1033导数的应用
教学设计3：1.3.3导数的实际应用
1.3.3 导数的实际应用教学目标1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题． 知识链接知识点 生活中的最优化问题 1．最优化问题的概念在经济生活中，为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略．这些都是最优化问题． 2．解决最优化问题的基本步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )． (2)求导函数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0.(3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值的大小，最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．(4)依据实际问题的意义给出答案． 题型探究类型一 平面几何中的最值问题例1 如图所示，在二次函数f (x )＝4x －x 2的图象与x 轴所围成图形中有一个内接矩形ABCD ，求这个矩形面积的最大值．解 设点B 的坐标为(x,0)，且0<x <2， ∵f (x )＝4x －x 2图象的对称轴为x ＝2， ∴点C 的坐标为(4－x,0)， ∴|BC |＝4－2x ，|BA |＝f (x )＝4x －x 2.∴矩形面积为y ＝(4－2x )(4x －x 2)＝16x －12x 2＋2x 3， ∴y ′＝16－24x ＋6x 2＝2(3x 2－12x ＋8)， 令y ′＝0，解得x ＝2±233，∵0<x <2，∴x ＝2－233.∵当0<x <2－233时，y ′>0，函数为单调增函数；当2－233<x <2时，y ′<0，函数为单调减函数，∴当x ＝2－233时，矩形面积取到最大值y max ＝3293.反思与感悟 平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值． 跟踪训练1 某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场．如图，圆形广场的圆心为O ，半径为100 m ，并与北京路一边所在直线l 相切于点M .点A 为上半圆弧上一点，过点A 作l 的垂线，垂足为点B .市园林局计划在△ABM 内进行绿化．设△ABM 的面积为S (单位：m 2)，∠AON ＝θ(单位：弧度)．(1)将S 表示为θ的函数；(2)当绿化面积S 最大时，试确定点A 的位置，并求最大面积．解 (1)由题干图知BM ＝AO sin θ＝100sin θ，AB ＝MO ＋AO cos θ＝100＋100cos θ， 则S ＝12MB ·AB ＝12×100sin θ×(100＋100cos θ)＝5 000(sin θ＋sin θcos θ)，θ∈(0，π)．(2)S ′＝5 000(2cos 2θ＋cos θ－1) ＝5 000(2cos θ－1)(cos θ＋1)．令S ′＝0，得cos θ＝12或cos θ＝－1(舍去)，此时θ＝π3.所以当θ＝π3时，S 取得最大值，S max ＝3 750 3 m 2，此时AB ＝150 m ，即点A 到北京路一边l 的距离为150 m.类型二 立体几何中的最值问题例2 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为64π3 立方米．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱体部分每平方米建造费用为3千元，半球体部分每平方米建造费用为4千元．设该容器的总建造费用为y 千元．(1)将y 表示成r 的函数，并求该函数的定义域；(2)确定r 和l 为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用．解 (1)因为容器的体积为64π3 立方米，所以4πr 33＋πr 2l ＝64π3，解得l ＝643r 2－4r 3.所以圆柱的侧面积为2πrl ＝2πr ⎝⎛⎭⎫643r 2－4r 3＝128π3r －8πr 23，两端两个半球的表面积之和为4πr 2. 所以y ＝⎝⎛⎭⎫128π3r －8πr 23×3＋4πr 2×4 ＝128πr＋8πr 2.又l ＝643r 2－4r3>0⇒0＜r <432，所以定义域为(0,432)．(2)因为y ′＝－128πr 2＋16πr ＝16π(r 3－8)r 2，所以令y ′>0，得2<r <432； 令y ′<0，得0<r <2.所以当r ＝2 米时，该容器的建造费用最小，为96π千元，此时l ＝83米．反思与感悟 (1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，在此基础上解决与实际相关的问题．(2)解决立体几何中的最值问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程． 跟踪训练2 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P －A 1B 1C 1D 1，下部的形状是正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O 1O 是正棱锥的高PO 1的4倍．(1)若AB ＝6 m ，PO 1＝2 m ，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m ，则当PO 1为多少时，仓库的容积最大？ 解 (1)由PO 1＝2 m 知，O 1O ＝4PO 1＝8 m. 因为A 1B 1＝AB ＝6 m ，所以正四棱锥P －A 1B 1C 1D 1的体积V 锥＝13·A 1B 21·PO 1＝13×62×2＝24(m 3)； 正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积 V 柱＝AB 2·O 1O ＝62×8＝288(m 3)．所以仓库的容积V ＝V 锥＋V 柱＝24＋288＝312(m 3)． (2)设A 1B 1＝a m ，PO 1＝h m ， 则0<h <6，O 1O ＝4h m ．连接O 1B 1.因为在Rt △PO 1B 1中，O 1B 21＋PO 21＝PB 21，所以⎝⎛⎭⎫2a 22＋h 2＝36， 即a 2＝2(36－h 2)．于是仓库的容积V ＝V 柱＋V 锥＝a 2·4h ＋13a 2·h ＝133a 2h ＝263(36h －h 3)，0<h <6，从而V ′＝263(36－3h 2)＝26(12－h 2)． 令V ′＝0，得h ＝23或h ＝－23(舍)． 当0<h <23时，V ′>0，V 是单调增函数； 当23<h <6时，V ′<0，V 是单调减函数． 故当h ＝23时，V 取得极大值，也是最大值． 因此，当PO 1＝2 3 m 时，仓库的容积最大． 类型三 实际生活中的最值问题 命题角度1 利润最大问题例3 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎨⎧10.8－130x 2，0<x ≤10，108x －1 0003x 2，x >10.(1)求年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出解 (1)当0<x ≤10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝8.1x －x 330－10；当x >10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝98－1 0003x－2.7x .所以W ＝⎩⎨⎧8.1x －x 330－10，0<x ≤10，98－1 0003x－2.7x ，x >10.(2)当0<x ≤10时，由W ′＝8.1－x 210＝0，得x ＝9，当x ∈(0,9)时，W ′>0，当x ∈(9,10)时，W ′<0， 所以当x ＝9时，W 取得最大值， 且W max ＝8.1×9－130×93－10＝38.6，当x >10时，W ＝98－⎝⎛⎭⎫1 0003x ＋2.7x ≤98－21 0003x×2.7x ＝38， 当且仅当1 0003x ＝2.7 x ，即x ＝1009时，W max ＝38，综上可得，当x ＝9时，W 取得最大值38.6.故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元．反思与感悟 解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有 (1)利润＝收入－成本．(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．跟踪训练3 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知当销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解 (1)因为当x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y ＝2x －3＋10(x －6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润为 f (x )＝(x －3)⎣⎡⎦⎤2x －3＋10(x －6)2＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6.从而f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (3,4) 4 (4,6) f ′(x ) ＋ 0 － f (x )单调递增极大值42单调递减由上表可知，x ＝4是函数f (x )在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点． 所以当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大． 命题角度2 费用(用材)最省问题例4 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A 处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km 的B 处，乙厂到河岸的垂足D 与A 相距50 km ，两厂要在此岸边合建一个供水站C ，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为3a 元/km 和5a 元/km ，问供水站C 建在岸边何处才能使水管费用最省？解 如图，由题意知，只有点C 位于线段AD 上某一适当位置时，才能使总费用最省， 设点C 距点D 为x km ，则BC ＝BD 2＋CD 2＝x 2＋402，又设总的水管费用为y 元，依题意有y ＝3a (50－x )＋5a x 2＋402(0<x <50)． ∴y ′＝－3a ＋5axx 2＋402.令y ′＝0，解得x ＝30，在(0,50)上，y 只有一个极值点，根据问题的实际意义，函数在x ＝30 km 处取得最小值，此时AC ＝50－x ＝20 (km)． ∴供水站建在A ，D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省．反思与感悟 (1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f ′(x )＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．跟踪训练4 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k 3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值． 解 (1)由题设，每年能源消耗费用为C (x )＝k3x ＋5，再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5，而建造费用为C 1(x )＝6x .因此得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)． (2)f ′(x )＝6－ 2 400(3x ＋5)2.令f ′(x )＝0，即 2 400(3x ＋5)2＝6，解得x ＝5，x ＝－253(舍去)．当0<x <5时，f ′(x )<0；当5<x <10时，f ′(x )>0，故当x ＝5时，f (x )取到最小值，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70.答 当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值70万元. 达标检测1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为( ) A ．4 B ．6 C ．4.5 D ．8 【答案】A【解析】设底面边长为x ，高为h ，则V (x )＝x 2·h ＝256，∴h ＝256x2.∴S (x )＝x 2＋4xh ＝x 2＋4x ·256x 2＝x 2＋1 024x ，∴S ′(x )＝2x －1 024x 2.令S ′(x )＝0，解得x ＝8，判断知当x ＝8时，S (x )取得最小值．∴h ＝25682＝4.2．某产品的销售收入y 1(万元)是产品x (千台)的函数，y 1＝17x 2；生产总成本y 2(万元)也是x 的函数，y 2＝2x 3－x 2(x >0)，为使利润最大，应生产( ) A ．9千台 B ．8千台 C ．6千台 D ．3千台【答案】C【解析】构造利润函数y ＝y 1－y 2＝18x 2－2x 3(x >0)，y ′＝36x －6x 2，由y ′＝0，得x ＝6(x ＝0舍去)，x ＝6是函数y 在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点．3．将一段长100 cm 的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆形，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为________ cm. 【答案】100π4＋π【解析】设弯成圆形的一段铁丝长为x ，则另一段长为100－x . 设正方形与圆形的面积之和为S ，则正方形的边长a ＝100－x 4，圆的半径r ＝x2π.故S ＝π⎝⎛⎭⎫x 2π2＋⎝⎛⎭⎫100－x 42(0<x <100)． 因此S ′＝x 2π－252＋x 8＝x 2π－100－x 8，令S ′＝0，则x ＝100π4＋π.所以在(0,100)内，函数只有一个导数为0的点，问题中面积之和的最小值显然存在，故当x ＝100π4＋πcm 时，面积之和最小． 4．某厂生产某种产品x 件的总成本(单位：元)为C (x )＝1 200＋275x 3，且产品单价的平方与产品件数x 成反比，若生产100件这样的产品，单价为50元，则要使总利润最大，产量应 定为________件． 【答案】25【解析】设产品单价为a 元，因为产品单价的平方与产品件数x 成反比，即a 2x ＝k (k 为比例系数)．由题意知，k ＝250 000， 则a 2x ＝250 000，所以a ＝500x .设总利润为y 元，则y ＝500x －275x 3－1 200(x >0)，则y ′＝250x －225x 2，由y ′＝0，得x ＝25， 当x ∈(0,25)时，y ′>0， 当x ∈(25，＋∞)时，y ′<0， 所以当x ＝25时，y 取得最大值．故要使总利润最大，产量应定为25件．5．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1(单位：万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2(单位：万元)与到车站的距离成正比．如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处． 【答案】5【解析】依题意可设每月土地占用费y 1＝k 1x (k 1>0)，每月库存货物的运费y 2＝k 2x (k 2>0)，其中x 是仓库到车站的距离(单位：千米)， 于是由2＝k 110，得k 1＝20；由8＝10k 2，得k 2＝45.因此两项费用之和为y ＝20x ＋4x 5，y ′＝－20x 2＋45.令y ′＝0，得x ＝5(x ＝－5舍去)，此点即为最小值点． 故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．。
导数表大全高等数学
导数表大全高等数学导数是高等数学中一个重要的概念，它在实际问题中有广泛的应用。
在求解实际问题时，我们通常需要根据问题的特点寻找合适的导数公式，进而求解问题。
以下是一些常见的导数公式和应用:1. 基本导数公式：- y" = lim(Δx→0) [f(x+Δx) - f(x)] / Δx- y"" = lim(Δx→0) [f"(x+Δx) - f"(x)] / Δx(x 是导数的定义)2. 三角函数的导数公式：- sin x" = cos x- cos x" = - sin x- tan x" = cot x- cot x" = - tan x- csc x" = 1/sin x- 1/sin x" = csc x3. 指数函数的导数公式：- a^x" = a^x *ln(a) + C(C 是常数)4. 对数函数的导数公式：- (ln x)" = dxn/dx(x是自然对数的底数)- (log x)" = (ln x)" / x(x 是自然对数的底数)5. 反函数的导数公式：- f^{-1}(x)" = f"(f^{-1}(x)) / f"(x)(x 是函数的反函数)6. 二次函数的导数公式：- 二次函数 y = ax^2 + bx + c 的导数为:y" = 2ax + b(x 是二次函数的导数定义)7. 其他函数的导数公式：- 幂函数 y = x^a 的导数为:y" = ax^(a-1)- 递归函数 y = f(f(x)) 的导数为:y" = f"(x)(x 是递归函数的定义)- 对数函数的导数公式 (2)- 指数函数的导数公式 (2)在实际问题中，我们可以根据问题的特点选择合适的导数公式，进而求解问题。
(整理)导数应用的题型与解题方法.
导数应用的题型与解题方法一、专题概述导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。
在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面:1．导数的常规问题：（1）刻画函数（比初等方法精确细微）；（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于n 次多项式的导数问题属于较难类型。
2．关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。
3．导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。
二、知识整合1．导数概念的理解．2．利用导数判别可导函数的极值的方法及求一些实际问题的最大值与最小值．复合函数的求导法则是微积分中的重点与难点内容。
课本中先通过实例，引出复合函数的求导法则，接下来对法则进行了证明。
3．要能正确求导，必须做到以下两点：（1）熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则，复合函数的求导法则。
（2）对于一个复合函数，一定要理清中间的复合关系，弄清各分解函数中应对哪个变量求导。
4．求复合函数的导数，一般按以下三个步骤进行：(1）适当选定中间变量，正确分解复合关系；（2）分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）；（3）把中间变量代回原自变量（一般是x ）的函数。
也就是说，首先，选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系y=f(μ)，μ=f(x)；然后将已知函数对中间变量求导)'(μy ，中间变量对自变量求导)'(x μ；最后求x y ''μμ⋅，并将中间变量代回为自变量的函数。
整个过程可简记为分解——求导——回代。
熟练以后，可以省略中间过程。
若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。
三、例题分析例1．⎩⎨⎧>+≤==11)(2x b ax x x x f y 在1=x 处可导，则=a =b 思路：⎩⎨⎧>+≤==11)(2x bax x x x f y 在1=x 处可导，必连续1)(lim 1=-→x f xb a x f x +=+→)(l i m 1 1)1(=f ∴ 1=+b a2lim 0=∆∆-→∆x y x a xyx =∆∆+→∆0lim ∴ 2=a 1-=b例2．已知f(x)在x=a 处可导，且f ′(a)=b ，求下列极限：（1）hh a f h a f h 2)()3(lim 0--+→∆； （2）h a f h a f h )()(lim 20-+→∆分析：在导数定义中，增量△x 的形式是多种多样，但不论△x 选择哪种形式，△y 也必须选择相对应的形式。
高中数学第三章导数及其应用3.3导数的应用3.3.3导数的实际应用预
高中数学第三章导数及其应用3.3导数的应用3.3.3导数的实际应用预。
内部文件，版权追溯内部文件，版权追溯内部文件，版权追溯3.3.3 导数的实际应用预习导航课程目标 1.通过实例了解利用导数解决实际问题中的最优化问题的步骤． 2．会利用导数解决某些实际问题. 1．最优化问题在经济生活中，人们经常遇到最优化问题．例如，为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，这些都是最优化问题．导数是解决这类问题的方法之一．2．解决优化问题的基本思路学习脉络思考利用导数解决生活中优化问题的一般步骤有哪些？提示：(1)函数建模，细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系式y＝f(x)；(2)确定定义域，一定要从问题的实际意义去考察，舍去没有实际意义的变量的范围；(3)求最值，此处尽量使用导数法求出函数的最值； (4)下结论，回扣题目，给出完整的答案．温馨提示求解应用问题的方法解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情景”译为数学语言．要先找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题，再化归为常规问题，最后选择合适的数学方法求解．对于这类问题，我们往往忽视了数学语言1和普通语言的理解与转换，从而造成了解决应用问题的最大思维障碍．运算不过关，就得不到正确的答案，对数学思想方法不理解或理解不透彻，则找不到正确的解题思路．在此正需要我们依据问题本身提供的信息，利用所谓的动态思维，去寻求有利于问题解决的新的途径和方法，并从中进行一番选择．2感谢您的阅读，祝您生活愉快。
课件10：1.3.3 导数的实际应用
π
2
6
5π
6＝
π
6
π
3－3.
π
因此，所求平面图形的面积为 S－S4＝2－ 3＋3.
专题六 导数的实际应用
导数作为工具，应用广泛，许多有关方程、不等式、
数列、几何的问题都可转化为函数问题，运用导数
处理．
例 4 已知某公司生产的品牌服装的年固定成本为 10 万
元，每生产 1 千件，需要另外投入 1.9 万元，设 R(x)(单位：
出单调区间，然后再利用函数的有关知识解决．
专题5 定积分的应用
用定积分求某些平面图形的面积是定积分的一个重要应用．
一般来说，利用定积分求平面图形面积的步骤基本如下：
(1)根据已知条件作出区域草图；
(2)通过图形直接判断或解联立方程组，求出曲线交点，
确定积分上限和下限；
(3)确定被积函数；
(4)根据图形的形状用定积分计算所求区域的面积．
线变化规律的一个应用，它充分体现了数形结合思
想．在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函
数的定义域，解决问题的过程中，只能在定义域内，通
过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．
1
例 2 求函数 f(x)＝lnx－4(x－1)2－x 的单调区间．
解：由已知得函数的定义域为(0，＋∞)．
1
1 2 1 1
讨论f(1)和f(－1)是函数f(x)的极大值还是极小值．
解：f′(x)＝3ax2＋2bx－3.
因为在 x＝±1 处，函数取得极值，
所以 f′(1)＝0，f′(－1)＝0，
3a＋2b－3＝0，
即
解得 a＝1，b＝0.
3a－2b－3＝0，
所以 f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)．
高中数学第四章导数应用4.2.2最大值、最小值问题(二)课件北师大版选修11
(2)f′(x)＝6－（32x4＋050）2＝54x（＋323x5＋（5）x－2 5），令 f′(x)＝0
得 x＝5，x＝－235(舍去)，当 x∈[0，5)时，f′(x)<0；当 x ∈(5，10]时，f′(x)>0，故 x＝5 时，f(x)取得最小值，且最 小值 f(5)＝6×5＋1850＋05＝70.因此当隔热层修建 5 cm 厚时， 总费用达到最小，且最小值为 70 万元．
当 r∈(5，5 3)时，V′(r)<0，故 V(r)在(5，5 3)上为减函数．
由此可知，V(r)在 r＝5 处取得最大值，此时 h＝8.
即当 r＝5，h＝8 时，该蓄水池的体积最大．
1.将一段长为100 cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一
段弯成圆，怎样截可使正方形与圆的面积之和最小？
解：设弯成圆的一段长为 x cm，则另一段长为(100－x)cm，
想的应用.
1.利用导数解决优化问题的基本思路
2.导数在不等式问题中的应用 利用导数证明不等式及解决不等式恒成立问题的基 本 思 路 是转化为函数的____最__值_____问题加以解决．
3．求函数最值的方法 一般地，求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的 步 骤 如下： ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较, 其 中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． (1)若函数在闭区间[a，b]上连续单调，则最大、最 小值在 端 点处取得． (2)当连续函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个导数为零的点时, 若在这一点处f(x)有极大值(或极小值),则可以判定f(x) 在该 点 处取得最大值(或最小值),这里(a，b)也可以是无穷区间.
导数的实际应用题典型例题(1)
2019导数的实际应用示例内 容要 求[AB C 导数在实际生活中的应用√1、能用导数方法求解有关利润最大等与最值有关的问题。
2、感受导数在解决实际问题中的作用。
年份2015年2016年2018年考查知识点函数的实际应用，利用导数研究函数的最值。
函数的实际应用，利用导数研究函数的最值。
与立体几何结合。
函数的实际应用，利用导数研究函数的最值。
与三角函数结合 利用导数研究函数的最值是函数模型的一个重要模块，导数是求函数的一种重要工具，对函数的解析式没有特殊的要求，无论解析式是复杂或者简单，与三角函数还是与其他模块的结合都可以运用导数求解，常考的知识点可以与立体几何、三角函数、解析几何等模块结合，这是近几年江苏高考命题的趋势。
在高考复习中要注意以下几点：1、导数的实际应用关键是构建函数模型。
第一步：弄清问题，选取自变量，确立函数的取值范围；第二步：构建函数，将实际问题转化为数学问题；第三步：解决构建数学问题；第四步：考纲要求近五年高考情况分析考点总结将解出的结果回归实际问题，对结果进行取舍。
2、在建立函数模型时，要注意函数的定义域，要积累常见函数模型如分式函数、三次函数、三角函数等知识点模块的结合。
1、某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5km和40km，点N到l1，l2的距离分别为20km和2.5km，以l2，l1所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y ＝ax2＋b(其中a，b为常数)模型．(1) 求a，b的值；(2) 设公路l与曲线C相切于点P，P的横坐标为t.①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．五年高考真题2、现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111P A B C D -，下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -(如图所示)，并要求正四棱柱的高1OO 是正四棱锥的高1PO 的4倍.（1）若16m,2m,AB PO ==则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m ，则当1PO 为多少时，仓库的容积最大？3、某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆的一段圆弧（为此圆弧的中点）和线段构成．已知圆的半径为40米，点到的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚内的地块形状为矩形，大棚内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设与所成的角为．（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；（2）若大棚内种植甲种蔬菜，大棚内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．题型一与函数有关的最值问题1、如图，半圆AOB是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径OA的长为1百米．为了保护景点，基地管理部门从道路l上选取一点C，修建参观线路C-D-E-F，且CD，DE，EF 均与半圆相切，四边形CDEF是等腰梯形．设DE＝t百米，记修建每1百米参观线路的费用为()f t万元，经测算1503 ()118 2.3tf ttt⎧<⎪=⎨⎪-<<⎩，，≤，（1）用t表示线段EF的长；（2）求修建该参观线路的最低费用. 三年模拟试题2、下图（I）是一斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图（II）所示的数学模型．索塔AB，CD与桥面AC均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60m，桥面AC上一点P到索塔AB，CD距离之比为21:4，且P对两塔顶的视角为135．（1）求两索塔之间桥面AC的长度；（2）研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比（比例系数为正数a），且与该处到索塔的距离的平方成反比（比例系数为正数b）．问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值．3、某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场调研发现以下规律：当每台净化器的利润为x(单位：元，x>0)时，销售量q(x)(单位：百台)与x的关系满足：若x不超过20，则q(x)＝1260x＋1；若x大于或等于180，则销售量为零；当20≤x≤180时，q(x)＝a－b x(a，b为实常数)．(1) 求函数q(x)的表达式；(2) 当x为多少时，总利润(单位：元)取得最大值，并求出该最大值．4、经市场调查，某商品每吨的价格为x(1<x<14)百元时，该商品的月供给量为y 1吨，y 1＝ax ＋72a 2－a(a>0)；月需求量为y 2万吨，y 2＝－1224x 2－1112x ＋1，当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量；当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量，该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积．(1) 若a ＝17，问商品的价格为多少时，该商品的月销售额最大？(2) 记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格，若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，求实数a 的取值范围．题型二 与平面或空间几何体有关的最值问题1、有一矩形硬纸板材料(厚度忽略不计)，一边AB 长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD(如图甲所示)，再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好．．能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒(如图乙所示，重叠部分忽略不计)，其中OEMF 是以O 为圆心、∠EOF ＝120°的扇形，且弧EF ︵，GH ︵分别与边BC ，AD 相切于点M ，N.(1) 当BE 长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；(2) 当BE 的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？,甲),乙)2、在一张足够大的纸板上截取一个面积为3 600平方厘米的矩形纸板ABCD ，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒(如图)．设小正方形边长为x 厘米，矩形纸板的两边AB ，BC 的长分别为a 厘米和b 厘米，其中a≥b.(1) 当a ＝90时，求纸盒侧面积的最大值；(2) 试确定a ，b ，x 的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．题型三 与三角函数有关的问题1、17.如图，是一个扇形花园，已知该扇形的半径长为400米，2AOB π∠=，且半径OC 平分AOB ∠．现拟在OC 上选取一点P ，修建三条路PO ,PA ,PB 供游人行走观赏，设PAO α∠=． （1）将三条路PO ,PA ,PB 的总长表示为α的函数()l α，并写出此函数的定义域； （2）试确定α的值，使得()l α最小．2、如图，已知A，B两镇分别位于东西湖岸MN的A处和湖中小岛的B处，点C在A的正西方向1 km处，tan∠BAN＝34，∠BCN＝π4.现计划铺设一条电缆连通A，B两镇，有两种铺设方案：①沿线段AB在水下铺设；②在湖岸MN上选一点P，先沿线段AP在地下铺设，再沿线段PB在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元km、4万元km.(1) 求A，B两镇间的距离；(2) 应该如何铺设，使总铺设费用最低？3、如图是一个半圆形湖面景点的平面示意图．已知AB为直径，且AB＝2 km，O为圆心，C为圆周上靠近A 的一点，D为圆周上靠近B 的一点，且CD∥AB.现在准备从A经过C 到D建造一条观光路线，其中A到C是圆弧AC，C到D是线段CD.设∠AOC＝x rad，观光路线总长为y km.(1) 求y关于x的函数解析式，并指出该函数的定义域；(2) 求观光路线总长的最大值．2019 导数的实际应用示例3、能用导数方法求解有关利润最大等与最值有关的问题。
导数的基本公式及运算法则
导数的基本公式及运算法则在数学的广袤天地中，导数无疑是一颗璀璨的明珠，它在众多领域都发挥着至关重要的作用。
无论是研究函数的性质、解决优化问题，还是探索物理世界中的变化规律，导数都提供了强大的工具。
接下来，让我们一同深入了解导数的基本公式及运算法则。
首先，我们来认识一些常见的基本导数公式。
对于常数函数＄C$ ，其导数为＄0$ ，即＄（C)＇＝ 0$ 。
这很好理解，因为常数函数的值是固定不变的，没有任何变化率。
幂函数＄x^n$ （＄n$ 为实数）的导数为＄nx^｛n 1}＄。
例如，＄x^2$ 的导数是＄2x$ ，＄x^3$ 的导数是＄3x^2$ 。
指数函数＄e^x$ 的导数还是它本身，即＄（e^x)＇＝ e^x$ 。
这是指数函数的一个非常独特且重要的性质。
对数函数＄＼ln x$ 的导数为＄＼frac{1}｛x}＄。
正弦函数＄＼sin x$ 的导数是＄＼cos x$ ，余弦函数＄＼cos x$ 的导数是＄＼sin x$ 。
了解了这些基本公式后，我们再来看看导数的运算法则。
加法法则：若＄f(x)＄和＄g(x)＄的导数都存在，那么＄（f(x) ＋g(x)）＇＝ f'（x) ＋ g'（x)＄。
也就是说，两个函数之和的导数等于它们各自导数的和。
减法法则与加法法则类似，＄（f(x) g(x)）＇＝ f'（x) g'（x)＄。
乘法法则：＄（f(x)g(x)）＇＝ f'（x)g(x) ＋ f(x)g'（x)＄。
这个法则相对复杂一些，但通过一些具体的例子就能很好地理解。
比如，若＄f(x) ＝ x^2$ ，＄g(x) ＝ e^x$ ，那么＄f'（x) ＝ 2x$ ，＄g'（x) ＝e^x$ ，＄（x^2e^x)＇＝ 2xe^x ＋ x^2e^x$ 。
除法法则：＄＼left(＼frac{f(x)｝｛g(x)｝＼right)＇＝＼frac{f'（x)g(x) f(x)g'（x)｝｛（g(x)）＾2}＄，其中＄g(x) ＼neq 0$ 。
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1033导数的应用
一、知识回顾
1、函数的单调性
（1）如果非常数函数y =)(x f 在某个区间内可导，那么若)('x f ≥0)(x f ⇔为增函数； 若)('x f ≤0⇔)(x f 为减函数.
（2）若)('x f ≡0则)(x f 为常数函数.
2、函数的极值
（1）极值定义
如果函数)(x f 在点0x 附近有定义，而且对0x 附近的点，都有)(x f <)(0x f 我们就说)(0x f 是函数的一个极大值，记作极大值y =)(0x f ；
)(x f 在点0x 附近的点，都有)(x f >)(0x f 我们就说)(0x f 函数的一个极小值，记作极小值y =)(0x f ；
极大值与极小值统称为极值。
（2）极值判别法
当函数)(x f 在点0x 处连续时，极值判断法是：
如果在0x 附近的左侧)('x f >0，右侧)('x f <0，那么)(0x f 是极大值；
如果在0x 附近的左侧)('x f <0，右侧)('x f >0，那么)(0x f 是极小值。
（3）求可导函数极值的步骤:
① 求导数)('x f ；
②求导数)('x f =0的根；
③列表，用根判断)('x f 在方程根左右的值的符号，确定)(x f 在这个根处取极大值还是取极小值。
3、函数的最大值与最小值
在闭区间[b a ,]上连续，在（b a ,）内可导，)(x f 在[b a ,]上求最大值与最小值的步骤： 先求 )(x f 在（b a ,）内的极值；再将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
特别注意:要注意区分函数最值与极值的区别、联系。
二、基本训练
1．下列说法正确的是………………………………………………………………………（ ）
A .函数的极大值就是函数的最大值
B . 函数的极小值就是函数的最小值
C .函数的最值一定是极值
D .在闭区间上的连续函数一定存在最值
2．函数y =4x 2+x
1的单调增区间为…………………………………………………………（ ） A .(0,+∞) B .(21,∞) C .(―∞,―1) D .(―∞,―2
1) 3．下列说法正确的是 …………………………………………………………………… ( )
A .当f '(x 0)=0时，则f(x 0)为f(x )的极大值
B .当f '(x 0)=0时，则f(x 0)为f(x )的极小值
C .当f '(x 0)=0时，则f(x 0)为f(x )的极值
D .当f(x 0)为函数f(x )的极值时，则有f '(x 0)=0
4．函数y =x 4－8x 2+2在[－1,3]上最大值为………………………………………………( )
A ．11
B ．2
C ．12
D ．10
5.（04年全国卷二.文3）曲线1323+-=x x y 在点)1,1(-处的切线方程为（ ）.
A. 43-=x y
B. 23+-=x y
C. 34+-=x y
D. 54-=x y
6..（04年重庆卷.理14）曲线2212x y -=与2413-=x y 在交点处的切线夹角是 .（以弧度数作答）
练3.（04年湖南卷.文13）过点(1,2)P -且与曲线2342y x x =-+在点(1,1)M 处的切线平行的直线方程是 .
三、例题分析
例1、（2000年全国高考题）设函数f(x)=12+x -ax ，其中a>0，求a 的取值范围，使函数f(x)在区间[0，+∞）上是单调函数
例2、偶函数e dx cx bx ax x f ++++=234)(的图象过点P （0，1），且在x =1处的切线方程为2-=x y ，（1）求)(x f y =的解析式；（2）求)(x f y =的极值。
16．（05福建卷）已知函数b
x ax x f +-=
26)(的图象在点M （－1，f (x )）处的切线方程为x +2y+5=0. （Ⅰ）求函数y=f (x )的解析式；
（Ⅱ）求函数y=f (x )的单调区间.
解：（1）由函数f (x )的图象在点M （－1f (－1)）处的 切线方程为x +2y+5=0，知 .)()6(2)()(.21)1(,2)1(,05)1(212
22b x ax x b x a x f f f f +--+='-=-'-=-=+-+- 即
.),323(;)323,323(;)323,(3
62)(.
0)(,323323;
0)(,323,323,
323,323,06122.)3(6122)()(.3
62)().
1,01(3,222122
222内是减函数在内是增函数在内是减函数在所以时当时或当解得令是所以所求的函数解析式舍去解得+∞++---∞+-=>'+<<-<'+>-<+=-==++-+++-='+-=-=≠+==x x x f x f x x f x x x x x x x x x x f II x x x f b b b a
11. (05全国卷Ⅱ)已知a≥ 0 ，函数f(x) = （ 2x -2ax ）x e
(1) 当X 为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论；
（2）设 f(x)在[ -1，1]上是单调函数，求a 的取值范围.
解：（I ）对函数()f x 求导数得x e a ax x x x f )222()(2--+='
令,0)(='x f 得［2x +2(1－a )x －2a ］x e =0从而2x +2(1－a )x －2a =0
解得 11,112221++-=+--=a a x a a x
当x 变化时，()f x 、'()f x 的变化如下表
12当a ≥0时，1x <－1,2x )(,0x f ≥在()21,x x 上为减函数，在),(2+∞x 上为增函数
而当0<x 时)(x f =0)2(>-x e a x x ，当x=0时，0)(=x f
所以当112++-=a a x 时，)(x f 取得最小值
（II ）当a ≥0时，)(x f 在[]1,1-上为单调函数的充要条件是12≥x
即1112≥++-a a ，解得a 4
3≥ 于是)(x f 在[-1，1]上为单调函数的充要条件是4
3≥a 即a 的取值范围是3[,)4
+∞
例4、已知曲线y =)(x f =611623-+-x x x ，在它对应于x ∈[0，2]的弧段上求一点P ，使得曲线在该点的切线在y 轴上的截距为最小，并求出这个最小值。
例5、设工厂A 到铁路的垂直距离为20km ，垂足为B ，铁路线上距离B100km 的地方有一个原料供应站C ，现在要从BC 中间某处D 向工厂修一条公路，使得原料供应站C 到工厂A 所需运费最省。
问D 应选在何处？已知每一公里的铁路运费与公路运费之比为3：5。
四、作业： 1033导数的应用。