27.2.1 相似三角形的判定(2)
27.2.1 第2课时 相似三角形的判定定理1,2
27.2.1 第2课时相似三角形的判定定理1,2在数学的奇妙世界中，相似三角形是一个非常重要的概念。
今天，咱们就来深入探讨一下 2721 第 2 课时中相似三角形的判定定理 1 和 2。
首先，咱们得明白啥是相似三角形。
简单说，就是形状相同但大小不一定一样的三角形。
那怎么判断两个三角形相似呢？这就用到咱们要讲的判定定理啦。
判定定理 1 说的是：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
为了更好地理解这个定理，咱们来举个例子。
比如说有三角形 ABC 和三角形 A'B'C'，AB 与 A'B'的比值等于 AC 与 A'C'的比值，而且角 A和角 A'相等。
这时候，咱们就可以断定三角形 ABC 和三角形 A'B'C'是相似的。
那这个定理有啥用呢？用处可大啦！在解决很多几何问题的时候，如果能发现两个三角形的边成比例并且夹角相等，就能很快得出它们相似的结论，进而可以利用相似三角形的性质来求解其他相关的问题。
比如说，已知一个三角形的边长和角度，又知道另一个三角形的两条边和它们的夹角，通过判定定理 1 确定它们相似，就能求出未知边的长度或者角度。
接下来，咱们再看看判定定理 2 。
它说的是：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
这个定理理解起来也不难。
比如说还是三角形 ABC 和三角形A'B'C'，AB 与 A'B'的比值、AC 与 A'C'的比值以及 BC 与 B'C'的比值都相等，那这两个三角形就是相似的。
在实际应用中，判定定理 2 能帮助我们在只知道三角形边长比例关系的情况下，迅速判断它们是否相似。
比如说，在一个复杂的图形中，给出了多个三角形的边长信息，通过计算边长的比例，就能利用判定定理 2 来找出相似的三角形，从而简化问题的解决过程。
27.2.1 第2课时 三边成比例的两个三角形相似
27.2.1 相似三角形的判定第2课时 三边成比例的两个三角形相似1．理解“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法；(重点)2．会运用“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法解决简单问题．一、情境导入我们现在判定两个三角形是否相似，必须要知道它们的对应角是否相等，对应边是否成比例．那么是否存在判定两个三角形相似的简便方法呢？在如图所示的方格上任画一个三角形，再画第二个三角形，使它的三边长都是原来三角形的三边长的相同倍数．画完之后，用量角器比较两个三角形的对应角，你发现了什么结论？大家的结论都一样吗？二、合作探究探究点：三边对应成比例的两个三角形相似【类型一】 直接利用定理判定两个三角形相似在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，BC ＝6，在Rt △EDF 中，∠F ＝90°，DF＝3，EF ＝4，则△ABC 和△EDF 相似吗？为什么？解析：已知△ABC 和△EDF 都是直角三角形，且已知两条边长，所以可利用勾股定理分别求出第三边的长，看对应边是否对应成比例．解：△ABC ∽△EDF .在Rt △ABC 中，AB ＝10，BC ＝6，∠C ＝90°，由勾股定理得AC ＝AB 2－BC 2＝102－62＝8.在Rt △DEF 中，DF ＝3，EF ＝4，∠F ＝90°，由勾股定理得ED ＝DF 2＋EF 2＝32＋42＝5.在△ABC 和△EDF 中，BC DF ＝63＝2，AC EF ＝84＝2，AB ED ＝105＝2，所以BC DF ＝AC EF ＝AB ED，所以△ABC ∽△EDF . 方法总结：利用三边对应成比例判定两个三角形相似时，应说明三角形的三边对应成比例，而不是两边对应成比例． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第2题【类型二】 网格中的相似三角形如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上，判断△ABC 和△DEF 是否相似，并说明理由．解析：首先由勾股定理，求得△ABC 和△DEF 的各边的长，即可得AB DE ＝AC DF ＝BC EF，然后由三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可判定△ABC 和△DEF 相似．解：△ABC 和△DEF 相似．由勾股定理，得AB ＝25，AC ＝5，BC ＝5，DE ＝4，DF＝2，EF ＝25，∵AB DE ＝AC DF ＝BC EF ＝254＝52，∴△ABC ∽△DEF . 方法总结：在网格中计算线段的长，运用勾股定理是常用的方法．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第8题 【类型三】 利用相似三角形证明角相等如图，已知ABAD ＝BC DE ＝AC AE，找出图中相等的角，并说明你的理由．解析：由AB AD ＝BC DE ＝AC AE，证明△ABC ∽△ADE ，再利用相似三角形对应角相等求解． 解：在△ABC 和△ADE 中，∵AB AD ＝BC DE ＝AC AE，∴△ABC ∽△ADE ，∴∠BAC ＝∠DAE ，∠B ＝∠D ，∠C ＝∠E .方法总结：在证明角相等时，可通过证明三角形相似得到．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题 【类型四】 利用相似三角形的判定证明线段的平行关系如图，某地四个乡镇A ，B ，C ，D 之间建有公路，已知AB ＝14千米，AD ＝28千米，BD ＝21千米，BC ＝42千米，DC ＝31.5千米，公路AB 与CD 平行吗？说出你的理由．解析：由图中已知线段的长度，可求两个三角形的对应线段的比，证明三角形相似，得出角相等，通过角相等证明线段的平行关系．解：公路AB 与CD 平行．∵AB BD ＝1421＝23，AD BC ＝2842＝23，BD DC ＝2131.5＝23，∴△ABD ∽△BDC ，∴∠ABD ＝∠BDC ，∴AB ∥DC .方法总结：如果在已知条件中边的数量关系较多时，可考虑使用“三边对应成比例，两三角形相似”的判定方法． 【类型五】 利用相似三角形的判定解决探究性问题要制作两个形状相同的三角形教具，其中一个三角形教具的三边长分别为50cm ，60cm ，80cm ，另一个三角形教具的一边长为20cm ，请问怎样选料可使这两个三角形教具相似？想想看，有几种解决方案．解析：要使两个三角形相似，已知一个三角形的三边和另一个三角形的一边，则我们可以采用三边分别对应成比例的两个三角形相似来判定．解：①当长为20cm 的边长的对应边为50cm 时，∵50∶20＝5∶2，且第一个三角形教具的三边长分别是50cm ，60cm ，80cm ，∴另一个三角形对应的三边分别为：20cm ，24cm ，32cm ；②当长为20cm 的边长的对应边为60cm 时，∵60∶20＝3∶1，且第一个三角形教具的三边长分别是50cm ，60cm ，80cm ，∴另一个三角形对应的三边分别为：503cm ，20cm ，803cm ；③当长为20cm 的边长的对应边为80cm 时，∵80∶20＝4∶1，且第一个三角形教具的三边长分别是50cm ，60cm ，80cm ，∴另一个三角形对应的三边分别为：12.5cm ，15cm ，20cm.∴有三种解决方案．方法总结：解答此题的关键在于分类讨论，当对应比不确定时，采用分类讨论的方法可避免漏解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题三、板书设计1．三角形相似的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似；2．利用相似三角形的判定解决问题．因为本课时教学过程中主要是让学生采用类比的方法先猜想出命题，然后证明猜想的命题是否正确．课堂上教师主要还是以提问的形式，逐步引导学生去证明命题．从课后作业情况看出学生对这节课的知识总体掌握得较好.。
27.2.1.相似三角形判定(2)--定理(类比SSS、SAS)
C B’
证明:在△ ABC 的边 AB(或延长线)上截取A/D=AB, 过点D作DE∥BC 交A/C/于点E,则△A/DE∽△A/B/C/ AD AE . AB AC AB AC 又 A A 又 ，AD AB, AB AC ∴△A/DE≌△ABC（SAS) AE AC / / / ∴△ABC∽△ A BC , AC AC
AE AC.
三角形相似的判定定理2： 如果两个三角形的两组对应边的比相等， 并且夹角相等,那么这两个三角形相似.
即：两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.
A’ A B C B’ C’
AB AC k AB AC ΔABC∽ΔABC. A A
A’ A
D E C’
C B’
证明:在△ ABC 的边 AB(或延长线)上截取A/D=AB, 过点D作DE∥BC 交A/C/于点E,则△A/DE∽△A/B/C/
AD DE AE . AB BC AC AB BC AC 又 ，AD AB, AB BC AC DE BC AE AC , , BC BC AC AC DE BC, AE AC.
例 1：
试判定△ABC与A’B’C’是否相似，并说明理由。 (1) AB＝6 cm， BC＝8 cm，AC＝10 cm A’B’＝18 cm，B’C’＝24 cm，A’C’＝30 cm (2) ∠A＝45°， AB=12cm，
AC=15cm ∠A’＝45°，A’B’＝16cm，A’C’＝
20cm
例2
①4:2=5:x=6:y ②4:x=5:2=6:y ③4:x=5:y=6:2
4
5 6
2
检测二
如图， △ ABC中，AB=12，AC=15， D为AB上的一点，且AD= 2 AB，在AC 3 上取一点E，使以A、D、E为顶点的三 6.4 角形和△ ABC相似，则AE 等于 10或。
27.2.1相似三角形的判定(第二课时)课件(共17张PPT)
You made my day!
A D
A'
B
C B'
C'
在△A'B'C'和△DBC中，
A'B＝ ' B'C'且C'＝C DB BC 但是△ A' B' C' 和△ DBC 显然不相似 .
两边对应成比例且其中一边的对角
对应相等的两个三角形不一定相似.
例1
根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并 说明理由： （1）AB＝4cm，BC＝6cm，AC＝8cm．
探究
请同学们在一张方格纸上任意画一个三角形，再画一个三角形，使它 的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角， 它们相等吗？这两个三角形相似吗？与邻座交流一下，看看是否有同 样的结论．
这两个三角形是相似的.
由此我们得到利用三边判定三角形相似的方法：
A
A'
AB BC CAk A'B' B'C' C'A'
2. 图中的两个三角形是否相似？为什么？
（1）
15
20
25
27
40
45
（2）
A
B
45
54
C 36 E 30
D
3.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别
为4、5、6，另一个三角形框架的一边长为2，它的另外两条边长应当是
多少？你有几种制作方案？
方案(1)
k1
2 4
1 2
解：设另外 两条边长分
A'B'＝12cm，B'C'＝18cm，A'C'＝24cm
27.2.1 相似三角形的判定课件2(新人教版九年级下)
AB 8 1 A ' B ' 16 2
AC 15 1 A ' C ' 30 2
AB AC A' B ' A'C '
（ 2）
AB 10 5 0.625 A ' B ' 16 8
AC 16 0.625 A'C ' 25.6
BC 8 0.625 B ' C ' 12.8
过点D作DE∥BC交AC于点E.
△ADE∽△ABC ∴AD:AB=AE:AC=DE:BC, ∵AD=A`B`∴AD:AB=A`B`:AB 又A`B`:AB=B`C`:BC=C`A`:CA ∴DE:BC=B`C`:BC,EA:CA=C`A`:CA.
D
B` A
C`
E
因此DE=B`C`,EA=C`A`.
∴△ADE≌△A`B`C` ∴△A`B`C`∽△ABC
中， ∠ B'=30°，A'B'=10cm， A'C' =8cm。 这两个三角形一定相似吗？试着画画看．
不一定相似
例1
根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由： （1）∠A＝120°，AB＝7cm，AC＝14cm，
要使两三角形相似， 不改变AC的长， A'C'的长应当改为 多少？
∠A=∠A' ∴△ABC∽△A'B'C'
AB BC AC 0.625 A' B ' B 'C ' A'C '
∴△ABC∽△A'B'C'
27.2.1相似三角形的判定
∵AB＝2，BC＝2 2，AC＝2 5，FE＝2，DE＝ 2，
DF＝ 10，
∴
DABE＝
2＝ 2
2，BECF＝2 2 2＝
2，DACF＝2
5＝ 10
2.
∴ DABE＝BECF＝DACF，∴△ABC∽△DEF.
感悟新知
知识点 5 边角关系判定三角形相似定理
知5－讲
1. 相似三角形的判定定理：两边成比例且夹角相等的两个
感悟新知
知识点 1 相似三角形
知1－讲
1. 定义：如果在两个三角形中，三个角分别相等，三条边 成比例，那么这两个三角形相似.
感悟新知
如图27.2-1，在△ ABC 和△ A′B′C′中，
知1－讲
∠ A= ∠ A′，∠ B= ∠ B′，∠ C= ∠ C′， △ABC
AB BC AC k,
↔ ∽△A′B′C′.
感悟新知
知2－练
3-1. 如图，l1 ∥ l2 ∥ l3，AB=3，AD=2，DE=4，EF=9， 求BC，BF 的长.
感悟新知
解：∵ l1∥l2∥l3, ∴ ABBC＝ADDE.
∵
AB＝3，AD＝2，DE＝4,
∴
3 BC
＝24，
解得 BC＝6.
知2－练
∵ l1∥l2∥l3,
∴
BF EF
＝
AB AC
第27章 相似
27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
学习目标
1 课时讲解
2 课时流程
逐点 导讲练
相似三角形 平行线分线段成比例 平行线截三角形相似的定理 三边关系判定三角形相似定理 边角关系判定三角形相似定理 角的关系判定三角形相似定理 直角三角形相似的判定
27.2.1 相似三角形的判定(二)教学设计2023—2024学年人教版数学九年级下册
6. 课堂小结（5分钟）
目标： 回顾本节课的主要内容，强调相似三角形的重要性和意义。
过程：
简要回顾本节课的学习内容，包括相似三角形的基本概念、判定方法和案例分析等。
强调相似三角形在现实生活或学习中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用相似三角形。
(2) 给定一个三角形ABC，已知AB=3，BC=4，求三角形ABC与三角形DEF相似的条件。
4. 实践操作题：
(1) 利用直尺和量角器，画出两个相似三角形，并说明相似三角形的判定方法。
(2) 利用直尺和量角器，画出两个相似三角形，并说明相似三角形的性质。
5. 思考题：
(1) 相似三角形在实际生活中的应用有哪些？
布置课后作业：让学生撰写一篇关于相似三角形的短文或报告，以巩固学习效果。
六、教学资源拓展
1. 拓展资源：
- 数学杂志和期刊：推荐学生阅读一些数学杂志和期刊，如《数学通报》、《数学竞赛》等，这些资源可以提供更多的数学问题和解答，以及相似三角形的应用案例。
- 在线数学论坛和社区：鼓励学生参与在线数学论坛和社区，如“数学吧”等，学生可以在这些平台上与同学和教师交流相似三角形的相关问题，获取更多的学习资源和解题思路。
目标： 让学生了解相似三角形的基本概念、判定方法和性质。
过程：
讲解相似三角形的定义，包括其主要判定方法和性质。
详细介绍相似三角形的判定方法和性质，使用图表或示意图帮助学生理解。
3. 相似三角形案例分析（20分钟）
目标： 通过具体案例，让学生深入了解相似三角形的特性和重要性。
过程：
选择几个典型的相似三角形案例进行分析。
27.2.1 相似三角形的判定(二) 教学设计 2023—2024学年人教版数学九年级下册
27.2.1相似三角形的判定(2)
求:
—AADB—
＝
—2 —5 —
A B
C
例题2
已知：DE//BC, AB=15,AC=9, BD=4 . 求：AE=?
解: ∵ DE∥BC
∴ —AB— ＝A—C— （推论）
BD CE
即 —15—＝—9—
B
4 CE ∴ CE ＝ 1—52
D
∴ AE= AC+CE=9+ 1—2 =11—2
5
5
A
C E
三条平行线截两条直线,所得的对应线段的比相等.
定理的符号语言 L1 L2
L3//L4//L5
A
D
L3
B
E
AB
DE
=
C
L4 F
L5
BC EF
(平行线分线段成比例定理)
L1 L2
A
D
L3
B
E
L4
C
F
L5
L1 L2 L3 L4 L5
L1L2 L3 L4 L5
L2 L1 L3 L4 L5
L2 L1 L3 L4 L5
L2 L1 L3 L4
L5
L2 L1 L3 L4
L5
L2
L1
L3
L4
L5
L5 L4
L5 L4
A
L1
ED
L1
DE
L2
A
L2
B
C L3 B
C
L3
数学符号语言 数学符号语言
∵ DE∥BC
∵ DE∥BC
∵
AD AB
=
AE AC
∵
AD AB
=
AE AC
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的 延长线），所得的对应线段的比相等
人教版数学九年级下27.2.1第2课时三边成比例的两个三角形相似教案及教学反思
27.2.1 相似三角形的判定第2课时三边成比例的两个三角形相似1．理解“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法；(重点) 2．会运用“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法解决简单问题．一、情境导入我们现在判定两个三角形是否相似，必须要知道它们的对应角是否相等，对应边是否成比例．那么是否存在判定两个三角形相似的简便方法呢？在如图所示的方格上任画一个三角形，再画第二个三角形，使它的三边长都是原来三角形的三边长的相同倍数．画完之后，用量角器比较两个三角形的对应角，你发现了什么结论？大家的结论都一样吗？二、合作探究探究点：三边对应成比例的两个三角形相似【类型一】直接利用定理判定两个三角形相似在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，在Rt△EDF中，∠F＝90°，DF＝3，EF＝4，则△ABC和△EDF相似吗？为什么？解析：已知△ABC和△EDF都是直角三角形，且已知两条边长，所以可利用勾股定理分别求出第三边的长，看对应边是否对应成比例．解：△ABC ∽△EDF .在Rt △ABC 中，AB ＝10，BC ＝6，∠C ＝90°，由勾股定理得AC ＝AB 2－BC 2＝102－62＝8.在Rt △DEF 中，DF ＝3，EF ＝4，∠F ＝90°，由勾股定理得ED ＝DF 2＋EF 2＝32＋42＝5.在△ABC 和△EDF 中，BC DF ＝63＝2，AC EF ＝84＝2，AB ED ＝105＝2，所以BC DF ＝AC EF ＝AB ED，所以△ABC ∽△EDF .方法总结：利用三边对应成比例判定两个三角形相似时，应说明三角形的三边对应成比例，而不是两边对应成比例． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第2题【类型二】 网格中的相似三角形如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上，判断△ABC 和△DEF 是否相似，并说明理由．解析：首先由勾股定理，求得△ABC 和△DEF 的各边的长，即可得AB DE ＝AC DF ＝BC EF，然后由三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可判定△ABC 和△DEF 相似．解：△ABC 和△DEF 相似．由勾股定理，得AB ＝25，AC ＝5，BC ＝5，DE ＝4，DF ＝2，EF ＝25，∵AB DE ＝AC DF ＝BC EF ＝254＝52，∴△ABC ∽△DEF .方法总结：在网格中计算线段的长，运用勾股定理是常用的方法． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第8题【类型三】 利用相似三角形证明角相等如图，已知AB AD ＝BC DE ＝AC AE，找出图中相等的角，并说明你的理由．解析：由AB AD ＝BC DE ＝AC AE，证明△ABC ∽△ADE ，再利用相似三角形对应角相等求解．解：在△ABC 和△ADE 中，∵AB AD ＝BC DE ＝AC AE，∴△ABC ∽△ADE ，∴∠BAC ＝∠DAE ，∠B ＝∠D ，∠C ＝∠E .方法总结：在证明角相等时，可通过证明三角形相似得到． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题【类型四】 利用相似三角形的判定证明线段的平行关系如图，某地四个乡镇A ，B ，C ，D 之间建有公路，已知AB ＝14千米，AD ＝28千米，BD ＝21千米，BC ＝42千米，DC ＝31.5千米，公路AB 与CD 平行吗？说出你的理由．解析：由图中已知线段的长度，可求两个三角形的对应线段的比，证明三角形相似，得出角相等，通过角相等证明线段的平行关系．解：公路AB 与CD 平行．∵AB BD ＝1421＝23，AD BC ＝2842＝23，BD DC ＝2131.5＝23，∴△ABD ∽△BDC ，∴∠ABD ＝∠BDC ，∴AB ∥DC . 方法总结：如果在已知条件中边的数量关系较多时，可考虑使用“三边对应成比例，两三角形相似”的判定方法．【类型五】 利用相似三角形的判定解决探究性问题要制作两个形状相同的三角形教具，其中一个三角形教具的三边长分别为50cm ，60cm ，80cm ，另一个三角形教具的一边长为20cm ，请问怎样选料可使这两个三角形教具相似？想想看，有几种解决方案．解析：要使两个三角形相似，已知一个三角形的三边和另一个三角形的一边，则我们可以采用三边分别对应成比例的两个三角形相似来判定．解：①当长为20cm 的边长的对应边为50cm 时，∵50∶20＝5∶2，且第一个三角形教具的三边长分别是50cm ，60cm ，80cm ，∴另一个三角形对应的三边分别为：20cm ，24cm ，32cm ；②当长为20cm 的边长的对应边为60cm 时，∵60∶20＝3∶1，且第一个三角形教具的三边长分别是50cm ，60cm ，80cm ，∴另一个三角形对应的三边分别为：503cm ，20cm ，803cm ；③当长为20cm 的边长的对应边为80cm 时，∵80∶20＝4∶1，且第一个三角形教具的三边长分别是50cm ，60cm ，80cm ，∴另一个三角形对应的三边分别为：12.5cm ，15cm ，20cm.∴有三种解决方案．方法总结：解答此题的关键在于分类讨论，当对应比不确定时，采用分类讨论的方法可避免漏解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题三、板书设计1．三角形相似的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似；2．利用相似三角形的判定解决问题．因为本课时教学过程中主要是让学生采用类比的方法先猜想出命题，然后证明猜想的命题是否正确．课堂上教师主要还是以提问的形式，逐步引导学生去证明命题．从课后作业情况看出学生对这节课的知识总体掌握得较好.。
九年级下册人教版数学习题课件27.2.1相似三角形的判定第2课时 由三边或两边和夹角判定三
6．(3分)如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外任取一点C，连接AC， BC，并分别取其三等分点M，N(M，N两点均靠近点C)，量得MN＝5 m，则AB的长是( B ) A．10 m B．15 m C．20 m D．25 m
7．(4分)如图，已知∠DAB＝∠EAC，添加一个条件：________ ___AA_DB___＝__AA_CE___(答__案__不__唯__一__)_______________，使△ ADE∽△ABC.
12．(易错题)如图，在△ABC中，D为边AC上的一点，若AB＝12，AC＝8，AD＝6，P为边AB上的一动点，则当AP的长为
_5_c_m_/_s_，__分2_c_m_别_/s_的时以速，度△1沿.A5D射Pc线和mO△N/As，B，OCM相2的似c方．m向运/s动的，速连接度EF，沿A射E，E线F与OOAN交，于点OCM，且的当点方E到向达运点B动时，，点F连也随接之停E止F运，动，设运
8．(4分)如图，用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等，OC＝OD)量 零件的内孔直径AB，若OC∶OA＝1∶2，量得CD＝10 cm，则零件的 内孔直径AB的长为__2_0_ cm.
9．(8分)如图，在△ ABC中，∠ACB＝90°，点 D，E分别是边BC，AB上的点，且BBAE ＝BBDC ＝
BC 13．如图，点P为∠MON的平分线OC上的一点，以点P为顶点的∠APB两边分别与射线OM，ON相交于点A，B，如果∠APB在绕点P旋 B′C′ ，∴△ABC∽△A′C′B′ 转时始终满足OA·OB＝OP2，我们就把∠APB叫做∠MON的“关联角”．如果∠MON＝50°，∠APB是∠MON的“关联角”，那么
其对应角∠B的度数相比(
)D
A．增加了10% B．减少了10%
27.2.1相似三角形的判定(2)
(三边对应边成比例的两个三角形相似.)
A
G
H
D
B
E
F
C
AE 2 , CE 2
EF 1 2 , EA 2 2 ∵∠ AEF = ∠CEA=135°.
∴△ AEF ∽ △CEA.
(两条对应边成比例且它们的夹角对应相等的两个三角形 相似.)
独立 作业
D
A
1.如图, 若AD· AB=AE· AC, 则△ ∽△_______ ∠B= ？
• 下面两个三角形是否相似?为什么?
A
D
4cm B 7cm 5cm C 2cm 2.5cm 3.5cm
E
F
• 解:在△ABC和△DEF中.
AC 5 BC 7 AB 4 2. 2. 2. DF 2.5 EF 3.5 AD 2
∴△ ABC ∽ △ ADE.(三边对应边成比例的两个三角形相似.)
AB AC BC 2 2. AB AC BC 1
∴△ ABC∽△ A′B′C′
如图在正方形网格上有A1 B1C1和A2 B2C2， 它们相似吗？如果相似，求出相似比；如果 不相似，请说明理由。
A
两条对应边的 比相等，且对 应夹角相等呢？
A’ C’
B’
B C
例1:如图,D,E,F分别是△ABC三边的中点, 求证:△EFD∽△ABC
证明:∵D是AB的中点,F是AC的中点, ∴BC=2DF DF 1 D BC 2
同理 DE 1 EF 1 , , AC 2 AB 2
A
F
FD ED EF BC AC AB
B
E
C
∴△EFD∽△ABC (三边对应成比例，两三角形相似。)
27.2.1 相似三角形的判定 课时2 用三边关系、边角关系判定三角形相似
27.2 相似三角形 27.2.1 相似三角形的判定 课时2 用三边关系、边角关系判定三角形相似
目 录
CONTENTS
1 学习目标 3 新课讲解 5 当堂小练
2 新课导入 4 课堂小结 6 拓展与延伸
学习目标
1.复习已经学过的三角形相似的判定定理. 2.掌握三边关系、边角关系判定三角形相似的方法，并能进行相 关计算.（重点、难点）
新课讲解
结论
由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理： 三边成比例的两个三角形相似．
符号语言：
∵
AB AB
BC B C
CA C A
，
∴ △ ABC ∽ △A′B′C.
新课讲解
典例分析 例1 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．
例
C
3
3.5
2.4 D
E
1.8
A
4
B
2.1 F
解：在 △ABC 中，AB > BC > CA，在 △ DEF中， DE > EF > FD.
解得 AP = 9； 当 △ADP ∽△ABC 时， AD : AB =AP : AC ，∴ 6 : 12 = AP : 8 ， 解得 AP = 4. ∴ 当 AP 的长度为 4 或 9 时，
P D
P C
B
△ADP 和 △ABC 相似．
拓展与延伸
4. 如图，△ABC中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA的中点，求证： △ABC∽△EFD．
新课导入
情景导入
证明三角形全等有哪些方法？你能从中获得证 明三角形相似的启发吗？
A
D
E
SSS，SAS，AAS， ASA，HL
20版初中《金榜学案》数学九年级下人教版配套课件：27.2.1 相似三角形的判定 第2课时
【火眼金睛】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°, AD=2,BC=3,AB=5,点P为AB边上的一点,当AP为多少时, 以P,A,D为顶点的三角形与以P,B,C为顶点的三角形相 似?
正解:∵AD∥BC,∠A=90°,∴∠B=90°,
则以P,A,D为顶点的三角形与以P,B,C为顶点的三角形
2.如图所示,在△ABC中,D,E分别在AB,AC边上,且
AD AB
AE AC
1 2
,
5
BC=5,则DE=__2___.
3.在△ABC和△A′B′C′中,∠A=40°,AB=8,AC=15, ∠A′=40°,A′B′=16,A′C′=30;判断△ABC与 △A′B′C′是否相似,并说明理由.
解:相似.理由:∵AB=8,AC=15,A′B′=16,A′C′=30,
★2.如图,已知△ABC和△PBD都是正方形网格上的格点
三角形(顶点为网格线的交点),要使△ABC∽△PBD,则
点P的位置应落在世纪金榜导学号( B )
A.点P1上 C.点P3上
B.点P2上 D.点P4上
★★3.(易错警示题)如图,在平面直角坐标系中,点A,B 的坐标分别为(0,3)和(9,0),若坐标轴上存在点C,使 △OBC和△OAB相似,则点C的坐标是___(_0_,_-_3_)_,_(_0_,_2_7_)_,_ __(_0_,_-_2_7_)__.
…………观察图形可得
AC=12 1=2 2,BC= 12 =32 ,10
DF= 22 22 =2 2 ,EF=22 62 =2 10
,
…………勾股定理
1
∴ AC 2 = 2 ,
DF 2 2
BC EF
10
=_2__1_0__=
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A
三边对应成 比例
A′
B′
B
C
C′
' ' 'C' 'C' C AC
是否有△ABC∽△A′B′C′？
证明：在线段A ' B（或它的延长线 ' 上）截取A ' D AB，过点D再作 DE ∥B' C ' 交A' C ' 交于点E，可得 B
AB BC AC . 已知：在ABC和A' B' C '中， 'C ' 求证: △ ABC ∽△ A' B ' C ' . A ' B ' B ' C ' AA ' A
A1
B C
即： 如果
AB BC k, A1B1 B1C1
B1
C1
∠B =∠B1 ， 那么 △ABC∽△A1B1C1.
AB AC , 如果 对于ABC和A' B' C '， A' B ' A' C '
思考
这两个三角形一定会相似吗？ B B '，
不会，因为不能证明构造的三角形和原三角形全等.
∴ A ' DE
C'
ABC.
∴
ABC ∽ A ' B ' C '.
归纳
知识要点
判定三角形相似的定理之一
边S 边S 边S
√
如果两个三角形的三组对应边的比 相等，那么这两个三角形相似. A 三边对应成比例，两三角形相似 . A′
即：
B C
AB BC AC , 如果 A B BC AC
应用
例2 已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD， AB=6，BC=4，AC=5，CD= 7 1 ，求AD的长.
2 1 解: AB=6，BC=4，AC=5，CD= 7 ， 2
AB CD . BC AC
又∠B=∠ACD，
△ABC∽△DCA，
BC AC AC AD ，
25 . AD= 4
C D
E
A' DE ∽A ' B ' C '.
A' D DE A' E . ∴ A ' B ' B 'C ' A 'C '
B'
A'E AC AB BC AC 又 . , A ' D AB， ∴ A 'C ' A 'C ' A ' B ' B 'C ' A 'C ' 同理 DE BC. ∴ A ' E AC.
B′
C′
那么 △ABC∽△A′B′C′.
探究3
利用刻度尺和量角器画 ABC和
AB AC A' B' C ' , 使A A' , 和 都 A' B' A' C ' 等于给定的k值，量出它们第三组对 应边BC和B' C '的长，它们的比值等 于k吗？另外两组角是否会 相等呢？
改变k和∠A的值的大小,是否有同样的结论？
第二十七章
相 似
27.2.1
相似三角形的判定(2)
平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线,所得的对应线段的比 相等.
平行线分线段成比例定理的推论
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两 边的延长线)，所得的对应线段的比相等. l l l l A D l E l
1
1
D B
E C
l2
A B
l2
小结
相似三角形的判定方法有几种？
1.定义判定法 2.平行判定法 比较复杂，烦琐 只能在特定的图形里面使用
3.边边边判定法（SSS） 4.边角边判定法（SAS）
布置作业
教科书第 42 页
第2(1)，4题．
探究3
边S 角A 边S
A
AB AC 已知： A B AC k ,
∠A =∠′ . 求证：△ABC∽△A′B′ C′. A′
B
C
你能证明吗？ C′
B′
AB AC , A A '. 已知：在ABC和A' B' C '中， A' B ' A'C ' 求证: △ ABC ∽△ A ' B ' C '.
A'
A
B
C B'
B' '
C'
应用
解：（1）
AB 7 AC 14 7 , , A' B' 3 A' C ' 6 3
两个三角形的相似比是多少？
AB AC . A' B ' A'C '
又A A '，
ABC
∽A ' B ' C '.
应用
AB 4 1 , 解：（2） A' B ' 12 3 要使两个三角形相似， 不改变AC的长，A′C′的长 BC 6 1 AC 8 ， 应改为多少？ , B' C ' 18 3 A ' C ' 21 AB BC AC . A ' B ' B 'C ' A 'C ' ABC 与 A' B ' C ' 的三组对应边的比不等，它们不相似.
E
C
归纳
知识要点
A型
平行于三角形一边的定理
平行于三角形一边的直线和其他两边 相交，所构成的三角形与原三角形相似.
A
你还能画出其 他图形吗？
B
D
E C
即在△ABC中， 如果DE∥BC， 那么△ADE∽△ABC
平行于三角形一边的直线与其他两边(或延长线) 相似 相交,所得的三角形与原三角形________.
证明：在线段A ' B（或它的延长线 ' 上）截取A ' D AB，过点D再作 DE ∥ B' C ' 交A' C ' 交于点E，可得 B A' DE ∽A ' B ' C '.
C D E A
A'
AB AC , A ' D AB. 又 A ' B ' A 'C '
∴ ∴ A ' E AC. 又A A '， ∴ ∴ A ' DE ABC，
l3
C
l3
如果△ ABC∽ △ADE,那么你能找 出哪些角的关系？边呢？
∠A = ∠A,∠B = ∠ADE,∠C = ∠AED.
AB AD
=
AC AE
=
BC DE
D B
A E C
DE ∥ BC
如图,在△ABC中， DE//BC, DE分别交AB于D，交 AC于E ，△ADE与△ABC有什么关系?说明理由. 相似
证明:在△ADE与△ABC中，∠A= ∠A. ∵ DE//BC，
A
D
F
AD AE . ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C， AB AC 过E作EF//AB交BC于F， AE BF 则 . B AC BC ∵ 四边形DBFE是平行四边形， ∴DE=BF， AE DE AD AE DE ， ， AC BC AB AC BC ∴△ADE∽△ABC.
“A”型
A D B
（图1）
“X”型
D O E
E C
B （图2） C
思考:有没有其他简单的办法判断两个三角形相似?
探究2
任意画一个三角形，再画一个三 角形，使它的各边长都是原来三角 形各边长的k倍，度量这两个三角形 的对应角，它们相等吗？这两个三 角形相似吗？与同桌交流一下，看 看是否有同样的结论.
A' D A'E . ∴ A ' B ' A 'C '
B'
C'
A'E AC . A 'C ' A 'C '
ABC ∽A ' B ' C '.
归纳
知识要点
判定三角形相似的定理之二
边S 角A 边S
√
如果两个三角形的两组对应边的比相 等，并且相应的夹角相等，那么这两个三 角形相似. 两边对应成比例，且夹角相等， A 两三角形相似.