数 学[八上007]
初二数学上册第八章知识教案：数据的代表-精选教学文档
初二数学上册第八章知识教案：数据的代表第八章数据的代表总课时：4课时备课时间：第十五周上课时间：第十六周第4课时：8、3利用计算器求平均数教学目标：知识与技能：根据给定信息，会利用计算器求一组数据的平均数，并会进行数据的收集、加工与整理。
过程与方法：初步经历数据的收集、加工与整理的过程，发展学生初步的统计意识和数据处理能力。
情感态度与价值观：通过使用计算器求平均数的探索活动，培养学生的探索精神和创新意识;通过相互间合作交流，让所有学生都有所获，共同发展。
教学重点：用计算器求平均数教学难点：按键顺序教学准备：同种规格的计算器教学过程第一环节：情境引入 (5分钟，学生遇到困难，亟待解决) 内容：展示引例：2019年第一季度我国各地区农村家庭平均每人现金收入情况表：(单位：元)北京 1692.2 上海 3075.6 天津 1254.5 河北 584.4山西 420.5 内蒙古 596.2 辽宁 875.4 吉林 705.5黑龙江 746.8 江苏 1354.2 浙江 1891.1 安徽 520.6福建 972.2 江西 575.1 山东 831.9 河南 426.3湖北 582.2 湖南 685.7 广东 1065.5 广西 554.6海南 699.3 重庆 523.2 四川 538.4 贵州 316.4云南 411.6 西藏 254.4 陕西 441.0 甘肃 328.4青海 337.8 宁夏 458.1 新疆请计算这组数据的平均数，在计算过程中，你体会到什么困难吗?显然，当一组数据比较大且比较多时，用笔计算平均数较麻烦，因此，需要一个帮手—计算器，这节课就来学习用计算器求平均数。
第二环节：活动探究(15分钟，小组合作交流)内容：学生分组(拿同类型计算器的同学分在一起)活动探究，看哪个小组做得好：(1)估计一下自己课桌的宽度，并将各组员的估计结果统计出来(精确0.1厘米) 。
(2)用计算器求出估计结果的平均值，你是怎么做的?与同伴交流。
2021年八年级数学上册 第八章 数据的代表教案 北师大版
2019-2020年八年级数学上册第八章数据的代表教案北师大版§8.1.1 平均数(一)知识与技能目标：1.掌握算术平均数，加权平均数的概念.2.会求一组数据的算术平均数和加权平均数.过程与方法目标：1.初步经历数据的收集与处理的过程，发展学生初步的统计意识和数据处理能力.2.根据有关平均数的问题的解决，培养学生的判断能力.情感态度与价值观目标：1.通过小组合作的活动，培养学生的合作意识和能力.2.通过解决身边的实际问题，让学生初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用.教学重点1.掌握算术平均数、加权平均数的概念.2.会求一组数据的算术平均数和加权平均数.教学难点理解加权平均数的概念，会求一组数据的加权平均数.教学方法启发引导法.教具准备投影片三张：第一张：补充练习(记作§8.1.1 A)；第二张：补充练习(记作§8.1.1 B)；第三张：补充练习(记作§8.1.1 C).教学过程Ⅰ.创设问题情境，导入新课［师］在信息技术不断发展的社会里，人们面临着更多的机会和选择，常常需要对大量纷繁复杂的信息作出恰当的选择与判断，而随着计算机等技术的飞速发展，数据日益成为重要的信息.为了更好地适应社会，人们不仅要收集数据，还要对收集到的数据进行加工处理，进而作出评判.比如我们在每次考试结束后要进行横向对比，看本班级在年级中的所排名次如何，自己在本班中排名第几，这就需要知道各科分数这些数据，并要对数据进行处理之后才能得出结论，本节课我们一起来进行有关问题的学习.Ⅱ.讲授新课1.算术平均数的定义［师］打篮球是大家喜欢的一种运动项目，尤其是男生同学们更是倍爱有加，请问同学们影响比赛成绩的因素有哪些呢？［生］有心理因素，有大伙儿的配合程度，有技术成份，还有身高和年龄等因素.［师］对.如何衡量两个球队队员的身高呢？怎样理解“甲队队员的身高比乙队更高”？［生］衡量两个球队队员的身高，就是分别求两个球队队员的平均身高，然后再作比较，甲队队员的身高比乙队更高是指甲队队员的平均身高要比乙队队员的平均身高高.［师］要比较两个球队队员的身高，需要收集哪些数据呢？［生］需要求出每队各个队员的身高.［师］下面我们根据大家刚才讨论的结果，亲自去实践一下.上面两支篮球队中，哪支球队队员的身材更为高大？哪支球队的队员更为年轻？你是怎样判断的？与同伴交流.［生］八一双鹿队队员的平均身高为1.99米，平均年龄为25.3岁；上海东方大鲨鱼队队员的平均身高为1.98米，平均年龄为23.3岁.所以这两支篮球队中，八一双鹿队队员的身材更为高大，上海东方大鲨鱼队队员更为年轻.我们是通过求他们身高和年龄的平均数，然后作比较得出的.［师］大家是怎样求出平均数的？［生］把一个队中的所有队员的身高求和，再除以人数就是本队队员的平均身高.求平均年龄类似.［师］这种求平均数的方法我们并不陌生，在处理日常生活中的事情时，我们经常用到它，这种平均数叫算术平均数.算术平均数的定义一般地，对于n个数x1,x2,…,x n，我们把 (x1+x2+…x n)叫做这n个数的算术平均数(mean)，简称平均数，记为，读作“x拔”.2.想一想［师］除了上面求平均数的方法之外，小明经过认真的观察，对上海东他是这样计算的平均年龄=(16×1+18×2+21×4+23×1+24×3+26×1+29×2+34×1)÷(1+2+4+1+3+1+2+1)≈23.3(岁)你能说说小明这样做的道理吗？请大家互相讨论后回答.［生］小明的做法还是根据求算术平均数的公式进行计算的，即求出本队队员的年龄之和，再除以人数，就是平均年龄，只是他在求相同年龄的和时用简便运算法，而不是用加法，如2个18，可以用18+18，又可用18×2，且18×2比18+18计算简便，所以说小明的做法只是求算术平均数的一种简便算法.［师］很好，确实如此，我们应该向小明同学学习，学习他敏锐的观察力，敢于创新的精神.3.例题讲解［例1］某广告公司欲招聘广告策划人员一名，对A、B、C三名候选人进行了三项素质测试，他们的各项测试成绩如下表所示：测试项目测试成绩A B C创新72 85 67综合知识50 74 70语言88 45 67(2)根据实际需要，公司将创新、综合知识和语言三项测试得分按4∶3∶1的比例确定各人的测试成绩，此时谁将被录用？［师］请大家讨论后解答.［生］解：(1)A的平均成绩为(72+50+88)=70(分)B的平均成绩为(85+74+45)=68(分)C的平均成绩为(67+70+67)=68(分)因此候选人A将被录用.(2)根据题意，3 人的测试成绩如下：A的测试成绩为65.75(分)B的测试成绩为=75.875(分)C的测试成绩为=68.125(分)因此候选人B将被录用.4.议一议［师］(1)(2)的结果不一样说明了什么？请大家互相交流.［生］因为在(1)中没有指出创新、综合知识、语言三项所占的比份，是把它们平等对待的，在(2)中就规定了这三项分别占的比份是4、3、1，所以(1)(2)的结果就不一样.这说明所占比份的不同对平均数有影响.［师］很好.由于每一项的重要性不同，所以所占的比份不同，计算出的平均数就不同.可见重要性的差异对结果(平均数)的影响是很大的.加权平均数的概念在实际问题中，一组数据的各个数据的“重要程度”未必相同.因而，在计算这组数据的平均数时，往往给每个数据一个“权”.如例1中4、3、1分别是创新、综合知识、语言三项测试成绩的权(weight)，而称为A的三项测试成绩的加权平均数.由此可见，由于工作不同，对各方面的要求就不同，哪一方面比较重要，权就比较大.Ⅲ.课堂练习(一)随堂练习(二)补充练习［生］解：18年间平均每年留学美国的人数为13.5÷18=0.75(万).［生］解：平均成绩为：(100×7+99×5+98×6+95×4+88×5+85×5+80×8+79×2+78×4+65×2+50×2)÷(7+5+6+4+5+5+8+2+4+2+2)=87.36(分)解：∵x1、x2、x3的平均数是.∴= (x1+x2+x3)∴3x1+5,3x2+5,3x3+5的平均数是：［(3x1+5)+(3x2+5)+(3x3+5)］=［3(x1+x2+x3)+15］=(x1+x2+x3)+5=3+5.Ⅳ.课时小结本节课所学内容有：算术平均数、加权平均数的概念及计算.Ⅴ.课后作业习题8.1.1.解：400只灯泡的平均寿命为：(550×21+650×79+750×108+850×92+950×76+1050×24)÷400=798.75(时).2.解：平均分为(81.5×50+83.4×45)÷95=82.4(分) Ⅵ.活动与探究某班进行个人投篮比赛，受了污损的下表记录了在规定时间内投进n 个球的人数分布情况：同时，已知进球3个或3个以上的人平均每人投进3.5个球；进球4个或4个以下的人平均投进2.5个球.问投进3个球和4个球的各有多少人？解：设投进3个球的有x 个人，投进4个球的有y 个人. 根据题意，得⎩⎨⎧+++=++⨯+⨯+⨯++=⨯++)721(5.243722110)2(5.32543xy y x y x y x 整理，得 解得答：投进3个球的有9个人，投进4个球的有3个人. 板书设计§8.1.2 平均数(二)知识与技能目标：1.会求加权平均数，并体会权的差异对结果的影响.2.理解算术平均数和加权平均数的联系和区别，并能利用它们解决一些现实问题.过程与方法目标：1.通过利用平均数解决实际问题，发展学生的数学应用能力.2.通过探索算术平均数和加权平均数的联系和区别，发展学生的求同和求异思维.情感态度与价值观目标：通过解决实际问题，体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心.教学重点1.会求加权平均数，并体会权的差异对结果的影响，认识到权的重要性.2.探索算术平均数和加权平均数的联系和区别.教学难点探索算术平均数和加权平均数的联系和区别.教学方法探讨式教学.教具准备投影片三张：第一张：补充练习(记作§8.1.2 A)；第二张：补充练习(记作§8.1.2 B)；第三张：补充练习(记作§8.1.2 C).教学过程Ⅰ.创设问题情境，导入新课在上节课我们学习了什么叫算术平均数和加权平均数，以及如何求一组数据的算术平均数和加权平均数.本节课我们继续研究生活中的加权平均数，以及算术平均数和加权平均数的联系与区别.Ⅱ.讲授新课1.例题讲解某学校对各个班级的教室卫生情况的考查包括以下几项：黑板、门窗、桌椅、地面.一天，三个班级的各项卫生成绩分别如下：(1)小明将黑板、门窗、桌椅、地面这四项得分依次按15%，10%，35%，40%的比例计算各班的卫生成绩，那么哪个班的成绩最高？(2)你认为上述四项中，哪一项更为重要？请你按自己的想法设计一个评分方案.根据你的方案，哪一个班的卫生成绩最高？与同伴进行交流.［生］一班的卫生成绩为95×15%+90×10%+90×35%+85×40%=88.75二班的卫生成绩为90×15%+95×10%+85×35%+90×40%=88.75三班的卫生成绩为85×15%+90×10%+95×35%+90×40%=91因此三班的成绩最高.［生］我认为黑板、门窗、桌椅、地面这四项得分依次按30%，30%，30%，10%的比例计算各班的卫生成绩较合适.一班的卫生成绩为95×30%+90×30%+90×30%+85×10%=91二班的卫生成绩为90×30%+95×30%+85×30%+90×10%=90三班的卫生成绩为85×30%+90×30%+95×30%+90×10%=90因此一班的成绩最高.［师］从上面计算出的结果看，大家有何体会？［生］因为大家的想法不同，所以这四项所占的比份就不同，即权有差异，得出的结果就会不同，也就是说权的差异对结果有影响.2.议一议小颖家去年的饮食支出为3600元，教育支出为1200元，其他支出为7200元.小颖家今年的这三项支出依次比去年增长了9%，30%，6%.小颖家今年的总支出比去年增长的百分数是多少？分析：今年总支出比去年增长的百分数是.［师］根据刚才的分析，大家看应该如何求小颖家今年的总支出比去年增长的百分数.这里有两种做法.小明的做法是(9%+30%+6%)=15%小亮的做法是7200120036007200%61200%303600%9++⨯+⨯+⨯=9.3%.小明和小亮哪个做的对？说说你的理由.与同伴交流.［生］小明的做法不对，因为小颖家去年的饮食、教育和其他三项支出金额不等，因此饮食、教育和其他三项支出的增长率“地位”不同，它们对总支出增长率的“影响”不同.不能简单地用算术平均数计算总支出的增长率，而应将这三项支出金额3600、1200、7200分别视为三项支出增长率的“权”，从而总支出的增长率为7200120036007200%61200%303600%9++⨯+⨯+⨯=9.3%.因此，小亮的做法正确.［师］由此可见，日常生活中的诸多“平均”现象并作算术平均.由于多数情况下，各项的重要性不一定相同(即权数不同)，应将其视为加权平均.如彩票的平均收益，不是各个等次奖金金额的算术平均数，而应考虑不同等次奖金的获奖比例.Ⅲ.课堂练习(一)随堂练习［生］解：(1)平均速度为=10(千米/时)(2)平均速度为=9(千米/时)［师］大家判断一下，上面的两个问题中哪个是算术平均数，哪个是加权平均数？［生甲］第(1)题是算术平均数.(2)题是加权平均数，因为(1)中的15×1+5×1=15+5，因此求他的平均速度就是求数字15和5的平均数.即算术平均数，(2)中15和5的权分别为2和3，应为加权平均数.［生乙］我认为这两个小题都是加权平均数，只是在(1)中15和5的权相等，都为1.［师］大家认为这两个同学谁的回答正确呢？［生］第二位同学的做法正确.两个小题都是加权平均数，但(1)是特殊的加权平均数，即算术平均数.［师］由此看来，算术平均数和加权平均数的联系和区别就清楚了.算术平均数是加权平均数的一种特殊情况.即各项的权相等.(二)补充练习投影片(§8.1.2 A)解：该市七月中旬的最高气温的平均数为12232128232233334235++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=33(℃)(800×3+120×2+660×5)÷10=594(人). 估计本月游园的人数为 594×30=17820(人). 3.某校招聘学生会干部一名，对A 、B 、C 三名候选人进行了四项素质测试，他们的各项测试成绩如下表所示：测试项目 测试成绩A B C 语言 85 95 90 综合知识 90 85 95 创新 95 95 85 处理问题能力959095根据实际需要，学校将语言、综合知识、创新、处理问题能力按20%、30%、30%、20%的比例计算成绩，此时谁将被录用？解：A 的测试成绩为85×20%+90×30%+95×30%+95×20%=91.5 B 的测试成绩为95×20%+85×30%+95×30%+90×20%=91 C 的测试成绩为90×20%+95×30%+85×30%+95×20%=91 因此A 将被录用.从上面的四个数字看都相同，都为85、90、95、95，但因为权数不同，故最后的结果不同.Ⅳ.课时小结本节课学习了如下内容：1.巩固加权平均数的概念及计算，体会由于权数的不同导致结果的不同.2.体会算术平均数和加权平均数的联系和区别： 算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，即算术平均数是加权平均数.加权平均数不一定是算术平均数.Ⅴ.课后作业习题8.21.解：四块实验田中水稻的平均单位产量是(8250×4+7875×3+7125×1+6375×2)÷10=7650(千克/公顷).Ⅵ.活动与探究1.八年级一班共有学生46人，学生的平均身高为1.58米，小明身高为1.59米，但小明说他的身高在全班是中等偏下的，班上有25个同学比他高，20个同学比他矮，这可能吗？解：可能.虽然小明的身高在全班是中等偏下，且他的身高超过平均水平，班上有25个同学比他高，也就是在平均线以下的同学占少数，但可能比小明高的同学的身高比平均身高高，但幅度不大，比小明低的同学的身高比平均身高低的幅度大，所以还是有可能的.2.某商场经理为了了解两个不同产地的同一种水果的销售情况，收集了10个省会城市的销售批发价格如下表：(1)哪种水果的平均批发价较高？(2)如果你是商场经理，你将作出怎样的经营决策？解：(1)甲种水果的平均批发价为(0.85+0.83+0.90+0.90+0.88+0.86+0.82+0.81+0.95+0.84)÷10=0.864.乙种水果的平均批发价为(0.80+0.82+0.95+0.91+0.86+0.82+0.83+0.79+0.84+0.80)÷10=0.842因此甲种水果的平均批发价较高.(2)如果是进货，进乙地的水果；如果是经营批发业务，选甲地的水果效益较好.板书设计§8.2 中位数与众数知识与技能目标：1.掌握中位数、众数的概念，会求一组数据的中位数、众数.2.能结合具体情境体会平均数、中位数和众数三者的差别，能初步选择恰当的数据代表对数据作出自己的评判.过程与方法目标：1.通过实际背景，区分刻画“平均水平”的三个数据代表，让学生获取一定的评判能力.2.从条形统计图、扇形统计图中获取数据，巩固学生对各种图表信息的识别与获取能力，同时也力图增强学生对生活中所见到的统计图表进行数据处理和评判的主动意识.情感态度与价值观目标：1.统计作为处理现实世界数据信息的一个重要数学分支，必然要求素材本身的真实性，以培养学生求真的科学态度.2.将知识的学习放在解决问题的情境中，作为数据处理过程的一部分，使学生体会数字与现实的联系.3.通过同学间的交流与合作，培养大家的合作精神.教学重点众数和中位数的意义.教学难点众数和中位数、平均数三者的差别.并能在具体情境中选择恰当的数据代表对数据作出自己的评判.教学方法启发引导法.教具准备投影片两张：第一张：平均数、中位数、众数各自的特点(记作§8.2 A)；第二张：练习(记作§8.2 B).教学过程Ⅰ.导入新课上节课我们学习了平均数，平均数是反映一组数据平均水平的特征数，这种特征数包括三个数据代表，本节课我们继续学习另两个数据代表.Ⅱ.讲授新课1.例题讲解经理说：我公司员工收入很高，月平均工资为xx元.职员C说：我的工资是1200元，在公司算中等收入.职员D说：我们好几个人工资都是1100元.一位应聘者心里在琢磨，这个公司员工收入到底怎样呢？［师］请大家给应聘者帮帮忙，分析一下该公司员工收入到底怎样呢？发表自己的看法.［生］经理说公司员工月平均工资为xx元，职员C说自己的月工资是1200元，在公司处于中等水平，职员D说工资是1100元的人数不是一个.［师］经理、职员C、职员D从不同的角度描述了该公司员工的收入情况.月平均工资xx元，指所有员工工资的平均数是xx元，说明公司每月将支付工资总计xx×9=18000元.职员C的工资1200元，恰好居于所有员工工资的“正中间”(恰有4人的工资比他高，有4人的工资比他低)，我们称它为中位数.9个员工中有3个人的工资为1100元，出现的次数最多，我们称它为众数.2.中位数、众数的概念［师］在上面的例题中我们又学习了反映平均水平的另两个特征数、众数和中位数.请大家口述它们的定义.［生］一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数(median).一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数(mode).3.议一议(1)你认为用哪个数据表示该公司员工收入的“平均水平”更合适？(2)为什么该公司员工收入的平均数比中位数高得多？［师］请与同伴交流后回答.［生］(1)用平均工资表示该公司员工收入的“平均水平”更合适.(2)因为正副经理的工资特别高，将平均工资“拉”高了.［生］我认为用中位数即1200元表示该公司员工收入的“平均水平”更合理，因为1200元正居于中间.［生］我认为用众数1100元表示该公司员工收入的“平均水平”更合理，因为工资是1100元的人数最多.［师］大家的说法都有一定的道理，回答的都很棒.4.做一做［师］(1)在第一节课中我们已知上海东方大鲨鱼队队员的身高分别是1.85米，1.96米，2.02米,2.05米,1.88米,1.94米,1.85米,2.08米,1.98米,1.97米,1.96米,2.23米，1.98米,1.86米,2.02米,并求出这一组数据的平均数为1.98米.现在来求这一组数据的中位数和众数.［生］中位数是1.97米.1.85出现2次，1.96出现2次，1.98出现2次，2.02出现2次.这四个数都是出现两次，我不知道哪一个作众数？［师］这位同学提得问题非常好，请大家帮帮他.［生］我认为选四个中的一个就行.［生］我认为四个数都是众数.［师］大家再从众数的定义去理解，只要在一组数据中出现次数最多就可，并没有规定是几个数据，因此这四个数都是众数.(2)①你课前所调查的50名男生所穿运动鞋尺码的平均数、中位数和众数分别是多少？［生］我所调查的50名男生所穿运动鞋尺码的平均数、中位数和众数都是39.②你认为学校商店应多进哪种尺码的男式运动鞋？［生］商店应多进众数所对应尺码的男式运动鞋.5.想一想平均数、中位数和众数有哪些特征？［师］平均数、中位数和众数都是反映一组数据“平均水平”的特征数，但它们也不尽相同，下面我们共同来探讨一下它们的特征.［生］求平均数是求一组数据之和除以数字个数，因此这组数据中的每一个数都参与运算.求中位数时不用进行运算，只把这一组数据进行排序，然后找最中间的一个数或最中间两个数的平均数就是中位数，中位数和两边的数的大小没有关系.求众数时只要观察哪一个数据出现的次数较多就可，和数字的大小没有关系.［师］总结得很好，下面我再和大家一起来探讨.投影片(§8.2 A)Ⅲ.课堂练习投影片(§8.2 B)1.分析：一组数据的平均数、众数、中位数从不同角度表示这组数据集中趋势.由(1)的结果容易回答(2)，甲厂、乙厂、丙厂分别利用了平均数、众数、中位数进行广告推销，顾客在选购产品时，一般以平均数为数据.解：(1)甲厂：平均数为(4+5+5+5+5+7+9+12+13+15)=8.众数为5，中位数为6；乙厂：平均数为 (6+6+8+8+8+9+10+12+14+15)=9.6.众数为8，中位数为8.5;丙厂：平均数为 (4+4+4+6+7+9+13+15+16+16)=9.4.众数为4，中位数为8.(2)甲厂用的是平均数；乙厂用的是众数；丙厂用的是中位数.(3)顾客在选购产品时，一般以平均数为依据，选平均数大的厂家的产品，因此应选乙厂生产的产品.2.解：(1)平均工资为(3000+700+500+450+360+340+320)=810(元)(2)工资的中位数为450元(3)由(1)，(2)可知，用中位数描述该餐厅员工工资的一般水平比较恰当.(4)去掉经理的工资后，其他员工的平均工资是：(700+500+450+360+340+320)=445(元).和(3)的结果相比较，能反映餐厅员工工资的一般水平.3.解：(1)这一组数据的平均数为：(0.8+0.9+1.2+1.3+0.8+0.9+1.1+1.0+1.2+0.8)=1(千克)∴这塘鱼的总产量为1×xx0×70%=14000(千克)(2)全部卖出后收入为14000×4=56000(克)第一年的纯收入为56000－16000=40000(元).Ⅳ.课时小结本节课学习了如下内容：1.掌握中位数、众数的概念，会求一组数据的中位数、众数.2.根据具体情境体会平均数、中位数、众数的特征，并能选择恰当的数据代表对数据作出自己的评判.Ⅴ.课后作业习题8.3.Ⅵ.活动与探究某市实行中考改革，需要根据该市中学生体能的实际状况重新制定中考体育标准，为此抽取了50名初中毕业的女学生进行一分钟仰卧起坐次数测(1)求这次测试数据的平均数、众数和中位数.(2)根据这一数据的特点，你认为该市中考女生一分钟仰卧起坐项目测试的合格标准次数应定为多少较为合适？请简要说明理由.解：(1)平均数为(6×1+12×1+15×7+18×18+20×10+25×5+27×2+30×2+32×1+35×1+36×2)÷(1+1+7+18+10+5+2+2+1+1+2)=20.5众数为18.中位数为18.(2)根据(1)的结果，该市中考女生一分钟仰卧起坐项目测试的合格标准次数应定为18比较合适，因为每分钟18次对大多数同学来说都能达到.§8.3 利用计算器求平均数知识与技能目标：1.根据给定信息，会利用计算器求一组数据的平均数.2.会进行数据的收集、加工与整理.过程与方法目标：1.初步经历数据的收集、加工与整理的过程.发展学生初步的统计意识和数据处理能力.2.通过对计算器求平均数的探索活动，培养学生的探索能力.情感态度与价值观目标：在使用计算器求平均数的探索活动中，鼓励学生敢于探索，体验数学活动充满着探索与创造，同时通过互相间合作交流，让所有学生都得到发展，达到共同进步.教学重点1.探索用计算器求平均数的方法.2.用计算器求平均数.3.从所给条形图中正确获取信息，并能进行加工与整理.教学难点会进行数据的收集、加工与整理.教学方法合作探索法.教具准备投影片一张：补充练习(记作§8.3 A).教学过程Ⅰ.导入新课在前几节课里我们分别学习了算术平均数与加权平均数，并会求一组数据的算术平均数和加权平均数.当一组数据比较小，且数字个数不是很多时，我们用笔算就能解决问题，当一组数据比较大且数字个数比较多时，采用笔算就困难了，因此我们需要找个帮手，本节课我们一起来学习用计算器求一组数据的平均数.Ⅱ.讲授新课1.例题讲解［师］在前面我们已用计算器进行过求算术平方根和立方根的运算，因此对计算器并不陌生，但为了活动的方便，我们还是拿相同类型计算器的同学坐到一起，首先探索用计算器求平均数的方法，并进行步骤的熟练操作.［师］经过一段时间的练习，大家肯定能熟练地进行操作了，下面我们做一些练习.求下列各组数据的平均数(1)31，35，31，34，30，32，31(2)12.1,12.2,13,12.5,13.1,12.5,12.4,12.2(3)1，4，3，4，3，2，5，5，2.5请大家以小组为单位，做完之后小组检查.［师］上面我们练习的练习题都比较简单，都是直接求一组数据的平均数，但是实际问题中并非都是如此，请看例题.［例1］观察图8—1，利用计算器计算上海东方大鲨鱼篮球队队员的平均年龄.［师］首先大家要会识图，从图中获取正确的信息，才能进行计算，那么这个图究竟给了我们什么信息呢？［生］这些队员中，16岁的有1人，18岁的有2人，21岁的有4人，23岁的有1人，24岁的有3人，26岁的有1人，29岁的有2人，34岁的有1人.［师］非常棒，这位同学识图能力很强，那么求平均数的式子能否写一下呢？［生］式子为15134229126324123421218116⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯［师］好，现在大家就可以进行计算了.并把计算的结果和书上的答案进行对照.以检验自己的正确率.Ⅲ.课堂练习(一)估计一下讲台的宽度，并将大家的估计结果统计出来，用计算器求出估计结果的平均值.再用尺子量一量讲台的宽度，看看大家的估计结果怎么样.(二)随堂练习［生］1.解：这组数据的平均数为13.35.2.解：从图中获取的信息是：做对7道题的有6位同学，做对8道题的有12位同学，做对9道题的有24位同学，做对10道题的有6位同学，计算式子为：48610 24912867⨯+⨯+⨯+⨯=8.625(题).(90+83+83+75+71+69+68+67+65+64)÷10=73.52.解：这组数据的平均数为(180+176+173+176+176+181+182)÷7=177.71428573.解：它们的平均数为(1.50×1+1.60×2+1.65×4+1.70×5+1.75×7+1.80×2+1.85×1+1.90。
2024～2025学年度八年级数学上册第2课时 用“SAS”判定三角形全等教学设计
第2课时用“SAS ”判定三角形全等教学步骤师生活动教学目标课题12.2第2课时用“SAS ”判定三角形全等授课人素养目标1.掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，经历探索“SAS ”的过程，培养学生观察、归纳及动手能力，发展学生的几何直观感知能力与推理能力.2.能用尺规作图：已知两边及其夹角作三角形，培养学生分析与作图能力.教学重点“SAS ”的探索及运用，尺规作图：已知两边及其夹角作三角形．教学难点“SAS ”的探究过程.教学活动教学步骤师生活动活动一：创设情境，新课导入设计意图设置悬念引起学生思考，为接下来探究三角形全等的判定条件——“SAS”做铺垫.【情境引入】小红到小明家去玩，发现小明正拿着一只玻璃容器苦思冥想，原来他想测量一下它的内径是多少，但是无法将刻度尺伸进去直接测量．小红帮他想出一个办法：把两根长度相等的小木条AB ，CD 的中点连在一起，木条可以绕中点O 自由转动，如下图所示，这样只要测量A ，C 之间的距离，就可以知道玻璃容器的内径.你想知道为什么吗？经过这节课的学习你就会知道答案了.【教学建议】此问题实际求证BD ＝AC，学生可联想到利用全等三角形的性质，而已有两边和夹角分别相等，自然过渡到探讨“SAS”是否可行，顺利衔接新课．这个问题中涉及了转化思想与数学建模思想.活动二：动手操作，探究新知设计意图以“两边一角分别相等”能否保证两个三角形全等切入主题，经历探索三角形全等的判定条件——“SAS”的过程，学会尺规作图：已知两边及其夹角作三角形的方法，并运用“SAS”解题，经历“SSA”无法判定两个三角形全等的探索过程.探究点用“SAS”判定三角形全等在上节课中我们知道用三个条件探索三角形全等共有四种情况——三边分别相等、两边一角分别相等、两角一边分别相等、三角分别相等，并探索了用“SSS”判定三角形全等的过程．这节课我们将继续探索“两边一角分别相等”能否证明两个三角形全等.问题“两边一角分别相等”有几种可能性呢？请举例.答：有两种可能性，如图所示.我们分情况进行讨论.探究先任意画出一个△ABC.再画出一个△A ′B ′C ′，使A ′B ′＝AB ，A ′C ′＝AC ，∠A ′＝∠A(即两边和它们的夹角分别相等)．把画好的△A ′B ′C ′剪下来，放到△ABC 上，它们全等吗？【教学建议】“探究”中讨论的是两边一角分别相等中的两边及其夹角分别相等的情形．这里对“SAS”的处理与“SSS”类似，先通过作图实验操作，让学生充分经历探究满足两边及其夹角分别相等的两个三角形是否全等的过程，然后总结规律，直接以基本事实的方式给出“SAS”的判定方法．需注意已知两边及其夹角作三角形也是课标要求的重要作图，需要学生掌握作图步骤，作图过程中利用了上节课学到的作一个角等于已知角的基本作图.设计意图问题4揭示图形语言与文字语言之间的联系，使学生经历从现实世界抽象出几何模型的过程，认识三角形的各个基本要素.如图给出了画△A′B′C′的方法．你是这样画的吗？答：上述画法是先画一个角，再画夹这个角的两边．也可以采用先画一边，然后画角，再画另一边的方法，步骤如下：(1)作A′B′＝AB；(2)作∠B′A′E＝∠A；(3)在射线A′E 上截取A′C′＝AC；(4)连接B′C′.探究的结果反映了什么规律？由探究可以得到以下基本事实，用它可以判定两个三角形全等：也就是说，三角形的两条边的长度和它们的夹角的大小确定了，这个三角形的形状、大小就确定了.例(教材P 38例2)如图，有一池塘，要测池塘两端A ，B 的距离，可先在平地上取一个点C ，从点C 不经过池塘可以直接到达点A 和B.连接AC 并延长到点D ，使CD ＝CA.连接BC 并延长到点E ，使CE ＝CB.连接DE ，那么量出DE 的长就是A ，B 的距离．为什么？分析：如果能证明△ABC ≌△DEC ，就可以得出AB ＝DE.由题意可知，△ABC 和△DEC 具备“边角边”的条件.∴△ABC≌△DEC (SAS)∴AB＝DE.追问：想一想，∠1＝∠2的根据是什么？AB＝DE 的根据是什么？答：∠1＝∠2的根据是对顶角相等，AB＝DE 的根据是全等三角形的对应边相等.从例题可以看出：因为全等三角形的对应边相等，对应角相等，所以证明线段相等或角相等时，常常通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决.思考如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC.固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD.这个实验说明了什么？图中的△ABC 与△ABD 满足两边和其中一边的对角分别相等，即AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不全等．这说明，有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.【教学建议】例题从实际背景中引申出几何问题——证明两条线段相等．可引导学生观察思考，要证的线段是两个三角形中的两条边，如果能证明两个三角形全等，那么就能利用全等三角形的性质得到线段相等．于是通过例题可以达到三个教学目的，一是让学生学会运用“SAS”解题；二是让学生更透彻地认识到证线段相等或角相等可以利用判定三角形全等的手段(之前的学习中已经提到过)；三是启发学生联想，以另外的实际背景对活动一中的问题进行解释.【教学建议】“思考”以做实验的方式探讨两边和其中一边的对角分别相等能否保证两个三角形全等．教学中也可以画出如左栏图所示的图形，让学生直观地发现结论．这个过程也再次让学生体会到要判断一个命题是假命题，只要举出一个反例．最后是对“两边一角分别相等”能否保证两个三角形全等进行总结性描述.教学步骤师生活动°＝30°.ABC≌△ECD(SAS).＋∠ACD＝90°，【作业布置】1.教材P43～45习题12.2第3，10，13题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.板书设计第2课时用“SAS ”判定三角形全等1.基本事实：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(“边角边”或“SAS ”).2.尺规作图：已知两边及其夹角作三角形.3.实际应用：用“SAS ”判定三角形全等．教学反思本节课是探索三角形全等条件的第2课时，是在学习了“SSS ”之后展开的．它不仅是下节课探索其他判定三角形全等条件的基础，又为后面探索直角三角形全等的条件提供了很好的模式和方法．因此，本节课的知识具有承前启后的作用，占有相当重要的地位．同时，本节课具有较强的操作性和直观性，有利于学生从直观上积累感性认识，促进学生对新知识的理解和掌握.解题大招一用“SAS ”判定三角形全等的实际应用在实际生活中，常常通过说明两个三角形全等，得出对应边相等，对应角相等，从而解决一些实际问题，如把不能直接测量的长度(或角度)“转移”到可以直接测量的位置测量．例1如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，D ，E 分别是伞骨AB ，AC 的中点，DM ，EM 是连接弹簧M 和伞骨的支架，且DM ＝EM ，在弹簧向上滑动的过程中，∠AMD ＝∠AME ，试说明AB ＝AC.解：在△ADM 和△AEM ＝EM ，AMD ＝∠AME ，＝AM ，∴△ADM ≌△AEM(SAS )，∴AD ＝AE.∵D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∴AD ＝12AB ，AE ＝12AC ，∴AB ＝AC.解题大招二用倍长中线法构造全等三角形当出现中线，而现有图形中不存在两个全等三角形时，常通过倍长中线法将中线延长一倍，根据“SAS ”构造全等三角形，再利用对应边相等去寻求线段间的数量关系．例2在数学课上，老师出示了这样一个问题：“如图①，在△ABC 中，AC ＝8，BC ＝5，D 为AB 边的中点，求AB 边上的中线CD 的取值范围．”经过小组合作交流，找到了解决方法——“倍长中线法”．请按照图②所示的思维框图，完成求解过程．解：如图①，延长CD 至点E ，使DE ＝CD ，连接AE ，则CE ＝2CD.∵D 为AB 边的中点，∴AD ＝BD.又∠ADE ＝∠BDC ，DE ＝DC ，∴△ADE ≌△BDC(SAS )，∴AE ＝BC ＝5.在△ACE 中，AC －AE ＜CE ＜AC ＋AE ，∴8－5＜2CD ＜8＋5，∴1.5＜CD ＜6.5.解题大招三利用“SAS ”证三角形全等的“手拉手”模型例3两个大小不同的等腰直角三角板如图①放置，图②是由它抽象出的几何图形，B ，C ，E 三点在同一直线上，连接CD.(1)求证：△ABE ≌△ACD ；(2)试猜想CD 与BE 的位置关系，并证明你的结论．(1)证明：∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∴∠BAC ＋∠CAE ＝∠DAE ＋∠CAE ，即∠BAE ＝∠CAD.在△ABE 和△ACD ＝AC ，BAE ＝∠CAD ，＝AD ，∴△ABE ≌△ACD(SAS )．(2)解：CD ⊥BE.证明如下：∵△ABE ≌△ACD ，∴∠B ＝∠ACD.∵∠BAC ＝90°，∴∠B ＋∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＋∠ACB ＝90°，即∠BCD ＝90°，∴CD ⊥BE.培优点用“SAS ”判定三角形全等解决动点问题例如图①，在△ABC 中，∠A ＝∠B ，AC ＝BC ＝20cm ，AB ＝16cm ，D 为AC 的中点．(1)如果点P 在线段AB 上以6cm /s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BC 上由点B 向点C运动．①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1s 后，△APD 与△BQP 是否全等？说明理由．②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，设运动时间为t s ，当t 为何值时，△APD 与△BQP 全等？求出此时点Q 的运动速度．(2)如图②，若点Q 以②中的运动速度从点B 出发，点P 以原来的运动速度从点A 同时出发，都按逆时针方向沿△ABC 的三边运动，经过多长时间，点P 与点Q 第一次在△ABC 的哪条边上相遇？解：(1)①△APD 与△BQP 全等．理由：经过1s 后，AP ＝BQ ＝6cm .∵AC ＝20cm ，D 为AC 的中点，∴AD ＝12AC ＝10cm .又BP ＝AB －AP ＝16－6＝10(cm )，∴AD ＝BP.又∠A ＝∠B ，∴△APD ≌△BQP(SAS )．②因为v P ≠v Q ，所以AP≠BQ.又∠A＝∠B，所以要使△APD与△BQP全等，只能AP＝BP＝12AB＝8cm，BQ＝AD＝10cm，∴6t＝8，解得t＝43，∴点Q的运动速度为10÷43＝7.5(cm/s)．所以当t为43时，△APD与△BQP全等，此时点Q的运动速度为7.5cm/s.(2)因为v Q＞v P，所以只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走BC＋AC的路程．设经过x s后点P与点Q第一次相遇，依题意得7.5x－6x＝20＋20，解得x＝803，此时P运动了803×6＝160(cm)．又△ABC的周长为AB＋BC＋AC＝16＋20＋20＝56(cm)，且160＝56×2＋48，所以点P，Q第一次是在AC边上相遇，即经过803s，点P与点Q第一次在△ABC的AC边上相遇．。
八年级数学上册《第二章2 平方根》讲解与例题
《第二章2 平方根》讲解与例题1．平方根(1)平方根的概念：若是一个数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么那个数x 就叫做a 的平方根(也叫做二次方根).32＝9，因此3是9的平方根．(－3)2＝9，因此－3也是9的平方根，因此9的平方根是3和－3.(2)平方根的表示方式：正数a 的平方根可记作“±a ”，读作“正、负根号a ”．“ ”读作“根号”，“a ”是被开方数．例如：2的平方根可表示为± 2. (3)平方根的性质：假设x 2＝a ，那么有(－x )2＝a ，即－x 也是a 的平方根，因此正数a 的平方根有两个，它们互为相反数；只有02＝0，故0的平方根为0；由于同号的两个数相乘得正，因此任何数的平方都可不能是负数，故负数没有平方根．综合上述：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．如：4的平方根有两个：2和－2，－4没有平方根．我明白了，一个数a 的平方根能够表示成±a .你可要警惕哦！（1）不是任何数都有平方根，负数可没有平方根，（2）式子a 只有当a ≥0时才成心义,因为负数没有平方根.【例1－1】 求以下各数的平方根：(1)81；(2)(－7)2；(3)11549. 分析：依照平方根的概念，求一个数a 的平方根可转化为求一个数的平方等于a 的运算，更具体地说，确实是找出平方后等于a 的数．解：(1)∵(±9)2＝81，∴81的平方根是±9，即±81＝±9.(2)∵(－7)2＝72＝49，∴(－7)2的平方根是±7，即±49＝±7. (3)∵11549＝6449，又⎝ ⎛⎭⎪⎫±872＝6449， ∴11549的平方根是±87， 即±11549＝±87. 【例1－2】 以下各数有平方根吗？若是有，求出它的平方根；假设没有，请说明理由．(1)94；(2)0；(3)－9；(4)|－0.81|；(5)－22. 分析：序号存在情况 原因 (1)有2个 正数有两个平方根 (4)有2个 (3)无 负数没有平方根 (5)无 (2) 有1个 0的平方根是它本身解：(1)∵94是正数，∴94有两个平方根． 又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫±322＝94，∴94的平方根是±32. (2)0只有一个平方根，是它本身．(3)∵－9是负数，∴－9没有平方根．(4)∵|－0.81|＝(±0.9)2，是正数，∴|－0.81|的平方根是±0.9.(5)∵－22＝－4，是负数，∴－22没有平方根．2.算术平方根(1)算术平方根的概念：若是一个正数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么那个正数x 就叫做a 的算术平方根．(2)算术平方根的表示方式：正数a 的算术平方根记作“a ”，读作“根号a ”．(3)算术平方根的性质：正数有一个正的算术平方根；0的算术平方根是0；负数没有平方根，固然也没有算术平方根．淡重点 算术平方根的性质(1)只有正数和0(即非负数)才有算术平方根，且算术平方根也是非负数；(2)一个正数a 的正的平方根确实是它的算术平方根．若是明白一个数的算术平方根，就能够够写出它的负的平方根．【例2】 求以下各数的算术平方根：(1)0.09；(2)121169. 分析：依照算术平方根的意义，求一个非负数a 的算术平方根，第一要找出平方等于a 的数，写出平方式；从平方式中确信a 的算术平方根的值．解：(1)∵0.32＝0.09，∴0.09的算术平方根是0.3，即0.09＝0.3；(2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫11132＝121169， ∴121169的算术平方根是1113. 析规律 如何确信一个数的算术平方根 求一个数的算术平方根与求一个数的平方根类似，先找到一个平方等于所求数的数，再求算术平方根，应专门注意数的符号．3．开平方求一个数a (a ≥0)的平方根的运算，叫做开平方，其中a 叫做被开方数．开平方运算是已知指数和幂求底数．(1)因为平方和开平方互逆，故可通过平方来寻觅一个数的平方根，也能够利用平方验算所求平方根是不是正确．(2)开平方与平方互为逆运算，正数、负数、0能够进行“平方”运算，且“平方”的结果只有一个；但“开平方”只有正数和0才能够，负数不能开平方，且正数开平方时有两个结果．(3)关于生活和生产中的已知面积求长度的问题，一样可用开平方加以解决．【例3】 小明家打算用80块正方形的地板砖铺设面积是20 m 2的客厅，试问小明家需要购买边长是多少的地板砖？解：设正方形的地板砖的边长为x m ，由题意，得80x 2＝20，那么x 2＝0.25.故x ＝±0.5.∵地板砖的边长不能为负数，∴x ＝0.5.∴小明家应购买边长为0.5 m 的地板砖．4.a 2与(a )2的关系a 表示a 的算术平方根，依据算术平方根的概念，(a )2＝a (a ≥0).a 2表示a 2的算术平方根，依据算术平方根的概念，假设a ≥0，那么a 2的算术平方根为a ；假设a ＜0，那么a 2的算术平方根为－a ，即a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a ≥0，－a ，a <0. (1)区别：①意义不同：(a )2表示非负数a 的算术平方根的平方；a 2表示实数a 的平方的算术平方根．②取值范围不同：(a )2中的a 为非负数，即a ≥0；a 2中的a 为任意数．③运算顺序不同：(a )2是先求a 的算术平方根，再求它的算术平方根的平方；a 2是先求a 的平方，再求平方后的算术平方根．④写法不同．在(a )2中，幂指数2在根号的外面；而在a 2中，幂指数2在根号的里面．⑤运算结果不同：(a )2＝a ；a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a ≥0，－a ，a <0.(2)联系：①在运算时，都有平方和开平方的运算．②两式运算的结果都是非负数，即(a )2≥0，a 2≥0.③仅当a ≥0时，有(a )2＝a 2. 点技术 巧用(a )2＝a 将(a )2＝a 反过来确实是a ＝(a )2，利用此式可使某些运算更为简便．【例4】 化简：(6)2＝__________；(－7)2＝__________. 解析：(－7)2＝|－7|＝7.答案：6 75．平方根与算术平方根的关系(1)区别：①概念不同平方根的概念：若是一个数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么那个数x 叫做a 的平方根．算术平方根的概念：若是一个正数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么那个正数x 叫做a 的算术平方根． ②表示方式不同平方根：正数a 的平方根用符号±a 表示．算术平方根：正数a 的算术平方根用符号a 表示，正数a 的负的平方根－a 能够看成是正数a 的算术平方根的相反数．③读法不同a读作“根号a”；±a读作“正、负根号a”．④结果和个数不同一个正数的算术平方根只有一个且必然为正数，而一个正数的平方根有两个，它们一正一负且互为相反数．(2)联系：①平方根中包括了算术平方根，确实是说算术平方根是平方根中的一个，即一个正数的平方根有一正一负两个，其中正的那一个确实是它的算术平方根，如此要求一个正数a的平方根，只要先求出那个正数的算术平方根a，就能够够直接写出那个正数的平方根±a了．②在平方根±a和算术平方根a中，被开方数都是非负数，即a≥0.严格地讲，正数和0既有平方根，又有算术平方根，负数既没有平方根，又没有算术平方根．③0的平方根和算术平方根都是0.【例5－1】(1)求(－3)2的平方根；(2)计算144；(3)求(π－3.142)2的算术平方根；(4)求16的平方根．错解(1)因为(－3)2＝9，故(－3)2的平方根是－3；(2)因为(±12)2＝144，所以144＝±12；(3)(π－3.142)2的算术平方根是(π－3.142)2＝π－3.142；〔或±(π－3.142)〕(4)16的平方根是±4.剖析(1)一个正数的平方根是互为相反数的两个数，而这里(－3)2的平方根只有一个数，只表明两个平方根中的一个负的平方根，漏掉了一个正的平方根；(2)混淆了平方根与算术平方根的概念，144表示144的算术平方根，它是一个非负数，错解中出现了增解－12；(3)错在忽视了π＜3.142，即π－3.142＜0；或混淆了平方根与算术平方根的概念；(4)这里错误地将16的平方根当成16的平方根，其实这里是求16的算术平方根的平方根，该题将两个相近概念“算术平方根”和“平方根”含在一个小题中.正解(1)±(－3)2＝±9＝±3；【例(1)±81；(2)－16；(3)925；(4)(－4)2.分析：±81表示81的平方根，故其结果是一对相反数；－16表示16的负平方根，故其结果是负数；925表示925的算术平方根，故其结果是正数；(－4)2表示(－4)2的算术平方根，故其结果必为正数． 解：(1)∵92＝81，∴±81＝±9. (2)∵42＝16，∴－16＝－4.(3)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝925，∴925＝35. (4)∵42＝(－4)2，∴(－4)2＝4. 释疑点 与平方根相关的三种符号 弄清与平方根有关的三种符号±a ，a ，－a 的意义是解决这种问题的关键．±a 表示非负数a 的平方根，a 表示非负数a 的算术平方根，－a 表示非负数a 的负平方根．注意a ≠±a .在具体解题时，“ ”的前面是什么符号，其计算结果确实是什么符号，既不能漏掉，也不能多添．6．巧用算术平方根的两个“非负性”众所周知，算术平方根a 具有双重非负性：(1)被开方数具有非负性，即a ≥0. (2)a 本身具有非负性，即a ≥0.这两个非负性形象、全面地反映了算术平方根的本质属性．在解决与此相关的问题时，假设能认真观看、认真地分析题目中的已知条件，并挖掘出题目中隐含的这两个非负性，就可幸免用常规方式造成的繁杂运算或误解，从而收到事半功倍的成效．由于初中时期学习的非负数有三类，即一个数的绝对值，一个数的平方(偶次方)和非负数的算术平方根．关于算术平方根和平方数的非负性相关的求值问题，一样情形下都是它们的和等于0的形式．此类问题能够分成以下几种形式：(1)算术平方根、平方数、绝对值三种中的任意两种组成一题〔| |＋( )2＝0，| |＋ ＝0，( )2＋＝0〕，乃至同一道题目中同时显现这三个内容〔| |＋( )2＋＝0〕．(2)题目中没有直接给出平方数，而是需要先利用完全平方公式把题目中的某些内容进行变形，然后再利用非负数的性质进行计算．【例6－1】假设－x2＋y＝6，那么x＝__________，y＝__________.解析：由－x2成心义得x＝0，故y＝6.答案：0 6【例6－2】假设|m－1|＋n－5＝0，那么m＝__________，n＝__________.解析：依照题意，得m－1＝0，n－5＝0，因此m＝1，n＝5.答案：1 5注：假设几个非负数的和为0，那么每一个数都为0.【例6－3】若是y＝x2－4＋4－x2x＋2＋2 013成立，求x2＋y－3的值．分析：由算术平方根被开方数的非负性知，x2－4≥0，4－x2≥0，因此，x2－4＝0，即x＝±2；又x＋2≠0，即x≠－2，因此x＝2，y＝2 013，于是得解．解：由题可知x2－4≥0，且4－x2≥0，∴x2－4＝0，即x＝±2.又∵x＋2≠0，即x≠－2，∴x＝2.将x＝2代入y＝x2－4＋4－x2x＋2＋2 013，可得y＝2 013.∴x2＋y－3＝22＋2 013－3＝2 014.点评：解答这种问题时，先确信题目中非负数的类型，然后依照类型“对症下药”．不要误以为x＝±2.。
八年级数学平方和公式
[单选]强调情绪的发生与机体内部生理变化的关系的情绪理论被称为（）A．坎农-巴德学说B．伊扎德的情绪理论C．詹姆斯-兰格理论D．沙赫特-辛格的情绪理论 [单选]在我国，协助期货投资者开立期货账户的是（）。A．托管人B．管理人C．券商D．期货业协会 [单选]企业对信用风险进行控制首先必须解决（）。A.弄清企业信用风险的内部原因B.制定科学的信用决策C.应收账款的管理和监控D.拖欠账款的追收 [单选]()是指为改善车辆的技术性能或延长车辆使用寿命，改变原车辆零部件或总成的工作。A.车辆技术改造B.车辆大修C.车辆小修D.车辆改装 [单选]审核计划应由（）编制。A.实习审核员B.审核方案管理人员C.审核员D.审核组长 [单选]过烧缺陷的金相特征主要表现为（）。A、晶粒粗化B、性能降低C、晶界氧化和熔化D、氧化脱碳 [名词解释]自卑 [单选]2006年3月，取得建造师资格证书的王某受聘并注册于甲公司，2007年6月工作单位变动后变更注册公司于乙公司，其变更后的注册有效期到（）止。A．2009年3月B．2009年6月C．2010年3月D．2010年6月 [单选]慢性胆囊炎的CT特征性表现是（）A.胆囊大，囊壁水肿，密度低B.胆囊正常大小，肝内胆管扩张C.胆囊小，囊壁增厚D.胆囊大，胆总管扩张E.以上都不是 [填空题]普通经纬仪在整平后，要求竖轴应铅垂，水平度盘处于（）。 [名词解释]上蔟适期 [单选,A2型题,A1/A2型题]学龄前期是指（）。A.从出生脐带结扎开始到满3岁B.从出生到满4周岁前C.1周岁到满6周岁前D.6～12岁E.3周岁后到入小学前（6～7岁） [问答题,简答题]偶氮二异丁腈泄漏如何处理？ [单选]关于传染病流行病学资料，下列不正确的是（）A.流行病学资料在诊断中占有重要地位B.是否患过该病表明有无发病的可能C.是否在流行地区、流行季节表明有无感染的可能D.考虑传染病诊断时必须取得有关流行病学资料作参考E.某些传染病在发病年龄和职业方面有选择性 [单选,A2型题,A1/A2型题]接触联苯胺可引起（）。A.肺癌B.肾癌C.胃癌D.膀胱癌E.肝癌 [单选]下列哪项没有参与促进乳腺发育及泌乳功能？（）A.皮质醇B.雌激素C.甲状旁腺素D.胎盘生乳素E.胰岛素 [填空题]技工学校、农业中学、职业中学组织学生参加生产劳动，接触有毒有害物质的，按照国家有关规定，提供（）待遇。 [多选]队列研究中的发病密度具有下列哪些特征（）A.适应于一个观察人数变动较大的动态人群B.是表示一定时期内的平均发病率C.没有时间单位D.分子为一个人群在一定时期内新发生的病例数E.分母是研究人群中所有成员所提供的人时的总和 [判断题]居住在境内的18周岁以下的中国公民实名证件为户口簿。（）A.正确B.错误 [多选]股份经营战略的特点有（）。A.所有权多元化B.产权经营独立化C.公司股权分散化D.股东利润平均化E.股东责任无限化 [单选]患者男性，78岁、卧以头高足低位，此时导致压疮发生的力学因素主要是A.水平压力B.垂直压力C.摩擦力D.剪切力E.阻力 [单选,A1型题]与情绪形成有关的3个要素是（）。A.环境、心境、生理变化B.情景、心境、条件反射C.情景、刺激、生理过程D.认知、反应、结果评价E.情景、认知、生理变化 [问答题,简答题]什么是“投资单位”、“买入价”、“卖出价”？ [单选]开车时加热炉引燃料油循环的目的是（）。A、脱水B、尽早点火C、平衡塔底液面D、稳定燃料油压力 [名词解释]非法发球 [名词解释]GPS [问答题,简答题]什么是近交系动物？ [单选]因重大误解和显失公平等原因引起的无效是()。A.绝对无效B.相对无效C.法定无效D.约定无效 [问答题,简答题]CTCS2-200H型车载列控系统中DMI的作用是什么？ [单选,A1型题]国外引进猪品种的始配年龄是（）A.8～12月龄B.10～12月龄C.8～10月龄D.8～14月龄E.6～12月龄 [单选,A2型题,A1/A2型题]关于β2-微球蛋白叙述错误的是（）.A.存在于所有有核细胞表面尿液B.患炎症及肿瘤时血浆中浓度可降低C.β2-微球蛋白主要用于监测肾小管功能D.急性白血病有神经浸润时，脑脊液中β2-微球蛋白可增高E.肾移植后如排斥反应影响肾小管功能时，尿液&beta [单选]下列哪项不是CT模拟定位技术的优势（）A.有更高的精度和更广的应用范围B.经济、可靠，时间短C.其图像有较高的组织对比度D.可在三维空间上清楚显示靶区与周围器官之间的关系E.可以更精确勾画靶区及正常组织和器官 [填空题]电子商务规划的可行性分析主要包括：（）和（）。 [单选]从业人员的工作责任感和集体荣誉感是一种（）的力量，是从业人员道德信念的行为体现。A、监督B、无形C、社会D、促进 [单选]关于朊毒体蛋白PrPsc，下列说法不正确的是()A．由宿主染色体编码B．有2种异构体C．不同重叠的株型之间基因同源性很高D．能抵抗尿酸、苯酚等变性剂E．可以自行复制 [填空题]在钢轨超声波探伤中，凡发现接头有可疑波形，而探伤人员又无法拆检的应（）拆检或监视。 [单选,A2型题,A1/A2型题]关于轴位，以下错误的是（）A.有髌骨轴位摄影位置B.有跟骨轴位摄影位置C.中心线与被照体边缘相切D.有颞骨岩部轴位E.是指中心线与被照体长轴平行的摄影体位 [单选]下列关于情报分析意义的说法不正确的是（）。A、情报来源的合法性是情报分析结论合法性的前提B、情报来源的可靠性和情报的确实性对情报分析结论的可靠性有重要影响C、情报的秘密等级是情报分发范围的依据D、情报分析的过程是通过对情报资料之间关系的认识来认识情报所代表的 [单选,案例分析题]男，21岁，发现右阴囊内鸡蛋大小肿块半年，不痛，平卧不消失。扪之囊性感，透光试验（+）。首选的治疗为（）A.热敷B.穿弹力内裤C.手术治疗D.理疗E.阴囊托起 [单选]长期血透病人的最主要死亡原因是（）。A.消化道出血B.心血管合并症C.神经系统合并症D.透析骨病E.感染
人教版八年级数学上册第十一章三角形单元教材分析教学设计
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：三角形的基本性质、分类及判定；勾股定理及其逆定理；三角函数的定义和应用。
3.小组合作题要求组内成员共同参与，分工合作，形成高质量的讨论报告或研究报告。
4.教师在批改作业时，要关注学生的解题思路和方法，给予针对性的评价和建议，以提高学生的学习效果。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动设计：以生活中的三角形实物为切入点，如三角板、三角形屋顶等，引导学生观察并思考这些三角形的共同特点，激发学生的学习兴趣。
2.提出问题：让学生尝试回答以下问题：（1）三角形是什么？（2）三角形有哪些基本性质？（3）我们为什么要学习三角形？
3.创设情境：通过展示一些三角形在生活中的应用，如桥梁、自行车架等，让学生感受到三角形在实际生活中的重要性，为新课的学习奠定基础。
3.培养学生团队合作意识，让学生在小组合作中学会倾听、交流、协作，提高人际沟通能力。
4.培养学生的审美观念，让学生在探究三角形美的过程中，感受数学的魅力，提高对数学美的鉴赏能力。
5.培养学生的创新意识，鼓励学生多角度、多方法解决问题，激发学生的创造潜能。
二、学情分析
八年级学生在前期的数学学习中，已经掌握了平面几何的基本概念和性质，具有一定的几何图形识别和分析能力。在此基础上，学生对三角形的认识将从直观感知逐步过渡到理性认识。然而，学生对三角形性质的深入理解和运用尚需进一步培养和引导。此外，学生在解决实际问题时，对数学知识的应用能力有待提高。因此，在教学过程中，应关注以下几个方面：
北师大版八年级数学上册第三章《位置与坐标》回顾思考优秀教学案例
（二）讲授新知
1.回顾坐标系的建立、点的坐标、直线与坐标轴的交点坐标等基本知识；
2.通过示例讲解，引导学生掌握坐标知识在实际问题中的应用方法；
3.注重知识点的系统性，帮助学生构建完整的知识框架。
（三）学生小组讨论
1.设计具有挑战性的讨论题目，让学生在小组内积极思考、交流，共同解决问题；
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发他们困难时积极应对、勇于挑战的精神，增强他们的自信心；
3.通过对实际问题的探究，使学生认识到数学知识在生活中的重要性，培养他们的责任感和使命感。
在教学过程中，我将以平等、尊重的态度对待每一位学生，关注他们的个体差异，鼓励他们积极参与课堂讨论，表达自己的观点。同时，我将充分发挥教师的主导作用，引导学生掌握坐标知识，提高他们的数学素养，为他们的可持续发展奠定基础。
2.引导学生运用坐标知识进行分析，培养他们的逻辑思维能力和团队协作精神；
3.关注小组讨论的过程，及时给予指导和评价，提高学生的讨论效果。
（四）总结归纳
1.组织学生对所学知识进行总结归纳，帮助他们巩固记忆，形成知识体系；
2.强调坐标知识在实际生活中的重要性，使学生认识到学习坐标知识的现实意义；
3.总结本节课的学习方法，为学生的可持续发展奠定基础。
3.关注小组合作的过程，及时给予指导和评价，激发学生的学习积极性。
（四）反思与评价
1.引导学生对所学知识进行总结与反思，帮助他们巩固记忆，形成知识体系；
2.创设自我评价和小组评价的机会，让学生学会自我检查、相互借鉴，提高他们的自我认知能力；
3.注重过程性评价与终结性评价相结合，全面、客观地评价学生的学习成果，激发他们的学习动力。
最新北师大版八年级数学上册教学计划及进度表
最新北师大版八年级数学上册教学计划及进度表一、学生基本情况分析本学期我执教的班级——八年级(3)（7）班。
八年级是初中学习过程中的关键时期，学生基础的好坏，直接影响到将来是否能升学。
有的同学基础特差，问题较严重。
要在本学期获得理想成绩，老师和学生都要付出努力，查漏补缺，充分发挥学生学习主体作用，注重方法，培养能力。
在学生所学知识的掌握程度上，整个班级对简单的基础知识还不能有效的掌握，成绩较差，学生仍然缺少大量的推理题训练，推理的思考方法与写法上均存在着一定的困难，对几何有畏难情绪，相关知识学得不很透彻。
在本学期教学中，鼓励有条件的孩子购买课外参考书，培养学生课外主动获取知识的能力。
学生的逻辑推理、逻辑思维能力，计算能力需要得到加强，以提升学生的整体成绩，应在合适的时候补充课外知识，拓展学生的知识面，提升学生素质；通过一段时间的学习，在学习态度上，绝大部分学生上课能全神贯注，积极的投入到学习中去，少数几个学生对数学处于一种放弃的心态，课堂作业，大部分学生能认真完成，少数学生需要教师督促，这一少数学生也成为老师的重点牵挂对象，课堂家庭作业，学生完成的质量要打折扣；学生的学习习惯养成还不理想，预习的习惯，进行总结的习惯，自习课专心致志学习的习惯，主动纠正(考试、作业后)错误的习惯，比较多的学生不具有以上习惯，需要教师的督促才能做到。
因此，本学期教师应多采取一些措施和方法，争取让学生的成绩得到提高。
二、教材分析本册教材的主要内容有：勾股定理、实数、坐标与位置、一次函数与正比例函数、二元一次方程组、数据的分析与证明。
其中，勾股定理及其逆定理是初等几何中最基本、最重要的定理之一。
通过拼、摆或图形的割、补，使得这一重要几何事实得以确认。
无理数的发现、实数系统的建立和函数概念是本学段知识的重点也是和难点，实数是进一步学习的基础。
坐标与位置从源头上突出了坐标法产生的思想，直角坐标系是实现坐标法的一种选择，建立坐标系把数轴拓展到平面，是数形结合与转化的桥梁。
2021年八年级数学上册 第8章教案 数据的代表精品教案 北师大版
2019-2020年八年级数学上册 第8章教案 数据的代表精品教案 北师大版教学目标：知识目标：1、掌握算术平均数，加权平均数的概念。
2、会求一组数据的算术平均数和加权平均数。
能力目标：1、通过对数据的处理，发展学生初步的统计意识和数据处理的能力。
2、根据有关平均数的问题的解决，培养学生的合作意识和能力。
教学重点：算术平均数，加权平均数的概念及计算。
教学难点：加权平均数的概念及计算。
教学方法：讨论与启发性。
教学过程： 一、引入新课：在某次数学测试后，你想了解自己与班级平均成绩的比较，你先想了解该次数学成绩什么量呢？（引入课题）二、讲授新课：1、引例：下面是某班30位同学一次数学测试的成绩，各小组讨论如何求出它们的平均分： 95、99、87、90、90、86、99、100、95、87、88、86、94、92、90、95、 87、86、88、86、90、90、99、80、87、86、99、95、92、92 2、议一议：问：求平均数有哪几种方法？ （1）X=（X 1+X 2+…+X n ） ——算术平均数（2）X= (f 1+f 2+…f k =n)——利用加权求平均数（3）X=X'+a ——利用基准求平均数 问：以上几种求法各有什么特点呢？x 1f 1+x 2f 2+x 3f 3+…x k f kf 1+f 2+f 3…+f k公式（1）适用于数据较小，且较分散,公式（2）适用于出现较多重复数据。
公式（3）适用于数据较为接近于某一数据。
3、加权平均数：例1，某广告公司欲招聘广告策划人员一名，对A ，B ，C 三名候选人进行了三项素质测试，他们的各项测试成绩如下表所示：（1）如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么谁将被录用？（2）根据实际需要，公司将创新，综合知识和语言三项测试得分按4:3:1的比例确定各人的测试成绩，此时谁将被录用？小结：实际问题中，一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同，因而，在计算这组数据的平均数时，往往给每个数据一个“权”，如例1中4，3，1分别是创新、综合知识、语言三项测试成绩的权，而称 为A 的三项测试成绩的加权平均数。
11.1.2三角形的高、中线与角平分线教学设计2024-2025学年人教版数学八年级上册
讲解与应用：
1. 利用多媒体课件和实物模型，详细讲解三角形的高、中线与角平分线的性质，并提供相关的例题。
2. 设计一些具有挑战性的练习题，让学生独立解答，检验他们对三角形高、中线与角平分线性质的理解和应用能力。
解决问题：
1. 提供一个实际问题，如“在一个已知三角形的底边上，如何找到对应的高？”
例题5：已知一个三角形的三个角分别为45°、45°和90°，求这个三角形的面积。
解答：这是一个等腰直角三角形，两条腰的长度相等，且等于斜边的长度。设腰的长度为x，则斜边的长度为x√2。根据三角形的面积公式，面积等于腰的长度的平方除以2，所以面积为x² / 2。由于这是一个直角三角形，所以x² = (x√2)²，解得x = 2cm。因此，面积为2cm²。
其次，在进行小组讨论时，我发现有些学生比较内向，不太愿意发言。这导致了小组讨论的不够充分，一些学生的想法没有得到充分的表达和交流。为了改变这种情况，我计划在未来的教学中采取更多的互动式教学方法，鼓励每个学生发表自己的观点，并积极参与讨论。
此外，我还发现学生在解答例题时，对于一些步骤的掌握不够熟练，容易出错。这可能是由于他们对基础知识的理解不够深入。因此，我计划在未来的教学中加强对基础知识的讲解和巩固，让学生在解答例题时能够更加得心应手。
在教学过程中，我还注意到一些学生对于课堂内容的吸收能力较强，而另一些学生则相对较慢。为了满足不同学生的学习需求，我计划在未来的教学中采取差异化教学策略，为不同层次的学生提供不同难度的学习材料和练习题。
最后，我还计划加强对学生的个别辅导，特别是对于那些在学习上遇到困难的学生。我希望通过一对一的辅导，帮助他们克服学习障碍，提高学习效果。
最新人教版初中八年级上册数学《单项式与单项式、多项式相乘》精品教案
14．1.4 整式的乘法第1课时 单项式与单项式、多项式相乘1．探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算．(重点)2．熟练应用运算法则进行计算．(难点)一、情境导入1．教师引导学生回忆幂的运算公式．学生积极举手回答：同底数幂的乘法公式：a m ·a n ＝am ＋n (m ，n 为正整数)．幂的乘方公式：(a m )n ＝a mn (m ，n 为正整数)．积的乘方公式：(ab )n ＝a n b n (n 为正整数)．2．教师肯定学生的回答，并引入课题——单项式与单项式、多项式相乘．二、合作探究探究点一：单项式乘以单项式 【类型一】 直接利用单项式乘以单项式法则进行计算计算：(1)(－23a 2b )·(56ac 2)； (2)(－12x 2y )3·3xy 2·(2xy 2)2； (3)－6m 2n ·(x －y )3·13mn 2(y －x )2. 解析：运用幂的运算法则和单项式乘以单项式的法则计算即可．解：(1)(－23a 2b )·(56ac 2)＝－23×56a 3bc 2＝－59a 3bc 2； (2)(－12x 2y )3·3xy 2·(2xy 2)2＝－18x 6y 3×3xy 2×4x 2y 4＝－32x 9y 9；(3)－6m 2n ·(x －y )3·13mn 2(y －x )2＝－6×13m 3n 3(x －y )5＝－2m 3n 3(x －y )5. 方法总结：(1)在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；(2)注意按顺序运算；(3)不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；(4)此性质对于多个单项式相乘仍然成立．【类型二】 单项式乘以单项式与同类项的综合已知－2x 3m ＋1y 2n 与7x n －6y －3－m 的积与x 4y 是同类项，求m 2＋n 的值．解析：根据－2x 3m ＋1y 2n与7x n －6y －3－m 的积与x 4y 是同类项可得出关于m ，n 的方程组，进而求出m ，n 的值，即可得出答案．解：∵－2x3m ＋1y 2n 与7x n －6y －3－m 的积与x 4y 是同类项，∴⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋1＋n －6＝4，2n －3－m ＝1，解得：⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝3，∴m 2＋n ＝7.方法总结：单项式乘以单项式就是把它们的系数和同底数幂分别相乘，结合同类项，列出二元一次方程组．【类型三】 单项式乘以单项式的实际应用有一块长为x m ，宽为y m 的矩形空地，现在要在这块地中规划一块长35x m ，宽34y m 的矩形空地用于绿化，求绿化的面积和剩下的面积．解析：先求出长方形的面积，再求出矩形绿化的面积，两者相减即可求出剩下的面积．解：长方形的面积是xy m 2，矩形空地绿化的面积是35x ×34y ＝920xy (m)2，则剩下的面积是xy －920xy ＝1120xy (m 2)．方法总结：掌握长方形的面积公式和单项式乘单项式法则是解题的关键．探究点二：单项式乘以多项式【类型一】 直接利用单项式乘以多项式法则进行计算计算：(1)(23ab 2－2ab )·12ab ； (2)－2x ·(12x 2y ＋3y －1)． 解析：先去括号，然后计算乘法，再合并同类项即可．解：(1)(23ab 2－2ab )·12ab ＝23ab 2·12ab －2ab ·12ab ＝13a 2b 3－a 2b 2；(2)－2x ·(12x 2y ＋3y －1)＝－2x ·12x 2y ＋(－2x )·3y －(－2x )·1＝－x 3y ＋(－6xy )－(－2x )＝－x 3y －6xy ＋2x .方法总结：单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．【类型二】 单项式乘以多项式乘法的实际应用一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽a 米，下底宽(a ＋2b )米，坝高12a 米． (1)求防洪堤坝的横断面积；(2)如果防洪堤坝长100米，那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米？解析：(1)根据梯形的面积公式，然后利用单项式乘多项式的法则计算；(2)防洪堤坝的体积＝梯形面积×坝长．解：(1)防洪堤坝的横断面积S ＝12[a ＋(a ＋2b )]×12a ＝14a (2a ＋2b )＝12a 2＋12ab .故防洪堤坝的横断面积为(12a 2＋12ab )平方米； (2)堤坝的体积V ＝Sh ＝(12a 2＋12ab )×100＝50a 2＋50ab .故这段防洪堤坝的体积是(50a 2＋50ab )立方米．方法总结：通过本题要知道梯形的面积公式及堤坝的体积(堤坝体积＝梯形面积×长度)的计算方法，同时掌握单项式乘多项式的运算法则是解题的关键．【类型三】 化简求值先化简，再求值：3a (2a 2－4a ＋3)－2a 2(3a ＋4)，其中a ＝－2.解析：首先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号，然后合并同类项，最后代入已知的数值计算即可．解：3a (2a 2－4a ＋3)－2a 2(3a ＋4)＝6a 3－12a 2＋9a －6a 3－8a 2＝－20a 2＋9a ，当a ＝－2时，原式＝－20×4－9×2＝－98.方法总结：在做乘法计算时，一定要注意单项式的符号和多项式中每一项的符号，不要搞错．【类型四】 单项式乘多项式，利用展开式中不含某一项求未知系数的值如果(－3x )2(x 2－2nx ＋23)的展开式中不含x 3项，求n 的值． 解析：原式先算乘方，再利用单项式乘多项式法则计算，根据结果不含x 3项，求出n 的值即可．解：(－3x )2(x 2－2nx ＋23)＝(9x 2)(x 2－2nx ＋23)＝9x 4－18nx 3＋6x 2，由展开式中不含x 3项，得到n ＝0.方法总结：单项式与多项式相乘，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0.三、板书设计单项式与单项式、多项式相乘1．单项式与单项式相乘法则：单项式与单项式相乘就是它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式．2．单项式与多项式相乘的法则：单项式与多项式相乘，只要将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加．本节知识的重点是让学生理解单项式与单项式、多项式相乘的法则，并能应用．这就必须要求学生对乘法的分配律以及幂的运算法则有一定的基础，因此课前可以要求学生先复习该部分的知识，同时在上新课前也可以通过练习题让学生回忆知识．对于运算法则的得出，教师通过“试一试”逐步解题，通过计算演示法则的内容，更有利于学生理解运算法则．作者留言：非常感谢！您浏览到此文档。
北师大版八年级上册数学第一章 勾股定理含答案
北师大版八年级上册数学第一章勾股定理含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地（）A.50 mB.100mC.150mD.100 m2、如图所示，点B，D在数轴上，OB=3，OD=BC=1，，以D为圆心，DC长为半径画弧，与数轴正半轴交于点A，则点A表示的实数是（）A. B. C. D.3、如图，四个全等的直角三角形围成一个正方形ABCD和正方形EFGH，即赵爽，弦图，连接AC，FN交EF，GH分别于点M，N已知AH=3DH，且S正方形ABCD则图中阴影部分的面积之和为（）A. B. C. D.4、如图，在菱形中，对角线相交于点为中点，.则线段的长为：（）A. B. C.3 D.55、在平面直角坐标系中，Rt△ABC按如图方式放置(直角顶点为A)，已知A(2，0)，B(0，4)，点C在双曲线y= (x>0)上，且AC= ．将△ABC沿X 轴正方向向右平移，当点B落在该双曲线上时，点A的横坐标变成( )A.3B.4C.5D.66、以下列线段长为边，能构成直角三角形的是（）A.2，3，5B.2，3，4C.3，，4D.2，4，57、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，AC=2，则BC的值（）A. B. C. D.8、如图，为半圆O的直径，且，射线交半圆O 的切线于点E，交于F，若，则的半径长为（）A. B. C. D.9、如图，每个小正方形的边长为，在中，点为的中点，则线段的长为（）．A. B. C. D.10、设三角形的三边长分别等于下列各组数，能构成直角三角形的是（）。
A.1，1，B. ，，C.0.2，0.3，0.5 D. ，，11、如果下列各组数是三角形的三边长，那么不能组成直角三角形的一组数是（）A.6，8，10B.4，5，6C. ，1，D. ，4，512、如图，在正方形网格中，以格点为顶点的的面积等于3，则点A到边BC的距离为（）A. B. C.4 D.313、下列各组数中，能构成直角三角形的是（）A.4，5，6B.1，1，C.6，8，11D.5，12，2314、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=40，CB=9，M、N在AB上且AM=AC，BN=BC，则MN的长为（ )A.6B.7C.8D.915、如图，O是等边△ABC内的一点，OB＝1，OA＝2，∠AOB＝150°，则OC的长为（）A. B. C. D.3二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AB，AD上，若CE＝5，且∠ECF＝45°，则CF的长为________.17、如图，△ABC和△DCE都是边长为2的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为________．18、如图，在菱形中，O是对角线上一点，经过点A，B，C，若的半径为2，，则的长为________.19、存矩形ABCD中，AB=6，AD=5，点P是BC上的一个动点，连接AP、DP，则AP+DP的最小值为________．20、等腰△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，则BC边上的高是________cm．21、如图所示，已知四边形ABCD中，，，，，且求四边形ABCD的面积________．22、如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图2放入一个边长为3的正方形中(片在结合部分不重叠无缝隙)，则图2中阴影部分面积为________。
沪科版初中数学八年级上册教学课件 11-1 第1课时 平面直角坐标系及点的坐标
-40
-50
3
1
4
2
5
-2
-4
-1
-3
o
1
2
3
4
5
-4
-3
-2
-1
x
横轴
y
纵轴
原点
平面直角坐标系具有以下特征： ①两条数轴互相垂直 ②原点重合 ③通常取向右、向上为正方向 ④单位长度一般取相同的
平面直角坐标系
坐标轴不属任何象限
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
y
-5
-6
横坐标
纵坐标
B点在y轴上的坐标为-2
C
C
B
A
本节课我们学习了平面直角坐标系。学习本节我们要掌握以下三方面的知识内容： 1、能够正确画出直角坐标系。 2、能在直角坐标系中，根据坐标找出点，由点求出坐标。坐标平面内的点和有序实数对是一一对应的。 3、掌握象限点、x轴及y轴上点的坐标的特征： 第一象限：（＋，＋）第二象限：（－，＋） 第三象限：（－，－）第四象限：（＋，－） x轴上的点的纵坐标为0，表示为（x，0） y轴上的点的横坐标为0，表示为（0，y）
北
西
30）
北京路
平面上有公共原点且互相垂直 的2条数轴构成平面直角坐标系， 简称直角坐标系。 水平方向的数轴称为x轴或横轴。 竖直方向的数轴称为y轴或纵轴。 （它们统称坐标轴） 公共原点10
10
-10
-20
-30
20
30
-20
-10
11.1平面内点的坐标（1）
1、什么是数轴？
2、数轴上的点与 ？一一对应
实数
o
1
2
3
4
八年级上册数学文学常识(整理版)
八年级上册数学文学常识(整理版)1. 斐波那契数列斐波那契数列是指前两个数为1，然后从第三个数开始，每个数都是前两个数之和。
斐波那契数列的前几个数是1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55...，这个数列在数学和自然界中都有广泛的应用。
2. 圆周率圆周率是指圆的周长与直径之比，通常用希腊字母π表示。
圆周率的近似值是3.，但它是一个无限不循环小数，无法精确计算出其所有位数。
3. 黄金比例黄金比例是指一段分为两段，整体与较长一段之比等于较长一段与较短一段之比。
黄金比例的近似值是1.，经常出现在艺术、建筑和自然界中。
4. 平方根平方根是指一个数的正平方根是使得它与自身相乘等于原数的数。
例如，4的平方根是2，因为2乘以2等于4。
5. 平行线平行线是指在同一个平面上不相交且永不会相交的两条直线。
平行线具有相同的斜率。
6. 勾股定理勾股定理是指直角三角形中，斜边的平方等于两直角边平方和的定理。
勾股定理的数学表达式为a^2 + b^2 = c^2，其中a和b为直角边的长度，c为斜边的长度。
7. 等边三角形等边三角形是指三条边的长度都相等的三角形。
等边三角形的内角都是60度。
8. 多边形多边形是指由多条线段组成的封闭图形。
根据边的数量，多边形可以分为三角形、四边形、五边形等。
9. 弧长与扇形面积弧长是指圆的一部分的周长。
扇形面积是指由圆心和圆上两点所围成的扇形的面积。
计算弧长和扇形面积需要使用圆周率。
10. 半径、直径和周长半径是指从圆心到圆上任意一点的距离。
直径是指通过圆心并且两端在圆上的线段的长度，等于半径的两倍。
周长是指圆的周长，等于直径乘以圆周率π。
以上是八年级上册数学文学常识的整理，希望对你有帮助。
华师大版数学八年级上册《反证法》教学设计2
华师大版数学八年级上册《反证法》教学设计2一. 教材分析华师大版数学八年级上册《反证法》是学生在初中阶段首次接触到的证明方法，它既是一种重要的证明方法，又是学生思维能力的一次飞跃。
教材从学生的实际出发，通过学生已知的数学知识，引入反证法的概念，并通过具体的例题，让学生体会反证法的应用。
二. 学情分析学生在七年级时已经学习了直接证明的方法，能够通过逻辑推理得出结论。
但八年级的学生在逻辑思维能力和抽象思维能力上还有一定的局限性，因此，在引入反证法时，需要通过具体的情境，让学生感受反证法的必要性，从而理解并掌握反证法的应用。
三. 教学目标1.让学生了解反证法的概念，理解反证法的原理。
2.培养学生运用反证法解决问题的能力。
3.提高学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。
四. 教学重难点1.反证法的概念和原理的理解。
2.运用反证法解决问题的能力。
五. 教学方法采用问题驱动法，通过具体的情境，让学生感受反证法的必要性，从而引导学生思考并理解反证法的原理。
在教学过程中，注重学生的参与，鼓励学生提出问题，引导学生进行思考，培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。
六. 教学准备1.PPT课件2.相关例题3.教学素材七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个具体的问题，让学生思考直接证明的方法，从而引出反证法的必要性。
2.呈现（10分钟）通过PPT课件，介绍反证法的概念和原理，让学生理解反证法的应用。
3.操练（15分钟）让学生通过具体的例题，运用反证法进行证明，从而加深对反证法的理解。
4.巩固（10分钟）让学生分组讨论，总结反证法的步骤，并通过小组竞赛的形式，检验学生对反证法的掌握程度。
5.拓展（10分钟）让学生思考反证法在实际生活中的应用，通过具体的情境，让学生感受反证法的价值。
6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课的学习内容，让学生明确反证法的概念、原理及应用。
7.家庭作业（5分钟）布置相关练习题，让学生巩固所学知识，提高运用反证法解决问题的能力。
八上数学第七章定义和定理
八上数学第七章定义和定理
数学定义：亚里士多德把数学定义为“数量数学”，这个定义直到18世纪。
从19世纪开始，数学研究越来越严格，开始涉及与数量和量度无明确关系的群论和投影几何等抽象主题，数学家和哲学家开始提出各种新的定义。
数学逻辑的早期定义是本杰明·皮尔士（benjamin peirce）的“得出必要结论的科学”。
在principia mathematica，bertrand russell和alfred north whitehead提出了被称为逻辑主义的哲学程序，并试图证明所有的数学概念，陈述和原则都可以用符号逻辑来定义和证明。
数学的逻辑学定义是罗素的“所有数学是符号逻辑”。
正式宣布主义定义用其符号和操作方式规则去确认数学。
haskell curry将数学直观地定义为“正式宣布系统的科学”。
正式宣布系统就是一组符号，或令牌，除了一些规则说令牌如何组合成公式。
在正式宣布系统中，公理一词具备特定意义，与“不言而喻的真理”的普通含义相同。
在正式宣布系统中，公理就是涵盖在取值的正式宣布系统中的令牌的女团，而不须要采用系统的规则求出。
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数学[八上007]
坐标系中的平移（I）
一、平移
1、平移即平行移动。
平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小。
2、平移的两个要素：（1）平移的；（2）平移的。
* 图形上所有的点都向同一个，平移相同的。
3、一个图形经过平移，对应点的连线互相平行，或。
二、坐标系中的平移
1、在平面直角坐标系中，将一个图形平移，是指向左、右平移，或向上、下平移。
2、图形中一个点平移的方向和距离，代表了整个图形平移的方向和距离。
当a 时，图形向左平移；当a 时，图形向右平移。
P（x，y） P
（x+a，y+b）
1
当b 时，图形向上平移；当b 时，图形向下平移。
3、填空：
（1）点M（-1，3）向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得点M′（）。
（2）将点P（4，2）向平移个单位，再向平移个单位，得点Q（0，-2）。
（3）已知点M（-4，-3），N（2，-1），将线段MN平移，使得点N与原点重合，此时点M的坐标是。
（4）线段AB两个端点的坐标是A（2，-5），B（-2，1），将线段AB平移，得线段A′B′，其中点A′的坐标是（-2，2），那么点B′的坐标是；线段A′B′中点的坐标是。
思路：
（y-6，2x+7），求点A （5）将点A（x+3，y-2）左移2个单位，再下移1个单位，得点A
1
的坐标。
解：。