宁夏银川一中2015届高三第四次月考数学(文)试卷

宁夏银川一中2015届高三第四次月考数学（文）试卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集{x N x U *∈=＜}6，集合{}{}5,3,3,1==B A ，则()B A C U ⋃等于A.{}4,1B.{}5,1 C.{}02,4，D.{}4,22．已知i 是虚数单位，且复数2121,21,3z z i z bi z 若-=-=是实数，则实数b 的值为 A ．6B ．6-C ．0D ．613．下列各式正确的是 A ．a b =a b ⋅B ．()222a b=a b ⋅⋅C ．若()a b-c ,⊥则a b=a c ⋅⋅ D ． 若a b=a c ⋅⋅则b=c4．已知3sin cos ,cos sin 842ππααααα=<<-且，则的值是 A ．12B ．12-C ．14-D ．12±5．已知等差数列｛a n ｝的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2等于 A ．－10 B ．－8 C ．－6 D ．－4 6．下列命题错误的是A ．命题“21,11x x <<<若则-”的逆否命题是若1x ≥或1x ≤-，则12≥x B ．“22am bm <”是”a b <”的充分不必要条件C．命题：存在,使得，则： 任意,都有D．命题“或”为真命题，则命题“”和命题“”均为真命题 7．已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形,其正视图与俯视图 如图所示,则其侧视图的面积为 A．B C ．2D 8．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩（如图），要测算两点的距离，测量人员p R x ∈001020<++x x p ⌝R x ∈012≥++x x p q p q ,A B ,A BA ．B ．C ．9．已知函数()y xf x '=-的图象如图(其中()f x '是函数()f x 的导函数),下面四个图象中,()y f x =的图象可能是10．已知直线,l m ，平面,αβ，且,l m αβ⊥⊂，给出四个命题：①若α∥β，则l m ⊥； ②若l m ⊥，则α∥β； ③若αβ⊥，则l ∥m ； ④若l ∥m ，则αβ⊥． 其中真命题的个数是A ．4B ．3C ．2D ．111．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=2,1)21(2,)2()(x x x a x f x 满足对任意的实数21x x ≠都有0)()(2121<--x x x f x f 成立,则实数a 的取值范围为 A ．)2,(-∞B ．]813,(-∞ C ．]2,(-∞ D ．)2,813[12．已知[1,1]x ∈-，则方程2cos 2πxx -=所有实数根的个数为A ．2B ．3C ．4D ．5第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．设变量,x y 满足约束条件：3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩,则目标函数1y z x +=的最小值为 .14. 已知，若2282y x m m x y+>+恒成立，则实数的取值范围是 . 15．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直底面,所有顶点都在球面上,21==AA AB AC=1,oBAC 60=∠,则球的表面积为_________.m m m 0,0x y >>m16．下面四个命题：①已知函数(),0,,0,x f x x =<≥ 且()()44f a f +=，那么4a =-；②要得到函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只要将sin 2y x =的图象向左平移3π单位； ③若定义在()∞+∞，- 上的函数)(-1()(x f x f x f =+）满足，则)(x f 是周期函数；④已知奇函数()f x 在(0,)+∞为增函数，且(1)0f -=，则不等式()0f x <的解集{}1x x <-. 其中正确的是__________________.三、解答题:本大题共5小题，共计70分。

解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且12n n n S na a c =+-(c 是常数,*N n ∈),26a =. (1)求c 的值及数列{}n a 的通项公式; (2)证明:8111113221<++++n n a a a a a a . 18. (本小题满分12分)在四棱锥P －ABCD 中,∠ABC ＝∠ACD ＝90°,∠BAC ＝∠CAD ＝60°,PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，PA ＝2AB ＝2．（1）若F 为PC 的中点，求证：PC ⊥平面AEF ； （2）求四棱锥P －ABCD 的体积V .19．（本小题满分12分）己知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f的部分图象如图所示.(1)求函数)(x f 的解析式；(2)若30,54)2(παα<<=f ，求αcos 的值.20．（本小题满分12分）如图所示，在直．三棱柱．．．ABC -A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ．(1) 求证：平面AB 1C 1⊥平面AC 1；(2) 若AB 1⊥A 1C ，求线段AC 与AA 1长度之比； (3) 若D 是棱CC 1的中点，问在棱AB 上是否 存在一点E ，使DE ∥平面AB 1C 1？若存在，试确定 点E 的位置；若不存在，请说明理由． 21. （本小题满分12分）设函数,其中a 为正实数.(l)若x=0是函数的极值点,讨论函数的单调性;(2)若在上无最小值,且在上是单调增函数,求a 的取值范围;并由此判断曲线111与曲线在交点个数.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写题号． 22．（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】 如图，在正△ABC 中，点D,E 分别在边AC, AB 上， 且AD=13AC ， AE= 23AB ，BD ，CE 相交于点F 。

（1）求证：A ，E ，F ，D 四点共圆；（2）若正△ABC 的边长为2，求，A ，E ，F ，D 所在圆的半径． 23. （本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】在直角坐标系中，以原点为极点,轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线，已知过点的直线的参数方程为（t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于N M ,两点。

（1）写出曲线C 和直线l 的普通方程；（2）若成等比数列,求的值． 24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲对于任意的实数a (0≠a )和b ,不等式||||||a M b a b a ⋅≥-++恒成立,记实数M 的最大值是m . (1)求m 的值;(2)解不等式m x x ≤-+-|2||1|.宁夏银川一中2015届高三第四次月考数学(文科)试卷参考答案13. 1 14. 42m -<< 15. 8π 16. ③ 三、解答题： 17. (Ⅰ)解:因为12n n n S na a c =+-, 所以当1n =时,11112S a a c =+-,解得12a c =,当2n =时,222S a a c =+-,即1222a a a c +=-,解得23a c =, 所以36c =, 解得2c =;则14a =,数列{}n a 的公差212d a a =-=, 所以1(1)22n a a n d n =+-=+.x θθρcos 2sin :2a C =)0(>a )4,2(--P l ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=t y t x 224222|||,||,|PN MN PM aMF EDBA P(Ⅱ)因为12231111n n a a a a a a ++++L 111111111()()()24626822224n n =-+-++-++L 1111111[()()()]246682224n n =-+-++-++L 111()2424n =-+1184(2)n =-+. 因为*N n ∈ 所以1223111118n n a a a a a a ++++<L 18.（1）∵PA ＝CA ，F 为PC 的中点，∴AF ⊥PC ．∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥CD ． ∵AC ⊥CD ，PA ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面PAC ．∴CD ⊥PC ． ∵E 为PD 中点，F 为PC 中点， ∴EF ∥CD ．则EF ⊥P C ． ∵AF ∩EF ＝F ，∴PC ⊥平面AEF ． （2）在Rt △ABC 中，AB ＝1，∠BAC ＝60°，∴BCAC ＝2． 在Rt △ACD 中，AC ＝2，∠CAD ＝60°， ∴CD ＝AD ＝4． ∴S ABCD ＝1122AB BC AC CD ⋅+⋅111222=⨯⨯⨯ 则V＝12319.20．解析：（1）由于ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱．．．．，所以B 1C 1⊥又因为AC ⊥BC ，所以B 1C 1⊥A 1C 1，所以B 1C 1⊥平面AC 1 ． 由于B 1C 1⊂平面AB 1C 1，从而平面AB 1C 1⊥平面AC 1 ．（2）由（1）知，B 1C 1⊥A 1C ．所以，若AB 1⊥A 1C 得：A 1C ⊥平面AB 1C 1，从而A 1C ⊥ AC 1 ．由于ACC 1A 1是矩形，故AC 与AA 1长度之比为1：1．（3）点E 位于AB 的中点时，能使DE ∥平面AB 1C 1．证法一：设F 是BB 1的中点，连结DF 、EF 、DE ．则易证：平面DEF //平面AB 1C 1，从而DE ∥平面AB 1C 1． 证法二：设G 是AB 1的中点，连结EG ，则易证EG DC 1. 所以DE // C 1G ，DE ∥平面AB 1C 1． 21. 【答案】解:(1) 由得的定义域为:函数的增区间为,减区间为(2)由若则在上有最小值当时,在单调递增无最小值 ∵在上是单调增函数∴在上恒成立 ∴-------综上所述的取值范围为--------此时即,则 h(x)在 单减,单增,极小值为. 故两曲线没有公共点22．（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】 （Ⅰ）证明：23AE AB =，∴13BE AB =. 在正△ABC 中，13AD AC =，∴AD BE =，又AB BC =，BAD CBE ∠=∠，∴△BAD ≌△CBE ，∴ADB BEC ∠=∠，111即πADF AEF ∠+∠=，所以A ，E ，F ，D 四点共圆. …………………………（5分） （Ⅱ）解：如图6，取AE 的中点G ，连结GD ，则12AG GE AE ==. 23AE AB =，∴1233AG GE AB ===， 1233AD AC ==，60DAE ∠=︒，∴△AGD 为正三角形，∴23GD AG AD ===，即23GA GE GD ===，所以点G 是△AED 外接圆的圆心，且圆G 的半径为23. 由于A ，E ，F ，D 四点共圆，即A ，E ，F ，D 四点共圆G ，其半径为23.…（10分） 2３解：（Ⅰ）C: 02:,22=--=y x l ax y（Ⅱ）将直线的参数表达式代入抛物线得at t a t t a t a t 832,22280416)224(2121212+=+=+∴=+++-因为|||||,||||,|||2121t t MN t PN t PM -=== 由题意知， 21221212215)(||||t t t t t t t t =+⇒=- 代入得 1=a24．解: (1)不等式恒成立,即对于任意的实数()和恒成立,只要左边恒小于或等于右边的最小值. 因为,当且仅当时等号成立,即时,成立,也就是的最小值是2.(2) . 解法1:利用绝对值的意义得:解法2:当时,原不等式化为,解得,所以的取值范围是.当时,原不等式化为 ,得的取值范围是.当时,原不等式化为,解得,所以的取值范围是.综上所述: 的取值范围是.||||||a M b a b a ⋅≥-++||||||a b a b a M -++≤a 0≠a b||2|)()(|||||a b a b a b a b a =-++≥-++0))((≥+-b a b a ||||b a ≥2||||||≥-++a b a b a ||||||a b a b a -++2|2||1|≤-+-x x 2521≤≤x 1<x 2)2()1(≤----x x 21≥x x 121<≤x 21≤≤x 2)2()1(≤---x x x 21≤≤x 2>x 2)2()1(≤-+-x x 25≤x x 52≤<x x 51≤≤x 图6。