(2015.1.16) 最小二乘推导

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最小二乘法公式推导

最小二乘法公式推导
最小二乘法是一种用于拟合数据的统计方法，通过最小化残差平方和来确定一组最佳的拟合系数。

以下是最小二乘法的公式推导：
假设有n个数据点(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)，
要用一条直线y=a+bx来拟合这些数据，其中a和b是未知
参数。

首先定义残差ei为第i个数据点的y值减去拟合直线在该
点的预测值：
ei=yi-(a+bxi)
然后，我们将残差平方和S定义为所有n个数据点的残差平
方的和：
S=Σ(ei^2)=Σ(yi-a-bxi)^2
要找到最佳的拟合系数a和b，我们需要将S最小化。

为了
实现这一点，我们可以将S分别对a和b求偏导，并令偏导数等
于0，得到以下两个方程：
∂S/∂a=-2Σ(yi-a-bxi)=0
∂S/∂b=-2Σ(xi)(yi-a-bxi)=0
将上述两个方程展开并整理，得到：
na+bΣ(xi)=Σ(yi)
bΣ(xi^2)+aΣ(xi)=Σ(xi)(yi)
这是一个包含两个未知数a和b的线性方程组，可以通过解方程组来求出最佳的拟合系数。

具体来说，我们可以使用矩阵求解法，将上述方程组转化为矩阵形式：
|nΣ(xi)||a||Σ(yi)|
|Σ(xi)Σ(xi^2)||b|=|Σ(xi)(yi)|
然后，可以使用矩阵的逆来求解a和b的值：
|a||nΣ(xi)|^-1|Σ(yi)|
|b|=|Σ(xi)Σ(xi^2)||Σ(xi)(yi)|
最终，得到的a和b就是最小二乘法所求的拟合系数，可以将其代入y=a+bx中，得到拟合直线的方程。

最小二乘算法

最小二乘算法最小二乘算法是一种常用的数学方法，用于解决线性回归问题。

它的基本思想是通过最小化误差平方和来确定最佳拟合直线或曲线。

在实际应用中，最小二乘算法被广泛应用于数据分析、信号处理、图像处理等领域。

最小二乘算法的核心是寻找最佳拟合直线或曲线。

在线性回归问题中，我们需要找到一条直线，使得该直线与数据点的距离最小。

具体来说，我们需要找到一组参数，使得该直线的误差平方和最小。

误差平方和是指每个数据点到直线的距离的平方和。

最小二乘算法的目标就是最小化这个误差平方和。

最小二乘算法的求解过程可以通过矩阵运算来实现。

具体来说，我们可以将数据点表示为一个矩阵X，将参数表示为一个向量θ，将目标值表示为一个向量y。

然后，我们可以通过最小化误差平方和的公式来求解参数θ。

最小二乘算法的求解过程可以通过矩阵运算来实现，这使得算法的求解速度非常快。

最小二乘算法的优点是可以处理大量数据，并且可以处理非线性问题。

此外，最小二乘算法还可以用于解决多元线性回归问题。

多元线性回归问题是指有多个自变量的线性回归问题。

在多元线性回归问题中，最小二乘算法可以通过矩阵运算来求解参数。

最小二乘算法的应用非常广泛。

在数据分析领域，最小二乘算法可以用于拟合数据，预测未来趋势。

在信号处理领域，最小二乘算法可以用于滤波、降噪等。

在图像处理领域，最小二乘算法可以用于图像重建、图像增强等。

最小二乘算法是一种非常有用的数学方法，可以用于解决线性回归问题。

它的优点是可以处理大量数据，并且可以处理非线性问题。

最小二乘算法的应用非常广泛，可以用于数据分析、信号处理、图像处理等领域。

最小二乘估计的推导

最小二乘估计的推导最小二乘估计是一种常用的参数估计方法，尤其在统计学和经济学领域得到广泛应用。

它的推导涉及到一些数学推理和统计原理，我将在本文中逐步解释和展示最小二乘估计的推导过程，并探讨其应用和优势。

1. 引言最小二乘估计是一种通过最小化观测值与预测值之间的差异来估计参数的方法。

它的基本思想是找到一组参数值，使得观测值与对应的预测值之间的平方差最小化。

这种方法在数据分析和回归分析中非常有用，因为它能够提供可靠的参数估计和预测模型。

2. 最小二乘估计的基本原理最小二乘估计的推导涉及到线性回归模型，即因变量Y与自变量X之间的线性关系。

假设我们有n个观测值，表示为（Xi，Yi），i=1，2，...，n。

我们的目标是找到一条直线Y=aX+b，使得所有观测值到这条直线的距离之和最小化。

距离的平方和可以表示为：S = Σ(Yi - (aXi + b))²我们的目标是最小化这个平方和。

为了找到最优的参数估计，我们需要找到使得S最小的a和b的值。

3. 最小化平方和我们可以通过对S求导，令导数等于零，来求解a和b的值。

具体地，我们分别对a和b求导，并令导数等于零：∂S/∂a = -2ΣXi(Yi - (aXi + b)) = 0∂S/∂b = -2Σ(Yi - (aXi + b)) = 0通过求解以上两个方程，我们可以得到最小二乘估计的闭合解：a = (ΣXiYi - n X̄Ȳ) / (ΣXi² - n X̄²)b = Ȳ - a X̄其中，X̄和Ȳ分别表示X和Y的均值，Σ表示求和符号。

4. 应用和优势最小二乘估计在实际应用中具有广泛的用途。

在经济学中，我们可以通过最小二乘估计来估计需求曲线和供给曲线的参数，从而预测市场的走势和变化。

在统计学中，最小二乘估计可以用于拟合数据并构建预测模型。

它是最经典的回归分析方法之一，可用于解释和预测变量之间的关系。

最小二乘估计具有一些优势。

一文让你彻底搞懂最小二乘法(超详细推导)

一文让你彻底搞懂最小二乘法（超详细推导）要解决的问题在工程应用中，我们经常会用一组观测数据去估计模型的参数，模型是我们根据先验知识定下的。

比如我们有一组观测数据 ( x i , y i ) (x_i,y_i) (xi,yi)（一维），通过一些数据分析我们猜测 y y y和 x x x之间存在线性关系，那么我们的模型就可以定为： f ( x ) = k x + b f(x)=kx+bf(x)=kx+b这个模型只有两个参数，所以理论上，我们只需要观测两组数据建立两个方程，即可解出两个未知数。

类似的，假如模型有n n n个参数，我们只需要观测 n n n组数据就可求出参数，换句话说，在这种情况下，模型的参数是唯一确定解。

但是在实际应用中，由于我们的观测会存在误差（偶然误差、系统误差等），所以我们总会做多余观测。

比如在上述例子中，尽管只有两个参数，但是我们可能会观测 n n n组数据( x 1 , y 1 ) . . , ( x n , y n ) (x_1, y_1)..,(x_n, y_n) (x1,y1)..,(xn,yn)，这会导致我们无法找到一条直线经过所有的点，也就是说，方程无确定解。

于是这就是我们要解决的问题：虽然没有确定解，但是我们能不能求出近似解，使得模型能在各个观测点上达到“最佳“拟合。

那么“最佳”的准则是什么？可以是所有观测点到直线的距离和最小，也可以是所有观测点到直线的误差（真实值-理论值）绝对值和最小，也可以是其它，如果是你面临这个问题你会怎么做？早在19世纪，勒让德就认为让“误差的平方和最小”估计出来的模型是最接近真实情形的。

为什么是误差平方而不是另一个？就连欧拉和拉普拉斯都没能成功回答这个问题。

后来高斯建立了一套误差分析理论，从而证明了系统在误差平方和最小的条件下是最优的。

证明这个理论并不难。

我写了另一篇关于最小二乘法原理理解的博客。

相信你了解后会对最小二乘法有更深的理解。

最小二乘法公式推导过程

最小二乘法公式推导过程最小二乘法是一种最常用的数据拟合方法，主要用于回归分析和曲线拟合等数据处理领域中。

其核心思想是通过最小化残差平方和，找到一条最佳拟合直线（或曲线），使预测结果与实际观测值间的误差最小化。

最小二乘法的具体应用可以分为两个步骤。

第一步是建立模型，根据实际数据的分布情况建立数学模型。

常见的模型有线性回归模型、多项式回归模型、指数回归模型等等。

第二步则是通过最小化残差平方和来求解使模型拟合结果最优的参数。

下面我们就来具体了解一下最小二乘法的公式推导过程。

首先，我们先给出一个简单的线性回归模型：y = ax + b，其中x 为自变量，y为因变量，a和b是待求解的参数。

假设我们有n个数据点，其中第i个数据点的实际观测值为yi，预测值为a xi + b，那么第i个数据点的残差 ei=yi-a xi -b。

我们的目标是通过最小化所有数据点残差平方和来找到最佳拟合直线（或曲线）的参数。

即最小化S=∑(ei)²，其中i=1,2,…,n。

下面是最小二乘法的公式推导过程：（1）将S展开：S=(e1)²+(e2)²+...+(en)²=(y1-a x1-b)²+(y2-a x2-b)²+...+(yn-a xn-b)²=(y1²-2a x1 y1-2b y1+a² x1²+2a b x1+b²)+(y2²-2a x2 y2-2b y2+a² x2²+2a b x2+b²)+...+(yn²-2a xn yn-2b yn+a² xn²+2a bxn+b²)=(y1²+y2²+...+yn²)+(a² x1²+a² x2²+...+a² xn²)+(n b²)-2a(x1 y1+x2 y2+...+xn yn)-2b(y1+y2+...+yn)a+2(n a b x1+...+n a b xn)（2）将S对a、b分别求偏导：∂S/∂a=2(a x1²+a x2²+...+a xn²)-2(x1 y1+x2 y2+...+xn yn)-2(n a b x1+...+n a b xn)∂S/∂b=2(n b)-2(y1+y2+...+yn)+2(a x1+...+a xn)（3）令∂S/∂a=0，∂S/∂b=0，我们可以得到两个方程：a=(n∑xy-∑x∑y)/(n∑x²-(∑x)²)b=(∑y-a∑x)/n其中，∑表示sigma符号，∑xy为x和y的乘积之和，∑x²为x 的平方和，∑y²为y的平方和，∑x和∑y分别为x和y的和，n为数据点的数量。

最小二乘法公式的多种推导方法

最小二乘法公式的多种推导方法最小二乘法是统计学中用来求两个线性相关变量的回归直线方程的一种方法，因其推导方法比较复杂，高中数学《必修3》简单介绍了最小二乘法的思想，直接给出了回归直线斜率a和截距b的计算公式，省略了公式的推导过程。

中学数学教师没有引起足够的重视。

在文[1]中作者的困惑之一就是“公式推导，教不教？”，为了加强学生学习能力的培养和数学思想方法的渗透，让师生更好的了解数学发展的价值，公式推导，不仅要教，而且要好好的教。

下面给出几种公式推导的方法，供教学参考。

给出一组具有线性相关关系的数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），且实数xi不全相等，求回归直线y=ax+b的斜率a和截距b，使得所有点相对于该直线的偏差平方和达到最小。

设实数xi不全相等，所求直线方程为y=ax+b要确定a，b，使函数f（a，b）=∑ni=1（axi+b-yi）2最小。

方法1[2]由于f（a，b）=∑ni=1[yi-axi-（-a）+（-a）-b]2=∑ni=1{[yi-axi-（-a）]2+2[yi-axi-（-a）]×[（-a）-b]+[（-a）-b]2}=∑ni=1[yi-axi-（-a）]2+2∑ni=1[yi-axi-（-a）]×[（-a）-b]+n[（-a）-b]2，注意到∑ni=1[yi-axi-（-a）][（-a）-b]=（-a-b）∑ni=1[yi-axi-（-a）]=（-a-b）[∑ni=1yi-a∑ni=1xi-n（-a）]=（-a-b）[n-na-n（-a）]=0，因此f（a，b）=∑ni=1[yi-axi-（-a）]2+n[（-a）-b]2=a2∑ni=1（xi-）2-2a∑ni=1（xi-）（yi-）+∑ni=1（yi-）2+n（-a-b）2=n（-a-b）2+∑ni=1（xi-）2[a-∑ni=1（xi-）（yi-）∑ni=1（xi-）2]2-[∑ni=1（xi-）（yi-）]2∑ni=1（xi-）2+∑ni=1（yi-）2在上式中，后两项和a，b无关，而前两项为非负数，因此要使f取得最小值，当且仅当前两项的值均为0，即a=∑ni=1（xi-）（yi-）∑ni=1（xi-）2，b=-a（其中x=1n∑ni=1xi，y=1n∑ni=1yi，（x，y）称为样本点的中心。

最小二乘法超详细推导

最小二乘法超详细推导好，咱们聊聊最小二乘法，听起来是不是有点儿高大上？但其实它的原理就像是在生活中解决问题一样简单。

想象一下，你跟朋友约好一起去看电影，结果两个人的时间都不太对付，最后迟到了。

为了避免下次再犯错，你们想出一个办法：每次都提前半小时出门。

这就像最小二乘法，简单明了，追求一个更好的结果。

最小二乘法的基本思想就像是给一堆点点画线，想要找到一条“最佳”线，让这条线跟所有的点距离最小。

听上去有点抽象，但我给你举个例子。

假设你正在学习滑板，刚开始的时候，可能会摔得东倒西歪，根本控制不住。

你想要找出一个滑行的规律，比如，哪个角度、哪个姿势滑起来更顺畅。

于是你反复尝试，记录每次摔倒的位置，然后把所有这些点连起来，最后找到那个“最佳姿势”。

这就像是在求一个最小值，把每次摔倒的距离都尽量缩短。

让我们深入一点儿，最小二乘法的数学公式其实挺简单，咱们用y=ax+b来表示。

这里的y就像你想要达到的目标，比如说滑板的速度，x是你能控制的因素，比如滑板的角度。

a是斜率，代表你加速的程度，b则是你起步的高度。

听上去是不是有点像在调配一杯完美的饮料？如果把这几个变量调得刚刚好，恰到好处，那就能滑得又快又稳。

这时候，我们就要把所有的点放到图上，看看哪个点偏离得最多。

每个点到那条线的距离就像是你在追求完美的过程中产生的小失误。

咱们要做的，就是把这些距离的平方加起来，然后最小化，尽量让整体的偏差小到可忽略不计。

这个过程就像在追求一个完美的曲线，让你在滑板上飞翔的时候不再摔倒。

在实际操作中，我们往往需要用到一些数学工具，比如微积分。

听起来是不是有点吓人？别担心，其实就是为了找出那条最佳线的斜率和截距。

简单来说，就是要把所有的偏差搞清楚，给出一个准确的答案。

就像你在追求更好的生活方式，每天记录饮食和运动，最后找到那个最适合自己的节奏。

想象一下，咱们在找线的时候，就像在追寻自己的梦想。

每一次失败，每一次尝试，都是为了一条更完美的路径。

推导最小二乘法的两种方法

推导最小二乘法的两种方法最小二乘法是一种常见的数据拟合方法,用于找到一条直线,使得该直线与一组数据之间的最小距离等于零。

下面将介绍两种推导最小二乘法的方法。

方法一:基于样本点的距离我们可以从样本点出发,构造一条直线,使得该直线与样本点的距离等于零。

具体来说,设样本点为 (x_i, y_i),我们希望构造的直线为:y = ax + b其中 a 和 b 是待求的直线的参数。

为了找到 a 和 b,我们可以对样本点进行距离计算,得到:d = |y_i - ax_i + b|我们希望 d 等于零,即 y_i - ax_i + b = 0。

解这个方程,可以得到 a = (y_i - b) / x_i,b = y_i。

因此,我们得到一条直线的参数为:a = (y_i - b) / x_i,b = y_i该直线与样本点的距离就是:d = |y_i - ax_i + b| = |y_i - (y_i - b) / x_i + b| = (y_i - b) / x_i + b方法二:基于最小二乘法的公式另一种推导最小二乘法的方法是利用最小二乘法的公式。

最小二乘法的公式是:最小二乘法 = 1 / (n - 1) * Σ (y - y_i)^2 / (x - x_i)^2其中 n 是样本数,y_i 和 x_i 是样本点的坐标。

我们希望找到一条直线,使得该直线的斜率 k 满足:k * (x - x_i) = (y - y_i)即 k * (x - x_i) = y - y_i我们要求 k * (x - x_i) 最小,即要求 y - y_i 最小。

因此,我们可以构造一组数据,使得 y - y_i 最小。

具体来说,设 y_j = y_i + c,其中 c 是常数。

我们可以构造一条直线:k * (x - x_i) = y - y_i = y_j - c其中 k * (x - x_i) 就是直线的斜率。

简述参数最小二乘估计的基本原理

简述参数最小二乘估计的基本原理
参数最小二乘估计是一种常用的统计方法，用于确定一组参数的最优值，以便最小化模型的预测误差。

该方法的基本原理是，在给定一组有限的观测数据下，通过拟合一个数学模型，估计模型中的参数值，使得模型的预测误差最小。

具体地说，参数最小二乘估计的基本原理是通过最小化残差平方和来确定参数的最优值。

这里的残差是指观测值与模型预测值之间的差异，平方和则是所有残差平方的总和。

通过最小化残差平方和，可以得到最优的参数值，使得预测误差最小。

参数最小二乘估计的优点是简单易懂、计算方便、可解释性好，并且在实际应用中广泛使用。

但是，该方法也存在一些限制，例如它要求模型中的误差服从正态分布，且假设模型的参数是固定的，而不是随机变量。

因此，在实际应用中需要对这些限制进行考虑，并结合实际情况选择合适的方法进行参数估计。

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最小二乘推导过程

最小二乘推导过程在这个快节奏的时代，咱们总是希望把事情做得更加简单明了。

你有没有想过，怎么从一堆数据中找出一个最好的拟合线？这听起来有点复杂，但其实就是最小二乘法的工作。

说到这，可能很多人会想，最小二乘法听上去像是个高深莫测的数学术语，实则它就像是家里的那瓶老酒，虽然看似不起眼，却能给你意想不到的惊喜。

想象一下，你在一个阳光明媚的下午，和朋友一起出去钓鱼。

你们钓了不少鱼，回家后朋友问你：“你今天钓的鱼平均多大？”这时你得开始思考，怎么把这些数据弄得清清楚楚。

最小二乘法就像是个聪明的小助手，帮你找出最能代表这些鱼的平均大小。

它的工作原理就像是在钓鱼时用网兜把鱼收进来，只不过这个网是用来把数据点收集在一起的。

简单说来，最小二乘法的核心思想就是通过数学的方式，让每个数据点与拟合线的距离尽可能小。

你可以把这个过程想象成在跳舞，数据点在舞池里不停摇摆，拟合线就是那位优雅的舞者，尽量让每个人都能跟上节拍。

如果某些舞者偏离了节奏，最小二乘法就会想方设法把他们拉回来，确保整个舞蹈的和谐美观。

最小二乘法的推导过程就像是在进行一场精心的烹饪。

你得准备好食材，这里的食材就是你的数据。

把这些数据点摆出来，然后计算每个点与拟合线之间的距离。

这个距离可以用平方来表示，为什么要平方呢？因为我们想要消除负号的影响，毕竟没有人喜欢阴郁的感觉，对吧？就是最有趣的部分了。

你要把所有的距离平方加在一起，这个总和就像是你炖的汤的味道，越少越好，说明这道菜做得棒棒的。

于是，你开始对这个总和进行优化，试着找到最佳的拟合线位置。

就好比你在不断调整火候，力求把菜肴做得色香味俱全。

经过一番折腾，你会发现一个神奇的结果。

那个拟合线终于出现了，它就像一位气质优雅的模特，站在舞台，散发着无与伦比的光彩。

这条线不仅把数据点串联起来，还让你对数据有了更深入的理解。

通过这条线，你能够预测未来的趋势，简直就像给未来装上了一双透视眼。

最小二乘法的魅力就在于此。

它不仅仅是个公式，还是一个帮助你看清事物本质的工具。

最小二乘法系数计算公式

最小二乘法系数计算公式最小二乘法系数计算公式这玩意儿，在数学和统计学里那可是相当重要！咱先来说说啥是最小二乘法。

打个比方，你想研究身高和体重之间有没有啥关系。

你找了一堆人，量了他们的身高和体重。

这一堆数据放那，看起来乱哄哄的，你就想找个规律，让一条线能尽量好地穿过这些数据点。

这条线呢，就是通过最小二乘法算出来的。

那最小二乘法系数计算公式到底是啥呢？其实就是通过一些数学运算，找到能让实际数据点和预测线之间的误差平方和最小的系数。

比如说，有一组数据（x1,y1），（x2,y2），……，（xn,yn）。

我们设要拟合的直线方程是 y = a + bx 。

那误差平方和 S 就等于（y1 - (a + bx1))² + （y2 - (a + bx2))² + …… + （yn - (a + bxn))²。

为了找到让 S 最小的 a 和 b ，就得用一些数学方法来算啦。

这计算过程啊，可有点复杂，得用到求偏导数啥的。

我记得有一次，给学生们讲这个的时候，有个小家伙一脸懵地看着我，说：“老师，这咋这么难啊！”我就跟他说：“别着急，咱们一步步来。

”然后我带着他们从最简单的例子开始，一个数据一个数据地分析，慢慢他们就有点感觉了。

其实在实际生活中，最小二乘法的用处可大了。

比如说预测股票的走势，虽然不能百分百准确，但能给咱一个大概的参考。

或者分析某个产品的销量和广告投入之间的关系，帮助企业做决策。

还有啊，搞科研的时候也经常用到。

比如研究气候变化和某些因素的关系，通过最小二乘法找到规律，就能更好地预测未来的气候变化。

学习最小二乘法系数计算公式，一开始可能会觉得头疼，但只要多做几道题，多琢磨琢磨，慢慢就会发现其中的乐趣。

就像解谜一样，当你算出正确的系数，找到那条最合适的线，那种成就感可太棒啦！所以啊，同学们，别害怕这个小小的难题，加油去攻克它，你会发现数学的世界里有很多奇妙的东西等着你们去探索呢！。

最小二乘公式的推导过程

最小二乘公式的推导过程嘿，咱今儿个就来唠唠最小二乘公式的推导过程哈！你说这最小二乘公式啊，就像是一把神奇的钥匙，能帮咱打开好多数据背后的秘密大门呢！想象一下，咱有一堆数据点，就像一群调皮的小精灵，东一个西一个的。

咱得想办法找到一条线或者一个曲面啥的，能让这些小精灵都乖乖地待在附近，就像给它们找个家一样。

那咋找这个家呢？这就用到最小二乘公式啦！咱先设个模型，比如说一条直线方程。

然后呢，把每个数据点代入进去，就会有误差产生。

这些误差就像是小精灵们不愿意回家闹的小脾气。

咱的目标呢，就是让这些小脾气都最小化，让所有误差的平方和最小。

为啥要平方呢？这就好比是把小脾气放大了，让咱更重视它们，不能轻易忽略。

那具体咋推导呢？咱就一步步来呗。

先把误差表示出来，然后对这个误差求导，让导数等于零，这不就找到最小值了嘛！就好像咱爬山，找到那个最矮的地方，那就是谷底啦，也就是咱要的结果。

哎呀，这过程说起来简单，做起来可不容易呢！得细心再细心，不然一个小差错，可能就前功尽弃啦！但你想想，一旦咱推导出来了，那多有成就感呀！就好像你经过千辛万苦终于找到了宝藏一样，那种喜悦，可不是一般的快乐能比的。

而且这最小二乘公式用处可大了去了，在好多领域都能派上用场呢，比如数据分析啦、统计学啦等等。

你说这数学是不是很神奇？一个小小的公式，背后竟然有这么复杂又有趣的推导过程。

这就像生活中的好多事情一样，表面上看起来平平无奇，可深入了解后才发现别有洞天呢！咱再回过头来看看最小二乘公式，它可不只是一堆符号和数字的组合，它是智慧的结晶呀！是数学家们经过无数次思考和尝试才得出来的。

所以呀，咱可不能小瞧了这些数学知识，它们就像隐藏在知识海洋里的珍珠，等着咱去发现，去探索呢！你准备好跟着我一起去挖掘这些珍珠了吗？。

最小二乘法过程

最小二乘法过程嘿，朋友们！今天咱来聊聊最小二乘法过程。

这玩意儿啊，就像是一个神奇的魔法，能帮我们解决好多问题呢！想象一下，你有一堆数据点，就像一群调皮的小精灵，东一个西一个的。

那怎么才能找到一条线或者一个模型，能最好地把这些小精灵都串起来呢？这时候最小二乘法就闪亮登场啦！它的第一步呢，就是先确定我们要找的那个模型的形式。

比如说，是一条直线呢，还是一个曲线呀。

这就好比给小精灵们找一个合适的家。

然后呢，就开始计算啦！计算每个数据点到这个模型的距离。

这距离可不是随便算算的哦，就好像你要衡量你和朋友之间的亲密程度一样，得仔细着呢！接着，把这些距离都加起来，得到一个总的误差值。

这误差值就像是一个总成绩，能反映出这个模型和数据的契合程度。

可别小瞧了这个误差值哦，它可重要啦！我们的目标就是要让这个误差值尽可能地小。

就好像你挑衣服，肯定要挑最合身的那件呀！为了让误差值变小，我们就得不断地调整模型的参数。

这就像给小精灵们的家不断地装修，直到它们都舒舒服服地待在里面。

在这个过程中，可能会遇到一些困难。

有时候数据点很调皮，不太听话，让你找的模型也变得怪怪的。

但别灰心呀，我们要像勇士一样，坚持不懈地和它们战斗！而且哦，最小二乘法可不是只能用在一条直线上呢。

它可以用在各种各样的模型上，只要你能想得到！是不是很厉害？你想想看，生活中有多少地方能用到最小二乘法呀。

比如说预测天气，分析股票走势，这些都离不开它呢！所以啊，大家可别小瞧了这个最小二乘法过程。

它虽然看起来有点复杂，但只要你用心去理解，就会发现它就像一个贴心的小助手，能帮你解决好多难题呢！好好去探索它吧，说不定你会发现更多的惊喜哦！怎么样，是不是对最小二乘法过程有了更深的认识啦？哈哈！。

最小二乘法-公式推导

最⼩⼆乘法-公式推导基本思想求出这样⼀些未知参数使得样本点和拟合线的总误差（距离）最⼩最直观的感受如下图（图引⽤⾃知乎某作者）⽽这个误差（距离）可以直接相减，但是直接相减会有正有负，相互抵消了，所以就⽤差的平⽅推导过程1 写出拟合⽅程y =a +bx2 现有样本(x 1,y 1),(x 2,y 2)...(x n ,y n )3 设d i 为样本点到拟合线的距离，即误差d i =y i −(a +bx i )4 设D 为差⽅和（为什么要取平⽅前⾯已说，防⽌正负相互抵消）D =n ∑i =1d 2i =n ∑i =1(y i −a −bx i )25 根据⼀阶导数等于0，⼆阶⼤于等于0（证明略）求出未知参数对a 求⼀阶偏导∂D ∂a =n∑i =12(y i −a −bx i )(−1)=−2n∑i =1(y i −a −bx i )=−2(n ∑i =1y i −n ∑i =1a −b n∑i =1x i )=−2(n ¯y−na −nb ¯x )对b 求⼀阶偏导∂D ∂b=n∑i=12(y i−a−bx i)(−x i)=−2n∑i=1(x i y i−ax i−bx2i)=−2(n ∑i=1x i y i−an∑i=1x i−bn∑i=1x2i)=−2(n ∑i=1x i y i−na¯x−bn ∑i=1x2i)令偏导等于0得−2(n¯y−na−nb¯x)=0 =>a=¯y−b¯x−2(n ∑i=1x i y i−na¯x−b n∑i=1x2i)=0并将a=¯y−b¯x带⼊化简得=>n∑i=1x i y i−n¯x¯y+nb¯x2−bn∑i=1x2i=0=>n∑i=1x i y i−n¯x¯y=b(n∑i=1x2i−n¯x2)=>b=n∑i=1x i y i−n¯x¯yn∑i=1x2i−n¯x2因为\require{cancel}\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=\sum\limits_{i-1}^{n}(x_iy_i-\bar{x}y_i-x_i\bar{y}+\bar{x}\bar{y})=\sum\limits_{i=1}^{n}x_iy_i-n\bar{x}\bar{y}-\cancel{n\bar{x}\bar{y}}+\cancel{n\bar{x}\bar{y}}\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2=\sum\limits_{i-1}^{n}(x_i^2-2\bar{x}x_i+\bar{x}^2)=\sum\limits_{i=1}^{n}x_i^2-2n\bar{x}^2+n\bar{x}^2=\sum\limits_{i=1}^{n}x_i^2-n\bar{x}^2所以将其带⼊上式得\color{red}{b=\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum\limits_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}} Loading [MathJax]/extensions/TeX/cancel.js。

二乘法原理

第一节最小二乘法的基本原理和多项式拟合一最小二乘法的基本原理从整体上考虑近似函数)(x p 同所给数据点),(i i y x (i=0,1,…,m)误差i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m) 的大小，常用的方法有以下三种：一是误差i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)绝对值的最大值im i r ≤≤0max ，即误差向量T m r r r r ),,(10 =的∞—范数；二是误差绝对值的和∑=mi ir 0，即误差向量r的1—范数；三是误差平方和∑=mi ir02的算术平方根，即误差向量r 的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和∑=mi ir02来度量误差i r (i=0，1，…，m)的整体大小。

数据拟合的具体作法是：对给定数据 ),(i i y x (i=0,1,…，m)，在取定的函数类Φ中,求Φ∈)(x p ,使误差i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)的平方和最小，即∑=mi ir2=[]∑==-mi iiy x p 02min)(从几何意义上讲，就是寻求与给定点),(i i y x (i=0,1,…,m)的距离平方和为最小的曲线 )(x p y =（图6-1）。

函数)(x p 称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数)(x p 的方法称为曲线拟合的最小二乘法。

在曲线拟合中，函数类Φ可有不同的选取方法.6—1二多项式拟合假设给定数据点),(i i y x (i=0,1,…,m)，Φ为所有次数不超过)(m n n ≤的多项式构成的函数类，现求一Φ∈=∑=nk k k n x a x p 0)(,使得[]min )(00202=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=∑∑∑===mi mi n k i k i k i i n y x a y x p I (1)当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的)(x p n 称为最小二乘拟合多项式。

最小二乘法确定经验公式

最小二乘法确定经验公式
最小二乘法是一种不确定系统的统计学模型，它由人们经常使用的正态公式和其他微分方法组成。

它的基本思想是，可以根据给定的经验数据对坐标的函数进行逼近和拟合，从而确定满足给定观察结果的模型常数。

最小二乘法已经成为线性回归建模和非线性拟合中最受欢迎的方法之一。

最小二乘法确定经验公式的具体过程是：
首先，选择合适的模型，然后确定模型的自由变量，再指定这些变量的类型。

其次，建立拟合模型，解决数学函数的最小二乘问题，用有限数量的点对它进行最大程度的拟合。

然后，根据观察的数据，通过把已知的点与模型坐标轴上的相应函数值进行比照，从而调整其中的参数，直至得到最好的拟合效果。

最后，根据拟合后的参数求取函数在每一点处的表达式，并以精准的经验公式表达出来，便得到经验公式。

最小二乘法确定经验公式的关键是需要确定其他变量和模型参数的大小，此外，根据多元函数函数的复杂程度，最小二乘法拟合后的结果也可能不准确，尤其是模型的设置出现欠拟合的情况。