北师大版高考数学一轮复习课件《函数的周期性》

合集下载

高考数学(一轮复习)最基础考点：函数的周期性

专题6 函数的周期性函数的周期性★★★○○○○1．周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．周期函数y＝f(x)满足：(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a；(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a；(3)若f(x＋a)＝－1f x，则函数的周期为2a；(4)若f(x＋a)＝1f x，则函数的周期为2a；(5)若函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，那么函数f(x)的周期为2|b－a|；(6)若函数f(x)关于点(a,0)对称，又关于点(b, 0)对称，则函数f(x)的周期是2|b－a|；(7)若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是4|b－a|；(8)若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为2a；(9)若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为4a.函数周期性的判定与应用(1)判定：判断函数的周期性只需证明f(x ＋T)＝f(x)(T≠0)即可．(2)应用：根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT(k ∈Z 且k≠0)也是函数的周期．[典例] (1)(·郑州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧21－x ，0≤x ≤1，x －1，1<x ≤2，如果对任意的n ∈N *，定义f n (x )＝，那么f 2 016(2)的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)设定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 018)＝________.[解析] (1)∵f 1(2)＝f (2)＝1，f 2(2)＝f (1)＝0，f 3(2)＝f (0)＝2， ∴f n (2)的值具有周期性，且周期为3， ∴f 2 016(2)＝f 3×672(2)＝f 3(2)＝2，故选C.1．已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为________．解析：∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数，∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，∴2a －3a ＋1＜1，即a －4a ＋1＜0，解得－1＜a ＜4.答案：(－1,4)2．奇函数f (x )的周期为4，且x ∈[0,2]，f (x )＝2x －x 2，则f (2 018)＋f (2 019)＋f (2 020)的值为________．3．设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x ≤1时，f (x )＝2x －1.则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝________.解析：依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f (0)＝212－1＋21－1＋20－1＝ 2.答案：21．设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2,1)时，f (x )＝⎩⎨⎧4x 2－2，－2≤x ≤0，x ，0＜x ＜1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝( )A ．0B ．1 C.12D ．－1解析：选D 因为f (x )是周期为3的周期函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－2＝－1，故选D.2．(·沈阳模拟)函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52的值为( )A.12B.14 C ．－14D ．－12解析：选A ∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，即函数f (x )的周期为2.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝12. 3．(·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x ＜0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x ＜1，其中a ∈R.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是________．4．若对任意x ∈R ，函数f (x )满足f (x ＋2 017)＝－f (x ＋2 018)，且f (2 018)＝－2 017，则f (－1)＝________.解析：由f (x ＋2 017)＝－f (x ＋2 018)，得f (x ＋2 017)＝－f (x ＋2 017＋1)，令x ＋2 017＝t ，即f (t ＋1)＝－f (t )，所以f (t ＋2)＝f (t )，即函数f (x )的周期是2.令x ＝0，得f (2 017)＝－f (2 018)＝2 017，即f (2 017)＝2 017，又f (2 017)＝f (1)＝f (－1)，所以f (－1)＝2 017. 答案：2 0175．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)的值．解：∵f (x ＋6)＝f (x )，∴T ＝6. ∵当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x ，∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1，f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1，f (6)＝f (0)＝0， ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝f (7)＋f (8)＋…＋f (12)＝…＝f (2 005)＋f (2 006)＋…＋f (2 010)＝f (2 011)＋f (2 012)＋…＋f (2 016)＝1， ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝1×2 0166＝336.而f (2 017)＋f (2 018)＝f (1)＋f (2)＝1＋2＝3.∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)＝336＋3＝339.____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________。

高考数学学业水平测试一轮复习专题二函数的概念与基本初等函数Ⅰ第4讲函数的奇偶性与周期性课件

B．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数
C．f(x)与g(x)均为奇函数 D．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数解析：(1)A、C选项中的函数不是奇函数，D选项中的函数在定义域内不是增函数． (2)因为函数f(x)与g(x)的定义域均为R， f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，所以为偶函数， g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)，所以为奇函数．答案：(1)B (2)D
则f(－2)＝( )
A．－10
B．10
C．－12
D．12
解析：依题意有f(2)＝22 017a＋bsin 2－1＝10，
所以22 017a＋bsin 2＝11.
所以f(－2)＝(－2)2 017a＋bsin(－2)－1
＝－(22 017a＋bsin 2)－1
＝－11－1
＝－12.
答案：C
3．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－
f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋
f(2 019)＝( )
A．2019
B．0
C．1
D．－1
解析：由f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)得，f(x)的周期为4.
又f(x)为奇函数，
则f(1)＝1，f(2)＝－f(0)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝
么函数f(x)是奇函数
关于______ 对称
答案：f(－x)＝f(x) y轴 f(－x)＝－f(x) 原点
2.周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有_____，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中 ________________的正数，那么这个最小正数就叫做f(x) 的最小正周期．答案：(1)f(x＋T)＝f(x) (2)存在一个最小

第一轮复习06----函数的奇偶性与周期性

3
cos x (3) f x 2 ; x 1
函数奇偶性的非定理性结论
（ 1）f x 为奇函数，则保留奇次方； f x ax bx cx dx e
4 3 2
（2）f x 为偶函数，则保留偶次方；
奇奇奇；偶偶偶；奇奇偶；奇偶奇；偶奇奇；偶偶偶；
(1)试判断函数y f x 的奇偶性；的个数，并证明你的结论。
(2)试求方程f x 0在闭区间- 2015 ,2015上的根
面积； (3)写出- ，内函数f x 的单调区间。
函数性质的综合应用
设函数f x 在- ，上满足f 2 x f 2 x ,
0,7上只有f 1 f 7 x f 7 x , 且在闭区间
f 3 0.
2，f x a f x a 4，f x a f a x
减消x为周期性；加消 x为对称性；
函数周期性的应用
1，已知函数f x 在R上是奇函数，且满足f x 4 f x , 当x 0,2
2
时，f x 2 x , 求f 2015.
第一轮复习-函数的奇偶性与周期性
上饶中学数学组俞振
函数的奇偶性和周期性
1，奇函数、偶函数的概念 2，判断函数奇偶性的方法：定义法、运算法 3，周期性 4，常用周期函数：三角函数
常用抽象函数非定理性结论 1，f x a f x a
3，f x a f a x
函数周期性的应用
2，定义在R上的函数f x 满足 f x 6 f x , 当 3 x 1

高考数学(文通用)一轮复习课件：第二章第4讲函数的奇偶性及周期性

第二章基本初等函数、导数及其应用函数的奇偶性及周期性教材回顾▼夯实基础课本温故追根求源和课梳理1.函数的奇偶性2. 周期性(1)周期函数：对于函数j=/(x),如果存在一个非零常数T,那么就称函数y=/a )为周期函数，称F 为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数/(兀)的所有周期中存在一个正周期.要点整會尸1. 辨明三个易误点（1）应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内.使得当兀取定义域内的任何值时，都有 f(x+T)=f(x)的正数，那么这个最小正数就叫做沧)的最小（2）判断函数的奇偶性，易忽视函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件. （3）判断函数/（兀）是奇函数，必须对定义域内的每一个x,均有/（一兀）=一/（兀），而不能说存在丸使/（一兀0）=—/（兀0），对于偶函数的判断以此类推.2.活用周期性三个常用结论对/(*)定义域内任一自变量的值(1)®f(x+a)= —f(x)9则T=2a；i⑵若Z(x+a)=y (乂),则T=2a； (1)(3)若f(x-\-a)=—屮(比)“,则T= 2a.3.奇、偶函数的三个性质(1)在奇、偶函数的定义中，f(-x)=-f(x)^ 定义域上的恒等式.(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立.利用这一性质可简化一些函数图象的画法.(3)设心)，g(x)的定义域分别是Di，6,那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇＞＜奇=偶，偶+偶=偶，偶X偶 =偶,奇乂偶=奇.（2015•高考福建卷）下列函数为奇函数的是（D B. y=e D. j=e x -e"x 双基自测 C ・ j=cosx1.2.已知/(x)=«x 2+Z»x 是定义在［«-1,加］上的偶函数，那么"+方的值是(B )解析：因为f(x)=ax 2-\-bx 是定义在［«-1,加］上的偶函数, 所以a~l+2a=0,所以 a =-. 3X/(—x)=/(x),所以方=0,所以a+b=£ 3 A.D. 3 23.（2016•河北省五校联盟质量监测）设/（兀）是定义在R上的周期为3的函数，当xe[ - 2, 1)时，f(x)=4x2— 2, — 2WxW 0,X, 0<x<l,B. 1A. 0D. -1解析:因为心）是周期为3的周期函数，所以龙）=/（一扌+3）4.(必修1 P39习题1.3B组T3改编)若/(x)是偶函数且在(0,+ 8)上为增函数，则函数心)在(一8, °)上捋函数5.(必修1 P39习题X3A组T6改编)已知函数/(x)是定义在R 上的奇函数，当xMO时，gx) = x(1+x),则xVO时，/(x) = x(l—x)解析：当xVO时，则一x>0,所以/(—x) = (—x)(1—x)・又/(X)为奇函数，所以/(-x) = -/(x) = (-x)(1-x),所以/(X)=x(1—X)・國例1 (2014-高考安徽卷)若函ft/(x)(xe R)是周期为4的典例剖析护考点突破」考点一函数的周期性名师导悟以例说法奇函数，且在［0 , 2］上的解析式为/(x)=\x (1—x) , OWxWl, 、sin Ji x, 1<X W2, 5/?)+眉)=—^因为当 1 <xW2 时，/(x)=sin Tix,所以 XS =sinZ r =_2-所以 3因为当 OWxWl 时，/(x)=x(l-x), 所以简兮X 。

高考一轮复习函数的奇偶性与周期性课件

常见周期函数的举例
正弦函数和余弦函数是常见的周期函数。例如，y=sin(x)的最小正周期为 2π，y=cos(x)的最小正周期为2π。
函数y=sin(ax)和y=cos(ax)的周期为 2π/a，其中a是常数。
函数y=tan(x)也是周期函数，它的最小正周期为π。
函数y=tan(ax)的周期为π/a，其中a 是常数。
举一反三
通过练习多种形式的题目，提高对奇偶性和周期性问题的应变能力。
反思提高
反思自己在解题过程中的不足，针对性地加强薄弱环节的训练。
THANKS.
02
与性
周期函数的定义
周期函数的定义
如果存在一个非零常数T，对于函数f(x)的定义域内的任意x，都有f(x+T)=f(x)，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期。
周期函数的定义还可以表述为
如果存在一个非零常数T，对于函数f(x)的定义域内的任意x，当x增加T时，函数值重复出现，即f(x+T)=f(x)，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期。
高考一复函数的奇偶性与周期性件
• 函数奇偶性的定义与性质 • 函数周期性的定义与性质 • 奇偶性与周期性的应用 • 高考真题解析 • 复习建议与策略
函数奇偶性的定
01
与性
奇函数与偶函数的定义
奇函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$，都有$f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。
偶函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$，都有$f(-x)=f(x)$，则称$f(x)$为偶函数。
奇偶函数的性质
01
奇函数在原点有定义，即$f(0)=0$。

高考数学一轮复习-2-3函数的奇偶性与周期性课件-理

•由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)． •∵f(x)在区间[0,2]上是增函数，
•f(x)在R上是奇函数， •∴f(x)在区间[－2,2]上是增函数， •∴f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．
基础诊断
考点突破
课堂总结
考点二函数周期性的应用【例 2】(1)(2014·安徽卷)若函数 f(x)(x∈R)是周期为 4 的奇函
数，且在[0,2]上的解析式为 f(x)＝xsin1－πxx，，1＜0≤x≤x≤2，1，则 f 249＋f 461＝________. (2)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x＋2)＝－f(x)，当 2≤x≤3 时，f(x)＝x，则 f(105.5)＝________.
• 第3讲函数的奇偶性与周期性
基础诊断
考点突破
课堂总结
• 考试要求 1.函数奇偶性的含义及判断，B级要求；2.运用函数的图象理解、研究函数的奇偶性，A级要求；3.函数的周期性、最小正周期的含义，周期性的判断及应用，B级要求．
基础诊断
考点突破
课堂总结
• 知识梳理 • 1．函数的奇偶性
奇偶性
基础诊断
考点突破
课堂总结
【训练 2】 (2014·南通模拟)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且是以 2 为周期的周期函数．若当 x∈[0,1)时，f(x)＝2x－1，则
f(log16)的值为________．
2
解析 ∵f(x)是周期为 2 的奇函数．
∴f(log16)＝f
2
log1
2
法二易知 f(x)的定义域为 R. ∵f(－x)＋f(x)＝log2[－x＋－x2＋1]＋ log2(x＋ x2＋1)＝log21＝0，即 f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数．对于 g(x)，由|x－2|＞0，得 x≠2. ∴g(x)的定义域为{x|x≠2}． ∵g(x)的定义域关于原点不对称， ∴g(x)为非奇非偶函数．答案 (1)① (2)奇非奇非偶

高考数第一轮复习函数的奇偶性与周期性

1.已知函数y=f(x)是奇函数，则函数y=f(x+1)的图象的对称中心是( ) (A)(1,0) (B)(-1,0) (C)(0,1) (D)(0,-1) 【解析】选B.函数y=f(x)的图象关于点(0,0)对称，函数 y=f(x+1)的图象可由y=f(x)的图象向左平移1个单位得到，故函数y=f(x+1)的图象的对称中心为(-1，0).
周期性求f(1)+f(2)+…+f(2 012).
(2)利用周期性可知f(-1)=f(1),
列方程
组求解.
【规范解答】(1)选B.∵f(x+6)=f(x),∴T=6. ∵当-3≤x＜-1时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x＜3时，f(x)=x, ∴f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4)=f(-2)=0, f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0,∴f(1)+f(2)+…+f(6)=1, ∴f(1)+f(2)+…+f(6)=f(7)+f(8)+…+f(12) =…=f(2 005)+f(2 006)+…+f(2 010)=1, ∴f(1)+f(2)+…+f(2 010)=1× =335. 而f(2 011)+f(2 012)=f(1)+f(2)=3, ∴f(1)+f(2)+…+f(2 012)=335+3=338.
(2)因为f(x)的周期为2,所以
即
又因为
所以
∴3a+2b=-2
①,
又因为f(-1)=f(1),所以
即b=-2a ②,

函数的奇偶性、周期性与对称性课件--2023届高三数学一轮复习

命题点3 利用奇偶性求函数值和最值
例4 （1）已知函数f(x)＝ax3＋bx5＋2.若f(x)在区间[－t，t]上的
最大值为M，最小值为m，则M＋m＝____4____.
(2)已知函数f(x)＝asin x＋btan x＋1，若f(a)＝－2，则f(－a)＝
____4____.
(3)(2022·哈尔滨模拟)函数f(x)＝x(ex＋e－x)＋1在区间[－2,2]上的
则y＝f(x)的图象关于直线x＝ a＋b 轴对称. (3)若函数f(x)满足f(a＋x)＝－f(2a－x)，
则y＝f(x)的图象关于点（a，0）中心对称.
(4)若函数f(x)满足f(a＋x)＝－f(b－x)，
则(5)y若＝函f(x数)的f(x图)满象足关f于(a＋点x)＋a＋f2(bb－，0x)＝中c心，对称. 则函数f(x)的图象关于点 a＋2 b，2c 中心对称.
(2)(多选)关于函数f(x)＝sin
x＋
1 sin
x
有如下四个命题，其中
正确的是
A.f(x)的图象关于y轴对称
√B.f(x)的图象关于原点对称 √C.f(x)的图象关于直线x＝π 对称 √D.f(x)的图象关于点(π，0)2对称
本节结束
谢谢
1－x 跟踪训练1 (1)(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝ 1＋x ，则下列函数
中为奇函数的是
A.f(x－1)－1
√B.f(x－1)＋1
C.f(x＋1)－1
D.f(x＋1)＋1
2.函数的周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数 T ，使得对每一个 x∈D 都有 x ＋ T∈D ，且 __f_(x_＋__T__)＝__f_(_x，) 那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最__小__的正数，那么这个_最__小__正__数__就叫做f(x)的最小正周期.

第2章第5节函数的周期性课件-2022届高考数学一轮复习

(3)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和直线x＝b对称，则函数f(x)必为周期函数，4|a－b|是它的一个周期．
讲
课
人
：
邢
启强
Hale Waihona Puke 41. 若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数,且满足 f(1)＝1,f(2)＝2,则 f(3)－f(4)等于( A )
A．－1
B．1
C．－2
D．2
2.设 f(x)是周期为 2 的奇函数，当 0≤x≤1 时，f(x)＝2x(1－x)，则 f －52等于( A )
第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ
§2.3 函数的周期性
考纲要求
考纲研读
1.函数周期性的判断、利用周期函数图象特点解了解函数周期性、最小正决相关问题、利用函数周期性求函数值及求参周期的含义，会判断、应数值等问题是重点，也是难点．用简单函数的周期性． 2.题型以选择题和填空题为主，还可与函数单调
可以先确定函数的周期性，求f(π)；然后根据函数图象的对称性、周期性画出函数图象，求图形面积、写单调区间．
解:(1)由 f(x＋2)＝－f(x)得，f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数，
∴f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
4.若f(x＋a)＋f(x)＝c，则T＝2a(a>0，c为常数).
对称性与周期的关系：
(1)若函数f(x)的图象关于直线x＝a和直线x＝b对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期．
(2)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期．

高中数学一轮复习之函数的周期性

第8节函数的周期性【基础知识】1．周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． 2．最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．3．关于函数周期性常用的结论(1)若满足()()f x a f x ＋＝－，则()(2)[()]()f x a f x a a f x a f x ＋＝＋＋＝－＋＝，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)；(2)若满足1()()f x a f x ＋＝，则(2)[()]f x a f x a a ＋＝＋＋＝ 1()f x a +＝()f x ，所以2a 是函数的一个周期(0a ≠)；(3)若函数满足1()()f x a f x +＝-，同理可得2a 是函数的一个周期(0a ≠). （4）如果)(x f y =是R 上的周期函数，且一个周期为T ，那么))(()(Z n x f nT x f ∈=±．（5）函数图像关于b x a x ==,轴对称)(2b a T -=⇒．（6）函数图像关于()()0,,0,b a 中心对称)(2b a T -=⇒．（7）函数图像关于a x =轴对称，关于()0,b 中心对称)(4b a T -=⇒．【规律技巧】1．求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y ＝Asin(ωx ＋φ)，用公式T ＝2π|ω|计算．递推法：若f(x ＋a)＝－f(x)，则f(x ＋2a)＝f[(x ＋a)＋a]＝－f(x ＋a)＝f(x)，所以周期T ＝2a.换元法：若f(x ＋a)＝f(x －a)，令x －a ＝t ，x ＝t ＋a ，则f(t)＝f(t ＋2a)，所以周期T ＝2a ．2．判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．3．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．4.关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，体现了转化思想．【典例讲解】例1、设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式；(3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 013)．(3)解 ∵f (0)＝0，f (2)＝0，f (1)＝1，f (3)＝－1.又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2 008)＋f (2 009)＋f (2 010)＋f (2 011)＝0.∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 013)＝f (0)＋f (1)＝1.【拓展提高】判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x ) (T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题．【变式探究】已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－1f x ，当2≤x ≤3时， f (x )＝x ，则f (105.5)＝________.【答案】2.5【针对训练】1、设定义在R 上的函数()f x 满足()()22012f x f x ⋅+=，若()12f =，则()99________f =．【答案】10062、已知()f x 是R 上的奇函数，对x R ∈都有(4)()(2)f x f x f +=+成立，若(1)2f -=-，则(2013)f 等于（）A ．2B ．﹣2C ．﹣1D ．2013【答案】A3、已知周期函数()f x 的定义域为R ，周期为2，且当11x -≤≤时，2()1f x x =-.若直线y x a =-+与曲线()y f x =恰有2个交点，则实数a 的所有可能取值构成的集合为( )A ．3{|24a a k =+或52,}4k k Z +∈ B ．1{|24a a k =-或32,}4k k Z +∈ C ．{|21a a k =+或52,}4k k Z +∈ D ．{|21a a k =+,}k Z ∈【答案】C【综合点评】函数周期性的应用主要有两个方面，其一是求函数值，理论依据是周期性的定义，通过加减周期的整数倍，使得自变量变到适合已知解析式的范围内，进而求值；其二是利用周期函数图象重复出现的特征，先画出一个周期内的函数图象，然后依次向左向右平移周期的整数倍即得整个定义域内的函数图象．【练习巩固】1、已知定义在R 上的函数()f x 满足条件；①对任意的x R ∈，都有()()4f x f x +=；②对任意的[]()()121212,0,2x x x x x f x ∈<<且，都有f ；③函数()2f x +的图象关于y 轴对称.则下列结论正确的是( )A.()()()7 6.5 4.5f f f <<B.()()()7 4.5 6.5f f f <<C.()()()4.5 6.57f f f <<D.()()()4.57 6.5f f f <<【答案】D2、设()g x 是定义在R 上,以1为周期的函数,若函数()()f x x g x =+在区间[0,1]上的值域为[-2,5],则()f x 在区间[0,3]上的值域为 .【答案】()[]2,7f x ∈-【综合点评】充分利用周期函数的定义将所求函数值的问题转化为已知区间的求值问题是解题关键．3.定义在R 上的函数()f x 满足)()6(x f x f =+．当)1,3[--∈x 时，2)2()(+-=x x f ,当)3,1[-∈x 时，x x f =)(，则(1)(2)(3)(2015)f f f f ++++=（）（A ）336 （B ）355 （C ）1676 （D ）2015【答案】A4.已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为( )A ．(－1,4)B ．(－2,0)C ．(－1,0)D ．(－1,2) 【答案】A5.设()f x 是定义在R 上的函数，且满足1(1)()f x f x +=-．当[1,1)x ∈-时，242,10,(),01,x x f x x x ⎧-+-≤<=⎨≤<⎩，则3()2f = . 【答案】16、已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则 ( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)【答案】D7．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)等于 ( )A ．－2B ．2C ．－98D ．98【答案】A8．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2 013)＋f (2 015)的值为( ) A ．－1B ．1C ．0D ．无法计算【答案】C 9．设奇函数f (x )的定义域为R ，最小正周期T ＝3，若f (1)≥1，f (2)＝2a －3a ＋1，则a 的取值范围是 ( )A ．a <－1或a ≥23B ．a <－1C ．－1<a ≤23D ．a ≤23 【答案】C【解析】函数f (x )为奇函数，则f (1)＝－f (－1)．由f (1)＝－f (－1)≥1，得f (－1)≤－1；函数的最小正周期T ＝3，则f (－1)＝f (2)，由2a －3a ＋1≤－1，解得－1<a ≤23.。

高考数学一轮总复习教学课件第二章函数第3节函数的奇偶性、周期性与对称性

5.已知定义在R上的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=x2+x-1,则函数

f(x)的解析式为
+ -, > 0,
f(x)= , = ,
- + + , < 0
.
解析:设x<0,则-x>0,由题意可知f(-x)=(-x)2-x-1=x2-x-1,
因为f(x)是R上的奇函数,
√
D.1
)
-

f(-x).若 f(- )= ,则 f( )等于(

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

A.

B.

C.

√

D.

)
解析:因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数,所以 f(-x)=-f(x).
又 f(1+x)=f(-x),
所以 f(2+x)=f[1+(1+x)]=f[-(1+x)]=-f(1+x)=-f(-x)=f(x),
所以f(x)=-f(-x)=-x2+x+1,且f(0)=0.
+ -, > 0,
综上所述,f(x)= , = ,
- + + , < 0.
提升·关键能力
类分考点,落实四翼
考点一
函数奇偶性的判断
[例1] (多选题)(2024·山东临沂统考一模)已知f(x)=x3g(x)为
==-f(x),

-
所以函数 f(x)为奇函数.
③显然函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
因为当x<0时,-x>0,

新高考2023版高考数学一轮总复习第2章第3讲函数的奇偶性与周期性课件

f(x)是偶函数_y_轴___对称
关于__原__点___对称
知识点二函数的周期性 1．周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有____f(_x_＋__T_)＝___f(_x_) __，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． 2．最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个__最__小__的__正__数___，那么这个__最__小__正__数___就叫做f(x)的最小正周期．
〔变式训练1〕 (1)(角度1)将例2中“函数f(x)在R上为奇函数”改为“函数f(x)为偶函数且定义域为{x∈R|x≠0}”，则f(x)的解析式为_f_(x_)_＝____x－_＋_x_1＋_x_1>_0_x<_，_0_. (2)(角度2)(2019·北京，13，5分)设函数f(x)＝ex＋ae－x(a为常数)．若 f(x)为奇函数，则a＝__－__1__.
题组一走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．
(× )
(2)若函数f(x)是奇函数，则必有f(0)＝0.
(× )
(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对
称．
(√ )
(4)若函数 y＝f(x＋b)是奇函数，则函数 y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心
判断函数的奇偶性的方法 (1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的区间，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的区间，再判断f(－x)是否等于f(x)或－f(x)，据此得出结论． (2)图象法：奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(或y轴)对称．

高考数学一轮复习函数的奇偶性对称性与周期性课件

(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.
()
(3)若T是函数的一个周期,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数的周期.
()
(4)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)关于直线x=a对称. ( )
(5)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.( )
和f(-1),所得出结果一定不可能的是
()
A.4和6 B.3和1
C.2和4
D.1和2
【解析】选D.因为f(x)=asin x+bx+c,所以f(1)+f(-1)=2c,又因为c∈Z,所以
f(1)与f(-1)之和应为偶数.
A.f(x)=x-1
B.f(x)=x2+x
C.f(x)=2x-2-x
D.f(x)=2x+2-x
【解析】选D.D中,f(-x)=2-x+2x=f(x),所以f(x)为偶函数.其余A、B、C选项均不
满足f(-x)=f(x).
2.(必修1P49练习AT1改编)下列函数中为偶函数的是
()
A.y=x2sin x
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a(a>0).
(2)若f(x+a)=
f
1
x
，则T=2a(a>0).
(3)若f(x+a)=
f
1
x
，则T=2a(a>0).
【知识点辨析】
(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点. ( )
图象特点关于_y_轴__对称

第02讲函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值(十六大题型)2025年高考数学一轮复习

知识梳理·基础回归
解题方法总结
5、对称性技巧
（1）若函数 = ()关于直线 = 对称，则( + ) = ( − )．
（2）若函数 = ()关于点( ， )对称，则( + ) + ( − ) = 2．
（3）函数 = ( + )与 = ( − )关于轴对称，函数 = ( + )与
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】因为函数在 0, +∞ 上单调递增，且 > 0, > 0，
由增函数的定义可知，当 > 时，有 > ，
充分性成立；当 > 时，若 = ，由函数定义可知矛盾，
若 < ，由函数单调性的定义可知矛盾，则 > ，必要性成立．
−
2
)
+
知识梳理·基础回归
解题方法总结
3、周期性技巧
函数式满足关系（x R）
f ( x T ) f ( x)
f ( x T ) f ( x)
1
1
f (x T )
; f (x T )
f ( x)
f ( x)
f (x T ) f (x T )
f (a x) f (a x)

f ( x)为奇函数
f (a x ) f (a x )

f (b x) f (b x)
f (a x ) f (a x )

f ( x)为奇函数
f (a x) f (a x )
对于选项D，由复合函数单调性“同增异减”知，() = log 2 (2) + 1在(0, +∞)上单调

函数的奇偶性、周期性与对称性+课件-2025届高三数学一轮复习

常用结论
函数周期性的常用结论
设函数 y ＝ f ( x )， x ∈R， a ＞0， a ≠ b .
(1)若 f ( x ＋ a )＝－ f ( x )，则2 a 是函数 f ( x )的周期；
1
(2)若 f ( x ＋ a )＝±
，则2 a 是函数 f ( x )的周期；
()
(3)若 f ( x ＋ a )＝ f ( x ＋ b )，则｜ a － b ｜是函数 f ( x )的周期.
于直线 x ＝ a 对称.
(2)若函数 y ＝ f ( x ＋ b )是奇函数，则 f ( x ＋ b )＋ f (－ x ＋ b )＝0，函数 y ＝ f ( x )的图
象关于点( b ，0)中心对称.
2. 函数的周期性
(1)周期函数
一般地，设函数 f ( x )的定义域为 D ，如果存在一个非零常数 T ，使得对每一个 x ∈
∈[4，6)时， f ( x )＝ x 2－12 x ＋32.

， )
2
2
＋
2
对称.
对称.
(1)奇、偶函数的图象平移之后对应的函数不一定有奇偶性，但其图象一定有
对称性.(2)注意区分抽象函数的周期性与对称性的表示，周期性的表示中，括号内 x
的符号相同，对称性的表示中，括号内 x 的符号相反.
常用结论
函数 f ( x )图象的对称性与周期的关系
(1)若函数 f ( x )的图象关于直线 x ＝ a 与直线 x ＝ b 对称，则函数 f ( x )的周期为2｜ b －
0 .
⁠
(2)若函数在关于原点对
称的区间上单
称的区间上有最值，则
调性⑤ 相同 .
⁠