第10讲 空间中的平行关系
空间中的平行关系
线面平行的判定方法
直线与平面没有交点
1.定义: 2.判定定 理
a / /b a ⊄ α ⇒ a / /α b ⊂α
3.面面平行性 质定理
α / /β ⇒ a / /β a ⊂α
面面平行的判定方法
1.定义
平面与平面没有交点
2.判定定 理
a, b ⊂ α a I b = A ⇒ α / /β a / /β b / /β
1.定义
a / /b 2.平行公理 a / /c ⇒ b / /c a // α 3.线面平行性质 a ⊂ β ⇒ a // l 定理 α I β = l
4.面面平行性质 定理
α / /β α I γ = a ⇒ a / /b β I γ = b
5.利用平行四边形的性质等。
个平面⑨ __________ ，则这两个平面平行． 用符号表示为：a ⊂ α，b ⊂ α，a I b = P， _____ ， _______ ⇒ α //β .
( 3) 性质定理：如果两个平行平面同时和第三个
平面相交，那么它们的交线 __________ . 用符号表示为：α //β，α I γ = a，β I γ = b ⇒ _______ . 特别提醒：线线平行、面面平行有传递性，而线 面平行没有传递性，如a //α，α //β 不一定得到
直线③ __________ ，则该直线与此平面平行． 用符号表示为：a ⊄ α，b ⊂ α，且④ ___ ⇒ a //α .
( 3) 性质定理：一条直线与一个平面平行，则过
这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线 ⑤ __________ 。 用符号表示为：a //α，a ⊂ β，β I α = l ⇒ ⑥ __.
空间中的平行关系
1．空间两条互相平行的直线指的是( ) A．在空间没有公共点的两条直线 B．分别在两个平面内的两条直线 C．分别在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线 D．在同一平面内且没有公共点的两条直线
答案：D
2.
(
设 AA1 是正方体的一条棱， 这个正方体中与 AA1 平行的棱共有 ) A．1 条 B．2 条 C ．3 条 D．4 条
如图：空间四边形ABCD中， AC、BD是它的对角线
空间四边形的常见画法经常用一个平面衬托，如下图
中的两种空间四边形ABCD和ABOC.
空间两条直线的位置关系有三种：
位置关系 相交直线 共面情况 在同一平面内 公共点个数 有且只有一个
平行直线
异面直线
在同一平面内
不在任何一平面内
没 有
没 有
类型一 基本性质 4 的应用 【例 1】
变式训练 1 已知棱长为 a 的正方体 ABCD－A′B′C′D′ 中，M、N 分别为 CD、AD 的中点． 求证：四边形 MNA′C′是梯形．
证明：如图，连结 AC，
1 ∵M、N 分别为 CD、AD 的中点，∴MN=2AC. 1 由正方体的性质可知 AC=A′C′，∴MN=2A′C′.∴四边形 MNA′C′是梯形.
证明：如图所示，在正方体 AC1 中，取 A1B1 的中点 M，连结 BM、MF1，
1 则 BF＝A1M＝2AB. 又 BF∥A1M，
∴四边形 A1FBM 为平行四边形． ∴A1F∥BM. 而 F1，M 分别为 C1D1，A1B1 的中点，则 F1M 綊 C1B1. 而 C1B1 綊 BC，∴F1M∥BC，且 F1M＝BC.
答案：C
3．空间中有两个角 α，β，它们的两边互相平行，且 α＝60° ， 则 β 为( ) A．60° B．120° C．30° D．60° 或 120°
空间几何中的平行关系
空间几何中的平行关系在我们所接触的空间几何世界里，平行关系是一个非常重要的概念。
它不仅在数学理论中有着关键的地位，还在实际生活和其他学科领域有着广泛的应用。
首先，让我们来理解一下什么是线线平行。
如果在同一平面内，两条直线永远不会相交，那么我们就说这两条直线是平行的。
比如，在笔直的公路上，两条路边线就是平行的。
线线平行有许多判定定理，其中一个常见的就是同位角相等，两直线平行。
比如说，有两条被第三条直线所截的直线，如果同位角的度数相等，那么这两条直线就是平行的。
接下来，我们看看线面平行。
一条直线和一个平面，如果没有公共点，那就称这条直线与这个平面平行。
想象一下，天花板上的吊灯线和地板所在的平面，它们通常是没有交点的，这就是线面平行的一个例子。
那如何判断一条直线是否与一个平面平行呢？如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。
这就好比在一个房间里，一条在墙外的直线和房间地面上的某条直线平行，那么墙外的这条直线就和地面所在的平面平行。
再说说面面平行。
如果两个平面没有公共点，就称这两个平面平行。
比如，我们常见的楼房中，一层楼的天花板和下一层楼的地板，这两个平面通常就是平行的。
那怎样才能知道两个平面是不是平行呢？一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
就好像在一个平面内有两条相交的直线，它们分别和另一个平面内的两条直线平行，那么这两个平面就是平行的。
在解决空间几何中的平行关系问题时，我们常常需要进行一些推理和证明。
比如说，要证明线面平行，我们可能需要先找到平面内与已知直线平行的那条直线。
这就需要我们对已知条件进行仔细的分析和运用各种定理。
平行关系在实际生活中的应用也非常广泛。
建筑设计中，为了保证建筑物的结构稳定和美观，常常会利用平行关系。
比如，柱子之间的平行线能够增强建筑物的稳定性；窗户的边框平行能够使窗户看起来更加整齐美观。
在机械制造中，平行的部件能够保证机器的正常运转，减少摩擦和损耗。
空间平行定理和判定定理
空间平行定理和判定定理好吧，今天咱们来聊聊空间平行定理和判定定理。
这两个名词听起来可能有点高大上，但其实它们和我们日常生活中的一些小道理息息相关。
想象一下你在画一个美丽的花园，花草树木各自成行，各自有序，嘿，这不就是在讲平行的概念吗？空间中的平行关系就像那条不变的法则，保证着我们的花园不会变得乱七八糟。
说到这，大家肯定都知道平行线吧。
它们就像两个最好的朋友，永远不会相遇，永远保持一定的距离，真是忠实的伙伴。
平行定理说的是，在空间中，如果一条直线和一组平行线相交，那么这条直线在这组平行线的另一侧，依旧不会相交。
就像是你的好朋友和他的女朋友，怎么也不会插足对方的关系。
想想我们身边的事，很多时候也是这样。
比如，你在一家咖啡馆里，看到两个人在交谈，旁边又有一对情侣。
虽然他们都在同一个空间里，但他们各自的事情并不会互相影响。
空间平行就像是在告诉我们，保持一定的距离，不要相互打扰，才能让大家都过得舒心。
再说说判定定理。
这个定理可有趣了，它告诉我们，如果有两条直线在空间里，一条直线与另外一条直线相交，且与两条平行线相交的话，那这两条直线肯定也是平行的。
哇，这不就是生活中的一些小法则吗？举个例子，你和朋友一起去看电影。
你们都有自己的喜好，比如你爱动作片，他偏爱爱情片。
虽然你们选择了不同的影片，但每个人都有自己的追求，谁也不会干扰谁，还是可以一起享受这段时间。
生活中有时候就是这么简单，只要保持着各自的爱好，距离感也能让关系更加美好。
空间平行定理和判定定理还教给我们一个很重要的道理，就是有些事情是不变的，就像数学中的那些规则。
比如说，早上出门的时候，路上的车总是井然有序，这和空间中的平行关系一样。
车流不息，却能保持各自的行驶轨迹，不会互相碰撞。
想想如果没有这个规则，那可真是一场灾难，谁都不想在路上与别的车争道啊。
平行就像是一种默契，让每个人都能在各自的轨道上前进。
其实生活中充满了平行的例子。
比如说，你和朋友约好了一起去爬山。
空间中的平行关系
（5）中点中位线，平行四边形的性质等。
疑难释疑
练习1.下列对平行线的定义的叙述正确的是( D ) A.在空间没有公共点的两条直线. B.分别在两个平面内的直线. C.分别在两个不同的平面内且没有公共点 的两条直线. D.在同一平面内且没有公共点的两条直线.
练习2.a,b,c是空间中的三条直线，下面给出 4个命题：①若a//b,b//c,则a//c;②若 a⊥b, b⊥c,则a//c;③若a与b相交，b与c 相交，则a与c也相交；④若a,b分别在两个 相交的平面内，则这两条直线不可能平行. ① 则上述命题中真命题是_______.(仅填序号)
/ / a / / a
பைடு நூலகம் 疑难释疑
练习3.已知a,b,c为三条不重合的直线，αβγ 是三个不重合的平面. ①a//c,b//c a //b; ②a//γ,b//γ a//b ; ③a//c,c//a a//a ; ④a//γ,a//γ a//a. ⑤a ,a//b ,b a//a A 其中正确的命题是____________. A. ① ⑤ B. ① ② C.② ④ D. ③ ⑤ 练习4.如果平面α//平面β，那么( ) A A.平面α内任意直线都平行于平面β B.平面α内仅有两条相交直线平行于平面β C.平面α内任意直线都平行于平面β内的任意直线 D.平面α内直线与平面β内直线不能垂直
Ｄ1
Ｃ1 B1 A1 M
Ｄ1
Ｃ1
A1
D K A N
B1 D
C
N A
E
M F C B
变式： 如图,P 为平行四边形 ABCD 所在平面外一点,M、N 分别 是 AB、PC 的中点,平面 PAD∩平面 PBC=m.(1)求证:BC∥m (2)MN 与平面 PAD 是否平行?试证明你的结论.
空间中的平行关系方法总结
空间平行方法总结
平行关系：线线平行、线面平行、面面平行
线线平行：两直线平行必定共面，所以线线平行问题在空间中只是作为证明线面平行或者面面平行的工具使用，不会直接考查。
常见的线线平行有：（1）平行四边形对边平行；（2）三角形的中位线平行对应边；（3）两平行平面与第三个平面相交，则两条交线平行（面面平行的性质定理）；（4）垂直于同一平面的两直线平行；（5）如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这条直线相交，那么这条直线和交线平行（线面平行的性质定理）；（6）平行的传递性；
线面平行：线面平行判定定理为，平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
所以线面平行的核心归结为证明线线平行。
面面平行：面面平行的判定定理为，一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
既证明两平面平行只需证明两条相交线与一个平面平行即可，所以面面垂直归结为线线垂直。
总结：在空间平行关系中主要为:线线平行、线面平行、面面平行，考查题目主要类型为线面平行和面面平行，面面平行通过证明两组线面平行，线面平行通过证明线线平行，所以要熟练掌握线线平行的证明，也是空间中平行的核心内容。
空间中的平行与垂直关系
空间中的平行与垂直关系一、知识梳理1、 平行关系（1）直线与平面平行的判定定义：直线与平面没有公共点，称这条直线与这个平面平行。
判定定理：若l α⊄，a α⊂，l ∥a ，则l ∥α。
（2）直线与平面的平行性质定理：判定定理：若l ∥α，l β⊂，a αβ=，则l ∥a 。
（3）平面与平面的平行的判定定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面。
判定定理1：若, a b αα⊂⊂，a b P =，a ∥β，b ∥β，则α∥β；判定定理2：若, l l αβ⊥⊥，则α∥β；判定定理3：若α∥β，β∥γ，则α∥γ。
（4）平面与平面的平行性质定理：性质定理1：若α∥β，a α⊂，则a ∥β；性质定理2：若α∥β，且a γα=，b γβ=，则a ∥b ；性质定理3：若α∥β，且l α⊥，则l β⊥。
2、补充结论：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行。
3、线线平行的常用证明方法（1）利用平面几何的结论，如三角形的中位线平行于底边、平行四边形的对边平行、利用比例，等；（2）利用公理4：平行于同一条直线的两条直线平行；（3）利用线面平行的性质定理、面面平行的性质定理、线面垂直的性质定理4、垂直关系（1）直线与平面垂直的判定定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的所有直线垂直。
判定定理：若, , m n mn P αα⊂⊂=，, l m l n ⊥⊥，则l α⊥。
（2）直线与平面的垂直性质定理：符号表示：若l α⊥，对任意的a α⊂，都有l a ⊥。
（3）平面与平面的垂直的判定定义：两个平面所成的二面角为直角，那么这两个平面垂直。
判定定理：若, a a αβ⊂⊥，则l α⊥。
（4）平面与平面的垂直性质定理：性质定理1：若, , , l a a l αβαβα⊂=⊂⊥，则a β⊥。
性质定理2：若, , l αβαγβγ=⊥⊥，则l γ⊥。
5、补充定理（1）若, l αα⊥∥β，则l β⊥；（2）若, l a α⊥∥l ，则a α⊥。
空间中的平行关系
<学案课时>
4．(2016 衡水模拟)在四面体 A BCD 中， M , N 分别是 ACD, BCD 的重心， 则四面体的四个面中与 MN 平行的是________．
方法总结
1.证明线面平行常用的方法是利用线面平行的判定定理证明；
2.运用线面平行判定定理证明时，关键在于证明平面外的一条直 线与平面内的一条直线平行（即通过线线平行证明线面平行）。证明 线线平行时，常利用中位线、相似比、平行四边形性质等方点在同一个三角形内， 常用方法是：连接两个中点 沟造三角形的中位线，利用 中位线定理来找平行线。
P E A F
C
B
如图,底面是菱形的四棱锥P-ABCD中, 0, ∠ABC=60 PA=PD,E为PC的中点. 求证:PA//平面EBD
方法技巧：若题目中出现平行 四边形，通常连接对角线就可 出现中点,辅助证明平行.
<学案>
典例剖析
【例 2 】 （2016 新课标Ⅲ） 如图， 四棱锥 P ABCD 中，PA 平面 ABCD ，AD ∥ BC ，
AB AD AC 3 ， PA BC 4 ， M 为线段 AD 上一点， AM 2 MD ， N 为 PC
的中点． （1）证明 MN ∥平面 PAB ； （2 ）求四面体 N BCM 的体积．
4 5
明晰学考要求
线面平行是空间中平行关系的核心； 熟练掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理； 熟练掌握平面和平面平行的判定定理和性质定理.
知识梳理
1.直线和平面平行的判定
判定定理：
如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条 直线和这个平面平行.
a
空间几何中的平行关系
空间几何中的平行关系在我们的日常生活中，空间几何的概念无处不在。
从建筑的设计到家具的摆放，从道路的规划到艺术品的创作，都离不开对空间几何的理解和运用。
而在空间几何中，平行关系是一个非常重要的概念，它不仅具有理论上的研究价值，还在实际应用中发挥着关键作用。
首先，让我们来明确一下什么是空间几何中的平行关系。
简单来说，平行关系是指两条直线或两个平面在空间中永远不会相交。
例如，在一个平坦的操场上，两条跑道的边缘线就是平行的；再比如，教室的天花板和地面就是两个平行的平面。
在空间几何中，直线与直线的平行关系是基础。
如果两条直线在空间中不相交，且它们的方向相同，那么我们就说这两条直线是平行的。
这种平行关系具有许多重要的性质。
比如说，如果一条直线与另外两条平行直线中的一条相交，那么它必然也与另一条相交。
而且，如果两条平行直线都与第三条直线垂直，那么这两条平行直线也互相垂直。
平面与平面的平行关系则是在直线平行的基础上进一步拓展。
如果两个平面没有公共点，那么它们就是平行的。
这就好比两个摞在一起的完全相同的纸张，它们的表面就是平行的平面。
平面平行也有其独特的性质。
例如，如果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行，那么这两个平面就平行。
直线与平面的平行关系同样不容忽视。
如果一条直线与一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线与这个平面平行。
想象一下，一根铅笔放在桌面上方，铅笔所在的直线与桌面所在的平面就是平行的关系。
判定直线与平面平行有多种方法，比如如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线就与这个平面平行。
平行关系在实际生活中的应用非常广泛。
在建筑领域，建筑师们需要精确地运用平行关系来设计房屋的结构和布局。
比如，为了保证房屋的稳定性和美观性，很多柱子之间的连线需要保持平行；房屋的地板和天花板也需要平行，以给人一种整齐、舒适的感觉。
在交通规划中，道路的设计也离不开平行关系。
高速公路上的车道分隔线、铁路的铁轨，都需要保持平行，以确保车辆和列车能够安全、平稳地行驶。
空间几何中的平行关系
空间几何中的平行关系在空间几何中，平行关系是一个重要的概念。
它涉及到线与线、面与面之间的关系，并且在实际应用中有着广泛的应用。
本文将会介绍空间几何中的平行关系的定义、性质以及应用，并且结合具体的例子来说明。
1. 平行关系的定义在空间几何中，如果两个线（又称为直线）不相交，并且在同一个平面上，那么它们被称为平行线。
类似地，如果两个平面之间没有相交的情况，那么它们被称为平行平面。
2. 平行关系的性质平行关系具有以下性质：- 平行线之间的距离相等：如果一条线与另一条线平行，并且在同一个平面上，那么这两条线之间的距离是相等的。
- 平行线的倾斜角度相等：如果两条线平行，并且这两条线与另外一条直线相交，那么与第一条线相交的角度与与第二条线相交的角度是相等的。
- 平行平面之间的距离相等：如果两个平面之间平行，并且这两个平面分别与另一平面相交，那么与第一个平面相交的直线到与第二个平面相交的直线的距离是相等的。
3. 平行关系的应用空间几何中的平行关系在实际应用中有着广泛的应用。
下面将介绍一些应用的例子：- 建筑设计中的平行关系：在建筑设计过程中，设计师需要确保墙壁、天花板等构件是平行的，以保证建筑结构的稳定和美观。
- 航空航天中的平行关系：在飞机、火箭等交通工具的设计中，需要考虑平行关系来确保机翼、尾翼等部件的平行安装，以提高飞行性能和稳定性。
- GPS定位中的平行关系：全球定位系统（GPS）利用卫星进行定位，而卫星之间的轨道需要保持平行关系，以确保精确的定位和导航。
通过以上例子可以看出，平行关系在各个领域都有着重要的应用。
它不仅关乎到结构的稳定性和性能，还对人类的生活和发展产生着重要的影响。
总结起来，空间几何中的平行关系是指在同一平面内两条线不相交，或者两个平面没有交点的情况。
平行关系具有距离相等和角度相等的性质，这些性质在建筑设计、航空航天、GPS定位等领域都有着广泛的应用。
通过对平行关系的研究和应用，人们能够更好地理解和利用空间中的几何关系，为各个领域的发展做出贡献。
空间中的平行关系
r uur |n ⋅ AB| 为平面的法向量,则 d ④向量法 :设n为平面的法向量 则： = 设 为平面的法向量 r n
(3)直线与平面的距离： 直线与平面的距离： 直线与平面的距离 前提是直线与平面平行， 前提是直线与平面平行，利用直线上任意一点到平面的距 离都相等，转化为求点到平面的距离。 离都相等，转化为求点到平面的距离。 (4)两平行平面之间的距离： 两平行平面之间的距离 转化为求点到平面的距离. 转化为求点到平面的距离
知识归纳
一、直线与直线的平行： 直线与直线的平行： 直线与平面的平行： 二、直线与平面的平行： 1.直线与平面的位置关系 直线与平面的位置关系： 直线与平面的位置个公共点，记作 ⊂α； 有无数个公共点， ⊂α； 直线在平面内 有无数个公共点 记作a⊂α (2)直线与平面相交 ------有且只有一个公共点 记作 ∩α＝Ａ； 有且只有一个公共点,记作 直线与平面相交 有且只有一个公共点 记作a ＝Ａ； (3)直线与平面平行 ------没有公共点，记作 ∥α . 没有公共点， 直线与平面平行 没有公共点 记作a a⊄α ⇔ a∩α=A或a∥α ⊄α 或 2.直线与平面平行的判定： 直线与平面平行的判定： 直线与平面平行的判定 (1)定义法：若a∩α＝φ ，则a∥α . 定义法： 定义法 (2)判定定理：如果平面外的一条直线和这个平面平面内 判定定理：如果平面外的一条直线和这个平面平面内 判定定理 的一条直线平行 那么这条直线和这个平面平行． 平行， 的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 符号表示:若 ⊄ ⊂α ⊂α,a 符号表示 若a⊄α,b⊂α ∥b,则a∥α . 则 (3)若α∥β，a⊂ β,则a ∥α . 若 ⊂ 则 (4)若b⊄ α, b⊥a,a ⊥ α,则b∥α . 若 ⊄ ⊥ 则
空间中的平行关系
空间中的平行关系一.【课标要求】1.平面的基本性质与推论借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理：♦公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内；♦公理2:过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；♦公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线;♦公理4:平行于同一条直线的两条直线平行；♦定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补2•空间中的平行关系以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。
通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理：♦平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；♦一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明：♦一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行；♦两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行；♦垂直于同一个平面的两条直线平行能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题二.【命题走向】立体几何在高考中占据重要的地位，通过近几年的高考情况分析，考察的重点及难点稳定，高考始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的性质和判定作为考察重点。
在难度上也始终以中等偏难为主，在新课标教材中将立体几何要求进行了降低，重点在对图形及几何体的认识上，实现平面到空间的转化，示知识深化和拓展的重点，因而在这部分知识点上命题，将是重中之重。
预测2019年高考将以多面体为载体直接考察线面位置关系：(1)考题将会出现一个选择题、一个填空题和一个解答题；(2)在考题上的特点为：热点问题为平面的基本性质，考察线线、线面和面面关系的论证，此类题目将以客观题和解答题的第一步为主三.【要点精讲】1 .平面概述(1)平面的两个特征：①无限延展②平的(没有厚度)(2 )平面的画法：通常画平行四边形来表示平面(3 )平面的表示：用一个小写的希腊字母：•、1、等表示，如平面:-、平面1 ;用表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面AC。
空间的平行关系教案
一、教学内容：空间平行关系的判定与性质，包括：1、线线平行；2、线面平行；3、面面平行。
二、学习目标1、掌握空间平行关系的判定与性质定理并会应用；2、通过对定理的学习，培养和发展空间想象能力、推理论证能力和运用图形进行交流的能力；3、通过操作确认、直观感知，培养几何直观能力；4、通过典型例子的分析和探索活动，理解数学概念和结论，体会蕴含其中的思想方法。
三、知识要点（一）直线与直线平行的判定方法1、利用定义：在同一个平面内，不相交的两条直线互相平行；2、利用平行公理：空间中平行于同一条直线的两条直线互相平行；3、利用直线与平面平行的性质定理：直线和平面平行，经过该直线的平面与已知平面相交，则该直线和交线平行；4、利用平面和平面平行的性质定理：两个平面互相平行，和第三个平面相交，它们的交线互相平行；5、利用直线和平面垂直的性质：垂直于同一个平面的两条直线互相平行；6、利用直线和平面平行的性质：一直线和两相交平面平行，则该直线和这两个平面的交线平行。
（二）直线与平面平行的判定方法1、利用定义：直线与平面无公共点，则该直线和该平面平行；2、利用直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线和平面内一条直线平行，则该直线和该平面平行（线线平行，则线面平行）。
3、利用平面和平面平行的性质：两个平面互相平行，则一个平面内任意一条直线都平行于第二个平面。
（三）平面和平面平行的判定方法1、利用定义：两个平面没有公共点，则这两个平面平行；2、利用平面与平面平行的判定定理：一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面内两条相交直线平行，则这两个平面平行；3、利用平面与平面平行的判定：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行；4、利用平面与平面平行的传递性：平行于同一个平面的两个平面互相平行．5、利用直线与平面垂直的性质：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；（四）直线与平面平行的性质1、性质定理：直线和平面平行，经过该直线的平面与已知平面相交，则该直线和交线平行；2、直线和平面平行的性质：一直线和两相交平面平行，则该直线和这两个平面的交线平行。
空间中的平行关系
8．4空间中的平行关系1．空间中直线与平面之间的位置关系(1)直线在平面内，则它们__________公共点；(2)直线与平面相交，则它们______________公共点；(3)直线与平面平行，则它们________公共点．直线与平面相交或平行的情况统称为______________．2．直线与平面平行的判定和性质(1)直线与平面平行的判定定理平面外____________与此平面内的____________平行，则该直线与此平面平行．即线线平行?线面平行．用符号表示：____________________________．(2)直线与平面平行的性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的__________与该直线__________．即线面平行?线线平行．用符号表示：__________________________．3．平面与平面之间的位置关系(1)两个平面平行，则它们______________；(2)两个平面相交，则它们______________，两个平面垂直是相交的一种特殊情况．4．平面与平面平行的判定和性质(1)平面与平面平行的判定定理①一个平面内的两条__________与另一个平面平行，则这两个平面平行．用符号表示：____________________________．②推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行．③垂直于同一条直线的两个平面平行．即l⊥α，l⊥β?α∥β.④平行于同一个平面的两个平面平行．即α∥γ，β∥γ?α∥β.(2)平面与平面平行的性质定理①如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线______________．即面面平行?线线平行．用符号表示：_____________________________．②如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面．用符号表示：__________________．③如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．用符号表示：__________________．自查自纠1．(1)有无数个(2)有且只有一个(3)没有直线在平面外2．(1)一条直线一条直线a?α，b?α，且a∥b?a∥α(2)交线平行a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b3．(1)没有公共点(2)有一条公共直线4．(1)①相交直线a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?β∥α(2)①平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b②α∥β，a?α?a∥β③α∥β，l⊥α?l⊥β已知平面α，β和直线a，b，a?α，b?β，且a∥b，则α与β的关系是()A．平行B．相交C．平行或相交D．垂直解：可在平面α内作一直线c，且c与a相交，若c平行于面β，则根据面面平行的判定定理知α∥β；若c 与面β相交，则面α与β相交．故选C.(2015·北京)设α，β是两个不同的平面，m是直线且m?α.“m∥β”是“α∥β”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：如果m?α，m∥β，那么α与β可能平行也可能相交；反过来，如果m?α，α∥β，那么m∥β，所以m∥β是α∥β的必要不充分条件．故选B.若直线l不平行于平面α，且l?α，则()A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交解：因为直线l不平行于平面α，且l?α，所以l与α相交．观察各选项，易知A，C，D都是错误的．故选B.(2016·全国卷Ⅱ)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.③如果α∥β，m?α，那么m∥β.④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)解：由m⊥n，m⊥α，可得n∥α或n在α内，当n∥β时，α与β可能相交，也可能平行，故①错．易知②③④都正确．故填②③④.如图所示的四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是____________．(写出所有符合要求的图形序号)解：在①中，由于平面MNP与AB所在的侧面平行，所以AB∥平面MNP；在③中，由于AB与以MP为中位线的三角形的底边平行，所以AB∥MP，又因为MP?平面MNP，AB?平面MNP.所以AB∥平面MNP.②④中，只须平移AB，即可发现AB与平面MNP相交．故填①③.类型一线线平行(2017大冶市实验高中月考)如图是正方体的表面展开图，E，F，G，H分别是所在棱的中点，试判断EF和GH在原正方体中的位置关系，并加以证明．解：在原正方体中EF∥GH.证明如下：如图所示，将展开图还原为正方体ABCD-A1B1C1D1，则E，F，G，H分别是棱A1D1，A1B1，BC，CD的中点，连接B1D1，BD，则EF∥B1D1，GH∥BD.又因为B1D1∥BD，所以EF∥GH.【点拨】证明线线平行，可以运用平行公理、中位线定理，也可以证明包含这两边的四边形是平行四边形，或者运用线面平行的性质定理来证明；将展开图还原成正方体，借助正方体模型，有利于我们看清问题．(2017武汉市育才高级中学月考)已知平面α∥平面β，直线a?α，B∈β，则在β内过B点的所有直线中()A．不存在与a平行的直线B．存在无数条与a平行的直线C．存在唯一一条与a平行的直线D．存在两条与a平行的直线解：易知过直线a和点B有且只有一个平面，该平面与平面β有且只有一条交线，此交线与a平行．故选C.类型二线面平行(2017渤海大学附属高级中学月考)在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝12AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．求证：(1)AP∥平面BEF；(2)GH∥平面PAD.证明：(1)连接EC，因为AD∥BC，BC＝12 AD，E为AD的中点，所以BC AE，所以四边形ABCE是平行四边形，所以O为AC的中点，又因为F是PC的中点，所以FO∥AP，又FO?平面BEF，AP?平面BEF，所以AP∥平面BEF.(2)连接FH，OH，因为F，H分别是PC，CD的中点，所以FH∥PD，又PD?平面P AD，FH?平面P AD，所以FH∥平面P AD.又因为O是BE的中点，H是CD的中点，所以OH∥AD，又因为AD?平面P AD，OH?平面P AD，所以OH∥平面P AD.又FH∩OH＝H，所以平面OHF∥平面P AD.又因为GH?平面OHF，所以GH∥平面P AD.【点拨】要证明直线和平面平行，通常有两种方法：(1)利用线面平行的判定定理，只要在平面内找到一条直线与已知平面外直线平行即可；(2)由面面平行的性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任何一条直线和另外一个平面平行．第(1)种方法是常用方法，一般需要连接特殊点、画辅助线，再证明线线平行，从而得到线面平行．第(2)种方法常用于非特殊位置的情形．(2016·全国卷Ⅲ)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC ＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．(1)证明MN∥平面P AB；(2)求四面体N-BCM的体积．解：(1)证明：由已知得AM＝23AD＝2，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TN∥BC，TN＝12BC＝2.又AD∥BC，故TN AM，四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.因为AT?平面PAB，MN?平面PAB，所以MN∥平面PAB.(2)因为P A⊥平面ABCD，N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为12P A.取BC的中点E，连接AE.由AB＝AC＝3得AE⊥BC，AE＝AB2－BE2＝ 5.由AM∥BC得M到BC的距离为5，故S△BCM＝12×4×5＝2 5.所以四面体N-BCM的体积V N-BCM＝13×S△BCM×P A2＝453.类型三面面平行(2017武汉市汉阳一中月考)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.证明：(1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，所以GH是△A1B1C1的中位线，则GH∥B1C1.又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面．(2)因为E，F分别为AB，AC的中点，所以EF∥BC，因为EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1∥AB，所以A1G EB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB.因为A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.又因为A1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG.【点拨】(1)判定面面平行的主要方法：①利用面面平行的判定定理；②线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行)．(2)面面平行的性质定理：①两平面平行，则一个平面内的直线平行于另一平面；②若一平面与两平行平面相交，则交线平行．(3)利用面面平行的判定定理证明两平面平行时需要说明是一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行．(2017武汉市新洲区第一中学月考)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1上的点，且B1E＝C1F，求证：(1)EF∥平面ABCD；(2)平面AD1C∥平面A1BC1.证明：(1)证法一：如图，过E，F分别作AB，BC的垂线EM，FN，分别交AB，BC于点M，N，连接EF，MN.因为BB1⊥平面ABCD，所以BB1⊥AB，BB1⊥BC.所以EM∥BB1∥FN.又因为AB1＝BC1，B1E＝C1F，所以AE＝BF.又∠B1AB＝∠C1BC＝45°，所以Rt△AME≌Rt△BNF.所以EM＝FN.所以四边形MNFE是平行四边形，所以EF∥MN.又MN?平面ABCD，所以EF∥平面ABCD.证法二：过E作EP∥AB交BB1于点P，连接PF，所以B1EB1A＝B1PB1B.因为B1E＝C1F，B1A＝C1B，所以C1FC1B＝B1PB1B.所以FP∥B1C1∥BC.又因为EP∩FP＝P，AB∩BC＝B，所以平面EFP∥平面ABCD.又EF?平面EFP，所以EF∥平面ABCD.(2)如图，连接A1B，D1C，AD1，由已知AD1∥BC1，CD1∥A1B.又AD1∩CD1＝D1，BC1∩BA1＝B，所以平面AD1C∥平面A1BC1.亦可连接B1D，由B1D⊥平面ACD1，B1D⊥平面A1C1B证明结论．1．证明线线平行的方法(1)利用平面几何知识；(2)平行公理：a∥b，b∥c?a∥c；(3)线面平行的性质定理：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b；(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b；(5)线面垂直的性质定理：m⊥α，n⊥α?m∥n.2．证明直线和平面平行的方法(1)利用定义(常用反证法)；(2)判定定理：a?α，b?α，且a∥b?a∥α；(3)利用面面平行的性质：α∥β，l?α?l∥β；(4)向量法．m?α，n⊥α，m⊥n?m∥α；(5)空间平行关系的传递性：m∥n，m，n?α，m∥α?n∥α；(6)α⊥β，l⊥β，l?α?l∥α.3．证明面面平行的方法(1)利用定义(常用反证法)；(2)利用判定定理：a，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?α∥β；推论：a，b?β，m，n?α，a∩b＝P，m∩n＝Q，a∥m，b∥n(或a∥n，b∥m)?α∥β；(3)利用面面平行的传递性：α∥βγ∥β?α∥γ；(4)利用线面垂直的性质：α⊥lβ⊥l?α∥β.4．应用面面平行的性质定理时，关键是找(或作)辅助线或平面，对此需要强调的是：(1)辅助线、辅助平面要作得有理有据，不能随意添加；(2)辅助面、辅助线具有的性质，一定要以某一性质定理为依据，不能主观臆断．5．注意线线平行、线面平行、面面平行间的相互转化线线平行判定定理性质定理线面平行判定定理性质定理面面平行．应用判定定理时，注意由“低维”到“高维”：“线线平行”?“线面平行”?“面面平行”；应用性质定理时，注意由“高维”到“低维”：“面面平行”?“线面平行”?“线线平行”．1．(2017华中科技大学附属中学月考)已知直线a∥b，且a与平面α相交，那么b与α的位置关系是() A．必相交B．平行或在平面内C．相交或平行D．相交或在平面内解：两条平行线中的一条与一个平面相交，则另一条也必定与该平面相交．故选A.2．(2017鞍钢高级中学月考)下列说法正确的是()A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥αB．若直线a在平面α外，则a∥αC．若直线a∥b，b?平面α，则a∥αD．若直线a∥b，b?平面α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线解：对于选项A，直线l有可能在平面α内，A错；对于选项B，直线a在平面α外包括两种情形，即a∥α或a与α相交，B错；对于选项C，直线a有可能在平面α内，C错．故选D.3. (2015·安徽)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是()A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面解：A项，α，β可能相交，故错误；B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m?α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n与已知m，n不平行矛盾，所以原命题正确，故D项正确．故选D.4．(2017大连市教育学院附属高中月考)已知α，β是不同的平面，m，n是不同的直线，给出下列命题：①若m⊥α，m?β，则α⊥β；②若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β；③若m?α，n?α，m，n是异面直线，则n与α相交；④若α∩β＝m，n∥m，且n?α，n?β，则n∥α，n∥β.其中真命题的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4解：①符合面面垂直的判定定理，正确；②只有m，n相交时成立，错误；③n与α相交或平行，故不成立；④符合直线与平面平行的判定定理，正确．故选B.5．(2017武汉市一冶四中月考)已知两条不同的直线a，b，两个不同的平面α，β，若a⊥α，b?β，则“a⊥b”是“α∥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：当α∥β时，因为a⊥α，所以a⊥β.又因为b?β，所以a⊥b，则“a⊥b”是“α∥β”的必要条件．当a⊥b时，由a⊥α，b?β，可得α∥β或α与β相交，则“a⊥b”不是“α∥β”的充分条件．故“a⊥b”是“α∥β”的必要不充分条件．故选B.6．(2016·全国卷Ⅰ)平面α过正方体ABCD -A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为()A.32B.22C.33D.13解：因为平面α∥平面CB1D1，所以平面α与平面ABCD的交线m平行于平面CB1D1与平面ABCD的交线l.因为在正方体中平面ABCD平行于平面A1B1C1D1，所以l∥B1D1，所以m∥B1D1.同理，n平行于平面CB1D1与平面ABB1A1的交线．因为平面ABB1A1∥平面CDD1C1，所以平面CB1D1与平面ABB1A1的交线平行于平面CB1D1与平面CDD1C1的交线CD1，所以n∥CD1.故m，n所成的角即为B1D1，CD1所成的角，显然所成的角为60°，则其正弦值为32.故选 A.7．设α，β，γ为三个不同的平面，a，b为直线，给出下列条件：①a?α，b?β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ；③α⊥γ，β⊥γ；④a⊥α，b⊥β，a∥b.其中能推出α∥β的条件是________(填上所有正确的序号)．解：在条件①或条件③中，α∥β或α与β相交．由α∥γ，β∥γ?α∥β，条件②满足．在④中，a⊥α，a∥b ?b⊥α，又b⊥β，从而α∥β，④满足．故填②④.8．棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P，Q，R分别是面A1B1C1D1，BCC1B1，ABB1A1的中心，给出下列结论：①PR与BQ是异面直线；②RQ⊥平面BCC1B1；③平面PQR∥平面D1AC；④过P，Q，R的平面截该正方体所得截面是边长为2的等边三角形．以上结论正确的是______．(写出所有正确结论的序号)解：由于PR是△A1BC1的中位线，所以PR∥BQ，故①不正确；由于RQ∥A1C1，而A1C1不垂直于面BCC1B1，所以②不正确；由于PR∥BC1∥D1A，PQ∥A1B∥D1C，所以③正确；由于△A1BC1是边长为2的正三角形，所以④正确．故填③④.9．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P，Q分别是DD1，CC1的中点．求证：(1)PO∥面D1BQ；(2)平面D1BQ∥平面P AO.证明：(1)连接DB，在△D1DB中，P，O分别是DD1，DB的中点，则PO∥D1B，又PO?面D1BQ，D1B?面D1BQ，所以PO∥面D1BQ.(2)易证四边形APQB是平行四边形，所以P A∥BQ.又PA?面D1BQ，BQ?面D1BQ，所以P A∥面D1BQ.又由(1)知PO∥面D1BQ，PO∩P A＝P，PO，P A?平面D1BQ，所以平面D1BQ∥平面PAO.10．(2015·四川)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N.(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)证明：直线MN∥平面BDH.解：(1)点F，G，H的位置如图所示．(2)证明：连接BD，设O为BD的中点，连接OM，OH.因为M，O分别是BC，BD的中点，所以OM∥CD，且OM＝12 CD，又HN∥CD，且HN＝12 CD，所以OM∥HN，OM＝HN.所以MNHO是平行四边形，从而MN∥OH.又MN?平面BDH，OH?平面BDH，所以MN∥平面BDH.11．(2017昌图县第一高级中学月考)已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，AD＝2BC，E，F分别为CC1，DD1的中点．求证：平面BEF∥平面AD1C1.证明：取AD的中点G，连接BG，FG，因为E，F分别为CC1，DD1的中点，所以C1D1∥CD∥EF，因为C1D1?平面AD1C1，EF?平面AD1C1，所以EF∥平面AD1C1.因为AD∥BC，AD＝2BC，所以GD BC，即四边形BCDG是平行四边形，所以BG DC，所以BG EF，即四边形EFGB是平行四边形，所以平面BEF即平面EFGB.因为F，G分别是DD1，AD的中点，所以FG∥AD1.因为AD1?平面AD1C1，FG?平面AD1C1，所以FG∥平面AD1C1.又FG?平面BEF，FE?平面BEF，FG∩EF＝F，所以平面BEF∥平面AD1C1.(2017武汉市武钢第四子弟中学月考)如图所示，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD＝2BC，EA⊥EB.专业文档珍贵文档(1)求直线EC 与平面ABE 所成角的余弦值；(2)线段EA 上是否存在点F ，使EC ∥平面FBD ？若存在，求出EF EA；若不存在，说明理由．解：(1)因为平面ABE ⊥平面ABCD ，且AB ⊥BC ，所以BC ⊥平面ABE ，则∠CEB 即为直线EC 与平面ABE 所成的角．设BC ＝a ，则AB ＝2a ，BE ＝2a ，所以CE ＝3a.所以cos ∠CEB ＝BE CE ＝63，即直线EC 与平面ABE 所成角的余弦值为63.(2)存在点F ，且EFEA ＝13时，有EC ∥平面FBD.证明如下：连接AC 交BD 于点M ，在AE 上取点F ，使EF EA ＝13，连接MF ，BF ，DF.因为AB ∥CD ，AB ＝2CD ，所以CMMA ＝CDAB ＝12，所以CMCA ＝13.因为EF EA ＝13，所以FM ∥EC.又EC?平面FBD ，FM ?平面FBD ，所以EC ∥平面FBD.即点F 满足EFEA ＝13时，有EC ∥平面FBD ．。
空间中的平行关系
/b
线的任一平面与此
定理
b
平面的 交线 与该
直线平行．
2．平面与平面平行
定理
文字语言
符号语言
图形语言
一个平面内的两
判定
条相交直线与另一
a ,b
a bP
/
/
定理 个平面平行，则这 a / / ,b / /
两个平面平行．
如果两个平行平 / /
性质
面同时和第三个
a
a
/
/b
定理 平面相交，那么它 b
即：线线平行 线面平行；
②证明经过这条直线的一个平面和这个平面平行，
即：面面平行 线面平行．
2．证明平面和平面平行的关键：在一个已知平面内“找出” 两条相交直线与另一平面平行．
们的 交线 平行．
精讲点拨
题型一：线线平行问题
【例 1】如图所示，四面体 ABCD 被一平面所截， 截面 EFGH 为平行四边形.求证： CD // GH .AEB NhomakorabeaG
D
F
H
C
题型二：线面平行问题
【例 2】如图在四棱锥 P ABCD 中， ABCD 是平行四边形， M , N 分别是 AB, PC 的中点，求证： MN // 平面 PAD .
P
N
D
C
AM
B
题型三：面面平行问题
例 3. 在 正 方 体 ABCD A1B1C1D1 中 ， M , N, P 分 别 为 CC1, B1C1,C1D1 的中点.求证：平面 MNP // 平面 A1BD .
D1 A1
P
C1
N
B1 M
D A
C B
【变式】正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，侧面对角 线 AB1、BC1 上分别有两点 E、F，且 B1E=C1F. 求证：EF∥平面 ABCD.
空间中的平行关系
空间中的平行关系一、基本知识点（Ⅰ）直线与平面平行 1．直线和平面的位置关系：（1）直线在平面内（无数个公共点）；符号表示为:a αØ，（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；符号表示为: a A α= ，（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类．符号表示为: //a α．2．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．推理模式：,,////l m l m l ααα⊄⇒Ø．3. 直线与平面平行证明方法：①证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；②证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行；③证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。
4 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．推理模式：//,,//l l m l m αβαβ=⇒ Ø．（Ⅱ）平面与平面平行1．平行平面：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行．2．图形表示：画两个平面平行时，通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成平行的．3．平行平面的判定定理： 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行．推理模式：：a β⊂，b β⊂，a b P = ，//a α，//b α//βα⇒． 平行平面的判定定理推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行．推理模式：,,,,,,//,////a b P a b a b P a b a a b b ααββαβ'''''''==⇒ 刎刎．4. 证明两平面平行的方法：（1）利用定义证明。
利用反证法，假设两平面不平行，则它们必相交，再导出矛盾。
（2）判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行，这个定理可简记为线面平行则面面平行。
第10讲 空间中平行关系的判定与性质
第24讲 空间中平行关系的判定与性质一.基础知识整合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a αb αa ∥α⎭⎪⎬⎪⎫a β，b βaα，bαa ∩b ＝Aa ∥β，b ∥β⇒α∥β⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa βα∩β＝b ⇒a ∥b题型一：线面平行的判定例1：如图，四边形ABCD ，ADEF 都是正方形，M ∈BD ，N ∈AE ，且BM ＝AN.求证：MN ∥平面CED .证明：如图，连接AM 并延长交CD 于点G ，连接GE ，因为AB ∥CD ，所以AM MG ＝BM MD .所以AM MG ＋AM ＝BM MD ＋BM，即AM AG ＝BM BD .又因为BD ＝AE且AN ＝BM ，所以AM AG ＝ANAE .所以MN ∥GE .又GE 平面CED ，MN平面CED ，所以MN ∥平面CED .变式迁移1：在四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 是平行四边形，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，求证：MN ∥平面PAD.证明：取PD 中点F ，连接AF 、NF 、NM .∵M 、N 分别为AB 、PC 的中点，∴NF 綊12CD ，AM綊12CD ，∴AM 綊NF .∴四边形AMNF 为平行四边形，∴MN ∥AF .又AF ⊂平面P AD ，MN ⊄平面P AD ，∴MN ∥平面P AD . 题型二：面面平行的判定例2：:已知四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形．点M 、N 、Q 分别在P A 、BD 、PD 上，且PM ∶MA ＝BN ∶ND ＝PQ ∶QD . 求证：平面MNQ ∥平面PBC .证明：∵PM ∶MA ＝BN ∶ND ＝PQ ∶QD ，∴MQ ∥AD ，NQ ∥BP .∵BP 平面PBC ，NQ 平面PBC ，∴NQ ∥平面PBC .又底面ABCD 为平行四边形，∴BC ∥AD ，∴MQ ∥BC .∵BC 平面PBC ，MQ 平面PBC ，∴MQ ∥平面PBC .又MQ ∩NQ ＝Q ，根据平面与平面平行的判定定理，得平面MNQ ∥平面PBC .变式训练2：如图在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别是CC 1、B 1C 1、C 1D 1的中点． 求证：平面MNP ∥平面A 1BD .证明：如图所示，连接B 1D 1，∵P 、N 分别是D 1C 1、B 1C 1的中点，∴PN ∥B 1D 1.又B 1D 1∥BD ，∴PN ∥BD ，又PN 平面A 1BD ，BD 平面A 1BD ，∴PN ∥平面A 1BD ，同理可得MN ∥平面A 1BD ，又∵MN ∩PN ＝N ，∴平面PMN ∥平面A 1BD .题型三：平行关系判定的综合应用例3：如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面P AO?解：Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面P AO .证明如下：设Q 为CC 1中点，则PD 綊QC ，连接PQ ，则由PQ 綊DC 綊AB ，可知四边形ABQP 是平行四边形，∴AP ∥BQ .∵AP 平面D 1BQ ，BQ 平面D 1BQ ，∴AP ∥平面D 1BQ .∵O 、P 分别为BD 、DD 1的中点，∴OP ∥BD 1.又OP 平面D 1BQ ，BD 1平面D 1BQ ，∴OP ∥平面D 1BQ .又AP ∩PO ＝P ，∴平面D 1BQ ∥平面P AO ，∴当点Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面P AO .变式训练3：如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为2，点E ，F 分别是棱CC 1，BB 1上的点，点M 是线段AC 上的点，EC ＝2FB ＝2.则当点M 在什么位置时，MB ∥平面AEF ？试给出证明． 解：当M 为AC 中点时，MB ∥平面AEF .证明：如图，当M 为AC 中点时，过M 作MG ∥CE ，交AE 于G ，连接GF .∵M 为AC 中点，∴MG 綊12CE .又FB ∥CE ，EC ＝2FB ，∴MG 綊FB .∴四边形BFGM为平行四边形，∴GF ∥MB .又GF 平面AEF ，MB 平面AEF ，所以MB ∥平面AEF .题型四：线面平行性质的应用例4：如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：AP ∥GH . 证明：如图所示，连接AC ，交BD 于O ，连接MO . ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴O 为AC 中点，又∵M 为PC 中点，∴AP ∥OM .又∵AP平面BDM ，OM 平面BDM ，∴AP ∥平面BDM ，又∵AP 平面APGH ，且平面APGH ∩平面BDM ＝GH ，∴AP ∥GH . 变式训练4：如图所示，已知异面直线AB ，CD 都平行于平面α，且AB ，CD 在α的两侧，若AC ，BD 与α分别交于M ，N 两点，求证：AM MC ＝BN ND.证明：如图所示，连接AD 交平面α于Q ，连接MQ 、NQ .MQ 、NQ 分别是平面ACD 、平面ABD 与α的交线．∵CD ∥α，AB ∥α，∴CD ∥MQ ，AB ∥NQ .于是AM MC ＝AQDQ ，DQ AQ ＝DN NB ，∴AM MC ＝BN ND . 题型五：面面平行性质的应用例5：已知：平面α∥平面β∥平面γ，两条异面直线l 、m 分别与平面α、β、γ相交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F .求证：AB BC ＝DEEF.证明：如图，连接DC ，设DC 与平面β相交于点G ，则平面ACD 与平面α、β分别相交于直线AD 、BG .平面DCF 与平面β、γ分别相交于直线GE 、CF . 因为α∥β，β∥γ，所以BG ∥AD ，GE ∥CF .于是在△ADC 内有AB BC ＝DG GC ，在△DCF 内有DG GC ＝DEEF.∴AB BC ＝DE EF.变式训练5：如图所示，设AB ，CD 为夹在两个平行平面α，β之间的线段，且直线AB ，CD 为异面直线，M ，P 分别为AB ，CD 的中点．求证：直线MP ∥平面β.证明：过点A 作AE ∥CD 交平面β于E ，连接DE ，BE ，∵AE ∥CD ，∴AE 、CD 确定一个平面，设为γ，则α∩γ＝AC ，β∩γ＝DE .由于α∥β，∴AC ∥DE (面面平行的性质定理)取AE 中点N ，连接NP ，MN ，∵M 、P 分别为AB 、CD 的中点，∴NP ∥DE ，MN ∥BE .又NPβ，DE β，MNβ，BE β，∴NP ∥β，MN ∥β.又NP ∩MN ＝N ，∴平面MNP ∥β.∵MP 平面MNP ，∴MP ∥β.题型六：平行关系性质的综合应用例6：如图，直线CD 、AB 分别平行于平面EFGH ，E 、F 、G 、H 分别在AC 、AD 、BD 、BC 上，且CD ＝a ，AB ＝b ，CD ⊥AB . (1)求证：四边形EFGH 是矩形；(2)点E 在AC 上的什么位置时，四边形EFGH 的面积最大？ 解：(1)因为CD ∥平面EFGH ，所以CD ∥EF ，CD ∥GH ，所以GH ∥EF . 同理EH ∥GF ，所以四边形EFGH 为平行四边形．又因为AB ⊥CD ，所以HE ⊥EF .所以四边形EFGH 是矩形．(2)设CE ＝x ，AC ＝1，因为HE ∥AB ，所以HE AB ＝CECA ，所以HE ＝xAB ＝xb .同理，EF ＝(1－x )DC ＝(1－x )a .所以S 矩形EFGH ＝HE ·EF ＝x (1－x )ab ＝[－(x －12)2＋14]ab ，当且仅当x ＝12时，S 矩形EFGH 最大，即当E 为AC中点时，四边形EFGH 的面积最大．变式训练6：如图所示，已知P 是▱ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，平面P AD ∩平面PBC ＝l . (1)求证：l ∥BC ；(2)MN 与平面P AD 是否平行？试证明你的结论．证明：(1)∵AD∥BC，AD平面PBC，BC平面PBC，∴AD∥平面PBC. 又∵平面PBC∩平面P AD＝l，∴l∥AD∥BC. (2)平行．证明如下：设Q是CD的中点，连接NQ，MQ，∵M，N分别是AB，PC的中点，∴MQ∥AD，NQ∥PD. 而MQ∩NQ＝Q，AD∩PD＝D，∴平面MNQ∥平面P AD. ∵MN平面MNQ，∴MN∥平面P AD.三．方法规律总结1．直线与平面平行的性质定理作为线线平行的依据，可以用来证明线线平行．1．直线与平面平行的关键是在已知平面内找一条直线和已知直线平行，即要证直线与平面平行，先证直线与直线平行．即由立体向平面转化，由高维向低维转化．2．证明面面平行时，要按“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的证明顺序进行．当题目中有多个平面平行时，要注意平行平面的传递性．两平面平行的判定定理的条件中直线相交很重要，而且在解题中常常被忽视．4．线线平行、线面平行、面面平行的转化关系四．课后练习作业一、选择题1．下列说法正确的是(B)A．平行于同一个平面的两条直线平行B．同时与两异面直线平行的平面有无数多个C．如果一条直线上有两点在一个平面外，则这条直线与这个平面平行D．直线l不在平面α内，则l∥α【解析】：A选项，若两直线相交且同时与此平面平行也是可以的；B选项，我们将异面直线都平移到空间中的某一点相交，则它们确定一个平面，与此平面平行的平面平行于这两条异面直线，显然这样的平面有无穷多个；C、D选项，若直线与平面相交，则直线有两点在平面外，直线也不在平面内，但l与α不平行．2．若M，N分别是△ABC边AB，AC的中点，MN与过直线BC的平面β的位置关系是(C) A．MN∥βB．MN与β相交或MNβC．MN∥β或MNβD．MN∥β或MN与β相交或MNβ【解析】:当平面β与平面ABC重合时，有MNβ；当平面β与平面ABC不重合时，则β∩平面ABC＝BC.∵M，N分别为AB，AC的中点，∴MN∥BC.又MNβ，BCβ，∴MN∥β.综上有MN∥β或MNβ.1．若α∥β，aα，下列三个说法中正确的是(D)①a与β内所有直线平行；②a与β内的无数条直线平行；③a与β无公共点．A．①②B．①③C．①D．②③【解析】a与平面β内的直线可能平行，也可能异面，但与β无公共点，故选B.2．下列说法正确的个数为(B)①两平面平行，夹在两平面间的平行线段相等；②两平面平行，夹在两平面间的相等的线段平行；③如果一条直线和两个平行平面中的一个平行，那么它和另一个平面也平行；④两平行直线被两平行平面截得的线段相等．A．1B．2C．3D．4【解析】易知①④正确，②不正确，③直线可能在平面内，故③不正确．3．如果AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是(A)A．平行B．相交C．AC在此平面内D．平行或相交【解析】如图：E、F、G分别为AB、BC、CD的中点．∵E、F分别是AB，BC的中点，∴EF∥AC.又EF平面EFG，且AC平面EFG.∴AC∥平面EFG.4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列四对截面中彼此平行的一对截面是(A)A．平面A1BC1和平面ACD1 B．平面BDC1和平面B1D1CC．平面B1D1D和平面BDA1D．平面ADC1和平面AD1C【解析】:如图，在截面A 1BC 1和截面AD 1C 中，⎭⎪⎬⎪⎫AC ∥A 1C 1AD 1∥BC1AC ∩AD 1＝AA 1C 1∩BC 1＝C 1⇒平面A 1BC 1∥平面ACD 1. 3．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是棱A 1D 1上的动点，则直线MD 与平面BCC 1B 1的位置关系是( A )A ．平行B ．相交C ．在平面内D ．相交或平行 【解析】⎭⎪⎬⎪⎫平面ADD 1A 1∥平面BCC 1B 1DM 平面ADD 1A 1⇒MD ∥平面BCC 1B 1.4．已知平面α∥β，P 是α、β外一点，过点P 的直线m 与α、β分别交于点A 、C ，过点P 的直线n 与α、β分别交于点B 、D ，且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为( B ) A ．16 B ．24或245C ．14D ．20【解析】第①种情况，当P 点在α、β的同侧时，设BD ＝x ，则PB ＝8－x ， ∴P A AC ＝PB BD .∴BD ＝245.第②种情况，当P 点在α，β中间时，设PB ＝x .∴PD PC ＝PB P A . ∴x ＝6×83＝16，∴BD ＝24.5．若不在同一直线上的三点A 、B 、C 到平面α的距离相等，且A ∉α，则( B ) A ．α∥平面ABC B ．△ABC 中至少有一边平行于α C ．△ABC 中至多有两边平行于α D ．△ABC 中只可能有一边与α相交 【解析】若三点在平面α的同侧，则α∥平面ABC ，有三边平行于α.若一点在平面α的一侧，另两点在平面α的另一侧，则有两边与平面α相交，有一边平行于α，故△ABC 中至少有一边平行于α.5．如图，在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、AD 上的点，且AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4，又H 、G 分别为BC 、CD 的中点，则( B ) A ．BD ∥平面EFGH ，且四边形EFGH 是矩形 B ．EF ∥平面BCD ，且四边形EFGH 是梯形 C ．HG ∥平面ABD ，且四边形EFGH 是菱形 D ．EH ∥平面ADC ，且四边形EFGH 是梯形【解析】:∵AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4，∴EF ∥BD 且EF ＝15BD .又H 、G 分别为BC 、CD 的中点，∴HG 綊12BD .∴EF ∥HG 且EF ≠HG .∴四边形EFGH 为梯形．∵BD 平面BCD 且EF 平面BCD .∴EF ∥平面BCD . 二、填空题6．如图所示，在空间四边形ABCD 中，M ∈AB ，N ∈AD ，若AM MB ＝ANND ，则MN 与平面BDC的位置关系是________．【解析】:∵AM MB ＝ANND ，∴MN ∥BD .又∵MN 平面BDC ，BD 平面BDC ，∴MN ∥平面BDC .【答案】 平行7．已知a 、b 、c 为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合平面，下面三个命题：①a ∥c ，b ∥c ⇒a ∥b ；②γ∥α，β∥α⇒γ∥β；③a ∥γ，α∥γ⇒a ∥α.其中正确命题的序号是________．【解析】由平行公理，知①正确；由平面平行的传递性知②正确；③不正确，因为a 可能在α内．【答案】 ①②8．在空间四边形P ABC 中，A 1、B 1、C 1分别是△PBC 、△PCA 、△P AB 的重心，则平面ABC 与平面A 1B 1C 1的位置关系是________．【解析】如图，连接PC 1，P A 1，并延长分别交AB ，BC 于E 、F 两点，由于C 1、A 1分别为重心．∴E 、F 分别为AB 、BC 的中点，连接EF .又∵PC 1C 1E ＝P A 1A 1F ＝2.∴A 1C 1∥EF .又∵EF 为△ABC边AC 上的中位线，∴EF ∥AC ，∴AC ∥A1C 1，又A 1C 1平面ABC ，AC 平面ABC ，∴A 1C 1∥平面ABC ，同理A 1B 1∥平面ABC ，A 1B 1∩A 1C 1＝A 1，∴平面A 1B 1C 1∥平面ABC .【答案】 平行7．空间四边形ABCD 中，对角线AC ＝BD ＝4，E 是AB 中点，过E 与AC 、BD 都平行的截面EFGH 分别与BC 、CD 、DA 交于F 、G 、H ，则四边形EFGH 的周长为________．【解析】∵AC ∥面EFGH ，AC 面ABC ，面ABC ∩面EFGH ＝EF ，∴AC ∥EF .∵E 为AB 中点，∴F 为BC 中点，∴EF ＝12AC ＝2.同理HG ＝12AC ＝2，EH ＝FG ＝12BD ＝2.∴四边形EFGH 的周长为8.【答案】 88．如图，平面α∥平面β，△ABC 与△A ′B ′C ′分别在α、β内，线段AA ′、BB ′、CC ′都交于点O ，点O 在α、β之间，若S △ABC ＝32，OA ∶OA ′＝3∶2，则△A ′B ′C ′的面积为________．【解析】根据题意有S △ABC ＝32.∵AA ′、BB ′相交，∴直线AA ′、BB ′确定一个平面ABA ′B ′，∵平面α∥平面β，∴AB ∥A ′B ′，易得△ABO ∽△A ′B ′O ，①△ABC ∽△A ′B ′C ′，②由①得AB A ′B ′＝OA OA ′＝32，由②得S △ABCS △A ′B ′C ′＝(32)2，∴S △A ′B ′C ′＝239.【答案】 239三、解答题9．在三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，点E ，D 分别是B ′C ′与BC 的中点．求证：平面A ′EB ∥平面ADC ′.证明:连接DE ，∵E ，D 分别是B ′C ′与BC 的中点，∴DE 綊AA ′，∴AA ′ED 是平行四边形，∴A ′E ∥AD .∵A ′E 平面ADC ′，AD 平面ADC ′.∴A ′E ∥平面ADC ′.又BE ∥DC ′，BE 平面ADC ′，DC ′平面ADC ′，∴BE ∥平面ADC ′，∵A ′E 平面A ′EB ，BE 平面A ′EB ，A ′E ∩BE ＝E ，∴平面A ′EB ∥平面ADC ′.10．如图，在直四棱柱ABCD －A1B 1C 1D 1中，底面是梯形，AB ∥CD ，CD ＝2AB ，P 、Q 分别是CC 1、C 1D 1的中点，求证：面AD 1C ∥面BPQ .证明:∵D 1Q ＝12DC ，AB 綊12CD ，∴D 1Q 綊AB .∴四边形D 1QBA 为平行四边形，∴D 1A 綊QB .∵Q 、P 分别为D 1C 1、C 1C 的中点，∴QP ∥D 1C . ∵D 1C ∩D 1A ＝D 1，PQ ∩QB ＝Q .∴面AD 1C ∥面BPQ .11．如图，E ，F ，G ，H 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱BC ，CC 1，C 1D 1，AA 1的中点，求证：(1)GE ∥平面BB 1D 1D ；(2)平面BDF ∥平面B 1D 1H .证明:(1)取B 1D 1中点O ，连接GO ，OB ，易证OG ∥B 1C 1，且OG ＝12B 1C 1，BE∥B 1C 1，且BE ＝12B 1C 1，∴OG ∥BE 且OG ＝BE ，四边形BEGO 为平行四边形，∴OB ∥GE .∵OB平面BDD 1B 1，GE 平面BDD 1B 1，∴GE ∥平面BDD 1B 1.(2)由正方体性质得B 1D 1∥BD ，∵B 1D 1平面BDF ，BD 平面BDF ，∴B 1D 1∥平面BDF ，连接HB ，D 1F ，易证HBFD 1是平行四边形，得HD 1∥BF .∵HD 1平面BDF ，BF 平面BDF ，∴HD1∥平面BDF ，∵B 1D 1∩HD 1＝D 1，∴平面BDF ∥平面B 1D 1H .9．如图，棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形，设D 是A 1C 1上的点且A 1B ∥平面B 1CD ，求A 1D ∶DC 1的值．解:设BC 1交B 1C 于点E ，连接DE ，则DE 是平面A 1BC 1与平面B 1CD 的交线．∵A 1B ∥平面B 1CD ，且A 1B 平面A 1BC 1，∴A 1B ∥DE .又E 是BC 1的中点，所以D 为A 1C 1的中点，即A 1D ∶DC 1＝1.10．如图，直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是梯形，AB ∥CD ，AD ⊥DC ，CD ＝2，DD 1＝AB ＝1，P ，Q 分别是CC 1，C 1D 1的中点． 求证：AC ∥平面BPQ .证明:连接CD 1，AD 1∵P ，Q 分别是CC 1，C 1D 1的中点，∴PQ ∥CD 1，且CD 1平面BPQ ，∴CD 1∥平面BPQ .又D 1Q ＝AB ＝1，D 1Q ∥AB ，∴四边形ABQD 1是平行四边形，∴AD 1∥BQ ，又∵AD 1平面BPQ ， ∴AD 1∥平面BPQ 又AD 1∩CD 1＝D 1.∴平面ACD 1∥平面BPQ . ∵AC 平面ACD 1，∴AC ∥平面BPQ .11．如图，四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，E 是SA 上一点，试探求点E 的位置，使SC ∥平面EBD ，并证明．解:点E 的位置是棱SA 的中点．证明如下：如题图，取SA 的中点E ，连接EB ，ED ，AC ，设AC 与BD 的交点为O ，连接EO .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴点O 是AC 的中点．又E 是SA 的中点，∴OE 是△SAC 的中位线．∴OE ∥SC .∵SC 平面EBD ，OE 平面EBD ，∴SC ∥平面EBD . 则平面MNE ∥平面P AD .又∵MN 平面P AD ，且MN 平面MNE ，∴MN ∥平面P AD .。
空间中的平行关系
D B
C
例 已知P为△ABC所在平面外一点，G1 、 G2 、G3 分别是△PAB、△PCB、△PAC的重 心． (1)求证：平面G1G2G3∥平面ABC； (2)求S△G1G2G3∶S△ABC.
【解答】 (1)如图38－9所示，连接PG1、PG2、PG3并延长 分别与边AB、BC、AC交于点D、E、F，连接DE、EF、FD.
由上知面EFG∥面 BDC1 OC1 面BDC1
D1
C1 返回 B1
O
C
A
B
OC1 ∥面EFG
面∥面
线∥面
变形3:如图,在正 方体ABCDA1 A1B1C1D1 中， E,F,M,N分别为 A1B1,A1D1, B1C1, C1D1 的中点 A 求证：面AEF∥面BDMN
D1
F
E
N M
C1 返回 B1
集合符号表示
A ．
B ．
α
A l , B l , 且A , B l
作用：为判断直线与平面的位置关系提供依据
平面的基本性质
思考2：经过两点可以确定一条直线， 那么经过几个点可以确定一个平面呢？
基本性质2 经过不在同一条直线上的三点,有且只有 一个平面. “不共线的三点确定一个平面”
c d
两个平面平行的性质
如果两个平面平行，那么其中一个平面内 的直线平行于另一个平面．
a
// , a a //
两个平面平行的性质定理 定理：如果两个平行平面同时和第三个平 面相交，那么它们的交线平行．
// 即： a a // b b
二层楼房示意图
一、两个平面的位置关系
两个平面的位置关系只有两种 ①两个平面平行——没有公共点 ②两个平面相交——有一条公共直线．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第十讲—空间中的平行关系一．课标要求：1．平面的基本性质与推论借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理：◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内；◆公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；◆公理4：平行于同一条直线的两条直线平行；◆定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
2．空间中的平行关系以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。
通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理：◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明：◆一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行；◆两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行；◆垂直于同一个平面的两条直线平行能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。
二．命题走向立体几何在高考中占据重要的地位，通过近几年的高考情况分析，考察的重点及难点稳定，高考始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的性质和判定作为考察重点。
在难度上也始终以中等偏难为主，在新课标教材中将立体几何要求进行了降低，重点在对图形及几何体的认识上，实现平面到空间的转化，示知识深化和拓展的重点，因而在这部分知识点上命题，将是重中之重。
预测2010年高考将以多面体为载体直接考察线面位置关系：（1）考题将会出现一个选择题、一个填空题和一个解答题；（2）在考题上的特点为：热点问题为平面的基本性质，考察线线、线面和面面关系的论证，此类题目将以客观题和解答题的第一步为主。
三．要点精讲1．平面概述（1）平面的两个特征：①无限延展②平的（没有厚度）（2）平面的画法：通常画平行四边形来表示平面（3）平面的表示：用一个小写的希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β；用表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面AC。
2．三公理三推论:公理1：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内： A l ∈,B l ∈,A α∈,B α∈⇒α⊂l公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。
公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。
推论一：经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。
推论二：经过两条相交直线,有且只有一个平面。
推论三：经过两条平行直线,有且只有一个平面。
3．空间直线:（1）空间两条直线的位置关系：相交直线——有且仅有一个公共点； 平行直线——在同一平面内，没有公共点；异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点。
相交直线和平行直线也称为共面直线。
异面直线的画法常用的有下列三种：（2）平行直线：在平面几何中，平行于同一条直线的两条直线互相平行，这个结论在空间也是成立的。
即公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
（3）异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。
推理模式：,,,A B a B a ααα∉∈⊂∉⇒A B 与a 是异面直线。
4．直线和平面的位置关系（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类。
α，a A α= ，//a α。
aαaαa ba bαα线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
推理模式：,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒．线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
推理模式：//,,//a a b a b αβαβ⊂=⇒ ．5．两个平面的位置关系有两种：两平面相交（有一条公共直线）、两平面平行（没有公共点）（1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行。
定理的模式：//////a b a b P a b ββαβαα⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行。
推论模式：,,,,,,//,////a b P a b a b P a b a a b b ααββαβ'''''''=⊂⊂=⊂⊂⇒ （2）两个平面平行的性质（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面；（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
四．典例解析题型1：共线、共点和共面问题例1．（1）如图所示，平面ABD 平面BCD ＝直线BD ，M 、N 、P 、Q 分别为线段AB 、BC 、CD 、DA 上的点，四边形MNPQ 是以PN 、QM 为腰的梯形。
abβα试证明三直线BD 、MQ 、NP 共点。
证明：∵ 四边形MNPQ 是梯形，且MQ 、NP 是腰， ∴直线MQ 、NP 必相交于某一点O 。
∵ O ∈直线MQ ；直线MQ ⊂平面ABD ， ∴ O ∈平面ABD 。
同理，O ∈平面BCD ，又两平面ABD 、BCD 的交线为BD ， 故由公理二知，O ∈直线BD ，从而三直线BD 、MQ 、NP 共点。
点评：由已知条件，直线MQ 、NP 必相交于一点O ，因此，问题转化为求证点O 在直线BD 上，由公理二，就是要寻找两个平面，使直线BD 是这两个平面的交线，同时点O 是这两个平面的公共点即可．“三点共线”及“三线共点”的问题都可以转化为证明“点在直线上”的问题。
（2）如图所示，在四边形ABCD 中，已知AB ∥CD ，直线AB ，BC ，AD ，DC 分别与平面α相交于点E ，G ，H ，F ．求证：E ，F ，G ，H 四点必定共线。
证明：∵AB ∥CD ，∴AB ，CD 确定一个平面β．又∵AB α＝E ，AB ⊂β，∴E ∈α，E ∈β， 即E 为平面α与β的一个公共点。
同理可证F ，G ，H 均为平面α与β的公共点．∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线， ∴E ，F ，G ，H 四点必定共线。
点评：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，常运用公理2，即先证明这些点都是某二平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论。
α D C B AEFH例2．已知：a ，b ，c ，d 是不共点且两两相交的四条直线，求证：a ，b ，c ，d 共面。
证明：1o 若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a ，b ，c 相交于一点A ， 但A ∉d ，如图1所示：∴直线d 和A 确定一个平面α。
又设直线d 与a ，b ，c 分别相交于E ，F ，G ， 则A ，E ，F ，G ∈α。
∵A ，E ∈α，A ，E ∈a ，∴a ⊂α。
同理可证b ⊂α，c ⊂α。
∴a ，b ，c ，d 在同一平面α内。
2o当四条直线中任何三条都不共点时， 如图2所示：∵这四条直线两两相交，则设相交直线a ，b 确定一个平面α。
设直线c 与a ，b 分别交于点H ，K ，则H ，K ∈α。
又 H ，K ∈c ，∴c ⊂α。
同理可证d ⊂α。
∴a ，b ，c ，d 四条直线在同一平面α内．点评：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先根据公理3或推论，由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再根据公理1证明其余的线(或点)均在这个平面内。
本题最容易忽视“三线共点”这一种情况。
因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义。
题型2：异面直线的判定与应用例3．已知：如图所示，α β ＝a ，b ⊂β ，a b ＝A ，c ⊂α ，c ∥a 。
求证直线b 、c 为异面直线。
αb adcG F EAa bcd α H K 图1图2证法一：假设b、c共面于γ．由A∈a，a∥c知，A∉c，而a b＝A，α β＝a，∴A∈γ，A∈α。
又c⊂α，∴γ、α都经过直线c及其外的一点A，∴γ与α重合，于是a⊂γ，又b⊂β。
又γ、β都经过两相交直线a、b，从而γ 、β重合。
∴α、β、γ为同一平面，这与α β＝a矛盾。
∴b、c为异面直线．证法二：假设b、c共面，则b，c相交或平行。
（1）若b∥c，又a∥c，则由公理4知a∥b，这与a b＝A矛盾。
（2）若b c＝P，已知b⊂β，c⊂α，则P是α、β的公共点，由公理2，P∈a，又b c＝P，即P∈c，故a c＝P，这与a∥c矛盾。
综合（1）、（2）可知，b、c为异面直线。
证法三：∵α β＝a，a b＝A，∴A∈a。
∵a∥c，∴A∉c，在直线b上任取一点P（P异于A），则P∉α（否则b⊂α，又a⊂α，则α、β都经过两相交直线a、b，则α、β重合，与α β＝a矛盾）。
又c⊂α，于是根据“过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线”知，b、c为异面直线。
点评：证明两直线为异面直线的思路主要有两条：一是利用反证法；二是利用结论“过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线．。
异面直线又有两条途径：其一是直接假设b、c共面而产生矛盾；其二是假设b、c平行与相交；分别产生矛盾。
判定直线异面，若为解答题，则用得最多的是证法一、二的思路；若为选择或填空题，则往往都是用证法三的思路。
用反证法证题，一般可归纳为四个步骤：（1）否定结论；（2）进行推理；（3）导出矛盾；（4）肯定结论．宜用反证法证明的命题往往是（1）基本定理或某一知识系统的初始阶段的命题（如立体几何中的线面、面面平行的判定定量的证明等）；（2）肯定或否定型的命题（如结论中出现“必有”、“必不存在”等一类命题）；（3）唯一型的命题（如“图形唯一”、“方程解唯一”等一类命题）；（4）正面情况较为繁多，而结论的反面却只有一两种情况的一类命题；（5）结论中出现“至多”、“不多于”等一类命题。
例4．（1）已知异面直线a,b所成的角为700，则过空间一定点O，与两条异面直线a,b 都成600角的直线有( )条A．1 B．2 C．3 D．4（2）异面直线a,b所成的角为θ,空间中有一定点O，过点O有3条直线与a,b所成角都是600，则θ的取值可能是（）A．300 B．500 C．600 D．900解析：（1）过空间一点O分别作a'∥a,b'∥b。