第二章 数列极限
数学分析讲义 - CH02(数列极限)
第二章 数列极限 §1 数列极限概念一、数列极限的定义()函数:,f N n f +→R n 称为数列。
()f n 通常记作12,,,,n a a a或简单地记作，其中称为该数列的通项。
}{n a n a 例如：11{}:1,,,,2n a n ，通项1n a n=。
如何描述一个数列“随着的无限增大，无限地接近某一常数”。
下面给出数列极限的精确定义。
n n a 定义1 设为数列，a 为定数．若对任给的正数}{n a ε，总存在正整数，使得当时，有N n N >n a a ε-<则称数列收敛于，定数称为数列的极限，并记作}{n a a a }{n a a a n n =∞→lim ，或)(∞→→n a a n读作“当n 趋于无穷大时，{}n a 的极限等于或趋于”． a n a a 若数列没有极限，则称不收敛，或称为发散数列． }{n a }{n a }{n a 【注】该定义通常称为数列极限的“N ε-定义”。
例1 设（常数），证明n a c =lim n n a c →∞=.证 对0ε∀>，因为0n a c c c ε-=-=<恒成立，因此，只要取，当n 时，便有1N =N >n a c ε-<这就证得li .m n c c →∞=例2 1lim0n n→∞=(0)α>. 证 对0ε∀>，要110n nε-=< 只要1n ε>只要取11N ε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，则当时，便有N n >110n nε-=< 这就证得1lim0n n→∞=。
例3 lim 11n nn →∞=+.证 因为11111n n n n-=<++ 对0ε∀>，取11N ε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，则当时，便有N n >11111n n n nε-=<<++ 这就证得lim 11n nn →∞=+。
关于数列极限的“N ε-定义”，作以下几点说明： 【1】定义中不一定取正整数，可换成某个正实数。
02数列极限
4.数列与函数的关系 从函数观点看，数列可以看作定义域为正整数集 N*（或它的有限子集）的函数，当自变量从 小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列.
二、引入问题：
极限概念是在探求某些实际问题的精确解答过程中产生的.例如古代哲学家庄周“截丈
问题”体现的就是极限的思想，
庄周所著的《庄子. 天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。把每
能使条件成立。
（３） 数列极限的几何理解：在定义１中，“当 n N 时有| an a | ” “当 n N 时
有 a an a ” “当 n N 时有 an a , a U (a; ) ” 所有下标
大于Ｎ的项 an 都落在邻域U (a; ) 内；而在U (a; ) 之外，数列an 中的项至多只有Ｎ个（有
正 6 2n1 边形的面积记为 An（n∈N，）.这样，就得到一系列内接正多边形的面积
A1, A2, An ,
它们构成一个数列.当 n 越大，内接正多边形与圆的差别就越小，从而就可以越近似的代替 圆的面积。
这两个例子当中体现了无限趋近的思想，当 n 时，数列无限趋近一个常数，我们将这
个常数称之为极限。
到任何程度；② 的暂时固定性。尽管 有其任意性，但一经给出，就暂时地被确定下来，
以便依靠它来求出Ｎ；③ 的多值性。 既是任意小的正数，那么 , 3 , 2 等等，同样也 2
是任意小的正数，因此定义１中的不等式 |
an
a
|
中的
可用
2
,3 ,
2
等来代替。从而
“ | an a | ”可用“ | an a | ”代替；④正由于 是任意小正数，我们可以限定 小
则 N 101或更大的数时此不等式自然成立。所以Ｎ不是唯一的。事实上，在许多场合下，
02——数列极限
第二章 数列极限第一节 数列极限概念一、数列的概念定义：设f 定义在+上，则称:f +→ ，或(),f n n +∈ 为数列，写作12,,,,,n a a a 或简记为{}n a ，其中n a 称为该数列的通项。
例：1111,,,,,23n二、收敛数列的概念考虑数列1{}n ，不难看出10n a n=→（当n 足够大时），即随着n 的无限增大，n a 无限的接近某一常数0a =。
下面给出收敛数列及其极限的精确定义。
1、 收敛数列的定义定义1：设n a 为数列，a 为一定数，若0,N ε+∀>∃∈ ，使得n N >时，有||n a a ε-<，则称数列{}n a 收敛于a ，定数a 称为{}n a 的极限，记为lim n n a a →∞=，或()n a a n →→∞，如：1{}n收敛于0()n →∞。
2、 发散数列的定义若{}n a 没有极限，则称{}n a 不收敛，或称{}n a 为发散数列。
例：①{(1)}n -发散，②{},(||1)nq q <收敛。
3、 应注意的几个问题 （1）ε的任意性 （2）N 的相应性（3）定义1的几何意义“当n N >时有||n a a ε-<” ⇔当n N >时，有(,)n a U a ε∈。
定义'1（等价于定义1）0ε∀>，若在(,)U a ε之外{}n a 中的项只有有限个，则称{}n a 收敛于极限a 。
注：若00ε∃>，使得无穷多0(,){}n n a U a a ε∉⇒一定不以a 为极限。
4、例子24P 例3，25P 例5，28P 习题5（2）。
三、无穷小数列定义2：若lim 0n n a →∞=，则称{}n a 为无穷小数列。
如：1{},{}(||1)nq q n<。
定理2.1：lim lim()0n n n n a a a a →∞→∞=⇔-=。
四、课堂练习1、证明定理2.1，2、27P 习题1，3、27P 习题3，4、28P 习题7。
高等数学第2章第1节数列极限的概念
第二章 数列极限引 言为了掌握变量的变化规律，往往需要从它的变化过程来判断它的变化趋势．例如有这么一个变量，它开始是１，然后为1111,,,,,234n如此，一直无尽地变下去，虽然无尽止，但它的变化有一个趋势，这个趋势就是在它的变化过程中越来越接近于零．我们就说，这个变量的极限为０．在高等数学中，有很多重要的概念和方法都和极限有关（如导数、微分、积分、级数等），并且在实际问题中极限也占有重要的地位．例如求圆的面积和圆周长（已知：2,2S r l r ππ==），但这两个公式从何而来？要知道，获得这些结果并不容易！人们最初只知道求多边形的面积和求直线段的长度．然而，要定义这种从多边形到圆的过渡就要求人们在观念上，在思考方法上来一个突破．问题的困难何在？多边形的面积其所以为好求，是因为它的周界是一些直线段，我们可以把它分解为许多三角形．而圆呢？周界处处是弯曲的，困难就在这个“曲”字上面．在这里我们面临着“曲”与“直”这样一对矛盾．在形而上学看来，曲就是曲，直就是直，非此即彼，辩证唯物主义认为，在一定条件下，曲与直的矛盾可以相互转化．恩格斯深刻提出：“高等数学的主要基础之一是这样一个矛盾，在一定的条件下直线和曲线应当是一回事”．整个圆周是曲的，每一小段圆弧却可以近似看成是直的；就是说，在很小的一段上可以近似地“以直代曲”，即以弦代替圆弧．执照这种辩证思想，我们把圆周分成许多的小段，比方说，分成n 个等长的小段，代替圆而先考虑其内接正n 边形．易知，正n 边形周长为2sinn l nR nπ=显然，这个n l 不会等于l ．然而，从几何直观上可以看出，只要正n 边形的边数不断增加．这些正多边形的周长将随着边数的增加而不断地接近于圆周长．N 越大，近似程度越高．但是，不论n 多么大，这样算出来的总还只是多边形的周长．无论如何它只是周长的近似值，而不是精确值．问题并没有最后解决．为了从近似值过渡到精确值，我们自然让n 无限地增大，记为n →∞．直观上很明显，当n →∞时，n l l →，记成lim n n l l →∞=．——极限思想．即圆周长是其内接正多边形周长的极限．这种方法是我国刘微（张晋）早在第３世纪就提出来了，称为“割圆术”．其方法就是——无限分割．以直代曲；其思想在于“极限”．除之以外，象曲边梯形面积的计算均源于“极限”思想．所以，我们有必要对极限作深入研究．§１ 数列极限的概念一 什么是数列１ 数列的定义数列就是“一列数”，但这“一列数”并不是任意的一列数，而是有一定的规律，有一定次序性，具体讲数列可定义如下；若函数f 的定义域为全体正整数集合N +，则称:f N R +→为数列．注：１）根据函数的记号，数列也可记为(),f n n N +∈；２）记()n f n a =，则数列()f n 就可写作为：12,,,,n a a a ，简记为{}n a ，即{}{}()|n f n n N a +∈=；３）不严格的说法：说()f n 是一个数列．２ 数列的例子（1）(1)111:1,,,,234n n ⎧⎫---⎨⎬⎩⎭；（2）11111:2,1,1,1,435n ⎧⎫++++⎨⎬⎩⎭ （3）{}2:1,4,9,16,25,n ；（4）{}11(1):2,0,2,0,2,n ++-二、什么是数列极限１．引言对于这个问题，先看一个例子：古代哲学家庄周所著的《庄子. 天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．把每天截下的部分的长度列出如下（单位为尺）：第１天截下12， 第２天截下2111222⋅=，第３天截下23111222⋅=，第n 天截下1111222n n -⋅=，得到一个数列：231111,,,,,2222n 不难看出，数列12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项12n 随着n 的无限增大而无限地接近于零． 一般地说，对于数列{}n a ，若当n 无限增大时，n a 能无限地接近某一个常数a ，则称此数列为收敛数列，常数a 称为它的极限．不具有这种特性的数列就不是收敛的数列，或称为发散数列．据此可以说，数列12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是收敛数列，０是它的极限． 数列{}{}21,1(1)n n ++-都是发散的数列．需要提出的是，上面关于“收敛数列”的说法，并不是严格的定义，而仅是一种“描述性”的说法，如何用数学语言把它精确地定义下来．还有待进一步分析．以11n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为例，可观察出该数列具以下特性： 随着n 的无限增大，11n a n =+无限地接近于1→随着n 的无限增大，11n+与１的距离无限减少→随着n 的无限增大，1|11|n +-无限减少→1|11|n+-会任意小，只要n 充分大． 如：要使1|11|0.1n +-<，只要10n >即可； 要使1|11|0.01n+-<，只要100n >即可；任给无论多么小的正数ε，都会存在数列的一项N a ，从该项之后()n N >，1|11|n ε⎛⎫+-< ⎪⎝⎭．即0,N ε∀>∃，当n N >时，1|11|n ε⎛⎫+-< ⎪⎝⎭．如何找Ｎ？（或Ｎ存在吗？）解上面的数学式子即得：1n ε>，取1[]1N ε=+即可．这样0,ε∀>当n N >时，111|11|n n N ε⎛⎫+-=<< ⎪⎝⎭．综上所述，数列11n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的通项11n +随n 的无限增大，11n+无限接近于１，即是对任意给定正数ε，总存在正整数Ｎ，当n N >时，有1|11|n ε⎛⎫+-< ⎪⎝⎭．此即11n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭以１为极限的精确定义，记作1lim 11n n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭或1,11n n →∞+→． 2.数列极限的定义定义1 设{}n a 为数列,a 为实数,若对任给的正数ε,总存在正整数N,使得当n N >时有||n a a ε-<, 则称数列{}n a 收敛于a,实数a 称为数列{}n a 的极限,并记作lim n n a a →∞=或()n a a n →→∞.(读作:当n 趋于无穷大时,n a 的极限等于a 或n a 趋于a)． 由于n 限于取正整数,所以在数列极限的记号中把n →+∞写成n →∞,即lim n n a a →∞=或()n a a n →→∞.若数列{}n a 没有极限，则称{}n a 不收敛，或称{}n a 为发散数列． [问题]：如何表述{}n a 没有极限？ ３．举例说明如何用N ε-定义来验证数列极限 要证,lim a a n n =∞→关键是：对任正数ε，解不等式ε<-a a n找出n 的范围，进而确定． （1） 直接解不等式 ε<-a a n例１ 证明1(1)lim 0(0)n n nαα+→∞-=> 同理可证：12(1)lim 0n n n +→∞-=，13(1)lim 0,n n n+→∞-= . （2）适当放大),)((k n nAn a a =≤-ϕ转化为解不等式εϕ<)(n ． 例２ 证明 lim 0(||1)nn q q →∞=<．同理可证：1lim 02n n →∞⎛⎫= ⎪⎝⎭，12lim 0,lim(1)0,,23n nn n n →∞→∞⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .例３．证明 321lim097n n n →∞-=+.例４．证明 223lim 33n n n →∞=-. 例５．证明1n =，其中0a >.４ 关于数列的极限的N ε-定义的几点说明 （１） 关于ε：①ε的任意性．定义１中的正数ε的作用在于衡量数列通项n a 与常数a 的接近程度，ε越小，表示接近得越好；而正数ε可以任意小，说明n a 与常数a 可以接近到任何程度；②ε的暂时固定性．尽管ε有其任意性，但一经给出，就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出Ｎ；③ε的多值性．ε既是任意小的正数，那么2,3,2εεε等等，同样也是任意小的正数，因此定义１中的不等式||n a a ε-<中的ε可用2,3,2εεε等来代替．从而“||n a a ε-<”可用“||n a a ε-≤”代替；④正由于ε是任意小正数，我们可以限定ε小于一个确定的正数．（２） 关于Ｎ：① 相应性，一般地，Ｎ随ε的变小而变大，因此常把Ｎ定作()N ε，来强调Ｎ是依赖于ε的；ε一经给定，就可以找到一个Ｎ；②Ｎ多值性．Ｎ的相应性并不意味着Ｎ是由ε唯一确定的，因为对给定的ε，若100N =时能使得当n N >时,有||n a a ε-<,则101N =或更大的数时此不等式自然成立．所以Ｎ不是唯一的．事实上，在许多场合下，最重要的是Ｎ的存在性，而不是它的值有多大．基于此，在实际使用中的Ｎ也不必限于自然数，只要Ｎ是正数即可；而且把“n N >”改为“n N ≥”也无妨．（３）数列极限的几何理解：在定义１中，“当n N >时有||n a a ε-<”⇔“当n N >时有n a a a εε-<<+” ⇔“当n N >时有(),(;)n a a a U a εεε∈-+=” ⇔所有下标大于Ｎ的项n a 都落在邻域(;)U a ε内；而在(;)U a ε之外，数列{}n a 中的项至多只有Ｎ个（有限个）．反之，任给0ε>，若在(;)U a ε之外数列{}n a 中的项只有有限个，设这有限个项的最大下标为Ｎ，则当n N >时有(;)n a U a ε∈，即当n N >时有||n a a ε-<，由此写出数列极限的一种等价定义（邻域定义）： 定义1' 任给0ε>，若在(;)U a ε之外数列{}n a 中的项只有有限个，则称数列{}n a 收敛于极限a.由此可见：１）若存在某个00ε>，使得数列{}n a 中有无穷多个项落在0(;)U a ε之外，则{}n a 一定不以a 为极限；２）数列是否有极限，只与它从某一项之后的变化趋势有关，而与它前面的有限项无关． 所以，在讨论数列极限时，可以添加、去掉或改变它的有限项的数值，对收敛性和极限都不会发生影响．例１ 证明{}2n 和{}(1)n-都是发散数列．例２．设lim lim n n n n x y a →∞→∞==，作数列如下：{}1122:,,,,,,,n n n z x y x y x y . 证明 lim n n z a →∞=.例３．设{}n a 为给定的数列，{}n b 为对{}n a 增加、减少或改变有限项之后得到的数列．证明：数列{}n b 与{}n a 同时收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等．三、无穷小数列在所有收敛数列中，在一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下： 定义２ 若lim 0n n a →∞=，则称{}n a 为无穷小数列．如1211(1)1,,,2n n n n n +⎧⎫-⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭都是无穷小数列．数列{}n a 收敛于a 的充要条件：定理２.１ 数列{}n a 收敛于a 的充要条件是{}n a a -为无穷小数列． 作业 P27 2（2）（3），3（1）（4）（6），4，5（1），6。
《数学分析》第二章 数列极限
xn的 限 或 称数 xn 收 于 ,记 极 , 者 列 敛 a 为
lim xn = a, 或xn → a (n → ∞).
n→∞
如果数列没有极限,就说数列是发散的 如果数列没有极限 就说数列是发散的. 就说数列是发散的 注意: 注意:.不等式 x n a < ε刻划了 x n与a的无限接近 ; 1
则当n > N时有 a b = ( x n b ) ( x n a )
ε ≤ x n b + x n a < ε + ε = 2ε.
故收敛数列极限唯一. 上式仅当a = b时才能成立 . 故收敛数列极限唯一
例5 证明数列 x n = ( 1) n + 1 是发散的. 1 由定义, 证 设 lim x n = a , 由定义 对于ε = , n→ ∞ 2 1 则N , 使得当 n > N时, 有 x n a < 成立, 2 1 1 即当n > N时, x n ∈ (a , a + ), 区间长度为1. 2 2 而x n 无休止地反复取1, 1两个数 , 不可能同时位于长度为 的 不可能同时位于长度为1的区间内. 长度为
注意: 数列对应着数轴上一个点列.可看作一 注意: 数列对应着数轴上一个点列 可看作一 1.数列对应着数轴上一个点列 动点在数轴上依次取 x1 , x 2 , , x n , .
x3
x1
x2 x4
xn
2.数列是整标函数 x n = f (n). 数列是整标函数
三,数列的极限
( 1)n1 } 当 n → ∞ 时的变化趋势 . 观察数列 {1 + n
2,唯一性 ,
定理2 定理2 每个收敛的数列只有一个极限. 每个收敛的数列只有一个极限.
第二章 数列极限
⑸ 迫敛性定理：设收敛数列 {a n } ， {bn } 都以 a 为极限，数列 {cn } 满足：存在正数 N 0 ， 当 n > N 0 时有 a n ≤ c n ≤ bn ，则数列 {cn } 收敛，且 lim c n = a 。
n→∞
2. 数列极限的判定定理 ⑴ 数列 {a n } 收敛的充要条件是： {a n } 的任何非平凡子列都收敛。
1⎞ 1 ⎛ 1⎞ ⎛1 1⎞ ⎛ 1 = 1 + 1 + ⎜1 − ⎟ + ⎜ − ⎟ + L + ⎜ − ⎟ = 1 + 1 + 1 − < 3. ⇒ x n 有界. n ⎝ 2⎠ ⎝ 2 3⎠ ⎝ n −1 n ⎠
综上, 数列{ x n }单调有界. 证法二： ( 利用 Bernoulli 不等式 ) 注意到 Bernoulli 不等式 (1 + x) ≥ 1 + nx,
n(n − 1) 2 n(n − 1)(n − 2 ) 3 ⋅3 + ⋅ 3 + L + 3n 2! 3!
证明： 因为
4 n = (1 + 3) = 1 + n ⋅ 3 +
n
>
n(n − 1)(n − 2 ) 3 ⋅3 ，n ≥ 3 . 3!
注意到对任何正整数 k , n > 2k 时有 n − k >
n 就有 2
0<
n > 4 6n ⋅ 4 n2 6n 2 6n 24 1 1 < = < = ⋅ < n 2 27n(n − 1)(n − 2 ) 27(n − 1)(n − 2) 27n 27 n n 4
于是，对 ∀ε > 0 ，取 N = max ⎨4, ⎢ ⎥ ⎬, L . ε 例 4 试证： lim n a = 1, a > 1 。
数列极限
数列极限第二章数列极限§1 数列极限概念Ⅰ. 教学目的与要求1.理解数列极限概念并利用定义证明数列是否收敛.2.掌握无穷小数列概念并利用其证明数列是否收敛于指定的常数. Ⅱ. 教学重点与难点:重点: 数列极限概念.难点: 数列极限概念、利用数列极限定义证明数列是否收敛于指定的常数. Ⅲ. 讲授内容若函数f 的定义域为全体正整数集合N+，则称RN f →+: 或),(n f n +∈N为数列．因正整数集N+的元素可按由小到大的顺序排列，故数列)(n f 也可写作,,,,,21na a a或简单地记为}{na ，其中na ，称为该数列的通项．关于数列极限，先举一个我国古代有关数列的例子．例1 古代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其含义是：一根长为一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限制地进行下去．把每天截下部分的长度列出如下(单位为尺)：第一天截下21，第二天截下221，……，第n 天截下n21，……这样就得到一个数列,21,,21,212n ．或⎭⎬⎫⎩⎨⎧n21. 不难看出，数列{n21}的通项n21随着n 的无限增大而无限地接近于0．一般地说，对于数列}{na ，若当n无限增大时na 能无限地接近某一个常数a ，则称此数列为收敛数列，常数a 称为它的极限．不具有这种特性的数列就不是收敛数列．收敛数列的特性是“随着n 的无限增大，na 无限地接近某一常数a ”．这就是说，当n 充分大时，数列的通项na 与常数a 之差的绝对值可以任意小．下面我们给出收敛数列及其极限的精确定义．定义1 设}{na 为数列，a 为定数．若对任给的正数ε，总存在正整数N ，使得当，n >N 时有ε<-||a a n 则称数列}{na 收敛于a ，定数a 称为数列}{na 的极限，并记作a a n n =∞→lim ，或)(∞→→n a a n.读作“当n 趋于无穷大时，na 的极限等于a 或na 趋于a ”．若数列}{na 没有极限，则称}{na 不收敛，或称}{na 为发散数列．定义1常称为数列极限的ε—N 定义．下面举例说明如何根据N -ε定义来验证数列极限．例2 证明01lim =∞→αn n ，这里α为正数证 由于,1|01|ααnn =-故对任给的ε>0，只要取N=111+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡αε，则当N n >时，便有εαα<<N n 11 即.|01|εα<-n这就证明了01lim =∞→αn n .例3 证明333lim 22=-∞→n n n .分析 由于nn n n 939|33|222≤-=-).3(≥n)1(因此，对任给的ε>o ，只要ε<n 9，便有,|333|22ε<--n n)2(即当ε9>n 时，(2)式成立．又由于(1)式是在n ≥3的条件下成立的，故应取}.9,3max{ε=N证 任给,0>ε取}.9,3max{ε=N 据分析，当N n >时有（2）式成立.于是本题得证.注 本例在求N 的过程中，(1)式中运用了适当放大的方法，这样求N 就比较方便．但应注意这种放大必须“适当”，以根据给定的E 能确定出N ．又(3)式给出的N 不一定是正整数．一般地，在定义1中N 不一定限于正整数，而只要它是正数即可．例4 证明nn q ∞→lim =0，这里||q <1．证 若q =0，则结果是显然的．现设0<||q <1．记1||1-=q h ，则h >0．我们有,)1(1|||0|nn n h q q +==-并由≥+nh )1(1+nh 得到.111||nhnh q n <+≤)4(对任给的,0>ε只要取,1h N ε=则当N n >时，由（4）式得.|0|ε<-nq 这就证明了0lim =∞→nn q .注 本例还可利用对数函数x y lg =的严格增性来证明(见第一章§4例6的注及(2)式)，简述如下：对任给的ε>0(不妨设ε<1)，为使ε<=-n nq q |||0|，只要εlg ||lg <q n 即||lg lg q n ε> （这里也假定).1||0<<q于是，只要取||lg lg q N ε=即可。
第二章 数列极限
a { ([ a ] 1) N
三 数列极限定义的几何意义
a
x2 x N 1
2
a
a
x N 2 x3
x
当 n N 时 , 所 有 的 点 xn 都 落 在 ( a , a )内, 只 有 有 限 个 (至 多 只 有 N 个 ) 落 在 其 外 . 数列极限定义的等价定义： 定 义 1： 若 对 0， 数 列 { x n }中 落 在 U ( a ; ) 之 外 的 点 顶 多 只 有 有 限 个 ， 则 称 { x n }收 敛 于 a .
n
n 3
例4
证 明 lim q 0, 其 中 q 1 .
n n n n n
证 法 一 ： 当 q 0 时 ， q 0， 显 然 lim q 0 . 当 q 0 时 ， 由 于 | q | 1， 故 可 令 则 | q |
n
1 |q|
1 h ( h 0 ),
正 整 数 k 满 足 k 1 | a | k ， 事 实 上 ， k [| a |] 1, 于是 | a
n
0 | |a|
|a| n!
k
n
| a | | a | | a | | a | 1 2 k n
K
|a| n
,
n! 其中 K
1 n
1
1
] 1, 则 当 n N 时 ， 便 有
1 N
,
即|
1 n
0 | .
这就证明了
lim
1 n
n
0.
例3
证 明 lim
微积分第2章极限与连续
2. 用定义只能验证极限，不能求极限.
第二章 极限与连续
7
三、数列极限的运算法则 (课本p.66§2.5 )
定理 设
则
会应用
证明
特别地，
第二章 极限与连续
8
例2 求极限：
注意: 极限四则运算只适用于 有限项运算，且各项极限存在!
(上下同除以n3)
例3 设函数
(先求括号内各项之和)
，求极限 (考研题)
例4 证明方程 x3 - 4x2 + 1=0 在 (0,1) 内至少有一个根.
函数极限的计算方法
1. 图像观察 2. 按定义验证 3. 四则运算（拆分后各部分极限应存在） 4. 夹逼准则 5. 两个重要极限及其应用 6. 无穷小、无穷大的性质 7. 无穷小等价代换 8. f 在连续点 x0 处的极限为 f(x0) 9. 多重复合函数，遇连续函数，极限符号可向内移位 10. 变量替换
例2 比较 x→0 时下列各无穷小量的阶：
1) sinx 与 x, tanx 与 x；
等价
2)
与 x；
同阶
3)
与 x (x→0+) ；
4) 1-cos x 与 x2/2；
等价
x→0 时常用等价无穷小量
要记
x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln(1+x) ~ ex -1
一、无穷小量 二、无穷大量 三、无穷小量的阶 四、无穷小量等价代换
一、无穷小量
定义 若
，则称 f(x) 为当x→X 时的无穷小量.
若 f(x) 在 X 某邻域内有界，则称 f(x) 为x→X 时的有界量.
例: x2, sinx, 0 是 x→0 时的无穷小量；
第二章 数列极限
几何解释:
a
x2 x1 x N 1
2
a
x N 2 x3
a
x
当n N时, 所有的点 x n都落在 (a , a )内, 只有有限个 (至多只有N个) 落在其外.
an a 只须证明 注意3： 证明极限 lim n
n
a 1 n 取N , 则当 n N 时 , 有 a 1 .
故
n
lim
n
a 1
(其中a 1).
1 1 n (3) 设 0 < a < 1, 则 1, 由(2)知 lim 1. n a a
即 >0, N, 当n>N时, 有
3n 2 3 由定义 lim 2 n n 4
适当予先限定n＞n0是允许的！但最后取N时要保证n＞n0
例5 证明 lim q n 0, 其中 q 1.
n
n 则 lim q lim 0 0; 若 q 0 , 任给 0 , 证 n n
若0 q 1,
n
例如
nn 1 n 1 n 1 1 1 n n ( ( 1 ) 1 ) lim lim lim 1 lim n n 00 lim lim 1 1 n n 1 n n 1 n n 22 n n nn
小结 (1), 数列极限的定义; (2), 数列极限的几何意义; (3), 应用数列极限的定义证明数列极限的方法.
作业
P27: 1, 2, 3, 5.
0, N N , n N
有
an a
“ 0 ”是证题者给出的，给出 之后，要找
04[1].数列极限
![04[1].数列极限](https://img.taocdn.com/s3/m/d9312343a8956bec0975e3cf.png)
n2 − n − 1 1 n + 1 自然放大 3n 1 1 = < <ε . xn − a = − = 2 < 2 3n n N 3n2 3 3n n2 − n −1 1 根据数列极限定义知， lim = . 2 n → +∞ 3 3n
2n 30 − n − 1 （4）证明： lim 30 =2 . n → +∞ n − 3n + 1
N ⋅ lg q < lg ε
q −0
n
lg ε ⇔ N > >0 lg q
N
则当 n > N 时，有：
= q
n
< q
<ε .
在根据数列定义论证 lim xn = a 时 ，需要对给定的 ε > 0 ,
n → +∞
找出合适的序号 N > 0 ; 这个过程其实不必等价 于在 n > N 条件下求解相应的不等 式 :
1 + (−1) n (3) { xn = } n
数列 (3) 中的通项 x n ，随着 n 无限制的增大 ， 仍有一 个 无限制地趋近数零的变化趋势 ；
1 + (−1) n (4) { xn = ⋅n } 2
数列 (4) 中的通项 x n ，随着 n 无限制的增大 ， 没有一 个 明确向某个数无限接近的变化趋势 ；
几个已知极限值的数列极限： 几个已知极限值的数列极限：
1 lim C = C , C 为常数 ； lim = 0 , n →+∞ n →+∞ n lim q n = 0 , q <1 .
n →+∞
3n 3 − 2n + 1 计算数列极限： lim . 3 2 n → +∞ n +n 3n 3 − 2n + 1 2 1 3− 2 + 3 3 3n 3 − 2n + 1 n n n 解： lim = lim = lim n → +∞ n → +∞ n →+∞ n3 + n2 n3 + n2 1 1+ 3 n n 1 1 1 1 1 3− 2⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ n n n n n = lim n → +∞ 1 1+ n 1 1 1 1 1 3 − 2 ⋅ lim ⋅ lim + lim ⋅ lim ⋅ lim n →+∞ n n → +∞ n n → +∞ n n →+∞ n n → +∞ n = 1 1 + lim n →+∞ n 3 − 2 ⋅ 0 2 + 03 = =3 . 1+ 0
数学分析课件之第二章数列极限
02
数列极限的运算性质
数列极限的四则运算性质
01
02
03
04
加法性质
若$lim x_n = a$且$lim y_n = b$，则$lim (x_n + y_n) =
a + b$。
减法性质
若$lim x_n = a$且$lim y_n = b$，则$lim (x_n - y_n) =
a - b$。
数列极限的性质
总结词
数列极限具有一些重要的性质，如唯一性、收敛性、保序性等。
详细描述
数列极限具有一些重要的性质。首先，极限具有唯一性，即一个数列只有一个极限值。其次，极限具有收敛性， 即当项数趋于无穷时，数列的项逐渐接近极限值。此外，极限还具有保序性，即如果一个数列的项小于另一个数 列的项，那么它们的极限也满足这个关系。
指数性质
若$lim x_n = a$且$0 < |a| < 1$ ，则$lim a^{x_n} = 1$。
幂运算性质
若$lim x_n = a$，则$lim x_n^k = a^k$（其中$k$为正整数）。
数列极限的运算性质在数学中的应用
解决极限问题
利用数列极限的运算性质，可以 推导和证明一系列数学定理和公 式，如泰勒级数、洛必达法则等
无穷小量是指在某个变化过程中，其 值无限趋近于0的变量。
性质
无穷小量具有可加性、可减性、可乘 性和可除性，但不可约性。
无穷大量的定义与性质
定义
无穷大量是指在某个变化过程中，其值无限增大的变量。
性质
无穷大量具有可加性、可减性、可乘性和可除性，但不可约性。
无穷小量与无穷大量的关系
1 2
无穷量是无穷大量的极限状态
第二章 数列极限
数列极限：设是一数列，如果存在常数a ，当n 无限增大时，n a 无限接近（或趋近）于a ，则称数列收敛，a 称为数列的极限，或称数列收敛于a ，记为lim n →∞n a =0a 或：n a →a ，当n→∞。
数列极限的ε-N 定义设{n a }是一个数列，a 事一个确定的数，若∀ε＞0，存在自然数N 使得当n ＞N 时，就有│n a -a │＜ε，则称数列n a 收敛于a ，a 称为它的极限，记作lim n →∞n x = a 或n x →a （n→∞） 读作：“当n 趋于无穷大时，n a 的极限等于a ”或“当n 趋于无穷大时，n a 趋于a ”。
lim 为拉丁文limes 一词的前三个字母，也有说成是英文limit 一词的前三个字母的。
若数列{n a }没有极限，则称这个数列不收敛或称它为发散数列。
数列极限的性质：1.唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的；2.有界性：如果一个数列收敛（有极限），那么这个数列有界。
但是，如果一个数列有界，这个数列未必收敛。
3.保号性：如果一个数列{n x }收敛于a ，且a>0（或a<0)，那么存在正整数N ，当n>N 时，都有n x >0(或n x <0)。
4.改变数列的有限项，不改变数列的极限。
2．数列极限的方法探求2.1几个常用数列的极限：求解策略：熟记常见极限的结论，如101101lim k k k k k k k n kk k a n a n a a b b n b n b ---→∞-+++=+++lim n C C→∞=lim 0n n q →∞=（│q│<1）,1lim 1nn e n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭2.2利用定积分求数列极限通项中含有n!的数列极限，由于n!的特殊性，直接求非常困难，而转化为定积分来求救相对容易了。
例 求222211122lim arctan arctan ...arctan x n n n n n n n n n →∞⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦解 将1n提出，则原和式可改写为 11122arctan arctan ...arctan n n n X n n n n n n n ⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦它可以看作是函数arctan x x 在区间[]0,1上的积分和，所采用的是n 等分[]0,1区间，并且在每个小区间上均取右端函数值。
第二章 数列极限
注 5 “ ε − N ”定义的否定叙述： lim an ≠ a ⇔ ∃ε 0 > 0 ， ∀N ∈ N * ， ∃n0 > N 使
an0 − a ≥ ε 0 。
按定义验证 lim an ≠ a 的关键是求出不等式组（视 N 为定数，视 n 0 、 ε 0 为待求数）
n →∞
n0 > N ， an0 − a ≥ ε 0
显然看出 lim
n →∞
。 关） ，使 an0 − a ≥ ε 0 ” 验证分析：取 ε 0 =
1 ， 200
an0 − a ≥ ε 0 ； an0 − a ≥ ε 0 ； an0 − a ≥ ε 0 ；
对 N = 1 ， ∃ n0 = 201 > N ⇒ 对 N = 10 ， ∃ n0 = 210 > N ⇒
定义 1*： lim an = a ⇔ ∀ε > 0 ，在区间 ( a − ε , a + ε ) 之外至多有 {an } 的有限项。
n →∞
lim an ≠ a ⇔ ∃ ε 0 > 0 ，在区间 (a − ε 0 , a + ε 0 ) 之外有 {an } 的无限项。
n →∞
四
收敛与发散的概念
数列{ an }收敛 ⇔ { an }存在有限极限；
( a − ε , a + ε ) 之外至多有 {an } 的有限项，则称 {an } 收敛于 a ，记作 lim an = a 。
n →∞
注 2 在区间 ( a − ε , a + ε ) 之外至多有 {an } 的有限项 ⇔ ∃N , ∀n > N ，有 an − a < ε 。 事实上： “⇐” 已知 ∃N ，∀n > N 有 a − ε < an < a + ε ，这说明在区间 ( a − ε , a + ε ) 之外至多
第二章数列极限
(1解：(1 )对知=0.1, a n -0 =<-：0.1 取 N =20 n(2)对 名2 = 0.01, a n —0 兰一£ 0.01， (3) £3=0.0014-0 n2< —n：：取 N 2 =200取 N 3=2000必有n+12n 3n5n 2n 2_5_ _ 2n芒(n 1)nVs >0,取NT1,3｝，一n N ，有3n 2 n 3 2n 2-12 3< —<z n。
所以 第二章数列极限§ 1•数列极限概念1•设 an=^1；n"2,…，a"n对下列；分别求出极限定义中相应的N , ；1 =0.1,辽=0.01, ；3 =0.001；对1, ；2, 3可找到相应的 N ,这是否证明了 a n 趋于0?应该怎样做才对:对给定的；是否只能找到一个 N ?2•按；-N 定义证明:(1)lim 」1n¥ n +13n 2+n(2) lim 2 ------------i2 n -1证：因为3n 2+ n lim 2---------------------------------n—'2n -1证：因J-11 —:::-以一；• 0,取 Nn2(n 2n 2-1)n!(3)n my0；n!n (n -1)川 2 1n nn 「川 n n 证: n! n n 1 1 _ 一，- ； • 0,取N =[ 一]当 n ；n • N 时，有1 n! 订」代y 0n ‘： n (4) lim sin — =0. n Y nJI sin — -0 ___JI sin — 证：因为 n n JI< —nN是一；•0,取71；,_ n ■ N ,必有Jisin — -0 nTt <—< Sn 兀lim sin — = 0。
所以n厂 n(5) lim 冷=0(a 1). n Y a n 证：：a h 令宀0）,…八1 n 咛）・2 ＞咛2(n -1)' 2 2 ::;,n 1 2，一 ； 0,取N =[1 亍]，当 n N 时, 8/L 8/L (n -1)，2； ■ lim 2 =0 n .；：a n 3•根据例 2,例4和例5的结果求出下列极限，并指出那些是无穷小数列: (1)lim(2)lim n 3 (3)i im V (4)n im :?n— n(5) lim — !- n *(6) lim n 10n L :(7)lim -15昭1 lim - n厂.n 1=lim —r =0 n —■1 a —— （用例2的结果，2 ），无穷小数列。