二重积分部分练习题
二重积分习题及答案
解
在极坐标系下
x y
r r
cos sin
所以圆方程为 r 1,
直线方程为r
1
,
sin cos
x2 y2 1 x y1
f ( x, y)dxdy
2 d
1
1
f (r cos ,r sin )rdr.
D
0 sin cos
8
计算 ( x2 y2 )dxdy,其 D 为由圆
D
x2 y2 2 y, x2 y2 4 y及直线 x 3y 0,
【注】在利用对称性计算二重积分时,要同时考虑被积 函数的奇偶性和积分区域的对称性,不能只注意积分区域
关于坐标轴的对称性,而忽视了被积函数应具有相应的奇
偶性.
6
证明
b dx
x
(x
y)n2
f
( y)dy
1
b
(b
a
n1 a
b
x
证 dx ( x y)n2 f ( y)dy
y 3x 0 所围成的平面闭区域.
解
y
3x
0
2
3
x2 y2 4 y r 4sin
x
3y
0
1
6
x2 y2 2 y r 2sin
( x2 y2 )dxdy
3 d
4sin r 2 rdr
15(
3).
D
6
2sin
2
•
1、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。20.1 2.1220. 12.12Sa turday, December 12, 2020
5 计算 ( x y )dxdy, D : x2 y2 1
D
分析 积分区域D关于x、y轴均对称, 被积函数
考研数学二重积分练习
习题8 二重积分 一、填空题1、若D 是以(0,0),(1,0)及(0,1)为顶点的三角形区域,由二重积分的几何意义知(1)Dx y --⎰⎰=_____。
2、设区域D 是221x y +≤与222x y x +≤的公共部分,在极坐标系下(,)Df x y dxdy ⎰⎰的累次积分 。
3、当{(,)1,1}D x y x y x y =+=-=}时 Ddxdy ⎰⎰= 。
4、设{}222(,)D x y x y a =+≤,若Dπ=,则a = 。
5、设区域D 由曲线sin ,,02y x x y π==±=所围成,则()51Dx y dxdy -⎰⎰= 。
二、选择题 1、设2211cos sin x y dxdyI x y +≤=++⎰⎰,则( )。
A 、2/32I ≤≤ B 、23I ≤≤ C 、1/2D I ≤≤ D 、10I -≤≤ 2、设(,)f x y 是连续函数,则1(,)xdx f x y dy =⎰⎰( )。
A 、1(,)y dy f x y dx ⎰⎰ B 、110(,)y dy f x y dx ⎰⎰ C 、101(,)ydy f x y dx ⎰⎰ D 、1(,)xydy f x y dx ⎰⎰。
3、设D 是第一象限中由曲线21xy =,41xy =与直线y x =,y =围成的平面区域,函数(),f x y 在D 上连续,则(),Df x y dxdy =⎰⎰( )。
A 、()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰B 、()34cos ,sin d f r r rdr ππθθθ⎰ C 、()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰D 、()34cos ,sin d f r r dr ππθθθ⎰4、设1DI σ=⎰⎰,σd y x I D ⎰⎰+=)cos(222,σd y x I D⎰⎰+=2223)cos(, 其中 }1),{(22≤+=y x y x D ,则( )A 、123I I I >>B 、321I I I >>C 、312I I I >>.D 、213I I I >>5、累次积分cos 2(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰可以写成:( ) A、1(,)dyf x y dx ⎰ B 、1(,)dy f x y dx ⎰ C 、1100(,)dxf x y dy ⎰⎰D 、1(,)dx f x y dy ⎰。
二重积分习题及答案
D1
yx
D2
D1 , D2 两部分
2
D2
( x y )d xd y 2 d xd y
D
o
1 x
2 ( 2 1) 3 2 说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号.
5 计算
2 2 ( x y ) dxdy , D : x y 1 D
分析 积分区域D关于x、y轴均对称, 被积函数
f ( x, y) x y 关于x,y均是偶函数,利用对称性
去掉绝对值符号. 解 采用直角坐标 ( x y )dxdy 4 dx
D
1
1 x 2 0
0
( x y )dy 8 3
【注】在利用对称性计算二重积分时,要同时考虑被积 函数的奇偶性和积分区域的对称性,不能只注意积分区域 关于坐标轴的对称性,而忽视了被积函数应具有相应的奇
解
x r cos 在极坐标系下 y r sin 所以圆方程为 r 1, 1 直线方程为 r , sin cos
x2 y2 1
x y 1
f ( x, y )dxdy
D
2
0
d
1
1 sin cos
f ( r cos , r sin )rdr .
8
计算 ( x y )dxdy ,其 D 为由圆
2 2 D
x 2 y 2 2 y , x 2 y 2 4 y 及直线 x 3 y 0 , y 3 x 0 所围成的平面闭区域. 解 y 3x 0 2
3
x y 4 y r 4 sin
2 1
4. 计算二重积分
经济数学(二重积分习题及答案)
第九章二重积分习题 9-11.设0),(≥y x f ,试阐述二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰的几何意义.解 当0),(≥y x f 时,二重积分(,)d D f x y σ⎰⎰表示的是以xy 平面上的有界闭区间为底,以曲面),(y x f z =为顶,母线平行于z 轴,准线为区域D 的边界的一个曲顶柱体的体积.2.试确定下列积分的符号并说明理由:221(1)ln()d d x y x y x y+<+⎰⎰224(2)d x y x y*+≤⎰⎰解 (1) 因1x y +<,则将此式两边平方,得220121x y xy ≤+<-<于是 0)ln(22<+y x 故221ln()d d 0.x y x y x y +<+<⎰⎰(2)因为224d x y x y+≥⎰⎰222222221122343d d d d x y x y x y x y x y x yx y x y+≤<+≤<+≤<+≤=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰当221x y +≤1,且此区域面积为π,则221d x y x y π+≤≤⎰⎰当2212x y <+≤0,且此区域面积为π,则2212d 0xy x y <+≤≤⎰⎰当2223x y <+≤1-,且此区域面积为π,则2223d x y x y π<+≤≤-⎰⎰当2234x y <+≤≤且此区域面积为π,则2243d x y x y <+≤≤⎰⎰故 224d 00x y x y ππ+≤≤+--=<⎰⎰.3.试用二重积分的定义证明:(1) d DDS σ=⎰⎰(其中D S 为D 之面积)(2) (,)d (,)d DDkf x y k f x y σσ=⎰⎰⎰⎰(k 为常数)证 (1) 由二重积分的定义,有.1(,)d lim (,)n i i ii Df x y f λσεησ→==∆∑⎰⎰则当1),(≡y x f 时,上式变为01d lim lim ni D Di DS S λλσσ→→==∆==∑⎰⎰.(2) 由二重积分的定义,有,1,101(,)d lim () lim () lim (,)n i iioi Dni i ioi ni i ii kf x y kf k f k f λλλσξησξησξησ→=→=→==∆=∆=∆∑⎰⎰∑∑ (,)d .Dk f x y σ=⎰⎰4.根据二重积分的性质,比较下列积分的大小.()2(1) d Dx y σ+⎰⎰与3()d Dx y σ+⎰⎰,其中D 由x 轴、y 轴及直线1x y +=围成;()2(2) d Dx y σ+⎰⎰与3()d Dx y σ+⎰⎰,其中D 由圆2(2)x -+ 2(1)2y -=围成.解 (1) 积分区域D 如图9-1 所示. 因在所围区域内有10≤+≤y x ,所以 32)()(y x y x +≥+故 ()23d ()d D D x y x y σσ+≥+⎰⎰⎰⎰. 图9-1 (2) 积分区域D 如图9-2 所示.因圆22(2)(1)2x y -+-=的参数方程为22cos 12sin x y θθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩则32(sin cos )32sin()4x y πθθθ+=++=++图9-2min ()321,1,x y x y +=-=+≥而且于是32)()(y x y x +≤+故 ()23d ()d .D D x y x y σσ+≤+⎰⎰⎰⎰5.利用二重积分的性质,估计下列积分的值.(1) ()d DI xy x y σ=+⎰⎰, :01,01D x y ≤≤≤≤22(2) sin sin d DI x y σ=⎰⎰, :0,0D x y ππ≤≤≤≤(3) (1)d DI x y σ=++⎰⎰, :01,02D x y ≤≤≤≤22(4) (49)d DI x y σ=++⎰⎰,22:4D x y +≤ 解 (1) 因01,01x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩则0102xy x y ≤≤⎧⎨≤+≤⎩故00d 2d 2d 2 2.D DDDI S σσσ=≤≤===⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2) 因0,0x y ππ≤≤⎧⎨≤≤⎩则0sin 10sin 1x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩于是 220sin sin 1x y ≤≤ 故200d d .D DDI S σσπ=≤≤==⎰⎰⎰⎰(3)因0102x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩,则411≤++≤y x故d (1)d 4d DDDx y σσσ≤++≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰即 28.I ≤≤(4) 因4022≤+≤y x ,则22229494()925x y x y ≤++≤++≤于是99d 25d 25D DDDS I S σσ=≤≤=⎰⎰⎰⎰而 24D S r ππ== 故 36100.I ππ≤≤习题 9-21.计算下列二重积分:22(1) ()d ,Dx y σ+⎰⎰其中D 是矩形区域:1,1x y ≤≤;22(2) ()d ,Dx y x σ+-⎰⎰其中D 由直线22y y x y x ===、与所围成;2(3) d ,Dxy σ⎰⎰其中D2y x y x ==由抛物线和直线所围成; 2111sin (4) d d .y x y x x -⎰⎰解 (1)积分区域D 如图9-3 所示.11222211()d d ()d Dxy x x y yσ--+=+⎰⎰⎰⎰12128(2)d .33x x -=+=⎰ 图9-3(2)积分区域D 如图9-4所示.22222102 ()d d ()d yyDx y x y x y x xσ+-=+-⎰⎰⎰⎰232019313()2486y y dy =-=⎰图9-4(3)积分区域D 如图9-5所示.2112232001 d d d ()d 3xx D xxy x xy y x y xx σ==⋅⎰⎰⎰⎰⎰ 1470111()d 3340x x x =-=⎰图9-5(4)积分区域D 如图9-6所示.22111110110sin sin d d d d sin d sin1cos1.x y xx y x x yx x x x x +-===-⎰⎰⎰⎰⎰图9-62.积分区域}{(,),D x y a x b c y d =≤≤≤≤,且被积函数为()(),f x g y ⋅求证:()()d d ()d ()d bdacDf xg y x y f x x g y y⋅=⎰⎰⎰⎰.证 积分区域D 如图9-7所示.()()d d d ()()d b dacDf xg y x y x f x g y y=⎰⎰⎰⎰()[()d ]d ()d ()d ()d ()d b dacd bcab dacf xg y y xg y y f x xf x xg y y ==⋅=⋅⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 图9-73.设(,)f x y 在D 上连续且D 由y x y a x b b a ===>、与()围成,求证:d (,)d d (,)d .bx b baa a y x f x y y y f x y x =⎰⎰⎰⎰证 积分区域D 如图9-8 所示. 交换等式左边二次积分的积分顺序有d (,)d d (,)d b xb baaayx f x y y y f x y x=⎰⎰⎰⎰图9-84.下列条件下,将(,)d DI f x y σ=⎰⎰按不同积分顺序化为二次积分:2(1) 4D y x y x ==由与所围成;(2) D x 由轴与半圆周()2220x y r y +=≥所围成. 解 (1) 由24y x =和y x =,得交点为(0,0),(4,4). y=x积分区域D 如图9-9 所示. 于是将I 化为先对y 后对x 的二次积分,得420d (,)d xxI x f x y y=⎰⎰将I 化为先对x 后对y 的二次积分,得2414d (,)d .y y I y f x y x =⎰⎰(2)积分区域D 如图9-10 所示. 图9-9将I 化为先对y 后对x 的二次积分,得22d (,)d rr x rI x f x y y--=⎰⎰将I 化为先对x 后对y 的二次积分,得2222d (,)d rr y r y I y f x y x---=⎰⎰图9-105.更换下列二次积分的积分顺序:10(1) d (,)d yy y f x y x⎰⎰10(2) d (,)d yy f x y x⎰⎰1(3) d (,)d e ln xx f x y y⎰⎰221101(4) d (,)d y y y f x y x---⎰⎰2113(3)2001(5) d (,)d d (,)d x x x f x y y x f x y y-+⎰⎰⎰⎰解 (1)因为原积分区域{}(,)01,D x y y y x y=≤≤≤≤为Y 型区域, 其图形如图9-11 所示. 交换积分次序区域D 应视为X 型区域. 故211d (,)d d (,)d .yxyxy f x y x x f x y y =⎰⎰⎰⎰(2) 因为原积分区域{}(,)01,0D x y y x y =≤≤≤≤为Y 型区域, 其图形如图9-12 所示. 交换积分次序区域D 应视为X 型区域. 故111d (,)d d (,)d .yoxy f x y x x f x y y =⎰⎰⎰⎰(3)因为原积分区域{}(,)1,0ln D x y x e y x=≤≤≤≤为X 型区域, 其 图形如图9-13 所示. 交换积分次序区域D 应视为Y 型区域.图9-11 图9-12故ln 11d (,)d d (,)d .xexee xf x y y y f x y x =⎰⎰⎰⎰(4)因为原积分区域{}22(,)01,11D x y y y x y =≤≤≤≤---为Y 型区域, 其图形如图9-14 所示. 交换积分次序区域D 应视为X 型区域.故2221111011d (,)d d (,)d .y x yy f x y x x f x y y -----=⎰⎰⎰⎰图9-13 图9-14(5)因为原积分区域{}2121,(,)01,0D D D D x y x y x =+=≤≤≤≤其中21(,)13,032D x y x y x ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭(-)为X 型区域, 其图形如图9-15 所示. 交换积分次序区域D 应视为Y 型区域.图9-15 图9-16 2113(3)20011320d (,)d d (,)d d (,)d .故x x y yx f x y y x f x y yy f x y x --+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰6.求由平面0011x y x y ====、、、所围成的柱体被平面0z =与2x + 3y + z = 6所截得的立体的体积.解 该曲顶柱体如图9-16所示.习题 9-31.作适当变换,计算下列二重积分:()22(1) ()sin d d Dx y x y x y-+⎰⎰.D 是顶点为(,0)(2,)(,2)πππππ、、、(0,)π的四边形;22(2) d d ,Dx y x y ⎰⎰1240D xy xy y x y x x ====>由、、和所围成且、0y >;(3) d d ,yx yDex y +⎰⎰ D 由x 轴,y 轴和直线1x y +=所围成;()()1100623d d 7d 623d .2DV x y x yx x y y =--=--=⎰⎰⎰⎰2222(4) ()d d ,D y x x y a b +⎰⎰2222:1y x D a b +≤.解 (1) 积分区域D 如图9-17所示.令x y ux y v -=⎧⎨+=⎩,解得()()1212x u v y v u ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 于是原积分区域D 的边界x y π+=、3x y π+=、x y π-=、x y π-=-与 图9-17新积分区域D’的边界3v π=、v π=、u π=、u π=-相对应. 其积分区域D’的图形如图9-18所示.因为11(,)12211(,)222x x x y u v J y y u v u v ∂∂∂∂∂====∂∂∂-∂∂故()()22sin d d Dx y x y x y -+⎰⎰22'322321sin d d 21d sin d 231sin 2324D u v u vu u v v u v v ππππππππ-=⋅=⎛⎫⎛⎫=⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰ 图9-183431().3223ππππ=⋅-=(2) 积分区域D 如图9-19所示.令 xy u yv x =⎧⎪⎨=⎪⎩,解得u x v y uv ⎧=⎪⎨⎪=⎩则新积分区域D’由u = 1,u = 2,v = 1,v = 4围成.其积分区域D’的图形如图9-20所示. 图9-19因为(,)(,)x xx y u v J y yu v u v ∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂2111()122222v v u u v u v v v u uvuv⋅-==22'2'1d d d d 211 d d 2DD D u x y x y uv u v v v u u v v =⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰故 图9-2024211117d d ln 2.23u u v v ==⎰⎰ (3)积分区域D 如图9-21所示.令x y u y v +=⎧⎨=⎩,解得x u vy v =-⎧⎨=⎩则新积分区域D’由u = v 、v = 0和u = 1围成. 图9-21其积分区域D’的图形如图9-22所示.因为11(,)101(,)xxx y u v J y y u v u v∂∂-∂∂∂====∂∂∂∂∂图9-22故 10'd d 1d d d d y v v x yuuuoDD ex y e u v u e v+=⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰()1011d 2e u e u -=-=⎰.(4)积分区域D 如图9-23所示.令 cos sin x ar y br θθ=⎧⎨=⎩则新积分区域为 (){}',02,01D r r θθπ=≤≤≤≤ 图9-23因为(,)(,)x xx y r J yyr r θθθ∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂cos sin sin cos a ar abrb br θθθθ-==22222'21300 ()d d d d 1d d .2DD y xx y r abr r a bab r r ab πθθπ+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰故2.用变量替换,求下列区域D 的面积:(1)334851500.D xy xy xy xy x y ====>>由曲线、、和所围成且、 (2)D 由曲线333344y x y x x y x y ====、、、所围成且00.x y ≥≥、解 (1) 令3u xy v xy =⎧⎨=⎩,解得,u vx u y v u ==则新积分区域D’由 u = 4、u = 8、v = 5、v = 15围成.因为(,)(,)x xx y u vJy yu vu v∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂31221211122u u uv v vvvu u uv-==-81515545'd d111d d d d4ln2ln3.222DDDS x yu v u v vv v====⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰故图9-24(2) 令33yuxxvy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,解得838311xu vyuv⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则新积分区域D’由u = 1、u = 4、v = 1和v = 4围成. 其积分区域D’的图形如图9-25所示.因为(,)(,)x xx y u vJy yu vu v∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂图9-25 1113988883293111888831188()81388u v u vuvu v v u-----------==--故d dDDS x y=⎰⎰()33442211342111d d d()d8811d.88Duv u v u uv vu u---====⎰⎰⎰⎰⎰’100D x y x y+===3.设由直线、与所围成,求证:1cos()d d sin1.2Dx yx yx y-=+⎰⎰证积分区域D如图9-26所示.令x y vx y u+=⎧⎨-=⎩,解得()()1212x v uy v u⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩则新积分区域'D由v = 1,v = -u, 及v = u围成. 图9-26因为11(,)12211(,)222x x x y u v J y yu v u v ∂∂∂∂∂====∂∂∂-∂∂'1cos d d cos d d 2D D x y u x y u vx y v -=⋅+⎰⎰⎰⎰故 图9-27101d cos d 2vv uv uv -=⎰⎰101[sin ]d 21sin1d sin1.2v v u v v v v v =-==⎰⎰4.选取适当变换,求证:()()11d d d , : 1.Df x y x y f u u D x y -+=+≤⎰⎰⎰证 积分区域D 如图9-28所示.令x y ux y v +=⎧⎨-=⎩, 解得()()1212x u v y u v ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩则新积分区域'D 由u = 1, u = -1,v = 1及v = -1所围成其积分区域D’的图形如图9-29所示. 图9-28因为 11(,)12211(,)222x x x y u v J y y u v u v ∂∂∂∂∂====-∂∂∂-∂∂ 故'1()d d ()d d 2DD f x y x y f u u v +=-⎰⎰⎰⎰1111111d ()d ()d .2u f u v f u u ---==⎰⎰⎰习题 9-41.画出下列积分区域D 并把积分(),d d Df x y x y⎰⎰化成极坐标形式:()22222(1) 0 (2) 2x y a a x y x +≤>+≤()2222(3) 0 (4) 0101a x y b a b y x x ≤+≤<<≤≤-≤≤且 解 积分区域D 如图9-30所示.(1)令cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩则积分区域D 被夹在0θ=与2θπ=之间,且远近极点的边界方程分别为0r a r ==与,故 图9-30()20,d d d (cos ,sin )d .aDf x y x y f r r r r πθθθ=⎰⎰⎰⎰(2) 积分区域D 如图9-31所示.令 cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩则远近极点的边界方程分别为r=2cos θ与r = 0.由r ≥0和2cos 0θ≥得22ππθ-≤≤图9-31 则D 被夹在22ππθθ==-和之间, 故2cos 22(,)d d d (cos ,sin )d Df x y x y f r r r rπθπθθθ-=⎰⎰⎰⎰.(3) 积分区域D 如图9-32所示.令 cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩则远近极点的边界方程分别为r a r b ==与, 图9-32而D 被夹在02θθπ==与之间, 故20(,)d d d (cos ,sin )d .baDf x y x y f r r r r πθθθ=⎰⎰⎰⎰(4) 积分区域D 如图9-33所示.令 cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩则远近极点的边界方程分别为图9-331cos sin r θθ=+0r =与,而D 被夹在02πθθ==和之间,故12cos sin 0(,)d d d (cos ,sin )d .Df x y x y f r r r r πθθθθθ+=⎰⎰⎰⎰2.将下列二次积分化为极坐标形式:2222222222001122222000(1) d ()d (2) d d (3) d ()d (4) d ()d aax x axxa a y xx x y y x x y y x x y y yx y x---++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解 (1)积分区域D 如图9-34所示.令 cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩则22y ax x =-的极坐标方程为2cos ,r a θ=而D 被夹在02πθθ==与之间, 故 图9-342222cos 22320d ()d d d .aax x a x x y y r r πθθ-+=⎰⎰⎰⎰(2) 积分区域D 如图9-35所示.令cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩ 则0x a x ==与的极坐标方程分别为图9-26cos a r θ=与0;r =0y x y ==与的方程分别为04πθθ==与,故sec 22240d d d d .axa x x y y r r πθθ+=⎰⎰⎰⎰(3) 积分区域D 如图9-36所示.令cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩则2y x y x ==与的极坐标方程分别为 图9-36 tan sec r θθ=4πθ=与,故211tan sec 2224000d ()d d d .xx x x y y r πθθθ-+=⎰⎰⎰⎰(4) 积分区域D 如图9-37所示.令cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩则222x y a +=上方程为,r a =而D 被夹在02πθθ==与之间, 故222232000d ()d d d .aa y ay x y x r r πθ-+=⎰⎰⎰⎰ 图9-373.用极坐标计算下列各题:22(1) d ,xy De σ+⎰⎰D 由圆周224x y +=所围成;22(2) d ,Dx y σ+⎰⎰{}2222(,);D x y a x y b =≤+≤(3) arctand ,Dy x σ⎰⎰2222140D x y x y y y x +=+===由、、和所围成的第I 象限部分;222224 d , :.DR x y D x y Rx σ--+≤⎰⎰()解 (1) 积分区域D 如图9-38所示.令 cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩ {}(,)02,02D r r θθπ=≤≤≤≤则,故222220d d d x y r Dee r r πσθ+=⎰⎰⎰⎰图9-382224012d (1)2re r e ππ==-⎰.(2) 积分区域D 如图9-39所示.令cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩(){},,02D r a r b θθπ=<<≤≤则,故 图9-39222203333d d d 22().33baDx y r rb a b a πσθππ+=-=⋅=⋅-⎰⎰⎰⎰(3) 积分区域D 如图9-40所示.令cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩(),12,04D r r πθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭则,故 图9-40 2224401013arctan d d d d d .64D y r r r r x ππσθθθθπ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4) 积分区域D 如图9-41所示.令cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩(),0cos ,22D r r R ππθθθ⎧⎫=≤≤-≤≤⎨⎬⎩⎭则, 故 图9-41 ()cos 22222202cos 2220322220 d d d 2d d cos 2 d 03R DR R x y R r r rR r r rR R r πθππθπσθθθθ---=-⋅=-⋅⎡⎤=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰33332024 (sin )d ()333R R R πθθπ=--=-⎰.4.选择适当的坐标系,计算下列各题:()22(1) ()d d 30Dx y x y D y x y x a y a y a a +==+==>⎰⎰,由、、、所围成;222(2) d d :,00;Dy x y D x y a x y +=≥≥⎰⎰,、(3) d d 212;Dxy x y D y x y x xy xy ====⎰⎰,由、、与围成()2(4) d d :1,2,,2.Dx xy x y D x y x y y x y x ++=+===⎰⎰,解 (1) 令,y x uy v -=⎧⎨=⎩得变换式x v u y v =-⎧⎨=⎩则新积分区域D’由u = 0、u = a 、v = a 及v = 3a 所围成. D ’如图9-42所示.因为 11(,)101(,)x y J u v -∂===-∂()22222'322032230 ()d d 1d d d (22)d 2(1882)d 14.3DD aaa x y x y v u u u vu v vu u va a u au u u a ⎡⎤+=-+⋅-⎣⎦=-+=-+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰故图9-42(2)积分区域D 如图9-43所示.令cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩(),0,02D r r a πθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭则,故32d d d sin d .3aDa y x y r r r πθθ==⎰⎰⎰⎰图9-43(3)令y u xxy v ⎧=⎪⎨⎪=⎩. 得变换式v x u y vu ⎧=⎪⎨⎪=⎩则新积分区域D’由u = 1、u = 2、v =1、 v = 2所 围成.D’如图9-44所示.因为()11122(,)1,21122v x y u u vu J u v uv u uv-∂===-∂- 图9-44故'2211113d d d d d d ln 2.224DD v xy x y v u v u v u u =-=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4)令x y u y v x +=⎧⎪⎨=⎪⎩,得变换式11u x vuv y v ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩则新积分区域D’由u = 1、u = 2、v = 1、v =2所 围成. D’如图9-44所示.因为 ()()()()()222111,,111uv v x y uJ v u u v v v v -++∂===∂+++()'22()d d d d 11D D u ux xy x y u u v v v +=⋅⋅++⎰⎰⎰⎰故 ()322233111525d d d .72961u u v u u v ===+⎰⎰⎰5.试求区域D 的面积,其中D 为()()12,.r ϕθϕθαθβ≤≤≤≤解 积分区域D 如图9-45所示.21()()d d d d .D DS x y r r βϕθαϕθθ==⎰⎰⎰⎰图9-45习题 9-51.计算下列广义二重积分:{}()20(1) d d . (,),0 (2)d d x yy Dx yxe x y D x y y x x e x y-+-≤≤=≥≥⎰⎰⎰⎰解 (1)积分区域D 如图9-46所示.220 d d d d 1 d .2y y xDx xe x y x xe yxex +∞+∞--+∞-===⎰⎰⎰⎰⎰故(2)积分区域D 如图9-47所示. 图9-46()()020d d d d 1 d .2x yx y xDx e x y x e ye x +∞+∞-+-++∞-===⎰⎰⎰⎰⎰故2.用极坐标计算下列广义积分:(){}2222()()22221224(1) d d (2) cos()d d d d (3) ,1.()x y x y De x y e x y x y x y D x y xy x y +∞+∞-+-∞-∞+∞+∞-+-∞-∞+=+≤+⎰⎰⎰⎰⎰⎰, 图9-47解 (1)cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩令 (){},0,02D r r θθπ=≤≤+∞≤≤则,故22222()1d d d d d .2x y re x y e r r ππθθπ+∞+∞+∞-+--∞-∞===⎰⎰⎰⎰⎰(2)cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩令 (){},0,02D r r θθπ=≤≤+∞≤≤则,故()2222()222200222020cos()d d d cos d 1 sin cos d 041 d .42x y r r e x y x ye r r re r r πππθθπθ+∞+∞-+-∞-∞+∞--+=⋅⎡⎤+∞=-⎢⎥⎣⎦==⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3) 积分区域D 如图9-48所示.cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩令(){},01,02D r r θθπ=≤≤≤≤则,故 图9-48212100224d d 124d d d 33()Dx yr r rx y ππθθπ=⋅==+⎰⎰⎰⎰⎰.3.计算下列广义积分:()()224452(1) d (2)1d x x x ex x x e x+∞+∞-++--∞-∞++⎰⎰解()()22445214(1) d d x x x ex ex+∞+∞-++-+--∞-∞=⎰⎰()2221441d(21)2121d ()212x t e e x t x e e t e +∞-+--∞+∞---∞-=+=+=⎰⎰由普阿松积分 ()222222222212332 (2) 1d d d d d ,d ,d 0.x x x x x x x x x e x x e x xe x e x I x e x I xe x I e x I I +∞+∞+∞+∞-----∞-∞-∞-∞+∞+∞+∞----∞-∞-∞++=++=====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰令则由普阿松积分可得 由奇函数的性质可得 ()22222222221222224220d d d d d d cos ,sin d sin cos d x x x y x yr I x e x x e xx e x y e y x y ex yx r y r r e r rπθθθθθ+∞+∞---∞-∞+∞+∞---∞-∞+∞+∞-+-∞-∞+∞-======⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰而 2225002201d sin 2d 411 sin 2d 44r e r r ππθθθθπ+∞-==⎰⎰⎰1I ==即()221d 0x x x e x +∞--∞++++⎰综合习题九1.选择填空:(1) 设D由x 轴、ln y x x e ==、围成,则(,)d d ( ).D f x y x y =⎰⎰① ln 1d (,)d exx f x y y⎰⎰②ln 0d (,)d ex x f x y y⎰⎰③1d (,)d ye yf x y x⎰⎰④10d (,)d yee yf x y x⎰⎰(2) 当( )a =时,有221d .xy x y π+≤=⎰⎰① 1 ②③④(3) 下列不等式中,( )是正确的.①||1||1(1)d 0x y x σ<<->⎰⎰ ②22221()d 0x y x y σ+≤-->⎰⎰③ ||1||1(1)d 0x y y σ≤≤->⎰⎰④ ||1||1(1)d 0x y x σ≤≤+>⎰⎰(4) 设3123d d d 444DD Dx y x y x yI I I σσσ+++===⎰⎰⎰⎰⎰⎰,,,22:(1)(1)1,D x y -+-≤ 则有( ).① 123I I I << ② 231I I I <<③ 312I I I << ④ 321I I I << 解 (1) ① ④; (2) ②; (3) ④; (4) ①. 2.计算下列二重积分:.25512100d (1) d (2) d dln y xyxy x ey y x-⎰⎰⎰⎰2222(3) d , :,12D xy D y x x y x y σ≥≤+≤+⎰⎰2222(4) 1()()d d , :()()1Dy y x xx y D a b a b -++≤⎰⎰22222(5) ln()d , :1Dx y D x y σε+≤+≤⎰⎰,并求此二重积分当0ε→时之极限.解 积分区域D 如图9-49所示.交换积分次序,得55511151d d d ln ln d 4.x y yx y dx y x y xx ===⎰⎰⎰⎰⎰故(2) 积分区域D 如图9-50所示. 图9-49 交换积分次序,得2221112200d d d d y y xyx eyy ex--=⎰⎰⎰⎰21220(1)d y ey y-=-⎰22112220d y y edy y ey--=-⎰⎰22222112211122220d d()1d d .0y y y y y ey y eeyyee y e ------=+=+-=⎰⎰⎰⎰图9-50(3) 积分区域D 如图9-51所示. cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩令 ()5,12,44D r r ππθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭则,故 图9-51522422214544cos sin d d d d 3sin 2d 0.xyr x y r rx y rππππθθθθθ=+==⎰⎰⎰⎰⎰D(4)积分区域D 如图9-52所示. 图9-52cos sin x ar y br θθ=⎧⎨=⎩令{},01,02D r r θθπ≤≤≤≤则=()(如图9-53)因为(,)(,)x xx y r J y yr r θθθ∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂ 图9-53 cos sin sin cos a ar abrb br θθθθ-==212222220021201()()d d d 1cos sin d 2d 1cos 2d .3Dy xx y r r abr ra b ab r r r ab ππθθθθθπ-+=-+=-⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰故(5) 积分区域D 如图9-54所示. cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩令(){},1,02D r r θεθπ=≤≤≤≤则,故2122202220222 ln()d d ln d 1 (ln )d 2(ln 1)Dx y r r rπεπσθεεεθπεεε+=⋅-=--=--⎰⎰⎰⎰⎰ 图9-5422ln()d ,DI x y σ=+⎰⎰令则2220220lim lim (ln 1)ln lim 2lim.I εεεεπεεεεπεπππε→→-→→=--=--=-3.改变下列积分次序:2222sin 120sin211221(1) d (,)d (2) d (,)d(3) d (,)d (4) d (,)d d (,)d yx x xx x e y y x f x y y x f x y y y f x y x y f x y x y f x y xπ----+--+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解 (1)因为积分区域{}2(,)12,22D x y x x y x x =≤≤-≤≤-为X 型区域, 其图形如图9-55 所示. 交换积分次序区域D 应视为Y 型区域. 故22221111202d (,)d d (,)d .x x y x yx f x y y y f x y x -+---=⎰⎰⎰⎰(2)因为积分区域(,)0,sin sin 2x D x y x y x π⎧⎫=≤≤-≤≤⎨⎬⎩⎭为X 型区域, 其图形如图9-56 所示. 交换积分次序区域D 应视为Y 型区域. 故sin 0sin21arcsin 12arcsin 0arcsin d (,)d d (,)d d (,)d .xx yyyx f x y yy f x y x y f x y x πππ----=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰图9-55 图9-56(3)因为积分区域{}(,)01,0yD x y y x e =≤≤≤≤为Y 型区域, 其图形如图9-57 所示. 交换积分次序区域D 应视为X 型区域.故11111ln d (,)d d (,)d d (,)d .ye exy f x y x x f x y y x f x y y =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4)因为积分区域{}121,(,)21,02D D D D x y y x y =+=-≤≤-≤≤+{}22(,)10,0D x y y x y =-≤≤≤≤为Y 型区域, 其图形如图9-58所示. 交换积分次序区域D 应视为X 型区域.故2121212d (,)d d (,)d d (,)d .y y xx y f x y x y f x y x x f x y y -+----+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰图9-57 图9-58 4.计算下列二重积分:24212(1) d sin d d sin d 22x x x x x x y x yy y ππ+⎰⎰⎰⎰112111224(2) d d d d y y yyxxyy e x y e x+⎰⎰⎰⎰22222(3) d d ,Dxy x y D x y a x y+≤+⎰⎰是由曲线位于第一象限的部分;22(4) d d ,(1cos )D x y x y D r a θ+=-⎰⎰由曲线所组成;22(5) d d :()() 1.Dy xy x y D a b +≤⎰⎰,()0,0(6) (,)d d (,).0x y D ex y f x y x y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩⎰⎰且其它解 (1)积分区域D 如图9-59所示.24212d sin d d sin d 22x x x x x x y x yy y ππ+⎰⎰⎰⎰2222222221222221222113d sind d sind d sind 222d sind d sind 222d sind (cos)d 224(2).y y yyy y y yy yxxxy x y x y xyyyxxy x y xyyxyy x y yyππππππππππ=++=+==-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)积分区域D 如图9-60所示.22112111224212122212112222d d d d d d d d d d yyyyx x yy y y x x x x x x x y e xy e x x e y x e y x e y+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2222122122112d d d d d d .82y y xxx x x x yxxx x e yx e ye e x e y =+==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰图9-59 图9-60(3)积分区域D 如图9-61所示.cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩令 (),0,02D r r a πθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭则,故 222222220cos sin d d d d 1 sin 2d .24aDxy r x y r rx yra a ππθθθθθ=+==⎰⎰⎰⎰⎰ 图9-61(4) 积分区域D 如图9-62所示.cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩令(){},0(1cos ),02D r r a θθθπ=≤≤-≤≤则,故2(1cos )22023330d d d d 15 (1cos )d .33a Dx y x y r r ra a πθπθπθθ-+=⋅=-=⎰⎰⎰⎰⎰图9-62(5)积分区域D 如图9-63所示. cos sin x ar y br θθ=⎧⎨=⎩令因为 (,)(,)xxx y r J yyr r θθθ∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂cos sin sin cos a ar abrb br θθθθ-== 图9-63(){},01,02D r r θθπ=≤≤≤≤则,故222222221(0)1(0)d d d d ()d d Dx y x y y y a b a b y x y y x y y x y+=≥+≤<=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰112d sin d d (sin )d 4.3br abr r br abr rab ππθθθθπ-=⋅+-⋅=⎰⎰⎰⎰()00020(6) (,)d d d d d d (d ) 1.x y Dx y xf x y x y x e y e x e y e x +∞+∞-++∞+∞--+∞-==⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰5.设(,)f x y 在xoy 平面上连续且(0,0),f a =求22221lim (,)d d .t x y t I f x y x y tπ+→+≤=⎰⎰解222222(,)(,)lim lim x y t t t f x y dxdyf t I tt ξηπππ+++≤→→==⎰⎰222((,)x y t ξη+≤其中为圆域的内点)0(,)(0,0)t ξη→→当圆域半径时,必有,故 (,)0,0)lim (,)(0,0).f f a ξηξη→==(6.设()[0,]f x a 在上连续,求证:202[()d ()d ][()d ].aaaxf x x f y y f x x =⎰⎰⎰证 令21200()d ()d [()d ]a a ax I f x x f y y I f x x ==⎰⎰⎰,I 1的积分区域D 1与交换积分次序后的积分区域D 2如图9-64所示.而102()d ()d ()d ()d aaaaxxI f x x f y y f x x f y y=+⎰⎰⎰⎰()d ()d ()d ()d aaaaxyf x x f y y f y y f x x=+⎰⎰⎰⎰12()()d d ()()d d D D f x f y x y f x f y x y=+⎰⎰⎰⎰12()()d d D D f x f y x y⋃=⎰⎰则20()d ()d a a I f x x f x x=⎰⎰()d ()d d ()()d aaaaf x x f y y x f x f y y==⎰⎰⎰⎰ 图9-64 12()()d d D D f x f y x y⋃=⎰⎰.7.已知()[,]f x a b 在上连续,求证:当0n >时,有11d ()()d ()()d .1byb n n aaa y y x f x xb x f x x n +-=-+⎰⎰⎰证 因为积分区域{}(,),D x y a y b a x y =≤≤≤≤为Y 型区域, 其图形如图9-65所示.交换积分次序区域D 应视为X 型区域.故d ()()d d ()()d bybbnn aaaxy y x f x x x y x f x y-=-⎰⎰⎰⎰111()[()]d 1()[()]d 11()()d .1n ba n ba b n a b y x f x x x n b x f x x n b x f x x n +++-=+-=+=-+⎰⎰⎰8.设()[,]f x a b 在上连续,求证: 图9-6522[()d ]()()d .b baaf x x b a f x x ≤-⎰⎰证 ,()()[,],k R f x g x a b ∀∈若与在上连续则必有2[()()]0f x kg x -≥从而2[()()]d 0baf x kg x x k -≥∆≤⎰关于的0.222()()]4()()bbbaaaf xg x dx f x dx g x dx ∆-≤⎰⎰⎰即=[0故222[()()]()()b b baaaf xg x dx f x dx g x dx≤⎰⎰⎰在上式中令()1,g x ≡则22[()d ]()()d .b baaf x x b a f x x ≤-⎰⎰.9.求证:221(sin cos )d 2.Dx y σ≤+≤⎰⎰其中{}(,)0101.D x y x y =≤≤≤≤,解 积分区域D 如图9-66所示.考虑 22(,)sin cos f x y x y =+在D 内的最值,为此解方程组222cos 2sin x y f x x f y y ⎧'=⎪⎨'=-⎪⎩ 图9-66得驻点(0,0)(0,0) 1.f =且而在该区域内y x =上,有222(,)sin cos 2sin()4f x y x y x π=+=+因23301,1444244x x ππππππ≤≤≤+≤+<+=则 由正弦函数的性质知min 0,0,1;x y f ===当时 max ,, 2.22x y f ππ===当时则 1(,)2f x y ≤≤故22(sin cos )d 2.Dx y σ≤+≤⎰⎰110.已知()[0,1]f x 在上连续,求证:11()()0d d 1.f x f y e x e y -⋅≥⎰⎰证 令()(),f x F x e =则()[0,1]()0.F x F x >在上连续,且 由综合习题六的第9题知2d ()d ()()b b a a x F x x b a F x ≥-⎰⎰即11()2()00d d (10)1f x f x x e x e ⋅≥-=⎰⎰故11()()0d d 1.f x f y e x e y -⋅≥⎰⎰11.求球体22224x y z a ++≤与圆柱体222x y ax +≤的公共部分的体积. 解 由题意所求立体的图形如图9-67所示.上半球面的方程为 2224z a x y =-- 由对称性,得12221 444d d cos ,sin , d d = d d D V V a x y x yx r y r x y r r θθθ==--==⎰⎰令 图9-671(,)0,02cos 2D r r a πθθθ⎧⎫=<<<<⎨⎬⎩⎭则 ,其图形如图9-68所示.11222122 4d d 4d d D D V a x y x ya r r r θ=--=-⋅⎰⎰⎰⎰2cos 2220d 4d a a r r rπθθ=-⋅⎰⎰图9-682cos 2222203222233201 d 4d(4)22cos 1 [(4)]d 031(2)(sin 1)d 3a a r a r a a r a πθππθθθθθ=---=--=--⎰⎰⎰⎰3220233031(2)[(1cos )d cos ]3281[(cos cos )]33282().323a x a a πππθθπθθπ=----=--+-=-⎰312432().69V V a π==-所以。
二重积分(习题)
v1.0可编写可改正第九章二重积分习题 9-11、设I1( x2y 2 ) 3 d,D1此中D1{( x, y) | 1 x1, 2y2} ;又 I 2( x2y2 )3 d ,D2此中 D 2{( x, y) | 0 x1,0y2} ,试利用二重积分的几何意义说明I1与 I2之间的关系 .解:因为二重积分I1表示的立体对于坐标面x 0 及y0对称 , 且I1位于第一卦限部分与 I 2一致,所以 I 14I 2.2、利用二重积分的几何意义说明:(1)当积分区域 D 关于 y 轴对称, f (x, y) 为 x的奇函数 , 即f (x, y) f (x, y)时,有 f (x, y)d0 ;D(2)当积分区域 D 关于 y 轴对称, f (x, y) 为 x的偶函数 , 即f ( x, y) f ( x, y) 时,有 f ( x, y)d2 f (x, y)d, 其中D1为D在D D1v1.0 可编写可改正x0 的部分.并由此计算以下积分的值,此中D {(,) |x2y2 2 }. x y R(I)4d; (II)y222;(III)y3 cosx2 d. xy R x y dD 1 x2yD D解:令 I f ( x, y)d,I1 f ( x, y)d, 此中D1为D在x0 的部分,D D1(1)因为 D 对于 y 轴对称, f (x, y) 为 x 的奇函数,那么I表示的立体对于坐标面于是x 0 对称,且在 x 0 的部分的体积为I1,在x0 的部分的体积为I1, I 0 ;(2)因为 D 对于 y 轴对称, f (x, y)为x的偶函数,那么 I 表示的立体对于坐标面 x 0 对称,且在 x 0 的部分的体积为I1,在x0 的部分的体积也为I1,于是 I2I1.(I)因为D{( x, y) | x2y2R2 } 对于y轴对称,且 f ( x, y)xy 4为 x 的奇函数 ,于是xy4 d0 ;D(II)由于 D {( x, y) | x2y 2R2 } 关于x 轴对称 ,且f ( x, y) y R2x2y 2为 y 的奇函数,于是y R 2x2y 2 d0 ;D(III)由于D{( x, y) | x2y2R2 } 关于x轴对称, 且f ( x, y)y3 cosx y3 cosxd0 .x2y2为 y 的奇函数,于是2y21D 1 x3、依据二重积分的性质, 比较以下积分的大小:(1) I1( x y)2 d与I2( x y)3 d, 此中D是由x轴、y轴与直线D Dx y 1所围成;解:因为在 D内 , 0 x y 1 ,有 0 ( x y)3( x y) 2, 所以I 2( x y) 3 d( x y) 2 d I 1.D D(2) I1ln( x y)d与I2[ln( x y)] 2 d,D D此中 D {( x, y) | 3 x 5,0 y1} .解:因为在 D 内,e 3 x y 6 ,有 ln( x y) 1, ln( x y) [ln( x y)] 2,所以I 1ln( x y)d[ln( x y)] 2 d I 2.D D4、利用二重积分的性质预计以下二重积分的值:(1) I xy(x y1)d,D此中 D{( x, y) | 0x1,0 y2} ;解:因为 D 的面积为 2 ,且在 D内 , 0 xy( x y 1) 8 ,那么0 0 2xy( x y 1)d8 2 16 .D(2) I( x2 4 y29)d,D此中 D{( x, y) | x2y24} ;解:因为 D 的面积为 4 ,且在 D 内,9 x2 4 y 29 13 3 y225 ,那么369 4( x2 4 y29)d25 4 100 .D(3) I d,cos2x cos2D 100y此中 D{( x, y) | | x || y | 10} ;解:因为 D 的面积为200 ,且在 D 内,111 102 100 cos2 x cos2y , 那么100100= 200d200 2 .51102D 100cos2 x cos2 y100习题 9-21、计算以下二重积分:(1)( x2y2 )d, 此中D是矩形地区 :| x | 1,| y | 1 ;D解:y2 )d dx ( x 2y 2 )dy 2 (x 21)dx8 .(x2111D11133(2)xye x2y2d, 此中D{( x, y) | a x b, c y d} ;D解:22b d x 2y2 1 d2c2b x2dx .(x y )d dx( xye)dy(e e)xeDa c2a1b2e a2 d 2e c 2(e)(e) .4(3)(3x 2 y)d, 此中D是由两坐标轴及直线x y2所围成的闭地区;D解:(3x2y)d dx(3x2y)dy(42x2x2)dx20.2 2 x2D0003(4)xcos(x y)d ,此中 D 是极点分别为( 0,0),(,0) 和 ( ,) 的三角形D闭地区 .xcos(x y)d xxcos(x y)dy x(sin2x sinx)dx 3 .解:dxD00022、画出积分地区 , 并计算以下二重积分:(1)x yd, 此中D是由两条抛物线y x , y x2所围成的闭地区;D1x2 17 6解:44x yddxx2x ydy3 0 (xx )dx 55 .D(2)y d, 此中 D 是由直线 yx, y 2 x 及 x 1, x 2 所围成的闭地区;Dx解:y d2 dx2 xDx1xy32xdx9xdy.214(3)(2x y) d , 此中 D 是由 yx, y1及 y 2 所围成的闭地区;Dx12 )dy解:(2xy)ddy 1 (2x y)dx(2y 2 119 .2 y 2D1y1y6(4)e x y d , 此中 D 是由 | x | | y |1 所确立的闭地区 .Ddxx 1 1dx x 1解:e x y de x y dy0 e x y dyD1x 1x 1e 1)dx(e e2 x 1)dx e 3e 1e 1 .0 (e 2x 1112 2e 2 2eea:=0..1;b:=x-1..-x+1;f:=exp(x+y);int(f,y=b);int(int(f,y=b),x=a);simplify(");3、假如二重积分f2 ( y)的乘D {( x, y) | a 即f ( x, y)dD证明:f (x, y) dDb df ( x, y)d的被积函数 f ( x, y) 是两个函数f1 (x) 及D积,即 f ( x, y) f1 (x) f 2 ( y),积分区域x b, c y d} ,证明这个二重积分等于两个单积分的乘积,b df1 ( x)dx f 2 ( y)dy.a cb d b ddx f ( x, y)dx dx f1 ( x) f 2 ( y)dya c a cb df1 (x)f2 ( y)dy dx f1 (x)dx f 2 ( y) dy .a c a c4、化二重积分I f ( x, y)d 为二次积分(分别列出对两个变量先后序次D不一样的两个二次积分), 此中积分地区D是:(1) 由曲线y ln x 、直线x 2及 x 轴所围成的闭地区;图形 >plot([ln(x),0,[[2,0],[2,ln(2)]]],x=0..2,y=0..,color=1);2ln x ln 22解: Idx f ( x, y) dy dye yf ( x, y) dx .100(2) 由y轴及右半圆xa2y 2所围成的闭地区;图形 >plot([(1-x^2)^(1/2), -1*(1-x^2)^(1/2)],x=0..1, color=1);a a2x22 f ( x, y)dy a a 2 y2解: Idxa 2xdy f (x, y)dx .0a0(3) 由抛物线y x2与直线 2x y 3所围成的闭地区.图形 > plot([x^2, 3-2*x],x=-3..1, color=1);1y3 y 9解: I dy f ( x, y)dx dy2 f ( x, y)dx .0y1y5、更换以下二次积分的积分次序:1 (1)dy解: I1 (2)dy1yf ( x, y)dx ;y1x0 dx x2 f ( x, y)dy .ee yf ( x, y) dx ;e ln x解: I dx f (x, y) dy .101 1 y 2(3)dy f ( x, y)dx ;0 2 y解: I2 dx2 x x 21 f (x, y) dy .2 x1x 2f ( x, y)dy2 2 x (4)dx dxf ( x, y) dy ;11 2 y 解: Idyf (x, y) dx .ysin x(5)0 dxsin x2f ( x, y)dy ;图形>plot([sin(x),-sin(x/2),[[Pi,0],[Pi,-1]]],x=0..Pi,color=1);dyf ( x, y)dx1 arcsin y解: I2 arcsin y dyf ( x, y)dx .1arcsin y2a 2 ax22 x (6)dx 2 ax x 2f ( x, y) dy1dx 0f ( x, y) dy .图形> plot([(2*x-x^2)^(1/2),(2*x)^(1/2),[[2,0],[2,2]]],x=0..2,color=1);a aa 2y 2a2 a解: I0 dy y 2f (x, y) dxdya2 2f ( x, y) dx2aa y2a 2aady y 2 f ( x, y)dx .2 a6、设平面薄片所占的闭地区D 由直线 x y2, y x 和 x 轴所围成 , 它的面密度(x, y)x 2 y 2 , 求该改薄片的质量 .图形 > plot([2-x,x], x=0..2,y=0..1,color=1);解: m( x, y)d1dy2 x y 2 )dx0 y(x 2D184 y4 y 28 y 34(3) dy.337、求由平面 x 0, y0, z 1, x y 1 及 z 1 x y 所围成的立体的体积 .图形 > with(plots):A:=plot3d([x,y,1],x=0..1,y=0..1-x):B:=plot3d([x,1-x,z],x=0..1,z=1..2):F:=plot3d([x,0,z],x=0..1,z=1..1+x):G:=plot3d([0,y,z],y=0..1,z=1..1+y):H:=plot3d([x,y,1+x+y],x=0..1,y=0..1-x):display({A,B,F,G,H},grid=[25,20], axes= BOXED , scaling=CONSTRAINED,style= PATCHCONTOUR);解: V[(1 x1dx 1 x y) dy 1121y) 1] d(x(1x) dx.D002038、为修筑高速公路, 要在一山坡中辟出一条长500m ,宽20m的通道 , 据丈量 ,以出发点一侧为原点, 往另一侧方向为x 轴(0x20), 往公路延长方向为y 轴( 0y 500 ),且山坡高度为z10 sin y sin x ,试计算所需50020挖掉的土方量.图形 > plot3d(10*sin(Pi*y/500)+ sin(Pi*x/20),y=0..500,x=0..20);解: V zd 20500(10 sin y sin x)dy70028(m3 ) . 0dxD0500209、画出积分地区 , 把积分I f ( x, y)d表示为极坐标形式的二次积分, 其D中积分地区 D 是:(1)D {(,) |x2y2a2,x0}(a0);x y图形 > plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2)], x=0..1,color=1);解: I2daf ( r cos, r sin)rdr . 02(2)D {(,) |x2y22} x y y;图形 > plot([1+(1-x^2)^(1/2),1-(1-x^2)^(1/2)],x=-1..1,color=1);解: x2y 2 2 y r 22r sin r 2 sin, 于是I d 2 sin f ( r cos, r sin)rdr .(3)D{( , ) | a 2x 2 y 2b 2 }, 此中 0 ab ;x y图形 > plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2),(4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2)], x=-2..2,color=1);解: I2 bf ( r cos , r sin)rdr .da(4)D{( , ) | 0x 1,0y x 2 }.x y图形 > plot([x^2,[[1,0],[1,1]]], x=0..1,color=1);解: yx 2r sinr 2 cos 2r sectan ,x 1 r cos 1r sec , 于是I4 dsec f ( r cos , r sin )rdr .sec tan10、化以下二次积分为极坐标形式的二次积分:11(1)dx f ( x, y)dy ;图形 > plot([[0,0],[0,1],[1,1],[1,0],[0,0]],color=1);解: x 1 r cos 1 r sec y 1r sin1rcsc,, 于是Isec f (r cos , r sin )rdr2dcsc 4 df (r cos , r sin ) rdr .41 1 x 2x2y 2)dy ;(2) dx1 x f ( 0图形 > plot([(1-x^2)^(1/2),1-x],x=0..1,color=1);解: y1 xr sin1 r cos r1 , 于是sincosI1f (r )rdr .2 d 1cossin11、把以下积分为极坐标形式, 并计算积分值:2a 2 ax x 2( x 2y2)dy ;(1)dx图形 > plot((2*x-x^2)^(1/2), x=0..2,color=1);解: y 2ax x 2r sin 2ar cosr 2 cos 2r 2a cos ,于是 I2d2a cosr 3 dr 4a 4 2 cos 4 3 a 4.413x1dy ;(2)dxx 2y 2x图形 > plot([3^(1/2)*x,x], x=0..1,color=1);解: x1r cos 1r sec , 于是I3 dsec 3sec dln23 .0 dr44123 adx3 xx2y 2dya a 2x 2x2y2dy .(3)233 dxa2图形 > plot([3^(1/2)*x/3, (1-x^2)^(1/2)],x=0..1,y=0..,color=1);解: x1 r cos 1 r sec , 于是v1.0 可编写可改正a2dra 3a 3.I 6 d6 dr3 01812、利用极坐标计算以下各题:(1)R 2x 2y 2 d , 此中 D 为圆域 x 2y 2 Rx ( R 0 ) ;D图形 > plot([(x-x^2)^(1/2),-(x-x^2)^(1/2)],x=0..1,color=1);解: x 2y 2 Rxr 2Rr cos r R cos , 于是Id Rcos R2 r2 rdr1 3(42 0 R) .233(2)ln(1 x2y 2) d , 此中 D 为圆 x2y21及坐标轴所围成的在第一D象限内的闭地区;图形 > plot((1-x^2)^(1/2),x=0..1,color=1);解: I2d1r2) rdr (2 ln 2 1) .ln(1 40 0(3)arctan yd, 其 中 D 为 圆 周 x 2y 2 1 , x 2y 24 及 直 线Dxy 0, y x 所围成的在第一象限内的闭地区.图形>plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2),(4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2),x],x=-2..2,y=0..2^(1/2),color=1);v1.0 可编写可改正解: I2rdr3 4d3 2 .4 d12 06413、选择适合的坐标计算以下各题:(1)x 2, 此中 D 是直线 x2, yx 及曲线 xy1所围成的闭地区;y 2dD图形 > plot([x,1/x,[[2,1/2],[2,2]]],x=0..2,y=0..2,color=1);解: I2 xx 2 2 (x 3x) dx91dx 12 dy1.xy4(2)sin x 2y 2 d, 此中 D 是圆环形地区2x 2y 242 ;D图形 > plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2),(4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2)], x=-2..2,color=1);解: I2 d2r sin rdr62 .(3)(x 2y 2 )d , 此中 D 是由直线 yx, yx a, ya, y 3a ( a 0 )D所围成的闭地区;图形>plot([[0,1],[1,1],[3,3],[2,3],[0,1]],x=0..3,y=0..3,color=1);3 ay (x2y 2)dx3aa 2y a 314a 4.解: I)dx adya (2ay2y a3v1.0 可编写可改正(4)|1 x 2y 2 | d , 此中 D 为圆域 x 2 y 24 .D图形 > plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2),(4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2)], x=-2..2,color=1);2 d1 2 21)rdr9 5 .解: I(1 r 2)rdrd( r 212214 、计算以xOy 面上的圆周 x 2 y 2 ax 围成的闭地区为底, 而以曲面z x 2 y 2 为顶的曲顶柱体的体积 .图形 > plot([(x-x^2)^(1/2),-(x-x^2)^(1/2)],x=0..1,color=1);解: x 2y 2axr 2ar cosra cos , 于是( x2y 2)da cos 3dra 4cos 43 a 4. Vdd2r2D2423215、某水池呈圆形 , 半径为 5 米 , 以中心为坐标原点 , 距中心距离为 r 处的水深5米 , 试求该水池的蓄水量 . 为1 r 2图形 > plot([(x-x^2)^(1/2),-(x-x^2)^(1/2)],x=0..1,color=1);解: V255rdr 5 (ln 2ln 13)16.29 ( 米 3).d21 r16、议论并计算以下广义二重积分:d, 此中 D{( x, y) | xy 1, x 1} ;(1)Dx p y q1q 1 11p q 01解: Idx 1dy1 dx.py q 1 q 1 x pq1xx(1 q)(q p)v1.0可编写可改正即当 p q 1 时,广义二重积分收敛, 且I1.1)( p( q q)(2)d, 此中D{(,) |x2y21};(x2y2 ) p x yD21 2 p 1 1解: I d dr.01r2 p 1p1即当 p1时 , 广义二重积分收敛, 且Ip. 1。
二重积分(习题)
第九章 二重积分习题9-11、设⎰⎰+=13221)(D d y x I σ,其中}22,11|),{(1≤≤-≤≤-=y x y x D ;又⎰⎰+=23222)(D d y x I σ,其中}20,10|),{(2≤≤≤≤=y x y x D ,试利用二重积分的几何意义说明1I 与2I 之间的关系. 解:由于二重积分1I 表示的立体关于坐标面0=x 及0=y 对称,且1I 位于第一卦限部分与2I 一致,因此214I I =. 2、利用二重积分的几何意义说明:(1)当积分区域D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的奇函数,即),(),(y x f y x f -=-时,有0),(=⎰⎰Dd y x f σ;(2)当积分区域D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的偶函数,即),(),(y x f y x f =-时,有⎰⎰⎰⎰=1),(2),(D Dd y x f d y x f σσ,其中1D 为D 在0≥x 的部分.并由此计算下列积分的值,其中}|),{(222R y x y x D ≤+=.(I)⎰⎰D d xy σ4;(II)⎰⎰--D d y x R y σ222;(III)⎰⎰++Dd y x xy σ2231cos . 解:令⎰⎰=Dd y x f I σ),(,⎰⎰=1),(1D d y x f I σ,其中1D 为D 在0≥x 的部分,(1)由于D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的奇函数,那么I 表示的立体关于坐标面0=x 对称,且在0≥x 的部分的体积为1I ,在0<x 的部分的体积为1I -,于是0=I ;(2)由于D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的偶函数,那么I 表示的立体关于坐标面0=x 对称,且在0≥x 的部分的体积为1I ,在0<x 的部分的体积也为1I ,于是12I I =.(I)由于}|),{(222R y x y x D ≤+=关于y 轴对称,且4),(xy y x f =为x 的奇函数,于是04=⎰⎰Dd xy σ;(II)由于}|),{(222R y x y x D ≤+=关于x 轴对称,且222),(y x R y y x f --=为y 的奇函数,于是0222=--⎰⎰Dd y x R y σ;(III)由于}|),{(222R y x y x D ≤+=关于x 轴对称,且2231cos ),(y x x y y x f ++=为y 的奇函数,于是01cos 223=++⎰⎰Dd y x xy σ. 3、根据二重积分的性质,比较下列积分的大小:(1)⎰⎰+=Dd y x I σ21)(与⎰⎰+=Dd y x I σ32)(,其中D 是由x 轴、y 轴与直线1=+y x 所围成;解:由于在D 内,10<+<y x ,有23)()(0y x y x +<+<,所以1232)()(I d y x d y x I DD=+<+=⎰⎰⎰⎰σσ.(2)⎰⎰+=Dd y x I σ)ln(1与⎰⎰+=Dd y x I σ22)][ln(,其中}10,53|),{(≤≤≤≤=y x y x D . 解:由于在D 内,63<+<<y x e ,有1)ln(>+y x ,2)][ln()ln(y x y x +<+,所以221)][ln()ln(I d y x d y x I DD=+<+=⎰⎰⎰⎰σσ.4、利用二重积分的性质估计下列二重积分的值: (1)⎰⎰++=Dd y x xy I σ)1(,其中}20,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D ;解:由于D 的面积为2,且在D 内,8)1(0<++<y x xy ,那么1628)1(200=⨯<++<⨯=⎰⎰Dd y x xy σ.(2)⎰⎰++=Dd y x I σ)94(22,其中}4|),{(22≤+=y x y x D ;解:由于D 的面积为π4,且在D 内,25313949222≤+≤++≤y y x ,那么ππσππ100425)94(493622=⨯<++<⨯=⎰⎰Dd y x .(3)⎰⎰++=Dy x d I 22cos cos 100σ, 其中}10|||| |),{(≤+=y x y x D ;解:由于D 的面积为200,且在D 内, 1001cos cos 1001102122≤++≤y x ,那么 2100200cos cos 1001022005110022=<++<⎰⎰D y x d σ=. 习题9-21、计算下列二重积分:(1)⎰⎰+Dd y x σ)(22,其中D 是矩形区域:1||,1||≤≤y x ;解:38)31(2)()(11211112222=+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰---dx x dy y x dx d y x Dσ. (2)⎰⎰+Dy xd xye σ22,其中},|),{(d y c b x a y x D ≤≤≤≤=;解:⎰⎰⎰⎰⎰-==++b a x c d badcy xDdx xe e e dy xye dx d y x 22222)(21)()(22σ.))((412222c d a b e e e e --=. (3)⎰⎰+Dd y x σ)23(,其中D 是由两坐标轴及直线2=+y x 所围成的闭区域;解:320)224()23()23(22220=-+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰-dx x x dy y x dx d y x xDσ.(4)⎰⎰+Dd y x x σ)cos(,其中D 是顶点分别为)0,(),0,0(π和),(ππ的三角形闭区域.解:πσππ23)sin 2(sin )cos()cos(000-=-=+=+⎰⎰⎰⎰⎰dx x x x dy y x x dx d y x x x D.2、画出积分区域,并计算下列二重积分:(1)⎰⎰Dd y x σ,其中D 是由两条抛物线2,x y x y ==所围成的闭区域;解:556)(321044712=+==⎰⎰⎰⎰⎰dx x x dy y x dx d y x xx Dσ.(2)⎰⎰Dd xyσ,其中D 是由直线x y x y 2,==及2,1==x x 所围成的闭区域;解:492321212===⎰⎰⎰⎰⎰xdx dy x y dx d x y x x Dσ. (3)⎰⎰+Dd y x σ)2(,其中D 是由x y x y 1,==及2=y 所围成的闭区域;解:619)112()2()2(2122211=--=+=+⎰⎰⎰⎰⎰dy y y dx y x dy d y x y y Dσ.(4)⎰⎰+Dy x d e σ,其中D 是由1||||≤+y x 所确定的闭区域.解:⎰⎰⎰⎰⎰⎰+--+-+--+++=10110111x x y x x x y x Dy x dy e dx dy e dx d e σe e e e e e dx e e dx e e x x 1212232)()(101201112-=++-=-+-=⎰⎰---+. a:=0..1;b:=x-1..-x+1; f:=exp(x+y); int(f,y=b);int(int(f,y=b),x=a); simplify(");3、如果二重积分⎰⎰Dd y x f σ),(的被积函数),(y x f 是两个函数)(1x f 及)(2y f 的乘积,即)()(),(21y f x f y x f =,积分区域},|),{(d y c b x a y x D ≤≤≤≤=,证明这个二重积分等于两个单积分的乘积,即12(,)()()b d a c Df x y d f x dx f y dy σ⎡⎤⎡⎤=⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰. 证明:1212()()()()b d b da c a c f x f y dy dx f x dx f y dy ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰.4、化二重积分⎰⎰=Dd y x f I σ),(为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分),其中积分区域D 是:(1)由曲线x y ln =、直线2=x 及x 轴所围成的闭区域;>plot([ln(x),0,[[2,0],[2,ln(2)]]],x=0..2,y=0..0.8,color=1); 解:⎰⎰⎰⎰==2ln 0221ln 0),(),(y ex dx y x f dy dy y x f dx I .(2)由y 轴及右半圆22y a x -=所围成的闭区域;>plot([(1-x^2)^(1/2),-1*(1-x^2)^(1/2)],x=0..1,color=1); 解:⎰⎰⎰⎰-----==aay a ax a x a dx y x f dy dy y x f dx I 22222200),(),(.(3)由抛物线2x y =与直线32=+y x 所围成的闭区域.>plot([x^2,3-2*x],x=-3..1,color=1); 解:319201(,)(,)y y yyI dy f x y dx dy f x y dx ---=+⎰⎰⎰⎰.5、改换下列二次积分的积分顺序: (1)⎰⎰10),(y y dx y x f dy ;解:⎰⎰=12),(x xdy y x f dx I .(2)⎰⎰10),(eey dx y x f dy ;解:⎰⎰=e xdy y x f dx I 1ln 0),(.(3)⎰⎰-+-11122),(y ydx y x f dy ;解:⎰⎰--=21222),(x x xdy y x f dx I .(4)⎰⎰⎰⎰-+21201),(),(2xx dy y x f dx dy y x f dx ;解:⎰⎰-=102),(y ydx y x f dy I .(5)⎰⎰-π0sin 2sin),(xx dy y x f dx ;>plot([sin(x),-sin(x/2),[[Pi,0],[Pi,-1]]],x=0..Pi,color=1); 解:⎰⎰⎰⎰---+=1arcsin arcsin 01arcsin 2),(),(yyydx y x f dy dx y x f dy I ππ.(6)⎰⎰⎰⎰--+21202022),(),(2xa ax x ax dy y x f dx dy y x f dx .>plot([(2*x-x^2)^(1/2),(2*x)^(1/2),[[2,0],[2,2]]],x=0..2,color=1); 解:⎰⎰⎰⎰-+--+=aay a a ay a a ay dx y x f dy dx y x f dy I 020222222),(),(⎰⎰+a aaay dx y x f dy 2222),(.6、设平面薄片所占的闭区域D 由直线x y y x ==+,2和x 轴所围成,它的面密度22),(y x y x +=ρ,求该改薄片的质量.>plot([2-x,x],x=0..2,y=0..1,color=1); 解:⎰⎰⎰⎰-+==10222)(),(x yDdx y x dy d y x m σρ34)384438(1032=-+-=⎰dy y y y . 7、求由平面1,1,0,0=+===y x z y x 及y x z ++=1所围成的立体的体积.>with(plots):A:=plot3d([x,y,1],x=0..1,y=0..1-x):B:=plot3d([x,1-x,z],x=0..1,z=1..2):F:=plot3d([x,0,z],x=0..1,z=1..1+x):G:=plot3d([0,y,z],y=0..1,z=1..1+y):H:=plot3d([x,y,1+x+y],x=0..1,y =0..1-x):display({A,B,F,G,H},grid=[25,20],axes=BOXED, scaling=CONSTRAINED,style=PATCHCONTOUR);解:⎰⎰⎰⎰⎰=-=+=-++=-102101031)1(21)(]1)1[(dx x dy y x dx d y x V x Dσ.8、为修建高速公路,要在一山坡中辟出一条长m 500,宽m 20的通道,据测量,以出发点一侧为原点,往另一侧方向为x 轴(200≤≤x ),往公路延伸方向为y 轴(5000≤≤y ),且山坡高度为x y z 20sin 500sin 10ππ+=,试计算所需挖掉的土方量.>plot3d(10*sin(Pi*y/500)+sin(Pi*x/20),y=0..500,x=0..20);解:)(70028)20sin 500sin10(32005000m dy x y dx zd V D =+==⎰⎰⎰⎰ππσ. 9、画出积分区域,把积分⎰⎰=Dd y x f I σ),(表示为极坐标形式的二次积分,其中积分区域D 是:(1))0( }0,|),{(222>≥≤+=a x a y x y x D ;>plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2)],x=0..1,color=1);解:⎰⎰-=22)sin ,cos (ππθθθardr r r f d I .(2)}2|),{(22y y x y x D ≤+=;>plot([1+(1-x^2)^(1/2),1-(1-x^2)^(1/2)],x=-1..1,color=1); 解:y y x 222=+⇔θsin 22r r =⇔θsin 2=r ,于是⎰⎰=πθθθθ0sin 20)sin ,cos (rdr r r f d I .(3)}|),{(2222b y x a y x D ≤+≤=,其中b a <<0;>plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2),(4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2)],x=-2..2,color=1); 解:⎰⎰=πθθθ20)sin ,cos (bardr r r f d I .(4)}0,10|),{(2x y x y x D ≤≤≤≤=.>plot([x^2,[[1,0],[1,1]]],x=0..1,color=1);解:2x y =⇔θθ22cos sin r r =⇔θθtan sec =r ,1=x ⇔1cos =θr ⇔θsec =r ,于是⎰⎰=40sec tan sec )sin ,cos (πθθθθθθrdr r r f d I .10、化下列二次积分为极坐标形式的二次积分: (1)⎰⎰11),(dy y x f dx ;>plot([[0,0],[0,1],[1,1],[1,0],[0,0]],color=1); 解:1=x ⇔1cos =θr ⇔θsec =r ,1=y ⇔1sin =θr ⇔θcsc =r ,于是⎰⎰⎰⎰+=24csc 040sec 0)sin ,cos ()sin ,cos (ππθπθθθθθθθrdrr r f d rdr r r f d I . (2)⎰⎰--+1011222)(x xdy y x f dx ;>plot([(1-x^2)^(1/2),1-x],x=0..1,color=1); 解:x y -=1⇔θθcos 1sin r r -=⇔θθcos sin 1+=r ,于是⎰⎰+=201cos sin 1)(πθθθrdr r f d I .11、把下列积分为极坐标形式,并计算积分值: (1)⎰⎰-+ax ax dy y x dx 2020222)(;>plot((2*x-x^2)^(1/2),x=0..2,color=1);解:22x ax y -=⇔θθθ22cos cos 2sin r ar r -=⇔θcos 2a r =,于是4204420cos 20343cos 4a adr r d I a πθθππθ===⎰⎰⎰.(2)⎰⎰+103221xxdy yx dx ;>plot([3^(1/2)*x,x],x=0..1,color=1); 解:1=x ⇔1cos =θr ⇔θsec =r ,于是2132lnsec 3434sec 0++===⎰⎰⎰ππππθθθθd dr d I . (3)⎰⎰⎰⎰-+++a a x a a x dy y x dx dy y x dx 23022233302222.>plot([3^(1/2)*x/3,(1-x^2)^(1/2)],x=0..1,y=0..0.5,color=1); 解:1=x ⇔1cos =θr ⇔θsec =r ,于是36036002183a d a dr r d I a πθθππ===⎰⎰⎰.12、利用极坐标计算下列各题:(1)⎰⎰--Dd y x R σ222,其中D 为圆域Rx y x ≤+22(0>R );>plot([(x-x^2)^(1/2),-(x-x^2)^(1/2)],x=0..1,color=1); 解:Rx y x =+22⇔θcos 2Rr r =⇔θcos R r =,于是)34(31322cos 022-=-=⎰⎰-πθππθR rdr r R d I R .(2)⎰⎰++Dd y x σ)1ln(22,其中D 为圆122=+y x 及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域;>plot((1-x^2)^(1/2),x=0..1,color=1);解:)12ln 2(4)1ln(20102-=+=⎰⎰πθπrdr r d I .(3)⎰⎰Dd x yσarctan ,其中D 为圆周122=+y x ,422=+y x 及直线x y y ==,0所围成的在第一象限内的闭区域.>plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2),(4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2),x],x=-2..2,y=0..2^(1/2),color=1); 解:240402164323πθθθθππ===⎰⎰⎰d rdr d I .13、选择适当的坐标计算下列各题:(1)⎰⎰D d y x σ22,其中D 是直线x y x ==,2及曲线1=xy 所围成的闭区域;>plot([x,1/x,[[2,1/2],[2,2]]],x=0..2,y=0..2,color=1);解:49)(21321122=-==⎰⎰⎰dx x x dy y x dx I x x .(2)⎰⎰+Dd y x σ22sin ,其中D 是圆环形区域22224ππ≤+≤y x ;>plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2),(4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2)],x=-2..2,color=1); 解:22026sin πθπππ-==⎰⎰rdr r d I .(3)⎰⎰+Dd y x σ)(22,其中D 是由直线a y a y a x y x y 3,,,==+==(0>a )所围成的闭区域;>plot([[0,1],[1,1],[3,3],[2,3],[0,1]],x=0..3,y=0..3,color=1);解:4332232214)32()(a dx a y a ay dx y x dy I a a a a y a y =+-=+=⎰⎰⎰-.(4)⎰⎰--Dd y x σ|1|22,其中D 为圆域422≤+y x .>plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2),(4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2)],x=-2..2,color=1);解:πππθθππ5292)1()1(2021220102=+=-+-=⎰⎰⎰⎰rdr r d rdr r d I . 14、计算以xOy 面上的圆周ax y x =+22围成的闭区域为底,而以曲面22y x z +=为顶的曲顶柱体的体积.>plot([(x-x^2)^(1/2),-(x-x^2)^(1/2)],x=0..1,color=1);解:ax y x =+22⇔θcos 2ar r =⇔θcos a r =,于是4224422cos 0322323cos 4)(a d a dr r d d y x V a Dπθθθσππππθ===+=⎰⎰⎰⎰⎰--. 15、某水池呈圆形,半径为5米,以中心为坐标原点,距中心距离为r 处的水深为215r +米,试求该水池的蓄水量. >plot([(x-x^2)^(1/2),-(x-x^2)^(1/2)],x=0..1,color=1); 解:29.16)13ln 2(ln 51520502=+=+=⎰⎰πθπrdr r d V (米3). 16、讨论并计算下列广义二重积分: (1)⎰⎰Dq p y x d σ,其中}1,1|),{(≥≥=x xy y x D ; 解:))(1(11111011111p q q dx x q dy yx dx I q p q p q x q p --===-====>-+∞+->+∞+∞⎰⎰⎰. 即当1>>q p 时,广义二重积分收敛,且))(1(1q p q I --=. (2)⎰⎰+Dp y x d )(22σ,其中}1|),{(22≥+=y x y x D ; 解:1111220112-=====>-+∞-⎰⎰p dr r d I p p πθπ. 即当1>p 时,广义二重积分收敛,且1-=p I π.。
经济数学(二重积分习题及答案)
经济数学(二重积分习题及答案)第九章二重积分习题 9-11.设0),(≥y x f ,试阐述二重积分(,)d Df x y σ的几何意义.解当0),(≥y x f 时,二重积分(,)d D f x y σ??表示的是以xy 平面上的有界闭区间为底,以曲面),(y x f z =为顶,母线平行于z 轴,准线为区域D 的边界的一个曲顶柱体的体积.2.试确定下列积分的符号并说明理由:221(1)ln()d d x y x y x y+<+??224(2)d x y x y*+≤??解 (1) 因1x y +<,则将此式两边平方,得220121x y xy ≤+<-<于是 0)ln(22<+y x 故221ln()d d 0.x y x y x y +<+(2)因为224d x y x y+≥??222222221122343d d d d x y x y x y x y x y x y x y x y+≤<+≤<+≤<+≤=+++当221x y +≤1,且此区域面积为π,则21d x y x y π+≤≤??当2212x y <+≤0,且此区域面积为π,则2212d 0xy x y <+≤≤??当2223x y <+≤1-,且此区域面积为π,则2223d x y x y π<+≤≤-??当2234x y <+≤且此区域面积为π,则22d x y x y <+≤≤??故 224d 00x y x y ππ+≤≤+--=3.试用二重积分的定义证明: (1) d DDS σ=??(其中D S 为D 之面积)(2) (,)d (,)d DDkf x y k f x y σσ=(k 为常数)证 (1) 由二重积分的定义,有.1(,)d lim (,)n i i ii Df x y f λσεησ→==?∑??则当1),(≡y x f 时,上式变为0 1d lim lim ni D Di DS S λλσσ→→==?==∑??.(2) 由二重积分的定义,有,1,101(,)d lim () lim () lim (,)n i iioi Dni i ioi ni i ii kf x y kf k f k f λλλσξησξησξησ→=→=→==?=?=?∑??∑∑(,)d .Dk f x y σ=??4.根据二重积分的性质,比较下列积分的大小. ()2(1) d Dx y σ+??与3()d Dx y σ+??,其中D 由x 轴、y 轴及直线1x y +=围成;(2) d Dx y σ+??与3()d Dx y σ+??,其中D 由圆2(2)x -+ 2(1)2y -=围成.解 (1) 积分区域D 如图9-1 所示.因在所围区域内有10≤+≤y x ,所以 32)()(y x y x +≥+故 ()23d ()d D D x y x y σσ+≥+. 图9-1 (2) 积分区域D 如图9-2 所示.因圆22(2)(1)2x y -+-=的参数方程为21x y θθ?=+??=+??则3cos )32sin()4x y πθθθ+=+=++ 图9-2 min ()321,1,x y x y +=-=+≥而且于是32)()(y x y x +≤+故 ()2d ()d .D D x y x y σσ+≤+5.利用二重积分的性质,估计下列积分的值.(1) ()d DI xy x y σ=+??,:01,01D x y ≤≤≤≤22(2) sin sin d DI x y σ=??,:0,0D x y ππ≤≤≤≤(3) (1)d DI x y σ=++??,:01,02D x y ≤≤≤≤22(4) (49)d DI x y σ=++??,22:4D x y +≤ 解 (1) 因01,01x y ≤≤??≤≤?则0102xy x y ≤≤??≤+≤?故00d 2d 2d 2 2.D DDDI S σσσ=≤≤===(2) 因0,0x y ππ≤≤??≤≤?则0sin 10sin 1x y ≤≤??≤≤?于是 220sin sin 1x y ≤≤ 故200d d .D DDI S σσπ=≤≤==(3)因0102x y ≤≤??≤≤?,则411≤++≤y x故d (1)d 4d DDDx y σσσ≤++≤即28.I ≤≤(4) 因4022≤+≤y x ,则22229494()925x y x y ≤++≤++≤于是99d 25d 25D DDDS I S σσ=≤≤=而 24D S r ππ== 故36100.I ππ≤≤习题 9-21.计算下列二重积分:22(1) ()d ,Dx y σ+??其中D 是矩形区域:1,1x y ≤≤; 22(2) ()d ,Dx y x σ+-??其中D 由直线22y y x y x ===、与所围成; 2(3) d ,Dxy σ??其中D 2y x y x ==由抛物线和直线所围成;211(4) d .y x ?解 (1)9-3 所示.11222211()d d ()d Dx y x x y y σ--+=+12128(2)d .33x x -=+=? 图9- 3(2)积分区域D 如图9-4所示.22222102 ()d d ()d yyDx y x y x y x xσ+-=+-232019313()2486y y dy =-=?图9-4(3)积分区域D 如图9-5所示.2112232001 d d d ()d 3xx D xxy x xy y x y xx σ== 1470111()d 3340x x x =-=?图9-5(4)积分区域D 如图9-6所示.2211110110sin d d d sin d sin1cos1.x x y x x yx x x x +===-?图9-62.积分区域}{(,),D x y a x b c y d =≤≤≤≤,且被积函数为()(),f x g y ?求证:()()d d ()d ()dbdacDf xg y x y f x x g y y ?=??.证积分区域D 如图9-7所示.()()d d d ()()d b dacDf xg y x y x f x g y y=??()[()d ]d ()d ()d ()d ()d b dacd bcab dacf xg y y xg y y f x xf x xg y y ==?=??图9-73.设(,)f x y 在D 上连续且D 由y x y a x b b a ===>、与()围成,求证:d (,)d d (,)d .bx b baa a y x f x y y y f x y x =?证积分区域D 如图9-8 所示. 交换等式左边二次积分的积分顺序有d (,)d d (,)d bx b baaayx f x y y y f x y x=?图9-84.下列条件下,将(,)d DI f x y σ=??按不同积分顺序化为二次积分:2(1) 4D y x y x ==由与所围成;(2) D x 由轴与半圆周()2220x y r y +=≥所围成. 解 (1) 由24y x =和y x =,得交点为(0,0),(4,4).积分区域D 如图9-9 所示.于是将I 化为先对y 后对x 的二次积分,得40d (,)d xI x f x y y=??将I 化为先对x 后对y 的二次积分,得24104d (,)d .y y I y f x y x =??(2)积分区域D 如图9-10 所示. 图9-9 将I 化为先对y 后对x 的二次积分,得d (,)d rrI x f x y y-=?将I 化为先对x 后对y 的二次积分,得d (,)d rI y f x y x=? 图9-105.更换下列二次积分的积分顺序:10(1) d (,)d y y f x y x10(2) d (,)d yy f x y x1(3) d (,)d e ln xx f x y y10(4) d (,)d y f x y x2113(3)2001(5) d (,)d d (,)d x x x f x y y x f x y y-+??解 (1)因为原积分区域{(,)01,D x y y y x =≤≤≤≤为Y 型区域, 其图形如图9-11 所示. 交换积分次序区域D 应视为X 型区域.故2110d (,)d d (,)d .xyxy f x y x x f x y y =?(2) 因为原积分区域{}(,)01,0D x y y x y =≤≤≤≤为Y 型区域, 其图形如图9-12 所示. 交换积分次序区域D 应视为X 型区域. 故111d (,)d d (,)d .y oxy f x y x x f x y y =(3)因为原积分区域{}(,)1,0ln D x y x e y x=≤≤≤≤为X 型区域, 其图形如图9-13 所示. 交换积分次序区域D 应视为Y 型区域.图9-11 图9-12故ln 11d (,)d d (,)d .x exeex f x y y y f x y x =??(4)因为原积分区域{(,)01,D x y y x =≤≤为Y 型区域, 其图形如图9-14 所示. 交换积分次序区域D 应视为X 型区域.故1101d (,)d d (,)d .y f x y x x f x y y -=??图9-13 图9-14(5)因为原积分区域{}2121,(,)01,0D D D D x y x y x =+=≤≤≤≤其中21(,)13,032D x y x y x ??=≤≤≤≤??(-)为X 型区域, 其图形如图9-15 所示. 交换积分次序区域D 应视为Y 型区域.图9-15 图9-16 2113(3)20011320d (,)d d (,)d d (,)d .故x x y x f x y y x f x y yy f x y x --+=??6.求由平面0011x y x y ====、、、所围成的柱体被平面0z =与2x + 3y + z = 6所截得的立体的体积.解该曲顶柱体如图9-16所示.习题 9-31.作适当变换,计算下列二重积分:()22(1) ()sin d d Dx y x y x y-+??.D 是顶点为(,0)(2,)(,2)πππππ、、、(0,)π的四边形;22(2) d d ,Dx y x y ??1240D xy xy y x y x x ====>由、、和所围成且、0y >;(3) d d ,yx yDex y +?? D 由x 轴,y 轴和直线1x y +=所围成; ()()1100623d d 7d 623d .2DV x y x yx x y y =--=--=2222(4) ()d d ,Dy x x y a b +2222:1y x D a b +≤.解 (1) 积分区域D 如图9-17所示.令x y ux y v -=??+=?,解得()()1212x u v y v u ?=+=-?? 于是原积分区域D 的边界x y π+=、3x y π+=、x y π-=、x y π-=-与图9-17 新积分区域D’的边界3v π=、v π=、u π=、u π=-相对应. 其积分区域D’的图形如图9-18所示.因为11(,)12211(,)222xx x y u v J yy u v u v====-??故()()22sin d d Dx y x y x y -+??22'322321sin d d 21d sin d 231sin 2324D u v u vu u v v u v v ππππππππ-=?==?- ? ? ? ?- 图9-183431().3223ππππ=?-=(2) 积分区域D 如图9-19所示.令 x y u yv x ==??,解得x y ?==?则新积分区域D’由u = 1,u = 2,v = 1,v = 4围成. 其积分区域D’的图形如图9-20所示. 图9-19 因为(,)(,)x xx y u v J y yu v u v ==2)12u v v -==22'2'1d d d d 211 d d 2DD D u x y x y uv u v v v u u v v=??=故图9-2024211117d d ln 2.23u u v v ==?? (3)积分区域D 如图9-21所示.令x y u y v +=??=?,解得x u vy v =-??=?则新积分区域D’由u = v 、v = 0和u = 1围成. 图9-21 其积分区域D’的图形如图9-22所示.因为11(,)101(,)xxx y u v J y y u v u v-====图9-22故 10'd d 1d d d dy vv x yuuuoDD ex y e u v u ev +=??=()1011d 2e u e u -=-=.(4)积分区域D 如图9-23所示.令cos sin x ar y br θθ=??=?则新积分区域为(){}',02,01D r r θθπ=≤≤≤≤ 图9-23 因为(,)(,)xxx y r J yyr r θθθ==cos sin sin cos a ar abrb br θθθθ-==22222'21300 ()d d d d 1d d .2DD y x x y r abr r abab r r ab πθθπ+===故2.用变量替换,求下列区域D 的面积:(1)334851500.D xy xy xy xy x y ====>>由曲线、、和所围成且、(2)D 由曲线333344y x y x x y x y ====、、、所围成且00.x y ≥≥、解 (1) 令3u xy v xy =??=?,解得x y ==则新积分区域D’由 u = 4、u = 8、v = 5、v = 15围成.因为(,)(,)x xx y u v J y yu v u v ==12v==81515545' d d 111 d d d d 4ln 2ln 3.222D DD S x yu v u v v v v ====?=故图9-24(2) 令33y u x x v y ?==?,解得x y ?==??则新积分区域D’由u = 1、u = 4、v = 1和v = 4围成. 其积分区域D’的图形如图9-25所示.因为(,)(,)xx y u v J yyu v u v ==图9-251113988883293111888831188()81388u v u v uv u v v u -----------= =--故d d D DS x y=??()33442211342111d d d ()d 881 1d .88D uv u v u uv vuu-====’100D x y x y +===3.设由直线、与所围成,求证:1cos()d d sin1.2D x y x y x y -=+??证积分区域D 如图9-26所示.令x y vx y u +=??-=?,解得()()1212x v u y v u ?=+=-??则新积分区域'D 由v = 1,v = -u , 及v = u 围成. 图9-26因为11(,)12211(,)222xx x y u v J yy u v u v====-??'1cosd d cos d d 2DD x y u x y u v x y v -=?+故图9-27 101d cos d 2vv uv uv -=??101[s i n ]d 21s i n 1d s i n 1.2v v u v v v v v =-==4.选取适当变换,求证:()()11d d d , : 1.Df x y x y f u u D x y -+=+≤??证积分区域D 如图9-28所示.令x y ux y v +=??-=?, 解得()()1212x u v y u v ?=+=-??则新积分区域'D 由u = 1, u = -1,v = 1及v = -1所围成其积分区域D’的图形如图9-29所示. 图9-28 因为 11(,)12211(,)222x x x y u v J y y u v u v ====--?? 故'1()d d ()d d2DD f x y x y f u u v +=-??1111111d ()d ()d .2u f u v f u u ---==习题 9-41.画出下列积分区域D 并把积分(),d d Df x y x y ??化成极坐标形式:()22222(1) 0 (2) 2x y a a x y x +≤>+≤()2222(3)0 (4) 0101a x yb a b y x x ≤+≤<<≤≤-≤≤且解积分区域D 如图9-30所示.(1)令cos sin x r y r θθ=??=?则积分区域D 被夹在0θ=与2θπ=之间,且远近极点的边界方程分别为0r a r ==与,故图9-30()20,d d d (cos ,sin )d .aDf x y x y f r r r r πθθθ=(2) 积分区域D 如图9-31所示.令cos sin x r y r θθ=??=?则远近极点的边界方程分别为r=2cos θ与r = 0.由r ≥0和2cos 0θ≥得22ππθ-≤≤图9-31 则D 被夹在22ππθθ==-和之间, 故2cos 202(,)d d d (cos ,sin )d Df x y x y f r r r rπθπθθθ-=??.(3) 积分区域D 如图9-32所示.令cos sin x r y r θθ=??=?则远近极点的边界方程分别为r a r b ==与,图9-32 而D 被夹在02θθπ==与之间, 故20(,)d d d (cos ,sin )d .baDf x y x y f r r r r πθθθ=??(4) 积分区域D 如图9-33所示.令cos sin x r y r θθ=??=?则远近极点的边界方程分别为图9-331cos sin r θθ=+0r =与,而D 被夹在02πθθ==和之间,故12cos sin 0(,)d d d (cos ,sin )d .Df x y x y f r r r r πθθθθθ+=2.将下列二次积分化为极坐标形式:2222001122222000(1) d )d (2) d (3) d ()d (4) d )d aaxa xx x y y x y x x y y yx y x-+++解 (1)积分区域D 如图9-34所示. 令cossin x ry rθ==则y2cos,r aθ=而D被夹在2πθθ==与之间, 故图9-3422cos22320000d)d d d.a ax x y y r r πθθ+=(2) 积分区域D如图9-35所示. 令cossinx ry rθθ==则0x a x==与的极坐标方程分别为图9-26 cosarθ=与0;r=0y x y==与的方程分别为04π==与,故sec240000d d d.a ax y r rπθθ=(3) 积分区域D如图9-36所示. 令cossinx ry rθθ==2y x y x==与的极坐标方程分别为图9-36 tan sec rθθ=4πθ=与,故211tan sec2224000d()d d d.xxx x y y rπθθθ-+=(4) 积分区域D如图9-37所示.令cossiny rθθ==则222x y a+=上方程为, r a=而D被夹在2πθθ==与之间, 故22320000d)d d d.a ay x y x r r π+=图9-37 3.用极坐标计算下列各题:22(1) d,x yDeσ+D由圆周224x y+=所围成;(2) ,Dσ{}2222(,);D x y a x y b=≤+≤(3) arctan d,Dyxσ2222D x y x y y y x+=+===由、、和所围成的第I象限部分;224 , :.DD x y Rx σ+≤()解 (1) 积分区域D 如图9-38所示.令cos sin x r y r θθ=??=?{}(,)02,02D r r θθπ=≤≤≤≤则,故222220d d d x y r De e r rσθ+=图9-382224012d (1)2re r e ππ==-?.(2) 积分区域D 如图9-39所示.令cos sin x r y r θθ=??=?(){},,02D r a r b θθπ=<<≤≤则,故图9-39223333d d 22().33baDr rb a b a πσθππ=-=?=?-?(3) 积分区域D 如图9-40所示.令cos sin x r y r θθ=??=?(),12,04D r r πθθ??=≤≤≤≤??则,故图9-40 2224401013arctan d d d d d .64D y r r r r x ππσθθθθπ===(4) 积分区域D 如图9-41所示.令cos sin x r y r θθ=??=?(),0cos ,22D r r R ππθθθ??=≤≤-≤≤??则, 故图9-41 ()cos 202cos 20322220 d d 2d d cos 2 d 03R DR r rr rR R r πθππθπσθθθθ-==??=--33332024 (sin )d ()333R R R πθθπ=--=-?.4.选择适当的坐标系,计算下列各题:()22(1) ()d d 30Dx y x y D y x y x a y a y a a +==+==>??,由、、、所围成;222(2) d d :,00;D y x y D x y a x y +=≥≥??,、 (3) d d 212D x y x y D y x y x x y x y ====??,由、、与围成 ()2(4) d d :1,2,,2.Dx xy x y D x y x y y x y x ++=+===??,解 (1) 令,y x u y v -=??=?得变换式x v uy v =-??=?则新积分区域D’由u = 0、u = a 、v = a 及v = 3a 所围成. D ’如图9-42所示.因为11(,)101(,)x y J u v -?===-?()22222'322032230 ()d d 1d d d (22)d 2(1882)d 14.3DD aaa x y x y v u u u vu v vu u va a u au u u a ??+=-+?-??=-+=-+-=故图9-42(2)积分区域D 如图9-43所示.令cos sin x r y r θθ=??=?(),0,02D r r a πθθ??=≤≤≤≤??则,故32d d d sin d .3aDa y x y r r r πθθ==图9-43(3)令y u xxy v ?==?.得变换式x y ?==?则新积分区域D’由u = 1、u = 2、v =1、 v = 2所围成.D’如图9-44所示.因为()(,)1,2x y J u v u===-图9-44故'2211113d d d d d d ln 2.224DD v xy x y v u v u v u u =-=?=(4)令x y u y v x +==??,得变换式11u x vuv y v ?=??+??=?+? 则新积分区域D’由u = 1、u = 2、v = 1、v =2所围成. D’如图9-44所示.因为 ()()()()()222111,,111uv v x y uJ v u u v v v v -++?===+++()'22()d d d d 11D D u ux xy x y u u v v v +=??++故 () 322233111525d d d .72961u u v u u v ===+ 5.试求区域D 的面积,其中D 为()()12,.r ?θ?θαθβ≤≤≤≤解积分区域D 如图9-45所示.21()()d d d d .D DS x y r r βθαθθ==图9-45习题 9-51.计算下列广义二重积分:{}()20(1) d d . (,),0 (2)d d x yy Dx yxe x y D x y y x x e x y-+-≤≤=≥≥解(1)积分区域D 如图9-46所示.2200 d d d d 1 d .2y y xDx xe x y x xe yxe x +∞+∞--+∞-===故(2)积分区域D 如图9-47所示. 图9-46 ()()020d d d d 1 d .2x yx y xDx e x y x e ye x +∞+∞-+-++∞-===故2.用极坐标计算下列广义积分:(){}2222()()22221224(1) d d (2) cos()d d d d (3) ,1.()x y x y De x y e x y x y x y D x y xy x y +∞+∞-+-∞-∞+∞+∞-+-∞-∞+=+≤+,图9-47解 (1)cos sin x r y r θθ=??=?令(){},0,02D r r θθπ=≤≤+∞≤≤则,故22222()1d d d d d .2x y re x y e r r ππθθπ+∞+∞+∞-+--∞-∞===(2)cos sin x r y r θθ=??=?令(){},0,02D r r θθπ=≤≤+∞≤≤则,故2222()222200222020cos()d d d cos d 1 sin cos d 041 d .42x y r r e x y x ye r r re r r πππθθπθ+∞+∞-+-∞-∞+∞--+=+∞=-==??(3) 积分区域D 如图9-48所示.cos sin x r y r θθ=??=?令(){},01,02D r r θθπ=≤≤≤≤则,故图9-4821210224d d 24 d d d 33()Dx yr r x y ππθθπ=?==+??.3.计算下列广义积分:()()224452(1) d (2)1d x x x ex x x e x+∞+∞-++--∞-∞++?解()()22445214(1) d d x x x ex ex+∞+∞-++-+--∞-∞=()2221441d(21)2121d ()212x t e e x t x e e t e +∞-+--∞+∞---∞-=+=+=??由普阿松积分()222222222212332 (2) 1d d d d d ,d ,d 0.x x x x x x x x x e x x e x xe x e x I x e x I xe x I exI I +∞+∞+∞+∞-----∞-∞-∞-∞+∞+∞+∞----∞-∞-∞++=++=====?。
练习103(二重积分的计算(交换积分次序)) - 答案
所以
2
dx
2xx2
1
1 1 y2
f x, y dy dy
f x, y dx 。
1
2x
0 2 y
3、交换二次积分
e
dx
ln x f x, ydy 的积分次序。
1
0
解:因为二次积分的积分区域 D x, y 1 x e, 0 y ln x,
画出积分区域 D (如右图所示),
所以积分区域 D x, y 0 y 1, ey x e 。
xy 2d 2
xy 2d 2
2 d
2
r
cos
r2
sin 2
rdr
2
2 cos sin2 d
2 r 4dr
0
0
0
0
D
D1
2 32 5
2 0
sin 2
d sin
64 5
sin 3 3
2 0
64 。 15
所以
3
dx
1
2 sin y2dy
x1
2
dy
1 y sin y2dx
01
2 0
y sin
y 2 dy
1 2
cos
y2
2 0
1 cos 4 2
。
5、计算二重积分 x5 sin y3 3 d ,其中 D x, y x 1, y 2。
D
解:画出积分区域 D (如右图所示),考虑到被积函数的奇偶性和积分
所以,
D
xy 2d
2
D1
xy 2d
2
2
dy
0
0
4 y2
xy 2dx
2
2 1 0 2
第十章二重积分练习题
D
D
A I1 I2
B I1 I2
C I1 I2
D 以上都不对
4.设
f ( x2 y2 )d tet ,则 f (x) ( )
x2 y2 t2
A
1 2
xe x
B
1 2
(1
1 )ex x
C
1 2
(1
1 )ex x
D
1 2
(1
x)ex
5.设 D 是由上半圆周 y 2ax x 2 和 x 轴所围成的闭区域,则 f (x, y)d ( )
0
0
8.旋转抛物面 z 1 x 2 y 2 在1 z 2 部分的曲面面积 S 为( )
2
(A) 1 x2 y2 dxdy; x2 y22
(B) 1 x 2 y 2 dxdy ; x2 y22
(C) 1 x2 y2 dxdy ; x2 y24
(D) 1 x 2 y 2 dxdy 。 x2 y24
d
2cos f (r cos ,r sin )rdr ,则将该二次积分化为直角坐标形式为(
0
)
4
1
A. dx
2xx2 f (x, y)
x2 y2 dy
0
x
1
2 x x2
B. dx
f (x, y)dy
0
x
C.
2
dx
2xx2 f (x, y) x2 y2 dy
0
x
2
2 x x2
D. dx
D
x
9. I ex xydxdy ,其中 D 为以双曲线 x2 y2 1的右支及直线 y 0, y 1所围成。 D
10. I x2 y2 dxdy , D {(x, y) | 0 y x, x 2 y 2 2x} 。
二重积分习题及答案1
去掉绝对值符号.
解 采用直角坐标
1
( x y )dxdy 4 dx
1x2 ( x y)dy 8
D
0
0
3
【注】在利用对称性计算二重积分时,要同时考虑被积
函数的奇偶性和积分区域的对称性,不能只注意积分区域
关于坐标轴的对称性,而忽视了被积函数应具有相应的奇
偶性.
6
证明
b
dx
x
(xΒιβλιοθήκη y)n23 d4sin r 2 rdr
15(
3).
D
6
2sin
2
sin cos
8
计算 ( x2 y2 )dxdy,其 D 为由圆
D
x2 y2 2 y, x2 y2 4 y及直线 x 3 y 0,
y 3x 0 所围成的平面闭区域.
解
y
3x
0
2
3
x2 y2 4 y r 4sin
x
3y
0
1
6
x2 y2 2 y r 2sin
( x2 y2 )dxdy
1
yx
D1
D2
o
1x
2D2 (x y)dxdy 2D dxdy
2 ( 2 1)
3
2
说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号.
5 计算 ( x y )dxdy, D : x2 y2 1
D
分析 积分区域D关于x、y轴均对称, 被积函数
f ( x, y) x y 关于x,y均是偶函数,利用对称性
D
式,其中积分区域
D {( x, y) | 1 x y 1 x2 , 0 x 1}.
解
在极坐标系下
二重积分习题及答案
1
yx
作辅助线 yx将D 分成
D1
D1, D2两部分
D2 o 1x
2D 2(xy)dxdy2Ddxdy
2( 21)
3
2
说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号.
.
5 计算 (xy)dx,D d:y x2y21
D
分析 积分区域D关于x、y轴均对称, 被积函数
f(x,y)xy关于x,y均是偶函数,利用对称性
去掉绝对值符号.
解
采用直角坐标
(
x
y)dxdy4
1
dx
1x2
(xy)dy
8
D
00
3
【注】在利用对称性计算二重积分时,要同时考虑被积
函数的奇偶性和积分区域的对称性,不能只注意积分区域
关于坐标轴的对称性,而忽视了被积函数应具有相应的奇
偶性.
.
6
证明
b
d
x x(xy)n2f(y)d y 1
b(by)n1f(y)d.y
.
8
计算 ( x2 y2 )dxdy,其 D 为由圆
D
x2 y2 2 y, x2 y2 4 y及直线 x 3y 0,
y 3x 0 所围成的平面闭区域.
解
y
3x02
3
x2y24y r4 sin
x
3y01
6
x2y22y r2sin
(x2y2)dxdy
3d
4sinr2rdr15(
3).
D
6
2sin
2
.
aa
n1a
b
x
证 dx (x y)n2 f(y)dy
a
a
b
微积分习题《二重积分》
二重积分
判断题
1. D
d σ⎰⎰ 等于平面区域 D 的面积;
2. 二重积分 100(,)y
dy f x y dx ⎰⎰ 交换积分次序后为 110(,)x dx f x y dy ⎰⎰;
计算与应用题
1. 计算二重积分2dxdy ⎰⎰,其中积分区域为 2214x y ≤+≤。
2. 计算二重积分
(6)D x y dxdy +⎰⎰ ,其中 D 是由 ,5,1y x y x x === 所围成的区域。
3. 求积分
1200dy xy dx ⎰
4. ()D x y d σ+⎰⎰计算二重积分, 2,1,D y x x x ==其中由曲线轴围成
5. 计算二重积分
,xy D
xe d σ⎰⎰{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤其中
6. 计算二重积分x y D
e dxdy +⎰⎰,其中区域D 是由0,1,0,1x x y y ====围成的
矩形。
7. 求二重积分 ()D x y xy dxdy +-⎰⎰, 其中D 是由x 轴及 1x y +=
三直线围
成的区域。
8. 计算二重积分 ,D
xdxdy ⎰⎰ 其中D 为2y x =与24y x x =-所围成的区域。
9. 计算二重积分()D x y dxdy +⎰⎰,其中D 表示1x ≤ 及 1y ≤ 围成的区域。
10. 求二重积分 2D
x ydxdy ⎰⎰,其中D 是由 2y x =,0y =,1x = 围成。
22,
2(0)2D
p xy dxdy D y px x p ==>⎰⎰11.求是由和围成的区域。
二重积分练习题
二重积分练习题一、选择题1. 计算二重积分∬D(x^2+y^2)dA,其中D是圆x^2+y^2=1的内部区域。
A. πB. 2πC. 4πD. 8π2. 以下哪个选项是计算二重积分∬D(x^2-y^2)dA的正确方法?A. ∫∫(x^2-y^2)dxdyB. ∫∫(x^2-y^2)dAC. ∫∫(x^2+y^2)dxdyD. ∫∫(x^2+y^2)dA3. 如果D是正方形区域,其顶点为(0,0),(1,0),(1,1),(0,1),计算∬D(x-y)dA的结果是多少?A. 0B. 1C. -1D. 2二、填空题1. 计算二重积分∬D(x^2+y^2)dA,其中D是单位圆盘,结果为________。
2. 计算二重积分∬D(x+y)dA,其中D是区域x^2+y^2≤4,结果为________。
3. 如果D是区域0≤x≤1,0≤y≤x^2,计算∬D(2x+y)dA的结果为________。
三、解答题1. 计算二重积分∬D(3x^2-2y^2)dA,其中D是由曲线y=x^2和直线y=x围成的区域。
2. 计算二重积分∬D(1/(x^2+y^2))dA,其中D是单位圆盘x^2+y^2≤1。
3. 计算二重积分∬D(xy)dA,其中D是区域由直线y=x,y=2x和x轴围成。
四、证明题1. 证明对于任意的正数a和b,二重积分∬D(x^2+y^2)dA,其中D是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的内部区域,其结果为πab。
2. 证明对于任意的正数a和b,二重积分∬D(1/√(x^2+y^2))dA,其中D是圆x^2+y^2≤a^2和x^2+y^2≤b^2的交集区域,其结果为1/2π*ln(b/a)。
五、应用题1. 一块矩形金属板的厚度为t,其面积为A,密度为ρ。
如果金属板的重心位于板的几何中心,求金属板的质量。
2. 一个圆环的内半径为a,外半径为b,圆环的密度为ρ。
如果圆环的重心位于圆环的几何中心,求圆环的质量。
二重积分习题及答案
∫
4. 计算二重积分
(1) I = ∫∫ sgn( y − x )dxdy, D : −1 ≤ x ≤1, ≤ y ≤1 0 D
2
(2) I = ∫∫ ( x2 + y2 − 2xy + 2) dxdy, 其中 为圆域 其中D
D
在第一象限部分. 在第一象限部分 解: (1) 作辅助线 y = x 把与 分成 把与D
1
2
3
2
2
计算积分 I = ∫ dy∫ e dx + ∫ dy∫ e dx.
1 4 1 2 1 2
1 2
y
y x
1
y
y x
y
解 Q ∫ e dx 不能用初等函数表示
先改变积分次序. ∴先改变积分次序.
原式 = I = 1dx
2
y x
y= x
y = x2
∫ ∫
1
x
2
x
e dy
Байду номын сангаасy x
=∫
1
1 2
3 1 x (e − e )dx = e − e. 8 2
作辅助线 y = x 将D 分成
D , D2 两部分 1
= 2∫∫
D2
(x − y)dxdy + 2∫∫ dxdy
D
D 1 D2 o 1 x
y=x
2 π =L= ( 2 −1) + 3 2 说明: 说明 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号.
5 计算
( x + y )dxdy , D : x 2 + y 2 ≤ 1 ∫∫
x2 + y2 = 1
x+ y =1
∫∫ f ( x , y )dxdy = ∫0 dθ ∫
二重积分的例题及解析
二重积分的例题及解析二重积分是微积分中的重要概念,用于求解平面上的面积、质量、质心等物理量。
下面将介绍一些常见的二重积分例题,并进行解析。
例题1:计算二重积分D (x+y) dA,其中D为由直线y=x和y=2x以及y=4所围成的区域。
解析:首先,我们需要确定积分的上下限。
由于D区域被直线y=x和y=2x以及y=4所围成,因此x的取值范围为2到4,而y的取值范围为x到4。
因此,我们可以将积分式写为:D (x+y) dA = ∫2^4 ∫x^4 (x+y) dy dx接下来,我们对y进行积分,得到:∫2^4 (xy + y^2/2) |x^4 dx对于这个积分式,我们先计算内层的积分:∫(xy + y^2/2) |x^4 = x(x^4) + (x^4)^2/2 - x(x^2/2) -(x^2/2)^2/2= x^5 + x^8/2 - x^3/2 - x^4/8接下来,我们对x进行积分,得到:∫2^4 (x^5 + x^8/2 - x^3/2 - x^4/8) dx= 1/6 x^6 + 1/16 x^9 - 1/8 x^4 - 1/32 x^5 |2^4= (1/6 * 4^6 + 1/16 * 4^9 - 1/8 * 4^4 - 1/32 * 4^5) - (1/6 * 2^6 + 1/16 * 2^9 - 1/8 * 2^4 - 1/32 * 2^5)= 138.75因此,二重积分D (x+y) dA的结果为138.75。
例题2:计算二重积分D (x^2 + y^2) dA,其中D为单位圆盘x^2 + y^2 ≤ 1。
解析:由于D为单位圆盘,即x^2 + y^2 ≤ 1,我们可以将积分式写为:D (x^2 + y^2) dA = D r^2 dA其中,r为点(x, y)到原点的距离,即r = √(x^2 + y^2)。
因此,我们可以将积分式转化为极坐标形式:D r^2 dA = D r^3 dr dθ由于D为单位圆盘,θ的取值范围为0到2π,r的取值范围为0到1。
二重积分部分练习题
题目部分,(卷面共有100题,405.0分,各大题标有题量和总分) 一、选择 (16小题,共53.0分) (2分)[1] (3分)[2]二重积分Dxydxdy ⎰⎰ (其中D :0≤y ≤x 2,0≤x ≤1)的值为(A )16 (B )112 (C )12 (D )14答 ( ) (3分)[3]若区域D 为0≤y ≤x 2,|x |≤2,则2Dxy dxdy =⎰⎰=(A )0; (B )323 (C )643(D )256 答 ( )(3分)[4]设D 1是由ox 轴,oy 轴及直线x +y =1所圈成的有界闭域,f 是区域D :|x |+|y |≤1上的连续函数,则二重积分22(,)Df x y dxdy =⎰⎰__________122(,)D f x y dxdy ⎰⎰(A )2 (B )4 (C )8 (D )12答 ( ) (3分)[5]设f (x ,y )是连续函数,则二次积分11(,)x dx f x y dy -+⎰(A)112111(,)(,)y dy f x y dx dy f x y dx ---+⎰⎰⎰(B)1101(,)y dy f x y dx --⎰⎰(C)11111(,)(,)y dy f x y dx f x y dx ---+⎰⎰⎰(D)21(,)dy f x y dx -⎰⎰答 ( ) (3分)[6] 设函数f (x ,y )在区域D :y 2≤-x ,y ≥x 2上连续,则二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰可化累次积分为(A)201(,)x dx f x y dy -⎰(B)21(,)x dx f x y dy -⎰⎰(C)21(,)y dy f x y dx -⎰⎰(D)210(,)y dy f x y dx ⎰答 ( )(3分)[7]设f (x ,y )为连续函数,则二次积分21102(,)y dy f x y dx ⎰⎰可交换积分次序为(A)1010(,)(,)dx f x y dy f x y dy +⎰(B)112102(,)(,)(,)dx f x y dy f x y dy f x y dy ++⎰⎰⎰(C)1(,)dx f x y dy ⎰(D)222cos 0sin (cos ,sin )d f r r rdr πθθθθθ⎰⎰答 ( ) (3分)[8]设f (x ,y )为连续函数,则积分212201(,)(,)x xdx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰⎰可交换积分次序为 (A)12201(,)(,)yydy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰(B)2122001(,)(,)x xdy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰(C)120(,)y dy f x y dx -⎰(D)2120(,)xxdy f x y dx -⎰⎰答 ( ) (4分)[9]若区域D 为(x -1)2+y 2≤1,则二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰化成累次积分为(A)2cos 0(,)d F r dr πθθθ⎰⎰(B)2cos 0(,)d F r dr πθπθθ-⎰⎰(C)2cos 202(,)d F r dr πθπθθ-⎰⎰(D)2cos 202(,)d F r dr πθθθ⎰⎰其中F (r ,θ)=f (r cos θ,r sin θ)r .答 ( ) (3分)[10]若区域D 为x 2+y 2≤2x,则二重积分(Dx y +⎰⎰化成累次积分为(A)2cos 202(cos sin d πθπθθθ-+⎰⎰(B)2cos 30(cos sin )d r dr πθθθθ+⎰⎰(C)2cos 3202(cos sin )d r dr πθθθθ+⎰⎰(D)2cos 3222(cos sin )d r dr πθπθθθ-+⎰⎰答 ( ) (4分)[11]设777123[ln()],(),sin ()DDDI x y dxdy I x y dxdy I x y dxdy =+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中D 是由x =0,y =0,12x y +=,x +y =1所围成的区域,则I 1,I 2,I 3的大小顺序是 (A)I 1<I 2<I 3; (B)I 3<I 2<I 1; (C)I 1<I 3<I 2; (D)I 3<I 1<I 2.答 ( ) (5分)[12]设2211cos sin x y dxdyI x y +≤=++⎰⎰,则I 满足 (A)223I ≤≤ (B)23I ≤≤ (C)12D I ≤≤ (D)10I -≤≤答 ( ) (4分)[13]设12x y +=其中D 是由直线x =0,y =0,及x +y =1所围成的区域,则I 1,I 2,I 3的大小顺序为(A)I 3<I 2<I 1; (B)I 1<I 2<I 3; (C)I 1<I 3<I 2; (D)I 3<I 1<I 2.答 ( ) (3分)[14]设有界闭域D 1与D 2关于oy 轴对称,且D 1∩D 2=φ,f (x ,y )是定义在D 1∪D 2上的连续函数,则二重积分2(,)Df x y dxdy =⎰⎰(A)122(,)D f x y dxdy ⎰⎰(B)224(,)D f x y dxdy ⎰⎰(C)124(,)D f x y dxdy ⎰⎰(D)221(,)2D f x y dxdy ⎰⎰ 答 ( )(3分)[15]若区域D 为|x |≤1,|y |≤1,则cos()sin()xy Dxexy dxdy =⎰⎰(A) e; (B) e -1;(C) 0; (D)π.答 ( ) (4分)[16]设D :x 2+y 2≤a 2(a >0),当a =___________时,222.Da x y dxdy π--=(A)1答 ( ) 二、填空 (6小题,共21.0分)(4分)[1]设函数f (x ,y )在有界闭区域D 上有界,把D 任意分成n 个小区域Δσi (i =1,2,…,n ),在每一个小区域Δσi 任意选取一点(ξi ,ηi ),如果极限 01lim(,)niiii f λξησ→=∆∑(其中入是Δσi (i =1,2,…,n )的最大直径)存在,则称此极限值为______________的二重积分。
二重积分练习题答案
8、 ∫∫ x − y dxdy , D : x = 0, y = 0, x = 1, y = 1 y
D
1
解: 原式 = ∫∫ ( y − x)dxdy + ∫∫ ( x − y )dxdy
D1 D2
D1
D2
0
1
x
= ∫ dx
0
1
∫x ( y − x)dy + ∫ dx
1 0
1
∫0 ( x − y) 2 y
f ( x, y )dx
D
.
( -1,-1)
⎞ ⎛ 1 ⎜ - ,-1⎟ ⎝ 2 ⎠
1
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3、 D : x 2 + y 2 ≥ ax , 2 + y 2 ≤ 2 ax ( a > 0) 将 ∫∫ f ( x, y ) dxdy 设 x
二重积分练习题
一、填空
x2 1、设 D : x = 2, y = x, xy = 1, ∫∫ 3 dxdy = y D
2 x x 2 x2 ∫∫ y3 dxdy = ∫1 dx ∫1x y 3 dy D
13 5
.
(2, 2)
(1,1)
1 (2, ) 2
2、设 D : y = x, y = 2 x, y = −1,将 ∫∫ f ( x, y )dxdy 化为累 次积分 =
D1 D2
0
1
x
= ∫ dθ
4 0
π
∫
sec θ
0
f (r cosθ , r sin θ )rdr f (r cosθ , r sin θ )rdr
二重积分的计算习题
变量替换法简化计算过程
变量替换法的基本思想:通过变量替换,将复杂的被积函数或积分区域转化为简单的形式,从而简化 计算过程;
常用的变量替换法有极坐标替换、广义极坐标替换等;
极坐标替换法适用于被积函数中含有x^2+y^2或积分区域为圆、圆环、扇形等情况。通过极坐标替换, 可将二重积分化为极坐标系下的累次积分进行计算。
பைடு நூலகம்
02 直角坐标系下二重积分计 算方法
累次积分法求解步骤与实例分析
01
步骤一
02
确定积分区域D,并画出其图形;
步骤二
根据被积函数和积分区域的特 点,选择适当的积分次序;
03
步骤三
04
将二重积分化为累次积分,并计 算之。
实例分析
计算二重积分∫∫D xydσ,其中D 是由直线y=x,x=1及x轴所围成 的闭区域。首先,确定积分区域D, 并画出其图形;其次,选择先对y 积分再对x积分的次序;最后,将 二重积分化为累次积分 ∫(0,1)dx∫(0,x) xydy,并计算得到 结果为1/4。
二重积分的计算习
目录
• 二重积分基本概念与性质 • 直角坐标系下二重积分计算方法 • 极坐标系下二重积分计算方法 • 二重积分在几何和物理中应用 • 数值方法求解二重积分简介 • 总结回顾与拓展延伸
01 二重积分基本概念与性质
二重积分定义及物理意义
二重积分定义及物理意义
$lim_{lambda to 0} sum_{i=1}^{n} f(xi_i,eta_i) Delta sigma_i = J$
精度与步长
数值求积公式的精度取决于步长 (即小矩形的边长)的大小。步 长越小,精度越高,但计算量也 越大。
任意区域上数值求积公式应用
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题目部分,(卷面共有100题,405.0分,各大题标有题量和总分) 一、选择 (16小题,共53.0分) (2分)[1] (3分)[2]二重积分Dxydxdy ⎰⎰ (其中D :0≤y ≤x 2,0≤x ≤1)的值为(A )16 (B )112 (C )12 (D )14答 ( )(3分)[3]若区域D 为0≤y ≤x 2,|x |≤2,则2Dxy dxdy =⎰⎰=(A )0; (B )323 (C )643(D )256 答 ( )(3分)[4]设D 1是由ox 轴,oy 轴及直线x +y =1所圈成的有界闭域,f 是区域D :|x |+|y |≤1上的连续函数,则二重积分22(,)Df x y dxdy =⎰⎰__________122(,)D f x y dxdy ⎰⎰(A )2 (B )4 (C )8 (D )12答 ( )(3分)[5]设f (x ,y )是连续函数,则二次积分11(,)x dx f x y dy -+⎰(A)112111(,)(,)y dy f x y dx dy f x y dx ---+⎰⎰⎰(B)1101(,)y dy f x y dx --⎰⎰(C)11111(,)(,)y dy f x y dx f x y dx ---+⎰⎰⎰(D)21(,)dy f x y dx -⎰⎰答 ( )(3分)[6]设函数f (x ,y )在区域D :y 2≤-x ,y ≥x 2上连续,则二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰可化累次积分为(A)201(,)x dx f x y dy -⎰(B)21(,)x dx f x y dy -⎰⎰(C)21(,)y dy f x y dx -⎰⎰(D)210(,)y dy f x y dx ⎰答 ( )(3分)[7]设f (x ,y )为连续函数,则二次积分21102(,)y dy f x y dx ⎰⎰可交换积分次序为(A)1010(,)(,)dx f x y dy f x y dy +⎰(B)112102(,)(,)(,)dx f x y dy f x y dy f x y dy ++⎰⎰⎰(C)1(,)dx f x y dy ⎰(D)222cos 0sin (cos ,sin )d f r r rdr πθθθθθ⎰⎰答 ( )(3分)[8]设f (x ,y )为连续函数,则积分212201(,)(,)x xdx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰⎰可交换积分次序为 (A)12201(,)(,)y ydy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰(B)2122001(,)(,)x xdy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰(C)120(,)y dy f x y dx -⎰(D)2120(,)xxdy f x y dx -⎰⎰答 ( )(4分)[9]若区域D 为(x -1)2+y 2≤1,则二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰化成累次积分为(A)2cos 0(,)d F r dr πθθθ⎰⎰(B)2cos 0(,)d F r dr πθπθθ-⎰⎰(C)2cos 202(,)d F r dr πθπθθ-⎰⎰(D)2cos 202(,)d F r dr πθθθ⎰⎰其中F (r ,θ)=f (r cos θ,r sin θ)r . 答 ( )(3分)[10]若区域D 为x 2+y 2≤2x,则二重积分(Dx y +⎰⎰化成累次积分为(A)2cos 202(cos sin d πθπθθθ-+⎰⎰(B)2cos 30(cos sin )d r dr πθθθθ+⎰⎰(C)2cos 3202(cos sin )d r dr πθθθθ+⎰⎰(D)2cos 3222(cos sin )d r dr πθπθθθ-+⎰⎰答 ( ) (4分)[11]设777123[ln()],(),sin ()DDDI x y dxdy I x y dxdy I x y dxdy =+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中D 是由x =0,y =0,12x y +=,x +y =1所围成的区域,则I 1,I 2,I 3的大小顺序是 (A)I 1<I 2<I 3; (B)I 3<I 2<I 1; (C)I 1<I 3<I 2; (D)I 3<I 1<I 2. 答 ( ) (5分)[12]设2211cos sin x y dxdyI x y +≤=++⎰⎰,则I 满足 (A)223I ≤≤ (B)23I ≤≤ (C)12D I ≤≤ (D)10I -≤≤答 ( ) (4分)[13]设12x y +=其中D 是由直线x =0,y =0,及x +y =1所围成的区域,则I 1,I 2,I 3的大小顺序为(A)I 3<I 2<I 1; (B)I 1<I 2<I 3; (C)I 1<I 3<I 2; (D)I 3<I 1<I 2. 答 ( )(3分)[14]设有界闭域D 1与D 2关于oy 轴对称,且D 1∩D 2=φ,f (x ,y )是定义在D 1∪D 2上的连续函数,则二重积分2(,)Df x y dxdy =⎰⎰(A)122(,)D f x y dxdy ⎰⎰(B)224(,)D f x y dxdy ⎰⎰(C)124(,)D f x y dxdy ⎰⎰(D)221(,)2D f x y dxdy ⎰⎰ 答 ( )(3分)[15]若区域D 为|x |≤1,|y |≤1,则cos()sin()xy Dxexy dxdy =⎰⎰(A) e; (B) e -1;(C) 0; (D)π. 答 ( )(4分)[16]设D :x 2+y 2≤a 2(a >0),当a =___________时,222.Da x y dxdy π--=(A)1答 ( )二、填空 (6小题,共21.0分)(4分)[1]设函数f (x ,y )在有界闭区域D 上有界,把D 任意分成n 个小区域Δσi (i =1,2,…,n ),在每一个小区域Δσi 任意选取一点(ξi ,ηi ),如果极限1lim (,)ni i i i f λξησ→=∆∑(其中入是Δσi (i =1,2,…,n )的最大直径)存在,则称此极限值为______________的二重积分。
(4分)[2]若D 是以(0,0),(1,0)及(0,1)为顶点的三角形区域,由二重积分的几何意义知(1)Dx y --⎰⎰=___________.(3分)[3]设:00D y x ≤≤≤≤,由二重积分的几何意义知D=___________.(3分)[4]设D :x 2+y 2≤4,y ≥0,则二重积分32sin()Dx y d σ=⎰⎰__________。
(4分)[5]设区域D 是x 2+y 2≤1与x 2+y 2≤2x 的公共部分,试写出(,)Df x y dxdy ⎰⎰在极坐标系下先对r 积分的累次积分_________________.(3分)[6]设D :0≤x ≤1,0≤y ≤2(1-x ),由二重积分的几何意义知12D y x dxdy ⎛⎫-- ⎪⎝⎭⎰⎰=_______________. 三、计算 (78小题,共331.0分)(3分)[1]设f (x ,y )为连续函数,交换二次积分2102(,)yydy f x y dx ⎰⎰的积分次序。
(3分)[2]设f (x ,y )为连续函数,交换二次积分220(,)xxdx f x y dy ⎰⎰的积分次序。
(3分)[3]设f (x ,y )为连续函数,交换二次积分10021(,)(,)dy f x y dx dy f x y dx ---+⎰⎰⎰⎰的积分次序。
(3分)[4]设f (x ,y )为连续函数,交换二次积分211111ln (,)(,)e x xdx f x y dx dx f x y dy -+⎰⎰⎰⎰的积分次序。
(4分)[5]计算二重积分2()Dx y dxdy -⎰⎰ 其中D :0≤y ≤sin x ,0≤x ≤π. (3分)[6]计算二重积分Dxydxdy ⎰⎰其中D 是由曲线y =x 2,直线y =0,x =2所围成区域。
(3分)[7]计算二重积分Dx ydxdy ⎰⎰其中D 为由y =x ,y =2x ,x =4所围成的区域。
(3分)[8]计算二重积分Dxydxdy ⎰⎰其中D :x ≤y ≤x ,1≤x ≤2.(3分)[9]计算二重积分cos()Dx y dxdy +⎰⎰其中D 是由直线x =0,y =π和y =x 围成的区域。
(4分)[10]计算二重积分22()Dx y y dxdy +-⎰⎰ 其中D 是由直线y =x ,y =x +1,y =1及y =3所围成的区域。
(3分)[11]计算二重积分cos(2)Dx xy dxdy ⎰⎰其中D:0,114x y π≤≤-≤≤(3分)[12]计算二重积分()Dx y dxdy +⎰⎰其中D 为由y =x ,x =0,y =1所围成的区域。
(3分)[13]计算二重积分(6)Dx y dxdy +⎰⎰其中D 是由直线y =x ,y =5x 及x =1所围成的区域。
(3分)[14]计算二重积分Dxydxdy ⎰⎰其中D 是由双曲线1y x=,直线y =x 及x =2所围成的区域。
(3分)[15]计算二重积分Dydxdy x⎰⎰其中D 是由直线y =2x ,y =x ,x =2及x =4所围成的区域。
(3分)[16]计算二重积分Dy dxdy ⎰⎰其中D :|x |+|y |≤1.(3分)[17]计算二重积分Dxy d σ⎰⎰其中D :|x |+|y |≤1.(4分)[18]计算二重积分2xy dxdy ⎰⎰其中1D:,12xy x x ≤≤≤≤ (4分)[19]计算二重积分22()D xy dxdy +⎰⎰其中D 是由直线y =x ,y =x +a ,y =a 及y =3a (a >0)所围成的区域。
(4分)[20]计算二次积分330(2)xdx x y dy -+⎰⎰(4分)[21]计算二重积分Dxydxdy ⎰⎰其中D 是由y =x ,xy =1,x =3所围成的区域。
(4分)[22]计算二重积分22()Dx y x dxdy +-⎰⎰ 其中D 是由y =2,y =x ,y =2x 所围成的区域。
(4分)[23]计算二重积分(1)Dx ydxdy -⎰⎰其中D是由曲线1x =+y =1-x 及y =1所围成的区域。
(4分)[24]计算二重积分411Ddxdy x +⎰⎰ 其中D 是由y =x ,y =0,x =1所围成的区域。
(4分)[25]计算二重积分2Dxy dxdy ⎰⎰ 其中D 为与x =0所围成的区域。