3条件概率

特别：+B A P(A +B) P(A) P(B) ; 5. P(A +B) P(A) P(B) P(AB)
1.4 条件概率
全概率公式与贝叶斯公式
一、条件概率与乘法公式 二、全概率公式与贝叶斯公式 三、小结
一、条件概率
1. 定义1.8
设 A, B 是 两 个 事 件,且 P(B) 0, 称 P( A | B) P( AB) P(B)
AB {(1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1), (3,2)}, 由条件概率的公式得
P(B A) P( AB) 6 12 2 . P( A) 9 12 3
例3 某种动物由出生算起活20岁以上的概率为 0.8, 活到25岁以上的概率为0.4, 如果现在有一个 20岁的这种动物, 问它能活到25岁以上的概率是 多少? 解 设 A 表示“ 能活 20 岁以上 ” 的事件; B 表 示 “ 能活 25 岁以上”的事件,
P( ABC) P( A)P(B A)P(C AB).
推广 设 A1, A2, , An 为 n 个事件,n 2, 且 P( A1 A2 An1 ) 0, 则有
P(A1A2 An ) P(A1)P(A2 A1)P(A3 A1A2) P(An A1A2 An1)
抓阄是否与次序有关?
例4 五个阄, 其中两个阄内写着“有” 字, 三个阄内不写字 , 五人依次抓取, 问各人抓到“有”字阄的概率是否相 同?
解 设 Ai 表示"第 i 人抓到有字阄"的事件,
i 1,2,3,4,5.
则有
P( A1 )
2, 5
P( A2 ) P( A2) P( A2 ( A1 A1))
P( A1A2 A1A2 ) P( A1 A2 ) P( A1 A2 ) P( A1 )P( A2 A1 ) P( A1 )P( A2 A1 ) 21 32 2,
j 号产品,则试验的样本空间为
{(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4) , ,
(4,1), (4,2), (4,3)},
A {(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4)},
1 0 Ai Aj , i, j 1,2, , n;
20 A1 A2 An , 则称 A1, A2 , , An 为样本空间 的一个划分.
A2
A1
A3
A An1
n
2. 全概率公式
定 义 设为 试 验E的 样 本 空 间, B为E的 事 件, A1, A2 , , An为的 一 个 划 分,且P( Ai ) 0 (i 1,2, , n),则 P(B) P(B | A1)P( A1) P(B | A2 )P( A2 ) P(B | An )P( An )
(5)可加可列性: 设 A1, A2 ,wenku.baidu.com是两两不相容的事 件,则有
P
Ai
i1
B
P(Ai
i1
B).
例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问 “掷出点数之和不小于10”的概率是多少?
解: 设A={掷出点数之和不小于10}
B={第一颗掷出6点}
解:
应用定义
P( A | B) P( AB) 3 36 1 P(B) 6 36 2
则有
P(B A) P( AB) . P( A)
因为 P( A) 0.8, P(B) 0.4, P( AB) P(B),
所以 P(B A) P( AB) 0.4 1 . P( A) 0.8 2
3. 乘法定理
设 P( A) 0, 则有 P( AB) P(B A)P( A). 设 A, B,C 为事件,且 P( AB) 0, 则有
n
P( Ai )P(B | Ai ) i 1
全概率公式
证明 B B B ( A1 A2 An )
BA1 BA2 BAn.
由 Ai Aj (BAi )( BAj )
P(B) P(BA1) P(BA2 ) P(BAn )
P(B) P(A1)P(B | A1) P(A2 )P(B | A2 )
54 54 5
P(A3) P(A3) P(A3(A1 A2 A1A2 A1 A2))
P( A1 A2 A3 ) P( A1 A2 A3 ) P( A1 A2 A3 )
P( A1 )P( A2 A1 )P( A3 A1 A2 ) P( A1 )P( A2 A1 )P( A3 A1 A2 )
例2 一盒子装有4 只产品,其中有3 只一等品,1只 二等品.从中取产品两次,每次任取一只,作不放回 抽样.设事件A为“第一次取到的是一等品” ,事件 B 为“第二次取到的是一等品”,试求条件概率 P(B|A). 解 将产品编号, 1, 2, 3 为一等品 ; 4 号为二等品 .
以 (i, j) 表示第一次、 第二次分别取到第i 号、 第
P( A1 )P( A2 A1 )P( A3 A1 A2 )
231 321 322 2, 543 543 543 5
依此类推
P( A4 )
P( A5 )
2 5
.
故抓阄与次序无关.
二、全概率公式与贝叶斯公式
1. 样本空间的划分
定义 设 为试验E的样本空间, A1, A2 , , An
为 E 的一组事件,若
为 在 事 件B 发 生 的 条 件 下 事 件A发 生 的条 件 概 率.
A AB B
2. 性质
(1)有界性 : 0 P( A B) 1;
(2)规 范 性 P( B) 1, P( | B) 0
(3) P( A1 A2 B) P( A1 B) P( A2 B) P( A1A2 B); (4) P( A B) 1 P( A B).
一、什么是概率？－－公理系统 二、概率怎么计算？－－直接与间接
直接计算－－古典概型、几何概 型间接计算－－运用各种公式计算
常用公式： 1. P() 0 ; 2. AI B P(A +B) P(A) P(B) ;
3. P( A) 1 P( A) ;
4. P(A +B) P(A) P(AB) ;