中考数学试题分类汇编(共28专题)17.四边形(平行四边形,矩形,菱形,正方形)

合集下载

人教中考数学一模试题分类汇编——平行四边形综合含答案解析

人教中考数学一模试题分类汇编——平行四边形综合含答案解析

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图,在平行四边形ABCD中,AD⊥DB,垂足为点D,将平行四边形ABCD折叠,使点B落在点D的位置,点C落在点G的位置,折痕为EF,EF交对角线BD于点P.(1)连结CG,请判断四边形DBCG的形状,并说明理由;(2)若AE=BD,求∠EDF的度数.【答案】(1)四边形BCGD是矩形,理由详见解析;(2)∠EDF=120°.【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质和折叠性质以及矩形的判定解答即可;(2)根据折叠的性质以及直角三角形的性质和等边三角形的判定与性质解答即可.【详解】解:(1)四边形BCGD是矩形,理由如下,∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC∥AD,即BC∥DG,由折叠可知,BC=DG,∴四边形BCGD是平行四边形,∵AD⊥BD,∴∠CBD=90°,∴四边形BCGD是矩形;(2)由折叠可知:EF垂直平分BD,∴BD⊥EF,DP=BP,∵AD⊥BD,∴EF∥AD∥BC,∴AE PD1==BE BP∴AE=BE,∴DE是Rt△ADB斜边上的中线,∴DE=AE=BE,∵AE=BD,∴DE=BD=BE,∴△DBE是等边三角形,∴∠EDB=∠DBE=60°,∵AB∥DC,∴∠DBC=∠DBE=60°,∴∠EDF=120°.【点睛】本题考查了平行四边形的性质,折叠性质,等边三角形的性质和判定,主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力,题目综合性比较强,有一定的难度2.如图1,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D,分别延长AC至E,BC至F,且CE=EF,延长FE交AD的延长线于G.(1)求证:AE=EG;(2)如图2,分别连接BG,BE,若BG=BF,求证:BE=EG;(3)如图3,取GF的中点M,若AB=5,求EM的长.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)5 2【解析】【分析】(1)根据平行线的性质和等腰三角形的三线合一的性质得:∠CAD=∠G,可得AE=EG;(2)作辅助线,证明△BEF≌△GEC(SAS),可得结论;(3)如图3,作辅助线,构建平行线,证明四边形DMEN是平行四边形,得EM=DN=12AC,计算可得结论.【详解】证明:(1)如图1,过E作EH⊥CF于H,∵AD⊥BC,∴EH∥AD,∴∠CEH=∠CAD,∠HEF=∠G,∵CE=EF,∴∠CEH=∠HEF,∴∠CAD=∠G,∴AE=EG;(2)如图2,连接GC,∵AC=BC,AD⊥BC,∴BD=CD,∴AG是BC的垂直平分线,∴GC=GB,∴∠GBF=∠BCG,∵BG=BF,∴GC=BE,∵CE=EF,∴∠CEF=180°﹣2∠F,∵BG=BF,∴∠GBF=180°﹣2∠F,∴∠GBF=∠CEF,∴∠CEF=∠BCG,∵∠BCE=∠CEF+∠F,∠BCE=∠BCG+∠GCE,∴∠GCE=∠F,在△BEF 和△GCE 中,CE GCE F CG BF EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BEF ≌△GEC (SAS ),∴BE =EG ;(3)如图3,连接DM ,取AC 的中点N ,连接DN ,由(1)得AE =EG ,∴∠GAE =∠AGE ,在Rt △ACD 中,N 为AC 的中点,∴DN =12AC =AN ,∠DAN =∠ADN , ∴∠ADN =∠AGE ,∴DN ∥GF ,在Rt △GDF 中,M 是FG 的中点, ∴DM =12FG =GM ,∠GDM =∠AGE , ∴∠GDM =∠DAN ,∴DM ∥AE ,∴四边形DMEN 是平行四边形, ∴EM =DN =12AC , ∵AC =AB =5, ∴EM =52. 【点睛】 本题是三角形的综合题,主要考查了全等三角形的判定与性质,直角三角形斜边中线的性质,等腰三角形的性质和判定,平行四边形的性质和判定等知识,解题的关键是作辅助线,并熟练掌握全等三角形的判定方法,特别是第三问,辅助线的作法是关键.3.定义:我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”.性质:如果两个三角形是“友好三角形”,那么这两个三角形的面积相等.理解:如图①,在△ABC中,CD是AB边上的中线,那么△ACD和△BCD是“友好三角形”,并且S△ACD=S△BCD.应用:如图②,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E在AD上,点F在BC上,AE=BF,AF 与BE交于点O.(1)求证:△AOB和△AOE是“友好三角形”;(2)连接OD,若△AOE和△DOE是“友好三角形”,求四边形CDOF的面积.探究:在△ABC中,∠A=30°,AB=4,点D在线段AB上,连接CD,△ACD和△BCD是“友好三角形”,将△ACD沿CD所在直线翻折,得到△A′CD,若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的,请直接写出△ABC的面积.【答案】(1)见解析;(2)12;探究:2或2.【解析】试题分析:(1)利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,得到四边形ABFE是平行四边形,然后根据平行四边形的性质证得OE=OB,即可证得△AOE和△AOB是友好三角形;(2)△AOE和△DOE是“友好三角形”,即可得到E是AD的中点,则可以求得△ABE、△ABF的面积,根据S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF即可求解.探究:画出符合条件的两种情况:①求出四边形A′DCB是平行四边形,求出BC和A′D推出∠ACB=90°,根据三角形面积公式求出即可;②求出高CQ,求出△A′DC的面积.即可求出△ABC的面积.试题解析:(1)∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∵AE=BF,∴四边形ABFE是平行四边形,∴OE=OB,∴△AOE和△AOB是友好三角形.(2)∵△AOE和△DOE是友好三角形,∴S△AOE=S△DOE,AE=ED=AD=3,∵△AOB与△AOE是友好三角形,∴S△AOB=S△AOE,∵△AOE≌△FOB,∴S△AOE=S△FOB,∴S△AOD=S△ABF,∴S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF=4×6-2××4×3=12.探究:解:分为两种情况:①如图1,∵S△ACD=S△BCD.∴AD=BD=AB,∵沿CD折叠A和A′重合,∴AD=A′D=AB=×4=2,∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的,∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC,∴DO=OB,A′O=CO,∴四边形A′DCB是平行四边形,∴BC=A′D=2,过B作BM⊥AC于M,∵AB=4,∠BAC=30°,∴BM=AB=2=BC,即C和M重合,∴∠ACB=90°,由勾股定理得:AC=,∴△ABC的面积是×BC×AC=×2×2=2;②如图2,∵S△ACD=S△BCD.∴AD=BD=AB,∵沿CD折叠A和A′重合,∴AD=A′D=AB=×4=2,∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的,∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC,∴DO=OA′,BO=CO,∴四边形A′BDC是平行四边形,∴A′C=BD=2,过C作CQ⊥A′D于Q,∵A′C=2,∠DA′C=∠BAC=30°,∴CQ=A′C=1,∴S△ABC=2S△ADC=2S△A′DC=2××A′D×CQ=2××2×1=2;即△ABC的面积是2或2.考点:四边形综合题.4.如图,已知矩形ABCD中,E是AD上一点,F是AB上的一点,EF⊥EC,且EF=EC.(1)求证:△AEF≌△DCE.(2)若DE=4cm,矩形ABCD的周长为32cm,求AE的长.【答案】(1)证明见解析;(2)6cm.【解析】分析:(1)根据EF⊥CE,求证∠AEF=∠ECD.再利用AAS即可求证△AEF≌△DCE.(2)利用全等三角形的性质,对应边相等,再根据矩形ABCD的周长为32cm,即可求得AE的长.详解:(1)证明:∵EF⊥CE,∴∠FEC=90°,∴∠AEF+∠DEC=90°,而∠ECD+∠DEC=90°,∴∠AEF=∠ECD.在Rt△AEF和Rt△DEC中,∠FAE=∠EDC=90°,∠AEF=∠ECD,EF=EC.∴△AEF≌△DCE.(2)解:∵△AEF≌△DCE.AE=CD.AD=AE+4.∵矩形ABCD的周长为32cm,∴2(AE+AE+4)=32.解得,AE=6(cm).答:AE的长为6cm.点睛:此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质和矩形的性质等知识点的理解和掌握,难易程度适中,是一道很典型的题目.5.点P是矩形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点(点P不与点A,C重合),分别过点A,C向直线BP作垂线,垂足分别为点E,F,点O为AC的中点.(1)如图1,当点P与点O重合时,请你判断OE与OF的数量关系;(2)当点P运动到如图2所示位置时,请你在图2中补全图形并通过证明判断(1)中的结论是否仍然成立;(3)若点P在射线OA上运动,恰好使得∠OEF=30°时,猜想此时线段CF,AE,OE之间有怎样的数量关系,直接写出结论不必证明.【答案】(1)OE =OF .理由见解析;(2)补全图形如图所示见解析,OE =OF 仍然成立;(3)CF =OE+AE 或CF =OE ﹣AE .【解析】【分析】(1)根据矩形的性质以及垂线,即可判定()AOE COF AAS ∆≅∆,得出OE =OF ; (2)先延长EO 交CF 于点G ,通过判定()AOE COG ASA ∆≅∆,得出OG =OE ,再根据Rt EFG ∆中,12OF EG =,即可得到OE =OF ; (3)根据点P 在射线OA 上运动,需要分两种情况进行讨论:当点P 在线段OA 上时,当点P 在线段OA 延长线上时,分别根据全等三角形的性质以及线段的和差关系进行推导计算即可.【详解】(1)OE =OF .理由如下:如图1.∵四边形ABCD 是矩形,∴ OA =OC .∵AE BP ⊥,CF BP ⊥,∴90AEO CFO ∠=∠=︒.∵在AOE ∆和COF ∆中,AEO CFO AOE COF OA OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴()AOE COF AAS ∆≅∆,∴ OE =OF ;(2)补全图形如图2,OE =OF 仍然成立.证明如下:延长EO 交CF 于点G .∵AE BP ⊥,CF BP ⊥,∴ AE //CF ,∴EAO GCO ∠=∠.又∵点O 为AC 的中点,∴ AO =CO .在AOE ∆和COG ∆中,EAO GCO AO CO AOE COG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=⎩,∴()AOE COG ASA ∆≅∆,∴ OG =OE ,∴Rt EFG ∆中,12OF EG =,∴ OE =OF ; (3)CF =OE +AE 或CF =OE -AE . 证明如下:①如图2,当点P 在线段OA 上时.∵30OEF ∠=︒,90EFG ∠=︒,∴60OGF ∠=︒,由(2)可得:OF =OG ,∴OGF ∆是等边三角形,∴ FG =OF =OE ,由(2)可得:AOE COG ∆≅∆,∴ CG =AE .又∵ CF =GF +CG ,∴ CF =OE +AE ;②如图3,当点P 在线段OA 延长线上时.∵30OEF ∠=︒,90EFG ∠=︒,∴60OGF ∠=︒,同理可得:OGF ∆是等边三角形,∴ FG =OF =OE ,同理可得:AOE COG ∆≅∆,∴ CG =AE .又∵ CF =GF -CG ,∴ CF =OE -AE .【点睛】本题属于四边形综合题,主要考查了矩形的性质、全等三角形的性质和判定以及等边三角形的性质和判定,解决问题的关键是构建全等三角形和证明三角形全等,利用矩形的对角线互相平分得全等的边相等的条件,根据线段的和差关系使问题得以解决.6.猜想与证明:如图1,摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF,使B、C、G三点在一条直线上,CE在边CD上,连接AF,若M为AF的中点,连接DM、ME,试猜想DM与ME的关系,并证明你的结论.拓展与延伸:(1)若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF,其他条件不变,则DM和ME的关系为.(2)如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF,使点F在边CD上,点M仍为AF 的中点,试证明(1)中的结论仍然成立.【答案】猜想:DM=ME,证明见解析;(2)成立,证明见解析.【解析】试题分析:延长EM交AD于点H,根据ABCD和CEFG为矩形得到AD∥EF,得到△FME和△AMH全等,得到HM=EM,根据Rt△HDE得到HM=DE,则可以得到答案;(1)、延长EM交AD于点H,根据ABCD和CEFG为矩形得到AD∥EF,得到△FME和△AMH全等,得到HM=EM,根据Rt△HDE得到HM=DE,则可以得到答案;(2)、连接AE,根据正方形的性质得出∠FCE=45°,∠FCA=45°,根据RT△ADF中AM=MF得出DM=AM=MF,根据RT△AEF中AM=MF得出AM=MF=ME,从而说明DM=ME.试题解析:如图1,延长EM交AD于点H,∵四边形ABCD和CEFG是矩形,∴AD∥EF,∴∠EFM=∠HAM,又∵∠FME=∠AMH,FM=AM,在△FME和△AMH中,∴△FME≌△AMH(ASA)∴HM=EM,在RT△HDE中,HM=DE,∴DM=HM=ME,∴DM=ME.(1)、如图1,延长EM交AD于点H,∵四边形ABCD和CEFG是矩形,∴AD∥EF,∴∠EFM=∠HAM,又∵∠FME=∠AMH,FM=AM,在△FME和△AMH中,∴△FME≌△AMH(ASA)∴HM=EM,在RT△HDE中,HM=EM∴DM=HM=ME,∴DM=ME,(2)、如图2,连接AE,∵四边形ABCD和ECGF是正方形,∴∠FCE=45°,∠FCA=45°,∴AE和EC在同一条直线上,在RT△ADF中,AM=MF,∴DM=AM=MF,在RT△AEF中,AM=MF,∴AM=MF=ME,∴DM=ME.考点:(1)、三角形全等的性质;(2)、矩形的性质.7.如图,在正方形ABCD中,点G在对角线BD上(不与点B,D重合),GE⊥DC于点E,GF⊥BC于点F,连结AG.(1)写出线段AG,GE,GF长度之间的数量关系,并说明理由;(2)若正方形ABCD的边长为1,∠AGF=105°,求线段BG的长.【答案】(1)AG2=GE2+GF2(2)【解析】试题分析:(1)结论:AG2=GE2+GF2.只要证明GA=GC,四边形EGFC是矩形,推出GE=CF,在Rt△GFC中,利用勾股定理即可证明;(2)作BN⊥AG于N,在BN上截取一点M,使得AM=BM.设AN=x.易证AM=BM=2x,MN=x,在Rt△ABN中,根据AB2=AN2+BN2,可得1=x2+(2x+x)2,解得x=,推出BN=,再根据BG=BN÷cos30°即可解决问题.试题解析:(1)结论:AG2=GE2+GF2.理由:连接CG.∵四边形ABCD是正方形,∴A、C关于对角线BD对称,∵点G在BD上,∴GA=GC,∵GE⊥DC于点E,GF⊥BC于点F,∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°,∴四边形EGFC是矩形,∴CF=GE,在Rt△GFC中,∵CG2=GF2+CF2,∴AG2=GF2+GE2.(2)作BN⊥AG于N,在BN上截取一点M,使得AM=BM.设AN=x.∵∠AGF=105°,∠FBG=∠FGB=∠ABG=45°,∴∠AGB=60°,∠GBN=30°,∠ABM=∠MAB=15°,∴∠AMN=30°,∴AM=BM=2x,MN=x,在Rt△ABN中,∵AB2=AN2+BN2,∴1=x2+(2x+x)2,解得x=,∴BN=,∴BG=BN÷cos30°=.考点:1、正方形的性质,2、矩形的判定和性质,3、勾股定理,4、直角三角形30度的性质8.如图1所示,(1)在正三角形ABC中,M是BC边(不含端点B、C)上任意一点,P 是BC延长线上一点,N是∠ACP的平分线上一点,若∠AMN=60°,求证:AM=MN.(2)若将(1)中“正三角形ABC”改为“正方形ABCD”,N是∠DCP的平分线上一点,若∠AMN=90°,则AM=MN是否成立?若成立,请证明;若不成立,说明理由.(3)若将(2)中的“正方形ABCD”改为“正n边形A1A2…A n“,其它条件不变,请你猜想:当∠A n﹣2MN=_____°时,结论A n﹣2M=MN仍然成立.(不要求证明)【答案】0 (2)180 nn【解析】分析:(1)要证明AM=MN,可证AM与MN所在的三角形全等,为此,可在AB上取一点E,使AE=CM,连接ME,利用ASA即可证明△AEM≌△MCN,然后根据全等三角形的对应边成比例得出AM=MN.(2)同(1),要证明AM=MN,可证AM与MN所在的三角形全等,为此,可在AB上取一点E,使AE=CM,连接ME,利用ASA即可证明△AEM≌△MCN,然后根据全等三角形的对应边成比例得出AM=MN.详(1)证明:在边AB上截取AE=MC,连接ME.在正△ABC中,∠B=∠BCA=60°,AB=BC.∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAE,BE=AB-AE=BC-MC=BM,∴∠BEM=60°,∴∠AEM=120°.∵N是∠ACP的平分线上一点,∴∠ACN=60°,∴∠MCN=120°.在△AEM与△MCN中,∠MAE=∠NMC,AE=MC,∠AEM=∠MCN,∴△AEM≌△MCN(ASA),∴AM=MN.(2)解:结论成立;理由:在边AB上截取AE=MC,连接ME.∵正方形ABCD中,∠B=∠BCD=90°,AB=BC.∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAB=∠MAE,BE=AB-AE=BC-MC=BM,∴∠BEM=45°,∴∠AEM=135°.∵N是∠DCP的平分线上一点,∴∠NCP=45°,∴∠MCN=135°.在△AEM与△MCN中,∠MAE=∠NMC,AE=MC,∠AEM=∠MCN,∴△AEM≌△MCN(ASA),∴AM=MN.(3)由(1)(2)可知当∠A n-2MN等于n边形的内角时,结论A n-2M=MN仍然成立;即∠A n-2MN=()02180nn-时,结论A n-2M=MN仍然成立;故答案为[()02180nn-].点睛:本题综合考查了正方形、等边三角形的性质及全等三角形的判定,同时考查了学生的归纳能力及分析、解决问题的能力.难度较大.9.如图1,在菱形ABCD中,ABC=60°,若点E在AB的延长线上,EF∥AD,EF=BE,点P 是DE的中点,连接FP并延长交AD于点G.(1)过D作DH AB,垂足为H,若DH=,BE=AB,求DG的长;(2)连接CP,求证:CP FP;(3)如图2,在菱形ABCD中,ABC=60°,若点E在CB的延长线上运动,点F在AB的延长线上运动,且BE=BF,连接DE,点P为DE的中点,连接FP、CP,那么第(2)问的结论成立吗?若成立,求出的值;若不成立,请说明理由.【答案】(1)1;(2)见解析;(3).【解析】试题分析:(1)根据菱形得出DA∥BC,CD=CB,∠CDG=∠CBA=60°,则∠DAH=∠ABC=60°,根据DH⊥AB得出∠DHA=90°,根据Rt△ADH的正弦值得出AD的长度,然后得出BE的长度,然后证明△PDG≌△PEF,得出DG=EF,根据EF∥AD,AD∥BC 得出EF∥BC,则说明△BEF为正三角形,从而得出DG的长度;(2)连接CG、CF,根据△PDG≌△PEF得出PG=PF,然后证明△CDG≌△CBF,从而得到CG=CF,根据PG=PF得出垂直;(3)过D作EF的平行线,交FP延长于点G,连接CG、CF证△PEF≌△PDG,然后证明△CDG≌△CBF,从而得出∠GCE=120°,根据Rt△CPF求出比值.试题解析:(1)解:∵四边形ABCD为菱形∴DA∥BC CD="CB" ∠CDG=∠CBA=60°∴∠DAH=∠ABC=60°∵DH⊥AB ∴∠DHA=90°在Rt△ADH中 sin∠DAH=∴AD=∴BE=AB=×4=1 ∵EF∥AD ∴∠PDG=∠PEB ∵P为DE的中点∴PD=PE∵∠DPG=∠EPF ∴△PDG≌△PEF ∴DG=EF ∵EF∥AD AD∥BC ∴EF∥BC∴∠FEB=∠CBA=60°∵BE=EF ∴△BEF为正三角形∴EF=BE=1 ∴DG=EF=1、证明:连接CG、CF由(1)知△PDG≌△PEF ∴PG=PF在△CDG与△CBF中易证:∠CDG=∠CBF=60° CD=CB BF=EF=DG ∴△CDG≌△CBF∴CG=CF ∵PG=PF ∴CP⊥GF(3)如图:CP⊥GF仍成立理由如下:过D作EF的平行线,交FP延长于点G连接CG、CF证△PEF≌△PDG ∴DG=EF=BF ∵DG∥EF ∴∠GDP=∠EFP ∵DA∥BC∴∠ADP=∠PEC∴∠GDP-∠ADP=∠EFP-∠PEC ∴∠GDA=∠BEF=60°∴∠CDG=∠ADC+∠GDA=120°∵∠CBF=180°-∠EBF=120°∴∠CBF=∠CDG ∵CD=BC DG=BF ∴△CDG≌△CBF∴CG=CF ∠DCG=∠FCE ∵PG=PF ∴CP⊥PF ∠GCP=∠FCP∵∠DCP=180-∠ABC=120°∴∠DCG+∠GCE=120°∴∠FCE+∠GCE=120°即∠GCE=120°∴∠FCP=∠GCE=60°在Rt△CPF中 tan∠FCP=tan60°==考点:三角形全等的证明与性质.10.(本题满分10分)如图1,已知矩形纸片ABCD中,AB=6cm,若将该纸片沿着过点B的直线折叠(折痕为BM),点A恰好落在CD边的中点P处.(1)求矩形ABCD的边AD的长.(2)若P为CD边上的一个动点,折叠纸片,使得A与P重合,折痕为MN,其中M在边AD上,N在边BC上,如图2所示.设DP=x cm,DM=y cm,试求y与x的函数关系式,并指出自变量x的取值范围.(3)①当折痕MN的端点N在AB上时,求当△PCN为等腰三角形时x的值;②当折痕MN的端点M在CD上时,设折叠后重叠部分的面积为S,试求S与x之间的函数关系式【答案】(1)AD=3;(2)y=-其中,0<x<3;(3)x=;(4)S=.【解析】试题分析:(1)根据折叠图形的性质和勾股定理求出AD的长度;(2)根据折叠图形的性质以及Rt△MPD的勾股定理求出函数关系式;(3)过点N作NQ⊥CD,根据Rt△NPQ 的勾股定理进行求解;(4)根据Rt△ADM的勾股定理求出MP与x的函数关系式,然后得出函数关系式.试题解析:(1)根据折叠可得BP=AB=6cm CP=3cm 根据Rt△PBC的勾股定理可得:AD=3.(2)由折叠可知AM=MP,在Rt△MPD中,∴∴y=-其中,0<x<3.(3)当点N在AB上,x≥3,∴PC≤3,而PN≥3,NC≥3.∴△PCN为等腰三角形,只可能NC=NP.过N点作NQ⊥CD,垂足为Q,在Rt△NPQ中,∴解得x=.(4)当点M在CD上时,N在AB上,可得四边形ANPM为菱形.设MP=y,在Rt△ADM中,,即∴ y=.∴ S=考点:函数的性质、勾股定理.。

中考数学真题分类汇编及解析(二十七)平行四边形

中考数学真题分类汇编及解析(二十七)平行四边形

(2022•广东中考)如图,在▱ABCD 中,一定正确的是( )A .AD =CDB .AC =BD C .AB =CD D .CD =BC【解析】选C .因为四边形ABCD 是平行四边形,所以AB =CD 。

(2022•舟山中考)如图,在△ABC 中,AB =AC =8.点E ,F ,G 分别在边AB ,BC ,AC 上,EF ∥AC ,GF ∥AB ,则四边形AEFG 的周长是( )A .32B .24C .16D .8【解析】选C .因为EF ∥AC ,GF ∥AB ,所以四边形AEFG 是平行四边形,∠B =∠GFC ,∠C =∠EFB ,因为AB =AC ,所以∠B =∠C ,所以∠B =∠EFB ,∠GFC =∠C ,所以EB =EF ,FG =GC ,因为四边形AEFG 的周长是AE +EF +FG +AG ,所以四边形AEFG 的周长是AE +EB +GC +AG =AB +AC ,因为AB =AC =8,所以四边形AEFG 的周长是AG +AC =8+8=16。

(2022•泰安中考)如图,平行四边形ABCD 的对角线AC ,BD 相交于点O ,点E 为BC 的中点,连接EO 并延长交AD 于点F ,∠ABC =60°,BC =2AB .下列结论:①AB ⊥AC ;②AD =4OE ;③四边形AECF 是菱形;④S △BOE =14S △ABC ,其中正确结论的个数是( )A .4B .3C .2D .1【解析】选A .因为点E 为BC 的中点,所以BC =2BE =2CE ,又因为BC =2AB ,所以AB =BE ,因为∠ABC =60°,所以△ABE 是等边三角形,所以∠BAE =∠BEA =60°,(2022•达州中考)如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,BC边的中点,点F在DE的延长线上.添加一个条件,使得四边形ADFC为平行四边形,则这个条件可以是()A.∠B=∠F B.DE=EF C.AC=CF D.AD=CF【解析】选B.因为D,E分别是AB,BC的中点,所以DE是△ABC的中位线,所以DE∥AC,DE=12 AC,A、当∠B=∠F,不能判定AD∥CF,即不能判定四边形ADFC为平行四边形,故本选项不符合题意;B、因为DE=EF,所以DE=12DF,所以AC=DF,因为AC∥DF,所以四边形ADFC为平行四边形,故本选项符合题意;C、根据AC=CF,不能判定AC=DF,即不能判定四边形ADFC为平行四边形,故本选项不符合题意;(2022•宜宾中考)如图,在△ABC 中,AB =AC =5,D 是BC 上的点,DE ∥AB 交AC 于点E ,DF ∥AC 交AB 于点F ,那么四边形AEDF 的周长是( )A .5B .10C .15D .20【解析】选B .因为DE ∥AB ,DF ∥AC ,所以四边形AFDE 是平行四边形,∠B =∠EDC ,∠FDB =∠C因为AB =AC ,所以∠B =∠C ,所以∠B =∠FDB ,∠C =∠EDF ,所以BF =FD ,DE =EC ,所以C ▱AFDE =AB +AC =5+5=10。

中考数学真题分类汇编套专题三十四·矩形菱形正方形

中考数学真题分类汇编套专题三十四·矩形菱形正方形

一、选择题1.2010江苏苏州如图,在菱形ABCD 中,DE ⊥AB,3cos 5A =,BE=2,则tan ∠DBE 的值是 A .12B .2C .52D .55答案B2.2010湖南怀化如图2,在菱形ABCD 中, 对角线AC=4,∠BAD=120°, 则菱形ABCD 的周长为A .20B .18C .16D .15 答案C3.2010安徽芜湖下列命题中是真命题的是A .对角线互相垂直且相等的四边形是正方形B .有两边和一角对应相等的两个三角形全等C .两条对角线相等的平行四边形是矩形D .两边相等的平行四边形是菱形 答案C4.2010甘肃兰州如图所示,菱形ABCD 的周长为20cm ,DE ⊥AB,垂足为E,sin A=53,则下列结论正确的个数有①cm DE 3= ②cm BE 1= ③菱形的面积为215cm ④cm BD 102= A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个答案C5.2010江苏南通 如图,菱形ABCD 中,AB = 5,∠BCD = 120°,则对角线AC 的长是A .20B .15C .10D .5答案D6.2010江苏盐城如图所示,在菱形ABCD 中,两条对角线AC =6,BD =8,则此菱形 的边长为 A .5B .6C .8D .10答案A7.2010 浙江省温州下列命题中,属于假命题的是▲A .三角形三个内角的和等于l80°B .两直线平行,同位角相等C .矩形的对角线相等D .相等的角是对顶角. 答案D8.2010 浙江省温州如图,AC ;BD 是矩形ABCD 的对角线,过点D 作DE //AC 交BC 的延长线于E,则图中-与AABC 全等的 三角形共有.▲A .1个B .2个C .3个D .4个答案D9.2010 浙江义乌下列说法不正确...的是 ▲ A .一组邻边相等的矩形是正方形 B .对角线相等的菱形是正方形 C .对角线互相垂直的矩形是正方形 D .有一个角是直角的平行四边形是正方形答案D10.2010 重庆已知:如图,在正方形ABCD 外取一点E ,连接AE ,BE ,DE .过点A 作AE 的垂线交ED 于点P .若1AE AP ==, 5PB =.下列结论:①△APD ≌△AEB ;②点B 到直线AE 2; ③EB ED ⊥;④16APD APB S S ∆∆+=46ABCD S =+正方形ABCD第6题BACD第8题其中正确结论的序号是A .①③④B .①②⑤C .③④⑤D .①③⑤ 答案D11.2010山东聊城如图,点P 是矩形ABCD 的边AD 的一个动点,矩形的两条边AB 、BC 的长分别为3和4,那么点P到矩形的两条对角线AC 和BD 的距离之和是A .125B .65C .245D .不确定答案A12.2010 福建晋江如图,将一张正方形纸片剪成四个小正方形,得到4个小正方形,称为第一次操作;然后,将其中的一个正方形再剪成四个小正方形,共得到7个小正方形,称为第二次操作;再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形,共得到10个小正方形,称为第三次操作;...,根据以上操作,若要得到2011个小正方形,则需要操作的次数是 .A. 669B. 670 D. 672答案B13.2010 山东济南 如图所示,两个全等菱形的边长为1厘米,一只蚂蚁由A 点开始按ABCDEFCGA 的顺序沿菱形的边循环运动,行走2010厘米后停下,则这只蚂蚁停在 点.答案C14.2010 江苏连云港如图,四边形ABCD 的对角线AC 、BD 互相垂直,则下列条件能判定四边形ABCD 为菱形的是CAFDB G第7题图10题图A PEDCBA .BA =BCB .AC 、BD 互相平分 C .AC =BD D .AB ∥CD 答案B15.2010福建宁德如图所示,如果将矩形纸沿虚线①对折后,沿虚线②剪开,剪出一个 直角三角形,展开后得到一个等腰三角形.则展开后三角形的周长是 . A .2+10 B .2+210 C .12 D .18 答案B16.2010江西如图,已知矩形纸片ABCD,点E 是AB 的中点,点G 是BC 上的一点,∠BEG>60°,现沿直线EG 将纸片折叠,使点B 落在纸片上的点H 处,连接AH,则与∠BEG 相等的角的个数为 A .4 B .3 C .2 D .1答案B17.2010 山东滨州 如图,把一个长方形纸片对折两次,然后剪下一个角.为了得到一个正方形,剪刀与折痕所成的角的度数应为° ° °° 答案C18.2010山东潍坊如图,已知矩形ABCD ,一条直线将该矩形ABCD 分割成两个多边形含三角形,若这两个多边形的内角和分别为M 和N ,则M +N 不可能是 .BAG CDHE第8题图B C D第7题① ② 3 4答案D19.2010北京若菱形两条对角线的长分别为6和8,则这个菱形的周长为A.20 B.16 C.12 D. 10答案A20.2010 浙江省温州下列命题中,属于假命题的是▲A.三角形三个内角的和等于l80° B.两直线平行,同位角相等C.矩形的对角线相等 D.相等的角是对顶角.答案D21.2010 浙江义乌下列说法不正确...的是▲A.一组邻边相等的矩形是正方形B.对角线相等的菱形是正方形C.对角线互相垂直的矩形是正方形D.有一个角是直角的平行四边形是正方形答案D22.2010陕西西安若一个菱形的边长为2,则这个菱形两条对角线长的平方和为A.16 B.8 C.4 D.1答案A23.2010江西省南昌如图,已知矩形纸片ABCD,点E是AB的中点,点G是BC上的一点,︒BEG,现沿直线EG将纸片折叠,使点B落在约片上的点H处,∠60>∠相等的角的个数为连接AH,则与BEGB. 3C.2第10题答案B24.2010湖北襄樊下列命题中,真命题有1邻补角的平分线互相垂直2对角线互相垂直平分的四边形是正方形3四边形的外角和等于360°4矩形的两条对角线相等A.1个B.2个C.3个D.4个答案C25.2010湖北襄樊菱形的周长为8cm,高为1cm,则菱形两邻角度数比为A.3:1 B.4:1 C.5:1 D.6:1答案C26.2010 四川泸州如图1,四边形ABCD是正方形,E是边CD上一点,若△AFB经过逆时针旋转角θ后与△AED重合,则θ的取值可能为A.90°B.60°C.45°D.30°答案A27.2010 山东淄博如图所示,把一长方形纸片沿MN折叠后,点D,C分别落在D′,C′的位置.若∠AMD′=36°,则∠NFD ′等于A144° B126°C108° D72° 答案B28.2010 天津下列命题中正确的是A 对角线相等的四边形是菱形B 对角线互相垂直的四边形是菱形C 对角线相等的平行四边形是菱形D 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 答案D29.2010 湖南湘潭下列说法中,你认为正确的是A .四边形具有稳定性B .等边三角形是中心对称图形C .任意多边形的外角和是360oD .矩形的对角线一定互相垂直答案C30.2010 福建泉州南安已知四边形ABCD 中,90A B C ===∠∠∠,如果添加 一个条件,即可推出该四边形是正方形,那么这个条件可以是 . A .90D =∠ B .AB CD = C .AD BC = D .BC CD = 答案D31.2010 四川自贡边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°得到正方形AB ′C ′D ′,两图叠成一个“蝶形风筝”如图所示阴影部分,则这个风筝的面积是 ;A .2-33B .332 C .2-43D .2答案A32.2010 山东荷泽如图,矩形纸片ABCD 中,AB =4,AD =3,折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合,折痕为DG ,记与点A重合点为A ',则△A 'B G 的面积与该矩形的面积比为BCD ′NF 第10题A .121 B .91C .81D .61答案C33.2010 山东荷泽 如图,菱形ABCD 中,∠B =60°,AB =2㎝,E 、F 分别是BC 、CD 的中点,连结AE 、EF 、AF ,则△AEF 的周长为A .32㎝B .33㎝C .34㎝D .3㎝答案B34.2010青海西宁 矩形ABCD 中,E 、F 、M 为AB 、BC 、CD 边上的点,且AB=6,BC=7,AE=3,DM=2,EF⊥FM,则EM 的长为 A .5 B .25 C .6 D .26答案B35.2010广西南宁正方形ABCD 、正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图所示,点G 在线段DK 上,正方形BEFG 的边长为4,则DEK ∆ 的面积为:A10 B12 C14 D16答案D36.2010广东茂名如图,边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转45度后得到正方形'''D C AB ,边''C B 与DC 交于点O,则四边形OD AB '的周长..是 A .22 B .3 C .2 D .21+8题图ABC DEFA BCDGA '答案A37.2010广西柳州如图4,在正方形ABCD 的外侧作等边△ADE ,则∠AEB 的度数为 A .10° B .° C .15° D .20°答案C38.2010广西柳州如图6,四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片,将其沿MN 折叠,使点B 落在CD 边上的B '处,点A对应点为A ',且C B '=3,则AM 的长是A .B .2C .D .答案B39.2010湖北宜昌如图,菱形ABCD 中,AB=15,120ADC ∠=°,则B 、D 两点之间的距离为 ; 40.2010广西河池如图5是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的 正方形图案,已知大正方形面积为49,小正方形面积为4,若用x ,y 表示直角三角形的两直角边x y >,下列四个说法:①2249x y +=,②2x y -=,③2449xy +=,④9x y +=. 其中说法正确的是A .①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④A BCDMNA 'B '图6第10题图OC 'B 'D D答案B41.2010广东肇庆菱形的周长为4,一个内角为60°,则较短的对角线长为A .2B .错误!C .1D .错误! 答案C42.2010吉林如图,在矩形ABCD 中,AB=12cm,BC=6cm,点E 、F 分别在AB 、CD 上,将矩形ABCD 沿EF 折叠,使点A 、D 分别落在矩形ABCD 外部的点A’,D’处,则整个阴影部分图形的周长..为 A .18cmB .36cmC .40cmD .72cm答案BB.15323答案A二、填空题1.2010江苏盐城小明尝试着将矩形纸片ABCD 如图①,AD >CD 沿过A 点的直线折叠,使得B 点落在AD 边上的点F 处,折痕为AE 如图②;再沿过D 点的直线折叠,使得C 点落在DA 边上的点N 处,E 点落在AE 边上的点M 处,折痕为DG 如图③.如果第二次折叠后,M 点正好在∠NDG 的平分线上,那么矩形ABCD 长与宽的比值为 ▲ .答案错误!2.2010山东威海从边长为a 的大正方形纸板中间挖去一个边长为b 的小正方形后,将其截成四个相同的等腰梯形﹙如图①﹚,可以拼成一个平行四边形﹙如图②﹚.现有一平行四边形纸片ABCD ﹙如图③﹚,已知∠A =45°,AB =6,AD =4.若将该纸片按图②方式截成四个相同的等腰梯形,然后按图①方式拼图,则得到的大正方形的面积为 .yx图5A第13题A BCDABDF① ②B C G MN ③答案2611+.3.2010浙江嘉兴如图,已知菱形ABCD 的一个内角︒=∠80BAD ,对角线AC 、BD 相交于点O ,点E 在AB 上,且BO BE =,则EOA ∠= ▲ 度.答案254.2010年上海已知正方形ABCD 中,点E 在边DC 上,DE = 2,EC = 1如图4所示 把线段AE 绕点A 旋转,使点E 落在直线BC 上的点F 处,则F 、C 两点的距离为___________.E DCBAFF答案CF=1或55.2010山东青岛把一张矩形纸片矩形ABCD 按如图方式折叠,使顶点B 和点D 重合,折痕为EF .若AB = 3 cm,BC =5 cm,则重叠部分△DEF 的面积是 cm 2.答案6.2010 福建德化已知菱形的两对角线长分别为6㎝和8㎝,则菱形的面积为 ㎝2.答案247.2010湖南邵阳如图九在等腰梯形ABCD 中,AB ∥DC ,AD=BC=CD ,点E 为AB 上一点,连结CE ,请添加一个你认为合适的条件 ,使四边形AECD 为菱形.图4第15题D图 ② 图 ①a A图 ③BC第18题图A BCFE 'A 第13题图 'B DAE DCB图九答案AE =CD 或AD ∥CE 或CE=BC 或∠CEB =∠B 的任意一个都可8.2010山东临沂 正方形ABCD 的边长为a ,点E 、F 分别是对角线BD 上的两点,过点E 、F 分别作AD 、AB 的平行线,如图所示,则图中阴影部分的面积之和等于 .答案212a9.2010四川宜宾如图,点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点,PE ⊥BC 于点E ,PF ⊥CD 于点F ,连接EF 给出下列五个结论:①AP =EF ;②AP ⊥EF ;③△APD 一定是等腰三角形;④∠PFE =∠BAP ;⑤PD = 错误!EC .其中正确结论的序号是 .答案①、②、④、⑤.10.2010 江苏连云港矩形纸片ABCD 中,AB =3,AD =4,将纸片折叠,使点B 落在边CD 上的B ’处,折痕为AE .在折痕AE 上存在一点P 到边CD 的距离与到点B 的距离相等,则此相等距离为________. 答案11.2010 黄冈如图矩形纸片ABCD,AB =5cm,BC =10cm,CD 上有一点E,ED =2cm,AD 上有一点P,PD =3cm,过P 作PF ⊥AD 交BC 于F,将纸片折叠,使P 点与E 点重合,折痕与PF 交于Q 点,则PQ 的长是____________cm.第18题 A BCB ’ D E P A BCD EF MN Q P第18题图答案3412.2010 河北把三张大小相同的正方形卡片A,B,C 叠放在一个底面为正方形的盒底上,底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示.若按图10-1摆放时,阴影部分的面积为S 1;若按图10-2摆放时,阴影部分的面积为S 2,则S 1 S 2填“>”、“<”或“=”.答案=13.2010 山东省德州在四边形ABCD 中,点E ,F ,G ,H 分别是边AB ,BC ,CD ,DA 的中点,如果四边形EFGH 为菱形,那么四边形ABCD 是 只要写出一种即可.答案答案不唯一:只要是对角线相等的四边形均符合要求.如:正方形、矩形、等腰梯形等. 14.2010 广东珠海如图,P 是菱形ABCD 对角线BD 上一点,PE ⊥AB 于点E,PE =4cm, 则点P 到BC 的距离是_____cm.答案415.2010 四川巴中如图5所示,已知□ABCD,下列条件:①AC=BD,②AB=AD,③∠1=∠2,④AB ⊥BC 中,能说明□ABCD 是矩形的有填写番号;答案①④ 16.2010江苏淮安已知菱形ABCD 中,对角线AC=8cm,BD=6cm,在菱形内部包括边界任取一点P,使△A CP 的面积大于6cm 2的概率为 .21DCBA图5图10-1 ACBCBA图10-2答案1417.2010 湖南株洲如图,四边形ABCD 是菱形,对角线AC 和BD 相交于点O ,4AC cm =,8BD cm =,则这个菱形的面积是 2cm .答案1618.2010广东中山如图1,已知小正方形ABCD 的面积为1,把它的各边延长一倍得到新正方形1111D C B A ;把正方形1111D C B A 边长按原法延长一倍得到正方形2222D C B A 如图2;以此下去,则正方形n n n n D C B A 的面积为 .答案62519.2010江苏苏州如图,四边形ABCD 是正方形,延长AB 到E, 使AE=AC,则∠BCE 的度数是 ▲ °. 答案20.2010湖北恩施自治州如图,在矩形ABCD 中,AD =4,DC =3,将△ADC 按逆时针方向绕点A 旋转到△AEF 点A 、B 、E 在同一直线上,连结CF ,则CF = .答案5221.2010山东泰安如图,将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠,使D 点与BC 边的中点D /重合,若BC=8,CD=6,则CF= .O DCBA第14题图答案35 22.2010云南楚雄如图,在□ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O ,在不添加任何辅助线和字母的情况下,请添加一个条件,使得□ABCD 变为矩形,需要添加的条件是 .写出一个即可答案AC =BD 或∠ABC =90°等.23.2010湖北随州如图矩形纸片ABCD,AB =5cm,BC =10cm,CD 上有一点E,ED =2cm,AD 上有一点P,PD =3cm,过P 作PF ⊥AD 交BC 于F,将纸片折叠,使P 点与E 点重合,折痕与PF 交于Q 点,则PQ 的长是____________cm.答案3424.2010黑龙江哈尔滨如图,将矩形纸片ABCD 折叠,使点D 与点B 重合,点C 落在点C '处,折痕为EF,若20=∠ABE ,那么C EF '∠的度数为 度;答案12525.2010广东东莞如图⑴,已知小正方形ABCD 的面积为1,把它的各边延长一倍得到新正方形A 1B 1C 1D 1;把正方形A 1B 1C 1D 1边长按原法延长一倍后得到正方形A 2B 2C 2D 2如图⑵;以此下去…,则正方形A 4B 4C 4D 4的面积为 .ADO答案62526.2010 四川绵阳已知菱形ABCD 的两条对角线相交于点O ,若AB = 6,∠BDC = 30,则菱形的面积为 . 答案18327.2010 广东汕头如图1,已知小正方形ABCD 的面积为1,把它的各边延长一倍得到新正方形A 1B 1C 1D 1;把正方形A 1B 1C 1D 1边长按原法延长一倍得到正方形A 2B 2C 2D 2如图2;以此下去···,则正方形A 4B 4C 4D 4的面积为__________答案62528.2010 山东淄博在一块长为8、宽为32的矩形中,恰好截出三块形状相同、大小不等的直角三角形,且三角形的顶点都在矩形的边上.其中面积最小的直角三角形的较短直角边的长是 .答案229.2010 天津如图,已知正方形ABCD 的边长为3,E 为CD 边上一点,1DE =.以点A 为中心,把△ADE 顺时针旋转90︒,得△ABE ',连接EE ',则EE '的长等于 .第13题图1 1B 1C 1D 1A BC D D 2A 2B 2C 2D 1C 1B 1A 1A BC D 第13题图2ABC D A 1B 1C 1D 1第10题图1CDA 1B 1C 1D 1 A BA 2B 2C 2D 2第10题图2答案2530.2010 甘肃如图,在ABC △中,点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上,且DE CA ∥,DF BA ∥.下列四种说法: ①四边形AEDF 是平行四边形;②如果90BAC ∠=,那么四边形AEDF 是矩形; ③如果AD 平分BAC ∠,那么四边形AEDF 是菱形;④如果AD BC ⊥且AB AC =,那么四边形AEDF 是菱形. 其中,正确的有 .只填写序号答案①②③④31.2010 福建泉州南安如图,大正方形网格是由25个边长为1的小正方形组成, 把图中阴影部分剪下来,用剪下来的阴影部分拼成一个正方形, 那么新正方形的边长是 .答案532.2010广西梧州如图3,边长为6的正方形ABCD 绕点B 按顺时针方向旋转30°后得到正方形EB G F ,E F 交CD 于点H ,则F H 的长为______结果保留根号;图3ABCDFE HG第16题图 A FCDBE 第18题图第14题AE ' C答案6-2333.2010广西河池如图2,矩形ABCD 中,AB =8cm,BC =4cm,E 是DC 的 中点,BF =41BC ,则四边形DBFE 的面积为 2cm .答案1034.2010贵州铜仁已知菱形的两条对角线的长分别为5和6,则它的面积是________. 答案1535.2010云南曲靖如图,活动衣帽架由三个菱形组成,利用四边形的不稳定性,调整菱形的内角α,使衣帽架拉伸或收缩,当菱形的边长为18cm,α=1200时,A 、B 两点的距离为 cm.答案5436.2010黑龙江绥化如图所示,E 、F 是矩形ABCD 对角线AC 上的两点,试添加一个条件: ,使得△ADF ≌△CBE .答案AF=CE 或AE=CF 或DF ∥BE 或∠ABE=∠CDF 等37.2010黑龙江绥化如图,在平面直角坐标系中,边长为1的正方形OA 1B 1C 的对角线 A 1C 和OB 1交于点M 1;以M 1A 1为对角线作第二个正方形A 2A 1B 2M 1,对角线A 1M 1和A 2B 2交于点M 2;以M 2A 1为对角线作第三个正方形A 3A 1B 3M 2,对角线A 1M 2和A 3B 3交于点M 3;……依此类推,这样作的第n 个正方形对角线交点M n 的坐标为 .答案111,22nn ⎛⎫-⎪⎝⎭38.2010内蒙呼和浩特如图,矩形ABCD 沿着直线BD 折叠,使点C 落在C '处,C B '交AD 于点E ,AD = 8,AB = 4,则DEEB图2的长为 .答案5三、解答题1.2010安徽省中中考如图,AD ∥FE,点B 、C 在AD 上,∠1=∠2,BF =BC ⑴求证:四边形BCEF 是菱形⑵若AB =BC =CD,求证:△ACF ≌△BDE 答案2.10湖南益阳如图7,在菱形ABCD 中,∠A =60°,AB =4,O 为对角线BD 的中点,过O 点作OE ⊥AB ,垂足为E .1 求∠ABD 的度数; 2求线段BE 的长.答案解:⑴ 在菱形ABCD 中,AD AB =,︒=∠60A∴ABD ∆为等边三角形∴︒=∠60ABD ……………………………4分⑵由1可知4==AB BD又∵O 为BD 的中点∴2=OB ……………………………6分 又∵AB OE ⊥,及︒=∠60ABD ∴︒=∠30BOE∴1=BE ……………………………8分D ABO607图3.10湖南益阳我们把对称中心重合,四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”,易知方形环四周的宽度..相等... 一条直线l 与方形环的边线有四个交点M 、'M 、'N 、N .小明在探究线段'MM 与N N ' 的数量关系时,从点'M 、'N 向对边作垂线段E M '、F N ',利用三角形全等、相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题.请你参考小明的思路解答下列问题:⑴当直线l 与方形环的对边相交时如图18-,直线l 分别交AD 、D A ''、C B ''、BC 于M 、'M 、'N 、N ,小明发现'MM 与N N '相等,请你帮他说明理由;⑵当直线l 与方形环的邻边相交时如图28-,l 分别交AD 、D A ''、C D ''、DC 于M 、'M 、'N 、N ,l 与DC 的夹角为α,你认为'MM 与N N '还相等吗若 相等,说明理由;若不相等,求出NN MM ''的值用含α的三角函数表示.答案⑴解: 在方形环中,∵AD BC F N AD E M ,',⊥⊥'∥BC∴NF N M EM FN N EM M F N E M ',90','∠='∠=∠='∠='︒∴△E MM '≌△F NN '∴N N M M '=' ……………………………5分⑵解法一:∵α='∠='∠︒='∠='∠M M E N FN M ME N NF ,90 ∴N NF '∆∽EM M '∆ ……………………………8分∴NFEM N N M M '='' ∵F N E M '='∴αtan ''='=NFFN N N MM 或ααcos sin ……………………………10分 ①当︒=45α时,tan α=1,则N N M M '=' ②当︒≠45α时,N N M M '≠' 则αtan =''N N M M 或ααcos sin ……………………………12分 解法二:在方形环中,︒=∠90D又∵CD F N AD E M ⊥⊥'', ∴E M '∥E M F N DC '=', ∴α=∠='∠NF N E M M ' 在F N N Rt '∆与E M M Rt '∆中,B18-图28-图MM EM N N F N ''='=ααcos ,'sin N N M M E M M M N N F N ''=''⋅'=='cos sin tan ααα 即 αtan =''N N M M 或ααcos sin ……………………………10分 ①当︒=45α时,N N M M '=' ②当︒≠45α时,N N M M '≠' 则αtan =''N N M M 或ααcos sin ……………………………12分 4.2010江苏南京8分如图,正方形ABCD 的边长是2,M 是AD 的中点,点E 从点A 出发,沿AB 运动到点B 停止,连接EM 并延长交射线CD 于点F,过M 作EF 的垂线交射线BC 于点G ,连结EG 、FG;1设AE=x 时,△EGF 的面积为y ,求y 关于x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围; 2P 是MG 的中点,请直接写出点P 的运动路线的长;答案5.2010辽宁丹东市 如图,已知矩形ABCD 中,E 是AD 上的一点,F 是AB 上的一点,EF ⊥EC ,且EF =EC ,DE =4cm,矩形ABCD的周长为32cm,求AE 的长.答案解:在Rt△AEF 和Rt△DEC 中, ∵EF ⊥CE , ∴∠FEC =90°,∴∠AEF +∠DEC =90°,而∠ECD +∠DEC =90°,∴∠AEF =∠ECD . ····················· 3分 又∠FAE =∠EDC =90°.EF =EC ∴Rt△AEF ≌Rt△DCE . ····················· 5分 AE =CD . ····················· 6分 AD =AE +4.∵矩形ABCD 的周长为32 cm, ∴2AE +AE +4=32. ······················· 8分 解得, AE =6 cm . 10分6.2010山东济宁数学课上,李老师出示了这样一道题目:如图1,正方形ABCD 的边长为12,P 为边BC 延长线上的一点,E 为DP 的中点,DP 的垂直平分线交边DC 于M ,交边AB 的延长线于N .当6CP =时,EM 与EN 的比值是多少经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:过E 作直线平行于BC 交DC ,AB 分别于F ,G ,如图2,则可得:DF DEFC EP=,因为DE EP =,所以DF FC =.可求出EF 和EG 的值,进而可求得EM 与EN 的比值.1 请按照小明的思路写出求解过程.2 小东又对此题作了进一步探究,得出了DP MN =的结论.你认为小东的这个结论正确吗如果正确,请给予证明;如果不正确,请说明理由. 答案1解:过E 作直线平行于BC 交DC ,AB 分别于点F ,G ,则DF DE FC EP =,EM EFEN EG=,12GF BC ==. ∵DE EP =,∴DF FC =. ······························································· 2分∴116322EF CP ==⨯=,12315EG GF EF =+=+=. ∴31155EM EF EN EG ===. ································································· 4分 2证明:作MH ∥BC 交AB 于点H , ····························································· 5分则MH CB CD ==,90MHN ∠=︒. ∵1809090DCP ∠=︒-︒=︒, ∴DCP MHN ∠=∠.∵90MNH CMN DME CDP ∠=∠=∠=︒-∠,90DPC CDP ∠=︒-∠, ∴DPC MNH ∠=∠.∴DPC MNH ∆≅∆. ········································ 7分第20题图BCA EDF 第22题∴DP MN =. ··········································································· 8分7.2010山东青岛已知:如图,在正方形ABCD 中,点E 、F 分别在BC 和CD 上,AE = AF .1求证:BE = DF ;2连接AC 交EF 于点O ,延长OC 至点M ,使OM = OA ,连接EM 、FM .判断四边形AEMF 是什么特殊四边形并证明你的结论.答案证明:1∵四边形ABCD 是正方形,∴AB =AD ,∠B = ∠D = 90°. ∵AE = AF ,∴Rt Rt ABE ADF △≌△. ∴BE =DF . ·························· 4分 2四边形AEMF 是菱形.∵四边形ABCD 是正方形,∴∠BCA = ∠DCA = 45°,BC = DC .∵BE =DF ,∴BC -BE = DC -DF . 即CE CF =.∴OE OF =.∵OM = OA ,∴四边形AEMF 是平行四边形. ∵AE = AF ,∴平行四边形AEMF 是菱形. ·························· 8分8.2010山东日照如图,四边形ABCD 是边长为a 的正方形,点G ,E 分别是边AB ,BC 的中点,∠AEF =90o ,且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F . 1证明:∠BAE =∠FEC ; 2证明:△AGE ≌△ECF ; 3求△AEF 的面积.第22题H B CDE M NA PA DB E F O CM 第21题图DCBAOE答案1证明:∵∠AEF =90o ,∴∠FEC +∠AEB =90o .………………………………………1分 在Rt △ABE 中,∠AEB +∠BAE =90o ,∴∠BAE =∠FEC ;……………………………………………3分 2证明:∵G ,E 分别是正方形ABCD 的边AB ,BC 的中点,∴AG=GB=BE=EC ,且∠AGE =180o -45o =135o . 又∵CF 是∠DCH 的平分线,∠ECF =90o +45o =135o .………………………………………4分在△AGE 和△ECF 中,⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠=FEC GAE ECF AGE EC AG o,135, ∴△AGE ≌△ECF ; …………………………………………6分 3解:由△AGE ≌△ECF ,得AE=EF .又∵∠AEF =90o ,∴△AEF 是等腰直角三角形.………………………………7分由AB=a ,BE =21a ,知AE =25a ,∴S △AEF =85a 2.…………………………………………………9分 9.2010四川眉山如图,O 为矩形ABCD 对角线的交点,DE ∥AC ,CE ∥BD .1试判断四边形OCED 的形状,并说明理由; 2若AB =6,BC =8,求四边形OCED 的面积.答案解:1四边形OCED 是菱形.…………2分∵DE ∥AC ,CE ∥BD ,∴四边形OCED 是平行四边形,…………3分 又 在矩形ABCD 中,OC =OD ,∴四边形OCED 是菱形.…………………4分 2连结OE .由菱形OCED 得:CD ⊥OE , …………5分 ∴OE ∥BC 又 CE ∥BD∴四边形BCEO 是平行四边形∴OE =BC =8……………………………………………7分∴S 四边形OCED =11862422OE CD ⋅=⨯⨯=……………8分DCBAOE10.2010浙江宁波如图1,有一张菱形纸片ABCD ,AC =8, BD =6. 1请沿着AC 剪一刀,把它分成两部分,把剪开的两部分拼成一 个平行四边形,在图2中用实线画出你所拼成的平行四边形;若 沿着BD 剪开,请在图3中用实线画出拼成的平行四边形.并直接 写出这两个平行四边形的周长.2沿着一条直线剪开,拼成与上述两种都不全等的平行四边形,请在图4中用实线画出拼成的平行四边形.注:上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等答案 解:11分周长为26 2分3分周长为22 4分 26分注:画法不唯一.11.2010浙江绍兴 1 如图1,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别在边BC ,CD 上,AE ,BF 交于点O ,∠AOF =90°. 求证:BE =CF .第21题图2 图3 图4周长为 ▲ 周长为 ▲图12 如图2,在正方形ABCD 中,点E ,H ,F ,G 分别在边AB ,BC ,CD ,DA 上,EF ,GH 交于点O ,∠FOH =90°, EF =4.求GH 的长.3 已知点E ,H ,F ,G 分别在矩形ABCD 的边AB ,BC ,CD ,DA 上,EF ,GH 交于点O ,∠FOH =90°,EF =4. 直接写出下列两题的答案:①如图3,矩形ABCD 由2个全等的正方形组成,求GH 的长;②如图4,矩形ABCD 由n 个全等的正方形组成,求GH 的长用n 的代数式表示.答案1 证明:如图1,∵ 四边形ABCD 为正方形,∴ AB =BC ,∠ABC =∠BCD =90°, ∴ ∠EAB +∠AEB =90°. ∵ ∠EOB =∠AOF =90°, ∴ ∠FBC +∠AEB =90°,∴ ∠EAB =∠FBC , ∴ △ABE ≌△BCF , ∴ BE =CF . 2 解:如图2,过点A 作第23题图 1第23题图2第23题图3第23题图1第23题图2O ′NMAM 1证明:△AB E ≌△DAF ;2若∠AGB =30°,求EF 的长.答案解:1∵四边形ABCD 是正方形∴AB=AD在△ABE 和△DAF 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠3412DA AB ∴△ABE ≌△DAF -----------------------4分2∵四边形ABCD 是正方形∴∠1+∠4=900∵∠3=∠4∴∠1+∠3=900∴∠AFD=900----------------------------6分 在正方形ABCD 中, AD ∥BC∴∠1=∠AGB=300在Rt △ADF 中,∠AFD=900AD=2∴AF=3 DF =----------------------------8分 由1得△ABE ≌△ADF ∴AE=DF=1∴EF=AF-AE=13- -----------------------------------------10分14.2010山东聊城如图,在等边△ABC 中,点D 是BC 边的中点,以AD 为边作等边△ADE .1求∠CAE 的度数;2取AB 边的中点F ,连结CF 、CE ,试证明四边形AFCE 是矩形.ABDEF 1423题图24答案1在等边△ABC 中,∵点D 是BC 边的中点,∴∠DAC =30o,又∵等边△ADE ,∴∠DAE =60o,∴∠CAE =30o 2在等边△ABC 中,∵F 是AB 边的中点,D 是BC 边的中点,∴CF =AD ,∠CF A =90o,又∵AD =AE ,∴AE =CF ,由1知∠CAE =30o,∴∠EAF =60o+30o =90o,∴∠CF A =∠EAF ,∴CF ∥AE ,∵AE =CF ,∴四边形AFCE 是平行四边形,又∵∠CF A =90o,∴四边形AFCE 是矩形.15.2010湖南长沙在正方形ABCD 中,AC 为对角线,E 为AC 上一点,连接EB 、ED 1求证:△BEC ≌△DEC ;2延长BE 交AD 于F,当∠BED =120°时,求EFD 的度数.答案解:1∵四边形ABCD 是正方形, ∴BC =DC又∵AC 为对角线,E 为AC 上一点, ∴∠BCE =∠DCE =45°. ∵EC =EC,∴△BEC ≌△DECSAS ;2∵△BEC ≌△DEC, ∠BED =120°, ∴∠BEC =∠DEC =60°. ∵∠DAC =45°, ∴∠ADE =15°∴∠EFD =∠BED -∠ADE =120°-15°=105°16.2010浙江金华本题12分如图,把含有30°角的三角板ABO 置入平面直角坐标系中,A ,B 两点坐标分别为3,0和3动点P 从A 点开始沿折线AO-OB-BA 运动,点P 在AO ,OB ,BA 上运动的速度分别为3长度单位/秒﹒一直尺的上边缘l 从x 轴的位置开 始以错误! 长度单位/秒的速度向上平行移动即移动过程中保持l ∥x 轴,且分别与OB , AB 交于E ,F 两点﹒设动点P 与动直线l 同时出发,运动时间为t 秒,当点P 沿折线 AO -OB -BA 运动一周时,直线l 和动点P 同时停止运动. 请解答下列问题:1过A ,B 两点的直线解析式是 ▲ ;2当t ﹦4时,点P 的坐标为 ▲ ;当t ﹦ ▲ ,点P 与点E 重合; 3① 作点P 关于直线EF 的对称点P′. 在运动过程中,若形成的四边形PEP′F 为菱形,则t 的值是多少第22题图F C② 当t ﹦2时,是否存在着点Q ,使得△FEQ ∽△BEP 若存在, 求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.答案解:1333+-=x y ; 20,3,29=t ; 3①当点P 在线段AO 上时,过F 作FG ⊥x 轴,G 为垂足如图1∵FG OE =,FP EP =,∠=EOP ∠=FGP 90° ∴△EOP ≌△FGP ,∴PG OP =﹒又∵t FG OE 33==,∠=A 60°,∴t FG AG 3160tan 0== 而t AP =,∴t OP -=3,t AG AP PG 32=-=由t t 323=-得 59=t ;当点P 在线段OB 上时,形成的是三角形,不存在菱形; 当点P 在线段BA 上时,过P 作PH ⊥EF ,PM ⊥OB ,H 、M 分别为垂足如图2∵t OE 33=,∴t BE 3333-=,∴3360tan 0t BE EF -==∴6921tEF EH MP -===, 又∵)6(2-=t BP 在Rt △BMP 中,MP BP =⋅060cos 即6921)6(2tt -=⋅-,解得745=t .②存在﹒理由如下:图1y∵2=t ,∴332=OE ,2=AP ,1=OP 将△BEP 绕点E 顺时针方向旋转90°,得到 △EC B '如图3∵OB ⊥EF ,∴点B '在直线EF 上, C 点坐标为332,332-1 过F 作FQ ∥C B ',交EC 于点Q ,则△FEQ ∽△EC B '由3=='=QE CE FE E B FE BE ,可得Q 的坐标为-32,33根据对称性可得,Q 关于直线EF 的对称点Q '-32,3也符合条件;17.2010江苏泰州如图,四边形ABCD 是矩形,∠EDC =∠CAB ,∠DEC =90°.1求证:AC ∥DE ;2过点B 作BF ⊥AC 于点F ,连结EF ,试判断四边形BCEF 的形状,并说明理由.答案⑴在矩形ABCD 中,AC ∥DE ,∴∠DCA =∠CAB ,∵∠EDC =∠CAB , ∴∠DCA =∠EDC ,∴AC ∥DE ; ⑵四边形BCEF 是平行四边形.理由:由∠DEC =90°,BF ⊥AC ,可得∠AFB =∠DEC =90°, 又∠EDC =∠CAB ,AB=CD ,∴△DEC ≌△AFB ,∴DE =AF ,由⑴得AC ∥DE ,∴四边形AFED 是平行四边形,∴AD ∥EF 且AD =EF , ∵在矩形ABCD 中,AD ∥BC 且AD =BC , ∴EF ∥BC 且EF =BC ,∴四边形BCEF 是平行四边形. 18.2010江苏无锡1如图1,在正方形ABCD 中,M 是BC 边不含端点B 、C 上任意一点,P 是BC 延长线上一点,N 是∠DCP 的平分线上一点.若∠AMN =90°,求证:AM =MN .下面给出一种证明的思路,你可以按这一思路证明,也可以选择另外的方法证明. 证明:在边AB 上截取AE =MC ,连ME .正方形ABCD 中,∠B =∠BCD =90°,AB =BC . ∴∠NMC =180°—∠AMN —∠AMB =180°—∠B —∠AMB =∠MAB =∠MAE . 下面请你完成余下的证明过程2若将1中的“正方形ABCD ”改为“正三角形ABC ”如图2,N 是∠ACP 的平分线上一点,则当∠AMN =60°时,结论AM=MN 是否还成立请说明理由.3若将1中的“正方形ABCD ”改为“正n 边形ABCD ……X ”,请你作出猜想:当∠AMN = °时,结论AM =MN 仍然成立.直接写出答案,不需要证明答案解:1∵AE=MC ,∴BE=BM , ∴∠BEM=∠EMB=45°, ∴∠AEM =135°,∵CN 平分∠DCP ,∴∠PCN=45°,∴∠AEM=∠MCN=135°在△AEM 和△MCN 中:∵,,=CMN,AEM MCN AE MC EAM ∠=∠=∠∠⎧⎪⎨⎪⎩∴△AEM ≌△MCN ,∴AM=MN2仍然成立.在边AB 上截取AE=MC,连接ME ∵△ABC 是等边三角形, ∴AB=BC ,∠B=∠ACB=60°, ∴∠ACP=120°. ∵AE=MC,∴BE=BM ∴∠BEM=∠EMB=60° ∴∠AEM=120°.∵CN 平分∠ACP ,∴∠PCN =60°, ∴∠AEM =∠MCN =120°∵∠CMN=180°—∠AMN —∠AMB =180°—∠B —∠AMB=∠BAM ∴△AEM ≌△MCN,∴AM=MN3(2)180n n-︒19.2010山东临沂如图1,已知矩形ABCD ,点C 是边DE 的中点,且2AB AD =. 1判断ABC ∆的形状,并说明理由;2保持图1中的ABC ∆固定不变,绕点C 旋转DE 所在的直线MN 到图2中的位置当垂线段AD 、BE 在直线MN 的同侧.试探究线段AD 、BE 、DE 长度之间有什么关系并给予证明;3保持图2 中的ABC ∆固定不变,继续绕点C 旋转DE 所在的直线MN 到图3中的位置当垂线段AD 、BE 在直线MN 的异侧.试探究线段AD 、BE 、DE 长度之间有什么关系并给予证明.答案解:1△ABC 是等腰直角三角形; 如图1在矩形ABED 中, 因为点C 是边DE的中点,且AB=2AD, 所以MNPCBA图2M NPDCEBA 图1 E D CB A 图1E D C B A 图2MN NM 图3A B CD E。

中考数学真题四边形分类汇编

中考数学真题四边形分类汇编

全国中考数学真题四边形分类汇编1.如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别是AB,BC边上的中点,CE⊥AB,垂足为E,AF⊥BC,垂足为F,AF与CE相交于点G;(1)求证:△CFG≌△AEG;(2)若AB=6,求四边形AGCD的对角线GD的长.2.如图,在△ABC中,过点C作CD∥AB,E是AC的中点,连接DE并延长,交AB于点F,交CB的延长线于点G,连接AD,CF.(1)求证:四边形AFCD是平行四边形.(2)若GB=3,BC=6,BF=,求AB的长.3.如图,在平行四边形ABCD中,P是对角线BD上的一点,过点C作CQ∥DB,且CQ=DP,连接AP、BQ、PQ.(1)求证:△APD≌△BQC;(2)若∠ABP+∠BQC=180°,求证:四边形ABQP为菱形.4.如图,在矩形ABCD中,AD=5,CD=4,点E是BC边上的点,BE=3,连接AE,DF⊥AE交于点F.(1)求证:△ABE≌△DF A;(2)连接CF,求sin∠DCF的值;(3)连接AC交DF于点G,求的值.5.如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,AB=AD,对角线AC,BD交于点O,AC平分∠BAD,过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E,连接OE.(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)若AB=,BD=2,求OE的长.6.如图,在四边形ABCD中,∠BAC=90°,E是BC的中点,AD∥BC,AE∥DC,EF⊥CD于点F.(1)求证:四边形AECD是菱形;(2)若AB=6,BC=10,求EF的长.7.如图,已知A、F、C、D四点在同一条直线上,AF=CD,AB∥DE,且AB=DE.(1)求证:△ABC≌△DEF;(2)若EF=3,DE=4,∠DEF=90°,请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度.8.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D、E分别是AB、AC的中点,连接CD,过E作EF∥DC交BC 的延长线于F.(1)证明:四边形CDEF是平行四边形;(2)若四边形CDEF的周长是25cm,AC的长为5cm,求线段AB的长度.9.如图,正方形ABCD的对角线交于点O,点E、F分别在AB、BC上(AE<BE),且∠EOF=90°,OE、DA的延长线交于点M,OF、AB的延长线交于点N,连接MN.(1)求证:OM=ON.(2)若正方形ABCD的边长为4,E为OM的中点,求MN的长.10.如图,在平行四边形ABCD中,点O是对角线AC的中点,点E是BC上一点,且AB=AE,连接EO 并延长交AD于点F.过点B作AE的垂线,垂足为H,交AC于点G.(1)若AH=3,HE=1,求△ABE的面积;(2)若∠ACB=45°,求证:DF=CG.11.如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别是AB、BC的中点,CE⊥AB,垂足为E,AF⊥BC,垂足为F,AF与CE相交于点G.(1)证明:△CFG≌△AEG.(2)若AB=4,求四边形AGCD的对角线GD的长.12.如图,点B、E分别在AC、DF上,AF分别交BD、CE于点M、N,∠A=∠F,∠1=∠2.(1)求证:四边形BCED是平行四边形;(2)已知DE=2,连接BN,若BN平分∠DBC,求CN的长.13.如图,在平行四边形ABCD中,DB=DA,点F是AB的中点,连接DF并延长,交CB的延长线于点E,连接AE.(1)求证:四边形AEBD是菱形;(2)若DC=,tan∠DCB=3,求菱形AEBD的面积.14.已知:如图,平行四边形ABCD,对角线AC与BD相交于点E,点G为AD的中点,连接CG,CG 的延长线交BA的延长线于点F,连接FD.(1)求证:AB=AF;(2)若AG=AB,∠BCD=120°,判断四边形ACDF的形状,并证明你的结论.15.如图,以BC为底边的等腰△ABC,点D,E,G分别在BC,AB,AC上,且EG∥BC,DE∥AC,延长GE至点F,使得BE=BF.(1)求证:四边形BDEF为平行四边形;(2)当∠C=45°,BD=2时,求D,F两点间的距离.16.如图1,将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠,顶点C落到点E处,BE交AD于点F.(1)求证:△BDF是等腰三角形;(2)如图2,过点D作DG∥BE,交BC于点G,连接FG交BD于点O.①判断四边形BFDG的形状,并说明理由;②若AB=6,AD=8,求FG的长.17.如图,正方形ABCD中,G为BC边上一点,BE⊥AG于E,DF⊥AG于F,连接DE.(1)求证:△ABE≌△DAF;(2)若AF=1,四边形ABED的面积为6,求EF的长.18.如图,点E,F分别在菱形ABCD的边DC,DA上,且CE=AF.求证:∠ABF=∠CBE.19.如图,在▱ABCD中,以点A为圆心,AB长为半径画弧交AD于点F,再分别以点B、F为圆心,大于BF的相同长为半径画弧,两弧交于点P;连接AP并延长交BC于点E,连接EF,则所得四边形ABEF是菱形.(1)根据以上尺规作图的过程,求证:四边形ABEF是菱形;(2)若菱形ABEF的周长为16,AE=4,求∠C的大小.20.如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F,连接EC.(1)求证:OE=OF;(2)若EF⊥AC,△BEC的周长是10,求▱ABCD的周长.21.如图,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE,已知:∠BAC=30°,EF⊥AB,垂足为F,连接DF.(1)试说明AC=EF;(2)求证:四边形ADFE是平行四边形.22.如图,平行四边形ABCD中,BD⊥AD,∠A=45°,E、F分别是AB、CD上的点,且BE=DF,连接EF交BD于O.(1)求证:BO=DO;(2)若EF⊥AB,延长EF交AD的延长线于G,当FG=1时,求AE的长.23.如图,已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形,点E在线段DC上,点A,D,G在同一直线上,且AD=3,DE=1,连接AC,CG,AE,并延长AE交CG于点H.(1)求sin∠EAC的值.(2)求线段AH的长.24.如图,在▱ABCD中,E是BC的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F.(1)求证:AB=CF;(2)连接DE,若AD=2AB,求证:DE⊥AF.25.已知正方形ABCD中,BC=3,点E、F分别是CB、CD延长线上的点,DF=BE,连接AE、AF,过点A作AH⊥ED于H点.(1)求证:△ADF≌△ABE;(2)若BE=1,求tan∠AED的值.26.如图,四边形ABCD为平行四边形,∠BAD的角平分线AE交CD于点F,交BC的延长线于点E.(1)求证:BE=CD;(2)连接BF,若BF⊥AE,∠BEA=60°,AB=4,求平行四边形ABCD的面积.27.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,O、D分别是边AC、AB的中点,过点C作CE∥AB交DO的延长线于点E,连接AE.(1)求证:四边形AECD是菱形;(2)若四边形AECD的面积为24,tan∠BAC=,求BC的长.28.如图,将矩形ABCD沿AF折叠,使点D落在BC边上的点E处,过点E作EG∥CD交AF于点G,连接DG.(1)求证:四边形EFDG是菱形;(2)探究线段EG、GF、AF之间的数量关系,并说明理由;(3)若AG=6,EG=2,求BE的长.29.如图,在矩形ABCD中,E是AD上一点,PQ垂直平分BE,分别交AD、BE、BC于点P、O、Q,连接BP、EQ.(1)求证:四边形BPEQ是菱形;(2)若AB=6,F为AB的中点,OF+OB=9,求PQ的长.30.如图,点E正方形ABCD外一点,点F是线段AE上一点,△EBF是等腰直角三角形,其中∠EBF=90°,连接CE、CF.(1)求证:△ABF≌△CBE;(2)判断△CEF的形状,并说明理由.31.如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,∠ABC:∠BAD=1:2,BE∥AC,CE∥BD.(1)求tan∠DBC的值;(2)求证:四边形OBEC是矩形.32.如图,四边形ABCD为菱形,M为BC上一点,连接AM交对角线BD于点G,并且∠ABM=2∠BAM.(1)求证:AG=BG;(2)若点M为BC的中点,同时S△BMG=1,求三角形ADG的面积.33.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D是BC的中点,E是AD的中点,过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F.(1)求证:△AEF≌△DEB;(2)证明四边形ADCF是菱形;(3)若AC=4,AB=5,求菱形ADCF的面积.34.如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,∠CAB=∠ACB,过点B作BE⊥AB交AC于点E.(1)求证:AC⊥BD;(2)若AB=14,cos∠CAB=,求线段OE的长.35.如图,在▱ABCD中,AE平分∠BAD,交BC于点E,BF平分∠ABC,交AD于点F,AE与BF交于点P,连接EF,PD.(1)求证:四边形ABEF是菱形;(2)若AB=4,AD=6,∠ABC=60°,求tan∠ADP的值.36.如图,△ABC中,∠BCA=90°,CD是边AB上的中线,分别过点C,D作BA,BC的平行线交于点E,且DE交AC于点O,连接AE.(1)求证:四边形ADCE是菱形;(2)若AC=2DE,求sin∠CDB的值.37.如图,在正方形ABCD中,点E、F分别是BC、CD的中点,DE交AF于点M,点N为DE的中点.(1)若AB=4,求△DNF的周长及sin∠DAF的值;(2)求证:2AD•NF=DE•DM.38.如图,已知△ABC,按如下步骤作图:①分别以A,C为圆心,大于AC的长为半径画弧,两弧交于P,Q两点;②作直线PQ,分别交AB,AC于点E,D,连接CE;③过C作CF∥AB交PQ于点F,连接AF.(1)求证:△AED≌△CFD;(2)求证:四边形AECF是菱形.39.如图,已知四边形ABDE是平行四边形,C为边BD延长线上一点,连结AC、CE,使AB=AC.(1)求证:△BAD≌△AEC;(2)若∠B=30°,∠ADC=45°,BD=10,求平行四边形ABDE的面积.40.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点O,D分别为AB,BC的中点,连接OD,作⊙O与AC相切于点E,在AC边上取一点F,使DF=DO,连接DF.(1)判断直线DF与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)当∠A=30°,CF=时,求⊙O的半径.41.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,点O在边AB上.过点A、D的圆的圆心O在边AB上,它与边AB交于另一点E.(1)试判断BC与圆O的位置关系,并说明理由;(2)若AC=6,sin B=,求AD的长.42.如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径作⊙O,点D为⊙O上一点,且CD=CB,连接DO 并延长交CB的延长线于点E.(1)判断直线CD与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若BE=4,DE=8,求AC的长.43.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别与BC、AC交于点D、E,过点D作DF⊥AC 于点F.(1)若⊙O的半径为3,∠CDF=15°,求阴影部分的面积;(2)求证:DF是⊙O的切线;(3)求证:∠EDF=∠DAC.44.如图,在三角形ABC中,AB=6,AC=BC=5,以BC为直径作⊙O交AB于点D,交AC于点G,直线DF是⊙O的切线,D为切点,交CB的延长线于点E.(1)求证:DF⊥AC;(2)求tan∠E的值.45.如图,在以线段AB为直径的⊙O上取一点C,连接AC、BC.将△ABC沿AB翻折后得到△ABD.(1)试说明点D在⊙O上;(2)在线段AD的延长线上取一点E,使AB2=AC•AE.求证:BE为⊙O的切线;(3)在(2)的条件下,分别延长线段AE、CB相交于点F,若BC=2,AC=4,求线段EF的长.46.如图,点D是等边三角形ABC外接圆的上一点(与点B,C不重合),BE∥DC交AD于点E.(1)求证:△BDE是等边三角形;(2)求证:△ABE≌△CBD;(3)如果BD=2,CD=1,求△ABC的边长.47.如图所示,AB是⊙O的直径,P为AB延长线上的一点,PC切⊙O于点C,AD⊥PC,垂足为D,弦CE平分∠ACB,交AB于点F,连接AE.(1)求证:∠CAB=∠CAD;(2)求证:PC=PF;(3)若tan∠ABC=,AE=5,求线段PC的长.48.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径作⊙O交AC于点D,点E在BC边上,且满足EB =ED.(1)求证:DE是⊙O的切线;(2)连接AE,若∠C=45°,AB=10,求sin∠CAE的值.49.如图,在等腰△ABC中,AB=BC,以BC为直径的⊙O与AC相交于点D,过点D作DE⊥AB交CB 延长线于点E,垂足为点F.(1)判断DE与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若⊙O的半径R=5,tan C=,求EF的长.50.如图,已知等腰直角三角形ABC,点P是斜边BC上一点(不与B,C重合),PE是△ABP的外接圆⊙O的直径.(1)求证:△APE是等腰直角三角形;(2)若⊙O的直径为2,求PC2+PB2的值.全国中考数学真题四边形分类汇编参考答案与试题解析一.解答题(共50小题)1.如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别是AB,BC边上的中点,CE⊥AB,垂足为E,AF⊥BC,垂足为F,AF与CE相交于点G;(1)求证:△CFG≌△AEG;(2)若AB=6,求四边形AGCD的对角线GD的长.【分析】(1)根据线段垂直平分线的性质得到AB=AC,AC=BC,得到AB=AC=BC,求得∠B=60°,于是得到∠BAF=∠BCE=30°,根据全等三角形的判定定理即可得到结论;(2)根据菱形的判定定理得到▱ABCD是菱形,求得∠ADC=∠B=60°,AD=CD,求得∠ADG=30°,解直角三角形即可得到结论.【解答】(1)证明:∵E、F分别是AB、BC的中点,CE⊥AB,AF⊥BC,∴AB=AC,AC=BC,∴AB=AC=BC,∴∠B=60°,∴∠BAF=∠BCE=30°,∵E、F分别是AB、BC的中点,∴AE=CF,在△CFG和△AEG中,,∴△CFG≌△AEG;(2)解:∵四边形ABCD是平行四边形,AB=BC,∴▱ABCD是菱形,∴∠ADC=∠B=60°,AD=CD,∵AD∥BC,CD∥AB,∴AF⊥AD,CE⊥CD,∵△CFG≌△AEG,∴AG=CG,∵GA⊥AD,GC⊥CD,GA=GC,∴GD平分∠ADC,∴∠ADG=30°,∵AD=AB=6,∴DG==4.【点评】本题考查了平行四边形的性质,菱形的判断和性质,全等三角形的判定和性质,平行线的性质,熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键.2.如图,在△ABC中,过点C作CD∥AB,E是AC的中点,连接DE并延长,交AB于点F,交CB的延长线于点G,连接AD,CF.(1)求证:四边形AFCD是平行四边形.(2)若GB=3,BC=6,BF=,求AB的长.【分析】(1)由E是AC的中点知AE=CE,由AB∥CD知∠AFE=∠CDE,据此根据“AAS”即可证△AEF≌△CED,从而得AF=CD,结合AB∥CD即可得证;(2)证△GBF∽△GCD得=,据此求得CD=,由AF=CD及AB=AF+BF可得答案.【解答】解:(1)∵E是AC的中点,∴AE=CE,∵AB∥CD,∴∠AFE=∠CDE,在△AEF和△CED中,∵,∴△AEF≌△CED(AAS),∴AF=CD,又AB∥CD,即AF∥CD,∴四边形AFCD是平行四边形;(2)∵AB∥CD,∴△GBF∽△GCD,∴=,即=,解得:CD=,∵四边形AFCD是平行四边形,∴AF=CD=,∴AB=AF+BF=+=6.【点评】本题主要考查平行四边形的判定与性质,解题的关键是掌握全等三角形、相似三角形及平行四边形的判定与性质.3.如图,在平行四边形ABCD中,P是对角线BD上的一点,过点C作CQ∥DB,且CQ=DP,连接AP、BQ、PQ.(1)求证:△APD≌△BQC;(2)若∠ABP+∠BQC=180°,求证:四边形ABQP为菱形.【分析】(1)只要证明AD=BC,∠ADP=∠BCQ,DP=CQ即可解决问题;(2)首先证明四边形ABQP是平行四边形,再证明AB=AP即可解决问题;【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC,∵CQ∥DB,∴∠BCQ=∠DBC,∴∠ADB=∠BCQ∵DP=CQ,∴△ADP≌△BCQ.(2)证明:∵CQ∥DB,且CQ=DP,∴四边形CQPD是平行四边形,∴CD=PQ,CD∥PQ,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD,∴AB=PQ,AB∥PQ,∴四边形ABQP是平行四边形,∵△ADP≌△BCQ,∴∠APD=∠BQC,∵∠APD+∠APB=180°,∠ABP+∠BQC=180°,∴∠ABP=∠APB,∴AB=AP,∴四边形ABQP是菱形.【点评】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.4.如图,在矩形ABCD中,AD=5,CD=4,点E是BC边上的点,BE=3,连接AE,DF⊥AE交于点F.(1)求证:△ABE≌△DF A;(2)连接CF,求sin∠DCF的值;(3)连接AC交DF于点G,求的值.【分析】(1)根据勾股定理求出AE,矩形的性质、全等三角形的判定定理证明;(2)连接DE交CF于点H,根据全等三角形的性质得到DF=AB=CD=4,AF=BE=3,证明∠DCH =∠DEC,求出sin∠DEC,得到答案;(3)过点C作CK⊥AE交AE的延长线于点K,根据平行线分线段成比例定理得到=,根据余弦的概念求出EK,计算即可.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=90°,AD∥BC,∴=5,∠AEB=∠DAF,在△ABE和△AFD中,,∴△ABE≌△AFD;(2)连接DE交CF于点H.∵△ABE≌△DF A,∴DF=AB=CD=4,AF=BE=3,∴EF=CE=2.∴DE⊥CF.∴∠DCH+∠HDC=∠DEC+∠HDC=90°.∴∠DCH=∠DEC.在Rt△DCE中,CD=4,CE=2,∴DE=2,∴sin∠DCF=sin∠DEC==.(3)过点C作CK⊥AE交AE的延长线于点K.∴=.在Rt△CEK中,EK=CE•cos∠CEK=CE•cos∠AEB=2×=.∴FK=FE+EK=.∴==.【点评】本题考查的是矩形的性质、全等三角形的判定和性质以及三角形中位线定理的应用,掌握矩形的性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.5.如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,AB=AD,对角线AC,BD交于点O,AC平分∠BAD,过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E,连接OE.(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)若AB=,BD=2,求OE的长.【分析】(1)先判断出∠OAB=∠DCA,进而判断出∠DAC=∠DAC,得出CD=AD=AB,即可得出结论;(2)先判断出OE=OA=OC,再求出OB=1,利用勾股定理求出OA,即可得出结论.【解答】解:(1)∵AB∥CD,∴∠OAB=∠DCA,∵AC为∠DAB的平分线,∴∠OAB=∠DAC,∴∠DCA=∠DAC,∴CD=AD=AB,∵AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形,∵AD=AB,∴▱ABCD是菱形;(2)∵四边形ABCD是菱形,∴OA=OC,BD⊥AC,∵CE⊥AB,∴OE=OA=OC,∵BD=2,∴OB=BD=1,在Rt△AOB中,AB=,OB=1,∴OA==2,∴OE=OA=2.【点评】此题主要考查了菱形的判定和性质,平行四边形的判定和性质,角平分线的定义,勾股定理,判断出CD=AD=AB是解本题的关键.6.如图,在四边形ABCD中,∠BAC=90°,E是BC的中点,AD∥BC,AE∥DC,EF⊥CD于点F.(1)求证:四边形AECD是菱形;(2)若AB=6,BC=10,求EF的长.【分析】(1)根据平行四边形和菱形的判定证明即可;(2)根据菱形的性质和三角形的面积公式解答即可.【解答】证明:(1)∵AD∥BC,AE∥DC,∴四边形AECD是平行四边形,∵∠BAC=90°,E是BC的中点,∴AE=CE=BC,∴四边形AECD是菱形;(2)过A作AH⊥BC于点H,∵∠BAC=90°,AB=6,BC=10,∴AC=,∵,∴AH=,∵点E是BC的中点,BC=10,四边形AECD是菱形,∴CD=CE=5,∵S▱AECD=CE•AH=CD•EF,∴EF=AH=.法二:连接ED交AC于O,由题意得:AC=8,计算得ED=6..计算得5EF=6✘4,EF=.【点评】此题考查菱形的判定和性质,关键是根据平行四边形和菱形的判定和性质解答.7.如图,已知A、F、C、D四点在同一条直线上,AF=CD,AB∥DE,且AB=DE.(1)求证:△ABC≌△DEF;(2)若EF=3,DE=4,∠DEF=90°,请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度.【分析】(1)根据SAS即可证明.(2)解直角三角形求出DF、OE、OF即可解决问题;【解答】(1)证明:∵AB∥DE,∴∠A=∠D,∵AF=CD,∴AF+FC=CD+FC,即AC=DF,∵AB=DE,∴△ABC≌△DEF.(2)如图,连接EB交AD于O.在Rt△EFD中,∵∠DEF=90°,EF=3,DE=4,∴DF==5,∵四边形EFBC是菱形,∴BE⊥CF,∴EO==,∴OF=OC==,∴CF=,∴AF=CD=DF﹣FC=5﹣=.【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、菱形的性质、勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题.8.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D、E分别是AB、AC的中点,连接CD,过E作EF∥DC交BC 的延长线于F.(1)证明:四边形CDEF是平行四边形;(2)若四边形CDEF的周长是25cm,AC的长为5cm,求线段AB的长度.【分析】(1)由三角形中位线定理推知ED∥FC,2DE=BC,然后结合已知条件“EF∥DC”,利用两组对边相互平行得到四边形DCFE为平行四边形;(2)根据在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半得到AB=2DC,即可得出四边形DCFE的周长=AB+BC,故BC=25﹣AB,然后根据勾股定理即可求得;【解答】(1)证明:∵D、E分别是AB、AC的中点,F是BC延长线上的一点,∴ED是Rt△ABC的中位线,∴ED∥FC.BC=2DE,又EF∥DC,∴四边形CDEF是平行四边形;(2)解:∵四边形CDEF是平行四边形;∴DC=EF,∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线,∴AB=2DC,∴四边形DCFE的周长=AB+BC,∵四边形DCFE的周长为25cm,AC的长5cm,∴BC=25﹣AB,∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∴AB2=BC2+AC2,即AB2=(25﹣AB)2+52,解得,AB=13cm,【点评】本题考查了三角形的中位线定理,直角三角形斜边中线的性质,平行四边形的判定和性质,勾股定理的应用等,熟练掌握性质定理是解题的关键.9.如图,正方形ABCD的对角线交于点O,点E、F分别在AB、BC上(AE<BE),且∠EOF=90°,OE、DA的延长线交于点M,OF、AB的延长线交于点N,连接MN.(1)求证:OM=ON.(2)若正方形ABCD的边长为4,E为OM的中点,求MN的长.【分析】(1)证△OAM≌△OBN即可得;(2)作OH⊥AD,由正方形的边长为4且E为OM的中点知OH=HA=2、HM=4,再根据勾股定理得OM=2,由直角三角形性质知MN=OM.【解答】解:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴OA=OB,∠DAO=45°,∠OBA=45°,∴∠OAM=∠OBN=135°,∵∠EOF=90°,∠AOB=90°,∴∠AOM=∠BON,∴△OAM≌△OBN(ASA),∴OM=ON;(2)如图,过点O作OH⊥AD于点H,∵正方形的边长为4,∴OH=HA=2,∵E为OM的中点,∴HM=4,则OM==2,∴MN=OM=2.【点评】本题主要考查正方形的性质,解题的关键是掌握正方形的四条边都相等,正方形的每条对角线平分一组对角及全等三角形的判定与性质.10.如图,在平行四边形ABCD中,点O是对角线AC的中点,点E是BC上一点,且AB=AE,连接EO 并延长交AD于点F.过点B作AE的垂线,垂足为H,交AC于点G.(1)若AH=3,HE=1,求△ABE的面积;(2)若∠ACB=45°,求证:DF=CG.【分析】(1)利用勾股定理即可得出BH的长,进而运用公式得出△ABE的面积;(2)过A作AM⊥BC于M,交BG于K,过G作GN⊥BC于N,判定△AME≌△BNG(AAS),可得ME=NG,进而得出BE=GC,再判定△AFO≌△CEO(AAS),可得AF=CE,即可得到DF=BE =CG.【解答】解:(1)∵AH=3,HE=1,∴AB=AE=4,又∵Rt△ABH中,BH==,∴S△ABE=AE×BH=×4×=;(2)如图,过A作AM⊥BC于M,交BG于K,过G作GN⊥BC于N,则∠AMB=∠AME=∠BNG =90°,∵∠ACB=45°,∴∠MAC=∠NGC=45°,∵AB=AE,∴BM=EM=BE,∠BAM=∠EAM,又∵AE⊥BG,∴∠AHK=90°=∠BMK,而∠AKH=∠BKM,∴∠MAE=∠NBG,设∠BAM=∠MAE=∠NBG=α,则∠BAG=45°+α,∠BGA=∠GCN+∠GBC=45°+α,∴AB=BG,∴AE=BG,在△AME和△BNG中,,∴△AME≌△BNG(AAS),∴ME=NG,在等腰Rt△CNG中,NG=NC,∴GC=NG=ME=BE,∴BE=GC,∵O是AC的中点,∴OA=OC,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,∴∠OAF=∠OCE,∠AFO=∠CEO,∴△AFO≌△CEO(AAS),∴AF=CE,∴AD﹣AF=BC﹣EC,即DF=BE,∴DF=BE=CG.【点评】本题主要考查了平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合运用,解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形以及等腰直角三角形,利用全等三角形的对应边相等得出结论.11.如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别是AB、BC的中点,CE⊥AB,垂足为E,AF⊥BC,垂足为F,AF与CE相交于点G.(1)证明:△CFG≌△AEG.(2)若AB=4,求四边形AGCD的对角线GD的长.【分析】(1)根据线段垂直平分线的性质得到AB=AC,AC=BC,得到AB=AC=BC,求得∠B=60°,于是得到∠BAF=∠BCE=30°,根据全等三角形的判定定理即可得到结论;(2)根据菱形的判断对了得到▱ABCD是菱形,求得∠ADC=∠B=60°,AD=CD,求得∠ADG=30°,解直角三角形即可得到结论.【解答】(1)证明:∵E、F分别是AB、BC的中点,CE⊥AB,AF⊥BC,∴AB=AC,AC=BC,∴AB=AC=BC,∴∠B=60°,∴∠BAF=∠BCE=30°,∵E、F分别是AB、BC的中点,∴AE=CF,在△CFG和△AEG中,,∴△CFG≌△AEG;(2)解:∵四边形ABCD是平行四边形,AB=BC,∴▱ABCD是菱形,∴∠ADC=∠B=60°,∵AD∥BC,CD∥AB,∴AF⊥AD,CE⊥CD,∵△CFG≌△AEG,∴AG=CG,∵GA⊥AD,GC⊥CD,GA=GC,∴GD平分∠ADC,∴∠ADG=30°,∵AD=AB=4,∴DG==.【点评】本题考查了平行四边形的性质,菱形的判断和性质,全等三角形的判定和性质,平行线的性质,熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键.12.如图,点B、E分别在AC、DF上,AF分别交BD、CE于点M、N,∠A=∠F,∠1=∠2.(1)求证:四边形BCED是平行四边形;(2)已知DE=2,连接BN,若BN平分∠DBC,求CN的长.【分析】(1)由已知角相等,利用对顶角相等,等量代换得到同位角相等,进而得出DB与EC平行,再由内错角相等两直线平行得到DE与BC平行,即可得证;(2)由角平分线得到一对角相等,再由两直线平行内错角相等,等量代换得到一对角相等,再利用等角对等边得到CN=BC,再由平行四边形对边相等即可确定出所求.【解答】(1)证明:∵∠A=∠F,∴DE∥BC,∵∠1=∠2,且∠1=∠DMF,∴∠DMF=∠2,∴DB∥EC,则四边形BCED为平行四边形;(2)解:∵BN平分∠DBC,∴∠DBN=∠CBN,∵EC∥DB,∴∠CNB=∠DBN,∴∠CNB=∠CBN,∴CN=BC=DE=2.【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质,熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键.13.如图,在平行四边形ABCD中,DB=DA,点F是AB的中点,连接DF并延长,交CB的延长线于点E,连接AE.(1)求证:四边形AEBD是菱形;(2)若DC=,tan∠DCB=3,求菱形AEBD的面积.【分析】(1)由△AFD≌△BFE,推出AD=BE,可知四边形AEBD是平行四边形,再根据BD=AD可得结论;(2)解直角三角形求出EF的长即可解决问题;【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥CE,∴∠DAF=∠EBF,∵∠AFD=∠EFB,AF=FB,∴△AFD≌△BFE,∴AD=EB,∵AD∥EB,∴四边形AEBD是平行四边形,∵BD=AD,∴四边形AEBD是菱形.(2)解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD=AB=,AB∥CD,∴∠ABE=∠DCB,∴tan∠ABE=tan∠DCB=3,∵四边形AEBD是菱形,∴AB⊥DE,AF=FB,EF=DF,∴tan∠ABE==3,∵BF=,∴EF=,∴DE=3,∴S菱形AEBD=•AB•DE=•3=15.【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于中考常考题型.14.已知:如图,平行四边形ABCD,对角线AC与BD相交于点E,点G为AD的中点,连接CG,CG 的延长线交BA的延长线于点F,连接FD.(1)求证:AB=AF;(2)若AG=AB,∠BCD=120°,判断四边形ACDF的形状,并证明你的结论.【分析】(1)只要证明AB=CD,AF=CD即可解决问题;(2)结论:四边形ACDF是矩形.根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可;【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,∴∠AFC=∠DCG,∵GA=GD,∠AGF=∠CGD,∴△AGF≌△DGC,∴AF=CD,∴AB=AF.(2)解:结论:四边形ACDF是矩形.理由:∵AF=CD,AF∥CD,∴四边形ACDF是平行四边形,∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠BAD=∠BCD=120°,∴∠F AG=60°,∵AB=AG=AF,∴△AFG是等边三角形,∴AG=GF,∵△AGF≌△DGC,∴FG=CG,∵AG=GD,∴AD=CF,∴四边形ACDF是矩形.【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、矩形的判定、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于中考常考题型.15.如图,以BC为底边的等腰△ABC,点D,E,G分别在BC,AB,AC上,且EG∥BC,DE∥AC,延长GE至点F,使得BE=BF.(1)求证:四边形BDEF为平行四边形;(2)当∠C=45°,BD=2时,求D,F两点间的距离.【分析】(1)由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C,证出∠AEG=∠ABC=∠C,四边形CDEG是平行四边形,得出∠DEG=∠C,证出∠F=∠DEG,得出BF∥DE,即可得出结论;(2)证出△BDE、△BEF是等腰直角三角形,由勾股定理得出BF=BE=BD=,作FM⊥BD 于M,连接DF,则△BFM是等腰直角三角形,由勾股定理得出FM=BM=BF=1,得出DM=3,在Rt△DFM中,由勾股定理求出DF即可.【解答】(1)证明:∵△ABC是等腰三角形,∴∠ABC=∠C,∵EG∥BC,DE∥AC,∴∠AEG=∠ABC=∠C,四边形CDEG是平行四边形,∴∠DEG=∠C,∵BE=BF,∴∠BFE=∠BEF=∠AEG=∠ABC,∴∠F=∠DEG,∴BF∥DE,∴四边形BDEF为平行四边形;(2)解:∵∠C=45°,∴∠ABC=∠BFE=∠BEF=45°,∴△BDE、△BEF是等腰直角三角形,∴BF=BE=BD=,作FM⊥BD于M,连接DF,如图所示:则△BFM是等腰直角三角形,∴FM=BM=BF=1,∴DM=3,在Rt△DFM中,由勾股定理得:DF==,即D,F两点间的距离为.【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识;熟练掌握平行四边形的判定与性质和勾股定理是解决问题的关键.16.如图1,将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠,顶点C落到点E处,BE交AD于点F.(1)求证:△BDF是等腰三角形;(2)如图2,过点D作DG∥BE,交BC于点G,连接FG交BD于点O.①判断四边形BFDG的形状,并说明理由;②若AB=6,AD=8,求FG的长.【分析】(1)根据两直线平行内错角相等及折叠特性判断;(2)①根据已知矩形性质及第一问证得邻边相等判断;②根据折叠特性设未知边,构造勾股定理列方程求解.【解答】(1)证明:如图1,根据折叠,∠DBC=∠DBE,又AD∥BC,∴∠DBC=∠ADB,∴∠DBE=∠ADB,∴DF=BF,∴△BDF是等腰三角形;(2)①∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴FD∥BG,又∵DG∥BE,∴四边形BFDG是平行四边形,∵DF=BF,∴四边形BFDG是菱形;②∵AB=6,AD=8,∴BD=10.∴OB=BD=5.假设DF=BF=x,∴AF=AD﹣DF=8﹣x.∴在直角△ABF中,AB2+AF2=BF2,即62+(8﹣x)2=x2,解得x=,即BF=,∴FO===,∴FG=2FO=.【点评】此题考查了四边形综合题,结合矩形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理解答,考查了翻折不变性,综合性较强,是一道好题.17.如图,正方形ABCD中,G为BC边上一点,BE⊥AG于E,DF⊥AG于F,连接DE.(1)求证:△ABE≌△DAF;(2)若AF=1,四边形ABED的面积为6,求EF的长.【分析】(1)由∠BAE+∠DAF=90°,∠DAF+∠ADF=90°,推出∠BAE=∠ADF,即可根据AAS证明△ABE≌△DAF;(2)设EF=x,则AE=DF=x+1,根据四边形ABED的面积为6,列出方程即可解决问题;【解答】证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∵DF⊥AG,BE⊥AG,∴∠BAE+∠DAF=90°,∠DAF+∠ADF=90°,∴∠BAE=∠ADF,在△ABE和△DAF中,,∴△ABE≌△DAF(AAS).(2)设EF=x,则AE=DF=x+1,∵S四边形ABED=2S△ABE+S△DEF=6∴2××(x+1)×1+×x×(x+1)=6,整理得:x2+3x﹣10=0,解得x=2或﹣5(舍弃),∴EF=2.【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,学会利用参数构建方程,属于中考常考题型.18.如图,点E,F分别在菱形ABCD的边DC,DA上,且CE=AF.求证:∠ABF=∠CBE.【分析】根据菱形的性质可得AB=BC,∠A=∠C,再证明△ABF≌△CBE,根据全等三角形的性质可得结论.【解答】证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,∠A=∠C,∵在△ABF和△CBE中,,∴△ABF≌△CBE(SAS),∴∠ABF=∠CBE.【点评】此题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质,熟练掌握菱形的性质,证明三角形全等是解决问题的关键.19.如图,在▱ABCD中,以点A为圆心,AB长为半径画弧交AD于点F,再分别以点B、F为圆心,大于BF的相同长为半径画弧,两弧交于点P;连接AP并延长交BC于点E,连接EF,则所得四边形ABEF 是菱形.(1)根据以上尺规作图的过程,求证:四边形ABEF是菱形;(2)若菱形ABEF的周长为16,AE=4,求∠C的大小.【分析】(1)先证明△AEB≌△AEF,推出∠EAB=∠EAF,由AD∥BC,推出∠EAF=∠AEB=∠EAB,得到BE=AB=AF,由此即可证明;(2)连结BF,交AE于G.根据菱形的性质得出AB=4,AG=AE=2,∠BAF=2∠BAE,AE ⊥BF.然后解直角△ABG,求出∠BAG=30°,那么∠BAF=2∠BAE=60°.再根据平行四边形的对角相等即可求出∠C=∠BAF=60°.【解答】解:(1)在△AEB和△AEF中,,∴△AEB≌△AEF,∴∠EAB=∠EAF,∵AD∥BC,∴∠EAF=∠AEB=∠EAB,∴BE=AB=AF.∵AF∥BE,∴四边形ABEF是平行四边形,∵AB=BE,∴四边形ABEF是菱形;(2)如图,连结BF,交AE于G.∵菱形ABEF的周长为16,AE=4,∴AB=BE=EF=AF=4,AG=AE=2,∠BAF=2∠BAE,AE⊥BF.在直角△ABG中,∵∠AGB=90°,∴cos∠BAG===,∴∠BAG=30°,∴∠BAF=2∠BAE=60°.∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠C=∠BAF=60°.【点评】本题考查菱形的判定和性质、平行四边形的性质、作图﹣基本作图等知识,解题的关键是全等三角形的证明,解直角三角形,属于中考常考题型.20.如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F,连接EC.(1)求证:OE=OF;(2)若EF⊥AC,△BEC的周长是10,求▱ABCD的周长.【分析】根据平行四边形的性质得出OD=OB,DC∥AB,推出∠FDO=∠EBO,证出△DFO≌△BEO 即可;(2)由平行四边形的性质得出AB=CD,AD=BC,OA=OC,由线段垂直平分线的性质得出AE=CE,由已知条件得出BC+AB=10,即可得出▱ABCD的周长.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OD=OB,DC∥AB,∴∠FDO=∠EBO,在△DFO和△BEO中,,∴△DFO≌△BEO(ASA),∴OE=OF.(2)解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AD=BC,OA=OC,∵EF⊥AC,。

备战中考数学二模试题分类汇编——平行四边形综合含答案

备战中考数学二模试题分类汇编——平行四边形综合含答案

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.问题发现:(1)如图①,点P 为平行四边形ABCD 内一点,请过点P 画一条直线l ,使其同时平分平行四边形ABCD 的面积和周长.问题探究:(2)如图②,在平面直角坐标系xOy 中,矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴正半轴上,点B 坐标为(8,6).已知点(6,7)P 为矩形外一点,请过点P 画一条同时平分矩形OABC 面积和周长的直线l ,说明理由并求出直线l ,说明理由并求出直线l 被矩形ABCD 截得线段的长度.问题解决:(3)如图③,在平面直角坐标系xOy 中,矩形OABCD 的边OA 、OD 分别在x 轴、y 轴正半轴上,DC x ∥轴,AB y ∥轴,且8OA OD ==,2AB CD ==,点(1052,1052)P --为五边形内一点.请问:是否存在过点P 的直线l ,分别与边OA 与BC 交于点E 、F ,且同时平分五边形OABCD 的面积和周长?若存在,请求出点E 和点F 的坐标:若不存在,请说明理由.【答案】(1)作图见解析;(2)25y x =-,353)(0,0)E ,(5,5)F .【解析】试题分析:(1)连接AC 、BD 交于点O ,作直线PO ,直线PO 将平行四边形ABCD 的面积和周长分别相等的两部分.(2)连接AC ,BD 交于点O ',过O '、P 点的直线将矩形ABCD 的面积和周长分为分别相等的两部分.(3)存在,直线y x =平分五边形OABCD 面积、周长.试题解析:(1)作图如下:(2)∵(6,7)P ,(4,3)O ',∴设:6PO y kx =+',67{43k b k b +=+=,2{5k b ==-, ∴25y x =-,交x 轴于5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 交BC 于11,62M ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 2211563522MN ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭.(3)存在,直线y x =平分五边形OABCD 面积、周长.∵(1052,102)P --在直线y x =上,∴连OP 交OA 、BC 于点E 、F ,设:BC y kx b =+,(8,2)(2,8)B C ,82{28k b k +=+=,1{10k b =-=, ∴直线:10BC y x =-+,联立10{y x y x =-+=,得55x y =⎧⎨=⎩, ∴(0,0)E ,(5,5)F .2.如图,将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠,使点B落到到B′的位置,AB′与CD交于点E.(1)求证:△AED≌△CEB′(2)若AB = 8,DE = 3,点P为线段AC上任意一点,PG⊥AE于G,PH⊥BC于H.求PG + PH的值.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】【分析】(1)由折叠的性质知,,,,则由得到;(2)由,可得,又由,即可求得的长,然后在中,利用勾股定理即可求得的长,再过点作于,由角平分线的性质,可得,易证得四边形是矩形,继而可求得答案.【详解】(1)四边形为矩形,,,又,;(2),,,,在中,,过点作于,,,,,,,、、共线,,四边形是矩形,,.【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识.此题难度较大,注意掌握折叠前后图形的对应关系,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.3.如图,四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AO=CO,BO=DO,且∠ABC+∠ADC=180°.(1)求证:四边形ABCD是矩形.(2)若∠ADF:∠FDC=3:2,DF⊥AC,求∠BDF的度数.【答案】(1)见解析;(2)18°.【解析】【分析】(1)根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形,求出∠ABC=90°,根据矩形的判定得出即可;(2)求出∠FDC的度数,根据三角形内角和定理求出∠DCO,根据矩形的性质得出OD=OC,求出∠CDO,即可求出答案.【详解】(1)证明:∵AO=CO,BO=DO∴四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABC=∠ADC,∵∠ABC+∠ADC=180°,∴∠ABC=∠ADC=90°,∴四边形ABCD是矩形;(2)解:∵∠ADC=90°,∠ADF:∠FDC=3:2,∴∠FDC=36°,∵DF⊥AC,∴∠DCO=90°﹣36°=54°,∵四边形ABCD是矩形,∴OC=OD,∴∠ODC=54°∴∠BDF=∠ODC﹣∠FDC=18°.【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定,矩形的性质和判定的应用,能灵活运用定理进行推理是解此题的关键,注意:矩形的对角线相等,有一个角是直角的平行四边形是矩形.4.已知:如图,在平行四边形ABCD中,O为对角线BD的中点,过点O的直线EF分别交AD,BC于E,F两点,连结BE,DF.(1)求证:△DOE≌△BOF.(2)当∠DOE等于多少度时,四边形BFDE为菱形?请说明理由.【答案】(1)证明见解析;(2)当∠DOE=90°时,四边形BFED为菱形,理由见解析.【解析】试题分析:(1)利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法得出△DOE≌△BOF (ASA);(2)首先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形,进而利用垂直平分线的性质得出BE=ED,即可得出答案.试题解析:(1)∵在▱ABCD中,O为对角线BD的中点,∴BO=DO,∠EDB=∠FBO,在△EOD和△FOB中,∴△DOE≌△BOF(ASA);(2)当∠DOE=90°时,四边形BFDE为菱形,理由:∵△DOE≌△BOF,∴OE=OF,又∵OB=OD,∴四边形EBFD是平行四边形,∵∠EOD=90°,∴EF⊥BD,∴四边形BFDE为菱形.考点:平行四边形的性质;全等三角形的判定与性质;菱形的判定.5.(问题情境)在△ABC中,AB=AC,点P为BC所在直线上的任一点,过点P作PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分别为D、E,过点C作CF⊥AB,垂足为F.当P在BC边上时(如图1),求证:PD+PE=CF.证明思路是:如图2,连接AP,由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得:PD+PE=CF.(不要证明)(变式探究)(1)当点P在CB延长线上时,其余条件不变(如图3),试探索PD、PE、CF之间的数量关系并说明理由;请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题:(结论运用)(2)如图4,将长方形ABCD沿EF折叠,使点D落在点B上,点C落在点C′处,点P为折痕EF上的任一点,过点P作PG⊥BE、PH⊥BC,垂足分别为G、H,若AD =16,CF=6,求PG+PH的值.(迁移拓展)(3)在直角坐标系中,直线l1:y=-43x+8与直线l2:y=﹣2x+8相交于点A,直线l1、l2与x轴分别交于点B、点C.点P是直线l2上一个动点,若点P到直线l1的距离为2.求点P的坐标.【答案】【变式探究】证明见解析【结论运用】8【迁移拓展】(﹣1,6),(1,10)【解析】【变式探究】连接AP,同理利用△ABP与△ACP面积之差等于△ABC的面积可以证得;【结论运用】过点E作EQ⊥BC,垂足为Q,根据勾股定理和矩形的性质解答即可;【迁移拓展】分两种情况,利用结论,求得点P到x轴的距离,再利用待定系数法可求出P的坐标.【详解】变式探究:连接AP,如图3:∵PD⊥AB,PE⊥AC,CF⊥AB,且S△ABC=S△ACP﹣S△ABP,∴12AB•CF=12AC•PE﹣12AB•PD.∵AB=AC,∴CF=PD﹣PE;结论运用:过点E作EQ⊥BC,垂足为Q,如图④,∵四边形ABCD是长方形,∴AD=BC,∠C=∠ADC=90°.∵AD=16,CF=6,∴BF=BC﹣CF=AD﹣CF=5,由折叠可得:DF=BF,∠BEF=∠DEF.∴DF=5.∵∠C=90°,∴DC2222106DF CF-=-8.∵EQ⊥BC,∠C=∠ADC=90°,∴∠EQC=90°=∠C=∠ADC.∴四边形EQCD是长方形.∴EQ=DC=4.∵AD∥BC,∴∠DEF=∠EFB.∵∠BEF=∠DEF,∴∠BEF=∠EFB.∴BE=BF,由问题情境中的结论可得:PG+PH=EQ.∴PG+PH=8.∴PG+PH 的值为8;迁移拓展:如图,由题意得:A (0,8),B (6,0),C (﹣4,0)∴AB 2268+10,BC =10.∴AB =BC ,(1)由结论得:P 1D 1+P 1E 1=OA =8∵P 1D 1=1=2,∴P 1E 1=6 即点P 1的纵坐标为6又点P 1在直线l 2上,∴y =2x+8=6,∴x =﹣1,即点P 1的坐标为(﹣1,6);(2)由结论得:P 2E 2﹣P 2D 2=OA =8∵P 2D 2=2,∴P 2E 2=10 即点P 1的纵坐标为10又点P 1在直线l 2上,∴y =2x+8=10,∴x =1,即点P 1的坐标为(1,10)【点睛】本题考查了矩形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定及勾股定理等知识点,利用面积法列出等式是解决问题的关键.6.在ABC 中,AD BC ⊥于点D ,点E 为AC 边的中点,过点A 作//AF BC ,交DE 的延长线于点F ,连接CF .()1如图1,求证:四边形ADCF 是矩形;()2如图2,当AB AC =时,取AB 的中点G ,连接DG 、EG ,在不添加任何辅助线和字母的条件下,请直接写出图中所有的平行四边形(不包括矩形ADCF ).【答案】(1) 证明见解析;(2)四边形ABDF 、四边形AGEF 、四边形GBDE 、四边形AGDE 、四边形GDCE 都是平行四边形.【解析】【分析】(1)由△AEF ≌△CED ,推出EF=DE ,又AE=EC ,推出四边形ADCF 是平行四边形,只要证明∠ADC=90°,即可推出四边形ADCF 是矩形.(2)四边形ABDF 、四边形AGEF 、四边形GBDE 、四边形AGDE 、四边形GDCE 都是平行四边形.【详解】()1证明:∵//AF BC ,∴AFE EDC ∠=∠,∵E 是AC 中点,∴AE EC =,在AEF 和CED 中,AFE CDE AEF CED AE EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴AEF CED ≅,∴EF DE =,∵AE EC =,∴四边形ADCF 是平行四边形,∵AD BC ⊥, ∴90ADC ∠=,∴四边形ADCF 是矩形.()2∵线段DG 、线段GE 、线段DE 都是ABC 的中位线,又//AF BC ,∴//AB DE ,//DG AC ,//EG BC , ∴四边形ABDF 、四边形AGEF 、四边形GBDE 、四边形AGDE 、四边形GDCE 都是平行四边形.【点睛】考查平行四边形的判定、矩形的判定、三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质等知识,正确寻找全等三角形解决问题是解题的关键.7.△ABC 为等边三角形,AF AB =.BCD BDC AEC ∠=∠=∠.(1)求证:四边形ABDF 是菱形.(2)若BD 是ABC ∠的角平分线,连接AD ,找出图中所有的等腰三角形.【答案】(1)证明见解析;(2)图中等腰三角形有△ABC ,△BDC ,△ABD ,△ADF ,△ADC ,△ADE .【解析】【分析】(1)先求证BD ∥AF ,证明四边形ABDF 是平行四边形,再利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明;(2)先利用BD 平分∠ABC ,得到BD 垂直平分线段AC ,进而证明△DAC 是等腰三角形,根据BD ⊥AC,AF ⊥AC ,找到角度之间的关系,证明△DAE 是等腰三角形,进而得到BC =BD =BA =AF =DF ,即可解题,见详解.【详解】(1)如图1中,∵∠BCD =∠BDC ,∴BC =BD ,∵△ABC 是等边三角形,∴AB =BC ,∵AB =AF ,∴BD =AF ,∵∠BDC =∠AEC ,∴BD ∥AF ,∴四边形ABDF 是平行四边形,∵AB =AF ,∴四边形ABDF 是菱形.(2)解:如图2中,∵BA =BC ,BD 平分∠ABC ,∴BD 垂直平分线段AC ,∴DA =DC ,∴△DAC 是等腰三角形,∵AF ∥BD ,BD ⊥AC∴AF ⊥AC ,∴∠EAC =90°,∵∠DAC =∠DCA ,∠DAC +∠DAE =90°,∠DCA +∠AEC =90°,∴∠DAE=∠DEA,∴DA=DE,∴△DAE是等腰三角形,∵BC=BD=BA=AF=DF,∴△BCD,△ABD,△ADF都是等腰三角形,综上所述,图中等腰三角形有△ABC,△BDC,△ABD,△ADF,△ADC,△ADE.【点睛】本题考查菱形的判定,等边三角形的性质,等腰三角形的判定等知识,属于中考常考题型,熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.8.正方形ABCD的边长为1,对角线AC与BD相交于点O,点E是AB边上的一个动点(点E不与点A、B重合),CE与BD相交于点F,设线段BE的长度为x.(1)如图1,当AD=2OF时,求出x的值;(2)如图2,把线段CE绕点E顺时针旋转90°,使点C落在点P处,连接AP,设△APE 的面积为S,试求S与x的函数关系式并求出S的最大值.【答案】(1)x=﹣1;(2)S=﹣(x﹣)2+(0<x<1),当x=时,S的值最大,最大值为,.【解析】试题分析:(1)过O作OM∥AB交CE于点M,如图1,由平行线等分线段定理得到CM=ME,根据三角形的中位线定理得到AE=2OM=2OF,得到OM=OF,于是得到BF=BE=x,求得OF=OM=解方程,即可得到结果;(2)过P作PG⊥AB交AB的延长线于G,如图2,根据已知条件得到∠ECB=∠PEG,根据全等三角形的性质得到EB=PG=x,由三角形的面积公式得到S=(1﹣x)•x,根据二次函数的性质即可得到结论.试题解析:(1)过O作OM∥AB交CE于点M,如图1,∵OA=OC,∴CM=ME,∴AE=2OM=2OF,∴OM=OF,∴,∴BF=BE=x,∴OF=OM=,∵AB=1,∴OB=,∴,∴x=﹣1;(2)过P作PG⊥AB交AB的延长线于G,如图2,∵∠CEP=∠EBC=90°,∴∠ECB=∠PEG,∵PE=EC,∠EGP=∠CBE=90°,在△EPG与△CEB中,,∴△EPG≌△CEB,∴EB=PG=x,∴AE=1﹣x,∴S=(1﹣x)•x=﹣x2+x=﹣(x﹣)2+,(0<x<1),∵﹣<0,∴当x=时,S的值最大,最大值为,.考点:四边形综合题9.如图①,在△ABC中,AB=7,tanA=,∠B=45°.点P从点A出发,沿AB方向以每秒1个单位长度的速度向终点B运动(不与点A、B重合),过点P作PQ⊥AB.交折线AC-CB于点Q,以PQ为边向右作正方形PQMN,设点P的运动时间为t(秒),正方形PQMN 与△ABC重叠部分图形的面积为S(平方单位).(1)直接写出正方形PQMN的边PQ的长(用含t的代数式表示).(2)当点M落在边BC上时,求t的值.(3)求S与t之间的函数关系式.(4)如图②,点P运动的同时,点H从点B出发,沿B-A-B的方向做一次往返运动,在B-A上的速度为每秒2个单位长度,在A-B上的速度为每秒4个单位长度,当点H停止运动时,点P也随之停止,连结MH.设MH将正方形PQMN分成的两部分图形面积分别为S1、S2(平方单位)(0<S1<S2),直接写出当S2≥3S1时t的取值范围.【答案】(1) PQ=7-t.(2) t=.(3) 当0<t≤时,S=.当<t≤4,.当4<t<7时,.(4)或或.【解析】试题分析:(1)分两种情况讨论:当点Q在线段AC上时,当点Q在线段BC上时.(2)根据AP+PN+NB=AB,列出关于t的方程即可解答;(3)当0<t≤时,当<t≤4,当4<t<7时;(4)或或.试题解析:(1)当点Q在线段AC上时,PQ=tanAAP=t.当点Q在线段BC上时,PQ=7-t.(2)当点M落在边BC上时,如图③,由题意得:t+t+t=7,解得:t=.∴当点M落在边BC上时,求t的值为.(3)当0<t≤时,如图④,S=.当<t≤4,如图⑤,.当4<t<7时,如图⑥,.(4)或或..考点:四边形综合题.10.倡导研究性学习方式,着力教材研究,习题研究,是学生跳出题海,提高学习能力和创新能力的有效途径.下面是一案例,请同学们认真阅读、研究,完成“类比猜想”的问题.习题如图(1),点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°,连接EF,则EF=BE+DF,说明理由.解答:∵正方形ABCD中,AB=AD,∠BAD=∠ADC=∠B=90°,∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE′,点F、D、E′在一条直线上.∴∠E′AF=90°-45°=45°=∠EAF,又∵AE′=AE,AF=AF∴△AE′F≌△AEF(SAS)∴EF=E′F=DE′+DF=BE+DF.类比猜想:(1)请同学们研究:如图(2),在菱形ABCD中,点E、F分别在BC、CD上,当∠BAD=120°,∠EAF=60°时,还有EF=BE+DF吗?请说明理由.(2)在四边形ABCD中,点E、F分别在BC、CD上,当AB=AD,∠B+∠D=180°,∠EAF=∠BAD时,EF=BE+DF吗?请说明理由.【答案】证明见解析.【解析】试题分析:(1)把△ABE绕点A逆时针旋转120°至△ADE′,如图(2),连结E′F,根据菱形和旋转的性质得到AE=AE′,∠EAF=∠E′AF,利用“SAS”证明△AEF≌△AE′F,得到EF=E′F;由于∠ADE′+∠ADC=120°,则点F、D、E′不共线,所以DE′+DF>EF,即由BE+DF>EF;(2)把△ABE绕点A逆时针旋转∠BAD的度数至△ADE′,如图(3),根据旋转的性质得到AE′=AE,∠EAF=∠E′AF,然后利用“SAS”证明△AEF≌△AE′F,得到EF=E′F,由于∠ADE′+∠ADC=180°,知F、D、E′共线,因此有EF=DE′+DF=BE+DF;根据前面的条件和结论可归纳出结论.试题解析:(1)当∠BAD=120°,∠EAF=60°时,EF=BE+DF不成立,EF<BE+DF.理由如下:∵在菱形ABCD中,∠BAD=120°,∠EAF=60°,∴AB=AD,∠1+∠2=60°,∠B=∠ADC=60°,∴把△ABE绕点A逆时针旋转120°至△ADE′,如图(2),连结E′F,∴∠EAE′=120°,∠1=∠3,AE′=AE,DE′=BE,∠ADE′=∠B=60°,∴∠2+∠3=60°,∴∠EAF=∠E′AF,在△AEF和△AE′F中,∴△AEF≌△AE′F(SAS),∴EF=E′F,∵∠ADE′+∠ADC=120°,即点F、D、E′不共线,∴DE′+DF>EF∴BE+DF>EF;(2)当AB=AD,∠B+∠D=180°,∠EAF=∠BAD时,EF=BE+DF成立.理由如下:如图(3),∵AB=AD,∴把△ABE绕点A逆时针旋转∠BAD的度数至△ADE′,如图(3),∴∠EAE′=∠BAD,∠1=∠3,AE′=AE,DE′=BE,∠ADE′=∠B,∵∠B+∠D=180°,∴∠ADE′+∠D=180°,∴点F、D、E′共线,∵∠EAF=∠BAD,∴∠1+∠2=∠BAD,∴∠2+∠3=∠BAD,∴∠EAF=∠E′AF,在△AEF和△AE′F中,∴△AEF≌△AE′F(SAS),∴E F=E′F,∴EF=DE′+DF=BE+DF;归纳:在四边形ABCD中,点E、F分别在BC、CD上,当AB=AD,∠B+∠D=180°,∠EAF=∠BAD时,EF=BE+DF.考点:四边形综合题.。

全国中考数学平行四边形的综合中考真题汇总附答案

全国中考数学平行四边形的综合中考真题汇总附答案

∠ B,∠ D 都不是直角,则当∠ B 与∠ D 满足等量关系
时,仍有 EF=BE+DF;
(3)联想拓展
如图 3,在△ ABC 中,∠ BAC=90°,AB=AC,点 D、E 均在边 BC 上,且∠ DAE=45°,猜想 BD、DE、EC
满足的等量关系,并写出推理过程。
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)详见解析. 【解析】 试题分析:(1)把△ ABE 绕点 A 逆时针旋转 90°至△ ADG,可使 AB 与 AD 重合,证出 △ AFG≌ △ AFE,根据全等三角形的性质得出 EF=FG,即可得出答案; (2)把△ ABE 绕点 A 逆时针旋转 90°至△ ADG,可使 AB 与 AD 重合,证出△ AFE≌ △ AFG, 根据全等三角形的性质得出 EF=FG,即可得出答案;
BCFD=3× 3
3=9
3
,S△
ACF=
1 2
×3× 3
3 = 9 3 ,S = 平行四边形 ADBC 27 3 .
2
2
【点睛】
本题考查平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、等边三角形的性质、解直
角三角形、勾股定理等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于中考常考
题型.
2.如图所示,矩形 ABCD 中,点 E 在 CB 的延长线上,使 CE=AC,连接 AE,点 F 是 AE 的 中点,连接 BF、DF,求证:BF⊥DF.
∠ BAD=60°,∴ ∠ BAD=∠ ABC=60°,∵ E 为 AB 的中点,∴ AE=BE,又∵ ∠ AEF=∠ BEC,
∴ △ AEF≌ △ BEC,在△ ABC 中,∠ ACB=90°,E 为 AB 的中点,∴ CE= 1 AB,BE= 1 AB,

2021年全国中考数学真题分类汇编6---四边形

2021年全国中考数学真题分类汇编6---四边形

2021年全国中考数学真题分类汇编四边形一、选择题(共20小题)1.(2021•资阳)下列命题正确的是()A .每个内角都相等的多边形是正多边形B .对角线互相平分的四边形是平行四边形C .过线段中点的直线是线段的垂直平分线D .三角形的中位线将三角形的面积分成1:2两部分2.(2021•株洲)如图所示,在正六边形ABCDEF 内,以AB 为边作正五边形ABGHI ,则(FAI ∠=)A .10︒B .12︒C .14︒D .15︒3.(2021•株洲)如图所示,四边形ABCD 是平行四边形,点E 在线段BC 的延长线上,若132DCE ∠=︒,则(A ∠=)A .38︒B .48︒C .58︒D .66︒4.(2021•扬州)如图,点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内连接AB 、BC 、CD 、DE 、EA ,若100BCD ∠=︒,则(A B D E ∠+∠+∠+∠=)A .220︒B .240︒C .260︒D .280︒5.(2021•湘西州)如图,在菱形ABCD 中,E 是AC 的中点,//EF CD ,交AD 于点F ,如果 5.5EF =,那么菱形ABCD 的周长是()A .11B .22C .33D .446.(2021•无锡)如图,D 、E 、F 分别是ABC ∆各边中点,则以下说法错误的是()A .BDE ∆和DCF ∆的面积相等B .四边形AEDF 是平行四边形C .若AB BC =,则四边形AEDF 是菱形D .若90A ∠=︒,则四边形AEDF 是矩形7.(2021•铜仁市)用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接,彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片,这就是平面图形的镶嵌.工人师傅不能用下列哪种形状、大小完全相同的一种地砖在平整的地面上镶嵌()A.等边三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形8.(2021•苏州)如图,在平行四边形ABCD中,将ABC∆沿着AC所在的直线折叠得到△AC=,则B D'的长是() AB C',B C'交AD于点E,连接B D',若60B∠=︒,45∠=︒,6ACBA.1B.2C.3D.629.(2021•绍兴)如图,菱形ABCD中,60-方向∠=︒,点P从点B出发,沿折线BC CDB移动,移动到点D停止.在ABP∆形状的变化过程中,依次出现的特殊三角形是()A.直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形B.直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形C.直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形D.等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形10.(2021•绍兴)数学兴趣小组同学从“中国结”的图案(图1)中发现,用相同的菱形纵向排列放置,可得到更多的菱形.如图2,用2个相同的菱形放置,得到3个菱形.下面说法正确的是()A .用3个相同的菱形放置,最多能得到6个菱形B .用4个相同的菱形放置,最多能得到16个菱形C .用5个相同的菱形放置,最多能得到27个菱形D .用6个相同的菱形放置,最多能得到41个菱形11.(2021•宁波)如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形ABCD ,相邻纸片之间互不重叠也无缝隙,其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为1S ,另两张直角三角形纸片的面积都为2S ,中间一张矩形纸片EFGH 的面积为3S ,FH 与GE 相交于点O .当AEO ∆,BFO ∆,CGO ∆,DHO ∆的面积相等时,下列结论一定成立的是()A .12S S =B .13S S =C .AB AD =D .EH GH =12.(2021•南充)如图,点O 是ABCD 对角线的交点,EF 过点O 分别交AD ,BC 于点E ,F ,下列结论成立的是()A .OE OF =B .AE BF =C .DOC OCD ∠=∠D .CFE DEF ∠=∠13.(2021•眉山)如图,在矩形ABCD 中,对角线AC ,BD 相交于点O ,6AB =,60DAC ∠=︒,点F 在线段AO 上从点A 至点O 运动,连接DF ,以DF 为边作等边三角形DFE ,点E 和点A 分别位于DF 两侧,下列结论:①BDE EFC ∠=∠;②ED EC =;③ADF ECF ∠=∠;④点E 运动的路程是23,其中正确结论的序号为()A .①④B .①②③C .②③④D .①②③④14.(2021•泸州)下列命题是真命题的是()A .对角线相等的四边形是平行四边形B .对角线互相平分且相等的四边形是矩形C .对角线互相垂直的四边形是菱形D .对角线互相垂直平分的四边形是正方形15.(2021•乐山)如图,已知点P 是菱形ABCD 的对角线AC 延长线上一点,过点P 分别作AD 、DC 延长线的垂线,垂足分别为点E 、F .若120ABC ∠=︒,2AB =,则PE PF -的值为()A .32B 3.2D .5216.(2021•河北)如图1,ABCD 中,AD AB >,ABC ∠为锐角.要在对角线BD 上找点N ,M ,使四边形ANCM 为平行四边形,现有图2中的甲、乙、丙三种方案,则正确的方案()A .甲、乙、丙都是B .只有甲、乙才是C .只有甲、丙才是D .只有乙、丙才是17.(2021•广元)下列命题中,真命题是()A .1122x x-= B .对角线互相垂直的四边形是菱形C .顺次连接矩形各边中点的四边形是正方形D .已知抛物线245y x x =--,当15x -<<时,0y <18.(2021•成都)如图,四边形ABCD 是菱形,点E ,F 分别在BC ,DC 边上,添加以下条件不能判定ABE ADF ∆≅∆的是()A .BE DF =B .BAE DAF ∠=∠C .AE AD =D .AEB AFD ∠=∠19.(2021•包头)如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC 的OA 边在x 轴的正半轴上,OC边在y 轴的正半轴上,点B 的坐标为(4,2),反比例函数2(0)y x x =>的图象与BC 交于点D ,与对角线OB 交于点E ,与AB 交于点F ,连接OD ,DE ,EF ,DF .下列结论: ①sin cos DOC BOC ∠=∠;②OE BE =;③DOE BEF S S ∆∆=;④:2:3OD DF =.其中正确的结论有()A .4个B .3个C .2个D .1个20.(2021•包头)如图,在ABC ∆中,AB AC =,DBC ∆和ABC ∆关于直线BC 对称,连接AD ,与BC 相交于点O ,过点C 作CE CD ⊥,垂足为C ,AD 相交于点E ,若8AD =,6BC =,则2OE AE BD+的值为()A .43B .34C .53D .54二、填空题(共20小题)21.(2021•淄博)两张宽为3cm 的纸条交叉重叠成四边形ABCD ,如图所示.若30α∠=︒,则对角线BD 上的动点P 到A ,B ,C 三点距离之和的最小值是.22.(2021•株洲)如图所示,线段BC为等腰ABC∆的底边,矩形ADBE的对角线AB与DE 交于点O,若2OD=,则AC=.23.(2021•长沙)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是边AB的中点,若6OE=,则BC的长为.24.(2021•枣庄)如图,45=,点A在OB上,四边形ABCD是矩形,∠=︒,BO DOBOD连接AC,BD交于点E,连接OE交AD于点F.下列4个判断:①OE BDADB∠=︒;⊥;②30③2=;④若点G是线段OF的中点,则AEGDF AF∆为等腰直角三角形,其中,判断正确的是.(填序号)25.(2021•云南)已知ABC∆的三个顶点都是同一个正方形的顶点,ABC∠的平分线与线段AC交于点D.若ABC∆的一条边长为6,则点D到直线AB的距离为.26.(2021•益阳)如图,已知四边形ABCD是平行四边形,从①AB AD=,②AC BD=,③ABC ADC∠=∠中选择一个作为条件,补充后使四边形ABCD成为菱形,则其选择是(限填序号).27.(2021•新疆)四边形的外角和等于︒.28.(2021•湘潭)如图,在ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E是边AB的中点.已知10BC=,则OE=.29.(2021•绍兴)图1是一种矩形时钟,图2是时钟示意图,时钟数字2的刻度在矩形ABCD的对角线BD上,时钟中心在矩形ABCD对角线的交点O上.若30=,则BC长为cm(结AB cm果保留根号).30.(2021•黔东南州)如图,BD是菱形ABCD的一条对角线,点E在BC的延长线上,若∠的度数为度.∠=︒,则DCE32ADB31.(2021•宁波)如图,在矩形ABCD中,点E在边AB上,BEC∆关于直线EC对∆与FEC称,点B的对称点F在边AD上,G为CD中点,连结BG分别与CE,CF交于M,N两点.若BM BE=,1∠的值为.MG=,则BN的长为,sin AFE32.(2021•牡丹江)如图,在四边形ABCD中,AB DC=,请添加一个条件,使四边形ABCD 成为平行四边形,你所添加的条件为.33.(2021•连云港)如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,OE AD⊥,垂足为E,8BD=,则OE的长为.AC=,634.(2021•黄冈)正五边形的一个内角是度.35.(2021•黑龙江)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,在不添加任何辅助线的情况下,请你添加一个条件,使平行四边形ABCD是矩形.36.(2021•黑龙江)如图,在ABC∆中,D,E,F分别是AB,BC和AC边的中点,请添加一个条件,使四边形BEFD为矩形.(填一个即可)37.(2021•黑龙江)如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,在不添加任何辅助线的情况下,请你添加一个条件,使矩形ABCD是正方形.38.(2021•贺州)如图,在边长为6的正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,3=BC BE 且BE CF⊥,垂足为G,O是对角线BD的中点,连接OG,则OG的长为.=,AE BF39.(2021•哈尔滨)四边形ABCD是平行四边形,6∠的平分线交直线BC于点AB=,BADE,若2CE=,则ABCD的周长为.40.(2021•北京)如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在BC,AD上,AF EC=.只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形,这个条件可以是(写出一个即可).三、解答题(共20小题)41.(2021•长沙)如图,ABCD的对角线AC,BD相交于点O,OABAB=.∆是等边三角形,4(1)求证:ABCD是矩形;(2)求AD的长.42.(2021•岳阳)如图,在四边形ABCD中,AE BD⊥,CF BD⊥,垂足分别为点E,F.(1)请你只添加一个条件(不另加辅助线),使得四边形AECF为平行四边形,你添加的条件是;(2)添加了条件后,证明四边形AECF为平行四边形.43.(2021•玉林)如图,在四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,已知OA OC =,OB OD =,过点O 作EF BD ⊥,分别交AB 、DC 于点E ,F ,连接DE ,BF .(1)求证:四边形DEBF 是菱形:(2)设//AD EF ,12AD AB +=,43BD =,求AF 的长.44.(2021•益阳)如图,在矩形ABCD 中,已知6AB =,30DBC ∠=︒,求AC 的长.45.(2021•梧州)如图,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别为边BC ,CD 上的点,且AE BF ⊥于点P ,G 为AD 的中点,连接GP ,过点P 作PH GP ⊥交AB 于点H ,连接GH .(1)求证:BE CF =;(2)若6AB =,13BE BC =,求GH 的长.46.(2021•遂宁)如图,在ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点O的直线EF与BA、DC的延长线分别交于点E、F.(1)求证:AE CF=;(2)请再添加一个条件,使四边形BFDE是菱形,并说明理由.47.(2021•随州)如图,在菱形ABCD中,E,F是对角线AC上的两点,且AE CF=.(1)求证:ABE CDF∆≅∆;(2)求证:四边形BEDF是菱形.48.(2021•十堰)如图,已知ABC∆中,D是AC的中点,过点D作DE AC⊥交BC于点E,过点A作//AF BC交DE于点F,连接AE、CF.(1)求证:四边形AECF是菱形;(2)若2∠=︒,求AB的长.B∠=︒,45FACCF=,3049.(2021•绍兴)问题:如图,在ABCD 中,8AB =,5AD =,DAB ∠,ABC ∠的平分线AE ,BF 分别与直线CD 交于点E ,F ,求EF 的长.答案:2EF =.探究:(1)把“问题”中的条件“8AB =”去掉,其余条件不变. ①当点E 与点F 重合时,求AB 的长;②当点E 与点C 重合时,求EF 的长.(2)把“问题”中的条件“8AB =,5AD =”去掉,其余条件不变,当点C ,D ,E ,F 相邻两点间的距离相等时,求AD AB的值.50.(2021•邵阳)如图,在正方形ABCD 中,对角线AC ,BD 相交于点O ,点E ,F 是对角线AC 上的两点,且AE CF =.连接DE ,DF ,BE ,BF .(1)证明:ADE CBF ∆≅∆.(2)若42AB =,2AE =,求四边形BEDF 的周长.51.(2021•聊城)如图,在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,且AO CO=,点E在BD上,满足EAO DCO∠=∠.(1)求证:四边形AECD是平行四边形;(2)若AB BC=,5AC=,求四边形AECD的面积.CD=,852.(2021•连云港)如图,点C是BE的中点,四边形ABCD是平行四边形.(1)求证:四边形ACED是平行四边形;(2)如果AB AE=,求证:四边形ACED是矩形.53.(2021•荆门)如图,点E是正方形ABCD的边BC上的动点,90=,AEF∠=︒,且EF AE ⊥.FH BH(1)求证:BE CH=;(2)若3=,用x表示DF的长.AB=,BE x54.(2021•呼和浩特)如图,四边形ABCD是平行四边形,//BE DF且分别交对角线AC于点E,F.(1)求证:ABE CDF∆≅∆;(2)当四边形ABCD分别是矩形和菱形时,请分别说出四边形BEDF的形状.(无需说明理由)55.(2021•菏泽)如图,在菱形ABCD中,点M、N分别在AB、CB上,且ADM CDN∠=∠,求证:BM BN=.56.已知四边形ABCD是正方形,点E在边DA的延长线上,连接CE交AB于点G,过点B 作BM CE⊥,垂足为点M,BM的延长线交AD于点F,交CD的延长线于点H.(1)如图1,求证:CE BH=;(2)如图2,若AE AB=,连接CF,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中的四个三角形(AEG∆除外),使写出的每个三角形都与AEG∆全等.57.(2021•桂林)如图,在平行四边形ABCD中,点O是对角线BD的中点,EF过点O,交AB于点E,交CD于点F.(1)求证:12∠=∠;(2)求证:DOF BOE∆≅∆.58.(2021•广安)如图,四边形ABCD是菱形,点E、F分别在边AB、AD的延长线上,且BE DF=,连接CE、CF.求证:CE CF=.59.(2021•丹东)如图,在平行四边形ABCD中,点O是AD的中点,连接CO并延长交BA 的延长线于点E,连接AC、DE.(1)求证:四边形ACDE是平行四边形;(2)若AB AC=,判断四边形ACDE的形状,并说明理由.60.(2021•郴州)如图,四边形ABCD中,AB DC=,将对角线AC向两端分别延长至点E,=.证明:四边形ABCD是平行四边形.F,使AE CF=.连接BE,DF,若BE DF。

2020年中考数学一轮专项复习——矩形、菱形、正方形(含解析)

2020年中考数学一轮专项复习——矩形、菱形、正方形(含解析)

第3题图A. 20 °B.302020年中考数学一轮专项复习一一矩形、菱形、正方形课时1 矩形■基础过关1. (2019重庆模拟)下列关于矩形对角线的说法中,正确的是 ( )A.对角线相互垂直B.面积等于对角线乘积的一半C.对角线平分一组对角D.对角线相等2 . (2019临沂)如图,在?ABCD 中,M, N 是BD 上两点,个条件,使四边形 AMCN 是矩形,这个条件是()B. MB= MOD. / AMB = Z CNDBM = DN,连接 AM, MC , CN, NA.添加一1A. OM =2ACC. BD± AC3 .如图,将矩形纸片 数为( )ABCD 沿BD 折叠,得到△ BCD, CD 与AB 交于点E.若/1 = 35°,则/ 2的度第2题图5.如图,矩形 ABCD 中,A (-2, 0), B (2, 0), C (2, 2),将AB 绕点A 旋转,使点 B 落在边CD 上的点E 处,则点E 的坐标为()B. (2击,2) D. (2^3-2, 2)4. (2019贵阳模拟)如图,在矩形ABCD ( ) ABCD 中,AE 平分/ BAD,交边BC 于点E,若ED=5, EC=3,则A. 11B. 14C. 22D. 28A.(a 2) C. (1 ,6.如图,在矩形ABCD 中,对角线 AC 与BD 相交于点 O,过点A 作BD 的垂线,垂足为E.已知/ EAD= 3/BAE,则/ EAO 的度数为(A . 22.5B. 67.5C. 45°D. 60°7 . (2020原创)如图,点O 是矩形 则^ BOE 的周长为()ABCD 对角线 AC 的中点,OE // AB 交AD 于点E.若AB=6, BC=8,A. 10B. 8 + 2^5C. 8+2^13D. 14E第4题图第5题图4第6题图10.(人教八下P55练习2题)如图,?ABCD的对角线AC、BD交于点O, △ OAB是等边三角形,AB =4.(1)求证:四边形ABCD是矩形;(2)求四边形ABCD的面积.8. (2018遵义)如图,点P是矩形ABCD的对角线AC上一点, 点E, F,连接PB、PD.若AE=2, PF = 8.则图中阴影部分的面积为过点P作EF // BC,分别交AB, CD于A. 10 8.12 C. 16D. 189.(2019徐州)如图,矩形ABCD中,AC、BD交于点O, M、N分别为BC、OC的中点,若MN = 4, 则AC的长为第7题图第8题图第9题图第10题图11 . (2019怀化)已知:如图,在?ABCD中,AEXBC, CFXAD, E, F分别为垂足.⑴求证:△ ABE^A CDF ;(2)求证:四边形AECF是矩形.第11题图12 . (2019连云港)如图,在^ ABC中,AB = AC>AABC沿着BC方向平移得到△ DEF ,其中点E在边BC上,DE 与AC相交于点O.(1)求证:△ OEC为等腰三角形;(2)连接AE、DC、AD,当点E在什么位置时,四边形AECD为矩形,并说明理由.第12题图1 . (2019台州)如图,有两张矩形纸片 ABCD 和EFGH, AB=EF =2 cm, BC = FG=8 cm 把纸片 ABCD 交叉叠放在纸片 EFGH 上,使重叠部分为平行四边形,且点 D 与点G 重合,当两张纸片交叉所成的角 “最 小时,tan a 等于()2 .如图,在矩形 ABCD 中,AB = 4, BC = 6, E 是矩形内部的一个动点,且 AEXBE,则线段CE 的最 小值为.A.B. 2C. 187D.8_15;1 DB EC F第1题图第2题图立满分冲关1. (2019眉山模拟)如图,在矩形ABCD中,E是AD边的中点,BEXAC,垂足为点F,连接DF ,分析下列四个结论:① CF = 3AF;②AB=DF;③DF = ^BC;④S四边形CDEF^S MBF.其中正确白结论有( )第1题图A . 1个B,2个C,3个D,4个【错误结论纠正】请将错误结论改正确.2 .如图,在矩形ABCD中,ZBAC=30°,对角线AC, BD交于点O, / BCD的平分线CE分别交AB, BD于点E, H,连接OE.(1)求/ BOE的度数;(2)若BC=1,求^ BCH的面积;(3)求S A CHO :S^BHE的值.H E第2题图课时2菱形(建议时间:40分钟)名■基础过关1. (2019玉林)菱形不具备的性质是()A.是轴对称图形B.是中心对称图形C.对角线互相垂直D.对角线一定相等2. (2019 河北)如图,菱形ABCD 中,/ D= 150°,则/ 1 =()A.30 °B. 25 °C. 20 °D. 15 °DB第2题图3. (2019襄阳)如图,分别以线段AB的两个端点为圆心,大于AB的一半的长为半径画弧,两弧分别交于C, D两点,连接AC, BC, AD, BD,则四边形ADBC一定是()A.正方形B.矩形第3题图4. (2019呼和浩特)已知菱形的边长为3,较短的一条对角线的长为2,则该菱形较长的一条对角线的长为()A.2 2B. 2 . 5C. 4 2D. 2 . 105. (2019宁夏)如图,四边形ABCD的两条对角线相交于点O,且互相平分.添加下列条件,仍不能判定四边形ABCD为菱形的是()A.AC± BDB.AB = ADC.AC= BDD./ ABD = Z CBD,4第5题图6 . (2019赤峰)如图,菱形ABCD的周长为20,对角线AC、BD相交于点O, E是CD的中点,则OE 的长是()A. 2.5B. 3第6题图7. (2019天津)如图,四边形ABCD 为菱形,A, B两点的坐标分别是(2, 0), (0, 1),点C, D在坐标轴上,则菱形ABCD的周长等于(y6D第7题图A. 5B.4 3C.4 5D. 208 . (2019永州)如图,四边形ABCD的对角线相交于点O,且点。

历年初三数学中考四边形试题分类汇编及答案

历年初三数学中考四边形试题分类汇编及答案

中考数学四边形试题分类汇编一、选择题1、下列命题中,错误的是( )B A .矩形的对角线互相平分且相等 B .对角线互相垂直的四边形是菱形 C .等腰梯形的两条对角线相等D .等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等2、如图,在周长为20cm 的□ABCD 中,AB ≠AD ,AC 、BD 相交于点O ,OE ⊥BD 交AD 于E ,则△ABE 的周长为( )D (A)4cm (B)6cm(C)8cm (D)10cm3、如图2,四边形ABCD 为矩形纸片.把纸片ABCD 折叠,使点B 恰好落在CD 边的中点E 处,折痕为AF .若CD =6,则AF 等于 ( )A(A )34 (B )33 (C )24(D )84、在下列命题中,正确的是( )CA .一组对边平行的四边形是平行四边形B .有一个角是直角的四边形是矩形C .有一组邻边相等的平行四边形是菱形D .对角线互相垂直平分的四边形是正方形 5、顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是 ( )A A .平行四边形 B .菱形 C .矩形 D .正方形 6、如图,在菱形ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点O ,E 为BC 的 中点,则下列式子中一定成立的是( )B A .AC=2OE B .BC=2OE C .AD=OE D .OB=OE7、下列命题中的假命题是( ).DA .一组邻边相等的平行四边形是菱形B .一组邻边相等的矩形是正方形c 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D .一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形8、在梯形ABCD 中,AD//BC ,对角线AC ⊥BD ,且cm AC 5 ,BD=12c m ,则梯形中位线的长等于( )CA. 7.5cmB. 7cmC. 6.5cmD. 6cm 9、如图,在菱形ABCD 中,不一定成立的( )C (A )四边形ABCD 是平行四边形 (B )AC ⊥BD (C )△ABD 是等边三角形(D )∠CAB =∠CAD10、国家级历史文化名城——金华,风光秀丽,花木葱茏.某广场上一个形状是平行四边形的花坛(如图),分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花.如果有AB EF DC ∥∥,BC GH AD ∥∥,那么下列说法中错误的是( )C A .红花、绿花种植面积一定相等 B .紫花、橙花种植面积一定相等 C .红花、蓝花种植面积一定相等 D .蓝花、黄花种植面积一定相等黄 蓝紫 橙红 绿 A G E D HC F B 第10题 AB CDOEAB CD EF 图 2AB CDA B C D E F O11、如图(1),在平面四边形ABCD 中,CE AB ⊥,E 为垂足.如果125A =o ∠,则BCE =∠( )BA.55oB.35oC.25oD.30o12、下列命题中,真命题是( )D A.两条对角线相等的四边形是矩形 B.两条对角线互相垂直的四边形是菱形C.两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形二、填空题1、四边形的内角和等于__________.360°2、如图,在四边形ABCD 中,E 、F 、G 、H 分别是AB 、BD 、CD 、AC的中点,要使四边形EFGH 是菱形,四边形ABCD 还应满足的一个条件是 。

人教备战中考数学《平行四边形的综合》专项训练含详细答案

人教备战中考数学《平行四边形的综合》专项训练含详细答案

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.已知:在菱形ABCD中,E,F是BD上的两点,且AE∥CF.求证:四边形AECF是菱形.【答案】见解析【解析】【分析】由菱形的性质可得AB∥CD,AB=CD,∠ADF=∠CDF,由“SAS”可证△ADF≌△CDF,可得AF=CF,由△ABE≌△CDF,可得AE=CF,由平行四边形的判定和菱形的判定可得四边形AECF是菱形.【详解】证明:∵四边形ABCD是菱形∴AB∥CD,AB=CD,∠ADF=∠CDF,∵AB=CD,∠ADF=∠CDF,DF=DF∴△ADF≌△CDF(SAS)∴AF=CF,∵AB∥CD,AE∥CF∴∠ABE=∠CDF,∠AEF=∠CFE∴∠AEB=∠CFD,∠ABE=∠CDF,AB=CD∴△ABE≌△CDF(AAS)∴AE=CF,且AE∥CF∴四边形AECF是平行四边形又∵AF=CF,∴四边形AECF是菱形【点睛】本题主要考查菱形的判定定理,首先要判定其为平行四边形,这是菱形判定的基本判定.2.如图,四边形ABCD中,∠BCD=∠D=90°,E是边AB的中点.已知AD=1,AB=2.(1)设BC=x,CD=y,求y关于x的函数关系式,并写出定义域;(2)当∠B=70°时,求∠AEC的度数;(3)当△ACE为直角三角形时,求边BC的长.【答案】(1)()22303y x x x =-++<<;(2)∠AEC =105°;(3)边BC 的长为2117+. 【解析】试题分析:(1)过A 作AH ⊥BC 于H ,得到四边形ADCH 为矩形.在△BAH 中,由勾股定理即可得出结论.(2)取CD 中点T ,连接TE ,则TE 是梯形中位线,得ET ∥AD ,ET ⊥CD ,∠AET =∠B =70°.又AD =AE =1,得到∠AED =∠ADE =∠DET =35°.由ET 垂直平分CD ,得∠CET =∠DET =35°,即可得到结论.(3)分两种情况讨论:①当∠AEC =90°时,易知△CBE ≌△CAE ≌△CAD ,得∠BCE =30°, 解△ABH 即可得到结论.②当∠CAE =90°时,易知△CDA ∽△BCA ,由相似三角形对应边成比例即可得到结论. 试题解析:解:(1)过A 作AH ⊥BC 于H .由∠D =∠BCD =90°,得四边形ADCH 为矩形. 在△BAH 中,AB =2,∠BHA =90°,AH =y ,HB =1x -,∴22221y x =+-, 则()22303y x x x =-++<<(2)取CD 中点T ,联结TE ,则TE 是梯形中位线,得ET ∥AD ,ET ⊥CD ,∴∠AET =∠B =70°.又AD =AE =1,∴∠AED =∠ADE =∠DET =35°.由ET 垂直平分CD ,得∠CET =∠DET =35°,∴∠AEC =70°+35°=105°.(3)分两种情况讨论:①当∠AEC =90°时,易知△CBE ≌△CAE ≌△CAD ,得∠BCE =30°, 则在△ABH 中,∠B =60°,∠AHB =90°,AB =2,得BH =1,于是BC =2.②当∠CAE =90°时,易知△CDA ∽△BCA ,又2224AC BC AB x =-- 则22411724AD CA x x AC CB x x -=⇒=⇒=-(舍负) 易知∠ACE <90°,所以边BC 117+ 综上所述:边BC 的长为2117+.点睛:本题是四边形综合题.考查了梯形中位线,相似三角形的判定与性质.解题的关键是掌握梯形中常见的辅助线作法.3.在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,且∠EAF=∠CEF=45°.(1)将△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△ABG(如图①),求证:△AEG≌△AEF;(2)若直线EF与AB,AD的延长线分别交于点M,N(如图②),求证:EF2=ME2+NF2;(3)将正方形改为长与宽不相等的矩形,若其余条件不变(如图③),请你直接写出线段EF,BE,DF之间的数量关系.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)EF2=2BE2+2DF2.【解析】试题分析:(1)根据旋转的性质可知AF=AG,∠EAF=∠GAE=45°,故可证△AEG≌△AEF;(2)将△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△ABG,连结GM.由(1)知△AEG≌△AEF,则EG=EF.再由△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形,得出CE=CF,BE=BM,NF=DF,然后证明∠GME=90°,MG=NF,利用勾股定理得出EG2=ME2+MG2,等量代换即可证明EF2=ME2+NF2;(3)将△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△ABG,根据旋转的性质可以得到△ADF≌△ABG,则DF=BG,再证明△AEG≌△AEF,得出EG=EF,由EG=BG+BE,等量代换得到EF=BE+DF.试题解析:(1)∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△ABG,∴AF=AG,∠FAG=90°,∵∠EAF=45°,∴∠GAE=45°,在△AGE与△AFE中,,∴△AGE≌△AFE(SAS);(2)设正方形ABCD的边长为a.将△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△ABG,连结GM.则△ADF≌△ABG,DF=BG.由(1)知△AEG≌△AEF,∴EG=EF.∵∠CEF=45°,∴△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形,∴CE=CF ,BE=BM,NF=DF,∴a﹣BE=a﹣DF,∴BE=DF,∴BE=BM=DF=BG,∴∠BMG=45°,∴∠GME=45°+45°=90°,∴EG2=ME2+MG2,∵EG=EF ,MG=BM=DF=NF,∴EF2=ME2+NF2;(3)EF2=2BE2+2DF2.如图所示,延长EF交AB延长线于M点,交AD延长线于N点,将△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△AGH,连结HM,HE.由(1)知△AEH≌△AEF,则由勾股定理有(GH+BE)2+BG2=EH2,即(GH+BE)2+(BM﹣GM)2=EH2又∴EF=HE,DF=GH=GM,BE=BM,所以有(GH+BE)2+(BE﹣GH)2=EF2,即2(DF2+BE2)=EF2考点:四边形综合题4.如图,在平行四边形ABCD中,AD⊥DB,垂足为点D,将平行四边形ABCD折叠,使点B落在点D的位置,点C落在点G的位置,折痕为EF,EF交对角线BD于点P.(1)连结CG,请判断四边形DBCG的形状,并说明理由;(2)若AE=BD,求∠EDF的度数.【答案】(1)四边形BCGD是矩形,理由详见解析;(2)∠EDF=120°.【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质和折叠性质以及矩形的判定解答即可;(2)根据折叠的性质以及直角三角形的性质和等边三角形的判定与性质解答即可.【详解】解:(1)四边形BCGD是矩形,理由如下,∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC∥AD,即BC∥DG,由折叠可知,BC=DG,∴四边形BCGD是平行四边形,∵AD⊥BD,∴∠CBD=90°,∴四边形BCGD是矩形;(2)由折叠可知:EF垂直平分BD,∴BD⊥EF,DP=BP,∵AD⊥BD,∴EF∥AD∥BC,∴AE PD1BE BP==∴AE=BE,∴DE是Rt△ADB斜边上的中线,∴DE=AE=BE,∵AE=BD,∴DE=BD=BE,∴△DBE是等边三角形,∴∠EDB=∠DBE=60°,∵AB∥DC,∴∠DBC=∠DBE=60°,∴∠EDF=120°.【点睛】本题考查了平行四边形的性质,折叠性质,等边三角形的性质和判定,主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力,题目综合性比较强,有一定的难度5.如图,在平面直角坐标系中,直线DE交x轴于点E(30,0),交y轴于点D(0,40),直线AB:y=13x+5交x轴于点A,交y轴于点B,交直线DE于点P,过点E作EF⊥x轴交直线AB于点F,以EF为一边向右作正方形EFGH.(1)求边EF的长;(2)将正方形EFGH沿射线FB个单位的速度匀速平移,得到正方形E1F1G1H1,在平移过程中边F1G1始终与y轴垂直,设平移的时间为t秒(t>0).①当点F1移动到点B时,求t的值;②当G1,H1两点中有一点移动到直线DE上时,请直接写出此时正方形E1F1G1H1与△APE 重叠部分的面积.【答案】(1)EF=15;(2)①10;②120;【解析】【分析】(1)根据已知点E(30,0),点D(0,40),求出直线DE的直线解析式y=-43x+40,可求出P点坐标,进而求出F点坐标即可;(2)①易求B(0,5),当点F1移动到点B时,1010=10;②F点移动到F'10t,F垂直x轴方向移动的距离是t,当点H运动到直线DE上时,在Rt△F'NF中,NFNF'=13,EM=NG'=15-F'N=15-3t,在Rt△DMH'中,43MHEM'=,t=4,S=12×(12+454)×11=10238;当点G运动到直线DE上时,在Rt△F'PK中,PKF K'=13,PK=t-3,F'K=3t-9,在Rt△PKG'中,PKKG'=31539tt--+=43,t=7,S=15×(15-7)=120.【详解】(1)设直线DE的直线解析式y=kx+b,将点E(30,0),点D(0,40),∴30040k bb+=⎧⎨=⎩,∴4340kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩,∴y=﹣43x+40,直线AB与直线DE的交点P(21,12),由题意知F(30,15),∴EF=15;(2)①易求B(0,5),∴BF=10,∴当点F1移动到点B时,t=1010=10;②当点H 运动到直线DE 上时,F 点移动到F'的距离是10t , 在Rt △F'NF 中,NF NF '=13, ∴FN =t ,F'N =3t ,∵MH'=FN =t ,EM =NG'=15﹣F'N =15﹣3t ,在Rt △DMH'中,43MH EM '=, ∴41533t t =-, ∴t =4, ∴EM =3,MH'=4,∴S =1451023(12)11248⨯+⨯=; 当点G 运动到直线DE 上时,F 点移动到F'10,∵PF =10∴PF'10t ﹣10,在Rt △F'PK 中,13PK F K =',∴PK=t﹣3,F'K=3t﹣9,在Rt△PKG'中,PKKG'=31539tt--+=43,∴t=7,∴S=15×(15﹣7)=120.【点睛】本题考查一次函数图象及性质,正方形的性质;掌握待定系数法求函数解析式,利用三角形的正切值求边的关系,利用勾股定理在直角三角形中建立边之间的联系,准确确定阴影部分的面积是解题的关键.6.正方形ABCD,点E在边BC上,点F在对角线AC上,连AE.(1)如图1,连EF,若EF⊥AC,4AF=3AC,AB=4,求△AEF的周长;(2)如图2,若AF=AB,过点F作FG⊥AC交CD于G,点H在线段FG上(不与端点重合),连AH.若∠EAH=45°,求证:EC=HG+2FC.【答案】(1)25422)证明见解析【解析】【分析】(1)由正方形性质得出AB=BC=CD=AD=4,∠B=∠D=90°,∠ACB=∠ACD=∠BAC=∠ACD=45°,得出AC2AB=2,求出AF=2,CF=AC﹣AF2,求出△CEF 是等腰直角三角形,得出EF=CF2,CE2CF=2,在Rt△AEF中,由勾股定理求出AE,即可得出△AEF的周长;(2)延长GF交BC于M,连接AG,则△CGM和△CFG是等腰直角三角形,得出CM=CG,CG2CF,证出BM=DG,证明Rt△AFG≌Rt△ADG得出FG=DG,BM=FG,再证明△ABE≌△AFH,得出BE=FH,即可得出结论.【详解】(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC=CD=AD=4,∠B=∠D=90°,∠ACB=∠ACD=∠BAC=∠ACD=45°,∴AC2AB=2,∵4AF=3AC=2,∴AF=2∴CF=AC﹣AF2∵EF ⊥AC ,∴△CEF 是等腰直角三角形,∴EF =CF =2,CE=2CF =2,在Rt △AEF 中,由勾股定理得:AE =2225AF EF +=, ∴△AEF 的周长=AE +EF +AF =252322542++=+; (2)证明:延长GF 交BC 于M ,连接AG ,如图2所示:则△CGM 和△CFG 是等腰直角三角形,∴CM =CG ,CG 2,∴BM =DG ,∵AF =AB ,∴AF =AD ,在Rt △AFG 和Rt △ADG 中,AG AG AF AD =⎧⎨=⎩, ∴Rt △AFG ≌Rt △ADG (HL ),∴FG =DG ,∴BM =FG ,∵∠BAC =∠EAH =45°,∴∠BAE =∠FAH ,∵FG ⊥AC ,∴∠AFH =90°,在△ABE 和△AFH 中,90B AFH AB AFBAE FAH ︒⎧∠=∠=⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ∴△ABE ≌△AFH (ASA ),∴BE =FH ,∵BM =BE +EM ,FG =FH +HG ,∴EM =HG ,∵EC =EM +CM ,CM =CG 2CF ,∴EC =HG 2.【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识;熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质,证明三角形全等是解题的关键.7.问题情境在四边形ABCD 中,BA =BC ,DC ⊥AC ,过点D 作DE ∥AB 交BC 的延长线于点E ,M 是边AD 的中点,连接MB ,ME.特例探究(1)如图1,当∠ABC =90°时,写出线段MB 与ME 的数量关系,位置关系;(2)如图2,当∠ABC =120°时,试探究线段MB 与ME 的数量关系,并证明你的结论; 拓展延伸(3)如图3,当∠ABC =α时,请直接用含α的式子表示线段MB 与ME 之间的数量关系.【答案】(1)MB =ME ,MB ⊥ME ;(2)ME =3MB .证明见解析;(3)ME =MB·tan 2α. 【解析】【分析】(1)如图1中,连接CM .只要证明△MBE 是等腰直角三角形即可;(2)结论:EM=3MB .只要证明△EBM 是直角三角形,且∠MEB=30°即可; (3)结论:EM=BM•tan2α.证明方法类似; 【详解】(1) 如图1中,连接CM .∵∠ACD=90°,AM=MD ,∴MC=MA=MD ,∵BA=BC ,∴BM 垂直平分AC ,∵∠ABC=90°,BA=BC ,∴∠MBE=12∠ABC=45°,∠ACB=∠DCE=45°, ∵AB ∥DE ,∴∠ABE+∠DEC=180°,∴∠DEC=90°,∴∠DCE=∠CDE=45°,∴EC=ED ,∵MC=MD ,∴EM 垂直平分线段CD ,EM 平分∠DEC ,∴∠MEC=45°,∴△BME 是等腰直角三角形,∴BM=ME ,BM ⊥EM .故答案为BM=ME ,BM ⊥EM .(2)ME =3MB .证明如下:连接CM ,如解图所示.∵DC ⊥AC ,M 是边AD 的中点,∴MC =MA =MD .∵BA =BC ,∴BM 垂直平分AC .∵∠ABC =120°,BA =BC ,∴∠MBE =12∠ABC =60°,∠BAC =∠BCA =30°,∠DCE =60°. ∵AB ∥DE ,∴∠ABE +∠DEC =180°,∴∠DEC =60°,∴∠DCE =∠DEC =60°,∴△CDE 是等边三角形,∴EC =ED .∵MC =MD ,∴EM 垂直平分CD ,EM 平分∠DEC , ∴∠MEC =12∠DEC =30°, ∴∠MBE +∠MEB =90°,即∠BME =90°.在Rt △BME 中,∵∠MEB =30°,∴ME 3.(3) 如图3中,结论:EM=BM•tan 2.理由:同法可证:BM ⊥EM ,BM 平分∠ABC ,所以EM=BM•tan 2α. 【点睛】本题考查四边形综合题、等腰直角三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,灵活运用所学知识解决问题.8.如图,AB 为⊙O 的直径,点E 在⊙O 上,过点E 的切线与AB 的延长线交于点D ,连接BE ,过点O 作BE 的平行线,交⊙O 于点F ,交切线于点C ,连接AC(1)求证:AC 是⊙O 的切线;(2)连接EF ,当∠D= °时,四边形FOBE 是菱形.【答案】(1)见解析;(2)30. 【解析】【分析】(1)由等角的转换证明出OCA OCE ∆∆≌,根据圆的位置关系证得AC 是⊙O 的切线. (2)根据四边形FOBE 是菱形,得到OF=OB=BF=EF ,得证OBE ∆为等边三角形,而得出60BOE ∠=︒,根据三角形内角和即可求出答案.【详解】(1)证明:∵CD 与⊙O 相切于点E ,∴OE CD ⊥,∴90CEO ∠=︒,又∵OC BE ,∴COE OEB ∠=∠,∠OBE=∠COA∵OE=OB ,∴OEB OBE ∠=∠,∴COE COA ∠=∠,又∵OC=OC ,OA=OE ,∴OCA OCE SAS ∆∆≌(), ∴90CAO CEO ∠=∠=︒,又∵AB 为⊙O 的直径,∴AC 为⊙O 的切线;(2)解:∵四边形FOBE 是菱形,∴OF=OB=BF=EF ,∴OE=OB=BE ,∴OBE ∆为等边三角形,∴60BOE ∠=︒,而OE CD ⊥,∴30D ∠=︒.故答案为30.【点睛】本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题,熟练掌握圆的性质是本题的解题关键.9.如图1,矩形ABCD 中,AB=8,AD=6;点E 是对角线BD 上一动点,连接CE ,作EF ⊥CE 交AB 边于点F ,以CE 和EF 为邻边作矩形CEFG ,作其对角线相交于点H .(1)①如图2,当点F 与点B 重合时,CE= ,CG= ;②如图3,当点E 是BD 中点时,CE= ,CG= ;(2)在图1,连接BG ,当矩形CEFG 随着点E 的运动而变化时,猜想△EBG 的形状?并加以证明; (3)在图1,CG CE的值是否会发生改变?若不变,求出它的值;若改变,说明理由; (4)在图1,设DE 的长为x ,矩形CEFG 的面积为S ,试求S 关于x 的函数关系式,并直接写出x 的取值范围.【答案】(1)245,185,5,154 ;(2)△EBG 是直角三角形,理由详见解析;(3)34 ;(4)S=34x 2﹣485x+48(0≤x≤325).【解析】【分析】(1)①利用面积法求出CE ,再利用勾股定理求出EF 即可;②利用直角三角形斜边中线定理求出CE ,再利用相似三角形的性质求出EF 即可;(2)根据直角三角形的判定方法:如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半,则这个三角形是直角三角形即可判断;(3)只要证明△DCE ∽△BCG ,即可解决问题;(4)利用相似多边形的性质构建函数关系式即可;【详解】(1)①如图2中,在Rt △BAD 中,BD=22AD AB +=10, ∵S △BCD =12•CD•BC=12•BD•CE , ∴CE=245.CG=BE=2224186()=55-. ②如图3中,过点E 作MN ⊥AM 交AB 于N ,交CD 于M .∵DE=BE ,∴CE=12BD=5, ∵△CME ∽△ENF ,∴CM EN CE EF=, ∴CG=EF=154, (2)结论:△EBG 是直角三角形.理由:如图1中,连接BH .在Rt △BCF 中,∵FH=CH ,∴BH=FH=CH ,∵四边形EFGC 是矩形,∴EH=HG=HF=HC ,∴BH=EH=HG ,∴△EBG 是直角三角形.(3)F 如图1中,∵HE=HC=HG=HB=HF ,∴C 、E 、F 、B 、G 五点共圆,∵EF=CG ,∴∠CBG=∠EBF ,∵CD ∥AB ,∴∠EBF=∠CDE ,∴∠CBG=∠CDE ,∵∠DCB=∠ECG=90°,∴∠DCE=∠BCG ,∴△DCE ∽△BCG , ∴6384CG BC CE DC ===. (4)由(3)可知: 34CG CD CE CB ==, ∴矩形CEFG ∽矩形ABCD , ∴2264CEFG ABCD S CE CE S CD ==矩形矩形(), ∵CE 2=(325-x )2+245)2,S 矩形ABCD =48, ∴S 矩形CEFG =34[(325-x )2+(245)2]. ∴矩形CEFG 的面积S=34x 2-485x+48(0≤x≤325). 【点睛】 本题考查相似三角形综合题、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的判定和性质、相似多边形的性质和判定等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会添加常用辅助线,构造相似三角形或直角三角形解决问题,属于中考压轴题.10.已知一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,以线段AB为直角边在第二象限内左等腰直角三角形ABC,∠BAC=90°,如图1所示.(1)填空:AB= ,BC= .(2)将△ABC绕点B逆时针旋转,①当AC与x轴平行时,则点A的坐标是②当旋转角为90°时,得到△BDE,如图2所示,求过B、D两点直线的函数关系式.③在②的条件下,旋转过程中AC扫过的图形的面积是多少?(3)将△ABC向右平移到△A′B′C′的位置,点C′为直线AB上的一点,请直接写出△ABC扫过的图形的面积.【答案】(1):5;5;(2)①(0,﹣2);②直线BD的解析式为y=﹣x+3;③S=π;(3)△ABC扫过的面积为.【解析】试题分析:(1)根据坐标轴上的点的坐标特征,结合一次函数的解析式求出A、B两点的坐标,利用勾股定理即可解答;(2)①因为B(0,3),所以OB=3,所以AB=5,所以AO=AB-BO=5-3=2,所以A(0,-2);②过点C作CF⊥OA与点F,证明△AOB≌△CFA,得到点C的坐标,求出直线AC解析式,根据AC∥BD,所以直线BD的解析式的k值与直线AC的解析式k值相同,设出解析式,即可解答.③利用旋转的性质进而得出A,B,C对应点位置进而得出答案,再利用以BC为半径90°圆心角的扇形面积减去以AB为半径90°圆心角的扇形面积求出答案;(3)利用平移的性质进而得出△ABC扫过的图形是平行四边形的面积.试题解析:(1)∵一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,∴A(-4,0),B(0,3),∴AO=4,BO=3,在Rt△AOB中,AB=,∵等腰直角三角形ABC,∠BAC=90°,∴BC=;(2)①如图1,∵B(0,3),∴OB=3,∵AB=5,∴AO=AB-BO=5-3=2,∴A(0,-2).当在x轴上方时,点A的坐标为(0,8),②如图2,过点C作CF⊥OA与点F,∵△ABC为等腰直角三角形,∴∠BAC=90°,AB=AC,∴∠BAO+∠CAF=90°,∵∠OBA+∠BAO=90°,∴∠CAF=∠OBA,在△AOB和△CFA中,,∴△AOB≌△CFA(AAS);∴OA=CF=4,OB=AF=3,∴OF=7,CF=4,∴C(-7,4)∵A(-4,0)设直线AC解析式为y=kx+b,将A与C坐标代入得:,解得:,则直线AC解析式为y=x,∵将△ABC绕点B逆时针旋转,当旋转角为90°时,得到△BDE,∴∠ABD=90°,∵∠CAB=90°,∴∠ABD=∠CAB=90°,∴AC∥BD,∴设直线BD的解析式为y=x+b1,把B(0,3)代入解析式的:b1=3,∴直线BD的解析式为y=x+3;③因为旋转过程中AC扫过的图形是以BC为半径90°圆心角的扇形面积减去以AB为半径90°圆心角的扇形面积,所以可得:S=;(3)将△ABC向右平移到△A′B′C′的位置,△ABC扫过的图形是一个平行四边形和三角形ABC,如图3:将C点的纵坐标代入一次函数y=x+3,求得C′的横坐标为,平行四边CAA′C′的面积为(7+)×4=,三角形ABC的面积为×5×5=△ABC扫过的面积为:.考点:几何变换综合题.。

中考数学真题分类汇编及解析(二十八)菱形

中考数学真题分类汇编及解析(二十八)菱形

(2022•武威中考)如图1,在菱形ABCD 中,∠A =60°,动点P 从点A 出发,沿折线AD →DC →CB 方向匀速运动,运动到点B 停止.设点P 的运动路程为x ,△APB 的面积为y ,y 与x 的函数图象如图2所示,则AB 的长为( )A .√3B .2√3C .3√3D .4√3【解析】选B .在菱形ABCD 中,∠A =60°,所以△ABD 为等边三角形,设AB =a ,由图2可知,△ABD 的面积为3√3,所以S △ABD =√34a 2=3√3,解得:a =2√3. (2022•自贡中考)如图,菱形ABCD 对角线交点与坐标原点O 重合,点A (﹣2,5),则点C 的坐标是( )A .(5,﹣2)B .(2,﹣5)C .(2,5)D .(﹣2,﹣5)【解析】选B.因为四边形ABCD 是菱形,所以OA =OC ,即点A 与点C 关于原点对称,因为点A (﹣2,5),所以点C 的坐标是(2,﹣5).(2022•株洲中考)如图所示,在菱形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O ,过点C 作CE ∥BD 交AB 的延长线于点E ,下列结论不一定正确的是( )A .OB =12CE B .△ACE 是直角三角形C .BC =12AE D .BE =CE 【解析】选D .因为四边形ABCD 是菱形,所以AO =CO =12,AC ⊥BD ,因为CE ∥BD ,所以△AOB ∽△ACE ,所以∠AOB =∠ACE =90°,AOAC =OBCE =ABAE =12,(2022•河南中考)如图,在菱形ABCD 中,对角线AC ,BD 相交于点O ,点E 为CD 的中点.若OE =3,则菱形ABCD 的周长为( )A .6B .12C .24D .48【解析】选C .因为四边形ABCD 为菱形,所以AC ⊥BD ,AB =BC =CD =DA ,所以△COD 为直角三角形.因为OE =3,点E 为线段CD 的中点,所以CD =2OE =6.所以C 菱形ABCD =4CD =4×6=24.(2022•赤峰中考)如图,菱形ABCD ,点A 、B 、C 、D 均在坐标轴上.∠ABC =120°,点A (﹣3,0),点E是CD 的中点,点P 是OC 上的一动点,则PD +PE 的最小值是( )A .3B .5C .2√2D .32√3【解析】选A .根据题意得,E 点关于x 轴的对称点是BC 的中点E ',连接DE '交AC 与点P ,此时PD +PE 有最小值为DE ',因为四边形ABCD 是菱形,∠ABC =120°,点A (﹣3,0),所以OA =OC =3,∠DBC =60°,所以△BCD 是等边三角形,所以DE '=OC =3,即PD +PE 的最小值是3.(2022•海南中考)如图,菱形ABCD 中,点E 是边CD 的中点,EF 垂直AB 交AB 的延长线于点F ,若BF :CE =1:2,EF =√7,则菱形ABCD 的边长是( )A .3B .4C .5D .45√7【解析】选B .过点D 作DH ⊥AB 于点H ,如图,因为四边形ABCD是菱形,所以AD=AB=CD,AB∥CD.因为EF⊥AB,DH⊥AB,所以DH∥EF,所以四边形DHFE为平行四边形,所以HF=DE,DH=EF=√7.因为点E是边CD的中点,所以DE=12CD,所以HF=12CD=12AB.因为BF:CE=1:2,所以设BF=x,则CE=2x,所以CD=4x,DE=HF=2x,AD=AB=4x,所以AF=AB+BF=5x.所以AH=AF﹣HF=3x.在Rt△ADH中,因为DH2+AH2=AD2,所以(√7)2+(3x)2=(4x)2.解得:x=±1(负数不合题意,舍去),所以x=1.所以AB=4x=4.即菱形ABCD的边长是4.A .52 B .5 C .10 D .20 【解析】选C .由作图过程可得:PQ 为BD 的垂直平分线,所以BM =MD ,BN =ND .设PQ 与BD 交于点O ,如图,则BO =DO .因为四边形ABCD 是矩形,所以AD ∥BC ,所以∠MDO =∠NBO ,∠DMO =∠BNO ,在△MDO 和△NBO 中,{∠MDO =∠NBO∠DMO =∠BNO OD =OB,所以△MDO ≌△NBO (AAS ),所以DM =BN ,所以四边形BNDM 为平行四边形,因为BM =MD ,所以四边形MBND 为菱形,所以四边形MBND 的周长=4BM .设MB =x ,则MD =BM =x ,所以AM =AD ﹣DM =4﹣x ,在Rt △ABM 中,因为AB 2+AM 2=BM 2,所以22+(4﹣x )2=x 2,解得:x =52,所以四边形MBND 的周长=4BM =10.(2022•武威中考)如图,菱形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O ,若AB =2√5cm ,AC =4cm ,则BD 的长为8 cm .【解析】因为四边形ABCD 是菱形,AC =4cm ,所以AC ⊥BD ,BO =DO ,AO =CO =2cm ,因为AB =2√5cm ,所以BO =√AB 2−AO 2=4cm ,所以DO =BO =4cm ,所以BD =8cm.答案:8.(2022•温州中考)如图,在菱形ABCD 中,AB =1,∠BAD =60°.在其内部作形状、大小都相同的菱形AENH和菱形CGMF ,使点E ,F ,G ,H 分别在边AB ,BC ,CD ,DA 上,点M ,N 在对角线AC 上.若AE =3BE ,则MN 的长为 √32 .【解析】连接DB 交AC 于点O ,作MI ⊥AB 于点I ,作FJ ⊥AB 交AB 的延长线于点J ,如图所示,因为四边形ABCD 是菱形,∠BAD =60°,AB =1,所以AB =BC =CD =DA =1,∠BAC =30°,AC ⊥BD ,因为△ABD 是等边三角形,所以OD =12,所以AO =√AD 2−DO 2=√12−(12)2=√32, 所以AC =2AO =√3,因为AE =3BE ,所以AE =34,BE =14,因为菱形AENH 和菱形CGMF 大小相同,所以BE =BF =14,∠FBJ =60°,所以FJ =BF •sin60°=14×√32=√38, 所以MI =FJ =√38,所以AM =MI sin30°=√3812=√34, 同理可得,CN =√34, 所以MN =AC ﹣AM ﹣CN =√3−√34−√34=√32. 答案:√32.DQ ﹣P 'Q 的最大值为 16√23.【解析】如图,连接BD 交AC 于点O ,过点D 作DK ⊥BC 于点B ,延长DE 交AB 于点R ,连接EP ′交AB 于点J ,作EJ 关于AC 的对称线段EJ ′,则DP ′的对应点P ″在线段EJ ′上.当点P 是定点时,DQ ﹣QP ′=AD ﹣QP ″,当D ,P ″,Q 共线时,QD ﹣QP ′的值最大,最大值是线段DP ″的长,当点P 与B 重合时,点P ″与J ′重合,此时DQ ﹣QP ′的值最大,最大值是线段DJ ′的长,也就是线段BJ 的长.因为四边形ABCD 是菱形,所以AC ⊥BD ,AO =OC ,因为AE =14.EC =18,所以AC =32,AO =OC =16,所以OE =AO ﹣AE =16﹣14=2,因为DE ⊥CD ,所以∠DOE =∠EDC =90°,因为∠DEO =∠DEC ,所以△EDO ∽△ECD ,所以DE 2=EO •EC =36,所以DE =EB =EJ =6,所以CD =√EC 2−DE 2=√182−62=12√2,所以OD =√DE 2−OE 2=√62−22=4√2,所以BD =8√2,因为S △DCB =12×OC ×BD =12BC •DK , 所以DK =12×16×8√212√212×16×8√26√2=323, 因为∠BER =∠DCK ,所以sin ∠BER =sin ∠DCK =DK CD =32312√2=4√29, 所以RB =BE ×4√29=8√23,3(2022•达州中考)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC=24,BD=10,则菱形ABCD的周长为52.【解析】因为四边形ABCD是菱形,所以AB=BC=CD=DA,AC⊥BD,AO=CO,BO=DO,因为AC=24,BD=10,所以AO=12AC=12,BO=12BD=5,在Rt△AOB中,AB=√AO2+BO2=√122+52=13,所以菱形的周长为13×4=52.答案:52(2022•娄底中考)菱形ABCD的边长为2,∠ABC=45°,点P、Q分别是BC、BD上的动点,CQ+PQ的最小值为√2.【解析】连接AQ,作AH⊥BC于H,因为四边形ABCD是菱形,所以AB=CB,∠ABQ=∠CBQ,因为BQ=BQ,所以△ABQ≌△CBQ(SAS),(2022•天津中考)如图,已知菱形ABCD的边长为2,∠DAB=60°,E为AB的中点,F为CE的中点,AF与DE相交于点G,则GF的长等于√194.【解析】如图,过点F作FH∥CD,交DE于H,过点C作CM⊥AB,交AB的延长线于M,连接FB,因为四边形ABCD是菱形,所以AB=CD=BC=2,AB∥CD,所以FH∥AB,所以∠FHG=∠AEG,因为F是CE的中点,FH∥CD,所以H是DE的中点,所以FH是△CDE的中位线,所以FH=12CD=1,因为E是AB的中点,所以AE=BE=1,所以AE=FH,因为∠AGE=∠FGH,所以△AEG≌△FHG(AAS),所以AG=FG,因为AD∥BC,4(2022•陕西中考)如图,在菱形ABCD 中,AB =4,BD =7.若M 、N 分别是边AD 、BC 上的动点,且AM =BN ,作ME ⊥BD ,NF ⊥BD ,垂足分别为E 、F ,则ME +NF 的值为 √152.【解析】连接AC 交BD 于O ,因为四边形ABCD 为菱形,所以BD ⊥AC ,OB =OD =72,OA =OC ,由勾股定理得:OA =√AB 2−OB 2=√42−(72)2=√152,因为ME ⊥BD ,AO ⊥BD ,所以ME ∥AO ,所以△DEM ∽△DOA ,所以MEOA =DMAD ,即ME√152=4−AM 4,解得:ME =4√15−√15AM 8, 同理可得:NF =√15AM 8,所以ME +NF =√152,答案:√152.(2022•台州中考)如图,在菱形ABCD 中,∠A =60°,AB =6.折叠该菱形,使点A 落在边BC 上的点M 处,折痕分别与边AB ,AD 交于点E ,F .当点M 与点B 重合时,EF 的长为 3√3 ;当点M 的位置变化时,DF 长的最大值为 6﹣3√3 .【解析】如图1中,因为四边形ABCD 是菱形,所以AD =AB =BC =CD ,∠A =∠C =60°,所以△ADB ,△BDC 都是等边三角形,当点M 与B 重合时,EF 是等边△ADB 的高,EF =AD •sin60°=6×√32=3√3.如图2中,连接AM 交EF 于点O ,过点O 作OK ⊥AD 于点K ,交BC 于点T ,过点A 作AG ⊥CB 交CB 的延长线于点G ,取AD 的中点R ,连接OR .因为AD ∥CG ,OK ⊥AD ,所以OK ⊥CG ,所以∠G =∠AKT =∠GTK =90°,所以四边形AGTK 是矩形,所以AG =TK =AB •sin60°=3√3,因为OA =OM ,∥AOK =∠MOT ,∠AKO =∠MTO =90°,(2022•黔东南州中考)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,DE∥AC,CE∥BD.若AC=10,则四边形OCED的周长是20.【解析】因为DE∥AC,CE∥BD,所以四边形OCED是平行四边形,所以OC=DE,OD=CE,因为矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,所以OC=12AC=5,OD=12BD,BD=AC,所以OC=OD=5,所以OC=OD=CE=DE,所以平行四边形OCED是菱形,所以C菱形OCED=4OC=4×5=20.答案:20.(2022•哈尔滨中考)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E在OB上,连接AE,点F为CD 的中点,连接OF.若AE=BE,OE=3,OA=4,则线段OF的长为2√5.【解析】因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD,AO=CO=4,BO=DO,所以AE=√AO2+EO2=√9+16=5,所以BE=AE=5,所以BO=8,所以BC=√BO2+CO2=√64+16=4√5,因为点F为CD的中点,BO=DO,所以OF=12BC=2√5.答案:2√5.【解析】添加的条件是AB =CD ,理由如下:因为AB ∥CD ,AB =CD ,所以四边形ABCD 是平行四边形,又因为AC ⊥BD ,所以平行四边形ABCD 是菱形.答案:AB =CD (答案不唯一).(2022•龙东中考)如图,菱形ABCD 中,对角线AC ,BD 相交于点O ,∠BAD =60°,AD =3,AH 是∠BAC的平分线,CE ⊥AH 于点E ,点P 是直线AB 上的一个动点,则OP +PE 的最小值是 32√6 .【解析】连接OE ,过点O 作OF ⊥AB ,垂足为F ,并延长到点O ′,使O ′F =OF ,连接O ′E 交直线AB 于点P ,连接OP ,所以AP 是OO ′的垂直平分线,所以OP =O ′P ,所以OP +PE =O ′P +PE =O ′E ,此时,OP +PE 的值最小,因为四边形ABCD 是菱形,所以AD =AB =3,∠BAC =12∠BAD ,OA =OC =12AC ,OD =OB =12BD ,∠AOD =90°,因为∠BAD =60°,所以△ADB 是等边三角形,所以BD =AD =3,所以OD =12BD =32,所以AO =√AD 2−DO 2=√32−(32)2=32√3,所以AC =2OA =3√3,因为CE ⊥AH ,所以∠AEC =90°,所以OE =OA =12AC =32√3,所以∠OAE =∠OEA ,因为AE 平分∠CAB ,所以∠OAE =∠EAB ,所以∠OEA =∠EAB ,所以OE ∥AB ,所以∠EOF =∠AFO =90°, 在Rt △AOF 中,∠OAB =12DAB =30°,所以OF =12OA =34√3,所以OO ′=2OF =32√3,在Rt △EOO ′中,O ′E =√EO 2+OO ′2=√(32√3)2+(32√3)2=32√6, 所以OE +PE =32√6,所以OP +PE 的最小值为32√6. 答案:32√6.(2022·安徽中考)已知四边形ABCD 中,BC =CD ,连接BD ,过点C 作BD 的垂线交AB 于点E ,连接DE .【解析】(1)证明:设CE 与BD 交于点O ,因为CB =CD ,CE ⊥BD ,所以DO =BO ,因为DE ∥BC ,所以∠DEO =∠BCO ,因为∠DOE =∠BOC ,所以△DOE ≌△BOC (AAS ),所以DE =BC ,所以四边形BCDE 是平行四边形,因为CD =CB ,所以平行四边形BCDE 是菱形;(2)(i )解:因为DE 垂直平分AC ,所以AE =EC 且DE ⊥AC ,所以∠AED =∠CED ,又因为CD =CB 且CE ⊥BD ,所以CE 垂直平分DB ,所以DE =BE ,所以∠DEC =∠BEC ,所以∠AED =∠CED =∠BEC ,又因为∠AED +∠CED +∠BEC =180°,所以∠CED =13×180°=60°;(ii )证明:由(i )得AE =EC ,又因为∠AEC =∠AED +∠DEC =120°,所以∠ACE =30°,同理可得,在等腰△DEB 中,∠EBD =30°,所以∠ACE =∠ABF =30°, 在△ACE 与△ABF 中,{∠ACE =∠ABF∠CAE =∠BAF AE =AF,所以△ABF ≌△ACE (AAS ),所以AC =AB ,又因为AE =AF ,所以AB ﹣AE =AC ﹣AF ,即BE =CF .(2022•连云港中考)如图,四边形ABCD 为平行四边形,延长AD 到点E ,使DE =AD ,且BE ⊥DC .(1)求证:四边形DBCE 为菱形;(2)若△DBC 是边长为2的等边三角形,点P 、M 、N 分别在线段BE 、BC 、CE 上运动,求PM +PN 的最小值.【解析】(1)证明:因为四边形ABCD 是平行四边形,所以AD ∥BC ,AD =BC ,因为DE =AD ,所以DE =BC ,因为E 在AD 的延长线上,所以DE ∥BC ,所以四边形DBCE是平行四边形,因为BE⊥DC,所以四边形DBCE是菱形;(2)解:作N关于BE的对称点N',过D作DH⊥BC于H,如图:由菱形的对称性知,点N关于BE的对称点N'在DE上,所以PM+PN=PM+PN',所以当P、M、N'共线时,PM+PN'=MN'=PM+PN,因为DE∥BC,所以MN'的最小值为平行线间的距离DH的长,即PM+PN的最小值为DH的长,在Rt△DBH中,∠DBC=60°,DB=2,=√3,所以PM+PN的最小值为√3.所以DH=DB•sin∠DBC=2×√32(2022•滨州中考)如图,菱形ABCD的边长为10,∠ABC=60°,对角线AC、BD相交于点O,点E在对角线BD 上,连接AE,作∠AEF=120°且边EF与直线DC相交于点F.(1)求菱形ABCD的面积;(2)求证AE=EF.【解析】(1)作AG⊥BC交BC于点G,如图所示,因为四边形ABCD是菱形,边长为10,∠ABC=60°,=5√3,所以BC=10,AG=AB•sin60°=10×√32所以菱形ABCD的面积是:BC•AG=10×5√3=50√3,即菱形ABCD的面积是50√3;(2)证明:连接EC,因为四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,所以EO垂直平分AC,∠BCD=120°,所以EA=EC,∠DCA=60°,所以∠EAC=∠ECA,∠ACF=120°,因为∠AEF=120°,所以∠EAC+∠EFC=360°﹣∠AEF﹣∠ACF=360°﹣120°﹣120°=120°,因为∠ECA+∠ECF=120°,所以∠EFC=∠ECF,所以EC=EF,所以AE=EF.(2022•舟山中考)小惠自编一题:“如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AC⊥BD,OB=OD.求证:四边形ABCD是菱形”,并将自己的证明过程与同学小洁交流.小惠:证明:因为AC⊥BD,OB=OD,所以AC垂直平分BD.所以AB=AD,CB=CD,所以四边形ABCD是菱形.小洁:这个题目还缺少条件,需要补充一个条件才能证明.若赞同小惠的证法,请在第一个方框内打“√”;若赞成小洁的说法,请你补充一个条件,并证明.【解析】赞成小洁的说法,补充条件:OA=OC,证明如下:因为OA=OC,OB=OD,所以四边形ABCD是平行四边形,又因为AC⊥BD,所以平行四边形ABCD是菱形.(2022•凉山州中考)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D是BC的中点,E是AD的中点,过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F.(1)求证:四边形ADBF是菱形;(2)若AB=8,菱形ADBF的面积为40.求AC的长.【解析】(1)证明:因为AF∥BC,所以∠AFC=∠FCD,∠F AE=∠CDE,因为点E是AD的中点,所以AE=DE,所以△F AE≌△CDE(AAS),所以AF=CD,因为点D是BC的中点,所以BD=CD,所以AF=BD,所以四边形AFBD是平行四边形,(2022•南充中考)如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,BE=BF,DE,DF分别与AC交于点M,N.求证:(1)△ADE≌△CDF.(2)ME=NF.【证明】(1)因为四边形ABCD是菱形,所以DA=DC,∠DAE=∠DCF,AB=CB,因为BE=BF,所以AE=CF,在△ADE和△CDF中,{DA=DC∠DAE=∠DCF AE=CF,所以△ADE≌△CDF(SAS);(2)由(1)知△ADE≌△CDF,所以∠ADM=∠CDN,DE=DF,因为四边形ABCD是菱形,所以∠DAM=∠DCN,所以∠DMA=∠DNC,所以∠DMN=∠DNM,所以DM=DN,所以DE﹣DM=DF﹣DN,所以ME=NF.(2022•广元中考)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AC平分∠DAB,AB=2CD,E为AB中点,连结CE.(1)求证:四边形AECD为菱形;(2)若∠D=120°,DC=2,求△ABC的面积.【解析】(1)证明:因为E为AB中点,所以AB=2AE=2BE,因为AB=2CD,所以CD=AE,又因为AE∥CD,所以四边形AECD是平行四边形,因为AC平分∠DAB,所以∠DAC=∠EAC,因为AB∥CD,所以∠DCA=∠CAB,所以∠DCA=∠DAC,所以AD=CD,所以平行四边形AECD是菱形;(2)因为四边形AECD是菱形,∠D=120°,所以AD=CD=CE=AE=2,∠D=120°=∠AEC,所以AE=CE=BE,∠CEB=60°,所以∠CAE=30°=∠ACE,△CEB是等边三角形,所以BE=BC=EC=2,∠B=60°,所以∠ACB=90°,所以AC=√3BC=2√3,所以S△ABC=12×AC×BC=12×2×2√3=2√3.【解析】(1)①证明:因为CE⊥AB,CF⊥AD,所以∠BEC=∠DFC=90°,因为四边形ABCD是菱形,所以∠B=∠D,BC=CD,所以△BEC≌△DFC(AAS),所以CE=CF;②连接AC,如图1,因为E是边AB的中点,CE⊥AB,所以BC=AC,因为四边形ABCD是菱形,所以BC=AC,所以△ABC是等边三角形,∠EAC=60°,在Rt△ACE中,AE=2,所以CE=AE•tan60°=2×√3=2√3;(2)方法一:如图2,延长FE交CB的延长线于M,因为四边形ABCD是菱形,所以AD∥BC,AB=BC,所以∠AFE=∠M,∠A=∠EBM,因为E是边AB的中点,所以AE=BE,所以△AEF≌△BEM(AAS),所以ME=EF,MB=AF,因为AE=3,EF=2AF=4,所以ME=4,BM2,BE=3,所以BC=AB=2AE=6,所以MC=8,所以MBME =24=12,MEMC=48=12,所以MBME=MEMC,因为∠M为公共角,所以△MEB∽△MCE,所以BEEC =MBME=24,因为BE=3,所以CE=6;方法二:如图3,延长FE 交CB 的延长线于M ,过点E 作EN ⊥BC 于点N ,因为四边形ABCD 是菱形,所以AD ∥BC ,AB =BC ,所以∠AFE =∠M ,∠A =∠EBM ,因为E 是边AB 的中点,所以AE =BE ,所以△AEF ≌△BEM (AAS ),所以ME =EF ,MB =AF ,因为AE =3,EF =2AF =4,所以ME =4,BM 2,BE =3,所以BC =AB =2AE =6,所以MC =8,在Rt △MEN 和Rt △BEN 中,ME 2﹣MN 2=EN 2,BE 2﹣BN 2=EN 2,所以ME 2﹣MN 2=BE 2﹣BN 2,所以42﹣(2+BN )2=32﹣BN 2,解得:BN =34,所以CN =6−34=214, 所以EN 2=BE 2﹣BN 2=32﹣(34)2=13516,在Rt △ENC 中,CE 2=EN 2+CN 2=13516+44116=57616=36,所以CE =6.(2022•娄底中考)如图,以BC 为边分别作菱形BCDE 和菱形BCFG (点C ,D ,F 共线),动点A 在以BC 为直径且处于菱形BCFG 内的圆弧上,连接EF 交BC 于点O .设∠G =θ.(1)求证:无论θ为何值,EF 与BC 相互平分;并请直接写出使EF ⊥BC 成立的θ值.(2)当θ=90°时,试给出tan ∠ABC 的值,使得EF 垂直平分AC ,请说明理由.【解析】(1)因为四边形BCFG ,四边形BCDE 都是菱形,所以CF ∥BG ,CD ∥BE ,CB =CF =CD =BG =BE ,因为D ,C ,F 共线,所以G ,B ,E 共线,所以DF ∥EG ,DF =GE ,所以四边形DEGF 是平行四边形,所以EF 与BC 互相平分.当EF ⊥FG 时,因为GF =BG =BE ,所以EG =2GF ,所以∠GEF =30°,所以θ=90°﹣30°=60°;(2)当tan ∠ABC =2时,EF 垂直平分线段AC .理由:如图(2)中,设AC 交EF 于点J .因为四边形BCFG 是菱形,所以∠G =∠FCO =90°,因为EF 与BC 互相平分,所以OC =OB ,所以CF =BC ,所以FC =2OC ,所以tan ∠FOC =tan ∠ABC ,所以∠ABC =∠FOC ,所以OJ ∥AB ,因为OC =OB ,所以CJ =AJ ,因为BC 是直径,所以∠BAC =∠OJC =90°,所以EF 垂直平分线段AC.(2022•岳阳中考)如图,点E ,F 分别在▱ABCD 的边AB ,BC 上,AE =CF ,连接DE ,DF .请从以下三个条件:①∠1=∠2;②DE =DF ;③∠3=∠4中,选择一个合适的作为已知条件,使▱ABCD 为菱形. (1)你添加的条件是 ① (填序号);(2)添加了条件后,请证明▱ABCD 为菱形.【解析】(1)添加的条件是∠1=∠2,答案:①;(2)证明:因为四边形ABCD 是平行四边形,所以∠A =∠C ,在△ADE 和△CDF 中,{∠1=∠2∠A =∠C AE =CF,所以△ADE ≌△CDF (AAS ),所以AD =CD ,所以▱ABCD 为菱形.【解析】(1)M 与B 重合时,如图1,因为PQ ⊥AB ,所以∠PQA =90°,所以PA =12AB =2,所以t =2;(2)①当0≤t ≤2时,因为AM =2t ,所以BM =4﹣2t ,因为△APQ ≌△BMF ,所以AP =BM ,所以t =4﹣2t ,所以t =43;②当2<t ≤4时,因为AM =2t ,所以BM =2t ﹣4,因为△APQ ≌△BMF ,所以AP =BM ,所以t =2t ﹣4,所以t =4;综上所述,t 的值为4或43; (3)①0≤t ≤2时,如图2,在Rt △APQ 中,PQ =√32t ,所以MQ =32t ,所以S =12PQ ⋅MQ =12×√32t ×32t =3√38t 2; ②当2<t ≤4时,如图3,因为BF =t ﹣2,MF =√3(t ﹣2),所以S △BFM =12BF •MF =√32(t −2)2,所以S =S △PQM ﹣S △BFM =−√38t 2+2√3t −2√3;所以S ={3√38t 2(0≤t ≤2)−√38t 2+2√3t −2√3(2<t ≤4); (4)连接AE ,如图4,因为△PQE 为等边三角形,所以PE =√32t ,在Rt △APE 中,tan ∠PAE =PE PA =√32t t =√32, 所以∠PAE 为定值,所以点E 的运动轨迹为直线,因为AP =t ,所以AE =√AP 2+PE 2=√t 2+(√32t)2=√72t ,当t =2时,AE =√7,(2022•荆州中考)如图,在10×10的正方形网格中,小正方形的顶点称为格点,顶点均在格点上的图形称为格点图形,图中△ABC为格点三角形.请按要求作图,不需证明.(1)在图1中,作出与△ABC全等的所有格点三角形,要求所作格点三角形与△ABC有一条公共边,且不与△ABC重叠;(2)在图2中,作出以BC为对角线的所有格点菱形.【解析】(1)如图1中,△ABD1,△ABD2,△ACD3,△ACD4,△CBD5即为所求;(2)如图2中,菱形ABDC,菱形BECF即为所求.(2022•长沙中考)如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB=AD.(1)求证:AC⊥BD;(2)若点E,F分别为AD,AO的中点,连接EF,EF=32,AO=2,求BD的长及四边形ABCD的周长.【解析】(1)因为四边形ABCD是平行四边形,AB=AD,所以▱ABCD是菱形,所以AC⊥BD;(2)因为点E,F分别为AD,AO的中点,所以EF是△AOD的中位线,所以OD=2EF=3,由(1)可知,四边形ABCD是菱形,所以AB=BC=CD=AD,AC⊥BD,BD=2OD=6,在Rt△AOD中,由勾股定理得:AD=√AO2+OD2=√22+32=√13,所以C菱形ABCD=4AD=4√13.(2)若AE=BE=2,求BF的长.【解析】(1)因为四边形ABCD是正方形,四边形HEFG是菱形,所以AD=CD,ED=GD,∠ADB=∠CDB,∠EHB=∠GHB,所以∠ADB﹣∠EHB=∠CDB﹣∠GHB,即∠ADE=∠CDG,在△ADE和△CDG中,{AD=CD∠ADE=∠CDG ED=GD,所以△ADE≌△CDG(SAS);(2)过E作EQ⊥DF于Q,则∠EQB=90°,因为四边形ABCD是正方形,所以∠A=90°,AD=AB=AE+EF=2+2=4,∠EBQ=∠CBD=45°,所以∠QEB=45°=∠EBQ,所以EQ=BQ,因为BE=2,所以2EQ2=22,所以EQ=BQ=√2(负数舍去),在Rt△DAE中,由勾股定理得:DE=√AD2+AE2=√42+22=2√5,因为四边形EFGH是菱形,所以EF=DE=2√5,所以QF=√EF2−EQ2=√(2√5)2−(√2)2=3√2,所以BF=QF﹣QB=3√2−√2=2√2.【解析】(1)作PE⊥AC于点E,在Rt△APE中,cos30°=AE AP,所以AE=AP•cos30°=√3x,因为∠APQ=120°,所以∠AQP=180°﹣120°﹣30°=30°,所以AP=PQ,所以点E为AQ中点,所以AQ=2√3x(cm),答案:2√3x.(2)如图,因为∠APQ=120°,所以∠MNB=∠PQB=60°,因为∠B=60°,所以△MNB为等边三角形,所以AP=PQ=PN=MN=NB,即AP+PN+NB=3AP=AB,所以3×2x=6,解得x=1.(3)当0≤x≤1时,作QF⊥AB于点F,因为∠A =30°,AQ =2√3x ,所以QF =12AQ =√3x ,因为PN =PQ =AP =2x ,所以y =PN •QF =2x •√3x =2√3x 2.当1<t ≤32时,QM ,NM 交BC 于点H ,K ,因为AB =6cm ,∠A =30°,所以AC =√32AB =3√3cm ,所以CQ =AC ﹣AQ =3√3−2√3x ,所以QH =2√3CQ =2√3(3√3−2√3x )=6﹣4x , 所以HM =QM ﹣QH =2x ﹣(6﹣4x )=6x ﹣6, 因为△HKM 为等边三角形,所以S △HKM =√34HM 2=9√3x 2﹣18√3x +9√3, 所以y =2√3x 2﹣(9√3x 2﹣18√3x +9√3)=﹣7√3x 2+18√3x ﹣9√3. 当32<x ≤3时,重叠图形△PQM 为等边三角形,PQ =PB =AB ﹣AP =6﹣2x ,所以y =√34PB 2=√34(6﹣2x )2=√3x 2﹣6√3x +9√3.综上所述,y ={ 2√3x 2(0≤x ≤1)−7√3x 2+18√3x −9√3(1<x ≤32)√3x 2−6√3x +9√3(32<x ≤3)。

2021年全国中考数学真题分类汇编--四边形:矩形、菱形、正方形(试卷版)

2021年全国中考数学真题分类汇编--四边形:矩形、菱形、正方形(试卷版)

4. (2021•湖南省邵阳市)如图,在正方形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,点 E, F 是对角线 AC 上的两点,且 AE=CF.连接 DE,DF,BE,BF. (1)证明:△ADE≌△CBF. (2)若 AB=4 ,AE=2,求四边形 BEDF 的周长.
5. (2021•江苏省连云港)如图,点 C 是 BE 的中点,四边形 ABCD 是平行四边形. (1)求证:四边形 ACED 是平行四边形; (2)如果 AB AE ,求证:四边形 ACED 是矩形.
连接 OM,过点 O 做 ON⊥OM,交 CD 于点 N.若四边形 MOND 的面积是 1,则 AB 的长为
()
A. 1
B. 2
C. 2
D. 2 2
4. (2021•四川省成都市).如图,四边形 ABCD 是菱形,点 E,F 分别在 BC,DC 边上,
添加以下条件不能判定△ABE≌△ADF 的是( )
2. (2021•长沙市)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC , BD 相交于点 O ,点 E 是边 AB 的 中点,若 OE 6 ,则 BC 的长为______.
3. (2021•株洲市)《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图(蜨,同“蝶”), 它的基本组件为斜角形,包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜四只、 大三斜两只,共十三只(图①中的“様”和“隻”为“样”和“只”).图②为某蝶几设计图,
2
FG ______.
21. (2021•贵州省贵阳市)如图,在平面直角坐标系中,菱形 ABCD 对角线的交点坐标是 O(0,0),点 B 的坐标是(0,1),且 BC= ,则点 A 的坐标是 .
22. (2021•绥化市)在边长为 4 的正方形 ABCD 中,连接对角线 AC、BD ,点 P 是正方 形边上或对角线上的一点,若 PB 3PC ,则 PC = ______.

中考数学真题分类汇编——几何综合题(含答案)

中考数学真题分类汇编——几何综合题(含答案)

中考数学真题分类汇编——几何综合题(含答案)类型1 类比探究的几何综合题类型2 与图形变换有关的几何综合题类型3 与动点有关的几何综合题类型4 与实际操作有关的几何综合题类型5 其他类型的几何综合题类型1 类比探究的几何综合题(2018苏州)(2018烟台)(2018东营)(1)某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目:如图1,在△ABC中,点O在线段BC上,∠BAO=30°,∠OAC=75°,AO=33,BO:CO=1:3,求AB的长.经过社团成员讨论发现,过点B作BD∥AC,交AO的延长线于点D,通过构造△ABD就可以解决问题(如图2).请回答:∠ADB= °,AB= .(2)请参考以上解决思路,解决问题:如图3,在四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC⊥AD,AO=33,∠ABC=∠ACB=75°, BO:OD=1:3,求DC的长.(2018长春)(第24题图1) (第24题图2) (第24题图3)(2018陕西)(2018齐齐哈尔)(2018河南)(2018仙桃)问题:如图①,在Rt△ABC中,AB=AC,D为BC边上一点(不与点B,C重合),将线段AD绕点A 逆时针旋转90°得到AE,连接EC,则线段BC,DC,EC之间满足的等量关系式为;探索:如图②,在Rt△ABC与Rt△ADE中,AB=AC,AD=AE,将△ADE绕点A旋转,使点D落在BC边上,试探索线段AD,BD,CD之间满足的等量关系,并证明你的结论;应用:如图③,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°.若BD=9,CD=3,求AD的长.(2018襄阳)如图(1),已知点G在正方形ABCD的对角线AC上,GE⊥BC,垂足为点E,GF⊥CD,垂足为点F.(1)证明与推断:①求证:四边形CEGF是正方形;的值为;②推断:AGBE(2)探究与证明:将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角(0°<α<45°),如图(2)所示,试探究线段AG与BE 之间的数量关系,并说明理由;(3)拓展与运用正方形CEGF在旋转过程中,当B,E,F三点在一条直线上时,如图(3)所示,延长CG交AD于点H.若AG=6,GH=22,则BC= .(2018淮安)(2018咸宁)(2018黄石)在△ABC 中,E 、F 分别为线段AB 、AC 上的点(不与A 、B 、C 重合). (1)如图1,若EF ∥BC ,求证:AEF ABC S AE AFS AB AC∆∆= (2)如图2,若EF 不与BC 平行,(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由;(3)如图3,若EF 上一点G 恰为△ABC 的重心,34AE AB =,求AEFABC S S ∆∆的值.BBB(2018山西)(2018盐城)【发现】如图①,已知等边ABC ,将直角三角形的60角顶点D 任意放在BC 边上(点D 不与点B 、C 重合),使两边分别交线段AB 、AC 于点E 、F .(1)若6AB=,4AE=,2BD=,则CF=_______;(2)求证:EBD DCF∆∆.【思考】若将图①中的三角板的顶点D在BC边上移动,保持三角板与AB、AC的两个交点E、F都存在,连接EF,如图②所示.问点D是否存在某一位置,使ED平分BEF∠且FD平分CFE∠?若存在,求出BDBC的值;若不存在,请说明理由.【探索】如图③,在等腰ABC∆中,AB AC=,点O为BC边的中点,将三角形透明纸板的一个顶点放在点O处(其中MON B∠=∠),使两条边分别交边AB、AC于点E、F(点E、F均不与ABC∆的顶点重合),连接EF.设Bα∠=,则AEF∆与ABC∆的周长之比为________(用含α的表达式表示).(2018绍兴)(2018达州)(2018菏泽)(2018扬州)问题呈现如图1,在边长为1的正方形网格中,连接格点D、N和E、C,DN与EC相交于点P,求tan CPN∠的值.方法归纳求一个锐角的三角函数值,我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形.观察发现问题中CPN∠不在直角三角形中,我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题.比如连接格点M、N,可得∠就变换到中Rt DMN∆.∠=∠,连接DM,那么CPNMN EC,则DNM CPN//问题解决(1)直接写出图1中tan CPN ∠的值为_________;(2)如图2,在边长为1的正方形网格中,AN 与CM 相交于点P ,求cos CPN ∠的值; 思维拓展(3)如图3,AB BC ⊥,4AB BC =,点M 在AB 上,且AM BC =,延长CB 到N ,使2BN BC =,连接AN 交CM 的延长线于点P ,用上述方法构造网格求CPN ∠的度数.(2018常德)已知正方形ABCD 中AC 与BD 交于O 点,点M 在线段BD 上,作直线AM 交直线DC 于E ,过D 作DH AE ⊥于H ,设直线DH 交AC 于N .(1)如图14,当M 在线段BO 上时,求证:MO NO =;(2)如图15,当M 在线段OD 上,连接NE ,当//EN BD 时,求证:BM AB =; (3)在图16,当M 在线段OD 上,连接NE ,当NE EC ⊥时,求证:2AN NC AC =⋅.(2018滨州)(2018湖州)(2018自贡)如图,已知AOB 60∠=,在AOB ∠的平分线OM 上有一点C ,将一个120°角的顶点与点C 重合,它的两条边分别与直线OA OB 、相交于点D E 、 .⑴当DCE ∠绕点C 旋转到CD 与OA 垂直时(如图1),请猜想OE OD +与OC 的数量关系,并说明理由;⑵当DCE ∠绕点C 旋转到CD 与OA 不垂直时,到达图2的位置,⑴中的结论是否成立?并说明理由; ⑶当DCE ∠绕点C 旋转到CD 与OA 的反向延长线相交时,上述结论是否成立?请在图3中画出图形,若成立,请给于证明;若不成立,线段OD OE 、与OC 之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明.(2018嘉兴、舟山)O BOO B图3.(2018淄博)(1)操作发现:如图①,小明画了一个等腰三角形ABC ,其中AB AC =,在ABC ∆的外侧分别以,AB AC 为腰作了两个等腰直角三角形ABD ACE ,,分别取,BD CE ,BC 的中点,,M N G ,连接,GM GN .小明发现了:线段GM 与GN 的数量关系是 ;位置关系是 . (2)类比思考:如图②,小明在此基础上进行了深入思考.把等腰三角形ABC 换为一般的锐角三角形,其中AB AC >,其它条件不变,小明发现的上述结论还成立吗?请说明理由. (3)深入研究:如图③,小明在(2)的基础上,又作了进一步的探究.向ABC ∆的内侧分别作等腰直角三角形,ABD ACE ,其它条件不变,试判断GMN ∆的形状,并给与证明.类型2 与图形变换有关的几何综合题(2018宜昌)在矩形ABCD 中,12AB =,P 是边AB 上一点,把PBC 沿直线PC 折叠,顶点B 的对应点是点G ,过点B 作BE CG ⊥,垂足为E 且在AD 上,BE 交PC 于点F . (1)如图1,若点E 是AD 的中点,求证:AEB DEC ∆∆≌; (2) 如图2,①求证: BP BF =;②当AD 25=,且AE DE <时,求cos PCB ∠的值; ③当BP 9=时,求BE EF 的值.图1 图2 图2备用图 23.(1)证明:在矩形ABCD 中,90,A D AB DC ∠=∠==, 如图1,又AE DE =,图1∆≅∆,ABE DCE(2)如图2,图2①在矩形ABCD中,90∠=,ABC∆沿PC折叠得到GPC∆BPC∠=∠∴∠=∠=,BPC GPC PGC PBC90⊥BE CG∴,BE PG//∴∠=∠GPF PFBBPF BFP∴∠=∠∴=BP BFAD=时,②当25∠=BEC90∴∠+∠=,90AEB CED90AEB ABE ∠+∠=,CED ABE ∴∠=∠ 又90A D ∠=∠=,ABE DEC ∴∆∆∽AB DEAE CD∴=∴设AE x =,则25DE x =-,122512xx -∴=, 解得19x =,216x =AE DE <9,16AE DE ∴==, 20,15CE BE ∴==,由折叠得BP PG =,BP BF PG ∴==,//BE PG , ECF GCP ∴∆∆∽EF CEPG CG∴=设BP BF PG y ===,152025y y -∴=253y ∴=则253BP = 在Rt PBC ∆中,PC =,cos 10BC PCB PC ∠=== ③若9BP =,解法一:连接GF ,(如图3)90GEF BAE ∠=∠=, //,BF PG BF PG =∴四边形BPGF 是平行四边形BP BF =,∴平行四边形BPGF 是菱形//BP GF ∴, GFE ABE ∴∠=∠, GEF EAB ∴∆∆∽EF ABGF BE∴=129108BE EF AB GF ∴==⨯= 解法二:如图2,90FEC PBC ∠=∠=,EFC PFB BPF ∠=∠=∠, EFC BPC ∴∆∆∽EF CEBP CB∴=又90BEC A ∠=∠=, 由//AD BC 得AEB EBC ∠=∠,AEB EBC ∴∆∆∽AB CEBE CB∴=AE EFBE BP∴=129108BE EF AE BP ∴==⨯=解法三:(如图4)过点F 作FH BC ⊥,垂足为HBPF PFEGS BF BFS EF PG BE∆==+四边形图41212BFC BEC S BF EF BC EFBE S BC ∆∆⋅===⨯ 912EFBE ∴=129108BE EF ∴=⨯=(2018邵阳)(2018永州)(2018无锡)(2018包头)(2018赤峰)(2018昆明)(2018岳阳)(2018宿迁)(2018绵阳)(2018南充)(2018徐州)类型3 与动点有关的几何综合题(2018吉林)(2018黑龙江龙东)(2018黑龙江龙东)(2018广东)已知Rt△OAB,∠OAB=90o,∠ABO=30o,斜边OB=4,将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60o,如图25-1图,连接BC.(1)填空:∠OBC=_______o;(2)如图25-1图,连接AC,作OP⊥AC,垂足为P,求OP的长度;(3)如图25-2图,点M、N同时从点O出发,在△OCB边上运动,M沿O→C→B路径匀速运动,N沿O→B→C路径匀速运动,当两点相遇时运动停止.已知点M的运动速度为1.5单位/秒,点N的运动速度为1单位/秒.设运动时间为x秒,△OMN的面积为y,求当x为何值时y取得最大值?最大值为多少?(结果可保留根号)(2018衡阳)(2018黔东南)如图1,已知矩形AOCB,6cm s的AB cm=,动点P从点A出发,以3/=,16BC cm速度向点O运动,直到点O为止;动点Q同时从点C出发,以2/cm s的速度向点B运动,与点P同时结束运动.(1)点P 到达终点O 的运动时间是________s ,此时点Q 的运动距离是________cm ; (2)当运动时间为2s 时,P 、Q 两点的距离为________cm ; (3)请你计算出发多久时,点P 和点Q 之间的距离是10cm ;(4)如图2,以点O 为坐标原点,OC 所在直线为x 轴,OA 所在直线为y 轴,1cm 长为单位长度建立平面直角坐标系,连结AC ,与PQ 相交于点D ,若双曲线ky x=过点D ,问k 的值是否会变化?若会变化,说明理由;若不会变化,请求出k 的值.(2018青岛)已知:如图,四边形ABCD ,//,AB DC CB AB ⊥,16,6,8AB cm BC cm CD cm ===,动点P 从点D 开始沿DA 边匀速运动,动点Q 从点A 开始沿AB 边匀速运动,它们的运动速度均为2/cm s .点P 和点Q 同时出发,以QA QP 、为边作平行四边形AQPE ,设运动的时间为()t s ,05t <<.根据题意解答下列问题: (1)用含t 的代数式表示AP ;(2)设四边形CPQB 的面积为()2S cm ,求S 与t 的函数关系式; (3)当QP BD ⊥时,求t 的值;(4)在运动过程中,是否存在某一时刻t ,使点E 在ABD ∠的平分线上?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由.(2018广州)如图12,在四边形ABCD 中,∠B=60°,∠D=30°,AB=BC. (1)求∠A+∠C 的度数(2)连接BD,探究AD,BD,CD 三者之间的数量关系,并说明理由。

2020年中考数学试题分类汇编:四边形(含答案解析)

2020年中考数学试题分类汇编:四边形(含答案解析)

一.选择题1. (2019安徽)在四边形ABCD 中,∠A =∠B =∠C ,点E 在边AB 上,∠AED =60°,则一定有 A .∠ADE =20° B .∠ADE =30°C .∠ADE =1 2∠ADCD .∠ADE = 1 3∠ADC2. (2019安徽)如图,矩形ABCD 中,AB =8,BC =4.点E 在边AB 上,点F在边CD 上,点G 、H 在对角线AC 上.若四边形EGFH 是菱形, 则AE 的长是 A .2 5 B .35 C .5D .63. (2019兰州)下列命题错误..的是 A. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 B. 平行四边形的对角线互相平分C. 矩形的对角线相等D. 对角线相等的四边形是矩形4. 如图,菱形ABCD 中,AB=4,∠B=60°,AE ⊥BC ,AF ⊥A EBCFD GH第9题图CD,垂足分别为E,F,连结EF,则△AEF的面积是A. 33 C. 324 B. 3D. 35.(2019广东)下列所述图形中,既是中心对称图形,又是轴对称图形的是A.矩形B.平行四边形C.正五边形D.正三角形【答案】A.【解析】平行四边形只是中心对称图形,正五边形、正三角形只是轴对称图形,只有矩形符合。

6.(2019梅州)下列命题正确的是()A.对角线互相垂直的四边形是菱形B.一组对边相等,另一组对边平等的四边形是平行四边形C.对角线相等的四边形是矩形D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形考点:命题与定理..分析:根据矩形、菱形、平行四边形的知识可判断出各选项,从而得出答案.解答:解:A、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形,故本选项错误;B、一组对边相等,另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形,也可能是等腰梯形,故本选项错误;C、对角线相等的四边形不一定是矩形,例如等腰梯形,故本选项错误;D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形,故本选项正确.故选D.点评:本题主要考查了命题与定理的知识,解答本题的关键是熟练掌握平行四边形、菱形以及矩形的性质,此题难度不大.6.(广东汕尾)下列命题正确的是A.一组对边相等,另一组对边平行的四边形是平行四边形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.对角线相等的四边形是矩形D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形7.(湖北滨州)顺次连接矩形ABCD各边的中点,所得四边形必定是A.邻边不等的平行四边形B.矩形C.正方形D.菱形8.(湖北襄阳)如图,矩形纸片ABCD 中,AB =4,BC =8,将纸片沿EF 折叠,使点C 与点A 重合,则下列结论错误的是( ). A .AF =AE B .△ABE ≌△AGF C .EF =2 5 D .AF =EF9.(湖北孝感)已知一个正多边形的每个外角等于 60,则这个正多边形是 A .正五边形 B .正六边形C .正七边形D .正八边形10. (湖北孝感)下列命题: ①平行四边形的对边相等;②对角线相等的四边形是矩形;③正方形既是轴对称图形,又是中心对称图形; ④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形. 其中真命题的个数是 A .1B .2C .3D .411.(衡阳)下列命题是真命题的是( A ).GFE DCB AA .对角线互相平分的四边形是平行四边形B .对角线相等的四边形是矩形C .对角线互相垂直的四边形是菱形D .对角线互相垂直平分的四边形是正方形12. (2019•益阳)如图,在矩形ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O ,以下说法错误的是( )A . ∠ABC=90°B .AC=BD C .OA=OB D .OA=AD考点:矩形的性质. 分析: 矩形的性质:四个角都是直角,对角线互相平分且相等;由矩形的性质容易得出结论. 解答: 解:∵四边形ABCD 是矩形,∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°,AC=BD ,OA=AC ,OB=BD , ∴OA=OB,∴A、B 、C 正确,D 错误,故选:D .点评: 本题考查了矩形的性质;熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键.13.(株洲)下列几何图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是A 、等腰三角形B 、正三角形C 、平行四边形D 、正方形 【试题分析】本题考点为:轴对称图形与中心对称图形的理解 答案为:D14.(无锡)下列图形中,是轴对称图形但不是中心对称图形的是 ( )A .等边三角形B .平行四边形C .矩形D .圆15.(江西)如图,小贤为了体验四边形的不稳定性,将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD ,B 与D 两点之间用一根橡皮筋...拉直固定,然后向右扭动框架,观察所得四边形的变化.下面判断错误..的是( ) A .四边形ABCD 由矩形变为平行四边形B .BD 的长度增大C .四边形ABCD 的面积不变D.四边形ABCD的周长不变16.(呼和浩特)下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是A.B. C.D.17.(呼和浩特).如图,有一块矩形纸片ABCD,AB=8,AD=6,将纸片折叠,使得AD边落在AB边上,折痕为AE,再将△AED沿DE向右翻折,AE与BC的交点为F,则△CEF的面积为A. 12B.98C. 2D. 418.二.填空题1. (2019广东)正五边形的外角和等于(度).【答案】360.【解析】n边形的外角和都等于360度。

中考数学压轴题之平行四边形(中考题型整理,突破提升)含答案解析

中考数学压轴题之平行四边形(中考题型整理,突破提升)含答案解析
在正方形 ABCD 中,AB=AD,∠ BAD=∠ D=90o, ∴ ∠ 2+∠ 3=90° 又∵ BF⊥AE, ∴ ∠ AGB=90° ∴ ∠ 1+∠ 2=90°, ∴ ∠ 1=∠ 3 在△ BAF 与△ ADE 中, ∠ 1=∠ 3 BA=AD ∠ BAF=∠ D, ∴ △ BAF≌ △ ADE(ASA) ∴ AF=DE. (2)证明:过点 D 作 DM⊥GF,DN⊥GE,垂足分别为点 M,N.
考点:1.正方形的性质;2.全等三角形的判定与性质;3.三角形中位线定理;4.旋转的性 质.
3.如图,△ ABC 中,AD 是边 BC 上的中线,过点 A 作 AE∥ BC,过点 D 作 DE∥ AB,DE 与 AC、AE 分别交于点 O、点 E,连接 EC. (1)求证:AD=EC;
(2)当∠ BAC=Rt∠ 时,求证:四边形 ADCE 是菱形.
【答案】(1)见解析; (2)见解析. 【解析】 【分析】 (1)先证四边形 ABDE 是平行四边形,再证四边形 ADCE 是平行四边形即可; (2)由∠ BAC=90°,AD 是边 BC 上的中线,得 AD=BD=CD,即可证明. 【详解】 (1)证明:∵ AE∥ BC,DE∥ AB , ∴ 四边形 ABDE 是平行四边形, ∴ AE=BD, ∵ AD 是边 BC 上的中线, ∴ BD=DC, ∴ AE=DC, 又∵ AE∥ BC, ∴ 四边形 ADCE 是平行四边形. (2) 证明:∵ ∠ BAC=90°,AD 是边 BC 上的中线. ∴ AD=CD ∵ 四边形 ADCE 是平行四边形, ∴ 四边形 ADCE 是菱形. 【点睛】 本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、直角三角形斜边中线定理.根据图形与已知条 件灵活应用平行四边形的判定方法是证明的关键.

中考数学—平行四边形的综合压轴题专题复习含答案

中考数学—平行四边形的综合压轴题专题复习含答案

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图,平面直角坐标系中,四边形OABC为矩形,点A,B的坐标分别为(4,0),(4,3),动点M,N分别从O,B同时出发.以每秒1个单位的速度运动.其中,点M 沿OA向终点A运动,点N沿BC向终点C运动.过点M作MP⊥OA,交AC于P,连接NP,已知动点运动了x秒.(1)P点的坐标为多少(用含x的代数式表示);(2)试求△NPC面积S的表达式,并求出面积S的最大值及相应的x值;(3)当x为何值时,△NPC是一个等腰三角形?简要说明理由.【答案】(1)P点坐标为(x,3﹣x).(2)S的最大值为,此时x=2.(3)x=,或x=,或x=.【解析】试题分析:(1)求P点的坐标,也就是求OM和PM的长,已知了OM的长为x,关键是求出PM的长,方法不唯一,①可通过PM∥OC得出的对应成比例线段来求;②也可延长MP交BC于Q,先在直角三角形CPQ中根据CQ的长和∠ACB的正切值求出PQ的长,然后根据PM=AB﹣PQ来求出PM的长.得出OM和PM的长,即可求出P点的坐标.(2)可按(1)②中的方法经求出PQ的长,而CN的长可根据CN=BC﹣BN来求得,因此根据三角形的面积计算公式即可得出S,x的函数关系式.(3)本题要分类讨论:①当CP=CN时,可在直角三角形CPQ中,用CQ的长即x和∠ABC的余弦值求出CP的表达式,然后联立CN的表达式即可求出x的值;②当CP=PN时,那么CQ=QN,先在直角三角形CPQ中求出CQ的长,然后根据QN=CN﹣CQ求出QN的表达式,根据题设的等量条件即可得出x的值.③当CN=PN时,先求出QP和QN的长,然后在直角三角形PNQ中,用勾股定理求出PN 的长,联立CN的表达式即可求出x的值.试题解析:(1)过点P作PQ⊥BC于点Q,有题意可得:PQ∥AB,∴△CQP∽△CBA,∴∴解得:QP=x,∴PM=3﹣x,由题意可知,C(0,3),M(x,0),N(4﹣x,3),P点坐标为(x,3﹣x).(2)设△NPC的面积为S,在△NPC中,NC=4﹣x,NC边上的高为,其中,0≤x≤4.∴S=(4﹣x)×x=(﹣x2+4x)=﹣(x﹣2)2+.∴S的最大值为,此时x=2.(3)延长MP交CB于Q,则有PQ⊥BC.①若NP=CP,∵PQ⊥BC,∴NQ=CQ=x.∴3x=4,∴x=.②若CP=CN,则CN=4﹣x,PQ=x,CP=x,4﹣x=x,∴x=;③若CN=NP,则CN=4﹣x.∵PQ=x,NQ=4﹣2x,∵在Rt△PNQ中,PN2=NQ2+PQ2,∴(4﹣x)2=(4﹣2x)2+(x)2,∴x=.综上所述,x=,或x=,或x=.考点:二次函数综合题.2.操作:如图,边长为2的正方形ABCD,点P在射线BC上,将△ABP沿AP向右翻折,得到△AEP,DE所在直线与AP所在直线交于点F.探究:(1)如图1,当点P在线段BC上时,①若∠BAP=30°,求∠AFE的度数;②若点E 恰为线段DF的中点时,请通过运算说明点P会在线段BC的什么位置?并求出此时∠AFD 的度数.归纳:(2)若点P是线段BC上任意一点时(不与B,C重合),∠AFD的度数是否会发生变化?试证明你的结论;猜想:(3)如图2,若点P在BC边的延长线上时,∠AFD的度数是否会发生变化?试在图中画出图形,并直接写出结论.【答案】(1)①45°;②BC的中点,45°;(2)不会发生变化,证明参见解析;(3)不会发生变化,作图参见解析.【解析】试题分析:(1)当点P在线段BC上时,①由折叠得到一对角相等,再利用正方形性质求出∠DAE度数,在三角形AFD中,利用内角和定理求出所求角度数即可;②由E为DF中点,得到P为BC中点,如图1,连接BE交AF于点O,作EG∥AD,得EG∥BC,得到AF 垂直平分BE,进而得到三角形BOP与三角形EOG全等,利用全等三角形对应边相等得到BP=EG=1,得到P为BC中点,进而求出所求角度数即可;(2)若点P是线段BC上任意一点时(不与B,C重合),∠AFD的度数不会发生变化,作AG⊥DF于点G,如图1(a)所示,利用折叠的性质及三线合一性质,根据等式的性质求出∠1+∠2的度数,即为∠FAG度数,即可求出∠F度数;(3)作出相应图形,如图2所示,若点P在BC边的延长线上时,∠AFD的度数不会发生变化,理由为:作AG⊥DE于G,得∠DAG=∠EAG,设∠DAG=∠EAG=α,根据∠FAE为∠BAE一半求出所求角度数即可.试题解析:(1)①当点P在线段BC上时,∵∠EAP=∠BAP=30°,∴∠DAE=90°﹣30°×2=30°,在△ADE中,AD=AE,∠DAE=30°,∴∠ADE=∠AED=(180°﹣30°)÷2=75°,在△AFD中,∠FAD=30°+30°=60°,∠ADF=75°,∴∠AFE=180°﹣60°﹣75°=45°;②点E为DF 的中点时,P也为BC的中点,理由如下:如图1,连接BE交AF于点O,作EG∥AD,得EG∥BC,∵EG∥AD,DE=EF,∴EG=AD=1,∵AB=AE,∴点A在线段BE的垂直平分线上,同理可得点P在线段BE的垂直平分线上,∴AF垂直平分线段BE,∴OB=OE,∵GE∥BP,∴∠OBP=∠OEG,∠OPB=∠OGE,∴△BOP≌△EOG,∴BP=EG=1,即P为BC的中点,∴∠DAF=90°﹣∠BAF,∠ADF=45°+∠BAF,∴∠AFD=180°﹣∠DAF﹣∠ADF=45°;(2)∠AFD的度数不会发生变化,作AG⊥DF于点G,如图1(a)所示,在△ADE中,AD=AE,AG⊥DE,∵AG平分∠DAE,即∠2=∠DAG,且∠1=∠BAP,∴∠1+∠2=×90°=45°,即∠FAG=45°,则∠AFD=90°﹣45°=45°;(3)如图2所示,∠AFE的大小不会发生变化,∠AFE=45°,作AG⊥DE于G,得∠DAG=∠EAG,设∠DAG=∠EAG=α,∴∠BAE=90°+2α,∴∠FAE=∠BAE=45°+α,∴∠FAG=∠FAE﹣∠EAG=45°,在Rt△AFG中,∠AFE=90°﹣45°=45°.考点:1.正方形的性质;2.折叠性质;3.全等三角形的判定与性质.3.已知:在菱形ABCD中,E,F是BD上的两点,且AE∥CF.求证:四边形AECF是菱形.【答案】见解析【解析】【分析】由菱形的性质可得AB∥CD,AB=CD,∠ADF=∠CDF,由“SAS”可证△ADF≌△CDF,可得AF=CF,由△ABE≌△CDF,可得AE=CF,由平行四边形的判定和菱形的判定可得四边形AECF是菱形.【详解】证明:∵四边形ABCD是菱形∴AB∥CD,AB=CD,∠ADF=∠CDF,∵AB=CD,∠ADF=∠CDF,DF=DF∴△ADF≌△CDF(SAS)∴AF=CF,∵AB∥CD,AE∥CF∴∠ABE=∠CDF,∠AEF=∠CFE∴∠AEB=∠CFD,∠ABE=∠CDF,AB=CD∴△ABE≌△CDF(AAS)∴AE=CF,且AE∥CF∴四边形AECF是平行四边形又∵AF=CF,∴四边形AECF是菱形【点睛】本题主要考查菱形的判定定理,首先要判定其为平行四边形,这是菱形判定的基本判定.4.已知矩形纸片OBCD的边OB在x轴上,OD在y轴上,点C在第一象限,且,.现将纸片折叠,折痕为EF(点E,F是折痕与矩形的边的交点),点P ==OB OD86为点D的对应点,再将纸片还原。

近五年(2017-2021)年浙江中考数学真题分类汇编之图形的性质(含解析)

近五年(2017-2021)年浙江中考数学真题分类汇编之图形的性质(含解析)

2017-2021年浙江中考数学真题分类汇编之图形的性质一.选择题(共14小题)1.(2021•杭州)如图,设点P是直线l外一点,PQ⊥l,垂足为点Q,点T是直线l上的一个动点,连结PT,则()A.PT≥2PQ B.PT≤2PQ C.PT≥PQ D.PT≤PQ 2.(2021•衢州)已知扇形的半径为6,圆心角为150°,则它的面积是()A.πB.3πC.5πD.15π3.(2020•宁波)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为中线,延长CB至点E,使BE=BC,连接DE,F为DE中点,连接BF.若AC=8,BC=6,则BF的长为()A.2B.2.5C.3D.4 4.(2021•衢州)如图,在△ABC中,AB=4,AC=5,BC=6,点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,连结DE,EF,则四边形ADEF的周长为()A.6B.9C.12D.15 5.(2021•台州)小光准备从A地去往B地,打开导航、显示两地距离为37.7km,但导航提供的三条可选路线长却分别为45km,50km,51km(如图).能解释这一现象的数学知识是()A.两点之间,线段最短B.垂线段最短C.三角形两边之和大于第三边D.两点确定一条直线6.(2020•温州)如图,菱形OABC的顶点A,B,C在⊙O上,过点B作⊙O的切线交OA 的延长线于点D.若⊙O的半径为1,则BD的长为()A.1B.2C.D.7.(2021•绍兴)数学兴趣小组同学从“中国结”的图案(图1)中发现,用相同的菱形纵向排列放置,可得到更多的菱形.如图2,用2个相同的菱形放置,得到3个菱形.下面说法正确的是()A.用3个相同的菱形放置,最多能得到6个菱形B.用4个相同的菱形放置,最多能得到16个菱形C.用5个相同的菱形放置,最多能得到27个菱形D.用6个相同的菱形放置,最多能得到41个菱形8.(2020•金华)如图,四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”,得到正方形ABCD与正方形EFGH.连接EG,BD相交于点O,BD与HC相交于点P.若GO=GP,则的值是()A.1+B.2+C.5﹣D.9.(2020•温州)如图,在△ABC中,∠A=40°,AB=AC,点D在AC边上,以CB,CD 为边作▱BCDE,则∠E的度数为()A.40°B.50°C.60°D.70°10.(2020•衢州)过直线l外一点P作直线l的平行线,下列尺规作图中错误的是()A.B.C.D.11.(2020•湖州)如图,已知OT是Rt△ABO斜边AB上的高线,AO=BO.以O为圆心,OT为半径的圆交OA于点C,过点C作⊙O的切线CD,交AB于点D.则下列结论中错误的是()A.DC=DT B.AD=DT C.BD=BO D.2OC=5AC 12.(2020•嘉兴)如图,在等腰△ABC中,AB=AC=2,BC=8,按下列步骤作图:①以点A为圆心,适当的长度为半径作弧,分别交AB,AC于点E,F,再分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径作弧相交于点H,作射线AH;②分别以点A,B为圆心,大于AB的长为半径作弧相交于点M,N,作直线MN,交射线AH于点O;③以点O为圆心,线段OA长为半径作圆.则⊙O的半径为()A.2B.10C.4D.5 13.(2021•宁波)如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形ABCD,相邻纸片之间互不重叠也无缝隙,其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1,另两张直角三角形纸片的面积都为S2,中间一张矩形纸片EFGH的面积为S3,FH与GE相交于点O.当△AEO,△BFO,△CGO,△DHO的面积相等时,下列结论一定成立的是()A.S1=S2B.S1=S3C.AB=AD D.EH=GH14.(2021•金华)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以该三角形的三条边为边向外作正方形,正方形的顶点E,F,G,H,M,N都在同一个圆上.记该圆面积为S1,△ABC 面积为S2,则的值是()A.B.3πC.5πD.二.填空题(共6小题)15.(2020•台州)如图,等边三角形纸片ABC的边长为6,E,F是边BC上的三等分点.分别过点E,F沿着平行于BA,CA方向各剪一刀,则剪下的△DEF的周长是.16.(2020•绍兴)如图1,直角三角形纸片的一条直角边长为2,剪四块这样的直角三角形纸片,把它们按图2放入一个边长为3的正方形中(纸片在结合部分不重叠无缝隙),则图2中阴影部分面积为.17.(2020•绍兴)将两条邻边长分别为,1的矩形纸片剪成四个等腰三角形纸片(无余纸片),各种剪法剪出的等腰三角形中,其中一个等腰三角形的腰长可以是下列数中的(填序号).①,②1,③﹣1,④,⑤.18.(2020•衢州)图1是由七根连杆链接而成的机械装置,图2是其示意图.已知O,P两点固定,连杆P A=PC=140cm,AB=BC=CQ=QA=60cm,OQ=50cm,O,P两点间距与OQ长度相等.当OQ绕点O转动时,点A,B,C的位置随之改变,点B恰好在线段MN上来回运动.当点B运动至点M或N时,点A,C重合,点P,Q,A,B在同一直线上(如图3).(1)点P到MN的距离为cm.(2)当点P,O,A在同一直线上时,点Q到MN的距离为cm.19.(2019•绍兴)把边长为2的正方形纸片ABCD分割成如图的四块,其中点O为正方形的中心,点E,F分别为AB,AD的中点.用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形MNPQ(要求这四块纸片不重叠无缝隙),则四边形MNPQ的周长是.20.(2019•湖州)七巧板是我国祖先的一项卓越创造,被誉为“东方魔板”.由边长为4的正方形ABCD可以制作一副如图1所示的七巧板,现将这副七巧板在正方形EFGH内拼成如图2所示的“拼搏兔”造型(其中点Q、R分别与图2中的点E、G重合,点P 在边EH上),则“拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是.三.解答题(共2小题)21.(2020•台州)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC沿直线AB翻折得到△ABD,连接CD交AB于点M.E是线段CM上的点,连接BE.F是△BDE的外接圆与AD的另一个交点,连接EF,BF.(1)求证:△BEF是直角三角形;(2)求证:△BEF∽△BCA;(3)当AB=6,BC=m时,在线段CM上存在点E,使得EF和AB互相平分,求m的值.22.(2020•衢州)【性质探究】如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AE平分∠BAC,交BC于点E.作DF⊥AE于点H,分别交AB,AC于点F,G.(1)判断△AFG的形状并说明理由.(2)求证:BF=2OG.【迁移应用】(3)记△DGO的面积为S1,△DBF的面积为S2,当=时,求的值.【拓展延伸】(4)若DF交射线AB于点F,【性质探究】中的其余条件不变,连接EF,当△BEF的面积为矩形ABCD面积的时,请直接写出tan∠BAE的值.2017-2021年浙江中考数学真题分类汇编之图形的性质参考答案与试题解析一.选择题(共14小题)1.(2021•杭州)如图,设点P是直线l外一点,PQ⊥l,垂足为点Q,点T是直线l上的一个动点,连结PT,则()A.PT≥2PQ B.PT≤2PQ C.PT≥PQ D.PT≤PQ【考点】垂线段最短.【专题】线段、角、相交线与平行线;推理能力.【分析】根据垂线的性质“垂线段最短”即可得到结论.【解答】解:∵PQ⊥l,点T是直线l上的一个动点,连结PT,∴PT≥PQ,故选:C.【点评】本题考查了垂线段最短,熟练掌握垂线的性质是解题的关键.2.(2021•衢州)已知扇形的半径为6,圆心角为150°,则它的面积是()A.πB.3πC.5πD.15π【考点】扇形面积的计算.【专题】常规题型;运算能力.【分析】把已知数据代入扇形面积公式计算,即可得到答案.【解答】解:扇形面积=,故选:D.【点评】本题考查的是扇形面积计算,掌握扇形面积公式:是解决本题的关键.3.(2020•宁波)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为中线,延长CB至点E,使BE=BC,连接DE,F为DE中点,连接BF.若AC=8,BC=6,则BF的长为()A.2B.2.5C.3D.4【考点】三角形中位线定理;直角三角形斜边上的中线;勾股定理.【专题】转化思想;等腰三角形与直角三角形;推理能力.【分析】利用勾股定理求得AB=10;然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度;结合题意知线段BF是△CDE的中位线,则BF=CD.【解答】解:∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,∴AB===10.又∵CD为中线,∴CD=AB=5.∵F为DE中点,BE=BC即点B是EC的中点,∴BF是△CDE的中位线,则BF=CD=2.5.故选:B.【点评】本题主要考查了勾股定理,三角形中位线定理,直角三角形斜边上的中线,此题的突破口是推知线段CD的长度和线段BF是△CDE的中位线.4.(2021•衢州)如图,在△ABC中,AB=4,AC=5,BC=6,点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,连结DE,EF,则四边形ADEF的周长为()A.6B.9C.12D.15【考点】三角形中位线定理.【专题】三角形;推理能力.【分析】根据三角形中位线定理、线段中点的概念分别求出AD、DE、EF、AF,根据四边形的周长公式计算即可.【解答】解:∵点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,∴DE=AC=2.5,AF=AC=2.5,EF=AB=2,AD=AB=2,∴四边形ADEF的周长=AD+DE+EF+AF=9,故选:B.【点评】本题考查的是三角形中位线定理,掌握三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半是解题的关键.5.(2021•台州)小光准备从A地去往B地,打开导航、显示两地距离为37.7km,但导航提供的三条可选路线长却分别为45km,50km,51km(如图).能解释这一现象的数学知识是()A.两点之间,线段最短B.垂线段最短C.三角形两边之和大于第三边D.两点确定一条直线【考点】线段的性质:两点之间线段最短;垂线段最短;直线的性质:两点确定一条直线.【专题】线段、角、相交线与平行线;几何直观.【分析】根据线段的性质,可得答案.【解答】解:从A地去往B地,打开导航、显示两地距离为37.7km,理由是两点之间线段最短,故选:A.【点评】本题考查了线段的性质,熟记线段的性质并应用是解题的关键.6.(2020•温州)如图,菱形OABC的顶点A,B,C在⊙O上,过点B作⊙O的切线交OA 的延长线于点D.若⊙O的半径为1,则BD的长为()A.1B.2C.D.【考点】切线的性质;菱形的性质;圆周角定理.【专题】与圆有关的位置关系;推理能力.【分析】连接OB,根据菱形的性质得到OA=AB,求得∠AOB=60°,根据切线的性质得到∠DBO=90°,解直角三角形即可得到结论.【解答】解:连接OB,∵四边形OABC是菱形,∴OA=AB,∵OA=OB,∴OA=AB=OB,∴∠AOB=60°,∵BD是⊙O的切线,∴∠DBO=90°,∵OB=1,∴BD=OB=,故选:D.【点评】本题考查了切线的性质,菱形的性质,等边三角形的判定和性质,解直角三角形,熟练正确切线的性质定理是解题的关键.7.(2021•绍兴)数学兴趣小组同学从“中国结”的图案(图1)中发现,用相同的菱形纵向排列放置,可得到更多的菱形.如图2,用2个相同的菱形放置,得到3个菱形.下面说法正确的是()A.用3个相同的菱形放置,最多能得到6个菱形B.用4个相同的菱形放置,最多能得到16个菱形C.用5个相同的菱形放置,最多能得到27个菱形D.用6个相同的菱形放置,最多能得到41个菱形【考点】菱形的判定与性质.【专题】矩形菱形正方形;几何直观.【分析】根据题意画出图形,从图形中找到出现的菱形的个数即可.【解答】解:如图所示,用2个相同的菱形放置,最多能得到3个菱形;用3个相同的菱形放置,最多能得到8个菱形,用4个相同的菱形放置,最多能得到16个菱形,用5个相同的菱形放置,最多能得到29个菱形,用6个相同的菱形放置,最多能得到47个菱形.故选:B.【点评】本题主要考查菱形在实际生活中的应用,解题的关键是根据题意画出图形并熟练掌握菱形的判定.8.(2020•金华)如图,四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”,得到正方形ABCD与正方形EFGH.连接EG,BD相交于点O,BD与HC相交于点P.若GO=GP,则的值是()A.1+B.2+C.5﹣D.【考点】勾股定理的证明.【专题】计算题;等腰三角形与直角三角形;运算能力;推理能力.【分析】证明△BPG≌△BCG(ASA),得出PG=CG.设OG=PG=CG=x,则EG=2x,FG=x,由勾股定理得出BC2=(4+2)x2,则可得出答案.【解答】解:∵四边形EFGH为正方形,∴∠EGH=45°,∠FGH=90°,∵OG=GP,∴∠GOP=∠OPG=67.5°,∴∠PBG=22.5°,又∵∠DBC=45°,∴∠GBC=22.5°,∴∠PBG=∠GBC,∵∠BGP=∠BGC=90°,BG=BG,∴△BPG≌△BCG(ASA),∴PG=CG.设OG=PG=CG=x,∵O为EG,BD的交点,∴EG=2x,FG=x,∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”,∴BF=CG=x,∴BG=x+x,∴BC2=BG2+CG2==,∴=.故选:B.【点评】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,直角三角形的性质等知识,熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键.9.(2020•温州)如图,在△ABC中,∠A=40°,AB=AC,点D在AC边上,以CB,CD 为边作▱BCDE,则∠E的度数为()A.40°B.50°C.60°D.70°【考点】平行四边形的性质;等腰三角形的性质.【专题】等腰三角形与直角三角形;多边形与平行四边形;几何直观.【分析】根据等腰三角形的性质可求∠C,再根据平行四边形的性质可求∠E.【解答】解:∵在△ABC中,∠A=40°,AB=AC,∴∠C=(180°﹣40°)÷2=70°,∵四边形BCDE是平行四边形,∴∠E=70°.故选:D.【点评】考查了平行四边形的性质,等腰三角形的性质,关键是求出∠C的度数.10.(2020•衢州)过直线l外一点P作直线l的平行线,下列尺规作图中错误的是()A.B.C.D.【考点】作图—复杂作图;平行线的判定.【专题】线段、角、相交线与平行线;应用意识.【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可.【解答】解:A、本选项作了角的平分线与等腰三角形,能得到一组内错角相等,从而可证两直线平行,故本选项不符合题意.B、本选项作了一个角等于已知角,根据同位角相等两直线平行,能判断是过点P且与直线l的平行直线,本选项不符合题意.C、由作图可知,垂直于同一条直线的两条直线平行,本选项不符合题意.D、作图只截取了两条线段相等,而无法保证两直线平行的位置关系,本选项符合题意.故选:D.【点评】本题考查作图﹣复杂作图,平行线的判定等知识,解题的关键是读懂图象信息,属于中考常考题型.11.(2020•湖州)如图,已知OT是Rt△ABO斜边AB上的高线,AO=BO.以O为圆心,OT为半径的圆交OA于点C,过点C作⊙O的切线CD,交AB于点D.则下列结论中错误的是()A.DC=DT B.AD=DT C.BD=BO D.2OC=5AC【考点】全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形;切线的性质.【专题】圆的有关概念及性质;应用意识.【分析】如图,连接OD.想办法证明选项A,B,C正确即可解决问题.【解答】解:如图,连接OD.∵OT是半径,OT⊥AB,∴DT是⊙O的切线,∵DC是⊙O的切线,∴DC=DT,故选项A正确,∵OA=OB,∠AOB=90°,∴∠A=∠B=45°,∵DC是切线,∴CD⊥OC,∴∠ACD=90°,∴∠A=∠ADC=45°,∴AC=CD=DT,∴AC=CD=DT,故选项B正确,∵OD=OD,OC=OT,DC=DT,∴△DOC≌△DOT(SSS),∴∠DOC=∠DOT,∵OA=OB,OT⊥AB,∠AOB=90°,∴∠AOT=∠BOT=45°,∴∠DOT=∠DOC=22.5°,∴∠BOD=∠ODB=67.5°,∴BO=BD,故选项C正确,根据筛选法,故选:D.【点评】本题考查切线的判定和性质,等腰直角三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.12.(2020•嘉兴)如图,在等腰△ABC中,AB=AC=2,BC=8,按下列步骤作图:①以点A为圆心,适当的长度为半径作弧,分别交AB,AC于点E,F,再分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径作弧相交于点H,作射线AH;②分别以点A,B为圆心,大于AB的长为半径作弧相交于点M,N,作直线MN,交射线AH于点O;③以点O为圆心,线段OA长为半径作圆.则⊙O的半径为()A.2B.10C.4D.5【考点】作图—复杂作图;等腰三角形的性质;垂径定理.【专题】作图题;应用意识.【分析】如图,设OA交BC于T.解直角三角形求出AT,再在Rt△OCT中,利用勾股定理构建方程即可解决问题.【解答】解:如图,设OA交BC于T.半径为r,∵AB=AC=2,AO平分∠BAC,∴AO⊥BC,BT=TC=4,∴AT===2,在Rt△OCT中,则有r2=(r﹣2)2+42,解得r=5,故选:D.【点评】本题考查作图﹣复杂作图,等腰三角形的性质,垂径定理等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.13.(2021•宁波)如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形ABCD,相邻纸片之间互不重叠也无缝隙,其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1,另两张直角三角形纸片的面积都为S2,中间一张矩形纸片EFGH的面积为S3,FH与GE相交于点O.当△AEO,△BFO,△CGO,△DHO的面积相等时,下列结论一定成立的是()A.S1=S2B.S1=S3C.AB=AD D.EH=GH【考点】矩形的性质;全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形;平行四边形的性质.【专题】图形的全等;多边形与平行四边形;矩形菱形正方形;推理能力.【分析】如图,连接DG,AH,过点O作OJ⊥DE于J.证明S△DGH=S△AEH,S△DGC=S,可得结论.△ADH【解答】解:如图,连接DG,AH,过点O作OJ⊥DE于J.∵四边形EFGH是矩形,∴OH=OF,EF=GH,∠HEF=90°,∵OJ⊥DE,∴∠OJH=∠HEF=90°,∴OJ∥EF,∵HO=OF,∴HJ=JE,∴EF=GH=2OJ,∵S△DHO=•DH•OJ,S△DHG=•DH•GH,∴S△DGH=2S△DHO,同法可证S△AEH=2S△AEO,∵S△DHO=S△AEO,∴S△DGH=S△AEH,∵S△DGC=•CG•DH,S△ADH=•DH•AE,CG=AE,∴S△DGC=S△ADH,∴S△DHC=S△ADE,∴S1=S2,故A选项符合题意;S3=HE•EF≠S1,故B选项不符合题意;AB=AD,EH=GH均不成立,故C选项,D选项不符合题意,故选:A.【点评】本题考查矩形的性质,全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质,平行四边形的性质,矩形的性质等知识,解题的关键是证明S△DGH=S△AEH,S△DGC=S△ADH.14.(2021•金华)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以该三角形的三条边为边向外作正方形,正方形的顶点E,F,G,H,M,N都在同一个圆上.记该圆面积为S1,△ABC 面积为S2,则的值是()A.B.3πC.5πD.【考点】勾股定理;垂径定理.【专题】与圆有关的计算;推理能力.【分析】先设Rt△ABC的三边长为a,b,c,其中c为斜边,设⊙O的半径为r,根据图形找出a,b,c,r的关系,用含c的式子表示S1和S2,即可求出比值.【解答】解:如图,取AB的中点为O,AC的中点为D,连接OE,OG,OD,OC,设AB=c,AC=b,BC=a,则a2+b2=c2,①取AB的中点为O,∵△ABC是直角三角形,∴OA=OB=OC,∵圆心在MN和HG的垂直平分线上,∴O为圆心,连接OC,OG,OE,作OD⊥AC,则OG,OE为半径,由勾股定理得:,②由①②得a=b,∴,∴,,∴,故选:C.【点评】本题主要考查勾股定理的应用,关键在找到圆心,依据的知识点是直角三角形斜边上的中点等于斜边的一半,即斜边的中点为圆心,用字母表示多条边,然后找它们的关系是中考经常考的类型,平时要多加练习此类题型.二.填空题(共6小题)15.(2020•台州)如图,等边三角形纸片ABC的边长为6,E,F是边BC上的三等分点.分别过点E,F沿着平行于BA,CA方向各剪一刀,则剪下的△DEF的周长是6.【考点】等边三角形的判定与性质;平行线的性质.【专题】等腰三角形与直角三角形;几何直观.【分析】根据三等分点的定义可求EF的长,再根据等边三角形的判定与性质即可求解.【解答】解:∵等边三角形纸片ABC的边长为6,E,F是边BC上的三等分点,∴EF=2,∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠C=60°,又∵DE∥AB,DF∥AC,∴∠DEF=∠B=60°,∠DFE=∠C=60°,∴△DEF是等边三角形,∴剪下的△DEF的周长是2×3=6.故答案为:6.【点评】考查了等边三角形的性质,平行线的性质,关键是证明△DEF是等边三角形.16.(2020•绍兴)如图1,直角三角形纸片的一条直角边长为2,剪四块这样的直角三角形纸片,把它们按图2放入一个边长为3的正方形中(纸片在结合部分不重叠无缝隙),则图2中阴影部分面积为4.【考点】正方形的性质.【专题】矩形菱形正方形;运算能力;推理能力.【分析】根据题意和图形,可以得到直角三角形的一条直角边的长和斜边的长,从而可以得到直角三角形的另一条直角边长,再根据图形,可知阴影部分的面积是四个直角三角形的面积,然后代入数据计算即可.【解答】解:由题意可得,直角三角形的斜边长为3,一条直角边长为2,故直角三角形的另一条直角边长为:=,故阴影部分的面积是:=4,故答案为:4.【点评】本题考查正方形的性质、勾股定理、三角形的面积,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.17.(2020•绍兴)将两条邻边长分别为,1的矩形纸片剪成四个等腰三角形纸片(无余纸片),各种剪法剪出的等腰三角形中,其中一个等腰三角形的腰长可以是下列数中的①②③④(填序号).①,②1,③﹣1,④,⑤.【考点】矩形的性质;三角形三边关系;等腰三角形的性质.【专题】矩形菱形正方形;几何直观.【分析】首先作出图形,再根据矩形的性质和等腰三角形的判定即可求解.【解答】解:如图所示:则其中一个等腰三角形的腰长可以是①,②1,③﹣1,④,不可以是.故答案为:①②③④.【点评】考查了矩形的性质,等腰三角形的判定与性质,根据题意作出图形是解题的关键.18.(2020•衢州)图1是由七根连杆链接而成的机械装置,图2是其示意图.已知O,P两点固定,连杆P A=PC=140cm,AB=BC=CQ=QA=60cm,OQ=50cm,O,P两点间距与OQ长度相等.当OQ绕点O转动时,点A,B,C的位置随之改变,点B恰好在线段MN上来回运动.当点B运动至点M或N时,点A,C重合,点P,Q,A,B在同一直线上(如图3).(1)点P到MN的距离为160cm.(2)当点P,O,A在同一直线上时,点Q到MN的距离为cm.【考点】勾股定理的应用;菱形的性质;轨迹;等腰三角形的性质.【专题】矩形菱形正方形;解直角三角形及其应用;应用意识.【分析】(1)如图3中,延长PO交MN于T,过点O作OH⊥PQ于H.解直角三角形求出PT即可.(2)如图4中,当O,P,A共线时,过Q作QH⊥PT于H.设HA=xcm.解直角三角形求出HT即可.【解答】解:(1)如图3中,延长PO交MN于T,过点O作OH⊥PQ于H.由题意:OP=OQ=50cm,PQ=P A﹣AQ=140﹣60=80(cm),PM=P A+BC=140+60=200(cm),PT⊥MN,∵OH⊥PQ,∴PH=HQ=40(cm),∵cos∠P==,∴=,∴PT=160(cm),∴点P到MN的距离为160cm,故答案为160.(2)如图4中,当O,P,A共线时,过Q作QH⊥PT于H.设HA=xcm.由题意AT=PT﹣P A=160﹣140=20(cm),OA=P A﹣OP=140﹣50=90(cm),OQ=50cm,AQ=60cm,∵QH⊥OA,∴QH2=AQ2﹣AH2=OQ2﹣OH2,∴602﹣x2=502﹣(90﹣x)2,解得x=,∴HT=AH+AT=(cm),∴点Q到MN的距离为cm.故答案为.【点评】本题考查解直角三角形的应用,等腰三角形的性质,菱形的性质等知识,解题的关键是理解题意,学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,学会利用参数构建方程解决问题.19.(2019•绍兴)把边长为2的正方形纸片ABCD分割成如图的四块,其中点O为正方形的中心,点E,F分别为AB,AD的中点.用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形MNPQ(要求这四块纸片不重叠无缝隙),则四边形MNPQ的周长是6+2或10或8+2.【考点】平面镶嵌(密铺);整式的加减.【专题】整式.【分析】先根据题意画出图形,再根据周长的定义即可求解.【解答】解:如图所示:图1的周长为1+2+3+2=6+2;图2的周长为1+4+1+4=10;图3的周长为3+5++=8+2.故四边形MNPQ的周长是6+2或10或8+2.故答案为:6+2或10或8+2.【点评】考查了平面镶嵌(密铺),关键是得到与此正方形不全等的四边形MNPQ(要求这四块纸片不重叠无缝隙)的各种情况.20.(2019•湖州)七巧板是我国祖先的一项卓越创造,被誉为“东方魔板”.由边长为4的正方形ABCD可以制作一副如图1所示的七巧板,现将这副七巧板在正方形EFGH内拼成如图2所示的“拼搏兔”造型(其中点Q、R分别与图2中的点E、G重合,点P 在边EH上),则“拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是4.【考点】七巧板.【专题】图表型;矩形菱形正方形.【分析】如图2中,连接EG,GM⊥EN交EN的延长线于M,利用勾股定理解决问题即可.【解答】解:如图2中,连接EG,作GM⊥EN交EN的延长线于M.在Rt△EMG中,∵GM=4,EM=2+2+4+4=12,∴EG===4,∴EH==4,解法二:如图,连接EG交MN于点O.由题意,EN=MN=4,GM=8,∵∠EON=∠GOM,∠N=∠M=90°,∴△EON∽△GOM,∴==,∴ON=MN=,∴OE==,OG=2OE=,∴GF=EG=(OE+OG)=4.故答案为4.【点评】本题考查正方形的性质,七巧板,勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题.三.解答题(共2小题)21.(2020•台州)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC沿直线AB翻折得到△ABD,连接CD交AB于点M.E是线段CM上的点,连接BE.F是△BDE的外接圆与AD的另一个交点,连接EF,BF.(1)求证:△BEF是直角三角形;(2)求证:△BEF∽△BCA;(3)当AB=6,BC=m时,在线段CM上存在点E,使得EF和AB互相平分,求m的值.【考点】圆的综合题.【专题】几何综合题;应用意识.【分析】(1)想办法证明∠BEF=90°即可解决问题(也可以利用圆内接四边形的性质直接证明).(2)根据两角对应相等两三角形相似证明.(3)证明四边形AFBE是平行四边形,推出FJ=BD=,EF=m,由△ABC∽△CBM,可得BM=,由△BEJ∽△BME,可得BE=,由△BEF∽△BCA,推出=,由此构建方程求解即可.【解答】(1)证明:∵∠ACB=90°,将△ABC沿直线AB翻折得到△ABD,∴∠ADB=∠ACB=90°,∵∠EFB=∠EDB,∠EBF=∠EDF,∴∠EFB+∠EBF=∠EDB+∠EDF=∠ADB=90°,∴∠BEF=90°,∴△BEF是直角三角形.(2)证明:∵BC=BD,∴∠BDC=∠BCD,∵∠EFB=∠EDB,∴∠EFB=∠BCD,∵AC=AD,BC=BD,∴AB⊥CD,∴∠AMC=90°,∵∠BCD+∠ACD=∠ACD+∠CAB=90°,∴∠BCD=∠CAB,∴∠BFE=∠CAB,∵∠ACB=∠FEB=90°,∴△BEF∽△BCA.(3)解:设EF交AB于J.连接AE.∵EF与AB互相平分,∴四边形AFBE是平行四边形,∴∠EF A=∠FEB=90°,即EF⊥AD,∵BD⊥AD,∴EF∥BD,∵AJ=JB,∴AF=DF,∴FJ=BD=,∴EF=m,∵△ABC∽△CBM,∴BC:MB=AB:BC,∴BM=,∵△BEJ∽△BME,∴BE:BM=BJ:BE,∴BE=,∵△BEF∽△BCA,∴=,即=,解得m=2(负根已经舍弃).【点评】本题属于圆综合题,考查了圆周角定理,相似三角形的判定和性质平行四边形的判定和性质等知识,解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题,属于中考压轴题.22.(2020•衢州)【性质探究】如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AE平分∠BAC,交BC于点E.作DF⊥AE于点H,分别交AB,AC于点F,G.(1)判断△AFG的形状并说明理由.(2)求证:BF=2OG.【迁移应用】(3)记△DGO的面积为S1,△DBF的面积为S2,当=时,求的值.【拓展延伸】(4)若DF交射线AB于点F,【性质探究】中的其余条件不变,连接EF,当△BEF的面积为矩形ABCD面积的时,请直接写出tan∠BAE的值.【考点】四边形综合题.【专题】几何综合题;应用意识.【分析】(1)如图1中,△AFG是等腰三角形.利用全等三角形的性质证明即可.(2)如图2中,过点O作OL∥AB交DF于L,则∠AFG=∠OLG.首先证明OG=OL,再证明BF=2OL即可解决问题.(3)如图3中,过点D作DK⊥AC于K,则∠DKA=∠CDA=90°,利用相似三角形的性质解决问题即可.(4)设OG=a,AG=k.分两种情形:①如图4中,连接EF,当点F在线段AB上时,点G在OA上.②如图5中,当点F在AB的延长线上时,点G在线段OC上,连接EF.分别求解即可解决问题.【解答】(1)解:如图1中,△AFG是等腰三角形.理由:∵AE平分∠BAC,∴∠1=∠2,∵DF⊥AE,∴∠AHF=∠AHG=90°,∵AH=AH,∴△AHF≌△AHG(ASA),∴AF=AG,∴△AFG是等腰三角形.(2)证明:如图2中,过点O作OL∥AB交DF于L,则∠AFG=∠OLG.∵AF=AG,∴∠AFG=∠AGF,∵∠AGF=∠OGL,∴∠OGL=∠OLG,∴OG=OL,∵OL∥AB,∴△DLO∽△DFB,∴=,∵四边形ABCD是矩形,∴BD=2OD,∴BF=2OL,∴BF=2OG.(3)解:如图3中,过点D作DK⊥AC于K,则∠DKA=∠CDA=90°,∵∠DAK=∠CAD,∴△ADK∽△ACD,∴=,∵S1=•OG•DK,S2=•BF•AD,又∵BF=2OG,=,∴==,设CD=2x,AC=3x,则AD=x,∴==.(4)解:设OG=a,AG=k.①如图4中,连接EF,当点F在线段AB上时,点G在OA上.∵AF=AG,BF=2OG,∴AF=AG=k,BF=2a,∴AB=k+2a,AC=2(k+a),∴AD2=AC2﹣CD2=[2(k+a)]2﹣(k+2a)2=3k2+4ka,∵∠ABE=∠DAF=90°,∠BAE=∠ADF,∴△ABE∽△DAF,∴=,即=,∴=,∴BE=,由题意:10××2a×=AD•(k+2a),∴AD2=10ka,即10ka=3k2+4ka,∴k=2a,∴AD=2a,∴BE==a,AB=4a,∴tan∠BAE==.②如图5中,当点F在AB的延长线上时,点G在线段OC上,连接EF.∵AF=AG,BF=2OG,∴AF=AG=k,BF=2a,∴AB=k﹣2a,AC=2(k﹣a),∴AD2=AC2﹣CD2=[2(k﹣a)]2﹣(k﹣2a)2=3k2﹣4ka,∵∠ABE=∠DAF=90°,∠BAE=∠ADF,∴△ABE∽△DAF,∴=,即=,∴=,∴BE=,由题意:10××2a×=AD•(k﹣2a),∴AD2=10ka,即10ka=3k2﹣4ka,∴k=a,∴AD=a,∴BE==a,AB=a,∴tan∠BAE==,综上所述,tan∠BAE的值为或.【点评】本题属于四边形综合题,考查了矩形的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,解直角三角形等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,学会利用参数构建方程解决问题,属于中考压轴题.。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

图6FE DCBA 21(2010哈尔滨)1。

如图,将矩形纸片ABCD 折叠,使点D 与点B 重合,点C 落在点C ′处,折痕为EF ,若∠ABE =20°,那么∠EFC ′的度数 为 度.125(2010珠海)如图,P 是菱形ABCD 对角线BD 上一点,PE ⊥AB 于点E ,PE =4cm ,则点P 到BC 的距离是_____cm. 4(2010红河自治州)下列命题错误的是 ( B )a) 四边形内角和等于外角和b) 相似多边形的面积比等于相似比c) 点P (1,2)关于原点对称的点的坐标为(-1,-2) d) 三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半(2010红河自治州)18. (本小题满分9分)如图6,在正方形ABCD 中,G 是BC 上的任意一点,(G 与B 、C 两点不重合),E 、F 是AG 上的两点(E 、F 与A 、G 两点不重合),若AF=BF+EF ,∠1=∠2,请判断线段DE 与BF 有怎样的位置关系,并证明你的结论. 解:根据题目条件可判断DE//BF.证明如下:∵四边形ABCD 是正方形, ∴AB=AD ,∠BAF+∠2=90°.∵AF=AE+EF ,又AF=BF+EF∴AE=BF∵∠1=∠2,∴△ABF ≌△DAE (SAS ). ∴∠AFB=∠DEA ,∠BAF=∠ADE. ∴∠ADE+∠2=90°, ∴∠AED=∠BFA=90°. ∴DE//BF.(2010年镇江市)10.如图,在平行四边形ABCD 中,CD=10,F 是AB 边上一点,DF 交AC 于点E ,且的面积的面积则CDE AEF EC AE ∆∆=,52= 254,BF= 6 .(2010年镇江市)27.探索发现(本小题满分9分)如图,在直角坐标系OCD Rt OAB Rt xOy ∆∆和中,的直角顶点A ,C 始终在x 轴的正半轴上,B ,D 在第一象限内,点B 在直线OD 上方,OC=CD ,OD=2,M 为OD 的中点,AB 与OD 相交于E ,当点B 位置变化时,.21的面积恒为OAB Rt ∆ 试解决下列问题:(1)填空:点D 坐标为 ;(2)设点B 横坐标为t ,请把BD 长表示成关于t 的函数关系式,并化简; (3)等式BO=BD 能否成立?为什么?(4)设CM 与AB 相交于F ,当△BDE 为直角三角形时,判断四边形BDCF 的形状,并证明你的结论.(1))2,2(;(1分) (2)),1,(,21tt B OAB Rt 得的面积为由∆ ,)(222CD AB AC BD -+=4)1(221)21()2(22222++-+=-+==∴t t tt t t BD ① (2分).)21(2)1(22)1(22-+=++-+=tt t t t t (3分).21|21|-+=-+=∴tt t t BD ② (4分)(注:不去绝对值符号不扣分)(3)[法一]若OB=BD ,则.22BD OB =,1,22222t t AB OA OB OAB Rt +=+=∆中在 由①得,4)1(2212222++-1+=+t t tt t t (5分) )6(..,024)2(,012,2122分此方程无解得BD OB t t tt ≠∴∴<-=-=∆=+-∴=+[法二]若OB=BD ,则B 点在OD 的中垂线CM 上.),22,22(,),0,2(M OCM Rt C 可求得中在等腰∆ ∴直线CM 的函数关系式为2+-=x y , ③ (5分),1,21xy B OAB Rt =∆点坐标满足函数关系式得的面积为由 ④联立③,④得:0122=+-x x ,)6(..,024)2(2分此方程无解BD OB ≠∴∴<-=-=∆[法三]若OB=BD ,则B 点在OD 的中垂线CM 上,如图27 – 1 过点B 作,,H y CM G y BG 轴于交轴于⊥)6(..)5(,2121222121,210分矛盾显然与分而BD OB S S S S S S S BG HNO DOC MOC OMH OAB OBG ≠∴>=⨯⨯⨯=====∆∆∆∆∆∆∆(4)如果45,=∠∆BED BDE 因为为直角三角形,①当三点重合此时时M E F EBD ,,,90 =∠,如图27 – 2.//,,DC BF x DC x BF ∴⊥⊥轴轴∴此时四边形BDCF 为直角梯形.(7分) ②当,90时 =∠EBD 如图27 – 3.//,,.//,DC BF x DC x AB CF BD OD CF ∴⊥⊥∴⊥轴轴又∴此时四边形BDCF 为平行四边形.(8分) 下证平行四边形BDCF 为菱形:[法一]在222,BD OD OB BDO +=∆中,,221,4)1(221412222=+∴++-++=+∴t t t t t t t t[方法①]OD BD t t 在 ,01222=+-上方121,12;21,12-=+=+=-=tt t t 或解得(舍去).得),12,12(+-B [方法②]由②得:.222221=-=-+=tt BD 此时,2==CD BD(图1)(图2)(24题图) ∴此时四边形BDCF 为菱形(9分) [法二]在等腰EDB Rt OAE Rt ∆∆与等腰中)9(.,2].[.221,122,22)22(2.22,2,分为菱形此时四边形此时法一以下同即则BDCF CD BD tt t t t t t BE AE AB T BD ED t OE t AE OA ∴===+=-∴-=-+=+=∴-=====(2010台州市)9.如图,矩形ABCD 中,AB >AD ,AB =a ,AN 平分∠DAB ,DM ⊥AN 于点M ,CN ⊥AN于点N .则DM +CN 的值为(用含a 的代数式表示)(▲)A .aB .a 54C .a 22 2答案:C(2010遵义市)(10分)如图(1),在△ABC 和△EDC 中,AC =CE =CB =CD ,∠ACB =∠ECD =90,AB 与CE 交于F ,ED 与AB 、BC 分别交于M 、H . (1)求证:CF =CH ; (2)如图(2),△ABC 不动,将△EDC 绕点C 旋转到∠BCE=45时,试判断四边形ACDM 是什么四边形?并证明你的结论.解:(1)(5分) 证明:在△ACB 和△ECD 中∵∠ACB=∠ECD= 90∴∠1+∠ECB=∠2+∠ECB,∴∠1=∠2又∵AC=CE=CB=CD,∴∠A=∠D= 45∴△ACB ≌△ECD,∴CF=CH(2)(5分) 答: 四边形ACDM 是菱形D证明: ∵∠ACB=∠ECD= 90, ∠BCE=45∴∠1=45, ∠2=45 又∵∠E=∠B= 45, ∴∠1=∠E, ∠2=∠B∴AC ∥MD, CD ∥AM , ∴ACDM 是平行四边形 又∵AC=CD, ∴ACDM 是菱形(玉溪市2010) 19. 如图9,在ABCD 中,E 是AD 的中点,请添加适当条件后,构造出一对全等的三角形,并说明理由.解:添加的条件是连结B 、E,过D 作DF ∥BE 交BC 于点F,构造的全等三角形是△ABE 与△CDF. …………4分 理由: ∵平行四边形ABCD ,AE=ED, …………5分∴在△ABE 与△CDF 中,AB=CD, …………6分 ∠EAB=∠FCD, …………7分 AE=CF , …………8分∴△ABE ≌△CDF. …………9分 (桂林2010)16.正五边形的内角和等于______度.540 (桂林2010)21.(本题满分8分) 求证:矩形的对角线相等.21.(本题8 分)已知:四边形ABCD 是矩形, AC 与BD 是对角线 ……………2分求证:AC =BD ………………………………………3分 证明: ∵四边形ABCD 是矩形 ∴AB=DC ,∠ABC =∠DCB =90°…………4分 又∵BC=C B …………………………5分 ∴△ABC ≌△DCB …………6分∴AC=BD ……………………7分所以矩形的对角线相等. …………8分(2010年兰州)11. 如图所示,菱形ABCD 的周长为20cm ,DE ⊥AB ,垂足为E ,sin A=53,则下列结论正确的个数有①cm DE 3= ②cm BE 1= ③菱形的面积为215cm ④cm BD 102= A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个图9AB CD答案C(2010年兰州)27.(本题满分10分)已知平行四边形ABCD 中,对角线AC 和BD 相交于点O ,AC=10,BD=8.(1)若AC ⊥BD ,试求四边形ABCD 的面积 ;(2)若AC 与BD 的夹角∠AOD=60,求四边形ABCD 的面积;(3)试讨论:若把题目中“平行四边形ABCD ”改为“四边形ABCD ”,且∠AOD=θAC=a ,BD=b ,试求四边形ABCD 的面积(用含θ,a ,b 的代数式表示).第27题图答案(本题满分10分) 解:(1)∵AC ⊥BD∴四边形ABCD 的面积………………………………………2分(2)过点A 分别作AE ⊥BD ,垂足为E …………………………………3分 ∵四边形ABCD 为平行四边形521===AC CO AO 421===BD DO BO在Rt ⊿AOE 中,AO AEAOE =∠sin ∴23523560sin sin =⨯=⨯=∠∙=o AO AOE AO AE …………4分第18题ABCB ’ D E P ∴3552342121=⨯⨯⨯=∙=∆AE OD S AOD ………………………………5分∴四边形ABCD 的面积 3204==∆AO D S S ……………………………………6分(3)如图所示过点A,C 分别作AE ⊥BD ,CF ⊥BD ,垂足分别为E,F …………7分在Rt ⊿AOE 中,AO AE AOE =∠sin ∴θsin sin ⨯=∠∙=AO AOE AO AE同理可得θsin sin ⨯=∠∙=CO COF CO CF ………………………………8分∴四边形ABCD 的面积(2010年连云港)7.如图,四边形ABCD 的对角线AC 、BD 互相垂直,则下列条件能判定四边形ABCD 为菱形的是( )A .BA =BCB .AC 、BD 互相平分 C .AC =BD D .AB ∥CD 答案 B(2010年连云港)18.矩形纸片ABCD 中,AB =3,AD =4,将纸片折叠,使点B 落在边CD 上的B ’处,折痕为AE .在折痕AE 上存在一点P 到边CD 的距离与到点B 的距离相等,则此相等距离为________.答案 52(2010年连云港)27.(本题满分10分)如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分,θθθsin 21sin 21)(sin 212121ab AC BD CO AO BD CF BD AE BD S S S CBD ABD =∙=+=∙+∙=+=∆∆…………………………………10分E图1ABCD图2我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线.如,平行四边形的一条对线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线.(1)三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有________; (2)如图1,梯形ABCD 中,AB ∥DC ,如果延长DC 到E ,使CE =AB ,连接AE ,那么有S 梯形ABCD=S △ABE .请你给出这个结论成立的理由,并过点A 作出梯形ABCD 的面积等分线(不写作法,保留作图痕迹);(3)如图,四边形ABCD 中,AB 与CD 不平行,S △ADC >S △ABC ,过点A 能否作出四边形ABCD的面积等分线?若能,请画出面积等分线,并给出证明;若不能,说明理由.答案(1) 中线所在的直线 ..........................................................................................................2分 (2)法一:连接BE ,因为AB ∥CE,AB=CE ,所以四边形ABEC 为平行四边形所以BE ∥AC ......................................................................................................................3分所以△ABC 和△AEC 的公共边AC 上的高也相等 所以有ABCAEC SS=所以ACDABCACDAECAEDABCD S SSSSS=+=+=梯形 ...................................................5分法二: 设 AE 与BC 相交于点F因为AB ∥CE ,所以,ABF ECF BAF CEF ∠=∠∠=∠ 又因为 AB=CE 所以ABF ECF ≅C图1(第21题)ABC图3周长________ABC图4AB C图2周长________所以ABFCBFAEDABCD AFCD AFCD S S SS SS=+=+=梯形四边形四边形过点A 的梯形ABCD 的面积等分线的画法如右图(1)所示(3)能.连接AC,过点B 作BE ∥AC 交DC 的延长线于点E,连接AE.因为BE ∥AC,所以△ABC 和△AEC 的公共边AC 上的高也相等 所以有A B CA EC SS= 所以ACDABCACDAECAED ABCD S S SSSS =+=+=梯形因为ACDABC SS>所以面积等分线必与CD 相交,取DE 中点F则直线AF 即为要求作的四边形ABCD 的面积等分线 作图如右图(2)所示(2010宁波市)21.如图1,有一张菱形纸片ABCD ,AC =8,BD =6. (1)请沿着AC 剪一刀,把它分成两部分,把剪开的两部分分拼成一个平行四边形,在图2中用实线画出你所拼成的平行四边形;若沿着BD 剪 开,请在图3中用实线画出拼成的平行四边形;并直接写出这两个平行 四边形的周长.(2)沿着一条直线剪开,拼成与上述两种都不全等的平行四边形,请在图4中用实线画出拼成的平行四边形.(注:上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等)24.(2010年金华)(本题12分)如图,把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中,A,B两点坐标分别为(3,0)和(0,.动点P从A点开始沿折线AO-OB-BA运动,点P在AO,OB,BA上运动的速度分别为12 (长度单位/秒)﹒一直尺的上边缘l从x轴的位置开始以33(长度单位/秒)的速度向上平行移动(即移动过程中保持l∥x轴),且分别与OB,AB交于E,F两点﹒设动点P与动直线l同时出发,运动时间为t秒,当点P沿折线AO-OB-BA运动一周时,直线l和动点P同时停止运动.请解答下列问题:(1)过A,B两点的直线解析式是▲;(2)当t﹦4时,点P的坐标为▲;当t ﹦▲,点P与点E重合;(3)①作点P关于直线EF的对称点P′. 在运动过程中,若形成的四边形PEP′F为菱形,则t的值是多少?②当t﹦2时,是否存在着点QQ的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)333+-=xy;………4分(2)(0,(3)①当点P 在线段AO 上时,过F 作FG ⊥x 轴,G 为垂足(如图1) ∵FG OE =,FP EP =,∠=EOP ∠=FGP 90° ∴△EOP ≌△FGP ,∴PG OP =﹒又∵t FG OE 33==,∠=A 60°,∴t FG AG 3160tan 0== 而t AP =,∴t OP -=3,t AG AP PG 32=-=由t t 323=-得 59=t ;………………………………………………………………1分当点P 在线段OB当点P 在线段BA 上时, 过P 作PH ⊥EF ,PM ⊥OB ,H 、M ∵t OE 33=,∴t BE 3333-=,∴360tan 0BE EF == ∴6921tEF EH MP -===, 又∵)6(2-=t BP 在Rt △BMP 中,MP BP =⋅060cos 即6921)6(2t t -=⋅-,解得745=t .…………………………………………………1分 ②存在﹒理由如下:∵2=t ,∴332=OE ,2=AP ,1=OP 将△BEP 绕点E 顺时针方向旋转90°,得到 △EC B '(如图3)∵OB ⊥EF ,∴点B '在直线EF 上, C 点坐标为(332,332-1) 过F 作FQ ∥C B ',交EC 于点Q ,(图1)(图3)则△FEQ ∽△EC B '由3=='=QE CE FE E B FE BE ,可得Q 的坐标为(-32,33)………………………1分 根据对称性可得,Q 关于直线EF 的对称点Q '(-32,3)也符合条件.……1分 22.(2010年长沙)在正方形ABCD 中,AC 为对角线,E 为AC 上一点,连接EB 、ED . (1)求证:△BEC ≌△DEC ;F ,当∠BED =120°时,求∠EFD 的度数.答案:(1)证明:∵四边形ABCD 是正方形 ∴BC =CD ,∠ECB =∠ECD =45°又EC =EC …………………………2分 ∴△ABE ≌△ADE ……………………3分 (2)∵△ABE ≌△ADE∴∠BEC =∠DEC =12∠BED …………4分 ∵∠BED =120°∴∠BEC =60°=∠AEF ……………5分 ∴∠EFD =60°+45°=105° …………………………6分(2010年湖南郴州市)22.一种千斤顶利用了四边形的不稳定性. 如图,其基本形状是一个菱形,中间通过螺杆连接,转动手柄可改变ADC ∠的大小(菱形的边长不变),从而改变千斤顶的高度(即A 、C 之间的距离).若AB=40cm ,当A D C ∠从60︒变为120︒时,千斤顶升高了多少?1.414, 1.732,结果保留整数)答案22.解: 连结AC ,与BD 相交于点O四边形ABCD 是菱形 \AC ^BD ,ÐADB =ÐCDB ,AC =2AO ……1分 当ÐADC =60°时,ADC 是等边三角形\AC =AD =AB =40 …………………3分 当ÐADC =120°时,ÐADO =60°第22题\AO=AD×sinÐADO=40\AC…………………………5分因此增加的高度为-40=40´0.732»29(cm)……………6分(说明:当ÐADC=120°时,求AC的长可在直角三角形用勾股定理)(2010年湖南郴州市)23.已知:如图,把ABC绕边BC的中点O旋转180°得到DCB.求证:四边形ABDC是平行四边形.答案23.证明:因为DCB是由ABC旋转180︒所得………………2分所以点A、D,B、C关于点O中心对称……………………4分所以OB=OC OA=OD ………………………………6分所以四边形ABCD是平行四边形………………………………8分(注:还可以利用旋转变换得到AB=CD,AC=BD相等;或证明ABC DCB≅证ABCD是平行四边形)(2010湖北省荆门市)19.(本题满分9分)将三角形纸片ABC(AB>AC)沿过点A的直线折叠,使得AC 落在AB边上,折痕为AD,展平纸片,如图(1);再次折叠该三角形纸片,使得点A与点D重合,折痕为EF,再次展平后连接DE、DF,如图2,证明:四边形AEDF是菱形.答案19.(1) (2)第19题图AB DC CDBFAECB第23题证明:由第一次折叠可知:AD 为∠CAB 的平分线,∴∠1=∠2……………………2分 由第二次折叠可知:∠CAB =∠EDF ,从而,∠3=∠4………………………………4分 ∵AD 是△AED 和△AFD 的公共边,∴△AED ≌△AFD (ASA)………………………6分 ∴AE =AF ,DE =DF又由第二次折叠可知:AE =ED ,AF =DF∴AE =ED =DF =AF …………………………………………………………………………8分 故四边形AEDF 是菱形.……………………………………………………………………9分8.(2010湖北省咸宁市)如图,菱形ABCD 由6个腰长为2,且全等的等腰梯形镶嵌而成, 则线段AC 的长为 A .3 B .6 C. D.答案:D13. (2010年郴州市)如图,已知平行四边形ABCD ,E 是AB 延长线上一点,连结DE 交BC 于点F ,在不添加任何辅助线的情况下,请补充一个条件,使CDF BEF △≌△,这个条件是 .(只要填一个)答案:DC EB =或CF BF =或DF EF = 或F 为DE 的中点或F 为BC 的中点或AB BE =或B 为AE 的中点7.(2010年怀化市)如图2,在菱形ABCD 中, 对角线AC=4,∠BAD=120°, 则菱形ABCD 的周长为( )A .20B .18C .16D .15 答案:C 18.(2010年怀化市)如图5,在直角梯形ABCD 中, AB ∥CD ,AD ⊥CD ,AB=1cm ,AD=6cm ,CD=9cm ,则BC= cm . 答案:10 22.(2010湖北省咸宁市)问题背景(1)如图1,△ABC 中,DE ∥BC 分别交AB ,AC 于D ,E 过点E 作EF ∥AB 交BC 于点F .请按图示数据填空:四边形DBFE 的面积S = , △EFC 的面积1S = , 图1 图24321EAFBDCCDBA图1ABEFDC 第13题△ADE 的面积2S = .探究发现(2)在(1)中,若BF a =,FC b =,DE 与BC 间的距离为h .请证明2124S S S =. 拓展迁移(3)如图2,□DEFG 的四个顶点在△ABC 的三边上,若 △ADG 、△DBE 、△GFC 的面积分别为2、5、3,试利用..(2.) 中的结论....求△ABC 的面积. 22.(1)6S =,19S =,21S =.……3分(2)证明:∵DE ∥BC ,EF ∥AB ,∴四边形DBFE 为平行四边形,AED C ∠=∠,A CEF ∠=∠. ∴△ADE ∽△EFC .……4分∴22221()S DE a S FC b==. ∵112S bh =, ∴222122a a h S S b b =⨯=.……5分∴2212144()22a hS S bh ah b=⨯⨯=. 而S ah =, ∴2124S S S =……6分(3)解:过点G 作GH ∥AB 交BC 于H ,则四边形DBHG 为平行四边形. ∴GHC B ∠=∠,BD HG =,DG BH =. ∵四边形DEFG 为平行四边形, ∴DG EF =. ∴BH EF =. ∴BE HF =. ∴△DBE ≌△GHF . ∴△GHC 的面积为538+=.……8分由(2)得,□DBHG的面积为8=.……9分 ∴△ABC 的面积为28818++=. 22.(2010年郴州市)一种千斤顶利用了四边形的不稳定性. 如图,其基本形状是一个菱形,中间通过螺杆连接,转动手柄可改变ADC ∠的大小(菱形的边长不变)之间的距离).若AB=40cm ,当A D C ∠从60︒变为120︒1.414, 1.732,结果保留整数)22.解: 连结AC ,与BD 相交于点O四边形ABCD 是菱形 \AC ^BD ,ÐADB =ÐCDB ,AC =2AO当ÐADC =60°时,ADC 是等边三角形\AC =AD =AB =40当ÐADC =120°时,ÐADO =60° \AO =AD ×sin ÐADO =40\ACBCDGFE 图2A BCDGFE 图2 A H 第22题因此增加的高度为-40=40´0.732»29(cm )23.(2010年郴州市)已知:如图,把ABC 绕边BC 的中点O 旋转180°得到DCB . 求证:四边形ABDC 是平行四边形.23.证明:因为 DCB 是由ABC 旋转180︒所得所以点A 、D ,B 、C 关于点O 中心对称 所以OB =OC OA =OD 所以四边形ABCD 是平行四边形(注:还可以利用旋转变换得到AB =CD ,AC =BD证ABCD 是平行四边形)23. (2010年怀化市) 如图7,平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ,直线EF 经过点O,分别与AB,CD 的延长线交于点E,F.求证:四边形AECF 是平行四边形.23. 证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴OD=OB,OA=OC …………………1分CD AB //………………………………………………2分∴∠DFO=∠BEO, ∠FDO=∠EBO ……………………………………………3分 ∴△FDO ≌△EBO ……………………………………………………………4分 ∴OF=OE …………………………………………………………………5分∴四边形AECF 是平行四边形北京4. 若菱形两条对角线的长分别为6和8,则这个菱形的周长为 (A) 20 (B) 16 (C) 12 (D) 10。

相关文档
最新文档