数学人教A版必修一优化课件：第二章 2.1 2.1.2 第2课时 指数函数及其性质的应用

指数函数运算及性质 [典例] (本题满分 12 分)已知 f(x)＝x(2x－1 1＋12)． (1)求 f(x)的定义域； (2)判断 f(x)的奇偶性，并说明理由； (3)求证：f(x)>0.
[规范解答] (1)由 2x－1≠0 得 2x≠20，故 x≠0， 所以函数 f(x)的定义域为{x∈R|x≠0}.…………………………2 分 (2)函数 f(x)是偶函数. …………………………3 分 理由如下： 由(1)知函数 f(x)的定义域关于原点对称， ∵f(x)＝x(2x－1 1＋12)＝x2·22xx－＋11， ∴f(－x)＝－x2·22－－xx＋－11＝－x2·22－－xx＋－11··22xx＝－x2·11＋－22xx ＝x2·22xx＋－11＝f(x)，∴f(x)为偶函数. …………………………8 分
[双基自测] 1．若函数 f(x)＝3x＋3－x 与 g(x)＝3x－3－x 的定义域为 R，则( ) A．f(x)与 g(x)均为偶函数 B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数 C．f(x)与 g(x)均为奇函数 D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数
答案：B
2.指数函数 y＝ax 与 y＝bx 的图象如图，则( ) A．a<0，b<0 B．a<0，b>0 C．0<a<1，b>1 D．0<a<1,0<b<1 答案：C
1 2
－3·2x＋5，即
y＝12·(2x)2－3·2x＋5(0≤x≤2)．
令 2x＝t，则问题转化为 y＝12t2－3t＋5(1≤t≤4)．
将函数配方为 y＝12t2－3t＋5＝12(t－3)2＋12(1≤t≤4)，根据二次函数区间最值可知，
当 t＝3，即 2x＝3 时，函数取得最小值，最小值为 f(3)＝12.当 t＝1 时，即 2x＝1，
即 x＝0 时，函数取得最大值，最大值为52.
课时作业
编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
一、听要点。

一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物
探究二 函数图象的变换 [典例 2] 利用函数 f(x)＝2x 的图象，作出下列各函数的图象． (1)f(x－1)；(2)f(x＋1)；(3)－f(x)；(4)f(－x)； (5)f(x)－1；(6)f(|x|)．
[解析]
利用熟悉的函数图象作图，主要利用图象的平移、对称等变换，平移需分清楚向 何方向平移，要移几个单位；对称需分清楚对称轴是什么，可以通过点与点的坐 标关系来判断等．
求 y＝af(x)单调区间的步骤： (1)确定 f(x)的定义域 D. (2)若 a>1，要求原函数的增区间，只需求定义域 D 内 f(x)的增区间；要求原函数的减区 间，只需求定义域 D 内 f(x)的减区间． 若 0<a<1，要求原函数的增区间，只需求定义域 D 内 f(x)的减区间；要求原函数的减区 间，只需求定义域 D 内 f(x)的增区间．
理课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
二、听思路。

思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行
解答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
3．y＝2|x|的图象可能是( )
答案：C 4．y＝ax＋1(a>0 且 a≠1)过定点________． 答案：(0,2)
探究一 指数函数的图象 [典例 1] 如图是指数函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx； ④y＝dx 的图象，则 a，b，c，d 与 1 的大小关系为( ) A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c
1.若函数 y＝ax－(m＋1)(a>0)的图象过第一、二、三象 限，则有( ) A．a>1 B．a>1，－1<m<0 C．0<a<1，m>0 D．0<a<1 解析：函数 y＝ax－(m＋1)(a>0)的图象过第一、二、三象限，结合指数函数的图象， 可以得知 a>1,0<m＋1<1，∴－1<m<0. 答案：B
的研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进
课时作业
[自主梳理] 一、图象平移 若已知 y＝ax 的图象，则把 y＝ax 的图象向左平移 b(b>0)个单位，得到 y＝ax＋b 的 图象；把 y＝ax 的图象向右平移 b(b>0)个单位，得到 y＝ax－b 的图象；把 y＝ax 的 图象向上平移 b(b>0)个单位，得到 y＝ax＋b 的图象；把 y＝ax 的图象向下平移 b(b>0)个单位，得到 y＝ax－b 的图象． 二、图象对称 若已知 y＝ax 的图象， 则把 y＝ax 在 y 轴右侧的图象不变，把 y＝ax 在 y 轴右侧 的图象关于 y 轴对称翻折即得 y＝a|x|图象．
[解析] 由图象可知③④的底数必大于 1，①②的底数必小于 1.过点(1,0)作直线 x ＝1，在第一象限内分别与各曲线相交，可知 1＜d＜c，b＜a＜1，从而可知 a，b， c，d 与 1 的大小关系为 b＜a＜1＜d＜c.
[答案] B
指数函数的图象随底数变化的规律可归纳为： (1)无论指数函数的底数 a 如何变化，指数函数 y＝ax 的图象与直线 x＝1 相交于点 (1，a)，由图象可知：在 y 轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大． (2)指数函数的底数与图象间的关系可概括记忆为：在第一象限内，底数自下而上 依次增大．
2．若函数 f(x)＝a＋4x＋1 1满足 f(－x)＝－f(x)，则 a＝________.
解析：∵f(x)是定义在 R 上的奇函数， ∴f(0)＝a＋40＋1 1＝a＋12＝0，∴a＝－12. 答案：－12
1
3．若
0≤x≤2，求函数
y＝4
x2
－3·2x＋5
的最值．
解析：原式可变形为
y＝4x·4-
三、指数型函数模型 (1)指数增长模型 设原有量为 N，每次的增长率为 p，经过 x 次增长，该量增长到 y， 则 y＝ N(1＋p)x . (2)指数减少模型 设原有量为 N，每次的减少率为 p，经过 x 次减少，该量减少到 y， 则 y＝ N(1－p)x . (3)指数型函数 形如 y＝k·ax 的函数是一种指数型函数，这是一种非常有用的函数模型．
[随堂训练]
1．要得到函数 y＝8·2－x 的图象，只需将函数
y＝12x 的图象(
)
A．向右平移 3 个单位长度
B．向左平移 3 个单位长度
C．向右平移 8 个单位长度
D．向左平移 8 个单位长度
解析：y＝8·2－x＝23·2－x＝23－x＝(12)x－3
设 f(x)＝(12)x，则 f(x－3)＝(12)x－3. 答案：A
4．判断 f(x)＝13 x2－2x 的单调性，并求其值域． 解析：令 u＝x2－2x，则原函数变为 y＝13u. ∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1 在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增， 又∵y＝13u 在(－∞，＋∞)上递减， ∴y＝13 x2－2x 在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减． ∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴y＝13u，u∈[－1，＋∞)， ∵0<13u≤13－1＝3，∴原函数的值域为(0,3]．
2．(1)f(x)＝ax－1＋1 过定点________．
(2)函数 y＝a2x＋b＋1(a>0 且 a≠1，b∈R)的图象恒过定点(1,2)，则 b 的值为
________．
(3)y＝a|x|的图象关于________对称( )
A．x 轴
B．y 轴
C．原点
D．y＝x
解析：(1)f(x)＝ax－1＋1 的图象是由 y＝ax 向右平移一个单位，然后向上平移一个 单位得来． (2)令 2x＋b＝0，得 2×1＋b＝0，∴b＝－2. (3)y＝a|x|是偶函数，图象关于 y 轴对称． 答案：(1)(1,2) (2)－2 (3)B
(1)1
1 (2)2
(3)－2
以指数型函数为背景来考查函数的奇偶性，可以用(1)定义法；(2)图象法；(3)特殊 值法来处理．
3．若 f(x)＝4x2＋x 1，则 f(x)图象关于________对称(
)
A．x 轴
B.y 轴
C．原点
D．y＝x
解析：f(x)＝4x2＋x 1＝2x＋21x＝2x＋2－x，
[点评] (1)明确求定义域的依据： 求定义域的依据有：分式的分母不为 0，偶次根式的被开方数非负，0 指数幂的 底数不为 0，如本例中的分母不为 0，即 2x－1≠0. (2)重视常用代数变形方法的应用： 如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧的应用．如本 例中对2x－1 1＋12的变形用到了通分，对22－－xx＋－11的变形用到了分子分母同乘以 2x. (3)强化定义域优先的意识： 解答函数问题始终是在定义域内进行的，如本例中定义域为{x∈R|x≠0}，所以第 (3)问要分别证明 x>0，x<0 时都有 f(x)>0.
探究三 指数函数的性质 [典例 3] (1)若 y＝2x＋m·2 －x 是偶函数，则 m＝________. (2)已知 f(x)＝a＋2x－1 1，且 f(x)为奇函数，则 a＝________. (3)已知 y＝f(x)是奇函数，当 x>0 时，f(x)＝4x，则 f(－12)＝________.