2016年七宝高三三模(理)(第一次)

上海市高考最后冲刺模拟卷（一）数学理2016.5.18一、填空题(本大题满分56分) 1.函数y =(]0,1。

2.已知}R x x y y M ∈==,2，{}R y x y x x N ∈=+=,,222,则=N M []2,0。

3.在411)(1)x x++（的展开式中2x 项的系数为 10 ． 4．已知地球的半径为R ，在北纬45︒东经30︒有一座城市A ，在北纬45︒西经60︒有一座城市B ， 则坐飞机从城市A 飞到B 的最短距离是3R π．(飞机的飞行高度忽略不计)5.已知一随机变量的分布列如下表，则随机变量的方差D ξ=11.ξ6．在极坐标系中，点(2 ) (2 )2A B π，，，，C 为曲线2cos ρθ=的对称中心，则三角形ABC 面积 等于3．7.高三(1)班班委会由4名男生和3名女生组成，现从中任选3人参加上海市某社区敬老服务工作， 则选出的人中至少有一名女生的概率是.(结果用最简分数表示)31358.在复数范围内，若方程22012690x x ++=的一个根为α，则α=10069.将sin ()cos xf x x=的图像按( 0)(0)n a a =-> ，平移，所得图像对应的函数为偶函数，则a 的最小值为.π6510.已知)(x f y =是定义在R 上的增函数，且()y f x =的图像关于点(6,0)对称．若实数y x ,满足不等式 22(6)(836)0f x x f y y -+-+≤，则22y x +的取值范围是[16,36]．11.函数)(x f 对任意[]n m x x ,,21∈都有2121)()(x x x f x f -≤-，则称)(x f 为在区间[]n m ,上的可控函数，区间[]n m ,称为函数)(x f 的“可控”区间，写出函数12)(2++=x x x f 的一个“可控”区间是（⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,21的子集都可以） 12.椭圆()01342222>=+a ay a x 的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，当FAB ∆的周长 最大时，FAB ∆的面积是____________23a ．13.用符号(]x 表示小于x 的最大整数，如(]3( 1.2]2π=-=-，，有下列命题：①若函数()(] f x x x x R =-∈，，则()f x 的值域为[1 0)-，；②若(1 4)x ∈，，则方程1(]5x x -=有三个根；③若数列{}n a 是等差数列，则数列{(]}n a 也是等差数列；④若57 { 3 }32x y ∈，，，，则(](]2x y ⋅=的概率ξξ为29P =.则所有正确命题的序号是①②④. 14. 设()cos 2()cx f x ax bx x R =++∈， a b c R ∈，，且为常数。

若存在一公差大于0的等差数列{}()n x n N *∈，使得{()}n f x 为一公比大于1的等比数列，请写出满足条件的一组 a b c ，，的值 (答案不唯一，一组即可). 二、选择题：(本大题满分20分)15.若直线l 的一个法向量(3 1)n =，，则直线l 的一个方向向量d 和倾斜角α分别为( )DA.(1 3)arctan3d α== ，；B.(1 3)arctan(3)d α=-=- ，；C.(1 3)arctan3d απ==- ，；D.(1 3)arctan3d απ=-=- ，；16.在△ABC 中，“cos cos cos 0A B C ⋅⋅<”是“△ABC 为钝角三角形”的( )AA.充分必要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分又不必要条件17.定义域是一切实数的函数()x f y =，其图像是连续不断的，且存在常数λ(R λ∈)使得()()0f x f x λλ++=对任意实数x 都成立，则称()f x 是一个“λ—伴随函数”． 有下列关于“λ—伴随函数”的结论：①()0f x =是常数函数中唯一一个“λ—伴随函数”；②“12—伴随函数”至少有一个零点．；③2()f x x =是一个“λ—伴随函数”；其中正确结论的个数是 ()AA.1个B.2个C.3个D.0个18.已知数据123 n x x x x ，，，，是上海普通职工n *(3 )n n N ≥∈，个人的年收入,设这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上世界首富的年收入1n x +，则这1n +个数据中，下列说法正确的是( )BA.年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变B.年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C.年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D.年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变。

三. 解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤：19.(本题满分12分，其中第1小题6分，第2小题6分) 在直三棱柱111C B A ABC -中，1==AC AB ，090=∠BAC ，且异面直线B A 1与11C B 所成的角等于060，设a AA =1. (1)求a 的值；(2)求直线11B C 到平面1A BC 的距离。

解：(1) 11//C B BC ，∴BC A 1∠就是异面直线B A 1与11C B 所成的角，即160A BC ∠= ，……(2又连接C A 1，AC AB =，则C A B A 11=∴BC A 1∆为等边三角形， ………………(4分)由1==AC AB ，90BAC ∠=2=⇒BC ，∴121221=⇒=+⇒=a a B A 。

…………(6分)(2)易知//11C B 平面BC A 1，又D 是11C B 上的任意一点，所以点D 到平面BC A 1的距离等于点1B 到平面BC A 1的距离.…(8分)设其为d ，连接C B 1，则由三棱锥BC A B 11-的体积等于三棱锥B B A C 11-的体积，求d ，B B A 11∆的面积21=S ，BC A 1∆的面积23)2(432=⋅='S ，………(10分)又⊥∴⊥⊥CA AB CA A A CA ,,1平面C B A 11，所以333131=⇒⋅'⋅=⋅⋅d d S AC S ，即11B C 到平面BC A 1的距离等于33。

…(12分) 20.(本题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分)某海域有A 、B 两个岛屿，B 岛在A 岛正东4海里处。

经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C ，曾有渔船在距A 岛、B 岛距离和为8海里处发现过鱼群。

以A 、B 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系。

(1)求曲线C 的标准方程；(2)某日，研究人员在A 、B 两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，A 、B 两岛收到鱼群在P 处反射信号的时间比为3:5，问你能否确定P 处的位置(即点P 的坐标)？解(1)由题意知曲线C 是以A 、B 为焦点且长轴长为8的椭圆又42=c ，则4,2==a c ，故32=b ，所以曲线C 的方程是1121622=+y x (2)由于A 、B 两岛收到鱼群发射信号的时间比为3:5，因此设此时距A 、B 两岛的距离分别比为3:5 即鱼群分别距A 、B 两岛的距离为5海里和3海里。

设),(y x P ，)0,2(B ，由3=PB ∴3)2(22=+-y x ，()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-=+=+-4411216922222x y xy x ，解得3,2±==y x ，∴点P 的坐标为()3,2或()3,2- 21.(本题满分14分，其中第1小题7分，第2小题7分) 设函数),,()(R c b N n c bx x x f n n ∈∈++=*.（1）设1,1,2-==≥c b n ，证明：)(x f n 在区间)1,21(内存在唯一的零点； （2）设2=n ，若对任意[]1,1,21-∈x x ，有4)()(2212≤-x f x f ，求b 的取值范围．解：（1）证明：因为n 1()<02f ，n (1)>0f 。

所以n 1()2f ⋅n (1)<0f 。

所以n (x)f 在1(1)2，内存在零点。

12121212121x (,1),x <(x )-f (x )=(x -)+(x -x )<02n n n n x x f x ∈任取、且，则，所以n (x)f 在1(1)2，内单调递增，所以n (x)f 在1(1)2，内存在唯一零点。

（2）当n ＝2时，f 2(x)＝x 2＋bx ＋c.对任意x 1，x 2∈[－1,1]都有|f 2(x 1)－f 2(x 2)|≤4等价于f 2(x )在[－1,1]上的最大值与最小值之差M ≤4， 据此分类讨论如下：①当||12b >，即|b |＞2时，M ＝|f 2(1)－f 2(－1)|＝2|b |＞4，与题设矛盾。

②当－1≤2b -＜0，即0＜b ≤2时，M ＝f 2(1)－f 2(2b -)＝(2b ＋1)2≤4恒成立． ③当0≤2b -≤1，即－2≤b ≤0时，M ＝f 2(－1)－f 2(2b -)＝(2b －1)2≤4恒成立．综上可知，－2≤b ≤2.注：②，③也可合并证明如下：用max{a ，b }表示a ，b 中的较大者．xBAyO∙∙当－1≤2b -≤1，即－2≤b ≤2时，M ＝max{f 2(1)，f 2(－1)}－f 2(2b -) ＝22222(1)(1)|(1)(1)|()222f f f f b f -+--+--＝1＋c ＋|b |－(24b -＋c )＝(1＋||2b )2≤4恒成立．22.(本题满分16分，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分，)一青蛙从点000(,)A x y 开始依次水平向右和竖直向上跳动，其落点坐标依次是( )()i i i A x y i N *∈，，(如图所示，000( )A x y ，坐标以已知条件为准)，n S(1) 若点000( )A x y ，为抛物线22y px =(0)p >一点，点1A ，2A 均在该抛物线上，并且直线1A 2A 经过该抛物线的焦点，证明23S p =.(2)若点( )n n n A x y ，要么落在y x =所表示的曲线上，要么落在2y x =所表示的曲线上，并且011( )22A ，, 试写出lim n n S →+∞（不需证明）；(3)若点( )n n n A x y ，要么落在1y =所表示的曲线上，要么落在1y =所表示的曲线上，并且0(0 4)A ，，求n S 的表达式.解：(1)设00( )2pA y -，，由于青蛙依次向右向上跳动， 所以10( )2p A y ，，20( )2p A y -，，由抛物线定义知：23S p =4 分 (2) 依题意，*2122122121 ()n n n n n n x x x y y x n N +-+-====∈， 011223342221212lim ||||||||||||n n n n n n S A A A A A A A A A A A A ---→∞=+++++++1021324354212221()()()()()()()n n n n x x y y x x y y x x x x y y --=-+-+-+-+-++-+-+1032542122()2()2()2()n n x x x x x x x x -=-+-+-++-+随着n 的增大，点n A 无限接近点(11)，6 分 横向路程之和无限接近11122-=，纵向路程之和无限接近11122-=8 分所以 lim n n S →+∞=11122+=10 分(3)方法一：设点222212121( ) ( )k k k k k k A x y A x y +++，，，，由题意，n A 的坐标满足如下递推关系：2000 2x y ==，，且2122122(0 1 2 3 ) (0 1 2 3 )k k k k y y k x x k +++==== ，，，，，，，，，其中11212 k k y y +==，13 分∴111==2=，∴1=为首项，22244128k k k k x +=+⇒=，所以当n 为偶数时，284n n n x =+，于是122n n y +==，又221224(1)4(1)8k k k k x x +++++== ∴当n 为奇数时，21143 28n n n n n x y +++===，16 分 当n 为偶数时，011223342221212||||||||||||k k k k A A A A A A A A A A A A ---++++++10213243542122221()()()()()()()k k k k x x y y x x y y x x x x y y ---=-+-+-+-+-++-+- 10203142532123222()()()()()()()k k k k x x y y x x y y x x x x y y ---=-+-+-+-+-++-+- 2200()()k k x y x y =+-+当n 为奇数时，011223342221221||||||||||||k k k k A A A A A A A A A A A A --+++++++1021324354221212()()()()()()()k k k k x x y y x x y y x x y y x x -+=-+-+-+-+-++-+- 10203142532122121()()()()()()()k k k k x x y y x x y y x x y y x x ++-=-+-+-+-+-++-+- 212100()()k k x y x y ++=+-+所以，当n 为偶数时，2200()()(2)484n n n n n n S x y x y +=+-+=++-当n 为奇数时，210043()()(2)48n n n n n n S x y x y +++=+-+=+- 所以，212243(2)4(8(2)4(84n n n n n n S n n n ++⎧+++-⎪⎪=⎨⎪++-⎪⎩为奇数）为偶数）18 分 方法二：由题意知244668123456(12)(1 2)(3 2)(3 2)(6 2)(6 2)A A A A A A ，，，，，，，，，，，， 其中24681357(1 2)(3 2)(6 2)(10 2)A A A A ，，，，，，，，468102468(1 2)(3 2)(6 2)(10 2)A A A A ，，，，，，， 观察规律可知：下标为奇数的点的纵坐标为首项为22，公比为4的等比数列。