股定理解决长方体的最短路线问题长方体爬行路径A BFEH GA BCDE FGH前（后）上（下）A BCDE FGHB CGFE H A BCDE FGH右（左）上（下）前（后）右（左）B CAE F G分析BB 18AB 2610B 3AB 12=102 +（6+8）2=296AB 22= 82 +（10+6）2=320AB 32= 62 +（10+8）2=360因为360＞320＞296所以AB 1 最短.A B点A和点B分别是棱长为10cm的正方体盒子上相对的两点,一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行,所走最短路程的平方是多少？前上A BAB左上AB前右变式训练ABC解:如图所示在Rt△ABC中,利用勾股定理可得，AB2=AC2+BC2=20 2+102=500101010所以AB2=500.李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD 边和BC 边是否分别垂直于底边AB ，但他随身只带了卷尺.（1）你能替他想办法完成任务吗？解:连接对角线AC ，只要分别量出AB 、BC 、AC 的长度即可.AB 2+BC 2=AC 2△ABC 为直角三角形知识点2（2）量得AD长是30cm，AB长是40 cm，BD长是50 cm. AD边垂直于AB边吗？解:AD2+AB2=302+402=502=BD2，得∠DAB=90°，AD边垂直于AB边.（3）若随身只有一个长度为20 cm的刻度尺，能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？解:在AD上取点M,使AM=9,在AB上取点N使AN=12,测量MN是否是15，是，就是垂直；不是，就是不垂直.例如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB =DC =8m ，AD =BC =6m ，AC =9m ，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？解：因为AB =DC =8m ，AD =BC =6m ，所以AB 2+BC 2=82+62=64+36=100. 又因为AC 2=92=81，所以AB 2+BC 2≠AC 2，∠ABC ≠90°，所以该农民挖的不合格．素养考点 1利用勾股定理的逆定理解答测量问题有一个高为1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边壁的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5米，问这根铁棒最长是多少米？解:图形可简化为左下图，设伸入油桶中的长度为 x 米,即AB =x 米，而AC =2米，BC =1.5米，有x 2=1.52+22 ,x =2.5故，最长是2.5+0.5=3(米)答:这根铁棒的最长3米，最短2米.故，最短是1.5+0.5=2(米)当最短时:x =1.5ACB最短是多少米？变式训练巩固练习如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC 水平放置，则刚好与AB 一样长.已知滑梯的高度CE=3m ，CD =1m ，试求滑道AC 的长.故滑道AC 的长度为5m .解：设滑道AC 的长度为x m ，则AB 的长也为x m ，AE 的长度为（x -1）m .在Rt △ACE 中，∠AEC =90°，由勾股定理得AE 2+CE 2=AC 2，即（x -1）2+32=x 2，解得x =5.例知识点 3探究新知甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6km/h 的速度向正东行走，1小时后乙出发，他以5km/h 的速度向正北行走.上午10：00，甲、乙两人相距多远？解:如图:已知A 是甲、乙的出发点，10:00甲到达B 点,乙到达C 点.则:AB =2×6=12(千米),AC =1×5=5(千米).在Rt △ABC 中,所以BC =13(千米)即甲乙两人相距13千米.BC 2=AC 2+AB 2 =52+122=169=132巩固练习解：连接BD .在Rt △ABD 中,由勾股定理得 BD 2=AB 2+AD 2，所以BD =5cm .又因为CD =12cm ，BC =13cm ,所以BC 2=CD 2+BD 2，所以△BDC 是直角三角形.所以S 四边形ABCD =S Rt △BCD -S Rt △ABD =12BD •CD -12AB •AD =12 ×(5×12-3×4)=24 (cm 2)．CBA D 例如图，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，已知AD =3cm ，AB =4cm ，CD =12cm ，BC =13cm ，求四边形ABCD 的面积.素养考点 1利用勾股定理的逆定理解答面积问题探究新知如图，在四边形ABCD 中，AC ⊥DC ，△ADC 的面积为30 cm 2，DC =12 cm ，AB =3cm ，BC =4cm ，求△ABC 的面积.解:因为S △ACD =30 cm 2，DC =12 cm. 所以AC =5 cm.又因为AB 2+BC 2=32+42=52=AC 2,所以△ABC 是直角三角形, ∠B 是直角. 所以D C BA 变式训练S △ACD =12CD •AC =12×12× AC =30（ cm 2 ）S △ABC =12AB •BC =12×3× 4=6（ cm 2 ）巩固练习如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为____cm（杯壁厚度不计）．解析：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离， A′B=A′2+B2=162+122=故答案为20．2020（cm）连接中考基础巩固题1.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他D们摆成两个直角三角形，其中摆放方法正确的是（）A. B.C. D.2.如图是医院、公园和超市的平面示意图，超市在医院的南偏东25°的方向，且到医院的距离为300 m ，公园到医院的距离为400 m ，若公园到超市的距离为500 m ，则公园在医院的 ( )A.北偏东75°的方向上B.北偏东65°的方向上C.北偏东55°的方向上D.无法确定B 基础巩固题3.如图，某探险队的A 组由驻地O 点出发，以12km/h 的速度前进，同时，B 组也由驻地O 出发，以9km/h 的速度向另一个方向前进，2h 后同时停下来，这时A ，B 两组相距30km ．此时，A ，B 两组行进的方向成直角吗？请说明理由.解：因为出发2小时，A 组行了12×2=24(km )， B 组行了9×2=18(km )，又因为A ，B 两组相距30km ，且有242+182=302，所以A ，B 两组行进的方向成直角．基础巩固题AO B4.在城市街路上速度不得超过70千米/时，一辆小汽车某一时刻行驶在路边车速检测仪的北偏东30°距离30米处，过了2秒后行驶了50米，此时小汽车与车速检测仪间的距离为40米. 问：2秒后小汽车在车速检测仪的哪个方向?这辆小汽车超速了吗?车速检测仪小汽车30米30°北60°解：小汽车在车速检测仪的南偏东60°方向或北偏西60°方向.25米/秒=90千米/时>70千米/时所以小汽车超速了.2秒后50米40米基础巩固题如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13,求四边形ABCD的面积.分析：连接AC，把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出AC的长度，再利用勾股定理的逆定理判断△ACD是直角三角形.A DB C341312能力提升题解：连接AC .在Rt △ABC 中，AC =A 2+B 2=32+42=5,在△ACD 中，AC 2+CD 2=52+122=169=AD 2，所以△ACD 是直角三角形，且∠ACD =90°.所以S 四边形ABCD =S Rt △ABC +S Rt △ACD =6+30=36.能力提升题A DBC341312如图，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒2cm的速度移动，点Q从点C沿CB边向点B以每秒1cm的速度移动，如果同时出发，则过3s时，求PQ的长．拓广探索题PC BAQ解：设AB 为3x cm ，BC 为4x cm ，AC 为5x cm ，因为周长为36cm ，即AB +BC +AC =36cm ，所以AB =9cm ，BC =12cm ，AC =15cm.因为AB 2+BC 2=AC 2，所以△ABC 是直角三角形，过3秒时，BP =9-3×2=3(cm )，BQ =12-1×3=9(cm )，在Rt △PBQ 中，由勾股定理得PQ =32+92=310 (cm ).拓广探索题所以3x +4x +5x =36，解得x =3.PC BAQ勾股定理及逆定理的应用应用最短路径问题方法认真审题,画出符合题意的图形,熟练运用勾股定理及其逆定理来解决问题解决不规则图形面积问题测量问题课堂小结作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习课后作业谢谢观看 Thank You。

北师大版初中数学八年级(上)第一章勾股定理1-3勾股定理的应用教学详案

第一章勾股定理3 勾股定理的应用教学目标1.利用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题.2.通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念，在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.3.在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性.教学重难点重点：构建直角三角形，利用勾股定理及其逆定理解决实际问题.难点：从实际问题中合理抽象出数学模型.教学过程导入新课游乐场有一个圆柱形的大型玩具,如图所示,现要从点A开始环绕圆柱侧面修建梯子,正好到达A点的正上方B点,已知圆柱形玩具的底面周长是12米,高AB为5米,那么梯子的长度是多少米?探究新知一、合作探究【探究1】确定立体物体表面上两点之间的最短距离.【例1】如图，有一个圆柱，它的高等于12 cm，底面圆的周长为18 cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？(1)在你自己做的圆柱上，尝试从点A到点B沿圆柱侧面画几条路线，你觉得哪条路线最短？(2)如图，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，点A到点B的最短路线是什么？你画对了吗？(3)蚂蚁从点A出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？∵AB2 = 122+92，∴AB = 15(cm).答：蚂蚁从点A出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是15 cm.变式训练：如图,长方体的底面边长分别为2 cm和4 cm,高为5 cm.如果一根细线从点P开始经过四个侧面绕一圈到达点Q,那么所用细线最短需要_________cm.答案：13【探究2】应用勾股定理解决实际问题【例2】如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE = 3 m，CD = 1 m，试求滑道AC的长.【解】设滑道AC的长度为x m,则AB的长度为x m,AE的长度为（x-1）m.在Rt△ACE中，∠AEC = 90°，由勾股定理得AE2+CE2 = AC2，即(x-1)2+32 = x2，解得x = 5.故滑道AC的长度为5 m.变式训练：在一次消防演习中,消防员架起一架25米长的云梯,如图所示那样斜靠在一面墙上,梯子底端离墙7米.(1)这架云梯的顶端距地面有多高?(2)如果消防员接到命令,要把云梯的顶端下降4米(云梯长度不变),那么云梯的底部在水平方向应滑动多少米?解：(1)由题图可以看出云梯、墙、地面可围成一个直角三角形,即云梯为斜边,云梯底部到墙的线段为一条直角边,云梯顶端到地面的线段为另一条直角边.根据题意252-72 = 242，所以云梯顶端距地面有24米.(2)当云梯顶端下降4米后,云梯顶部到地面的距离为20米.因为252-202 = 152,且15-7 = 8(米)，所以云梯底部应水平滑动8米.课堂练习1.有一个高为1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，则问这根铁棒应有多长？2.如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它爬的最短距离为____.m=0.33m)的正方形.在水池正中央3.有一个水池，水面是一个边长为10尺(1尺=13有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问：这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？4.如图，台风过后，某小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8 m处，已知旗杆原长16 m，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂的吗？参考答案1.解：如图，由题意得当铁棒在B处：AC = 1.5米，BC = 2米.∵AB2 = AC2+CB2 = 2.52，∴AB = 2.5米.∵油桶外的部分是0.5米，∴AD = 2.5+0.5 = 3(米).当铁棒垂直进入，得出油桶中的长度1.5米+桶外的0.5米= 2米.答：这根铁棒的长度范围是2米到3米.2.253.解：设水池的深度为x尺，则芦苇的长度为（x+1）尺.根据题意得x²+5² =（x+1）².解得x =12.x+1=12+1=13（尺）.答：这个水池的深度和这根芦苇的长度各是12尺和13尺.4.解：设旗杆在离底部x米的位置断裂，由题意得x2+82 = (16-x)2,解得x = 6米.答：旗杆在离底部6米的位置断裂.课堂小结确定立体物体表面上两点之间的最短距离的方法：将其转化为平面上两点间的距离，利用两点之间，线段最短来求解.布置作业习题1.4第1，2，3，4题板书设计3 勾股定理的应用1.确定立体物体表面上两点之间的最短距离例1 如图，有一个圆柱，它的高等于12 cm，底面圆的周长为18 cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？2.应用勾股定理解决实际问题例2 如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度CE = 3 m，CD = 1 m，试求滑道AC的长.。

人教版八年级下册 17.2 勾股定理的逆定理课件 (共15张PPT)

知识点一：勾股定理逆定理的实际应用
学以致用
1.我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有
这样一道题目:“问有沙田块，有三斜，其中小斜五里，中斜
十二里，大斜十三里，欲知为田几何?”这道题讲的是:有一
块三角形沙田，三条边长分别为5里、12里13里，问这块沙
田面积有多大?题中的“里”是我国市制长度单位，1里＝
7
• 解:设AD=x,则CD=10-x.
• 在 RtABD 中，
•
DB2 AB2 AD2
在RtCDQ中，
DB2 CQ2 CD2
62 x2 82 (10 x)2
解得: x 3.6
AD长为6.4n mile
8
知识点二：勾股定理逆定理在几何中的应用
3.如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=6，AC=10，
①若∠C- ∠B= ∠A,则△ABC是直角三角形；
②若c2=b2-a2,则△ABC是直角三角形,且∠C=90°；
③若(c+a)(c-a)=b2,则△ABC是直角三角形;
④若∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三
角形.
以上命题中的假命题个数是（ A ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4.已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式 c2 +a2 - b2 + c - a = 0 ，则△ABC的形状是
典例讲评
解:根据题意: PQ=16×1.5=24 PR=12×1.5=18 QR=30
∵242+182=302, 即 PQ2+PR2=QR2 ∴∠QPR=90°
由”远航“号沿东北方向航行可知,∠1=45°.所以∠2=45°,

初中数学北师大八年级上册(2023年修订) 勾股定理勾股定理

1.1探索勾股定理第2课时验证和应用勾股定理学习目标1.学会用几种方法验证勾股定理．2.能够运用勾股定理解决简单问题．学习过程预习：一、勾股定理的验证活动：1、请你利用自己准备的四个全等的直角三角形拼出以斜边为边长的正方形．2、大正方形的面积可以表示为也可以表示为3、结论习得：思想：方法：二、勾股定理的简单应用例1：我方侦查员小王在距离东西向公路400m处侦查，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m,10s后，汽车与他相距500m，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗?变式：1.湖的两端有A、B两点，从与BA方向成直角的BC方向上的点C测得CA=130米,CB=120米,则AB为（)A.50米B.120米C.100米D.130米（例1图）（变式1图）例2：如图，高速公路的同侧有A，B两个村庄，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA1＝2km，BB1＝4km，A1B1＝8km.现要在高速公路上A1、B1之间设一个出口P，使A，B两个村庄到P的距离之和最短，求这个最短距离和．变式：2.如图，在一条公路上有A、B两站相距25km，C、D为两个小镇，已知DA⊥AB,CB ⊥AB, DA=15km,CB= 10km，现在要在公路边上建设一个加油站E，使得它到两镇的距离相等，请问E站应建在距A站多远处?（例2图）（变式2图）习得：1、勾股定理的使用前提：2、求线段长的方法之一：三、小结互助分享1、组内分享你学到了哪些重要的解题思想、解题方法以及注意事项？2、你还需要解决的疑惑找组内成员解决.3、总结本小组在课堂中的表现.四、限时训练：1.如图,太阳能热水器的支架AB长为90 cm,与AB垂直的BC长为120 cm.太阳能真空管AC=______．（1题图）（2题图）（3题图）2.如图,一根旗杆在离地面9 m处折断,旗杆顶部落在离旗杆底部12 m处.旗杆原来的高度为3．如图：知：AM⊥MN，BN⊥MN，垂足分别为M，N，点C是MN上使AC+BC的值最小的点．若AM=3，BN=5，MN=15，则AC+BC=______．4.如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形ABCD），经测量，在四边形ABCD中，AB=3m，BC=4m，AD=13m，⊥B=⊥ACD=90°．小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？5.如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的长.五、作业布置：A层：小青P3—4（11题不做）B层：小青P3—4：1—12题（11题不做）。

人教版八年级数学下册《勾股定理》PPT精品教学课件

13 .由此，可以依照如下方法在
数轴上画出表示 13 的点.
如图,在数轴上找出表示3的点A，则OA=3,过点A作直
线l垂直于OA，在l上取点B，使AB = 2,以原点O为圆心，以
OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示 13 的点.
0
1 2
•
3 4
新知导入
想一想：
2， 3， 5 …的线段(图1).
随堂练习
4.如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB 延长线上，
求证：AD2-AB2=BD·
CD.
A
证明：过A作AE⊥BC于E.
∵AB=AC，∴BE=CE.
在Rt △ADE中，AD2=AE2+DE2.
在Rt △ABE中，AB2=AE2+BE2.
AD2-AB2= DE2- BE2
= (DE+BE)·( DE- BE)
键是仔细观察所给图形，面积与边长、直径有平
方关系，就很容易联想到勾股定理．
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
练一练：
如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，
则b的面积为( D )
A．16
B．12
C．9
D．7
随堂练习
64 cm²
1.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_________.
角形外作三个半圆，则这三个半圆形的面积之间的关系式
S1 S 2 S3
是_______________.(用图中字母表示)
课程讲授
2
勾股定理与图形面积
归纳：与直角三角形三边相连的正方形、半圆及
正多边形、圆都具有相同的结论：两直角边上图
形面积的和等于斜边上图形的面积．本例考查了

人教版八年级下册数学第17章《勾股定理》讲义第6讲勾股定理-逆定理(有答案)

人教版八年级下册数学第17章《勾股定理》讲义第6讲勾股定理－逆定理（有答案）第6讲勾股定理－逆定理第一部分知识梳理知识点一：勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 .①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形知识点二：勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）知识点三：勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整例4、已知:△ABC 的三边分别为m 2－n 2,2mn,m 2+n 2(m,n 为正整数,且m ＞n),判断△ABC 是否为直角三角形.例5、三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状？举一反三：1、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A 、8，15，17B 、4，5，6C 、5，8，10D 、8，39，402、下列各组线段中的三个长度：①9、12、15；②7、24、25；③32、42、52；④3a、4a 、5a （a>0）；⑤m 2-n 2、2mn 、m 2+n 2（m 、n 为正整数，且m>n ）其中可以构成直角三角形的有（）A 、5组B 、4组C 、3组D 、2组3、现有两根木棒的长度分别为40厘米和50厘米，若要钉成一个直角三角形框架，那么所需木棒的长一定为（）A 、30厘米B 、40厘米C 、50厘米D 、以上都不对4、四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积。

八年级数学勾股定理3篇

八年级数学勾股定理3篇《勾股定理》知识点总结1：勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。

(即：a2+b2=c2) 要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：(1)已知直角三角形的两边求第三边(2)已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边(3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：(1)首先确定最大边，不妨设最长边长为：c;(2)验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2=a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形(若c2 a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形;若c2 a2+b2，则△abc为锐角三角形)。

p=3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理;联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

5：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理中考数学|勾股定理知识点规律方法指导1.勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。

2.勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。

3.勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。

北师大版八年级数学上册《勾股定理》课件(共18张PPT)

知识要点
1．勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为 a，b，斜边为c，那么__________ . 2．勾股定理各种表达式：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边也分别为a，b，c，则c=_________， b=_________，a=_________.
知识要点
3．勾股定理的逆定理：在△ABC中，若a、b、c三边满足___________，则△ABC为___________. 4．勾股数：满足________的三个________，称为勾股数. 5．几何体上的最短路程是将立体图形的 ________展开，转化为_________上的路程问题，再利用___________两点之间， ___________,解决最短线路问题.
2．已知△ABC的三边为a，b，c，有下列各
组条件，判定△ABC的形状．
（1）a 4 1 ， b 4 0 ， c 9 （2）a m 2 n 2 ， b m 2 n 2 ， c 2 m （ n m n 0 ）
合作探究
探究四：勾股定理及逆定理的综合应用
B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60o方向以每小时8 n mile的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15 n mile的速度前进，2 h后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34 n mile，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？
第一章勾股定理
回顾与思考
情境引入
勾股定理，我们把它称为世界第一定理．首先，勾股定理是数形结合的最典型的代表；其次，正是由于勾股定理得发现，导致无理数的发现，引发了数学的第一次危机，这一点，我们将在《实数》一章里讲到；第三，勾股定理中的公式是第一个不定方程，有许许多多的数满足这个方程，也是有完整的解答的最早的不定方程，最为著名的就是费马大定理，直到1995年，数学家怀尔斯才将它证明．

北师大版八年级上册数学课件.3.1 勾股定理的应用(共19张PPT)

• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
怎样计算AB的长？
A’ r
O
B
A’
B
h
侧面展开图
A
A
在Rt△AA’B中，利用勾股定理可得，
AA’2 +A’B2 =AB2
其中AA’是圆柱体的高,A’B是底面圆周长的一半(πr)
把空间几何图形转化为平面几何问题的步骤： 1.展开图形 2.找出对应点 3.应用勾股定理
二、利用勾股定理的逆定理判断线段垂直：用刻度尺量出所构造的三角形的三边的长，看是
否满足两边的平方和等于第三边的平方，满足就有直角（即线段垂直）。
当堂训练（10分钟）
1.课本第14页随堂练习1； 2 .课本第14页习题1.4的第1、2、4题。 3.课本第15页问题解决的第5题。
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/52021/9/52021/9/52021/9/59/5/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月5日星期日2021/9/52021/9/52021/9/5 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/52021/9/52021/9/59/5/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/52021/9/5September 5, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/52021/9/52021/9/52021/9/5

2024八年级数学下册第十七章勾股定理17.1勾股定理第2课时应用勾股定理解实际问题课件新版新人教版

【解】(1)如图，过点A作AE⊥CD于点E，
则∠AEC＝∠AED＝90°.
∵∠ACD＝60°，∴∠CAE＝90°－60°＝30°.

∴CE＝ AC＝

DE＝

km.∴AE＝

km，
km.
∴AE＝DE.∴△ADE是等腰直角三角形.∴AD＝
＋＝＝ AE＝ ×
度为x尺，则可列方程为( D )
A.x2－3＝(10－x)2
B.x2－32＝(10－x)2
C.x2＋3＝(10－x)2
D.x2＋32＝(10－x)2
【点拨】
如图，已知折断处离地面的高度为x尺，即AC＝x尺，
则AB＝(10－x)尺，BC＝3尺.在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝
AB2，即x2＋32＝(10－x)2.故选D.
2.[2023·岳阳新考向·传承数学文化]我国古代数学名著《九章
算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸，欲为
方版，令厚七寸，问广几何？”结合如图，其大意是：今
有圆形材质，直径BD为25寸，要做成方形板材，使其厚
度CD达到7寸，则BC的长是( C )
A. 寸
B.25寸
C.24寸
D.7寸
选B.
4.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙
时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7 m，顶端距离地面2.4
m.如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶
端距离地面2 m，那么小巷的宽度为( C )
A.0.7 m
B.1.5 m
C.2.2 m
D.2.4 m
【点拨】
如图，BC＝2.4 m，AC＝0.7 m，DE＝

第十七章-人教版勾股定理教案

第十七章勾股定理（一）教材所处的地位1、教材分析：本章是人教版《数学》八年级下册第17章，本章的主要内容是勾股定理及勾股定理的应用，教材从实践探索入手，给学生创设学习情境，接着研究直角三角形的勾股定理，介绍勾股定理的逆定理（直角三角形的判定方法），最后介绍勾股定理及勾股定理逆定理的广泛应用。

勾股定理是直角三角形的一个很重要的性质，反映了直角三角形三边之间的数量关系。

在理论和实践上都有广泛的应用。

勾股定理逆定理是判定一个三角形是不是直角三角形的一种古老而实用的方法。

在“四边形”和“解直角三角形”相关章节中，勾股定理知识将得到更重要的应用。

2、教材特点：①在呈现方式上，突出实践性与研究性。

（对勾股定理是通过问题引出加以探索认识的。

②突出学数学、用数学的意识与过程，勾股定理的应用尽量和实际问题联系起来。

③对实际问题的选取，注意联系学生的实际生活。

④注意扩大学生的知识面。

（本章安排了两个阅读材料和一个课题学习）⑤注意训练系统的科学性，减少操作性习题，增加探索性问题的比重。

（二)单元教学目标（包括情感目标）知识与技能目标：1、经历由情境引出问题，探索掌握有关数学知识，再运用于实践的过程，培养学数学、用数学的意识与能力。

2、体验勾股定理的探索过程，掌握勾股定理，会运用勾股定理解决相关问题。

3、掌握勾股定理的逆定理（直角三角形的判定方法），会运用勾股定理逆定理解决相关问题。

4、运用勾股定理及其逆宣解决简单的实际问题。

情感与态度目标：5、感受数学文化的价值和中国传统数学的成就，激发学生热爱祖国与热爱祖国悠久文化的思想感情。

（三）单元教学重难点教学重点：1、探索勾股定理并掌握勾股定理；2、直角三角形的判定方法（勾股定理的逆定理）；3、勾股定理及其逆定理的应用；教学难点：1、从多个角度（代数、几何）探究勾股定理；2、勾股定理逆定理的应用；3、在勾股定理的应用过程中构造适用勾股定理的几何模型。

（四）单元教学策略1、教学步骤：①整个章节的教学可分四步：探索结论——验证结论——初步应用结论——应用结论解决实际问题。

初中数学重点梳理：勾股定理与应用

勾股定理与应用知识定位三解形是平面几何中最重要的图形，它的有关知识是今后我们学习四边形、多边形乃至立体几何的重要基础，而其中的勾股定理在初中竞赛三角形中占据非常大的地位。

必须熟练掌握勾股定理及逆定理的应用、勾股数的推算公式和判定直角三角形。

本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中勾股定理中相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。

知识梳理1、勾股定理及逆定理：△ABC 中 ∠C ＝Rt ∠⇔a 2＋b 2=c 22、勾股定理及逆定理的应用① 作已知线段a 的2，3， 5……倍② 计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何题③ 证明线段的平方关系等。

3、勾股数的定义：如果三个正整数a,b,c 满足等式a 2＋b 2=c 2，那么这三个正整数a,b,c 叫做一组勾股数.4、勾股数的推算公式④ 罗士琳法则任取两个正整数m 和n(m>n),那么m 2-n 2，2mn, m 2+n 2是一组勾股数。

⑤ 如果k 是大于1的奇数，那么k, 212-k ,212+k 是一组勾股数。

⑥ 如果k 是大于2的偶数，那么k, 122-⎪⎭⎫ ⎝⎛K ,122+⎪⎭⎫ ⎝⎛K 是一组勾股数。

⑦ 如果a,b,c 是勾股数，那么na, nb, nc (n 是正整数)也是勾股数。

5、熟悉勾股数可提高计算速度，顺利地判定直角三角形简单的勾股数有：3，4，5； 5，12，13； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41。

常见勾股数3，4，5 ：勾三股四弦五5，12，13 ： 5·12记一生6，8，10：连续的偶数7，24，25 ：企鹅是二百五8，15，17 ：八月十五在一起特殊勾股数连续的勾股数只有3，4，5连续的偶数勾股数只有6，8，102.100以内的勾股数开头数字为20以内3 4 5；5 12 13； 6 8 10；7 24 25；8 15 17；9 12 15；9 40 41；10 24 26；11 60 61；12 16 20；12 35 37；13 84 85；14 48 50；15 20 25；15 36 39；16 30 34；16 63 65；18 24 30；18 80 82例题精讲【试题来源】【题目】△ABC 周长是24，M 是AB 的中点MC=MA=5，则△ABC 的面积是多少【答案】24【解析】解：∵MA=MB=MC=5，∴∠ACB=90°知周长是24，则AC+BC=14，AC 2+BC 2=102，∴2AC ·BC=(AC+BC)2-(AC 2+BC 2)= 142-102=4×24∴2421=⋅=∆BC AC S ABC 【知识点】勾股定理与应用【适用场合】当堂例题【难度系数】2【试题来源】【题目】如图1，在正方形ABCD 中，N 是CD 的中点，M 是AD 上异于D 的点，且∠NMB=∠MBC ，则AM ：AB=（）A ．31;B ．33;C ．21;D ．63【答案】A【解析】解: 如图，延长MN 交BC 的延长线于T ，设MB 的中点为O ，连TO ，则△BAM ∽△TOB∴AM ：MB=OB ：BT∴MB 2=2AM ·BT （1）令DN=1，CT=MD=k ，则AM=2 – k所以BM=222)2(4k AM AB -+=+BT= 2 + k 代入（1），得4 + (2 – k )2= 2 (2 – k ) (2 + k )所以 k =34 所以AM ：AB=32：2 = 31 【知识点】勾股定理与应用【适用场合】当堂练习【难度系数】4【试题来源】【题目】如图，P 为正方形ABCD 内一点，PA=PB=10，并且P 点到CD 边的距离也等于10，那么，正方形ABCD 的面积是（）【答案】256【解析】解：如图，过P 作EF ⊥AB 于E ，交CD 于F ，则PF ⊥CD所以PF=PA=PB=10，E 为AB 中点设PE = x ，则AB=AD=10 + x所以AE=21AB=21(10 + x) 在Rt △PAE 中，PA 2=PE 2+AE 2所以102= x 2+ [21(10 + x )]2 所以x = 6所以正方形ABCD 面积=AB 2=(10 + 6)2 = 256【知识点】勾股定理与应用【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】如图，矩形ABCD 中，AB=20，BC=10，若在AB 、AC 上各取一点N 、M ，使得BM+MN 的值最小，这个最小值为（）A ．12;B ．102;C ．16;D ．20【答案】C【解析】解：如图，作B 关于AC 的对称点B '，连A B '，则N 点关于AC 的对称点N '在A B '上，这时，B 到M 到N 的最小值等于B →M →N '的最小值，等于B 到A B '的距离BH '，连B 与A B '和DC 的交点P ，则ABP S ∆=21×20×10=100，由对称知识，∠PAC=∠BAC=∠PCA所以PA=PC ，令PA=x ，则PC=x ，PD=20 – x ，在Rt △ADP 中，PA 2=PD 2+AD 2所以 x 2 = (20 – x )2 + 102所以 x = 12.5因为ABP S ∆=21PA ·BH ' 所以BH '=165.1221002=⨯=∆PA S ABP【知识点】勾股定理与应用【适用场合】当堂练习题【难度系数】5【试题来源】【题目】如图，△ABC 中，AB=AC=2，BC 边上有10个不同的点1021,,P P P ，记C P B P AP M i i i i ⋅+=2（i = 1，2，……，10），那么1021M M M +++ =_________。

八年级数学上册1《勾股定理的应用》课件 2022年北师大版八上数学PPT+

9．一个木工师傅测量了一个等腰三角形木板的腰、底边和高的长，
但他把这三个数据与其他的数据弄混了，请你帮助他找出来为( C )
A．13，12，12
B．12，12，8
C．13，10，12
D．5，8，4
10．如图，王大伯家屋后有一块长12 m，宽8 m的矩形空地，他在以
长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴A处的一棵树上，
思路探究:除了截短法和延长法外,在等腰三角形中,我们通常作底边的中线或高或顶角平分线,以便使用等腰三角形的性质(三线合一).
第一章三角形的证明复习
回顾思考1
“原名〞知多少
公理:公认的真命题称为公理(axiom). 证明:除了公理外,其它真命题的正确性都通过推理的方法证实.
推理的过程称为证明. 定理:经过证明的真命题称为定理(theorem). 推论:由一个公理或定理直接推出的定理,叫做这个公理或定理的推论(corollary).推论可以当作定理使用.
第8题图
第9题图
15．(8分)在一棵树的10 m高处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树 20 m的池塘，而另一只爬向树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？解：如图，点B为树顶，D处有两只猴子，那么AD＝10 m，C为池塘，那么AC＝20 m．设BD的长为x m，那么树的高度为(10＋x) m．因为 AC＋AD＝BD＋BC，所以BC＝20＋10－x＝(30－x)m.在△ACB中， ∠A＝90°，所以AC2＋AB2＝BC2.即202＋(10＋x)2＝(30－x)2，解得 x＝5，所以x＋10＝5＋10＝15，即这棵树高为15 m
结论4: 等腰三角形腰上的高线与底边的夹角等于顶角的一半.
结论5:等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.

初二-第06讲-勾股定理的应用-教案

第06讲勾股定理的应用温故知新一、上节课重点回顾1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

如果用,a b 和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么有222a b c += 。

2、勾股定理逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。

最长边所对的角为直角。

3、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

课堂导入一、问题导入知识要点一勾股定理的应用1、勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，利用勾股定理可以解决直角三角形的边长问题。

（1）已知直角三角形的两边求第三边；（2）已知三角形的一边及另外两边的关系求未知边。

2、勾股定理的逆定理：在一个三角形中，若有两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形。

勾股定理逆定理是直角三角形的判定定理，是用三角形的三边关系说明三角形为直角三角形，通过数量关系来研究图形中的位置关系。

3、建立勾股定理及逆定理的模型解决实际问题：用勾股定理及其逆定理解决实际问题的关键是建立直角三角形号的模型，即将实际问题转化为数学问题，这里特别要注意弄清楚实际语言与数学语言间的关系。

典例分析例1、如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前的高度是（）A．5m B．12mC．13m D．18m【解析】 D．例2、如图，池塘边有两点A、B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得CB=60m，AC=20m，则A，B两点间的距离是（）A．200m B．20mC．40m D．50m【解析】 C．例3、如图所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，则梯子顶端A下落了0.5米．【解析】在直角△ABC中，已知AB=2.5米，BC=1.5米，∴AC==2米，在直角△CDE中，已知CD=CB+BD=2米，DE=AB=2.5米，∴CE==1.5米，∴AE=2米﹣1.5米=0.5米．答案为：0.5．例4、一个零件的形状如图所示，已知AC⊥AB，BC⊥BD，AC=3cm，AB=4cm，BD=12cm，求CD的长．【解析】在Rt△ABC中，BC2=AB2+AC2=42+32=25，在Rt△BCD中，CD2=BC2+BD2=25+122=169，∴CD=13（cm）．答：CD的长为13cm举一反三1、将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度hcm，则h的取值范围是（）A．h≤17cm B．h≥8cm C．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm【解析】D．2、放学以后，小明和小华从学校分开，分别向北和东走回家，若小明和小华行走的速度都是50米/分，小明用10分到家，小华用24分到家，小明和小华家的距离为（）A．600米B．800米C．1000米D．1300米【解析】D．3、有两棵树，一棵高5米，另一棵高2米，两树相距5米，一只小鸟从一棵树的树梢的顶端飞到另一棵树的树梢的顶端，至少飞了米（用含根号的式子表示）．4、如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要612元钱．5、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由A驶向B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC=300km，BC=400km，又AB=500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．（1）海港C受台风影响吗？为什么？（2）若台风的速度为20千米/小时，台风影响该海港持续的时间有多长？【解析】（1）海港C受台风影响，理由：过点C作CD⊥AB，∵AC=300km，BC=400km，AB=500km，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，∴AC×BC=CD×AB，∴300×400=500×CD，∴CD=240（km），∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，∴海港C受台风影响；学霸说规律方法指导1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。

《勾股定理》精品课件

进阶习题
进阶习题1
已知直角三角形的两边长度，求其面积。
进阶习题2
已知直角三角形的面积，求其斜边的长度。
进阶习题3
已知直角三角形的两边长度，求其第三边的长度。
高阶习题及解答
高阶习题1
已知直角三角形的一条直角边和斜边的长度，求另一条直角边的长度。
高阶习题解答1
根据勾股定理，可求得另一条直角边的长度。
04
勾股定理的应用
在几何学中的应用
勾股定理是几何学中的重要定理，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系。通过应用勾股定理，可以解决各种与直角三角形有关的几何问题。
VS
例如，利用勾股定理可以推导出直角三角形的面积公式，也可以用来证明一些与三角形内角和、线段相等有关的定理。
在物理学中的应用
课程大纲
第一部分：勾股定理的证明
通过拼图游戏等方式，引导学生猜想勾股定理的证明方法。
介绍勾股定理的历史背景和猜想。
课程大纲
介绍勾股定理的多种证明方法，如欧几里得证明法、毕达哥拉斯证明法等。第二部分：勾股定理的应用
介绍勾股定理在日常生活中的应用，如测量、建筑等。
课程大纲
通过例题讲解，展示勾股定理在实际问题中的应用。引导学生自己尝试解决一些实际问题，培养应用能力。
分享使用勾股定理解决日常生活中的有趣实例。
感谢您的观看
THANKS
直角三角形中，斜边和一条直角边的长度可以确定一个矩形。
三角形面积的计算方法
三角形面积公式：面积 = (底 × 高) / 2
对于直角三角形，可以将其视为一个矩形的一半，因此其面积也可以用矩形面积公式计算：面积 = 底 × 高
三角形的稳定性

八年级数学勾股定理的逆定理课件-应用

人教版
第2课时勾股定理的逆定理(二) —— 应用
(2)在图2中，画一个三边长分别为3，2， 13的三角形，一共可以画 16 个这样的三角形. 解析:如图2,一共可以画16个这样的三角形.
图2
数学
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第2课时勾股定理的逆定理(二) —— 应用
10.在某小区在社区工作人员及社区居民的共同努力之下，
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第2课时勾股定理的逆定理(二) —— 应用
8.如图，明明在距离水面高度为5 m的岸边C处，用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13 m.若明明收绳6 m后，船到达D处，则船向岸边A处移动了多少米?
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第2课时勾股定理的逆定理(二) —— 应用
解:∵开始时绳子BC的长为13 m,明明收绳6 m后,船到达D处,
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第2课时勾股定理的逆定理(二) —— 应用
知识点勾股定理逆定理的应用【例题】如图，甲船以5海里/时的速度离开港口O沿南偏东 30°方向航行，乙船同时同地沿某方向以12海里/时的速度航行.已知它们离开港口2小时后分别到达B，A两点，且AB ＝26海里.你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?
数学人教版八年级下册
目录
CONTENTS
数学
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第2课时勾股定理的逆定理(二) —— 应用
第十七章勾股定理
17.2 勾股定理的逆定理第2课时勾股定理的逆定理(二) —— 应用
01 课标要求
02 基础梳理
03 典例探究
04 课时训练
数学
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八上第一章勾股定理

⼋上第⼀章勾股定理第⼀章勾股定理教学⽬标：1、掌握直⾓三⾓形三边之间的数量关系，学会⽤符号表⽰。

在经历⽤数格⼦与割补等办法探索勾股定理的过程中，体会数形结合的思想，体验从特殊到⼀般的逻辑推理过程。

2、通过分层训练，使学⽣学会熟练运⽤勾股定理进⾏简单的计算，在解决实际问题中掌握勾股定理的应⽤技能。

教学重点：探索、理解并掌握勾股定理。

教学难点：勾股定理的相关计算以及应⽤；割补思想和数形结合思想的理解和运⽤。

知识要点⼀：勾股定理定理1 在直⾓三⾓形中，斜边⼤于直⾓边。

证明：利⽤垂线段最短的原理，即知BC AB AC AB >>,定理2 直⾓三⾓形两直⾓边的平⽅等于斜边的平⽅。

如果⽤c b a 、、分别表⽰直⾓三⾓形的两直⾓边和斜边，那么222c b a =+。

适⽤范围：直⾓三⾓形勾股定理的变形：222222,,b a c a c b b c a +=-=-=应⽤：(1) 已知直⾓三⾓形的任意两边长，求第三边长；(2) 知道直⾓三⾓形⼀边，可得另外两边之间的数量关系；(3) 解决⼀些实际问题题型⼀：直接考查勾股定理（1）在ABC R ?t 中，15,17==AC AB ,求BC 的长。

（2）如图，△ABC 中，AB=15，BC=14，AC=13，则BC 边上的⾼AD 为（）．（3）（3）△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB 于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（）题型⼆：应⽤勾股定理建⽴⽅程（1）直⾓三⾓形两直⾓边之⽐是3:4，斜边长为15，则这个三⾓形的⾯积是。

,求AC的长。

（2）如图三⾓形ABC中，5.2∠∠BDCDC，，=2,5.1190=∠==（3）如图，在边长为12的正⽅形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE 对折⾄△AFE，延长EF交BC于点G．则BG的长为（）题型三:实际问题中的勾股定理（1）⼀个圆柱，h=12厘⽶，底⾯圆的周长=18厘⽶，在圆柱下底⾯的A点有⼀只蚂蚁，它想从A爬到点B，蚂蚁沿着圆柱侧⾯爬⾏的最短路程是多少？（2）如图，已知圆柱的底⾯直径BC=6π6π，⾼AB=3，⼩⾍在圆柱表⾯爬⾏，从C点爬到A点，然后再沿另⼀⾯爬回C点，则⼩⾍爬⾏的最短路程为（）（3）如图，有⼀圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m 的正三⾓形ABC ，粮堆母线AC 的中点P 处有⼀⽼⿏正在偷吃粮⾷，此时，⼩猫正在B 处，它要沿圆锥侧⾯到达P 处捕捉⽼⿏，则⼩猫所经过的最短路程是（）m ．知识要点⼆：勾股定理的证明勾股定理的证明⽅法⼗分丰富，达数百种，常见为：割补拼接、⾯积相同法。