初中几何模型及常见结论的总结归纳
初中数学几何模型总结
01
8字模型（1）角的8字模型
（2）边的8字模型
02
飞镖模型（1）角的飞镖模型
（2）边的的飞镖模型
03
角平分线模型（1）角平分线上的点向两边做垂线
（2）构造对称全等
（3）角平分线+垂线构造等腰三角形（4）角平分线+平行线
04
截长补短模型
05
三垂直全等模型
06
将军饮马模型（1）定直线与两定点
（2）角与定点
（3）两定点与一定长
07 手拉手模型
08 半角模型
09
中点模型
（1）倍长中线与类中线
（2）知等腰三角形底边中点考虑三线合一（3）知等腰三角形一边中点，考虑中位线定理
（4）知直角三边形斜边中点，构造斜边中线
10
圆中辅助线（1）联结半径构造等腰三角形
（2）构造直角三角形
11
相似模型（1）A、8模型
（2）共边共角型
（3）一线三角型
（4）倒数型
（5）与圆有关的简单相似（6）相似与旋转
12
辅助圆（1）共端点，等线段模型
（2）直角三角形共斜边模型
蚂蚁行程。
初中几何模型及常见结论的总结归纳
初中几何模型及常见结论的总结归纳 三角形的概念三角形边、角之间的关系：①任意两边之和大于第三边任意两边之差小于第三边；②三角形内角和为0180外角和为0360；③三角形的外角等于不相邻的两内角和;三角形的三线：1中线三角形的顶点和对边中点的连线;三角形三边中线交于一点重心如图,O 为三角形的重心,重心O 分中线长度之比为1:21:2=OE BO ：；DF EF DE 、、分别为三角形AC AB BC 、、边上的中位线三角形任意两边中点的连线,DE ∥BC 且BC DE 21=; 几何问题中的“中点”与“中线”常常是联系再一起的;因此遇到中点这样的条件或关键词我们可以考虑中线定理与中位线定理进行思考;中线中点的应用：①在面积问题中,中线往往把三角形的面积等分,如果两三角形高相同,我们往往把面积之比转化为底边之比;面积问题转化为线段比的问题如上图,我们可以得到2:1===∆∆∆∆AO OF S S S S ABO BOF ACF ABF ：：，②在涉及中线有关的线段长度问题,我们往往考虑倍长中线;如图,已知AB,AC 的长,求AF 的取值范围时;我们可以通过倍长中线;利用三角形边的关系在三角形ABD 中构建不等关系;AC AB AF AC AB +- 2.2角平分线三角形三内角的角平分线；三角形的三条内角平分线交于一点内心如图,O 为三角形ABC 的内心内切圆的圆心；内心O 到三边的距离相等r OD OF OE ===角平分线的性质定理；090=∠+∠+∠ACO CBO BAO ；ABCABC C S r ∆∆=2ABC S ∆表示ABC ∆的面积,ABC C ∆表示ABC ∆的周长； 关于角平分线角度问题的常见结论：A BOC ∠+=∠21900A BOC ∠-=∠21900 A BOC ∠=∠21 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上; 如图,AD 是三角形ABC 的内角平分线,那么CDBD AC AB =;3垂线三角形顶点到对边的垂线；三角形三条边上的高交于一点垂心如图,O 为三角形ABC 的垂心,我们可以得到比较多的锐角相等如COD ABC ACO ABO ∠=∠∠=∠；等;因此垂线或高这样的条件在题目中出现,我们往往可以得出比较多的锐角相等;等角或同角的余角相等,此外,如果要求垂线段的长度或与垂线段有关的长度问题,我们通常用面积法求解;在上图中,若已知CE AC AB ，，的长度,求BE 的长;特别注意：在等腰三角形中,我们通常所指的三线合一就是指中线、角平分线、高线;三线合一：已知三角形三线中的任意两个条件是重合的,那么就可以得出第三条线也是重合的;在具体运用时,我们往往时把三线合一的等腰三角形补充完整再加以运用;三角形全等三角形全等我们要牢记住它的五个判定方法;SSS,SAS,ASA,AAS,HL在具体运用时,我们需要找出判定三角形全等的各种条件,不外乎是关于边相等或相等的问题;对于寻找角相等：常有四种方法：①两条平行线被第三条直线所截得出的“三线八角”的结论；②对顶角相等；③锐角互余；④三角形的外角等于不相邻的两内角和;对于寻找边相等：常有三种方法：①特殊图形中隐含的条件如等腰三角形、等边三角形、菱形、正方形;;;;;；②利用三线合一的正逆定理；③通过已有的全等三角形性质得出;对于证明角相等,证明边相等,我们都要优先考虑边或角所在的三角形全等;一定要注意对应如果不能直接通过全等证明,我们就要转化角或转化边用上面的几种方法然后再考虑全等; 全等三角形的基本图形：平移类全等； 对称类全等； 旋转类全等；几何问题中常用的模型平行和中点三角形梯形的中位线;倍长中线构造全等八字形全等通常是构造以中点为交叉点的八字形; 平行和角平分线往往试图寻找等腰三角形,转化为边相等或角相等;直角和中点直角三角形斜边长的中线长等于斜边的一半中垂线三线合一的模型求线段的长：①勾股定理；②把求的线段放在三角形中考虑相似;。
初中数学9大几何模型(证明结论及推导)
初中数学9大几何模型（证明结论及推导）一、手拉手模型----旋转型全等（1）等边三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED （2）等腰直角三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形；【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AEDOABC DE图 1OABC D E图 2OABCDE图 1OACDE图 2OABC DEOABCD E图 1图 2二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况【条件】：CD ∥AB ， 将△OCD 旋转至右图的位置【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况【条件】：CD∥AB ，∠AOB=90° 将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ； ③===OAOBOC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有2222CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21S △BCD ⨯=三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90°【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 21S S S =+= 证明提示：①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ； ③2△OCD △OCE OC 21S S =-OB CDO ABCDEOB CDEOA C DAO BCDE图 1A OBCDE M N 图 2A OBCDEF图 3A O BCDEMN 图 4（2）全等型-120°【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 43S S S =+=证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；②如右下图：在OB 上取一点F ，使OF=OC ，证明△OCF 为等边三角形。
初中几何结论及常用方法总结
初中几何结论总结及常用方法一．基本概念。
1． 直线的基本性质：（1）两条直线的位置关系（在同一平面内）：相交与平行；（2）两直线相交，只有一个交点；（3）直线公理：经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线。
2．线段的有关内容：（1）线段中点：点M 在线段上，且把线段AB 分成相等的两条线段AM 与BM ，点M 就是线段AB 的中点。
AM ＝BM ＝21AB. （2）线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短。
3．角（1）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形。
公共端点是角的顶点。
（2）角的表示：①三个大写字母及符号“∠”表示②.用一个数字或阿拉伯字母表示角也看成是有由一条射线绕着它的端点旋转而成。
平角：一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时所成的角。
周角：终边继续旋转，当它又和始边重合时所成的角.(3)角的分类：锐角、直角、钝角。
（4）角的单位换算：1周角＝2平角＝4直角＝360 1平角＝2直角＝1801直角＝90 1＝60＝3600 1＝60（5）余角、补角及其性质：互余：如果两个角和是直角，这两个角叫做互为余角，简称互余。
互补：如果两个角的和是平角，这两个角叫做互为补角，简称互补。
性质： 同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等。
（6）对顶角：、两条直线相交后所得的只有一个公共顶点而没有公共边（或是一个角的两条边分别是另一个角两条边的反向延长线）的两个角叫做对顶角。
对顶角性质：对顶角相等。
4．平行线：在同一个平面内，不相交的两条直线。
（1）性质1：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
（2）性质2：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行（即平行于听一条直线的两条直线平行。
）（3）平行线判别方法：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行。
（4）平行线性质：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补。
初中地理常见几何基本模型及结论
初中地理常见几何基本模型及结论
地理学是研究地球表层现象及其规律的学科，其中几何模型在
地理学中具有重要的作用。
本文将介绍初中地理中常见的几何基本
模型及相应的结论。
1. 平面几何模型
平面几何模型是描述地表特征的常见模型，其主要包括以下几
个基本模型：
- 圆形模型：地理学中常用来描述湖泊、盆地等自然地理要素。
圆形模型的结论是，湖泊或盆地的形状通常近似于圆形。
- 矩形模型：地理学中常用来描述田地、建筑物等人文地理要素。
矩形模型的结论是，田地或建筑物的形状通常接近于矩形。
2. 空间几何模型
空间几何模型是描述地球内部结构和地理空间关系的模型，主
要包括以下几个基本模型：
- 球体模型：地理学中常用来描述地球的整体形状。
球体模型
的结论是，地球的整体形状近似于一个球体。
- 锥体模型：地理学中常用来描述河流的流域和山脉的形状。
锥体模型的结论是，河流的流域和山脉的形状通常呈锥状。
3. 空间位置关系模型
空间位置关系模型是描述地理要素之间相对位置关系的模型，
主要包括以下几个基本模型：
- 上下游模型：用来描述河流沿着水流方向的位置关系。
上下
游模型的结论是，河流的上游位于源头，下游位于河口。
- 东西方向模型：用来描述地理要素在东西方向上的位置关系。
东西方向模型的结论是，东方位于太阳升起的一侧，西方位于太阳
落山的一侧。
以上是初中地理常见的几何基本模型及相应的结论。
通过理解
和应用这些模型，可以更好地理解地理现象和地球的空间关系。
初中几何60个模型总结
初中几何60个模型总结引言初中几何是数学学科中的核心内容之一，涵盖了平面几何和立体几何两个方面。
初中阶段的几何学习主要围绕几何图形的性质、变换以及模型的应用展开。
为了帮助初中生系统地掌握几何知识，本文总结了60个常见的初中几何模型，涵盖了平面几何和立体几何的相关内容。
平面几何模型1. 点•概念：点是几何图形中最基本的元素，没有长度、面积和体积。
•性质：点用大写字母表示，点之间的距离为0。
2. 线段•概念：两个不同点A和B之间的有限点的集合形成线段AB。
•性质：线段的长度可以测量。
3. 射线•概念：以一个端点A和通过A的一条射线确定一个射线。
•性质：射线上的点都在同一边。
4. 直线•概念：两个不同点之间的所有点的集合形成直线。
•性质：直线上的任意两点可以确定一条直线。
5. 角•概念：由两条射线共享一个公共端点形成的几何图形。
•性质：角以大写字母表示，可以通过度数来度量。
6. 三角形•概念：由三条线段连接形成的几何图形。
•性质：三角形的内角和为180度，包括等边三角形、等腰三角形等特殊类型。
7. 平行线•概念：在同一个平面上，不相交且不共面的两条直线。
•性质：平行线具有相同的斜率。
8. 直角•概念：两条互相垂直的直线或线段形成的角。
•性质：直角的度数为90度。
9. 平行四边形•概念：具有两对平行边的四边形。
•性质：平行四边形的对角线相互平分。
10. 梯形•概念：至少有一对平行边的四边形。
•性质：梯形的对角线不相等。
11. 正方形•概念：四条边相等且四个角为直角的四边形。
•性质：正方形的对角线相等且互相垂直。
12. 长方形•概念：四个角均为直角的四边形。
•性质：长方形的对角线相等但不垂直。
13. 菱形•概念：四条边相等且对角线相互垂直的四边形。
•性质：菱形的对角线互相平分。
14. 圆•概念：平面上所有到圆心距离相等的点的集合。
•性质：圆的半径为定值。
15. 扇形•概念：由圆心、圆上任意一点和该点到圆心的连线形成的图形。
初中几何模型及常见结论的总结归纳汇编
更多精品文档初中几何模型及常见结论的总结归纳三角形的概念三角形边、角之间的关系：①任意两边之和大于第三边（任意两边之差小于第三边）；②三角形内角和为0180（外角和为0360）；③三角形的外角等于不相邻的两内角和。
三角形的三线：(1)中线（三角形的顶点和对边中点的连线）;三角形三边中线交于一点（重心）如图，O 为三角形的重心，重心O 分中线长度之比为1:2（1:2=OE BO ：）；DF EF DE 、、分别为三角形AC AB BC 、、边上的中位线（三角形任意两边中点的连线），DE ∥BC 且BC DE 21=。
几何问题中的“中点”与“中线”常常是联系再一起的。
因此遇到中点这样的条件（或关键词）我们可以考虑中线定理与中位线定理进行思考。
中线（中点）的应用：①在面积问题中，中线往往把三角形的面积等分，如果两三角形高相同，我们往往把面积之比转化为底边更多精品文档之比。
（面积问题转化为线段比的问题）如上图，我们可以得到2:1===∆∆∆∆AO OF S S S S ABO BOF ACF ABF ：：，②在涉及中线有关的线段长度问题，我们往往考虑倍长中线。
如图，已知AB ，AC 的长，求AF 的取值范围时。
我们可以通过倍长中线。
利用三角形边的关系在三角形ABD 中构建不等关系。
（AC AB AF AC AB +- 2）.(2)角平分线（三角形三内角的角平分线）；三角形的三条内角平分线交于一点（内心）更多精品文档如图，O 为三角形ABC 的内心（内切圆的圆心）；内心O 到三边的距离相等r OD OF OE ===（角平分线的性质定理）；090=∠+∠+∠ACO CBO BAO ；ABCABC C S r ∆∆=2（ABC S ∆表示ABC ∆的面积，ABC C ∆表示ABC ∆的周长）；关于角平分线角度问题的常见结论：A BOC ∠+=∠21900A BOC ∠-=∠21900更多精品文档 A BOC ∠=∠21 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
中考数学题中的几何模型
有关“中考数学题”中的几何模型
有关“中考数学题”中的几何模型如下：
1.直角三角形模型：直角三角形是初中数学中常见的几何模型之一，它涉及到勾股定
理、直角三角形的性质等知识点。
在中考数学题中，直角三角形模型通常会出现在与三角形、四边形、圆等相关的题目中。
2.相似三角形模型：相似三角形是初中数学中另一个重要的几何模型，它涉及到相似三
角形的性质、相似三角形的判定条件等知识点。
在中考数学题中，相似三角形模型通常会出现在与三角形、四边形、圆等相关的题目中。
3.梯形模型：梯形是初中数学中常见的几何图形之一，它涉及到梯形的性质、梯形的面
积计算等知识点。
在中考数学题中，梯形模型通常会出现在与四边形、圆等相关的题目中。
4.圆与扇形模型：圆与扇形是初中数学中常见的几何图形之一，它涉及到圆的性质、扇
形的面积计算等知识点。
在中考数学题中，圆与扇形模型通常会出现在与圆、扇形、三角形等相关的题目中。
初中常见几何模型结论
初中常见几何模型结论全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：初中阶段学习几何模型是数学学习的一个重要组成部分，通过学习几何模型可以帮助学生理解几何概念，培养其逻辑思维和空间想象能力。
在初中课本中，涉及到的常见几何模型有三角形、四边形、圆等，学生需要掌握这些模型的性质和结论。
本文将从几何模型的性质和结论入手，详细介绍初中常见几何模型的相关知识。
一、三角形三角形是几何学中的基本图形之一，包括等腰三角形、等边三角形、直角三角形等。
在初中阶段，学生主要需要掌握三角形的性质和定理，如三角形内角和为180度、三角形外角和等于其对应内角等。
还要掌握利用角平分线、垂直平分线等相关知识解决三角形问题。
常见的三角形结论包括：1.等腰三角形的底角相等，等边三角形的三个角都相等。
2.三角形内角和为180度，即三角形的三条边可以围成一个封闭的图形。
3.等腰直角三角形的斜边等于底边的平方和。
二、四边形四边形是指有四条边的多边形，包括矩形、正方形、菱形等。
在初中阶段，学生需要掌握四边形的性质和定理，如内角和、对角线交点的性质、边的性质等。
学生还需要学会利用平行线、垂直线等概念解决四边形问题。
1.矩形的对角线相等且互相垂直。
4.平行四边形的对角线相等、同一条对角线上的内角互补。
三、圆圆是一个重要的几何模型，具有许多独特的性质和特点。
在初中阶段，学生需要掌握圆的周长、面积计算方法，以及圆的心、弦、弧等概念。
学生还需要掌握切线和切于圆的定理，并能够运用这些知识解决有关圆的问题。
1.圆的周长等于其直径乘以π，面积等于半径的平方乘以π。
2.圆的直径、弧、弦之间的关系满足弧长公式、角度公式等。
3.相交圆中的两条切线互相垂直。
4.相交圆的切线与切点处的切线垂直。
总结：通过学习初中常见几何模型的相关知识，可以帮助学生建立对几何概念的深刻理解，培养其解决实际问题的能力和创造力。
在学习几何模型的过程中，学生需要不断巩固掌握相关的性质和定理，灵活运用这些知识解决各种几何问题。
中考数学常见的11种几何模型
中考数学常见的11种几何模型一、三角形的不等关系模型：A字型、K字型、X字型1. 三角形两边之和大于第三边；2. 三角形两边之差小于第三边；3. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；4. 直角三角形中30度所对的直角边等于斜边的一半；5. 三角形三个内角之和等于180度。
二、全等、相似模型模型：A字型全等、A字型相似、8字型全等、8字型相似、蝴蝶型全等、蝴蝶型相似、平行型全等、平行型相似、等积模型等。
三、平行四边形模型模型：平行四边形ABCD中，E为AB中点，则：AC、DE互相平分；模型：平行四边形ABCD中，AC、BD交于O，则：AO=CO，BO=DO；模型：平行四边形ABCD中，AC平分角BAD，则：四边形ABCD为菱形。
四、梯形模型模型：梯形ABCD中，E为AD中点，则：延长BE交DC延长线于F，则：BE=FE；模型：梯形ABCD中，A、B在直线EF上，则：延长DC交AB延长线于F，则：梯形ABCD面积等于三角形面积的2倍；模型：梯形ABCD中，E为AD中点，则：延长BE交DC延长线于F，则：EF=FC。
五、矩形模型模型：矩形ABCD中，E为BC中点，则：AE平分角BAD；模型：矩形ABCD中，E为AD中点，则：AF平分角ABC；模型：矩形ABCD中，AC平分角BAD，则：四边形ABCD为菱形。
六、多边形模型模型：任意多边形ABCD中，E为AD中点，则：延长BE交DC延长线于F，则：BF=FE；模型：任意多边形ABCD中，E为AD中点，延长BE交DC延长线于F，则：EF=FC。
七、燕尾模型模型：在三角形ABC中，BD平分角ABC，CE平分角ACB，则：点D、E在BC同旁，则：三角形ADE的面积等于三角形ABC面积的一半。
八、风筝模型模型：在三角形ABC中，点D、E在BC上，且AD平分角BAE，则：三角形ABC与三角形ADE的面积相等。
九、铅笔模型模型：在矩形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，则：EF平行于AD，则：矩形ABFE与矩形EFCD相似。
初一几何模型总结
模型一8字模型与飞镖模型模型1角的“8”字模型如图所示，AB 、CD 相交于点O ，连接AD 、BC 。
结论：C B D A ∠+∠=∠+∠。
模型分析8字模型往往在几何综合题目中推导角时用到。
模型2角的飞镖模型如图所示，有结论：C B A D ∠+∠+∠=∠。
模型分析飞镖模型往往在几何综合题目中推导角度时用到。
模型3边的“8”字模型如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC 。
结论：BC AD BD AC +>+。
模型4边的飞镖模型如图所示，有结论：CD BD AC AB +>+。
模型二角平分线四大模型模型1角平分线上的点向两边作垂线如图，P 是MON ∠的平分线上一点，过点P 作OM PA ⊥于点A ，ON PB ⊥于点B 。
结论：PAPB =模型分析：利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。
模型2截取构造对称全等如图，P 是MON ∠的平分线上一点，点A 射线OM 上任意一点，在ON 上截取OA OB =，连接PB 。
结论：OPA OPB ∆≅∆。
模型分析利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。
利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。
模型3角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P 是MON ∠的平分线上一点，OP AP ⊥于P 点，延长AP 于点B 。
结论：AOB ∆是等腰三角形。
模型分析构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。
这个模型巧妙地把角平分线和“三线合一”联系了起来。
模型4角平分线+平行线如图，P 是MON ∠的平分线上一点，过点P 作ON PQ //，交OM 于点Q 。
结论：POQ ∆是等腰三角形。
模型分析：有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。
完整版)初中数学——最全：初中数学几何模型
完整版)初中数学——最全：初中数学几何模型几何是初中数学中非常重要的内容，一般会在压轴题中进行考察。
掌握几何模型能够为考试节省不少时间。
下面是常用的各大模型，一定要认真掌握哦~全等变换平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。
两边进行边或者角的等量代换，产生联系。
垂直也可以做为轴进行对称全等。
对称半角模型通过翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称。
旋转全等模型半角：有一个角含1/2角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题旋转半角模型旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
自旋转模型构造方法：遇60度旋60度，造等边三角形；遇90度旋90度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等；遇中点旋180度，造中心对称共旋转模型旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。
通过“8”字模型可以证明。
模型变形模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。
当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。
中点旋转两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。
证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。
初中数学八大几何模型归纳
初中数学几何模型总结归纳1.中点模型【模型1】倍长1、倍长中线；2、倍长类中线；3、中点遇平行线延长相交ABCD E ABC DEFEDCBA【模型2】遇多个中点，构造中位线1、直接连接中点；2、连对角线取中点再相连GABCDEFABCD E【例1】在菱形ABCD 和正三角形BEF 中，∠ABC ＝60°，G 是DF 的中点，连接GC 、GE ． （1）如图1，当点E 在BC 边上时，若AB ＝10，BF ＝4，求GE 的长；（2）如图2，当点F 在AB 的延长线上时，线段GE 、GC 有怎样的数量和位置关系，写出你的猜想，并给予证明；（3）如图3，当点F 在CB 的延长线上时，（2）问中的关系还成立吗？写出你的猜想，并给予证明．图3图2图1ACDEFGDEFGCDEGABBFCBA【解答】（1）延长EG 交CD 于点H 易证明△CHG ≌△CEG ，则GE ＝HBEGCFAD（2）延长CG 交AB 于点I ，易证明△BCE ≌△FIE ，则△CEI 是等边三角形，GE ＝3GC 错误!未找到引用源。
，且GE ⊥GCF（3）EJ【例2】如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、CD 上一点，连接DE 、EF ，且AE ＝AF ，∠DAE ＝∠BAF .（1）求证：CE ＝CF ； （2）若∠ABC ＝120°，点G 是线段AF 的中点，连接DG 、EG ，求证：DG ⊥EG .GFE DC BAE H GF EDCBA【解答】（1）证明△ABE ≌△ADF 即可；（2）延长DG 与AB 相交于点H ，连接HE ，证明△HBE ≌△EFD 即可【例3】如图，在凹四边形ABCD 中，AB ＝CD ，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，BA 交EF 延长线于G 点，CD 交EF 于H 点，求证：∠BGE ＝∠CHE . 【解答】取BD 中点可证，如图所示：JA BCDE F GH2.角平分线模型【模型1】构造轴对称【模型2】角平分线遇平行构等腰三角形【例4】如图，平行四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD 交BC 边于E ，EF ⊥AE 交边CD 于F 点，交AD 边于H ，延长BA 到G 点，使AG ＝CF ，连接GF .若BC ＝7，DF ＝3，EH ＝3AE ，则GF 的长为_______.HGFEDCBA【解答】延长FE 、AB 交于点I ，易得CE ＝CF ，BA ＝BE ，设CE ＝x ，则BA ＝CD ＝3＋x ，BE ＝7－x ， 3＋x ＝7－x ，x ＝2，AB ＝BE ＝5，AE ＝，作AJ ⊥BC ，连接AC ，求得GF ＝AC ＝3JIAB CDEFGH3.手拉手模型【条件】OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠AOB ＝∠COD【结论】△OAC ≌△OBD ，∠AEB ＝∠AOB ＝∠COD （即都是旋转角）；OE 平分∠AEDDC EBAOOABEC D 导角核心图形：八字形CBAO【例5】（2014重庆市A 卷）如图，正方形ABCD 的边长为6，点O 是对角线AC 、BD 的交点，点E 在CD 上，且2DE CE ，连接BE ．过点C 作CF ⊥BE ，垂足是F ，连接OF ，则OF 的长为________．FABCOEDDE CBA【例6】如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，点E 在AC 边上，连接BE ，AG ⊥BE于F ，交BC 于点G ，求∠DFG ． GFE DCBAABC【答案】45°【例7】（2014重庆B 卷）如图，在边长为ABCD 中，E 是AB 边上一点，G 是AD 延长线一点，BE ＝DG ，连接EG ，CF ⊥EG 交EG 于点H ，交AD 于点F ，连接CE 、BH ．若BH ＝8，则FG＝_____________．HGDE CBAFABE G【答案】4.邻边相等对角互补模型【模型1】【条件】如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＋∠BCD ＝∠ABC ＋∠ADC ＝180° 【结论】AC 平分∠BCDEB【模型2】【条件】如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝∠BCD ＝90° 【结论】① ∠ACB ＝∠ACD ＝45°； ② BC ＋CDABCECB【例8】如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝5，G 为CD 中点，DE ＝DG ，FG ⊥BE 于F ，则DF 为_____.F ABCEDGG DE【例9】如图，正方形ABCD 的边长为3，延长CB 至点M ，使BM ＝1，连接AM ，过点B 作BN ⊥AM ，垂足为N ，O 是对角线AC 、BD 的交点，连结ON ，则ON 的长为__________. OMN DCBA【例10】如图，正方形ABCD 的面积为64，△BCE 是等边三角形，F 是CE 的中点，AE 、BF 交于点G ，则DG 的长为___________. GFEABCDEC【答案】45.半角模型【模型1】【条件】如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＋∠BCD ＝∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∠EAF ＝12∠BAD ， 点E 在直线BC 上，点F 在直线CD 上 【结论】BE 、DF 、EF 满足截长补短关系FEDCBA【模型2】【条件】如图，在正方形ABCD 中，已知E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且满足∠EAF ＝45°，AE 、AF 分别与对角线BD 交于点M 、N ． 【结论】①BE ＋DF ＝EF ； ② ABE ADF AEF S S S ∆∆∆+=；③AH ＝AB ；④2ECF C AB ∆=；⑤BM 2＋DN 2＝MN 2；⑥△ANM ∽△DNF ∽△BEM ∽△AEF ∽△BNA ∽△DAM （由AO ：AH ＝AO ：AB ＝1：可得到△ANM 和△AEF 相似比为1）⑦AMN MNFE S S ∆=四边形；⑧△AOM ∽△ADF ；△AON ∽△ABE ；⑨△AEN 为等腰直角三角形，∠AEN ＝45°，△AFM 为等腰直角三角形，∠AFM ＝45°；⑩A 、M 、F 、D 四点共圆，A 、B 、E 、N 四点共圆，M 、N 、F 、C 、E 五点共圆．H NM FEDCBA【模型2变形】【条件】在正方形ABCD 中，已知E 、F 分别是CB 、DC 延长线上的点，且满足∠EAF ＝45° 【结论】BE ＋EF ＝DFFEDCB A【模型2变形】【条件】在正方形ABCD 中，已知E 、F 分别是BC 、CD 延长线上的点，且满足∠EAF ＝45° 【结论】DF ＋EF ＝BEAB C DEF【例11】如图，△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC ＝∠EDF ＝90°，△DEF 的顶点E与△ABC 的斜边BC 的中点重合，将△DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，射线EF 与线段AB 相交于点G ，与射线CA 相交于点Q .若AQ ＝12，BP ＝3，则PG ＝__________.Q PGD FECBA【解答】连接AE ，题目中有一线三等角模型和半角模型设AC ＝x ，由△BPC ∽△CEQ 得BP CE ＝BE CQ ， 3/（22x ）＝22x /（x ＋12），解得x ＝12 设PG ＝y ，由AG 2＋BP 2＝PG 2得32＋(12－3－x )2＝x 2，解得x ＝5【例12】如图，在菱形ABCD 中，AB ＝BD ，点E 、F 在AB 、AD 上，且AE ＝DF ．连接BF 与DE 交于点G ，连接CG 与BD 交于点H ，若CG ＝1，则S 四边形BCDQ ＝__________．HGFED CB A【解答】346.一线三等角模型【条件】∠EDF ＝∠B ＝∠C ，且DE ＝DF 【结论】△BDE ≌△CFDFEDCBA【例13】如图，正方形ABCD 中，点E 、F 、G 分别为AB 、BC 、CD 边上的点，EB ＝3，GC ＝4，连接EF 、FG 、GE 恰好构成一个等边三角形，则正方形的边为__________.GA B CDEF【解答】如图，构造一线三等角模型，△EFH ≌△FGI 则BC ＝BF ＋CF ＝HF －BH ＋FI －CI ＝GI －BH ＋HE －CI ＝733IH F ED C B A G7.弦图模型【条件】正方形内或外互相垂直的四条线段 【结论】新构成了同心的正方形LK JIHGFECDB AHG FEDCBA【例14】如图，点E 为正方形ABCD 边AB 上一点，点F 在DE 的延长线上，AF ＝AB ，AC 与FD 交于点G ，∠F AB 的平分线交FG 于点H ，过点D 作HA 的垂线交HA 的延长线于点I .若AH ＝3AI ，FH ＝22，则DG ＝__________．I H AGFEDCB【解答】1742【例15】如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，点E 是AC 中点，连接BE ，作AG ⊥BE 于F ，交BC 于点G ，连接EG ，求证：AG ＋EG ＝BE ．FE CGDBABC【解答】过点C 作CH ⊥AC 交AG 的延长线于点H ，易证8.最短路径模型【两点之间线段最短】 1、将军饮马Q2、费马点【垂线段最短】【两边之差小于第三边】【例16】如图，矩形ABCD 是一个长为1000米，宽为600米的货场，A 、D 是入口，现拟在货场内建一个收费站P ，在铁路线BC 段上建一个发货站台H ，设铺设公路AP 、DP 以及PH 之长度和为l ，求l 的最小值．【解答】3500600 ，点线为最短．【例17】如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上的两个动点，满足AE ＝DF，连接CF 交BD 于G ，连接BE 交AG 于H ，若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值为______________________．【解答】如图，取AB 中点P ，连接PH 、PD ，易证PH ≥PD -PH 即DH ≥15-．【例18】如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝24，E 是线段AB 的中点，F 是线段BC 上的动点，△BEF 沿直线EF 翻折到△EF B '，连接B D '，B D '最短为________________．【解答】4【例19】如图1，□ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AE ＝AD ，EG ⊥AB 于G ，延长GE 、DC 交于点F ，连接AF ．（1）若BE ＝2EC ，AB ＝13，求AD 的长；（2）求证：EG ＝BG ＋FC ；（3）如图2，若AF ＝25，EF ＝2，点M 是线段AG 上一动点，连接ME ，将△GME 沿ME 翻折到△ME G '，连接G D '，试求当G D '取得最小值时GM 的长．图1 图2 备用图【解答】（1）3（2）如图所示（3）当DG ′最小时D 、E 、G '三点共线解得43173-=+'=MN N G GMEH【练习1】如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE，∠AEB＝90°，AC、BD交于O．已知AE、BE的长分别为3、5，求三角形OBE的面积．【解答】25【练习2】问题1：如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，AB＝BC＝CD，点M，N分别在AD，CD上，∠MBN21∠ABC，试探究线段MN，AM，CN有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想；问题2：如图2，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＋∠ADC＝180°，点M，N分别在DA，CD延长线，若∠MBN＝12∠ABC仍然成立，请你进一步探究线段MN，AM，CN又有怎么样的关量关系？写出你的猜想，并给予证明。
初中数学几何模型大全及解析
初中数学几何模型大全及解析几何是数学中的重要分支，它研究的是形状、大小、结构和空间关系等内容。
初中数学中的几何部分主要包括平面几何和立体几何两个方面。
为了更好地理解和应用几何知识，我们可以通过各种模型来帮助我们进行学习和解析。
本文将介绍一些常见的初中数学几何模型及其解析，帮助学生更加直观地理解几何概念。
一、平面几何模型1. 平面图形模型平面图形模型可以通过纸片、卡纸或者其他材料制作而成。
例如，矩形模型可以通过两个相等的矩形纸片叠放而成，学生可以直观地观察到矩形的性质，如长宽相等、对角线相等、相邻边互相垂直等。
类似地，三角形、正方形、梯形等不同的图形也可以通过相应的材料来制作模型，帮助学生更好地理解其性质和特点。
2. 折纸模型折纸模型是平面几何中常用的模型之一。
学生可以通过纸张的折叠来制作出不同的图形。
例如，通过将一个正方形纸张对折，可以制作出一个正方形、一个矩形或者一个等边三角形。
通过折纸模型的制作和观察，学生可以更好地理解各种图形的性质，并且锻炼了空间想象能力和手工操作能力。
3. 各类角度模型角度是几何中的重要概念。
为了更好地理解和判断各类角度，可以使用角度模型进行学习和实践。
例如，通过两条相交的直线和一把量角器或者两个相等的直角三角形，可以制作出不同的角度模型，比如直角、锐角和钝角。
通过观察和实践，学生可以深入了解角度的概念和性质，并且能够通过角度模型进行角度测量和判断。
二、立体几何模型1. 空间几何模型立体几何模型可以帮助学生更好地理解和判断空间关系。
例如，通过连接适量的珠子和棍子，可以制作出不同的空间模型，如正方体、长方体、圆柱体等。
这样的模型能够帮助学生深入理解不同立体图形的性质，如面数、棱数和顶点数，并且能够帮助学生进行体积和表面积的计算。
2. 立体切割模型立体切割模型可以将复杂的立体图形简化为多个平面图形的组合。
例如，通过将一个长方体切割成多个长方形和正方形，可以帮助学生更好地理解长方体的各种性质和关系。
初中几何模型及常见结论的总结归纳
初中几何模型及常见结论的总结归纳几何学是研究空间和图形性质以及它们之间关系的学科。
初中阶段的几何学主要涉及平面几何和立体几何两个方面。
在学习几何学的过程中，我们会遇到一些常见的几何模型和结论。
下面是我对初中几何模型和常见结论的总结归纳：平面几何模型：1.点、线、面：-点是没有大小和形状的，用字母表示，如A、B等。
-线是由无数个点连在一起而形成的，用一条直线表示，如AB。
-面是由无数条线连在一起而形成的，用一个平面表示，如三角形ABC。
2.直角：-直角是以一个点为顶点，两条线段以此点为公共端点，相互垂直的角。
-常见的直角符号是“∟”。
3.直线的性质：-相交定理：两条直线相交于一点，那么相交的两个角互为垂直角。
-平行定理：如果两条直线分别与第三条直线相交，使得同侧内角和为180°（即补角），那么这两条直线是平行线。
4.三角形的性质：-等边三角形：三边相等的三角形。
-等腰三角形：两边相等的三角形，其两底角也相等。
-直角三角形：其中一个内角是90°的三角形。
-钝角三角形：其中一个内角大于90°的三角形。
立体几何模型：1.立体几何体：-立方体：六个面都是正方形的立体。
-正方体：六个面都是正方形的立体。
-圆柱体：底面是圆形的立体。
-圆锥体：底面是圆形的立体。
-球体：表面上的每一点到球心的距离相等的立体。
2.面的性质：-顶点：多个边的交点。
-棱：多个面的交线。
-面：棱围成的区域。
3.体的性质：-体积：表示立体几何体所占的空间大小。
-表面积：表示立体几何体外部各个面的总面积。
常见几何结论：1.同位角定理：同位角互等的两条平行线与同一条直线相交。
其中，同位角是指两条直线被前者截过的各对对应角。
2.三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°。
3.勾股定理：直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。
4.正方体的体积和表面积：-正方体的体积等于边长的立方。
-正方体的表面积等于6倍边长的平方。
初中数学十大模型
初中数学中考总复习几何十大模型1、模型一：“12345”模型
2、模型二：“半角”模型
对称半角模型
旋转半角模型
3、模型三：“角平分线”模型
角平分线定理角平分线+垂线=等腰三角
形
角分线+平行线=等腰三角必呈现
角平分线+垂线=等腰三角形
4、模型四：“手拉手”模型
条件：1、两个等腰三角形；2、顶角相等；3、顶点重合。
结论：1、手相等；2、三角形全等；3、手的夹角相等；
4、顶点连手的交点得平分。
5、模型五：“将军饮马”模型
6、模型六：“中点”模型
【模型1】倍长
1、倍长中线；
2、倍长类中线；
3、中点遇平行延长相交
【模型2】遇多个中点，构造中位线
1.直接连接中点；
2.连对角线取中点再相连
7、模型七：“邻边相等的对角互补”模型
【模型1】
【条件】如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=∠ABC+∠ADC=180°【结论】AC平分∠BCD
【模型2】
【条件】如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°
【结论】①∠ACB=∠ACD=45°②BC+CD=V2AC
8、模型八：“一线三角”模型
【条件】∠EDF=∠B=∠C，且DE=DF
【结论】△BDE=△CFD
9、模型九：“弦图”模型
【条件】正方形内或外互相垂直的四条线段
【结论】新构成了同心的正方形
10、模型十：费马点。
初中数学几何模型大全及解析
初中数学几何模型大全及解析一中点模型【模型1】倍长1、倍长中线；2、倍长类中线；3、中点遇平行延长相交【模型2】遇多个中点，构造中位线1、直接连接中点；2、连对角线取中点再相连【例】在菱形ABCD和正三角形BEF中，∠ABC=60°，G是DF的中点，连接GC、GE．（1）如图1，当点E在BC边上时，若AB=10，BF=4，求GE的长；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段GC、GE有怎样的数量和位置关系，写出你的猜想；并给予证明；（3）如图3，当点F在CB的延长线上时，(2)问中关系还成立吗？写出你的猜想，并给予证明.二角平分线模型【模型1】构造轴对称【模型2】角平分线遇平行构造等腰三角形【例】如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC边于E，EF⊥AE交CD边于F，交AD边于H，延长BA到点G，使AG=CF，连接GF．若BC=7，DF=3，EH=3AE，则GF的长为 .三手拉手模型【例】如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，则OF的长为 .四邻边相等的对角互补模型五半角模型六一线三角模型七弦图模型八最短路径模型【两点之间线段最短】1、将军饮马2、费马点【垂线段最短】【两边之差小于第三边】综合练习已知：如图1，正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．⑴求证：EG=CG且EG⊥CG；⑵将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图2所示，取DF中点G，连接EG，CG．问⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．⑶将图1中△BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问(1)中的结论是否仍然成立？。
初中几何模型及常见结论的总结归纳
初中几何模型及常见结论的总结归纳一、引言在初中数学学习中，几何是一个重要的部分，它不仅涉及到图形的性质和特点，还涉及到一些基本的几何模型和常见结论。
掌握这些模型和结论，有助于更好地理解和应用几何知识，提高解题能力和数学素养。
二、初中几何模型总结1. 全等三角形模型：两个三角形全等，则它们的边相等或角相等。
2. 相似三角形模型：两个三角形相似，则它们的对应边成比例。
3. 直角三角形模型：直角三角形的两个锐角互余。
4. 平行线模型：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。
5. 三角形内角和定理：三角形内角和为180度。
6. 多边形内角和定理：n边形内角和等于(n-2) × 180度。
7. 三角形重心性质模型：三角形的重心是三边中线的交点，重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。
三、常见结论归纳1. 等腰三角形的特点：等腰三角形两底角相等，顶角平分线垂直平分底边。
2. 直角三角形的特点：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；勾股定理的逆定理适用；两个锐角互余。
3. 平行线的判定和性质：平行线的判定主要是依据平行线的定义和两直线夹角相等；平行线的性质主要有两直线平行，同位角相等；三角形内角和定理的推论等。
4. 辅助线常见位置和方法：在添加辅助线时，常常用到截长补短、垂直平分线、对顶角相等、平行线的性质等。
四、应用举例1. 利用全等三角形模型解决实际问题：例如测量旗杆高度或河流宽度等问题，需要用到全等三角形的性质。
2. 利用相似三角形模型解决实际问题：例如测量河对岸的建筑物高度或篮球架高度等问题，需要用到相似三角形的性质。
3. 利用平行线模型解决实际问题：例如求两直线的距离问题，需要用到平行线的判定和性质。
4. 利用勾股定理解决实际问题：例如求斜坡的长度等问题，需要用到勾股定理的性质。
五、总结通过总结归纳初中几何模型和常见结论，可以更好地理解和应用几何知识，提高解题能力和数学素养。
在应用时，需要根据具体情况选择合适的几何模型和结论，并结合辅助线等方法解决问题。
初中数学定理模型大全
初中数学定理模型大全
初中数学是数学学习的重要阶段，涉及的定理和模型也越来越多。
以下是一些初中数学中常用的定理和模型，供参考。
一、定理
1. 勾股定理
在直角三角形中，勾股定理表述了两条直角边的平方和等于斜边的平方。
即，如果直角三角形的两条直角边长度分别为a和b，斜边长度为c，那么
a²+b²=c²。
2.等腰三角形定理
等腰三角形两边的长度相等，且两边的夹角也相等。
如果等腰三角形的两个底角分别为α和β，那么α=β。
3.平行线定理
如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线的内错角相等。
即，如果两条直线a和b都平行于直线c，那么a和b的内错角相等。
二、模型
1. 方程模型
方程是解决数学问题的一种重要方法。
初中数学中常见的方程模型包括一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程等。
这些方程模型都可以用来解决实际问题中的数量关系问题。
2.函数模型
函数是描述变量之间关系的一种重要方式。
初中数学中常见的函数模型包括一次函数、二次函数、反比例函数等。
这些函数模型都可以用来描述实际问题中的变量之间的关系。
3.几何模型
几何是初中数学的一个重要内容。
初中数学中常见的几何模型包括三角形、四边形、圆形等。
这些模型都可以用来描述实际生活中的空间形状和位置关系。
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初中几何模型及常见结论的总结归纳
三角形的概念
三角形边、角之间的关系：①任意两边之和大于第三边（任意两边之差小于第三边）；②三角形内角和为0
180（外角和为0360）；③三角形的外角等于不相邻的两内角和。
三角形的三线：(1)中线（三角形的顶点和对边中点的连线）;三角形三边中线交于一点（重心）
如图，O 为三角形的重心，重心O 分中线长度之比为1:2（1:2=OE BO ：）；DF EF DE 、、分别为三角形AC AB BC 、、边上的中位线（三角形任意两边中点的连线），DE ∥BC 且BC DE 2
1=。
几何问题中的“中点”与“中线”常常是联系再一起的。
因此遇到中点这样的条件（或关键词）我们可以考虑中线定理与中位线定理进行思考。
中线（中点）的应用：
①在面积问题中，中线往往把三角形的面积等分，如果两三角形高相同，我们往往把面积之比转化为底边之比。
（面积问题转化为线段比的问题）如上图，我们可以得到2:1===∆∆∆∆AO OF S S S S ABO BO F ACF ABF ：：， ②在涉及中线有关的线段长度问题，我们往往考虑倍长中线。
如图，已知AB ，AC 的长，求AF 的取值范围时。
我们可以通过倍长中线。
利用三角形边
的关系在三角形ABD 中构建不等关系。
（AC AB AF AC AB +- 2）.
(2)角平分线（三角形三内角的角平分线）；三角形的三条内角平分线交于一点（内心）
如图，O 为三角形ABC 的内心（内切圆的圆心）；内心O 到三边的距离相等r OD OF OE ===（角平分线的性质定理）；090=∠+∠+∠ACO CBO BAO ；ABC
ABC C S r ∆∆=
2（ABC S ∆表示ABC ∆的面积，ABC C ∆表示ABC ∆的周长）；
关于角平分线角度问题的常见结论：
A BOC ∠+=∠21900
A BOC ∠-=∠2
1900 A BOC ∠=∠2
1 角平分线的性质定理：
角平分线上的点到角两边的距离相等；到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
如图，AD 是三角形ABC 的内角平分线，那么CD
BD AC AB =。
（3）垂线（三角形顶点到对边的垂线）；三角形三条边上的高交于一点（垂心）
如图，O 为三角形ABC 的垂心，我们可以得到比较多的锐角相等如COD ABC ACO ABO ∠=∠∠=∠；等。
因此垂线（或高）这样的条件在题目中出现，我们往往可以得出比较多的锐角相等。
（等角或同角的余角相等），此外，如果要求垂线段的长度或与垂线段有关的长度问题，我们通常用面积法求解。
在上图中，若已知CE AC AB ，，的长度，求BE 的长。
特别注意：在等腰三角形中，我们通常所指的三线合一就是指中线、角平分线、高线。
三线合一：已知三角形三
线中的任意两个条件是重合的，那么就可以得出第三条线也是重合的。
在具体运用时，我们往往时把三线合一的等腰三角形补充完整再加以运用。
三角形全等
三角形全等我们要牢记住它的五个判定方法。
（SSS,SAS,ASA,AAS,HL）
在具体运用时，我们需要找出判定三角形全等的各种条件，不外乎是关于边相等或相等的问题。
对于寻找角相等：常有四种方法：①两条平行线被第三条直线所截得出的“三线八角”的结论；②对顶角相等；
③锐角互余；④三角形的外角等于不相邻的两内角和。
对于寻找边相等：常有三种方法：①特殊图形中隐含的条件（如等腰三角形、等边三角形、菱形、正方形。
）；
②利用三线合一的正逆定理；③通过已有的全等三角形性质得出。
对于证明角相等，证明边相等，我们都要优先考虑边或角所在的三角形全等。
（一定要注意对应）如果不能直接通过全等证明，我们就要转化角或转化边（用上面的几种方法）然后再考虑全等。
全等三角形的基本图形：
平移类全等；对称类全等；旋转类全等；
几何问题中常用的模型
平行和中点
三角形（梯形）的中位线。
倍长中线构造全等（八字形全等）通常是构造以中点为交叉点的八字形。
平行和角平分线
往往试图寻找等腰三角形，转化为边相等或角相等。
直角和中点
直角三角形斜边长的中线长等于斜边的一半
中垂线（三线合一的模型）
求线段的长：①勾股定理；②把求的线段放在三角形中考虑相似。