高一数学奇偶性复习
高一奇偶性知识点总结
高一奇偶性知识点总结高一阶段，奇偶性是数学中一个重要的概念。
了解奇偶性有助于我们更好地解决数学问题，尤其是在代数和图形方面。
本文将就高一奇偶性知识点进行总结，希望可以对大家的学习有所帮助。
一、奇数与偶数的定义首先，我们要了解奇数和偶数的定义。
奇数是指除以2余1的自然数，例如1、3、5等；而偶数是指能够被2整除的自然数，例如2、4、6等。
二、奇偶性性质1. 偶数加偶数等于偶数：当我们将两个偶数相加，其结果仍然是偶数。
因为两个偶数可以表示为2的倍数，所以其和也可以表示为2的倍数。
2. 奇数加奇数等于偶数：当我们将两个奇数相加，其结果是偶数。
因为两个奇数可以表示为2的倍数加1，所以其和可以表示为2的倍数再加上1，即奇数加奇数的和是偶数。
3. 偶数加奇数等于奇数：当我们将一个偶数与一个奇数相加，其结果是奇数。
因为偶数可以表示为2的倍数，奇数可以表示为2的倍数加1，所以其和可以表示为2的倍数再加上1，即偶数加奇数的和是奇数。
4. 偶数乘以偶数等于偶数：当我们将两个偶数相乘，其结果是偶数。
因为两个偶数可以表示为2的倍数，所以其积也可以表示为2的倍数。
5. 奇数乘以奇数等于奇数：当我们将两个奇数相乘，其结果是奇数。
因为两个奇数可以表示为2的倍数加1，所以其积可以表示为2的倍数加1，即奇数乘以奇数的积是奇数。
6. 偶数乘以奇数等于偶数：当我们将一个偶数与一个奇数相乘，其结果是偶数。
因为偶数可以表示为2的倍数，奇数可以表示为2的倍数加1，所以其积可以表示为2的倍数再加上偶数，即偶数乘以奇数的积是偶数。
三、应用奇偶性解题奇偶性可以帮助我们解答一些数学问题。
例如，我们可以通过奇偶性来判断一个数的因数个数。
如果一个整数可以被其他整数整除，那么这个整数一定是偶数，因为偶数可以被2整除。
而如果一个整数不能被其他整数整除，那么这个整数一定是奇数，因为奇数只能被1和自身整除。
此外，奇偶性还可以用于证明一些数学定理。
在代数方面，我们可以利用奇偶性证明某些等式的成立性。
高一数学必修一函数专题：奇偶性
高一数学必修一函数专题：奇偶性第一部分：常见的奇函数和偶函数常见奇函数：第一种：nx x f =)(（n 为奇数）例：x x f =)(；x x x f 1)(1==-；3)(x x f =；331)(xx x f ==-。
第二种：n x x f =)(（n 为奇数）例：331)(x x x f ==；515)(x x x f ==。
第三种：)sin()(x A x f ϖ=例：)2sin()(x x f =；)sin()(x x f --=；x x f sin 21)(=。
第四种：)tan()(x A x f ϖ=例：x x f tan )(=；)21tan(2)(x x f --=；x x f tan 3)(=。
常见偶函数：第一种：n x x f =)(（n 为偶数）例：2)(x x f =；221)(x x x f ==-；4)(x x f =；441)(x x x f ==-。
第二种：c x f =)(（c 为常数）例：2)(=x f ；21)(-=x f 。
第三种：)cos()(x A x f ϖ=例：)cos(3)(x x f -=；)2cos(21)(x x f =；)cos()(x x f -=。
第四种：|)(|)(x g x f =（)(x g 为奇函数或者偶函数）例：|)sin(2|)(x x f -=；||)(4x x f =；|tan |)(x x f =；|)21cos(|)(x x f -=。
两种特殊的奇偶函数：第一种：)()()()(x f x g x g x f ⇒-+=是偶函数例：x x e e x f -+=)(，假设：)()()()()()(x f x g x g x f e x g e x g x x ⇒-+=⇒=-⇒=-是偶函数。
第二种：)()()()(x f x g x g x f ⇒--=是奇函数例：x x x f 313)(-=，假设：)()()()(313)(3)(x f x g x g x f x g x g xx x ⇒--=⇒==-⇒=-是奇函数。
高一数学知识点奇偶性
高一数学知识点奇偶性数学中的奇偶性是指数的特性，即一个数是奇数还是偶数。
本文将介绍高一数学中涉及到的奇偶性相关的知识点，包括奇数、偶数、奇偶校验和函数的奇偶性。
1. 奇数与偶数奇数是能被2整除余1的整数，例如1、3、5等。
而偶数则是能被2整除的整数，例如2、4、6等。
由此可见，奇数与偶数在除以2的余数上有明显的差异。
在高一数学中，奇偶数的性质非常常见且重要。
奇数与奇数相加、相乘，结果仍为奇数。
偶数与偶数相加、相乘，结果同样为偶数。
而奇数与偶数相加，结果为奇数，相乘则为偶数。
这些性质在解题和证明中经常会用到，需要加以掌握。
2. 奇偶校验奇偶校验是一种常用的信息传输校验方式，用来检测在传输过程中是否存在错误。
它利用了奇偶性的特性来实现校验。
奇偶校验的基本原理是：给定一个二进制数，统计其中1的个数，如果结果为偶数，则在数的最高位添加一个1，构成一个奇数；如果结果为奇数，则在数的最高位添加一个0，构成一个偶数。
这样，接收端在接收到数据后，再次进行奇偶校验，若结果与发送端的奇偶校验位相同，则说明传输没有错误。
奇偶校验在计算机领域中广泛应用，特别是在数据传输和存储方面。
了解奇偶校验的原理及其应用，对理解计算机相关知识具有重要的帮助。
3. 函数的奇偶性在高一数学中，函数的奇偶性也是一个重要的概念。
函数的奇偶性描述了函数图像关于坐标轴的对称性。
对于一个函数f(x)，如果对于任意x，f(-x) = f(x)，则该函数称为偶函数。
换句话说，偶函数在x轴上对称。
例如，y = x^2就是一个典型的偶函数。
另一方面，如果对于任意x，f(-x) = -f(x)，则该函数称为奇函数。
奇函数关于坐标原点对称。
例如，y = x^3就是一个典型的奇函数。
通过判断函数的奇偶性，我们可以简化函数图像的绘制过程，更好地理解和分析函数的性质。
总结：奇偶性是高一数学中重要的知识点。
掌握奇数与偶数的性质，了解奇偶校验的原理和应用，以及函数的奇偶性对于解题和理解数学概念都具有重要的作用。
高一数学函数的奇偶性(经典复习资料)
〖一方教育〗函数的奇偶性一、函数奇偶性的判断：1、定义域关于原点对称；2、奇函数()()x f x f -=-，偶函数()()x f x f =-；3、奇函数图像关于原点对称、偶函数图像关于y 轴对称。
1、奇偶性的判断①242)(x x x f +=; ②]1,1(,2)(3-∈+=x x x x f ; ③32)(2++=x x x f ;④24)(---=x x x f ;⑤2)(=x f ;⑥]2,1(,0)(-∈=x x f .⑦22)(34--=x x x x f ; ⑧|1||1|)(++-=x x x f ; ⑨xx x x f -+-=11)1()(; ⑩作出函数32)(2--=x x x f ;的图像.并判断函数)(x f 奇偶性（11）.求证：函数⎪⎩⎪⎨⎧<--=>+=)0(2)0(0)0(222x x x x x y 是奇函数。
二、奇偶性的性质2、求值①已知函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，求(0)f 的值．②已知函数2()(2)(1)3f x m x m x =-+-+是偶函数，求实数m 的值．③已知f(x)=x 5+2x 3+3x-8, f(-2)=10, f(2)=④若(),155,8)(57-=-+++=f cx bx ax x f 求)5(f . ⑤设()f x 为定义在R 上的奇函数，满足()()2f x f x +=-，当01x ≤≤时()f x x =，则()7.5f = 。
⑥已知函数y=()f x 是定义域为R 的偶函数，且当x ≥0时，f(x)=x 2-4x,试求方程f(x)=-3的解集。
3、求解析式①已知函数)(x f y =在R 上是奇函数,且在),0(+∞x x x f 2)(2-=,求)(x f 解析式.②已知()f x 是定义域为R 的奇函数，当x>0时，f(x)=x |x －2|，求x<0时，f(x)的解析式．③已知()f x 是定义域为R 的奇函数，且当x>0时，f(x)=x 2-2x+1,试求函数y=f(x)的表达式，并画出y=f(x)的图象。
高一奇偶函数所有知识点
高一奇偶函数所有知识点在高一数学学习中，奇偶函数是一个重要的概念。
理解和掌握奇偶函数的性质和特点，对于解题和应用数学知识具有重要的作用。
本文将全面介绍高一奇偶函数的所有知识点，帮助同学们更好地理解和应用这一概念。
一、奇偶函数的概念奇函数指的是函数在定义域内满足$f(-x)=-f(x)$的函数，即函数关于原点对称。
奇函数具有对称轴为原点的特点，如果在定义域内存在一对不相等的x值，使得$f(x_1)=-f(x_2)$，那么这个函数就是奇函数。
偶函数则是指函数在定义域内满足$f(-x)=f(x)$的函数，即函数关于y轴对称。
偶函数具有对称轴为y轴的特点，如果在定义域内存在一对不相等的x值，使得$f(x_1)=f(x_2)$，那么这个函数就是偶函数。
二、奇函数和偶函数的性质1. 奇函数与偶函数的和（或差）仍然是奇函数或偶函数。
2. 奇函数与奇函数的乘积是偶函数。
3. 偶函数与偶函数的乘积是偶函数。
4. 奇函数与偶函数的乘积是奇函数。
三、奇函数和偶函数的图像特点奇函数的图像关于原点对称，也就是说，如果知道函数在第一象限内的图像，可以根据奇函数的对称性推知其它象限内的图像。
偶函数的图像关于y轴对称，也就是说，如果知道函数在第一象限内的图像，可以根据偶函数的对称性推知其它象限内的图像。
四、判断函数的奇偶性要判断一个函数的奇偶性，可以有以下方法：1. 通过函数的解析表达式进行判断。
如果函数满足$f(-x)=f(x)$，则函数是偶函数；如果函数满足$f(-x)=-f(x)$，则函数是奇函数。
2. 通过函数的图像进行判断。
如果图像关于y轴对称，则函数是偶函数；如果图像关于原点对称，则函数是奇函数。
五、常见的奇偶函数1. 常函数：常函数既是奇函数又是偶函数。
因为对于任何x值，都有$f(-x)=f(x)$且$f(-x)=-f(x)$。
2. 幂函数：幂函数的奇偶性与指数的奇偶性有关。
当指数为偶数时，函数是偶函数；当指数为奇数时，函数是奇函数。
高一数学必修一,函数的奇偶性题型归纳
函数的奇偶性 题型归纳题型一、函数奇偶性的概念➢ 函数奇偶性的定义：设函数D x x f y ∈=，)(，（D 为关于原点对称的区间）：①如果对于任意的D x ∈,都有)()(x f x f -=，则称)(x f y =为偶函数；②如果对于任意的D x ∈,都有)()(x f x f --=，则称)(x f y =为奇函数。
➢ 函数奇偶性的性质：①函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。
②奇偶函数的图像：奇函数关于原点对称；偶函数关于y 轴对称。
③奇函数)(x f y =在0=x 处有意义，则必有0)0(=f 。
④偶函数)(x f y =必满足|)(|)(x f x f =。
1. 若)(x f 是奇函数，则其图象关于（ ）【答案：C 】A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．原点对称D ．直线x y =对称2. 若函数))((R x x f y ∈=是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数)(x f y =图象上的是（ ）【答案：C 】A ．))(,(a f a -B ．))(,(a f a --C ．))(,(a f a ---D ．))(,(a f a -3. 下列说法错误的是（ ）【答案：D 】A.奇函数的图像关于原点对称B.偶函数的图像关于y 轴对称C.定义在R 上的奇函数()x f y =满足()00=fD.定义在R 上的偶函数()x f y =满足()00=f题型二、判断函数的奇偶性➢ 定义法：➢ 运算函数奇偶性的规律：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇×÷奇=偶；奇×÷偶=奇；偶×÷偶=偶。
➢ 复合函数奇偶性判断：内偶则偶，两奇为奇。
➢ 抽象函数奇偶性：赋值法。
1、定义法：1. 下列函数中为偶函数的是（ ）【答案：C 】A ．x y =B ．x y =C ．2x y =D ．13+=x y2. 判断函数的奇偶性 ①)3,1(,)(2-∈=x x x f ②2)(x x f -=；③25)(+=x x f ； ④)1)(1()(-+=x x x f .⑤()xx x f 1-= ⑥()13224+-=x x x f 【答案：】（1）非奇非偶函数.（2）偶函数.（3）非奇非偶函数.（4）偶函数.（5）奇函数（6）偶函数.2、奇偶函数的四则运算法则：3. 下列函数为偶函数的是（ ）【答案：D 】A.()x x x f +=B.()xx x f 12+= C.()x x x f +=2 D.()2x x x f =4. 判断函数的奇偶性①53)(x x x x f ++=； ②1y 2+=x x【答案：（1）奇函数. （2）奇函数. 】5. 已知函数)(x f y =是定义在R 上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是 （填序号）。
高一数学 函数奇偶性知识点归纳
函数奇偶性知识点归纳考点分析配经典案例分析函数的奇偶性定义：1．偶函数：一般地，对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数．2．奇函数：一般地，对于函数()f x 的定义域的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么()f x 就叫做奇函数．二、函数的奇偶性的几个性质1、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立；3、可逆性：)()(x f x f =-⇔)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；4、等价性：)()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f (||)()f x f x ⇔=；)()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f ；5、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；6、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
7、判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。
8、如果一个奇函数f(x)在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。
并且关于原点对称。
三、关于奇偶函数的图像特征 一般地：奇函数的图像关于原点对称，反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数； 即：f(x)为奇函数<=>f(x)的图像关于原点对称 点（x,y ）→（-x,-y ）偶函数的图像关于y 轴对称，反过来，如果一个函数的图像关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数。
即： f(x)为偶函数<=>f(x)的图像关于Y 轴对称 点（x,y ）→（-x,y ）奇函数对称区间上的单调性相同（例：奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。
）偶函数对称区间上的单调性相反（例：偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减）。
高一数学上册知识点整理：指数函数、函数奇偶性
高一数学上册知识点整理：指数函数、函数奇偶性指数函数指数函数是一种形式为 f(x) = a^x 的函数，其中 a 是一个正实数且不为 1。
指数函数的特点如下：•当 a > 1 时，指数函数呈现增长趋势，随着 x 的增大而增大，当 x 趋向于无穷大时，函数值也趋向于无穷大；•当 0 < a < 1 时，指数函数呈现衰减趋势，随着 x 的增大而减小，当 x 趋向于无穷大时，函数值趋向于 0；•当 a = 1 时，指数函数变成常数函数，即 f(x) = 1。
指数函数的图像具有以下特点：•当 a > 1 时，图像在 y 轴右侧且逐渐上升；•当 0 < a < 1 时，图像在 y 轴左侧且逐渐下降；•当 a = 1 时，图像平行于 x 轴且位于 y = 1。
指数函数的性质如下：•指数函数的反函数即对数函数，表示为 f(x) = loga(x)，其中 a 是正实数且不为 1；•指数函数可以进行平移、伸缩和翻转等变换；•指数函数的导数为它自己的函数值的导数，即f’(x) = a^x * ln(a)。
函数奇偶性函数的奇偶性是指函数的对称性质。
具体而言，函数 f(x) 的奇偶性可通过以下定义确定：•如果对于函数上的任意 x，有 f(-x) = f(x)，则函数 f(x) 称为偶函数；•如果对于函数上的任意 x，有 f(-x) = -f(x)，则函数 f(x) 称为奇函数；•如果函数既不是偶函数也不是奇函数，则称该函数既不具有奇性也不具有偶性。
函数奇偶性的性质如下：•偶函数的图像关于 y 轴对称；•奇函数的图像关于原点对称；•偶函数和奇函数之间的关系是通过偶函数和奇函数的运算得到的，即偶函数与偶函数的和、差仍为偶函数，奇函数与奇函数的和、差仍为奇函数，偶函数与奇函数的积为奇函数，偶函数的积为偶函数。
为判断一个函数的奇偶性，可以通过以下方法：•如果函数 f(x) 可以表示为关于 x 的幂函数的和、差或积，则可以通过判断每个幂函数的奇偶性来确定函数 f(x) 的奇偶性；•如果函数 f(x) 可以通过一些特殊求导规则来表示，则可以根据这些求导规则判断函数 f(x) 的奇偶性；•如果函数 f(x) 为周期函数，则可以通过观察一个周期内的奇偶性来确定函数f(x) 的奇偶性。
函数的奇偶性十大题型归类总结-高一数学(人教A版2019必修第一册)
（7）定义域：
x2 1
1
x2
0 0
，解得
x
1 ，所以
f
x
0 ，所以
f
x
既是奇函数又为偶函数
（8）定义域： 1 x 0 ，即 x 1 x 1 ，所以 f x 为非奇非偶函数 1 x
【例
2】判断函数
f
(x)
x2
x
2
(x (x
0) 0)
的奇偶性。
【答案】奇函数
【解析】法一：当 x 0 时， x 0，所以 f x x2 x2 f x
1 x2 , x [1, 0) ，
1 x2 , x (0,1]
当 x1，0 时， 0 f x 1;
当 x0，1时， 1 f x 0 ，
故 f x 的值域为 1，1 ，故 B 正确．
由 f 1 f 1 0 可得 f x 不是定义域上的增函数，故 C 错误．
故选：C． 【题型专练】 1.设函数 f(x)，g(x)的定义域都为 R，且 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
奇函数对 B 当 x 0 时， x 0，所以 f x x2 x x2 x f x
当 x 0 时， x 0，所以 f x x2 x x2 x f x ，所以为偶函数
对 C 定义域：1 x2 0 ，即 x 1 x 1 ，所以 x 2 2 x 2 2 x
对 C 定义域： x x 0 ，奇函数除奇函数=偶函数 对 D 定义域： x x 0 ，所以 f x 为非奇非偶函数
5.（2022·全国·高一课时练习）下列函数既是偶函数，又在 (0, ) 上单调递增的是（ ）
A． y x 【答案】C
B． y x2
C． y x
专题7 抽象函数的单调性和奇偶性-高一数学必修一专题复习训练含答案
专题7 抽象函数的单调性和奇偶性-高一数学必修一专题复习训练含答案一、选择题1．设()f x 是定义在(),-∞+∞上的单调递减函数，且()f x 为奇函数.若()11f =-，则不等式()121f x -≤-≤的解集为A . []1,1-B ． []0,4C ． []2,2-D ． []1,3【答案】D2．若函数()f x 的定义域为()32,1a a -+，且函数()1f x -为奇函数，则实数a 的值为（ ）A . 2B . 4C . 6D . 8【答案】C【解析】函数()f x 的定义域为()32,1a a -+，且函数()1f x -为奇函数，则函数()f x 的图象关于点()1,0对称，故有()132{3212a a a a +>--++＝，求得2a =，故选A .3．已知()f x 是偶函数，它在[)0,+∞上是减函数，若()()lg 1f x f > ，则x 的取值范围是（ ） A . 1,110⎛⎫⎪⎝⎭ B . 1,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭ C . ()10,1,10⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭D . ()()0,110,⋃+∞ 【答案】B【解析】试题分析：偶函数()f x 在[)0,+∞上是减函数，则在(],0-∞上为增函数，由()()lg 1f x f >可知，得，故选项B 正确．考点：偶函数的单调性及其运用．【易错点睛】解答本题时考生容易错误的理解为：偶函数在整个定义域上的单调性是一致的，而列出不等式，解得，没有正确的选项可选．偶函数的图象关于y 轴对称，则其在原点两侧对称区间的单调性也是不同的，即一侧为单调增函数，则对称的另一侧为单调减函数．只有清楚了函数的单调性，才能正确的列出不等式，进而求出正确的解．4．已知函数()y f x =是R 上的偶函数，且在[)0+∞，上单调递增，则下列各式成立的是（ ）A . ()()()201f f f ->>B . ()()()102f f f >>-C . ()()()210f f f ->>D . ()()()120f f f >->【答案】A【解析】因为函数()y f x =是R 上的偶函数，所以()()22f f -= ，又因为()f x 在[)0+∞，上单调递增，所以()()()201f f f >>，故()()()201f f f ->>. 本题选择A 选项. 5．已知定义域为R 的偶函数在上是减函数，且，则不等式的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】6．已知偶函数f （x ）在[0，+∞）单调递增，若f （2）=﹣2，则满足f （x ﹣1）≥﹣2的x 的取值范围是 （ ） A ． （﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） B ． （﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） C ． [﹣1，﹣3] D ． （﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） 【答案】B 【解析】根据题意，偶函数在单调递增，且，可得，若，即有， 可得，解可得： 即的取值范围是；故选：B ．7．若偶函数()f x 在(],0-∞上单调递减, ()()3224log 3,log 5,2a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,则满足( )A . a b c <<B . b a c <<C . c a b <<D . c b a <<【答案】B8．已知函数()f x 为定义在[]2,1b b -上的偶函数，且在[]0,1b -上单调递增，则()()1f x f ≤的解集为（ ）A . []1,2B . []3,5C . []1,1-D . 13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】由函数奇偶性的定义可知2101b b b +-=⇒=-，所以函数()f x 在[]0,2单调递增，则不等式可化为1{1102x x x ≤⇒-≤≤≤≤，应选答案C .9．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(],0-∞上有单调性，且()()21f f -<，则下列不等式成立的是 （ ）A . ()()()123f f f -<<B . ()()()234f f f <<-C . ()()1202f f f ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭D . ()()()531f f f <-<-【答案】D【解析】根据函数为偶函数，有()()()221f f f -=<，故函数在[)0,+∞上递减，所以()()()()()()10123452f f f f f f f ⎛⎫>>>>>> ⎪⎝⎭，故选D .10.若是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】11.定义在的函数，已知是奇函数，当时，单调递增，若且，且值（ ）．A ． 恒大于B ． 恒小于C ． 可正可负D ． 可能为【答案】A【解析】由是奇函数，所以图像关于点对称，当时，单调递增，所以当时单调递增，由，可得，，由可知，结合函数对称性可知12.已知是定义在上的奇函数，对任意的，均有.当时，，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】f（）=f（）=14，∵＜＜，二、填空题13．设f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则f（–2），f（–π），f（3）的大小顺序是__________．【答案】f（–π）>f（3）>（–2）【解析】由已知是上的偶函数，所以有，，又由在上单调增，且，所以有，所以π），故答案为：.14.已知偶函数在区间上单调增加，则满足的的取值范围是__________．【答案】【解析】∵是偶函数，15.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数, 在区间(),0-∞上单调递减，且()10f =. 若实数a 满足()515log log f a f a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭, 则实数a 的取值范围是____________．【答案】][10,1,55⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数, 在区间(),0-∞上单调递减， 根据对称性，所以函数()f x 在区间()0,+∞上也单调递减．又易推出()()()1100f f f -===．从而根据函数()f x 的性质作出图象, 即可求得()0f x ≥的解集为][(,10,1⎤-∞-⋃⎦．()515log log f a f a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭等价于()5log 0f a ≥，故5log 1a ≤-或50log 1a ≤≤，解得105a <≤或15a ≤≤． 16.定义在区间[]2,2-上的偶函数()g x ,当0x ≥时()g x 单调递减,若()()1g m g m -<，则实数m 的取值范围是____________．【答案】1 1,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】不等式等价于：212 {221mmm m-≤-≤-≤≤->，求解关于实数m的不等式组可得实数m的取值范围是1 1,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.17．设偶函数在上为减函数，且，则不等式的解集为_________；【答案】【解析】18．已知函数是定义在区间上的偶函数，它在区间上的图像是如图所示的一条线段，则不等式的解集为__________.【答案】【解析】 由题意，函数过点，，∴，又因为是偶函数，关于轴对称，所以，即，又作出函数在上的图像，当的时候，的图像恒在的上方，当的时候，令，，即当的时候，满足，即.故答案为：. 19．定义在上的奇函数是增函数，且，则的取值范围为__________．【答案】【解析】20.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且对于任意1x ， [)20,x ∈+∞， 12x x ≠，均有()()21120f x f x x x ->-.若1132f ⎛⎫-=⎪⎝⎭， 182log 1f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则x 的取值范围为__________． 【答案】()10,2,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且对于任意1x ， [)20,x ∈+∞， 12x x ≠，均有()()21120f x f x x x ->-， ()f x ∴ 在()0,+∞ 上递减，在(),0-∞ 上递增，12811112log ,log 2333f x f f x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=--<- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，因为()f x 是偶函数，所以2211log ,log 133x x ->->或2log 1x <- ，可得2x >或102x << ，故答案为()10,2,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭.三、解答题21.已知函数()y f x =是定义在()0,+∞上的增函数，对于任意的0,0x y >>，都有()()()f xy f x f y =+，且满足()21f =.（1）求()()14f f 、的值；（2）求满足()()32f x f x +->的x 的取值范围. 【答案】（1）()10f =， ()42f =；（2）4x >. 【解析】22.定义在R 上的函数()y f x =对任意的,x y R ∈，满足条件： ()()()1f x y f x f y +=+-，且当0x >时， ()1f x >. （1）求()0f 的值；（2）证明：函数()f x 是R 上的单调增函数；（3）解关于t 的不等式()221f t t -<.【答案】(Ⅰ) ()01f =；(Ⅱ)见解析；（Ⅲ） 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】23.若()f x 是定义在()0,+∞上的增函数，且对一切x ， 0y >，满足()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． （1）求()1f 的值；（2）若()61f =，解不等式()1323f x f ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭． 【答案】（1）0；（2）()3,9- 【解析】24.已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11f =，若m ， []1,1n ∈-， 0m n +≠时，有()()0f m f n m n+>+.（1）证明()f x 在[]1,1-上是增函数； （2）解不等式1121f x f x ⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭； （3）若()221f x t at ≤-+对任意[]1,1x ∈-， []1,1a ∈-恒成立，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）增函数；（2）3,12⎡⎫--⎪⎢⎣⎭；（3）0t =或2t ≥或2t ≤-． 【解析】∵()f x 在[]1,1-上是增函数∴()()max 11f x f == ∴2221120t at t at -+≥⇒-≥对任意[]1,1a ∈-恒成立． 令()22g a at t =-+，则0{00t =≥恒成立或()20{120t g t t >=-+≥或()20{120t g t t <-=+≥，∴0t =或2t ≥或2t ≤-∴实数t 的取值范围为0t =或2t ≥或2t ≤-．25.函数()f x 的定义域为{|0}D x x =≠，且满足对任意12,x x D ∈，有()()1212f x x f x x ⋅=+）（. （1）求()1f 的值；（2）判断()f x 的奇偶性并证明你的结论；（3）如果()41f =， ()12f x -<，且()f x 在()0,+∞上是增函数，求x 的取值范围. 【答案】（1）()10f =；（2）见解析：（3）()()15,11,17-⋃. 【解析】点睛：本题给出抽象函数，求特殊的函数值、讨论函数的奇偶性，并依此解关于x 的不等式．着重考查了函数的单调性、奇偶性和绝对值不等式的解法等知识，属于中档题．运用“赋值法”进行求值和化简，是解决抽象函数问题的一般方法.26.设函数()y f x =是定义在R 上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数,x y ，都有()()()f xy f x f y =+；②当1x >时， ()0f x <；③()31f =-.（1）求()1f ， 19f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）证明()f x 在()0,+∞上是减函数；（3）如果不等式()()22f x f x +-<成立，求x 的取值范围.【答案】（Ⅰ）2;（Ⅱ）见解析; （Ⅲ）(1,133-+）. 【解析】点晴：本题属于对函数单调性的证明和单调性应用的考察，若函数()f x 在区间上单调递增，则()()1212,,x x D f x f x ∈>且时，有12x x >，事实上，若12x x ≤,则()()12f x f x ≤，这与()()12f x f x >矛盾，类似地，若()f x 在区间上单调递减，则当()()1212,,x x D f x f x ∈>且时有12x x <；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系. 27.已知函数的定义域为，若对于任意的实数，都有，且时，有.（1）判断并证明函数的奇偶性； （2）判断并证明函数的单调性；（3）设，若对所有，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）奇函数，（2）单调递增函数，（3）或.【解析】（1）奇函数，证明如下：由题意知，令，得，所以；点睛：抽象函数单调性的证明绝大多数情况下都是用“定义法”去证，其步骤是：（1）取值：在给定区间上任取，且；（2）作差：将变形整理为其结果为因式乘积的形式或能够判断的符号的形式；（3）判断的符号；（4）根据定义得出结论.28．已知函数是定义在上的不恒为零的函数，对于任意非零实数满足，且当时，有.（Ⅰ）判断并证明的奇偶性；（Ⅱ）求证：函数在上为增函数，并求不等式的解集.【答案】(1)见解析;(2).【解析】分析：⑴先求出，继而，令代入得⑵构造，然后利用已知代入证明详解：（Ⅰ）是偶函数。
高一数学 函数奇偶性知识点归纳
函数奇偶性知识点归纳考点分析配经典案例分析函数的奇偶性定义：1．偶函数：一般地，对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数．2．奇函数：一般地，对于函数()f x 的定义域的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么()f x 就叫做奇函数．二、函数的奇偶性的几个性质1、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立；3、可逆性：)()(x f x f =-⇔)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；4、等价性：)()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f (||)()f x f x ⇔=；)()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f ；5、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；6、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
7、判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。
8、如果一个奇函数f(x)在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。
并且关于原点对称。
三、关于奇偶函数的图像特征 一般地：奇函数的图像关于原点对称，反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数； 即：f(x)为奇函数<=>f(x)的图像关于原点对称 点（x,y ）→（-x,-y ）偶函数的图像关于y 轴对称，反过来，如果一个函数的图像关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数。
即： f(x)为偶函数<=>f(x)的图像关于Y 轴对称 点（x,y ）→（-x,y ）奇函数对称区间上的单调性相同（例：奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。
）偶函数对称区间上的单调性相反（例：偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减）。
高一数学函数的奇偶性试题答案及解析
高一数学函数的奇偶性试题答案及解析1.若函数是偶函数，则的递减区间是【答案】【解析】偶函数的图像关于轴对称，故，则，则的递减区间是。
【考点】（1）偶函数图像的性质；（2）二次函数单调区间的求法。
2.设函数和分别是上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是A．是偶函数B．是奇函数C．是偶函数D．是奇函数【答案】A【解析】由设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，我们易得到|f（x）|、|g（x）|也为偶函数，进而根据奇+奇=奇，偶+偶=偶，逐一对四个结论进行判断，即可得到答案．∵函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则|g（x）|也为偶函数，则f（x）+|g（x）|是偶函数，故A满足条件；f（x）-|g（x）|是偶函数，故B不满足条件；|f（x）|也为偶函数，则|f（x）|+g（x）与|f（x）|-g（x）的奇偶性均不能确定故选A【考点】函数奇偶性的判断3.设函数为奇函数，,，则=（）A．0B．C．D．-【答案】C．【解析】由题意知，，又因为函数为奇函数，所以，且，再令中得，，即，所以，故选C．【考点】函数的奇偶性；抽象函数．4.已知为偶函数，当时，，则满足的实数的个数为（）．A．2B．4C．6D．8【答案】D【解析】令，则，解得；又因为为偶函数，所以当时，，则或；当时，，方程无解；，方程有两解；，方程有一解；，方程有一解；即当时，有四解，由偶函数的性质，得当时，也有四解；综上，有8解.【考点】函数的性质、方程的解.5.偶函数满足，且在时，，若直线与函数的图像有且仅有三个交点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以函数的图像关于直线对称，又是偶函数，所以，即有，所以是周期为2的函数，由，得，即，画出函数和直线的示意图因为直线与函数的图像有且仅有三个交点，所以根据示意图易知：由直线与半圆相切，可计算得到，由直线与半圆相切可计算得到，所以，选B.【考点】1.函数的对称性、奇偶性、周期性；2.函数图像；3.直线与圆的位置关系；4.点到直线的距离公式.6.若函数在其定义域上为奇函数，则实数 .【答案】【解析】小题可采用带特殊值法求得，检验此时在处有定义.【考点】奇函数定义及特殊值法.7.已知函数是偶函数（1）求k的值；（2）若函数的图象与直线没有交点，求b的取值范围；（3）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）；(3)【解析】（1）因为函数是偶函数，所以根据偶函数的定义，得到一个关于x,k的等式.由于对于任意的x都成立，相当于恒过定点的问题，所以求得k的值.（2）因为函数的图象与直线没有交点，所以对应的方程没有解，利用分离变量的思维可得到一个等式，该方程无解.所以等价两个函数与没有交点，所以求出函数的最值.即可得到b的取值范围.(3)因为，若函数与的图象有且只有一个公共点，所以等价于方程有且只有一个实数根.通过换元将原方程化为含参的二次方程的形式，即等价于该二次方程仅有一个大于零的实根，通过讨论即可得到结论.试题解析：（1）因为为偶函数，所以，即对于任意恒成立.于是恒成立,而不恒为零，所以. 4分（2）由题意知方程即方程无解.令，则函数的图象与直线无交点.因为，由，则，所以的取值范围是 . 8分（3）由题意知方程有且只有一个实数根．令，则关于的方程 (记为(*))有且只有一个正根.若，则，不合题意, 舍去；若，则方程(*)的两根异号或有两相等正根.由或；但，不合题意，舍去；而；若方程(*)的两根异号综上所述，实数的取值范围是． 12分【考点】1.函数的奇偶性.2.函数的与方程的思想的转化.3.换元法的应用.4.含参数的方程的根的讨论.8.设函数是定义在上的偶函数，当时，.若，则实数的值为 .【答案】【解析】若，则由，得，，解得成立．若，则由，得，即，，得，即，所以．【考点】函数的奇偶性．9.定义在上的函数,对任意都有,当时,,则________.【答案】【解析】由可知函数是周期函数且周期为；所以，而当时，，故.【考点】1.函数的周期性；2.抽象函数；3.函数的解析式.10.已知是定义在上的奇函数，当时，,那么的值是( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】因为是定义在上的奇函数，所以.【考点】奇函数的定义.11.已知函数的定义域为,且为偶函数,则实数的值可以是( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】因为函数的定义域为，所以在函数中，，则函数的定义域为，又因为为偶函数，所以，故选A．【考点】本题主要考查了抽象函数的定义域，以及偶函数的性质．12.已知定义在R上的单调递增函数满足,且。
高一数学函数的奇偶性试题答案及解析
高一数学函数的奇偶性试题答案及解析1.设函数和分别是上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是A．是偶函数B．是奇函数C．是偶函数D．是奇函数【答案】A【解析】由设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，我们易得到|f（x）|、|g（x）|也为偶函数，进而根据奇+奇=奇，偶+偶=偶，逐一对四个结论进行判断，即可得到答案．∵函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则|g（x）|也为偶函数，则f（x）+|g（x）|是偶函数，故A满足条件；f（x）-|g（x）|是偶函数，故B不满足条件；|f（x）|也为偶函数，则|f（x）|+g（x）与|f（x）|-g（x）的奇偶性均不能确定故选A【考点】函数奇偶性的判断2.若定义在上的奇函数和偶函数满足，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】为奇函数和为偶函数，由可得，即，，可解得.故选A.【考点】函数的奇偶性.3.已知f(x)是定义在(-3,3)上的奇函数，当0＜x＜3时，如图所示，那么不等式f(x)cosx＜0的解集是( ).A．B．C．D．【解析】图1图2如图1为f(x)在（-3，3）的图象，图2为y=cosx图象，要求得的解集，只需转化为在寻找满足如下两个关系的区间即可：，结合图象易知当时，，当时，，当时，，故选B.【考点】奇函数的性质，余弦函数的图象，数形结合思想.4.已知函数为偶函数，且若函数，则= ．【答案】2014【解析】由函数为偶函数，且得从而，故应填入2014．【考点】函数的奇偶性．5.若函数在其定义域上为奇函数，则实数 .【答案】【解析】小题可采用带特殊值法求得，检验此时在处有定义.【考点】奇函数定义及特殊值法.6.函数的图像大致是（）【答案】A【解析】因为的定义域为且，所以为上的偶函数，该函数的图像关于轴对称，只能是图像A、C选项之一，而，故选A.【考点】1.函数的图像；2.函数的奇偶性.7.已知，，则_ ____．【答案】5【解析】函数，，又为奇函数，所以.【考点】函数奇偶性.8.已知是奇函数，且，则．【解析】令，因为此函数是奇函数，所以。
人教版高一数学必修1第13课时函数的奇偶性(含详细答案)
第13课时函数的奇偶性课时目标1.掌握利用函数的奇偶性定义判断函数奇偶性的方法和步骤．2．掌握奇偶函数的图象的对称性，并能利用其正确作出奇偶函数的草图．识记强化1．奇(偶)函数的概念．(1)一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．(2)一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．(3)如果函数f(x)是奇函数或偶函数，就说f(x)具有奇偶性．2．奇(偶)函数的图象特点．(1)奇函数的图象关于原点对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数．(2)偶函数的图象关于y轴对称；反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．(3)若当x＝0时奇函数f(x)有意义，则f(0)＝0.课时作业(时间：45分钟，满分：90分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．函数f(x)＝(x－1)·1＋x1－x，x∈(－1,1)()A．是奇函数B．是偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．是非奇非偶函数答案：B解析：∵x∈(－1,1)，∴x－1＜0.∴f(x)＝(x－1)·1＋x1－x＝－1－x2.g (x )是偶函数得g (－x )＝g (x )， H (－x )＝f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x ) ＝－H (x )所以H (x )＝f (x )·g (x )在区间D 上为奇函数．6．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋2a －b 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，则a ＋b ＝( ) A ．－13 B.13C ．0D ．1 答案：B解析：由偶函数的定义，知[a －1,2a ]关于原点对称，所以2a ＝1－a ，解得a ＝13.又f (x )为偶函数，则b＝0. 所以a ＋b ＝13.二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)7．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3x ＋b 是偶函数，且其定义域为[a －1,2a ]，则2a ＋3b ＝________. 答案：－253解析：因为偶函数的定义域关于原点对称， 所以(a －1)＋2a ＝0，所以a ＝13.因为偶函数的图象关于y 轴对称， 所以－b ＋32a ＝0，所以b ＝－3.故2a ＋3b ＝－253.8．设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图所示，则不等式f (x )＜0的解集为________．答案：(－2,0)∪(2,5]解析：由奇函数的图象关于原点对称，作出函数f (x )在[－5,0)的图象，由图象可以看出，不等式f (x )＜0的解集是(－2，0)∪(2,5]，如图所示．9．已知f (x )、g (x )是R 上的奇函数，若F (x )＝af (x )＋bg (x )＋2在区间(0，＋∞)上的最大值为5，则F (x )在(－∞，0)上的最小值为________．答案：－1∴f(－7)＝g(－7)＋7＝－17，得g(－7)＝－24.∴f(7)＝g(7)＋7＝24＋7＝31.13．(15分)函数f(x)的图象关于y轴对称，且x≥0时f(x)＝x2－2x.求满足f(x－1)<3的x取值范围．解：∵f(x)图象关于y轴对称，所以函数f(x)为偶函数x≥0时，x2－2x＝3，x＝3或x＝－1(舍去)即f(3)＝3.∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(|x|)结合图象f(x－1)<3，f(|x－1|)<f(3)∴|x－1|<3，－2<x<4.。
高一数学函数的奇偶性试题答案及解析
高一数学函数的奇偶性试题答案及解析1.已知是定义在上的奇函数，当时，则当时___________.【答案】【解析】设，则，又是定义在上的奇函数，则，故填.【考点】函数的奇偶性.2.设是定义在R上的奇函数，且的图象关于直线对称，则=________【解析】因为是定义在R上的奇函数，所以f(-x)=-f(x).又因为的图象关于直线对称.所以f(x)=f(1-x).所以由上两式可得f(1-x)=-f(-x)即f(-x)="-" f(1-x)=f(2-x).所以函数是一个周期为2的函数.所以.又因为函数是R上的奇函数所以，.所以填0.【考点】1.函数的周期性.2.函数的对称性.3.函数的奇偶性.3.已知偶函数满足，且当时，，则．【答案】2【解析】由知此函数周期 4，因为为偶函数，所以【考点】函数奇偶性周期性4.已知函数，下列叙述（1）是奇函数；（2）是奇函数；（3）的解为（4）的解为；其中正确的是________（填序号）．【答案】（1）（3）【解析】这类问题，必须对每个命题都判断其真假，根据的解析式，显然对任意的都有，即是奇函数，（1）正确；当然此时函数是偶函数，（2）错误；对（3）按照分类讨论，可解得不等式的解是，（3）正确；而对不等式来讲，时，不等式就不成立，故（4）错误．填（1）（3）．【考点】分段函数，函数的奇偶性，分类讨论.5.已知是定义在上的偶函数，那么=【答案】【解析】是定义在上的偶函数，因为偶函数定义域关于原点对称，，又由偶函数关于轴对称得：，所以【考点】偶函数的性质应用6.已知函数是定义在上的偶函数.当时，，则当时，.【答案】【解析】把转化为，利用偶函数的定义即可得所求.试题解析：时，.所以，.因为是是定义在上的偶函数，所以.【考点】偶函数，转化与化归思想7.定义在上的奇函数,当时,,则方程的所有解之和为．【答案】【解析】利用奇函数的图象关于原点对称的性质，通过观察图象可知方程的解是及的解的相反数.试题解析：作出时的图象，如下所示：方程的解等价于的图象与直线的交点的横坐标，因为奇函数的图象关于原点对称，所以等价于（）的图象与直线的交点的横坐标和（）的图象与直线的交点的横坐标的相反数，.由得.所以方程的所有解之和为.【考点】奇函数，方程与函数思想8.函数f(x)＝x5＋x3的图象关于()对称()．A．y轴B．直线y＝x C．坐标原点D．直线y＝－x【答案】C【解析】∵,∴函数是奇函数，它的图象关于原点对称.图象关于y轴对称的函数是偶函数。
高一数学函数的奇偶性试题
高一数学函数的奇偶性试题1.若函数是偶函数，则的递减区间是【答案】【解析】偶函数的图像关于轴对称，故，则，则的递减区间是。
【考点】（1）偶函数图像的性质；（2）二次函数单调区间的求法。
2.设函数为奇函数，,，则=（）A．0B．C．D．-【答案】C．【解析】由题意知，，又因为函数为奇函数，所以，且，再令中得，，即，所以，故选C．【考点】函数的奇偶性；抽象函数．3.若函数的图像关于原点对称，则。
【答案】【解析】试题分析:由题意知恒成立,即即恒成立，所用【考点】奇函数的应用.4.已知函数为奇函数,且当时,,则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵为奇函数，∴．【考点】函数的性质．5.设是定义在上的奇函数，当时，为常数），则．【答案】【解析】是定义在上的奇函数，所以，求得；而，由奇函数可知.【考点】函数奇偶性.6.函数的图像大致是（）【答案】A【解析】因为的定义域为且，所以为上的偶函数，该函数的图像关于轴对称，只能是图像A、C选项之一，而，故选A.【考点】1.函数的图像；2.函数的奇偶性.7.已知是奇函数，且，则．【答案】【解析】令，因为此函数是奇函数，所以。
即，所以。
【考点】函数奇偶性。
8.设函数 ()．（1）若为偶函数，求实数的值；（2）已知，若对任意都有恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）0；（2）【解析】（1）根据偶函数定义，得到，平方后可根据对应系数相等得到a的值，也可将上式两边平方得恒成立，得a的值。
（2）应先去掉绝对值将其改写为分段函数，在每段上求函数在时的最小值，在每段求最值时都属于定轴动区间问题，需讨论。
最后比较这两个最小值的大小取最小的那个，即为原函数的最小值。
要使恒成立，只需的最小值大于等于1即可，从而求得a的范围试题解析：（1）若的为偶函数，则,，故，两边平方得，展开时，为偶函数。
（2）设，①求,即的最小值：若，；若，②求,即的最小值,比较与,的大小：，故“对恒成立”即为“（）”令，解得。
高一奇偶性知识点大全
高一奇偶性知识点大全在数学学科中，奇偶性是一个基本的概念，对于高一学生来说，了解和掌握奇偶性的知识点对于解题非常重要。
本文将为大家介绍一些高一奇偶性的知识点，希望能够帮助同学们更好地理解和应用这一概念。
一、奇偶数的定义奇数和偶数是自然数的两个基本分类。
奇数是指不能被2整除的自然数，例如1、3、5等；偶数是指可以被2整除的自然数，例如2、4、6等。
奇数除以2会有余数，而偶数除以2得到的商是整数。
二、奇偶性的运算法则1. 奇数和奇数相加得到偶数。
例如，3 + 5 = 8。
2. 奇数和偶数相加得到奇数。
例如，3 + 4 = 7。
3. 偶数和偶数相加得到偶数。
例如，4 + 6 = 10。
4. 偶数乘以任意数得到偶数。
例如，2 × 3 = 6。
5. 奇数乘以奇数得到奇数。
例如，3 × 3 = 9。
三、奇偶性的应用1. 奇偶数的相加相减(1) 奇数与奇数相减得到偶数。
例如，5 - 3 = 2。
(2) 奇数与偶数相减得到奇数。
例如，7 - 4 = 3。
(3) 偶数与偶数相减得到偶数。
例如，8 - 2 = 6。
2. 奇偶数的乘积(1) 偶数与任意数相乘得到偶数。
例如，2 × 5 = 10。
(2) 奇数与3的乘积一定是奇数。
例如，3 × 9 = 27。
3. 奇偶数的除法在除法运算中，有一个基本原则：一个奇数除以另一个奇数，或者一个偶数除以另一个偶数，结果一定是奇数；而一个奇数除以偶数的结果一定是偶数。
四、奇偶数在排列组合中的应用1. 偶数次排列的奇数当我们在计算排列组合问题时，如果有奇数个元素需要排列，那么排列的结果一定是奇数个。
例如，对于A、B、C三个元素的排列：ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA，共有6个排列结果。
2. 奇数次排列的偶数相反地，当我们有偶数个元素需要排列时，排列的结果一定是偶数个。
例如，对于A、B、C、D四个元素的排列：ABCD、ABDC、ACBD、ACDB、ADBC、ADCB、BACD、BADC、BCAD、BCDA、BDAC、BDCA、CABD、CADB、CBAD、CBDA、CDAB、CDBA、DABC、DACB、DBAC、DBCA、DCAB、DCBA，共有24个排列结果。
数学高一奇偶性知识点
数学高一奇偶性知识点奇偶性，作为数学中的基础知识点，贯穿了数学的方方面面。
它不仅在数学的计算中起到了重要作用，还在现实生活和其他学科中有着广泛的应用。
本文将围绕着数学高一阶段的奇偶性知识点展开讨论，深入探究其在不同数学概念中的运用和意义。
首先，我们从基本的奇偶数的概念入手。
奇数是指不能被2整除的自然数，而偶数则恰恰相反。
这是在小学阶段就已经学习过的内容，但对于高一阶段的学生来说依然是一个基础知识。
在计算过程中，我们常常需要根据奇偶性进行分类讨论，来获得更准确的结果。
例如，在解方程的过程中，我们可以利用奇偶性来简化计算，从而提高解题效率。
在代数中，奇偶性也有着重要的应用。
首先，我们可以利用奇偶性来判断多项式的奇偶性。
对于一个多项式来说，如果每一项的次数都是偶数，那么这个多项式是一个偶函数；如果每一项的次数都是奇数，那么这个多项式是一个奇函数。
通过观察多项式的奇偶性，我们可以更加深入地了解其性质，进而为解题提供更多的线索。
此外，奇偶性也在函数的图像中有着重要的表现。
根据函数的奇偶性，我们可以知道函数图像关于哪个轴对称。
对于偶函数来说，其图像关于y轴对称；对于奇函数来说，其图像关于原点对称。
这种对称性不仅在理论上有着重要意义，也方便我们快速绘制函数的图像。
除了在代数中的应用，奇偶性在解几何题中也有着独特的价值。
在判断图形的对称性时，我们可以利用奇偶性进行分析。
例如，在研究二维图形的对称性时，我们可以通过观察图形的奇偶性来判断其是否有对称轴。
这种方法有助于我们快速判断图形的特征，并提供解题思路。
在概率论中，奇偶性也被广泛运用。
在进行排列组合的计算时，我们可以利用奇偶性来简化问题。
例如，在计算行列式的值时，我们可以通过调整行列式中的元素，使其具有更明显的奇偶性质，从而简化计算，得出更快速的结果。
此外，在数学的其他学科中，奇偶性也有着重要的应用。
在数论中，奇偶性是研究数字性质的重要工具。
在统计学中，奇偶性有助于进行数据的分类和分析。
高一数学复习考点题型专题讲解15 奇偶性
高一数学复习考点题型专题讲解第15讲奇偶性一、单选题1．下列图象表示的函数中具有奇偶性的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据偶函数关于y轴对称、奇函数关于原点对称即可求解.【解析】选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；选项C、D中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数.故选：B2．下列命题正确的是（）f=A．奇函数的图象关于原点对称，且()00B ．偶函数的图象关于y 轴对称，且()00f =C ．存在既是奇函数又是偶函数的函数D ．奇､偶函数的定义域可以不关于原点对称【答案】C【分析】根据奇偶性的定义判断．【解析】奇函数的图象关于原点对称，但不一定在x =0时有意义，比如1y x =，A 错误；偶函数的图象关于y 轴对称，但()0f 不一定等于0，如()21f x x =+，B 错误； 函数y =0既是奇函数又是偶函数，C 正确；奇､偶数的定义域均是关于原点对称的区间，D 错误.故选：C.3．下列函数既是偶函数，又在(0,)+∞上单调递增的是（ ）A ．y x =B ．2y x =-C ．y x =D ．1y x =【答案】C【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可求解.【解析】对于A ，y x =为奇函数，所以A 不符合题意；对于B ，2y x =-为偶函数，在(0,)+∞上单调递减，所以B 不符合题意；对于C ，y x =既是偶函数，又在(0,)+∞上单调递增，所以C 符合题意；对于D ，1y x =为奇函数，所以D 不符合题意．故选：C ．4．若函数()211x f x x -=+，则以下函数为奇函数的是（ ）A ．()12f x --B ．()12f x -+C ．()12f x ++D ．()12f x +-【答案】A【分析】判断函数为奇函数，一是定义域必须关于原点对称，二是满足()()f x f x -=-，然后分别检验各个函数即可. 对选项A ，均满足；对选项B ，不满足()()f x f x -=-；对选项C 和D ，均不满足定义域必须关于原点对称.【解析】对选项A ，()233122x f x x x---=-=-，定义域为()(),00,∞-+∞U ，且满足()()f x f x -=-，函数()12f x --为奇函数，故选项A 正确；对选项B ，()3124f x x-+=-+，定义域为()(),00,∞-+∞U ，但不满足()()f x f x -=-，函数()12f x -+不是奇函数，故选项B 错误； 对选项C ，()211222x f x x +++=++，定义域为()(),22,-∞-⋃-+∞，故()12f x ++不是奇函数，故选项C 错误；对选项D ，()211222x f x x ++-=-+，定义域为()(),22,-∞-⋃-+∞，故()12f x +-不是奇函数，故选项D 错误；故选：A 5．下列函数为偶函数的是（ ）A ．2()1f x x x =++B ．3()g x x =C ．1()h x x =D ．21()w x x x=-【答案】D【分析】根据解析式，直接判断函数的奇偶性.【解析】A.函数是非奇非偶函数，BC 都是奇函数，D.满足21()()w x x w x x -=-=，定义域是{}0x x ≠，是偶函数.故选:D.6．对于定义域是R 的任何一个奇函数()f x 都满足（ ）A ．()()0f x f x --<B ．()()0f x f x ⋅-≤C ．()()0f x f x --≤D ．()()0f x f x ⋅-<【答案】B【分析】利用奇函数的定义分别进行判断即可．【解析】解：因为()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-，则A ．()()2()f x f x f x --=，不一定小于0，所以A 错误；B ．2()()()0f x f x f x -=-…，所以B 正确；C ．()()2()f x f x f x --=不一定小于等于0，所以C 错误；D ．2()()()0f x f x f x -=-…，所以D 不正确．故选：B ．7．设函数()2123f x x x =-+，则下列函数中为偶函数的是（）A ．()1f x +B ．()1f x +C ．()1f x -D ．()1f x -【答案】A【分析】根据偶函数的定义即可判断.【解析】()()22112312f x x x x ==-+-+，则()2112f x x +=+，因为212y x =+是偶函数，故()1f x +为偶函数.故选：A8．如果奇函数()f x 在区间[]3,7上是增函数且最大值为5，那么()f x 在区间[]7,3--上是（ ）A ．减函数且最小值是5-B ．增函数且最大值是5-C ．减函数且最大值是5-D ．增函数且最小值是5-【答案】D【分析】由奇函数的性质分析判断即可得结论【解析】因为()f x 为奇函数，在[]3,7上是增函数且最大值为5，所以()f x 在区间[]7,3--上为增函数，且最小值是5-，故选：D9．已知奇函数()f x 的定义域为()3,3-，且在[)0,3上单调递增，若实数a 满足()()2110f a f a -+--≤，则a 的取值范围为（ ） A ．(]2,2-B ．(]1,2-C ．()4,2-D ．()1,2-【答案】D【分析】利用函数的单调性和奇偶性可得()()211f a f a -≤+，由此可求得a 的取值范围.【解析】解：由题意得∵奇函数()f x 的定义域为()3,3-，且在[)0,3上单调递增∴()f x 在定义域内单调递增．若实数a 满足()()2110f a f a -+--≤，即()()()2111f a f a f a -≤---=+故有3213313211a a a a -<-<⎧⎪-<+<⎨⎪-≤+⎩，解得1a 2-<<，所以a 的取值范围为()1,2-. 故选：D10．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(1)1f =-，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ）A ．[－2，2]B ．[－1，2]C ．[0，4]D ．[1，3]【答案】D【分析】根据奇函数的性质，并根据函数的单调性求解即可.【解析】由函数()f x 为奇函数，得(1)(1)1f f -=-=，不等式1(2)1f x -≤-≤即为(1)(2)(1)f f x f ≤-≤-，又()f x 在(,)-∞+∞单调递减，∴得121x ≥-≥-，即13x ≤≤﹒故选：D ．11．偶函数()f x 的定义域为R ，且对于任意]1212,(,0()x x x x ∞∈-≠均有2121()()0f x f x x x -<-成立，若(1)(21)f a f a -<-，则正实数a 的取值范围（ ）A ．()20(,)3-∞⋃+∞，B ．2(,)3+∞ C ．2(0,)3D ．20,3⎛⎤⎥⎝⎦【答案】B【分析】由题知()f x 在](,0∞-单调递减，在()0+∞，单调递增，由(1)(21)f a f a -<-，得121a a -<-，计算得解.【解析】偶函数()f x 的定义域为R ，且对于任意]1212,(,0()x x x x ∞∈-≠均有2121()()0f x f x x x -<-成立，所以()f x 在](,0∞-单调递减，在()0+∞，单调递增，因为(1)(21)f a f a -<-，所以121a a -<-，所以()()22121a a -<-，化简得2320a a ->，又因为a 为正实数，所以23a >. 故选：B.12．已知()y f x =是偶函数，当0x >时，2()(1)f x x =-，若当12,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，()n f x m ≤≤恒成立，则m n -的最小值为( )A ．13B ．12C ．34D ．1【答案】D【分析】根据偶函数的性质求出函数()f x 在0x >的解析式，进而求出函数()f x 在12,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦的值域，由不等式()n f x m ≤≤恒成立，得到关于,m n 的范围. 【解析】设0x <，则0x ->.有22()(1)(1)f x x x -=--=+，又()()f x f x -=∴当0x <时，2()(1)f x x =+∴该函数在12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，最小值为0， 依题意，()n f x m ≤≤恒成立，则0,1n m ≤≥，即1m n -≥故m n -的最小值为1.【点睛】若()n f x ≤恒成立，则min ()n f x ≤，若()m f x ≥恒成立，则max ()m f x ≥，注意与()n f x ≤有解、()m f x ≥有解的区别.二、多选题13．下列判断不正确的是（ ）A ．()(1f x x =-B ．22,0(),0x x x f x x x x ⎧+<=⎨-+>⎩是奇函数C ．()f x =D ．()f x = 【答案】AD【分析】根据奇偶性的定义分析判断即可【解析】对于A ，由101x x+≥-且10x -≠，得11x -≤<，则函数的定义域不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，所以A 错误，对于B ，函数的定义域关于原点对称，当0x >时，0x -<，则222()()()()f x x x x x x x f x -=--=-=--+=-，当0x <时，0x ->，则222()()()()f x x x x x x x f x -=---=--=-+=-，综上()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数，所以B 正确，对于C ，由230x -≥且230x -≥，得23x =，得x =定义域关于原点对称，此时()0f x =，此函数既是奇函数又是偶函数，所以C 正确，对于D ，由210x -≥且330x +-≠，得11x -≤≤且0x ≠，则定义域关于原点对称，()f x ==()()f x f x -===-，所以此函数为奇函数，所以D 错误，故选：AD14．已知函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是（ ）A ．()()f x g x 是奇函数B ．()()f x g x 是奇函数C ．()()f x g x 是偶函数D ．()()f x g x 是偶函数【答案】AD【分析】根据奇偶函数的定义可得()()f x f x -=-，()()g x g x =-，则分别判别四个选项，可得答案.【解析】因为()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，所以()()f x f x -=-，()()g x g x =-．易得()()()()f x g x f x g x --=-，故()()f x g x 是奇函数，A 正确；()()()()()()f x g x f x g x f x g x --=-=，故()()f x g x 是偶函数，B 错误；()()()()f x g x f x g x --=-，故()()f x g x 是奇函数，C 错误；()()()()()()f x g x f x g x f x g x --=-=，故()()f x g x 是偶函数，D 正确．故选：AD ．15．已知函数2()1x b f x x -=+是奇函数，则下列选项正确的有（ ） A ．0b =B ．()f x 在区间(1,)+∞单调递增C ．()f x 的最小值为12-D ．()f x 的最大值为2【答案】AC【分析】利用函数是奇函数，可得()00f =，求出b 可判断A ；利用函数的单调性以及利用单调性求最值可判断B 、C 、D.【解析】函数2()1x b f x x -=+是奇函数， 则()00f =，代入可得0b =，故A 正确；由221()111x b x f x x x x x-===+++， 对勾函数1y x x =+在(1,)+∞上单调递增， 所以1()1f x x x =+在(1,)+∞上单调递减，故B 错误； 由(][)1,22,y x x =+∈-∞-+∞U ，所以111(),00,122f x x x⎡⎫⎛⎤=∈-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦+， 所以min 1()2f x =-，故C 正确、D 错误.故选：AC16．对于函数()()1||x f x x x =∈+R ，下列判断正确的是（ ） A ．()()0f x f x -+=B ．当(0,1)m ∈时，方程()f x m =总有实数解C ．函数()f x 的值域为[1,1]-D ．函数()f x 的单调区间为(,0)-∞【答案】AB【分析】根据()f x 的单调性，奇偶性，值域逐项判断即可. 【解析】()()01||1||x xf x f x x x --+=+=+-+，故A 正确； 因为x x x -≤≤， 所以11111xx x x x x -<-≤≤<+++， ()f x ∴的值域为(1,1)-，因此当(0,1)m ∈时，方程()f x m =总有实数解， 故B 正确；故C 错误；,01(),01x x x f x x x x⎧≥⎪⎪+=⎨⎪<⎪-⎩，210,()0(1)x f x x '≥=>+ 所以()f x 在[)0,+∞单调递增；由于与()()0f x f x -+=知()f x 为奇函数，所以函数()f x 在(),0-∞也单调递增，且在0x =时连续，故()f x 的单调增区间为(),-∞+∞ ，故D 错误；故选：AB ．三、填空题17．已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()1f x x =+，则()1f -=___________.【答案】2【分析】先求出()12f =，再由函数的奇偶性求出()1f -的值.【解析】由题意得：()1112f =+=，因为函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，所以()()112f f -==故答案为：218．设m 为实数，若函数2()2f x x mx m =-++（x ∈R ）是偶函数，则m 的值为__________.【答案】0【分析】根据函数的奇偶性的定义可得答案.【解析】解：因为函数2()2f x x mx m =-++（x ∈R ）是偶函数，所以()()f x f x -=， 所以()()2222x m x m x mx m ---++=-++，得20mx =，所以0m =，故答案为：0.19．已知偶函数()f x 的定义域为[]5,5-，且在区间[]0,5上的图象如图所示，则使()0f x >的x 的取值范围为______．【答案】()()2,00,2-【分析】根据函数是偶函数，把函数在区间[)5,0-上的图象画出，结合函数图象，求出()0f x >的解集【解析】∵()f x 是偶函数，∴其图象关于y 轴对称，∴可根据()f x 在区间[]0,5上的图象作出()f x 在区间[)5,0-上的图象，从而得到()f x 在区间[]5,5-上的图象，如图所示．根据图象可知，使()0f x >的x 的取值范围为()()2,00,2-．故答案为：()()2,00,2-20．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，(2)0f -=，则不等式 x ·f (x )＞0 的解集为_______________. 【答案】()(),20,2-∞-【分析】根据函数()f x 的奇偶性，单调性以及符号法则即可解出．【解析】因为函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，(2)0f -=，所以()20f =，且()f x 在(),0∞-上单调递增．因此，当2x <-时，()0f x <，当20x -<<时，()0f x >，当02x <<时，()0f x >，当2x >时，()0f x <，所以x ·f (x )＞0 的解集为()(),20,2-∞-．故答案为：()(),20,2-∞-．21．若函数()22,00,0,0x x x f x x ax x x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩是奇函数，则实数a 的值为___________. 【答案】1【分析】利用奇函数的性质进行求解.【解析】若()f x 是奇函数，则有()()f x f x -=-.当0x >时，0x -<，则()()()22f x a x x ax x -=-+-=-，又当0x >时，()2f x x x =-+，所以()2f x x x -=-， 由()()f x f x -=-，得22ax x x x -=-，解得a =1.故答案为：1.22．已知函数()f x 的定义域为R ，()22f x +为偶函数，()1f x +为奇函数，且当[]0,1x ∈时，()f x ax b =+．若(4)1f =，则52f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______． 【答案】12-【分析】通过给函数赋特殊值，利用函数的奇偶性，求解参数a b 、，利用偶函数性质得5322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用奇函数性质得3122⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f ，代入解析式即可求解. 【解析】解：因为()22f x +为偶函数，故(22)(22)f x f x +=-+；()1f x +为奇函数，故(1)(1)f x f x +=--+；当1x =时，(212)(212)f f ⨯+=-⨯+，即(4)(0)01f f a b ==⨯+=，解得1b =，当0x =时，(01)(01)f f +=--+，即(1)(1)f f =-，故(1)10f a b =⨯+=，解得1a =-， 所以当[]0,1x ∈时，()1f x x =-+.又511322222442f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=-⨯+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 3111111111222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=--+=-=--⨯+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：12-.四、解答题23．判断下列函数的奇偶性：（1）()f x =； （2）()(1f x x =- （3）()f x =（4）()2223,00,023,0x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪---<⎩. 【答案】（1）奇函数（2）既不是奇函数也不是偶函数（3）既是奇函数又是偶函数（4）奇函数【分析】根据函数奇偶性的概念，逐问判断即可.【解析】（1）由240330x x ⎧-≥⎪⎨+-≠⎪⎩，得22x -≤≤，且0x ≠， 所以()f x 的定义域为[)(]2,00,2-U ，关于原点对称，所以()f x ===又()()f x f x ==--，所以()f x 是奇函数.（2）因为()f x 的定义域为[)1,1-，不关于原点对称，所以()f x 既不是奇函数也不是偶函数.（3）对于函数()f x =2210,110x x x ⎧-≥∴=±⎨-≥⎩，其定义域为{}1,1-，关于原点对称.因为对定义域内的每一个x ，都有()0f x =，所以()()f x f x -=，()()f x f x -=-，所以()f x =.（4）函数()f x 的定义域为R ，定义域关于原点对称.①当0x =时，x 0-=，所以()()00f x f -==，()()00f x f ==，所以()()f x f x -=-；②当0x >时，0x -<，所以()()()()()222323f x x x x x f x -=-----=--+=-； ③当0x <时，0x ->，所以()()()()()222323f x x x x x f x -=---+=----=-. 综上，可知函数()f x 为奇函数.24．已知函数f （x ）是定义域为R 的奇函数，当x>0时，f （x ）=x 2-2x.（1）求f （-2）；（2）求出函数f （x ）在R 上的解析式；（3）在坐标系中画出函数f （x ）的图象.【答案】（1）0；（2）222(0)()0(0)2(0)x x x f x x x x x ⎧->⎪==⎨⎪--<⎩；（3）图象见解析.【分析】（1）由奇函数的定义可得f （-2）=-f （2），再由已知的解析式求出f （2）的值，从而可得f （-2）的值，（2）由于函数f （x ）是定义域为R 的奇函数，所以可得f （0）=0；当x<0时，-x>0，则-x 满足已知的函数解析，代入结合奇函数的性质化简可求得x<0时的解析式，从而可得函数f （x ）在R 上的解析式；（3）分别画出x>0和x<0的两个二次函数函数图像，再加上原点就得到函数f （x ）的图象【解析】由于函数f （x ）是定义在（-∞，+∞）内的奇函数，因此对于任意的x 都有f （-x ）=-f （x ）.（1）f （-2）=-f （2）；又f （2）=22-2×2=0，故f （-2）=0.（2）①因为函数f （x ）是定义域为R 的奇函数，所以f （0）=0；②当x<0时，-x>0，由f （x ）是奇函数，知f （-x ）=-f （x ）.则f （x ）=-f （-x ）=- [（-x ）2-2（-x ）]=-x 2-2x.综上，222(0)()0(0)2(0)x x x f x x x x x ⎧->⎪==⎨⎪--<⎩（3）图象如下：25．f (x )是定义在(－2， 2)上的偶函数，当x ∈[0， 2)时f (x )单调递减．若f (1－m )＜f (m )成立，求m 的取值范围．【答案】－1＜m ＜12【分析】利用函数为偶函数以及函数的单调性，列不等式组即可求解.【解析】解：由题意知f (x )的图象关于y 轴对称，又f (x )在[0， 2)上单调递减， 所以212,22,1,m m m m ⎧-<-<⎪-<<⎨⎪->⎩解得－1＜m ＜12. 26．已知函数()4f x x -=． （1）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）用函数单调性的定义证明函数()f x 在(0,)+∞上是减函数．【答案】（1）偶函数，证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）根据奇偶性的定义判断函数的奇偶性，（2）利用函数单调性的定义证明，先取值，再作差变形，判断符号，然后得出结论【解析】解：（1）根据题意，函数()f x 为偶函数， 证明：441()f x x x -==，其定义域为{}0x x ≠， 有4411()()()f x f x x x-===-，则()f x 是偶函数； （2）证明：设120x x <<，则()()()()()()221212121244121211x x x x x x f x f x x x x x 4-++-=-=-， 又由120x x <<，则()()221212120,0,0x x x x x x -<+>+>，必有()()120f x f x ->，故()f x 在(0,)+∞上是减函数．27．函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-．（1）求函数()f x 在(,0)x ∈-∞的解析式；（2）当0m >时，若|()|1f m =，求实数m 的值．【答案】（1）2()2f x x x =+；（2）1或1【分析】（1）根据偶函数的性质，令(,0)x ∈-∞，由()()f x f x =-即可得解；（2）0m >，有221m m -=，解方程即可得解.【解析】（1）令(,0)x ∈-∞，则(0,)x -∈+∞，由()()f x f x =-，此时2()2f x x x =+；（2）由0m >，2|()|21f m m m =-=，所以221m m -=±，解得1m =或1m =1m =.28．设奇函数()f x 是定义在(),-∞+∞上的增函数，若不等式2(6)(2)0f ax f x ++-<对于任意[]2,4x ∈都成立，求实数a 的取值范围．【答案】(),2-∞-【分析】根据单调性和奇偶性解不等式，得到262ax x +<-对[]2,4x ∈恒成立，转化为二次函数问题，由数形结合及分类讨论求出实数a 的取值范围.【解析】由2(6)(2)0f ax f x ++-<得2(6)(2)f ax f x +<--()f x 为奇函数，2(6)(2)f ax f x ∴+<-．又()f x 在R 上为增函数，∴原问题等价于262ax x +<-对[]2,4x ∈恒成立，即280x ax -->对[]2,4x ∈都成立．令2()8g x x ax =--，问题又转化为：在[]2,4x ∈上，()()min 2,0220a g x g ⎧<⎪>⇔⎨⎪>⎩或24,20.2a a g ⎧≤≤⎪⎪⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩或()4,240.a g ⎧>⎪⎨⎪>⎩ 解得：2a <-．综上：实数a 的取值范围是(),2-∞-．29．已知函数()f x 满足()()()(),R f x y f x f y x y +=+∈．(1)求()0f 的值；(2)求证：()()f x f x -=-；(3)若()2f =()200f 的值．【答案】(1)0(2)证明见解析(3)【分析】（1）令0x y ==，即可求出()0f ；（2）令y x =-，结合()00f =，即可得证；（3）根据所给条件求出()4f ，()8f ，()16f ，()32f ，()64f ，()36f ，()100f ，即可得解；(1)解：因为()()()(),R f x y f x f y x y +=+∈，令0x y ==，则()()()0000f f f +=+，所以()00f =；(2)解：因为()()()(),R f x y f x f y x y +=+∈，令y x =-，则()()()0f f x f x =+-，又()00f =，所以()()0f x f x +-=，即()()f x f x -=-；(3)解：因为()()()(),R f x y f x f y x y +=+∈且()2f =()()()()42222f f f f =+=，()()()()84442f f f f =+=，()()()()168882f f f f =+=，()()()()321616162f f f f =+=，()()()()643232322f f f f =+=，()()()()36324182f f f f =+=，所以()()()()1006436502f f f f =+=，()()()()2001001001002f f f f =+==30．设函数()223f x x x a =--+，x ∈R ．(1)某同学认为，无论实数a 取何值，()f x 都不可能是奇函数，该同学的观点正确吗？请说明你的理由．(2)若()f x 是偶函数，求实数a 的值．(3)在（2）的情况下，()2f x m m ≥-恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)该同学的观点正确，理由见解析(2)0(3)[]1,2-【分析】（1）由奇函数的定义，求()()0f a f a +-=是否有解，即可得出答案 （2）若()f x 为偶函数，则有()()f x f x =-，求出实数a 的值，即可得出答案.（3）()2f x m m ≥-恒成立转化为()2min f x m m ≥-，画出()f x 的图象，求出()min f x ，解不等式即可得出答案.（1）该同学的观点正确，理由如下：()23f a a =+，()243f a a a -=-+．若()f x 为奇函数，则有()()0f a f a +-=，∴2230a a -+=． 显然2230a a -+=无实数解，∴()f x 不可能是奇函数．（2）若()f x 为偶函数，则有()()f x f x =-，21 / 21 ∴222323x x a x x a --+=---+，即0ax =．∴0a =，此时()223f x x x =-+，是偶函数．∴实数a 的值为0．（3）由（2）知()223f x x x =-+，其图象如图所示：由图象，知()min 2f x =，∴22m m -≤，解得12m -≤≤． ∴实数m 的取值范围为[]1,2-．。
高一奇函数偶函数的相关知识点
高一奇函数偶函数的相关知识点奇函数和偶函数是初中数学课程中的重要内容，而在高中的数学学习中，对于奇函数和偶函数的相关知识点掌握更加深入。
本文将系统地介绍高一奇函数和偶函数的相关知识点。
1. 奇函数的定义奇函数是指满足函数f(-x) = -f(x)的函数。
换言之，对于定义域内的所有x，如果f(x) = y，则f(-x) = -y。
奇函数的图像关于坐标原点对称，即如果函数图像上有一点(x, y)，那么对称的点(-x, -y)也在函数图像上。
2. 偶函数的定义偶函数是指满足函数f(-x) = f(x)的函数。
换言之，对于定义域内的所有x，如果f(x) = y，则f(-x) = y。
偶函数的图像关于y轴对称，即如果函数图像上有一点(x, y)，那么对称的点(-x, y)也在函数图像上。
3. 奇偶性和函数的性质（1）奇函数和偶函数都是关于原点对称的，具有对称性。
（2）奇函数在原点处的函数值等于0，即f(0) = 0。
（3）奇函数的定义域可以是全体实数集R，也可以是奇数倍的π。
（4）偶函数的定义域可以是全体实数集R，也可以是偶数倍的π。
（5）奇函数和偶函数的和、差、积也仍然是奇函数或偶函数。
4. 判断函数的奇偶性（1）如果函数的解析表达式中只包含奇数次幂的项，则该函数是奇函数。
例如，f(x) = x^3。
（2）如果函数的解析表达式中只包含偶数次幂的项，则该函数是偶函数。
例如，f(x) = x^2。
（3）如果函数的解析表达式中包含奇数次幂和偶数次幂的项，则该函数既不是奇函数也不是偶函数。
例如，f(x) = x^3 + x^2。
5. 好题精选（1）若函数f(x) = |x - 1| + |x - 2| + |x - 3| + ... + |x - 2018|，求f(x)的最小值。
（2）已知函数f(x)满足f(x + 1) = -f(x)，且f(11) = 6，求f(2017)的值。
通过对高一奇函数和偶函数的相关知识点的介绍，我们可以更好地理解和应用奇函数和偶函数的概念。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.3.2 奇偶性
教学目的：使学生掌握奇函数和偶函数的概念和意义，会证明一个函数是奇函数或 偶函数。
教学重点：判断一个函数的奇偶性。
教学难点：函数奇偶性的证明。
教学过程：
一、新课引入
观察课本P39的图象和函数值的对应表，思考并讨论这两个函数的图象有什么 共同的特征？两个函数的图象都关于y 轴对称。
二、新课
对于函数f （x ）＝x 2有：
f （－3）＝9＝f （3），f （－2）＝4＝f （2），f （－1）＝1＝f （1），
实际上，对于R 上的任意一个x ，都有f （－x ）＝（－x ）2＝x 2＝f （x ） 这时我们称函数f （x ）＝x 2为偶函数。
一般地，如果于对函数f （x ）的定义域内任意一个x ，都有f （－x ）＝f （x ）， 那么函数f （x ）就叫做偶函数（evenfunction ）。
判断：函数 f （x ）＝x 2＋1，f （x ）＝
11
22 x 是不是偶函数？ 可先画图观察，再证明之。
观察f （x ）＝x 和f （x ）＝x 1的图象，你能发现它们有什么共同的特征吗？ 这两个函数的图象都是关于原点对称的。
对于函数f （x ）＝x 有：
f （－3）＝－3＝－f （3），f （－2）＝－2＝－f （2），f （－1）＝－1＝－f （1）， 实际上，对于R 上的任意一个x ，都有f （－x ）＝－x ＝－f （x ），
这时我们称函数f （x ）＝x 为奇函数。
一般地，如果于对函数f （x ）的定义域内任意一个x ，都有f （－x ）＝－f （x ）， 那么函数f （x ）就叫做奇函数（oddfunction ）。
思考：P41
例5、判断下列函数的奇偶性：
（1）f （x ）＝x 4； （2）f （x ）＝x 5；
（3）f （x ）＝x ＋x 1 （4）f （x ）＝21x 分析：通过本例题的讲解，教会学生如何通过证明来判断一个函数是奇函数还是 偶函数，证明严格按定义来完成，注意格式。
解：（1）函数f （x ）＝x 4的定义域为（－∞，＋∞），对于定义域内的任意一个x ，有 f （－x ）＝（－x ）4＝x 4＝f （x ），所以函数f （x ）＝x 4为偶函数。
（2）函数f （x ）＝x 5的定义域为（－∞，＋∞），对于定义域内的任意一个x ，有 f （－x ）＝（－x ）5＝－x 5＝－f （x ），所以函数f （x ）＝x 5为奇函数。
（3）函数的定义域为{x ∣x ≠0}，对于定义域内的任意一个x ，有
f （－x ）＝－x ＋x
-1＝－（x ＋x 1）＝－f （x ），所以，此函数为奇函数。
（4）函数的定义域为{x ∣x ≠0}，对于定义域内的任意一个x ，有 f （－x ）＝2)(1x -＝2
1x ＝f （x ），所以，此函数为偶函数。
练习：P42 作业：P43做一做 P46 9、10
补充练习：
（2007广东高考）若函数f(x)＝x 3(x ∈R)，则函数y=f(-x)在其定义域上是
A ．单调递减的偶函数 B.单调递减的奇函数 C ．单凋递增的偶函数 D ．单涮递增的奇函数
【解析】函数3
()y f x x =-=-单调递减且为奇函数,选(B).。