几个特殊的代数系统 6.1

15
群的性质
例3 设群G=<P({a,b}), >,其中是集合的对称差运 算，解下列方程：
(1){a} x= Φ
(2)y {a,b}={b} 解：(1) x={a} -1 Φ ={a} Φ ={a} (2) y = {b} {a,b}-1={b} {a,b}={a}
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置换的乘法有下述一些性质：
群的性质
1. 消去律
设<G,◦>是群，则对任何a,b,c∈G, 如果有
⑴ a◦b=a◦c 则 b=c 。 ⑵ b◦a= c◦a 则 b=c 。
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群的性质
2. 群方程的可解性
设<G,◦>是群，则对任何a, b∈G, 方程 a◦x=b 或 y◦a=b 在G中存在唯一解，且解的形 式分别为 x=a-1 ◦b , y = b ◦ a-1
群的性质
6.群中元素的阶
定义 元素的阶： 设<G,◦>是群，a∈G， 使ak=e的最小正整数k称为a的阶，记作|a| 。 如果这样的k不存在，则称a的阶是无限的。
注: (1) |a| = |a-1|
(2) |e| = 1
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群的性质
例6 设群〈Z6，6〉,其中Z6={0,1,2,3,4,5}, 6是模6
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循环群
关于循环群的两个问题： (1)如何求取循环群的所有生成元？ (2)如何求取循环群的所有(循环)子群？
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循环群
定理 设G=<a>， (1)若|G|= ∞，则G的生成元只有a与a-1。 (2)若|G|=n，则G的生成元是ak，其中k是与n互素的正整 数。
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循环群
定理 设G=<a>, (1)若|G|= ∞ ，则G的循环子群有无限个，即为 <a0>,<a>,<a2>,<a3>, ....... (2)若|G|=n，则G的循环子群为<an/d>,其中d是n的所有正 因子，即G的循环子群的个数为n的正因子个数。且
43
置换群
例14设σ＝
1 2 3 4 ， τ＝ 1 2 3 4 ， 2 1 3 4 3 4 1 2
1 2 3 4 则σ◦τ= ？ , τ◦σ= 1 2 3 4 ？ 3 4 2 1 4 3 1 2
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置换群
am(al)1 = amal = aml∈H
根据判定定理可知H≤G.
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典型子群
例8 生成子群举例：
<Z,+>：<2>={2k | k∈Z}=2Z
<Z6, >：<2>={0,2,4} Klein四元群 G = {e,a,b,c}的所有生成子群是： <e>={e}, <a>={e,a}, <b>={e,b}, <c>={e,c}.
在伽罗瓦理论中起关键作用的就是置换群，它 是有限群的特例，是群的典型代表。
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置换群
几个概念： n元对称群<Sn, ◦>的子群称为n元置换群。
n元对称群<Sn, ◦ >, 其中Sn为n元置换的集合， “◦”为n元置换的复合运算。
n元置换——集合S上的双射函数，S={1,2,...,n}。 n元置换的复合运算——函数的复合运算。
群
3) 存在幺元： 若幺元e存在，则对任意a∈S，满足
a e a e * a a
a e ae a 即 e a ea a
得 e = 0 ,即幺元存在且为0。
群
4) 每个元素存在逆元： 对于任意a∈S,设a-1存在且a-1 ∈S ，则
a a 1 0 1 a * a 0
练习 求群<Z,+>, <Zn， n>及<P(S), >中各元素的阶。
<Z,+>
<Zn, n>
<P(S), >
|x|
1, x 0 1, x 1, x 0 | x | | x | | x | [n, x] 2, x ,x 0 , x 0 x
典型子群
例9 群的中心 设G为群,令C={a| a∈G∧x∈G(ax=xa)}，则C是G的子 群，称为G的中心.
证明 e∈C. C是G的非空子集. 任取a,b∈C，只需证明ab1 与G中所有的元素都可交换. x∈G，有 (ab1)x = ab1x = ab1(x1)1 = a(x1b)1 = a(bx1)1 = a(xb1) = (ax1)b1 = (xa)b1 = x(ab1) 由判定定理二可知C≤G.
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群
群的基本概念及性质 子群 特殊群
子群
定义 子群：
群G的非空子集H如果对于G的运算也构成一个群，则称H为 G的子群，记作H≤G。即： 设<G,◦>是群, H是G的非空子集，如果<H,◦>满足： ⑴ 任何a,b∈S 有a◦b∈H, (封闭)
⑵幺元 e∈H,
⑶任何a∈H 有a-1∈H, 则 H≤G
群的性质
练习 设群<Z8， 8 >， 8是模8加法，在群中解下列方 程： (1)x 8 6 =5; (2)2 8 y = 3. 解：(1)x=5 8 6-1=5 8 2=7
(2)y=2-1 8 3=6 8 3=1
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群的性质
3. 群中无零元。
4. 有限群的运算表的特征。
<G,◦>是个有限群，则G中每个元素在◦运算表中的每一 行(列)必出现且仅出现一次。 5.群中元素的幂运算 设G是群，a ∈G，则
即
a a 1 aa 1 0 1 1 a a a a 0
得a-1 =(-a)/(1+a) ∈S。 综上知<S，*>是群。
群的性质
群的性质包括： 1)消去律
2)群方程的可解性（重点）
3)群中无零元 4)有限群运算表的特性 5) 群中元素的幂运算（重点） 6) 元素的阶
1
<P(S), > Φ x
群
例1 几个典型的群（续）： Klein 四元群：
◦ e a b c e a b c
特征： 1. 满足交换律 2. 每个元素都是自己的逆元 3. a, b, c中任何两个元素运算结 果都等于剩下的第三个元素
e a a e b c c b
b c c b e a a e
群
例2 设S=R-{-1}，S上定义运算*： a*b=a+b+ab，试证明<S，*>是群。 证明 从以下几方面进行证明： 1) 运算*在S上封闭；2) 运算*满足结合律；
3)存在幺元；
4) 每个元素存在逆元。
群
1)运算*在S上封闭： 任意a，b∈S，有a*b=a+b+ab∈R，且a≠ -1，b≠ -1。 若a*b= -1即a+b+ab= -1，则a= -1或b= -1，与题设矛盾 ，故a*b≠ -1. 所以a*b∈S，即运算*在S上封闭。
离散数学
Discrete Mathematics
主讲：陈哲云
青岛理工大学计算机工程学院 2013.09
1
第6章 几个典型的Байду номын сангаас数系统
代数系统
半群与群 环与域 格与布尔代数 子集
子代数
分类 代数系统 成分：集合+运算 的构成 公理：运算性质 映射
代数系统 间的关系
代数系统的 同构与同态
新 的 生成 积代数 代 笛卡儿积 数 系 商代数 统 等价关系
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置换群
例13 集合S={1,2,3}上共有6个不同的置换， 它们的集合记 为S3 = {σ1，σ2，σ3，σ4，σ5，σ6}。
1 2 3 1 1 2 3 1 2 3 3 3 1 2 1 2 3 5 3 2 1 1 2 3 2 2 3 1 1 2 3 4 1 3 2 1 2 3 6 2 1 3
群
2) 运算*满足结合律： 任意a，b，c∈S，有 (a*b)*c=(a+b+ab)*c=a+b+ab+c+(a+b+ab)c =a+b+c+ab+ac+bc+abc,且 a*(b*c)=a*(b+c+bc)=a+b+c+bc+a(b+c+bc) =a+b+c+ab+ac+bc+abc, 所以，(a*b)*c=a*(b*c)，即*满足结合律。
<18/8>=<1>=Z8
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循环群
例12 设G=<A，*>，A={a，b，c}，*的运算表为： （1）找出G的单位元； （2）找出G的幂等元； （3）求b的逆元b-1和c的逆元c-1． （4）G是否为阿贝尔群？ （5）求G的生成元和所有子群．
* a b
a a b
b b c
c c a
c
c
a
b
39
置换群
30
循环群
例10 循环群举例: （1）无限阶循环群：<Z，+> , Z=<1>=<-1> （2）n阶循环群：<Zn, n >, Zn=<1>=<n-1>
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循环群
定理 设循环群G=<a>，则 |a| = |G|，即循环群的阶与生 成元的阶是相同的。 当|G|=∞时，G=<a>={…, a-2,a-1,e, a1,a2,…} 当|G|=n时， G=<a>={a0,a1,a2,…,an-1}