初中数学 人教版八年级下册 17.2 勾股定理的逆定理 课件

B aC
a2 b2 c2 AB 2 c2 取正得AB c
A
在ABC 和ABC 中
AC AC
BC
BC
AB AB
∴△ABC≌ △A′B′C′(SSS)
c
b
B
C
a
∴∠C= ∠C′=900
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长
a、b、c满足 a2 + b2 = c2，那么这个三
角形是直角三角形。
逆命定题理 ： 如果三角形的三边长a、b、c满
足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形。
已知△ABC，AB=c，AC=b，BC=a，且a2+b2=c2，
求证：∠C=900
A
证明：作Rt△A′B′C′， 使∠C′=900，A′C′=b，B′C′=a
cb
则 AB 2 BC 2 AC 2 a2 b2
A 12cm
2.如图是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应 为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB＝DC＝ 8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，请你运用所学知识帮 他检验一下挖的是否合格？
解：∵AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m， ∴AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100. 又∵AC2＝92＝81， ∴AB2＋BC2≠AC2， ∴∠ABC≠90°， ∴该农民挖的不合格．
逆(2命)如题果两: 内个实错数角相相等，等那，么两它们条的直立线方相平等行．. 成立
(3)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．
逆命题:如果两个实数的立方相等，那么这两个实数相等. 成立
(4)全等三角形的对应角相等．
逆(5命)对题顶角:如相果等 两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等. 不成立
x2 162 92 337
或x2 162 92 175 5 7
337或5 7
观察下列表格：
列举 3、4、5 5、12、13 7、24、25
猜想 32=4+5 52=12+13 72=24+25
……
13、b、c
132=b+c
请你结合该表格及相关知识，求出b、c的值.
即b= 84 ，c= 85
问题2 由于我们现在所能得到的都是线段长，要 求角，由此你联想到了什么？
勾股定理逆定理
解：根据题意得 PQ=16×1.5=24(海里), PR=12×1.5=18(海里), QR=30海里.
N Q
R 21
P
E
∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,∴∠QPR=90°. 由“远航”号沿东北方向航行可知∠1=45°. ∴∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行.
画一个△ABC, 使它的三边长分别为： （1）6cm、8cm、10cm （2）5cm、12cm、13cm
（1）这三组数都满足
吗？
（2）它们都是直角三角形吗？
（3）提出你的猜想：
命题 2 ：如果三角形的三边长a 、b 、c满足
a2 b2 c2
那么这个三角形是直角三角形。
命题与勾股定理的题设和结论有何关系?
,这两个定
互逆定理 逆定理 理称为
,其中一个定理称另一个定理的
.
我们已经学习了一些互逆的定理,如: 1、勾股定理及其逆定理, 2、两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.
想一想:
互逆命题与互逆定理有何关系?
练1、说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗? (1)两条直线平行，内错角相等．
注意其动向，经检测，AC=10海里，BC=8海里，
AB=6海里，若该船只的速度为12.8海里/时，则可疑
船只最早何时进入我领海？
分析：根据勾股定理的逆定 可得△ABC是直角三角形，然后
P B
北 东
利用勾股定理的逆定理及直角 三角形的面积公式可求PD，然 C
DA
后再利用勾股定理便可求CD.
Q
解：∵AC=10，AB=6，BC=8， ∴AC2=AB2+BC2， 即△ABC是直角三角形.
SC SA a c
b
SB
工人师傅想要检测一扇小门两边 AB、CD 是否垂直于底边BC和门的上边AD,但他只带了 一把卷尺,你能替工人师傅想办法完成任务吗?
例如：检查△ABC是否是直角三角形？
一个三角形满足什么条件才 A
D
能是直角三角形?
(1)有一个角是直角； (2)有两个角的和是90°；
(3)如果三角形的三边a ,b ,c 满足a2 +b 2=c2 , 那么这个三角形是直角三角形 吗???
逆命题:对应角相等的两个三角形是全等三角形. 不成立
逆命题:相等的两个角是对顶角. 不成立
感悟: 原命题成立时, 逆命题有时成立, 有时不成立
例1：判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角
三角形? (1) a=15，b=17，c=8; (2) a=13，b=15，c=14
分析：像根1据5勾,股1定7理,的8逆,能定理够, 判断成一个为三角直形是角不是三直角角三角形形,三只要看两条
_是___ ∠_C=_9_0°__ ；
(6)(a c)2 b2 2ac
是
____
∠_B=_9_0°__ ．
练习3、
（1） 满足下列条件的△ABC,不是直角三角
D 形的是( )
A.b2=a2-c2
B. a:b:c=3:4:5
C.∠C=∠A-∠B D. ∠A:∠B : ∠C =3:4:5
（2）若一个三角形的三边长分别为: 32, 42, x2 , 则此三角形是直角三角形的x2的值是_____________
P B
北 东
设PQ与AC相交于点D，根据三 C
DA
角形面积公式有
1
2BC·AB=Leabharlann 1 2AC·BD，
Q
即6×8=10BD，解得BD= 24 .
在Rt△BCD中，CD
5 BC2 BD2
82
24 5
2
6.4(海里).
又∵该船只的速度为12.8海里/时，
6.4÷12.8=0.5（小时）=30（分钟），
新课导入
某港口位于东西方向的海岸线上，“远望号”“海天号”两艘 轮船同时离开港口，各自沿一固定的方向航行，“远望号” 每小时航行16海里，“海天号”每小时航行12海里，它们离开 港口1个半小时后相距30海里，如果知道“远望号”沿东北方向 航行，能知道“海天号”沿哪个方向航行吗？
回顾与思考
问题 前面的学习让我们对勾股定理及其逆定理 的知识有了一定的认识，你能说出它们的内容吗?
∴需要30分钟进入我领海，即最早晚上10时58分进入
我领海.
例2 一个零件的形状如图所示,按规定这个零件中 ∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各 边的尺寸如图所示,这个零件符合要求吗?
D
A
B
图
CD
13
C
5
4
12
A 3B
图
解：在△ABD中，
∴△ABD 是直角三角形，∠A是直角. 在△BCD中， ∴△BCD 是直角三角形，∠DBC是直角. 因此，这个零件符合要求.
归纳 解决实际问题的步骤：构建几何模型(从整体 到局部)；标注有用信息,明确已知和所求；应用数
学知识求解.
【变式题】 如图，南北方向PQ以东为我国领海，以
西为公海，晚上10时28分，我边防反偷渡巡逻101号
艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向
我沿海靠近，便立即通知在PQ上B处巡逻的103号艇
勾股定理：如果直角三角形两直角边分别
为a，b，斜边为c，那么 a2 + b2 = c2 。
题设和结论正好相反的两个命题， 叫做互逆命题
互逆命题 其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题
逆命命题题2： 如果三角形的三边长a、b、c满
足 a2 + b2 = c2 ，那么这个三角形是直
角三角形。
观察:这两个命题的题设和结论有何关系?
勾股数. 较少条边长边的平长方和的是否三等于个最大正边长整的平数方. ，称为
解:(1)最大边为17 ∵152+82=225+64 =289
172 =289
∴152+82 =172 ∴以15, 8, 17为边长的三角形
是直角三角形
(2)最大边为15
∵132+142=169+196=365
152 =225
思考 前面我们已经学会了用勾股定理解决生活中 的很多问题，那么勾股定理的逆定理能解决哪些实 际问题呢？你能举举例吗？
勾股定理的逆定理的应用
例1 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”
号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向
航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行
12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处，
_不_是__ 请写_出_(1_)、_(_2)两； _是___ 题∠的_C解=_9题_0°过__程．；
(3)a 2, b 2, c 2
_是___ ∠_B=_9_0°__ ；
(4)a 1025, b 64, c 1023 _是___ ∠_A=_9_0°__ ；
(5)a : b : c 7 : 24 : 25
勾股定理及其逆定理的综合应用 例3 如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3， BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积.
解析：连接AC，把四边形分成两个三角形.先用勾 股定理求出AC的长度，再利用勾股定理的逆定理判 断△ACD是直角三角形.
B
C
探究1:
据说,古埃及人曾用下面的方法画直角：
把一根绳子打上等距离的13个结，然后把 第1个结和第13个结用木桩钉在一起，再 分别用木桩把第４个结和第８个结钉牢 （拉直绳子）。这时构成了一个三角形， 其中有一个角是直角 。