北师大版高中数学选修2-3第二章《概率》离散型随机变量的均值

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例2 . 一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题
有4 个选项, 其中仅有一个选项正确.每题选对 得5分,不选或选错不得分,满分100分.学生甲 选对任意一题的概率为0.9.学生乙则在测验中 对每题都从4个选项中随机 地 选择一个, 求学生甲和学生乙在这单元测验中的成绩的均值。
解:设学生甲和学生乙在这单元测验中选对的题数
E(5X2)=5EX2=5X5=25
思考:
(1)学生甲在这次单元测验中的成绩一定是90分吗?
不一定.他的成绩是一个随机变量, 可能取值为 0,5,10,…95,100 (2) 他的均值为90分的含义是什么?
含义是:在多次类似的考试中,他的平均成绩大约是90 分 16
例3.根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率为0.25,
19 所以第二台机床生产出的次品少
（六）小结
Ⅰ、求随机变量均值的一般步骤： 1、写出X的分布列，在求X取每一个值时，要联系 前一章古典概率的计算； 2、由分布列求EX； 3、如果随机变量是线性关系或服从二项分布， 根据它们的均值公式计算。 Ⅱ、1.离散型随机变量均值的定义和含义; 2.离散型 随机变量均值的性质: E(aX+b)=aE X+b 3.随机变量的均值与样本的平均值的联系与区别; 4.两点分布的均值:若X服从两点分布, 则EX=p
2.4
. 5.8 .
(2)若η=2ξ+1，则Eη=
2、随机变量ξ的分布列是
ξ P 4 0.3 7 a 9 b 10 0.2
Eξ=7.5,则a=
0.1 b=
0.4 .
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（四）、例题探析
例1 篮球比赛中,罚球命中一次得1分，不中得0分，
如果某运动员罚球命中的概率为0.7,那么他罚球1次
的得分X的均值是多少?
北师大版高中数学选修2-3 第二章《概率》
法门高中姚连省制作
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一、教学目标：1、知识与技能：了解离散型随机变 量的均值或期望的意义，会根据离散型随机变量的分 布列求出均值或期望。2、过程与方法：理解公式“E B（n,p），则 （aξ +b）=aEξ +b”，以及“若ξ Eξ =np”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变 量的均值或期望。3、情感、态度与价值观：承前启 后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化 功能与人文价值。 二、教学重点：离散型随机变量的均值或期望的概 念。 教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出均值 或期望。 三、教学方法：讨论交流，探析归纳 四、教学过程 2
则 P（ Y=aX+b）=P（X= xi)=pi ,i=1,2,3,… 所以，Y的分布列为：
Y P
ax1+b p1
ax2+b p2
…… axn+b ……
pn
…… ……
(2).EY = (ax1+b)p1+(ax2+b)p2+…+(axn+b)pn
=a(x1p1+x2p2+…+xnpn)+b(p1+p2+…+pn)
加 权 平 均
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问题1:某商场要将单价分别为18元/kg, 24元/kg,
36元/kg的3种糖果按 的比 3:2:1例混合销售, 如何对混合糖果定价才合理? 分析:由于在1kg的混合糖果中,3种糖果的质量分别是,
1 1 1 kg , kg , kg 所以混合糖果的合理价格应该是 2 3 6
它是三种糖果价格的一种加权平均,这里的权数分别是 1 1 1 , , 2 3 6 注意: 权数就是从混合糖果中任取一颗糖果,取到每种糖果的概率,
解: P( X 1) 0.7, P( X 0) 0.3 EX 1 P( X 1) 0 P( X 0)
1 0.7 0 0.3 0.7
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变式 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1 分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概 率为0.7，他连续罚球3次； （1）求他得到的分数X的分布列； （2）求X的期望。
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复习引入
对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确 定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中， 有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例 如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平， 很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否 “两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。 我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某 个方面的特征，最常用的有期望与方差.
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（五）.课堂练习
教材P64-65 练习:1-5
1.不一定.
例如,掷一枚硬币,出现正面的次数X是随机变量,它的取值为0,1, 取每个值的概率都为0.5,故均值是0.5.而不是1,也不是0
2.E(X)=0x0.1+1x0.2=2x0.3=3x0.2+4x0.1+5x0.1=2.3
3.
X P
-1 0.5
1 0.5
E(X)=-1x0.5+1x0.5=0
注意:要求离散型随机变量的均值,一般首先写出分布列 4.第一台机床生产零件的平均次品数 E(X1)=0X0.4+1X0.3+2X0.2+3X0.1=1 第二台机床生产零件的平均次品E(X2)=0X0.3+1X0.5+2X0.2=0.9 E(X2)< E(X1)
（一）.复习提问
1、什么是离散型随机变量的分布列？ 它具有什么性质？
X
p
x1 p1
x2 p2
x3 p3
…… ……
xn pn
…… ……
任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质： (1)pi≥0，i＝1，2，…； (2)p1＋p2＋…＝1．
2、n次独立重复试验中某个事件恰好发生k次的概率？
3、独立重复试验中某个事件首次发生所做试 验的次数的概率？
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（二）、探究
1、某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1， 1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是 多少？
1111 2 2 2 3 3 4 X 2 10
权数
X P 1
4 10
把环数看成随机变量的概率分布列：
2
3 10
3
2 10
4
1 10
4 3 2 1 X 1 2 3 4 2 10 10 10 10
采用第3种方案,有
, 有大洪水； 60000 X 3 10000 ，有小洪水； 0，无洪水
于是,
EX1=3800,
EX2=62000XP(X2=62000)+2000XP(X2=2000) =62000X0.01+2000X(1-0.01)=2600 EX3=60000XP(X3=60000) +10000XP(X3=10000)+0XP(X3=0) =60000X0.01+10000X0.25=3100 显然,采取方案2的损失最小,所以可以选择方案2
k k k 0 n nk k k 1
np C n 1 p k 1q n 1( k 1)
k 1 k 1
n
np C n 1 p q
k k k 0
n 1
n 1 k
np
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（三）、基础训练
1、随机变量ξ的分布列是
ξ 1 3 5
P
0.5
0.3
0.2
(1)则Eξ=
=a E X+b
即E(a X+b)= a EX+b
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2.离散型随机变量均值的性质:
随机变量的线性组合的均值等于随机变量均值线性组合. 即若两个随机变量X和Y的均值都为有限数,则
E (aX bY ) aE ( X ) bE (Y )
其中a和b为任意实数
3.随机变量的均值与样本的平均值的联系与区别
则X是离散型随机变量,其分布列为 X P 18
1 2
24
1 3
36
1 6
因此,权数恰好是随机变量X的分布列. 这样,每千克混合糖果的合理价格可表示为
18 P( X 18) 24 P( X 24) 36 P( X 36 ) 7
1.定义
X
p 则称
一般地，若离散型随机变量X的分布列为 …… …… …… ……
有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备, 遇到大洪水时要损失60 000元,遇到小洪水时要损失 10 000元.为保护设备,有以下3种方案: 方案1:运走设备,搬运费3 800元; 方案2:建保护围墙,建设费为2 000元.但围墙只能防小洪水. 方案3:不采取措施,希望不发生洪水.
试比较哪一种方案好? 解:用X1,X2和X3分别表示三种方案的损失 采用第1种方案,无论有无洪水,都损失3 800元, 即X1=3 800 采用第2种方案,遇到大洪水时,损失2000+60000=62000元; 没有大洪水时,损失2000元,即 62000，有大洪水 X2 2000 , 无大洪水 17
解：(1) X～B（3，0.7）
X P 0 1322 Nhomakorabea3
0.3
C 0.7 0.3
1 3
C 0.7 0.3
2 3 2
0.7
3
1 2 (2) EX 0 0.33 1 C3 0.7 0.32 2 C3 0.72 0.3 3 0.73
EX 2.1 3 0.7
x1 p1
x2 p2
x3 p3
xn pn
EX= x1 p1+ x2p2+…+ xn pn+… 为X的均值或数学期望.
它体现了离散型随机变量取值的平均水平。
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