沪科版八年级上册 数学 课件 15.4 角的平分线
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沪科版数学八年级上册-15.4《角的平分线》课件
BD=DF； 求证：CF=EB
C
E DB
从这节课中你 有哪些收获？
1：画一个已知角的角平分线；
(注意作图痕迹和几何语言的表达)
2：角平分线的性质：
角平分线上的点到角两边的距离相等．
3：角平分线性质定理的应用．
随堂练习
A E
C
B
D
1.如图,在△ABC中，
AC⊥BC，AD为∠BAC的平
分线，DE⊥AB，AB＝7㎝，
B
C E
2、证明：
在△ACD和△ACB中
AD=AB（已知）
∵ DC=BC（已知）
CA=CA（公共边）
DLeabharlann Baidu
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形对
应边相等）
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
A
B C E
活动 3
根据角平分仪的制作原理怎样 作一个角的平分线？（不用角平分 仪或量角器）
2
∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB（已知）
O
EB
° ∴ ∠PDO= ∠PEO=90 （垂直的定义）
在△PDO和△PEO中
∠PDO= ∠PEO（已证）
∵ ∠1= ∠2 （已证）
OP=OP （公共边）
∴ △PDO ≌ △PEO（AAS）
∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）
上海沪科版初中数学八年级上册15.4 第2课时 角平分线的性质及判定ppt课件
\ PD = PE
O
用途：证线段相等
D
A
C P
定理 2 角的内部到角的两边的距离相等 E B 的点 在角的平分线上。
∵ PD OA PE OB PD = PE \ OP 是 AOB 的平分线
用途：判定一条射线是角平分线
由上面两个定理可知：角平分线上的点到角的两边的距离相等； 反过来，到角的两边的距离相等的点都在这个角平分线上。
Ｃ
OM=ON，
MC=NC，
OC=OC，
∴ △OMC≌ △ONC（SSS）
∴∠MOC=∠NOC 即：OC平分∠AOB
Ｂ
Ｎ
Ｏ
1、在△OAB中，OE是它的角平分线，且 EA=EB，EC、ED分别垂直OA，OB，垂足为C，D.
求证：AC=BD.
O
C
D
A
E
B
2、 在△ABC中， ∠ C=90 ° ，AD为∠BAC 的平分线，DE⊥AB，BC＝7，DE＝3.
求BD的长。
A
E
CD
B
3、 如图，在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC 的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF； 求证：CF=EB
A
F
E
CD B
4、已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P. 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
沪科版初中数学八年级上册教学课件 15-4 第1课时 角平分线的尺规作图
第1课时 角平分线的 尺规作图
本节课学习目标
• 1.掌握尺规作图法作出角的平分线. • 2.利用上述方法完成：经过一点作已知直
线的垂线。
自学内容： 课本141页~142页
自学检测：
尺规作角的平分线
画法：
A
１．以Ｏ为圆心，适当长为半径
作弧，交ＯＡ于点Ｍ，交ＯＢ于点N．
Ｍ
Ｃ
２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大 于 1/2 ＭＮ的长为半径作弧．两弧 在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ．
A
基础练习：
• 如图：过点Ｐ画∠Ｏ两边的垂线。
P O
基础练习：
• 如图：画△ＡＢＣ边ＢＣ上的高。
A B
C
本节课学习了什Βιβλιοθήκη Baidu内容？
Ｂ
Ｎ
Ｏ
３．作射线ＯＣ．
射线ＯＣ即为所求．
自学检测：
为什么OC是角平分线呢？
已知：OM=ON，MC=NC。
求证：OC平分∠AOB。
A
证明：连接CM,CN
在△OMC和△ONC中，
Ｍ Ｃ
OM=ON，
MC=NC，
OC=OC，
∴ △OMC≌ △ONC（SSS）
∴∠MOC=∠NOC 即：OC平分∠AOB
Ｂ
Ｎ
ＯO
自学检测：
• 如下图：用尺规过点Ｃ画直线Ｌ的垂 线。怎么画呢？
C
本节课学习目标
• 1.掌握尺规作图法作出角的平分线. • 2.利用上述方法完成：经过一点作已知直
线的垂线。
自学内容： 课本141页~142页
自学检测：
尺规作角的平分线
画法：
A
１．以Ｏ为圆心，适当长为半径
作弧，交ＯＡ于点Ｍ，交ＯＢ于点N．
Ｍ
Ｃ
２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大 于 1/2 ＭＮ的长为半径作弧．两弧 在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ．
A
基础练习：
• 如图：过点Ｐ画∠Ｏ两边的垂线。
P O
基础练习：
• 如图：画△ＡＢＣ边ＢＣ上的高。
A B
C
本节课学习了什Βιβλιοθήκη Baidu内容？
Ｂ
Ｎ
Ｏ
３．作射线ＯＣ．
射线ＯＣ即为所求．
自学检测：
为什么OC是角平分线呢？
已知：OM=ON，MC=NC。
求证：OC平分∠AOB。
A
证明：连接CM,CN
在△OMC和△ONC中，
Ｍ Ｃ
OM=ON，
MC=NC，
OC=OC，
∴ △OMC≌ △ONC（SSS）
∴∠MOC=∠NOC 即：OC平分∠AOB
Ｂ
Ｎ
ＯO
自学检测：
• 如下图：用尺规过点Ｃ画直线Ｌ的垂 线。怎么画呢？
C
沪科数学八年级上册《15.4角的平分线的性质》课件
A
D
B
C
P
例3、已知，如图， ∠B=∠C= 90 0，M是BC的中点，
DM平分∠ADC。 求证：AM平分∠DAB。
DC
EHale Waihona Puke Baidu
M
证明角平分线有两种方法：
A
B
一是运用定义证明两个角相等；
二是运用角平分线的性质逆定理判定，若没有垂线段， 则需作辅助线添加出来。
变式：已知AB//CD，O是∠BAD、 ∠ADC的平分线的
求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等。
想一想
A
D NP
FM
B
E
C
点P在∠A的平分线上吗?这说明 三角形的三条角平分线有什么关系？
三角形的三条角平分线相交于一点， 并且这点到三边的距离相等。
练习
1、如图， △ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的 外角的平分线 CE相交于点P。 求证：点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等。
C
D
PE
A
B
求证:点P在∠A的平分线上
l1
l2
l3
2、如图所示，直线 l1,l2 ,l3 表示三条相互交叉的
公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的
距离相等，则可供选择的地址有：
（）
A、一处 B、两处 C、三处 D、四处
D
B
C
P
例3、已知，如图， ∠B=∠C= 90 0，M是BC的中点，
DM平分∠ADC。 求证：AM平分∠DAB。
DC
EHale Waihona Puke Baidu
M
证明角平分线有两种方法：
A
B
一是运用定义证明两个角相等；
二是运用角平分线的性质逆定理判定，若没有垂线段， 则需作辅助线添加出来。
变式：已知AB//CD，O是∠BAD、 ∠ADC的平分线的
求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等。
想一想
A
D NP
FM
B
E
C
点P在∠A的平分线上吗?这说明 三角形的三条角平分线有什么关系？
三角形的三条角平分线相交于一点， 并且这点到三边的距离相等。
练习
1、如图， △ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的 外角的平分线 CE相交于点P。 求证：点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等。
C
D
PE
A
B
求证:点P在∠A的平分线上
l1
l2
l3
2、如图所示，直线 l1,l2 ,l3 表示三条相互交叉的
公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的
距离相等，则可供选择的地址有：
（）
A、一处 B、两处 C、三处 D、四处
角的平分线ppt 沪科版
P O 图3 B
乘胜追击
如图，△ABC中， AD是∠BAC的 平分线， ∠C＝90°，DE⊥AB于 E，BC=8，BD=5，求DE.
A
E
C D B
例题讲解
例1 如图，在△ABC中，AD是它 的角平分线，且BD=CD， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是 E，F.求证：EB=FC. A
E
F C
B
D
1、再长的路一步一步得走也能走到终点，再近的距离不迈开第一步永远也不会到达。 2、从善如登，从恶如崩。 3、现在决定未来，知识改变命运。 4、当你能梦的时候就不要放弃梦。 5、龙吟八洲行壮志，凤舞九天挥鸿图。 6、天下大事，必作于细；天下难事，必作于易。 7、当你把高尔夫球打不进时，球洞只是陷阱；打进时，它就是成功。 8、真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。 9、永远不要逃避问题，因为时间不会给弱者任何回报。 10、评价一个人对你的好坏，有钱的看他愿不愿对你花时间，没钱的愿不愿意为你花钱。 11、明天是世上增值最快的一块土地，因它充满了希望。 12、得意时应善待他人，因为你失意时会需要他们。 13、人生最大的错误是不断担心会犯错。 14、忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃的苦，是为了收获别人得不到的收获。 15、不管怎样，仍要坚持，没有梦想，永远到不了远方。 16、心态决定命运，自信走向成功。 17、第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。 18、励志照亮人生，创业改变命运。 19、就算生活让你再蛋疼，也要笑着学会忍。 20、当你能飞的时候就不要放弃飞。 21、所有欺骗中，自欺是最为严重的。 22、糊涂一点就会快乐一点。有的人有的事，想得太多会疼，想不通会头疼，想通了会心痛。 23、天行健君子以自强不息；地势坤君子以厚德载物。 24、态度决定高度，思路决定出路，细节关乎命运。 25、世上最累人的事，莫过於虚伪的过日子。 26、事不三思终有悔，人能百忍自无忧。 27、智者，一切求自己；愚者，一切求他人。 28、有时候，生活不免走向低谷，才能迎接你的下一个高点。 29、乐观本身就是一种成功。乌云后面依然是灿烂的晴天。 30、经验是由痛苦中粹取出来的。 31、绳锯木断，水滴石穿。 32、肯承认错误则错已改了一半。 33、快乐不是因为拥有的多而是计较的少。 34、好方法事半功倍，好习惯受益终身。 35、生命可以不轰轰烈烈，但应掷地有声。 36、每临大事，心必静心，静则神明，豁然冰释。 37、别人认识你是你的面容和躯体，人们定义你是你的头脑和心灵。 38、当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。 39、人的价值，在遭受诱惑的一瞬间被决定。 40、事虽微，不为不成；道虽迩，不行不至。 41、好好扮演自己的角色，做自己该做的事。 42、自信人生二百年，会当水击三千里。 43、要纠正别人之前，先反省自己有没有犯错。 44、仁慈是一种聋子能听到、哑巴能了解的语言。 45、不可能！只存在于蠢人的字典里。 46、在浩瀚的宇宙里，每天都只是一瞬，活在今天，忘掉昨天。 47、小事成就大事，细节成就完美。 48、凡真心尝试助人者，没有不帮到自己的。 49、人往往会这样，顺风顺水，人的智力就会下降一些；如果突遇挫折，智力就会应激增长。 50、想像力比知识更重要。不是无知，而是对无知的无知，才是知的死亡。 51、对于最有能力的领航人风浪总是格外的汹涌。 52、思想如钻子，必须集中在一点钻下去才有力量。 53、年少时，梦想在心中激扬迸进，势不可挡，只是我们还没学会去战斗。经过一番努力，我们终于学会了战斗，却已没有了拼搏的勇气。因此，我们转向自身，攻击自己，成为自己最大的敌人。 54、最伟大的思想和行动往往需要最微不足道的开始。 55、不积小流无以成江海，不积跬步无以至千里。 56、远大抱负始于高中，辉煌人生起于今日。 57、理想的路总是为有信心的人预备着。 58、抱最大的希望，为最大的努力，做最坏的打算。 59、世上除了生死，都是小事。从今天开始，每天微笑吧。 60、一勤天下无难事，一懒天下皆难事。 61、在清醒中孤独，总好过于在喧嚣人群中寂寞。 62、心里的感觉总会是这样，你越期待的会越行越远，你越在乎的对你的伤害越大。 63、彩虹风雨后，成功细节中。 64、有些事你是绕不过去的，你现在逃避，你以后就会话十倍的精力去面对。 65、只要有信心，就能在信念中行走。 66、每天告诉自己一次，我真的很不错。 67、心中有理想 再累也快乐 68、发光并非太阳的专利，你也可以发光。 69、任何山都可以移动，只要把沙土一卡车一卡车运走即可。 70、当你的希望一个个落空，你也要坚定，要沉着！ 71、生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。 72、只要路是对的，就不怕路远。 73、如果一个人爱你、特别在乎你，有一个表现是他还是有点怕你。 74、先知三日，富贵十年。付诸行动，你就会得到力量。 75、爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。 76、好习惯成就一生，坏习惯毁人前程。 77、年轻就是这样，有错过有遗憾，最后才会学着珍惜。 78、时间不会停下来等你，我们现在过的每一天，都是余生中最年轻的一天。 79、在极度失望时，上天总会给你一点希望；在你感到痛苦时，又会让你偶遇一些温暖。在这忽冷忽热中，我们学会了看护自己，学会了坚强。 80、乐观者在灾祸中看到机会；悲观者在机会中看到灾祸。
乘胜追击
如图，△ABC中， AD是∠BAC的 平分线， ∠C＝90°，DE⊥AB于 E，BC=8，BD=5，求DE.
A
E
C D B
例题讲解
例1 如图，在△ABC中，AD是它 的角平分线，且BD=CD， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是 E，F.求证：EB=FC. A
E
F C
B
D
1、再长的路一步一步得走也能走到终点，再近的距离不迈开第一步永远也不会到达。 2、从善如登，从恶如崩。 3、现在决定未来，知识改变命运。 4、当你能梦的时候就不要放弃梦。 5、龙吟八洲行壮志，凤舞九天挥鸿图。 6、天下大事，必作于细；天下难事，必作于易。 7、当你把高尔夫球打不进时，球洞只是陷阱；打进时，它就是成功。 8、真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。 9、永远不要逃避问题，因为时间不会给弱者任何回报。 10、评价一个人对你的好坏，有钱的看他愿不愿对你花时间，没钱的愿不愿意为你花钱。 11、明天是世上增值最快的一块土地，因它充满了希望。 12、得意时应善待他人，因为你失意时会需要他们。 13、人生最大的错误是不断担心会犯错。 14、忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃的苦，是为了收获别人得不到的收获。 15、不管怎样，仍要坚持，没有梦想，永远到不了远方。 16、心态决定命运，自信走向成功。 17、第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。 18、励志照亮人生，创业改变命运。 19、就算生活让你再蛋疼，也要笑着学会忍。 20、当你能飞的时候就不要放弃飞。 21、所有欺骗中，自欺是最为严重的。 22、糊涂一点就会快乐一点。有的人有的事，想得太多会疼，想不通会头疼，想通了会心痛。 23、天行健君子以自强不息；地势坤君子以厚德载物。 24、态度决定高度，思路决定出路，细节关乎命运。 25、世上最累人的事，莫过於虚伪的过日子。 26、事不三思终有悔，人能百忍自无忧。 27、智者，一切求自己；愚者，一切求他人。 28、有时候，生活不免走向低谷，才能迎接你的下一个高点。 29、乐观本身就是一种成功。乌云后面依然是灿烂的晴天。 30、经验是由痛苦中粹取出来的。 31、绳锯木断，水滴石穿。 32、肯承认错误则错已改了一半。 33、快乐不是因为拥有的多而是计较的少。 34、好方法事半功倍，好习惯受益终身。 35、生命可以不轰轰烈烈，但应掷地有声。 36、每临大事，心必静心，静则神明，豁然冰释。 37、别人认识你是你的面容和躯体，人们定义你是你的头脑和心灵。 38、当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。 39、人的价值，在遭受诱惑的一瞬间被决定。 40、事虽微，不为不成；道虽迩，不行不至。 41、好好扮演自己的角色，做自己该做的事。 42、自信人生二百年，会当水击三千里。 43、要纠正别人之前，先反省自己有没有犯错。 44、仁慈是一种聋子能听到、哑巴能了解的语言。 45、不可能！只存在于蠢人的字典里。 46、在浩瀚的宇宙里，每天都只是一瞬，活在今天，忘掉昨天。 47、小事成就大事，细节成就完美。 48、凡真心尝试助人者，没有不帮到自己的。 49、人往往会这样，顺风顺水，人的智力就会下降一些；如果突遇挫折，智力就会应激增长。 50、想像力比知识更重要。不是无知，而是对无知的无知，才是知的死亡。 51、对于最有能力的领航人风浪总是格外的汹涌。 52、思想如钻子，必须集中在一点钻下去才有力量。 53、年少时，梦想在心中激扬迸进，势不可挡，只是我们还没学会去战斗。经过一番努力，我们终于学会了战斗，却已没有了拼搏的勇气。因此，我们转向自身，攻击自己，成为自己最大的敌人。 54、最伟大的思想和行动往往需要最微不足道的开始。 55、不积小流无以成江海，不积跬步无以至千里。 56、远大抱负始于高中，辉煌人生起于今日。 57、理想的路总是为有信心的人预备着。 58、抱最大的希望，为最大的努力，做最坏的打算。 59、世上除了生死，都是小事。从今天开始，每天微笑吧。 60、一勤天下无难事，一懒天下皆难事。 61、在清醒中孤独，总好过于在喧嚣人群中寂寞。 62、心里的感觉总会是这样，你越期待的会越行越远，你越在乎的对你的伤害越大。 63、彩虹风雨后，成功细节中。 64、有些事你是绕不过去的，你现在逃避，你以后就会话十倍的精力去面对。 65、只要有信心，就能在信念中行走。 66、每天告诉自己一次，我真的很不错。 67、心中有理想 再累也快乐 68、发光并非太阳的专利，你也可以发光。 69、任何山都可以移动，只要把沙土一卡车一卡车运走即可。 70、当你的希望一个个落空，你也要坚定，要沉着！ 71、生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。 72、只要路是对的，就不怕路远。 73、如果一个人爱你、特别在乎你，有一个表现是他还是有点怕你。 74、先知三日，富贵十年。付诸行动，你就会得到力量。 75、爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。 76、好习惯成就一生，坏习惯毁人前程。 77、年轻就是这样，有错过有遗憾，最后才会学着珍惜。 78、时间不会停下来等你，我们现在过的每一天，都是余生中最年轻的一天。 79、在极度失望时，上天总会给你一点希望；在你感到痛苦时，又会让你偶遇一些温暖。在这忽冷忽热中，我们学会了看护自己，学会了坚强。 80、乐观者在灾祸中看到机会；悲观者在机会中看到灾祸。
沪科版八年级数学上册教学课件《角的平分线》ppt
SPDB
1 2
·AB·PD=28.
（3）求∆PDB的周长.
CPDB PD PB DB
PC PB DB
BC DB AD DB
A
AB 14
B D
P
C =
知识与方法
1.应用角平分线性质：
存在角平分线 涉及距离问题
条件
2.联系角平分线性质： 面积 利用角平分线的性
证明： 过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC 于M.
∵点F在∠BCE的平分线上， FM⊥BC. ∴FG＝FM. 又∵点F在∠CBD的平分线上， FM⊥BC， ∴FM＝FH， ∴FG＝FH. ∴点F在∠DAE的平分线上.
FG⊥AE， FHA ⊥AD，
E G
C
M
F
B HD
例4 如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，
B
2.△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且 BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是 3 .
归纳总结
角的平分线的性质 角的平分线的判定
图形
C
C
P
P
已知 OP平分∠AOB
条件
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
结论
PD=PE
PD=PE PD⊥OA于D PE⊥OB于E
OP平分∠AOB
15.4 第2课时 角的平分线的判定-2020秋沪科版八年级数学上册课件(共20张PPT)
{"code":"InvaliБайду номын сангаасRange","message":"The requested range cannot be satisfied.","requestId":"7a5ab142-5ee2-41e5-8113-82d7ef60fcea"}
沪科版八年级数学上册(课件)：15.4角的平分线(第1课时
将∠ AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),
然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论?
可以看一看,第一条折痕是∠AOB的平分线OC,第二次折叠 形成的两条折痕PD,PE是角的平分线上一点到∠AOB两边的 距离,这两个距离相等.
新课讲解
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
想一想：
为什么OC是角平分线
呢？
已知：OM=ON，MC=NC.
求证：OC平分∠AOB.
A
Ｍ 证明：在△OMC和△ONC中， Ｃ
OM=ON，
MC=NC，
OC=OC，
∴ △OMC≌ △ONC（SSS）
wk.baidu.com∴∠MOC=∠NOC 即：OC平分∠AOB
Ｂ
Ｎ
Ｏ
新课讲解
折一 角平分线的性质 折A
A
D PC
O B
O EB
FC
∠1=∠2，且AC=6cm，那 么线段BE是△ABC
C E
角的的平分线
，
A6cEm+DE=
.
1
A
2
D
B
课堂练习
作业
练习
1、2题
课堂小结
1、“作已知角的平分线”的尺规作图法； 2、角的平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
青春虚度无所成，白首衔悲补何
沪科版八年级数学上册教学课件：15.4 第1课时 角平分
AD
C
作这条直线的垂线
EB
2.当C在直线AB外时.
作法：1)任意取一点K，使K和C在AB的两旁；
2)以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E;
3)分别以点D和点E为圆心，大于 1 DE 的长为半径作弧， 2
两弧交于点F；
4)作直线CF. C
直线CF是所求的垂线.
经过已知直线外一点 作这条直线的垂线.
两条圆弧交于
∠AOB内一点__P__；
Ｏ
B
N P
M
A
3.作射线__O__P_；__O_P__就是所求作∠AOB的平分线.
想一想：为什么OP是角平分线呢？ 已知：OM=ON，MP=NP. 求证：OP平分∠AOB.
证明：在△OMP和△ONP中，
OM=ON，
MP=NP，
Ｏ
OP=OP，
∴ △OMP≌ △ONP,（SSS）
A DK
EB
F
当堂练习
1.如图所示的作图痕迹作的是 A.线段的垂直平分线 B.过一点作已知直线的垂线 C.一个角的平分线 D.作一个角等于已知角
（B）
2.作已知角的平分线理论依据是三角形全等条件的公理 是（ C ）
A.SAS
B.ASA
C.SSS
D.HL
3.请在图中作出线段AD,使其平分∠BAC且长度等于m．
15.4 角的平分线 课件沪科版八年级数学上册
① PQ为直线l的垂线；
② CA＝CB；
③ PO＝QO；
④∠APO＝∠BPO.
感悟新知
知2－练
2-2. 如图，已知直角三角形的一条直角边m和斜边n，求作
此直角三角形. (要求: 写出已知、求作、结论，并用直
尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法及证明)
感悟新知
解：已知：线段m和n，如图.
知2－练
求作：Rt△ABC，使∠ACB＝90°，AB＝n，AC＝m.
∴△BDE≌△CDF.(AAS)∴ DE＝DF.
又∵ BF⊥AC，CE⊥AB，∴ AD平分∠BAC.
感悟新知
知4－练
方法点拨：等线段证角平分线法：
要证某线是角的平分线，只需从要证的线上的某一点
向角的两边作垂线段，再证明垂线段相等即可. 这样把证
角平分线的问题转化为证垂线段相等的问题，体现了转化
思想的应用.
块地.
理由：∵P为△ABC的内角平分线的交点，
∴点P到AB，AC，BC的距离均相等.
∴△ABP，△ACP，△BCP的面积比即为它们的底边AB，
AC，BC的长度的比，即3∶4∶5.(答案不唯一)
课堂小结
角的平分线
作已知角
的平分线
角
的
平
分
线
性质
判定
平分∠BAC交BC于点D，若DB∶DC＝3∶2，S△ADC＝
② CA＝CB；
③ PO＝QO；
④∠APO＝∠BPO.
感悟新知
知2－练
2-2. 如图，已知直角三角形的一条直角边m和斜边n，求作
此直角三角形. (要求: 写出已知、求作、结论，并用直
尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法及证明)
感悟新知
解：已知：线段m和n，如图.
知2－练
求作：Rt△ABC，使∠ACB＝90°，AB＝n，AC＝m.
∴△BDE≌△CDF.(AAS)∴ DE＝DF.
又∵ BF⊥AC，CE⊥AB，∴ AD平分∠BAC.
感悟新知
知4－练
方法点拨：等线段证角平分线法：
要证某线是角的平分线，只需从要证的线上的某一点
向角的两边作垂线段，再证明垂线段相等即可. 这样把证
角平分线的问题转化为证垂线段相等的问题，体现了转化
思想的应用.
块地.
理由：∵P为△ABC的内角平分线的交点，
∴点P到AB，AC，BC的距离均相等.
∴△ABP，△ACP，△BCP的面积比即为它们的底边AB，
AC，BC的长度的比，即3∶4∶5.(答案不唯一)
课堂小结
角的平分线
作已知角
的平分线
角
的
平
分
线
性质
判定
平分∠BAC交BC于点D，若DB∶DC＝3∶2，S△ADC＝
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1、画一画 如图，为了促进当地
旅游发展，某地要在三 条公路围成的一块平地 上修建一个度假村.要使 这个度假村到三条公路 的距离相等,应在何处修 建?
想一想 在确定度假村的位置时,一定要画
出三个内角的平分线吗?
2、选一选 直线表示三条相互交叉的公路,现要建一 个货物中转站,要求它到三条公路的距离相
等,则可供选择的地址有:( ) D
所以： 角平分线可以看做到角的两边
距离相等的所有点的集合而形成 的一条射线
活动探究，解决问题
问题1： 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和 公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个 集贸市场应建在何处？（比例尺为1︰20000）
s
解： 作夹角的角平分线OC，在OC 上截取OD=2.5cm ,则点D即为所求。
A.一处 B.两处 C.三处 D.四处
分析:由于没有限制在 何处选址,故要求的地 址共有四处。
例2、已知：如图，在Rt△ABC与Rt△EDC中 ，∠BAC=∠DEC=90°，CB=CD，BA=DE ，AB、ED的延长线相交于点P。
求证：CP平分∠APE
A
B
C
P DE
已知：如图，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点 F，BE、CF相交于点D，BD=CD。
DM平分∠ADC。 求证：AM平分∠DAB
DC
M
A
B
谢谢
19. 女人分结婚与不结婚两种，男人分自愿结婚与被迫结婚两种。 14. 投资知识是明智的，投资网络中的知识就更加明智。 12. 书本也是好老师，活用才能成功。 8. 当你用烦恼心来面对事物时，你会觉得一切都是业障，世界也会变得丑陋可恨。 13. 拿望远镜看别人，拿放大镜看自己。 4、我不知道我现在做的哪些是对的，那些是错的，而当我终于老死的时候我才知道这些。所以我现在所能做的就是尽力做好每一件事，然后 等待着老死。
15.4 角的平分线
学习目标
1．经历探索过程，学会证明角的平分线的 判定定理，进一步发展推理证明意识和能力 ． 2．能够利用角的平分线的性质定理与判定 定理证明相关结论，能理解其相关结论并能 加以运用． 3．能够利用角的平分线的判定定理解决相 关问题．
温故知新
1、快速用尺规作一个已知角的平分线 . 2、角平分线的性质:
求证：点Q在∠AOB的平分线上．
证一证
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE．
求证：点Q在∠AOB的平分线上．
证明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB（已知）， ∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直定义） 在Rt△QDO和Rt△QEO中 QO＝QO（公共边） QD=QE （已知） ∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL） ∴ ∠ QOD＝∠QOE （全等三角形对应角相等）
角平分线上的点到角两边的距离相等
用符号语言表示为：
A
∵ OP是∠AOB的平分线
D
PD⊥OA，PE⊥OB ∴ PD＝PE
1
P
O2
E B
反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定 在这个角的平分线上呢？
• 角平分线性质定理的逆命题：角的内部到角 的两边的距离相等的点在角的平分线上.
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE．
3、三角形内角平分线相交的结论 ：三角形三条内角平分线相交于一 点，这点到三角形三边的距离相等 4。、三角形外角平分线相交的结论 ：三角形相邻两个外角平分线与第 三个内角平分线相交于一点，这点 到三角形三边的距离相等。
能力提升
已知：如图，在四边形ABCD中， ∠B=∠C=90°，M是BC的中点，
求证：点P在∠BAC的平分线上.
A百度文库
结论：三角形三条内角 平分线相交于一点，这 点到三角形三边的距离 相等。
B
F N
G
M
P
E
C
变式探究
已知：如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线 相交于点F.求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，
FM⊥BC于M
G
∵点F在∠BCE的平分线上（已知）
27、忍耐力较诸脑力，尤胜一筹。 11. 这个世界并不是掌握在那些嘲笑者的手中，而恰恰掌握在能够经受得住嘲笑与批评忍不断往前走的人手中。 5、拥有梦想只是一种智力，实现梦想才是一种能力。 16. 顾客不是买产品，他更买做事认真的态度服务态度和服务精神。 18. 目标的坚定是性格中最必要的力量源泉之一，也是成功的利器之一。没有它，天才也会在矛盾无定的迷径中徒劳无功。 5. 只有经历过地狱般的折磨，才有征服天堂的力量，只有流过血的手指，才能弹出世间的绝唱。 3. 积极向上是所以成功者的特质。 16. 在真实的生命里，每桩伟业都由信心开始，并由信心跨出第一步。 4. 学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。 8. 一个能从别人的观念来看事情，能了解别人心灵活动的人，永远不必为自己的前途担心。 14. 投资知识是明智的，投资网络中的知识就更加明智。 2. 对自己好点，因为一辈子不长;对身边的人好点，因为下辈子不一定能遇见。 5. 积极者相信只有推动自己才能推动世界，只要推动自己就能推动世界。
FG⊥AE， FM⊥BC（辅助线作法）
M
∴FG＝FM（角平分线上的点到角
的两边距离相等）
H
同理：FM＝FH∴FG＝FH（等量代换）
∴点F在∠DAE的平分线上（角的内部到角两边距离
相等的点在角的平分线上）
结论：三角形相邻两个外角平分线与第三个内角平分 线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等。
利用结论，解决问题
∴点Q在∠AOB的平分线上（角平分线定义）
角平分线判定定理：角的内部到角两 边的距离相等的点在角的平分线上。
用符号语言表示为： ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE
． ∴点Q在∠AOB的平分线上．
角平分线性质定理：角平分线上的点到角两 边的距离相等. ∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线 上 ∴ QD＝QE
O
sD
C
问题2： 如图,能否找到一点P,使PC=PD,
并且点P到∠AOB的两边的距离相等？若 能请作出此点P.
B
P
D●
C●
O
A
解：能。如上图,连接C、D，作线段CD的垂
直平分线和∠AOB的平分线，两线交于点P， 则点P就是所要找的点。
例1、已知：如图，△ABC中， ∠ABC的平分
线BM与∠ACB的平分线CN相交于点P.
求证：AD平分∠BAC
B F
A
D
E C
丰收乐园
将你今天的收获与大家 共同分享吧！
1、角的内部到角的两边的距离相等 的点在角的平分线上。
用符号语言表示为： ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE
． ∴点Q在∠AOB的平分线上．
2、角的平分线上的点到角的两边的距离相 等∵. QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线 上 ∴ QD＝QE
旅游发展，某地要在三 条公路围成的一块平地 上修建一个度假村.要使 这个度假村到三条公路 的距离相等,应在何处修 建?
想一想 在确定度假村的位置时,一定要画
出三个内角的平分线吗?
2、选一选 直线表示三条相互交叉的公路,现要建一 个货物中转站,要求它到三条公路的距离相
等,则可供选择的地址有:( ) D
所以： 角平分线可以看做到角的两边
距离相等的所有点的集合而形成 的一条射线
活动探究，解决问题
问题1： 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和 公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个 集贸市场应建在何处？（比例尺为1︰20000）
s
解： 作夹角的角平分线OC，在OC 上截取OD=2.5cm ,则点D即为所求。
A.一处 B.两处 C.三处 D.四处
分析:由于没有限制在 何处选址,故要求的地 址共有四处。
例2、已知：如图，在Rt△ABC与Rt△EDC中 ，∠BAC=∠DEC=90°，CB=CD，BA=DE ，AB、ED的延长线相交于点P。
求证：CP平分∠APE
A
B
C
P DE
已知：如图，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点 F，BE、CF相交于点D，BD=CD。
DM平分∠ADC。 求证：AM平分∠DAB
DC
M
A
B
谢谢
19. 女人分结婚与不结婚两种，男人分自愿结婚与被迫结婚两种。 14. 投资知识是明智的，投资网络中的知识就更加明智。 12. 书本也是好老师，活用才能成功。 8. 当你用烦恼心来面对事物时，你会觉得一切都是业障，世界也会变得丑陋可恨。 13. 拿望远镜看别人，拿放大镜看自己。 4、我不知道我现在做的哪些是对的，那些是错的，而当我终于老死的时候我才知道这些。所以我现在所能做的就是尽力做好每一件事，然后 等待着老死。
15.4 角的平分线
学习目标
1．经历探索过程，学会证明角的平分线的 判定定理，进一步发展推理证明意识和能力 ． 2．能够利用角的平分线的性质定理与判定 定理证明相关结论，能理解其相关结论并能 加以运用． 3．能够利用角的平分线的判定定理解决相 关问题．
温故知新
1、快速用尺规作一个已知角的平分线 . 2、角平分线的性质:
求证：点Q在∠AOB的平分线上．
证一证
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE．
求证：点Q在∠AOB的平分线上．
证明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB（已知）， ∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直定义） 在Rt△QDO和Rt△QEO中 QO＝QO（公共边） QD=QE （已知） ∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL） ∴ ∠ QOD＝∠QOE （全等三角形对应角相等）
角平分线上的点到角两边的距离相等
用符号语言表示为：
A
∵ OP是∠AOB的平分线
D
PD⊥OA，PE⊥OB ∴ PD＝PE
1
P
O2
E B
反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定 在这个角的平分线上呢？
• 角平分线性质定理的逆命题：角的内部到角 的两边的距离相等的点在角的平分线上.
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE．
3、三角形内角平分线相交的结论 ：三角形三条内角平分线相交于一 点，这点到三角形三边的距离相等 4。、三角形外角平分线相交的结论 ：三角形相邻两个外角平分线与第 三个内角平分线相交于一点，这点 到三角形三边的距离相等。
能力提升
已知：如图，在四边形ABCD中， ∠B=∠C=90°，M是BC的中点，
求证：点P在∠BAC的平分线上.
A百度文库
结论：三角形三条内角 平分线相交于一点，这 点到三角形三边的距离 相等。
B
F N
G
M
P
E
C
变式探究
已知：如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线 相交于点F.求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，
FM⊥BC于M
G
∵点F在∠BCE的平分线上（已知）
27、忍耐力较诸脑力，尤胜一筹。 11. 这个世界并不是掌握在那些嘲笑者的手中，而恰恰掌握在能够经受得住嘲笑与批评忍不断往前走的人手中。 5、拥有梦想只是一种智力，实现梦想才是一种能力。 16. 顾客不是买产品，他更买做事认真的态度服务态度和服务精神。 18. 目标的坚定是性格中最必要的力量源泉之一，也是成功的利器之一。没有它，天才也会在矛盾无定的迷径中徒劳无功。 5. 只有经历过地狱般的折磨，才有征服天堂的力量，只有流过血的手指，才能弹出世间的绝唱。 3. 积极向上是所以成功者的特质。 16. 在真实的生命里，每桩伟业都由信心开始，并由信心跨出第一步。 4. 学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。 8. 一个能从别人的观念来看事情，能了解别人心灵活动的人，永远不必为自己的前途担心。 14. 投资知识是明智的，投资网络中的知识就更加明智。 2. 对自己好点，因为一辈子不长;对身边的人好点，因为下辈子不一定能遇见。 5. 积极者相信只有推动自己才能推动世界，只要推动自己就能推动世界。
FG⊥AE， FM⊥BC（辅助线作法）
M
∴FG＝FM（角平分线上的点到角
的两边距离相等）
H
同理：FM＝FH∴FG＝FH（等量代换）
∴点F在∠DAE的平分线上（角的内部到角两边距离
相等的点在角的平分线上）
结论：三角形相邻两个外角平分线与第三个内角平分 线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等。
利用结论，解决问题
∴点Q在∠AOB的平分线上（角平分线定义）
角平分线判定定理：角的内部到角两 边的距离相等的点在角的平分线上。
用符号语言表示为： ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE
． ∴点Q在∠AOB的平分线上．
角平分线性质定理：角平分线上的点到角两 边的距离相等. ∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线 上 ∴ QD＝QE
O
sD
C
问题2： 如图,能否找到一点P,使PC=PD,
并且点P到∠AOB的两边的距离相等？若 能请作出此点P.
B
P
D●
C●
O
A
解：能。如上图,连接C、D，作线段CD的垂
直平分线和∠AOB的平分线，两线交于点P， 则点P就是所要找的点。
例1、已知：如图，△ABC中， ∠ABC的平分
线BM与∠ACB的平分线CN相交于点P.
求证：AD平分∠BAC
B F
A
D
E C
丰收乐园
将你今天的收获与大家 共同分享吧！
1、角的内部到角的两边的距离相等 的点在角的平分线上。
用符号语言表示为： ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE
． ∴点Q在∠AOB的平分线上．
2、角的平分线上的点到角的两边的距离相 等∵. QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线 上 ∴ QD＝QE