高中物理 第3章 万有引力定律 2 万有引力定律教师用书 教科版必修2

2.万有引力定律[先填空] 1．牛顿的假设(1)苹果从树上落向地面而不飞向天空，是因为受到了地球的吸引力． (2)月亮绕地球做圆周运动表明月球受到了地球的吸引力． 2．万有引力定律(1)内容：任何两个物体之间都存在相互作用的引力，引力的大小与这两个物体的质量的乘积成正比，与这两个物体之间的距离的平方成反比．(2)公式：F ＝Gm 1m 2r 2，式中质量的单位用kg ，距离的单位用m ，力的单位用N ，G 为引力常量．是一个与物质种类无关的普适常量．(3)适用条件：万有引力公式中，对于相距很远可以看做质点的物体来说，r 是指质点间的距离，对于均匀的球体，指的是球心间的距离．[再判断]1．公式F ＝G Mmr2中G 是比例系数，与太阳和行星都没关系．(√)2．在推导太阳与行星的引力公式时，用到了牛顿第二定律和牛顿第三定律．(√) 3．根据万有引力公式可知，当两个物体的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大．(×) [后思考]我们听说过很多关于月亮的传说，如“嫦娥奔月”(如图3­2­1所示)已成了家喻户晓的神话故事．我们每个月都能看到月亮的圆缺变化．月球为什么会绕地球运动而没有舍弃地球或投向地球的怀抱？图3­2­1【提示】 地球与月球之间存在着引力，转动的月球既不会弃地球而去，也不会投向地球的怀抱，是因为地球对月球的万有引力提供了月球绕地球做圆周运动的向心力，使月球不停地绕地球运动．[合作探讨]如图3­2­2所示，太阳系中的行星围绕太阳做匀速圆周运动．图3­2­2探讨1：为什么行星会围绕太阳做圆周运动？ 【提示】 因为行星受太阳的引力．探讨2：太阳对不同行星的引力与行星的质量是什么关系？ 【提示】 与行星的质量成正比． [核心点击] 1．推导过程万有引力公式F ＝G Mmr2的得出，概括起来导出过程如下表所示：2．万有引力的四个特性1．要使两物体间的万有引力减小到原来的14，下列办法不可采用的是( )A ．使物体的质量各减小一半，距离不变B ．使其中一个物体的质量减小到原来的14，距离不变C ．使两物体间的距离增为原来的2倍，质量不变D ．使两物体间的距离和质量都减为原来的14【解析】 根据F ＝Gm 1m 2r 2可知，A 、B 、C 三种情况中万有引力均减为原来的14，当距离和质量都减为原来的14时，万有引力不变，选项D 错误．【答案】 D2．某实心匀质球半径为R ，质量为M ，在球外离球面h 高处有一质量为m 的质点，则其受到的万有引力大小为( )【导学号：67120044】A ．G Mm R 2B ．G Mm R ＋h 2C ．G Mm h2D ．GMmR 2＋h 2【解析】 万有引力定律中r 表示两个质点间的距离，因为匀质球可看成质量集中于球心上，所以r ＝R ＋h .【答案】 B3．(多选)(2016·济宁高一检测)根据开普勒关于行星运动的规律和圆周运动的知识知：太阳对行星的引力F ∝mr 2，行星对太阳的引力F ′∝M r2 ，其中M 、m 、r 分别为太阳、行星质量和太阳与行星间的距离．下列说法正确的是( )A ．由F ∝m r 2和F ′∝M r2，F ∶F ′＝m ∶M B ．F 和F ′大小相等，是作用力与反作用力 C ．F 和F ′大小相等，是同一个力D ．太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力【解析】 F ′和F 大小相等、方向相反，是作用力和反作用力，太阳对行星的引力是行星绕太阳做圆周运动的向心力，故正确答案为B 、D.【答案】 BD万有引力定律的应用方法(1)首先分析能否满足用F ＝Gm 1m 2r 2公式求解万有引力的条件． (2)明确公式中各物理量的大小．(3)利用万有引力公式求解引力的大小及方向．[先填空]1．在1798年，即牛顿发现万有引力定律一百多年以后，英国物理学家卡文迪许利用扭秤实验，较准确地测出了引力常量. G＝6．67×10－11N·m2/kg2.2．意义：使用万有引力定律能进行定量运算，显示出其真正的实用价值．3．知道G的值后，利用万有引力定律可以计算出天体的质量，卡文迪许也因此被称为“能称出地球质量的人”．[再判断]1．引力常量是牛顿首先测出的．(×)2．卡文迪许通过改变质量和距离，证实了万有引力的存在及万有引力定律的正确性．(√)3．卡文迪许第一次测出了引力常量，使万有引力定律能进行定量计算，显示出真正的实用价值．(√)[后思考]卡文迪许为什么被人们称为“能称出地球质量的人”？【提示】因为卡文迪许测出引力常量G值之后，它使万有引力定律有了真正的实用价值，利用万有引力定律便可以计算出地球的质量，所以卡文迪许被称为“能称出地球质量的人”．[合作探讨]万有引力定律是自然界的基本规律之一，在物理学上占有非常重要的地位．然而，牛顿当时却未能给出准确的引力常量．一般物体间的引力太小，很难用实验测定引力常量．探讨1：是谁测出了引力常量？他是如何测出的？【提示】卡文迪许，巧妙地利用扭秤装置，如图．卡文迪许测定引力常量的实验原理图探讨2：目前推荐的引力常量数值是多少？ 【提示】 6.67×10－11N·m 2/kg 2.[核心点击]1．关于引力常量的说明(1)测定引力常量的理论公式：G ＝Fr 2m 1m，单位为N·m 2/kg 2.(2)物理意义：引力常量在数值上等于两个质量都是1 kg 的质点相距1 m 时的相互吸引力．(3)由于引力常量G 非常小，我们日常接触到的物体间的引力非常小，但天体间的万有引力却非常大.2．引力常量测定的意义(1)卡文迪许利用扭秤装置通过改变小球的质量和距离，证实了万有引力的存在及万有引力定律的正确性．(2)引力常量的确定使万有引力定律能够进行定量计算，显示出其真正的使用价值． (3)卡文迪许扭秤实验是物理学上非常著名和重要的实验，标志着力学实验精密程度的提高，开创了测量弱力的新时代，学习时要注意了解和体会前人是如何巧妙地将物体间的非常微小的力显现和测量出来的．4．关于引力常量，下列说法正确的是( )A ．引力常量是两个质量为1 kg 的质点相距1 m 时的相互吸引力B ．牛顿发现了万有引力定律时，给出了引力常量的值C ．引力常量的测出，证明了万有引力的的正确性D ．引力常量的测定，使人们可以测出天体的质量【解析】 引力常量在数值上等于质量均为1 kg 的两个均匀球体相距1 m 时相互引力的大小，故A 错．牛顿发现万有引力定律时，还不知道引力常量的值，故B 错．引力常量的测出证明了万有引力定律的正确性，同时使万有引力定律具有实用价值，故C 、D 正确．5．卡文迪许利用如图3­2­3所示的扭秤实验装置测量了引力常量G .为了测量石英丝极微小的扭转角，该实验装置中采取使“微小量放大”的主要措施是( )图3­2­3A ．减小石英丝的直径B ．增大T 形架横梁的长度C ．利用平面镜对光线的反射D ．增大刻度尺与平面镜之间的距离【解析】 利用平面镜对光线的反射，可以将微小偏转放大，而且刻度尺离平面镜越远，放大尺寸越大，故只有选项C 、D 正确．【答案】 CD6．在某次测定引力常量的实验中，两金属球的质量分别为m 1和m 2，球心间的距离为r ，若测得两金属球间的万有引力大小为F ，则此次实验得到的引力常量为( )【导学号：67120045】A.Fr m 1m 2B ．Fr 2m 1m 2C.m 1m 2Fr D ．m 1m 2Fr 2【解析】 由万有引力定律F ＝G m 1m 2r 2得G ＝Fr 2m 1m 2，所以B 项正确．【答案】 B学业分层测评(八) (建议用时：45分钟)[学业达标]1．(多选)在探究太阳与行星间的引力的思考中，属于牛顿的猜想的是( )A ．使行星沿圆轨道运动，需要一个指向圆心的力，这个力就是太阳对行星的吸引力B ．行星运动的半径越大，其做圆周运动的运动周期越大C ．行星运动的轨道是一个椭圆D ．任何两个物体之间都存在太阳和行星之间存在的这种类型的引力【解析】 牛顿认为任何方式改变速度都需要力(这种力存在于任何两物体之间)，行星沿圆或椭圆运动，需要指向圆心或椭圆焦点的力，这个力是太阳对它的引力．2．设地球是半径为R 的均匀球体，质量为M ，若把质量为m 的物体放在地球的中心，则物体受到的地球的万有引力大小为( )A ．零B ．无穷大C ．G Mm R2D ．无法确定【解析】 有的同学认为：由万有引力公式F ＝G Mmr2，由于r →0，故F 为无穷大，从而错选B.设想把物体放到地球的中心，此时F ＝G Mm r2已不适用．地球的各部分对物体的吸引力是对称的，故物体受到的地球的万有引力是零，故应选A.【答案】 A3．(多选)关于引力常量G ，下列说法中正确的是( ) A ．G 值的测出使万有引力定律有了真正的实用价值B ．引力常量G 的大小与两物体质量的乘积成反比，与两物体间距离的平方成正比C ．引力常量G 在数值上等于两个质量都是1 kg 的可视为质点的物体相距1 m 时的相互吸引力D ．引力常量G 是不变的，其数值大小与单位制的选择无关【解析】 利用G 值和万有引力定律不但能“称”出地球的质量，而且可测定远离地球的一些天体的质量、平均密度等，故A 正确；引力常量G 是一个普遍适用的常量，其物理意义是两个质量都是1 kg 的质点相距1 m 时的相互吸引力，它的大小与所选的单位有关，故B 、D 错误，C 正确．【答案】 AC4．如图3­2­4所示，两球间的距离为r ，两球的质量分布均匀，质量大小分别为m 1、m 2，半径大小分别为r 1、r 2，则两球间的万有引力大小为( )【导学号：67120046】图3­2­4A ．G m 1m 2r 2B ．G m 1m 2r 21C ．Gm 1m 2r 1＋r 22D ．Gm 1m 2r 1＋r 2＋r2【解析】 两球质量分布均匀，可认为质量集中于球心，由万有引力公式可知两球间的万有引力应为Gm 1m 2r 1＋r 2＋r2，故选D.【答案】 D5．一个物体在地球表面所受的重力为G ，在距地面高度为地球半径的位置，物体所受地球的引力大小为( )A.G 2 B ．G 3 C.G4D ．G9【解析】 在地球表面附近，物体所受的重力近似等于万有引力，即重力G 地＝F 万＝G Mm R2；在距地面高度为地球半径的位置，F ′万＝GMm R2＝G 地4，故选项C 正确．【答案】 C6．对于质量为m 1和质量为m 2的两个物体间的万有引力的表达式F ＝G m 1m 2r 2，下列说法正确的是( )A ．m 1和m 2所受引力总是大小相等的B ．当两物体间的距离r 趋于零时，万有引力趋于无穷大C ．当有第3个物体m 3放入m 1、m 2之间时，m 1和m 2间的万有引力将增大D ．m 1和m 2所受的引力性质可能相同，也可能不同【解析】 物体间的万有引力是一对相互作用力，是同种性质的力，且始终等大反向，故A 对D 错；当物体间距离趋于零时，物体就不能看成质点，因此万有引力定律不再适用，物体间的万有引力不会变得无穷大，B 错；物体间万有引力的大小只与两物体的质量m 1、m 2和物体间的距离r 有关，与是否存在其他物体无关，故C 错．【答案】 A7．地球质量大约是月球质量的81倍，在登月飞船通过月、地之间的某一位置时，月球和地球对它的引力大小相等，该位置到月球中心和地球中心的距离之比为( )【导学号：67120047】A ．1∶27B ．1∶9C ．1∶3D ．9∶1【解析】 根据F ＝G m 1m 2r 2，由于引力相等即G M 地·m r 2地＝G M 月·m r 2月，所以r 月r 地＝M 月M 地＝181＝19，故选项B 正确． 【答案】 B8．火星的半径为地球半径的一半，火星质量约为地球质量的19，那么地球表面质量为50 kg 的人受到地球的吸引力约为火星表面同质量物体受火星引力的多少倍？【解析】 设火星质量为m 1，地球质量为m 2，火星半径为r 1，地球半径为r 2，则由万有引力定律可知F ∝m r 2，则有F 2F 1＝m 2m 1·r 21r 22，代入数据得F 2F 1＝94＝2.25.【答案】 2.25[能力提升]9．两个大小相同的实心小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F .若将两个用同种材料制成的半径是小铁球2倍的实心大铁球紧靠在一起，则两大铁球之间的万有引力为( )A ．2FB ．4FC ．8FD ．16F【解析】 两个小铁球之间的万有引力为F ＝Gmmr 2＝G m 24r2.实心球的质量为m ＝ρV ＝ρ·43πr 3，大铁球的半径是小铁球的2倍，则大铁球的质量m ′与小铁球的质量m 之比为m ′m ＝r ′3r 3＝81.故两个大铁球间的万有引力为F ′＝G m ′m ′r2＝G m2r2＝16F .【答案】 D10．(2014·全国卷Ⅱ)假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g 0，在赤道的大小为g ；地球自转的周期为T ，引力常量为G .地球的密度为( )【导学号：67120048】A.3πg 0－gGT 2g 0B ．3πg 0GT 2g 0－gC.3πGT2D ．3πg 0GT 2g【解析】 物体在地球的两极时，mg 0＝G Mm R2，物体在赤道上时，mg ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2R ＝G Mm R 2，以上两式联立解得地球的密度ρ＝3πg 0GT 2g 0－g.故选项B 正确，选项A 、C 、D 错误．【答案】 B11．两个质量分布均匀、密度相同且大小相同的实心小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F ，如图3­2­5所示，现将其中一个小球中挖去半径为原球半径一半的球，并按如图所示的形式紧靠在一起(三个球心在一条直线上)，试计算它们之间的万有引力大小．11图3­2­5【解析】 用“割补法”处理该问题．原来是个实心球时可知F ＝G mm r 2. 假如挖空部分为实心球，则该球与左边球之间的万有引力为F 1＝G mm 1⎝ ⎛⎭⎪⎫52r 2， m 1∶m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12r 3∶r 3＝1∶8，联立得F 1＝225F . 剩余部分之间的万有引力大小为F ′＝F －F 1＝2325F .【答案】 2325F 12．宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t 小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t 小球落回原处．(取地球表面重力加速度g ＝10 m/s 2，空气阻力不计)(1)求该星球表面附近的重力加速度g ′的大小；(2)已知该星球的半径与地球半径之比为R 星R 地＝14，求该星球的质量与地球质量之比M 星M 地. 【解析】 (1)在地球表面以一定的初速度v 0竖直上抛一小球，经过时间t 小球落回原处，根据运动学公式可有t ＝2v 0g.同理，在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，经过时间5t 小球落回原处，则5t ＝2v 0g ′， 根据以上两式，解得g ′＝15g ＝2 m/s 2. (2)在天体表面时，物体的重力近似等于万有引力，即mg ＝GMm R ，所以M ＝gR 2G， 由此可得，M 星M 地＝g 星g 地·R 2星R 2地＝15×142＝180. 【答案】 (1)2 m/s 2(2)1∶80。