高考数学(鲁闽皖京渝津,文科)大二轮总复习：真题感悟·考点整合选修4-1 Word版含解析
高考数学(鲁闽皖京渝津,文科)大二轮总复习：第1部分专题2第3讲 专题训练 Word版含解析
一、选择题1．(2014·新课标全国卷Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )． A.BC → B ．12AD → C.AD →D ．12BC →解析 如图，EB →＋FC →＝－(BE →＋CF →) ＝－(12BA →＋12BC →＋12CA →＋12CB →)＝－(12BA →＋12CA →)＝12(AB →＋AC →)＝AD →，故选C.答案 C2．(2014·河南十所名校联考)在△ABC 中，M 是AB 边所在直线上任意一点，若CM →＝－2CA →＋λCB →，则λ＝( )． A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析 由点A ，B ，M 三点共线知：－2＋λ＝1，所以λ＝3. 答案 C3．(2014·吉林省实验中学模拟)在△ABC 中，D 是AB 中点，E 是AC 中点，CD 与BE 交于点F ，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则(x ，y )为( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，12解析 由题意知点F 为△ABC 的重心，设H 为BC 中点，则AF →＝23AH →＝23×12(AB →＋AC →)＝13a ＋13b ， 所以x ＝13，y ＝13. 答案 C4．(2014·龙岩期末考试)在平面直角坐标系中，菱形OABC 的两个顶点为O (0,0)，A (1,1)，且OA →·OC →＝1，则AB →·AC →等于( )． A ．－1 B ．1 C. 2D ． 3解析 依题意，|OA →|＝|OC →|＝|AB →|＝2，OA →·OC →＝|OA →||OC →|cos ∠AOC ＝1，cos ∠AOC ＝12，∠AOC ＝π3，则|AC →|＝|OA →|＝|OC →|＝2，∠BAC ＝π3，AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ＝1. 答案 B5．(2014·浙江卷)设θ为两个非零向量a ，b 的夹角，已知对任意实数t ，|b ＋t a |的最小值为1( )．A ．若θ确定，则|a |唯一确定B ．若θ确定，则|b |唯一确定C ．若|a |确定，则θ唯一确定D ．若|b |确定，则θ唯一确定解析 由于|b ＋t a |2＝b 2＋2a ·b t ＋a 2t 2，令f (t )＝a 2t 2＋2a ·b t ＋b 2，而t 是任意实数，所以可得f (t )的最小值为4a 2·b 2－(2a ·b )24a 2＝4a 2b 2－4a 2b 2cos 2 θ4a 2＝4b 2sin 2 θ4＝1，即|b |2sin 2 θ＝1，则若θ确定，则|b |唯一确定． 答案 B 二、填空题6．(2014·江西卷)已知单位向量e 1，e 2的夹角为α，且cos α＝13，若向量a ＝3e 1－2e 2，则|a |＝________.解析 e 1·e 2＝1×1×13＝13，|a |＝a ·a ＝(3e 1－2e 2)2＝9＋4－12×13＝3.答案 37.如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，且AC ＝BC ＝3，点M 满足BM →＝2 MA →，则CM →·CB →＝________.解析 法一 如图建立平面直角坐标系． 由题意知：A (3,0)，B (0,3)， 设M (x ，y )，由BM →＝2MA →，得⎩⎨⎧ x ＝2(3－x )，y －3＝－2y ，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1，即M 点坐标为(2,1)， 所以CM →·CB →＝(2,1)·(0,3)＝3.法二 CM →·CB →＝(CB →＋BM →)·CB →＝CB →2＋CB →×⎝ ⎛⎭⎪⎫23 BA →＝CB →2＋23CB →·(CA →－CB →)＝13CB →2＝3. 答案 38．(2014·杭州质量检测)在△AOB 中，G 为△AOB 的重心，且∠AOB ＝60°，若OA →·OB →＝6，则|OG →|的最小值是________．解析 如图，在△AOB 中，OG →＝23OE →＝23×12(OA →＋OB →)＝13(OA →＋OB →)， 又OA →·OB →＝|OA →||OB →|·cos 60°＝6， ∴|OA →||OB →|＝12，∴|OG →|2＝19(OA →＋OB →)2＝19(|OA →|2＋|OB →|2＋2OA →·OB →)＝19(|OA →|2＋|OB →|2＋12)≥19×⎝ ⎛⎭⎪⎫2|OA →||OB →|＋12＝19×36＝4(当且仅当|OA →|＝|O B →|时取等号)．∴|OG →|≥2，故|OG →|的最小值是2. 答案 2 三、解答题9．(2013·江苏卷)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．(1)证明 由|a －b |＝2，即(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝2，整理得cos αcos β＋sin αsin β＝0， 即a ·b ＝0，因此a ⊥b .(2)解 由已知条件⎩⎨⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，cos β＝－cos α＝cos(π－α)， 由0<α<π，得0<π－α<π，又0<β<π，故β＝π－α.则sin α＋sin (π－α)＝1， 即sin α＝12，故α＝π6或α＝5π6.当α＝π6时，β＝5π6(舍去)，当α＝5π6时，β＝π6.所以，α，β的值分别为5π6，π6.10．已知向量m ＝(sin x ，－1)，n ＝(cos x,3)． (1)当m ∥n 时，求sin x ＋cos x3sin x －2cos x的值；(2)已知在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，3c ＝2a sin(A ＋B )，函数f (x )＝(m ＋n )·m ，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π8的取值范围．解 (1)由m ∥n ，可得3sin x ＝－cos x ， 于是tan x ＝－13，∴sin x ＋cos x 3sin x －2cos x ＝tan x ＋13tan x －2＝－13＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－2＝－29.(2)在△ABC 中A ＋B ＝π－C ，于是 sin(A ＋B )＝sin C ， 由正弦定理，得3sin C ＝2sin A sin C ，∵sin C ≠0，∴sin A ＝32.又△ABC 为锐角三角形， ∴A ＝π3，于是π6<B <π2. ∵f (x )＝(m ＋n )·m ＝(sin x ＋cos x,2)·(sin x ，－1)＝sin 2 x ＋sin x cos x －2＝1－cos 2x 2＋12sin 2x －2＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－32， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π8＝22sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π8－π4－32＝22sin 2B －32.由π6<B <π2，得π3<2B <π， ∴0<sin 2B ≤1，－32<22sin 2B －32≤22－32， 即f (B ＋π8)∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，22－32.11．(2014·陕西卷)在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上． (1)若P A →＋PB →＋PC →＝0，求|OP →|；(2)设OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值． 解 (1)法一 ∵P A →＋PB →＋PC →＝0，又P A →＋PB →＋PC →＝(1－x,1－y )＋(2－x,3－y )＋(3－x,2－y )＝(6－3x,6－3y )，∴⎩⎨⎧ 6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2， 即OP →＝(2,2)，故|OP →|＝2 2. 法二 ∵P A →＋PB →＋PC →＝0，则(OA →－OP →)＋(OB →－OP →)＋(OC →－OP →)＝0， ∴OP →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝(2,2)，∴|OP →|＝2 2. (2)∵OP →＝mAB →＋nAC →，∴(x ，y )＝(m ＋2n,2m ＋n )，∴⎩⎨⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减得，m －n ＝y －x ，令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2,3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.。
高考数学(鲁闽皖京渝津,文科)大二轮总复习：大题分类规范练2 Word版含解析
规范练(二) 数 列1．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －p ，其中p 是不为零的常数．(1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)当p ＝3时，数列{b n }满足b n ＋1＝b n ＋a n (n ∈N *)，b 1＝2，求数列{b n }的通项公式．(1)证明 因为S n ＝4a n －p (n ∈N *)，则S n －1＝4a n －1－p (n ∈N *，n ≥2)，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1，整理得a n ＝43a n －1.由S n ＝4a n －p ，令n ＝1，得a 1＝4a 1－p ，解得a 1＝p 3.所以{a n }是首项为p 3，公比为43的等比数列．(2)解 当p ＝3时，由(1)知，则a n ＝(43)n －1，由b n ＋1＝a n ＋b n (n ＝1,2，…)，得b n ＋1－b n ＝(43)n －1，当n ≥2时，可得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝2＋1－(43)n －11－43＝3(43)n －1－1，当n ＝1时，上式也成立．∴数列{b n }的通项公式为b n ＝3(43)n －1－1(n ∈N *)．2．已知数列{a n }是等差数列，a 1＝2，且a 2，a 3，a 4＋1成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2n ·(a n ＋2)，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)设数列{a n }的公差为d ，由a 1＝2和a 2，a 3，a 4＋1成等比数列，得 (2＋2d )2＝(2＋d )(3＋3d )，解得d ＝2或d ＝－1.当d ＝－1时，a 3＝0与a 2，a 3，a 4＋1成等比数列矛盾，舍去． 所以d ＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋2(n －1)＝2n ，即数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .(2)b n ＝2n ·(a n ＋2)＝2n ·(2n ＋2)＝1n ·(n ＋1)＝1n －1n ＋1. S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1(n ∈N *)，b n ＝log 24a n .(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－1，解得a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －1－2a n －1＋1＝2a n －2a n －1，∴a n ＝2a n －1，则a n a n －1＝2，数列{a n }为以1为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝2n －1；b n ＝log 24a n ＝log 24×2n －1＝ log 22n ＋1＝n ＋1；(2)由(1)可知a n b n ＝(n ＋1)2n －1，T n ＝2×20＋3×21＋4×22＋…＋(n ＋1)×2n －1，2T n ＝2×21＋3×22＋4×23＋…＋(n ＋1)×2n ，上面两式相减：－T n ＝2＋21＋22＋23＋…＋2n －1－(n ＋1)×2n ＝－n ×2n ， ∴T n ＝n ·2n .4．已知n ∈N *，数列{d n }满足d n ＝3＋(－1)n 2，数列{a n }满足a n ＝d 1＋d 2＋d 3＋…＋d 2n ；数列{b n }为公比大于1的等比数列，且b 2，b 4为方程x 2－20x ＋64＝0的两个不相等的实根．(1)求数列{a n }和数列{b n }的通项公式；(2)将数列{b n }中的第a 1项，第a 2项，第a 3项，……，第a n 项，……删去后剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c n }，求数列{c n }的前2 015项和．解 (1)∵d n ＝3＋(－1)n 2， ∴a n ＝d 1＋d 2＋d 3＋…＋d 2n ＝3×2n 2＝3n ，因为b 2，b 4为方程x 2－20x ＋64＝0的两个不相等的实数根． 所以b 2＋b 4＝20，b 2·b 4＝64，解得：b 2＝4，b 4＝16，所以：b n ＝2n .(2)由题知将数列{b n }中的第3项、第6项、第9项……删去后构成的新数列{c n }中的奇数项与偶数项仍成等比数列，首项分别是b1＝2，b2＝4，公比均是8，T2015＝(c1＋c3＋c5＋…＋c2015)＋(c2＋c4＋c6＋…＋c 2014)＝2×(1－81 008)1－8＋4×(1－81 007)1－8＝20×81 007－67.。
高考数学(鲁闽皖京渝津,文科)大二轮总复习：大题综合突破练1 Word版含解析
突破练(一)1．已知函数f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －1(ω＞0)的周期T ＝π.(1)若直线y ＝m 与函数f (x )的图象在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时有两个公共点，其横坐标分别为x 1，x 2，求f (x 1＋x 2)的值；(2)已知三角形ABC 的内角A 、B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且c ＝3，f (C )＝0，若向量m ＝(1，sin A )与n ＝(2，sin B )共线，求a ，b 的值． 解 (1)∵f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －1 ＝sin (ωx －π6)－1， ∴T ＝2πω＝π，∴ω＝2， ∴f (x )＝sin (2x －π6)－1，又∵y ＝f (x )的图象关于x ＝π3对称，所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，y ＝m 与函数f (x )图象的交点关于x ＝π3对称， ∴x 1＋x 2＝2π3，∴f (x 1＋x 2)＝f (2π3)＝－32. (2)由(1)知f (C )＝sin (2C －π6)－1＝0， ∴C ＝π3.又∵m ∥n ，∴2sin A －sin B ＝0， ∴2a ＝b ，又a 2＋b 2－2ab cos C ＝c 2，c ＝3， 解得：a ＝3，b ＝2 3.2．某市教育主管部门为了弘扬民族文化，在全市各中学开展汉字听写大赛，某学校经过七轮选拔，最后选出甲、乙两名选手代表本校参加市里决赛，甲、乙两名选手七轮比赛得分情况如下表所示：(1)(2)从甲选手的7次成绩中随机抽取两次成绩，求抽出的两次成绩的分数差距至少是3分的概率．解(1)由题意得x甲＝86＋94＋89＋88＋91＋90＋927＝90，x乙＝88＋89＋90＋91＋93＋92＋877＝90，s2甲＝17[(86－90)2＋(94－90)2＋(89－90)2＋(88－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(92－90)2]＝6；s2乙＝17[(88－90)2＋(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(93－90)2＋(92－90)2＋(87－90)2]＝4；因为6＞4，所以乙选手成绩更稳定．(2)从甲选手的七次成绩中随机抽取2次的所有基本事件为：(86,94)(86,89)，(86,88)，(86,91)，(86,90)，(86,92)，(94,89)，(94,88)，(94,91)，(94,90)，(94,92)，(89,88)，(89,91)，(89,90)，(89,92)，(88,91)，(88,90)，(88,92)，(91,90)，(91,92)，(90,92)共21种情况，则抽取的两次分数差距至少3分的事件包含：(86,94)(86,89)，(86,91)，(86,90)，(86,92)，(94,89)，(94,88)，(94,91)，(94,90)，(89,92)，(88,91)，(88,92)共12种情况．则抽取的两次成绩差距至少3分的概率P＝1221＝47.3．数列{a n}的前n项和为S n，若a n＋1＝－4S n＋1，a1＝1，(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝na n，求数列{b n}的前n项和T n.解(1)当n≥2时，a n＝－4S n－1＋1，又a n＋1＝－4S n＋1，∴a n ＋1－a n ＝－4a n ，即a n ＋1a n ＝－3，n ≥2，又a 2＝－4a 1＋1＝－3，a 1＝1，∴数列{a n }是首项为a 1＝1，公比为q ＝－3的等比数列， ∴a n ＝(－3)n －1.(2)由(1)可得b n ＝n ·(－3)n －1，T n ＝1·(－3)0＋2·(－3)1＋3·(－3)2＋…＋(n －1)·(－3)n －2＋n ·(－3)n －1， －3T n ＝1·(－3)1＋2·(－3)2＋…＋(n －2)·(－3)n －2＋(n －1)·(－3)n －1＋n (－3)n . ∴4T n ＝1＋(－3)1＋(－3)2＋…＋(－3)n －1－n ·(－3)n . 所以，T n ＝1－(4n ＋1)(－3)n 16.4．如图，在四棱锥P －ABCD 中，侧面三角形P AD 是等边三角形，底面ABCD 为直角梯形，且AD ∥BC ，AD ⊥CD ，平面P AD ⊥底面ABCD ，E 为AD 的中点，M 是棱PC 上一点，且AD ＝2BC ＝4，CD ＝2 3. (1)试确定点M 的位置，使得PE ∥平面BDM ，并证明； (2)在(1)的条件下，求三棱锥P －MBD 的体积．解 (1)点M 是PC 的中点．连接BE ，因为BC ∥AD ，DE ＝BC ，所以四边形BCDE 为平行四边形，连接EC 交BD 于O ，连接MO ，则MO ∥PE ，又MO ⊂平面BDM ，PE ⊄平面BDM ，所以PE ∥平面BDM .(2)由题意V P －MBD ＝V P －DBC －V M －DBC ，由于平面P AD ⊥底面ABCD ，三角形P AD 是等边三角形，所以PE ⊥AD ，所以PE ⊥底面ABCD . 则PE 是三棱锥P －DBC 的高， 由题意P A ＝AD ＝PD ＝4， 所以PE ＝23，由(1)知MO 是三棱锥M －DBC 的高， MO ＝3，S △DBC ＝23，所以V P －DBC ＝4，V M －DBC ＝2，则V P －MBD ＝2.5．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作倾斜角为锐角的直线l ，l 与抛物线的一个交点为A ，与抛物线的准线交于点B ，且AF →＝FB →.(1)求以AB 为直径的圆被抛物线的准线截得的弦长；(2)平行于AB 的直线与抛物线相交于C 、D 两点，若在抛物线上存在一点P ，使得直线PC 与PD 的斜率之积为－4，求直线CD 在y 轴上截距的最大值． 解 (1)过A 作y 2＝4x 准线的垂线AH ，垂足为H ，则|AH |＝|AF |＝12|AB |，所以直线AB 的方程为y ＝3(x －1)，所以B (－1，－23)，|BF |＝4，所以以AB 为直径的圆为(x －1)2＋y 2＝16， 所以，截得的弦长为4 3.(2)设直线CD ：y ＝3x ＋m ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214，y 1，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224，y 2， 把y ＝3x ＋m 代入y 2＝4x ，消去x ，得3y 2－4y ＋4m ＝0，则 y 1＋y 2＝43，y 1·y 2＝4m3， Δ＝16－163m ＞0，所以m ＜33， 所以，k PC ·k PD ＝4y 1＋y 0·4y 2＋y 0＝－4， 所以y 1·y 2＋y 0(y 1＋y 2)＋y 20＝－4，所以y 20＋4y 03＋4m3＝－4， 所以3y 20＋4y 0＋(4m ＋43)＝0.所以，Δ＝16－43(4m ＋43)≥0，所以m ≤－23 3. 当m ＝－233时，直线CD ：y ＝3x －233， 所以直线在y 轴上截距最大值为－23 3.. 6．已知函数f (x )＝ln x .(1)求证：当0＜x＜1时，f(1＋x)＞4xx＋6；(2)若1f(x＋1)＜x＋1ax在[1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．(1)证明设g(x)＝ln(x＋1)－4xx＋6，则g′(x)＝1x＋1－24(x＋6)2＝x2－12x＋12(x＋1)(x＋6)2.当x∈(0,1)时，g′(x)＞0.∴g(x)在区间(0,1)上是增函数．∴g(x)＞g(0)＝0，∴ln(x＋1)＞4xx＋6.即当0<x<1时，f(1＋x)>4xx＋6.(2)解由已知，对∀x∈[1，＋∞)，有1ln(x＋1)＜x＋1ax恒成立．∵ln(x＋1)＞0，∴a＞0.从而，a＜x＋1x ln(x＋1)在区间[1，＋∞)上恒成立．令h(x)＝x＋1x ln(x＋1)，则h′(x)＝1x2[x－ln(x＋1)]．再令t(x)＝x－ln(x＋1)，则t′(x)＝1－1x＋1＝xx＋1＞0.∴t(x)在区间[1，＋∞)上递增，从而t(x)≥t(1)＝1－ln 2＞0.∴h′(x)＞0在区间[1，＋∞)上恒成立．∴h(x)在区间[1，＋∞)上递增．h(x)min＝h(1)＝2ln 2，∴0＜a＜2ln 2.。
高考数学(鲁闽皖京渝津,文科)大二轮总复习：选修4-1 专题训练 Word版含解析
A组(供高考题型为填空题的省份使用)1．如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则BE＝________.解析∵AC＝4，AD＝12，∠ACD＝90°，∴CD2＝AD2－AC2＝128，∴CD＝8 2.又∵AE⊥BC，∠B＝∠D，∴△ABE∽△ADC，∴ABAD＝BECD，∴BE＝AB·CDAD＝6×8212＝4 2.答案4 22．如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC＝4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为________．解析如图，连接CE，AO，AB.根据A，E是半圆周上的两个三等分点，BC 为直径，可得∠CEB＝90°，∠CBE＝30°，∠AOB＝60°，故△AOB为等边三角形，AD＝3，OD＝BD＝1，∴DF＝3 3，∴AF＝AD－DF＝23 3.答案23 33．如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝a2，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF＝________.解析 连接DE ，由于E 是AB 的中点，故BE ＝a2.又CD ＝a2，AB ∥DC ，CB ⊥AB ， ∴四边形EBCD 是矩形．在Rt △ADE 中，AD ＝a ，F 是AD 的中点，故EF ＝a2. 答案 a 24.如图，已知P A ，PB 是圆O 的切线，A ，B 分别为切点，C 为圆O 上不与A ，B 重合的另一点，若∠ACB ＝120°，则∠APB ＝________.解析 如图，连接OA ，OB ，∠P AO ＝∠PBO ＝90°，∵∠ACB ＝120°，∴∠AOB ＝120°.又P ，A ，O ，B 四点共圆，故∠APB ＝60°. 答案 60°5．如图，点P 在圆O 直径AB 的延长线上，且PB ＝OB ＝2，PC 切圆O 于C 点，CD ⊥AB 于D 点，则CD ＝________.解析 由切割线定理知，C 2＝P A ·PB ，解得PC ＝2 3.连接OC ，又OC ⊥PC ，故CD ＝PC ·OC PO ＝23×24＝ 3. 答案36．如图，点A 、B 、C 都在⊙O 上，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，若AB ＝5，BC ＝3，CD ＝6，则线段AC 的长为________．解析 由切割线定理，得CD 2＝ BD ·AD .因为CD ＝6，AB ＝5，则36＝BD (BD ＋5)， 即BD 2＋5BD －36＝0，即(BD ＋9)(BD －4)＝0，所以BD ＝4.因为∠A ＝∠BCD ，所以△ADC ∽△CDB ，于是AC CB ＝CD BD . 所以AC ＝CD BD ·BC ＝64×3＝92. 答案 927．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝20，过C 作△ABC 的外接圆的切线CD ，BD ⊥CD ，BD 与外接圆交于点E ，则DE 的长为______．解析 由题意，得弦切角∠BCD ＝∠A ＝60°，∠ACB ＝∠D ＝90°， ∴△ABC ∽△CBD .∴AB CB ＝AC CD ，CD ＝CB ·AC AB ＝20sin 60°×20cos 60°20＝5 3.又∵CD 与圆相切，∴CD 2＝DE ·DB ，则DE ＝CD 2DB ＝(53)2CB sin 60°＝25×320×sin 60°×sin 60°＝5.答案 58．如图，⊙O 的割线PBA 过圆心O ，弦CD 交P A 于点F ，且△COF ∽△PDF ，若PB ＝OA ＝2，则PF ＝________.解析 由相交弦定理可得BF ·AF ＝DF ·CF ， 由△COF ∽△PDF 可得CF PF ＝OF DF ， 即得DF ·CF ＝PF ·OF .∴BF ·AF ＝PF ·OF ， 即(PF －2)·(6－PF )＝PF ·(4－PF )，解得PF ＝3. 答案 39．如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P .若PB P A ＝12，PC PD ＝13，则BC AD 的值为________．解析 ∵∠P ＝∠P ，∠PCB ＝∠P AD ， ∴△PCB ∽△P AD .∴PB PD ＝PC P A ＝BC AD . ∵PB P A ＝12，PC PD ＝13，∴BC AD ＝66. 答案 6610.如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E .若AB ＝6，ED ＝2，则BC ＝________.解析 C 为BD 中点，且AC ⊥BC ，故△ABD 为等腰三角形．AB ＝AD ＝6， ∴AE ＝4，DE ＝2，又AE AC ＝ACAD ⇒AC 2＝AE ·AD ＝4×6＝24，AC ＝26，在△ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝36－24＝2 3. 答案 2 311．如图，已知Rt △ABC 的两条直角边AC ，BC 的长分别为3 cm ，4 cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于点D ，则BD ＝________cm.解析 如图，连接DC ，则CD ⊥AB ，Rt △ADC ∽Rt △ACB . 故AD AC ＝AC AB ，即AD 3＝35， AD ＝95(cm)， BD ＝5－95＝165(cm)． 答案 16512．如图所示，直线PB 与圆O 相切于点B ，D 是弦AC 上的点，∠PBA ＝∠DBA .若AD ＝m ，AC ＝n ，则AB ＝________.解析 ∵直线PB 与圆相切于点B ，且∠PBA ＝∠DBA ，∴∠ACB ＝∠ABP ＝∠DBA ，由此可得直线AB 是△BCD 外接圆的切线且B 是切点，则由切割线定理得AB 2＝AD ·AC ＝mn ，即得AB ＝mn . 答案mn13．如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D .过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF ＝3，FB ＝1，EF ＝32，则线段CD 的长为________．解析 由相交弦定理得AF ·FB ＝EF ·FC ， ∴FC ＝AF ·FBEF ＝2.由△AFC ∽△ABD ， 可知FC BD ＝AF AB ，∴BD ＝FC ·AB AF ＝83. 由切割线定理得DB 2＝DC ·DA ， 又DA ＝4CD ，∴4DC 2＝DB 2＝649，∴DC ＝43. 答案 4314．如图所示，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且DF ＝CF ＝2，AF ∶FB ∶BE ＝4∶2∶1.若CE 与圆相切，则线段CE 的长为________．解析 设AF ＝4k ，BF ＝2k ，BE ＝k ，由DF ·FC ＝AF ·BF ，得2＝8k 2，即k ＝12.所以AF ＝2，BF ＝1，BE ＝12，AE ＝72.由切割线定理，得CE 2＝BE ·EA ＝12×72＝74，所以CE ＝72. 答案 7215．如图，点D 在⊙O 的弦AB 上移动，AB ＝4，连接OD ，过点D 作OD 的垂线交⊙O 于点C ，则CD 的最大值为________．解析当OD的值最小时，DC最大，易知D为AB的中点时，DB＝DC＝2最大．答案 2B组(供高考题型为解答题的省份使用)1．如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.(1)证明：△ABE∽△ADC；(2)若△ABC的面积S＝12AD·AE，求∠BAC的大小．(1)证明由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD.因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，所以∠AEB＝∠ACD.故△ABE∽△ADC.(2)解因为△ABE∽△ADC，所以ABAE＝AD AC，即AB·AC＝AD·AE.又S＝12AB·AC sin∠BAC，且S＝12AD·AE，故AB·AC·sin∠BAC＝AD·AE.则sin∠BAC＝1，又∠BAC为三角形内角，所以∠BAC＝90°.2．(2014·辽宁卷)如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG＝PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.(1)求证：AB为圆的直径；(2)若AC＝BD，求证：AB＝ED.证明(1)因为PD＝PG，所以∠PDG＝∠PGD.由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA，又由于∠PGD＝∠EGA，故∠DBA＝∠EGA.所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，从而∠BDA＝∠PF A.由于AF⊥EP，所以∠PF A＝90°，于是∠BDA＝90°.故AB是直径．(2)连接BC，DC.由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°.在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，从而Rt△BDA≌Rt△ACB，于是∠DAB＝∠CBA.又因为∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB.由于AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角．于是ED为直径．由(1)得ED＝AB.3．如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A点作直线AP垂直直线OM，垂足为P.(1)证明：OM·OP＝OA2；(2)N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点．过B点的切线交直线ON于K.证明：∠OKM＝90°.证明(1)因为MA是圆O的切线，所以OA⊥AM.又因为AP⊥OM，在Rt△OAM 中，由射影定理知，OA2＝OM·OP.(2)因为BK是圆O的切线，BN⊥OK，同(1)，有OB2＝ON·OK，又OB＝OA，所以OP·OM＝ON·OK，即ONOP＝OMOK.又∠NOP＝∠MOK，所以△ONP∽△OMK，故∠OKM＝∠OPN＝90°.4．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外接圆劣弧上的点(不与点A，C重合)，延长BD至E.(1)求证：AD的延长线平分∠CDE；(2)若∠BAC＝30°，△ABC中BC边上的高为2＋3，求△ABC外接圆的面积．(1)证明如图，设F为AD延长线上一点．∵A、B、C、D四点共圆，∴∠CDF＝∠ABC.又AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，且∠ADB＝∠ACB，∴∠ADB＝∠CDF.又∠EDF＝∠ADB，故∠EDF＝∠CDF，即AD的延长线平分∠CDE.(2)解设O为外接圆圆心，连接AO交BC于H，则AH⊥BC.连接OC，由题意∠OAC＝∠OCA＝15°，∠ACB＝75°，∴∠OCH＝60°.设圆半径为r，则r＋32r＝2＋3，得r＝2，∴△ABC外接圆的面积为4π.5．如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过点C作⊙O的切线，交BD的延长线于点P，交AD的延长线于点E.(1)求证：AB2＝DE·BC；(2)若BD＝9，AB＝6，BC＝9，求切线PC的长．(1)证明∵AD∥BC，∴.∴AB＝CD，∠EDC＝∠BCD.又PC与⊙O相切，∴∠ECD＝∠DBC.∴△CDE∽△BCD.∴DCBC＝DEDC.∴CD2＝DE·BC，即AB2＝DE·BC.(2)解由(1)知，DE＝AB2BC＝629＝4，∵AD∥BC，∴△PDE∽△PBC，∴PDPB＝DEBC＝49.又∵PB－PD＝9，∴PD＝365，PB＝815.∴PC2＝PD·PB＝365·815＝54252.∴PC＝545.6.如图，直线AB为圆O的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC＝3，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．(1)证明如图，连接DE，则∠DCB＝∠DEB，∵DB⊥BE，∴∠DBC＋∠CBE＝90°，∠DEB＋∠EDB＝90°，∴∠DBC＋∠CBE＝∠DEB＋∠EDB，又∠CBE＝∠EBF＝∠EDB，∴∠DBC＝∠DEB＝∠DCB，∴DB＝DC.(2)解由(1)知：∠CBE＝∠EBF＝∠BCE，∴∠BDE＝∠CDE，∴DE是BC的垂直平分线，设交点为H，则BH＝3 2，∴OH＝1－34＝12，∴DH＝3 2，∴tan∠BDE＝3232＝33，∴∠BDE＝30°，∴∠FBE＝∠BDE＝30°，∴∠CBF＋∠BCF＝90°，∴∠BFC＝90°，∴BC是△BCF的外接圆直径．∴△BCF的外接圆半径为3 2.。
高考数学(鲁闽皖京渝津,文科)大二轮总复习：第1部分专题5第2讲 专题训练 Word版含解析
一、选择题1．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与直线y ＝3x 无交点，则离心率e 的取值范围是( )． A ．(1,2) B ．(1,2] C ．(1，5)D ．(1，5]解析 因为双曲线的渐近线为y ＝±ba x ，要使直线y ＝3x 与双曲线无交点，则直线y ＝3x 应在两渐近线之间，所以有ba ≤3，即b ≤3a ，所以b 2≤3a 2，c 2－a 2≤3a 2，即c 2≤4a 2，e 2≤4，所以1＜e ≤2. 答案 B2．已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0＜b ＜2)，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( )． A ．1 B ．2 C.32D ． 3解析 由椭圆的方程，可知长半轴长为a ＝2；由椭圆的定义，可知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3，由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即2b 2a ＝3，可求得b 2＝3，即b ＝ 3. 答案 D3．已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0＜b ＜2)与y 轴交于A ，B 两点，点F 为该椭圆的一个焦点，则△ABF 的面积的最大值为( )． A ．1 B ．2 C ．4D ．8解析 不妨设点F 的坐标为(4－b 2，0)，而|AB |＝2b ，∴S △ABF ＝12×2b ×4－b 2＝b 4－b 2＝b 2(4－b 2)≤b 2＋4－b 22＝2(当且仅当b2＝4－b 2，即b 2＝2时取等号)，故△ABF 面积的最大值为2.4．(2014·四川卷)已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )． A ．2 B ．3 C.1728D ．10解析 设直线AB 的方程为x ＝ny ＋m (如图)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵OA →·OB →＝2， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝2.又y 21＝x 1，y 22＝x 2，∴y 1y 2＝－2. 联立⎩⎨⎧y 2＝x ，x ＝ny ＋m ，得y 2－ny －m ＝0，∴y 1y 2＝－m ＝－2，∴m ＝2，即点M (2,0)． 又S △ABO ＝S △AMO ＋S △BMO ＝12|OM ||y 1|＋12|OM ||y 2| ＝y 1－y 2，S △AFO ＝12|OF |·|y 1|＝18y 1， ∴S △ABO ＋S △AFO ＝y 1－y 2＋18y 1 ＝98y 1＋2y 1≥298y 1·2y 1＝3，当且仅当y 1＝43时，等号成立． 答案 B 二、填空题5．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1·PF 2的最小值为________．解析 由已知得A 1(－1,0)，F 2(2,0)．设P (x ，y )(x ≥1)，则P A 1→·PF 2→＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝4x 2－x －5.令f (x )＝4x 2－x －5，则f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以当x ＝1时，函数f (x )取最小值，即P A 1→·PF 2→取最小值，最小值为－2. 答案 －26．已知A (1,2)，B (－1,2)，动点P 满足AP →⊥BP →.若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与动点P 的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是________． 解析 设P (x ，y )，由题设条件，得动点P 的轨迹为(x －1)(x ＋1)＋(y －2)(y －2)＝0，即x 2＋(y －2)2＝1，它是以(0,2)为圆心，1为半径的圆．又双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±b a x ，即bx ±ay ＝0，由题意，可得2aa 2＋b 2＞1，即2a c ＞1，所以e ＝ca ＜2，又e ＞1，故1＜e ＜2. 答案 (1,2)7．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率分别为e 1，e 2，则e 1e 2的取值范围为________． 解析 可知e 21＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2，e 22＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2，所以e 21＋e 22＝2＞2e 1e 2⇒0＜e 1e 2＜1.答案 (0,1)8．直线3x －4y ＋4＝0与抛物线x 2＝4y 和圆x 2＋(y －1)2＝1从左到右的交点依次为A ，B ，C ，D ，则ABCD 的值为________． 解析 由⎩⎨⎧3x －4y ＋4＝0，x 2＝4y ，得x 2－3x －4＝0，∴x A ＝－1，x D ＝4，∴y A ＝14，y D ＝4.直线3x －4y ＋4＝0恰过抛物线的焦点F (0,1)．∴AF ＝y A ＋1＝54，DF ＝y D ＋1＝5， ∴AB CD ＝AF －1DF －1＝116.答案 116 三、解答题9．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点． (1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．解 (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0,4)，半径为4. 设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y )． 由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0， 即(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13， 故l 的方程为y ＝－13x ＋83.又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105，|PM |＝4105，所以△POM 的面积为165.10．(2014·湖北黄冈中学等八校联考)如图所示，已知椭圆C 1和抛物线C 2有公共焦点F (1,0)，C 1的中心和C 2的顶点都在坐标原点，过点M (4,0)的直线l 与抛物线C 2分别相交于A ，B 两点．(1)写出抛物线C 2的标准方程； (2)求证：以AB 为直径的圆过原点；(3)若坐标原点O 关于直线l 的对称点P 在抛物线C 2上，直线l 与椭圆C 1有公共点，求椭圆C 1的长轴长的最小值． (1)解 设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p ＞0)， 由F (1,0)，得p ＝2，∴C 2：y 2＝4x .(2)证明 可设AB ：x ＝4＋ny ，联立y 2＝4x ， 得y 2－4ny －16＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2＝－16，x 1x 2＝y 21y 2216＝16，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0， 即以AB 为直径的圆过原点．(3)解 设P (4t 2,4t )，则OP 的中点(2t 2,2t )在直线l 上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2t 2＝4＋2nt ，4t 4t 2＝－n ，得n ＝±1，又∵t ＜0，∴n ＝1，直线l ：x ＝y ＋4.设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2a 2－1＝1，与直线l ：x ＝y ＋4联立可得：(2a 2－1)y 2＋8(a 2－1)y －a 4＋17a 2－16＝0， 由Δ≥0，得a ≥342，∴长轴长最小值为34.11．(2014·苏、锡、常、镇四市教学情况调查)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B ，C 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上不同的三点，A (32，322)，B (－3，－3)，C 在第三象限，线段BC 的中点在直线OA 上． (1)求椭圆的标准方程；(2)求点C 的坐标；(3)设动点P 在椭圆上(异于点A ，B ，C )且直线PB ，PC 分别交直线OA 于M ，N 两点，证明OM →·ON →为定值并求出该定值．解 (1)由已知，得⎩⎨⎧18a 2＋92b 2＝1，9a 2＋9b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝27，b 2＝272.所以椭圆的标准方程为x 227＋y 2272＝1.(2)设点C (m ，n )(m ＜0，n ＜0)， 则BC 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫m －32，n －32.由已知，求得直线OA 的方程为x －2y ＝0， 从而m ＝2n －3.①又∵点C 的椭圆上，∴m 2＋2n 2＝27.② 由①②，解得n ＝3(舍)，n ＝－1，从而m ＝－5. 所以点C 的坐标为(－5，－1)．(3)设P (x 0，y 0)，M (2y 1，y 1)，N (2y 2，y 2)． ∵P ，B ，M 三点共线，∴y 1＋32y 1＋3＝y 0＋3x 0＋3，整理，得y 1＝3(y 0－x 0)x 0－2y 0－3. ∵P ，C ，N 三点共线，∴y 2＋12y 2＋5＝y 0＋1x 0＋5，整理，得y 2＝5y 0－x 0x 0－2y 0＋3. ∵点P 在椭圆上，∴x 20＋2y 20＝27，x 20＝27－2y 20. 从而y 1y 2＝3(x 20＋5y 20－6x 0y 0)x 20＋4y 20－4x 0y 0－9＝3(3y 20－6x 0y 0＋27)2y 20－4x 0y 0＋18＝3×32＝92.所以OM →·ON →＝5y 1y 2＝452.∴OM →·ON →为定值，定值为452.。
高考数学(鲁闽皖京渝津,文科)大二轮总复习：第1部分专题1第4讲 专题训练 Word版含解析
一、选择题1．已知函数f (x )＝12mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是( )．A ．[－1,1]B ．[－1，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，1]解析 f ′(x )＝mx ＋1x －2≥0对一切x ＞0恒成立， ∴m ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋2x .令g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋2x ，则当1x ＝1，即x ＝1时，函数g (x )取最大值1.故m ≥1.答案 C2．(2014·广州调研)函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围是( )．A ．[0,1)B ．(－1,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．(0,1)解析 f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )． 当a ≤0时，f ′(x )＞0，∴f (x )在(0,1)内单调递增，无最小值． 当a ＞0时，f ′(x )＝3(x －a )(x ＋a )．当x ∈(－∞，－a )和(a ，＋∞)时，f (x )单调递增； 当x ∈(－a ，a )时，f (x )单调递减．所以当a ＜1，即0＜a ＜1时，f (x )在(0,1)内有最小值． 答案 D3．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3m ，x ∈[0，＋∞)，若f (x )＋5≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )． A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫179，＋∞ B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫179，＋∞C．(－∞，2] D．(－∞，2)解析f′(x)＝x2－4x，由f′(x)>0，得x>4或x<0.∴f(x)在(0,4)上递减，在(4，＋∞)上递增，∴当x∈[0，＋∞)时，f(x)min＝f(4)．∴要使f(x)＋5≥0恒成立，只需f(4)＋5≥0恒成立即可，代入解之得m≥17 9.答案 A4．已知函数f(x)＝13x3＋ax2＋3x＋1有两个极值点，则实数a的取值范围是()．A．(3，＋∞) B．(－∞，－3)C．(－3，3) D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)解析f′(x)＝x2＋2ax＋3.由题意知方程f′(x)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4a2－12＞0，解得：a＞3或a＜－ 3.答案 D二、填空题5．(2014·郑州质量预测)若f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1在R上单调递增，则a的取值范围是________．解析f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)．由题意知f′(x)≥0在R上恒成立，所以Δ＝36a2－4×3×3(a＋2)≤0，解得－1≤a≤2.答案[－1,2]6．若函数f(x)＝－12x2＋4x－3ln x在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是______．解析对f(x)求导，得f′(x)＝－x＋4－3x＝－x2＋4x－3x＝－(x－1)(x－3)x.由f′(x)＝0得函数f(x)的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，所以t<1<t＋1或t<3<t＋1，解得0<t<1或2<t<3.答案 (0,1)∪(2,3)7．(2014·浙江考试院抽测)已知m ∈R ，若函数f (x )＝x 3－3(m ＋1)x 2＋12mx ＋1在[0,3]上无极值点，则m 的值为________．解析 f ′(x )＝3x 2－6(m ＋1)x ＋12m ＝3(x －2)(x －2m )．由于f (x )在[0,3]上无极值点，则2m ＝2，所以m ＝1. 答案 18．已知函数f (x )＝x －1x ＋1，g (x )＝x 2－2ax ＋4，若任意x 1∈[0,1]，存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是______． 解析 由于f ′(x )＝1＋1(x ＋1)2>0，因此函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以x ∈[0,1]时，f (x )min ＝f (0)＝－1.根据题意可知存在x ∈[1,2]，使得g (x )＝x 2－2ax ＋4≤－1，即x 2－2ax ＋5≤0，即a ≥x 2＋52x 能成立，令h (x )＝x 2＋52x ，则要使a ≥h (x )在x ∈[1,2]能成立，只需使a ≥h (x )min ，又函数h (x )＝x 2＋52x 在x ∈[1,2]上单调递减(可利用导数判断)，所以h (x )min ＝h (2)＝94，故只需a ≥94. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，＋∞三、解答题9．已知函数f (x )＝x 2＋2a ln x .(1)若函数f (x )的图象在(2，f (2))处的切线斜率为1，为求实数a 的值； (2)若函数g (x )＝2x ＋f (x )在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝2x ＋2a x ＝2x 2＋2ax .由已知f ′(2)＝1，解得a ＝－3.(2)由g (x )＝2x ＋x 2＋2a ln x ，得g ′(x )＝－2x 2＋2x ＋2ax . 由函数g (x )为[1,2]上的单调减函数， 则g ′(x )≤0在[1,2]上恒成立， 即－2x 2＋2x ＋2ax ≤0在[1,2]上恒成立，即a≤1x－x2在[1,2]上恒成立．令h(x)＝1x－x2，在[1,2]上h′(x)＝－1x2－2x＝－⎝⎛⎭⎪⎫1x2＋2x＜0，所以h(x)在[1,2]上为减函数，h(x)min＝h(2)＝－7 2.所以a≤－7 2.10．(2014·北京西城区一模)已知函数f(x)＝ln x－ax，其中a∈R.(1)当a＝2时，求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程；(2)如果对于任意x∈(1，＋∞)，都有f(x)＞－x＋2，求a的取值范围．解(1)由f(x)＝ln x－2x，得f′(x)＝1x＋2x2，所以f′(1)＝3.又因为f(1)＝－2，所以函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为3x－y－5＝0.(2)由f(x)＞－x＋2，得ln x－ax＞－x＋2，即a＜x ln x＋x2－2x.设函数g(x)＝x ln x＋x2－2x，则g′(x)＝ln x＋2x－1.因为x∈(1，＋∞)，所以ln x＞0,2x－1＞0，所以当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＝ln x＋2x－1＞0，故函数g(x)在x∈(1，＋∞)上单调递增，所以当x∈(1，＋∞)时，g(x)＞g(1)＝－1.因为对于任意x∈(1，＋∞)，都有f(x)＞－x＋2成立，即对于任意x∈(1，＋∞)，都有a＜g(x)成立，所以a≤－1.11．(2014·辽宁五校协作体联考)定义在R上的函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋3同时满足以下条件：①f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；②f′(x)是偶函数；③f(x)在x＝0处的切线与直线y＝x＋2垂直．(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)设g(x)＝ln x－mx，若存在实数x∈[1，e]，使g(x)＜f′(x)，求实数m的取值范围．解(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，∵f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，∴f′(1)＝3a＋2b＋c＝0.①由f′(x)是偶函数得：b＝0.②又f(x)在x＝0处的切线与直线y＝x＋2垂直，∴f′(0)＝c＝－1.③由①②③得：a＝13，b＝0，c＝－1，即f(x)＝13x3－x＋3.(2)由已知得：存在实数x∈[1，e]，使ln x－mx＜x2－1，即存在x∈[1，e]，使m＞x ln x－x3＋x. 设M(x)＝x ln x－x3＋x，x∈[1，e]，则M′(x)＝ln x－3x2＋2，设H(x)＝ln x－3x2＋2，x∈[1，e]，则H′(x)＝1x－6x＝1－6x2x.∵x∈[1，e]，∴H′(x)＜0，即H(x)在[1，e]上单调递减，于是，H(x)≤H(1)，即H(x)≤－1＜0，即M′(x)＜0，∴M(x)在[1，e]上单调递减，∴M(x)≥M(e)＝2e－e3，于是有m＞2e－e3，故实数m的取值范围是(2e－e3，＋∞)．。
高考数学(鲁闽皖京渝津,文科)大二轮总复习：真题感悟·考点整合选修4-5 Word版含解析
[真题感悟]1．(2014·广东卷)不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为________．解析 当x <－2时，原不等式等价于1－x －x －2≥5⇒x ≤－3，此时得到x ≤－3；当－2≤x ≤1时，原不等式等价于1－x ＋x ＋2≥5，此时无解；当x >1时，原不等式等价于x －1＋x ＋2≥5⇒x ≥2，此时得到x ≥2.于是原不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}．答案 {x ≤－3或x ≥2}2．(2014·湖南卷)若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－53<x <13，则a ＝________. 解析 由|ax －2|<3，解得－1<ax <5，当a ＞0时，－1a ＜x ＜5a 与已知条件不符；当a ＝0时，x ∈R ，与已知条件不符；当a ＜0时，5a ＜x ＜－1a ，又不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－53＜x ＜13，故a ＝－3. 答案 －33．(2014·陕西卷)设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则m 2＋n 2的最小值为________．解析 根据柯西不等式(ma ＋nb )2≤(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)，得25≤5(m 2＋n 2)，m 2＋n 2≥5，m 2＋n 2的最小值为 5.答案 5 4．(2014·重庆卷)若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析 法一 设y ＝|2x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x －1，x ≤－2，－x ＋3，－2<x <12，3x ＋1，x ≥12，∴x ＝12，函数y ＝|2x －1|＋|x ＋2|取最小值3×12＋1＝52，∴|2x －1|＋|x ＋2|≥52≥a 2＋12a ＋2，即2a 2＋a －1≤0，∴－1≤a ≤12.法二 |2x －1|＋|x ＋2|＝|x －12|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|x －12|＋|x ＋2|≥0＋|(x －12)－(x ＋2)|＝52，当且仅当x ＝12时取等号，因此函数y ＝|2x －1|＋|x ＋2|的最小值是52.所以a 2＋12a ＋2≤52，即2a 2＋a －1≤0，解得－1≤a ≤12，即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 [考点整合]1．含有绝对值的不等式的解法(1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<－a ；(2)|f (x )|<a (a >0)⇔－a <f (x )<a ；(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．2．含有绝对值的不等式的性质|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.此性质可用来解不等式或证明不等式．3．基本不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：如果a ，b 为正数，则a ＋b 2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1、a 2、…、a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立． 4．柯西不等式(1)设a ，b ，c ，d 为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．(2)若a i ，b i (i ∈N *)为实数，则(∑i ＝1na 2i )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1nb 2i ≥(∑i ＝1n a i b i )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n)或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n)时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．5．绝对值不等式|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.需要灵活地应用．6．不等式的性质，特别是基本不等式链11a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a >0，b >0)，在不等式的证明和求最值中经常用到．7．证明不等式的传统方法有比较法、综合法、分析法．另外还有拆项法、添项法、换元法、放缩法、反证法、判别式法、数形结合法等.。
高考数学(鲁闽皖京渝津,文科)大二轮总复习：大题综合突破练4 Word版含解析
突破练(四)1．已知函数f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ，x ∈R .(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)将函数f (x )图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变得到函数h (x )的图象，再将h (x )的图象向右平移π3个单位得到g (x )的图象，求函数g (x )的解析式，并求g (x )在[0，π]上的值域．解 (1)∵f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ，∴f (x )＝2sin (2x ＋π6)＋1.由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z . (2)∵f (x )＝2sin (2x ＋π6)＋1―――――――――――→横坐标伸长为原来的2倍纵坐标不变h (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1，∵x ∈[0，π]，∴x －π6∈[－π6，5π6]． ∴sin (x －π6)∈[－12，1]．∴g (x )在[0，π]上的值域为[0,3]．2．某出租车公司为了解本公司出租车司机对新法规的知晓情况，随机对100名出租车司机进行调查．调查问卷共10道题，答题情况如下表：(1)比较好，试估计该公司的出租车司机对新法规知晓情况比较好的概率；(2)从答对题目数少于8的出租车司机中任选出2人做进一步的调查，求选出的2人中至少有一名女出租车司机的概率．解 (1)答对题目数小于9的人数为55，记“答对题目数大于等于9”为事件A ，P (A )＝1－55100＝0.45.(2)设答对题目数小于8的司机为A 、B 、C 、D 、E ，其中A 、B 为女司机，任选出2人包含AB 、AC 、AD 、AE 、BC 、BD 、BE 、CD 、CE 、DE ，共10种情况，至少有一名女出租车司机的事件为AB 、AC 、AD 、AE 、BC 、BD 、BE ，共7种．记“选出的2人中至少有一名女出租车司机”为事件M ，则P (M )＝710＝0.7.3．已知四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，PC ＝2，且底面ABCD 是边长为1的正方形．E 是最短的侧棱PC 上的动点．(1)求证：P 、A 、B 、C 、D 五点在同一个球面上，并求该球的体积；(2)如果点F 在线段BD 上，DF ＝3BF ，且EF ∥平面P AB ，求PE EC 的值．(1)证明 设P A 的中点为M ，连接AC ，CM ，则△P AC 为直角三角形，∴CM ＝PM ＝AM ＝62.设正方形ABCD 的中心为点O ，连接OM ，则OM ∥PC ，OM ＝1，∵PC ⊥底面ABCD ，∴OM ⊥底面ABCD ，又O 为BD 的中点，连接BM ，DM ，则BM ＝DM ＝1＋(22)2＝62，∴CM ＝PM ＝AM ＝BM ＝DM ，故点P 、A 、B 、C 、D 在以M 为球心，半径为62的球上，且V 球M ＝43π(62)3＝6π.(2)解 连接CF 并延长交AB 于K ，连接PK .∵EF ∥平面P AB ，EF ⊂平面PCK ，平面PCK ∩平面P AB ＝PK ，∴EF ∥PK ，∵DF ＝3BF ，又AB ∥CD ，∴CF ＝3KF .∵EF ∥PK ，∴CE ＝3PE ，∴PE EC ＝13.4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n ＋n 2－1，数列{b n }满足3n ·b n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ，且b 1＝3.(1)求a n ，b n ；(2)设T n 为数列{b n }的前n 项和，求T n .解 (1)当n ≥2时，S n ＝a n ＋n 2－1，S n －1＝a n －1＋(n －1)2－1，两式相减，得a n ＝a n －a n －1＋2n －1，∴a n －1＝2n －1，∴a n ＝2n ＋1，∴3n ·b n ＋1＝(n ＋1)(2n ＋3)－n (2n ＋1)＝4n ＋3，∴b n ＋1＝4n ＋33n .∴当n ≥2时，b n ＝4n －13n －1，又b 1＝3适合上式， ∴b n ＝4n －13n －1. (2)由(1)知，b n ＝4n －13n －1，∴T n ＝31＋73＋1132＋…＋4n －53n －2＋4n －13n －1，① 13T n ＝33＋732＋1133＋…＋4n －53n －1＋4n －13n ，② ①－②，得23T n ＝3＋43＋432＋…＋43n －1－4n －13n ＝3＋4×13(1－13n －1)1－13－4n －13n ＝5－4n ＋53n ，∴T n ＝152－4n ＋52×3n －1. 5．已知点M (－1,0)，N (1,0)，动点P (x ，y )满足：|PM |＋|PN |＝2 3.(1)求P 的轨迹C 的方程；(2)是否存在过点N (1,0)的直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，并且曲线C 上存在点Q ，使四边形OAQB 为平行四边形？若存在，求出直线l 的方程．解 (1)由|PM |＋|PN |＝23知道曲线C 是以M ，N 为焦点的椭圆，且a ＝3，c＝1，b ＝2，所以曲线C 的方程为x 23＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由题意知l 的斜率一定不为0，故不妨设l ：x ＝my ＋1，代入椭圆方程整理得(2m 2＋3)y 2＋4my －4＝0，显然Δ＞0，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＋y 2＝－4m 2m 2＋3，y 1y 2＝－42m 2＋3，①假设存在点Q ，使得四边形OAQB 为平行四边形，其充要条件为OQ →＝OA →＋OB →，则点Q 的坐标为(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．由点Q 在椭圆上，即(x 1＋x 2)23＋(y 1＋y 2)22＝1. 整理得2x 21＋3y 21＋2x 22＋3y 22＋4xx 21＋6y 1y 2＝6.又A 、B 在椭圆上，即2x 21＋3y 21＝6,2x 22＋3y 22＝6.故2x 1x 2＋3y 1y 2＝－3，②所以x 1x 2＝(my 1＋1)(my 2＋1)＝m 2y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＋1，将①②代入上式解得m＝±2 2.即直线l的方程是：x＝±22y＋1，即2x±2y－2＝0.6．已知f(x)＝e x＋ax－1(e为自然对数)(1)当a＝1时，求过点(1，f(1))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f(x)≥x2在(0,1)上恒成立，求实数a的取值范围．解(1)当a＝1时，f(x)＝e x＋x－1，f(1)＝e，f′(x)＝e x＋1，f′(1)＝e＋1，∴函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－e＝(e＋1)(x－1)，即y＝(e＋1)x－1，设切线与x、y轴的交点分别为A，B，令x＝0，得y＝－1；令y＝0，得x＝1e＋1.∴A(1e＋1，0)，B(0，－1)．∴S△OAB ＝12×1e＋1×1＝12(e＋1).(2)由f(x)≥x2得a≥1＋x2－e xx，令h(x)＝1＋x2－e xx＝1x＋x－e xx，则h′(x)＝1－1x2－e x(x－1)x2＝(x－1)(x＋1－e x)x2，令k(x)＝x＋1－e x，k′(x)＝1－e x，∵x∈(0,1)，∴k′(x)＝1－e x＜0，k(x)在x ∈(0,1)为减函数，∴k(x)＜k(0)＝0，又∵x－1＜0，x2＞0，∴h′(x)＝(x－1)(x＋1－e x)x2>0，∴h(x)在x∈(0,1)为增函数，h(x)＜h(1)＝2－e，因此只需a≥2－e.。
新高考数学(鲁闽皖京渝津,文科)大二轮总复习：第1部分专题4 立体几何第2讲_专题训练(含答案解析)
一、选择题1．在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿AC 将矩形ABCD 折叠，其正视图和俯视图如图所示，此时连接顶点B ，D 形成三棱锥B －ACD ，则其侧视图的面积为( )．A.125 B ．1225C.7225D ．14425解析 由题意知正视图的高为125，即为侧视图的高；俯视图的高为125，即为侧视图的底面边长，结合侧视图可知侧视图的面积是S ＝12×125×125＝7225.答案 C2．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，将△ADB沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥A －BCD ，则在三棱锥A －BCD 中，下列命题正确的是( )．A ．平面ABD ⊥平面ABCB ．平面ADC ⊥平面BDC C ．平面ABC ⊥平面BDCD ．平面ADC ⊥平面ABC解析 ∵在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ， ∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，∴BD ⊥CD ，又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD∩平面BCD ＝BD ， 所以CD ⊥平面ABD ，则CD ⊥AB ，又AD ⊥AB ，AD∩CD ＝D ，所以AB ⊥平面ADC ， 又AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ADC ，故选D. 答案 D3．(2014·北京朝阳区综合练习)如图：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ＝1，AD ⊥AB ，∠BCD ＝45°，将△ABD 沿对角线BD 折起．设折起后点A 的位置为A′，并且平面A′BD ⊥平面BCD.给出下面四个命题：①A′D ⊥BC ；②三棱锥A′－BCD 的体积为22； ③CD ⊥平面A′BD ； ④平面A′BC ⊥平面A′DC. 其中正确命题的序号是( )． A ．①② B ．③④ C ．①③D ．②④解析 如图所示：∵AD ∥BC ，AB ＝AD ， AD ⊥AB ，∴∠DBC ＝∠BDA ＝45°， 又∠BCD ＝45°，∴CD ⊥BD.取BD 的中点O ，因为平面A′BD ⊥平面BCD ，A′O ⊥BD ， 所以A′O ⊥平面BCD.又CD ⊂平面BCD ，∴A′O ⊥CD ，又CD∩BD ＝D ，∴CD ⊥平面A′BD ，故③正确，V 三棱锥A ′－BCD＝13×S △BCD ×A′O ＝13×12×2×2×22＝26，故②错， ∵CD ⊥平面A′BD ，A′B ⊂平面A′BD ， ∴CD ⊥A′B ，又A′B ⊥A′D(已知)，A′D∩CD ＝D ，∴A′B ⊥平面A′CD ，又A′B ⊂平面A′BC ，∴平面A′BC ⊥平面A′DC ，故④正确． 答案 B4．如图所示，平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体ABCD ，使平面ABD ⊥平面BCD ，若四面体ABCD 的顶点在同一个球面上，则该球的体积为( )．A.32π B ．3π C.23πD ．2π解析 如图，取BD 的中点E ，BC 的中点O ，连接AE ，OD ，EO ，AO. 由题意，知AB ＝AD ，所以AE ⊥BD.由于平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD∩平面BCD ＝BD ，AE ⊥BD ，AE ⊂平面ABD ，所以AE ⊥平面BCD. 因为AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，所以AE ＝22，EO ＝12.所以OA ＝32.在Rt △BDC 中，OB ＝OC ＝OD ＝12BC ＝32，所以四面体ABCD 的外接球的球心为O ，半径为32，所以该球的体积V ＝43π(32)3＝32π.故选A.答案 A 二、填空题5.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB ⊥EF ；②AB 与CM 所成的角为60°；③EF 与MN 是异面直线；④MN ∥CD.则正确结论的序号是__________．解析 把正方体的平面展开图还原成正方体，如图所示，则AB ⊥EF ，EF 与MN 是异面直线，AB ∥CM ，MN ⊥CD ，只有①③正确．答案 ①③6．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，且ABCD 为菱形，M 在PC 边上滑动，则当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD.答案 MD ⊥PC7．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点F 在线段AA 1上，当AF ＝________时，CF ⊥平面B 1DF.解析 由题意易知，B 1D ⊥平面ACC 1A 1，所以B 1D ⊥CF. 要使CF ⊥平面B 1DF ，只需CF ⊥DF 即可． 令CF ⊥DF ，设AF ＝x ，则A 1F ＝3a －x. 易知Rt △CAF ∽Rt △FA 1D ， 得AC A 1D ＝AF A 1D ，即2a x ＝3a －x a， 整理得x 2－3ax ＋2a 2＝0，解得x ＝a 或x ＝2a. 答案 a 或2a8．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，AC∩EF ＝G ，现在沿AE 、EF 、FA 把这个正方形折成一个四面体，使B 、C 、D 三点重合，重合后的点记为P ，则在四面体P －AEF 中必有________．①AP ⊥△PEF 所在平面； ②AG ⊥△PEF 所在平面； ③EP ⊥△AEF 所在平面； ④PG ⊥△AEF 所在平面．解析 在折叠过程中，AB ⊥BE ，AD ⊥DF 保持不变．⎭⎪⎬⎪⎫AP ⊥PE ∴ AP ⊥PF PE∩PF ＝P ⇒AP ⊥面PEF.答案 ① 三、解答题9．(2014·日照一模)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，Q为AD 的中点．(1)若PA ＝PD ，求证：平面PQB ⊥平面PAD ；(2)点M 在线段PC 上，PM ＝tPC ，试确定实数t 的值，使PA ∥平面MQB.(1)证明 连接BD ，因为四边形ABCD 为菱形，且∠BAD ＝60°，所以△ABD 为正三角形，又Q 为AD 的中点，所以AD ⊥BQ ；又因为PA ＝PD ，Q 为AD 的中点，所以AD ⊥PQ ； 又BQ∩PQ ＝Q ，所以AD ⊥平面PQB ， 又AD ⊂平面PAD ，所以平面PQB ⊥平面PAD.(2)解 因为PA ∥平面MQB ，连接AC 交BQ 于N ，由AQ ∥BC 可得，△ANQ ∽△CNB ，所以AQ BC ＝AN NC ＝12，因为PA ∥平面MQB ，PA ⊂平面PAC ， 平面PAC∩平面MQB ＝MN. 所以PA ∥MN.因此，PM PC ＝AN AC ＝13，即t 的值为13.10．(2014·北京西城一模)如图，在四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AD ＝2AB ，SA ＝SD ，SA ⊥AB ，N 是棱AD 的中点．(1)求证：AB ∥平面SCD ； (2)求证：SN ⊥平面ABCD ；(3)在棱SC 上是否存在一点P ，使得平面PBD ⊥平面ABCD ？若存在，求出SPPC 的值；若不存在，说明理由．(1)证明 因为底面ABCD 是矩形， 所以AB ∥CD ，又因为AB ⊄平面SCD ，CD ⊂平面SCD ， 所以AB ∥平面SCD ；(2)证明 因为AB ⊥SA ，AB ⊥AD ，SA∩AD ＝A ， 所以AB ⊥平面SAD ， 又因为SN ⊂平面SAD ，所以AB ⊥SN.因为SA ＝SD ，且N 为AD 的中点， 所以SN ⊥AD. 又因为AB∩AD ＝A ， 所以SN ⊥平面ABCD.(3)解 如图，连接BD 交NC 于点F ，在平面SNC 中过F 作FP ∥SN 交SC 于点P ，连接PD 、PB.因为SN ⊥平面ABCD. 所以FP ⊥平面ABCD. 又因为FP ⊂平面PBD ， 所以平面PBD ⊥平面ABCD. 在矩形ABCD 中，因为ND ∥BC ， 所以NF FC ＝ND BC ＝12.在△SNC 中，因为FP ∥SN ， 所以NF FC ＝SP PC ＝12.则在棱SC 上存在点P ，使得平面PBD ⊥平面ABCD ，此时SP PC ＝12.11．(2014·衡水中学调研考试)如图，正△ABC 的边长为4，CD 是AB 边上的高，E ，F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A －DC －B.(1)试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； (2)求棱锥E －DFC 的体积；(3)在线段BC 上是否存在一点P ，使AP ⊥DE ？如果存在，求出BPBC 的值；如果不存在，请说明理由．解 (1)AB ∥平面DEF ，理由如下：在△ABC 中，由E 、F 分别是AC 、BC 的中点，得EF ∥AB ，又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ， ∴AB ∥平面DEF.(2)∵AD ⊥CD ，BD ⊥CD ，将△ABC 沿CD 翻折成直二面角，A －DC －B. ∴AD ⊥BD ，∴AD ⊥平面BCD. 取CD 的中点M ，这时EM ∥AD ， ∴EM ⊥平面BCD ，EM ＝1， V E －DFC ＝13×12S △BDC ×EM ＝33.(3)在线段BC 上存在点P ，使AP ⊥DE ， 证明如下：在线段BC 上取点P ，使BP ＝BC3，过P 作PQ ⊥CD 于Q ， ∵AD ⊥平面BCD ，∴AD ⊥PQ. 又∵AD∩CD ＝D ，PQ ⊂平面BCD ， ∴PQ ⊥平面ACD ， ∴DQ ＝DC 3＝233，∴tan ∠DAQ ＝DQ AD ＝2332＝33，∴∠DAQ ＝30°，在等边△ADE 中，∠DAQ ＝30°， ∴AQ ⊥DE ，∵PQ ⊥平面ACD ，DE ⊂平面ACD ，∴PQ ⊥DE ，AQ∩PQ ＝Q ， ∴DE ⊥平面APQ ，∴AP ⊥DE.此时BP ＝BC 3，∴BP BC ＝13.。
高考数学(鲁闽皖京渝津,文科)大二轮总复习：小题分类补偿练1 Word版含解析
补偿练1集合与简易逻辑(建议用时：40分钟)一、选择题1．设集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x－1≥0}，则集合A∩B＝()．A．(0,1) B．(0,1]C．(1,2) D．[1,2)解析A∩B＝{x|1≤x＜2}＝[1,2)．答案 D2．已知集合A＝{0,1}，B＝{－1,0，a＋2}，若A⊆B，则a的值为()．A．－2 B．－1C．0 D．1解析∵A⊆B，∴a＋2＝1，解得a＝－1.答案 B3．命题“若x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题是()．A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B．若－1＜x＜1，则x2＜1C．若x＞1或x＜－1则x2＞1D．若x≥1或x≤－1则x2≥1解析交换原命题的条件和结论，再同时都否定，可得原命题的逆否命题．答案 D4．下列命题中的假命题是()．A．∀x∈R,2x－1＞0 B．∃x∈R，lg x＜1C．∀x∈R，x2＞0 D．∃x∈R，tan x＝2解析当x＝0时，x2＝0，故C不成立．答案 C5．已知集合M ＝{x |y ＝ln(1－x )}，集合N ＝{y |y ＝e x ，x ∈R }(e 为自然对数的底数)，则M ∩N ＝( )．A ．{x |x ＜1}B ．{x |x ＞1}C ．{x |0＜x ＜1}D ．∅解析 M ＝{x |y ＝ln(1－x )}＝{x |x ＜1}，N ＝{y |y ＝e x ，x ∈R }＝{y |y ＞0}，故M ∩N ＝{x |0＜x ＜1}． 答案 C6．已知集合A ＝{1,2a }，B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，则A ∪B 为( )．A ．{12，1，b }B ．{－1，12}C ．{1，12}D ．{－1，12，1}解析 ∵A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，∴12∈A ，12∈B ， ∴2a ＝12，b ＝12， ∴a ＝－1，b ＝12， ∴A ∪B ＝{－1，12，1}． 答案 D7．给定命题p ：若x ∈R ，则x ＋1x ≥2；命题q ：若x ≥0，则x 2≥0，则下列各命题中，假命题的是( )． A ．p ∨q B ．(綈p )∨q C ．(綈p )∧qD ．(綈p )∧(綈q )解析 由题意，命题p 是假命题，命题q 是真命题，所以綈p 是真命题， 綈q 是假命题，故D 是假命题． 答案 D8．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－1≥0}，集合B ＝{x |x －1≤0}，则(∁U A )∩B ＝( )．A ．{x |x ≥1}B ．{x |－1＜x ＜1}C．{x|－1＜x≤1} D．{x|x＜－1}解析∵A＝{x|x2－1≥0}＝{x|x≥1或x≤－1}，∴∁U A＝{x|－1＜x＜1}，又B＝{x|x－1≤0}＝{x|x≤1}，∴(∁U A)∩B＝{x|－1＜x＜1}．答案 B9．已知全集U＝R，集合A＝{x|0＜x＜9，x∈R}和B＝{x|－4＜x＜4，x∈Z}关系的韦恩图如图所示，则阴影部分所示集合中的元素共有()．A．3个B．4个C．5个D．无穷多个解析集合B＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，而阴影部分所示集合为B∩(∁U A)＝{－3，－2，－1,0}，所以阴影部分所示集合共4个元素．答案 B10．下列有关命题的说法正确的是()．A．命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题为：“若xy＝0，则x≠0”B．命题“∃x0∈R，使得2x20－1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有2x2－1＜0”C．“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题D．命题“若cos x＝cos y，则x＝y”的逆否命题为真命题解析A中的否命题是“若xy≠0，则x≠0”；B中的否定是“∀x∈R，均有2x2－1≥0”；C正确；当x＝0，y＝2π时，D中的逆否命题是假命题．答案 C二、填空题11．已知全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x≤3}，集合B＝{x|log2(x－2)＜1}，则A∩(∁U B)＝__________.解析由log2(x－2)＜1，可得0＜x－2＜2，∴2＜x＜4，∴B＝{x|2＜x＜4}，∴∁U B＝{x|x≤2或x≥4}，∴A ∩(∁U B )＝{x |－1≤x ≤2}． 答案 {x |－1≤x ≤2}12．命题“若△ABC 不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”与它的逆命题、逆否命题、否命题中，真命题有__________个．解析 原命题：“若△ABC 不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”是真命题，故其逆否命题也是真命题；它的逆命题是“若△ABC 的任何两个内角不相等，则它不是等腰三角形”，也是真命题，故其否命题也是真命题． 答案 413．已知集合M ＝{a,0}，N ＝{x |2x 2－3x ＜0，x ∈Z }，如果M ∩N ≠∅，则a ＝__________.解析 N ＝{x |2x 2－3x ＜0，x ∈Z }＝{1}． ∵M ∩N ≠∅， ∴a ＝1. 答案 114．设p ：x 2－x －20＞0，q ：log 2(x －5)＜2，则p 是q 的________条件． 解析 由x 2－x －20＞0，得x ＜－4或x ＞5，由log 2(x －5)＜2，得5＜x ＜9，所以p 是q 的必要不充分条件． 答案 必要不充分15．设命题p ：2x －1x －1≤0，命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)＜0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析 由2x －1x －1≤0，得12≤x ＜1；由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)＜0，得a ＜x ＜a ＋1.因为p 是q 的充分不必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧12＞a ，1≤a ＋1，解得0≤a ＜12. 答案 [0，12)。
高考数学(鲁闽皖京渝津,文科)大二轮总复习：小题综合限时练4 Word版含解析
限时练(四)(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知i 为虚数单位，a ∈R ，若(a －1)(a ＋1＋i)是纯虚数，则a 的值为( )． A ．－1或1 B ．1 C ．－1D ．3解析 ∵(a －1)(a ＋1＋i)＝(a 2－1)＋(a －1)i 是纯虚数，∴⎩⎨⎧a 2－1＝0，a －1≠0，∴a ＝－1. 答案 C2．设不等式x 2－x ≤0的解集为M ，函数f (x )＝lg(1－|x |)的定义域为N ，则M ∩N ＝( )． A ．(－1,0] B ．[0,1) C ．(0,1)D ．[0,1]解析 由x 2－x ≤0，得M ＝{x |0≤x ≤1}， ∵1－|x |＞0，∴N ＝{x |－1＜x ＜1}， ∴M ∩N ＝[0,1)． 答案 B3．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )． A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) 解析 由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )得，k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )．答案 B4．已知a ＝21.2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( )．A ．c <b <aB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a解析 先把不同底指数化成同底指数，再利用指数函数的单调性比较大小，最后利用中间值与对数函数值进行比较大小．a ＝21.2>2，而b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8＝20.8，所以1<b <2，c ＝2log 52＝log 54<1，所以c <b <a . 答案 A5．已知等差数列{a n }，且3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝48，则数列{a n }的前13项之和为( )． A ．24 B ．39 C ．52D ．104解析 ∵3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝48，由等差数列的性质得6a 4＋6a 10＝48，∴a 7＝4，∴数列{a n }的前13项和为13a 7＝52. 答案 C6．三棱锥S －ABC 及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB 的长为( )．A ．211B ．4 2 C.38D ．16 3解析 取AC 的中点D ，连接BD ，SD ，由正视图及侧视图得，BD ⊥平面SAC ，SC ⊥平面ABC ，则∠SDB ＝90°，且BD ＝23，SD ＝25，∴SB ＝4 2.答案 B7．执行如图的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x 值的个数为( )．A ．1B ．2C ．3D ．4解析 此程序框图的算法功能是分段函数y ＝⎩⎨⎧log 2x ，x ＞2，x 2－1，x ≤2的求值，当y ＝3时，相应的x 值分别为±2,8.答案 C8．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2.若线段MF 1的中点在此双曲线上，则双曲线的离心率为( )．A ．4＋2 3 B.3－1 C.3－12 D.3＋1解析 ∵正三角形MF 1F 2的边长为2c ，设MF 1的中点为N ，∴F 2N ⊥NF 1，在Rt △NF 1F 2中，容易求得，|NF 2|＝3c ，|NF 1|＝c ，又N 在双曲线上，∴|NF 2|－|NF 1|＝2a ，∴2a ＝3c －c ，∴e ＝ca ＝23－1＝3＋1. 答案 D9．若k ∈[－3,3]，则k 的值使得过A (1,1)可以做两条直线与圆(x －k )2＋y 2＝2相切的概率等于( )．A.12B.13C.23D.34解析 点在圆外，过该点可做两条直线与圆相切，故需圆心与点A 距离大于半径即可，即(1－k )2＋1＞2，解得k ＜0或k ＞2，所以所求k ∈[－3,0)∪(2,3]，概率为P ＝46＝23. 答案 C10．已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为( )． A ．－1＜a ＜4 B ．－2＜a ＜1 C ．－1＜a ＜0D ．－1＜a ＜2解析 ∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数， ∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)， ∵f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1， ∴2a －3a ＋1＜1，a －4a ＋1＜0，解得－1＜a ＜4. 答案 A 二、填空题11．抛物线y ＝－4x 2的焦点坐标为________．解析 由y ＝－4x 2，得x 2＝－14y ，它表示焦点在y 轴负半轴上的抛物线，∵2p ＝14，∴p ＝18，∴焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－116. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－11612．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧ x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，则z ＝x －y 的最大值是______．解析作出约束条件⎩⎨⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3表示的平面区域，如图阴影部分所示，当直线z ＝x －y 过点A (1,1)时，目标函数z ＝x －y 取得最大值0.答案 013．登山族为了了解某山高y (km)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了4次山高与相应的气温，并制作了对照表：由表中数据，得到线性回归方程y ＝－2x ＋a (a ∈R )．由此估计山高为72(km)处气温的度数为________．解析 ∵x ＝10，y ＝40，∴样本中心点为(10,40)，∵回归直线过样本中心点，∴40＝－20＋a ^，即a ^＝60，∴线性回归方程为y ^＝－2x ＋60，∴山高为72(km)处气温的度数为－6. 答案 －614．在三棱锥P －ABC 中，侧棱P A ，PB ，PC 两两垂直，P A ＝1，PB ＝2，PC ＝3，则三棱锥的外接球的表面积为________．解析 ∵侧棱P A ，PB ，PC 两两垂直，∴三棱锥P －ABC 的外接球就是以PC ，PB ，P A 为长，宽，高的长方体的外接球，∵P A ＝1，PB ＝2，PC ＝3，∴长方体的体对角线即外接球的直径为14，∴此三棱锥的外接球的表面积为14π. 答案 14π15．已知O 为锐角△ABC 的外心，AB ＝6，AC ＝10，AO →＝xAB →＋yAC →，且2x ＋10y ＝5，则边BC 的长为________．解析 ∵AO→＝xAB →＋yAC →，AO →＝AC →＋CO →，∴CO→＝xAB →＋(y －1)AC →， ∵AB ＝6，AC ＝10，∴CO →2＝[xAB →＋(y －1)AC →]2＝36x 2＋2x (y －1)AB →·AC →＋100(y－1)2，∵AO →2＝(xAB →＋yAC →)2＝36x 2＋2xyAB →·AC →＋100y 2，O 为锐角△ABC 的外心， ∴AO→2＝CO →2， ∴－200y ＋100－2xAB →·AC →＝0，即6x cos ∠BAC ＝5－10y ，∵2x ＋10y ＝5，∴6x cos ∠BAC ＝2x ， ∴cos ∠BAC ＝13，由余弦定理得BC ＝4 6. 答案 4 6。
高考数学(文)新课标大二轮专题复习与测试课件 选修4-1(陕湘鄂渝)
4．圆内接四边形的性质与判定定理
(1)判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边
形的四个顶点共圆． 推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么 这个四边形的四个顶点共圆． (2)性质定理：①圆的内接四边形的对角互补；②圆内接四
边形的外角等于它的内角的对角．
5．圆的切线的判定及性质
(1)圆的切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条
答案： 30°
直线与圆的位置关系
Байду номын сангаас
(2013·北京卷)如图，AB为圆O的直径，PA为圆O
的切线， PB 与圆 O 相交于 D ，若 PA ＝ 3 ， PD∶DB ＝ 9∶16 ，则 PD＝________，AB＝________.
解析： 由于 PD∶DB＝9∶16，设 PD＝9a，则 DB＝16a. 根据切割线定理有 PA2＝PD· PB.又 PA＝3，PB＝25a， 1 9 ∴9＝9a· 25a，∴a＝5，∴PD＝5，PB＝5. 在 Rt△PAB 中，AB2＝PB2－AP2＝25－9＝16，故 AB＝4.
2 2
4 答案： 3
演练课时作业
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形．
3．圆周角与圆心角定理
(1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆
心角的一半． (2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数． (3) 推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆 中，相等的圆周角所对的弧也相等；②半圆( 或直径 ) 所对的圆
周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
段长的积相等．
(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条 割线与圆的交点的两条线段长的积相等． (3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是 这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
高考数学(鲁闽皖京渝津,文科)大二轮总复习：大题综合突破练2 Word版含解析
突破练(二)1．已知函数f (x )＝A sin (ωx －π6)(ω＞0)相邻两个对称轴之间的距离是π2，且满足f (π4)＝ 3.(1)求f (x )的单调递减区间；(2)在钝角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，sin B ＝3sin C ，a ＝2，f (A )＝1，求△ABC 的面积． 解 (1)由题意知周期T ＝π，∴ω＝2，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝3，所以A ＝2，f (x )＝2sin (2x －π6)，由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π(k ∈Z )， 所以f (x )的单调递减区间为[π3＋k π，5π6＋k π](k ∈Z )． (2)由题意b ＝3c ，f (A )＝2sin (2A －π6)＝1， ∴sin (2A －π6)＝12，∵ －π6＜2A －π6＜11π6，∴A ＝π6或π2，因为△ABC 为钝角三角形，所以A ＝π2舍去，故A ＝π6， ∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴4＝3c 2＋c 2－23c 2×32＝c 2，所以c ＝2，b ＝23，S △ABC ＝12×23×2×12＝ 3. 2．已知正项等比数列{a n }满足a 2＝19，a 4＝181，n ∈N *(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足b n ＝log 3a n log 3a n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和T n ，解 (1)设公比为q .∵a 4a 2＝19＝q 2，∴q ＝13或q ＝－13.又数列{a n }为正项等比数列，∴q ＝13. 又∵a 2＝19. ∴a 1＝13， ∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，n ∈N *.(2)∵b n ＝log 3a n ·log 3a n ＋1，n ∈N *， ∴b n ＝n (n ＋1)，n ∈N *. ∴1b n＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.∴T n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.3．某种产品的广告费支出x 与销售额y (单位：万元)之间有如下对应数据：若广告费支出x 与销售额y 回归直线方程为y ＝6.5x ＋a (a ∈R )． (1)试预测当广告费支出为12万元时，销售额是多少？(2)在已有的五组数据中任意抽取两组，求至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过5的概率． 解 (1)x ＝2＋4＋5＋6＋85＝5，y ＝30＋40＋50＋60＋705＝50，因为点(5,50)在回归直线上，代入回归直线方程求得a ＝17.5， 所求回归直线方程为：y ^＝6.5x ＋17.5，当广告支出为12时，销售额y ^＝6.5×12＋17.5＝95.5. (2)实际值和预测值对应表为(30,60)，(30,50)，(30,70)，(40,60)，(40,50)，(40,70)，(60,50)，(60,70)，(50,70)共10个， 两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都超过5的有(60,50)，所以至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过5的概率为P ＝1－110＝910.4．如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱AA 1⊥平面ABC ，△ABC 为等边三角形，侧面AA 1CC 1是正方形，E 是A 1B 的中点，F 是棱CC 1上的点．(1)若F 是棱CC 1的中点时，求证：AE ⊥平面A 1FB ； (2)当V E －ABF ＝93时，求正方形AA 1C 1C 的边长． (1)证明 取AB 的中点为M ，连接EF ，EM ，CM ，因为E 是A 1B 的中点，F 是棱CC 1中点， 所以EM ∥AA 1，FC ∥AA 1，EM ＝FC ＝12AA 1， 则四边形EMCF 是平行四边形，所以EF ∥CM ， 又因为△ABC 为正三角形，侧面AA 1C 1C 是正方形， ∴AA 1＝AB ，所以AE ⊥A 1B ，CM ⊥AB ， 因为侧棱AA 1⊥平面ABC ，所以CM ⊥AA 1，∴CM ⊥平面A 1AB ，∴EF ⊥平面A 1AB ，所以EF ⊥AE ， 又因为AE ⊥A 1B ，A 1B ∩EF ＝E ，所以AE ⊥平面A 1FB .(2)解 设正方形AA 1C 1C 的边长为x ， 由于E 是A 1B 的中点，△EAB 的面积为定值，∵CC 1∥平面AA 1B ，∴点F 到平面EAB 的距离为定值， 即为点C 到平面AA 1B 的距离，又V E －ABF ＝V F －ABE ，且V F －ABE ＝13S △ABE ·h ＝9 3. 即13·12·x ·x 2·32x ＝93，∴x 3＝216，∴x ＝6.所以正方形的边长为6.5．已知圆C 1的圆心在坐标原点O ，且恰好与直线l 1：x －2y ＋35＝0相切，点A 为圆上一动点，AM ⊥x 轴于点M ，且动点N 满足ON →＝33OA →＋(1－33)OM →，设动点N 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)直线l 与直线l 1垂直且与曲线C 交于B 、D 两点，求△OBD 面积的最大值． 解 (1)设动点N (x ，y )，A (x 0，y 0)，因为AM ⊥x 轴于M ，所以M (x 0,0)，设圆C 1的方程为x 2＋y 2＝r 2，由题意得r ＝|35|1＋4＝3，所以圆C 1的方程为x 2＋y 2＝9， 由题意，ON →＝33OA →＋(1－33)OM →， 得(x ，y )＝33(x 0，y 0)＋(1－33)(x 0,0)，所以⎩⎨⎧x ＝x 0，y ＝33y 0，即⎩⎨⎧x 0＝x ，y 0＝3y . 将A (x ，3y )代入x 2＋y 2＝9，得动点N 的轨迹方程x 29＋y 23＝1.(2)由题意可设直线l ：2x ＋y ＋m ＝0，设直线l 与椭圆x 29＋y 23＝1交于B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，联立方程⎩⎨⎧y ＝－2x －m ，x 2＋3y 2＝9得13x 2＋12mx ＋3m 2－9＝0，Δ＝144m 2－13×4(3m 2－9)＞0，解得m 2＜39， x 1,2＝－12m ±468－12m 226＝－6m ±117－3m 213，又因为点O 到直线l 的距离d ＝|m |5， BD ＝5·|x 1－x 2|＝5·2117－3m 213，所以S △OBD ＝12·|m |5·5·2117－3m 213＝m 2(117－3m 2)13＝3m 2(39－m 2)13≤332(当且仅当m 2＝39－m 2即m 2＝392时取到最大值)．所以△OBD 面积的最大值为332. 6．设函数f (x )＝ln x －14x 2－12x . (1)求f (x )的单调区间和极值；(2)若g (x )＝x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )＋14x 2＋1，当x ＞1时，g (x )在区间(n ，n ＋1)内存在极值，求整数n 的值．解 (1)f ′(x )＝1x －12x －12＝－x 2－x ＋22x(x ＞0)，令f ′(x )＝0，解得x ＝1(－2舍去)， 根据x ，f ′(x )，f (x )的变化情况列出表格：， 在x ＝1处取得极大值－34，无极小值． (2)g (x )＝x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )＋14x 2＋1＝x ln x －12x 2＋x ，g ′(x )＝ln x ＋1－x ＋1＝ln x －x ＋2，令h(x)＝ln x－x＋2，∴h′(x)＝1x－1＝1－xx，因为x＞1，∴h′(x)＜0恒成立，所以h(x)在(1，＋∞)为单调递减函数，因为h(1)＝1＞0，h(2)＝ln 2＞0，h(3)＝ln 3－1＞0，h(4)＝ln 4－2＜0.所以h(x)在区间(3,4)上有零点x0，且函数g(x)在区间(3，x0)和(x0,4)上单调性相反，因此，当n＝3时，g(x)在区间(n，n＋1)内存在极值，所以n＝3.。
【创新设计】2015高考数学(鲁闽皖京渝津,文科)大二轮总复习真题感悟·考点整合选修4-4Word版含解析
[真题感悟]1．(2014·安徽卷)以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为( )． A.14 B ．214 C. 2D ．2 2解析 由题意得，直线l 的直角坐标方程为y ＝x －4，圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆心到直线l 的距离d ＝|2－0－4|2＝2，直线l 被圆C 截得的弦长为222－(2)2＝2 2. 答案 D2．(2014·湖北卷)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝3t 3(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2.则C 1与C 2交点的直角坐标为________．解析由⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝3t 3，消去t 得C 1的直角坐标方程为y ＝33x (x ≥0)，曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝4，x ＝3y ，解得x ＝3，y ＝1. 答案 (3，1)3．(2014·湖南卷)在平面直角坐标系中，倾斜角为π4的直线l 与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2＋cos α，y ＝1＋sin α(α 为参数)交于A ，B 两点，且|AB |＝2.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________． 解析 曲线⎩⎨⎧x ＝2＋cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)，消去参数得(x －2)2＋(y －1)2＝1.由于|AB |＝2，因此|AB |为圆的直径，故直线过圆的圆心(2,1)，所以直线l 的方程为y －1＝x －2，即x －y －1＝0，化为极坐标方程为 ρcos θ－ρsin θ＝1，即ρ(cos θ－sin θ)＝1. 答案 ρ(cos θ－sin θ)＝14．(2014·重庆卷)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝3＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0(ρ≥0,0≤θ＜2π)，则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ＝________. 解析 参数方程⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝3＋t ，化为直角坐标方程y －x ＝1，① 由ρsin 2θ－4cos θ＝0，得ρ2sin 2θ－4ρcos θ＝0，其对应的直角坐标方程为y 2－4x ＝0，② 由①②联立，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，∴ρ＝x 2＋y 2＝ 5. 答案5[考点整合]1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0).2．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M (a,0)(a >0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； (3)直线过M ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b .3．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ； (2)当圆心位于M (r,0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ； (3)当圆心位于M ⎝ ⎛⎭⎪⎫r ，π2，半径为r ：ρ＝2r sin θ.4．直线的参数方程经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．设P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段P 0P →的数量． 5．圆的参数方程圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)． 6．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．(2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b tan θ(θ为参数)．⎧x＝2pt2，y＝2pt (t为参数).(3)抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程为⎩⎨。
高考数学(鲁闽皖京渝津,文科)大二轮总复习：小题分类补偿练3 Word版含解析
补偿练3函数与导数(二)(建议用时：40分钟)一、选择题1．下列函数中，既是偶函数又在(－∞，0)上单调递增的是()．A．y＝x2B．y＝2|x|C．y＝log21|x|D．y＝sin x解析函数y＝x2在(－∞，0)上是减函数；函数y＝2|x|在(－∞，0)上是减函数；函数y＝log21|x|＝－log2|x|是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数；函数y＝sin x不是偶函数，综上所述，选C.答案 C2．曲线f(x)＝x2(x－2)＋1在点(1，f(1))处的切线方程为()．A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0 C．x－y＋1＝0 D．x＋y－1＝0解析∵f(x)＝x3－2x2＋1，∴f′(x)＝3x2－4x，∴f′(1)＝－1，又f(1)＝1－2＋1＝0，∴所求切线方程为y＝－(x－1)，即x＋y－1＝0.答案 D3．已知幂函数f(x)的图象经过(9,3)，则f(2)－f(1)＝()．A．3 B．1－ 2C.2－1 D．1解析设幂函数为f(x)＝xα，则f(9)＝9α＝3，即32α＝3，所以2α＝1，α＝12，即f(x)＝x 12＝x，所以f(2)－f(1)＝2－1.答案 C4．设a ＝log 32，b ＝log 23，c ＝log 125，则( )． A ．c ＜b ＜a B ．a ＜c ＜b C ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a解析 ∵0＜log 32＜1,1＜log 23＜log 24＝2，c ＝log 125＜log 124＝log 12(12)－2 ＝－2＜0，∴c ＜a ＜b . 答案 C5．已知函数f (x )＝sin x ＋1，则f (lg 2)＋f (lg 12)＝( )． A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析 因为⎩⎪⎨⎪⎧f (lg 2)＝sin (lg 2)＋1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＋1，所以f (lg 2)＋f (lg 12)＝sin(lg 2)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＋2， 而y ＝sin x 是奇函数，lg 12＝－lg 2， 所以f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝2. 答案 D6．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围为( )． A ．(－2,2)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2,2]解析 依题意x 2＋ax ＋1≥0对x ∈R 恒成立， ∴Δ＝a 2－4≤0，∴－2≤a ≤2. 答案 D7．已知函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，函数g (x )＝x 2－a ln x 在(1,2)上为增函数，则a 的值等于( )． A ．1 B ．2 C ．0 D. 2解析 ∵函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，∴a 2≥1，得a ≥2.又∵g ′(x )＝2x －ax ，依题意g ′(x )≥0在x ∈(1,2)上恒成立，得2x 2≥a 在x ∈(1,2)上恒成立，有a ≤2，∴a ＝2. 答案 B8．下列四个图象中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－4)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数y ＝f ′(x )的图象，则f (1)＝( )．A.103B.43 C ．－23D ．1解析 f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－4)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)，f ′(x )＝x 2＋2ax ＋(a 2－4)，由a ≠0，结合导函数y ＝f ′(x )，知导函数图象为③，从而可知a 2－4＝0，解得a ＝－2或a ＝2，再结合－a ＞0知a ＝－2，代入可得函数f (x )＝13x 3＋(－2)x 2＋1，可得f (1)＝－23. 答案 C9．某公司在甲乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )． A ．45.606 B ．45.6 C ．45.56D ．45.51解析 设在甲地销售x 辆车，则在乙地销售(15－x )辆车，获得的利润为y ＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30.当x ＝－3.062×(－0.15)＝10.2时，y 最大，但x ∈N ，所以当x ＝10时，y max ＝－15＋30.6＋30＝45.6. 答案 B10．已知函数y ＝f (x )是R 上的可导函数，当x ≠0时，有f ′(x )＋f (x )x ＞0，则函数F (x )＝xf (x )＋1x 的零点个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析 依题意，记g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )，g (0)＝0，当x ＞0时，g ′(x )＝x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′(x )＋f (x )x ＞0，g (x )是增函数，g (x )＞0；当x ＜0时，g ′(x )＝x [f ′(x )＋f (x )x ]＜0，g (x )是减函数，g (x )＞0.在同一坐标系内画出函数y ＝g (x )与y ＝－1x 的大致图象，结合图象可知，它们共有1个公共点，因此函数F (x )＝xf (x )＋1x 的零点个数是1. 答案 B 二、填空题11．函数f (x )＝1－lg (x －2)的定义域为__________．解析 ∵1－lg (x －2)≥0，∴lg (x －2)≤1，∴0＜x －2≤10，∴2＜x ≤12，∴f (x )＝1－lg (x －2)的定义域为(2,12]． 答案 (2,12]12．若log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n ＝__________.解析 由题意a m ＝2，a n ＝3，所以a 2m ＋n ＝(a m )2·a n ＝22×3＝12. 答案 1213．若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是________． 解析 f ′(x )＝3x 2－6b ，若f (x )在(0,1)内有极小值，只需f ′(0)·f ′(1)＜0，即－6b ·(3－6b )＜0， 解得0＜b ＜12. 答案 (0，12)14．函数f (x )＝ax 2－(a －1)x －3在区间[－1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析 当a ＝0时，f (x )＝x －3符合题意；当a ≠0时，由题意⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，a －12a ≤－1，解得0＜a ≤13，综上a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1315．设函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x ＞0，4x ，x ≤0，则f [f (－1)]＝________；若函数g (x )＝f (x )－k 存在两个零点，则实数k 的取值范围是________．解析 f [f (－1)]＝f (4－1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 214＝－2.令f (x )－k ＝0，即f (x )＝k ，设y ＝f (x )，y ＝k ，画出图象，如图所示，函数g (x )＝f (x )－k 存在两个零点，即y ＝f (x )与y ＝k 的图象有两个交点，由图象可得实数k 的取值范围为(0,1]．答案 －2 (0,1]。
高考数学(鲁闽皖京渝津,文科)大二轮总复习：第1部分专题1第1讲 专题训练 Word版含解析
一、选择题1．(2014·北京朝阳期末考试)函数f (x )＝1x －1＋x 的定义域为( )． A ．[0，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．[0,1)∪(1，＋∞) D ．[0,1)解析 由题意知⎩⎨⎧x －1≠0，x ≥0，∴f (x )的定义域为[0,1)∪(1，＋∞)． 答案 C2．(2014·新课标全国卷Ⅱ改编)偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝( )． A ．1 B ．－1 C ．3D ．－3解析 因为f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以f (x )＝f (4－x )，f (－x )＝f (4＋x )，又f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝f (4＋x )，则f (－1)＝f (4－1)＝f (3)＝3. 答案 C3．设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )． A ．c >b >a B ．b >c >a C ．a >c >bD ．a >b >c解析 设a ＝log 36＝1＋log 32＝1＋1log 23，b ＝log 510＝1＋log 52＝1＋1log 25，c ＝log 714＝1＋log 72＝1＋1log 27，显然a >b >c .答案 D4．(2014·山东卷)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a ＞0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )．A ．a ＞1，c ＞1B ．a ＞1,0＜c ＜1C ．0＜a ＜1，c ＞1D ．0＜a ＜1,0＜c ＜1解析 由对数函数的性质得0＜a ＜1，因为函数y ＝log a (x ＋c )的图象在c ＞0时是由函数y ＝log a x 的图象向左平移c 个单位得到的，所以根据题中图象可知，0＜c ＜1，故选D. 答案 D5．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )． A ．(－∞，0] B ．(－∞，1] C ．[－2,1]D ．[－2,0]解析 当x ≤0时，f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤0，所以|f (x )|≥ax 化简为x 2－2x ≥ax ，即x 2≥(a ＋2)x ，因为x ≤0，所以a ＋2≥x 恒成立，所以a ≥－2；当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)>0，所以|f (x )|≥ax 化简为ln(x ＋1)≥ax 恒成立，由函数图象可知a ≤0，综上，当－2≤a ≤0时，不等式|f (x )|≥ax 恒成立，故选D. 答案 D 二、填空题6．(2014·浙江卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ＋2，x ≤0，－x 2，x ＞0.若f (f (a ))＝2，则a ＝________.解析 若a ＞0，则f (a )＝－a 2＜0，f (f (a ))＝a 4－2a 2＋2＝2，得a ＝ 2. 若a ≤0，则f (a )＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1＞0， f (f (a ))＝－(a 2＋2a ＋2)2＝2，此方程无解． 答案27．(2014·广州测试)已知函数f (x )＝2ax 2＋2x －3.如果函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上有零点，则实数a 的取值范围为____________． 解析 若a ＝0，则f (x )＝2x －3.f (x )＝0⇒x ＝32∉[－1,1]，不合题意，故a ≠0. 下面就a ≠0分两种情况讨论：(1)当f (－1)·f (1)≤0时，f (x )在[－1,1]上至少有一个零点，即(2a －5)(2a －1)≤0，解得12≤a ≤52.(2)当f (－1)·f (1)＞0时，f (x )在[－1,1]上有零点的条件是⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a f (1)≤0或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a f (－1)≤0，－1＜－12a ＜1，f (－1)·f (1)＞0，解得a ＞52.综上，实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞8．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对∀x ∈R 都有f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)成立．当x 1，x 2∈[0,2]，且x 1≠x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，给出下列命题：①f (2)＝0；②直线x ＝－4是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴； ③函数y ＝f (x )在[－4,4]上有四个零点； ④f (2 014)＝0.其中所有正确命题的序号为________．解析 令x ＝－2，得f (－2＋4)＝f (－2)＋f (2)，解得f (－2)＝0，因为函数f (x )为偶函数，所以f (2)＝0，①正确；因为f (－4＋x )＝f (－4＋x ＋4)＝f (x )，f (－4－x )＝f (－4－x ＋4)＝f (－x )＝f (x )，所以f (－4＋x )＝f (－4－x )，即x ＝－4是函数f (x )的一条对称轴，②正确；当x 1，x 2∈[0,2]，且x 1≠x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，说明函数f (x )在[0,2]上是单调递减函数，又f (2)＝0，因此函数f (x )在[0,2]上只有一个零点，由偶函数知函数f (x )在[－2,0]上也只有一个零点，由f (x ＋4)＝f (x )，知函数的周期为4，所以函数f (x )在(2,4]与[－4，－2)上也单调，因此，函数在[－4,4]上只有2个零点，③错；对于④，因为函数的周期为4，即有f (2)＝f (6)＝f (10)＝…＝f (2 014)＝0，④正确． 答案 ①②④三、解答题9．已知函数f (x )＝2x ，g (x )＝12|x |＋2. (1)求函数g (x )的值域；(2)求满足方程f (x )－g (x )＝0的x 的值． 解 (1)g (x )＝12|x |＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |＋2，因为|x |≥0，所以0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |≤1，即2＜g (x )≤3，故g (x )的值域是(2,3]． (2)由f (x )－g (x )＝0，得2x －12|x |－2＝0， 当x ≤0时，显然不满足方程， 当x ＞0时，由2x －12x －2＝0， 整理得(2x )2－2·2x －1＝0，(2x －1)2＝2， 故2x ＝1±2，因为2x ＞0，所以2x ＝1＋2， 即x ＝log 2(1＋2)．10．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ＞0)，F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，x ＞0，－f (x )，x ＜0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立． (1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围． 解 (1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋1＝0， ∴b ＝a ＋1，∴f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x ＋1. ∵f (x )≥0恒成立， ∴⎩⎨⎧a ＞0，Δ＝(a ＋1)2－4a ≤0， 即⎩⎨⎧a ＞0，(a －1)2≤0. ∴a ＝1，从而b ＝2，∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，∴F (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ＋1 (x ＞0)，－x 2－2x －1 (x ＜0).(2)由(1)知，g (x )＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1. ∵g (x )在[－2,2]上是单调函数， ∴k －22≤－2或k －22≥2， 解得k ≤－2或k ≥6.所以k 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)．11．(2014·绵阳模拟)已知函数f (x )＝log 4(4x ＋1)＋kx (k ∈R )是偶函数． (1)求k 的值；(2)设g (x )＝log 4⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·2x －43a ，若函数f (x )与g (x )的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．解 (1)由函数f (x )是偶函数可知，f (x )＝f (－x )， 所以log 4(4x ＋1)＋kx ＝log 4(4－x ＋1)－kx ，所以log 44x ＋14－x ＋1＝－2kx ，即x ＝－2kx 对一切x ∈R 恒成立，所以k ＝－12.(2)函数f (x )与g (x )的图象有且只有一个公共点，即方程log 4(4x＋1)－12x ＝log 4⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·2x －43a 有且只有一个实根，即方程2x ＋12x ＝a ·2x －43a 有且只有一个实根． 令t ＝2x ＞0，则方程(a －1)t 2－43at －1＝0有且只有一个正根． ①当a ＝1时，则t ＝－34不合题意； ②当a ≠1时，Δ＝0，解得a ＝34或－3.若a ＝34，则t ＝－2，不合题意；若a ＝－3，则t ＝12； ③若方程有一个正根与一个负根，即－1a －1＜0， 解得a ＞1.综上所述，实数a 的取值范围是{－3}∪(1，＋∞)．。
高考数学(鲁闽皖京渝津,文科)大二轮总复习：第1部分专题4第1讲 专题训练 Word版含解析
一、选择题1．(2014·广东卷)若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )． A ．l 1⊥l 4 B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定解析 构造如图所示的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，取l 1为AD ，l 2为AA 1，l 3为A 1B 1，当取l 4为B 1C 1时，l 1∥l 4，当取l 4为BB 1时，l 1⊥l 4，故排除A 、B 、C ，选D.答案 D2．(2014·重庆卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )．A ．54B ．60C ．66D ．72解析 还原为如图所示的直观图，S 表＝S △ABC ＋S △DEF ＋S 矩形ACFD ＋S 梯形ABED ＋S 梯形CBEF＝12×3×4＋12×3×5＋5×3＋12×(2＋5)×4＋12×(2＋5)×5 ＝60. 答案 B3．(2014·安徽卷)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为( )．A.233 B ．476 C ．6D ．7解析 如图，由三视图可知，该几何体是由棱长为2的正方体右后和左下分别截去一个小三棱锥得到的，其体积为V ＝2×2×2－2×13×12×1×1×1＝233.答案 A4．(2014·潍坊一模)三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的表面上，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，又SA ＝AB ＝BC ＝1，则球O 的表面积为( )． A.32π B ．32π C ．3πD ．12π解析 如图，因为AB ⊥BC ，所以AC 是△ABC 所在截面圆的直径，又因为SA ⊥平面ABC ，所以△SAC 所在的截面圆是球的大圆，所以SC 是球的一条直径．由题设SA ＝AB ＝BC ＝1，由勾股定理可求得：AC ＝2，SC ＝3，所以球的半径R ＝32，所以球的表面积为4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3π.答案 C 二、填空题5. (2014·金丽衢十二校联考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为____________．解析 由题意可得，几何体相当于一个棱长为2的正方体切去一个角，角的相邻三条棱长分别是1,2,2，所以几何体的体积为8－23＝223. 答案 2236．(2014·山东卷)一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________． 解析 设棱锥的高为h ，则V ＝13×S 底·h ＝13×6×34×22×h ＝23， ∴h ＝1，由勾股定理知，侧棱长为22＋1＝5， ∵六棱锥六个侧面全等，且侧面三角形的高为 (5)2－12＝2，∴S 侧＝12×2×2×6＝12.答案 127．(2014·武汉调研测试)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．解析 由三视图可知，该几何体是底面半径为1，高为3，母线长为2的圆锥的一半，其表面积是整个圆锥表面积的一半与轴截面的面积之和． 所以，S ＝12×12×2π×1×2＋12×π×12＋12×2×3＝3π2＋ 3. 答案3＋3π28．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为线段B 1D 1上的一个动点，则下列结论中正确的是________(填序号)． ①AC ⊥BE ； ②B 1E ∥平面ABCD ；③三棱锥E －ABC 的体积为定值； ④直线B 1E ⊥直线BC 1.解析 因AC ⊥平面BDD 1B 1，故①正确；易得②正确；记正方体的体积为V ，则V E －ABC ＝16V 为定值，故③正确；B 1E 与BC 1不垂直，故④错误． 答案 ①②③ 三、解答题9．(2014·山东卷)如图，四棱锥P －ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F 分别为线段AD ，PC 的中点．(1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：BE ⊥平面P AC .证明 (1)设AC ∩BE ＝O ，连接OF ，EC . 由于E 为AD 的中点，AB ＝BC ＝12AD ， AD ∥BC ，所以AE ∥BC ，AE ＝AB ＝BC ， 因此四边形ABCE 为菱形， 所以O 为AC 的中点． 又F 为PC 的中点， 因此在△P AC 中， 可得AP ∥OF .又OF ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF . 所以AP ∥平面BEF .(2)由题意知ED ∥BC ，ED ＝BC . 所以四边形BCDE 为平行四边形， 因此BE ∥CD . 又AP ⊥平面PCD ，所以AP ⊥CD ，因此AP ⊥BE . 因为四边形ABCE 为菱形， 所以BE ⊥AC .又AP ∩AC ＝A ，AP ，AC ⊂平面P AC ， 所以BE ⊥平面P AC .10. (2014·威海一模)如图，矩形ABCD 所在的平面和平面ABEF 互相垂直，等腰梯形ABEF 中，AB ∥EF ，AB ＝2，AD ＝AF ＝1，∠BAF ＝60°，O ，P 分别为AB ，CB 的中点，M 为底面△OBF 的重心．(1)求证：平面ADF⊥平面CBF；(2)求证：PM∥平面AFC；(3)求多面体CD－AFEB的体积V.(1)证明∵矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，且CB⊥AB，∴CB⊥平面ABEF，又AF⊂平面ABEF，所以CB⊥AF，又AB＝2，AF＝1，∠BAF＝60°，由余弦定理知BF＝3，∴AF2＋BF2＝AB2，得AF⊥BF，BF∩CB＝B，∴AF⊥平面CFB，又∵AF⊂平面ADF；∴平面ADF⊥平面CBF.(2)证明连接OM延长交BF于H，则H为BF的中点，又P为CB的中点，∴PH∥CF，又∵CF⊂平面AFC，PH⊄平面AFC，∴PH∥平面AFC，连接PO，则PO∥AC，又∵AC⊂平面AFC，PO⊄平面AFC，PO∥平面AFC，PO∩PH＝P，∴平面POH∥平面AFC，又∵PM⊂平面POH，∴PM∥平面AFC.(3)解多面体CD－AFEB的体积可分成三棱锥C－BEF与四棱锥F－ABCD的体积之和在等腰梯形ABEF中，计算得EF＝1，两底间的距离EE1＝3 2.所以V C －BEF ＝13S △BEF ×CB ＝13×12×1×32×1＝312， V F －ABCD ＝13S 矩形ABCD ×EE 1＝13×2×1×32＝33， 所以V ＝V C －BEF ＋V F －ABCD ＝5312.11．(2014·江西卷)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥BC ，A 1B ⊥BB 1. (1)求证：A 1C ⊥CC 1；(2)若AB ＝2，AC ＝3，BC ＝7，问AA 1为何值时，三棱柱ABC －A 1B 1C 1体积最大，并求此最大值．(1)证明 由AA 1⊥BC 知BB 1⊥BC ，又BB 1⊥A 1B ， 故BB 1⊥平面BCA 1，即BB 1⊥A 1C ， 又BB 1∥CC 1，所以A 1C ⊥CC 1. (2)解 法一 设AA 1＝x ，在Rt △A 1BB 1中，A 1B ＝A 1B 21－BB 21＝4－x 2. 同理，A 1C ＝A 1C 21－CC 21＝3－ x 2.在△A 1BC 中，cos ∠BA 1C ＝A 1B 2＋A 1C 2－BC 22A 1B ·A 1C＝－x 2(4－x 2)(3－x 2)，sin ∠BA 1C ＝12－7x 2(4－x 2)(3－x 2)，所以S △A 1BC ＝12A 1B ·A 1C ·sin ∠BA 1C ＝12－7x 22.从而三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积V ＝S 直·l ＝S △A 1BC ·AA 1＝x 12－7x 22，因x 12－7x 2＝12x 2－7x 4＝－7(x 2－67)2＋367，故当x ＝67＝427，即AA 1＝427时，体积V 取到最大值377.法二 如图，过A 1作BC 的垂线，垂足为D ，连接AD .由AA 1⊥BC ，A 1D ⊥BC ，故BC ⊥平面AA 1D ，BC ⊥AD ，又∠BAC ＝90°， 所以S △ABC ＝12AD ·BC ＝12AB ·AC ，所以AD ＝2217.设AA 1＝x ，在Rt △AA 1D 中， A 1D ＝AD 2－AA 21＝127－x 2，S △A 1BC ＝12A 1D ·BC ＝12－7x 22.从而三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积V ＝S 直·l ＝S △A 1BC ·AA 1＝x 12－7x 22.因x 12－7x 2＝12x 2－7x 4＝－7(x 2－67)2＋367，故当x ＝67＝427，即AA 1＝427时，体积V 取到最大值377.。
【创新设计】高考数学(鲁闽皖京渝津,文科)大二轮总复习：第1部分专题2第3讲 专题训练 Word版含解析
一、选择题1．(2014·新课标全国卷Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )． A.BC →B ．12AD →C.AD →D ．12BC →解析 如图，EB →＋FC →＝－(BE →＋CF →) ＝－(12BA →＋12BC →＋12CA →＋12CB →)＝－(12BA →＋12CA →)＝12(AB →＋AC →)＝AD →，故选C.答案 C2．(2014·河南十所名校联考)在△ABC 中，M 是AB 边所在直线上任意一点，若CM →＝－2CA →＋λCB →，则λ＝( )． A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析 由点A ，B ，M 三点共线知：－2＋λ＝1，所以λ＝3.答案 C3．(2014·吉林省实验中学模拟)在△ABC 中，D 是AB 中点，E 是AC 中点，CD 与BE 交于点F ，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则(x ，y )为( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，12 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，13 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23，12解析 由题意知点F 为△ABC 的重心，设H 为BC 中点，则AF →＝23AH →＝23×12(AB→＋AC →)＝13a ＋13b ，所以x ＝13，y ＝13. 答案 C4．(2014·龙岩期末考试)在平面直角坐标系中，菱形OABC 的两个顶点为O (0,0)，A (1,1)，且OA →·OC →＝1，则AB →·AC →等于( )． A ．－1 B ．1 C.2D ．3解析 依题意，|OA →|＝|OC →|＝|AB →|＝2，OA →·OC →＝|OA →||OC →|cos ∠AOC ＝1，cos ∠AOC ＝12，∠AOC ＝π3，则|AC →|＝|OA →|＝|OC →|＝2，∠BAC ＝π3，AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ＝1. 答案 B5．(2014·浙江卷)设θ为两个非零向量a ，b 的夹角，已知对任意实数t ，|b ＋t a |的最小值为1( )． A ．若θ确定，则|a |唯一确定 B ．若θ确定，则|b |唯一确定 C ．若|a |确定，则θ唯一确定 D ．若|b |确定，则θ唯一确定解析 由于|b ＋t a |2＝b 2＋2a ·b t ＋a 2t 2，令f (t )＝a 2t 2＋2a ·b t ＋b 2，而t 是任意实数，所以可得f (t )的最小值为4a 2·b 2－(2a ·b )24a 2＝4a 2b 2－4a 2b 2cos 2 θ4a 2＝4b 2sin 2 θ4＝1，即|b |2sin 2 θ＝1，则若θ确定，则|b |唯一确定． 答案 B 二、填空题6．(2014·江西卷)已知单位向量e 1，e 2的夹角为α，且cos α＝13，若向量a ＝3e 1－2e 2，则|a |＝________. 解析 e 1·e 2＝1×1×13＝13，|a |＝a ·a ＝(3e 1－2e 2)2＝9＋4－12×13＝3. 答案 37.如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，且AC ＝BC ＝3，点M 满足BM →＝2 MA →，则CM →·CB →＝________.解析 法一 如图建立平面直角坐标系． 由题意知：A (3,0)，B (0,3)， 设M (x ，y )，由BM →＝2MA →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(3－x )，y －3＝－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，即M 点坐标为(2,1)，所以CM →·CB →＝(2,1)·(0,3)＝3.法二 CM →·CB →＝(CB →＋BM →)·CB →＝CB →2＋CB →×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23 BA →＝CB →2＋23CB →·(CA →－CB →)＝13CB →2＝3.答案 38．(2014·杭州质量检测)在△AOB 中，G 为△AOB 的重心，且∠AOB ＝60°，若OA →·OB →＝6，则|OG →|的最小值是________．解析 如图，在△AOB 中，OG →＝23OE →＝23×12(OA →＋OB →)＝13(OA →＋OB →)，又OA →·OB →＝|OA →||OB →|·cos 60°＝6， ∴|OA →||OB →|＝12，∴|OG →|2＝19(OA →＋OB →)2＝19(|OA →|2＋|OB →|2＋2OA →·OB →)＝19(|OA →|2＋|OB →|2＋12)≥19×⎝⎛⎭⎪⎫2|OA →||OB →|＋12＝19×36＝4(当且仅当|OA →|＝|O B →|时取等号)．∴|OG →|≥2，故|OG →|的最小值是2. 答案 2 三、解答题9．(2013·江苏卷)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值． (1)证明 由|a －b |＝2，即(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝2，整理得cos αcos β＋sin αsin β＝0， 即a ·b ＝0，因此a ⊥b .(2)解 由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，cos β＝－cos α＝cos(π－α)， 由0<α<π，得0<π－α<π，又0<β<π，故β＝π－α.则sin α＋sin (π－α)＝1， 即sin α＝12，故α＝π6或α＝5π6.当α＝π6时，β＝5π6(舍去)，当α＝5π6时，β＝π6.所以，α，β的值分别为5π6，π6.10．已知向量m ＝(sin x ，－1)，n ＝(cos x,3)． (1)当m ∥n 时，求sin x ＋cos x3sin x －2cos x 的值；(2)已知在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，3c ＝2a sin(A ＋B )，函数f (x )＝(m ＋n )·m ，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π8的取值范围． 解 (1)由m ∥n ，可得3sin x ＝－cos x ，于是tan x ＝－13，∴sin x ＋cos x 3sin x －2cos x ＝tan x ＋13tan x －2＝－13＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13－2＝－29.(2)在△ABC 中A ＋B ＝π－C ，于是 sin(A ＋B )＝sin C ， 由正弦定理，得3sin C ＝2sin A sin C ，∵sin C ≠0，∴sin A ＝32.又△ABC 为锐角三角形，∴A ＝π3，于是π6<B <π2.∵f (x )＝(m ＋n )·m ＝(sin x ＋cos x,2)·(sin x ，－1)＝sin 2 x ＋sin x cos x －2＝1－cos 2x 2＋12sin 2x －2＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－32，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π8＝22sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π8－π4－32＝22sin 2B －32.由π6<B <π2，得π3<2B <π， ∴0<sin 2B ≤1，－32<22sin 2B －32≤22－32，即f (B ＋π8)∈⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－32，22－32.11．(2014·陕西卷)在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上． (1)若PA →＋PB →＋PC →＝0，求|OP →|；(2)设OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值． 解 (1)法一 ∵PA →＋PB →＋PC →＝0，又PA →＋PB →＋PC →＝(1－x,1－y )＋(2－x,3－y )＋(3－x,2－y )＝(6－3x,6－3y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，即OP →＝(2,2)，故|OP →|＝22.法二 ∵PA →＋PB →＋PC →＝0，则(OA →－OP →)＋(OB →－OP →)＋(OC →－OP →)＝0， ∴OP →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝(2,2)，∴|OP →|＝22.(2)∵OP →＝mAB →＋nAC →，∴(x ，y )＝(m ＋2n,2m ＋n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减得，m －n ＝y －x ，令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2,3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.。
高考数学(鲁闽皖京渝津,文科)大二轮总复习：第1部分专题2第1讲 专题训练 Word版含解析
一、选择题1．(2014·吉林省实验中学一模)函数f (x )＝cos 2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋x 是( )．A ．非奇非偶函数B ．仅有最小值的奇函数C ．仅有最大值的偶函数D ．既有最大值又有最小值的偶函数解析 f (x )＝cos 2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋x ＝cos 2x ＋cos x ＝2cos 2 x ＋cos x －1，易知函数f (x )是偶函数，且当cos x ＝1时取最大值，cos x ＝－14时取最小值． 答案 D2．(2014·福州一中模拟)将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得到函数的图象对应的解析式为( )． A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1B ．y ＝2cos 2 xC ．y ＝2sin 2 xD ．y ＝－cos 2x解析 将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π4个单位，可得到函数的图象对应的函数解析式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2，再向上平移1个单位，所得到函数的图象对应的解析式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＋1，化简可得y ＝－cos 2x ＋1，即y ＝2sin 2 x . 答案 C3．(2014·益阳模拟)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R )⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，如果x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22等于( )．A.12 B ．22 C.32D ．1解析 由图象可知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝0，得到f (x )的一条对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12，所以x 1＋x 2＝2×π12＝π6，观察图象可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝1，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝1. 答案 D4．(2014·豫南五市模拟)已知函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)(x ∈R )满足2014f (－x )＝12014f (x )，且f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是减函数，则θ的一个可能值是( )． A.π3 B ．2π3 C.4π3D ．5π3解析 f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋θ＋π3，由2014f (－x )＝12014f (x )，所以f (－x )＋f (x )＝0，所以函数f (x )是奇函数．所以θ＋π3＝k π(k ∈Z )，即θ＝k π－π3，故B ，D 可能正确，又因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是减函数，所以D 不满足条件． 答案 B5．(2014·北京东城区质量调研)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之差为( )． A ．2＋ 3 B ．4 C ．3D ．2－ 3解析 因为0≤x ≤9，所以－π3≤πx 6－π3≤7π6，因此当πx 6－π3＝π2时，函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3取最大值，即y max ＝2×1＝2，当πx 6－π3＝－π3时，函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3取最小值，即y min ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－3，因此y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之差为2＋ 3. 答案 A 二、填空题6．(2014·重庆卷)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π2≤φ＜π2)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________.答案 227．(2014·江苏五市联考)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0≤φ＜2π)在R 上的部分图象如图所示，则f (2 014)的值为________．解析 根据题意，由函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0≤φ＜2π)在R 上的部分图象可知周期为12，由此可知T ＝2πω＝12，ω＝π6，A ＝5，将(5,0)代入可知，5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝0，可知φ＝π6， 所以f (2 014)＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×2 014＋π6＝－52.答案 －528．关于函数f (x )＝sin 2x －cos 2x 有下列命题：①y ＝f (x )的周期为π；②x ＝π4是y ＝f (x )的一条对称轴； ③⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0是y ＝f (x )的一个对称中心； ④将y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，可得到y ＝2sin 2x 的图象． 其中正确命题的序号是________．解析 由f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，得T ＝2π2＝π，故①对； f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin π4≠±2，故②错； f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin 0＝0，故③对； y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位， 得y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， 故④错，故填①③. 答案 ①③ 三、解答题9．(2014·福建卷)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f (5π4)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间． 解 f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2 x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin 11π4＋1 ＝2sin π4＋1 ＝2.(2)函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为[k π－3π8，k π＋π8]，k ∈Z . 10. 如图，f (x )＝A sin(2ωx ＋φ)(ω＞0，A ＞0，－π＜φ＜0)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上的值域． 解 (1)依题意，A ＝2，34T ＝2π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝3π4，T ＝π.由T ＝2π2ω＝π，得ω＝1，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)． 代入⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，2得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝1，所以4π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )， 得φ＝－56π＋2k π(k ∈Z )．又因为－π＜φ＜0，所以φ＝－5π6， 所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π6.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2，所以2x －5π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－17π6，－11π6， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π6∈[－2,1]，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上的值域为[－2,1]．11．(2014·西安第一中学模拟)设函数f (x )＝2cos 2 x ＋sin 2x ＋a (a ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，f (x )的最大值为2，求a 的值，并求出y ＝f (x )(x ∈R )的对称轴方程．解 (1)f (x )＝2cos 2 x ＋sin 2x ＋a ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＋a ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1＋a ，则f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，且当2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )时f (x )单调递增， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z )为f (x )的单调递增区间． (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，则π4≤2x ＋π4≤7π12，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝1.所以f (x )max ＝2＋1＋a ＝2⇒a ＝1－ 2. 由2x ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π8(k ∈Z )， 即x ＝k π2＋π8(k ∈Z )为f (x )的对称轴．。
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[真题感悟]
1．(2014·广东卷)如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB＝2AE，AC
与DE交于点F，则△CDF的周长
△AEF的周长
＝________.
解析易证△AEF∽△CDF，且3AE＝CD，
∴△CDF的周长
△AEF的周长
＝
CD
AE＝3.
答案 3
2．(2014·湖北卷)如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B.过P A的中点Q作割线交⊙O于C，D两点．若QC＝1，CD＝3，则PB ＝________.
解析由题意QA2＝QC·QD＝1×(1＋3)＝4，∴QA＝2，P A＝4，∵P A＝PB，∴PB＝4.
答案 4
3．(2014·湖南卷)如图，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB＝3，BC ＝22，则⊙O的半径等于________．
解析连接OB，设OA与BC的交点为D，半径为R，则OD＝R－1，在Rt△OBD中，
由勾股定理，得R 2＝2＋(R －1)2，∴R ＝32.
答案 32
4．(2014·重庆卷)过圆外一点P 作圆的切线P A (A 为切点)，再作割线PBC 依次交圆
于B ，C .若P A ＝6，AC ＝8，BC ＝9，则AB ＝________.
解析 由切割线定理得P A 2＝PB ·PC ＝PB ·(PB ＋BC )，即62＝PB ·(PB ＋9)，解得PB ＝3(负值舍去)．
由弦切角定理知∠P AB ＝∠PCA ，
又∠APB ＝∠CP A ，
故△APB ∽△CP A ，
则AB CA ＝AP CP ，
即AB 8＝63＋9
， 解得AB ＝4.
答案 4
[考点整合]
1．(1)相似三角形的判定定理
判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．
判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．
(2)相似三角形的性质
①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比； ②相似三角形周长的比等于相似比；
③相似三角形面积的比等于相似比的平方．
(3)直角三角形的射影定理：直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边
上的射影与斜边的比例中项；斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．
2．(1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．
3．(1)圆内接四边形的性质定理：
①圆的内接四边形的对角互补；
②圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．
(2)圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四
个顶点共圆．
4．(1)圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．
(2)圆的切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切
线．
(3)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
(4)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．
(5)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点
的两条线段长的比例中项．
5．证明等积式成立，应先把它写成比例式，找出比例式中给出的线段所在三角形是否相似，若不相似，则进行线段替换或等比替换．
6．圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意找相等的角，找相似三角形，从而得出线段的比．由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算，所以应注意代数法在解题中的应用.。