选修4-5 证明不等式的基本方法-综合法与分析法

1 1 1 1 (1 ) 1 n 2 3 n 1 1 1 1 [(1 ) n] n 2 3 n 1 1 1 1 [(1 1) ( 1) ( 1) ( 1)] n 2 3 n
再用均 值不等 式即可 达到目 标
变式:若n N ，求证 1 1 1 1 (1 ) n n 1 1 n 2 3 n 1 1 1 1 证: (1 ) 1 n 2 3 n a 1 1 an 1 n 1 1 a2 a3 [(1 1) ( 1) ( ≥ 1)a ( a 1a 2a 3 n 1)] n 3 n n 2
a b b c a c abc a b c a 2b 2 b 2 c 2 a 2 c 2 a b c 0, abc abc
2 2 2 2 2 2
课堂练习
am a 1.已知a, b, m都是正数, 且a b, 求证 ． bm b
作业:P25－1,2,7,8
分析法
证明命题时，我们还常常从要证的结论出 发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至所需 条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、 公理或已证明的定理、性质等），从而得出要 证的命题成立，这种证明方法叫做分析法.
这是一种执果索因 的思考和证明方法
例 1.求证 2 7 3 6
即证2abcd a d b c
2 2
2 2
要证 ad bc 0，
2
上式恒成立， 原不等式得证．
课堂练习
4.已知c 1, 求证 c 1 c 1 2 c.
证: c 1, c 1 0, c 1 0,
要证 c 1 c 1 2 c，
2 2
点评：瞄 准目标进 行拆分与 组合
b d bd b d 2
2
2
③
由①②③,立即可得要证的不等式．
变式:若n N ，求证 1 1 1 1 (1 ) n 2 3 n
*
n
n 1 1
分析：观察不等式的特点——联想n维均值不等式
关键：将右边的1移至左边并进行“均分”
am a 证: a, b, m都是正数, 要证 ， bm b
只需证 (a m)b a(b m)，
即证 ab bm ab am，
即证 bm am， 只需证b a．
am a 成立 因为b a 成立，所以 bm b
课堂练习
2.证明:当周长相等时,圆的面积比正方形的面积大.
再结合不等式的性质推出.
2 2
2 2
这就是 综合法
a 0, b c 2bc, a(b c ) 2abc,
2 2
同理b(c a ) 2abc, c(a b ) 2abc,
2 2
a, b, c不全相等,以上三式中至少有一个不取等号,
三式相加,即得要证的不等式．
∵a2+b2≥2ab, b2+c2≥2bc,
a2+c2≥2ca 以上三式相加得 2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ca
又a,b,c不全相等,∴2a2+2b2+2c2>2ab+2bc+2ca ②
由①和②得9<3(a2+b2+c2), 即a2+b2+c2>3．
课堂练习
2.设a, b是实数，求证：a b 1 ab a b．
1 2 ac 同理 1 , b b 1 2 ab 1 , c c
三式相乘即得要证的不等式．
例3.已知a, b, c, d R, 且a b m , c d n
2 2 2 2 2
2
m n 求证： ac bd 2 分析 : ac bd ac bd ① 2 2 a c 又 ac a c ② 2
L L 上式显然成立,不等式 得证. 2 4 这就证明了，如果周长相等，那么圆的面积 比正方形的面积大．
2
要证4 .
2
2
课堂练习
3.已知a, b, c, d R, 求证 ac bd a 2 b2 c 2 d 2．
例2.已知a>0,b>0,2c>a+b.求证：
c c ab a c c ab
2 2
分析：原不ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ式等价于
c ab a c c ab
2 2
ac
ac
2
2
a 2ac c c ab 2 a a(2c b)
2 2

c ab
3
3
3
(3)若a, b R , 则 2ab ab a 2 b2 ab ab 2 2
(4)若a, b, c R , 则 abc 3 abc 3
(5)a b c ab bc ca
2 2 2
例2.已知a1,a2,...,an∈R+,且a1a2...an＝1，求证
例4.已知x＞-1，n≥2且n∈N*，比较(1+x)n与1+nx的 大小. 解:设t=1+x,则t>0,(1+x)n-(1+nx)=tn－nt＋n－1(﹡) 再设f(t)= tn-nt+n-1,则 f´(t)=ntn-1－n＝n(tn-1－1］. 当t∈(0，1)时,f´(t)<0，f(t)在(0,1)上递减. 当t∈(1,+∞)时,f´(t)>0，f(t)在(1,+∞)上递增. ∴当t=0时，f(t)最小，最小值为0，即f(t)≥0． ∴tn－nt＋n－1≥0,由(﹡)式即得(1+x)n ≥1+nx.
2
c ab
2

2
又a>0 所以，只需证：a<2c-b 即：a+b<2c 由题设知a+b<2c成立, ∴原不等式得证.
例3.已知a, b, c 0, 求证 a 2b 2 b 2 c 2 a 2 c 2 abc abc 分析： a, b, c 0,
a 2b 2 b 2 c 2 a 2 c 2 abc abc 2 2 2 2 2 2 a b b c a c abc a b c
证: ai 0(i 1, 2,, n), 所以有
1 a1 2 a1 ,
1 a2 2 a2 ,

1 an 2 an , n n 各式相乘得(1 a1 )(1 a2 )(1 an ) 2 a1a2 an 2 当且仅当ai 1时,1 ai ai 取等号，
L L 证:设周长都为L, 则圆的半径为 , 面积为 , 2 2 2 L L 正方形的边长为 ,其面积为 ． 4 4 2 2 L L 根据题意, 本题要证 ， 2 4 1 1 L2 L2 即证 , 为证上式,只需证 2 ， 16 4 4
2 2
3.已知x 0, 且x 1, 求证： lg x log x 10 2, 或 lg x log x 10 2
小结：
综合法是证明不等式的基本方法，用综合法证明 不等式的逻辑关系是： A B1 B2 B (A为证明过的不等式,B为要证的不等式） 即综合法是：由因导果
2a b 2b c 2a c 2abc a b c
2 2 2 2 2 2
(a2b2 b2c2 ) (b2c2 a2c2 ) (a2b2 a2c2 ) 2ab2c 2abc2 2a2bc
例3.已知a, b, c 0, 求证 a b b c a c abc abc 证: a, b, c 0,可得
2 2 2 2 2 2
a 2b2 b2c2 (ab)2 (bc)2 2ab2c ① 2 2 2 2 2 2 2 b c a c (bc) (ac) 2abc ②
a b a c (ab) (ac) 2a bc ③
2 2 2 2 2 2 2
[① + ② + ③] 2 , 得
证:因为 2 7和 3 6都是正数， 要证 2 7 3 6
只需证

2 7

2
3 6

2
即证 9 2 14 9 2 18 只需证 2 14 2 18 只需证 14 18 只需证 14 18
因为14<18成立，
所以 2 7 3 6成立.
综合法： 综合法又叫顺推法或由因导果法
一般地，从已知条件出发，利用定义、公 理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证 而得出命题成立，这种证明方法叫综合法. 综合法的“入手处”是一些重要的不等式：
(1)a b 2ab (2)a, b, c R , 则a b c 3abc
2 2
(1+a1)(1+a2)…(1+an)≥2n
分析：观察要证明的结论，可以联想到是由 n个同向不等式相乘得到.
1 ai 1ai 由基本不等式得： 2
再由条件： a1a2...an＝1可得结论
例2.已知a1,a2,...,an∈R+,且a1a2...an＝1，求证
(1+a1)(1+a2)…(1+an)≥2n
只需证( c 1 c 1) (2 c ) ,
2 2
即证c 1 2 c 1 c 1 4c,
2
要证 c 1 c,
2
于是要证c 1 c ,
2 2
即证 1 0.
上式显然成立，原不等式得证．
小结:
分析法的思路是“执果索因”，未知⇒已知 即从求证的不等式出发，不断地用充分条件来代替 前面的不等式，直至找到已知的不等式为止。 (1)法常用于比较法，综合法难于 入手的题型． (2)分析法的优点是利于思考，因为它方向明确思 路自然，易于掌握，而综合法的优点是易于表述， 条理清楚,形式简洁，因而证不等式时常常用分 析法寻找解题思路，再用综合法写出证明过程．
*
1 3 4 n 1 [2 ] n 2 3 n
3 4 n 1 n n 2 n 1, 原不等式成立 2 3 n
课堂练习:1.已知a,b,c不全相等，且a+b+c=3,
求证：a2+b2+c2>3 证：由已知得(a+b+c)2=9 即:a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=9 ①
原式在a1 a2 an时取等号．
变式练习：
已知a, b, c R , 且a b c 1，求证： 1 1 1 1 1 1 8 a b c
1 abc b c 2 bc 分析: 1 1 , a a a a
不等式的证明
2017年4月22日星期六
第二讲
证明不等式的基本方法 综合法与分析法
二、综合法与分析法
例1.已知a,b,c>0,且不全相等，求证： a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc 分析：观察待证不等式的特点与重要不等式：
a2+b2≥2ab有关 所以证明可以从这个重要不等式出发，
证:若ac bd 0, a b c d 0， 原不等式成立．
2 2 2 2
若ac bd 0, 则只需证 ac bd a b
2 2
2
c
2
d ，
2
要证a2c2 b2 d 2 2abcd a2c2 b2d 2 a 2d 2 b2c 2，
作业：P26－3,4,5,6,9
例4.已知x＞-1，n≥2且n∈N*，比较(1+x)n与1+nx的 大小.
解:设f(x)=(1+x)n－(1+nx)，则 f´(x)=n(1+x)n-1－n＝n［(1+x)n-1－1］. 由f´(x)=0得x=0,于是 当x∈(-1，0)时,f´(x)<0，f(x在(-1,0)上递减. 当x∈(0,+∞)时,f´(x)>0，f(x)在(0,+∞)上递增. ∴当x=0时，f(x)最小，最小值为0，即f(x)≥0． ∴ (1+x)n ≥1+nx.