2018年秋高中数学 第二章 数列 2.2 等差数列 第1课时 等差数列的概念及简单的表示学案 新人教A版必修5

第1课时 等差数列的概念及简单的表示学习目标：1.理解等差数列的概念(难点).2.掌握等差数列的通项公式及应用(重点、难点).3.掌握等差数列的判定方法(重点)．[自 主 预 习·探 新 知]1．等差数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．(2)符号语言：a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N *)． 2．等差中项(1)条件：如果a ，A ，b 成等差数列．(2)结论：那么A 叫做a 与b 的等差中项．(3)满足的关系式是a ＋b ＝2A .思考：观察所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列： (1)2,4；(2)－1,5；(3)a ，b ；(4)0,0. [提示] 插入的数分别为3,2，a ＋b2，0.3．等差数列的通项公式以a 1为首项，d 为公差的等差数列{a n }的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d .思考：教材上推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法，还有其它方法吗？如何操作？ [提示] 还可以用累加法，过程如下： ∵a 2－a 1＝d ，a 3－a 2＝d ， a 4－a 3＝d ，……a n －a n －1＝d (n ≥2)，将上述(n －1)个式子相加得a n －a 1＝(n －1)d (n ≥2)，∴a n ＝a 1＋(n －1)d (n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝a 1＋(1－1)d ，符合上式， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d (n ∈N *)． 4．从函数角度认识等差数列{a n }若数列{a n }是等差数列，首项为a 1，公差为d ，则a n ＝f (n )＝a 1＋(n －1)d ＝nd ＋(a 1－d )． (1)点(n ，a n )落在直线y ＝dx ＋(a 1－d )上； (2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d .思考：由等差数列的通项公式可以看出，要求a n ，需要哪几个条件？[提示] 只要求出等差数列的首项a 1和公差d ，代入公式a n ＝a 1＋(n －1)d 即可．[基础自测]1．思考辨析(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( ) (2)等差数列{a n }的单调性与公差d 有关．( )(3)若三个数a ，b ，c 满足2b ＝a ＋c ，则a ，b ，c 一定是等差数列．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√提示：(1)错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．(2)正确．当d >0时为递增数列；d ＝0时为常数列；d <0时为递减数列．(3)正确．若a ，b ，c 满足2b ＝a ＋c ，即b －a ＝c －b ，故a ，b ，c 为等差数列．2．等差数列－6，－3,0,3，…的公差d ＝________. 3 [(－3)－(－6)＝3，故d ＝3.] 3．下列数列： ①0,0,0,0； ②0,1,2,3,4； ③1,3,5,7,9； ④0,1,2,3，….其中一定是等差数列的有________个．3 [①②③是等差数列，④只能说明前4项成等差数列．] 4．在△ABC 中，三内角A 、B 、C 成等差数列，则B 等于________.【导学号：91432137】60° [因为三内角A 、B 、C 成等差数列， 所以2B ＝A ＋C ，又因为A ＋B ＋C ＝180°， 所以3B ＝180°，所以B ＝60°.][合 作 探 究·攻 重 难]等差中项在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c 使这五个数成等差数列，求此数列.【导学号：91432138】[解] ∵－1，a ，b ，c,7成等差数列， ∴b 是－1与7的等差中项， ∴b ＝－1＋72＝3.又a 是－1与3的等差中项， ∴a ＝－1＋32＝1.又c 是3与7的等差中项， ∴c ＝3＋72＝5.∴该数列为－1,1,3,5,7.或c ，可用来解决等差数列的判定n ＋1＝a 2n ∈N*1．若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5，求m 和n 的等差中项．[解] 由m 和2n 的等差中项为4，得m ＋2n ＝8.又由2m 和n 的等差中项为5，得2m ＋n ＝10.两式相加，得m ＋n ＝6.所以m 和n 的等差中项为m ＋n2＝3.等差数列的通项公式及其应用(1)在等差数列{a n }中，已知a 4＝7，a 10＝25，求通项公式a n ； (2)已知数列{a n }为等差数列，a 3＝54，a 7＝－74，求a 15的值.【导学号：91432139】思路探究：设出基本量a 1，d ，利用方程组的思想求解，当然也可以利用等差数列的一般形式a n ＝a m ＋(n －m )d 求解．[解] (1)∵a 4＝7，a 10＝25，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝7，a 1＋9d ＝25，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝3，∴a n ＝－2＋(n －1)×3＝3n －5， ∴通项公式a n ＝3n －5(n ∈N *)．(2)法一：(方程组法)由⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝54，a 7＝－74，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝54，a 1＋6d ＝－74，解得a 1＝114，d ＝－34，∴a 15＝a 1＋(15－1)d ＝114＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－314.法二：(利用a m ＝a n ＋(m －n )d 求解)由a 7＝a 3＋(7－3)d ， 即－74＝54＋4d ，解得d ＝－34，∴a 15＝a 3＋(15－3)d ＝54＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－314.m －d ＝n －d ＝．若已知等差数列中的任意两项跟踪训练]2．(1)求等差数列8,5,2，…的第20项；(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？ [解] (1)由a 1＝8，d ＝5－8＝－3，n ＝20， 得a 20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49. (2)由a 1＝－5，d ＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为 a n ＝－5＋(n －1)×(－4)＝－4n －1. 由题意，令－401＝－4n －1，得n ＝100， 即－401是这个数列的第100项．等差数列的判定与证明[探究问题]1．在数列{a n }中，若a n －a n －1＝d (常数)(n ≥2且n ∈N *)，则{a n }是等差数列吗？为什么？ 提示：由等差数列的定义可知满足a n －a n －1＝d (常数)(n ≥2)是等差数列．2．在数列{a n }中，若有2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)成立，则{a n }是等差数列吗？为什么？ 提示：是，由等差中项的定义可知．3．若{a n }是公差为d 的等差数列，那么{a n ＋a n ＋2}是等差数列吗？若是，公差是多少？ 提示：∵(a n ＋1＋a n ＋3)－(a n ＋a n ＋2)＝(a n ＋1－a n )＋(a n ＋3－a n ＋2)＝d ＋d ＝2d . ∴{a n ＋a n ＋2}是公差为2d 的等差数列．已知数列{a n }，满足a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2. (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是否为等差数列？说明理由；(2)求a n .【导学号：91432140】思路探究：①要判断数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是否为等差数列，是否要先求1a n ＋1－1a n的表达式？②能否求出数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的通项公式？[解] (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，理由如下：∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋2，∴1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n，∴1a n ＋1－1a n ＝12， 即⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝12，公差为d ＝12的等差数列．(2)由上述可知1a n ＝1a 1＋(n －1)d ＝n 2，∴a n ＝2n.母题探究：1.(变条件，变结论)将例题中的条件“a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋2”换为“a 1＝4，a n ＝4－4a n －1(n >1)，记b n ＝1a n －2”．(1)试证明数列{b n }为等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式． [解] (1)证明：b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－2－1a n －2＝1⎝⎛⎭⎪⎫4－4a n －2－1a n －2＝a n a n －－1a n －2＝a n －2a n －＝12. 又b 1＝1a 1－2＝12， ∴数列{b n }是首项为12，公差为12的等差数列．(2)由(1)知b n ＝12＋(n －1)×12＝12n .∵b n ＝1a n －2， ∴a n ＝1b n ＋2＝2n＋2.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n＋2.2．(变条件)将例题中的条件“a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋2”换为“a 1＝1，a 2＝2,2a n ＋1＝2a n ＋3(n ≥2，n ∈N *)”试判断数列{a n }是否是等差数列．[解] 当n ≥2时，由2a n ＋1＝2a n ＋3，得a n ＋1－a n ＝32，但a 2－a 1＝1≠32，故数列{a n }不是等差数列．(1)定义法：常数n ∈*⇔(2)等差中项法：＝a n ＋a ＋2n ∈*⇔{()通项公式法：＋ba ，b 是常数，n *⇔{为等差数列差数列，则必须用定义法或等差中项法.标·固1．已知等差数列{1－3n }，则公差d 等于( )A ．1B ．3C ．－3D ．nC [∵a n ＝1－3n ，∴a 1＝－2，a 2＝－5，∴d ＝a 2－a 1＝－3.]2．下列命题：①数列6,4,2,0是公差为2的等差数列；②数列a ，a －1，a －2，a －3是公差为－1的等差数列；③等差数列的通项公式一定能写成a n ＝kn ＋b 的形式(k ，b 为常数)；④数列{2n ＋1}是等差数列．其中正确命题的序号是( )【导学号：91432141】A ．①②B ．①③C ．②③④D ．③④C [②③④正确，①中公差为－2.]3．在等差数列{a n }中，若a 1＝84，a 2＝80，则使a n ≥0，且a n ＋1<0的n 为( ) A ．21 B ．22 C ．23D ．24B [公差d ＝a 2－a 1＝－4，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝84＋(n －1)(－4)＝88－4n ，令⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1<0，即⎩⎪⎨⎪⎧88－4n≥0，88－n ＋⇒21<n ≤22.又∵n ∈N *，∴n ＝22.]4．已知a ＝13＋2，b ＝13－2，则a ，b 的等差中项为______．3 [a ＋b2＝13＋2＋13－22＝3－2＋3＋22＝ 3.]5．已知数列{a n }，a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋2(n ≥3)，判断数列{a n }是否为等差数列？说明理由.【导学号：91432142】[解] 因为a n ＝a n －1＋2(n ≥3)， 所以a n －a n －1＝2(常数)．又n ≥3，所以从第3项起，每一项减去前一项的差都等于同一个常数2， 而a 2－a 1＝0≠a 3－a 2， 所以数列{a n }不是等差数列．。