整式的乘法复习
整式的乘法复习课 PPT课件
较复杂时， 可以竖式对 齐，方便合 并同类项.
10x2 30x 10n
x4 3 mx3 n 3m 10x2 mn 30x 10n
4．解答题：
*（6）已知 xm 2，xn 3 （m、n为正整数），求
1 x3m2n 的值. 9
构造 xm、xn
7 a12 7 a6 2 99
构造a6
7 92 63. 9
4．解答题：
（5）已知二次三项式 x2 mx 10 和 x2 3x n 的乘积
中不含 x2 项和 x3 项．求 m、n 的值．
分析： 不含 x2 项和 x3 项，指含 x2 项和含 x3项的
系数为零.
先乘除，后加减
（ ） 解 原式 12 x4 12 x4 8x2 y 3x2 y 2y2
必须添加括号
12 x4 12 x4 5x2 y + 2 y2
去括号，注意符号
5x2 y 2 y2
再合并同类项
3．计算下列各题：
（5） 1.5 2011 2 2012
解 原式 （ 6a2b2 3abc 2abc c2） 添加括号
6a2b2 abc c2
_6a2b2 + abc+ c2
合并同类项 去括号 注意符号
3．计算下列各题：
（4）12 x4 4x2 y 3x2 2 y
解
2x x2 x3 x3 x2 3x+15
移项，合并
2x 3x 15 5x 15
x3
注意符号, 不要漏乘.
所以，原方程的解是 x 3.
写出结论
4．解答题：
人教版八年级数学上册14.整式的乘除与因式分解--复习课件
例2 把下列各式分解因式. (1)(a+b)2-4a2 ； (2)1-10x+25x2； (3)(m+n)2-6(m+n)+9
解:(1)(a+b)2-4a2=(a+b)2-(2a)2 =(a+b+2a)(a+b-2a) =(3a+b)(b-a)
(2)1-10x+25x2 =1-10x+(5x)2 =(1-5x)2 (3)(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n-3)2.
5, 求(a
1 )2的值. a
(2)若x y2 2, x2 y2 1, 求xy的值.
(3)如果(m n)2 z m2 2mn n2 ,
则z应为多少?
(4)(x 3y 2z)(x 3y 2z)
(5)19992, (6)20012 19992
练习：计算下列各题。
(1)( 1 a6b4c) ((2a3c) 4
1、 205×195 2、 (3x+2) (3x-2) 3、(-x+2y) (-x-2y) 4 、 (x+y+z)(x+y-z)
（2）、完全平方公式
一般的，我们有：
(a b)2 a2 2ab b2;
(a b)2 a2 2ab b2 其中a, b既可以是数, 也可以是代数式.
即: (a b)2 a2 2ab b2
探索与创新题 例4 若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k= —
分析:完全平方式是形如：a2±2ab+b2即两数 的平方和与这两个数乘积的2倍的和(或差).
∵9x2+kxy+36y2=(3x)2+kxy+(6y)2 ∴±kxy=2·3x·6y=36xy ∴k=±36
整式的乘除知识点及题型复习
举例说明：如单项 式x^2除以多项式 2x-1，结果为 (x^2)/(2x1)=x+1
除法运算顺序：按照从左到 右的顺序进行除法运算，注 意先处理括号内的内容
除法法则：类似于多项式乘 法，将除法转化为乘法，然 后利用乘法法则进行计算
除法结果的化简：将除法结 果化简到最简形式，注意约
分和合并同类项
除法运算的注意事项：注意 处理符号和运算优先级的问
添加标题
解析：根据速度、时间和距离的关系，速度=距离/时间，所以时间=距离/速度。将已知数值代入公式，得到时间=100千米 /80千米/小时=1.25小时。
添加标题
题目：一架飞机以每小时800千米的速度从甲地飞往乙地，飞行了3小时后，发现方向有误，于是立即改变航向，并以每小时 1000千米的速度飞行了4小时，求飞机到达乙地所需的总时间。
项式。
整式除法的结 果仍为一个多 项式，其各项 系数和次数与 被除式相同。
整式除法的一 般形式为：被 除式=除式×商
式+余式。
在整式除法中， 需要注意除数 不能为0，且各 项系数和次数 必须符合数学
规则。
定义：将一个单项式除以另一个单项式的商称为单项式除以单项式。
运算法则：与单项式乘法类似，按照系数、字母因子的指数分别相除，对于只在被除式 中出现的字母因子，连同其指数一起作为商的一个字母因子。
定义：两个多项式相乘，将一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项 相乘，再将所得积相加。 举例：$(x+1)(x+2) = x^2 + 3x + 2$
公式：$(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$
注意事项：注意乘法分配律的应用，以及合并同类项时的符号问题。
整式的乘除(重点、难点、考点复习总结)
整式的乘除（重点、难点、考点复习总结）1．知识系统总结2．重点难点易错点归纳（1）几种幂的运算法则的推广及逆用例1：（1）已知52x=4,5y=3,求(53x)2; 54x+2y-2练习：1. 已知a x=2,a y=3, a z=4求a3x+2y-z（2）46×0.256= （-8）2013×0.1252014 =（2）同底数幂的乘除法：底数互为相反数时如何换底能使计算简便判断是否同底：判断底数是否互为相反数：看成省略加号的和，每一项都相反结果就互为相反数换底常用的两种变形：例2：（1）-x7÷（-x）5·（-x）2 (2)(2a-b)7·（-b+2a）5÷（b-2a）8（3）区分积的乘方与幂的乘方例3：计算（1）（x3）2 (2) (-x3）2 (3)（-2x3）2（4）-（2x3）2（4）比较法：逆用幂的乘方的运算性质求字母的值（或者解复杂的、字母含指数的方程）例4：（1）如果2×8n×16n=28n ,求n的值（2）如果（9n）2=316，求n的值（3）3x=,求x的值（4）（-2）x= -,求x的值（5）利用乘方比较数的大小指数比较法：833，1625, 3219底数比较法：355,444,533乘方比较法：a2=5,b3=12，a>0,b>0,比较a,b的大小比较840与6320的大小（6）分类讨论思想例6：是否存在有理数a，使（│a│-3）a =1成立，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由整式的乘法（1）计算法则明确单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的计算法则，尤其注意符号的问题，结果一定要是最简形式。
单项式乘以多项式、多项式乘以多项式最终都是要转化为单项式乘以单项式，通过省略加号的和巧妙简化符号问题。
【例1】计算：（1）(-3x2y)(-xz4)(-2y3zt) (2)-5x n y n+2(3x n+2y-2x n y n-1+y n) （3）（-x+2）(x3-x2)练一练：先化简再求值：[xy(x2-3y)+3xy2](-2xy)+x3y2(2x-y),其中x=-0.25,y=4(2)利用整式的乘法求字母的值①指数类问题：②系数类问题：【例2】已知-2x3m+1y2n与7x m-6y-3-n的积与x4y是同【例3】在x2+ax+b与2x2-3x-1的积中，x3项项，求m与n的值的系数为—5，x2项的系数为-6，求a,b的值（3）新定义题【例4】现规定一种新运算：a*b=ab+a-b，其中a,b为有理数，则（a*b）+[(b-a)*b]=练一练：现规定一种新运算：a※b=ab+a-b，其中a,b为有理数，计算：[（m+n）※n]+[(n-m)※n] 课后提升：1.（-0.7×104）×（0.4×103）×（-10）=2.若（2x-3）（5-2x）=ax2+bx+c,则a= ,b=3.若（-2x+a）(x-1)的结果不含x的一次项，则a=4.计算：(1)（-5x-6y+z）(3x-6y) (2)-2xy(x2-3y2)- 4xy(2x2+y2)平方差公式（1）公式：（a+b）(a-b)=a2-b2注意：公式中的a,b既可以是具体的数字，也可以是单项式或多项式，只要不是单独的数字或字母，写成平方的差时都要加括号公式的验证：根据面积的不同表达方式是验证整式乘法公式常用的方法(2)平方差公式的不同变化形式【例1】计算下列各式：（1）（-5x+2y）(-2y-5x)= （2）（2a-1）(2a+1)(4a2+1)=（3）20132-2012×2014 =练一练：1、（2y-x-3z）(-x-2y-3z)=2、99×101×10001=3、 3×（22+1）×（24+1）×（28+1）×…×（232+1）+1=（3）平方差公式的逆用【例2】∣x+y-3∣+(x-y+5)2=0,求3x2-3y2的值练一练：已知实数a,b满足a+b=2，a-b=5，求（a+b）3（a-b）3的值.课后提升：1.已知下列式子：①（x-y）（-x-y）；②（-x+y）(x-y)；③（-x-y）（x+y）；④（x-y）（y-x）.其中能利用平方差公式计算的是2.(-a-3)( )=9-a23.如果a2-2k=(a-0.5)（a+0.5），那么k=4.为了美化城市，经统一规划，将一正方形的南北方向增加3米，东西方向缩短3米，将改造后的长方形草坪面积与原来的正方形草坪面积相比（）A.增加6平方米B.增加9平方米C.减少9平方米D.保持不变5.解方程：（3x+4）（3x-4）=9（x-2）26.计算：（2+1）×（22+1）×（24+1）×…×（22014+1）完全平方公式（1）公式：（a±b）2=a2±2ab +b2首平方，尾平方，2倍乘积放中央，同号加，异号减注意：公式中的a,b既可以是具体的数字，也可以是单项式或多项式【例1】计算下列各式：（2x-5y）2 = (-mn+1)2 =(-t2-2)2=（2）完全平方公式的推广应用①直接推广②间接推广【例2】计算（a-2b+3c)2【例3】已知x+y+z=10,xy+xz+yz=8,求x2+y2+z2的值（3）利用完全平方公式求字母的值【例4】两数和的平方的结果是x2+(a-1)x+25,则a的值是（）A.-9B.1C.9或-11D.-9或11（4）利用完全平方公式进行简化计算【例5】计算：（1）1992 （2）3.012（5）完全平方公式的变形应用【例6】（1）已知m+n=7,mn=10,求8m2+8n2的值（2）已知（x+y）2=16,(x-y)2=4,求xy的值课后提升：1.下列展开结果是2mn-m2-n2的式子是（）A.（m+n）2B.(-m+n)2C.-(m-n)2D.-(m+n)22.(x+2y-z)2=3.若∣x+y-7∣+(xy-6)2=0,则3x2+3y2=4.若代数式x2+3x+2可以表示为 (x-1)2+a（x-1）+b的形式，则a+b的值是5.计算：（2x-y）2（2x+y）2整式的除法（1）计算法则整式乘法的逆运算，可以互相验证。
人教版八年级上册数学《整式的乘法》整式的乘法与因式分解说课教学课件复习(单项式与单项式、多项式相乘)
如图（1）是某中学B楼和C楼之间的一个长和宽分别为米和米
的长方形绿地，如果它的长和宽分别增加米和米后变成了新的长方
形绿地如图（2）.请你计算这块新长方形绿地的面积.
图（1）
图（2）
知识讲解
你能用不同的形式表示长方形
绿地的面积吗？
此时绿地面积：
方法1 =( + ) ( + )①
化为单项式乘单项式）
单项式与多项式的乘法法则
一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式
乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
用字母表示如下：p(a+b+c)=pa+pb+pc
注意：（1）依据是乘法分配律；
（2）积的项数与多项式的项数相同.
例3
计算:
(1)
3a(5a b)
(2) - 7x y 2 x 3 y
＝3ax3－2ax2＋3bx2－2bx＋3x－2
＝3ax3+（－2a＋3b）x2＋（－2b＋3）x－2.
∵积不含x2项，也不含x项，
a
2a 3b 0,
∴
∴
2b 3 0,
b
9
,
4
3
.
2
拓展练习
计算：
x2+5x+6
(1)(x+2)(x+3)=__________；
(2)单项式必须与多项式中每一项相乘，结果的项数与原多项式项数一致；
(3)单项式系数为负时，改变多项式每项的符号.
整式的乘法专题训练
整式的乘法专题训练题目一：(2x)(3x)解析：根据单项式乘以单项式法则，系数相乘，字母部分按同底数幂相乘，结果为6x²。
题目二：(-3a²b)(4ab²)解析：系数相乘为-12，同底数幂相乘，a 的次数为2+1 = 3，b 的次数为1+2 = 3，结果是-12a³b³。
题目三：(2x²y)(-3xy³)解析：系数相乘为-6，x 的次数为2+1 = 3，y 的次数为1+3 = 4，答案是-6x³y⁴。
题目四：(5m²n)(-2m³n²)解析：系数相乘为-10，m 的次数为2+3 = 5，n 的次数为1+2 = 3，结果是-10m⁴n³。
题目五：(3x)(x² - 2x + 1)解析：用3x 分别乘以括号里的每一项，3x·x² = 3x³，3x·(-2x) = -6x²，3x·1 = 3x，结果为3x³ - 6x² + 3x。
题目六：(2x - 1)(x + 3)解析：用2x 乘以(x + 3)得2x² + 6x，再用-1 乘以(x + 3)得-x - 3，最后相加，2x² + 6x - x - 3 = 2x² + 5x - 3。
题目七：(x - 2)(x² + 3x - 1)解析：x 乘以(x² + 3x - 1)得x³ + 3x² - x，-2 乘以(x² + 3x - 1)得-2x² - 6x + 2，相加得x³ + 3x² - x - 2x² - 6x + 2 = x³ + x² - 7x + 2。
题目八：(3x + 2)(2x² - 5x + 1)解析：3x 乘以(2x² - 5x + 1)得6x³ - 15x² + 3x，2 乘以(2x² - 5x + 1)得4x² -10x + 2，相加得6x³ - 15x² + 3x + 4x² - 10x + 2 = 6x³ - 11x² - 7x + 2。
整式的乘法复习课件
典型例题解析
例题3
01
(3x 1)^2
• 分析
02
本题考查的是一元一次整式的平方运算。按照完全平方公式展
开即可。
• 解法
03
(3x - 1)^2 = 9x^2 - 6x + 1（利用完全平方公式）
03 二元一次整式乘法
二元一次整式概念
定义
含有两个未知数，且未知数的最高次 数为1的整式称为二元一次整式。
针对不同题型进行专项训练，提高解题能力
选择题和填空题
通过大量练习，提高对基础概念 和运算规则的掌握程度，培养快
速准确解题的能力。
计算题
针对不同类型的计算题，如单项 式与单项式相乘、单项式与多项 式相乘、多项式与多项式相乘等， 进行专项训练，提高运算速度和
准确性。
证明题
通过分析和证明乘法公式的过程， 培养逻辑推理能力和数学表达能
• 解法
(2x + 3)(x - 1) = 2x^2 - 2x + 3x - 3 = 2x^2 + x-3
典型例题解析
例题2
(x + 2)(x - 2)
• 分析
本题同样考查一元一次整式与多项式的乘法运算。注意到(x + 2)和 (x - 2)是平方差的形式，可以利用平方差公式进行简化。
• 解法
(x + 2)(x - 2) = x^2 - 4（利用平方差公式）
06 整式乘法复习策略与建议
系统梳理知识点，形成知识网络图
整式乘法的基本法则
回顾并掌握单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式 相乘的法则。
乘法公式
熟练掌握平方差公式和完全平方公式，理解其推导过程和应用场景。
第十四章整式的乘法与因式分解复习
解:原式=
2
2
2
提高题
2.先化简，再求值。
(1).(2013 宁波中考)：（a 2） (a 2) a(a 2), 其中a 1
解：原式 a 2 4 a 2 2a
(2).4( x 1)2 (2x 1)2x 1 7(1 x),其中x 1
4 3 2
2
解：原式 (12 x 4 2 x 2 ) (8 x 3 2 x 2 ) ( x 2 2 x 2 )
1 6x 4x 2
2
乘法公式： 平方差公式 2 2 (a b)(a b) a b
其中a, b既可以是数 , 也可以是代数式 .
文字法则：两个数的和与这两个数的差的积，等 于这两个数的平方差。
（1）公因式：一个多项式的各项都含有的公共的 因式，叫做这个多项式各项的公因式。 （2）找公因式：找各项系数的最大公约数与 各项都含有的字母的最低次幂的积。 （3）提公因式法：一般地，如果多项式的各项 有公因式，可以把这个公因式提到括号外面， 作为多项式的一个因式，然后用原多项式的 每一项除以这个公因式，所得的商作为另一 个因式，将多项式写成因式乘积的形式.
第十四章
整式的乘法与因式分解 复习
本章知识结构梳理
a a ____ a mn m n a (a ) ____ 幂的运算性质 (ab)n ____ a nb n m n mn a a ____ a
m n
m n
整式的乘法
单项式乘（除）单项式 整式的乘（除） 多项式乘（除）单项式 多项式乘以多项式 2 2 平方差： (a b)(a b) a b
2 2
提高题
3.利用乘法公式计算下列各式：
整式的乘法(6大知识点15类题型)(知识梳理与题型分类讲解)(人教版)(学生版25学年八年级数学上册
专题14.3整式的乘法（6大知识点15类题型）（知识梳理与题型分类讲解）第一部分【知识点归纳与题型目录】【知识点1】同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即mnm na a a -÷=（a ≠0，m n 、都是正整数，并且m n >）【要点提示】（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式.（3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.【知识点2】单项式的乘法法则单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.【要点提示】（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.【知识点3】单项式与多项式相乘的运算法则单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即()m a b c ma mb mc ++=++.【要点提示】（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质利用乘法分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.（3）计算过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，还要注意单项式的符号.（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.【知识点4】多项式与多项式相乘的运算法则多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.【要点提示】多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++.知识点与题型目录【知识点一】同底数幂的除法【题型1】同底数幂的除法运算及逆运算.........................................3;【知识点二】单项式相乘【题型2】单项式相乘.........................................................3;【题型3】利用单项式相乘求字母或代数式的值...................................3;【知识点三】单项式乘以多项式【题型4】单项式乘以多项式的运算与求值.......................................4;【题型5】单项式乘以多项式的应用.............................................4;【题型6】利用单项式乘以多项式求字母的值.....................................4;【知识点四】多项式相乘【题型7】计算多项式乘以多项式...............................................5;【题型8】计算多项式乘以多项式化简求值.......................................5;【题型9】（x+p）（x+q)型多项式相乘..........................................5;【题型10】整式乘法中的不含某个字母问题......................................5;【题型11】多项式相乘中的几何问题............................................6;【知识点五】多项式除以单项式【题型12】多项式除以单项式..................................................6;【知识点六】多项式除以单项式【题型13】整式乘法混合运算..................................................7;【直通中考与拓展延伸】【题型14】直通中考..........................................................7;【题型15】拓展延伸..........................................................8.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】同底数的除法运算及逆运算【例1】（23-24八年级上·天津滨海新·期末）计算：()()23432253339xy x x y xy x y ⎡⎤-÷⎢⎥⎦⋅-⋅⎣．【变式1】（22-23七年级下·广东深圳·阶段练习）若4m a =，8n a =，则32m n a -的值为（）A ．12B ．1C ．2D ．4【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知2320x y --=，则()()231010x y ÷=．【题型2】单项式相乘【例2】（22-23八年级上·福建厦门·期中）计算：(1)()2243623a a a a ⋅+-；(2)()()23225x x y -⋅-【变式1】（23-24七年级下·全国·单元测试）计算()222133x y xy ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭的结果为（）A ．45x y -B ．4513x y C ．3213x y -D ．4513x y -【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）计算：()()3222324623418ab a b a b a b -⋅+⋅=．【题型3】利用单项式相乘求字母或代数式的值【例3】（22-23七年级下·广东梅州·期中）先化简，后求值：2332223141644x y x y x y xy ⎛⎫⎛⎫⋅-+-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0.4x =，2.5y =-．【变式1】（2024·陕西榆林·三模）已知单项式24xy 与313x y -的积为3n mx y ，则m ，n 的值为（）A ．43m =-，4n =B ．12=-m ，2n =-C ．43m =-，3n =D ．12=-m ，3n =【变式2】（23-24七年级下·全国·假期作业）若()()1221253m n n n a b a b a b ++-⋅=，则m n +的值为．【题型4】单项式乘以多项式的运算与求值【例4】（23-24八年级上·吉林·阶段练习）先化简，再求值：()()223243234a a a a a -+-+，其中1a =-．【变式1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）计算132xy x y ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭的结果是（）A ．223x y xy +B ．22332x y xy --C ．22332x y xy -+D ．22132x y xy -+【变式2】（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）若220240a a +-=，代数式()()220241a a -+的值是．【题型5】单项式乘以多项式的应用【例5】（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）小红的爸爸将一块长为322455a b ⎛⎫+⎪⎝⎭分米、宽55a 分米的长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为412a 分米的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的盒子．(1)用含a ，b 的整式表示盒子的外表面积；(2)若1a =，0.2b =，现往盒子的外表面上喷漆，每平方分米喷漆价格为15元，求喷漆共需要多少元？【变式1】（23-24七年级下·山东菏泽·期中）某同学在计算一个多项式乘24x 时，因抄错运算符号，算成了加上24x ，得到的结果是2321x x +-，那么正确的计算结果是（）A ．432484x x x -+-B ．432484x x x +-C ．43244x x x -+-D ．432484x x x --【变式2】（22-23八年级上·福建泉州·阶段练习）已知：2210x x --=，则352020x x -+=．【题型6】利用单项式乘以多项式求字母的值【例6】（21-22七年级下·河南驻马店·阶段练习）已知x （x ﹣m ）+n （x +m ）＝2x +5x ﹣6对任意数都成立，求m （n ﹣1）+n （m +1）的值．【变式1】（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）若()24x ax x x +=+，则a 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．8【变式2】（23-24七年级下·山东济南·阶段练习）要使()32412x x ax x -+++中不含有x 的四次项，则a =．【题型7】计算多项式乘以多项式【例7】（24-25八年级上·全国·单元测试）计算：(1)()()()222323x x x x +---+；(2)22(1)(1)x x x x ++-+；(3)2(1)(2)(2)x x x x +-++【变式1】（22-23七年级下·甘肃张掖·期中）下列计算正确的是（）A ．()()324242ab ab a b ⋅-=B ．()()22356m m m m +-=--C ．()()245920y y y y +-=+-D ．()()21454x x x x ++=++【变式2】（22-23七年级下·山东菏泽·期中）如果()()()()32912x x x x ---+-=，那么x 的值是．【题型8】计算多项式乘以多项式化简求值【例8】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）先化简，再求值：()()()222112a a a a a a +--+-，其中3a =-．【变式1】（23-24七年级下·安徽合肥·期中）我们规定a b ad bc cd=-，例如121423234=⨯-⨯=-，已知2523m n nm n m n+=-+-，则代数式2261m n --的值是（）A ．4B ．5C ．8D ．9【变式2】（2024·湖南长沙·模拟预测）已知235a ab +=，则2()(2)2a b a b b ++-的值为．【题型9】（x+p）（x+q)型多项式相乘【例9】（22-23七年级下·辽宁沈阳·期中）先化简，再求值：()()()()()23333442x x x x x +-++---，其中2x =．【变式1】（23-24七年级下·辽宁锦州·阶段练习）若()()2315x x n x mx ++=+-，则mn 的值为（）A ．5-B ．5C ．10D ．10-【变式2】（22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）若()()228x m x x nx +-=+-，则2m n +=．【题型10】整式乘法中的不含某个字母问题【例10】（22-23七年级下·四川达州·期中）已知代数式()22mx x +与()232x nx ++积是一个关于x 的三次多项式，且化简后含2x 项的系数为1，求m 和n 的值．【变式1】（23-24七年级下·全国·期中）已知多项式x a -与221x x +-的乘积中2x 的项系数与x 的项系数之和为4，则常数a 的值为（）A ．1-B ．1C ．2-D ．2【变式2】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）若()()23x m x x n +-+的积中不含2x x 、项，则m =，n =．【题型11】多项式相乘中的几何问题【例11】（22-23八年级上·四川绵阳·期末）学校需要设计一处长方形文化景观，分为中央雕塑区和四周绿化区．中央雕塑区的长边为（33m -）米，短边为2m 米，绿化区外边沿的长边为（42m -）米，短边为（31m -）米．试比较雕塑区和绿化区的面积大小．（m 为正数）【变式1】（23-24七年级上·湖南长沙·期末）下面四个整式中，不能．．表示图中阴影部分面积的是（）A ．(4)(3)3x x x ++-B ．24(3)x x ++C ．24x x+D ．(4)12x x ++【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）有若干张如图所示的正方形A 类、B 类卡片和长方形C 类卡片．如果要拼成一个长为()2a b +，宽为()32a b +的大长方形，那么需要C 类卡片张．【题型12】多项式除以单项式【例12】（22-23七年级下·宁夏银川·期末）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，2211322xy x y xy xy ⨯=-+(1)求所捂的多项式；(2)若2132x y ==，，求所捂多项式的值．【变式1】（2024·湖北武汉·模拟预测）若22233241216m x y x y x y ⨯=-，则m =（）A ．43x y-B ．43x y-+C ．43x y+D ．43x y--【变式2】（22-23七年级下·浙江温州·期末）若223615xy A x y xy =- ，则A 代表的整式是．【题型13】整式乘法混合运算【例13】（23-24七年级下·贵州毕节·期末）先化简，再求值：(1)()()()()22224x y x y x y x x y -+-+--，其中1x =-，2y =．(2)已知2210x x +-=，求代数式()()()()21433x x x x x ++++-+的值．【变式1】（21-22六年级下·全国·单元测试）等式()()324322xyz x y z y ⎡⎤÷-⋅=⎣⎦中的括号内应填入（）A ．6538x y z B ．228x y zC ．222x y zD ．222x y z±【变式2】（2024·福建厦门·二模）已知11x x-=-，则()()22131x x x +-+的值为．第三部分【中考链接与拓展延伸】【题型14】直通中考【例1】（2024·山东青岛·中考真题）下列计算正确的是（）A ．223a a a +=B ．523a a a ÷=C ．235()a a a -⋅=-D ．()23622a a =【例2】（2023·黑龙江大庆·中考真题）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，7()a b +展开的多项式中各项系数之和为．【题型15】拓展延伸【例1】（23-24八年级上·四川眉山·期中）观察下列各式：2(1)(1)1x x x -+=-；23(1)(1)1x x x x -++=-；324(1)(1)1x x x x x -+++=-；…根据规律计算：202220212020201943222222222-+-+⋯⋯+-+-的值是（）A ．2023223-B ．202321-C ．20232-【例2】（2024七年级上·全国·专题练习）按如图所示的程序进行计算，如果第一次输入x 的值是3-，则第2024次计算后输出的结果为．。
《整式的乘法复习》课件
学习建议与展望
深入理解概念
建议学生深入理解整式乘法的 概念和性质，掌握其本质，以
便更好地应用所学知识。
提高运算能力
强调学生应通过多做练习题提 高整式乘法的运算能力，掌握 常用的运算技巧。
拓展应用领域
建议学生将整式乘法的应用拓 展到其他学科领域，如物理、 化学等，以增强跨学科应用能 力。
展望未来发展
$(x+y)(x^2+y^2) = (x^2+y^2)(x+y)$，可用于交换多项式相乘的顺序。
整式乘法的综合练
04
习
基础练习题
总结词
掌握基本概念和规则
详细描述
包括单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与 多项式相乘等基础题型，旨在帮助学生掌握整式乘法的基本 概念和规则。
提高练习题
总结词
学习方法总结
主动参与
强调在学习整式乘法过程中，学 生应积极参与课堂讨论，主动思
考问题，提高自主学习能力。
实践应用
建议学生在课后多做练习题，通过 实践应用加深对整式乘法的理解， 提高运算能力和解决问题的能力。
归纳总结
鼓励学生对所学知识进行归纳总结 ，形成知识体系，以便更好地掌握 整式乘法的核心概念和运算规则。
小。
整式乘法的技巧与
03
注意事项
乘法公式的运用
01
02
03
平方差公式
$(a+b)(a-b) = a^2 b^2$，可用于简化整式 乘法。
完全平方公式
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，可用于展开整 式和简化整式乘法。
平方差公式
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，可用于展开整式 和简化整式乘法。
第2章整式的乘法小结与复习PPT课件
要点梳理
方法总结
本章中数形结合思想主要体现在根据给定的图形写出一个代数恒 等式或根据代数式画出几何图形. 由几何图形得到代数恒等式时，需 要用不同的方法表示几何图形的面积，然后得出代数恒等式；由代数 恒等式画图时，关键在于合理拼接——往往是把相等的边拼到一起．
针对训练
我们已知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示， 实际上还有一个代数恒等式也可以用这种情势来表示，例如 (2a + b)(a + b) = 2a2 + 3ab + b2，就可以用图①和图②等图形的面积表示.
解：(1)原式=
2
3
2 5
a1
2
b31
c 12 a3b4c. 5
(2) 原式= (－2x) ·(－6x3) + 5 ·(－6x3) + x2 ·(－6x3) = 12x4－30x3－6x5.
针对训练
将要解决的问题转化为另一个较易解决的问题，这是初中数学中
常单用 项的式思×想单方项法式.转如化本章有中理，数多的项乘式法×和多同项底式数幂转的化乘单法项.式×多项式
解：原式= (x3y2－x2y－x2y + x3y2)·3x2y = (2x3y2－2x2y)·3x2y = 6x5y3－6x4y2 .
当 x = 1，y = 3 时，原式 = 6×27－6×9 = 108.
针对训练
方法总结
整式的乘法主要包括单项式乘单项式、单项式乘多项式及 多项式乘多项式，其中单项式乘单项式是整式乘法的基础，必 须熟练掌握它们的运算法则.
解:∵ 420 = (42)10 =1610， ∴ 1610 > 1510. ∴ 420 > 1510.
例题讲授
七(下)第1章整式的乘除(全章复习与巩固)知识讲解与专项讲练
2023七（下）第1章整式的乘除知识讲解与专项讲练2023.06.12~6.15【学习目标】1.掌握正整数幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；2.会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3.掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算。
【知识要点】要点一、幂的运算1.同底数幂的乘法：a m ·a n ＝a m ＋n (m 、n 为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.2.幂的乘方：(a m )n ＝a mn ＝a nm ＝(a n )m (m 、n 为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘.3.积的乘方：(ab )n ＝a n b n ，(a x b y )n ＝a nx b ny (n 、x 、y 为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.4.同底数幂的除法：a m ÷a n ＝a m －n (a ≠0，m 、n 为正整数，并且m ＞n ).同底数幂相除，底数不变，指数相减.5.零指数幂：()010.a a =≠即：任何不等于零的数的零次方等于1.6.负整数次幂：p p a a 1=-(a ≠0，p 为正整数），a n 与a －n 互为倒数，n m m n pp a b b a ,a b b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---即：任何一个不等于零的数的－p (p 是正整数)次幂，等于这个数的p 次幂的倒数.特别说明：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.要点二、整式的乘除1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.特别说明：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++.4.单项式相除把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.即：()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++要点三、乘法公式1.平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.特别说明：在这里，a b ，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2.完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；2222)(b ab a b a +-=-两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.特别说明：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.【典型例题】类型一、整式的乘除➽➼幂的运算✭✭幂的逆运算1．计算：（1）()3201113823π-⎛⎫⎛⎫-+-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）()2331233282a a a a -⋅-÷举一反三：【变式1】计算：101|2|(2023667)3π-⎛⎫---+ ⎪⎝⎭（2）()()223234(6)x y xy ⋅-÷【变式2】计算：(1)22012()272--+-(2)2642135(2)5x x x x x⋅--+÷(1)253()()[()]a b b a a b -⋅-÷--；(2)先化简，再求值：426223225(3)()(2)a a a a a ⎡⎤⋅-÷÷-⎣⎦，其中5a =-．2．（2022春·福建泉州·八年级福建省永春第三中学校联考期中）阅读：已知正整数a 、b 、c ，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂b a 和b c ，当a c >时，则有b b a c >，根据上述材料，回答下列问题(1)比较大小：205______204（填写>、<或=）(2)比较332与223的大小（写出具体过程）(3)已知23a =，86b =求()322a b +的值【答案】(1)>(2)332223<，见分析(3)972【分析】（1）根据同指数，不同底数的两个幂b a 和b c ，当a c >时，则有b b a c >，即可进行解答；（2）将根据幂的乘方的逆运算，将332与223转化为同指数的幂，再比较大小即可；（3）根据同底数幂乘法的逆运算，将()322a b +转化为()3222a b ⨯，再根据积的乘方的逆运算，整理为含有2a 和8b 的性质，进行计算即可．（1）解：∵54>，∴202054>，故答案为：>．（2）∵()1133311228==，()1122211339==，89<，∴332223<．（3）原式()3222a b =⨯()()33222a b =⨯()()32322ba =⨯()2338b =⨯3236=⨯=972．【点拨】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方的运算法则和逆运算，解题的关键是熟练掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则及其逆运算法则．举一反三：【变式1】已知，若实数a 、b 、c 满足等式54a =，56b =，59c =．(1)求25a b +的值；(2)求25b c -的值；(3)求出a 、b 、c 之间的数量关系．【变式2】（2022春·全国·八年级专题练习）按要求解答下列各小题．(1)已知1012m =，103n =，求10m n -的值；(2)如果33a b +=，求327a b ⨯的值；(3)已知682162m m ⨯÷=，求m 的值．类型二、整式的乘除➽➼整式的乘法3．计算：(1)()()()2332ab a a b --- ；(2)()()221a a -+；(3)()()212x x +-．【答案】(1)446a b -(2)3222a a --(3)2232x x --【分析】（1）按照单项式乘以单项式的法则进行运算即可；（2）按照单项式乘以多项式的法则进行运算即可；（3）按照多项式乘以多项式的法则进行运算即可；（1）解：()()()2332ab a a b --- ()2236a b a b =- 44a b =-．（2）()()221a a -+3222a a =--；（3）()()212x x +-2242x x x =-+-2232x x =--．【点拨】本题考查的是单项式乘以单项式，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，掌握“整式的乘法运算的运算法则”是解本题的关键．举一反三：【变式1】计算：(1)()()202024311202323π-⎛⎫-+-+-- ⎪⎝⎭（2）()()()222x y x y x x y -++--【变式2】（2022春·河南周口·七年级校联考期中）如图，把8张长为a ，宽为b 的小长方形纸片摆放在一个大长方形纸盒内，空白部分分别用A ，B 表示，两个摆放小纸片的长方形（阴影）公共的部分边长为m ，（用a ，b ，m 分别表示周长和面积）(1)填空：①空白部分A 的周长A P =__________，面积A S =_____________，②空白部分B 的周长B P =______________，面积B S =________________；(2)若5a b =，求A B P P -，A B S S -的代数式．类型三、整式的乘除➽➼平方差公式✭✭完全平方公式4．（2022春·山西大同·八年级大同一中校考阶段练习）化简下列多项式：(1)()()()214121x x x +---；（2）()()223223a b a b +--+.【答案】(1)72x -(2)2244129a b b -+-【分析】（1）先计算乘法，再合并同类项，即可求解；（2）利用平方差公式计算，即可求解．（1）解：()()()214121x x x +---22441441x x x x x =-+--+-72x =-（2）解：()()223223a b a b +--+()()223223a b a b =+---⎡⎤⎣⎦()()22223a b =--2244129a b b =-+-【点拨】本题主要考查了整式的混合运算，灵活利用乘法公式计算是解题的关键．举一反三：【变式1】（2022春·重庆·八年级重庆市育才中学校考阶段练习）计算：(1)()()()y x y x y x y +--+;(2)()()224x x x ++-【变式2】运用公式进行简便计算：(1)210.210.2 2.4 1.44-⨯+；(2)2222111111112342022⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．5．（2022春·四川内江·八年级校考阶段练习）（1）已知实数x ，y 满足2296x y -=，8x y -=，求x y +的值．（2）已知实数a 、b 满足()23a b +=，()227a b -=，求22a b ab ++的值．【答案】（1）12x y +=；（2）229a b ab ++=．【分析】（1）利用平方差公式，化简求解即可；（2）利用完全平方公式进行化简，分别求得22a b +和ab 的值，即可求解．解：（1）∵2296x y -=，∴()()96x y x y +-=，∵8x y -=，∴12x y +=；（2）∵()23a b +=，()227a b -=，∴2223a ab b ++=，22227a ab b -+=，∴222a 2b 30+=，424ab =-，∴22a b 15+=，6ab =-，∴()221569a b ab ++=+-=．【点拨】此题考查了完全平方公式和平方差公式，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．举一反三：【变式1】已知5a b +=，3ab =．求下列各式的值：(1)22a b +；(2)()2a b -；(3)()()()()1111a b a b ++--．【变式2】已知：221x x +=，将()()()()2(1)3331x x x x x --+----先化简，再求它的值．类型四、整式的乘除➽➼整体的除法6．（2022春·八年级课时练习）计算下列各题：(1)()()322432714x y xy x y ⋅-÷；(2)()()222x y x y y x ⎡⎤+-+÷．【变式1】先化简，再求值：()()()21242x y x y x y y ⎡⎤+--+÷⎣⎦，其中1x =，2y =．【变式2】已知24750a a -+=，求代数式()2232(21)a a a a -÷--的值．类型五、整式的乘除➽➼图形问题7．（2021春·陕西延安·八年级陕西延安中学校考阶段练习）如图所示，两个长方形用不同形式拼成图1和图2两个图形．(1)若图1中的阴影部分面积为22a b -；则图2中的阴影部分面积为_________．（用含字母a ，b 的式子且不同于图1的方式表示）(2)由（1）你可以得到乘法公式____________．(3)根据你所得到的乘法公式解决下面的问题：计算：①10397⨯；②()()22a b c a b c +---．【变式1】图a 是一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图b 的形状拼成一个正方形．(1)你认为图b 中的阴影部分的正方形的边长等于多少？(2)请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．方法1：方法2：(3)观察图b 你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：()()22,,m n m n mn+-(4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若75a b ab +==，，则2()a b -=．（请直接写出计算结果）【变式2】（2022春·八年级课时练习）如图，在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a b >），把余下的部分剪拼成一个矩形．(1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是：_________A ．()2222a ab b a b -+=-B ．()()22a b a b a b -=+-C ．()2a ab a a b +=+D ．()222a b a b -=-(2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知：3a b -=，2221a b -=，求a b +的值；②计算：22222111111111123420202021⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【中考真题专练】【1】（2022·江苏常州）计算：(1)201(3)3---+π；(2)2(1)(1)(1)+--+x x x ．【2】（2022·广西·统考）先化简，再求值()()()22x y x y xy xy x +-+-÷，其中11,2x y ==．【3】（2022·河北·统考）发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．验证：如，()()22212110++-=为偶数，请把10的一半表示为两个正整数的平方和．探究：设“发现”中的两个已知正整数为m ，n ，请论证“发现”中的结论正确．a+，宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵【4】（2022·浙江金华）如图1，将长为23爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．(1)用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长．(2)当3a=时，该小正方形的面积是多少？2023七（下）第1章整式的乘除知识讲解与专项讲练2023.06.12~6.15【学习目标】1.掌握正整数幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；2.会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3.掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算。
人教版八年级上册数学《整式的乘法》整式的乘法与因式分解说课复习(单项式与单项式相乘)
(2) (- 4x) (2x2+3x-1)
解：原式=(- 4x) •2x2+(- 4x)•3x+(- 4x)•(-1) = - 8x3- 12x2+4x
(3) ab ( ab2 - 2ab)
解：原式= a2b3–2 a2b2 单项式与多项式相乘时，分两个阶段： ①按乘法分配律把乘积写成单项式与单项式乘积的代数和的形式； ②单项式的乘法运算。
(7)-5a3b2c·3a2b=-15a5b3c (8)a3b·(-4a3b)=-4a6b2 (9)(-4x2y)·(-xy)=4x3y2 (10)2a3b4(-3ab3c2)=-6a4b7c2 (11)-2a3·3a2=-6a5 (12)4x3y2·18x4y6=72x7y8
2.计算：(－a)2 ·a3 ·(－2b)3 －(－2ab)2 ·(－3a)3b
谢 谢 观 看！
4.若n为正整数，x3n=2,2x2n ·x4n+x4n ·x5n的值。
解：2x2n ·x4n+x4n ·x5n =2x6n+x9n =2(x3n)2+(x3n)3 =2×22+23 =8+8 =16
∴原式的值等于16。
5 已知1 (x2 y3 )m • (2xyn1)2 x4 • y9 , 4
情境引入 x
mx
1 8
x
x
3x 4
1 8
x
mx
第一幅的面积是 x(mx)
这是两个单项式相乘， 结果可以表达得更简
第二幅的面积是 (mx)( 3 x ) 单些吗？
4
光的速度约为3×105千米/秒,太阳光照射到
地球上需要的时间大约是5×102秒,你知道地
球与太阳的距离约是多少千米吗?
整式的乘法知识点汇总
整式的乘法知识点汇总&练习1. 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
a n.a m =a m+n (m,n 是正整数).底数可以是数字或字母，可以是单项式，也可以是多项式，若是多项式，应该把多项式看做一个整体。
幂之间是乘法关系，指数之间是相加关系。
2. 幂的乘方，底数不变，指数相乘。
(a n )m =a mn (m,n 是正整数)。
注意负数的奇数次幂为负，负数的偶数次幂为正。
3. 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
(ab)n =a n b n (n 是正整数)。
底数必须是积的形式，当底数中有多个因式时，切勿漏掉系数因式的乘方。
当底数中有“-”时，应将视为-1，作为系数因式进行乘方。
4. 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘。
积的系数等于各单项式系数的积，应先确定积的符号，在计算积的绝对值。
相同字母的指数相加。
有乘方的先算乘方，再算乘法。
5. 单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
a （m+n ）=am+an 。
单项式乘以多项式的每一项，注意符号变化，能合并同类项的要合并同类项。
6. 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
（a+b ）（m+n ）=am+an+bm+bn 。
7. 平方差公式，即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。
（a+b ）（a -b ）=a 2-b 2有一组符号相同，有一组符号相反，用相同数的平方减去相反数的平方。
每一组数的绝对值都相同。
8. 完全平方公式，即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍。
（a+b ）2=a 2+2ab+b 2,（a -b ）2=a 2-2ab+b 2首平方，尾平方，积的两倍在中央。
9. 公式的灵活变形：（a+b ）2+（a -b ）2=2a 2+2b 2，（a+b ）2-（a -b ）2=4ab ，a 2+b 2=（a+b ）2-2ab ，a 2+b 2=（a -b ）2+2ab ，（a+b ）2=（a -b ）2+4ab,（a -b ）2=（a+b ）2-4ab=====-=-=+-+-=--+-=+•=-•=++=+=-+=++=÷===••-+n m n m n m a a a a a a x y y x x y y x b a a bc a ab x x y x b a b a a a b b b a a a a a ,,8,2)()2())(())((2)2(3)4)(5()3()2)(2()2)(32()2()(85222584233253求已知）（因式分解知识点&练习1.把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解。
整式的乘除知识点及题型复习
整式运算考点1、幂的有关运算①=⋅nm a a （m 、n 都是正整数）②=n m a )( （m 、n 都是正整数）③=n ab )( （n 是正整数） ④=÷nm a a （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m>n ） ⑤=0a （a ≠0）⑥=-p a （a ≠0，p 是正整数） 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
积的乘方法则：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
同底数幂相除，底数不变，指数相减。
例：在下列运算中，计算正确的是（ ）（A ）326a a a ⋅= （B ）235()a a =（C ）824a a a ÷=（D ）2224()ab a b =练习：1、()()103x x -⨯-=________.2、()()()32101036a a a a -÷-÷-÷ = 。
3、23132--⎛⎫-+ ⎪⎝⎭= 。
4、322(3)---⨯- = 。
5、下列运算中正确的是（ ）A ．336x y x =；B ．235()m m =；C ．22122x x-=； D ．633()()a a a -÷-=- 6、计算()8pm n a aa ⋅÷的结果是（ ）A 、8mnp a - B 、()8m n p a ++ C 、8mp np a+- D 、8mn p a+-7、下列计算中，正确的有（ ）①325a a a ⋅= ②()()()4222ab ab ab ab ÷= ③()322a a a a ÷÷= ④()752a a a -÷=。
A 、①②B 、①③C 、②③D 、②④ 8、在①5x x ⋅ ②7x y xy ÷ ③()32x - ④()233x y y ÷中结果为6x 的有（ ）A 、①B 、①②C 、①②③④D 、①②④ 提高点1：巧妙变化幂的底数、指数 例：已知：23a =，326b =，求3102a b+的值；1、 已知2a x =，3bx =，求23a bx-的值。
整式的乘法与因式分解知识点
整式的乘法与因式分解知识点整式的乘法和因式分解是初中数学中的重要知识点，也是后续学习代数、方程和不等式的基础。
本文将详细介绍整式的乘法和因式分解的定义、性质和方法。
一、整式的乘法整式是由常数和单项式相加（减）得到的代数式，其中单项式是指只包含一个变量的项。
整式的乘法是指将两个或多个整式相乘的运算。
1.单项式的乘法：单项式的乘法遵循以下运算法则：-同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
例如，a^m*a^n=a^(m+n)。
-不同底数幂相乘，指数相乘。
例如，a^m*b^n=a^m*b^n。
- 系数相乘。
例如，k * t = kt。
2.多项式的乘法：多项式的乘法通过将每一项都与另一个多项式的每一项相乘，并将结果相加得到。
例如，(a+b+c)(x+y+z) = ax+ay+az+bx+by+bz+cx+cy+cz。
这个过程通常称为“分配律”。
二、整式的因式分解整式的因式分解是指将一个整式表示成几个单项式的乘积的运算。
因式分解的基本思路是找到整式的公因式，然后使用“提公因式法”将整式表示为公因式与其余部分的乘积。
1.提公因式法：假设整式ax+bx有一个公因式x，则可以将其改写为x(a+b)。
这个过程是因式分解中最基本的方法。
根据此原理，我们可以使用提公因式法因式分解更复杂的整式。
2.完全平方公式的因式分解：完全平方公式是指一个二次三项式（即一元二次多项式）的平方可以被因式分解成两个平方的和或差。
例如，a^2+2ab+b^2可以因式分解为(a+b)^2，而a^2-2ab+b^2可以因式分解为(a-b)^23.完全立方公式的因式分解：完全立方公式是指一个三次三项式（即一元三次多项式）的立方可以被因式分解成两个立方的和或差。
例如，a^3+3a^2b+3ab^2+b^3可以因式分解为(a+b)^3，而a^3-3a^2b+3ab^2-b^3可以因式分解为(a-b)^34.分组分解法：分组分解法是指根据整式中各项之间的关系将整式进行分组，以便使用提公因式法进行因式分解。
整式的乘法复习
整式的乘法练习题(一)填空1．a8=(-a5)______．2．a15=()5．3．3m2·2m3=______．4．(x+a)(x+a)=______．5．a3·(-a)5·(-3a)2·(-7ab3)=______．6．(-a2b)3·(-ab2)=______．7．(2x)2·x4=()2．8．24a2b3=6a2·______．9．[(a m)n]p=______．10．(-mn)2(-m2n)3=______．11．多项式的积(3x4-2x3+x2-8x+7)(2x3+5x2+6x-3)中x3项的系数是______．12．m是x的六次多项式，n是x的四次多项式，则2m-n是x的______次多项式．14．(3x2)3-7x3[x3-x(4x2+1)]=______．15．｛[(-1)4]m}n=______．16．-｛-[-(-a2)3]4}2=______．17．一长方体的高是(a+2)厘米，底面积是(a2+a-6)厘米2，则它的体积是______．18．若10m=a，10n=b，那么10m+n=______．19．3(a-b)2[9(a-b)n+2](b-a)5=______(a-b)n+9．20．已知3x·(x n+5)=3x n+1-8，那么x=______．21．若a2n-1·a2n+1=a12，则n=______．22．(8a3)m÷[(4a2)n·2a]=______．23．若a＜0，n为奇数，则(a n)5______0．24．(x-x2-1)(x2-x+1)n(x-x2-1)2n=______．25．(4+2x-3y2)·(5x+y2-4xy)·(xy-3x2+2y4)的最高次项是______．26．已知有理数x，y，z满足|x-z-2|+(3x-6y-7)2+|3y+3z-4|=0，则x3n+1y3n+1z4n-1的值(n为自然数)等于______．(二)选择27．下列计算最后一步的依据是[]5a2x4·(-4a3x)=[5×(-4)]·a2·a3·x4·x(乘法交换律)=-20(a2a3)·(x4x)(乘法结合律)=-20a5x5．()A．乘法意义；B．乘方定义；C．同底数幂相乘法则；D．幂的乘方法则．28．下列计算正确的是[]A．9a3·2a2=18a5；B．2x5·3x4=5x9；C．3x3·4x3=12x3；D．3y3·5y3=15y9．29．(y m)3·y n的运算结果是[]B．y3m+n；C．y3(m+n)；D．y3mn．30．下列计算错误的是[]A．(x+1)(x+4)=x2+5x+4；B．(m-2)(m+3)=m2+m-6；C．(y+4)(y-5)=y2+9y-20；D．(x-3)(x-6)=x2-9x+18．31．计算-a2b2·(-ab3)2所得的结果是[]A．a4b8；B．-a4b8；C．a4b7；D．-a3b8．32．下列计算中错误的是[]A．[(a+b)2]3=(a+b)6；B．[(x+y)2n]5=(x+y)2n+5；C．[(x+y)m]n=(x+y)mn；D．[(x+y)m+1]n=(x+y)mn+n．33．(-2x3y4)3的值是[]A．-6x6y7；B．-8x27y64；C．-8x9y12；D．-6xy10．34．下列计算正确的是[]A．(a3)n+1=a3n+1；B．(-a2)3a6=a12；C．a8m·a8m=2a16m；D．(-m)(-m)4=-m5．35．(a-b)2n·(b-a)·(a-b)m-1的结果是[]A．(a-b)2n+m；B．-(a-b)2n+m；C．(b-a)2n+m；D．以上都不对．36．若0＜y＜1，那么代数式y(1-y)(1+y)的值一定是[]A．正的；B．非负；C．负的；D．正、负不能唯一确定．37．(-2.5m3)2·(-4m)3的计算结果是[]A．40m9；B．-40m9；C．400m9；D．-400m9．38．如果b2m＜b m(m为自然数)，那么b的值是[]A．b＞0；B．b＜0；C．0＜b＜1；D．b≠1．39．下列计算中正确的是[]A．a m+1·a2=a m+2；D．[-(-a)2]2=-a4．40．下列运算中错误的是[]A．-(-3a n b)4=-81a4n b4；B．(a n+1b n)4=a4n+4b4n；C．(-2a n)2·(3a2)3=-54a2n+6；D．(3x n+1-2x n)·5x=15x n+2-10x n+1.41．下列计算中，[](1)b(x-y)=bx-by，(2)b(xy)=bxby，(3)b x-y=b x-b y，(4)2164=(64)3，(5)x2n-1y2n-1=xy2n-2．A．只有(1)与(2)正确；B．只有(1)与(3)正确；C．只有(1)与(4)正确；D．只有(2)与(3)正确．42．(-6x n y)2·3x n-1y的计算结果是[]A．18x3n-1y2；B．-36x2n-1y3；C．-108x3n-1y；D．108x3n-1y3．[]44．下列计算正确的是[]A．(6xy2-4x2y)·3xy=18xy2-12x2y；B．(-x)(2x+x2-1)=-x3-2x2+1；C．(-3x2y)(-2xy+3yz-1)=6x3y2-9x2y2z2-3x2y；45．下列计算正确的是[]A．(a+b)2=a2+b2；B．a m·a n=a mn；C．(-a2)3=(-a3)2；D．(a-b)3(b-a)2=(a-b)5．[]47．把下列各题的计算结果写成10的幂的形式，正确的是[]A．100×103=106；B．1000×10100=103000；C．1002n×1000=104n+3；D．1005×10=10005=1015．48．t2-(t+1)(t-5)的计算结果正确的是[]A．-4t-5；B．4t+5；C．t2-4t+5；D．t2+4t-5．49．使(x2+px+8)(x2-3x+q)的积中不含x2和x3的p，q的值分别是[]A．p=0，q=0；B．p=-3，q=-9；C．p=3，q=1；D．p=-3，q=1．50．设xy＜0，要使x n y m·x n y m＞0，那么[]A．m，n都应是偶数；B．m，n都应是奇数；C．不论m，n为奇数或偶数都可以；D．不论m，n为奇数或偶数都不行．51．若n为正整数，且x2n=7，则(3x3n)2-4(x2)2n的值为[]A．833；B．2891；C．3283；D．1225．(三)计算52．(6×108)(7×109)(4×104)．53．(-5x n+1y)·(-2x)．54．(-3ab)·(-a2c)·6ab2．55．(-4a)·(2a2+3a-1)．58．(3m-n)(m-2n)．59．(x+2y)(5a+3b)．60．(-ab)3·(-a2b)·(-a2b4c)2．61．[(-a)2m]3·a3m+[(-a)5m]2．62．x n+1(x n-x n-1+x)．63．(x+y)(x2-xy+y2)．65．5x(x2+2x+1)-(2x+3)(x-5)．67．(2x-3)(x+4)．70．(-2a m b n)(-a2b n)(-3ab2)．74．(m-n)(m5+m4n+m3n2+m2n3+mn4+n5)．75．(2a2-1)(a-4)(a2+3)(2a-5)．76．2[(x+2)(x+1)-3]+(x-1)(x-2)-3x(x+3)．77．(0.3a3b4)2·(-0.2a4b3)3．78．(-4xy3)·(-xy)+(-3xy2)2．80．(5a3+2a-a2-3)(2-a+4a2)．81．(3x4-2x2+x-3)(4x3-x2+5)．83．(3a m+2b n+2)(2a m+2a m-2b n-2+3b n)．86．[(-a2b)3]3·(-ab2)．87．(-2ab2)3·(3a2b-2ab-4b2)．91．(-2x m y n)3·(-x2y n)·(-3xy2)2．92．(0.2a-1.5b+1)(0.4a-4b-0.5)．93．-8(a-b)3·3(b-a)．94．(x+3y+4)(2x-y)．96．y[y-3(x-z)]+y[3z-(y-3x)]．97．计算[(-a)2m]3·a3m+[(-a)3m]3(m为自然数)．(四)化简(五)求值104．先化简y n(y n+9y-12)-3(3y n+1-4y n)，再求其值，其中y=-3，n=2．105．先化简(x-2)(x-3)+2(x+6)(x-5)-3(x2-7x+13)，再求其值，其中x=106．光的速度每秒约3×105千米，太阳光射到地球上需要的时间约是5×102秒．问地球与太阳的距离约是多少千米？(用科学记数法写出来)107．已知ab2=-6，求-ab(a2b5-ab3-b)的值．108．已知a+b=1，a(a2+2b)+b(-3a+b2)=0.5，求ab的值．110．已知(x-1)(x+1)(x-2)(x-4)≡(x2-3x)2+a(x2-3x)+b，求a，b的值．111．多项式x4+mx2+3x+4中含有一个因式x2-x+4，试求m的值，并求另一个因式．112．若x3-6x2+11x-6≡(x-1)(x2+mx+n)，求m，n的值．113．已知一个两位数的十位数字比个位数字小1，若把十位数字与个位数字互换，所得的新两位数与原数的乘积比原数的平方多405，求原数．114．试求(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)…(232+1)+1的个位数字．115．比较2100与375的大小．116．解方程3x(x+2)+(x+1)(x-1)=4(x2+8)．118．求不等式(3x+4)(3x-4)＞9(x-2)(x+3)的正整数解．119．已知2a=3b=6c(a，b，c均为自然数)，求证：ab-cb=ac．120．求证：对于任意自然数n，n(n+5)-(n-3)×(n+2)的值都能被6整除．121．已知有理数x，y，z满足|x-z-2|+(3x-6y-7)2+|3y+3z-4|=0，求证：x3n y3n-1z3n+1-x=0．122．已知x=b+c，y=c+a，z=a+b，求证：(x-y)(y-z)(z-x)+(a-b)(b-c)(c-a)=0．123．证明(a-1)(a2-3)+a2(a+1)-2(a3-2a-4)-a的值与a无关．124．试证代数式(2x+3)(3x+2)-6x(x+3)+5x+16的值与x的值无关．125．求证：(m+1)(m-1)(m-2)(m-4)=(m2-3m)2-2(m2-3m)-8．1、2、若2x + 5y－3 = 0 则=3、已知a = 355 ,b = 444 ,c = 533则有( )A．a < b < c B．c < b < a C．a < c < b D．c < a < b4、已知,则x =5、21990×31991的个位数字是多少6、计算下列各题(1)(2)(3)(4)7、计算(－2x－5)(2x－5)8、计算9、计算,当a6 = 64时, 该式的值。
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整式的乘法复习
教学目标
1、掌握同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方运算法则．
2、掌握整式乘法中平方差和完全平方公式的法则．
3、熟练运用同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方这三个运算法则的逆运用． 重点：掌握三个运算法则的数学表达式和语言表述及其逆运用；掌握平方差公式和完全平方公式．
难点：理解幂的三个运算法则，并熟练运用这三个法则的逆运用进行计算与化简 知识网络归纳
22222()(,,)()()()():()()()2m n m n m n mn n n n a a a a a m n a b ab a b m a b ma mb m n a b ma mb na nb a b a b a b a b a ab b +⎧⎫⋅⎪⎪=⎨⎬⎪⎪=⋅⎩⎭⨯⎧⎪⨯+=+⨯++=+++⎨⎧+-=-⎪−−−→⎨±=±+⎪⎩特殊的=幂的运算法则为正整数，可为一个单项式或一个式项式单项式单项式单项式多项式:多项式多项式：
整式的乘法平方差公式 乘法公式完全平方公式：⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩
前置知识复习
______________⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎩⎨⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩⎪
⎪−−−−→⎩
合并同类项单独一个数字、字母次数：系数：整式项数：次数：整式的加减 例1：2121()3()n n x y y x ---+-化简：
练习1：4(6)25n m n x m x y xy ++-+当、满足什么条件时，多项式是四次三项式？ 幂的运算法则
________()________
()________m n m n n a a a ab ⎧⋅⎪=⎨⎪=⎩
同底数幂乘法=幂的运算法则幂的乘方积的乘方 整式的乘法
________________________________=________________________⎧⎪=⎨⎪=⎩
同底数幂乘法=幂的乘方积的幂乘运用方的运算逆
例2：2139273m m m ⨯⨯已知＝，求的值
2321
12321321
1
23(3)(3)331521
33334
3m m m m m m m m ++=+== 解：＝＝
练习2：=_____22___8x y x y m n +＝，＝，则 例3： 20022003200220025577() 1.4()()7755
⨯=⨯⨯ 200257777()175555
=⨯⨯=⨯= 练习3：()()22232434n
n n x x x 已知＝，求－的值
2()___________()()___________:()()___________()___________m a b m n a b a b a b a b ⨯⎧⎪⨯+=⎪⎪⨯++=⎨⎪+-=⎧⎪⎪−−−→⎨⎪±=⎪⎩⎩
特殊的单项式单项式单项式多项式:多项式多项式：整式的乘法平方差公式 乘法公式完全平方公式：
例4：
2222222
222222111=411=1=414==41=41()=4112161216114x x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x
x x
+++++++∴++++=++=∴+= 已知，求、的值解：通分得，把代入得①①平方得：
练习4：2310x x 已知－＋＝
，求下列各式的值 2432431111(1)(2)(3)(4)x x x x x x x x
++++；；； 例5：计算()(1)1m n m n ＋－－－
22
22=[()][()]
()11121m n m n m n m m n =-+=-解：原式－＋－－－－
练习5：()3(2)23a b c a b c -++-计算：
设计分层设计：本节课的四道练习题中，学生掌握了_______题
A 类：全部掌握；
B 类：掌握2~3题；
C 类：最多掌握一题
分层作业
根据课内习题完成情况：A 类第1-7题选做；B 类第1-4、16题选做；C 类第5、8、11、17选做
一、填空题
1、 (－x)·x 2·(－x 4)＝ ，(xy 2)2＝ .
2、(－2×105)2×1021＝ ，(－3xy 2)2·(－2x 2y)＝ .
3、计算：(－8)2004 (－0.125)2003＝ ，22005－22004＝ .
4、计算：(m －n)3·(m －n)2·(n －m)＝
(a ＋2)(a －2)(4＋a 2)＝ ，(m ＋n+1)(m －n+1)＝ .
5、x n ＝5，y n ＝3，则(xy)2n ＝ ，若2x ＝m ，2y ＝n ，则8x+y ＝ .
6、若A＝3x－2，B＝1－2x，C＝－5x，则A·B＋A·C＝.
7、不等式(x＋16)(x＋4)＞(x＋12)2的解集是.
8、比较25180，64120，8190的大小用“＜”号联.
二、选择题
9、下列各式中，正确的是（）
A、m2·m3＝m6
B、(－a＋b)(b－a)＝a2－b2
C、25a2－2b2＝(5a＋2b)(5a－2b)
D、(x－y)(x2＋xy＋y2)＝x3－y3
10、已知5x＝3，5y＝4，则25x+y的结果为（）
A、144
B、24
C、25
D、49
11、x为正整数，且满足3x+1·2x－3x2x+1＝66，则x＝（）
A、2
B、3
C、6
D、12
12、把多项式2x2＋bx＋c分解因式后得2(x－3)(x＋1)，则b、c的值为（）
A、b＝3，c＝－1
B、b＝－6，c＝2
C、b＝－6，c＝－4
D、b＝－4，c＝－6
13、不等式(x－1)2－(x＋1)(x－1)＋3(x＋1)＞0的正整数解为（）
A、1, 2
B、1, 2, 3
C、1, 2, 3, 4
D、任意正整数
14、若m2＋m－1＝0，则m3＋2m2＋3＝（）
A、2
B、4
C、－2
D、－4
三、解答题
15、计算：
(1) (－2y3)2＋(-4y2)3－[(－2y)2·(-3y2)2]；
(2) (3x＋2)2－(3x－2)2＋(3x＋2)2·(3x－2)2；
(3) 3.76542＋0.4692×3.7654＋0.23462.
16、解方程或不等式：
(1) 3(x＋2)2＋(2x－1)2－7(x＋3)(x－3)＝28；
(2) (1－3x)2－(2x－1)2＞5(x－1)(x＋1).
17、化简求值：
(1) (x2＋3x)(x－3)－x(x－2)2＋(－x－y)(y－x)，其中x＝3，y＝－2；
(2) 已知x2－3x＋1＝0，求下列各式的值，
①
2
2
1
x
x
+
；②
4
4
1
x
x
+
.
课后反思
通过本节课的学习，学生回顾了幂的运算法则、整式乘法公式以及相关习题。
习题的铺设有层次有区分度，要求在解题格式和规范上要按要求不跳步地书写，通过课内练习，也能反应出哪些学生能够掌握知识点和解题方法，哪些同学的解题过程有跳步情况，哪些同学还不会。
本节课运用了imindmap软件进行了思维导图式的演示，使学生就知识体系有了清楚的理解，imindmap中的显示清晰还有待进一步改善和提高。
在之前的试讲中，课都来不及上完，所以本节课加快了讲课速度，内容全部结束了还剩5分钟时间是意料之外的。
学生练习的比较多，发言的次数比较少。
学生上黑板做练习的字偏小，后排同学看不清。
例题可以考虑使用学生之前做过的错题进行展示，能够激发学生听课兴趣和讨论积极性。
对于平方差和完全平方公式中的“甲、乙”是否利于学生掌握和运用，是否有违背数学语言，有待商榷。