电磁场与电磁波第一章复习
电磁场与电磁波公式总结
电磁场与电磁波复习第一部分 知识点归纳 第一章 矢量分析1、三种常用的坐标系 （1）直角坐标系微分线元：dz a dy a dx a R d z y x →→→→++= 面积元：⎪⎩⎪⎨⎧===dxdy dS dxdz dS dydzdS zyx ，体积元：dxdydz d =τ（2）柱坐标系长度元：⎪⎩⎪⎨⎧===dz dl rd dl drdl z r ϕϕ，面积元⎪⎩⎪⎨⎧======rdrdzdl dl dS drdz dl dl dS dz rd dl dl dS z zz r z r ϕϕϕϕ，体积元：dz rdrd d ϕτ=（3）球坐标系长度元：⎪⎩⎪⎨⎧===ϕθθϕθd r dl rd dl drdl r sin ，面积元：⎪⎩⎪⎨⎧======θϕθϕθθθϕϕθθϕrdrd dl dl dS drd r dl dl dS d d r dl dl dS r r r sin sin 2，体积元：ϕθθτd drd r d sin 2=2、三种坐标系的坐标变量之间的关系 （1）直角坐标系与柱坐标系的关系⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=⎪⎩⎪⎨⎧===z z x y yx r z z r y r x arctan,sin cos 22ϕϕϕ （2）直角坐标系与球坐标系的关系⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=⎪⎩⎪⎨⎧===z yz y x z z y x r r z r y r x arctan arccos ,cos sin sin cos sin 222222ϕθθϕθϕθ （3）柱坐标系与球坐标系的关系⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=⎪⎩⎪⎨⎧===ϕϕθθϕϕθ22'22''arccos ,cos sin z r z zr r r z r r 3、梯度（1）直角坐标系中：za y a x a grad z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇=→→→μμμμμ（2）柱坐标系中：za r a r a grad z r ∂∂+∂∂+∂∂=∇=→→→μϕμμμμϕ1（3）球坐标系中：ϕμθθμμμμϕθ∂∂+∂∂+∂∂=∇=→→→sin 11r a r a r a grad r4.散度（1）直角坐标系中：zA y A x A A div zy X ∂∂+∂∂+∂∂=→（2）柱坐标系中：zA A r rA r r A div zr ∂∂+∂∂+∂∂=→ϕϕ1)(1 （3）球坐标系中：ϕθθθθϕθ∂∂+∂∂+∂∂=→A r A r A r rr A div r sin 1)(sin sin 1)(122 5、高斯散度定理：⎰⎰⎰→→→→=⋅∇=⋅ττττd A div d A S d A S，意义为：任意矢量场→A 的散度在场中任意体积内的体积分等于矢量场→A 在限定该体积的闭合面上的通量。
电磁场与电磁波期末复习知识点归纳
自由空间
0
1
36 109
F
/m
0 4 107 H / m
得自由空间中电磁波的速度
v c 3108m / s
★ 理想介质中的均匀平面波的传播特点为：
● 电场和磁场在空间相互垂直且都垂直于传播方向。E、H、en
（波的传播方向）呈右手螺旋关系，是横电磁波（TEM波）；
电力线起始于正电荷，终止于负电荷。
2、 B磁场0 没有散度源。磁场是无散场。磁力线是无头无
尾的闭合。磁通连续性原理表明时变场中无磁荷存在。 3、 E 变化B的磁场是涡旋电场的旋涡源。与电荷产生的
t
无旋电场不同，涡旋电场是有旋场，其电力线是无头无尾的闭 合曲线，并与磁力线相交链。
第一章 矢量分析
标量场:梯度描述
静态场(稳态场):不随t变
场
场 矢量场:散度和旋度描述 时变场：随t变化
单位矢量：模为1的矢量
与矢量 A同方向的单位矢量：
eA
Aˆ
A A
A eAA
坐标单位矢量：与坐标轴正向同方向的单位矢量
如：ex
ey
ez或者xˆ
yˆ
zˆ
A Axex Ayey Azez
x
E
H
z
y
均匀平面波
无界理想介质中的均匀平面波
周期: T 2
频率: f 1 T 2
2 →波长
k
k 2 →波数（2内包含的波长数）
相速 v 1 k
k
注意，电磁波的相速有时可以超过光速。因此，相速不一定代表 能量传播速度。定义群速：包络波上一恒定相位点 推进的速度。
电磁场与电磁波第一章
在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下：
z y
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A B ( Ax ax Ay ay Az az ) (Bx ax By ay Bz az )
x ˆ ˆ ˆ ( Ay Bz Az By )ax ( Az Bx Ax Bz )ay ( Ax By Ay Bx )az
（2）矢量与矢量乘积分两种定义 a. 标量积（点积）：
AB | A | | B | cos
B
A
两矢量的点积含义： 一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积， 其结果是一标量。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
推论1：满足交换律 推论2：满足分配律
A BA B
1 ˆ ˆ ˆ ˆ an (3ax 2a y 6az ) 7
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
例3： 已知点A和B对于原点的位置矢量为
a
z
a
和b，
求：通过A和B点的直线方程。
解：在通过A和B点的直线方程上，
A
c
任取一点C，对于原点的位置
矢量为
，则 c
C
b
B
c a k (b a )
A
推论2：服从分配律： A ( B C ) A B A C
推论3：不服从结合律： A ( B C ) ( A B) C
推论4：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
ˆ ˆ ˆ 解： 3ax 2ay 5az ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ a(2ax ay az ) b(ax 3ay 2az ) c(2ax ay 3az )
电磁场与电磁波第一章复习题练习答案
电子信息学院电磁场与电磁波第一章复习题练习姓名学号班级分数1-7题，每题5分；8-15题，每题5分，16题10分，17题15分。
8:解：不总等于，讨论合理即可9. 已知直角坐标系中的点P1(-3，1，4)和P2（2，-2,3）：(1)在直角坐标系中写出点P1、P2的位置矢量r1和r2；(2)求点P1到P2的距离矢量的大小和方向；(3)求矢量r1在r2的投影；解：（1）r1=-3a x+a y+4a z;r2=2a x-2a y+3a z(2)R=5a x-3a y-a z(3) [（r1•r2）/ │r2│] =（17）½10.用球坐标表示的场E=a r 25/r2，求：（1）在直角坐标系中的点（-3,4，-5）处的|E|和E z；（2）E与矢量B=2a x-2a y+a z之间的夹角。
解：（1）0.5；2½/4;(2)153.611.试计算∮s r·d S的值，式中的闭合曲面S是以原点为顶点的单位立方体，r为空间任一点的位置矢量。
解：学习指导书第13页12.从P（0,0,0）到Q（1,1,0）计算∫cA·d l，其中矢量场A的表达式为A=ax 4x-ay14y2.曲线C沿下列路径：（1） x=t，y=t2；（2）从（0,0,0）沿x轴到（1,0,0），再沿x=1到（1,1,0）；（3）此矢量场为保守场吗？解：学习指导书第14页13.求矢量场A =a x yz+a y xz+a z xy 的旋度。
A ∇⨯=x a （x -x ）+y a （y -y ）+z a （z -z ）=0 14.求标量场u=4x 2y+y 2z-4xz 的梯度。
u ∇=x a u x ∂∂+y a u y ∂∂+z a u z ∂∂=x a (8xy-4z)+y a (42x +2yz)+z a (2y -4x)15.求矢量场A =a x x 2y+a y yz+a z 3z 2在点P （1,1,0）的散度。
电磁场与电磁波课程主要知识点总复习
第1章 三种坐标系与场
概念：
| lim u
u u cos u cos u cos
l M0 l0 l x
y
z
Байду номын сангаас
2. 标量场的梯度
3. 矢量场的通量
d S F dS S F endS
F(x, y, z)
en
dS
面积元矢量
电磁场与电磁波
第1章 三种坐标系与场
4. 矢量场的散度
divF lim S F (x, y, z) dS
(1)式称为真空中的高斯定律。它表明在闭合面S的的通量 就等于闭合曲面S所包含自由电荷的总量。
(2)式称为静电系统的守恒定理，说明静电场是一种守恒性 的矢量场---保守场
电磁场与电磁波
第1章 三种坐标系与场
作用：
（1）已知 时根据高斯定理积分方程，求
（2）已知两微分方程，根据亥姆霍兹定理，在给定矢量场的散 度方程与旋度方程确定的条件下，该静电场唯一地确定。
IP R
R x
I
图2 磁介质1的镜 像线电流
2 h 2
z
I I R
x
P
图3 磁介质2 的镜像线电流
电磁场与电磁波
第1章 三种坐标系与场
1、法拉第电磁感应定律
2、位移电流
电磁场与电磁波
第1章 三种坐标系与场
32
3、 麦克斯韦方程组
磁场沿任意闭合回路的环流 ，等于穿过该闭合回路C包 围的任意曲面S的传导电流 与位移电流之和。
第1章 三种坐标系与场 静电场（ 区域） 恒定电场（电源外）
本构关系 位函数
边界条件
电磁场与电磁波
第1章 三种坐标系与场
第五章恒定磁场分析
电磁场与电磁波复习重点
梯度: 高斯定理:A d S ，电磁场与电磁波知识点要求第一章矢量分析和场论基础1理解标量场与矢量场的概念；场是描述物理量在空间区域的分布和变化规律的函数。
2、理解矢量场的散度和旋度、标量场的梯度的概念，熟练掌握散度、旋度和梯度的计算公 式和方法(限直角坐标系)。
:u；u；u e xe ye z ，-X；y: z物理意义：梯度的方向是标量u 随空间坐标变化最快的方向;梯度的大小：表示标量 u 的空间变化率的最大值。
散度：单位空间体积中的的通量源，有时也简称为源通量密度,旋度：其数值为某点的环流量面密度的最大值， 其方向为取得环量密度最大值时面积元的法 线方向。
斯托克斯定理：■ ■(S?AdS|L )A d l数学恒等式：' Cu )=o ,「c A )=o3、理解亥姆霍兹定理的重要意义：a时，n =3600/ a , n为整数，则需镜像电荷XY平面, r r r.S(—x,y ,z)-q ■严S(-x , -y ,z)S(x F q R 1qS(x；-y ,z )P(x,y,z)若矢量场A在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，源分布在有限区域中，则矢量场由其散度和旋度唯一地确定，并且矢量场A可表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和。
A八F u第二、三、四章电磁场基本理论Q1、理解静电场与电位的关系，u= .E d l，E(r)=-V u(r)P2、理解静电场的通量和散度的意义，「s D d S「V "v dV \ D=，VE d l 二0 ' ' E= 0静电场是有散无旋场，电荷分布是静电场的散度源。
3、理解静电场边值问题的唯一性定理，能用平面镜像法解简单问题;唯一性定理表明：对任意的静电场，当电荷分布和求解区域边界上的边界条件确定时，空间区域的场分布就唯一地确定的镜像法：利用唯一性定理解静电场的间接方法。
关键在于在求解区域之外寻找虚拟电荷，使求解区域内的实际电荷与虚拟电荷共同产生的场满足实际边界上复杂的电荷分布或电位边界条件，又能满足求解区域内的微分方程。
《电磁场与电磁波》复习纲要(含答案)
S
第二类边值问题（纽曼问题） 已知场域边界面上的位函数的法向导数值，即 第三类边值问题（混合边值问题） 知位函数的法向导数值，即
|S f 2 ( S ) n
已知场域一部分边界面上的位函数值，而其余边界面上则已
|S1 f1 ( S1 )、 | f (S ) S 2 2 n 2
线处有无限长的线电流 I，圆柱外是空气（µ0 ），试求圆柱内 外的 B 、 H 和 M 的分布。 解：应用安培环路定理，得 H C dl 2 H I I H e 0 磁场强度 2π I e 0 a 2 π 磁感应强度 B I e 0 a 2 π 0 I B e 2π M H 磁化强度 0 0 0
C
F dl F dS
S
5、无旋场和无散场概念。 旋度表示场中各点的场量与旋涡源的关系。 矢量场所在空间里的场量的旋度处处等于零，称该场为无旋场（或保守场） 散度表示场中各点的场量与通量源的关系。 矢量场所在空间里的场量的散度处处等于零，称该场为无散场（或管形场） 。 6、理解格林定理和亥姆霍兹定理的物理意义 格林定理反映了两种标量场 （区域 V 中的场与边界 S 上的场之间的关系） 之间满足的关系。 因此，如果已知其中一种场的分布，即可利用格林定理求解另一种场的分布 在无界空间，矢量场由其散度及旋度唯一确定 在有界空间，矢量场由其散度、旋度及其边界条件唯一确定。 第二章 电磁现象的普遍规律 1、 电流连续性方程的微分形式。
D H J t B E t B 0 D
D ) dS C H dl S ( J t B E dl dS S t C SB dS 0 D dS ρdV V S
电磁场与电磁波-第1章
z o x
v v ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A × B = ( Ax ax + Ay a y + Az az ) × ( Bx ax + By a y + Bz az )
y
ˆ ˆ ˆ = ( Ay Bz − Az By )ax + ( Az Bx − Ax Bz )a y + ( Ax By − Ay Bx )az
第1章 矢量分析
主要内容 矢量代数、常用坐标系、 梯度、散度、旋度、亥姆量
标量：只有大小而没有方向的物理量。如温度、高度、时间等。 标量：只有大小而没有方向的物理量。如温度、高度、时间等。 矢量：不但有大小而且有方向的物理量。如力、速度、电场强度等。 矢量：不但有大小而且有方向的物理量。如力、速度、电场强度等。 矢量的数学符号用黑斜体字母表示，如A、B、E，或斜体字母上 矢量的数学符号用黑斜体字母表示， 黑斜体字母表示
两矢量的叉积又可表示为： 两矢量的叉积又可表示为：
ˆ ax v v A × B = Ax Bx
ˆ ay Ay By
ˆ az Az Bz
2、矢量运算法则
（3）乘法: 乘法: 乘法 ③ 三重积 三个矢量相乘有以下几种形式： 三个矢量相乘有以下几种形式：
v v v ( A ⋅ B)C
矢量，标量与矢量相乘。 矢量，标量与矢量相乘。
v v v v v v v v b.满足结合律 满足结合律： b.满足结合律： ( A + B ) + (C + D) = ( A + C ) + ( B + D)
矢量加法是几个矢量合成问题，反之， 矢量加法是几个矢量合成问题，反之，一个矢量也可分解为几个矢量
2、矢量运算法则
电磁场与电磁波理论第1章
1-2
《电磁场与电磁波理论》
基本要求
第1章 矢量分析与场论
◘ 掌握矢量和场的基本概念； ◘ 掌握矢量的代数运算和场量的梯度、散度、旋度
以及拉普拉斯运算； ◘ 了解矢量分析过程中所需的恒等式和基本定理.
1-3
《电磁场与电磁波理论》
三种常用的正交坐标系
第1章 矢量分析与场论
直角坐标系 圆柱坐标系 球面坐标系 几点说明
第1章 矢量分析与场论
矢量与矢量的表示法 矢量的代数运算
1-10
《电磁场与电磁波理论》
矢量与矢量的表示法
第1章 矢量分析与场论
1. 矢量与单位矢量 2. 矢量表示法 3. 位置矢量与距离矢量
1-11
《电磁场与电磁波理论》
1.矢量与单位矢量
第1章 矢量分析与场论
♥ 矢量——在三维空间中的一根有方向的线段. ♥ 该线段的长度 代表该矢量的模, ♥ 该线段的方向 代表该矢量的方向
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
第1章 矢量分析与场论
主要内容
基本要求
三种常用的正交坐标系
物理量的分类
1.1 矢量的代数运算 1.2 场的微分运算 1.3 矢量的恒等式和基本定理 1.4 常用正交曲线坐标系
1-1
《电磁场与电磁波理论》
主要内容
第1章 矢量分析与场论
电磁理论的一个重要的概念就是关于场的概念.此外, 有很多物理量都是矢量,一些用来描述电磁现象基本规律 的方程也都是矢量函数的微分方程或积分方程.因此,矢 量分析和场论是电磁理论的重要的数学基础.本章仅讨论 在电磁理论中所需要的矢量分析与场论中的基本内容,包 括矢量的基本代数运算和场量的梯度、散度、旋度和拉 普拉斯运算以及矢量场的恒等式和基本定理.最后,还给 出了三种常用坐标系及其梯度、散度、旋度等算子在这 三种坐标系中的表示式.
电磁场与电磁波复习提要
6
三、掌握镜像法的应用
1．点电荷与无限大导体平面（包括求电位分布、表面感 应电荷密度、电荷所受力
(x,
y,
z)
Q 40
1
x2 y2 (z h)2
1
x2 y2 (z h)2
0
z
z0
推广到直角导体平面区域的点电荷
２．点电荷与导体球
t
２．边界条件 E1t E2t , J1n J2n
● J 的物理意义
第五章 恒定磁场
１．基本方程
积分形式： B dl I, H dS 0 其中 (B H )
l
S
微分形式： B J , H 0
２、掌握用积分形式的环路定理求解对称分布电流所产生的磁场。 主要对直长导线的计算，包含截面均匀和不均匀分布等
qi q q
i 40ri 40R1 40R2
镜像电荷 位置
q a q d a2 d
d
推广到导体球不带电和导体球带电Q
3．镜像法的依据是静电场唯一性原理的具体应用。（即满足方程和边界条件）
7
第四章 恒定电流场 f fc,mn 才能通过相应的波模
14
第九章 电磁波辐射
一、近区场 条件 kr 1 接近于稳定场称似稳场
二、远区场（辐射场）条件 kr 1
三、基本结论（辐射场）：
1. E, B 都与 r 一次方成反比；
2. 辐射场传播方向： e E e He ，所以也是横电磁波（ TEM波）；
S
l
（积分形式）
2. D E 0 （微分形式， 为自由电荷）
电磁场与电磁波总复习
二、 静态场分析方法
无源区：
静 电 场 2 0 1、位函数方程 恒定电场 2 0
2
V
2
有源区：
恒定磁场 A 0
A J c
2
位函数满足一维微分方程时，可用直接积分法求解。
2、镜像法 a. 平面镜像 导体平面镜像
0
h
y
q l 0 Idl A 4 l R
电磁场与电磁波
总复习
5、麦克斯韦方程组
D l H dl S ( J C t ) dS B l E dl S t dS S D dS V V dV S B dS 0 V S JC dS V t dV
积分形式:
微分形式:
D H JC t B E t
D V B 0 V JC t
电磁场与电磁波
总复习
电场计算方法总结： （1）已知电荷分布用公式计算； 要求熟练掌握点电荷、线电荷的计算公式 （2）对称性的场用麦麦克斯韦积分方程计算；
电磁场与电磁波
总复习
二、基本计算
1、三个物态方程：
导体： J E C
电介质：
2、边界条件：
D r 0 E D 0 E P
磁介质：
ˆ n ( H1 H 2 ) J S
E1t E2t B1n B2n
D1n D2n s
l
电磁场与电磁波
总复习
8、重要的场论公式
a. 两个零恒等式 b. 拉普拉斯算子
2
( ) 0
2 ( )
电磁场与电磁波期末复习考试要点
第一章矢量分析①A A Ae =②cos A B A Bθ⋅=⋅③A 在B 上的分量B AB A B A COS BA θ⋅==④e xyz x y z xyzA B e e A A AB B B⨯=⑤A B A B⨯=-⨯ ,()A B C A B A C⨯+=⨯+⨯ ,()()()A B C B C A C A B ⋅⨯=⋅⨯=⋅⨯(标量三重积)，()()()A B C B A C C A B ⨯⨯=⋅-⋅⑥ 标量函数的梯度xy z u u u ux y ze e e ∂∂∂∇=++∂∂∂⑦ 求矢量的散度=y x z A xyzA A A ∂∂∂∇⋅++∂∂∂散度定理：矢量场的散度在体积V 上的体积分等于在矢量场在限定该体积的闭合曲面S 上的面积分，即VSFdV F d S ∇⋅=⋅⎰⎰，散度定理是矢量场中的体积分与闭合曲面积分之间的一个变换关系。
⑧ 给定一矢量函数和两个点，求沿某一曲线积分E dl ⋅⎰，x y CCE dl E dx E dy ⋅=+⎰⎰积分与路径无关就是保守场。
⑨ 如何判断一个矢量是否可以由一个标量函数的梯度表示或者由一个矢量函数的旋度表示？如果0A ∇⋅= 0A ∇⨯=，则既可以由一个标量函数的梯度表示，也可以由一个矢量函数的旋度表示；如果0A ∇⋅≠，则该矢量可以由一个标量函数的梯度表示；如果0A ∇⨯≠，则该矢量可以由一个矢量函数的旋度表示。
矢量的源分布为A ∇⋅ A ∇⨯.⑩ 证明()0u ∇⨯∇=和()0A ∇⋅∇⨯=证明：解 （1）对于任意闭合曲线C 为边界的任意曲面S ，由斯托克斯定理有()d d dSCCuu u l l ∂∇⨯∇=∇==∂⎰⎰⎰S l 由于曲面S 是任意的，故有()0u ∇⨯∇=（2）对于任意闭合曲面S 为边界的体积τ，由散度定理有12()d ()d ()d ()d SS S ττ∇∇⨯=∇⨯=∇⨯+∇⨯⎰⎰⎰⎰A A S A S A S 其中1S 和2S 如题1.27图所示。
《电磁场与电磁波》1-5章复习整理
第1章 矢量分析1、学习了矢量的基本概念和矢量的代数运算；2、学习了场的基本概念，场量的梯度、散度、旋度以及拉普拉斯运算；3、了解矢量分析过程中所需的恒等式和基本定理。
●矢量：既有大小又有方向的量，模为1的矢量即为单位矢量。
, A A A e A e A A==●矢量加法满足交换律和结合律，矢量减法不满足交换律。
()()(), , A B B A A B C A B C A B A B B A +=+++=++-=+-≠-●矢量的乘法两种：点积和叉积 ()()c o s ,(),+()==s i n ,,+()=x x y y z z n xy zx y zx A B A B A B B A A B C A B A C A B A B A B A B A B e A B A B B A A B C A B A C e e e A B A A A B θθ⋅=⋅=⋅⋅=⋅+⋅⋅++⨯⨯=-⨯⨯=⨯+⨯⨯交换律结合律直角坐标系中，分配律直角坐标系中，y zB B●场的基本概念：若空间中的每一个点都对应着某个物理量的一个确定值，就称在该空间中定义了这个物理量的场。
若这个物理量是标量，则这个场或函数称为标量场；若这个物理量是矢量，则这个场或函数称为矢量场。
标量场的梯度：max l x y z u grad u e u e e e l x y z∂∂∂∂==∇=++∂∂∂∂梯度的物理意义：标量场的梯度是一个矢量，大小等于标量函数在该点的最大的方向导数值，方向指向使函数值增加最快的方向。
矢量场的散度：0limy Sx z V F d S F F F div F F Vx y z∆→⋅∂∂∂==∇⋅=++∆∂∂∂⎰其中，=sF d S ψ⋅⎰是矢量F 穿过闭合曲面S 的通量。
旋度的物理意义：矢量场的散度是一个标量，表示在某处的单位体积内散发出来的矢量F 的通量，描述了通量源的密度。
矢量场的旋度：0max1limxy z CS xyze e e rot F n F dlF Sx y z F F F ∆→∂∂∂=⋅=∇⨯=∆∂∂∂⎰旋度 其中，CF dl ⋅⎰是矢量F 沿闭合路径C 的环流。
电磁场与波知识要点(一到三章)
（1）.理想介质表面的边界条件（理想介质中 S 0 ， J S 0 ） ：
en ( H1 H 2 ) 0 en ( E1 E2 ) 0 B )0 en ( B 1 2 en ( D1 D2 ) 0
球坐标系中：
u u u u e e ez z 1 1 A ( A ) ( A ) ( Az ) z
圆柱坐标系中：
1 A A
e
e A
J E
在线性各向同性介质中才有次本构关系
en ( H1 H 2 ) J S 或H1t H 2t J S J S 0说明H 在分界面上切向分量不连续。） ( J S 为分界面上的电流， e 或E1t E2t 0 n ( E1 E2 ) 0 （说明电场强度在分界面上的切向分量是连续的。） en ( B1 B2 ) 0 或B1n B2 n 0 （说明磁感应强度在分界面上的法向分量是连续的。） 或D1n D2 n S en ( D1 D2 ) S ( S 为分界面上的自由电荷密度， S 0说明D在分界面上法向分量不连续。）
15.极化强度矢量： P lim
（p68）
p
V
i
V 0
（电偶极矩： p ez qd
(ez 从-到 ）
，极化强度矢量表示单位体积中
电偶极矩的矢量和，反映了物质在电场下被极化的强弱。 （P51）
P P en 极化电荷密度： p ，极化面电荷密度： sp
电磁场与电磁波(华侨大学)复习指南
《电磁场与电磁波》复习指南第一章矢量分析考试范围：1—8节内容全部需要熟练掌握，其中，格林定理不做要求。
重点内容：矢量的定义、性质及表示方法；矢量的运算（点乘、叉乘、夹角）；三种常用的坐标系；面积元方向的定义；矢量场通量、环量的计算；标量场的梯度、矢量场的散度和旋度的定义、性质及计算公式；矢量恒等式（标量场梯度的旋度恒为零，矢量场旋度的散度恒为零）；拉普拉斯运算的定义、计算公式；散度定理、斯托克斯定理的含义及证明；亥姆霍兹定理的内容及意义（P29-30中的4小点说明）。
重点题目：习题 1.1 1.9 1.18 1.21 1.23例题P13 例1.3.1第二章电磁场的基本规律考试范围：1—7节内容全部需要熟练掌握。
重点内容：电荷密度、电流密度的定义、性质及计算公式；媒质极化和磁化的物理过程；极化强度、磁化强度的定义、计算公式及其与电场（或磁场）的关系；位移电流密度J 的定义和计算公式；麦克斯韦方程组的积分、微分形式，以及每个方程的名称及物理意义；媒质的本构关系；E、D、H、B各自的名称及相互区别；电磁场边界条件（P79 表2.7.1以及上面一段话）；入射角与折射角的数学关系；分界面两侧媒质的编号。
重点题目：习题 2.11 2.26 2.27 2.30 2.31例题P40 例2.2.1 P82例2.7.3第三章静电场及其边值问题的解考试范围：1—7节内容中，除以下章节外（3.1.5 静电力、3.3.5 磁场力、3.5.3导体柱面的镜像、3.5.4介质平面的镜像、3.6节分离变量法、3.7 节有限差分法、P97 部分电容，不做要求），其余内容需要熟练掌握。
重点内容：静电场的定义、性质以及所满足的基本方程；静电场中物理量（如电场强度、电位）的定义及性质；静电场的图形（矢量线）表示方法；静电场的计算；导体在静电场中的静电平衡以及静电平衡的特点；静电场中电通量的计算和性质；简单电容的计算；复杂电容的计算（串联、并联）；平板电容器电容的计算公式；导电媒质中恒定电流场的定义、性质和计算公式；欧姆定律的微分形式；漏电阻（漏电导）的计算；静电场与恒定电场的比拟；利用静电比拟法计算电容或电导（电容和电导是一对对偶量）；恒定电流场中的边界条件；矢量磁位A的定义及其与电流I的关系；静电场、恒定电场、恒定磁场的边界条件；静态场边值问题的分类及解法（解析法、数值法）；解析法包括镜像法和分离变量法；镜像法的基本思想和理论依据（实质），唯一性定理的内容和意义；电偶极子周围的电场分布和电位分布（电力线和等位线形状）。
电磁第一章的该复习
标量场 在空间各点上的最大变化率及其方向, 称为该标量 场 的梯度（gradient）,记作
◆物理意义 ◇标量场的梯度是矢量场。 ◇某点梯度的大小是该点标量场的最大变化率。
某点梯度的方向是该点标量场变化最大的方向。
第1章 电磁场与电磁波的基本原理
◆计算公式 由梯度的定义及标量场方向导数的概念可推知，在直角 坐标系下:
第1章 电磁场与电磁波的基本原理
8. 写出非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式，并简要 说明其物理意义。
9. P45 1-1 10. P46 1-7 11. P48 1-27 12. TEM波 13. TE波 14. TM波 15.行波 16.驻波
第1章 电磁场与电磁波的基本原理
1. 矢量的标积
◇定义 ◇几何意义
grad
ex
x
ey
y
ez
z
第1章 电磁场与电磁波的基本原理
6.分别写出真空中和介质中电场强度与电位移矢量的一般 关系
◇真空中电场强度与电位移矢量的一般关系
ε0为真空或空气的介电常数 ◇介质中电场强度与电位移矢量的一般关系
D 0E xe0E 0(1 xe )E 0rE E
ε=ε0(1+χe)=ε0εr称为介质的介电常数 εr=1+χe称为介质的相对介电常数。 χe为电极化率
A B ABcos
一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积, 其结果是一标量。
B
A
图1.2矢量的标积
第1章 电磁场与电磁波的基本原理
2.矢量的失积 ◇定义 ◇几何意义
A B en AB sin
两矢量叉积, 结果得一新矢量, 其大小为这两个矢量组成
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1.6 解： (1)divA│M A│M
[ x
x3
y
y3
z
z3│] M
(3x 2 3 y 2 3z 2│) M (1,0,1)
3 03
6
(2)divA│M A│M
[
x
(4
x)
y
(2
xy)
z
(z
2
)│] M
(4 2 x 2z│) M (1,2,3)
已知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见唯一性定理 表明，矢量场被其源及边界条件共同决定的。
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1.6.6 亥姆霍兹定理
若矢量场 F(r) 在无限区域中处处是单值的， 且其导数连 续有界，源分布在有限区域 V 中，则当矢量场的散度及旋度 给定后，该矢量场 F(r) 可以表示为
F (r) (r) A(r)
此外，格林定理说明了两种标量场或矢量场之间应该满足的关系。 因此，如果已知其中一种场的分布特性，即可利用格林定理求解另一种 场的分布特性。
格林定理广泛地用于电磁理论。
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1.6.5 矢量场的唯一性定理
位于某一区域中的矢量场，当其散度、旋度以及边界上场 量的切向分量或法向分量给定后，则该区域中的矢量场被惟 一地确定。
式中S 为包围V 的闭合曲面，面元 dS 的方向为S 的外法线方向，上式称 为矢量第一格林定理。
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基于上式还可获得下式：
V [Q (
P)
P (Q]dV
[P Q
S
Q P]dS
此式称为矢量第二格林定理。
无论何种格林定理，都是说明区域 V 中的场与边界 S 上的场之间的 关系。因此，利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场 的求解问题。
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§1.6 三种常用坐标系
1.6.1 直角坐标系
直角坐标(x, y , z)
1.6.2 柱坐标系
圆柱坐标(r, , z)
x=x0
x
z
ex
O
z=z0
ez ey
P0
y=y0
y
z
r = r0
ez
e P0
er
z=z0
O
=0
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x
0
y
3
1.6.3 球坐标系
球坐标(r, , )
=0 r=r0
散度处处为零的矢量场称为无散场，旋度处处为零的 矢量场称为无旋场。
两个重要公式：
( A) 0
() 0
左式表明，任一矢量场 A 的旋度的散度一定等于零 。 因此，任一无散场可以表示为另一矢量场的旋度，或者说， 任何旋度场一定是无散场。
右式表明，任一标量场 的梯度的旋度一定等于零。因
此，任一无旋场一定可以表示为一个标量场的梯度，或者 说，任何梯度场一定是无旋场。
式中
(r) 1 F (r) dV
4π V r r
A(r) 1 F (r)dV
4π V r r
可见，该定理表明任一矢量场均可表示为一个无旋场与 一个无散场之和。矢量场的散度及旋度特性是研究矢量场的 首要问题。
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▪习题解答
1.1 解：
(1)利用A B 0，证明A // B。
1
24
v(
A)dv
s
A
ds
1 24
, 故验证了散度定理。
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1.12
解：r
(ax
x
ay
y
az
z
)r
ax
r x
ay
r y
az
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基于上式还可获得下列两式：
(2 2 )dV V
S
dS
(2 2 )dV dS
V
S n
n
上两式称为标量第二格林定理。
设任意两个矢量场 P 与 Q ，若在区域 V 中具有连续的二阶偏导数， 那么，可以证明该矢量场 P 及 Q 满足下列等式
V [( P) (Q) P Q]dV S P QdS
x
z
0
er
P0
e
O e
0
=0
y
已知矢量 A 在圆柱坐标系和球坐标系中可分别表示为
A A
aer aer
be be
cez ce
式中 a, b, c 均为常数，A 是常矢量吗？
柱坐标系和球坐标系内▽算子及梯度、散度、旋度的表达式，请参 阅附录1。
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1.6.4 格林定理
设任意两个标量场 及，若在区域 V 中具有连续的二阶偏导数，
如下图示。
那么，可以证明该两个标量场
S ,
V
及 满足下列等式
en
V (
2 )dV
S
n
dS
式中S 为包围V 的闭合曲面， 为标量
n
场 在 S 表面的外法线 en 方向上的偏
导数。
根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成
V ( 2)dV S () dS
上两式称为标量第一格林定理。
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▪ 内容复习
标量场的梯度： 矢量场的散度：
矢量场的旋度： 高斯散度定理： 斯托克斯定理：
u
ax
u x
ay
u y
az
u z
A
Ax
Ay
Az
x y z
ax ay az A
x y z
Ax Ay Az
V ( A)dV S AdS
(
S
A) dS
l
A dl
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▪ 无散场和无旋场
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1.8 解： (1)divA A
x2 ( xy)2 24( x2 y2z3 )
x y
z
2 x 2 x2 y 72 x3 y2z2
111
(2)
v
Adv
2 1
2 1
2 1
(2x
2x2
y
72 x2
y2z3 )dxdydz
222
008111 3444
1 24
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(3)
A
ds
s
s前
A| x
1 2
s右
A
| y
1 2
a axdysdss左s上AA|x|z121（2 azadsxds）s下
s后
A|
y
1 2
ayds
A
|
z
1 2
(az
)ds
(1)2 2
1
2 1
2
1
2 1
2
dydx
(
1 2
)2
1
2 1
2
1
2 1
A
B
(2ax
5ay
3az
) (4ax
10ay
6az )
20az
12a y
20az
30a x
12a y
30a x
０
(2)若 l1 m1 n1 ，则A// B。 l2 m2 n2
l1 2, m1 5, n1 3 l2 4, m2 10, n2 6 2 5 3 2
2
dydz
(
1 2
)2
1
2 1
2
1
2 1
x 2dxdz
2
(1)2 2
1
2 1Hale Waihona Puke 212 1
2
x 2dxdz
24 (
1 2
)3
1
2 1
2
1
2 1
x2
y 2dxdy
2
24 ( 1 )3 2
1
2 1
2
1
2 1
x2
y 2dxdy
2
1 3
x3
1
|2
1
2
1
y3 |21 2
1 3
x3
1
|2
1
2
1
y3 |21 2