4.1.1圆的标准方程公开课课件(人教A版必修2)

4.1.1 圆的标准方程
y
O
A
x
r
生活中的圆
复习引入
复习引入
问题一：什么是圆？初中时我们是怎样给圆 下定义的？
的集合（ 轨迹）是圆。 问题二：平面直角坐标系中，如何确定一个 圆？ 圆心：确定圆的位置 半径：确定圆的大小
课堂小结
课后作业
探究新知 问题三：圆心是A(a,b),半径是r的圆的方程是什么？
( x 2) ( y 3) 25
2 2
2 2 ( x 2 ) ( y 3 ) 25 把 M1 (5,7) 的坐标代入方程 左右两边相等，点M 1 的坐标适合圆的方程，所以点
M 1在这个圆上；
把点 M 2 ( 5 ,1) 的坐标代入此方程，左右两边 不相等，点M 2的坐标不适合圆的方程，所以点 M 2不 在这个圆上．
圆心为C的圆的标准方程为(x+3)2 ( y 2)2 25.
练习
1.点(2a, 1 a)在圆x2 + y2 = 4的内部,求实数 a 的 取值范围. 2.根据下列条件，求圆的方程： （1）求过两点A(0,4)和B(4,6),且圆心在直线xy+1=0上的圆的标准方程。 （2）圆心在直线5x-3y=8上，又与两坐标轴相 切，求圆的方程。 （3）求以C(1,3)为圆心，且和直线3x-4y-7=0 相切的直线的方程。
(5 a) (1 b) r 2 2 2 (7 a) (3 b) r (2 a) 2 (8 b) 2 r 2
2 2 2
a 2, b 3, r 5.
所求圆的方程为
( x 2)2 ( y 3)2 25
例3 己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且 圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方 程. 解:∵A(1,1),B(2,-2)
3 1 2 1 线段AB的中点D( , ), k AB 3. 2 2 2 1 1 1 3 线段AB的垂直平分线CD的方程为：y+ ( x ). 2 3 2
2 2
2
O
C
x
圆心C(a,b),半径r 特别地,若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
x2 y 2 r 2
应用举例 1.说出下列圆的方程： (1) 圆心在原点,半径为3. (2) 圆心在点C(3, -4), 半径为7. (3)经过点P(5,1)，圆心在点C(8,-3). 2. 说出下列方程所表示的圆的圆心坐标和半径：
设点M (x,y)为圆C上任一点，则|MC|= r。
圆上所有点的集合 y M(x,y) O
P = { M | |MC| = r }
( x a ) ( y b) r
2 2
C
x
(x-a)2+(y-b)2=r2
三个独立条件a、b、r确定一个圆的方程.
想一想?
问题：是否在圆上的点都适合这个方程？是否适 合这个方程的坐标的点都在圆上？
知识探究二：点与圆的位置关系 探究：在平面几何中，如何确定点与圆的位置关 系？ M M M
O
|OM|<r 点在圆内
O
O
|OM|=r
点在圆上
|OM|>r
点在圆外
知识点二：点与圆的位置关系
点与圆的位置关系:
(x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外; (x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上;
(x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内.
例2 ⊿ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1), B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程。
解：设所求圆的方程为：
(x a) ( y b) r
2 2
2
待定系数 法
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
例3 己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且 圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方 程.
2 2 2 ( x a ) ( y b ) r , 解2:设圆C的方程为
∵圆心在直线l:x-y+1=0上
待定系数法
圆经过A(1,1),B(2,-2) a b 1 0 a 3 2 2 2 (1 a ) (1 b) r b 2 (2 a ) 2 (2 b) 2 r 2 r 5
圆心在原点: 圆心在x轴上: 圆心在y轴上:
x2 + y2 = r2 (r≠0)
(x a)2 + y2 = r2 (r≠0)
典型例题
例1 写出圆心为 A(2,3) ，半径长等于5的圆的方 程，并判断点 M1 (5,7) ， M 2 ( 5 ,1)是否在这个圆上。
解：圆心是 A(2,3) ，半径长等于5的圆的标准方 程是：
思考
例 已知圆的方程是x2 + y2 = r2，求经过圆上一 点 M ( x0 , y的切线的方程。 0)
y y0 k ( x x0 ) 解: 如图, 设切线方程为 y0 半径OM的斜率为kOM x0 ,
Y
M ( x0 , y0 )
0
X
x0 因OM垂直于圆的切线 , 所以k y0 x0 切线方程为y y0 ( x x0 ) y0
( x a) ( y b) r
2 2
2
点M(x, y)在圆上，由前面讨论可知，点M的坐 标适合方程；反之，若点M(x, y)的坐标适合方程， 这就说明点 M与圆心的距离是 r ，即点M在圆心为A (a, b)，半径为r的圆上．
知识点一：圆的标准方程 y
标准方程
M(x,y)
( x a) ( y b) r
(1) (x + 7)2 + ( y 4)2 = 36
(2) x2 + y2 4x + 10y + 28 = 0
(3) (x a)2 + y 2 = m2
特殊位置的圆的方程:
x2+ (y b)2 = r2 (r≠0) 圆过原点: (x a)2 + (y-b)2 = a2+b2 (a2+b2≠0) 2 + y2 = a2 (a≠0) ( x a ) 圆心在x轴上且过原点: 圆心在y轴上且过原点: x 2 + (y-b)2 = b2 (b≠0) 圆与x轴相切: (x a)2 + (y-b)2 = b2 (b≠0) 圆与y轴相切: (x a)2 + (y-b)2 = a2 (a≠0) 圆与x,y轴都相切: (x a)2 + (y±a)2 = a2 (a≠0)
整理得, x0 x y0 y x y
2 0
2 0 2 0 2
2 0
x y r ,
所求圆的切线方程为 x0 x y0 y r 2
小结
1.圆的标准方程
( x a) ( y b) r
2 2
2
（圆心C(a,b),半径r）
2.点与圆的位置关系 3.求圆的标准方程的方法： ①待定系数法 ②几何性质法
x y 1 0 x 3 联立直线l , CD的方程： , 解得： x 3y 3 0 y 2
即：x-3y-3=0
∴圆心C(-3,-2)
r AC (1 3)2 (1 2) 2 5.
圆心为C的圆的标准方程为(x+3)2 ( y 2)2 25.