矩阵分析与计算--02-线性变换

,n ) A , n ) B
基发生变化
A 与 B 的 关 系？
定理2 线性变换T 在不同基下的所对应的矩阵 是相似的
设T 在Vn的两个基1 , 2 , , n 及1 , 2 ,
,n ) P
, n
下的矩阵分别为A与B, 且有
（1 , 2 , , n）=(1 , 2 ,
线性变换的逆

基本性质
4）可逆线性变换把线性无关的向量组映射成向量 无关的向量组，即， 若x1 , x2 , 线性无关 xr 线性无关，则T ( x1 ), T ( x2 ), T ( xr )
线性变换的多项式

1．线性变换的幂
设T 为V中线性变换，n N , 定义 T T
n n
T
称之为T 的n次幂
T ( r 1 ) a1r 1 1 a2r 1 2 arr 1 r ar 1r 1 r 1 ,,anr 1 n T ( n ) a1n 1 a2n 2 arn1 r ar 1n r 1 ,,ann n
T( + )=T( )+T( ) T(k )=kT( )
, Vn
Vn , k P
则称T 为Vn到Vm的线性映射或线性算子
线性映射
Vn
Vm
T
应用：
T ( ) T ( )
k1T ( )
Vn , k2 P


k1
k2
k2T ( )
k1T ( ) k2T ( )
线性变换的逆
设T 为V的线性变换，若有V的线性变换S TS ST I 则称T 为可逆变换，称S 为T的逆变换， 记作T
-1
线性变换的逆

基本性质
1 ）T -1也是V的线性变换
2）T 可逆， T 是一一映射
3） 设x1 , x2 , , xn为Vn的一组基，T 为V的
线性变换，则T 可逆 T （x1），（ T x2）， ，（ T xn）线性无关
设 1， 2， n为Vn的一组基，则T1 , T2相等的 充要条件是 T1 ( i ) T2 ( i ) i 1, 2, ,n
线性变换的和
设T1 , T2为两个线性变换，定义它们的和， 若对 V， (T1 T2 )( ) T1 ( ) T2 ( ) 则T1 T2也是线性变换
定理4. 线性空间Vn到Vm的线性算
子T的值域为Vm子空间、核均为Vn子空间
T的核 零空间
秩、零度

称R(T)的维数为T的秩,记为r(T) 称N(T)的维数为T的零度,记为null(T) ；

例子
在线性空间Fn [ x]中，令线性算子为微 分算子D, 求D的值域与零空间
1 , 2 ,
定理5 设T 为线性空间Vn的线性变换， , n 为Vn的一组基，在该基 下的矩阵为A, 则
1 , 2 ,, r的线性组合 , 而T ( r 1 ), , T ( n )是 1 , 2 ,, n的线性组合，即
T ( 1 ) a11 1 a 21 2 a r 1 r T ( 2 ) a12 1 a 22 2 a r 2 r T ( r ) a1r 1 a 2 r 2 a rr r
1， 2， ， r 所张成，即 W Span{1， 2， ， r },
则W 为T 子空间的充要条件是T (1 )， T( 2 )， ，T( r )全部属于W
线性变换T的矩阵表示
1 , 2 ,, r 是W的一组 设W是T的不变子空间，
基， 1 , 2 ,, r , r 1, , n是V的一组基，求 T在 基 1 , 2 ,, n下的矩阵表示 . 由于T（W ) W , 故 T ( 1 ), T ( 2 ), , T ( r )是
V
线性变换的乘积
设T1 , T2为两个线性变换，定义它们的乘积， (T1T2 )( ) T （ 1 T2 ( )） 则T1T2也是V的线性变换
线性变换乘积的基本性质
1）满足结合律 (TT 1 2 )T3 T 1 (T2T3 )
2）
IT TI T
3） 交换律一般不成立
4） 乘法对加法满足左右分配率 T3(T1 T2 ) T3T1 T3T2 (T1 T2 )T3 T1T3 T2T3
4） -T T 0
线性变换的数量乘法
设T 为V中线性变换，k F , 定义k与T的数量乘积 (kT )( ) kT ( ) 则kT 也是V的线性变换
注： 线性空间V上的全体线性变换构成的集合对 于线性变换的加法与数量乘法构成数域F上的一 个线性空间，记作 Hom(V,V) = {T|T是F上线性空间V的线性变换}
T : V V x V T ( x) 0（V中零元素，非P中0）

零变换：

相似变换: T ：是F中的数，T（）= 。
可以在任何线性空间中 定义相似变换!
线性变换简单性质
1.T为V的线性变换，则 T(0) = 0, T(−x)= −T(x). 2．线性变换保持线性组合及关系式不变 3．线性变换把线性相关的向量组的变成线性相 关的向量组.
3. 在P
nn
x, V ×
nn
中，T(X) AX
A, X P
√
2. 在线性空间V中，T ( x) x
x, V
推广为一般形式
在线性空间V中，T ( x)为线性变换
称S ( x) T ( x) b 为仿射变换 x, b V
分形学
fractal
美丽的分形图
4.不变子空间
定义4 设T 为线性空间Vn上线性变换， W 是Vn的子空间，如果对于 W , 有 T W , 则称W 为T的不变子空间， 简称T 子空间。

1）R(T)、N(T)都是T-子空间 2）若线性变换T,S可交换，也即TS=ST,则 S的 值域与核都为T-子空间
定理 设线性空间Vn的子空间W由
线性算子物理 学、力学中满 足叠加原理的 系统的重要数 学模型
x1 x2
线性映射使 线性运算保持对应！
线性变换

若Vm=Vn ,则称T为线性空间Vn中的线性变换
Vn
T
两类线性变换

恒等变换(单位变换)：I : V V , I ( x) x

I是线性算子，线性空间V中的任一元素，映射 为V中的同一元素

Blue Lagoon
2 线性变换的运算
一、线性变换相等 二、线性变换的和 三、线性变换的数量乘法 四、线性变换的乘积 五、线性变换的逆 六、线性变换的多项式
线性变换相等
设T1 , T2为两个线性变换，若对 V，有 T1 ( ) T2 ( ) 则称T1 , T2相等，记为T1 T2
则有 B P 1 AP
定理3 设 x1 , x2 ,
, xn 是Vn的一组基，线性
变换T1，T2在这组基下的所对应的矩阵为A与B, 则在这组基下，有
1 ）T1 T2的矩阵为A B 2）TT 1 2的矩阵为AB 3）kT1的矩阵为kA
4）若T1可逆，则T 的矩阵A
1 1 1
, m ) A
2.线性变换的矩阵
T ( x1 ,
, xn ) ( x1 ,
, xn ) A
线性变换完全由它在 一个基下的象所决定
练习
设线性空间R 的线性变换T为 T ( x1 , x2 , x3 ) ( x1 , x2 , x1 x2 )
e1 (1,0,0) e2 (0,1,0)
矩 阵 分 析 与 计 算 Matrix Analysis and Computations ——线性变换
Linear Transformations
理学院 2011年9月
1. 映射与变换
定义1 设Vn ,Vm分别是数域P上的n维与m维线性空间， T 是一个从Vn到Vm的映射，如果映射T 满足
(1) (2)
1) R(T ) span T (1 ), T ( 2 ), , T ( n )
2) r (T ) r ( A)
定理5 设T 为线性空间Vn的线性变换， 则 r (T ) null (T ) dim(Vn )
也即 dim R(T ) dim N (T ) dim(Vn )
所以，T在 1 , 2 , , n下的矩阵表示为 a11 a r 1 A 0 0 A1 0 A2 A3 a1 r a rr 0 0 a1 r 1 a rr 1 a r 1r 1 a nr 1 a1 n a rn a r 1n a nn
n为零时，规定为恒等变换
注：
1)
n T mn T mT n，（T m） T mn
2) 一般地，（TS） T S
n n
n
线性变换的多项式
设 f ( x) am x am 1 x
m m m 1

m 1
a1 x a0 F [ x] a1T a0
T 为V中线性变换，则 f (T ) amT am1T 也是V的一个线性变换，称f (T )为T 的多项式
3
e3 (0,0,1)
1 0 0 T (e1 , e2 , e3 ) (e1 , e2 , e3 ) 0 1 0 1 1 0
2.线性变换的矩阵表示
定理1 设T 为线性空间Vn中的线性变换，它在基
1 , 2 ,
, n下的矩阵为A, 如果 , T ( )在此基下的
负变换
设T 为V中线性变换，定义变换， 若对 V， （-T） ( ) T ( ) 则-T 也是线性变换，成为T的负变换