函数表示及基本性质讲座

函数表示及其基本性质1.映射定义：设A 、B 是非空的集合，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射（一对一，多对一）注意：映射是有方向性的。

符号：f ： A B 集合A 到集合B 的映射 一一映射两个特点：1︒对于集合A 中的不同元素，在集合B 中有不同的象 （单射） 2︒集合B 中的每一个元素都是集合A 中的每一个元素的象 （满射） 即集合B 中的每一个元素都有原象。

2.函数定义：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ）．记作：y =f (x )，x ∈A ．（函数是特殊的映射，）其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )| x ∈A }叫做函数的值域．注意： ⑴“y =f (x )”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g (x )”；⑵ 函数符号“y=f (x )”中的f (x )表示与x 对应的函数值，一个数，而不是f 乘x 。

3.函数的三要素：定义域、对应关系和值域。

由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）例如：f (x )=x+2 与 g (x )=2x-1 (⨯) 定义域，值域相同，对应法则不同()2232)5(,)4(,)3(,)2(,)1(x y xx y x y x y x y ===== (1),(3)为同一函数4.函数表示法：解析法，列表法，图像法5. 函数定义域的求法● 分式中的分母不为零；● 偶次方根下的数（或式）大于或等于零； ● 指数式的底数大于零且不等于一；● 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。

● 正切函数 tan ...(,,)2y x x R x k k ππ=∈≠+∈Z 且复合函数的定义域。

如：1.已知函数()f x 的定义域为（1，3），则函数()(1)(2)F x f x f x =-+-的定义域。

1(1,3)2(1,3)x x -∈⎧⎨-∈⎩ 2.函数()f x 的定义域为(,)a b ,函数()g x 的定义域为(,)m n ,则函数[()]f g x 的定义域为()(,)(,)g x a b x m n ∈⎧⎨∈⎩，解不等式，最后结果才是3.已知函数(1)f x -的定义域为(1,3),求函数()f x 的定义域；或者说，已知函数(1)f x -的定义域为(3,4),则函数(21)f x -的定义域为______? 6.函数值域的求法 （1）、直接观察法对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,其值域可通过观察直接得到。

例 求函数1,[1,2]y x x =∈的值域（2）、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例、求函数225,y x x x R =-+∈的值域。

（3）、根判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简（4）、反函数法(原函数的值域是它的反函数的定义域)直接求函数的值域困难时，可以通过求其反函数的定义域来确定原函数的值域。

例 求函数3456x y x +=+值域。

346456345635x y y xy y x x x y +-=⇒+=+⇒=+-,分母不等于0,即35y ≠.112..22222222ba y 型：直接用不等式性质k+x bxb. y 型,先化简，再用均值不等式x mx nx 1 例：y 1+x x+xx m x n c y 型 通常用判别式x mx n x mx nd. y 型x n法一：用判别式 法二：用换元法，把分母替换掉x x 1（x+1）（x+1）+1 1例：y （x+1）1211x 1x 1x 1==++==≤''++=++++=+++-===+-≥-=+++（5）、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。

我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。

例 求函数11x xe y e -=+，2sin 11sin y θθ-=+，2sin 11cos y θθ-=+的值域。

（6）.倒数法有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况例求函数3y x =+的值域7.函数解析式的求法1．配凑法例１ 已知2(1)2f x x -=+，求()f x ．解：22(1)2(1)2(1)3f x x x x -=+=-+-+，即2()23f x x x =++．2．换元法例2 若2(1)21f x x +=+，求()f x ．解：令1t x =+，则1x t =-，22()2(1)1243f t t t t ∴=-+=-+．2()243f x x x ∴=-+． 3．解方程组法110112sin 11|sin |||1,1sin 22sin 12sin 1(1cos )1cos 2sin cos 1)1,sin()sin()11即又由知解不等式，求出，就是要求的答案x x x e yy e y e y y y y y y yx y x x y θθθθθθθθθθθθ-+=⇒=>-+-+=⇒=≤+--=⇒-=++-=++=++=+≤≤若已知()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 是未知量外，还出现其他未知量（如()f x -，1f x ⎛⎫⎪⎝⎭等）．可以利用相互代换得到方程组，消去()f x -或1f x ⎛⎫⎪⎝⎭，进而得到()f x 的解析式．例3 若2()()1f x f x x --=+，求()f x ．解：2()()1f x f x x --=+，用x -去替换式中的x ，得2()()1f x f x x --=-+，即有2()()12()()1f x f x x f x f x x --=+⎧⎨--=-+⎩，，解方程组消去()f x -，得 ()13xf x =+． 4．待定系数法当题设给出函数特征，求函数的解析式时，可用此种方法，如函数为一次函数，可设()(0)f x ax b a =+≠，再利用恒等原理确定其系数．例4 设方程210x x -+=的两根为αβ，，试求满足()f αβ=，()f βα=，(1)1f = 的二次函数()f x 的解析式．解：由已知条件，可得1αβ+=，1αβ=，显然αβ≠，即0αβ-≠．设二次函数2()(1)f x a x x bx c =-+++．αβ，为方程210x x -+=的两根，210αα∴-+=且210ββ-+=．222()(1)()(1)(1)(111)1f a b c f a b c f a b c ααααβββββα⎧=-+++=⎪=-+++=⎨⎪=-+++=⎩，，， 可得1b c b c a b c αββα+=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩，，， 故111a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，，，22()(1)122f x x x x x x ∴=-+-+=-+．5．特值法此法适用于所给的关系式中，无论自变量在定义域内取何值，关系式均成立，通过取某些特殊值代入题设的等式中，有时能使问题具体化、简单化，顺利找出规律，求出解析式．例5 已知(0)1f =，()()(21)()f p q f p q p q p q -=--+∈R ，，求()f x ． 解法1：令0p =，得(0)(0)(1)f q f q q -=--+，即()1(1)f q q q -=--+． 又令q x -=，代入上式，得2()1()(1)1f x x x x x =--+=++，2()1f x x x ∴=++．解法2：令p q =，得(0)()(1)f f p p p =-+， 即2()1(1)1f p p p p p =++=++，2()1f x x x ∴=++．20112022012时，时，=00y x y y x y y =+≠==+≥⇒<≤+=∴≤≤函数的基本性质要点总结一、单调性要点1:增函数、减函数定义及图象特征一般地，对于给定区间上的函数f （x ）， 如果对于属于定义域Ｉ内某个区间上的任意两个自变量的值，，当＜时，都有f （）＜f（），那么就说f （x ）在这个区间上是增函数。

减函数的定义类似。

反映在图象上，若是区间D 上的增（减）函数，则图象在D 上的部分从左到右是上升（下降）的。

关于函数单调性的理解：（1） 函数的单调性是对于函数定义域内的某个子区间而言有些函数在整个定义域内可能是单调的，如一次函数；有些函数在定义域内的部分区间上是增函数，而在另一部分区间上可能是减函数，如二次函数；还有的函数是非单调的，如常数函数y=c 。

（2） 函数在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质。

因此，若要证明在[a ，b]上是递增的，就必须证明对于区间[a ，b]上任意的两点x 1、x 2，当x 1＜x 2时都有不等式f (x 1)＜f (x 2)成立。

若要证明 在[a ，b]上不是单调递增的，只须举出反例就足够了。

即只要找到两个特殊的x 1、x 2，若a ≤x 1＜x 2≤b ，有f (x 1)≥f (x 2)即可。

（3）函数单调性定义中的x 1、x 2，有三个特征：一是任意性，即“任意取x 1、x 2”，“任意”二字决不能丢掉。

证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x 1＜x 2；三是同属一个单调区间，三者缺一不可。

要点2：单调性与单调区间如果函数y ＝f （x ）在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f （x ）在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间就叫做y ＝f （x ）的单调区间。

关于单调区间的书写：函数在其定义域内某一点处的函数值是确定的，讨论函数在某点处的单调性没有意义，书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定，习惯上，若函数在区间端点处有定义，则写成闭区间，当然写成开区间也可；若函数在区间端点处没有定义，则必须写成开区间。

若函数在其定义域内的两个区间A 、B 上都是增（减）函数，一般不能简单认为在A ∪B 上是增（减）函数。

如 在（－∞，0）上是减函数，在（0，＋∞）上也是减函数，但不能说它在定义域（－∞，0）∪（0，＋∞）上是减函数，事实上，取x 1=－1<1=x 2，有f(－1)=－1<1=f (1)，不符合减函数定义。