沪科版八年级上册 数学 课件 15.4 角的平分线
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1、画一画 如图，为了促进当地
旅游发展，某地要在三 条公路围成的一块平地 上修建一个度假村.要使 这个度假村到三条公路 的距离相等,应在何处修 建?
想一想 在确定度假村的位置时,一定要画
出三个内角的平分线吗?
2、选一选 直线表示三条相互交叉的公路,现要建一 个货物中转站,要求它到三条公路的距离相
等,则可供选择的地址有:( ) D
所以： 角平分线可以看做到角的两边
距离相等的所有点的集合而形成 的一条射线
活动探究，解决问题
问题1： 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和 公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个 集贸市场应建在何处？（比例尺为1︰20000）
s
解： 作夹角的角平分线OC，在OC 上截取OD=2.5cm ,则点D即为所求。
A.一处 B.两处 C.三处 D.四处
分析:由于没有限制在 何处选址,故要求的地 址共有四处。
例2、已知：如图，在Rt△ABC与Rt△EDC中 ，∠BAC=∠DEC=90°，CB=CD，BA=DE ，AB、ED的延长线相交于点P。
求证：CP平分∠APE
A
B
C
P DE
已知：如图，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点 F，BE、CF相交于点D，BD=CD。
DM平分∠ADC。 求证：AM平分∠DAB
DC
M
A
B
谢谢
19. 女人分结婚与不结婚两种，男人分自愿结婚与被迫结婚两种。 14. 投资知识是明智的，投资网络中的知识就更加明智。 12. 书本也是好老师，活用才能成功。 8. 当你用烦恼心来面对事物时，你会觉得一切都是业障，世界也会变得丑陋可恨。 13. 拿望远镜看别人，拿放大镜看自己。 4、我不知道我现在做的哪些是对的，那些是错的，而当我终于老死的时候我才知道这些。所以我现在所能做的就是尽力做好每一件事，然后 等待着老死。
15.4 角的平分线
学习目标
1．经历探索过程，学会证明角的平分线的 判定定理，进一步发展推理证明意识和能力 ． 2．能够利用角的平分线的性质定理与判定 定理证明相关结论，能理解其相关结论并能 加以运用． 3．能够利用角的平分线的判定定理解决相 关问题．
温故知新
1、快速用尺规作一个已知角的平分线 . 2、角平分线的性质:
求证：点Q在∠AOB的平分线上．
证一证
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE．
求证：点Q在∠AOB的平分线上．
证明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB（已知）， ∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直定义） 在Rt△QDO和Rt△QEO中 QO＝QO（公共边） QD=QE （已知） ∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL） ∴ ∠ QOD＝∠QOE （全等三角形对应角相等）
角平分线上的点到角两边的距离相等
用符号语言表示为：
A
∵ OP是∠AOB的平分线
D
PD⊥OA，PE⊥OB ∴ PD＝PE
1
P
O2
E B
反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定 在这个角的平分线上呢？
• 角平分线性质定理的逆命题：角的内部到角 的两边的距离相等的点在角的平分线上.
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE．
3、三角形内角平分线相交的结论 ：三角形三条内角平分线相交于一 点，这点到三角形三边的距离相等 4。、三角形外角平分线相交的结论 ：三角形相邻两个外角平分线与第 三个内角平分线相交于一点，这点 到三角形三边的距离相等。
能力提升
已知：如图，在四边形ABCD中， ∠B=∠C=90°，M是BC的中点，
求证：点P在∠BAC的平分线上.
A百度文库
结论：三角形三条内角 平分线相交于一点，这 点到三角形三边的距离 相等。
B
F N
G
M
P
E
C
变式探究
已知：如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线 相交于点F.求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，
FM⊥BC于M
G
∵点F在∠BCE的平分线上（已知）
27、忍耐力较诸脑力，尤胜一筹。 11. 这个世界并不是掌握在那些嘲笑者的手中，而恰恰掌握在能够经受得住嘲笑与批评忍不断往前走的人手中。 5、拥有梦想只是一种智力，实现梦想才是一种能力。 16. 顾客不是买产品，他更买做事认真的态度服务态度和服务精神。 18. 目标的坚定是性格中最必要的力量源泉之一，也是成功的利器之一。没有它，天才也会在矛盾无定的迷径中徒劳无功。 5. 只有经历过地狱般的折磨，才有征服天堂的力量，只有流过血的手指，才能弹出世间的绝唱。 3. 积极向上是所以成功者的特质。 16. 在真实的生命里，每桩伟业都由信心开始，并由信心跨出第一步。 4. 学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。 8. 一个能从别人的观念来看事情，能了解别人心灵活动的人，永远不必为自己的前途担心。 14. 投资知识是明智的，投资网络中的知识就更加明智。 2. 对自己好点，因为一辈子不长;对身边的人好点，因为下辈子不一定能遇见。 5. 积极者相信只有推动自己才能推动世界，只要推动自己就能推动世界。
FG⊥AE， FM⊥BC（辅助线作法）
M
∴FG＝FM（角平分线上的点到角
的两边距离相等）
H
同理：FM＝FH∴FG＝FH（等量代换）
∴点F在∠DAE的平分线上（角的内部到角两边距离
相等的点在角的平分线上）
结论：三角形相邻两个外角平分线与第三个内角平分 线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等。
利用结论，解决问题
∴点Q在∠AOB的平分线上（角平分线定义）
角平分线判定定理：角的内部到角两 边的距离相等的点在角的平分线上。
用符号语言表示为： ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE
． ∴点Q在∠AOB的平分线上．
角平分线性质定理：角平分线上的点到角两 边的距离相等. ∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线 上 ∴ QD＝QE
O
sD
C
问题2： 如图,能否找到一点P,使PC=PD,
并且点P到∠AOB的两边的距离相等？若 能请作出此点P.
B
P
D●
C●
O
A
解：能。如上图,连接C、D，作线段CD的垂
直平分线和∠AOB的平分线，两线交于点P， 则点P就是所要找的点。
例1、已知：如图，△ABC中， ∠ABC的平分
线BM与∠ACB的平分线CN相交于点P.
求证：AD平分∠BAC
B F
A
D
E C
丰收乐园
将你今天的收获与大家 共同分享吧！
1、角的内部到角的两边的距离相等 的点在角的平分线上。
用符号语言表示为： ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE
． ∴点Q在∠AOB的平分线上．
2、角的平分线上的点到角的两边的距离相 等∵. QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线 上 ∴ QD＝QE
旅游发展，某地要在三 条公路围成的一块平地 上修建一个度假村.要使 这个度假村到三条公路 的距离相等,应在何处修 建?
想一想 在确定度假村的位置时,一定要画
出三个内角的平分线吗?
2、选一选 直线表示三条相互交叉的公路,现要建一 个货物中转站,要求它到三条公路的距离相
等,则可供选择的地址有:( ) D
所以： 角平分线可以看做到角的两边
距离相等的所有点的集合而形成 的一条射线
活动探究，解决问题
问题1： 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和 公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个 集贸市场应建在何处？（比例尺为1︰20000）
s
解： 作夹角的角平分线OC，在OC 上截取OD=2.5cm ,则点D即为所求。
A.一处 B.两处 C.三处 D.四处
分析:由于没有限制在 何处选址,故要求的地 址共有四处。
例2、已知：如图，在Rt△ABC与Rt△EDC中 ，∠BAC=∠DEC=90°，CB=CD，BA=DE ，AB、ED的延长线相交于点P。
求证：CP平分∠APE
A
B
C
P DE
已知：如图，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点 F，BE、CF相交于点D，BD=CD。
DM平分∠ADC。 求证：AM平分∠DAB
DC
M
A
B
谢谢
19. 女人分结婚与不结婚两种，男人分自愿结婚与被迫结婚两种。 14. 投资知识是明智的，投资网络中的知识就更加明智。 12. 书本也是好老师，活用才能成功。 8. 当你用烦恼心来面对事物时，你会觉得一切都是业障，世界也会变得丑陋可恨。 13. 拿望远镜看别人，拿放大镜看自己。 4、我不知道我现在做的哪些是对的，那些是错的，而当我终于老死的时候我才知道这些。所以我现在所能做的就是尽力做好每一件事，然后 等待着老死。
15.4 角的平分线
学习目标
1．经历探索过程，学会证明角的平分线的 判定定理，进一步发展推理证明意识和能力 ． 2．能够利用角的平分线的性质定理与判定 定理证明相关结论，能理解其相关结论并能 加以运用． 3．能够利用角的平分线的判定定理解决相 关问题．
温故知新
1、快速用尺规作一个已知角的平分线 . 2、角平分线的性质:
求证：点Q在∠AOB的平分线上．
证一证
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE．
求证：点Q在∠AOB的平分线上．
证明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB（已知）， ∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直定义） 在Rt△QDO和Rt△QEO中 QO＝QO（公共边） QD=QE （已知） ∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL） ∴ ∠ QOD＝∠QOE （全等三角形对应角相等）
角平分线上的点到角两边的距离相等
用符号语言表示为：
A
∵ OP是∠AOB的平分线
D
PD⊥OA，PE⊥OB ∴ PD＝PE
1
P
O2
E B
反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定 在这个角的平分线上呢？
• 角平分线性质定理的逆命题：角的内部到角 的两边的距离相等的点在角的平分线上.
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE．
3、三角形内角平分线相交的结论 ：三角形三条内角平分线相交于一 点，这点到三角形三边的距离相等 4。、三角形外角平分线相交的结论 ：三角形相邻两个外角平分线与第 三个内角平分线相交于一点，这点 到三角形三边的距离相等。
能力提升
已知：如图，在四边形ABCD中， ∠B=∠C=90°，M是BC的中点，
求证：点P在∠BAC的平分线上.
A百度文库
结论：三角形三条内角 平分线相交于一点，这 点到三角形三边的距离 相等。
B
F N
G
M
P
E
C
变式探究
已知：如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线 相交于点F.求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，
FM⊥BC于M
G
∵点F在∠BCE的平分线上（已知）
27、忍耐力较诸脑力，尤胜一筹。 11. 这个世界并不是掌握在那些嘲笑者的手中，而恰恰掌握在能够经受得住嘲笑与批评忍不断往前走的人手中。 5、拥有梦想只是一种智力，实现梦想才是一种能力。 16. 顾客不是买产品，他更买做事认真的态度服务态度和服务精神。 18. 目标的坚定是性格中最必要的力量源泉之一，也是成功的利器之一。没有它，天才也会在矛盾无定的迷径中徒劳无功。 5. 只有经历过地狱般的折磨，才有征服天堂的力量，只有流过血的手指，才能弹出世间的绝唱。 3. 积极向上是所以成功者的特质。 16. 在真实的生命里，每桩伟业都由信心开始，并由信心跨出第一步。 4. 学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。 8. 一个能从别人的观念来看事情，能了解别人心灵活动的人，永远不必为自己的前途担心。 14. 投资知识是明智的，投资网络中的知识就更加明智。 2. 对自己好点，因为一辈子不长;对身边的人好点，因为下辈子不一定能遇见。 5. 积极者相信只有推动自己才能推动世界，只要推动自己就能推动世界。
FG⊥AE， FM⊥BC（辅助线作法）
M
∴FG＝FM（角平分线上的点到角
的两边距离相等）
H
同理：FM＝FH∴FG＝FH（等量代换）
∴点F在∠DAE的平分线上（角的内部到角两边距离
相等的点在角的平分线上）
结论：三角形相邻两个外角平分线与第三个内角平分 线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等。
利用结论，解决问题
∴点Q在∠AOB的平分线上（角平分线定义）
角平分线判定定理：角的内部到角两 边的距离相等的点在角的平分线上。
用符号语言表示为： ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE
． ∴点Q在∠AOB的平分线上．
角平分线性质定理：角平分线上的点到角两 边的距离相等. ∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线 上 ∴ QD＝QE
O
sD
C
问题2： 如图,能否找到一点P,使PC=PD,
并且点P到∠AOB的两边的距离相等？若 能请作出此点P.
B
P
D●
C●
O
A
解：能。如上图,连接C、D，作线段CD的垂
直平分线和∠AOB的平分线，两线交于点P， 则点P就是所要找的点。
例1、已知：如图，△ABC中， ∠ABC的平分
线BM与∠ACB的平分线CN相交于点P.
求证：AD平分∠BAC
B F
A
D
E C
丰收乐园
将你今天的收获与大家 共同分享吧！
1、角的内部到角的两边的距离相等 的点在角的平分线上。
用符号语言表示为： ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE
． ∴点Q在∠AOB的平分线上．
2、角的平分线上的点到角的两边的距离相 等∵. QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线 上 ∴ QD＝QE