辽宁省沈阳市和平区19-20学年九年级(上)期末数学试卷 (含答案解析)

辽宁省沈阳市和平区19-20学年九年级(上)期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共20.0分）1.已知线段a、b、c满足关系ab =bc，且a=3，c=6，则b等于()A. 4B. 5C. 2√3D. 3√22.二次函数y=−3(x+2)2+1的图象的顶点坐标是()A. (2,1)B. (−2,1)C. (−2,−1)D. (2,−1)3.如图所示的几何体的左视图是()A.B.C.D.4.某商品经过连续两次降价，销售单价由原来100元降到81元．设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为()A. 81(1−x)2=100B. 100(1+x)2=81C. 81(1+x)2=100D. 100(1−x)2=815.下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将它们按时间先后顺序排列正确的是()A. ③①④②B. ③④①②C. ③②①④D. ②④①③6.将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是()A. y=(x+2)2+1B. y=(x+2)2−1C. y=(x−2)2+1D. y=(x−2)2−17.如图，在长方形ABCD中，AB=10cm，BC=6cm，动点P，Q分别从点A，B同时出发，点P以3cm/s的速度沿AB，BC向点C运动，点Q以1cm/s的速度沿BC向点C运动，当P，Q其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设P，Q运动的时间是t秒．当点P与点Q重合时t的值是()B. 4C. 5D. 6A. 528.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，则反比例函数y=a与正x比例函数y=bx在同一平面直角坐标系内的大致图象是()A. B.C. D.9.根据所给的表格，估计一元二次方程x2+12x−15=0的近似解x，则x的整数部分是()x0123x2+12x−15−15−21330A. 1B. 2C. 3D. 410.如图，已知△ABC在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,3)，若以点B为位似中心，在图中的方格内画出△A′BC′，使得△A′BC′与△ABC位似，且相似比为2：1，则点C′的坐标为()A. (0,0)B. (0,1)C. (1,−1)D. (1,0)二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.如果一个4米高的旗杆在太阳光下的影长为6米，同它临近的一个建筑物的影长是24米，那么这个建筑物的高度是______米12.关于x的方程(m−1)x2−mx+1=0有两个相等的实数根，则m的值为________．13.如图，矩形ABCD的宽AB=5，若沿其长边对折后得到的矩形与原矩形相似，则长边BC的长为__________．14.如图，把△ABC沿着BC的方向平移1个单位得到△DEF，重叠部分的，则BC=______．面积是△ABC面积的1415.某种服装平均每天可以销售20件，每件盈利32元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，若每天要盈利900元，每件应降价______ 元．16.如图，在矩形ABCD中，过点B作对角线AC的垂线，交AD于点E，若AB=2，BC=4，则AE=______．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）17.不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球(除颜色不同外，其它都一样)，其中红球2个，．蓝球1个，现在从中任意摸出一个红球的概率为12(1)求袋中黄球的个数；(2)第一次摸出一个球(不放回)，第二次再摸出一个球，请用树状图或列表法求两次摸出的都是红球的概率．四、解答题（本大题共8小题，共74.0分）18.用公式法解方程：x(2x+3)=4x+6．)−1+2cos30°−|−√3|．19.计算：(π−√2)0+(1320.已知△ABC中，AB=2√5，AC=4√5，BC=6(1)如图1，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求线段MN的长；(2)如图2，是由100个边长为1的小正方形组成的10×10的正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形．①请你在所给的网格中画出格点△A1B1C1与△ABC全等(画出一个即可，不需证明)②试直接写出所给的网格中与△ABC相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中一个(不需证明)．21.下面是小明同学设计的“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P．求作：直线PQ，使得PQ⊥l．作法：如图，①在直线l上取一点A，以点P为圆心，PA长为半径画弧，与直线l交于另一点B；②分别以A，B为圆心，PA长为半径在直线l下方画弧，两弧交于点Q；③作直线PQ．所以直线PQ为所求作的直线．根据小明设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)(2)完成下面的证明．证明：连接PA，PB，QA，QB．∵PA=PB=QA=QB，∴四边形APBQ是菱形______(填推理的依据)．∴PQ⊥AB______(填推理的依据)．即PQ⊥l．22.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=k1x+b的图象与反比例函数y2=k2的图象交于A、x B两点，与x轴交于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，点O是线段DC的中点，BD=2√5，cos∠BDC=√5．5(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；(2)直接写出当x为何值时，y1≥y2．23.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，在△ABC中截出一个矩形DEFG，使得点D在AB边上，EF在BC边上，点G在AC边上，设EF=x，矩形DEFG的面积为y．(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)直接写出自变量x的取值范围____；(3)若DG=2DE，则矩形DEFG的面积为____．24.已知点E、F为正方形ABCD的边BC、AB上的点，DE、CF交于点M．(1)如图，若BF=CE，求证：CF⊥DE．(2)如图，∠FDE=45°，且AF=2CE，求BE的值．EC(3)如图，已知正方形的边长为4，DE=FC，当EF的长最小时，直接写出BM的长．25.如图，在平面直角坐标系xOy中抛物线与x轴的正半轴交于点B(3,0)，交y于点C，顶点A(1,−4)，直线AB与y轴交于点D．(1)求抛物线的表达式；(2)联结BC，如果点P在x轴上，且△PBC与△BCD相似，求出点P坐标．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∵线段a、b、c满足关系ab =bc，∴b2=ac，∵a=3，c=6，b>0，∴b=√ac=3√2．故选D．由ab =bc，根据比例的基本性质可得b2=ac，再将a=3，c=6代入计算即可求出b的值，注意线段的长度不能是负数．本题考查了比例线段，掌握比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积是解题的关键．2.答案：B解析：解：∵y=−3(x+2)2+1，∴顶点坐标是(−2,1)．故选：B．根据顶点式y=(x−ℎ)2+k，已知顶点坐标是(ℎ,k)，求出顶点坐标即可．本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的顶点式，可确定抛物线的开口方向，顶点坐标(对称轴)，最大(最小)值，增减性等．3.答案：B解析：本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图，找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．解：从左往右看，易得一个三角形，故选B．4.答案：D解析：解：由题意可列方程是：100×(1−x)2=81．故选：D．此题利用基本数量关系：商品原价×(1−平均每次降价的百分率)=现在的价格，列方程即可．此题考查由实际问题抽象出一元二次方程．一元二次方程的应用最基本数量关系：商品原价×(1−平均每次降价的百分率)=现在的价格．5.答案：B解析：本题考查了投影，一般地，用光线照物体，在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影，照射所在的平面叫做投影面．太阳早上是从东边升起，影子应该在西边，开始时影子长，中午的时候影子最短，下午的时候影子转向东边，所以将它们按照时间先后顺序排放正确的是③④①②．解：观察题中四幅图，根据影子的方向可知， ③与 ④是建筑物在上午时的影子， ①与 ②是建筑物在下午时的影子，再根据影子的长短可知 ③早于 ④， ①早于 ②，所以按时间的先后顺序排列为 ③ ④ ① ②．故选B．6.答案：C解析：本题主要考查二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．由抛物线平移不改变a的值，根据平移口诀“左加右减，上加下减”可知移动后的顶点坐标，再由顶点式可求移动后的函数表达式解：将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是y= (x−2)2+1．故选C．7.答案：C解析：解：设当点P与点Q重合时t的值是x秒，由题意得：3x−x=10，解得：x=5，故选：C．根据题意可得P点追击路程为10cm，设当点P与点Q重合时t的值是x秒，根据题意可得等量关系：P点的运动路程−Q点的运动路程=10，根据等量关系列出方程即可．此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．8.答案：B解析：由已知二次函数y=ax2+bx+c的图象开口方向可以知道a的取值范围，对称轴可以确定b的取值与正比例函数y=bx在同一坐标系内的大致图象．范围，然后就可以确定反比例函数y=ax此题主要考查了从图象上把握有用的条件，准确选择数量关系解得a的值，简单的图象最少能反映出2个条件：开口向下a<0；对称轴的位置即可确定b的值．解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象开口方向向下，∴a<0，对称轴在y轴的左边，<0，∴x=−b2a∴b<0，∴反比例函数y=a的图象在第二四象限，x正比例函数y=bx的图象在第二四象限．故选：B．9.答案：A解析：此题考查了估算一元二次方程的近似解，此类题要细心观察表格中的对应数据，即可找到x的取值范围．具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．观察表格确定出方程的一个解的范围即可．解：由x=1时，x2+12x−15=−2，x=2时，x2+12x−15=13，所以x2+12x−15=0的解满足1<x<2，则x的整数部分为1，故选A．10.答案：D解析：利用位似图形的性质结合位似比得出△BA′C′，进而得出C′点坐标．此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确得出对应点位置是解题关键．解：如图所示：△A′BC′与△ABC位似，相似比为2：1，点C′的坐标为：(1,0)．故选D．11.答案：16解析：本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．先设建筑物的高为h米，再根据同一时刻物高与影长成正比列出关系式求出h的值即可．解：设建筑物的高为h米，由题意可得：则4：6=ℎ：24，解得：ℎ=16(米)．故答案为：16．12.答案：2解析：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．根据关于x的方程有两个相等的实数根可得△=m2−4(m−1)=0，求出m值即可．解：∵方程有两个相等的实数根，∴△=m2−4(m−1)=0，∴m=2，故答案为2．13.答案：5√2解析：本题考查相似多边形的性质：相似多边形对应边的比相等．由题意可知矩形DMNC与矩形ABCD相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，就可以得到BC．由已知得MN=AB=5，MD=12AD=12BC，∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，∴矩形DMNC与矩形ABCD相似，DMAB =MNBC，∴12BC5=5BC，则BC=5√2．故答案为5√2．14.答案：2解析：解：∵△ABC沿AB边平移到△DEF的位置，∴AC//DF，∴△ABC∽△DBG，∴S重叠S△ABC=(CEBC)2=14，∴BC：EC=2：1，∵把△ABC沿着BC的方向平移1个单位得到△DEF，∴BE=1，∴EC=1，∴BC=2．故答案为：2．直接利用平移的性质再结合相似三角形的性质得出BC：EC=2：1，进而得出答案．此题主要考查了平移的性质以及相似三角形的判定与性质，正确得出BC：EC=2：1是解题关键．15.答案：2解析：解：设每件应降价x元，根据题意，得：(32−x)(20+5x)=900解方程得x=2或x=26，∵在降价幅度不超过10元的情况下，∴x=26不合题意舍去，答：每件服装应降价2元；故答案为：2．设每件应降价x元，根据每件服装的盈利×(原来的销售量+增加的销售量)=900，列出方程，求出x的值，即可得出答案．此题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据每天盈利得到相应的等量关系，列出方程．得到现在的销售量是解决本题的难点．16.答案：1解析：解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠ABC=90°，AD=BC=4，∴AC=√AB2+BC2=2√5，设AC与BE交于F，∵BE⊥AC，∴AB2=AF⋅AC，∴AF=222√5=2√55，∴CF=AC−AF=8√55，∵AE//BC，∴△AEF∽△CBF，∴AEBC =AFCF，∴AE4=2√558√55，∴AE=1，故答案为：1．根据矩形的性质得到∠DAB=∠ABC=90°，AD=BC=4，根据勾股定理得到AC=√AB2+BC2= 2√5，设AC与BE交于F，根据相似三角形的性质即可得到结论．本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．17.答案：解：(1)设袋中黄球的个数为x个，根据题意得22+1+x =12，解得x=1，所以袋中黄球的个数为1个；(2)画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的都是红球的结果数为2，所以两次摸出的都是红球的概率=212=16．解析：(1)袋中黄球的个数为x个，根据概率公式得到22+1+x =12，然后利用比例性质求出x即可；、(2)先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次摸出的都是红球的结果数，然后根据概率公式计算即可．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．18.答案：解：原方程整理得2x2−x−6=0，∵a=2，b=−1，c=−6，∴△=b2−4ac=1−4×2×(−6)=49>0，．∴x=1±74，即x1=2，x2=−32．解析：将方程整理成一般式后，根据求根公式即可得解．本题主要了考查公式法解一元二次方程，熟练掌握公式法解一元二次方程的步骤和求根公式是解题的关键．19.答案：解：原式=1+3+2×√32−√3=4．解析：分别进行零指数幂、负整数指数幂及绝对值的运算，然后代入特殊角的三角函数值代入运算即可．本题考查了实数的运算，涉及了零指数幂、负整数指数幂及绝对值的运算，注意掌握各部分的运算法则是关键．20.答案：解：(1)①∵△AMN∽△ABC，∴AMAB =MNBC∵M为AB中点，AB=2√5，∴AM=√5，∵BC=6，∴MN=3；②∵△AMN∽△ACB，∴MNBC =AMAC，∵BC=6，AC=4√5，AM=√5，∴MN=1.5；(2)①如图所示：②每条对角线处可作4个三角形与原三角形相似，那么共有8个．解析：(1)作MN//BC交AC于点N，利用三角形的中位线定理可得MN的长；作∠ANM=∠B，利用相似可得MN的长；(2)①AC为两直角边长为4，8的直角三角形的斜边，2√5为两直角边长为2，4的两直角三角形的斜边；②以所给网格的对角线作为原三角形中最长的边，可得每条对角线处可作4个三角形与原三角形相似，那么共有8个．主要考查相似作图和全等作图；注意相似作图及解答有多种情况．21.答案：(1)如图所示．(2)四边相等的四边形是菱形；菱形的对角线互相垂直.解析：解：(1)见答案；(2)证明：连接PA，PB，QA，QB．∵PA =PB =QA =QB ，∴四边形APBQ 是菱形(四边相等的四边形是菱形)(填推理的依据)．∴PQ ⊥AB(菱形的对角线互相垂直)(填推理的依据)．即PQ ⊥l ．故答案为：四边相等的四边形是菱形，菱形的对角线互相垂直．(1)根据要求画出图形即可．(2)利用菱形的判定和性质判断即可．本题考查作图−复杂作图，线段的垂直平分线的性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22.答案：解：(1)在Rt △BDC 中，∠BCD =90°，BD =2√5，， ，由勾股定理得：BC =√(2√5)2−22=4，∵点O 是线段DC 的中点，∴点B 的坐标为(1,4)，点D 的坐标为(−1,0)，把B(1,4)代入y 2=k 2x ，得：k 2=4，∴反比例函数的解析式为：y 2=4x ，把B(1,4)，D(−1,0)代入y 1=k 1x +b ，得：{k 1+b =4−k 1+b =0，解得：{k 1=2b =2， ∴一次函数解析式为y 1=2x +2；(2)当−2≤x <0或x ≥1时，y1≥y2．解析：本题考查了反比例函数的应用和待定系数法求一次函数解析式，解决本题的关键是通过解直角三角形求出BC 和CD 的长度．(1)通过解直角三角形BDC 求出CD ，BC 的长，即可得到点B 、D 坐标，利用待定系数法即可求出反比例函数和一次函数的解析式；(2)联立解析式求出A 的坐标，结合点B 的坐标，观察图象即可得到答案．解：(1)见答案；(2)由题意联立解析式得：{y=4xy=2x+2，解得：x1=−2,x2=1，∴点A(−2,−2)，∴观察图象可得：当−2≤x<0或x≥1时，y1≥y2，故答案为当−2≤x<0或x≥1时，y1≥y2．23.答案：解：(1)如图，过点A作AN⊥BC于点N，交DG于点M，∵AB=AC=5，BC=6，AN⊥BC，∴BN=CN=3，AN=√AB2−BN2=√52−32=4，∵DG//BC，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC，∴AMAN =EFBC，即4−MN4=x6，∴MN=4−23x.∴y=EF⋅MN=x(4−23x)=−23x2+4x，即y=−23x2+4x；(2)0<x<6；故答案为：0<x<6；(3)若DG=2DE，则EF=2MN，∴x=2(4−23x)，解得：x=247，当x=247时，y=−23×(247)2+4×247=28849；故答案为：28849．解析：此题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、二次函数的运用、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及矩形的面积等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，求得函数解析式是解决问题的关键．(1)利用勾股定理和等腰三角形的三线合一求得BN、AN，再证明△ADG∽△ABC，得出比例线段，利用x表示出MN，利用矩形的面积求出函数解析式；(2)由题意即可得出答案；(3)由题意得出x=2(4−23x)，解得x=247，代入函数关系式即可得出答案．24.答案：(1)证明：在正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，BC=CD，∵BF=CE，∴△BFC≌△CED(SAS)，∴∠BCF=∠CDE，∵∠CDE+∠DEC=90°，∴∠BCF+∠DEC=90°，∴∠EMC=90°，即CF⊥DE；(2)延长BA至N，使AN=CE，连接DN，∵正方形ABCD为正方形，∴∠DAB=90°，AD=CD，∴∠NAD=∠ECD=90°，∴△AND≌△CED(SAS)，∴∠ADN=∠CDE，DN=DE，∵∠EDF=45°，∠ADC=90°，∴∠ADF+∠EDC=45°，∴∠NDF=∠ADF+∠ADN=45°，∴∠EDF=∠NDF，∵DF=DF，DN=DE，∴△NDF≌△EDF(SAS)，∴FN=EF，∵AF=2CE，∴EF=3EC，∵2EC+BF=EC+BE，∴BF=BE−EC，在Rt△BFE中，BF2+BE2=EF2，即(BE−EC)2+BE2=(3EC)2，解得BEEC =1+√172;(3)BM =4√105．解析：此题主要考查全等三角形的性质与判定，勾股定理，正方形的性质等知识的综合运用．(1)可通过证明△BFC≌△CED 得到∠EMC =90°，进而可求解；(2)延长BA 至N ，使AN =CE ，连接DN ，先△AND≌△CED ，再证明△NDF≌△EDF 可得BF =BE −EC ，EF =3EC ，利用勾股定理即可求解；(3)可先确定EF 的长最小时的M 点的位置，再计算即可求解．解：(1)见答案；(2)见答案；(3)在Rt △CDE 和Rt △BCF 中，{DE =FC CD =BC ,所以Rt △CDE ≌Rt △BCF(HL)，所以BF =CE ，在Rt △BEF 中，EF 2=BF 2+BE 2=CE 2+(4−CE)2=2(CE −2)2+8，根据偶次方的非负性，知当CE =2时，EF 2最小，此时EF 的长最小，其最小值为2√2．此时BE =2，DE =√22+42=2√5，由Rt △CDE ≌Rt △BCF ，与(1)同理，易知CF ⊥DE ，由S △CDE =12·CD ·CE =12·DE ·MC 计算可得MC =4√55，在Rt △CME 中，EC =2，故由勾股定理得ME =2√55，过点M 作MG ⊥BC 于点G ，则由三角形面积等得到MG =ME·MC EC =45，进而根据勾股定理得EG =√ME 2−MG 2=25，则BG =BE +EG =2+25=125，在Rt △BMG 中，BM =√BG 2+MG 2=√(125)2+(45)2=4√105．故当EF 的长最小时，BM 的长为4√105．25.答案：解：(1)设抛物线解析式为：y =a(x −1)2−4(a ≠0)，把B(3,0)代入，得a(3−1)2−4=0，解得a =1．故该抛物线解析式为：y =(x −1)2−4或y =x 2−2x −3．(2)如图，连接BC ，PC ，设P(t,0)．设直线AB 的解析式为：y =kx +b(k ≠0)，∵A(1,−4)，B(3,0)，∴{k +b =−43k +b =0， 解得{k =2b =−6． 则直线AB 的解析式为：y =2x −6．易得D(0,−6)．由抛物线解析式y =x 2−2x −3得到：C(0,−3)，∴OB =OC =3，∴∠OBC =∠OCB =45°，∴∠BCD =135°．易求CD =3，BC =3√2，BD =3√5，PC =√9+t 2，BP =|3−t|．结合图形知，∠PCB ≠135°．①当△PBC∽△BCD 时，BP CB =BC CD ，即3√2=3√23， 解得t =−3(舍去)或t =9，此时点P 的坐标是(9,0)；②当△PBC∽△DCB时，BPDC =BCCB=1，即|3−t|3=1，解得t=0(舍去)或t=6，此时点P的坐标是(6,0)；综上所述，点P的坐标是(6,0)或(9,0)．解析：(1)设抛物线解析式为：y=a(x−1)2−4(a≠0)，将点B的坐标代入求值即可；(2)设P(t,0).根据函数解析式求得点C的坐标，由点A、B的坐标求得直线AB的解析式，从而得到点D的坐标，然后由点的坐标可以求得△BCD的边长，所以结合相似三角形的对应边成比例求得点P的坐标．注意：在△PBC中，只能∠CBP是钝角．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。