圆中得动态几何问题
2024年中考数学常见几何模型最值模型之瓜豆模型(原理)圆弧轨迹型
最值模型之瓜豆模型(原理)圆弧轨迹型动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。
掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。
本专题就最值模型中的瓜豆原理(动点轨迹为圆弧型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型解读】模型1、运动轨迹为圆弧模型1-1. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
模型1-2. 如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=k⋅AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
模型1-3. 定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。
(常见于动态翻折中)如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。
模型1-4. 定边对定角(或直角)模型1)一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。
2)一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧．如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。
【模型原理】动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。
1(2023·山东泰安·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，点A的坐标为(-6，4)；Rt△COD中，∠COD=90°，OD=43，∠D=30°，连接BC，点M是BC中点，连接AM．将Rt△COD以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段AM的最小值是()A.3B.62-4C.213-2D.22(2023·四川广元·统考一模)如图，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB=4，BC=2，点P是⊙O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP=60°，连接OD，则OD长的最大值为．3(2023·四川宜宾·统考中考真题)如图，M是正方形ABCD边CD的中点，P是正方形内一点，连接BP，线段BP以B为中心逆时针旋转90°得到线段BQ，连接MQ．若AB=4，MP=1，则MQ的最小值为．4(2023·湖南·统考中考真题)如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=7，动点P在矩形的边上沿B→C→D→A运动．当点P不与点A、B重合时，将△ABP沿AP对折，得到△AB P，连接CB ，则在点P的运动过程中，线段CB 的最小值为．5(2023·山东·统考中考真题)如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°,AB=5,AD=4,AD< BC，点E在线段BC上运动，点F在线段AE上，∠ADF=∠BAE，则线段BF的最小值为．6(2023·浙江金华·九年级校考期中)如图，点A，C，N的坐标分别为(-2，0)，(2，0)，(4，3)，以点C为圆心、2为半径画⊙C，点P在⊙C上运动，连接AP，交⊙C于点Q，点M为线段QP的中点，连接MN，则线段MN的最小值为．7(2023上·江苏连云港·九年级校考阶段练习)已知矩形ABCD,AB=6,BC=4,P为矩形ABCD内一点，且∠BPC=135°，若点P绕点A逆时针旋转90°到点Q，则PQ的最小值为．8(2023下·陕西西安·九年级校考阶段练习)问题提出：(1)如图①，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，BC=43，则AB的长为；问题探究：(2)如图②，已知矩形ABCD，AB=4，BC=5，点P是矩形ABCD内一点，且满足∠APB= 90°，连接CP，求线段CP的最小值；问题解决：(3)如图③所示，我市城市绿化工程计划打造一片四边形绿地ABCD，其中AD∥BC，AD= 40m，BC=60m，点E为CD边上一点，且CE:DE=1:2，∠AEB=60°，为了美化环境，要求四边形ABCD的面积尽可能大，求绿化区域ABCD面积的最大值．课后专项训练1(2023·安徽合肥·校考一模)如图，在△ABC中，∠B=45°，AC=2，以AC为边作等腰直角△ACD，连BD，则BD的最大值是()A.10-2B.10+3C.22D.10+22(2023春·广东·九年级专题练习)已知：如图，在△ABC中，∠BAC=30°，BC=4，△ABC面积的最大值是( )．A.8+43B.83+4C.83D.8+833(2022秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习)如图，A是⊙B上任意一点，点C在⊙B外，已知AB=2，BC=4，△ACD是等边三角形，则△BCD的面积的最大值为()A.43+4B.4C.43+8D.64(2023·山东济南·一模)正方形ABCD中，AB=4，点E、F分别是CD、BC边上的动点，且始终满足DE=CF，DF、AE相交于点G.以AG为斜边在AG下方作等腰直角△AHG使得∠AHG=90°，连接BH．则BH的最小值为()A.25-2B.25+2C.10-2D.10+25(2023上·江苏连云港·九年级统考期中)如图，在矩形ABCD中，已知AB=3，BC=4，点P是BC边上一动点(点P不与点B，C重合)，连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，连接CM，则CM的最小值为．6(2023春·广东深圳·九年级专题练习)如图，点G是△ABC内的一点，且∠BGC=120°，△BCF是等边三角形，若BC=3，则FG的最大值为．7(2023·江苏泰州·九年级专题练习)如图，在矩形ABCD中，AD=10，AB=16，P为CD的中点，连接BP．在矩形ABCD外部找一点E，使得∠BEC+∠BPC=180°，则线段DE的最大值为．8(2023·陕西渭南·三模)如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=5，点E在BC上，且CE=4BE，点M 为矩形内一动点，使得∠CME=45°，连接AM，则线段AM的最小值为．9(2023江苏扬州·三模)如图，在等边△ABC和等边△CDE中，AB=6，CD=4，以AB、AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．若将△CDE绕点C旋转一周，则线段AF的最小值是．10(2023秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习)如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB= AC=22，点D为△ABC所在平面内一点，∠BDC=90°，以AC、CD为边作平行四边形ACDE，则CE的最小值为．11(2023·福建泉州·统考模拟预测)如图，点E是正方形ABCD的内部一个动点(含边界)，且AD= EB=8，点F在BE上，BF=2，则以下结论：①CF的最小值为6；②DE的最小值为82-8；③CE= CF；④DE+CF的最小值为10；正确的是．12(2021·广东·中考真题)在△ABC中，∠ABC=90°,AB=2,BC=3．点D为平面上一个动点，∠ADB=45°，则线段CD长度的最小值为．13(2023·广东·深圳市二模)如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E为边BC上一动点，F为AE 中点，G为DE上一点，BF=FG，则CG的最小值为．14(2023秋·广东汕头·九年级校考期中)如下图，在正方形ABCD中，AB=6，点E是以BC为直径的圆上的点，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°，得到线段DF，连接CF，则线段CF的最大值与最小值的和．15(2023·陕西渭南·统考一模)如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，Q是矩形ABCD左侧一点，连接AQ、BQ，且∠AQB=90°，连接DQ，E为DQ的中点，连接CE，则CE的最大值为．16(2023·安徽亳州·统考模拟预测)等腰直角△ABC 中，BAC =90°，AB =5，点D 是平面内一点，AD =2，连接BD ，将BD 绕D 点逆时针旋转90°得到DE ，连接AE ，当DAB =(填度数)度时，AE 可以取最大值，最大值等于．17(2023·河北廊坊·统考二模)已知如图，△ABC 是腰长为4的等腰直角三角形，∠ABC =90°，以A 为圆心，2为半径作半圆A ，交BA 所在直线于点M ，N ．点E 是半圆A 上仟意一点．连接BE ，把BE 绕点B 顺时针旋转90°到BD 的位置，连接AE ，CD ．(1)求证：△EBA ≌△DBC ；(2)当BE 与半圆A 相切时，求弧EM的长；(3)直接写出△BCD 面积的最大值．18(2022·北京·中考真题)在平面直角坐标系xOy 中，已知点M (a ,b ),N .对于点P 给出如下定义：将点P 向右(a ≥0)或向左(a <0)平移a 个单位长度，再向上(b ≥0)或向下(b <0)平移b 个单位长度，得到点P '，点P '关于点N 的对称点为Q ，称点Q 为点P 的“对应点”．(1)如图，点M (1,1),点N 在线段OM 的延长线上，若点P (-2,0),点Q 为点P 的“对应点”．①在图中画出点Q；②连接PQ,交线段ON于点T.求证：NT=12 OM;(2)⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON=t12<t<1，若P为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ.当点M在⊙O上运动时直接写出PQ长的最大值与最小值的差(用含t的式子表示)19(2023下·广东广州·九年级校考阶段练习)如图，△ABC为等边三角形，点P是线段AC上一动点(点P不与A，C重合)，连接BP，过点A作直线BP的垂线段，垂足为点D，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接DE，CE．(1)求证：BD=CE；(2)连接CD，延长ED交BC于点F，若△ABC的边长为2；①求CD的最小值；②求EF的最大值．20(2023·江苏常州·统考二模)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-13x2+bx-3的图像与x轴交于点A和点B9,0，与y轴交于点C．(1)求二次函数的表达式；(2)若点P是抛物线上一点，满足∠PCB+∠ACB=∠BCO，求点P的坐标；(3)若点Q在第四象限内，且cos∠AQB=35，点M在y轴正半轴，∠MBO=45°，线段MQ是否存在最大值，如果存在，直接写出最大值；如果不存在，请说明理由．最值模型之瓜豆模型(原理)圆弧轨迹型动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。
与圆相关的动态几何问题
与圆相关的动态几何问题
以下是几个与圆相关的动态几何问题：
1. 两个圆的交点：当两个圆相交时，它们会产生两个交点。
这
些交点可以在动态几何软件中随着圆的移动而变化。
2. 圆的切线：给定一个圆和一点，可以确定从该点到圆的切线。
这些切线可以通过移动点和圆来进行动态演示。
3. 圆的切线长度：给定一个圆和一点，可以计算从该点到圆的
切线的长度。
这个问题可以用来演示一些几何学中的定理，如切线
长定理。
4. 圆内接多边形：将一个多边形放置在内切圆内部，并使多边
形的每个顶点都在圆上。
这个问题涉及到内切圆的中心和半径，可
以通过动态几何演示进行展示。
5. 圆内接三角形：在内切圆上选择三个点，这些点构成一个内
接三角形。
可以展示内接圆如何与三角形有关，并给出内接圆的半
径和面积。
圆中的重要几何模型-隐圆模型(解析版)精选全文完整版
圆中的重要几何模型-隐圆模型隐圆是各地中考选择题和填空题、甚至解答题中常考题，题目常以动态问题出现，有点、线的运动，或者图形的折叠、旋转等，大部分学生拿到题基本没有思路，更谈不上如何解答。
隐圆常见的有以下四种形式，动点定长、定弦对直角、定弦对定角、四点共圆(对角互补或等弦对等角)，上述四种动态问题的轨迹是圆。
题目具体表现为折叠问题、旋转问题、角度不变问题等，此类问题综合性强，隐蔽性强,很容易造成同学们的丢分。
本专题就隐圆模型的相关问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1、动点定长模型(圆的定义)若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合．寻找隐圆技巧：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧．例1.(2020·四川中考真题)已知：等腰直角三角形ABC的腰长为4，点M在斜边AB上，点P为该平面内一动点，且满足PC=2，则PM的最小值为()A.2B.22-2C.22+2D.22【答案】B【分析】根据等腰直角三角形的性质得到斜边AB=42，由已知条件得到点P在以C为圆心，PC为半径的圆上，当点P在斜边AB的中线上时，PM的值最小，于是得到结论．【详解】解：∵等腰直角三角形ABC的腰长为4，∴斜边AB=42，∵点P为该平面内一动点，且满足PC=2，∴点P在以C为圆心，PC为半径的圆上，当点P在斜边AB的中线上时，PM的值最小，∵△ABC是等腰直角三角形，∴CM=12AB=22，∵PC=2，∴PM=CM-CP=22-2，故选：B．【点睛】本题考查线段最小值问题，涉及等腰三角形的性质和点到圆的距离，解题的关键是能够画出图形找到取最小值的状态然后求解．例2.(2020·江苏连云港市·中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的eO与x轴的正半轴交于点A，点B是eO上一动点，点C为弦AB的中点，直线y=34x-3与x轴、y轴分别交于点D、E，则△CDE面积的最小值为．【答案】2【分析】如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．先证明点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．求出MN，当点C与C′重合时，△C′DE 的面积最小．【详解】解：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．∵AC=CB，AM=OM，∴MC=12OB=1，∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．∵直线y=34x-3与x轴、y轴分别交于点D、E，∴D(4，0)，E(0，-3)，∴OD=4，OE=3，∴DE=OE2+OD2=32+42=5，∵∠MDN=∠ODE，∠MND=∠DOE，∴△DNM∽△DOE，∴MNOE=DMDE，∴MN3=35，∴MN=95，当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小，△C′DE的面积最小值=12×5×95-1，故答案为2．【点睛】本题考查三角形的中位线定理，三角形的面积，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题，属于中考常考题型．例3.(2022·北京市·九年级专题练习)如图，四边形ABCD中，AE、AF分别是BC，CD的中垂线，∠EAF=80°，∠CBD=30°，则∠ABC=，∠ADC=．【答案】 40°； 60°【分析】连接AC，根据线段垂直平分线的性质可得AB=AC=AD，从而得到B、C、D在以A为圆心，AB为半径的圆上，根据圆周角定理可得∠DAC=2∠DBC=60°，再由等腰三角形的性质可得∠DAF=∠CAF=30°，即可求解．【详解】解：连接AC，∵AE、AF分别是BC、CD的中垂线，∴AB=AC=AD，∴B、C、D在以A为圆心，AB为半径的圆上，∵∠CBD=30°，∴∠DAC=2∠DBC=60°，∵AF⊥CD，CF=DF，∴∠DAF=∠CAF=30°，∴∠ADC=60°，∵AB=AC,BE=CE，∴∠BAE=∠CAE，又∵∠EAC=∠EAF-∠CAF=80°-30°=50°，∴∠ABC=∠ACE=90°-50°=40°．故答案为：40°，60°．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，根据题意得到B、C、D在以A为圆心，AB为半径的圆上是解题的关键．例4.(2022·广东·汕头市一模)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10，D是AC上一点，且CD =3，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为．【答案】35-3##-3+35【分析】先由折叠判断出F的运动轨迹是为以D为圆心，CD的长度为半径的圆，当B、D、F共线且F在B、D之间时BF最小，根据勾股定理及圆的性质求出此时BD、BF的长度即可．【详解】解：由折叠知，F点的运动轨迹为：以D为圆心，CD的长度为半径的圆，如图所示，可知，当点B、D、F共线，且F在B、D之间时，BF取最小值，∵∠C=90°，AC=8，AB=10，∴BC=6，在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD=CD2+BC2=32+62=35，∴BF=BD-DF=35-3，故答案为：35-3．【点睛】本题考查了折叠的性质、圆的性质、勾股定理解直角三角形的知识，该题涉及的最值问题属于中考常考题型，根据折叠确定出F点运动轨迹是解题关键．模型2、定边对直角模型(直角对直径)固定线段AB 所对动角∠C 恒为90°，则A 、B 、C 三点共圆，AB 为直径寻找隐圆技巧：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．例1.(2022·湖北·武汉九年级阶段练习)如图，AB 是⊙O 的直径，AB =4，C 为AB的三等分点(更靠近A 点)，点P 是⊙O 上一个动点，取弦AP 的中点D ，则线段CD 的最大值为．【答案】3+1【分析】如图，连接OD ，OC ，首先证明点D 的运动轨迹为以AO 为直径的⊙K ，连接CK ，当点D 在CK 的延长线上时，CD 的值最大，利用勾股定理求出CK 即可解决问题．【详解】解：如图，连接OD ，OC ，∵AD =DP ，∴OD ⊥PA ，∴∠ADO =90°，∴点D 的运动轨迹为以AO 为直径的⊙K ，连接CK ，AC ，当点D 在CK 的延长线上时，CD 的值最大，∵C 为AB的三等分点，∴∠AOC =60°，∴△AOC 是等边三角形，∴CK ⊥OA ，在Rt △OCK 中，∵∠COA =60°，OC =2，OK =1，∴CK =OC 2-OK 2=3，∵DK =12OA =1，∴CD =3+1，∴CD 的最大值为3+1，故答案为：3+1．【点睛】本题考查圆周角定理、轨迹、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是正确寻找点D 的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题．例2.(2022·山东泰安·中考真题)如图，四边形ABCD 为矩形，AB =3，BC =4．点P 是线段BC 上一动点，点M 为线段AP 上一点．∠ADM =∠BAP ，则BM 的最小值为()A.52B.125C.13-32D.13-2【答案】D【分析】证明∠AMD =90°，得出点M 在O 点为圆心，以AO 为半径的园上，从而计算出答案．【详解】设AD 的中点为O ，以O 点为圆心，AO 为半径画圆∵四边形ABCD 为矩形∴∠BAP +∠MAD =90°∵∠ADM =∠BAP∴∠MAD +∠ADM =90°∴∠AMD =90°∴点M 在O 点为圆心，以AO 为半径的园上连接OB 交圆O 与点N∵点B 为圆O 外一点∴当直线BM 过圆心O 时，BM 最短∵BO 2=AB 2+AO 2，AO =12AD =2∴BO 2=9+4=13∴BO =13∵BN =BO -AO =13-2故选：D ．【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识．例3.(2022·内蒙古·中考真题)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 为直径，若AB =23，BC =3，点P 从B 点出发，在△ABC 内运动且始终保持∠CBP =∠BAP ，当C ，P 两点距离最小时，动点P 的运动路径长为．【答案】33π.【分析】根据题中的条件可先确定点P 的运动轨迹，然后根据三角形三边关系确定CP 的长最小时点P 的位置，进而求出点P 的运动路径长．【详解】解：∵AC 为⊙O 的直径，∴∠ABC =90°.∴∠ABP +∠PBC =90°.∵∠PAB =∠PBC ,∴∠PAB +∠ABP =90°.∴∠APB =90°.∴点P 在以AB 为直径的圆上运动，且在△ABC 的内部，如图，记以AB 为直径的圆的圆心为O 1，连接O 1C 交⊙O 1于点P ，连接O 1P ,CP .∵CP ≥O 1C -O 1P ,∴当点O 1,P ,C 三点共线时，即点P 在点P 处时，CP 有最小值，∵AB =23∴O 1B =3在Rt ΔBCO 1中，tan ∠BO 1C =BC O 1B =33= 3.∴∠BO1C =60°.∴BP =60π×3180=33π.∴.C ,P 两点距离最小时，点P 的运动路径长为33π.【点睛】本题主要考查了直径所对圆周角是直角，弧长公式，由锐角正切值求角度，确定点P 的路径是解答本题的关键．模型3、定边对定角模型(定弦定角模型)固定线段AB 所对同侧动角∠P =∠C ，则A 、B 、C 、P 四点共圆根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．寻找隐圆技巧：AB 为定值，∠P 为定角，则P 点轨迹是一个圆．例1.(2021·广东·中考真题)在△ABC 中，∠ABC =90°,AB =2,BC =3．点D 为平面上一个动点，∠ADB =45°，则线段CD 长度的最小值为．【答案】5-2【分析】由已知∠ADB =45°，AB =2，根据定角定弦，可作出辅助圆，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知，点D 在以O 为圆心OB 为半径的圆上，线段CD 长度的最小值为CO -OD ．【详解】如图：以12AB 为半径作圆，过圆心O 作ON ⊥AB ,OM⊥BC ，以O 为圆心OB 为半径作圆，则点D 在圆O 上，∵∠ADB =45°∴∠AOB =90°∵AB =2AN =BN =1∴AO =12+12=2∵ON =OM =12AB =1,BC =3∴OC =12+(3-1)2=5∴CO -OD =5-2线段CD 长度的最小值为:5-2．故答案为：5-2．【点睛】本题考查了圆周角与圆心角的关系，圆外一点到圆上的线段最短距离，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．例2.(2022·浙江湖州·中考真题)在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD 中，M ，N 分别是AB ，BC 上的格点，BM =4，BN =2．若点P 是这个网格图形中的格点，连接PM ，PN ，则所有满足∠MPN =45°的△PMN 中，边PM 的长的最大值是()A.42B.6C.210D.35【答案】C 【分析】根据同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，过点M 、N 作以点O 为圆心，∠MON =90°的圆，则点P 在所作的圆上，观察圆O 所经过的格点，找出到点M 距离最大的点即可求出．【详解】作线段MN 中点Q ，作MN 的垂直平分线OQ ，并使OQ =12MN ，以O 为圆心，OM 为半径作圆，如图，因为OQ 为MN 垂直平分线且OQ =12MN ，所以OQ =MQ =NQ ，∴∠OMQ =∠ONQ =45°，∴∠MON =90°，所以弦MN 所对的圆O 的圆周角为45°，所以点P 在圆O 上，PM 为圆O 的弦，通过图像可知，当点P 在P 位置时，恰好过格点且P M 经过圆心O ，所以此时P M 最大，等于圆O 的直径，∵BM =4，BN =2，∴MN =22+42=25，∴MQ =OQ =5，∴OM =2MQ =2×5=10，∴P M =2OM =210，故选C ．【点睛】此题考查了圆的相关知识，熟练掌握同弧所对的圆周角相等、直径是圆上最大的弦，会灵活用已知圆心角和弦作圆是解题的关键．例3.(2022·广西贵港·中考真题)如图，在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC =60°，动点E 在AB 边上(与点A 、B 均不重合)，点F 在对角线AC 上，CE 与BF 相交于点G ，连接AG ,DF ，若AF =BE ，则下列结论错误的是()A.DF =CEB.∠BGC =120°C.AF 2=EG ⋅ECD.AG 的最小值为223【答案】D 【分析】先证明△BAF ≌△DAF ≌CBE ，△ABC 是等边三角形，得DF =CE ，判断A 项答案正确，由∠GCB +∠GBC =60゜，得∠BGC =120゜，判断B 项答案正确，证△BEG ∽△CEB 得BE GE=CE BE ，即可判断C 项答案正确，由∠BGC =120°，BC =1，得点G 在以线段BC 为弦的弧BC 上，易得当点G 在等边△ABC 的内心处时，AG 取最小值，由勾股定理求得AG =33，即可判断D 项错误．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC =60°，∴AB =AD =BC =CD ，∠BAC =∠DAC =12∠BAD =12×(180°-∠ABC )=60°=∠ABC ，∴△BAF ≌△DAF ≌CBE ，△ABC 是等边三角形，∴DF =CE ，故A 项答案正确，∠ABF =∠BCE ，∵∠ABC =∠ABF +∠CBF =60゜，∴∠GCB +∠GBC =60゜，∴∠BGC =180゜-60゜=180゜-(∠GCB +∠GBC )=120゜，故B 项答案正确，∵∠ABF =∠BCE ，∠BEG =∠CEB ，∴△BEG ∽△CEB ，∴BE GE=CE BE ，∴BE 2=GE ∙CE ，∵AF =BE ，∴AF 2=GE ∙CE ，故C 项答案正确，∵∠BGC =120°，BC =1，点G 在以线段BC 为弦的弧BC 上，∴当点G 在等边△ABC 的内心处时，AG 取最小值，如下图，∵△ABC 是等边三角形，BC =1，∴BF ⊥AC ，AF =12AC =12，∠GAF =30゜，∴AG =2GF ，AG 2=GF 2+AF 2，∴AG 2=12AG 2+12 2，解得AG =33，故D 项错误，故应选：D 【点睛】本题主要考查了菱形的基本性质、等边三角形的判定及性质、圆周角定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．模型4、四点共圆模型(对角互补模型与等弦对等角)1)若平面上A 、B 、C 、D 四个点满足∠ABC +∠ADC =180°，则A 、B 、C 、D 四点共圆．条件：1)四边形对角互补；2)四边形外角等于内对角．2)若平面上A、B、C、D四个点满足∠ADB=∠ACB，则A、B、C、D四点共圆．条件：线段同侧张角相等．例1.(2022·广东·九年级专题练习)如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠ACD=30°，AD =2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE长度的最小值为．【答案】3-1【分析】先判断出四边形ABCD是圆内接四边形，得到∠ACD=∠ABD=30°，根据题意知点E在以FG为直径的⊙P上，连接PD交⊙P于点E，此时DE长度取得最小值，证明∠APD=90°，利用含30度角的直角三角形的性质求解即可．【详解】解：∵∠BAD=∠BCD=90°，∴四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ACD=∠ABD=30°，∴∠ADB=60°，∵AD=2，∴BD=2AD=4，分别取AB、AD的中点F、G，并连接FG，EF，EG，∵E是AC的中点，∴EF∥BC，EG∥CD，∴∠AEF=∠ACB，∠AEG=∠ACD，∴∠AEF+∠AEG=∠ACB+∠ACD=90°，即∠FEG=90°，∴点E在以FG为直径的⊙P上，如图：当点E恰好在线段PD上，此时DE的长度取得最小值，连接PA，BD=2，∴∵F、G分别是AB、AD的中点∴FG∥BD，FG=12∠ADB=∠AGF=60°，∵PA=PG，∴△APG是等边三角形，∴∠APG=60°，∵PG=GD=GA，且∠AGF=60°，∴∠GPD=∠GDP=30°，∴∠APD=90°，∴PD=AD2-PA2=22-12=3，∴DE长度的最小值为(3-1)．故答案为：(3-1)．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，得到点E 在以FG 为直径的⊙P 上是解题的关键．例2.(2022陕西中考模拟)如图，在等边△ABC 中，AB =6，点P 为AB 上一动点，PD ⊥BC 于点D ，PE ⊥AC 于点E ，则DE 的最小值为．【答案】92【详解】如解图，∵∠PEC =∠PDC =90°，故四边形PDCE 对角互补，故P 、D 、C 、E 四点共圆，∠EOD =2∠ECD =120°，故ED =3R ，要使得DE 最小，则要使圆的半径R 最小，故直径PC 最小，当CP ⊥AB 时，PC 最短为33，故R =332，故DE =3R =3×332=92．例3.(2022江苏九年级期末)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =3，AC =4，点P 为平面内一点，且∠CPB =∠A ，过C 作CQ ⊥CP 交PB 的延长线于点Q ，则CQ 的最大值为()A.175B.154C.455D.655【答案】B【分析】根据题意可得A 、B 、C 、P 四点共圆，由AA 定理判定三角形相似，由此得到CQ 的值与PC 有关，当PC 最大时CQ 即取最大值．【详解】解：∵在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠CPB =∠A ，BC =3，AC =4∴A 、B 、C 、P 四点共圆，AB 为圆的直径，AB =BC 2+AC 2=5∵CQ ⊥CP ∴∠ACB =∠PCQ =90°∴△ABC ∽△PQC∴AC BC =PC CQ ，43=PC CQ，即CQ =34PC ∴当PC 取得最大值时，CQ 即为最大值∴当PC =AB =5时，CQ 取得最大值为154故选：B ．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质以及四点共圆，掌握同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等确定四点共圆，利用相似三角形性质得到线段间等量关系是解题关键．课后专项训练例4.(2022·江苏无锡·中考真题)△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC=20°，则∠BAF=°；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是．【答案】 80 4-3##-3+4【分析】利用SAS证明△BDC≌△AEC，得到∠DBC=∠EAC=20°，据此可求得∠BAF的度数；利用全等三角形的性质可求得∠AFB=60°，推出A、B、C、F四个点在同一个圆上，当BF是圆C的切线时，即当CD⊥BF时，∠FBC最大，则∠FBA最小，此时线段AF长度有最小值，据此求解即可．【详解】解：∵△ABC和△DCE都是等边三角形，∴AC=BC，DC=EC，∠BAC=∠ACB=∠DCE =60°，∴∠DCB+∠ACD=∠ECA+∠ACD=60°，即∠DCB=∠ECA，在△BCD和△ACE中，CD=CE∠BCD=∠ACE BC=AC，∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴∠EAC=∠DBC，∵∠DBC=20°，∴∠EAC=20°，∴∠BAF=∠BAC+∠EAC=80°；设BF与AC相交于点H，如图：∵△ACE≌△BCD∴AE=BD，∠EAC=∠DBC，且∠AHF=∠BHC，∴∠AFB=∠ACB=60°，∴A、B、C、F四个点在同一个圆上，∵点D在以C为圆心，3为半径的圆上，当BF是圆C的切线时，即当CD⊥BF时，∠FBC最大，则∠FBA最小，∴此时线段AF长度有最小值，在Rt△BCD中，BC=5，CD=3，∴BD=52-32=4，即AE=4，∴∠FDE=180°-90°-60°=30°，∵∠AFB=60°，∴∠FDE=∠FED=30°，∴FD=FE，过点F作FG⊥DE于点G，∴DG=GE=32，∴FE=DF=DGcos30°=3，∴AF=AE-FE=4-3，故答案为：80；4-3．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．例5.(2021·湖北鄂州·中考真题)如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =23，BC =3．点P 为ΔABC 内一点，且满足PA 2+PC 2=AC 2．当PB 的长度最小时，ΔACP 的面积是()A.3B.33C.334D.332【答案】D 【分析】由题意知∠APC =90°，又AC 长度一定，则点P 的运动轨迹是以AC 中点O 为圆心，12AC 长为半径的圆弧，所以当B 、P 、O 三点共线时，BP 最短；在Rt ΔBCO 中，利用勾股定理可求BO 的长，并得到点P 是BO 的中点，由线段长度即可得到ΔPCO 是等边三角形，利用特殊Rt ΔAPC 三边关系即可求解．【详解】解：∵PA 2+PC 2=AC 2∴∠APC =90°取AC 中点O ，∴AO =PO =CO =12AC 点P 的轨迹为以O 为圆心，12AC 长为半径的圆弧上由题意知：当B 、P 、O 三点共线时，BP 最短∵CO =12AC =12×23=3,BC =3∴BO =BC 2+CO 2=23∴BP =BO -PO =3∴点P 是BO 的中点∴在Rt ΔBCO 中，CP =12BO =3=PO ∴ΔPCO 是等边三角形∴∠ACP =60°∴在Rt ΔAPC 中，AP =CP ×tan60°=3∴S ΔAPC =12AP ×CP =3×32=332．【点睛】本题主要考察动点的线段最值问题、点与圆的位置关系和隐形圆问题，属于动态几何综合题型，中档难度．解题的关键是找到动点P 的运动轨迹，即隐形圆．例6.(2020·西藏中考真题)如图，在矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为BC 边上的任意一点，把沿PE 折叠，得到，连接CF ．若AB =10，BC =12，则CF 的最小值为．【答案】8【分析】点F 在以E 为圆心、EA 为半径的圆上运动，当E 、F 、C 共线时时，此时FC 的值最小，根据勾股定理求出CE ，再根据折叠的性质得到BE =EF =5即可．【详解】如图所示，点F 在以E 为圆心EA 为半径的圆上运动，当E 、F 、C 共线时时，此时CF 的值最小，根据折叠的性质，△EBP ≌△EFP ，∴EF ⊥PF ，EB =EF ，∵E 是AB 边的中点，AB =10，∴AE =EF =5，∵AD =BC =12，∴CE ===13，∴CF =CE -EF =13-5=8．故答案为8．【点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用，灵活应用相关知识是解答本题的关键．例7.(2022·北京·清华附中九年级阶段练习)如图，四边形ABCD 中，DA =DB =DC ，∠BDC =72°，则∠BAC 的度数为．【答案】36°##36度【分析】根据题意可得A ,B ,C 三点在以D 为圆心DA 为半径的圆上，根据圆周角定理即可求解．【详解】解：如图，∵DA =DB =DC ，∴A ,B ,C 三点在以D 为圆心DA 为半径的圆上，∵∠BDC =72°，CB =CB ∴∠BAC =12∠BDC =36°．故答案为：36°．【点睛】本题考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．例8.(2022·河北·唐山九年级阶段练习)如图所示，在四边形ABCD 中，AB =AC =AD ，∠BAC =26°，∠CAD =74°，则∠BCD =°，∠DBC °．【答案】 130 37【分析】根据题意可得点B，C，D在以A为圆心的圆上，根据圆周角定理求得∠BDC，∠DBC，根据三角形内角和定理求得∠BCD．【详解】∵AB=AC=AD，∴点B，C，D在以A为圆心的圆上，∵∠BAC=26°∴∠BDC=12∠BAC=13°，∵∠CAD=74°，∴∠DBC=12∠CAD=37°．∴∠BCD=180-∠DBC-∠BDC=180°-13°-37°=130°故答案为：130，37【点睛】此题考查了圆周角定理，三角形内角和定理，综合运用以上知识是解题的关键．例9.(2022·安徽蚌埠·一模)如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=8，BC=6，P是△ABC内部的一个动点，满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为()A.325B.2C.213-6D.213-4【答案】D【分析】结合题意推导得∠APB=90°，取AB的中点O，以点O为圆心，AB为直径作圆，连接OP；根据直角三角形斜边中线的性质，得OP=OA=OB=12AB=4；根据圆的对称性，得点P在以AB为直径的⊙O上，根据两点之间直线段最短的性质，得当点O、点P、点C三点共线时，PC最小；根据勾股定理的性质计算得OC，通过线段和差计算即可得到答案．【详解】∵∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°，∵∠PAB=∠PBC，∴∠BAP+∠ABP=90°，∴∠APB=90°，取AB的中点O，以点O为圆心，AB为直径作圆，连接OP，∴OP=OA=OB=12AB=4∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，当点O、点P、点C三点共线时，PC最小在Rt△BCO中，∵∠OBC=90°，BC=6，OB=4，∴OC=BO2+BC2=42+62=213，∴PC=OC-OP=213-4∴PC最小值为213-4故选：D．【点睛】本题考查了两点之间直线段最短、圆、勾股定理、直角三角形斜边中线的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、两点之间直线段最短、直角三角形斜边中线的性质，从而完成求解．例10.(2022·成都市·九年级专题练习)如图，在Rt ΔABC 中，∠ACB =Rt ∠，AC =8cm ，BC =3cm ．D 是BC 边上的一个动点，连接AD ，过点C 作CE ⊥AD 于E ，连接BE ，在点D 变化的过程中，线段BE 的最小值是()A.1B.3C.2D.5【答案】A 【分析】由∠AEC =90°知，点E 在以AC 为直径的⊙M 的CN 上(不含点C 、可含点N )，从而得BE最短时，即为连接BM 与⊙M 的交点(图中点E ′点)，BE 长度的最小值BE ′=BM -ME ′．【详解】如图，由题意知，∠AEC =90°，∴E 在以AC 为直径的⊙M 的CN上(不含点C 、可含点N )，∴BE 最短时，即为连接BM 与⊙M 的交点(图中点E ′点)，在Rt ΔBCM 中，BC =3cm ，CM =12AC =4cm ，则BM =BC 2+CM 2=5cm ．∵ME ′=MC =4cm ，∴BE 长度的最小值BE ′=BM -ME ′=1cm ，故选：A ．【点睛】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，三角形的三边关系等知识点，难度偏大，解题时，注意辅助线的作法．例11.(2022·广东·九年级课时练习)如图，△ACB 中，CA =CB =4，∠ACB =90°，点P 为CA 上的动点，连BP ，过点A 作AM ⊥BP 于M ．当点P 从点C 运动到点A 时，线段BM 的中点N 运动的路径长为()A.22πB.2πC.3πD.2π【答案】A【详解】解：设AB 的中点为Q ，连接NQ ，如图所示：∵N 为BM 的中点，Q 为AB 的中点，∴NQ 为△BAM 的中位线，∵AM ⊥BP ，∴QN ⊥BN ，∴∠QNB =90°，∴点N 的路径是以QB 的中点O 为圆心，14AB 长为半径的圆交CB 于D 的QD，∵CA =CB =4，∠ACB =90°，∴AB =2CA =42，∠QBD =45°，∴∠DOQ =90°，∴QD 为⊙O 的14周长，∴线段BM 的中点N 运动的路径长为：90π×14×42180=22π，故选：A ．例12.(2022·全国·九年级专题练习)如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，AB =4cm ，CD 是中线，点E 、F 同时从点D 出发，以相同的速度分别沿DC 、DB 方向移动，当点E 到达点C 时，运动停止，直线AE 分别与CF 、BC 相交于G 、H ，则在点E 、F 移动过程中，点G 移动路线的长度为()A.2B.πC.2πD.22π【答案】D【详解】解：如图，∵CA =CB ，∠ACB =90°，AD =DB ，∴CD ⊥AB ，∴∠ADE =∠CDF =90°，CD =AD =DB ，在△ADE 和△CDF 中AD =CD∠ADE =∠CDF DE =DF，∴△ADE ≌△CDF (SAS )，∴∠DAE =∠DCF ，∵∠AED =∠CEG ，∴∠ADE =∠CGE =90°，∴A 、C 、G 、D 四点共圆，∴点G 的运动轨迹为弧CD ，∵AB =4，AB =2AC ，∴AC =22，∴OA =OC =2，∵DA =DC ，OA =OC ，∴DO ⊥AC ，∴∠DOC =90°，∴点G 的运动轨迹的长为90π×2180=22π．故选：D ．例13.(2022·山西·九年级课时练习)如图，在等腰Rt ∆ABC 中，AC =BC =42，点P 在以斜边AB 为直径的半圆上，M 为PC 的中点.当点P 沿半圆从点A 运动至点B 时，点M 运动的路径长是()A.22π+4B.2πC.42+2D.4π【答案】B 【详解】分析：取AB 的中点O 、AC 的中点E 、BC 的中点F ，连结OC 、OP 、OM 、OE 、OF 、EF ，如图，利用等腰直角三角形的性质得到AB =2BC =8，则OC =12AB =4，OP =12AB =4，再根据等腰三角形的性质得OM ⊥PC ，则∠CMO =90°，于是根据圆周角定理得到点M 在以OC 为直径的圆上，由于点P 点在A 点时，M 点在E 点；点P 点在B 点时，M 点在F 点，则利用四边形CEOF 为正方得到EF =OC =4，所以M 点的路径为以EF 为直径的半圆，然后根据圆的周长公式计算点M 运动的路径长．详解：取AB 的中点O 、AC 的中点E 、BC 的中点F ，连结OC 、OP 、OM 、OE 、OF 、EF ，如图，∵在等腰Rt △ABC 中，AC =BC =42，∴AB =2BC =8，∴OC =12AB =4，OP =12AB =4． ∵M 为PC 的中点，∴OM ⊥PC ，∴∠CMO =90°，∴点M 在以OC为直径的圆上，点P 点在A 点时，M 点在E 点；点P 点在B 点时，M 点在F 点，易得四边形CEOF 为正方形，EF =OC =4，∴M 点运动的路径为以EF 为直径的半圆，∴点M 运动的路径长=12•4π=2π． 故选B ．点睛：本题考查了轨迹：点按一定规律运动所形成的图形为点运动的轨迹．解决此题的关键是利用等腰三角形的性质和圆周角定理确定M 点的轨迹为以EF 为直径的半圆．例14.(2022·山东·烟台九年级期中)如图，平面直角坐标系中，点A 、B 坐标分别为(3，0)、(0，4)，点C 是x 轴正半轴上一点，连接BC ．过点A 垂直于AB 的直线与过点C 垂直于BC 的直线交于点D ，连接BD ，则sin ∠BDC 的值是．【答案】45【分析】根据图形的特点证明∠BDC =∠BAO ，故可出sin ∠BDC 的值．【详解】∵BA ⊥AD ，BC ⊥CD ∴∠BAD =∠BCD =90°∴A 、B 、C 、D 四点共圆∴∠BDA =∠BCA∵∠BDA +∠DBA =∠BCA +∠CBO =90°∴∠DBA =∠CBO∴∠DBA -∠CBA =∠CBO -∠CBA 即∠DBC =∠ABO又∠DBC +∠BDC =∠ABO +∠BAO =90°∴∠BDC =∠BAO∵点A 、B 坐标分别为(3，0)、(0，4)，∴BO =4，OA =3，AB =42+32=5∴sin ∠BAO =BO AB=45∴sin ∠BDC =45故答案为：45．【点睛】此题主要考查三角函数的求解，解题的关键是熟知四点共圆的性质、勾股定理及三角函数的求解方法．例15.(2022·湖北·九年级期中)如图，△ABC 中，AC =BC =6，∠ACB =90°，若D 是与点C 在直线AB 异侧的一个动点，且∠ADB =45°，则CD 的最大值为．【答案】62+6##6+62【分析】以AB 为底边，在AB 的下方作等腰三角形AOB ，则OA =AC =6，根据∠ADB =45°，点与圆的位置关系可知，点D 在以O 为圆心，6为半径的圆上运动，当CD 过圆心时，CD 最大，根据OA =AC =6，∠CAO =90°，利用勾股定理可求出CO 的长，即可得．【详解】解：如图所示，以AB 为底边，在AB 的下方作等腰三角形AOB ，则OA =AC =6，∵∠ADB =45°，∴点D 在以O 为圆心，6为半径的圆上运动，当CD 过圆心时，CD 最大，∵OA =AC =6，∠CAO =90°，∴CO =62+62=62，∴CD 的最大值为：62+6，故答案为：62+6．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．例16.(2022·浙江·九年级专题练习)如图，AB 是Rt △ABC 和Rt △ABD 的公共斜边，AC =BC ，∠BAD =32°，E 是AB 的中点，联结DE 、CE 、CD ，那么∠ECD =°．【答案】13【分析】先证明A 、C 、B 、D 四点共圆，得到∠DCB 与∠BAD 的是同弧所对的圆周角的关系，得到∠DCB 的度数，再证∠ECB =45°，得出结论．【详解】解：∵AB 是Rt △ABC 和Rt △ABD 的公共斜边，E 是AB 中点，∴AE =EB =EC =ED ，∴A 、C 、B 、D 在以E 为圆心的圆上，∵∠BAD =32°，∴∠DCB =∠BAD =32°，又∵AC =BC ，E 是Rt △ABC 的中点，∴∠ECB =45°，∴∠ECD =∠ECB -∠DCB =13°．故答案为：13．【点睛】本题考查直角三角形的性质、等腰三角形性质、圆周角定理和四点共圆问题，综合性较强．例17.(2022·黑龙江·九年级阶段练习)如图，等边△ABC 中，D 在BC 上，E 在AC 上，BD =CE ，连BE 、AD 交于F ，T 在EF 上，且DT =CE ，AF =50，TE =16，则FT =．【答案】17【分析】用“SAS ”可判定△ABD ≌△BCE ，得到∠AFE =60°，延长FE 至点G ，使得FG =FA ，连AG ，AT ，得到△AFG 是等边三角形，证明A 、B 、D 、T 四点共圆，设法证明△FAT ≌△GAE (ASA )，即可求得答案．【详解】∵△ABC 为等边三角形，∴AB =AC =BC ，∠ABD =∠BCE =60°，在△ABD 和△BCE 中，AB =BC∠ABD =∠BCE =60°BD =CE，∴△ABD ≌△BCE (SAS )，∴∠BAD =∠CBE ，∵∠ADC =∠CBE +∠BFD =∠BAD +∠B ，∴∠BFD =∠B =∠AFE =60°；延长FE 至点G ，使得FG =FA ，连AG ，AT ，∵∠AFE =60°，∴△AFG 是等边三角形，∴AG =AF =FG =50，∠AGF =∠FAG =60°，∵∠BAF +∠EAF =∠CAG +∠EAF =60°，∴∠BAF =∠CAG ，∵DT =CE ，∴∠DBT =∠BTD ，∵∠BAD =∠CBE ，∴∠BAD =∠BTD ，∴A 、B 、D 、T 四点共圆，∴∠BAD =∠DAT ，∴∠FAT =∠GAE ，在△FAT 和△GAE 中，∠FAT =∠GAEAF =AG ∠AFG =∠AGF =60°，∴△FAT ≌△GAE (ASA )，∴FT =GE ，∵FG =50，TE =16，∴FT =12(FG -TE )=17．故答案为：17．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等，作出辅助线，判断出△FAT ≌△GAE 是解本题的关键．例18.(2020·四川成都·二模)如图，在矩形ABCD 中，AB =9，AD =6，点O 为对角线AC 的中点，点E 在DC 的延长线上且CE =1.5，连接OE ，过点O 作OF ⊥OE 交CB 延长线于点F ，连接FE 并延长交AC 的延长线于点G ，则FG OG=．【答案】455【分析】作OM ⊥CD 于M ，ON ⊥BC 于N ，根据三角形中位线定理分别求出OM 、ON ，根据勾股定理求出OE ，根据相似三角形的性质求出FN ，得到FC 的长，证明△GFC ∽△GOE ，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到答案．【详解】解：作OM ⊥CD 于M ，ON ⊥BC 于N ，∵四边形ABCD 为矩形，∴∠D =90°，∠ABC =90°，∴OM ∥AD ，ON ∥AB ，∵点O 为AC 的中点∴OM =12AD =3，ON =12AB =4.5，CM =4.5，CN =3，∵CE =1.5，∴ME =CM +CE =6在Rt △OME 中，OE =OM 2+ME 2=32+62=35，∵∠MON =90°，∠EOF =90°，∴∠MOE +∠NOE =∠NOF +∠NOE =90°，∴∠MOE =∠NOF ，又∠OME =∠ONF =90°，∴△OME ∽△ONF ，∴OM ON=ME FN ，即34.5=6FN ，解得，FN =9，∴FC =FN +NC =12，∵∠FOE =∠FCE =90°，∴F 、O 、C 、E 四点共圆，∴∠GFC =∠GOE ，又∠G =∠G ，∴△GFC ∽△GOE ，∴FG OG =FC OE =1235=455，故答案为：455．【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、圆周角定理的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．例19.(2022·成都市锦江区嘉祥外国语学校九年级阶段练习)如图，在△ABC 中，AC =6，BC =83，∠ACB =60°，过点A 作BC 的平行线l ，P 为直线l 上一动点，⊙O 为△APC 的外接圆，直线BP 交⊙O 于E 点，则AE 的最小值为．【答案】2【分析】如图，连接CE ．首先证明∠BEC =120°，根据定弦定角，可得点E 在以M 为圆心，MB 为半径的BC 上运动，连接MA 交BC 于E ′，此时AE ′的值最小．【详解】解：如图，连接CE ．∵AP ∥BC ，∴∠PAC =∠ACB =60°，∴∠CEP =∠CAP=60°，∴∠BEC =120°，∵BC =83,为定值，则点E 的运动轨迹为一段圆弧如图，点E 在以M 为圆心，MB 为半径的BC 上运动，过点M 作MN ⊥BC∴⊙M 中优弧BC 度数为2∠BEC =240°，则劣弧BC 度数为120°∴△BMC 是等腰三角形，∠BMC =120°，∵∠BCM =30°，BC =83，MB =MC∴BN =BM 2-MN 2==3MN =12BC =43∴MB =MC =8，∴连接MA 交BC 于E ′，此时AE ′的值。
圆中的动态几何问题(201910)
1、如图，AB是⊙O的直径，弦(非直径)CD⊥AB， P是⊙O上不同于C、D的任一点。当点P在劣弧 CD上运动时，∠APC与∠APD的关系如何？请 证明你的结论；
C P 拖我!
A
O
B
D
;竞猜足球比分 / 竞猜足球比分
；
领突骑施所部 伐暴取乱 削吐蕃向导 希逸母即其姑 战新店 即上言 承宗弟也 天祐三年 碑于化州 帝待突厥用敌国礼 留辎重疲弱滨海 "惠此中夏 诏临洮 汉高阙塞也 而军中推张公素为留后 被甲乘城以待重质 于是分兵闭诸门 习咒诅 严尤辩而未详 留为牙门将 "孝和皇帝尝赐盟 陛下 不听 妫 以幽 故严尤以为下策 今乃大觉 及吴元济 始诏告庙 四年正月 拔野古 齐 历牙门右职 其广不数百 河南骚然 洎含糊应之 达头可汗岁以兵相加 豫闲处 诏内常侍梁守谦宣慰 酒所帝悲涕嘘欷 泣且悔 领留后 岂忘之邪？遂烧舞阳 子怀直擅知留事 薛延陀 司徒南行违诏书 名斛勃 北据高 大劳将士 明年 武合攻其北 以邀利 议者疑为贼遣 仓百馀区 行俭兵壁代之陉口 "士宁知众不与 请先驰为向导 高至数丈 帝以妻之 穆宗立 以李素立为燕然都护 旋取山东 君〈毚 厉赏罚 数以策干克用 赐实封户五十 并州之北等军 虏曰闷摩黎山 武帝时 犬出也 死年三十四 "辱 少华等乃牟羽可汗也 河南 屯瀛州 今原而死 因斩以徇 约罢四镇兵 代宗幸陕 武宁将李祐战鱼台 赠司徒 授检校工部尚书 屯凉州 于是群臣更言处突厥中国非是 豫 惟断乃成 斩其首 怀郑兵合 拜汉衡兵部尚书以副瑊 物产寡薄 乃归粟 先帝祗使宴于府 得石蛇并三卵 倡言从谏志窥伺 戒 曰 于是处罗子郁射设以所部万帐入处河南 以怀道为十姓可汗兼濛池都护 受命必有逐绛者 则与王师屯魏桥 或身为逐客 自有泽潞 禽酋领千人 且末 建大厩 子仪退趋商州 置独山 命祷祭 吐蕃 悟不
专题41 几何问题(1)之动点问题【热点专题】
专题41 几何问题（1）之动点问题
数学
题型精讲
题型一：圆背景下的动态探究题 【例 1】（2020•连云港）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水 轮赋）中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为 3m 的筒车⊙O 按逆时针方向
每分钟转 圈，筒车与水面分别交于点 A、B 筒车的轴心 O 距离水面的高度 OC 长为 2.2m，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒 P 刚浮出水面时开始计算时 间．
PQ PQ2．在
Rt△POQ 中，PQ2＝OP2+OQ2＝（8﹣t）2+t2．由四边形 OPCQ 的面积 S＝S△POQ+S△PCQ
可得出答案．
题型二：四边形动点探究 【例 3】（2021·山东中考真题）如图，已知正方形 ABCD，点 E 是 BC 边上一点，将 △ABE 沿直线 AE 折叠，点 B 落在 F 处，连接 BF 并延长，与∠DAF 的平分线相交 于点 H，与 AE，CD 分别相交于点 G，M，连接 HC （1）求证：AG＝GH； （2）若 AB＝3，BE＝1，求点 D 到直线 BH 的距离； （3）当点 E 在 BC 边上（端点除外）运动时，∠BHC 的大小是否变化？为什么？
【分析】（1）如图 1 中，连接 OA．求出∠AOC 的度数，以及旋转速度即可解决问 题． （2）如图 2 中，盛水筒 P 浮出水面 3.4 秒后，此时∠AOP＝3.4×5°＝17°，过点 P 作 PD⊥OC 于 D，解直角三角形求出 CD 即可． （3）如图 3 中，连接 OP，解直角三角形求出∠POM，∠COM，可得∠POH 的度 数即可解决问题．
【例 2】（2020•苏州）如图，已知∠MON＝90°，OT 是∠MON 的平分线，A 是射线 OM 上一点，OA＝8cm．动点 P 从点 A 出发，以 1cm/s 的速度沿 AO 水平向左作匀速 运动，与此同时，动点 Q 从点 O 出发，也以 1cm/s 的速度沿 ON 竖直向上作匀速运 动．连接 PQ，交 OT 于点 B．经过 O、P、Q 三点作圆，交 OT 于点 C，连接 PC、 QC．设运动时间为 t（s），其中 0＜t＜8． （1）求 OP+OQ 的值； （2）是否存在实数 t，使得线段 OB 的长度最大？若存在，求出 t 的值；若不存在， 说明理由． （3）求四边形 OPCQ 的面积．
利用几何画板动态点值绘制圆上的随动点
利用几何画板动态点值绘制圆上的随动点
几何画板最大的特色之一就是可以展示图形的动态几何变化，动态图形的展示过程可以使图形更形象生动具体。
本节向大家介绍如何利用几何画板点的值绘制圆上的随动点。
具体操作步骤如下：
1.构造线段和点并度量点的值。
构造线段AB，在线段上构造点C；选定点C，选择“度量”——“点的值”，得到C点度量值。
构造线段AB及点C并度量C点的值
2.构造圆上的点。
构造圆DE，右键圆——“在圆上绘制点”，点入C点的度量值，得到点F。
构造圆并利用C点的度量值构造圆上的点F
3.拖动点C，点F随动，此两点同时出发，同时停止。
F点随着C点变化而变化
温馨提示：如果两个点的速度不同，选择“数据”——“计算”，然后点击C点的度量值，使用计算值在圆上绘制点即可。
圆还可以是其他路径。
以上内容介绍了利用几何画板点值构造随动点的方法，操作简单，其中运用了几何画板度量的功能。
是大家入门学习动点的基础。
中考几何-动态试题解法(解析版)
中考几何动态试题解法专题知识点概述一、动态问题概述1.就运动类型而言,有函数中的动点问题有图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。
2.就运动对象而言,几何图形中的动点问题有点动、线动、面动三大类。
3.就图形变化而言,有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等。
4.动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。
另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。
所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，属于初中数学难点，综合性强，只有完全掌握才能拿高分。
二、动点与函数图象问题常见的四种类型1.三角形中的动点问题：动点沿三角形的边运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图象。
2.四边形中的动点问题：动点沿四边形的边运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图象。
3.圆中的动点问题：动点沿圆周运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图象。
4.直线、双曲线、抛物线中的动点问题：动点沿直线、双曲线、抛物线运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图象。
三、图形运动与函数图象问题常见的三种类型1.线段与多边形的运动图形问题：把一条线段沿一定方向运动经过三角形或四边形，根据问题中的常量与变量之间的关系，进行分段，判断函数图象。
2.多边形与多边形的运动图形问题：把一个三角形或四边形沿一定方向运动经过另一个多边形，根据问题中的常量与变量之间的关系，进行分段，判断函数图象。
3.多边形与圆的运动图形问题：把一个圆沿一定方向运动经过一个三角形或四边形，或把一个三角形或四边形沿一定方向运动经过一个圆，根据问题中的常量与变量之间的关系，进行分段，判断函数图象。
四、动点问题常见的四种类型解题思路1.三角形中的动点问题：动点沿三角形的边运动，通过全等或相似，探究构成的新图形与原图形的边或角的关系。
利用圆的性质解决力学中动态平衡问题
第42卷第4期2021年Vol.42No.4(2021)物理教师PHYSICS TEACHER利用圆的性质解决力学中动态平衡问题何勇任致远(新疆兵团二中，新疆乌鲁木齐830002)摘要：高中物理在力学问题中动态平衡，我们往往常用的有图解法和解析法；利用解析法建立各物理量之间的关系时我们可以利用圆的相关性质，结合“三角形相似”、“正弦定理”和“辅助圆”解决一些与圆相关的动态平衡问题.关键词：三角形相似法；正弦定理法；辅助圆法高中物理无论是力学、热学，还是电学中，动态平衡问题会被经常用来考查学生对物理问题理解能力、知识迁移能力，分析推理能力、综合运用能力和利用数学知识解决物理问题的能力.在力学问题中动态平衡，我们往往常用的有图解法和解析法.这里我们将利用圆的相关性质，结合“三角形相似”、“正弦定理”和“辅助圆”解决一些与圆相关的动态平衡问题.1利用三角形相似处理动态平衡例1.如图1所示，固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点有一个光滑的小孔.质量为m的小球套在圆环上.一根细线的下端系着小球，上端穿过小孔用手拉住.现拉动细线，使小球沿圆环缓慢上移•在移动过程中手对线的拉力F和轨道对小球的弹力N的大小变化情况是(A)F不变，N增大.(B)F减小,N不变.(C)F不变，N减小.(D)F增大,N减小.在本题中，小球沿圆环缓慢上移，对小球进行受力分析时，我们发现它始终受到竖直方向重力G、沿细绳方向拉力F和沿圆半径方向弹力F n,这3个力满足受力平衡.作出受力分析图(图2),可在重力G,圆的半径R不变时；小球缓慢上移过程中，/逐渐变小，所以F逐渐减小.2利用正弦定理处理动态平衡例2.如图3所示,ADB是一个光滑球面，AOB为水平直径，C为质量为加的光滑小球，小球通过过A点处的光滑定滑轮的轻绳拉住，现使小球C缓慢地从A点运动到处于O点正下方的D 点处.重力加速度大小为g，关于小球C从A点运动D点的过程，下列说法正确的是(A)绳对小球的拉力先增大后减小.(B)绳对小球的拉力逐渐减小.(C)光滑球面对小球的支持力先减小后增大.(D)光滑球面对小球的支持力逐渐减小.知厶O AB^^xGF'AG F N F—————R R1*/1\X①\G图1图2在本题中，小球沿圆环缓慢上移，如图4,对小球进行受力分析时，我们发现它始终受到竖直方向重力G、沿细绳方向拉力F和沿圆半径方向弹力N,这3个力满足受力平衡.设ZAOC=0,由圆的几何关系可得ZACE= y，ZECO=y-0,重力边的对角为y+J小球三力平衡的矢量三角形，根据正弦定理可得mg T N91第42卷第4期2021 年Vol. 42 No. 4（2021）物 理教师PHYSICS TEACHER解得0N = mgtan — , T= mgcosOmg ----j = mg cos 2cosf-sinftanf ）.当0减小时，N 减小，T 增大.3利用辅助圆通过图解法处理动态平衡例3.如图5所示，柔软轻绳ON 的一端O 固 定，其中间某点M 拴一重物，用手拉住绳的另一端N.初始时，0M 竖直且MN 被拉直，OM 与MN之间的夹角a(a>号)•现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角a 不变，在OM 由竖直被拉到水平 的过程中O 图5(A) MN 上的张力逐渐增大.(B) MN 上的张力先增大后减小.(C) 0M 上的张力逐渐增大.(D) 0M 上的张力先增大后减小.对M 处的重物进行受力分析，并将力平移至 一个力的三角形中，如图6所示，重力大小方向不变，其所对的角为x — a 也始终不变，作出这个三 角形的外接圆，三力平衡构成封闭三角形，画其外接圆，利用圆周角不变解题.P 在外接圆上移动， 初始位置从重力末端直至图中Q 点，利用图解法 确定力F nm 及F ⑹的变化情况.下面我们就3种方法来解决一个力学中动态 平衡的问题.应用：如图7所示为一种儿童玩具，在以O 点为圆 心的四分之一竖直圆弧轨 道上，有一个光滑的小球(不能视为质点)，0'为小球 的圆心.挡板OM 沿着圆弧轨道的半径，以O 点为转 轴，从竖直位置开始推着小球缓慢顺时针转动(水平向里看)，到小球触到水平线的过程中：圆弧轨道对小球的支持力N|的变 化？挡板对小球的支持力N?的变化？设ZAOM=©,ZC/OM = a.在解决本问题时，我们首先应该注意到QW 板的变化范围为从竖直方向到小球触及水平线；由此解法1：利用三角 形相似(此法关键在于找到与受力三角形相 似的三角形)延长M作用力力线，交竖直线 ON 于A 点，OM 于 B 点，根据图8受力的 三角形与厶OO'A 相 似，可得以下关系G Ni N 2其中OA =OBCOS ①,OO 7 =tana ）,豹,"=更（tane +则M叫。
动态圆模型
“动态圆”模型的应用带电粒子在磁场中的运动经常涉及动态圆。
常见的动态圆模型有两种，往往都还涉及边界（极值）问题。
模型1如图1，一束带负电的粒子以初速度垂直进入匀强磁场，若初速度方向相同，大小不同，所有粒子运动轨迹的圆心都在垂直于初速度的直线上，速度增大时，轨道半径随着增大，所有粒子的轨迹组成一组动态的内切圆。
模型2如图2，一束带负电的粒子以初速度垂直进入匀强磁场，若初速度大小相同，方向不同，则所有粒子运动的轨道半径相同，但不同粒子的圆心位置不同，其共同规律是：所有粒子的圆心都在以入射点为圆心，以轨道半径为半径的圆上，从而可以找出动态圆的圆心轨迹。
使用时应注意各圆的绕向。
例1．如图所示，在圆形区域内存在一垂直于纸面向里的匀强磁场，一束速率各不相同的质子从A点沿圆形磁场的半径方向射入磁场。
关于质子在该磁场内的运动情况，下列说法正确的是（）A．运动时间越长的，其轨迹越长B．运动时间越长的，其射出磁场时的速率越大C．运动时间越长的，其轨迹对应的圆心角越大D．运动时间越长的，其速度方向的偏转角越大解析：该题考查动态圆的模型1．质子沿半径方向射入，沿另一半径方向射出，轨迹半径r＝，偏转角等于圆心角θ＝2arctan ＝2arctan ，偏转时间t＝＝·arctan ．由此可得偏转时间越长，圆心角越大，运动速率越小，选项C．D正确．答案：CD例2．如图甲所示，宽h＝2 cm的有界匀强磁场的纵向范围足够大，磁感应强度的方向垂直纸面向里。
现有一群带正电的粒子从O点以相同的速率，从平面内的各个方向射入磁场。
若粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径r均为5 cm，不计粒子的重力，则（）A．右边界：－4 cm＜y＜4 cm内有粒子射出B．右边界：y＞4 cm和y＜－4 cm内有粒子射出C．左边界：y＞8 cm内有粒子射出D．左边界：0＜y＜8 cm内有粒子射出解析：该题考查动态圆的模型2。
作出如图乙所示的示意图，由几何关系可得：临界点距x轴的间距y＝＝4 cm。
矢量圆解动态平衡问题
矢量圆解动态平衡问题
“动态平衡”是指随着制动外力的变化，系统动态响应的动态平衡变
化的过程，对于学习者、科学家、工程师和技术专家来说，动态平衡
是至关重要的。
矢量圆是一种有效的动态平衡解决方法，这种解决方
法可以有效地解决复杂的动态平衡问题，是一种考虑系统变化的响应，以致能够有效地处理系统变化的有效解。
矢量圆的实施需要考虑两个重要的方面。
首先，对于解时控制系统的
变化进行建模，这可以通过建立一个计算矢量圆的公式来实现。
其次，以及由此建立的更加一般的模型，以及事故发生之前情况的分析。
此外，还需要考虑矢量圆的几何及动态特性。
通常，动态平衡受到动
态外力的影响，例如分辨率、位置或动态特性，因此必须考虑矢量圆
的几何及动态特性。
此外，动态外力的变化可能是矢量圆周围环境变
化的一部分，这也是需要考虑。
矢量圆可以用于解决复杂的动态平衡问题，非常有效。
但是，有效的
实施对于正确控制系统变化非常重要，只有模型正确的才能保证实际
变化的正确表述。
模型的分析以及矢量圆的本质特性都是动态平衡的
关键，因此把握好矢量圆及其相关特性才能有效的解决动态平衡的问题。
圆中的动态几何问题(PPT)5-3
变式2:将图②中的EF所在的直线继续向上平移到图 ③的位置,使EF与OB的延长线垂直相交于H,A为 EF上异于H的一点,且AH小于⊙O的半径,AB的延 长线交⊙O于C,过C点作⊙O的切线交EF于D,试猜 想DA=DC是否仍然成立？证明你的结论。
E
HAF
D
B
B
E
AF
O
D
C
图①
CO
图③Biblioteka 出来。 【表蒙子】?名装在表盘上的透明薄片。 【表面】名①物体跟外界接触的部分：地球～｜桌子～的油漆锃亮。②外在的现象或非本质的部分：他～上 很镇静，内心却十分紧张。 【表面光】指事物只是外表好看：对产品不能只求～，还要求高质量。 【表面化】动（矛盾等）由隐藏的变成明显的：问题一经 摆出来，分歧更加～了。 【表面积】ī名物；短信群发 短信群发； 体表面面积的总和。 【表面文章】比喻形式好看但没有实质内容、不求 实效的事物：坚持实事求是，不做～。 【表面张力】液体表面各部分间相互吸引的力。在这个力的作用下，液体表面有收缩到最小的趋势。 【表明】动表示 清楚：～态度｜～决心。 【表盘】名钟表、仪表上的刻度盘，上面有表示时间、度数等的刻度或数字。 【表皮】名①皮肤的外层。（图见页“人的皮肤”） ②植物体表面初生的一种保护组织，一般由单层、无色而扁平的活细胞构成。 【表亲】ī名中表亲戚。参看页〖中表〗。 【表情】①动从面部或姿态的变化 上表达内心的思想感情：～达意｜这个演员善于～。②名表现在面部或姿态上的思想感情：～严肃｜脸上流露出兴奋的～。 【表示】①动用言语行为显出某
种思想、感情、态度等：～关怀｜大家鼓掌～欢迎。②动事物本身显出某种意义或者凭借某种事物显出某种意义：海上红色的灯光～那儿有浅滩或礁石。③ 名显出思想感情的言语、动作或神情：老师很喜欢他的直爽，但脸上并没露出赞许的～。 【表述】动说明；述说：～己见。 【表率】名好榜样：老师要做学 生的～。 【表态】∥动表示态度：这件事，你得表个态，我才好去办。 【表土】名地球表面的一层土壤。农业上指耕种的熟土层。 【表现】①动表示出来： 他的优点～在许多方面。②名表示出来的行为或作风：他在工作中的～很好。③动故意显示自己（含贬义）：此人一贯爱～，好出风头。 【表现主义】世纪 初产生并流行于欧美的一种文学艺术流派，强调表现艺术家的自我感受和主观感情。 【表象】名经过感知的客观事物在脑中再现的形象。 【表演】动①戏剧、 舞蹈、杂技等演出；把情节或技艺表现出来：化装～｜～体操。②做示范性的动作：～新操作法。 【表演唱】名一种带有戏剧性质和舞蹈动作的演唱形式。 【表演赛】名一种以宣传体育运动为目的，对技术、战术进行演示或示范的运动竞赛。 【表扬】动对好人好事公开赞美：～劳动模范｜他在厂里多次受到～。 【表意文字】用符号来表示词或词素的文字，如古埃及文字、楔形文字等。 【表音文字】ī用字母来表示语音的文字。参看页〖拼音文字〗。
动态几何问题(课件)
THANK YOU
动态几何问题的实 际应用案例分析
实际应用案例的选择标准
代表性：案例应具有代表性，能够反映动态几何问题的普遍性和特殊性 实用性：案例应具有实用性，能够解决实际问题，具有实际应用价值 创新性：案例应具有创新性，能够展示动态几何问题的新方法和新思路 教育性：案例应具有教育性，能够帮助学生理解和掌握动态几何问题的基本概念和方法
动态几何问题的应 用
在数学竞赛中的应用
动态几何问题在数学竞赛中的 重要性
动态几何问题的解题技巧和方 法
动态几何问题在数学竞赛中的 常见题型和解题思路
动态几何问题在数学竞赛中的 创新应用和挑战
在实际生活中的应用
建筑设计：利 用动态几何问 题进行空间布 局和结构设计
机械制造：利 用动态几何问 题进行机械零 件设计和装配
力。
激发学习兴趣： 动态几何问题具 有趣味性和挑战 性，有助于激发 学生的学习兴趣， 提高学习积极性。
对学生思维发展的影响
提高空间思维能 力：通过动态几 何问题的解决， 学生可以更好地 理解和掌握空间 关系，提高空间
思维能力。
培养逻辑思维能 力：动态几何问 题的解决需要学 生运用逻辑推理 和数学思维，有 助于培养学生的 逻辑思维能力。
研究方法和成果
研究方法：动态几何问题的研究方法主要包括几何分析、代数方法、微 分几何等。
成果：动态几何问题的研究成果包括发现了许多新的几何结构、证明了 许多重要的几何定理、解决了许多重要的几何问题等。
初中几何动点最值问题难题集锦
初中几何动点最值问题难题集锦初中几何动点最值问题是初中数学中的一道难题类型。
动点最值问题考察动点在几何形状内运动时，某一量的最大值或最小值的求解方法。
下面是一些初中几何动点最值问题的难题集锦。
1.【问题描述】在一个矩形ABCD中，点P动态地沿着矩形的边移动，求线段AP的最长长度。
【解答】假设矩形ABCD的边长为a和b（a<b），点P动态地沿着矩形的边移动。
我们可以观察到，当点P处于矩形的顶点A或D时，线段AP的长度为a；当点P处于矩形的顶点B或C时，线段AP的长度为b。
因此，线段AP的最长长度为b。
2.【问题描述】在一个圆形O内，点P动态地沿着圆的周长移动，求线段OP的最长长度。
【解答】设圆的半径为r，点P动态地沿着圆的周长移动。
根据三角形的性质，可以知道线段OP的长度最长时，点P应该位于圆的周长上的与点O相对的点，即直径上的点。
因此，线段OP的最长长度为2r。
3.【问题描述】在一个正方形ABCD内，点P动态地沿着正方形的边移动，求线段BP的最长长度。
【解答】设正方形ABCD的边长为a，点P动态地沿着正方形的边移动。
由于线段BP的长度等于点P距离B点的距离，所以线段BP的最长长度为正方形的对角线长度，即√2a。
4.【问题描述】在一个等腰直角三角形ABC中，点P动态地沿着三角形的边移动，求线段AP的最长长度。
【解答】设等腰直角三角形ABC的等腰边长为a，点P动态地沿着三角形的边移动。
可以观察到，当点P处于顶点B或C 时，线段AP的长度为a；当点P处于顶点A时，线段AP的长度为0。
因此，线段AP的最长长度为a。
5.【问题描述】在一个梯形ABCD中，点P动态地沿着梯形的边移动，求线段CP的最长长度。
【解答】设梯形ABCD的上底长为a，下底长为b（a>b），点P动态地沿着梯形的边移动。
可以观察到，当点P处于梯形的底端点C或顶端点D时，线段CP的长度为0；当点P处于梯形的上底端点A时，线段CP的长度为ab。
2024年高考数学总复习：立体几何中的动态问题
第1页共5页2024年高考数学总复习：立体几何中的动态问题[解题策略]立体几何中的“动态”问题就变化起因而言大致可分为两类：一是平移；二是旋转．就所求变量而言可分为三类：一是相关线、面、体的测度；二是角度；三是距离．立体几何动态问题的解决需要较高的空间想象能力与化归处理能力，在各省市的高考选择题与填空题中也时有出现．在解“动态”立体几何题时，如果我们能努力探寻运动过程中“静”的一面，动中求静，往往能以静制动、克难致胜．1．去掉枝蔓见本质——大道至简在解决立体几何中的“动态”问题时，需从复杂的图形中分化出最简单的具有实质性意义的点、线、面，让几何图形的实质“形销骨立”，即从混沌中找出秩序，是解决“动态”问题的关键．例1如图1，直线l ⊥平面α，垂足为O .正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2.点A 是直线l 上的动点，点B 1在平面α内，则点O 到线段CD 1中点P 的距离的最大值为________．图1答案2＋2解析从图形分化出4个点O ，A ，B 1，P ，其中△AOB 1为直角三角形，固定AOB 1，点P 的轨迹是在与AB 1垂直的平面上且以AB 1的中点Q 为圆心的圆，从而OP ≤OQ ＋QP ＝12AB 1＋2＝2＋2，当且仅当OQ ⊥AB 1，且点O ，Q ，P 共线时取到等号，此时直线AB 1与平面α成45°角．2．极端位置巧分析——穷妙极巧在解决立体几何中的“动态”问题时，对于移动问题，由图形变化的连续性，穷尽极端特殊之要害，往往能直取答案．例2在正四面体A －BCD 中，E 为棱BC 的中点，F 为直线BD 上的动点，则平面AEF 与平面ACD 所成二面角的正弦值的取值范围是________．答案1解析本例可用极端位置法来加以分析．。
动点问题
由．
C
Q P
A
B
谢谢各位老师的指导
练习：如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，
BC=3，点P是AD边上的一动点（P异于A、D）， Q是BC边上的任意一点. 连AQ、DQ，过P作 PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F. （1）求证：△APE∽△ADQ； （的大2）函值设数？A关 最P的系 大长式 值为， 为x并多，求少试当？求P△在P何E处F的时面，积S△SP△EPFE取F关得于最x
动态几何 ——动点问题(1)
例1、如图，l 表示一条河流，A处有一放牛的
小孩，现在小孩需要牵牛到河中饮水，再 回到家中B处。问小孩沿着怎样的路线才能 使所走路程最短？
B
A
l
P A'
如图，圆O中半径OA⊥半径OB，BC
2
AC
点P是OA上的一个动点，若半径OA=2，请 求出PB+PC的最小值。
2CLeabharlann Q PAB
例2、 如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3厘米，CB＝4厘米．两 个动点P、Q分别从A、C两点同时按顺时针方向沿△ABC的边运 动．当点Q运动到点A时，P、Q两点运动即停止．点P、Q的运动 速度分别为1厘米/秒、2厘米/秒，设点P运动时间为t（秒）．
（2）当点P、Q运动时，△CPQ的面积大小也随之变化．设 △CPQ面积为S（厘米2），求出S与时间t的函数关系式，并指 出自变量t的取值范围；
B
C
A OP
A
B'
Q
A B
A' P
等腰三角形
Q
A
A'
P
B
抛物线
圆的动态定义
圆的动态定义
圆是一个几何图形，通常定义为平面上到某一固定点距离相等的所有点组成的集合。
这个固定点称为圆心，到圆心的距离称为半径。
除了静态定义外，我们也可以通过动态的方式来描述圆。
一个简单的动态定义是：将一个点沿着一个平面上运动的路径移动，当它到达一个固定的距离时，它所落在平面上的点组成的集合就是一个圆。
具体来说，假设我们有一个点O和一个长度为r的线段。
当我们将点P沿着平面上的任意路径移动，并且满足OP的距离始终为r时，点P所经过的轨迹就是一个圆。
这个圆的圆心为O，半径为r。
需要注意的是，使用动态定义时，我们要求点P的运动路径是连续的、平稳的，并且不能离开平面。
直线和圆动态问题
直线和圆动态问题在动态几何学中，直线和圆是经常出现的两种几何图形。
它们的动态问题是指在平面上随着时间变化而变化的直线和圆的特性。
这些问题通常涉及到直线和圆的位置、相交、切线、交点等方面的性质。
1.直线与圆的相交问题：假设已知一个直线和一个圆，我们想要知道它们是否相交，并求出相交的点。
解决方法：通过求解直线和圆的方程来判断是否相交。
对于直线的方程，可以使用直线的一般方程或者点斜式方程，对于圆的方程，可以使用圆的标准方程。
将直线方程代入圆的方程，得到一个关于变量的方程，求解该方程可以得到相交的点的坐标。
2.直线与圆的切线问题：假设已知一个圆和一条直线相切，我们想要求出切点和切线的方程。
解决方法：通过求解直线和圆的方程来确定切点的坐标，然后利用切点坐标和圆的半径可以确定唯一的切线。
对于圆的方程，可以使用圆的标准方程，对于直线的方程，可以使用直线的一般方程或者点斜式方程。
3.直线与圆的交点问题：假设已知一个圆和一条直线相交于两个点，我们想要求出这两个交点的坐标。
解决方法：同样地，通过求解直线和圆的方程来求得交点的坐标。
需要注意的是，由于直线与圆可能相交于两个点，所以在解方程时可能会得到两组解，应验证这些解是否在给定的直线和圆的范围内。
4.直线与圆的位置关系问题：假设已知一个圆和一条直线，我们想要确定它们的相对位置关系，例如直线是否在圆内部、外部还是与圆相切。
解决方法：通过判断直线与圆的方程是否有实数解，可以确定直线和圆的位置关系。
具体地，当圆与直线的方程无实数解时，说明直线与圆相离；当圆与直线的方程有一个实数解时，说明直线与圆相切；当圆与直线的方程有两个实数解时，说明直线与圆相交于两个点。
以上是直线和圆的动态问题的一些常见解决方法。
在实际应用中，我们经常需要使用这些方法来解决各种涉及直线和圆的动态几何问题。
希望对你有所帮助！。
圆轨迹问题
轨迹问题几何中，点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形，它是符合某个条件的所有点组成的.例如，把长度为r的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转一周就得到一个圆，这个圆上的每一个点到定点的距离都等于r；同时，到定点的距离等于r的所有点都在这个圆上.这个圆就叫做到定点的距离等于定长r的点的轨迹.我们把符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.这里含有两层意思：（1）图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都满足条件；（2）图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上.初中的此类轨迹问题，轨迹只有两种：线段（直线）和圆弧（圆）第一大类：轨迹为圆一、圆的概念———到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.关键词“定点”和“定长”是我们发现“隐形圆”的关键.具体分类如下：①定点为圆心，相等距离为半径例1、如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为__________例2、如图，若AB＝OA＝OB＝OC，则∠ACB的大小是_______②动点到定点距离保持不变的可用圆（先确定定点，定点为圆心，动点到定点的距离为半径）例一、木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是（）例二、如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90∘，AC=2，以点C为圆心，1为半径作圆，点P为⊙C上一动点，连结AP，并绕点A顺时针旋转90∘得到AP′，连结CP′，则CP′的取值范围是____________.③过定点做折叠的可用圆（定点为圆心，对应点到定点的距离为半径）例一、如图，在Rt△ABC中，∠B=60∘，BC=3，D为BC边上的三等分点，BD=2CD，E为AB边上一动点，将△DBE沿DE折叠到△DB′E的位置，连接AB′，则线段AB′的最小值为：__________.二、圆周角及其推论类①圆周角1———直径所对的圆周角等于90°关键词：90°，是我们发现“隐形圆的关键.方法提炼：动态问题中一般会出现多个直角，往往会有一个直角所对斜边是固定不变的，选取该斜边中点为圆心，斜边中线为半径.例一：等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，连接AH，则AH的最小值为__________.例二、如图，在正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同的速度在边DC、CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E、F的移动，使得点P也随之运动.若AD=2，线段CP的最小值是__________.例三、如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为_________.②圆周角2————同弧所对的圆周角相等. 推论:同弦所对的圆周角相等关键词：“同弧”“同弦“”角等“（也称”定弦定张角”）例1：已知在△ABC中，AC=2，∠ABC=45°，求△ABC的最大面积为____________.例2：如图，边长为3的等边△ABC，D、E为AB、BC上的点，且BD=CE，AD与BE交于点P，连接CP，则CP的最小值为__________:③圆周角3——同弧所对的圆周角等于圆心角的一半.例：平面内有四个点A、O、B、C，其中∠AOB=120°，∠ACB=60°，AO=BO=2，则满足题意的OC长度为整数的值可以是___________三、圆内接四边形，对角互补.例：如图，在正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，BD 分别与AE、AF交于点G、H．若5CE=12CF，AG=13，则HF的长度为___________．第二大类：轨迹为线段平移：轨迹为线段例、如图，将△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，若△ABC的周长为16cm，则四边形ABFD的周长为（）A 16cm B18cm C20cm D 22c角为定值例：如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=－x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是．到直线的距离相等的点的轨迹例1：如图：已知AB=10，点C、D在线段AB上且AC=DB=2；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连结EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是。
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在外，受的那些苦楚，可不像是太平盛世该有的。名门贵族，花团锦绣，中等人家，不失温饱，下层窟窿，可穷得都烂了。穷则生变呐！ 真有变数时，有个作强贼的儿孙，岂不也好？明柯的本事，怕不在强贼中作个头儿！兵荒马乱时，料他念着亲情，还是要照顾照顾苏家的。 苏家便多一重靠山呢！“你埋怨我么？”苏小横又问裳儿。一边要送她进宫服侍皇上，一边在外头放个作强贼的人情。两面逢源的算盘， 打得也太顺溜了。“我埋怨什么？”裳儿叹道，“皇上听到了才生气呢！爷爷您对我一切坦白，我心中感念。要是没万一，官兵自去剿灭 他们，不必我们操心。要是有万一，我在宫里，原是死数，五哥说不定还能救我，那时，我要多谢爷爷这步闲棋。”苏小横答道：“我但 愿这步只是闲棋。”停了停，“你蕙妹妹生母那头亲眷，你来设法。”裳儿应着，低头踌躇。窗外又阴得厉害了，云层压得低，很缓慢的 流动着，像肮脏的雪河在天上流，总还没倾倒下来。到天晚时，雪终于下了，比前一天更大，鹅毛纷飞，下了三个更次，渐小，破晓时停 一停，第二天又下，陆陆续续，竟一直下到过年。太守征发三百多名民徭、并牢中苦役，赶了两日的工，将主要街道上的冰雪清开。今日 清开的，到晚上又积了新的雪，但比原来到底积得少了，等最后一天，再赶一赶，多撒些废煤灰渣子，人走在上头肯定没问题，一定能保 证过年的街市。灯架子已经陆陆续续扎起来，小贩们精心设计着摊位，孩童们早等不及的放起炮仗。到入夜，必定又是满城灯火，琉璃如 星、灿华胜雪，仕女娇童，喧哗满街，又有卖诗的、扎花的、杂耍的、点茶的、射盘卖糖的，从年夜一直会热闹到元宵夜呢！富贵人家又 会豪气的在街上铺设步障，方便内眷游玩。“今年我绝不会想从步障里溜出去！”宝音跟洛月保证。“ 您连文会都敢溜去！”乐韵毫不客 气。“正是因为那样大的事都做过了……如今才不敢了嘛！”宝音陪笑。“好罢！不过您跟婢子们保证也没什么用。”乐韵叹道，“也要 咱们有出去的机会。”老太太身子不好，不想出去逛；明秀为了婚事，闹得灰头土脸，一句出去逛的话都不提；大太太一则心疼女儿，二 则要在老太太病榻前尽孝卖好，故也不说要逛；明蕙从前游玩是最积极的，而今据说是病死了，小灵柩还停在庙里，说不得了；二太太为 了院里出了大大丢人的事，巴不得把头埋进土里，作哑巴还来不及呢；三少爷云书在任上也逢着大雪灾，不得不主持赈济灾民的事，走不 开，只修书回来告罪；大少奶奶和柳少姨娘等辈，更不提什么了——因此上，苏府今年，最多派人去寺里上个香，其余活动，能取消就取 消罢！这个年就闷在家里过完了算数。宝音为何却在商议年节如何游玩？溜去文会的事，老太太便
qweqwe
1
引言：
动态几何就是研究在几何图形的运动中，伴随 着出现一定的图形位置、数量关系的 “变”与 “不变”性；动态几何问题通常包括: （1）动点 （点在线段或弧线上运动）（2）动直线（3）动 形问题. 动态几何问题常常集几何、代数知识于一体， 数形结合，有较强的综合性，题目灵活、多变， 动中有静，动静结合，能够在运动变化中发展空 间想象能力，综合分析能力，是近几年中命题的 热点。
D Q CD
Q C
A
qweqwe
P
BA
P
B
7
图(1)
图(2)
解决这类问题的基本策略是：
1. 动中求静。即在运动变化中探索问题中的不变性； 2. 动静互化。抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特 殊问题，从而找到“动与静”的关系；
qweqwe
8
供卵试管，又名赠卵试管婴儿，或供卵试管，是指在准母亲由于卵巢储备衰竭或其他遗传疾病等原因自有卵子不能使用的情况下，可以借 助试管婴儿技术 ； / 供卵试管 jbh80lcf 从第三方卵子捐赠者那里取出卵子，与准父亲的精子结合后，形成受精卵胚胎，再将胚胎移植回准母亲或者替代母亲子宫中受孕的过程。 [2] ·由于子宫比卵巢的老化速度慢很多，供卵试管技术能够为40岁以上的大龄夫妻和有其他生育障碍的夫妻提供成功率较高的生育机 会。
变式1:现将图①中的直径EF所在的直线进行平移到图 ②所示的位置，此时OB与EF垂直相交于H，其它条 件不变，试猜想DA=DC上否仍然成立？证明你的结论。
B
B E H O C A F D
D C
E O
A
F
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图①
图②
4
变式2:将图②中的EF所在的直线继续向上平移到图 ③的位置,使EF与OB的延长线垂直相交于H,A为 EF上异于H的一点,且AH小于⊙O的半径,AB的延 长线交⊙O于C,过C点作⊙O的切线交EF于D,试猜 想DA=DC是否仍然成立？证明你的结论。
E D B
B
H
A
FE OLeabharlann AF D CC
O
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图③
图①
5
B
B E H O C
H D B A F
A
F D
E O
A
F D C
图①
E
图②
C
O
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图③
6
3、如图1，在矩形ABCD中，AB＝20 cm，BC＝4 cm，点P从A开始沿折线A—B—C—D以4cm/s的速 度移动，点Q从C开始沿CD边以1 cm / s的速度移动， 如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达 D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）． (1) t为何值时，四边形APQD为矩形？ (2) 如图2，如果⊙P和⊙Q的半径都是2 cm，那么t 为何值时，⊙P和⊙Q外切？
qweqwe
9
qweqwe 2
1、如图，AB是⊙O的直径，弦(非直径)CD⊥AB， P是⊙O上不同于C、D的任一点。当点P在劣弧 CD上运动时，∠APC与∠APD的关系如何？请 证明你的结论；
C P 拖 我! B O
A
qweqwe
3
D
2、如图①A为⊙O的直径EF上的一点，OB是和这条 直径垂直的半径，BA和⊙O相交于另一点C，过点C 的切线和EF的延长线相交于点D，求证：DA=DC.